2013年高考复习专题：导数总复习

2013年高考复习专题：高三函数与导数综合题常见题型与方法小结一、导数知识点归纳1.导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-2.、几种常见函数的导数①'C 0=；②1')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a x x ln )('=； ⑥x x e e =')(； ⑦ax x aln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '=；⑨'211()xx=-；⑩'1()2x x=3.导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+. （3）'''2()(0)uu v uvv v v-=≠. 4. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理）当函数)(x f 在点0x 处连续时，①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①：若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.极值与最值区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 5.导数与单调性⑪一般地，设函数 y = f ( x) 在某个区间可导，如果 f ′( x ) > 0 ，则 f ( x ) 为增函数；如果 f ′( x) < 0 ，则 f ( x) 为减函数；如果在某区间内恒有 f ′( x) = 0 ，则 f ( x) 为常数；⑫对于可导函数 y = f ( x) 来说， f ′( x ) > 0 是 f ( x ) 在某个区间上为增函数的充分非必要 条件， f ′( x ) < 0 是 f ( x ) 在某个区间上为减函数的充分非必要条件；⑬利用导数判断函数单调性的步骤： ①求函数 f ( x ) 的导数 f ′( x ) ；②令 f ′( x ) > 0 解不等式，得 x 的范围，就是递增区间；③令 f ′( x) < 0 解不等式，得 x 的范围，就是递增区间。

二、典型题型综合题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)('=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征)()(x g x f >恒成立0)()()(>-=⇔x g x f x h 恒成立。

例1.已知函数321()23f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点．（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，22()3f x a ->恒成立，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）'2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点，∴2x =是方程2220x bx -+=的一个根，解得32b =.令'()0f x >，则2320x x -+>，解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞，(2, +)∞.（Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时'()0f x <，(2,3)x ∈时'()0f x >，∴()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1，3]上的最小值，且 2(2)3f a =+.若当[1, 3]x ∈时，要使22()3f x a ->恒成立，只需22(2)3f a >+， 即22233a a +>+，解得 01a <<.2.已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-，326()(1)3(0)2t g x x x t x t -=+-++>（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。

解：（Ⅰ）/2()32f x x ax =+∴/(1)31f b a⎧=-⎨=+⎩， 解得32a b =-⎧⎨=-⎩（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在[1,0]-上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减又m i n m a x (1)4,(0)0,{()}(2)4,{()}(4)16f f f x ff x f -=-===-== ∴()f x 的值域是[4,16]-（Ⅲ）令2()()()(1)3[1,4]2t h x f x g x x t x x =-=-++-∈∴要使()()f x g x ≤恒成立，只需()0h x ≤，即2(2)26t x x x -≥-（1）当[1,2)x ∈时226,2x t x x-≤- 解得1t ≤-；（2）当2x =时 t R ∈；（3）当(2,4]x ∈时2262x t x x-≥-解得8t ≥；综上所述所求t 的范围是(,1][8,)-∞-+∞特别说明：分类与整合，千万别忘了整合即最后要写“综上可知”，分类一定要序号化；3.已知定义在R 上的函数32()2f x ax ax b =-+）（0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围.解：（Ⅰ）32'2()2,()34(34)f x ax ax b f x ax ax ax x =-+∴=-=- 令'()f x =0,得[]1240,2,13x x ==∉-因为0>a ，所以可得下表：x[)2,0-0 (]0,1'()f x+-()f x↗ 极大 ↘因此)0(f 必为最大值,∴50=）（f 因此5=b ， (2)165,(1)5,(1)(2)f a f a f f -=-+=-+∴>- ，即11516)2(-=+-=-a f ，∴1=a ，∴ .52(23+-=x x x f ）（Ⅱ）∵x x x f 43)(2-='，∴0(≤+'tx x f ）等价于0432≤+-tx x x ， 令x x xt t g 43)(2-+=，则问题就是0)(g ≤t 在]1,1[-∈t 上恒成立时，求实数x 的取值范围，为此只需⎩⎨⎧≤≤-0)10)1(（g g ，即⎩⎨⎧≤-≤-005322x x x x ，解得10≤≤x ，所以所求实数x 的取值范围是[0，1].4.已知函数23)(axx f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为5102，函数33)()(22+-=abx x f x g ．（1） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式；（2） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围．解：∵223)(x a x f ⋅='，∴由3322=⋅x a有a x ±=，即切点坐标为),(a a ，),(a a --∴切线方程为)(3a x a y -=-，或)(3a x a y +=+……………………2分 整理得023=--a y x 或023=+-a y x ∴5102)1(3|22|22=-+--a a ，解得1±=a ，∴3)(x x f =，∴33)(3+-=bx x x g（1）∵b x x g 33)(2-='，)(x g 在1=x 处有极值，∴0)1(='g ，即03132=-⨯b ，解得1=b ，∴33)(3+-=x x x g ……………………8分（2）∵函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，∴033)(2≥-='b x x g 在区间]1,1[-上恒成立，∴0≤b ， 又∵)(42x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上恒成立，∴)1(42g mb b ≥+-，即b mb b 3442-≥+-，∴3+≥b m 在]0,(-∞∈b 上恒成立，∴3≥m ∴m 的取值范围是[)+∞,3 题型二：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x 轴即方程根的个数问题； （1）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：第一种：转化为恒成立问题即0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论，如果是同侧则不必分类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法；第二种：利用子集思想；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集。

第三种方法：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；可参考第二次市统考试卷；特别说明：做题时一定要看清楚“在（a,b ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b ）”，要弄清楚两句话的区别。