现代优化计算方法共67页文档
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现代优化计算方法课件
在STEP 3中，蚁群永远记忆到目前为止的最优解。
20
图的蚁群系统（GBAS） 6/12
可以验证，下式满足：
ij (k) 1,k 0
(i, j)A
即 (k) 是一个随机矩阵。 四个城市的非对称TSP问题，距离矩阵和城市图示如下：
0 1 0.5 1
D
(dij
)
1
1.5
0 5
1 0
1
1
1 1 1 0
蚁群算法
起源 应用领域 研究背景 基本原理
1
蚁群优化算法起源
蚁群算法最开始的提出是在90年代有人受了蚂蚁觅食时的 通讯机制的启发用来解决计算机算法学中经典的“旅行商 问题（Traveling Salesman Problem, TSP）”。 TSP问题属于易于描述但难于解决的著名难题之一，至今 世界上还有不少人在研究它。该问题的基本描述是：某售 货员要到若干个村庄售货，各村庄之间的路程是已知的， 为了提高效率，售货员决定从所在商店出发，到每个村庄 都售货一次后再返回商店，问他应选择一条什么路线才能 使所走的总路程最短? 其实有很多实际问题可归结为TSP问 题。
城市间的距离矩阵为 (d ij ) nn ，给TSP图中的每
一条弧 (i, j)
赋信息素初值 ij (0)
1 | A|
，假设m
只蚂蚁在工作，所有蚂蚁都从同一城市i0 出发。当前最 好解是 w (1,2,, n) 。
16
初始的蚁群优化算法—基于图的蚁群系 统（GBAS） 2/12
STEP 1 （外循环）如果满足算法的停止规则，则停止计算并输
若按以上规则继续，蚁群在ABD路线上再增派一只蚂蚁（共3只），而 ACD路线上仍然为一只蚂蚁。再经过36个时间单位后，两条线路上的信息素 单位积累为24和6，比值为4：1。
20
图的蚁群系统（GBAS） 6/12
可以验证，下式满足：
ij (k) 1,k 0
(i, j)A
即 (k) 是一个随机矩阵。 四个城市的非对称TSP问题，距离矩阵和城市图示如下：
0 1 0.5 1
D
(dij
)
1
1.5
0 5
1 0
1
1
1 1 1 0
蚁群算法
起源 应用领域 研究背景 基本原理
1
蚁群优化算法起源
蚁群算法最开始的提出是在90年代有人受了蚂蚁觅食时的 通讯机制的启发用来解决计算机算法学中经典的“旅行商 问题（Traveling Salesman Problem, TSP）”。 TSP问题属于易于描述但难于解决的著名难题之一，至今 世界上还有不少人在研究它。该问题的基本描述是：某售 货员要到若干个村庄售货，各村庄之间的路程是已知的， 为了提高效率，售货员决定从所在商店出发，到每个村庄 都售货一次后再返回商店，问他应选择一条什么路线才能 使所走的总路程最短? 其实有很多实际问题可归结为TSP问 题。
城市间的距离矩阵为 (d ij ) nn ，给TSP图中的每
一条弧 (i, j)
赋信息素初值 ij (0)
1 | A|
，假设m
只蚂蚁在工作，所有蚂蚁都从同一城市i0 出发。当前最 好解是 w (1,2,, n) 。
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初始的蚁群优化算法—基于图的蚁群系 统（GBAS） 2/12
STEP 1 （外循环）如果满足算法的停止规则，则停止计算并输
若按以上规则继续，蚁群在ABD路线上再增派一只蚂蚁（共3只），而 ACD路线上仍然为一只蚂蚁。再经过36个时间单位后，两条线路上的信息素 单位积累为24和6，比值为4：1。
现代优化方法
动态规划问题的求解方法
逆向求解
从最后阶段开始，依次求出每 个阶段的最优解，最终得到初
始阶段的最优解。
正向求解
从初始阶段开始，逐步向前推导 出每个阶段的最优解。
分支定界法
将问题分解为若干个子问题，通过 设定参数和约束条件，将问题的求 解范围缩小到最优解所在的子问题 集合中。
动态规划的应用
最短路径问题
03
由确定型优化向不确 定型优化发展
考虑随机因素和不确定性因素的影响 ，进行概率优化或鲁棒优化。
THANK态规划算法求解最短路径问题，例如 Floyd-Warshall算法、Dijkstra算法等。
通过动态规划算法求解网络流中的最大流和 最小费用流问题。
背包问题
排程问题
通过动态规划算法求解多阶段决策过程中的 最优解，例如0/1背包问题、完全背包问题 等。
通过动态规划算法求解资源分配和任务调度 问题，例如作业排程、飞机调度等。
05
遗传算法优化方法
遗传算法的基本原理
遗传算法是一种基于生物进化理论的优化算法，通过模拟自 然选择、遗传和突变过程来寻求最优解。
遗传算法的基本原理是：在群体中选择出优秀的个体，通过 交叉、变异等操作产生更优秀的后代，迭代进化，最终得到 最优解。
遗传算法的求解过程
初始化种群
随机生成一定数量的个体作为初始种群。
2023
现代优化方法
contents
目录
• 优化方法概述 • 线性规划优化方法 • 非线性规划优化方法 • 动态规划优化方法 • 遗传算法优化方法 • 模拟退火算法优化方法 • 粒子群优化方法 • 现代优化方法比较分析
01
优化方法概述
定义与特点
定义
现代优化算法
8
正交试验法
正交表的形式为( … )，简记为()，其中为试验数，为因素数， 为水平数。正交设计法能够确保决策变量具有最佳的散布性和代表性， 因此获得的最佳水平应该具有相当高的满意度。
实际上，正交试验法获得的最佳结果优于总体试验结果的()，劣于总 体试验结果的()，具有良好的全局最优性。该算法的另外一个最大优 势在于简单易学，一般文化水平的人（比如初中以上）经过几天时间 就可以掌握，因此该算法具有极其广泛的使用范围。其难点在于特定 正交表的构造，人们正深入研究各种特殊正交表的构造方法。
4
优化算法简介——局部优化、全局 优化
有文献将神经网络也列入现代优化算法的范畴，从全局优化的角度看， 这并不适宜，因为神经网络的优化算法本质上是局部优化算法和全局 优化算法的综合应用。
局部优化算法主要用于解决凸问题或单峰问题，通常使用确定性搜索 策略，比如单纯形法、梯度下降法、爬山法、贪心法等，其基本思想 是在状态转移过程中，只接受更好的状态，拒绝恶化的状态。
5
优化算法简介——二者需要结合
局部优化算法由于易于陷入局部极优解而无法用于解决多峰问题；同 时，全局性优化算法采用适当的状态转移规则和概率性状态接受规则， 能够避免过早地陷入局部极优解从而搜索到全局性最优解。
通常，局部优化算法能够快速地收敛到局部极优解，而全局性优化算 法通过概率搜索可以获得在概率意义上尽可能好的全局性最优解区域， 但是其局部极优点搜索能力较低。这是全局搜索算法和局部搜索算法 之间的固有矛盾。对此人们进行了多种研究。基本解决方法在于二者 的结合，即利用全局性优化算法在整个可行域中搜索最优区域，利用 局部搜索算法搜索最优区域中的最优解。
习惯上，将优化算法分为两类：局部优化算法和全局性优化算法。前 者可以称为经典优化算法，已经得到了人们广泛深入的研究。目前， 运筹学（确定论方法）主要包括这些方面的内容，线性规划、整数规 划、–规划、非线性规划、排队论、决策论。后者习惯上称为现代优 化算法，是世纪年代兴起的新型全局性优化算法，主要包括禁忌搜索、 模拟退火、遗传算法等，其主要应用对象是优化问题中的难解问题， 即–问题
正交试验法
正交表的形式为( … )，简记为()，其中为试验数，为因素数， 为水平数。正交设计法能够确保决策变量具有最佳的散布性和代表性， 因此获得的最佳水平应该具有相当高的满意度。
实际上，正交试验法获得的最佳结果优于总体试验结果的()，劣于总 体试验结果的()，具有良好的全局最优性。该算法的另外一个最大优 势在于简单易学，一般文化水平的人（比如初中以上）经过几天时间 就可以掌握，因此该算法具有极其广泛的使用范围。其难点在于特定 正交表的构造，人们正深入研究各种特殊正交表的构造方法。
4
优化算法简介——局部优化、全局 优化
有文献将神经网络也列入现代优化算法的范畴，从全局优化的角度看， 这并不适宜，因为神经网络的优化算法本质上是局部优化算法和全局 优化算法的综合应用。
局部优化算法主要用于解决凸问题或单峰问题，通常使用确定性搜索 策略，比如单纯形法、梯度下降法、爬山法、贪心法等，其基本思想 是在状态转移过程中，只接受更好的状态，拒绝恶化的状态。
5
优化算法简介——二者需要结合
局部优化算法由于易于陷入局部极优解而无法用于解决多峰问题；同 时，全局性优化算法采用适当的状态转移规则和概率性状态接受规则， 能够避免过早地陷入局部极优解从而搜索到全局性最优解。
通常，局部优化算法能够快速地收敛到局部极优解，而全局性优化算 法通过概率搜索可以获得在概率意义上尽可能好的全局性最优解区域， 但是其局部极优点搜索能力较低。这是全局搜索算法和局部搜索算法 之间的固有矛盾。对此人们进行了多种研究。基本解决方法在于二者 的结合，即利用全局性优化算法在整个可行域中搜索最优区域，利用 局部搜索算法搜索最优区域中的最优解。
习惯上，将优化算法分为两类：局部优化算法和全局性优化算法。前 者可以称为经典优化算法，已经得到了人们广泛深入的研究。目前， 运筹学（确定论方法）主要包括这些方面的内容，线性规划、整数规 划、–规划、非线性规划、排队论、决策论。后者习惯上称为现代优 化算法，是世纪年代兴起的新型全局性优化算法，主要包括禁忌搜索、 模拟退火、遗传算法等，其主要应用对象是优化问题中的难解问题， 即–问题
最优化计算方法精品文档59页
最优化计算方法---遗传算法1 遗传算法的历史简介二十世纪六十年代，I.Rechenberg在他的《演化战略》中第一次引入了进化算法的思想（起初称之为Evolutionsstragegie）。
他的这一思想逐渐被其他一些研究者发展。
遗传算法（Genetic Algorithms）是John Holland发明的，后来他和他的学生及他的同事又不断发展了它。
终于，在1975年John Holland出版了专著《自然系统和人工系统中的自适应》（Adaptation In Natural and Artificial Systems）。
1992年，John Koza曾经使用遗传算法编出新的程序去做一些具体的工作。
他称他的这种方法为“进化规划”（Genetic Programming，简称GP）。
其中使用了LISP规划方法，这是因为这种语言中的程序被表示为“分析树”（Parse Tree），而这种遗传算法就是以这些分析树为对象的。
2 生物学与进化论背景1）基因所有的生物都是由细胞组成的。
在每一个细胞中都有想同序列的染色体。
染色体是一串DNA的片断，它为整个有机体提供了一种复制模式。
染色体是由基因组成的，或者说染色体就是一块块的基因。
每一个基因为一个特定的蛋白质编码。
或者更简单的说，每一个基因为生物体的某一特定特征编码，比如说眼睛的颜色。
所有可能的某一特定特征的属性（比如：蓝色，桔黄色等）被称之为等位基因。
每一个基因在染色体上都有其特定的位置，这个位置一般被称作位点（Locus）。
全部序列的基因物质（或者全部的染色体）称之为基因组（或染色体组）（Genome）。
基因组上特定序列的基因被称作基因型（Genotype）。
基因型和后天的表现型两者是有机体的显性、生理和心理特征。
比如说眼睛的颜色、智力的基础。
2）复制（Reproduction）在复制中，首先发生的是交叉（Crossover）。
来自于父代的基因按照一定的方式组成了新的基因。
现代优化计算方法
max cT x
s Z n
c为n维列向量，A为m×n矩阵、b为m 维列向量，x 为n维决策变量，Zn表示n 维整数向量的集合 系数A、b和c的元素都是整数
• 例1.1.2和1.1.3的数学模型都具有(IP) 的形式 •一些组合优化问题可以写成整数线 性规划问题 •IP与LP形式非常相似，不同之处是 前者的决策变量部分或全部取整数
包的能力限制
(1.2)
xi
i=1
∈ {0,1},
i
=
1,",
xi＝1:装第i个物品
n
(1.3)
D={0,1}n，F为D中满足(1.2)的可行解．f为目标函数
例1.1.2 旅行商问题 (TSP，traveling salesman problem)
一个商人欲到n个城市推销商品，每两 个城市i和j之间的距离为dij，如何选择 一条道路使得商人每个城市走一遍后 回到起点且所走路径最短 TSP还可以细分为: 对称(dij =dji)和非对称距离两大类问题
决策变量
t = 1,",T
(1.12)
xit＝1表示第t时段加工产品i 、T:时段数
组合优化问题的表示形式
• 组合优化问题通常可以用整数规划模型 的形式表示，如例1.1.1和1.1.2
• 有些组合优化问题用IP模型表示则比较 复杂且不易被理解，不如对问题采用直 接叙述更易理解，如例1.1.2,1.1.4和1.1.5
1．1 组合最优化问题
1.组合最优化(combinatorial optimization) 是通过对数学方法的研究去寻找离散事 件的最优编排、分组、次序或筛选等， 是运筹学中的一个经典且重要的分支， 所研究的问题涉及信息技术、经济管理、 工业工程、交通运输、通信网络等诸多 领域
s Z n
c为n维列向量，A为m×n矩阵、b为m 维列向量，x 为n维决策变量，Zn表示n 维整数向量的集合 系数A、b和c的元素都是整数
• 例1.1.2和1.1.3的数学模型都具有(IP) 的形式 •一些组合优化问题可以写成整数线 性规划问题 •IP与LP形式非常相似，不同之处是 前者的决策变量部分或全部取整数
包的能力限制
(1.2)
xi
i=1
∈ {0,1},
i
=
1,",
xi＝1:装第i个物品
n
(1.3)
D={0,1}n，F为D中满足(1.2)的可行解．f为目标函数
例1.1.2 旅行商问题 (TSP，traveling salesman problem)
一个商人欲到n个城市推销商品，每两 个城市i和j之间的距离为dij，如何选择 一条道路使得商人每个城市走一遍后 回到起点且所走路径最短 TSP还可以细分为: 对称(dij =dji)和非对称距离两大类问题
决策变量
t = 1,",T
(1.12)
xit＝1表示第t时段加工产品i 、T:时段数
组合优化问题的表示形式
• 组合优化问题通常可以用整数规划模型 的形式表示，如例1.1.1和1.1.2
• 有些组合优化问题用IP模型表示则比较 复杂且不易被理解，不如对问题采用直 接叙述更易理解，如例1.1.2,1.1.4和1.1.5
1．1 组合最优化问题
1.组合最优化(combinatorial optimization) 是通过对数学方法的研究去寻找离散事 件的最优编排、分组、次序或筛选等， 是运筹学中的一个经典且重要的分支， 所研究的问题涉及信息技术、经济管理、 工业工程、交通运输、通信网络等诸多 领域
现代优化计算方法
1. 规定产生有限个候选解 ； 2. 在连续若干步候选解的目标函数值变化很小： 3. 目标函数值的均值已相当稳定。 外循环终止条件
1. 设置一个终止温度 te； 2. 规定外循环的最大迭代次数kmax： 3. 算法在每个tk值搜索到的最优解的值在若干次迭代内已 保持不变。
§10.3 模拟退火优化算法
§10.2 计算复杂性和启发式算法
一.计算复杂性
由于计算时间和存储空间的局限，某些算法在实践中不一定能得到解 算法的复杂性 算法的求解方法造成（例：求二阶导数） 问题的复杂性 问题本身求解的复杂造成
求解问题的规模（维数）n 对复杂性的影响
§10.2 计算复杂性和启发式算法
二.启发式算法
是相对于有严格数学背景的数学规划优化算法提出的。
启发式算法 适于求解高非线性、多约束、多极值问题
—— 现代优化计算方法：
模拟退火算法（Simulated annealing） 遗传算法（Genetic algorithms） 神经网络优化算法（Neural networks optimization） 混合优化算法（Hybrid optimization）
§10.3 模拟退火优化算法
一. 物理背景：
固体退火的物理过程和统计性质： （1）加温：随温度升高，粒子能量增高，与平衡位置的距离增大 （2）等温：温度升至熔解温度，固体的规则性被打破，成为液体， 粒子可以自由运动和重新排序，消除系统中原先存在的非均匀状态 （3）冷却：随着温度的下降，粒子能量减弱，运动减小粒子最终 进入平衡态，固化为具有最小能量的晶体
exp
Ei
Ej kt
random 0,1
若新状态 j 的能量满足条件，则被用来 替代原状态 i。 高温下，接受能量差较大的新状态； 低温下，只接受能量差较小的新状态。
1. 设置一个终止温度 te； 2. 规定外循环的最大迭代次数kmax： 3. 算法在每个tk值搜索到的最优解的值在若干次迭代内已 保持不变。
§10.3 模拟退火优化算法
§10.2 计算复杂性和启发式算法
一.计算复杂性
由于计算时间和存储空间的局限，某些算法在实践中不一定能得到解 算法的复杂性 算法的求解方法造成（例：求二阶导数） 问题的复杂性 问题本身求解的复杂造成
求解问题的规模（维数）n 对复杂性的影响
§10.2 计算复杂性和启发式算法
二.启发式算法
是相对于有严格数学背景的数学规划优化算法提出的。
启发式算法 适于求解高非线性、多约束、多极值问题
—— 现代优化计算方法：
模拟退火算法（Simulated annealing） 遗传算法（Genetic algorithms） 神经网络优化算法（Neural networks optimization） 混合优化算法（Hybrid optimization）
§10.3 模拟退火优化算法
一. 物理背景：
固体退火的物理过程和统计性质： （1）加温：随温度升高，粒子能量增高，与平衡位置的距离增大 （2）等温：温度升至熔解温度，固体的规则性被打破，成为液体， 粒子可以自由运动和重新排序，消除系统中原先存在的非均匀状态 （3）冷却：随着温度的下降，粒子能量减弱，运动减小粒子最终 进入平衡态，固化为具有最小能量的晶体
exp
Ei
Ej kt
random 0,1
若新状态 j 的能量满足条件，则被用来 替代原状态 i。 高温下，接受能量差较大的新状态； 低温下，只接受能量差较小的新状态。
第07章-现代优化算法
第一节 遗传算法（GA）
1.1 基本遗传算法的构成要素 (1) 染色体编码方法 基本遗传算法使用固定长度的二进制符号串来 表示群体中的个体，其等位基因由二值符号集{0， 1}组成。 初始群体中各个个体的基因值用均匀分布的随 机数来生成。如： x；1001 1100 1000 1011 01 就可表示一个个体，其染色体长度是 l＝18
第一节 遗传算法（GA）
(2) 个体适应度评价 基本遗传算法按与个体适应度成正比的概率来决定当前
群体中每个个体遗传到下一代群体中的机会多少。为正确计 算这个概率，这里要求所有个体的适应度必须为正数或零。 这样，根据不同种类的问题，必须预先确定好由目标函数 值到个体适应度之间的转换规则，特别是要预先确定好当目 标函数值为负数时的处理方法。
= 1.052426
第一节 遗传算法（GA）
1.3.2 个体适应度评价 要求所有个体的适应度必须为正数或零，不能是负数。
(1) 当优化目标是求函数最大值，并且目标函数总取正值时，可以 直接设定个体的适应度F(X)就等于相应的目标函数值f(X)，即：
F(X)＝f(X) (2) 对于求目标函数最小值的优化问题，理论上只需简单地对其增 加一个负号就可将其转化为求目标函数最大值的优化问题，即：
随机数r
23 49 76 13 1 27 57
被选中的个体号 3 7 10 3 1 3 7
第一节 遗传算法（GA）
1.3.4 单点交叉算子 (1) 交叉算子作用
通过交叉，子代的基因值不同于父代。交换是遗传算法产生新 个体的主要手段。正是有了交换操作，群体的性态才多种多样。 (2) 最常用和最基本——单点交叉算子。 (3) 单点交叉算子的具体计算过程如下： Ⅰ. 对群体中的个体进行两两随机配对。
1.1 基本遗传算法的构成要素 (1) 染色体编码方法 基本遗传算法使用固定长度的二进制符号串来 表示群体中的个体，其等位基因由二值符号集{0， 1}组成。 初始群体中各个个体的基因值用均匀分布的随 机数来生成。如： x；1001 1100 1000 1011 01 就可表示一个个体，其染色体长度是 l＝18
第一节 遗传算法（GA）
(2) 个体适应度评价 基本遗传算法按与个体适应度成正比的概率来决定当前
群体中每个个体遗传到下一代群体中的机会多少。为正确计 算这个概率，这里要求所有个体的适应度必须为正数或零。 这样，根据不同种类的问题，必须预先确定好由目标函数 值到个体适应度之间的转换规则，特别是要预先确定好当目 标函数值为负数时的处理方法。
= 1.052426
第一节 遗传算法（GA）
1.3.2 个体适应度评价 要求所有个体的适应度必须为正数或零，不能是负数。
(1) 当优化目标是求函数最大值，并且目标函数总取正值时，可以 直接设定个体的适应度F(X)就等于相应的目标函数值f(X)，即：
F(X)＝f(X) (2) 对于求目标函数最小值的优化问题，理论上只需简单地对其增 加一个负号就可将其转化为求目标函数最大值的优化问题，即：
随机数r
23 49 76 13 1 27 57
被选中的个体号 3 7 10 3 1 3 7
第一节 遗传算法（GA）
1.3.4 单点交叉算子 (1) 交叉算子作用
通过交叉，子代的基因值不同于父代。交换是遗传算法产生新 个体的主要手段。正是有了交换操作，群体的性态才多种多样。 (2) 最常用和最基本——单点交叉算子。 (3) 单点交叉算子的具体计算过程如下： Ⅰ. 对群体中的个体进行两两随机配对。
现代优化技术-靳志宏-第2讲：现代优化技术基础之数学基础
设想节点数增加的情形？
Q&A
47
（miles）
6
Z
784
408 736
774
434
1154
M
R
852
894
运筹学基础
• 列举树法：现实中的问题
旅行商问题的列举树
Z
M
L
R
B
LRB
MR B
ML B
MLR
RB L B L R R B M B M R L B M B M L L R M R M L
BR B L R L B R B M R B B L B M L M R L R M L M
运筹学基础
• 分枝定界法：现实中的问题
线性松弛问 题的最优解
= 背包问题的
上界值
23万円
19万円
16万円
23
16
28万円 28
2kg 3kg 4kg 5kg
極小 小
中
大
７ｋｇ
単位重量 的价值
xi
以此顺序装包 8 6.333 5.75 5.6
1
1 0.5 0
最优値=16+19+23/2=46.5
运筹学基础
运筹学基础
• 动态规划法：现实中的问题
最优解的最短路图 各点表示可能的θ值的状態． 某一状態（点）和别的状態（点）之间的连线为枝 枝上的数字表示状态之间变化所增加的背包内物品的价值． 下图为状态从0至7的最短路图解．
23
23
23
23
16
16
16
16
16
16
012 3 4 5 6 7
19
19
19
19
Q&A
47
（miles）
6
Z
784
408 736
774
434
1154
M
R
852
894
运筹学基础
• 列举树法：现实中的问题
旅行商问题的列举树
Z
M
L
R
B
LRB
MR B
ML B
MLR
RB L B L R R B M B M R L B M B M L L R M R M L
BR B L R L B R B M R B B L B M L M R L R M L M
运筹学基础
• 分枝定界法：现实中的问题
线性松弛问 题的最优解
= 背包问题的
上界值
23万円
19万円
16万円
23
16
28万円 28
2kg 3kg 4kg 5kg
極小 小
中
大
７ｋｇ
単位重量 的价值
xi
以此顺序装包 8 6.333 5.75 5.6
1
1 0.5 0
最优値=16+19+23/2=46.5
运筹学基础
运筹学基础
• 动态规划法：现实中的问题
最优解的最短路图 各点表示可能的θ值的状態． 某一状態（点）和别的状態（点）之间的连线为枝 枝上的数字表示状态之间变化所增加的背包内物品的价值． 下图为状态从0至7的最短路图解．
23
23
23
23
16
16
16
16
16
16
012 3 4 5 6 7
19
19
19
19
现代优化计算方法ppt课件-PPT精品文档
D { 0 , 1 }
n ( n 1 )
1.1 组合优化问题
例4 装箱问题（bin packing） 尺寸为1的箱子有若干个，怎样用最少的 箱子装下n个尺寸不超过1 的物品，物品 {a 集合为： 1, a 2,...a n} 。
1.1 组合优化问题
数 学 模 型 ： m in B s .t . x i b 1 , i 1 , 2 ,
b 1 n B
,n,
每个物品都被装箱
装在每个箱子的物品 a i x i b 1 , b 1 , 2 , , B , 总尺寸不能超过箱子 i1 的容量 x ib 0 , 1 , i 1 , 2 , , n ; b 1 , 2 , , B ,
其 中 x ib B :装 下 全 部 物 品 需 要 的 箱 子 ， 1, 第 i物 品 装 在 第 b 个 箱 子 ， 0 ，第 i 物 品 不 装 在 第 b 个 箱 子 .
1.1 组合优化问题
数学模型： m in
d
i j nij源自x ij , n, , n,
(1 .4 ) 总 路 长 (1 .5 ) 只 从 城 市 i 出 来 一 次 (1 .6 ) 只 走 入 城 市 j 一 次 , n , (1 .7 ) 在 任 意 城 市 子 集 中 不 形 成 回 路 (1 .8 ) 决 策 变 量
1.1 组合优化问题
组合优化（combinatorial optimization）:解决 离散问题的优化问题——运筹学分支。通过数学方 法的研究去寻找离散事件的最优编排、分组、次序 或筛选等，可以涉及信息技术、经济管理、工业工 程、交通运输和通信网络等许多方面。
数学模型： minf (x)
目标函数 约束函数 有限点集 ,决策变量
优化算法实现的方法与技巧
优化算法实现的方法与技巧优化算法是计算机科学领域中的一个重要研究方向，它旨在通过改进算法的设计和实现，提高计算机程序的性能和效率。
优化算法的应用范围广泛，涉及到各个领域，如机器学习、数据挖掘、图像处理等。
本文将讨论优化算法实现的方法与技巧，以帮助读者更好地理解和应用这些算法。
首先，一个好的优化算法需要有一个清晰的目标函数。
目标函数是衡量算法性能的标准，它可以是最小化或最大化的一个指标。
在实际应用中，目标函数的选择往往与具体问题相关。
例如，在机器学习中，我们可以选择最小化损失函数来优化模型的性能。
在图像处理中，我们可以选择最大化图像的清晰度来改善图像质量。
因此，在实现优化算法时，我们需要明确目标函数的定义和计算方法。
其次，优化算法的选择也是至关重要的。
不同的问题可能需要不同的优化算法来解决。
常见的优化算法包括梯度下降法、遗传算法、模拟退火算法等。
梯度下降法是一种基于目标函数梯度信息的优化算法，它通过迭代更新参数的方式来寻找最优解。
遗传算法是一种基于生物进化原理的优化算法，它通过模拟遗传、变异和选择的过程来搜索最优解。
模拟退火算法则是一种基于物理退火原理的优化算法，它通过模拟固体物质退火过程来搜索最优解。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的特点选择合适的优化算法。
另外，优化算法的参数设置也会对算法的性能产生重要影响。
参数设置涉及到学习率、迭代次数、种群大小等。
学习率是梯度下降法中的一个重要参数，它决定了每一次参数更新的步长。
学习率过大会导致算法无法收敛，学习率过小则会导致算法收敛速度过慢。
迭代次数是指算法迭代更新参数的次数，它决定了算法的收敛速度和精度。
种群大小是遗传算法中的一个重要参数，它决定了每一代的个体数量。
参数设置需要根据具体问题的特点和算法的性能进行调整，以达到最佳的优化效果。
此外，优化算法的并行化也是一种提高算法性能的方法。
由于优化算法通常涉及大量的计算和搜索，串行执行往往会导致算法的运行时间过长。
现代优化方法
优化问题的求解过程看作是一个寻优过程
通过控制参数的变化，使得解在寻优过程中不断逼近最优解。
概率突跳策略
在寻优过程中，通过引入一定的随机性，使得算法有可能跳出局部最优解，从而寻找到更好的全局最优解。
模拟退火算法的实现步骤
• 初始化：设定初始解、初始温度、降温系数、终止条件等参数。 • 评估解：计算当前解的目标函数值，以及与最优解的距离。 • 判断是否满足终止条件：如果满足，则终止算法并输出最优解；否则，继续下一步。 • 产生新解：根据当前解和目标函数的梯度信息，产生一个新的可能解。 • 判断是否接受新解：根据新解的目标函数值和当前解的目标函数值进行比较，如果新解更好，则接受新解
明确目标
了解约束
首先需要明确优化的目标，如成本最低化、 时间最短化等。目标不同，选择的优化方法 也会不同。
在选择优化方法时，需要了解各种方法的约 束条件，如变量范围、目标函数的性质等。
考虑问题的复杂性
方法的可行性
根据问题的复杂性和规模，选择合适的优化 方法。对于大规模问题，选择高效的优化方 法更为合适。
遗传算法的应用案例
函数优化问题
如求解一元函数的最小值或多元函数的极值点。
调度优化问题
如作业车间调度、排班优化等。
组合优化问题
如旅行商问题、背包问题等。
图像处理问题
如图像分割、特征提取等。
04
模拟退火算法
模拟退火算法的基本原理
基于固体的退火过程的模拟
将优化问题与固体的退火过程进行类比，将问题的解看作是固体中的粒子，通过控制温度和冷却速度，使得粒子在高温下能 够自由运动，并在冷却过程中达到最平衡的状态。
选择的优化方法应具有可实现性和可操作性 ，同时需要考虑计算时间和计算资源的限制 。
通过控制参数的变化，使得解在寻优过程中不断逼近最优解。
概率突跳策略
在寻优过程中，通过引入一定的随机性，使得算法有可能跳出局部最优解，从而寻找到更好的全局最优解。
模拟退火算法的实现步骤
• 初始化：设定初始解、初始温度、降温系数、终止条件等参数。 • 评估解：计算当前解的目标函数值，以及与最优解的距离。 • 判断是否满足终止条件：如果满足，则终止算法并输出最优解；否则，继续下一步。 • 产生新解：根据当前解和目标函数的梯度信息，产生一个新的可能解。 • 判断是否接受新解：根据新解的目标函数值和当前解的目标函数值进行比较，如果新解更好，则接受新解
明确目标
了解约束
首先需要明确优化的目标，如成本最低化、 时间最短化等。目标不同，选择的优化方法 也会不同。
在选择优化方法时，需要了解各种方法的约 束条件，如变量范围、目标函数的性质等。
考虑问题的复杂性
方法的可行性
根据问题的复杂性和规模，选择合适的优化 方法。对于大规模问题，选择高效的优化方 法更为合适。
遗传算法的应用案例
函数优化问题
如求解一元函数的最小值或多元函数的极值点。
调度优化问题
如作业车间调度、排班优化等。
组合优化问题
如旅行商问题、背包问题等。
图像处理问题
如图像分割、特征提取等。
04
模拟退火算法
模拟退火算法的基本原理
基于固体的退火过程的模拟
将优化问题与固体的退火过程进行类比，将问题的解看作是固体中的粒子，通过控制温度和冷却速度，使得粒子在高温下能 够自由运动，并在冷却过程中达到最平衡的状态。
选择的优化方法应具有可实现性和可操作性 ，同时需要考虑计算时间和计算资源的限制 。
现代优化方法
系统在受到局部损伤时还可以正常工作。 并不是说可以任意地对完成学习的网络进行修改。 也正是由于信息的分布存放，对一类网来说，当它 完成学习后，如果再让它学习新的东西，这时就会 破坏原来已学会的东西。
擅长两个方面：
◦ 对大量的数据进行分类，并且只有较少的几种情况； ◦ 必须学习一个复杂的非线性映射。
人 (或其它生物)的神经网络示意图
一个神经元通过晶枝(dendrite)接收到信息后，它 对这些信息进行处理 ，并通过它所控制的触突 (synapse)传给其它神经元。来自 神经元的六个基本特征：
◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ 神经元及其联接； 神经元之间的联接强度决定信号传递的强弱； 神经元之间的联接强度是可以随训练改变的； 信号可以是起刺激作用的，也可以是起抑制作用的； 一个神经元接受的信号的累积效果决定该神经元的状态； 每个神经元可以有一个“阈值”。
目前应用：
◦ 人们主要将其用于语音、视觉、知识处理、辅助决策等方 面。 ◦ 在数据压缩、模式匹配、系统建模、模糊控制、求组合优 化问题的最佳解的近似解（不是最佳近似解）等方面也有 较好的应用。。
萌芽期（20世纪40年代） 人工神经网络的研究最早可以追溯到人类开始研究 自己的智能的时期，到1949年止。 1943年，心理学家McCulloch和数学家Pitts建立 起了著名的阈值加权和模型，简称为M-P模型。发 表于数学生物物理学会刊《Bulletin of Mathematical Biophysics》 1949年，心理学家D. O.Hebb提出神经元之间突 触联系是可变的假说——Hebb学习律。
x2 (11 001) y1 (11111) x3 (01111) y2 (01 001) x2 (11 001) y3 (11 000) x4 (01 000) y4 (01 001)
现代优化计算方法
A
19
1.2 计算复杂性的概念
数的规模（编码长度） ： l ( x )
一个数在计算机中存储时占据的位数
实例的规模：
l(I )
一个实例所有参数数值的规模之和
算法的计算量：
CA( I )
算法求解中的加、减、乘、除、比较、
读、写等基本运算的总次数
A
20
数的规模
正整数x的二进制位数是:(整数到二进制的转换)
Intelligence） 6. 人工神经网络（38页） （artificial neural
networks） 7. 拉格朗日松弛算法（35页） （lagrangean
relaxation）
A
3
第一章 概论
1. 组合最优化问题 2. 计算复杂性 3. 邻域 4. 启发式算法
A
4
背景
传统实际问题的特点 连续性问题——主要以微积分为基础，且问题规模较小
28
计算时 1
间
sec
24 10 4.3
4.9
sec min hour day
29
30
31
136.5 day
10.8 year
325 year
随城市增多，计算时间增加很快。 到31个城市时，要计算325年。
描述算法的好坏——计算复杂性——讨论计算时间与问题规模 之间的关系。以目前二进制计算机中的存储和计算为基础， 以理论的形式系统描述，是评估算法性能的基础。
以二进制计算机中的存储和计算为基础 理论产生于20世纪70年代 例 非对称距离TSP问题的算法实现：所有路径枚举。 计算时间：n个城市，固定1个为起终点需要(n-1)!
个枚举 设计算机1秒能完成24个城市的枚举，则城市数与 计算时间的关系如下表：
现代优化算法简介PPT课件
混合优化算法
将传统优化算法与启发式 优化算法相结合，以提高 效率和精度。
02
常见优化算法介绍
梯度下降法
总结词
基本、直观、易实现
详细描述
梯度下降法是最基础的优化算法之一，它通过不断沿着函数梯度的反方向进行 搜索，以寻找最小值点。由于其简单直观且易于实现，梯度下降法在许多领域 都有广泛应用。
牛顿法
优化算法的重要性
优化算法是解决复杂问题的关键，能 够提高效率和精度，降低成本和风险 。
随着大数据和人工智能的快速发展， 优化算法在解决实际问题中扮演着越 来越重要的角色。
现代优化算法的发展历程
01
02
03
传统的优化算法
如梯度下降法、牛顿法等， 适用于简单问题。
启发式优化算法
如遗传算法、模拟退火算 法等，适用于复杂问题。
多目标优化问题
总结词
多目标优化问题是指同时追求多个目标函数 的优化问题，如多目标决策、多目标规划等 。
详细描述
多目标优化问题需要同时考虑多个相互冲突 的目标函数，找到一个平衡的解。现代优化 算法如遗传算法、粒子群算法等在多目标优 化问题中广泛应用，能够找到一组非支配解
，满足不同目标的权衡和折衷。
04
指算法在处理大规模数据集时的性能表现。
详细描述
随着数据规模的增大，算法的可扩展性变得越来越重 要。现代优化算法需要能够高效地处理大规模数据集 ，同时保持较高的计算效率和精度。这需要算法设计 时充分考虑计算资源的利用和优化。
算法的理论支撑
总结词
指算法的理论基础和数学证明。
详细描述
现代优化算法需要有坚实的理论基础 和数学证明，以确保其有效性和正确 性。这需要算法设计者具备深厚的数 学功底和理论素养，以确保算法的可 靠性和稳定性。
现代优化算法简介课件
线性规划的应用案例
01
02
03
04
$item1_c线性规划的应用案例 包括生产计划、运输问题、资 源分配等。
$item1_c线性规划的应用案例 包括生产计划、运输问题、资 源分配等。
$item1_c线性规划的应用案例 包括生产计划、运输问题、资 源分配等。
线性规划的应用案例包括生产 计划、运输问题、资源分配等 。
3. 判断是否接受候选解：根据目标函数值的改善情况， 判断是否接受候选解作为新的当前解。
4. 更新温度：降低当前温度，以保证算法能够跳出局部 最优解。
5. 终止条件：当满足终止条件（如达到最大迭代次数或 目标函数值满足精度要求）时，输出当前解作为最终结果 。
模拟退火算法的应用案例
95% 85% 75% 50% 45%
优化算法的重要性
优化算法在许多领域都有广泛的应用 ，如生产计划、物流运输、金融投资 等。
VS
在这些领域中，优化算法可以帮助我 们找到最优的解决方案，提高效率和 收益。
课程目标
02
01
03
掌握现代优化算法的基本概念和原理。 了解不同类型优化算法的应用场景和优劣。 能够根据实际问题选择合适的优化算法并实现。
100%
递归法
将问题分解为若干个子问题，然 后分别求解每个子问题，最终得 到整个问题的最优解。
80%
迭代法
从初始解开始，逐步迭代，逐步 逼近最优解。
动态规划的应用案例
最短路径问题
动态规划可以用于求解图中两 个节点之间的最短路径问题， 如Dijkstra算法和Floyd算法等 。
背包问题
动态规划可以用于求解0/1背 包问题、完全背包问题和多约 束背包问题等，如Knapsack 算法等。
《现代优化算法》课件
群体智能的涌现
通过大量蚂蚁的协作和信息共享，蚁群能够找到从起点到 终点的最优路径，这种群体智能的涌现是蚁群优化算法的 核心。
蚁群优化算法的实现步骤
初始化
设置蚁群数量、信息素初始值 、蚂蚁初始位置等参数。
循环迭代
在每一步迭代中，蚂蚁根据信 息素浓度选择移动方向，同时 更新路径上的信息素浓度。
信息素挥发
机器学习与数据挖
掘
蚁群优化算法在特征选、聚类 分析、分类器设计等领域也有着 广泛的应用。
THANKS
感谢观看
终止条件
当达到终止条件时，算法结束 ，返回最优解。
模拟退火算法的应用
组合优化问题
模拟退火算法广泛应用于解决各种组合 优化问题，如旅行商问题、调度问题、
图形划分问题等。
经济学
模拟退火算法在经济学中也有广泛应 用，如优化金融衍生品定价、风险管
理等。
机器学习
模拟退火算法也可用于优化机器学习 模型的参数，如支持向量机、神经网 络等。
现代优化算法不断改进和创新，以适应更复杂的问题和更高效求解的需求 。
02
线性规划
线性规划的定义
1
线性规划是数学优化技术中的一种，它通过寻找 一组变量的最优组合，使得某个或多个线性目标 函数达到最大或最小值。
2
线性规划问题通常表示为在满足一系列线性约束 条件下，最大化或最小化一个线性目标函数。
3
线性规划问题具有明确的目标函数和约束条件， 且目标函数和约束条件都是线性函数。
非线性规划的应用
机器学习
用于训练神经网络、支持向量机等模 型，优化模型的参数以获得更好的预 测性能。
图像处理
用于图像压缩、图像增强、图像恢复 等问题，通过优化算法来寻找最佳的 参数配置。
通过大量蚂蚁的协作和信息共享，蚁群能够找到从起点到 终点的最优路径，这种群体智能的涌现是蚁群优化算法的 核心。
蚁群优化算法的实现步骤
初始化
设置蚁群数量、信息素初始值 、蚂蚁初始位置等参数。
循环迭代
在每一步迭代中，蚂蚁根据信 息素浓度选择移动方向，同时 更新路径上的信息素浓度。
信息素挥发
机器学习与数据挖
掘
蚁群优化算法在特征选、聚类 分析、分类器设计等领域也有着 广泛的应用。
THANKS
感谢观看
终止条件
当达到终止条件时，算法结束 ，返回最优解。
模拟退火算法的应用
组合优化问题
模拟退火算法广泛应用于解决各种组合 优化问题，如旅行商问题、调度问题、
图形划分问题等。
经济学
模拟退火算法在经济学中也有广泛应 用，如优化金融衍生品定价、风险管
理等。
机器学习
模拟退火算法也可用于优化机器学习 模型的参数，如支持向量机、神经网 络等。
现代优化算法不断改进和创新，以适应更复杂的问题和更高效求解的需求 。
02
线性规划
线性规划的定义
1
线性规划是数学优化技术中的一种，它通过寻找 一组变量的最优组合，使得某个或多个线性目标 函数达到最大或最小值。
2
线性规划问题通常表示为在满足一系列线性约束 条件下，最大化或最小化一个线性目标函数。
3
线性规划问题具有明确的目标函数和约束条件， 且目标函数和约束条件都是线性函数。
非线性规划的应用
机器学习
用于训练神经网络、支持向量机等模 型，优化模型的参数以获得更好的预 测性能。
图像处理
用于图像压缩、图像增强、图像恢复 等问题，通过优化算法来寻找最佳的 参数配置。
现代优化计算方法
2）OSS（One Step Secant）算法
由于BFGS算法在每次迭代时比变梯度算法需要更多的存储空间和计算量，所以对于正切近似法减少其存储量和计算量是必要的。OSS算法试图解决变梯度算法和拟牛顿法之间的矛盾，该算法不必存储全部Hessian矩阵，它假定每一次迭代时，前一次迭代的Hessian矩阵具有一致性，这样做的另一个优点是，在新的搜索方向进行计算时不必计算矩阵的逆。该算法每次迭代所需的存储量和计算量介于梯度算法和完全拟牛顿算法之间。
动量bp算法momentumbackpropagationmobp动量bp算法是在梯度下降算法的基础上引入动量因子xk1212该算法是以前一次的修正结果来影响本次的修正量当前一次的修正量过大时式211第二项的符号与前一次修正量的符号相反从而使本次的修正量减小达到减小震荡的作用
西安理工大学
研究生课程论文/研究报告
（5）拟牛顿算法（Quasi-Newton algorithms）
牛顿法是一种基于二阶泰勒级数的快速优化算法。其基本方法是x(k+1)=x(k)- (k)g(k),式中，A（k）为误差性能函数在当前权值和阈值下的Hessian矩阵（二阶导数）。牛顿法通常比变梯度法的收敛速度快，但前馈神经网络计算Hessian矩阵是很复杂的，付出的代价也很大。
在动量BP算法中，学习率是一个常数，在整个训练过程中保持不变，学习算法的性能对于学习率的选择非常敏感，学习率过大，算法可能震荡而不稳定；学习率过小，则收敛速度慢，训练时间长。而在训练前，要选择最佳的学习率是不现实的。事实上，可以在训练的过程中，使学习率随之变化，而使算法沿着误差性能曲面进行修正。
自适应调整学习率的梯度下降算法，在训练的过程中，力图使算法稳定，而同时又使学习的步长尽量大，学习率则是根据局部误差曲面做出相应的调整。当误差以减小的方式趋于目标时，说明修正方向正确，可使步长增加，因此学习率乘以增量因子 ,使学习率增加；而当误差增加超过事先设定的值时，说明修正过头，应减小步长，因此学习率乘以减量因子 ，使学习率减小，同时舍去使误差增加的前一步修正过程，即当E(k+1)＜E(k)，α（k+1）= α（k）（2-13）；当E(k+1)＞(k)，α（k+1）= α（k）（2-14）；
由于BFGS算法在每次迭代时比变梯度算法需要更多的存储空间和计算量，所以对于正切近似法减少其存储量和计算量是必要的。OSS算法试图解决变梯度算法和拟牛顿法之间的矛盾，该算法不必存储全部Hessian矩阵，它假定每一次迭代时，前一次迭代的Hessian矩阵具有一致性，这样做的另一个优点是，在新的搜索方向进行计算时不必计算矩阵的逆。该算法每次迭代所需的存储量和计算量介于梯度算法和完全拟牛顿算法之间。
动量bp算法momentumbackpropagationmobp动量bp算法是在梯度下降算法的基础上引入动量因子xk1212该算法是以前一次的修正结果来影响本次的修正量当前一次的修正量过大时式211第二项的符号与前一次修正量的符号相反从而使本次的修正量减小达到减小震荡的作用
西安理工大学
研究生课程论文/研究报告
（5）拟牛顿算法（Quasi-Newton algorithms）
牛顿法是一种基于二阶泰勒级数的快速优化算法。其基本方法是x(k+1)=x(k)- (k)g(k),式中，A（k）为误差性能函数在当前权值和阈值下的Hessian矩阵（二阶导数）。牛顿法通常比变梯度法的收敛速度快，但前馈神经网络计算Hessian矩阵是很复杂的，付出的代价也很大。
在动量BP算法中，学习率是一个常数，在整个训练过程中保持不变，学习算法的性能对于学习率的选择非常敏感，学习率过大，算法可能震荡而不稳定；学习率过小，则收敛速度慢，训练时间长。而在训练前，要选择最佳的学习率是不现实的。事实上，可以在训练的过程中，使学习率随之变化，而使算法沿着误差性能曲面进行修正。
自适应调整学习率的梯度下降算法，在训练的过程中，力图使算法稳定，而同时又使学习的步长尽量大，学习率则是根据局部误差曲面做出相应的调整。当误差以减小的方式趋于目标时，说明修正方向正确，可使步长增加，因此学习率乘以增量因子 ,使学习率增加；而当误差增加超过事先设定的值时，说明修正过头，应减小步长，因此学习率乘以减量因子 ，使学习率减小，同时舍去使误差增加的前一步修正过程，即当E(k+1)＜E(k)，α（k+1）= α（k）（2-13）；当E(k+1)＞(k)，α（k+1）= α（k）（2-14）；