17-18版 第2章 学业分层测评12

学业分层测评(十二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是()
A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥αB．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥αD．m∥b，b⊥α
【解析】由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确．
【答案】 D
2．如图2-3-6，三棱锥P-ABC中，P A⊥AB，P A⊥BC，则直线PB和平面ABC 所成的角是()
图2-3-6
A．∠BP A
B．∠PBA
C．∠PBC
D．以上都不对
【解析】由P A⊥AB，P A⊥BC，AB∩BC＝B，
得P A⊥平面ABC，
所以∠PBA为BP与平面ABC所成的角．故选B.
【答案】 B
3．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面() A．有且只有一个B．至多一个
C．有一个或无数个D．不存在
【解析】若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．【答案】 B
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()
A.23
B.33
C.23
D.63
【解析】 如图所示，连接BD 交AC 于点O ，连接D 1O ，
由于BB 1∥DD 1，∴DD 1与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1所成的角．易知∠DD 1O 即为所求．设正方体的棱长为1，则DD 1＝1，DO ＝22，D 1O ＝62，
∴cos ∠DD 1O ＝DD 1D 1O ＝26
＝6
3.
∴BB 1与平面ACD 1所成的角的余弦值为6
3. 【答案】 D
5．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )
A ．线段
B 1
C B ．线段BC 1
C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段
D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段
【答案】 A [如图，由于BD 1⊥平面AB 1C ，故点P 一定位于B 1C 上．]
二、填空题
6．如图2-3-7，平面α∩β＝CD ，EA ⊥α，垂足为A ，EB ⊥β，垂足为B ，则CD 与AB 的位置关系是________.
图2-3-7
【解析】 ∵EA ⊥α，CD ⊂α，
根据直线和平面垂直的定义，则有CD ⊥EA . 同样，∵EB ⊥β，CD ⊂β，则有EB ⊥CD . 又EA ∩EB ＝E ， ∴CD ⊥平面AEB .
又∵AB ⊂平面AEB ，∴CD ⊥AB . 【答案】 CD ⊥AB
7．如图2-3-8所示，P A ⊥平面ABC ，在△ABC 中，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有________．
图2-3-8
【解析】
⎭
⎬⎫
P A ⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒
⎭
⎬⎫
P A ⊥BC
AC ⊥BC P A ∩AC ＝A ⇒BC ⊥平面P AC ⇒BC ⊥PC ， ∴直角三角形有△P AB 、△P AC 、△ABC 、△PBC . 【答案】 4 三、解答题
8．如图2-3-9，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .求证：AE ⊥BE .
图2-3-9
【证明】 ∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ， ∴BC ⊥平面ABE .
又AE ⊂平面ABE ，∴AE ⊥BC .
∵BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，∴AE ⊥BF . 又∵BF ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BF ∩BC ＝B ， ∴AE ⊥平面BCE .
又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .
9．如图2-3-10所示，三棱锥A -SBC 中，∠BSC ＝90°，∠ASB ＝∠ASC ＝60°，SA ＝SB ＝SC .求直线AS 与平面SBC 所成的角．
图2-3-10
【解】 因为∠ASB ＝∠ASC ＝60°，SA ＝SB ＝SC ，
所以△ASB 与△SAC 都是等边三角形．因此AB ＝AC . 如图所示，取BC 的中点D ， 连接AD ，SD ，则AD ⊥BC .
设SA ＝a ，则在Rt △SBC 中，BC ＝2a ，CD ＝SD ＝22a . 在Rt △ADC 中，AD ＝AC 2－CD 2＝2
2a . 则AD 2＋SD 2＝SA 2，所以AD ⊥SD . 又BC ∩SD ＝D ，所以AD ⊥平面SBC .
因此∠ASD 即为直线AS 与平面SBC 所成的角． 在Rt △ASD 中，SD ＝AD ＝2
2a ， 所以∠ASD ＝45°，
即直线AS 与平面SBC 所成的角为45°.
[能力提升]
10．如图2-3-11，四棱锥S -ABCD 的底面ABCD 为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中正确的有________个．
图2-3-11
①AC⊥SB；
②AB∥平面SCD；
③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；
④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．
【解析】因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD.
因为ABCD是正方形，
所以AC⊥BD.又BD∩SD＝D，
所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确．
因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，
所以AB∥平面SCD，故②正确．
因为AD是SA在平面ABCD内的射影，
所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD.故③正确．
因为AB∥CD，
所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，
故④正确．
【答案】 4
11．如图2-3-12，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.
图2-3-12
(1)求证：AB1⊥平面A1BC1.
(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．
【解】(1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，
∴AB 1⊥BA 1.
由AA 1⊥平面A 1B 1C 1得AA 1⊥A 1C 1. 又∵A 1C 1⊥A 1B 1，AA 1∩A 1B 1＝A 1， ∴A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ， 又∵AB 1⊂平面AA 1B 1B ， ∴A 1C 1⊥AB 1. 又∵BA 1∩A 1C 1＝A 1， ∴AB 1⊥平面A 1BC 1.
(2)连接A 1D .设AB ＝AC ＝AA 1＝1， ∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1，
∴∠A 1DA 是AD 与平面A 1B 1C 1所成的角．
在等腰直角三角形A 1B 1C 1中，D 为斜边B 1C 1的中点， ∴A 1D ＝12×B 1C 1＝2
2. 在Rt △A 1DA 中， AD ＝A 1D 2＋A 1A 2＝6
2. ∴sin ∠A 1DA ＝A 1A AD ＝6
3，
即AD 与平面A 1B 1C 1所成角的正弦值为6
3.。