计算方法各章复习概要与典型例题
计算方法各习题及参考答案
计算⽅法各习题及参考答案第⼆章数值分析2.1 已知多项式432()1p x x x x x =-+-+通过下列点：试构造⼀多项式()q x 通过下列点：答案：54313()()()3122q x p x r x x x x x =-=-++-+． 2.2 观测得到⼆次多项式2()p x 的值：表中2()p x 的某⼀个函数值有错误，试找出并校正它．答案：函数值表中2(1)p -错误，应有2(1)0p -=．2.3 利⽤差分的性质证明22212(1)(21)/6n n n n +++=++ ．2.4 当⽤等距节点的分段⼆次插值多项式在区间[1,1]-近似函数xe 时，使⽤多少个节点能够保证误差不超过61102-?．答案：需要143个插值节点．2.5 设被插值函数4()[,]f x C a b ∈，()3()h H x 是()f x 关于等距节点01n a x x x b =<<<= 的分段三次艾尔⽶特插值多项式，步长b a h n-=．试估计()3||()()||h f x H x ∞-．答案：()443||()()||384h M f x H x h ∞-≤．第三章函数逼近3.1 求()sin ,[0,0.1]f x x x =∈在空间2{1,,}span x x Φ=上最佳平⽅逼近多项式，并给出平⽅误差．答案：()sin f x x =的⼆次最佳平⽅逼近多项式为-522sin ()0.832 440 710 1.000 999 10.024 985 1x p x x x ≈=-?+-，⼆次最佳平⽅逼近的平⽅误差为0.122-1220(sin )())0.989 310 710x p x dx δ=-=??．3.2 确定参数,a b c 和，使得积分2121(,,)[I a b c ax bx c -=++-?取最⼩值．答案：810, 0, 33a b c ππ=-== 3.3 求多项式432()251f x x x x =+++在[1,1]-上的３次最佳⼀致逼近多项式()p x ．答案：()f x 的最佳⼀致逼近多项式为323()74p x x x =++． 3.4 ⽤幂级数缩合⽅法，求() (11)x f x e x =-≤≤上的３次近似多项式6,3()p x ，并估计6,3||()()||f x p x ∞-．答案：236,3()0.994 574 650.997 395 830.542 968 750.177 083 33p x x x x =+++， 6,3||()()||0.006 572 327 7f x p x ∞-≤3.5 求() (11)xf x e x =-≤≤上的关于权函数()x ρ=的三次最佳平⽅逼近多项式3()S x ，并估计误差32||()()||f x S x -和3||()()||f x S x ∞-．答案：233()0.994 5710.997 3080.542 9910.177 347S x x x x =+++，32||()()||0.006 894 83f x S x -=，3||()()||0.006 442 575f x S x ∞-≤．第四章数值积分与数值微分4.1 ⽤梯形公式、⾟浦⽣公式和柯特斯公式分别计算积分1(1,2,3,4)n x dx n =?，并与精确值⽐较．答案：计算结果如下表所⽰4.2 确定下列求积公式中的待定参数，使得求积公式的代数精度尽量⾼，并指明所确定的求积公式具有的代数精度．（１）101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++?（２）11211()[(1)2()3()]3f x dx f f x f x -≈-++? （３）20()[(0)()][(0)()]2h h f x dx f f h h f f h α''≈++-?答案：（１）具有三次代数精确度（２）具有⼆次代数精确度（３）具有三次代数精确度．4.3 设10h x x =-，确定求积公式12300101()()[()()][()()][]x x x x f x dx h Af x Bf x h Cf x Df x R f ''-=++++?中的待定参数,,,A B C D ，使得该求积公式的代数精确度尽量⾼，并给出余项表达式．答案：3711,,,20203020A B C D ====-，(4)6()[]1440f R f h η=，其中01(,)x x η∈．4.4 设2()P x 是以0,,2h h 为插值点的()f x 的⼆次插值多项式，⽤2()P x 导出计算积分30()hI f x dx =?的数值积分公式h I ，并⽤台劳展开法证明：453(0)()8h I I h f O h '''-=+．答案：3203()[(0)3(2)]4h h I p x dx h f f h ==+?．4.5 给定积分10sin xI dx x =（１）运⽤复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过31102-?．（２）取同样的求积节点，改⽤复化⾟浦⽣公式计算时，截断误差是多少？（３）要求的截断误差不超过610-，若⽤复化⾟浦⽣公式，应取多少个节点处的函数值？答案：（１）只需7.5n ≥，取９个节点，0.946I ≈（２）4(4)46111|[]||()|()0.271102880288045n b a R f h f η--=-≤=? （３）取７个节点处的函数值．4.6 ⽤变步长的复化梯形公式和变步长的复化⾟浦⽣公式计算积分10sin xI dx x =?．要求⽤事后误差估计法时，截断误不超过31102-?和61102-?．答案：使⽤复化梯形公式时，80.946I T ≈=满⾜精度要求；使⽤复化⾟浦⽣公式时，40.946 083I s ≈=满⾜精度要求．4.7（１）利⽤埃尔⽶特插值公式推导带有导数值的求积公式2()()[()()][()()][]212ba b a b a f x dx f a f b f b f a R f --''=+--+?，其中余项为 5(4)()[](), (,)4!30b a R f f a b ηη-=∈．（２）利⽤上述公式推导带修正项的复化梯形求积公式020()[()()]12Nx N N x h f x dx T f x f x ''≈--?，其中 0121[()2()2()2()()]2N N N hT f x f x f x f x f x -=+++++ ，⽽ 00, (0,1,2,,), i N x x ih i N Nh x x =+==- ．4.8 ⽤龙贝格⽅法计算椭圆2214x y +=的周长，使结果具有五位有效数字．答案：49.6884l I =≈．4.9确定⾼斯型求积公式0011()()()x dx A f x A f x ≈+?的节点0x ，1x 及系数0A ，1A ．答案：00.289 949x =，10.821 162x =，00.277 556A =，10.389 111A =．4.10 验证⾼斯型求积公式00110()()()x e f x dx A f x A f x +∞-≈+?的系数及节点分别为0001 2 2A A x x ===-=+第五章解线性⽅程组的直接法5.1 ⽤按列选主元的⾼斯-若当消去法求矩阵A 的逆矩阵，其中11121 0110A -?? ?= ? ?-??．答案： 1110331203321133A -?? ? ?=---5.2 ⽤矩阵的直接三⾓分解法解⽅程组1234102050101312431701037x x x x= ? ? ? ? ? ? ? ? ??答案： 42x =，32x =，21x =，11x =．5.3 ⽤平⽅根法(Cholesky 分解法)求解⽅程组12341161 4.25 2.750.51 2.75 3.5 1.25x x x -?????? ??? ?-=- ??? ? ??? ???????答案： 12x =，21x =，31x =-．5.4 ⽤追赶法求解三对⾓⽅程组123421113121112210x x x x ?????? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ?????答案：42x =，31x =-，21x =，10x =．第六章解线性代数⽅程组的迭代法６.１对⽅程1212123879897x x x x x x x -+=??-+=??--=?作简单调整，使得⽤⾼斯－赛得尔迭代法求解时对任意初始向量都收敛，并取初始向量(0)[0 0 0]T x =，⽤该⽅法求近似解(1)k x+，使(1)()3||||10k k x x +-∞-≤．答案：近似解为(4)[1.0000 1.0000 1.0000]Tx =．６.２讨论松弛因⼦ 1.25ω=时，⽤SOR ⽅法求解⽅程组121232343163420412x x x x x x x +=??+-=??-+=-? 的收敛性．若收敛，则取(0)[0 0 0]T x=迭代求解，使(1)()41||||102k k x x +-∞-<．答案：⽅程组的近似解为*1 1.50001x =，*2 3.33333x =，*3 2.16667x =-．６.３给定线性⽅程组Ax b =，其中111221112211122A ?? ? ?=，证明⽤雅可⽐迭代法解此⽅程组发散，⽽⾼斯－赛得尔迭代法收敛．６.４设有⽅程组112233302021212x b x b x b -?????? ??? ?= ??? ? ??? ?-??????，讨论⽤雅可⽐⽅法和⾼斯－赛得尔⽅法解此⽅程组的收敛性．如果收敛，⽐较哪种⽅法收敛较快．答案：雅可⽐⽅法收敛，⾼斯－赛得尔⽅法收敛,且较快．６.５设矩阵A ⾮奇异．求证：⽅程组Ax b =的解总能通过⾼斯－赛得尔⽅法得到．６.６设()ij n nA a ?=为对称正定矩阵，对⾓阵1122(,,,)nn D diag a a a = ．求证：⾼斯－赛得尔⽅法求解⽅程组1122D AD x b --=时对任意初始向量都收敛．第七章⾮线性⽅程求根例７.４对⽅程230xx e -=确定迭代函数()x ?及区间[,]a b ，使对0[,]x a b ?∈，迭代过程1(), 0,1,2,k x x k ?+== 均收敛，并求解．要求51||10k k x x -+-<．答案：若取2()x x ?=，则在[1,0]-中满⾜收敛性条件，因此迭代法121, 0,1,2,k x k x k +== 在(1,0)-中有惟⼀解．取00.5x =-，*70.458960903x x ≈=-．取2()x x ?=，在[0,1上满⾜收敛性条件，迭代序列121, 0,1,2,k x k x k +== 在[0,1]中有惟⼀解．取00.5x =，*140.910001967x x ≈=- 在[3,4]上，将原⽅程改写为23xe x =，取对数得2ln(3)()x x x ?==．满⾜收敛性条件，则迭代序列21ln(3), 0,1,2,k k x x k +== 在[3,4]中有惟⼀解．取0 3.5x =， *16 3.733067511x x ≈=．例７.６对于迭代函数2()(3)x x c x ?=+-，试讨论：（１）当c 为何值时，1()k k x x ?+=产⽣的序列{}k x（２）c 取何值时收敛最快？（３）取1,2c =-()x ?51||10k k x x -+-<．答案：（１）(c ∈时迭代收敛．（２）c =时收敛最快．（３）分别取1, 2c =--，并取0 1.5x =，计算结果如下表７.７所⽰表７.７例７.13 设不动点迭代1()k x x ?+=的迭代函数()x ?具有⼆阶连续导数，*x 是()x ?的不动点，且*()1x ?'≠，证明Steffensen 迭代式21(), (), 0,1,2,()2k k k k k k k k k k k y x z x k y x x x z y x+===-?=-?-+?⼆阶收敛于*x ．例7.15 设2()()()()()x x p x f x q x f x ?=--，试确定函数()p x 和()q x ，使求解()0f x =且以()x ?为迭代函数的迭代法⾄少三阶收敛．答案：1()()p x f x ='，31()()2[()]f x q x f x ''=' 例７.19 设()f x 在[,]a b 上有⾼阶导数，*(,)x a b ∈是()0f x =的(2)m m ≥重根，且⽜顿法收敛，证明⽜顿迭代序列{}k x 有下列极限关系：111lim2k kk k k k x x m x x x -→∞-+-=-+．第⼋章矩阵特征值8.1 ⽤乘幂法求矩阵A 的按模最⼤的特征值与对应的特征向量，已知5500 5.51031A -?? ?=- ? ?-??，要求(1)()611||10k k λλ+--<，这⾥()1k λ表⽰1λ的第k 次近似值．答案：15λ≈，对应的特征向量为[5,0,0]T-；25λ≈-，对应的特征向量为[5,10,5]T --． 8.2 ⽤反幂法求矩阵110242012A -??=-- -的按模最⼩的特征值．知A 的按模较⼤的特征值的近似值为15λ=，⽤5p =的原点平移法计算1λ及其对应的特征向量．答案：(1) A 的按模最⼩的特征值为30.2384428λ≈(2) 1 5.1248854λ≈，对应的特征向量为(8)[0.242 4310, 1 ,0.320 011 7]T U =--．8.3 设⽅阵A 的特征值都是实数，且满⾜121, ||||n n λλλλλ>≥≥> ，为求1λ⽽作原点平移，试证：当平移量21()2n p λλ=+时，幂法收敛最快． 8.4 ⽤⼆分法求三对⾓对称⽅阵1221221221A ?? ? ?= ? ? ???的最⼩特征值，使它⾄少具有２位有效数字．答案：取5 2.234375λ≈-即有２位有效数字．8.5 ⽤平⾯旋转变换和反射变换将向量[2 3 0 5]T x =变为与1[1 0 0 0]Te =平⾏的向量．答案：203/2/00001010/0T ??- ?=--?0.324 442 8400.486 664 26200.811 107 1040.486 664 2620.812 176 04800.298 039 92200100.811 107 1040.298 039 92200.530 266 798H --??--= ? ?--8.6 若532644445A -??=- -，试把A 化为相似的上Hessenberg 阵，然后⽤QR ⽅法求A 的全部特征值．第九章微分⽅程初值问题的数值解法9.1 ⽤反复迭代（反复校正）的欧拉预估－校正法求解初值问题0, 0<0.2(0)1y y x y '+=≤??=?，要求取步长0.1h =，每步迭代误差不超过510-．答案： [4]11(0.1)0.904 762y y y ≈==，[4]22(0.2)0.818 594y y y ≈==9.2 ⽤⼆阶中点格式和⼆阶休恩格式求初值问题2, 0<0.4(0)1dy x y x dx y ?=+≤=?的数值解(取步长0.2h =，运算过程中保留五位⼩数)．答案：⽤⼆阶中点格式，取初值01y =计算得0n =时，1211.000 00, 1.200 00, (0.2)=1.240 00K K y y ==≈ 1n =时，1221.737 60, 2.298 72, (0.4)=1.699 74K K y y ==≈⽤⼆阶休恩格式，取初值01y =计算得0n =时，1211.000 00, 1.266 67, (0.2)=1.240 00K K y y ==≈ 1n =时，1221.737 60, 2.499 18, (0.4)=1.701 76K K y y ==≈9.3 ⽤如下四步四阶阿达姆斯显格式1123(5559379)/24n n n n n n y y h f f f f +---=+-+-求初值问题, (0)1y x y y '=+=在[0,0.5]上的数值解．取步长0.1h =，⼩数点后保留８位．答案：4(0.4)0.583 640 216y y ≈=，5(0.5) 1.797 421 984y y ≈=． 9.4 为使⼆阶中点公式1(,(,))22n n n n n n h hy y hf x y f x y +=+++，求解初值问题 , (0)y y y aλλ'=-??=?为实常数绝对稳定，试求步长h 的⼤⼩应受到的限制条件．答案：2h λ≤．9.5 ⽤如下反复迭代的欧拉预估－校正格式(0)1(1)()111(,)[(,)(,)]2 0,1,2,; 0,1,2,nn n n k k n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y k n +++++?=+??=++??==，求解初值问题sin(), 01(0)1x y e xy x y '?=<≤?=?时，如何选择步长h ，使上述格式关于k 的迭代收敛．答案：2h e<时上述格式关于k 的迭代是收敛的．9.6 求系数,,,a b c d ，使求解初值问题0(,), ()y f x y y x a '==的如下隐式⼆步法221()n n n n n y ay h bf cf df +++=+++的误差阶尽可能⾼，并指出其阶数．答案：系数为142,,33a b d c ====，此时⽅法的局部截断误差阶最⾼，为五阶5()O h ．9.7 试⽤欧拉预估－校正法求解初值问题, (0)=1, 0<0.2()/, (0)2dyxy z y dxx dz x y z z dx=-≤=+=，取步长0.1h =，⼩数点后⾄少保留六位．答案：由初值00(0)1, (0)2y y z z ====可计算得110.800 000z 2.050 000y =??=? ， 11(0.1)0.801 500(0.1) 2.046 951y y z z ≈=??≈=? 220.604 820z 2.090 992y =??=? ， 22 (0.2)0.604 659(0.2) 2.088 216y y z z ≈=??≈=?。
计算方法习题集及解答(总结版)
左边 （ ）- 右边 证明：当 m=0 时
∑∞
= T0 h
T=
∆ i
h
2i
=
i=1
设 时等式成立，即 （ ）- m=k
Tk h
∑∞
T=
∆ h (k ) 2k +2i i
i =1
当 时 m=k+1
∑ ∑ Tk+（1 h）-T=
4k
+1Tk
(
h 2
)
−
Tk
(h)
4k +1 −1
−T=
4k +1[T
+
∞ i =1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1.5 1.44444 1.47929 1.456976 1.47108 1.46209 1.46779 1.4416 1.46647
9 1.4650
10
11
1.46593 1.4653
x* ≈ 1.466
迭代公式（2）：
k
0
xk
1.5
12 1.46572
13 1.46548
14 1.46563
xk +1
=
ln(4 − xk ln 2
)
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
xk 1.5 1.322 1.421 1.367 1.397 1.380 1.390 1.384 1.387 1.386 1.386
x* ≈ 1.386
2. 方程 x3 − x2 −1 = 0 在 x = 1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：
(完整word版)《数值计算方法》复习资料全
《数值计算方法》复习资料课程的性质与任务数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。
第一章数值计算方法与误差分析一考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。
二复习要求1. 知道产生误差的主要来源。
2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
3. 知道四则运算中的误差传播公式。
三例题例1设x*= =3.1415926…近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位.又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字.而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字.这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00=2.000 4＝0.200 04×101, 它的绝对误差限0.000 05=0.5×10 1―5，即解因为x1m=1,n=5,故x=2.000 4有5位有效数字. a=2，相对误差限1x 2=－0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m =－2，n=3，x 2=－0.002 00有3位有效数字. a 1=2，相对误差限εr ==0.002 5x 3=9 000，绝对误差限为0.5×100，因为m =4, n=4, x 3=9 000有4位有效数字，a =9，相对误差限εr ＝＝0.000 056x 4=9 000.00，绝对误差限0.005，因为m =4，n=6，x 4=9 000.00有6位有效数字，相对误差限为εr ＝＝0.000 000 56由x 3与x 4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的. 例3 ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？解 精确到10－3＝0.001，意旨两个近似值x 1,x 2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是ε＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。
专题50：算法初步知识点及典型例题(原卷版)
专题50：算法初步知识点及典型例题（原卷版）【知识梳理】知识点一、算法1．算法的概念（1）古代定义：指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程。
（2）现代定义：算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。
（3）应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题。
2．算法的特征：①指向性：能解决某一个或某一类问题；②精确性：每一步操作的内容和顺序必须是明确的；算法的每一步都应当做到准确无误，从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确.“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的继续.③有限性：必须在有限步内结束并返回一个结果；算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制的持续进行.④构造性：一个问题可以构造多个算法，算法有优劣之分。
3．算法的表示方法：（1) 用自然语言表示算法: 优点是使用日常用语, 通俗易懂；缺点是文字冗长, 容易出现歧义；（2) 用程序框图表示算法：用图框表示各种操作，优点是直观形象, 易于理解。
注：泛泛地谈算法是没有意义的，算法一定以问题为载体。
例1．下面给出一个问题的算法:S1输入x;S2若x≤2,则执行S3;否则,执行S4;S3输出-2x-1;S4输出x2-6x+3.问题:(1)这个算法解决的是什么问题?(2)当输入的x值为多大时,输出的数值最小?知识点二：流程图1. 流程图的概念：流程图，是由一些图框和流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符合表示操作的内容，流程线表示操作的先后次序。
2.流程图常用符号：图形符号名称含义开始/结束框用于表示算法的开始与结束输入/输出框用于表示数据的输入或结果的输出处理框描述基本的操作功能，如“赋值”操作、数学运算等判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”流程线表示流程的路径和方向连接点用于连接另一页或另一部分的框图注释框框中内容是对某部分流程图做的解释说明3.画流程图的规则：(1)使用标准的框图的符号；(2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画；(3)除判断框图外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点。
《计算方法》复习资料
二单项选择题1. 已知近似值1x ,2x ，则()12,x x ()=A. ()()2112x x x x + B 。
()()12x x +C 。
()()1122x x x x + D 。
()()12x x2. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ） A ． 16 B 。
13 C. 12 D 。
233. 已知2112A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则化为A 为对角阵的平面旋转变换角θ＝（ ） A ．6π B 。
4π C 。
3π D 。
2π 4. 设求方程()0f x =的根的切线法收敛，则它具有( ）敛速。
A ． 线性B 。
超越性C 。
平方D 。
三次5。
改进欧拉法的局部截断误差为（ ）A ． ()5O hB 。
()4O hC 。
()3O hD 。
()2O h填空题1. π的近似值3。
1428是准确到 近似值。
2。
满足()a a f x x =，()b b f x x =,()c c f x x =的拉格朗日插值余项为 .3。
用列主元法解方程组时，已知第2列主元为()142a 则()142a ＝ 。
4．乘幂法师求实方阵 的一种迭代方法。
5。
欧拉法的绝对稳定实区间为 。
计算题1. 用已知函数表求抛物插值多项式,并求1()2f 的近似值。
2. 用紧凑格式解方程组123410114130141x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦3. 已知方程组123210113110121x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（1） 证明高斯－塞德尔法收敛；（2） 写出高斯－塞德尔法迭代公式； （3） 取初始值()()00,0,0TX=，求出()1X 。
4. 用4n =复化辛卜公式计算积分1011dx x +⎰，并估计误差。
5. 用一般迭代法求方程[]0,0.5内的根。
（整理）计算方法复习与思考
（整理）计算⽅法复习与思考第⼀章误差内容：典型题例：⼀、填空题：1、误差⼀般有四种类型，但在计算⽅法中主要讨论的是________ 和。
2、模型的准确解与⽤数值⽅法求得的解之差称为。
3、若*x=3587.64是x的具有六位有效数字的近似值，那么它的误差限是；相对误差限是。
4、若*x=315.46是x的具有五位有效数字的近似值，那么它的误差限是；相对误差限是。
5、设x>0,x的相对误差限为δ，那么lnx的绝对误差限为。
6、设x的相对误差为α%，那么n x的相对误差限为。
⼆、选择题：1、以下近似值中，保留四位有效数字，相对误差限为3.0-2510的是。
A.-2.20B.0.2200C.0.01234D.-12.342、数值x*=2.197224577…的六位有效数字的近似值x= 。
A.2.19723B.2.19722C.2.19720D.2.1972253、已知⾃然数e=2.718281828459045…，取e≈2.71828，那么e具有的有效数字是。
A.5位B.6位C.7位D.8位三、计算题：（注意事项）四、证明题：（误差、误差限与有效数字位的关系）第⼆章插值法与数值微分内容：典型题例：⼀、选择题1、过点),(),,(1100y x y x 两点的线性插值基函数)(),(1100x l x l 满⾜。
A.1)(,1)(0100==x l x lB.0)(,0)(1110==x l x lC.1)(,1)(1100==x l x lD.0)(,0)(1100==x l x l2、下列条件中，不是分段线性插值函数P(x)必须满⾜的条件是。
A.),,1,0(,)(n k y x P k k ==B.P(x)在[a,b]上连续C. P(x)在各⼦区间上是线性函数D.P(x)在各节点处可导3、区间[a,b]上的三次样条插值函数是。
A.在[a,b]上2阶可导，节点的函数值已知，⼦区间上为3次多项式；B.在[a,b]上连续的函数；C.在[a,b]上每点可微的函数；D.在每个⼦区间上可微的多项式。
总复习_计算方法
计算方法复习一、期末考试试题期末考试的试卷有填空题和解答题。
解答题共7个题，分数约占70％。
期末考试主要考核：●基本概念；●基本原理；●基本运算。
必须带简易计算器。
总成绩=平时成绩*20%+期末成绩*80%二、考核知识点、复习要求第1章误差(一) 考核知识点●误差的来源类型；●绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；●绝对误差的传播。
(二) 复习要求1. 产生误差的主要来源。
2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
第2章方程求根考核知识点二分法；迭代法；牛顿法；弦截法。
(二) 复习要求1. 知道有根区间概念，和方程f(x)=0在区间(a,b)有根的充分条件。
2. 掌握方程求根的二分法，知道其收敛性；掌握二分法迭代次数公式;掌握迭代法，知道其收敛性。
3. 熟练掌握牛顿法。
掌握初始值的选择条件。
4. 收敛阶和收敛速度第3章线性方程组的数值解法(一)考核知识点高斯顺序消去法，列主元消去法,LU分解法；消去法消元能进行到底的条件;雅可比迭代法，高斯―赛德尔迭代法，超松弛迭代法；迭代解数列收敛的条件。
(二)复习要求1. 掌握线性方程组雅可比迭代法和高斯――赛德尔迭代法。
2. 知道高斯消去法的基本思想，熟练掌握高斯顺序消去法和列主元消去法。
3. 知道解线性方程组的高斯消去法消元能进行到底的条件，迭代解收敛性的充分条件。
4. Cond(A)的概念和性质第4章函数插值与最小二乘法(一) 考核知识点●插值函数，插值多项式；●拉格朗日插值多项式;插值基函数；●牛顿插值多项式；差商表;●分段线性插值、线性插值基函数●最小二乘法，法方程组，线性拟合、二次拟合、指数拟合。
(二)复习要求1. 了解插值函数，插值节点等概念。
2. 熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，知道拉格朗日插值多项式余项。
3. 掌握牛顿插值多项式的公式，掌握差商表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。
计算方法复习题
计算⽅法复习题第⼀章误差1 问3.142，3.141，722分别作为π的近似值各具有⼏位有效数字？分析利⽤有效数字的概念可直接得出。
解π=3.141 592 65…记x 1=3.142，x 2=3.141，x 3=722.由π- x 1=3.141 59…-3.142=-0.000 40…知3411110||1022x π--?<-≤? 因⽽x 1具有4位有效数字。
由π- x 2=3.141 59…-3.141=-0.000 59…知2231021||1021--?≤-因⽽x 2具有3位有效数字。
由π-722=3.141 59 …-3.142 85…=-0.001 26…知231021|722|1021--?≤-因⽽x 3具有3位有效数字。
2 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。
分析本题显然应利⽤有效数字与相对误差的关系。
解利⽤有效数字与相对误差的关系。
这⾥n=2,a 1是1到9之间的数字。
%5101211021|*||*||)(|1211*=??≤?≤-=+-+-n ra x x x x ε 3 已知近似数的相对误差限为0.3%，问x*⾄少有⼏位有效数字？分析本题利⽤有效数字与相对误差的关系。
解 a 1是1到9间的数字。
1112*10)1(2110)19(21102110003%3.0)(--?+≤?+?=?<=a x r ε设x*具有n 位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从⽽x*⾄少具有2位有效数字。
4 计算sin1.2，问要取⼏位有效数字才能保证相对误差限不⼤于0.01%。
分析本题应利⽤有效数字与相对误差的关系。
解设取n 位有效数字，由sin1.2=0.93…，故a 1=9。
411*10%01.01021|*||*||)(-+-=≤?≤-=n r a x x x x ε解不等式411101021-+-≤?n a 知取n=4即可满⾜要求。
5 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y的乘除法运算次数尽量地少，应将表达式改写为怎样的形式？解设.))64(3(10,11t t t y x t -++=-=在数值计算中，应注意简化运算步骤，减少运算次数，使计算量尽可能⼩。
东南大学计算方法复习总结
Euler
公式：
yi 1
yi
hf
xi , yi ，其局部截断误差为
h2 2
yi
xi
i
xi1 ，此公式为一阶公式；应用右矩形公式得
到后退的 Euler 公式： yi1
yi
hf xi1, yi1 ，其局部截断误差为
h2 2
yi
xi
f x0
f x0 ห้องสมุดไป่ตู้ f x0 h ，二阶导数 ：
2h
f x0
f x0 h 2 f x0
2h2
f x0 h 。
插值型导公式 ：带余项两点公式：f x0
1 h
f
x1
f x0
h 2
f 1，f x1
1
3 3
b f xdx b a
a
2
1 f a b b a t dt ，高斯求积公式
1 2
2
b a
f
xdx
b
2
a
f
a
2
b
1 b a f a b 3 2 2
1 3
b
2
Euler
公式：
yi 1
~yi1 yi hf xi , yi
yi
h 2
f xi , yi f xi1, ~yi1
或
y yc
p yi hf yi hf
xi ,
xi 1 ,
yi y
计算方法习题及答案
第一章 绪论一.填空题1.*x 为精确值x 的近似值；()**x f y=为一元函数()x f y =1的近似值；()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-：***rx x e x -=()()()*'1**y f x x εε≈⋅ ()()()()'***1**r r x f x y x f x εε≈⋅ ()()()()()**,**,*2**f x y f x y y x y x yεεε∂∂≈⋅+⋅∂∂()()()()()****,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。
3、 分别用2.718281，2.718282作数e的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又取1.73≈（三位有效数字），则-211.73 10 2≤⨯。
4、设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。
5、设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。
6、已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为 0.000021 .7、递推公式,⎧⎪⎨⎪⎩0n n-1y =y =10y -1,n =1,2,如果取0 1.41y ≈作计算,则计算到10y 时,误差为8110 2⨯;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 .8、精确值 14159265.3*=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3 位和 4 位有效数字。
9、 若*2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5。
10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n 的相对误差0.02n 二、计算题1. 有一个长方形水池,由测量知长为(50±0.01)米,宽为(25±0.01)米,深为(20±0.01)米,试按所给数据求出该水池的容积,并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式,并求出绝对误差限和相对误差限. 解：设长方形水池的长为L ，宽为W,深为H ，则该水池的面积为V=LWH当L=50,W=25,H=20时，有 V=50*25*20=25000(米3) 此时，该近似值的绝对误差可估计为()()()()()()()=V V VV L W H L W HWH L HL W LW H ∂∂∂∆≈∆+∆+∆∂∂∂∆+∆+∆ 相对误差可估计为：()()r V V V∆∆=而已知该水池的长、宽和高的数据的绝对误差满足()()()0.01,0.01,0.01L W H ∆≤∆≤∆≤故求得该水池容积的绝对误差限和相对误差限分别为()()()()()()325*20*0.0150*20*0.0150*25*0.0127.5027.501.1*1025000r V WH L HL W LW H V V V -∆≤∆+∆+∆≤++=∆∆=≤=2.已知测量某长方形场地的长a=110米,宽b=80米.若()()**0.1 0.1a a b b -≤-≤米，米试求其面积的绝对误差限和相对误差限. 解：设长方形的面积为s=ab当a=110,b=80时，有 s==110*80=8800(米2) 此时，该近似值的绝对误差可估计为()()()()()=b s ss a b a ba ab ∂∂∆≈∆+∆∂∂∆+∆ 相对误差可估计为：()()r s s s∆∆=而已知长方形长、宽的数据的绝对误差满足()()0.1,0.1a b ∆≤∆≤故求得该长方形的绝对误差限和相对误差限分别为()()()()() 80*0.1110*0.119.019.00.0021598800r s b a a b s s s ∆≤∆+∆≤+=∆∆=≤= 绝对误差限为19.0；相对误差限为0.002159。
高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解
第一章 函数、极限、连续第1节 函数★基本内容学习一 基本概念和性质1函数的定义设有两个变量x 和y ，变量x 的变域为D ，如果对于D 中的每一个x 值，按照一定的法则，变量y 有一个确定的值与之对应，则称变量y 为变量x 的函数，记作：()y f x =。
2函数概念的两要素①定义域：自变量x 的变化范围②对应关系：给定x 值,求y 值的方法。
3函数的三种表示方法①显式：形如()y f x =的称作显式，它最直观，也是初等函数一般采用的形式。
②隐式：有时有些关系用显式无法完全表达，这时要用到隐式，形如(,)0F x y =，如椭圆函数22221x y a b+=。
③参数式：形如平抛运动的轨迹方程212x vt y gt =⎧⎪⎨=⎪⎩称作参数式。
参数式将两个变量的问题转化为一个变量的问题，从而使很多难以处理的问题简化。
4函数的四个基本性质①奇偶性：设函数()f x 在对称区间X 上有定义，如果对于x X ∀∈恒有()()f x f x =- (或)()()f x f x =--，则称()f x 为偶函数(或()f x 奇函数)。
注：偶函数()f x 图形关于y 轴对称，奇函数()f x 的图形关于坐标原点对称。
②有界性：设函数()f x 在区间X 上有定义,如果0M ∃>,使得对一切x X ∈,恒有：()f x M ≤,则称()f x 在区间X 上有界；若不存在这样的0M >，则称()f x 在区间X 上无界.注：函数()f x 有无界是相对于某个区间而言的。
③周期性：设函数()f x 在区间X 上有定义,若存在一个与x 无关的正数T ，使对任一x X ∈，恒有()()f x T f x += 则称()f x 是以T 为周期的周期函数，把满足上式的最小正数T 称为函数()f x 的周期。
④单调性：设函数()f x 在区间X 上有定义，如果对1212,,x x X x x ∀∈<,恒有：()()12f x f x ≤(或()()12f x f x ≥)则称()f x 在区间X上是单调增加(或单调减少)的；如果对于1212,,x x X x x ∀∈<,恒有：()()12f x f x < (或()()12f x f x >)则称()f x 在区间X上是严格单调增加(或严格单调减少)的。
初二计算概括名称
初二计算概括名称大家好，我是小郭。
今天为大家分享一个关于初中计算的内容，希望对同学们有所帮助。
这道题的特点是简单、易得分。
我们知道初中计算中两类是最基本的计算题，而其中计算又是最难掌握，所以我们必须掌握这一知识点，才能正确理解计算。
要想正确理解计算就必须掌握计算方法和技巧。
计算分为两类：一类是加法计算，一类是减法计算。
首先我们来看一下加法计算法：先求出2÷2=1+(2-2)×(1+1)=()。
一、将乘、除的运算用括号括起来，列式为例2:小郭分析：题中，我们可以先求出2÷2=3+(3-1)÷(3-1),然后将除法和乘法结合起来。
比如10÷8=6)×6 (10÷8=6)=6。
又如：小郭总结：这道题考查了一些基本运算知识，但是不是很难。
关键就在于我们在学习这道题的时候一定要认真思考。
只有把计算题吃透了，才能真正提高自己。
1、要多练习，把各种算式进行对比分析，找出其中的共性，找出自身的弱点，找到提高自己的办法。
例如，可以把一元二次方程组的根减去一个数，再加上一个数，得到根的除数。
再把根的加减乘除解出，并写出算式。
再如：从例3可以看出这道题可以直接求出6×6=12。
而且不需要画出根的名称。
也可以直接计算。
再有，将一个数的前两位分加上后两位分相加后写出算式。
这样计算的时候就可以直接得出结果了。
2、要多思考，善于总结，举一反三，把简单的计算题做到深刻透彻。
在学习这类问题时，要学会总结，举一反三。
例如：例3:小郭分析：如果只看题目中的一段话去看的话，就很容易会出现混淆。
因为，从题目中的每一个字都可以直接地反映出题目所给的信息。
但如果从题目中的每一个字开始去看，就会发现这两个字非常容易混淆。
所以，在看题的时候，一定要认真审题。
不能凭感觉去看。
如果遇到了自己不会做的题，一定要及时地去询问老师或同学，在老师或者同学帮助下解决它，而不是自己在思考。
计算方法第1章复习(05)
第1章 误差一、考核知识点：误差的来源，绝对误差、绝对误差限、相对误差，相对误差限，有效数字，准确数位，误差传播。
二、考核要求：1．知道误差的主要来源，误差传播。
2．了解绝对误差、绝对误差限、相对误差，相对误差限、掌握其确定方法。
3．掌握有效数字，准确数位的求法。
4．误差传播（一元函数的、二元函数、多元函数误差传播公式） 4．数值计算中应注意的一些问题（算法设计的几个原则）。
三、典型例题分析1．近似值0.45的误差限为（ ）。
A ． 0.5 B. 0.05 C ． 0.005 D. 0.0005.解 因 210450.00.45⨯=，它为具有3位有效数字的近似数，其误差限为 1231021101021--⨯=⨯⨯=ε。
或2,3m n ==，m-n=-1，其误差限为 13210211021--⨯=⨯=ε 所以 答案为B. 2．已知 4142135.12==*x ，求414.1=x 的误差限和相对误差限。
类似地，还可估计e的近似值的有效数字位数。
解：（绝对）误差限：0005.00003.00002135.0241.1<<=-=∆ x 所以（绝对）误差限为0003.0=ε，也可以取0005.0=ε。
一般地，我们取误差限为某位数的半个单位，即取 0005.0=ε。
相对误差限：rx x x x εδ=<=-=-=*0002.000015.0414.14142135.1414.1)(所以，相对误差限0002.0=r ε3．已知 ,1415926.3*==πx 求近似值142.3=x 的误差限，准确数字 或有效数字。
解 由,00041.01415926.3142.3<-= x ∆ 误差限为31021-⨯=ε因为1,3,4m n m n ==--=，所以由定义知x 是具有4位有效数字的近似值，准确到310-位的近似数。
注意：当只给出近似数x 时，则x 必为四舍五入得到的有效数字，则可直接求出误差限和有效数字。
计算方法复习资料(学生版)
填空题
2. 试卷按识记、领会、简单应用、综合应用四个认知层次命 制试题， 四个认知层次在试卷中的所占的比例大致分别为： 识记占 20%、领会占 30% 、简单应用占 30%、综合应用占 20%。 3. 试卷难易度大致可分为 “容易、 中等偏易、 中等偏难、 难” 。 根据课程的特点，每份试卷中，不同难易度试题所占的分 数比例大致依次为易占 30 分、中等偏易占 30 分、中等偏 难占 20 分、难占 20 分。
－2
( k 1) 7. max a ik k i n
8. －2.4
9.
C
k 0
n
(n) k
(n) (n) 1; C k Cn k (或归一性
10. f ( x 0 ) f ( x 0 ) 0 (或 f(x0)与 f(x0)同号)
三、计算题(每小题 15 分，共 60 分) 11. 设直线 y＝a0+a1x，那么 a0,a1 满足的法方程组公式为
h=1, 用梯形公式 7 9 h 6 x 5dx [ f ( x 0 ) f ( x8 ) 2 f ( x k )] (12分) 1 2 k 1 1 [1 7 2(2.646 3.606 4.359 5.000 5.568 6.083 6.557)] 2
2
2、 填空题 (每小题 2 分，共 20 分) 要求：直接将答案填在横线上，不需要写出过程。 范例：向量范数满足的三个性质为非负性, ,三角不等 式性。 解答： 齐次性 3、 改错题（每小题 2 分，共 10 分） 要求：把改正后的正确叙述写出来。 范例：3.141 是 3.14159265... 的四位有效数字。 解答：“四位”改为“三位” 4、简答题（每小题 5 分，共 20 分） 要求：简要答出要点。 范例：何谓龙贝格算法，其优点主要是什么? 解答：将收敛相对缓慢的梯形序列 Tn 通过加工得到迅速收敛的龙 贝格序列即为龙贝格算法。主要优点是精度高，算法简单，计算 量小。 5、 计算题（每小题 10 分，共 20 分）要求：写出主要过程 范例：已给数据表：
计算方法总复习
计算方法总复习 第一章 绪论例1． 已知数 x=2.718281828...,取近似值 x*=2.7182,那麽x 具有几位有效数字 点评；考查的有效数字的概念。
解；**3142.718281828 2.71820.00008182110.0005101022e x x --=-=-=≤=⨯=⨯故有四位有效数字。
例2．近似数*0.01999x =关于真值*0.02000x =有几位有效数字解：**4130.019990.020000.00001110.00005101022e x x ---=-=-=≤=⨯=⨯故有三位有效数字。
例3．数值x *的近似值x =0.1215×10－2，若满足≤-*xx ( )，则称x 有4位有效数字点评；已知有效数字的位数，反过来考查有绝对误差。
解；有四位有效数字则意味着如果是一个形如1230.n a a a a 的数则绝对误差限一定为41102-⨯，由于题目中的数2120.10n x a a a -=⨯ ,故最终的绝对误差为4261110101022---⨯⨯=⨯例4．有效数***1233.105,0.001,0.100x x x =-==，试确定***123x x x ++的相对误差限。
点评；此题考查相对误差的传播。
*****1()()()n r r i i i i f e y e x x yx =⎡⎤∂=⎢⎥∂⎣⎦∑故有************112233123123******123123()()()()()()()r r r r e x x e x x e x x e x e x e x e x x x x x xx x x++++++==++++解：333******123123***123111101010()()()222() 3.1050.0010.100r e x e x e x e x x x x x x---⨯+⨯+⨯++++===++-++=0.0004993例5．sin1有2位有效数字的近似值0.84的相对误差限是 . 解法1 ：00625.01016110821112=⨯=⨯⨯-+-（有效数字与相对误差限的关系）解法2；21100.840.00595242-⨯÷=（相对误差限的概念）例6．*x 的相对误差的----倍。
大学计算方法复习资料
计算方法复习资料第一章 数值计算中的误差主要内容：绝对误差，相对误差，误差限，有效数字，四舍五入，减少误差的原则。
1.利用秦九韶算法计算多项式16432)(23467-+-+--=x x x x x x x p 在2=x 处的值 1 -2 0 -3 4 -1 6 -1 2 2 0 0 -6 -4 –10 -8 1 0 0 -3 -2 -5 -4 -9 9)2(-=p2.设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x = ；（2）12.10x = ；（3）12.100x = 。
解：有效数字位数分别为：3，4，53. 下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121x y xx-=-++，（B ）22(12)(1)xy x x =++；（2）已知1x >>，（A）y =，（B）y =（3）已知1x <<，（A ）22sin x y x=，（B ）1cos 2xy x-=；（4）（A）9y =-（B）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。
（1）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。
故（B ）算得准确些。
（2）（B ）中两个相近数相减，而（A ）中避免了这种情况。
故（A ）算得准确些。
（3）（A ）中2sin x 使得误差增大，而（B ）中避免了这种情况发生。
故（B ）算得准确些。
（4）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。
故（B ）算得准确些。
4.求3.141与22/7作为π的近似值时有效数字的个数.解：22110005.000059.0141.3-⨯=<=- π 3个。
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计算方法各章复习概要与典型例题第1章 误差一、考核知识点：误差的来源，绝对误差、绝对误差限、相对误差，相对误差限，有效数字，准确数位，误差传播。
二、考核要求：1．知道误差的主要来源，误差传播。
2．了解绝对误差、绝对误差限、相对误差，相对误差限、掌握其判别方法。
3．掌握有效数字，准确数位的求法。
三、重、难点分析例1. 近似值0.45的误差限为（ ）。
A 0.5B 0.05C 0.005D 0.0005.解 因 210450.00.45⨯=，它为具有3位有效数字的近似数，其误差限为 1231021101021--⨯=⨯⨯=ε。
或3,2==p m ，其误差限为 13210211021--⨯=⨯=ε所以 答案为B.例2.. 已知 4142135.12==*x ，求414.1=x 的误差限和相对误差限。
解：（绝对）误差限：0005.00003.00002135.0241.1<<=-=∆ x 所以（绝对）误差限为0003.0=ε，也可以取0005.0=ε。
一般地，我们取误差限为某位数的半个单位，即取 0005.0=ε。
相对误差限：rx x x x εδ=<=-=-=*0002.000015.0414.14142135.1414.1)(所以，相对误差限0002.0=r ε例3.已知 ,1415926.3*==πx 求近似值142.3=x 的误差限，准确数字或有效数字。
解 由,00041.01415926.3142.3<-= x ∆ 误差限为31021-⨯=ε 因为4,3,1=--==p m p m ，所以由定义知x 是具有4位有效数字的近似值，准确到310-位的近似数。
注意：当只给出近似数x 时，则x 必为四舍五入得到的有效数，则可直接求出误差限和有效数字。
例4. 已知近似数,635.0,2864.1==b a 求b a b -,2的误差限和准确数位。
解 因41021-⨯=）（a ε，31021-⨯=）（b ε ()()2310211021635.022--⨯<⨯⨯⨯<≤+=b b b b b b bb ∆∆∆∆所以 (),102122-⨯=b ε 2b 准确到 210-位。
,102110211021)()()(234---⨯<⨯+⨯=+≤∆-∆=-∆b a b a b a εεb a -准确到210-位。
注意：函数运算的误差概念，特别是其中的符号。
第2章 非线性方程求根一、考核知识点：区间二分法，弦位法（单点弦法、双点弦法）、切线法、一般迭代法，收敛性。
二、考核要求：1．熟练掌握用区间二分法求方程近似根的方法。
2．熟练掌握用单点弦法、双点弦法求方程近似根的方法。
了解其收敛性。
3．熟练掌握用切线性求方程近似根的方法。
了解其收敛性。
4．掌握用一般迭代法求方程的近似根的方法。
了解其收敛性。
5．掌握用牛顿迭代法求方程的近似根的方法。
三、重、难点分析例1 证明计算)0(>a a 的切线法迭代公式为：,1,0),(211=+=+n x ax x nn n并用它求2的近似值（求出1x 即可）解 （1）因计算a 等于求02=-a x 正根，a x x f -=2)(，x x f 2)(=' 代入切线法迭代公式得)(21221nn n n n n x ax x x x x +=-=+ ,1,0=n(2) 设2)(2-=x x f ，因,0121)1(2<-=-=f 025.1)5.1(2>-=f 所以 []5.1,12*∈=x在[]5.1,1上 02)(>='x x f 02)(>=''x f 由 0)()(0≥''x f x f ，选5.10=x 用上面导出的迭代公式计算得 4167.11217)2(21001≈=+=x x x 例2用单点弦法求方程 0153=+-x x 的最小正根(计算出1x ) 解：由于0375.1)5.0(,01)0(<-=>=f f 则]5.0,0[*∈x 在[0，0.5]，,06)(,053)(2≥=''<-='x x f x x f 由,0)()(≥''x f c f 取5.0,00==x c 则单点弦法迭代公式,1,0)15(51),15(151032331=+--+=+--+---=+n x x x x x x x x x x x n n nn n n n n n n n计算得 21.075.4375.15.01≈-=x 例3 用双点弦法，一般迭代法求0243=-+x x 的最小正根（求出2x 即可）。
解 （1）用双点弦法因02)0(<-=f ，0125.0)5.0(>=f ，故[]5.0,0*∈x ， 在[]5.0,0上，043)(2>+='x x f ，06)(≥=''x x f3)(max ,4)(min 21=''=='=x f M x f m ， 21,83212<==R m M K ，1163<≤KR 取 00=x ，5.01=x ，用双点弦迭代公式)24()24()24)(1(131331-+--+-+---=--+n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x ， ,2,1=n 计算得 47.01782≈=x （2）用一般迭代法因02)0(<-=f ，0125.0)5.0(>=f ，故[]5.0,0*∈x 在[]5.0,0上将0243=-+x x ，同解变形为)()2(413x x x ϕ=-=则 [][]116343max)(max 25.0,05.0,0<=='=∈∈x x x x ϕρ取,5.00=x 应用迭代公式 )2(4131n n x x -=+， ,1,0=n 计算得3215)812(411=-=x47425.0321524132≈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-=x例4 求方程0)(=x f 的根时， 用切线法求具有（ ）收敛速度。
用单点弦法求具有（ ）收敛速度。
用双点弦法求具有（ ）收敛速度。
用一般迭代法求具有（ ）收敛速度。
第3章1 线性方程组直接解法一、考核知识点：简单消元法，主元消元法（列主元消元法），紧凑格式法，矩阵的三角分解。
二、考核要求：1．了解简单消元法、主元消元法、紧凑格式的基本思想和使用条件 2．掌握矩阵的三角分解（Doolittle 分解,Crout 分解,LDU 分解） 3．熟练掌握用列主元消元法和紧凑格式求解线性方程组的方法。
三、重、难点分析例1 用列主元消元法的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++53368435532321321321x x x x x x x x x注意：每次消元时主元的选取是各列中系数最大的。
解 第1列主元为3，交换第1、2方程位置后消元得，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=++331351313168433232321x x x x x x x第2列主35，元为交换第2、3方程位置后消元得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+=++5252331356843332321x x x x x x回代解得 2,2,1123==-=x x x例2．将矩阵A 进行三角分解（Doolittle 分解,Crout 分解,LDU 分解）其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=1332222224A 说明：一般进行矩阵的三角分解采用紧凑格式。
即应用矩阵乘法和矩阵相等原则进行矩阵的三角分解（或代入公式求得相应元素）。
在分解时注意矩阵乘法、矩阵求逆等代数运算。
解：9,2;1,121,21;2,2,43322123132321321232312212222113131112121131312121111=-=-=-=-==-=-====-======r r r l a l r l a r r l a r a a l a a l a r a r a r则矩阵的Doolittle 分解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----911224122112111332222224因为对角阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=914D ，则⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==-111212111R D U 所以矩阵的LDU 分解为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----11121211914122112111332222224矩阵的Crout 分解为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----111212119221241332222224例3 用紧凑格式求解方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----5481332222224321x x x 注意：消元过程是解方程组b LY =，和回代过程是解方程组Y RX =。
解：（1）将矩阵进行三角分解，由上例得： 矩阵的三角分解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----911224122112111332222224（2）解方程组9,0,8,321====y y y b LY （3）解方程组1,1,2,321====x x x Y RX所以 T X )1,1,2(=第3章2 线性方程组的迭代解法一、考核知识点：向量范数与矩阵范数及其性质，谱半径，严格对角占优矩阵，迭代法的收敛性，雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法及其收敛性。
二、考核要求：1．了解向量范数的定义、性质；了解矩阵范数的定义、性质，知道谱半径的定义。
2．了解严格对角占优矩阵；了解迭代法的收敛性。
3．熟练掌握雅可比迭代法，了解其收敛性。
4．熟练掌握高斯-塞德尔迭代法，了解其收敛性。
三、重、难点分析例1 已知向量X=（1，-2，3）,求向量X 的三种常用范数。
解 3max ==∞i ix X，14,612211====∑∑==ni ini i xXx X例2证明 ,1∞∞≤≤Xn X X证明 因为 11m a x X x x x Xni i p i i=<==∑=∞∞=≤=≤∑Xn x n x n xi ip ni im a x 1所以,1∞∞≤≤Xn X X例3 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2212A ，求矩阵A 的三种常用范数。
解 4max 31==∑=∞j ij i a A ，∑===ni ij ja A 114max ，39)9)(4(36135228522822122122122===--=+-=--=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=λλλλλλλλA I A A A A T T例4 已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121212212321x x x a a a （1）写出解此方程组的雅可比法迭代公式 （2）证明当4>a 时，雅可比迭代法收敛 （3）取5=a ,TX )101,51,101()0(=，求出)2(X 。