理科数学A卷
2019-2020学年人教A版湖南省长沙市长郡中学高三第二学期(3月份)第一次段考(理科)数学试卷 含解析
2019-2020学年高三第二学期段考数学试卷（理科）（3月份）一、选择题1．若i为虚数单位，复数z满足z（1+i）＝|1﹣i|+i，则z的虚部为（）A．B．C．D．2．设集合A＝{x|＜0}，B＝{x|x≤﹣3}，则集合{x/x≥1}＝（）A．A∩B B．A∪B C．（∁R A）∪（∁R B}D．（∁R A）∩（∁R B} 3．中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人12月营收贯数为（）A．35B．65C．70D．604．“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界．其游戏规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在话音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”．“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石头”．若所出的拳相同，则为和局．小千和大年两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小千和大年比赛至第四局小千胜出的概率是（）A．B．C．D．5．已知a＝log0.62，b＝log20.6，c＝0.62，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b6．椭圆C：+＝1，F1，F2是其焦点，点P是椭圆C上一点，若△F1PF2是直角三角形，则点P到x轴的距离为（）A．B．C．D．27．若α为锐角，且（4cos50°﹣tan40°）tanα＝1，则α＝（）A．60°B．50°C．40°D．30°8．设等比数列{a n}的前n项和为S n，公比为q，且S3，S9，S6成等差数列，则8q3等于（）A．﹣4B．﹣2C．2D．49．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，若直线y＝kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．B．C．D．10．已知函数的图象关于直线对称，若f（x1）f（x2）＝﹣4，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．11．如图，在梯形ABCD中已知|AB|＝2|CD|，＝，双曲线过C，D，E三点，且以A，B为焦点，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．3D．12．如图，棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为30°，则顶点C1到平面α的距离的最大值是（）A．2（2+）B．2（+）C．2（+1）D．2（+1）二、填空题13．已知n＝（﹣2x）dx，则x（1﹣）n的展开式中的常数项为．14．某封闭几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为15．对于数列{a n}，若∀m，n∈N*（m≠n），都有成立，则称数列{a n}具有性质P（t）．若数列{a n}的通项公式为，且具有性质P（10），则实数a的取值范围是．16．若∀x∈[e，+∞），满足恒成立，则实数m的取值范围为．三.解答题17．已知在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，点D为BC边的中点，△ABC 的面积为．（1）求sin∠BAD•sin∠BDA的值；（2）若BC＝6AB，AD＝2，求b．18．如图，矩形ABCD中，AB＝6，，点F是AC上的动点．现将矩形ABCD沿着对角线AC折成二面角D'﹣AC﹣B，使得．（Ⅰ）求证：当时，D'F⊥BC；（Ⅱ）试求CF的长，使得二面角A﹣D'F﹣B的大小为．19．已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，|AB|＝4．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．20．已知函数f（x）＝e﹣x﹣ax（x∈R）．（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的最小值；（2）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围．21．如图，直角坐标系中，圆的方程为x2+y2＝1，A（1，0），B（﹣，），C（﹣，﹣）为圆上三个定点，某同学从A点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．设掷骰子n次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为P n（A），P n（B），P n（C）．例如：掷骰子一次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为P1（A）＝0，P1（B）＝，P1（C）＝（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到A，B，C处的概率；（2）掷骰子n次时，若以x轴非负半轴为始边，以射线OA，OB，OC为终边的角的余弦值记为随机变量X n，求X4的分布列和数学期望；（3）记P n（A）＝a n，P n（B）＝b n，P n（C）＝c n．，其中a n+b n+c n＝1．证明：数列{b n ﹣}是等比数列，并求a2020．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）＝1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q 两点，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+b2|﹣|﹣x+1|，g（x）＝|x+a2+c2|+|x﹣2b2|，其中a，b，c均为正实数，且ab+bc+ac＝1．（Ⅰ）当b＝1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）当x∈R时，求证f（x）≤g（x）．参考答案一.选择题1．若i为虚数单位，复数z满足z（1+i）＝|1﹣i|+i，则z的虚部为（）A．B．C．D．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z（1+i）＝|1﹣i|+i＝，得z＝．∴z的虚部为．故选：D．2．设集合A＝{x|＜0}，B＝{x|x≤﹣3}，则集合{x/x≥1}＝（）A．A∩B B．A∪B C．（∁R A）∪（∁R B}D．（∁R A）∩（∁R B}【分析】解不等式得集合A，根据补集的定义写出∁R A、∁R B，即可得出结论解：集合A＝{x|＜0}＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|x≤﹣3}，则∁R A＝{x|x≤﹣3或x≥1}，∁R B＝{x|x＞﹣3}；∴（∁R A）∩（∁R B}＝{x|x≥1}．故选：D．3．中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人12月营收贯数为（）A．35B．65C．70D．60【分析】设每个月的收入为等差数列{a n}．公差为d．由a3＝25，S12＝510．可得a1+2d ＝25，12a1+d＝510，联立解出即可得出．解：设每个月的收入为等差数列{a n}．公差为d．则a3＝25，S12＝510．∴a1+2d＝25，12a1+d＝510，解得a1＝15，d＝5，∴a12＝15+11×5＝70．故选：C．4．“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界．其游戏规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在话音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”．“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石头”．若所出的拳相同，则为和局．小千和大年两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小千和大年比赛至第四局小千胜出的概率是（）A．B．C．D．【分析】小千和大年比赛至第四局小千胜出，由指前3局中小千胜2局，有1局不胜，第四局小千胜，由此能求出小千和大年比赛至第四局小千胜出的概率．解：根据“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，而“布”又胜“石头”，可得每局比赛中小千胜大年、小千与大年和局和小千输给大年的概率都为，∴小千和大年两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小千和大年比赛至第四局小千胜出，由指前3局中小千胜2局，有1局不胜，第四局小千胜，∴小千和大年比赛至第四局小千胜出的概率是：p＝＝．故选：B．5．已知a＝log0.62，b＝log20.6，c＝0.62，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】a＝log0.62＝﹣1，又ab＝1．可得b＝log20.6∈（﹣1，0），而c ＞0，即可得出大小关系．解：a＝log0.62＝﹣1，又ab＝×＝1．∴b＝log20.6∈（﹣1，0），c＝0.62＞0，则c＞b＞a．故选：C．6．椭圆C：+＝1，F1，F2是其焦点，点P是椭圆C上一点，若△F1PF2是直角三角形，则点P到x轴的距离为（）A．B．C．D．2【分析】分两种情况讨论，是∠P为90°还是∠F1或∠F2为90°，注意P的纵坐标的取值范围，将P的坐标代入椭圆中，再由角为90°可得P的纵坐标的绝对值，即是P 到x轴的距离．解：设P（m，n），|n|2≤5，由题意可得：+＝1，m2＝9（1﹣），a2＝9，b2＝5，所以c2＝a2﹣b2＝9﹣5＝4，所以c＝2，F1（﹣2，0），F2（2，0），△F1PF2是直角三角形，当∠PF2F1＝90°，或∠PF1F2＝90°结果一样的，则m＝c＝2，代入椭圆可得|n|＝＝；当∠F1PF2＝90°时，而＝（m+2，n），＝（m﹣2，n），所以＝0，即（m+2）（m﹣2）+n2＝0，m2+n2＝4，即9（1﹣）+n2＝4，解得n2＝＞5，不成立，综上所述|n|＝，故选：A．7．若α为锐角，且（4cos50°﹣tan40°）tanα＝1，则α＝（）A．60°B．50°C．40°D．30°【分析】先利用三角函数公式化简4cos50°﹣tan40°＝，则tan，从而求出α的值．解：4cos50°﹣tan40°＝4sin40°﹣tan40°＝＝＝＝＝＝，∴，又∵α为锐角，∴α＝300，故选：D．8．设等比数列{a n}的前n项和为S n，公比为q，且S3，S9，S6成等差数列，则8q3等于（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【分析】利用等差数列的性质、等比数列的通项公式即可得出．解：）∵S3，S9，S6成等差数列，∴2S9＝S3+S6，∴（S9﹣S6）+（S9﹣S3）＝0，即（a7+a8+a9）+（a7+a8+a9）+（a4+a5+a6）＝0，∴2q3（a4+a5+a6）+（a4+a5+a6）＝0，∵，∴q3＝﹣，∴8q3＝﹣4．故选：A．9．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，若直线y＝kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．B．C．D．【分析】化圆C的方程为（x﹣4）2+y2＝1，求出圆心与半径，由题意，只需（x﹣4）2+y2＝4与直线y＝kx+2有公共点即可．解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，整理得：（x﹣4）2+y2＝1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y＝kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2＝4与直线y＝kx+2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y＝kx+2的距离为d，则d＝≤2，即3k2≤﹣4k，∴﹣≤k≤0．∴k的最小值是．故选：A．10．已知函数的图象关于直线对称，若f（x1）f（x2）＝﹣4，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】根据函数的对称性，利用f（0）＝f（﹣），建立方程求出a的值，然后利用辅助角公式求出f（x）的解析式，利用最值性质转化为周期关系进行求解即可．解：∵f（x）的图象关于直线对称，∴f（0）＝f（﹣），即﹣＝a sin（﹣）﹣cos（﹣）＝﹣a﹣，得a＝，得a＝1，则f（x）＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），∵f（x1）f（x2）＝﹣4，∴f（x1）＝2，f（x2）＝﹣2或f（x1）＝﹣2，f（x2）＝4，即f（x1），f（x2）一个为最大值，一个为最小值，则|x1﹣x2|的最小值为，∵T＝＝π，∴＝，即|x1﹣x2|的最小值为，故选：D．11．如图，在梯形ABCD中已知|AB|＝2|CD|，＝，双曲线过C，D，E三点，且以A，B为焦点，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．3D．【分析】以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，求出C的坐标，根据向量的运算求出点E的坐标，代入双曲线方程即可求出解：由|AB|＝2|CD|，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，设双曲线的方程为﹣＝1，由双曲线是以A，B为焦点，∴A（﹣c，0），B（c，0），把x＝c，代入﹣＝1，可得y＝b，即有C（c，b），又设A（﹣c，0），∴＝（c，b），设E（x，y），∴＝（x+c，y），∵＝，∴（x+c，y）＝（c，b），解得x＝﹣c，y＝b•），可得E（﹣c，b•），代入双曲线的方程可得﹣（﹣1）＝1，即e2﹣（﹣1）＝，即e2＝7，即e＝，故选：A．12．如图，棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为30°，则顶点C1到平面α的距离的最大值是（）A．2（2+）B．2（+）C．2（+1）D．2（+1）【分析】如图所示，O在AC上，C1O⊥α，垂足为E，则C1E为所求，∠OAE＝30°，由题意，设CO＝x，则AO＝4﹣x，由此可得顶点C1到平面α的距离的最大值．解：如图所示，AC的中点为O，C1O⊥α，垂足为E，则C1E为所求，∠AOE＝30°由题意，设CO＝x，则AO＝4﹣x，C1O＝，OE＝OA＝2﹣x，∴C1E＝+2﹣x，令y＝+2﹣x，则y′＝﹣＝0，可得x＝，∴x＝，顶点C1到平面α的距离的最大值是2（+）．故选：B．二、填空题13．已知n＝（﹣2x）dx，则x（1﹣）n的展开式中的常数项为60．【分析】根据题意，由定积分计算公式可得n的值，进而由二项式定理分析（1﹣）6的展开式含x﹣1次方的项，据此分析可得答案．解：根据题意，n＝（﹣2x）dx＝（）dx﹣（2x）dx＝××π﹣（x2）＝6，（1﹣）6的展开式通项为T r+1＝C6r（﹣）r，当r＝2时，有T3＝C62（﹣）2＝，则x（1﹣）n的展开式中的常数项为60；故答案为：6014．某封闭几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为222+6【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，画出直观图，计算各个面的面积，相加可得答案．解：由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，其直观图如图所示：底面△ABC的面积为：×8×6＝24；侧面ACDE的面积为：×10＝100，侧面ABFE的面积为：（4+10）×6＝42，侧面CBFD的面积为：（4+10）×8＝56，面EFD中，EF＝6，FD＝10，ED＝10，故面积为：×6×＝6，故几何体的表面积S＝222+6，故答案为：222+615．对于数列{a n}，若∀m，n∈N*（m≠n），都有成立，则称数列{a n}具有性质P（t）．若数列{a n}的通项公式为，且具有性质P（10），则实数a的取值范围是[36，+∞）．【分析】由题意知恒成立，从而可得数列为单调递增数列，从而可得恒成立，即a≥﹣n（n+1）（2n﹣9），从而解得．解：∵数列通项公式且数列具有性质P（10），∴，∴恒成立，∴数列为单调递增数列，∴恒成立，即a≥﹣n（n+1）（2n﹣9），由数轴标根法作图如下，故最大值在n＝1，2，3或4上取得，当n＝1时，﹣n（n+1）（2n﹣9）＝14，当n＝2时，﹣n（n+1）（2n﹣9）＝30，当n＝3时，﹣n（n+1）（2n﹣9）＝36，当n＝4时，﹣n（n+1）（2n﹣9）＝20，故a≥36．故答案为：[36，+∞）．16．若∀x∈[e，+∞），满足恒成立，则实数m的取值范围为（﹣∞，2e]．【分析】通过①m≤0，判断是否满足题意；②m＞0时，由，利用函数的单调性转化求解即可．解：①m≤0，恒成立，所以满足恒成立，显然成立；②m＞0时，由，由f（x）＝xe x在[e，+∞）为增⇒m≤2xlnx在[e，+∞）恒成立，由g（x）＝2xlnx在[e，+∞）为增函数，g（x）min＝2e，0＜m≤2e，综上，m≤2e，故答案为：（﹣∞，2e]．三.解答题17．已知在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，点D为BC边的中点，△ABC 的面积为．（1）求sin∠BAD•sin∠BDA的值；（2）若BC＝6AB，AD＝2，求b．【分析】（1）由ABC的面积为且D为BC的中点可得△ABD的面积为，再由三角形的面积公式及正弦定理可求sin∠BAD•sin∠BDA；（2）由（1）可得BC＝6AB，可求sin∠BAD，3sin∠BDA，再由余弦定理可求．解：（1）∵D为BC边的中点，△ABC的面积为，∴△ABD的面积为，∴，∴3AB•BD＝，由正弦定理可得，＝∴3AB•BD＝＝，∴sin∠BAD•sin∠BDA＝（2）∵BC＝6AB，且D为BC的中点，∴BC＝2BD＝6AB，即BD＝3AB，△ABD中，由正弦定理可得，，∴sin∠BAD＝3sin∠BDA，由（1）可知，sin∠BAD•sin∠BDA＝∴sin∠BAD＝1，sin∠BDA＝，∴∠BAD＝90°，Rt△ABD中，AD＝2，∴AB＝1，BD＝3，∴BC＝2BD＝6，△ABC中，由余弦定理可得，b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝1+36﹣2×1×6×＝33，∴b＝．18．如图，矩形ABCD中，AB＝6，，点F是AC上的动点．现将矩形ABCD沿着对角线AC折成二面角D'﹣AC﹣B，使得．（Ⅰ）求证：当时，D'F⊥BC；（Ⅱ）试求CF的长，使得二面角A﹣D'F﹣B的大小为．【分析】（Ⅰ）连结DF，BF．通过计算DF2+AF2＝9+3＝DA2，推出DF⊥AC，得到D'F⊥AC，证明BF⊥D'F，然后证明D'F⊥平面ABC．推出D'F⊥BC．（Ⅱ）说明OE，OC，OD'两两垂直，以O为原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面AD'F的一个法向量．平面BD'F的法向量通过向量的数量积求解二面角的平面角的余弦值即可．【解答】满分．（Ⅰ）证明：连结DF，BF．在矩形ABCD中，，∴，∠DAC＝60°．…（1分）在△ADF中，∵，∴DF2＝DA2+AF2﹣2DA•AF•cos∠DAC＝9，．…∵DF2+AF2＝9+3＝DA2，∴DF⊥AC，即D'F⊥AC．…又在△ABF中，BF2＝AB2+AF2﹣2AB•AF•cos∠CAB＝21，…∴在△D'FB中，，∴BF⊥D'F，…又∵AC∩FB＝F，∴D'F⊥平面ABC．∴D'F⊥BC．…（Ⅱ）解：在矩形ABCD中，过D作DE⊥AC于O，并延长交AB于E．沿着对角线AC翻折后，由（Ⅰ）可知，OE，OC，OD'两两垂直，以O为原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），E（1，0，0），， (7)）k AB＝﹣1平面AD'F，∴为平面AD'F的一个法向量．…设平面BD'F的法向量为＝（x，y，z），∵F（0，t，0），∴，由得取y＝3，则，∴．…∴，即，∴．∴当时，二面角A﹣D'F﹣B的大小是．…19．已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，|AB|＝4．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．【分析】（1）由题意可得|AB|＝2p＝4，即可求出抛物线的方程，（2）设直线AB的方程为y＝x﹣1，联立消去x，得y2﹣4y﹣4＝0，根据韦达定理结合直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，即可求出点P的坐标解：（1）因为，在抛物线方程y2＝2px中，令，可得y＝±p．于是当直线与x轴垂直时，|AB|＝2p＝4，解得p＝2．所以抛物线的方程为y2＝4x．（2）因为抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，所以M（﹣1，﹣2）．设直线AB的方程为y＝x﹣1，联立消去x，得y2﹣4y﹣4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4，y1y2＝﹣4．若点P（x0，y0）满足条件，则2k PM＝k PA+k PB，即，因为点P，A，B均在抛物线上，所以．代入化简可得，将y1+y2＝4，y1y2＝﹣4代入，解得y0＝±2．将y0＝±2代入抛物线方程，可得x0＝1．于是点P（1，±2）为满足题意的点．20．已知函数f（x）＝e﹣x﹣ax（x∈R）．（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的最小值；（2）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；（2）得到e x+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（*）令g（x）＝e x+ax+ln（x+1）﹣1，通过讨论a 的范围，确定函数的单调性，从而求出满足条件的a的具体范围即可；解：（1）当a＝﹣1时，f（x）＝e﹣x+x，则f′（x）＝﹣+1．令f'（x）＝0，得x＝0．当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．∴函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．∴当x＝0时，函数f（x）取得最小值，其值为f（0）＝1f（x）的最小值为1．（2）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，即e x+ax+ln（x+1）﹣1≥0（*）令g（x）＝e x+ax+ln（x+1）﹣1，则①若a≥﹣2，由（1）知e﹣x+x≥1，即e﹣x≥1﹣x，故e x≥1+x∴函数g（x）在区间[0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（0）＝0．∴（*）式成立．②若a＜﹣2，令，则∴函数ϕ（x）在区间[0，+∞）上单调递增，由于ϕ（0）＝2+a＜0，．故∃x0∈（0，﹣a），使得ϕ（x0）＝0，则当0＜x＜x0时，ϕ（x）＜ϕ（x0）＝0，即g'（x）＜0．∴函数g（x）在区间（0，x0）上单调递减，∴g（x0）＜g（0）＝0，即（*）式不恒成立．综上所述，实数a的取值范围是[﹣2，+∞）．21．如图，直角坐标系中，圆的方程为x2+y2＝1，A（1，0），B（﹣，），C（﹣，﹣）为圆上三个定点，某同学从A点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．设掷骰子n次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为P n（A），P n（B），P n（C）．例如：掷骰子一次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为P1（A）＝0，P1（B）＝，P1（C）＝（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到A，B，C处的概率；（2）掷骰子n次时，若以x轴非负半轴为始边，以射线OA，OB，OC为终边的角的余弦值记为随机变量X n，求X4的分布列和数学期望；（3）记P n（A）＝a n，P n（B）＝b n，P n（C）＝c n．，其中a n+b n+c n＝1．证明：数列{b n ﹣}是等比数列，并求a2020．【分析】（1）由概率的乘法公式，可得所求值；（2）随机变量X4的可能取值为1，﹣，结合（1）运用概率乘法公式，可得随机变量的分布列和期望；（3）易得b n＝c n，即b n﹣1＝c n﹣1，n≥2，由条件推得2b n+b n﹣1＝1，由构造等比数列，可得b n＝+•（﹣）n﹣1，即可得到所求值．解：（1）P2（A）＝•+•＝，P2（B）＝•＝，P2（C）＝•＝，P3（A）＝••+••＝，P3（B）＝（+）•＝，P3（C）＝（+）•＝；（2）随机变量X4的可能取值为1，﹣，由（1）可得P（x4＝1）＝（P3（B）+P3（C））•＝（+）•＝，P（x4＝﹣）＝（P3（A）+P3（C））•+（P3（A）+P3（B））•＝，则X4的分布列为x41﹣PE（X4）＝1•+（﹣）•＝；（3）证明：易得b n＝c n，即b n﹣1＝c n﹣1，n≥2，n≥2时，b n＝（a n﹣1+c n﹣1）＝（a n﹣1+b n﹣1），又a n﹣1+b n﹣1+c n﹣1＝1，可得2b n+b n﹣1＝1，由b n﹣＝﹣b n﹣1+﹣＝﹣（b n﹣1﹣），可得数列{b n﹣}是首项为，公比为﹣的等比数列，则b n﹣＝•（﹣）n﹣1，即b n＝+•（﹣）n﹣1，又a n＝1﹣b n＝1﹣2[+•（﹣）n﹣1]＝[1﹣（﹣）n﹣1]，故a2020＝[1+（）2019]．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）＝1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q 两点，求|PQ|的值．【分析】（Ⅰ）求出C2的参数方程，即可求C2的极坐标方程；（Ⅱ）C2是以（1，0）为圆心，1为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）＝1，直角坐标方程为x﹣y﹣2＝0，求出圆心到直线的距离，即可求|PQ|的值．解：（Ⅰ）C2的参数方程为（α为参数），普通方程为（x′﹣1）2+y′2＝1，∴C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ；（Ⅱ）C2是以（1，0）为圆心，1为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）＝1，直角坐标方程为x﹣y﹣2＝0，∴圆心到直线的距离d＝＝，∴|PQ|＝2＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+b2|﹣|﹣x+1|，g（x）＝|x+a2+c2|+|x﹣2b2|，其中a，b，c均为正实数，且ab+bc+ac＝1．（Ⅰ）当b＝1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）当x∈R时，求证f（x）≤g（x）．【分析】（Ⅰ）当b＝1时，把f（x）用分段函数来表示，分类讨论，求得f（x）≥1的解集．（Ⅱ）当x∈R时，先求得f（x）的最大值为b2+1，再求得g（x）的最小值，根据g（x）的最小值减去f（x）的最大值大于或等于零，可得f（x）≤g（x）成立．解：（Ⅰ）由题意，当b＝1时，f（x）＝|x+b2|﹣|﹣x+1|＝，当x≤﹣1时，f（x）＝﹣2＜1，不等式f（x）≥1无解，不等式f（x）≥1的解集为∅；当﹣1＜x＜1时，f（x）＝2x，由不等式f（x）≥1，解得x≥，所以≤x＜1；当x≥1时，f（x）＝2≥1恒成立，所以不等式f（x）≥1的解集为[，+∞）．（Ⅱ）（Ⅱ）当x∈R时，f（x）＝|x+b2|﹣|﹣x+1|≤|x+b2 +（﹣x+1）|＝|b2+1|＝b2+1；g（x）＝|x+a2+c2|+|x﹣2b2|＝≥|x+a2+c2﹣（x﹣2b2）|＝|a2+c2+2b2|＝a2+c2+2b2．而a2+c2+2b2﹣（b2+1）＝a2+c2+b2﹣1＝（a2+c2+b2+a2+c2+b2）﹣1≥ab+bc+ac﹣1＝0，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立，即a2+c2+2b2≥b2+1，即f（x）≤g（x）．。
2021全国甲卷理科数学解析
2021全国甲卷理科数学解析一、概述2021年全国普通高等学校招生全国统一考试（简称全国“高考”）于近日举行，其中理科数学卷是许多考生所关注的焦点。
本文将对2021年全国甲卷理科数学试题进行深入解析，帮助考生和教师更好地理解试题背后的思想，掌握解题技巧。
二、试题分析1. 分析题型2021年全国甲卷理科数学试卷的题型主要包括选择题、填空题、解答题和证明题。
其中解答题和证明题涉及的知识点较多，需要考生具备较高的数学思维和解题能力。
2. 知识点分布试题涵盖的知识点主要包括函数与导数、平面向量、立体几何、数列和数学归纳法、概率统计等内容。
这些知识点是高中数学的重点和难点，考生需要熟练掌握相关概念和解题方法。
三、试题解析1. 选择题解析选择题主要考查了考生对基本概念和定理的理解和掌握情况，有一定的难度。
有一道关于函数和导数的选择题，考查了函数定义域和单调性的应用，需要考生对函数概念的理解和导数的计算方法有较为深入的掌握。
2. 填空题解析填空题主要考查了学生对数学公式和定理的应用能力，要求考生熟练掌握数学知识并能在一定时间内准确地应用到具体问题中。
有一道关于平面向量的填空题，考查了向量共线和垂直的性质，考生需要根据向量的性质进行运算和推导。
3. 解答题解析解答题主要考查了考生对数学概念的理解和运用能力，要求考生能够深入分析问题、独立解答并给出合理的解题思路。
有一道关于数列和数学归纳法的解答题，考查了考生对数列的性质和规律的理解，以及数学归纳法的应用能力，需要考生结合实际情况分析问题、提出解决方法并进行证明。
4. 证明题解析证明题主要考查了考生的逻辑思维和推理能力，要求考生能够通过严密的推导和论证得出结论。
有一道关于概率统计的证明题，考查了考生对概率计算和统计规律的理解和运用能力，需要考生运用数学知识和逻辑推理得出正确的结论。
四、备考建议1. 系统复习考生在备考期间应该系统复习，重点复习高中数学的各个知识点，特别是考试的重点和难点知识，比如函数与导数、平面向量、立体几何、数列和数学归纳法、概率统计等内容。
高中数学人教版 选修2-3(理科) 第一章 计数原理1.2.2组合A卷(练习)
高中数学人教版选修2-3（理科）第一章计数原理1.2.2组合A卷（练习）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）三层书架，上层有10本不同的语文书，中层有9本不同的数学书，下层有8本不同的英语书，从书架上任取两本不同学科的书，不同取法共有（）A . 245种B . 242种C . 54种D . 27种2. （2分）从4种不同的蔬菜品种中选出3种，分别种在3块不同的土质的土地上进行试验，共有种植方法数为（）A .B .C .D .3. （2分）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一班，则不同分法的种数为（）A . 18B . 24C . 30D . 364. （2分）(2018·朝阳模拟) 某单位安排甲、乙、丙、丁名工作人员从周一到周五值班,每天有且只有人值班每人至少安排一天且甲连续两天值班,则不同的安排方法种数为（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高二下·阜平月考) 如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择．要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（）A . 24种B . 48种C . 72种D . 96种6. （2分）设集合A={a1,a2,a3,a4,a5}，记n(A)是ai+aj的不同值的个数，其中且,n(A),的最大值为k，n(A)的最小值为m，则（）A .B .C .D .7. （2分）如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有（）A . 50种B . 51种C . 140种D . 141种8. （2分） (2020高二下·龙江期末) 2020年4月30日，我国的5G信号首次覆盖了海拔8000米的珠穆朗玛峰峰顶和北坡登山路线，为了保证中国登山队珠峰高程测量的顺利直播，现从海拔5300米、5800米和6500米的三个大本营中抽出了4名技术人员，派往北坡登山路线中的3个崎岖路段进行信号检测，每个路段至少安排1名技术人员，则不同的安排方法共有（）A . 72B . 36C . 48D . 54二、填空题 (共3题；共3分)9. （1分） (2020高三上·浙江月考) 从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位偶数.10. （1分） (2020高三上·青浦期末) 某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到、、三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优教师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有________种11. （1分） (2020高三上·浙江月考) 某地需要安排人员分别在上午、下午、前半夜、后半夜四个时间段值班，要求每班至少含一名民警和一名医务人员，且至少有一名女性，每人值一班.现有民警4人（4男），医务人员6人（5女1男），其中民警甲不排上午，男医生不排上午、下午，则不同的安排方法有________种.三、解答题 (共3题；共30分)12. （5分）设r，s，t为整数，集合{a|a=2r+2s+2t ，0≤t＜s＜r}中的数由小到大组成数列{an}．（1）写出数列{an}的前三项；（2）求a36 ．13. （10分）用这六个数字，完成下面两个小题．（1）若数字不允许重复，可以组成多少个能被整除的且百位数字不是的不同的五位数；（2）若直线方程中的可以从已知的六个数字中任取个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？14. （15分） (2017高二下·莆田期末) 某校高2010级数学培优学习小组有男生3人女生2人，这5人站成一排留影．（1）求其中的甲乙两人必须相邻的站法有多少种？（2）求其中的甲乙两人不相邻的站法有多少种？（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少种？参考答案一、选择题 (共8题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、填空题 (共3题；共3分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：三、解答题 (共3题；共30分)答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、答案：13-2、考点：解析：答案：14-1、答案：14-2、答案：14-3、考点：解析：。
2022广东高考数学(理科A卷)试卷及各题详细解答(免费)
2022广东高考数学（理科A卷）试卷及各题详细解答（免费）数学(理科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．1.若集合A={某|-2＜某＜1},B=A={某|0＜某＜2},则集合A∩B=(D)A.{某|-1＜某＜1}B.{某|-2＜某＜1}C.{某|-2＜某＜2}D.{某|0＜某＜1}2.若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1z2(A)A.4+2iB.2+iC.2+2iD.3+i3.若函数f(某)=3+3与g(某)=33的定义域均为R，则(D)A．f(某)与g(某)均为偶函数B．f(某)为奇函数，g(某)为偶函数C．f(某)与g(某)均为奇函数D．f(某)为偶函数，g(某)为奇函数某某某某4．已知数列{an}为等比数列,Sn是它的前n项和,若a2a32a1,且a4与2a7的等差中项为A．35B．33C．3lD．295.“m5,则S5=(C)412”是“一元二次方程某某m0有实数解”的(A)4A.充分非必要条件B.充分必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件''6.如图1，VABC为正三角形，AA'//BB//CC，CC平面ABC且3AA''3BB'CC'AB2则多面体ABCABC的正视图(也称主视图)是(D) '''7.已知随机量某服从正态分布N（3,1），且P（2≤某≤4）=0.6826，则P(某＞4)=(B)A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.15858.为了迎接2022年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，他们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红橙黄绿蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是(C)A.1205秒B.1200秒C.1195秒D.1190秒第1页共8页二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分（一）必做题(9～13题)9.函数，f(某)=lg(某-2)的定义域是(2,).10．若向量a=(1,1，某)，b=(1，2,1)，c=(1，1,1)满足条件(c—a)·2b=-2，则某=2.11.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C 所对的边，若a=1，b=3，A+C=2B，则inC=1.12.若圆心在某轴上、半径为2的圆O位于y轴左侧，且与直线某+y=0相切，则圆O的方程是(某2)2y22.13.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n位居民的月均用水量分别为某1，…，某n(单位：吨)．根据图2所示的程序框图，若n=2且某1，某2分别为1，2，则输出的结果为1.4（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14.（几何证明选讲选做题）如图3，AB,CD是半径为a的圆O的两条弦，他们相交于AB的中点P，PD2a,OAP=30°则CP=39a.815．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0＜2）中，曲线2in与co1的极坐标为(2,3).4三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分l4分）第2页共8页已知函数f某Ain3某(A＞0，某,，0＜＜），在某12时取得最大值4。
新课标Ⅰ高考数学理科真题试卷(含答案)
绝密(juémì)★启封(qǐ fēnɡ)并使用完毕前试题(shìtí)类型：A 2021年普通高等学校招生全国(quán ɡuó)统一考试理科(lǐkē)数学考前须知：1.本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部.第一卷1至3页，第二卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第一卷一.选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〔1〕设集合，，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔2〕设，其中x，y是实数，那么〔A〕1〔B〕〔C〕〔D〕2〔3〕等差数列前9项的和为27，，那么〔A〕100〔B〕99〔C〕98〔D〕97〔4〕某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间不超过10分钟的概率是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔5〕方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么n的取值范围是〔A〕(–1,3) 〔B〕(–1,3) 〔C〕(0,3) 〔D〕(0,3)〔6〕如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.假设该几何体的体积是，那么它的外表积是〔A〕17π〔B〕18π〔C〕20π〔D〕28π〔7〕函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔8〕假设(jiǎshè)，那么(nà me)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔9〕执行右面(yòumiàn)的程序图，如果输入的，那么(nà me)输出x，y的值满足(mǎnzú)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.|AB|=，|DE|=，那么C的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，a//平面CB1D1，平面ABCD=m，a 平面ABA1B1=n，那么m、n所成角的正弦值为(A)(B) (C) (D)12.函数(hánshù)为的零点(línɡ diǎn)，为图像(tú xiànɡ)的对称轴，且()f x在单调(dāndiào)，那么的最大值为〔A〕11 〔B〕9 〔C〕7 〔D〕5第II卷本卷包括必考题(kǎo tí)和选考题两局部.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每题5分(13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，那么m=.(14)的展开式中，x3的系数是.〔用数字填写答案〕〔15〕设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，那么a1a2…a n的最大值为。
高考理科数学试卷全套
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 函数y=f(x)的图象如下，则f(0)的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 22. 已知等差数列{an}的公差为d，且a1=3，a5=13，则d=（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为(2,3)，点Q在直线y=2x上，且PQ的长度为5，则点Q的坐标为（）A. (1,2)B. (3,6)C. (-1,2)D. (-3,6)4. 若复数z=3+4i，则|z|=（）A. 5B. 7C. 9D. 115. 已知向量a=(2,3)，向量b=(1,-2)，则a·b=（）A. 7B. -1C. -7D. 16. 函数y=2x^2-3x+1的对称轴为（）A. x=1/2B. x=1C. x=-1/2D. x=-17. 在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数为（）A. 75°B. 105°C. 135°D. 165°8. 若等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，则第n项an=（）A. 2×3^(n-1)B. 2×3^nC. 6×3^(n-1)D. 6×3^n9. 已知函数f(x)=x^3-3x+2，若f'(x)=0，则x=（）A. -1B. 1C. -2D. 210. 在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则△ABC的面积S=（）A. 6B. 8C. 10D. 12二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
把答案填写在题目的横线上。
）11. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则第10项a10=______。
12. 函数y=√(x^2-1)的定义域为______。
13. 若复数z=1-i，则z的共轭复数为______。
2023年高考全国甲卷数学(理)真题(解析版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学一、选择题1. 设全集Z U =,集合{31,},{32,}M xx k k Z N x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，()U M N ⋃=ð（ ） A. {|3,}x x k k =∈Z B. {31,}x x k k Z =−∈∣ C. {32,}x x k k Z =−∈∣ D. ∅【答案】A 【解析】【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【详解】因为整数集{}{}{}|3,|31,|32,x x k k x x k k x x k k ==∈=+∈=+∈Z Z Z Z U U ，U Z =，所以，(){}|3,U M N x x k k ==∈Z U ð． 故选：A ．2. 设()()R,i 1i 2,a a a ∈+−=，则=a （ ） A. -1 B. 0 · C. 1 D. 2【答案】C 【解析】【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出． 【详解】因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a+−=−++=+−=，所以22210a a =⎧⎨−=⎩，解得：1a =． 故选：C.3. 执行下面的程序框图，输出的B =（ ）A. 21B. 34C. 55D. 89【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出．【详解】当1k =时，判断框条件满足，第一次执行循环体，123A =+=，325B =+=，112k =+=； 当2k =时，判断框条件满足，第二次执行循环体，358A =+=，8513B =+=，213k =+=； 当3k =时，判断框条件满足，第三次执行循环体，81321A =+=，211334B =+=，314k =+=； 当4k =时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出34B =． 故选：B.4. 已知向量,,a b c r r r 满足1,2a b c ===r r r ，且0a b c ++=r r r r ，则cos ,a c b c 〈−−〉=r r r r （ ）A. 45−B. 25−C.25D.45【答案】D 【解析】【分析】作出图形,根据几何意义求解. 【详解】因为0a b c ++=rrrr,所以a b c +=-rrr,即2222a b a b c ++⋅=rrrr r,即1122a b ++⋅=r r ,所以0a b ⋅=rr .如图,设,,OA a OB b OC c ===u u u r u u u r u u u r r r r ,由题知,1,2,OA OB OC OAB ===V 是等腰直角三角形,AB 边上的高22,22OD AD ==, 所以232222CD CO OD =+==, 1tan ,cos 310AD ACD ACD CD ∠==∠=, 2cos ,cos cos 22cos 1a c b c ACB ACD ACD 〈−−〉=∠=∠=∠−r r r r2421510=⨯−=. 故选:D.5. 设等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和n S ，若11a =，5354S S =−，则4S =（ ） A.158B.658C. 15D. 40【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出关于q 的方程,计算出q ,即可求出4S . 【详解】由题知()23421514q q q q q q++++=++−,即34244q q q q +=+,即32440q q q +−−=,即(2)(1)(2)0q q q −++=. 由题知0q >,所以2q =. 所以4124815S =+++=. 故选:C.6. 某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6C. 0.5D. 0.4【答案】A 【解析】【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解. 【详解】同时爱好两项的概率为0.50.60.70.4+−=，记“该同学爱好滑雪”为事件A ,记“该同学爱好滑冰”为事件B ， 则()0.5,()0.4P A P AB ==，所以()0.4()0.8()0.5P AB P BA P A ===∣.故选:A .7. 设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：sin cos 0αβ+=，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【详解】当22sin sin 1αβ+=时，例如π,02αβ==但sin cos 0αβ+≠， 即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，2222sin sin (cos )sin 1αβββ+=−+=， 即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B8. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>5C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1x y −+−=交于A ，B 两点，则||AB =（ ）A.55B.55C.355D.55【答案】D 【解析】【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由5e =，则222222215c a b b a a a+==+=，解得2ba=， 所以双曲线的一条渐近线不妨取2y x =，则圆心(2,3)到渐近线的距离25521d ==+， 所以弦长22145||22155AB r d =−=−=. 故选：D9. 现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ） A. 120 B. 60C. 30D. 20【答案】B 【解析】【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解. 【详解】不妨记五名志愿者为,,,,a b c d e ，假设a 连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有24A 12=种方法，同理：,,,b c d e 连续参加了两天公益活动，也各有12种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有51260⨯=种. 故选：B.10. 函数()y f x =的图象由函数πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =−的交点个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得()sin 2f x x =−，再作出()f x 与1122y x =−的部分大致图像，考虑特殊点处()f x 与1122y x =−的大小关系，从而精确图像，由此得解. 【详解】因为πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=− ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 2f x x =−，而1122y x =−显然过10,2⎛⎫− ⎪⎝⎭与()1,0两点，作出()f x 与1122y x =−的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =−==，即3π3π7π,,444x x x =−==处()f x 与1122y x =−的大小关系，当3π4x =−时，3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫−=−−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13π1π4284312y +⎛⎫=⨯−−=−<− ⎪⎝⎭； 当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，13π13π412428y −=⨯−=<；当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，17π17π412428y −=⨯−=>；所以由图可知，()f x 与1122y x =−的交点个数为3. 故选：C.11. 已知四棱锥P ABCD −的底面是边长为4的正方形，3,45PC PD PCA ==∠=︒，则PBC V 的面积为（ ）A. 22B. 32C. 2D. 2【答案】C 【解析】【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得PDO PCO ≅V V ，PDB PCA ≅V V ，从而得到PA PB =，再在PAC △中利用余弦定理求得17PA =，从而求得17PB 由此在PBC V 中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；法二：先在PAC △中利用余弦定理求得17PA =1cos 3PCB ∠=，从而求得3PA PC ⋅=−u u u r u u u r ，再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于,PB BPD ∠的方程组，从而求得17PB 由此在PBC V 中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解. 【详解】法一：连结,AC BD 交于O ，连结PO ，则O 为,AC BD 的中点，如图，因为底面ABCD 为正方形，4AB =，所以42AC BD ==22DO CO ==， 又3PC PD ==，PO OP =，所以PDO PCO ≅V V ，则PDO PCO ∠=∠， 又3PC PD ==，42AC BD ==PDB PCA ≅V V ，则PA PB =， 在PAC △中，3,42,45PC AC PCA ==∠=︒，则由余弦定理可得22222cos 329223172PA AC PC AC PC PCA =+−⋅∠=+−⨯⨯=， 故17PA =，则17PB故在PBC V 中，7,43,1P PB C C B ===，所以222916171cos 22343PC BC PB PCB PC BC +−+−∠===⋅⨯⨯，又0πPCB <∠<，所以222sin 1cos 3PCB PCB ∠=−∠=， 所以PBC V 的面积为1122sin 342223S PC BC PCB =⋅∠=⨯⨯⨯= 法二：连结,AC BD 交于O ，连结PO ，则O 为,AC BD 的中点，如图，因为底面ABCD 为正方形，4AB =，所以42AC BD == 在PAC △中，3,45PC PCA =∠=︒，则由余弦定理可得22222cos 329223172PA AC PC AC PC PCA =+−⋅∠=+−⨯⨯=，故17PA =，所以22217cos 2172173PA PC AC APC PA PC +−∠===−⋅⨯⨯，则17cos 173317PA PC PA PC APC ⎛⋅=∠=⨯−=− ⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ，不妨记,PB m BPD θ=∠=，因为()()1122PO PA PC PB PD =+=+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以()()22PA PC PB PD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r ，即222222PA PC PA PC PB PD PB PD ++⋅=++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则()217923923cos m m θ++⨯−=++⨯⨯，整理得26cos 110m m θ+−=①，又在PBD △中，2222cos BD PB PD PB PD BPD =+−⋅∠，即23296cos m m θ=+−，则26cos 230m m θ−−=②，两式相加得22340m −=，故17PB m ==故在PBC V 中，7,43,1P PB C C B ===，所以222916171cos 22343PC BC PB PCB PC BC +−+−∠===⋅⨯⨯，又0πPCB <∠<，所以222sin 1cos 3PCB PCB ∠=−∠=， 所以PBC V 的面积为1122sin 342223S PC BC PCB =⋅∠=⨯⨯⨯= 故选：C.12. 设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:196x y C +=两个焦点，点 P 在C 上，123cos 5F PF ∠=，则||OP =（ ）A.135B.302C.145D.352【答案】B 【解析】【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出12PF F △的面积，即可得到点P 的坐标，从而得出OP 的值；方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出221212,PF PF PF PF +，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出2212PF PF +，即可根据中线定理求出．【详解】方法一：设12π2,02F PF θθ∠=<<，所以122212tantan 2PF F F PF S b b θ∠==V ， 由22212222cos sin 1tan 3cos cos 2cos +sin 1tan 5F PF θθθθθθθ−−∠====+，解得：1tan 2θ=， 由椭圆方程可知，222229,6,3a b c a b ===−=， 所以，1212111236222PF F p p S F F y y =⨯⨯=⨯=⨯V ，解得：23p y =， 即2399162p x ⎛⎫=⨯−= ⎪⎝⎭，因此22930322p p OP x y =+=+=． 的故选：B ．方法二：因为1226PF PF a +==①，222121212122PF PF PF PF F PF F F +−∠=，即2212126125PF PF PF PF +−=②，联立①②， 解得：22121215,212PF PF PF PF =+=， 而()1212PO PF PF =+u u u r u u u r u u u u r ，所以1212OP PO PF PF ==+u u u r u u u r u u u u r， 即22121122111315302212222522PO PF PF PF PF PF PF =+=+⋅+=+⨯⨯=u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r ． 故选：B ．方法三：因为1226PF PF a +==①，222121212122PF PF PF PF F PF F F +−∠=， 即2212126125PF PF PF PF +−=②，联立①②，解得：221221PF PF +=， 由中线定理可知，()()222212122242OP F F PF PF +=+=，易知1223F F =302OP =．故选：B ．【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．二、填空题13. 若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=−+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ________． 【答案】2 【解析】【分析】利用偶函数性质得到ππ22f f ⎛⎫⎛⎫−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而求得2a =，再检验即可得解. 【详解】因为()()()22π1sin 1cos 2y f x x ax x x ax x ⎛⎫==−+++=−++ ⎪⎝⎭为偶函数，定义域为R ， 所以ππ22f f ⎛⎫⎛⎫−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22ππππππ222222s 1co 1cos a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−+=−+ ⎪ −⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭−−⎝+⎭，的则22πππ2π1212a −⎛⎫⎛⎫=+− ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝，故2a =，此时()()2212cos 1cos f x x x x x x =−++=++，所以()()()()221cos s 1co f x x x x x f x −=−++++−==， 又定义域为R ，故()f x 为偶函数， 所以2a =. 故答案为：2.14. 若x ，y 满足约束条件3232331x y x y x y −≤⎧⎪−+≤⎨⎪+≥⎩，设32z x y =+的最大值为____________．【答案】15 【解析】【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可. 【详解】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数322zy x =−+过点A 时，z 有最大值，由233323x y x y −+=⎧⎨−=⎩可得33x y =⎧⎨=⎩，即(3,3)A ,所以max 332315z =⨯+⨯=. 故答案为：1515. 在正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 分别为AB ，11C D 的中点，以EF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点． 【答案】12 【解析】【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.【详解】不妨设正方体棱长为2，EF 中点为O ，取CD ，1CC 中点,G M ，侧面11BB C C 的中心为N ，连接,,,,FG EG OM ON MN ，如图，由题意可知，O 为球心，在正方体中，22222222EF FG EG =+=+=即2R =，则球心O 到1CC 的距离为2222112OM ON MN =+=+=，所以球O 与棱1CC 相切，球面与棱1CC 只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点， 所以以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12. 故答案为：1216. 在ABC V 中，60,2,6BAC AB BC ∠=︒==，BAC ∠的角平分线交BC 于D ，则AD =_________． 【答案】2 【解析】【分析】方法一：利用余弦定理求出AC ，再根据等面积法求出AD ；方法二：利用余弦定理求出AC ，再根据正弦定理求出,B C ，即可根据三角形的特征求出．【详解】如图所示：记,,AB c AC b BC a ===，方法一：由余弦定理可得，22222cos606b b +−⨯⨯⨯=o ，因为0b >，解得：13b =+ 由ABC ABD ACD S S S =+V V V 可得，1112sin 602sin 30sin 30222b AD AD b ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯o o o ， 解得：2313323312b AD b +===++． 故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222cos606b b +−⨯⨯⨯=o ，因为0b >，解得：13b =+ 由正弦定理可得，62sin 60sin sin b B C==o，解得：62sin 4B =，2sin 2C =， 因为1362+>>45C =o ，180604575B =−−=o o o o ，又30BAD ∠=o ，所以75ADB ∠=o ，即2AD AB ==． 故答案为：2．【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．三、解答题17. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知21,2n n a S na ==． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】（1）1n a n =−（2）()1222nn T n ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n −=⎧=⎨−≥⎩即可求出；（2）根据错位相减法即可解出． 【小问1详解】因为2n n S na =，当1n =时，112a a =，即10a =； 当3n =时，()33213a a +=，即32a =，当2n ≥时，()1121n n S n a −−=−，所以()()11221n n n n n S S a na n a −−−==−−， 化简得：()()121n n n a n a −−=−，当3n ≥时，131122n n a a an n −====−−L ，即1n a n =−， 当1,2,3n =时都满足上式，所以()*1N n a n n =−∈．【小问2详解】因为122n n n a n +=，所以12311111232222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，2311111112(1)22222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++−⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，两式相减得，123111111111222222111222211n n nn n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⨯−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+−⎝=−⎭⨯−⨯L ， 11122n n ⎛⎫⎛⎫=−+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()1222nn T n ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，*N n ∈．18. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC ⊥底面ABC ，190,2ACB AA ∠=︒=，1A 到平面11BCC B 的距离为1．（1）证明：1AC AC =； （2）已知1AA 与1BB 的距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析 （2）1313【解析】【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得1AO ⊥平面11BCC B ，再由勾股定理求出O 为中点，即可得证；（2）利用直角三角形求出1AB 的长及点A 到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值. 【小问1详解】 如图，1A C ⊥Q 底面ABC ，BC ⊂面ABC ，1AC BC ∴⊥，又BC AC ⊥，1,AC AC ⊂平面11ACC A ，1AC AC C ⋂=, BC ∴⊥平面ACC 1A 1，又BC ⊂平面11BCC B ，∴平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，过1A 作11AO CC ⊥交1CC 于O ，又平面11ACC A I 平面111BCC B CC =，1A O ⊂平面11ACC A ， 1A O ∴⊥平面11BCC B1A Q 到平面11BCC B 的距离为1，11∴=AO ， 在11Rt ACC △中，111112,AC AC CC AA ⊥==，设CO x =，则12C O x =−，11111,,AOC AOC ACC Q △△△为直角三角形，且12CC =，22211CO AO AC +=，2221111AO OC C A +=，2221111AC AC C C +=，2211(2)4x x ∴+++−=，解得1x =，1112AC AC AC ∴=== 1A C AC ∴=小问2详解】111,,AC AC BC AC BC AC =⊥⊥Q ， 1Rt Rt ACB ACB ∴△≌△ 1BA BA ∴=，过B 作1BD AA ⊥，交1AA 于D ，则D 为1AA 中点， 由直线1AA 与1BB 距离为2，所以2BD =11A D =Q ，2BD =，15A B AB ∴==，在Rt ABC △，223BC AB AC ∴=−=，延长AC ，使AC CM =，连接1C M ，由1111,CM AC CM AC =∥知四边形11ACMC 为平行四边形， 11C M A C ∴∥，1C M ∴⊥平面ABC ，又AM ⊂平面ABC ，1C M AM ∴⊥则在1Rt AC M △中，112,AM AC C M AC ==，2211(2)AC AC AC ∴=+ 在11Rt AB C △中，2211(2)AC AC AC =+，113B C BC == 2221(22)(2)(3)13AB ∴=++=又A 到平面11BCC B 距离也为1， 所以1AB 与平面11BCC B 131313=. 19. 一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g ）.（1）设X 表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X 的分布列和数学期望；【（2）实验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2 实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5（i ）求40只小鼠体重的增加量的中位数m ，再分别统计两样本中小于m 与不小于的数据的个数，完成如下列联表：m <m ≥对照组 实验组（ii ）根据（i ）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．附：()()()()22(),n ad bc K a b c d a c b d −=++++ 0k0.100 0.050 0.010()20P k k ≥2.7063.841 6.635【答案】（1）分布列见解析，()1E X = （2）（i ）23.4m =；列联表见解析，（ii ）能 【解析】【分析】（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望； （2）（i ）根据中位数的定义即可求得23.4m =，从而求得列联表； （ii ）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解. 【小问1详解】依题意，X 的可能取值为0,1,2，则022020240C C 19(0)C 78P X ===，120224010C C 20(1)C 39P X ===，202020240C C 19(2)C 78P X ===， 所以X 分布列为：X12P1978 20391978故192019()0121783978E X =⨯+⨯+⨯=. 【小问2详解】（i ）依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为23.2，第21位数据为23.6， 所以23.223.623.42m +==，故列联表为：m <m ≥合计 对照组 6 14 20 实验组 14 6 20 合计202040（ii ）由（i ）可得，2240(661414) 6.400 3.84120202020K ⨯⨯−⨯==>⨯⨯⨯，所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异. 20. 已知直线210x y −+=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于,A B 两点，且||415AB =（1）求p ；（2）设F 为C 的焦点，M ，N 为C 上两点，0FM FN ⋅=u u u u r u u u r，求MFN △面积的最小值． 【答案】（1）2p = （2）1282−【解析】【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出p ；的（2）设直线MN ：x my n =+，()()1122,,,,M x y N x y 利用0FM FN ⋅=u u u u r u u u r，找到,m n 的关系，以及MFN △的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．【小问1详解】设()(),,,A A B B A x y B x y ，由22102x y y px−+=⎧⎨=⎩可得，2420y py p −+=，所以4,2A B A B y y p y y p +==， 所以()()()222554415A B A B A B A B A B AB x x y y y y y y y =−+−=−=+−=即2260p p −−=，因为0p >，解得：2p =．【小问2详解】因为()1,0F ，显然直线MN 的斜率不可能为零， 设直线MN ：x my n =+，()()1122,,,M x y N x y ，由24y x x my n⎧=⎨=+⎩可得，2440y my n −−=，所以，12124,4y y m y y n +==−， 22161600m n m n ∆=+>⇒+>，因为0FM FN ⋅=u u u u r u u u r，所以()()1212110x x y y −−+=， 即()()1212110my n my n y y +−+−+=，亦即()()()()2212121110m y y m n y y n ++−++−=，将12124,4y y m y y n +==−代入得，22461m n n =−+，()()22410m n n +=−>，所以1n ≠，且2610n n −+≥，解得322n ≥+或322n ≤−． 设点F 到直线MN 的距离为d ，所以211n d m−=+()()22222121212111616MN x x y y m y y m m n =−+−=+−=++()2222146116211m n n n m =+−++=+−，所以MFN △的面积()2221112111221n S MN d m n m −=⨯⨯=+−=−+，而322n ≥+322n ≤−，所以，当322n =−MFN △的面积(2min 2221282S =−=−．【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到,m n 的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值. 21. 已知函数3sin π(),0,cos 2x f x ax x x ⎛⎫=−∈ ⎪⎝⎭（1）当8a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()sin 2f x x <恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）答案见解析. （2）(,3]−∞ 【解析】【分析】（1）求导,然后令2cos t x =,讨论导数的符号即可;（2）构造()()sin 2g x f x x =−,计算()g x '的最大值,然后与0比较大小,得出a 的分界点,再对a 讨论即可. 【小问1详解】326cos cos 3sin cos sin ()cos x x x x xf x a x'+=− 22244cos 3sin 32cos cos cos x x xa a x x+−=−=−令2cos x t =,则(0,1)t ∈则2223223()()t at t f x g t a t t'−+−==−= 当222823(21)(43)8,()()t t t t a f x g t t t'+−−+==== 当10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即ππ,,()042x f x '⎛⎫∈< ⎪⎝⎭. 当1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即π0,,()04x f x '⎛⎫∈> ⎪⎝⎭.所以()f x π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 【小问2详解】设()()sin 2g x f x x =−()22222323()()2cos 2()22cos 12(21)24at t g x f x x g t x t a t t t t ''+−=−=−−=−−=+−+−设223()24t a t t t ϕ=+−+− 322333264262(1)(22+3)()40t t t t t t t t t tϕ'−−+−+=−−+==−> 所以()(1)3t a ϕϕ<=−. 1︒若(,3]a ∈−∞,()()30g x t a ϕ'=<−≤即()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,所以()(0)0g x g <=. 所以当(,3],()sin 2a f x x ∈−∞<,符合题意.2︒若(3,)a ∈+∞ 当22231110,333t t t t ⎛⎫→−=−−+→−∞ ⎪⎝⎭,所以()t ϕ→−∞. (1)30a ϕ=−>.所以0(0,1)t ∃∈,使得()00t ϕ=,即00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,使得()00g x '=. 当()0,1,()0t t t ϕ∈>,即当()00,,()0,()x x g x g x '∈>单调递增.所以当()00,,()(0)0x x g x g ∈>=,不合题意.综上,a 的取值范围为(,3]−∞.【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性cos t x =在定义域内是减函数,若00cos t x =,当()0,1,()0t t t ϕ∈>,对应当()00,,()0x x g x '∈>. 四、选做题在22. 已知点(2,1)P ，直线2cos :1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），α为l 的倾斜角，l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，且||||4PA PB ⋅=．（1）求α；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．【答案】（1）3π4（2）cos sin 30ρθρθ+−=【解析】【分析】（1）根据t 的几何意义即可解出；（2）求出直线l 的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．【小问1详解】因为l 与x 轴，y 轴正半轴交于,A B 两点，所以ππ2α<<， 令0x =，12cos t α=−，令0y =，21sin t α=−， 所以21244sin cos sin 2PA PB t t ααα====，所以sin 21α=±， 即π2π2k α=+，解得π1π,42k k α=+∈Z ， 因为ππ2α<<，所以3π4α=． 【小问2详解】由（1）可知，直线l 的斜率为tan 1α=−，且过点()2,1，所以直线l 的普通方程为：()12y x −=−−，即30x y +−=，由cos ,sin x y ρθρθ==可得直线l 的极坐标方程为cos sin 30ρθρθ+−=． 23. 设0a >，函数()2f x x a a =−−．（1）求不等式()f x x <的解集；（2）若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ．【答案】（1）,33a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）2【解析】【分析】（1）分x a ≤和x a >讨论即可;（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.【小问1详解】若x a ≤,则()22f x a x a x =−−<,即3x a >,解得3a x >,即3a x a <≤, 若x a >,则()22f x x a a x =−−<,解得3x a <,即3a x a <<,综上,不等式的解集为,33a a ⎛⎫⎪⎝⎭. 【小问2详解】 2,()23,x a x a f x x a x a −+≤⎧=⎨−>⎩. 画出()f x 的草图,则()f x 与x 轴围成ABC V ,ABC V 的高为3,,0,,022a a a A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以||=AB a , 所以211||222ABC S AB a a =⋅==V ,解得2a =.。
2023年全国甲卷【理科】数学高考真题
姓名：座位号（在此试卷上答题无效）绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）注意事项:1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{31Z}，A x x k k ==+Î，{32Z}，B x x k k ==+Î，U 为整数集，则()U C A B =I A ．{3Z}，x x k k =ÎB ．{31Z}，x x k k =-ÎB ．C ．{31Z}，x x k k =-ÎD ．Æ2-若复数(i)(1i)2a a +-=，则a =A ．1-B ．0C ．1D ．23．执行下面的程序框图，输出的B =A ．21B ．34C ．55D ．894．向量1a b ==，c 且0a b c ++=，则cos a b b c ，<-->=A ．15-B ．25-C ．25D ．455．已知数列{}n a 中，n S 为{}n a 前n 项和，5354S S =-，则4S =A ．7B ．9C ．15D ．206．有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，结束70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球，俱乐部的概率为A ．0.8B ．0.4C ．0.2D ．0.17．“22sin sin 1a b +=”是“cos cos 0a b +=”的A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件8．已知双曲线22221(00)，x y a b a b+=>>的离心率为，其中一条渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则AB =A ．15B C D 9．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为A ．120B ．60C ．40D ．3010．已知()f x 为函数πcos(2)4y x =+向左平移π6个单位所得函数，则()y f x =与1122y x =-，交点个数为A ．1B ．2C ．3D ．411．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，4AB =，3PC PD ==，45PCA Ð=°，则△PBC 的面积为A ．B ．C ．D ．12．已知椭圆22196x y +=，F 1、F 2为两个焦点，O 为原点，P 为椭有圆上一点，123cos 5∠F PF =，则|OP =A ．25B ．302C ．35D ．352二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届高三数学一轮复习第十二单元训练卷概率与统计(理科) A卷(详解)
② ；
③事件 与事件 相互独立；
④ 是两两互斥的事件；
⑤ 的值不能确定，因为它与 中哪一个发生有关．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，开始时甲每盘棋赢的概率为 ，由于心态不稳，甲一旦输一盘棋，他随后每盘棋赢的概率就变为 ．假设比赛没有和棋，且已知前两盘棋都是甲赢．
A． B． C． D．
6．某外卖企业两位员工今年 月某 天日派送外卖量的数据（单位：件），如茎叶图所示针对这 天的数据，下面说法错误的是（）
A．阿朱的日派送量的众数为 B．阿紫的日派送量的中位数为
C．阿朱的日派送量的中位数为 D．阿朱的日派送外卖量更稳定
7．已知 的展开式中第 项与第 项的二项式系数相等，则 （）
根据以上数据，绘制如图所示的散点图．
观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型 和指数函数模型 分别对两个变量的关系进行拟合．
（1）根据散点图判断， 与 （ ， 均为大于零的常数）哪一个适宜作为非原料总成本 关于生产该产品的数量 的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表 中的数据，建立 关于 的回归方程；
【解析】（1）法1：记抽取红球的事件为 ，抽取白球的事件为 ，
且每次取到红球的概率均为 ，每次取到白球的概率均为 ．
则至少抽到 个红球的概率表示为：
．
（2）由题意，随机变量 可能的取值为 ，
， ，
， ，
所以随机变量 的分布表为：
从中任取 把能将该锁打开包含的基本事件个数 ，
∴从中任取 把能将该锁打开的概率 ，故选A．
【唐山高二期末】河北省唐山市2018-2019学年高二上学期期末考试 数学(理)(含答案)
…8 分 …10 分
…3 分
∴圆 C 的半径为 r＝|CB|＝5， ∴圆 C 的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25． …6 分 （Ⅱ）∵圆 C 的半径为 5，|MN|＝6，所以圆心 C 到直线 l 的距离 d＝4， 当直线 l 的斜率不存在时，圆心 C (2，－3)到直线 x＝6 的距离为 4，符合题意． …8 分 当直线 l 的斜率存在时，设 l：y＋1＝k(x－6)， |2－4k| ∴圆心 C 到直线 l 的距离 d＝ ＝4， k2＋1 3 解得 k＝－ ， 4 ∴直线 l 的方程为 3x＋4y－14＝0． 综上所述，直线 l 的方程为 x＝6 或 3x＋4y－14＝0． （19）解： （Ⅰ）因为平面 CBB1C1⊥平面 BAA1B1，且两平面交线为 BB1，CB⊥BB1， CB 平面 CBB1C1，所以 CB⊥平面 BAA1B1， 从而有 CB⊥AB， …11 分 …12 分
…8 分
→ BA1 ·n＝0，
…10 分
…12 分
（20）解： （Ⅰ）由题意设抛物线 C 的方程为：y2＝2px（p＞0）． ∵抛物线 C 过点 M (1，2)， ∴2p＝4， ∴抛物线 C 的方程为 y2＝4x． （Ⅱ）设直线的方程为 y＝x＋b，A(x1，y1)，B(x1，y1)， 由 y＝x＋b， 得，y2－4y＋4b＝0， y2＝4x
…7 分 …8 分
→ DB ·n＝0，
…10 分 …11 分
…12 分
x2 y2 （Ⅰ）因为椭圆 2＋ 2＝1（a＞b＞0）的右焦点 F(1，0)，点 F 与短轴的两个顶点围成直角三角形． a b 所以 c＝b＝1，a2＝2． x2 所以椭圆 C 的方程为 ＋y2＝1． 2 …4 分
x2 （Ⅱ）设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)（k＞0） ，代入椭圆方程 ＋y2＝1 并整理， 2 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0． 设 M (x1，y1)，N (x2，y2)， 则有＝16k4－4(1＋2k2)(2k2－2)＝8k2＋8＞0， 2 2k2＋2 2k2± 2k2＋2 2k2－2 ，|x1－x2|＝ ，x1x2＝ ， x1，2＝ 1＋2k2 1＋2k2 1＋2k2 又因为 k＞0 且 k≠1， 所以|kPM－kPN|＝ …6 分
2022年高考真题：全国甲卷(理科)数学【含答案及解析】
2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若13i z =-+，则1z zz =-（ ） A ．13i -+ B ．13i - C ．1333-+ D ．1333-- 2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（ ）A ．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B ．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C ．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D ．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3．设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},430A B x x x =-=-+=∣，则()U A B =（ ）A ．{1,3}B ．{0,3}C ．{2,1}-D ．{2,0}-4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．205．函数()33cos x x y x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ． 6．当1x =时，函数()ln b f x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（ ） A ．1- B ．12- C ．12D ．1 7．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成的角均为30︒，则（ ）A ．2AB AD = B ．AB 与平面11ABCD 所成的角为30︒C ．1AC CB =D ．1B D 与平面11BB C C 所成的角为45︒8．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（ ）A 1133-B 1143-C 933-D 943- 9．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若=2S S 甲乙，则=V V 甲乙（ ） A 5 B ．22 C 10 D 510 10．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ） A 3 B 2 C ．12 D ．1311．设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．513,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦12．已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（ ） A ．c b a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．a c b >> 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省滨州市2019-2020学年高考数学三模试卷(理科)A卷
山东省滨州市2019-2020学年高考数学三模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共10题；共20分)1. （2分） (2016高二下·永川期中) 复数z= 在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分）(2012·山东理) 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁UA）∪B为（）A . {1，2，4}B . {2，3，4}C . {0，2，3，4}D . {0，2，4}3. （2分）若loga3＜logb3＜0，则（）A . 0＜a＜b＜1B . 0＜b＜a＜1C . a＞b＞1D . b＞a＞14. （2分）(2018·榆社模拟) 设集合，，现有下面四个命题：；若，则；：若，则；：若，则 .其中所有的真命题为（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高二上·梅里斯达斡尔族期中) 观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在（2700，3000]的频率为（）A . 0.001B . 0.1C . 0.2D . 0.36. （2分）已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是（）A . [－2，－1]B . [－1，2]C . [－2，1]D . [1，2]7. （2分）(2017·莆田模拟) 正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为6，点O在BC上，且BO=OC，过点O的直线l与直线AA1 ， C1D1分别交于M，N两点，则MN与面ADD1A1所成角的正弦值为（）A .B .C .D .8. （2分） (2017·襄阳模拟) 在三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC上的点，且 =2 ， = ，|AB|=3，|AC|=2，A=60°，则• 等于（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高一下·沈阳期末) 设都是锐角，且，，则等于（）A .B .C . 或D . 或10. （2分） (2016高二上·吉安期中) 过点M（1，1）的直线与椭圆 =1交于A，B两点，且点M平分弦AB，则直线AB的方程为（）A . 4x+3y﹣7=0B . 3x+4y﹣7=0C . 3x﹣4y+1=0D . 4x﹣3y﹣1=0二、填空题： (共5题；共5分)11. （1分）(2017·河西模拟) 如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是________．12. （1分）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；（4）若l与α内的两条直线垂直，则直线l与α垂直．上面命题中，其中错误的个数是________13. （1分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2，则其母线与轴的夹角的大小为________ ．14. （1分） (2018高二上·睢宁月考) 若实数a，b，c成等差数列，点在动直线上的射影为H，点，则线段QH的最小值为________．15. （1分）若函数在上有最小值，则实数的取值范围为________.三、解答题： (共6题；共55分)16. （5分）(2017·湖南模拟) 已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acos A=ccos B+bcos C．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若b2+c2=7，求△ABC的面积．17. （10分）如图，多面体ABCDEF中，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知AB∥CD，AD⊥CD，AB=2，CD=4，直线BE与平面ABCD所成的角的正切值等于（1）求证：平面BCE⊥平面BDE；（2）求平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值．18. （5分）(2017·沈阳模拟) 某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：女性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数2040805010男性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数4575906030（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．19. （10分） (2016高三上·鹰潭期中) 已知在等差数列{an}中，a2=4，a5+a6=15．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn= +n，求b1+b2+…+b10．20. （10分） (2019高三上·沈河月考) 设，（1）证明；（2）若，证明： .21. （15分） (2016高三上·上海模拟) 如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1 ， C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2= 内的点都不是“C1﹣C2型点”参考答案一、选择题： (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题： (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题： (共6题；共55分)16-1、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、。
2020年(理科数学)(新课标Ⅰ)试卷真题+参考答案+详细解析
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若1z i =+，则2|2|(z z -= ) A ．0B ．1C ．2D ．22．（5分）设集合2{|40}A x x =-，{|20}B x x a =+，且{|21}A B x x =-，则(a = )A ．4-B ．2-C ．2D ．43．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A 51-B 51-C 51+D 51+4．（5分）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则(p = ) A ．2B ．3C ．6D ．95．（5分）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C)︒的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据()(1,i i x y i =，2，⋯，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C ︒至40C ︒之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( ) A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．x y a be =+D ．y a blnx =+6．（5分）函数43()2f x x x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为( ) A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+7．（5分）设函数()cos()6f x x πω=+在[,]ππ-的图象大致如图，则()f x 的最小正周期为( )A ．109πB ．76π C ．43π D ．32π 8．（5分）25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为( )A ．5B ．10C ．15D ．209．（5分）已知(0,)απ∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin (α= ) A 5B ．23 C ．13D 5 10．（5分）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC ∆的外接圆．若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为( )A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π11．（5分）已知22:2220M x y x y +---=，直线:220l x y ++=，P 为l 上的动点．过点P 作M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当||||PM AB 最小时，直线AB 的方程为( ) A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=12．（5分）若242log 42log a b a b +=+，则( ) A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年高考全国甲卷数学(理)真题卷(含答案与解析).
绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试理科数学使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设5i z =+，则()i z z +=（ ）A 10iB. 2iC. 10D. 2-2. 集合{}}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（ ）A. {}1,4,9B. {}3,4,9C. {}1,2,3D. {}2,3,53. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A. 5B.12C. 2-D. 72-4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（ ） A. 2-B.73C. 1D. 25. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. 4B. 3C. 2D.6. 设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） .A.16B.13C.12D.237. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A. B.C. D.8.已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 1+B. 1-C.D. 19. 已知向量()()1,,,2a x x b x =+=r r，则（ ）A. “3x =-”是“a b ⊥r r”的必要条件 B. “3x =-”是“//a b r r”的必要条件 C. “0x =”是“a b ⊥r r ”充分条件D. “1x =-”是“//a b r r”的充分条件10. 设αβ、两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=I .下列四个命题： ①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①③④11. 在ABC V 中内角,,A B C 所对边分别,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ） A.32B.C.D.12. 已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）的是为A. 2B. 3C. 4D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是______． 14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙______． 15. 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______． 16. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品 合格品 不合格品总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间 乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据，能否认12.247≈）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()2P K k ≥0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82818. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．19. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点．（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求二面角F BM E --的正弦值．20. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．21 已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．（1）当2a =-时，求()f x 的极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 的直角坐标方程； （2）设直线l ：x ty t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.[选修4-5：不等式选讲]23. 实数,a b 满足3a b +≥． （1）证明：2222a b a b +>+； （2）证明：22226a b b a -+-≥．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设5i z =+，则()i z z +=（ ）A. 10iB. 2iC. 10D. 2-【答案】A 【解析】【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.【详解】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=. 故选：A2. 集合{}}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（ ）A. {}1,4,9B. {}3,4,9C. {}1,2,3D. {}2,3,5.【答案】D 【解析】【分析】由集合B 的定义求出B ，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为{}}1,2,3,4,5,9,A B A ==，所以{}1,4,9,16,25,81B =，则{}1,4,9A B =I ，(){}2,3,5A A B =I ð 故选：D3. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A. 5B.12C. 2-D. 72-【答案】D 【解析】【分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =-可得1155y x z =-， 即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值， 此时直线1155y x z =-过点A ， 联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则min 375122z =-⨯=-. 故选：D.4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（ ） A. 2- B.73C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】由510S S =结合等差中项的性质可得80a =，即可计算出公差，即可得1a 的值. 【详解】由105678910850S S a a a a a a -=++++==，则80a =， 则等差数列{}n a 的公差85133a a d -==-，故151741433a a d ⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭. 故选：B.5. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 3C. 2D.【答案】C 【解析】【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率. 【详解】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ， 则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===. 故选：C.6. 设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A.16B.13C.12D.23【答案】A 【解析】【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点()0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.【详解】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+⋅'=+，则()()()()()02e 2cos 010e 2sin 000310f ++-+⨯'==+，即该切线方程为13y x -=，即31y x =+， 令0x =，则1y =，令0y =，则13x =-， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯-=. 故选：A.7. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D. 【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故可排除D.故选：B. 8. 已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.1+B. 1-C.D. 1【答案】B 【解析】 【分析】先将cos cos sin αα-α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin ααα=-，所以11tan =-α，tan 1⇒α=-，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==-α+ ⎪-α⎝⎭， 故选：B .9. 已知向量()()1,,,2a x x b x =+=r r，则（ ）A. “3x =-”是“a b ⊥r r”的必要条件B. “3x =-”是“//a b r r”的必要条件C. “0x =”是“a b ⊥r r”的充分条件D. “1x =-”是“//a b r r”的充分条件【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对A ，当a b ⊥r r 时，则0a b ⋅=r r，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b ==r r ，故0a b ⋅=r r，所以a b ⊥r r，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b r r时，则22(1)x x +=，解得1x =，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当1x =-+时，不满足22(1)x x +=，所以//a b r r不成立，即充分性不立，故D 错误. 故选：C.10. 设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=I .下列四个命题： ①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④C. ①②③D. ①③④【答案】A 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【详解】对①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β， 当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，故①正确； 对②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ， 同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β， 因为s ⊂平面α，m αβ=I ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A.11. 在ABC V 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A.32B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==. 由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=， 即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==， 所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=. 故选：C.12. 已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 【答案】C 【解析】【分析】结合等差数列性质将c 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，2c b a =-，代入直线方程0ax by c ++=得20ax by b a ++-=，即()()120a x b y -++=，令1020x y -=⎧⎨+=⎩得12x y =⎧⎨=-⎩，故直线恒过()1,2-，设()1,2P -，圆化为标准方程得：()22:25C x y ++=，设圆心为C ，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC AB ⊥时，AB 最小，1,PC AC r ===，此时24AB AP ====.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是______． 【答案】5 【解析】【分析】先设展开式中第1r +项系数最大，则根据通项公式有1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，进而求出r 即可求解.【详解】由题展开式通项公式为101101C 3rr r r T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，010r ≤≤且r ∈Z ，设展开式中第1r +项系数最大，则1091101010111101011C C 3311C C 33r rr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩， 294334r r ⎧≥⎪⎪⇒⎨⎪≤⎪⎩，即293344r ≤≤，又r ∈Z ，故8r =， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为28101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故答案为：5.14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙______．【解析】【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解.【详解】由题可得两个圆台高分别为)12h r r==-甲，)12h r r==-乙，所以V hV h====甲甲乙乙.15. 已知1a>，8115log log42aa-=-，则=a______．【答案】64【解析】【分析】将8log,log4aa利用换底公式转化成2log a来表示即可求解.【详解】由题28211315loglog log4log22aaa a-=-=-，整理得()2225log60log aa--=，2log1a⇒=-或2log6a=，又1a>，所以622log6log2a==，故6264a==故答案为：64.16. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n差的绝对值不超过12的概率是______．【答案】715【解析】【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为,a b，第三个球的号码为c，则的323a b c a b +-≤≤++，就c 的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有36A 120=种， 设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则1322a b c a b +++-≤， 故2()3c a b -+≤，故32()3c a b -≤-+≤， 故323a b c a b +-≤≤++，若1c =，则5a b +≤，则(),a b 为：()()2,3,3,2，故有2种，若2c =，则17a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()1,3,1,4,1,5,1,6,3,4，()()()()()3,1,4,1,5,1,6,1,4,3，故有10种，当3c =，则39a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()()()()1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5， ()()()()()()()()2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4，故有16种，当4c =，则511a b ≤+≤，同理有16种， 当5c =，则713a b ≤+≤，同理有10种， 当6c =，则915a b ≤+≤，同理有2种， 共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为()22101656++=， 故所求概率为56712015=. 故答案为：715三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品 合格品 不合格品总计 甲车间262450乙车间 70 28 2 100 总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间 乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据，能否认12.247≈）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()2P K k ≥0.050 0.010 0.001 k3.841 6.63510828【答案】（1）答案见详解（2）答案见详解 【解析】【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算2K ，并与临界值对比分析； （2）用频率估计概率可得0.64p =，根据题意计算p +. 【小问1详解】 根据题意可得列联表：.优级品非优级品甲车间 26 24 乙车间7030可得()2215026302470754.687550100965416K ⨯-⨯===⨯⨯⨯， 因为3.841 4.6875 6.635<<，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异. 【小问2详解】由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为960.64150=， 用频率估计概率可得0.64p =，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，则0.50.50.5 1.650.56812.247p +=+≈+⨯≈，可知p p >+ 所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 18. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．【答案】（1）14(3)n n a -=⋅-（2）(21)31nn T n =-⋅+ 【解析】【分析】（1）利用退位法可求{}n a 的通项公式． （2）利用错位相减法可求n T.【小问1详解】当1n =时，1114434S a a ==+，解得14a =．当2n ≥时，11434n n S a --=+，所以1144433n n n n n S S a a a ---==-即13n n a a -=-，而140a =≠，故0n a ≠，故13nn a a -=-， ∴数列{}n a 是以4为首项，3-为公比的等比数列， 所以()143n n a -=⋅-.【小问2详解】111(1)4(3)43n n n n b n n ---=-⋅⋅⋅-=⋅,所以123n n T b b b b =++++L 0211438312343n n -=⋅+⋅+⋅++⋅L 故1233438312343nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅L 所以1212443434343n n n T n --=+⋅+⋅++⋅-⋅L()1313444313n nn --=+⋅-⋅-()14233143n n n -=+⋅⋅--⋅(24)32n n =-⋅-，(21)31n n T n ∴=-⋅+.19. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点．（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求二面角F BM E --的正弦值． 【答案】（1）证明见详解；（2【解析】【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD ，进而得证；（2）作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，易证,,OB OD OF 三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解. 【小问1详解】因为//,2,4,BC AD EF AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =， 四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD ，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；【小问2详解】如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =， 结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =， 所以ABM V 为等边三角形，O 为AM中点，所以OB =，又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =， 四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM V 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，以OB 方向为x 轴，OD 方向为y 轴，OF 方向为z 轴，建立O xyz -空间直角坐标系，()0,0,3F，)()(),0,1,0,0,2,3BM E，()(),BM BF ==u u u u r u u u r，()2,3BE =u u u r ，设平面BFM 的法向量为()111,,m x y z =r，平面EMB 的法向量为()222,,n x y z =r，则00m BM m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u r r，即1111030y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =113,1y z ==，即)m =r ，则00n BM n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u r r，即222220230y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，令2x =，得223,1y z ==-，即)1n =-r，11cos ,13m n m n m n ⋅===⋅r r r r r r，则sin ,m n =r r ， 故二面角F BM E --20. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y -，结合韦达定理化简前者可得10Q y y -=，故可证AQ y ⊥轴.【小问1详解】设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a -=，故2a =，故b =故椭圆方程为22143x y +=.【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得()2222343264120k x k x k +-+-=， 故()()422Δ102443464120k kk=-+->，故1122k -<<， 又22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++， 而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，故22223325252Qy y y x x --==--， 所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯-+-=+=--()()()12224253425k x x k x x -⨯-+-=-()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x -⨯-⨯+-++++==-- 2222212824160243234025k k k k k x --+++==-， 故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21. 已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-． （1）当2a =-时，求()f x 的极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）极小值为0，无极大值.（2）12a ≤- 【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就12a ≤-、102a -<<、0a ≥分类讨论后可得参数的取值范围. 【小问1详解】当2a =-时，()(12)ln(1)f x x x x =++-， 故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x +'=++-=+-+++， 因为12ln(1),11y x y x=+=-++在()1,∞-+上为增函数， 故()f x '在()1,∞-+上为增函数，而(0)0f '=，故当10x -<<时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>， 故()f x 在0x =处取极小值且极小值为()00f =，无极大值. 【小问2详解】()()()()11ln 11ln 1,011a x axf x a x a x x x x +-=-+'+-=-+->++， 设()()()1ln 1,01a x s x a x x x+=-+->+，则()()()()()()222111211111a a x a aax a s x x x x x ++++-++=-=-=-+++'+， 当12a ≤-时，()0s x '>，故()s x 在()0,∞+上为增函数， 故()()00s x s >=，即()0f x '>，所以()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()()00f x f ≥=. 当102a -<<时，当210a x a+<<-时，()0s x '<， 故()s x 在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上为减函数，故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()0s x s <，即在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上()0f x '<即()f x 为减函数， 故在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上()()00f x f <=，不合题意，舍. 当0a ≥，此时()0s x '<在()0,∞+上恒成立，同理可得()0,∞+上()()00f x f <=恒成立，不合题意，舍； 综上，12a ≤-. 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x ty t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.【答案】（1）221y x =+（2）34a = 【解析】【分析】（1）根据cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩可得C 的直角方程.（2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值；在法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值. 【小问1详解】由cos 1ρρθ=+，将cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+.【小问2详解】对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+. 法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4，故直线的参数方程可设为x y a s ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，s ∈R .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s，则)()212121,21s s a s s a +=--=-，且()()22Δ818116160a a a =---=->，故1a <，12AB s s ∴=-=2==，解得34a =法2：联立221y x ay x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +-+-=，()22Δ(22)41880a a a =---=-+>，解得1a <，设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=-=-，则AB ==2=，解得34a =[选修4-5：不等式选讲]23. 实数,a b 满足3a b +≥． （1）证明：2222a b a b +>+； （2）证明：22226a b b a -+-≥． 【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）直接利用22222()a b a b +≥+即可证明. （2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明. 【小问1详解】因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=≥， 当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+， 因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+; 【小问2详解】222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥⨯=绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试文科数学使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =I （ ）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3C. {}3,4D. {}1,2,92.设z =，则z z ⋅=（ ）A. -iB. 1C. -1D. 23. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A. 5B.12C. 2-D. 72-4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ） A. 2-B.73C. 1D.295. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A.14B.13C.12D.236. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A. 4B. 3C. 2D.7. 曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（ ） A.16B.C.12D. 8. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-大致图像为（）A. B.C. D.9.已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 1+B. 1-C.D. 1原10题略10. 设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=I .下列四个命题： ①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成角相等，则m n ⊥其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①③④11. 在ABC V 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ） A.32B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．原13题略的的12. 函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______． 13. 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______． 14. 曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n S 的通项公式.16. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点.（1）证明：//BM 平面CDE ； （2）求点M 到ABF 的距离.17. 已知函数()()1ln 1f x a x x =--+． （1）求()f x 单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e xf x -<恒成立．18. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．的的（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．19. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 直角坐标方程； （2）设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.20. 实数,a b 满足3a b +≥． （1）证明：2222a b a b +>+； （2）证明：22226a b b a -+-≥．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =I （ ）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3C. {}3,4D. {}1,2,9【答案】A 【解析】【分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合B 中元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=， 则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =， 于是{1,2,3,4}A B ⋂=. 故选：A 2.设z =，则z z ⋅=（ ）A. -iB. 1C. -1D. 2【答案】D 【解析】的的【分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【详解】依题意得，z =，故22i 2zz =-=. 故选：D3. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A. 5B.12C. 2-D. 72-【答案】D 【解析】【分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =-可得1155y x z =-， 即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值， 此时直线1155y x z =-过点A ， 联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭，则min 375122z =-⨯=-. 故选：D.4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ） A. 2- B.73C. 1D.29【答案】D【解析】【分析】可以根据等差数列基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【详解】方法一：利用等差数列的基本量由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ⨯=+=⇔+=， 又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选：D方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式，193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=. 故选：D方法三：特殊值法不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==⇒=，则371229a a a +==. 故选：D5. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A.14B.13C.12D.23【答案】B 【解析】【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【详解】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意； 基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=. 故选：B6. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）的A. 4B. 3C. 2D.【答案】C【解析】 【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【详解】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===. 故选：C.7. 曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A. 16B.C. 12 D. 【答案】A【解析】【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【详解】()563f x x ='+，所以()03f '=，故切线方程为3(0)131y x x =--=-， 故切线的横截距为13，纵截距为1-，故切线与坐标轴围成的面积为1111236⨯⨯= 故选：A. 8. 函数()()2e e sin x x f x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（ ）A. B.C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22e e sin e e sin x x x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=， 又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故可排除D.故选：B.9.已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 1+B. 1-C.D. 1【答案】B【解析】 【分析】先将cos cos sin αα-α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin ααα=-，所以11tan =-α，tan 1⇒α=-，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==-α+⎪-α⎝⎭， 故选：B .原10题略10. 设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=I .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥ ③若//n α，且//n β，则//m n④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥其中所有真命题编号是（ ）A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①③④ 【答案】A 的【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.【详解】对①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，故①正确；对②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ， 同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ=I ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，故④错误；综上只有①③正确，故选：A.11. 在ABC V 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A. 32B.C.D. 【答案】C【解析】 【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A C B ==. 由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=， 即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==， 所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=， 因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=. 故选：C. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．原13题略12. 函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______．【答案】2【解析】【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，当[]0,πx ∈时，ππ2π,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 当ππ32x -=时，即5π6x =时，()max 2f x =. 故答案为：213. 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______． 【答案】64【解析】【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解. 【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=， 2log 1a ⇒=-或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案为：64.14. 曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______． 【答案】()2,1-【解析】【分析】将函数转化为方程，令()2331x x x a -=--+，分离参数a ，构造新函数()3251,g x x x x =+-+结合导数求得()g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令()2331x x x a -=--+，即3251a x x x =+-+，令()()32510,g x x x x x =+-+> 则()()()2325351g x x x x x =+-=+-'，令()()00g x x '=>得1x =， 当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==-，因为曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点， 所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a ∈-.故答案为：()2,1-三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 的通项公式.。
理科数学-2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷A(全国甲卷专用)(考试版)
13．与函数 在点 处具有相同切线的一个函数的解析式是__________．
14．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙、丙、丁等4人报名参加了 三个项目的志愿者工作，每个项目需1名或2名志愿者，若甲不能参加 项目，乙不能参加 、 项目，那么共有______种不同的志愿者选拔方案.
2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷A（全国甲卷）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数z满足 ，则 （）
A．1B． C． D．
2．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
3．已知等差数列 ，前n项和为 ， ，则 （）．
A．200B．300C．500D．1000
(1)写出 的直角坐标方程和 的普通方程;
(2)设 , 的交点为 ,若 ,求 的值．
23．已知函数．
(1)当 时，求 的解集；
(2)若区间 包含于不等式 的解集，求 取值范围．
C．2017—2021年，货物进口总额逐年上升D．2017—2021年，货物出口总额逐年上升
5．设 为锐角，且 ，则（）
A． B． C． D．
6．如图是一个简单几何体的三视图，若 ，则该几何体体积的最大值为（）
第一章有理数(A卷-中档卷
第一章有理数（A卷-中档卷）注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．答题时间：60分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校七年级期中）下列各数：－3，0，＋5，132-，＋3.1，12-，2022，＋2020，其中负数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【分析】根据小于零的是数负数，可得答案．【详解】解：﹣3，132-，12-是负数，故选：B．【点睛】本题考查了正数和负数，小于零的数是负数，注意带负号的数不一定是负数．2．（2021·湖北宜昌·模拟预测）我县某茶厂检测A、B、C、D四盒茶的重量（单位：克），超过标准重量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数，结果如下，其中最接近标准重量的是（）．A．+1.3B．－2.2C．+0.9D．－0.7【答案】D【分析】根据绝对值的意义即可得出答案．【详解】解：∵|-0.7|＜|+0.9|＜|+1.3|＜|-2.2|，∴最接近标准质量的是-0.7克，故选：D．【点睛】本题考查了绝对值，正负数的意义，掌握绝对值最小最接近标准质量是解题的关键．3．（2022·贵州铜仁·七年级期末）现有以下四个结论：①绝对值等于其本身的有理数只有零；②相反数等于其本身的有理数只有零；③倒数等于其本身的有理数只有1；④平方等于其本身的有理数只有1和0．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据绝对值的性质，相反数的定义，倒数的定义，有理数乘方的定义对各小题分析判断即可得解．【详解】解：①绝对值等于其本身的有理数是零和正数，故本小题错误；②相反数等于其本身的有理数只有零，故本小题正确；③倒数等于其本身的有理数是1和-1，故本小题错误；④平方等于其本身的有理数是0和1，故本小题正确；综上所述，正确的说法有②④共2个．故选：B．【点睛】本题考查了有理数的乘方，相反数的定义，绝对值的性质，倒数的定义，是基础概念题，熟记概念是解题的关键．4．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校期末）下列运算中，正确的是（）A．48255¸=B．2003¸=C．88242499¸=D．2483721´=【答案】D【分析】根据有理数的乘除运算法则计算即可．【详解】解：A、441225525¸=´=，错误；B、0不能作除数，错误；C、8924242798¸=´=，错误；D、2483721´=，正确；故选：D．【点睛】本题考查了有理数的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．5．（2022·黑龙江绥化·期末）下列算式中，计算结果最大的是（）A．1223´B．3223´C．3243´D．3233´【答案】B【分析】先根据分数的乘法分别计算，再比较大小即可．【详解】解：121233´=，3223´=1，321432´=，322333´=∵1121 323<<<，∴最大的为32 23´．【点睛】本题考查分数乘以分数，解题关键是先计算出结果，再进行大小比较．6．（2022·河北承德·七年级期末）老师设计了计算接力游戏，规则是每名同学只能利用前面一个同学的式子，进一步计算，将计算的结果传给下一个同学，最后解决问题．过程如下：自己负责的哪一步错误的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】C【分析】根据有理数的混合运算法则进行判断即可．【详解】解：(49-63)÷7=49÷7-63÷7=7-9=-2∴出错的是丙．故选：C．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题关键是掌握有理数混合运算法则．7．（2022·山东滨州·七年级期末）出租车司机小赵上午从停车场出发一直沿东西方向的大街进行营运，规定向东为正，向西为负，他的行驶里程（单位：千米）记录如下：+11，﹣5，+3，+10，﹣11，+5，﹣15，﹣8，若每千米盈利1元，当把最后一名乘客送达目的地时，他在停车场的什么位置和上午的盈利分别为（ ）A．西边10千米处，10元B．东边10千米处，10元C．西边10千米处，68元D．西边10千米处，34元【答案】C【分析】根据有理数的混合运算的应用可直接进行求解．【详解】解：+11﹣5+3+10﹣11+5﹣15﹣8＝﹣10（千米）．|+11|+|﹣5|+|+3|+|+10|+|﹣11|+|+5|+|﹣15|+|﹣8|＝68（km），1×68＝68（元）．答：他在停车场的西边10千米处，上午的盈利为68元．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算的应用，熟练掌握有理数的运算是解题的关键．8．（2022·广西贵港·七年级期中）已知有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点位置如图所示，则a b c a b c-+的值是（ ）A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4【答案】C 【分析】先由数轴观察得出c ＜a ＜0＜b ，据此计算即可．【详解】解：由数轴可得：c ＜a ＜0＜b ，()1113a b c a b c-+=--+-=-，故选：C ．【点睛】本题考查了利用数轴进行的相关计算，数形结合并明确绝对值等的化简法则，是解题的关键．9．（2022·浙江杭州·七年级期末）已知a ＝﹣3400，b ＝7300，c ＝﹣11200，则下列各式结果最大的是( )A ．|a +b +c |B ．|a +b ﹣c |C ．|a ﹣b +c |D ．|a ﹣b ﹣c |【答案】C【分析】根据有理数的加减法法以及绝对值的性质求出各个选项的值，再比较大小即可．【详解】解：|a +b +c |=92866120012001200-+-=471200，|a +b -c |=92866120012001200-++=851200，|a -b +c |=92866120012001200---=1031200，|a -b -c |=92866120012001200--+=291200，∵1038547291200120012001200>>>，∴结果最大的是|a -b +c |．故选：C ．【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，有理数的加减法以及绝对值，掌握有理数的加减法法则是解答本题的关键．10．（2022·江苏淮安·七年级期末）新华书店开业期间推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书200元律打八折．如李明明同学一次性购书付款162元，那么李明明所购书的原价一定为（ ）A ．180元B ．200 元C ．200元或202.5元D ．180元或202.5元【答案】D【分析】不享受优惠即原价，打九折即原价×0.9，打八折即原价×0.8．【详解】解：∵200×0.9＝180，200×0.8＝160，160＜162＜180，∴一次性购书付款162元，可能有两种情况．162÷0.9＝180元；162÷0.8＝202.5元．故王明所购书的原价一定为180元或202.5元．故选：D ．【点睛】本题考查有理数的运算在实际生活中的应用．注意售书有三种优惠方案．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）赤峰某日的最高气温是5℃，最低气温是－4℃，则该日最高气温比最低气温高______℃．【答案】9【分析】先根据题意列出算式，然后再利用有理数的减法法则计算即可．【详解】解：5-（-4）=5+4=9（℃）．故答案为：9．【点睛】本题主要考查的是有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题的关键．12．（2022·辽宁大连·七年级期末）在数轴上有A ，B 两点，其中A 点对应的数是﹣2，线段AB ＝3，则B 点对应的数为___．【答案】-5或1【分析】分类讨论：分为B 在A 的左侧和B 在A 的右侧讨论即可．【详解】当B 在A 左侧时，B 对应的数为﹣2﹣3＝﹣5．当B 在A 右侧时，B 对应的数为﹣2+3＝1．故答案为：﹣5或1．【点睛】本题考查数轴的知识，解题的关键是根据题意进行分类讨论．13．（2022·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校七年级期中）已知x ，y 为有理数，规定*2x y xy =-，则2*4＝__________．【答案】6【分析】根据*2x y xy =-，以及有理数的混合运算的运算方法，求出2*4的值是多少即可．【详解】解：2*4242826=´-=-=．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了定义新运算，熟练掌握有理数的混合运算规律是解题关键．14．（2022·黑龙江牡丹江·七年级期末）如果2x -=-，则x ＝________．【答案】2x =±【分析】根据绝对值的性质即可解决问题；【详解】解：|||2|x -=-Q ，2x \=±，故答案为：2±；【点睛】本题考查了化简绝对值，解题的关键是熟练掌握化简绝对值的运算方法．15．（2022·黑龙江大庆·期中）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2021次，蚂蚁在数轴上的位置所对应的数是_________【答案】1011【分析】一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了一个单位长度到达1，第二次接着向左爬行了2个单位长度到达-1，第三次接着向右爬行了3个单位长度到达2，第四次接着向左爬行了4个单位长度到达-2，依此类推得到一般性规律，即可得到结果．【详解】解：一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了一个单位长度到达1，第二次接着向左爬行了2个单位长度到达1-2=-1，第三次接着向右爬行了3个单位长度到达1-2+3=2，第四次接着向左爬行了4个单位长度到达1-2+3-4=-2，依此类推，第2021次到达1-2+3-4+...-2020+2021=1011，故答案为：1011．【点睛】本题考查了数轴，弄清题中的规律是解本题的关键．16．（2021·山东烟台·期中）根据如图所示的程序计算，若输入x 的值为1，则输出y 的值为____________．【答案】4【分析】把x =1代入程序中计算，判断结果是否大于0，即可确定出y 的值．【详解】解：根据题意得：221420´-=-<，∴()222440´--=>，∴输出y 的值为4．故答案为：4【点睛】此题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2021·黑龙江哈尔滨·七年级期末）计算(1)()()6311224-´+-´(2)115713691236æöæö-+-+¸-ç÷ç÷èøèø【答案】(1)0(2)5【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加法运算，即可得到结果；（2）原式先利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，再利用乘法分配律计算，即可得到结果．（1）解：原式()11284=´+-´()22=+-0=．（2）原式()11573636912æö=-+-+´-ç÷èø()()()()11573636363636912=-´-+´--´-+´-1262021=-+-5=．【点睛】本题考查有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算；进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．理解和掌握有理数的混合运算顺序是解题的关键．18．（2022·四川宜宾·七年级期末）某海域巡逻艇为了维护边境秩序，需要沿南北方向海域来回巡视，约定向北为正方向，某天早晨从A 岛出发，中午到达灯塔B ，当天上午的行驶记录如下（单位： 海里）：＋20，－10，＋15，－17，－6，＋11，－15，－16．(1)试问灯塔B 在A 岛的哪个方向？它们相距多少海里？(2)如果巡逻艇每海里耗油a 升，那么该次共耗油多少升？【答案】(1)灯塔B 在A 岛的南方，18海里的地方(2)110a 升【分析】（1）所有行驶记录数据相加即可求解；（2）先算出巡逻艇行驶的总路程，再乘以每海里的耗油量即可求解．（1）解：根据题意得：20＋（－10）＋15＋（－17）＋（－6）＋11＋（－15）＋（－16）＝－18（海里），答：灯塔B 在A 岛的南方，18海里的地方．（2）根据题意得：|＋20|＋|－10|＋|＋15|＋|－17|＋|－6|＋|＋11|＋|－15|＋|－16|＝110（海里），因为每海里耗油a 升，所以共耗油110a 升．答：该次共耗油110a 升．【点睛】本题考查正负数的理解，有理数的加减混合运算，熟练的掌握有理数加法法则及正负数的意义是解决本题的关键．19．（2021·河南·淅川县基础教育教学研究室七年级期中）如果()2120a b ++-=，（1）求a 、b 的值；（2）求20202021()a b a ++的值．【答案】（1）a = -1，b =2；（2）0【分析】（1）根据绝对值与偶次方的非负性进行求解；（2）将a 、b 的值代入求解即可．【详解】解：（1）由 ()2120a b ++-=得10a +=，20b -=，解得a = -1， b =2． （2）2020202120202021()(12)(1)110a b a ++=-++-=-=．【点睛】本题主要考查绝对值、偶次方的非负性及有理数的乘方，熟练掌握绝对值、偶次方的非负性及有理数的乘方是解题的关键．20．（2020·辽宁锦州·七年级期中）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A ，B ，C 把数轴分成①②③④四部分，点A ，B ，C 对应的数分别是a ，b ，c ，已知bc ＜0．(1)请说明原点在第几部分；(2)若AC ＝5，BC ＝3，b ＝﹣1，求a ，c ．【答案】(1)第③部分(2)a ＝﹣3，c ＝2【分析】（1）根据bc ＜0可得b ，c 异号，即原点在B 与C 之间；（2）根据数轴上的点的距离求解即可．（1）解：∵bc ＜0，∴b ，c 异号，∴原点在第③部分；（2）解:若AC ＝5，BC ＝3，则AB ＝5﹣3＝2，∴a ＝b ﹣2＝﹣1﹣2＝﹣3，c ＝b ＋3＝﹣1＋3＝2．【点睛】本题考查了数轴，有理数的乘法运算以及有理数的加减，熟练掌握数轴特点是解题的关键．21．（2022·全国·七年级专题练习）小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题：(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，最大值是多少？答：乘积最大值为 ．(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是多少？答：商的最小值为 ．(3)从中取出2张卡片，用学过的运算方法，使结果最大，如何抽取？写出运算式子．写出完整算式及运算过程．【答案】(1)15(2)﹣53(3)选取﹣5和+4；（﹣5）4＝54＝625【分析】（ 1）根据两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数和0相乘都得0，取绝对值尽量打且同号的相乘即可得答案．（2 ）根据两数相除，同号得正，异号得负，从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，则取绝对值尽量接近且异号的两数相除即可得答案．（3）学过的运算方法有加减乘除、乘方运算，使结果最大，可选绝对值较大的数进行偶次方运算即可．(1)解：从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，可取﹣3和﹣5，()3515-´-=，故答案为：15．(2)解：从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，可取﹣5和+3，()5533-¸+=-，故答案为：﹣53；(3)解：选取﹣5和+4()4455625-==．【点睛】本题考查了有理数的乘除法及乘方运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．22．（2021·山东威海·期中）某原料仓库一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）：进出数量（单位：吨）﹣3 4﹣1 2﹣5进出次数 2 1 2 3 2(1)这天仓库的原料与原来相比，是增加了还是减少了？请说明理由；(2)根据实际情况，现有两种方案：方案一：运进每吨原料费用15元，运出每吨原料费用18元；方案二：不管运进还是运出，费用都是每吨原料16元．从节约运费的角度考虑，选用哪种方案比较合适？为什么？【答案】(1)仓库的原料比原来减少了，见解析(2)选方案二合适，见解析【分析】（1）将进出数量×进出次数，再把它们相加即可求解；（2）分别求出两种方案的钱数，再相加即可求解．（1）解：()()3241122352-´+´+-´+´+-´6426108=-+-+-=-．答：仓库的原料比原来减少了．（2）解：方案一：()()4615621018474+´+++´=．方案二：()64261016448++++´=．因为448＜474，所以选方案二合适．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，以及正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．23．（2022·全国·七年级专题练习）阅读材料：求2342021122222+++++×××+的值．解：设2342021122222S =+++++×××+将等式两边同时乘以2，得：234202120222222222S =++++×××++；将下式减去上式得：2022221S S -=-，即202221S =-，即2342021202212222221+++++×××+=-；请你仿照此法计算：（1）23411111122222næöæöæöæö+++++×××+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø．（2）234133333n +++++×××+．【答案】（1）122n æö-ç÷èø；（2）1312n +-．【分析】（1）设23411111122222n A æöæöæöæö+++++×××=+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø，从而可得12A 的值，再计算12A A -，由此即可得；（2）设234133333n B =+++++×××+，从而可得3B 的值，再计算3B B -，由此即可得．【详解】解：（1）设23411111122222nA æöæöæöæö+++++×××=+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø，将等式两边同乘以12得：2341111112222122n A +æöæöæöæö++++×××+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø=，将上式减去下式得：111122n A A +æö-=-ç÷èø，即111122n A +æö=-ç÷èø，则122n A æö=-ç÷èø，即23411111112222222n n æöæöæöæöæö+++++×××+=-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèø；（2）设234133333n B =+++++×××+，将等式两边同乘以3得：2341333333n B +=++++×××+，将下式减去上式得：1331n B B +-=-，即1231n B +=-，则1312n B +-=，即1234311333332n n+-+++++×××+=．【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，掌握理解阅读材料中的求解方法是解题关键．。
高三数学理科摸底考试卷A试题
潮阳一中2021届高三数学理科摸底考试卷制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日本套试卷分选择题题〔8道〕，填空题〔6道〕，解答题〔6道〕一共20题。
满分是150分，考试时间是是120分钟。
一、选择题〔一共8小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，请将正确选项填在答卷相应的位置上〕 1．假设22πβαπ<<<-，那么βα-一定不属于的区间是 ( )A ．()ππ,-B ．⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ C ．()π,0 D ． ()0,π-2．等差数列{a n } 中，a 3 =2，那么该数列的前5项的和为( )A ．10B ．16C ． 20D ．323．设α表示平面，b a ,表示直线，给定以下四个命题：①αα⊥⇒⊥b b a a ,//；②αα⊥⇒⊥b a b a ,//;③αα//,b b a a ⇒⊥⊥;④b a b a //,⇒⊥⊥αα.其中正确命题的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，假如直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为( )A ．1B ．21C ．31 D ．61第4题图正视图侧视图俯视图第7题5．函数()22-=x x f ，那么函数()x f y =的图像可能是( ) 6．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任班长，其中至少有1名女生中选的概率是( )A ．73 B ．74 C ．75 D ．767．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．i ＞10B ．i <10C ．i ＞20D ．i <20 8．定义两种运算：a b ⊕=22a b -，2()a b a b ⊗=-，那么函数2()(2)2xf x x ⊕=⊗-为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且为偶函数D ．非奇函数且非偶函数二．填空题〔本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分。
2021年全国甲卷理科数学真题及答案
2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学甲卷（试题+答案）本试卷5页，23题（含选考题），全卷满分150分。
考试用时120分钟.注意事项∶1。
答题前。
先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置2.选择题的作答∶每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂器.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答∶用患色签字笔直接答在答题卡上对应的签题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答;先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后.请将本试卷和答题卡一并上交。
1.设集合M=｛x|0＜x＜4｝，N=｛x|13≤x≤5｝，则M∩N=(B)A.13｝B.13≤x＜4｝C.｛x|4≤x＜5｝D.｛x|0＜x≤5｝2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是(c)A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3.已知（1−i）2z=3+2i，则z=(B)32iB.32iC.32+iD.32-i4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V 满足L=5+lgV。
已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（1010≈1.259）(C)A.1.5B.1.2C.0.8D.0.65.已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为(A)7B.2C.7D.136.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是(D)A.B.C.D.7.等比数列｛an ｝的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙:｛Sn｝是递増数列，则(B)A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图，现有以A，B,C三点，且A，B,C在同一水平而上的投影A’,B’，C'满足∠ ' ' =45°,∠ ' ' '=60°.由c点测得B点的仰角为15°，曲，B '与C '的差为100:由B点测得A点的仰角为45°，则A,C两点到水平面 ' ' '的高度差A '− '约为（3≈1.732）(B)A.346B.373C.446D.4739.若α∈（0,, ,tan=cos ，则tan =(A)B. C. D.10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(C)13 B.25 C.23 D.4511.已知A,B,C是半径为1的求O的球面上的三个点，且AC⊥BC,AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为(A)B. C. D.12.设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f x=a 2+ .若f0+f3=6,则f=(D)A.−94B.−32C.74D.52二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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试卷类型：A 绝密★启用前
2014年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）
数 学（理工类）
本试卷共4页，共22题，其中第15、16题为选考题。
满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再炫图其他答案标号。
打在试题卷、草稿纸上无效。
3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上制定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑。
考生应根据自己选作的题目准确填涂题号，不得多选。
答题答在答题卡上对应的答题区域内，打在试题卷、草稿纸上无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.设集合}1,0,1{-=M ，},{2
a a N =，若M N N = ,则a 的值是 （ ） A ．1 B ．0 C ．－1 D ．1或－1
2.复数2013
21
i i -（i 为虚数单位）的虚部是（ ）
A ．15
i
B ．
15
C ． 15
i -
D ．15
-
3．“,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
”是“方程22
cos 1x y α+=表示焦点在x 轴上的双曲线”的（ A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4.设非零向量a b c 、、，满足||||||a b c == ，
||||a b c +=
，则sin ,a b <> = ( )
A ． 12-
B
．12 C
． D 5.已知三棱锥的底面是正三角形，其正视图与俯视图如图所示，
则其侧视图．．．
的面积为（ ） A ．B C ．34 D ．32 6．如下图，是把二进制数(2)1111化成十进制数的一个程序框图，判断框内可以填入的条件是（ ）
A ．3i >
B ．3i ≤
C ．4i >
D ．4i ≤
(吨)
0.0.0.0.0
.第13题图
7.已知函数()sin()(0,)2
f x x π
ωϕωϕ=+><
的部分图像如图，
则
2013
1
(
)6n n f π
==∑（ ） A ．1- B ． 1
2 C ．1 D ．0
8. 一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于．．．
半径为3的球，则该棱柱体积的最大值为（ ）
A ．
332 B ．33 C ．2
3
3 D ．36 9.宜昌市科协将12个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每个学校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为（ ） A ．36 B ．42 C ．48 D ．54
10.定义域是一切实数的函数()y f x =，其图象是连续不断的,且存在常数()R λλ∈使得
()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立,则称()f x 是一个“λ的相关函数”.有下列关于“λ的
相关函数”的结论:①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”；② 2()f x x =是一个“λ的相关函数”；③ “
1
2
的相关函数”至少有一个零点. 其中正确．．
结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．0
二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对．．．．应题号．．．
的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 （一）必考题
11. 2
61
()x x
-的展开式中的常数项为______.
12.在长为10 cm 的线段AB 上任取一点C ，并以线段AC 为边作正方形，这个正方形的面积介于25
2cm 与49 2cm 之间的概率为 ．
13．对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数是 ______；中位数是 ______.
14. 某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角
为 120°；二级分形图是在一级分形图的每一条线段末端出发再生成 两条长度均为原来1
3
的线段；且这两条线段与原线段两两夹角为 120°； ；依次规律得到n 级分形图.
则（1）n 级分形图中共有 条线段. （2）n 级分形图中所有线段长度之和为 .
P
G F
E D C B A （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分） 15．（选修4—1：几何证明选讲）如图，PA 与圆O 相切于A ，PCB 为圆O 的割线，并且不过圆心O ，
已知0
30BPA ∠=
，PA =，1PC =，则圆O 的半径等于 . 16．（选修4—4：坐标系与参数方程）设A 、B 分别为直线
103:(x t l t y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）和曲线C ：4cos ρθ=上的点， 则AB 的最小值为 ．
三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(本小题满分12分） 已知函数2()2sin(2)2sin ,0,62f x x x x π
π⎡⎤
=-+
-∈⎢⎥⎣⎦
（1）求函数()f x 的值域；
（2）记ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c
、
、，若()1,1,2
B
f b c ===a 的值．
18.（本小题满分12分）
已知公差不为0的等差数列{}n a 的前3 项和3S ＝9，且1a 、2a 、5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S .
（2）设n T 为数列1
1
{
}n n a a +的前n 项和，若1n n T a λ+≤对一切n N *∈恒成立，求实数 λ的最小值.
19．（本小题满分12分）
如图，在底面是正方形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G 为AC 上一点．
（1）确定点G 在线段AC 上的位置，使FG //平面PBD ，并说明理由．
（2）当二面角B PC D --的大小为2π
3时，求PC 与底面ABCD 所成角的正切值．
20．（本小题满分12分）
在我校第十六届科艺读书节活动中，某班50名学生参加智力答题活动，每人回答3个问题，答对
（1）从50名学生中任选两人，求两人答对题目个数之和为4或5的概率； （2）从50名学生中任选两人，用X 表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值，求随机变量X 的
分布列及数学期望()E X .
21．（本小题满分13分）
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．
如图，“盾圆C ”是由椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>与抛物线24y x =中两段曲线弧合成，1
2F F 、为椭圆的左、右焦点，2(1,0)F ．A 为椭圆与抛物线的一个公共点，25
2
AF =．
（1）求椭圆的方程；
（2）求定积分时，可以使用下面的换元法公式：函数()y f x =中，令()x t ϕ=， 则[][]22
1
1
()()
()()()b
t t a
t t f x dx f t d t f t t dt ϕϕϕϕ'==⎰
⎰⎰（其中12()()a t b t ϕϕ==、
）． 如
2
222
1cos2(sin )cos (sin )cos 2
t
t t t dt tdt dt ππ
π+'====⎰
⎰⎰⎰． 阅读上述文字，求“盾圆C ”的面积．
（3）过2F 作一条与x 轴不垂直的直线，与“盾圆C ”依次交于M N G H 、、、四点，P 和P ' 分别为
NG MH 、的中点，问
2
2
MH PF NG P F ⋅'是否为定值？若是，求出该定值；若不是， 说明理由．
22. （本小题满分14分）
已知函数()||ln (0),()1()f x x a x x h x ax a R =-->=-∈.
（1）若1a =，求()f x 的单调区间及()f x 的最小值； （2）若0a >，求()f x 的单调区间；
（3）若222222ln 2ln 3ln ()(21)
232(1)
n h n n n n ++++<+ ，求a 的最小正整数值.。