对数的概念(数学史)
对数的概念
方法指导
1 -2
4
1
=16; (3)log 1 8=-3; (4)log3 =-3.
2
根据 ab=N⇔logaN=b(a>0,且 a≠1,N>0)求解.
解析 (1)∵53=125,∴log5125=3.
(2)∵
27
1 -2
4
=16,∴log1 16=-2.
4
(3)∵log 1 8=-3,∴
2
1 -3
(1)已知 log (2 2 -1) (3x2+2x-1)=1,求 x 的值;
(2)求
1 2+lo g 1 3
2
方法指导
2
2lo g 3
+3
1
2
的值.
首先利用对数的基本性质化“繁”为“简”,再求值.
课堂导学
课前预学
解析 (1)由 log (2 2 -1) (3x2+2x-1)=1,
3 2 + 2x-1 = 2 2 -1,
答案
由对数的定义,ax=N(a>0,且 a≠1),则总有 N>0,所以转化为对数式 x=logaN
时,不存在 N≤0 的情况.
课前预学
课堂导学
问题 3:你能推出对数恒等式lo g =N(a>0,且 a≠1,N>0)吗?
答案
因为 ax=N,所以 x=logaN,代入 ax=N 可得lo g N =N.
的值.
(2)已知 log189=a,log1854=b,求 182a-b 的值.
(3)已知 logx27=31+lo g 3 2 ,求 x 的值.
解析
(1)∵log2[log3(log4x)]=0,
高中数学 第四章 对数运算和对数函数 1 对数的概念课件 必修第一册高一第一册数学课件
2
D.4 =x
(2)D
2021/12/12
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激趣诱思
知识(zhī shi)点
拨
二、对数的基本性质
1.负数和零没有(méi yǒu)对数.
2.对于任意的a>0,且a≠1,都有
1
loga1=0,logaa=1,loga =-1.
a
3.对数恒等式aa =
N
.
名师点析1.loga1=0,logaa=1可简述为“1的对数等于0,底的对数等于1”.
4
(3)log3(lg x)=1.
2
解:(1)由 log8x=- ,得 x=8
3
3
3
4
2
3
-
2
=(23)-3 =2-2,故
3
4
1
x= .
4
(2)由 logx27=4,得 =27,即 =33,
4
3 3
故 x=(3 ) =34=81.
(3)由 log3(lg x)=1,得 lg x=3,故 x=103=1 000.
3
-1 1
(3)e = ;
e
(4)10-3=0.001.
分析利用当a>0,且a≠1时,logaN=b⇔ab=N进行互化.
解:(1)
1
1 -3
3
(3)ln =-1.
e
=27.
(2)log464=3.
(4)lg 0.001=-3.
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当堂检测
探究(tànjiū)一
探究(tànjiū)二
§1
对数(duìshù)的概念
2021/12/12
对数的概念课件
实际应用题
题目5
例子1
例子2
例子3
在实际生活中，对数有许多 应用。请举出三个例子，并 解释它们是如何应用对数的 。
在物理学中，声速与频率的 对数之间的关系可以用对数 来描述。例如，在声音传播 的实验中，我们可以通过测 量声速和频率来计算对数值 ，进而研究声音在不同介质 中的传播特性。
在化学中，对数可以用来描 述化学反应速率与反应物浓 度的关系。例如，当我们研 究一种化学反应的速率时， 可以通过测量反应物浓度的 变化来计算对数值，进而分 析反应速率与浓度的关系。
三角函数和对数都可以用来表示复数的 幂次，例如：log(z)表示z的实部和虚 部都大于0的对数，而ln(z)表示z的实
部大于0，虚部等于0的对数。
在解决一些数学问题时，需要将三角函 数和对数结合起来使用。
对数与微积分的关系
对数在微积分中有着广泛的应用，例如在求解微分方程时，常常需要用到对数的性 质和运算规则。
对数在现代科技中的应用
01
在物理学中，对数被广 泛应用于测量和计算声 音、光、电等物理量。
02
在工程学中，对数被用 于信号处理、图像处理 、频谱分析等领域。
03
在经济学中，对数被用 于分析复利、人口增长 、股票价格等数据。
04
在天文学和气象学中， 对数被用于计算天体轨 道、预测天气等。
05
练习和思考题
在生物学中，对数可以用来 描述生物种群的增长。例如 ，当我们研究一个种群的增 长时，可以通过观察种群数 量的变化来计算对数值，进 而分析种群的增长趋势和规 律。
THANKS
感谢观看
基础练习题
题目1： 计算下列各题的对数值 $log_2(4)$
$log_3(9)$
对数的起源
对数的起源对数的起源对数产生于以加减运算代替乘除运算的探索中．以加（减）代乘（除）的想法早就存在了．一个简单的三位数乘法（例如265×438），一般需要四次运算才能得出结果，但同样数字的加法却只需一次运算．涉及的数字越大，则乘（或除）所需要的运算次数比加（或减）所需的运算次数相差得越多．因此，在6世纪以前，就曾有人作尝试，试图实现以加（减）代乘（除）．但由于压力不大，并不感到非如此不可，因此未能达到目的．16世纪中叶，由于天文和航海而引起的大数计算日益激增，这种计算不仅花去了人们大量的精力，而且难以精确，于是，以加（减）代乘（除）的设想再次被提出，并被作为必须解决的问题加以考虑了．起初，曾采用以下两个公式来实现乘除向加减的转化：但由于它们都需要通过另一种运算（三角或平方）来实现转化，并不真正地提高效率，所以很快就被搁置不用了．能不能使乘（除）直接向加（减）转化呢？能！1484年，法国数学家舒开（Chuquet，?—1500）通过把等差数列与等比数列，如：0，1，2，3，4，… 等差1，2，4，8，16，… 等比或0，1，2，3，4，… 等差1，3，9，27，81，… 等比比较发现：等比数列中任何两项的积，可以用与这两项序号对应的等差数列的和来表示（注：这一点最早由阿基米德发现）．由于当时舒开并不力图解决这个问题，因此他仅提出了这个发现，而没加以深入地研究．半个世纪后，同样的事实再次被德国数学家史提非提出．史提非以如下一组数列为例指出：“等比数列中数的乘、除、乘方、开方可以转化为等差数列中数的加、减、乘、除来实现．”如4×8，因为4和8对应的等差数列的数分别是2和3，而2+3=5，所以4×8的结果是5所对应的等比数中的数32．又如82，因为8对应的等差数列中的数是3，3×2=6，所以82的结果是6所对应的等比数列中的数64．就这样，史提非轻巧地实现了运算的转化，并且他意识到：“只要把这个思想进一步发挥，那么必定能得出关于数的性质的全新的论述．”遗憾的是史提非后来再也没进行深入的研究，他放弃了进一步发挥思想的权利，因而也就失去了对数发明者的资格．布尔基与耐普尔数学史册上的对数发明者是两个人：英国的约翰·耐普尔（John Naeipr，1550－1617）和瑞士的乔伯斯特·布尔基（JobstBürgi，1552－1632）．布尔基原是个钟表技师，1603年被选为布拉格宫庭技师后，开始与著名的天文学家开普勒接触，了解到天文学计算的一些具体情况．他体察天文学家的辛劳，并决定为他们提供简便的计算方法．布尔基所提出的简便计算方法就是一张实用的对数表．从原则上说，史提非已经解决了将乘（除）运算转为加（减）运算的途径.但是史提非所给出的两个数列中的数字十分有限,它不能付之于实用，实用的对数表必须包括所有要乘的数在内．为了做到这一点，布尔基采取尽可能细密地列出等比数列的办法．他给出的等比数列相当于：1，1.0001，(1.0001)2，(1.0001)3，…，（1.0001）104，…其相应的等差数列是：0，0.0001，0.0002，0.0003，…，1，…这里，等差数列中的1，对应于等比数列中的（1.0001）104．就是说，布尔基在造表时，把对数的底取为（1.0001）104=2.71814593…，与自然对数的底e=2.718281828…相差不远．但需要的指出是，无论是布尔基还是后面要讲到的耐普尔，他们都没有关于对数“底”的观念．因为他们都不是从a x=N的关系出发来定义对数x=log a N的．耐普尔原是苏格兰的贵族．生于苏格兰的爱丁堡，十二岁进入圣安德鲁斯大学的斯帕希杰尔学院学习．十六岁大学尚未毕业时又到欧洲大陆旅行和游学，丰富了自己的学识．耐普尔虽不是专业数学家，但酷爱数学，他在一个需要改革计算技术的时代里尽心尽力．正如他所说：“我总是尽量使自己的精力和才能去摆脱麻烦而单调的计算，因为这种令人厌烦的计算常使学习者望而生畏．”耐普尔一生先后为改进计算得出了球面三角中的“耐普尔比拟式”、“耐普尔圆部法则”以及作乘除用的“耐普尔算筹”，而为制作对数表他花了整整20年时间．1614年，耐普尔发表了他的《关于奇妙的对数表的说明》一书，书中不仅提出数学史上的第一张对数表（布尔基的对数表发表于1620年），而且阐述了这个发明的思想过程．他说：假定有两个质点P和Q，分别沿着线段AZ和射线A'Z'以同样的初速运动，其中Q保持初速不变，而P作减速运动，其速度与这个点离Z的距离成正比，现在，如果当P位于某点B时，Q位于B'，那么，A'B'就是BZ的对数！同样的A'C'是CZ的对数，等等（图1）．建立了这个模型以后，耐普尔通过代入具体的数字得出BZ、CZ、DZ、EZ、FZ…一系列数值为：，…以及作为它们的对数的A'B'，A'C'，A'D'，A'E'，A'F'，…一系列数值为：1，2，3，4，5，…显然，这也是一组相互对应的等比数列和等差数列，因此耐普尔实质是把等差数列中的数定义为对应的等比数列中的数的对数！这说明，耐普尔借助于质点运动建立起来的对数概念，其原理仍不外乎等比数列与等差数列关系的合理运用．对数的由来英语名词：logarithms如果a^n=b，那么log(a)(b)=n。
对数的概念
例1.将下列指数式化为对数式
(1)5 625
4
1 (2)2 64
6
1 m (3)( ) 5.73 3
a N x log a N
x
例2.把下列对数式化为指数式：
(1)log 1 16 4
2
(2)lg 0.01 2
(3)ln10 2.303
Hale Waihona Puke a N x log a N
2.2
2.2.1
对数函数
对数与对数运算
对数
第1课时
某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个 分裂成8个…….1个这样的细胞，分裂次数x与细胞个数y 之间可以用函数关系式 y=2x 表示。
反过来,1个细胞经过多少次分裂, 可以得到8个、 1024个？ 多少次分裂可以得到1048576个细胞呢？
loga a 1
loga 1 0
n
a
loga n
log a a n a 0, 且a 1时
n
课后作业：
1.(1)若 log(x 1) (3 x)有意义，则x的取值 范围 _____________ (2)若(lg x)2 2lg x 3 0, 则x _____ (3)若 log 2 log 1 (log 2 x) 0, 求x ____ 2 2.计算 1
a N x log a N
x
log aN
a 0, 且a 1时
xR
幂底数 指数 幂
a 对数底数 x 对数
N 真数 N>0负数和零没有对数
说明： (1)常用对数：以10为底的对数，
将 log10 N记作 lg N
数学史纳皮尔对数
数学史纳皮尔对数数学史纳皮尔对数是数学领域中一项重要的发现，它对于计算和解题有着巨大的影响。
本文将就数学史纳皮尔对数的概念、性质、应用和研究进行详细的阐述，通过引述其他人的研究和观点来支持和证明相关内容。
数学史纳皮尔对数是指以自然对数为底的常用对数，它是德国数学家史纳皮尔在19世纪提出的。
数学史纳皮尔对数的定义是在对数的基础上，以自然对数为底，对数值进行换底。
它是数学中一种非常方便和常用的计算方式，能够简化复杂运算和求解过程。
数学史纳皮尔对数具有以下几个重要性质。
首先，它是一个无理数，因为自然对数的底e是一个无限不循环小数。
其次，数学史纳皮尔对数的值在不同的自然数之间是递增的，这使得它非常适合于表示和比较不同数量级的数值。
此外，数学史纳皮尔对数还具有对数运算的一般性质，如指数与对数互为反运算等。
数学史纳皮尔对数在实际应用中有广泛的用途。
首先，它常用于计算和解决指数函数相关的问题，如复利计算、放射性衰变等。
其次，数学史纳皮尔对数还可以用于度量数值的变化程度和比较不同数量级的数据。
此外，在科学研究和工程领域中，数学史纳皮尔对数也被广泛应用于数据处理、函数拟合和模型分析等方面。
4. 研究和观点关于数学史纳皮尔对数的研究已经有很多人进行过，他们提出了各自的观点和研究成果。
例如，XX教授在他的论文中指出，数学史纳皮尔对数在解决复杂问题时具有较高的计算效率和精确度。
而YY博士通过实验证明，数学史纳皮尔对数在处理和分析大规模数据时具有优势，能够提高计算速度和准确性。
5. 总结观点和结论综上所述，数学史纳皮尔对数是一项重要而实用的数学概念，它在计算和解题中起到了至关重要的作用。
通过本文的详细阐述和引述其他人的研究和观点，我们可以得出结论：数学史纳皮尔对数的概念和性质基础清晰，应用广泛且有效。
未来的研究方向可以进一步探索数学史纳皮尔对数与其他数学概念的关系，并在更多领域中应用其独特的计算和分析能力。
总之，数学史纳皮尔对数对于数学领域的发展和应用具有重要的意义。
对数的发明
对数的发明对数的概念：logarithms如果b^n=x，则记n=log(b)(x)。
其中，b叫做“底数”，x叫做“真数”，n叫做“以b为底的x的对数”。
log(b)(x)函数中x的定义域是x>0，零和负数没有对数；b的定义域是b>0且b≠1对数的历史：对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔（Napier，1550-1617年）男爵。
在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科。
可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。
纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数。
当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样。
在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的。
那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法。
让我们来看看下面这个例子：0、1、2、3、4、5、6、7 、8 、9 、10 、11 、12 、13 、14 、……1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、……这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂。
如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加和来实现。
比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6，256对应8；然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384。
对数的发展史
对数的发展史自古以来，人们的日常生活和所从事的许多领域，都离不开数值计算，并且随着人类社会的进步，对计算的速度和精确程度的需要愈来愈高，这就促进了计算技术的不断发展。
印度阿拉伯记数法、十进小数和对数是文艺复兴时期计算技术的三大发明，它们是近代数学得以产生和发展的重要条件。
其中对数的发现，曾被18世纪法国大数学家、天文学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”。
对数思想的萌芽对数的基本思想可以追溯到古希腊时代。
早在公元前500年，阿基米德就研究过几个10的连乘积与10的个数之间的关系，用现在的表达形式来说，就是研究了这样两个数列：1，10，102，103，104，105，……；0，1，2，3，4，5，……他发现了它们之间有某种对应关系。
利用这种对应可以用第二个数列的加减关系来代替第一个数列的乘除关系。
阿基米德虽然发现了这一规律，但他却没有把这项工作继续下去，失去了对数破土而出的机会。
2000年后，一位德国数学家对对数的产生作出了实质性贡献，他就是史蒂非。
1514年，史蒂非重新研究了阿基米德的发现，他写出两个数列：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11……；1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048……他发现，上一排数之间的加、减运算结果与下一排数之间的乘、除运算结果有一种对应关系，就在史蒂非悉心研究这一发现的时候，他遇到了困难。
由于当时指数概念尚未完善，分数指数还没有认识，面对像17×63，1025÷33等情况就感到束手无策了。
在这种情况下，史蒂非无法继续深入研究下去，只好停止了这一工作。
但他的发现为对数的产生奠定了基础。
纳皮尔的功绩15、16世纪，天文学得到了较快的发展。
为了计算星球的轨道和研究星球之间的位置关系，需要对很多的数据进行乘、除、乘方和开方运算。
由于数字太大，为了得到一个结果，常常需要运算几个月的时间。
繁难的计算苦恼着科学家，能否找到一种简便的计算方法？数学家们在探索、在思考。
数学中的三大发明对数
数学中的三大发明对数
数学中的三大发明之一是对数。
对数是古希腊数学家约翰尼
斯·尼卡洛斯·白来思在17世纪发明的。
对数是一种数学运算法则，
用于解决幂运算的问题。
对数的概念是指数运算的逆运算，即找出一
个数在给定底数下的指数。
通过对数运算，可以将复杂的指数问题转
化为简单的乘法或除法问题，从而简化计算过程。
对数在数学中被广
泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学等，对数运算的
重要性不可忽视。
另一个数学中的重要发明是数学的基本运算。
基本运算指的是数
学中最基础的四种运算法则，即加法、减法、乘法和除法。
这四种运
算法则是数学中最常用的运算方法，在实际生活和工作中经常被应用。
通过基本运算，可以进行数值的计算、推导和推理。
基本运算是数学
学习的基础，是其他高级数学概念的基础，也是数学思维和逻辑思维
的培养之一。
最后一个数学中的重大发明是数学的符号系统。
符号系统是人类
为了表达和记录数学概念而创造的一种符号体系。
数学符号系统通过
使用特定符号和规则，可以简化数学表达和计算的过程，提高数学的
表达和传播效率。
数学符号系统包括了数学运算符号、数学公式符号、数学符号和等等。
这种符号系统为数学研究和应用提供了便利和高效性，是数学发展的重要推动力之一。
指数与对数发展简史
指数与对数发展简史在乘方a^n中，其中的a叫做底数，n叫做指数，结果叫幂，读“mì”。
对数方法是苏格兰的Merchiston 男爵约翰·纳皮尔1614年在书《Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio》中首次公开提出的，(Joost Bürgi独立的发现了对数；但直到Napier 之后四年才发表)。
这个方法对科学进步有所贡献，特别是对天文学，使某些繁难的计算成为可能。
在计算器和计算机发明之前，它持久的用于测量、航海、和其他实用数学分支中。
约翰·纳皮尔/约翰·奈皮尔/约翰·内皮尔（John Napier，1550～1617），苏格兰数学家、神学家，对数的发明者。
Napier出身贵族，于1550年在苏格兰爱丁堡附近的小镇梅奇斯顿（Merchiston Castle,Edinburgh,Scotland）出生，是Merchiston城堡的第八代地主，未曾有过正式的职业。
年轻时正值欧洲掀起宗教革命，他行旅其间，颇有感触。
苏格兰转向新教，他也成了写文章攻击旧教（天主教）的急先锋（主要文章于1593年写成）。
其时传出天主教的西班牙要派无敌舰队来攻打，Napier就研究兵器（包括拏炮、装甲马车、潜水艇等）准备与其拚命。
虽然Napier的兵器还没制成，英国已把无敌舰队击垮，他还是成了英雄人物。
他一生研究数学，以发明对数运算而著称。
那时候天文学家Tycho Brahe（第谷，1546～1601）等人做了很多的观察，需要很多的计算，而且要算几个数的连乘，因此苦不堪言。
1594年，他为了寻求一种球面三角计算的简便方法，运用了独特的方法构造出对数方法。
这让他在数学史上被重重地记上一笔，然而完成此对数却整整花了他20年的工夫。
1614年6月在爱丁堡出版的第一本对数专著《奇妙的对数表的描述》（"Mirifici logarithmorum canonis descriptio"）中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数：Nap logX。
对数
(1) 底数 a > 0 a ≠ 1 . 且 (2) 零和负数没有对数，真数为正数 零和负数没有对数，真数为正数. (3) 1的对数为 ，即 loga 1 = 0. 的对数为0， 的对数为 (4) 底的对数等于 ，即 loga a = 1. 底的对数等于1， (5) 对数恒等式：aloga N = N 对数恒等式： 例1、将下列的指数式化为对数式： 、将下列的指数式化为对数式： 即 N >0
(1) 5 = 625
4
(4) 30 = 1
1 (2) 2 = 32 1m (5) ( ) = 5.73 3
−5
(3) 3a = 81 (4) 31 = 3
(1) 底数 a > 0 a ≠ 1 . 且 (2) 零和负数没有对数，真数为正数 零和负数没有对数，真数为正数. (3) 1的对数为 ，即 loga 1 = 0. 的对数为0， 的对数为 (4) 底的对数等于 ，即 loga a = 1. 底的对数等于1， (5) 对数恒等式：aloga N = N 对数恒等式： 例2、将下列的对数式化为指数式： 、将下列的对数式化为指数式： 即 N >0
5 (1) log1 4 2 = − 2 2 (3) log10 0.01 = −2
1 (2) log2 = −7 128 (4) loge 10 = 2.303
二、两种特殊的对数 (1) 通常将以 为底的对数叫做常用对数，记作 log10 N = lg N 通常将以10为底的对数叫做常用对数 为底的对数叫做常用对数， (2) 通常以无理数 e = 2.71828⋯ 为底的对数叫做自然对数， 为底的对数叫做自然对数， 记作 loge N = ln N 课堂练习： 课堂练习： 指数式与对数式互化
对数运算的性质
对数的概念
(2) log3 81 4
1
(3)27 3
1
3
思考：
1.logaN＝x中真数的取值范围是什么？ 真数的取值范围(0, ＋∞). 负数与零没有对数
2.loga1＝? logaa＝? loga1＝0，logaa＝1
数学中常见的两类对数：
(1)将以10为底的对数叫做常用对数(common logarithm), 并把 log10N 记做 lgN。
这三个方程有解吗？各有几个解？它们解如何表示呢？
一般地，如果ax＝N(a＞0,且a≠1)，那么数x叫做 以a为底N的对数(logarithm)，记作 x＝logaN， 其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
当a＞0,且a≠1时，ax＝N ⟺ x＝logaN，
例如：
(1)42 16 log4 16 2
例2 求下列各式中的x的值：
(1)
log 64
x
2 3
(3) lg100 x
(2) log x 8 6 (4) ln e2 x
练习： 求下列各式中的x的值
(1) log 1 x 3
3
(3) lg 0.00001 x
(2) log x 49 4
(4) ln e x
课堂小结
1. 对数的定义； 2. 指数式与对数式互换； 3. 底数、真数、对数知二求一。
课后作业
习题4.3 1(3)、(4)、(7)、(8)
(2)将以无理数e=2.71828...为底的对数叫做自然对数 (natural logarithm),并把 logeN 记做 lnN。
知识拓展：e与π不仅是数学史上，甚至是人类科学史上最伟大的 两个数，e不仅是无理数，还是超越数(不是任何有理系数多项式方 程的根)。以e为底的指数函数可以描述科技、经济以及社会生活中 众多增长或衰减的变化规律，它是一个与连续变化有着紧密联系 的常数，与之对应的就有以e为底的对数 lnN。
简述对数的发明
简述对数的发明
一、对数的发明
对数是由苏格兰数学家约翰·纳皮尔斯（John Napier）在1614年首次提出的。
纳皮尔斯是一位天文学家、物理学家和数学家，他的数学成就被认为是开创了近代数学的先河之一。
二、对数的定义
对数的定义是：若aⁿ=x，则称n为以a为底x的对数，记作loga(x)。
其中，a 称为底数，n称为指数，x称为真数。
三、对数的应用
对数的应用非常广泛，尤其在科学、工程和计算机领域中。
例如，在天文学中，对数可用于表示星等；在化学中，它可用于计算酸碱度；在工程中，它可用于计算声音的强度和电路的功率；在计算机科学中，Logarithm几乎是所有计算机算法的基础。
四、总结
对数的发明是数学史上的里程碑事件之一。
它不仅为科学家和工程师提供了一种非常有用的工具，而且还推动了数学和科学领域的发展。
4.3 对数
令x loga N , 由定义知ax N, 原式 ax N.
(1)3log3 5 _5_;2log2 5log5 7 __; 7 5log5 7 7
(2)61log6 2 _3_;
66 6log6 2 2
(3)解方程 : 3log3 (2x1) 81
方程的解x 40.
2x 1 81
4.3对数
4.3.1对数的概念
数学背景
查表：数的乘法/乘方/开方→指数加/减法等
16世纪，随着哥白尼“日心说” 请计算下面的式子(不使用计算器)：
的盛行，天文学也蓬勃发展.欧 洲人渐渐热衷于地理探险和海 洋贸易，特别是地理探险需要
(1)32 256 25 28 258 213 (2)4096 128 212 27 2127 25
停止喝酒后,100mL血液中酒精含量y与时间x(单位: h)的关系为
y 100(1 30%)x 100 0.7x 要使y 20,即100 0.7x 20, 即0.7x 0.2, 当0.7x 0.2时, x log0.7 0.2 4.51, 该驾驶员至少要经过4.5h才能驾驶.
x log3 7 ?
aloga MN M N aloga M loga N loga MN loga M loga N
a M a loga
M N
loga M loga N
loga
M N
loga M
loga
N
N
loga M n loga amn mn n loga M loga M n n loga M
提出问题 对数恒等式: aloga N N
Q1:引入对数之后，自然应研究对数的运算性质，怎样研究？
Q2:知道了指数与对数间的关系，能否利用指数幂运算性质 得出相应的对数运算性质？
数学史纳皮尔对数
数学史纳皮尔对数
在数学中，自然对数的底数是一个常见的数学常数，通常用字母�e 表示。
纳皮尔对数是以数学家约翰·纳皮尔（John Napier）的名字命名的，他是苏格兰的数学家和神职人员。
纳皮尔对数的定义：
1.纳皮尔对数的定义：
•纳皮尔对数是以e为底的对数，通常用ln 表示。
数学上表示为ln(x)。
2.对数的定义：
•如果by=x，那么y是以b为底x的对数。
换句话说，y=log b(x)。
3.纳皮尔对数的性质：
•ln(1)=0ln(1)=0，因为e0=1。
•ln(e)=1，因为e1=e。
•ln(a⋅b)=ln(a)+ln(b)，即纳皮尔对数的乘法法则。
•ln(ba)=ln(a)−ln(b)，即纳皮尔对数的除法法则。
纳皮尔对数的应用：
1.微积分与解析几何：
•纳皮尔对数常常在微积分和解析几何中出现，特别是在处理指数和对数函数的微分和积分时。
2.概率与统计：
•在概率和统计中，纳皮尔对数常被用于处理概率和对数似
然比等问题。
3.金融学：
•在金融学中，纳皮尔对数经常用于计算复利和展示资产的增长。
4.工程学：
•在工程学中，纳皮尔对数也经常用于处理信号处理和系统动力学等问题。
纳皮尔对数在数学和应用领域都有广泛的应用，是许多重要数学理论和科学问题的基础。
对数函数数学分析：
<对数函数>数学分析：对数函数作为学习了对数以后，解决对数求值中的困难，例如已知2x =10，如何求x 的值，为了解决此类问题，我们引入对数函数，讲清了对数函数学习的必要性后，我们将定义对数函数，并结合指数函数的性质，利用类比的方法，对对数函数的，图象，定义域，值域，增减性进行研究。
具体分析如下：一、知识结构分析知识点1：对数函数概念的定义：函数log (0,1)a y x a a =>≠叫做对数函数．概念的类型是属于“形式结构”定义，但定义的过程方式是属于内涵定义．在定义的过程中，是由0(0)y x >>开始的，为突出定义的科学性，强调要有log (0,1,0)a y x a a x =>≠>，但是给出函数log a y x =为对数函数后，就明确了有0x >，0,1a a >≠．定义蕴含分类讨论思想，数形结合思想．由定义的过程知对数函数与指数函数互为反函数，因而在研究的方法上可借助指数函数的研究方法进行，也可以转化为指数函数进行研究．从能力上体现对类比推理能力的培养训练，也包含对转化思想方法的应用．借助指数函数的限制函数定义，可定义对数函数的限制函数．知识点2：对数函数的性质（1）值域是实数集R ；（2）在定义域内，当1a >时是增函数，当01a <<时是减函数；（3）图象都通过点（1，0）．没有将定义域(0,)x ∈+∞归为性质是为了强化对函数定义的理解，强化通性通法，但也可以将定义域归为首条性质．没有将性质以表格形式表述是为了强化对研究函数一般方法的理解与掌握，重过程、轻结论；重通性通法的应用，淡化对结论的记忆．性质（3）表明对数函数存在唯一固定的零点1，探究函数是否存在零点也是研究函数性质的重要内容．由函数2log y x =与12log y x =的图象给出对数函数性质体现：观察函数的图象是得出函数性质的重要方法之一，性质是对概念主要规律的刻划，可用归纳的方法得到．可以多用几个函数的图象强化，由对数运算法则知212log log x x =-，既函数2log y x =与12log y x =的图象是关于x 对称的，当对数函数的底互为倒数时可用对称的方法研究，突出对对称（奇、偶）方法和转化方法的应用． 画对数函数草图的基本策略：三点法——（1a，1-）、（1，0）、（a ，1）． 二、例题设计意图分析例1：求下列函数的定义域（0,1a a >≠）：（1）2log a y x =； （2）log (4)a y x =-．本例示范对对数函数定义的理解，所给函数都不是对数函数，但是基本型都是属于对数函数型，可借助对数函数的定义进行思考．对数的底数都为a ，强化定义域与底数无关．（1）的真数为“二次”型，强化对法则的认识，函数2log a y x =（0,1a a >≠）与2log a y x =（0,1a a >≠）是不同的，不能将函数的法则转化，还特别要注意2x 是大于或等于0的，不是正数，隐含对学生情感态度的考查．对20x >的求解既体现运算能力的考查，也体现对数形结合思想的应用，本例的解答还给出了表述形式的范例．（2）强化对一次不等式解法的复习巩固，相对（1）更为简单一些．从例1的解答看，在对数型复合函数log ()a y g x =中，函数()g x 仅限于一次函数或二次函数型．例2：（1）比较2log 3与2log 3.5的大小；（2）已知0.70.7log (2)log (1)m m <-，求m 的取值范围．本例是示范对性质（2）的理解与应用，第（1）题是当底数大于1时，已知自变量的大小关系，确定函数值的大小关系；第（2）题是已知底数，且当底数小于1时，已知函数值的大小关系，确定真数的大小关系．解答两小题都要先构造出对数函数，突出对函数思想方法应用意识的强化．第（2）是属于对性质的逆用，要逆向思维，难度比第（1）题大，能力要求高．三、练习题设计意图分析练习A1、复习巩固对对数函数性质归纳过程的认识，进一步强化对数形结合思想的应用和对研究函数性质通性通法的理解．2、与例题1对应，不仅巩固对对数函数定义的理解，还突出了对性质（3）的应用，弥补了例题类型的不足．（1）巩固对定义的理解；（2）强化对性质（3）的理解与应用，体现数形结合；（3）巩固对定义的理解，但提高了运算技能的要求；（4）强化对性质（3）的理解与应用，体现数形结合．3、与例题2的（1）对应，巩固对性质（2）的应用，是基本要求．四个小题分别为两个底数大于1，两个底数小于1，在底数大于1的第（1）小题还复习了对常用对数符号的记忆，要注意强化思维过程．练习B1、与例题2类似，已知函数的大小关系，确定真数或底数的大小关系．（1）已知真数及函数值的大小关系，确定底数的范围，真数小的函数值大，属于减函数型；（2π的大小关系，对运算能力要求较高，属于增函数型；（3）与例题2的第（2）题相同，是已知底数，且当底数小于1时，已知函数值的大小关系，确定真数的大小关系．（4）可用两方法，直接应用性质（3）或构造0=2log 1，体现能力要求．2、（1）既考查对常用对数符号的识别，又考查对性质（3）的应用；（2）与例题1的（1）相对应，巩固对定义的理解，同时考查如何确定使2(1)0x ->的x 的范围，综合性相对而言较高；（3）、（4）强化对函数都经过（a ，1）点的认识，同时强化对性质（2）的应用．模块一必修五，数列教学设计框架，1.1 知识结构数列这一章应主要包括一般的数列、等差数列、等比数列以及数列的应用四部分，重点是等差数列以及等比数列这两部分。
3.2.1 对数
3. 2.1 对数江苏省新海高级中学 李 静教材分析:本章是第2章《函数》内容的继续和具体化，是对函数内容的深化和提高．本章内容是学生学习函数知识的过程中的重要环节，既是函数知识的进一步扩展，也是函数思想方法的具体运用．在上一节，学生已经学习了指数及指数函数的相关内容，这为过渡到本节的对数学习起着铺垫作用．对数是学习对数函数的基础，而对数函数是本章学习的重要的基本初等函数之一，作为常用数学模型在解决社会生活中的实例有广泛的应用．本节课的主要内容是对数概念及指、对数互化、对数运算等内容．本节学习内容蕴含转化、化归数学思想，类比与对比等基本数学方法．对数与指数的互化是对指数函数及其性质的巩固，也是后面学习对数函数的基础．教学目标：1．理解对数的概念；能熟练地进行指数式与对数式的互化；会根据对数的概念求一些特殊的对数式的值；了解常用对数与自然对数以及这两种对数的记法．2．通过观察、比较、分析、综合、归纳、类比、抽象等，培养学生理性思维能力．经历以实际问题为知识生长点抽象出数学概念的过程．3．通过对数概念的学习，使学生体会到指数与对数之间的互化关系，蕴含着数学中相互转化的思想，感受数学的整体性，同时使学生体会到类比学习方法在数学学习中的作用，从而激发学生的学习兴趣．4．通过了解对数的发明者与发展史及其价值，使学生明白社会需求是数学发展的动力，感受数学对社会发展的推动作用，了解数学家的创新精神，从而逐步形成正确的数学观，激发学生学习数学的兴趣和欲望，丰富学生的学习数学的情感，增强学生的数学素养． 教学重点： 对数概念的理解，指数式和对数式的互化．教学难点： 对数概念的引入与理解．教学方法： 互动探究教学过程：一、设置问题、产生矛盾：很高兴来到美丽的辅仁高级中学．曾子曰：“君子以文会友，以友辅仁．”希望通过这节课的交流，我们可以成为朋友，共同提升数学素养．就让我们从一个实际问题开始：问题一：光在某种介质中传播，每经过1cm ，其强度减弱为原来的一半，假设最初的强度是1，（1）经过 2 cm 后，强度是多少？（2）经过 x cm 后，强度y 是多少？（3）经过多少cm ，强度为0.125？（4）经过多少cm ，强度为61呢？ 师：问题（4）我们只要研究6121=⎪⎭⎫ ⎝⎛x的解．问题二：方程6121=⎪⎭⎫ ⎝⎛x 的解存在吗？是多少？ 师：请同学们先来判断一下，这个解存在吗？唯一吗？（讨论后提问）师：借助图像可以说明有解，这个解就是在函数x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21中，与函数值61相对应的变量x ．同学们都说有解，那么这个解是多少？你会表示吗？用我们学过的运算能求出来吗？（思考）显然，我们无法在以前学习的知识中找到一种运算求出这个解．在我们以往的学习历程中是否遇到过类似的困境：明知有解，却苦于无法表示？【设计意图】问题一到问题二是由实际需要抽象出数学问题．问题二由浅入深，通过先研究存在性，再追究“解是多少”，降低了问题研究难度的同时，体现了研究该问题的可行性．通过存在而无法求解，引起冲突，生成知识增长点．二、追溯历史、推出定义：让我们共同追溯数字运算的学习历程，看看能不能从中得到一些启示．这是小学课本上的问题：分数问题：“4个苹果平均分成2份，每人分得2个；2瓶矿泉水平均分成2份，每人分得1瓶；（这些都能用自然数表示）1个蛋糕平均分成2份，每人分得半个，”半个能不能用自然数表示？（不能）我们如何解决的？引入一个新的符号——分号，得到一个新形式的数——分数．大家想一想，初中遇到过类似的状况吗？（提问）平方根问题：时光飞逝，到了初中，我们学习了平方的概念后，知道了方程42=x 的解为有理数2和-2，而方程22=x 的解能不能用有理数表示呢？（不能）我们同样发现有解却无法表示，于是引入一个新的符号——根号，得到一个新形式的数“2”．师：请大家总结一下，在这两个例子中，我们突破运算困境的途径是什么呢？（引入新的符号）实际上，像这样的困境我们今后还会遇到．【设计意图】对数概念理解难，体会对数符号生成的必要性更难．在问题二后，不急于像课本一样，直接给出对数概念．所谓“授人以鱼，不如授人以渔”．通过温故知新，让学生感受引入新概念的必要性，水到渠成引入概念，培养学生面对新的运算瓶颈如何突破的能力，为后面的学习（例如复数运算）培养自学能力，做到承前启后．同时，让学生经历数学运算的发展历程，感受数学文化．师：回到刚才的问题“方程6121=⎪⎭⎫ ⎝⎛x的解是多少？”，你有办法了吗？ 生：创造新的符号．师：是的．创造一个新的符号，引进一个新形式的数．引进一个什么形式的数呢？这里的指数是由什么确定的呢？（提问）师：是的．这个指数是由21和61确定的．因此我们要创造一个用21和61表示的数！早在400年前，数学家纳皮尔就为我们创造好了这样的符号，同学们想不想欣赏一下这块数学瑰宝呢？建构1：对数运算如果x 满足6121=⎪⎭⎫ ⎝⎛x ，记x =6121log ，也就是底数为21时，与幂值61相对．应的数．，简称对数． 对于这个新形式的数，大家有什么认识？它表示什么？（畅所欲言）师：显然6121log 是一个数，一个新形式的数，一个无理数，一个使得6121=⎪⎭⎫ ⎝⎛x 成立的数．同时，6121log 也表示一种运算，由底数和幂求指数的运算——对数运算． 师：你能由此说出6121log 21⎪⎭⎫ ⎝⎛等于多少吗？（分别从代数关系和图形关系解读）师：至此，我们可以回答开头的问题，经过6121logcm ，强度是61．我们用科学计算器可以算出这个数约等于2.58cm ． 师：这个指数方程的解你会表示了，其它的指数方程呢？621=⎪⎭⎫ ⎝⎛x ？612=x ？ 师：对于任意的指数式N a b =，你都能用表示出这里的指数b 吗？让我们看完整的定义！建构2：对数概念对数的概念：一般地，如果)1,0(≠>a a a 的b 次幂等于N ，即N a b =，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作b N a =log ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．点评：1、对于这个新符号，请大家注意规范书写，尤其注意将底数写在下标的位置，同时也要注意它的规范读法，按照定义读．log a N2、我们把N a b =叫做指数式，把b N a =log 叫做对数式．【设计意图】建构1一方面从指数运算与对数运算的互逆关系出发，体会指数式与对数式的内在联系，解决上一环节中提出的问题，另一方面也为学生在建构2自主研究对数的概念做铺垫．探究1：（字母名称）你能说出a ，b ，N 在两式中的名称吗？（见上图）．师：原来指、对数运算的关系就如同加减运算和乘除运算一样，当数字的位置发生了变化，其含义和名称也随之改变，而底数是未变的．探究2：（底数和真数的范围）两式中三个量的名称不尽相同，范围相同吗？ 生：相同．a >0且a ≠1，b ∈R ，N > 0．师：没错，也就是说，“真数”一定是“正数”，负数与零没有对数．师：由定义可知，指数式N a b =与对数式b N a =log 表示的是a ，b ，N 这三个量之间的同一个关系的不同形式，在底数一定的情况下，指数运算是由b 求N ，对数式是由N 求b ，可见，指对数运算是一对逆运算！【探究1~2设计意图】探究1进一步揭示指对数的内在联系，同时强化字母名称，为后面的指对数互化打下基础．探究2由指对数的等价关系指出了范围的等价性，同时范围的等价性也使得指对数等价关系更加完整．三、应用定义、深化理解：师：大家共同努力，给出对数的定义，并且明确了指、对数的关系．同学们掌握了吗？我们改写两个试试看！( 82=64、3log 92=)老师考考大家，你能不能快速完成这些式子的改写呢？例1．将下列指数式改写成对数式：⑴24=16； ⑵x =⎪⎭⎫ ⎝⎛-621； ⑶2010=a ； ⑷e 0=1．解：⑴416log 2=; ⑵621log -x=; ⑶a =20log 10; ⑷01log =e ．师：如何将指数式化为对数式？(底数依然是底数，指数变为对数，幂为真数) 师：（3）、（4）两题中的底数，我们今后会经常在计算中遇到．常用对数：由于我们通常所用的数字是以10为基数的，因此以10为底的对数称为常用对数，如12log ,2log 1010等，数学讲求简洁美，我们给它一个特殊的符号，将对数N 10log 简记为N lg ，如12lg ,2lg 等．（3）中的对数式还能怎么写呢？(20lg ＝a ) 自然对数：在自然科学中经常会用到一个无理数e （e=2.71828…），在我们今后的计算中也会经常出现．以e 为底的对数称为自然对数，正数 N 的自然对数N e log 一般简记为N ln ，如15log ,2log e e 分别记为15ln ,2ln ．（4）中的对数式还能怎么写呢？(01ln =)由指数式能改成对数式，逆回来，对数式能改写成指数式，你会吗？ 例2．将下列对数式改写成指数式：⑴225log 5=； ⑵23log 31-=； ⑶-1.699a lg =； （4）b =12ln ． 解：⑴2552=； ⑵3312=⎪⎭⎫ ⎝⎛-； ⑶ 1.69910a -=； （4）e b =12． 师：如何将对数式化为指数式？（底数依然是底数，对数为指数，真数为幂） 师：在例1、例2的互化中，底数始终不变．因此关键在于认清底数．对于隐性的底数改写时要还原出来．【例1、例2设计意图】对数式与指数式的互化是在解决对数问题时运用化归思想的桥梁．在刚开始学习对数问题时，我们可以把它化归为指数问题，利用分数指数幂有关的运算的性质及其方法技巧来解决；反过来我们也可以把较复杂的指数式的有关问题转化为对数问题，从而使问题得到简捷的解法．可见指对数式的互化是进一步研究的基础，同时也是对概念的巩固．师：在例2中如果不给出结果，要你求出对数值，你还会吗？例3．求下列各式的值：（1）64log 2 ； （2）27log 9．解：（1）664log 2=；（怎么算出？引导回归定义，直接由指数式化为所求的对数式）（2）（引导回归定义，向指数式寻求帮助）设27log 9=x ，则根据对数的定义知，279=x ，即3233=x ，得32=x ，（此处的推理依据是什么呢？）（指数函数的单调性）因此，23=x ，所以2327log 9=． 【例3设计意图】由例3的过程再次让学生感受log a N 首先是一个符号：它是用底数a 和幂N 表示对应的指数的符号，是指数式x a N =的另一种等价表示形式log a N x =；其次由例3的结果明白log a N 是一种运算：已知底数a 和幂N 求指数的运算，即求关于x 的方程x a N =的解的运算．四、归纳类比、提升能力：其他同学跃跃欲试，那就让我们趁热打铁，求几个值，动动手，试试看！ 探究3：（几个重要等式）练习：（1）=lg100 （2）=32log 8 （3）=1log 51（4）=3log 3 （5）=81log 3 （6）=31log 3 师：通过计算我们可以反思，是不是每一个对数式都需要化为指数式求解呢？实际上，通过定义可以看出，N a log 的含义也就是“求N 是a 的多少次方”．那么，大家看100lg 就是求什么呢？（求100是10的多少次方）师：对于简单的对数求值，解读符号的含义就可以直接得到答案．师：我们再来回顾一下求值过程．大家可以试着从中提取出更加一般的公式．（变式引导归纳）大胆猜想还要小心求证．这些等式成立吗？（逐个证明） 生1：(1) 0=1log a ；（1的对数等于0）(2) 1=log a a ；（底数的对数等于1）(3)b a b a =log ．生2：如果将b a b a =log ，化成指数式，就是b b a a =，显然是成立的．生3：设b a a x log =，则根据对数的定义知，b x a a =，得b x =，所以b a b a =log ．师：两个方法都是从定义出发，一个是指对数互化，一个是像例三这样利用方程思想以求代证．看来定义是我们解决问题的重要依据，那就让我们重新观察一下定义中的两个式子，你能由定义直接证出这个等式吗？（引导观察）由定义中的两式能不能直接推导出b a b a =log ？（引导观察字母变化）师：真是众里寻它千百度，原来它在定义中啊！原来只要将指数式代入对数式，消去N 就可以得到结论了．如果尝试将对数式代入到指数式，能得到怎样的等式呢？（N a N a =log ）师：大家是否见过类似结构的式子？（612161log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛） 师：这个等式我们称为对数恒等式．这几个等式将会简化我们求对数值的过程，后两个公式在运用时一定要注意整理成“同底”的结构，希望大家能通过具体运算记住它们．【探究3设计意图】探究3让学生体验由计算结果“广泛联系、思维发散”，再“高度概括，思维敛聚”的过程，通过归纳类比得到两个性质和指对数恒等式，是对本节课内容的总结提升．在教学中，不仅注重公式本身的运用，更加注重在公式生成过程中学生思维能力的提升．五、回顾反思，完善认知：这节课我们认识了一种新形式的数——对数，对数让我们称为了朋友，亲爱的朋友们，你们都掌握了哪些关于对数的知识呢？（提问）师：总结的很全面！这节课同学们很好地展示了风采！不愧为钱钟书老先生的校友！老师也诗兴大发，赋诗一首，送给大家：“心生疑惑求解难，追溯历史引概念；互化求值导公式，一切尽在定义间！”备用练习：求下列各式的值：（1）64log 4；（2）7log 7；（3）81log 2；（4）21ln e ；（5）1000lg ；（6）lg(lne)． 答案：（1）3；（2）21；（3）-3；（4）-2；（5）3；（6）0．数学史简介：（备用）在16、17世纪之交，天文、航海等事业中的计算越来越精确，数字计算的工作量也越来越繁重，迫切需要改进计算方法．在这样的历史条件下，纳皮尔创立了对数表，并发表了《论述对数的奇迹》一书．“对数”这个术语的意思是“对照表中的数”．同学们可能想象不到，那时指数的概念尚未完成，也没有指数符号！直到18世纪，欧拉才发现指数与对数的天然关系．对数的建立先于指数，堪称历史上的珍闻！纳皮尔不从指数出发，怎样得到对数的概念的呢？有兴趣的同学们可以课后上网查找资料．六、课后巩固，矫正反馈：1、课本P79习题3.2(1)1，2，3(1)～(4)．2、阅读79页的材料，了解对数的发展史．3、预习下一节《对数的运算性质》．。
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《4.3.1.对数的概念》
一、教材分析
（一）教材的地位和作用
《对数的概念》是职一教材第四章《指数函数与对数函数》的第三节对数的第一课时，对数的概念对于职高生是一个全新的概念。
此前，学生已学习了指数运算法则及指数函数，明白了指数运算是已知底数和指数求幂值，而对数则是已知底数和幂值求指数，二者是互逆的关系。
对数的概念比较晦涩难懂，加入数学文化史的介绍，既加深了学生对指数的理解，又为后面对数的运算性质及对数函数的学习做了充分准备，起到了承上启下的作用。
（二）教学目标
1、教学目标确立的依据：
（1）依据全国中等职业教育数学教学大纲
（2）依据职高学生现有数学知识水平
2、教学目标的确定：
（1）认知目标：理解对数的概念
（2）能力目标：a、会进行指数式与对数式之间的互化
b、会用对数的性质简单求值
（3）情感目标：学生体验发现数学概念的过程，激发学生热爱数学，探索新知的能力
3、教学重点、难点的确定：
教学重点：指数式与对数式的关系及互化
教学难点：对数的概念
二、教学过程
（一）衔接导入，创设情景
通过竹子生长速度规律提问“2的多少次幂等于13？”引入已知底数和幂，如何求指数的问题，为解决这一问题，必须引入一个新的数——对数。
对数的发明人就是纳皮尔。
纳皮尔是天文学家、数学家。
于是用了20年的时间，进行了数百万次的计算，发明了对数和对数表，堪称学霸中的战斗机。
"看起来在数学实践中，最麻烦的莫过于大数字的乘法、除法、开平方和开立方，计算起来特别费事又伤脑筋，于是我开始构思有什么巧妙好用的方法可以解决这些问题。
"
--约翰·纳皮尔，《奇妙的对数表的描述》（1614）
为了理解对数计算的优势，我们通过案例来说明，下面的表格里有两个数列：
第1行是正整数，1,2,3,4,5,6,7,8,9,10他们是等差的；
第2行是2的倍数，2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024，他们是等比的；
要计算第2行的等比数列中任意两个数的乘积，例如16×64；
先到第1行的等差数列，寻找对应的数，16对应4，64对应6；
然后做加法,再查找10所对应等比数列的1024；
得到计算结果就16×64=1024.
借助这个表，仅靠心算就可以用4+6=10的加法，完成麻烦的16×64乘法，这个表就是极度简化的对数表。
以上仅仅是对数的优点之一，对数的易于计算，大大减少了数学家、天文学家的计算量。
拉普拉斯认为“对数的发现，以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”
伽利略说过“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。
”
（二）新授
1、对数的概念
如果a (a ＞0且a ≠1)的b 次幂等于N ，即 a b ＝N ，那么幂指数 b 叫做以a 为底 N 的对数． “以a 为底 N 的对数b ”记作b ＝log a N (a ＞0且a ≠1)，
其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
注意：(1) 底数的限制：a ＞0且a ≠1；
(2) 对数的书写格式；
(3) 对数的真数大于零．
2、对数式与指数式的互化：a b ＝N ⇔ b ＝log a N
（三）教师例题示范与学生练习
例1 将下列指数式写成对数式：
（1）411()216=； （2）1
3273=； （3）31464
-=； （4）10x y =． 例2 将下列对数式写成指数式： （1）2log 325=； （2）31log 481
=-； （3）10log 10003=； （4）2
1log 38=-． 例3 求下列对数的值：
(1) 3log 3； (2) 7log 1．
（四） 课堂总结
1、对数的概念
2、指数式与对数式的关系式：a b ＝N ⇔ b ＝log a N
3、对数的性质
(1) log a 1＝0，即1的对数等于零；
(2) log a a ＝1，即底数的对数等于1；
(3) 零和负数没有对数，即真数N 大于零。
（五）思考题的解疑
竹子第1天，长2厘米；第2天，为4厘米；第3天，为8厘米。
按照这样的生长速度，问：第几天后，竹子长为13厘米？
（六）布置作业
教材P80 4.3.1
三、教学反思
本课题以“启发式”教学法为主，辅以数学史介绍，并充分应用现代教学媒体，讲练结合，调动了学生的学习积极性，激发学生的潜在学习兴趣，发挥其主观能动性。
让每位学生都真正地动起来，积极参与到课堂学习中来，并很好的掌握本节知识。