【巴蜀英才】八年级数学下册 1.4 角平分线课件 (新版)北师大版
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(北师大版)八年级数学下册1.4 角平分线课件(共17张PPT)
归纳 到角的两边的距离相等的点在角的平 分线上。
用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上． 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
练一练
1. 如图 , △ABC 的角平分线 BM,CN 相交于点 P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证 明 ： 过 点 P 作 PD⊥AB 于 D ， A PE⊥BC于E，PF⊥AC于F ND M P F ∵BM是△ ABC 的角平分线 , 点 P 在 BM上, B E ∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
M D C F A E B N
3.如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两条高速公路的 距离相等，离两条公路交叉处500 m，请你帮忙设计一下，这个 广告牌P 应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？
S
练习2 如图，△ABC中，∠B =∠C，AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求 证：EB =FC． A
A
D
1 2
P
C
E
B
（4）得到角平分线的性质
角平分线上的点到角两边的距离相等。 利用此性质怎样书写推理过程?
A
D O
1 2
P
C
E
B
∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA ， PE ⊥ OB（已知） ∴PD=PE（全等三 角形的对应边相等）
探究点二
角平分线的判定
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上． 证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上
北师大版八年级数学下册1.4角平分线课件(第1课时27张)
4.如图所示,在△ABC中,P为BC上一点,PR⊥AB,垂足为
R,PS⊥AC,垂足为S,AQ=PQ,PR=PS.下面三个结论:
①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.正确的是( A )
A.①和②
B.②和③
C.①和③
D.全对
课堂检测
能力提升题
1.4 角平分线/
1、如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,△ABC的 面积是30 cm2,AB=18 cm,BC=12 cm,则DE=____2__cm.
课堂检测
1.4 角平分线/
能力提升题
2、如图,△ABC的两条外角平分线AP,CP相交于点P,PH⊥AC
于H;如果∠ABC=60°,
则下列结论:①∠ABP=30°;②∠APC=60°;③PB=2PH;④
∠APH=∠BPC,
其中正确的结论个数是 ( D )
A.1
B.2
C.3
D.4
课堂检测
拓广探索题
1.4 角平分线/
S
D
C
素养目标
1.4 角平分线/
3.能够应用这两个定理解决一些简单的实际问 题.
2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质 定理，并理解和掌握定理及其逆定理.
1.会叙述角平分线的性质定理及判定定理.
探究新知
1.4 角平分线/
知识点1 角平分线的性质定理
实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作
解： CPDB PD PB DB
PC PB DB
A
BC DB AD DB
AB 14
B D
P
C =
课堂小结 性质定理
北师大版(新)初中数学八年级下册 1,4角平分线 第二课时【优质课件】
1 已知△ABC，求作一点P，使P 到∠A 的两边的距离相等，且 PA＝PB.下列确定P 点的方法正确的是( B ) A．P 为∠A 与∠B 的平分线的交点 B．P 为∠A 的平分线与AB 的垂直平分线的交点 C．P 为AC，AB 两边上的高的交点 D．P 为AC，AB 两边的垂直平分线的交点
2 如图，李明计划在张村、李村之间建一家超市．张、李两村 坐落在两相交公路内．超市的位置应满足下列条件：(1)使其 到两公路的距离相等；(2)为了方便群众，超市到两村的距离 之和最短，请你通过作图确定要建超市的位置．
证明：∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM上，且PD丄AB，PE 丄BC，垂足分别为D，E， ∴PD＝PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 同理，PE＝PF． ∴PD＝PE＝PF. ∴点P 在∠A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离 相等的点在这个角的平分线上)，即∠A 的平分线经过点P.
(2) 求证：AB＝AC＋CD.
A
E
C
D
B
(1) 解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DC丄AC，DE丄AB 垂足为E， ∴ DE＝CD＝4 cm (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). ∵AC＝BC，∴ ∠B＝∠BAC， (等边对等角). ∵ ∠C＝90°， ∴ B＝1 90＝45 . ∴∠BDE＝90°－45°＝45° .
FEM＝FDN，
在△FEM 与△FDN 中， EMF＝DNF，
∴△FEM ≌ △FDN.
FM＝FN，
∴FE＝FD.
2 在△ABC 内到三条边距离相等的点是△ABC 的( B )
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．以上均不对
3 到三角形三边距离相等的点的个数是( D )
(新)北师大版八年级数学下册1.4《角平分线》优质课件(共2课时)
复习导入
角平分线上的点到这个角的两
边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意,
D
1 2 E
A
PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
O ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两
P B
C
边距离相等).
首页
在一个角的内部,且到角的两边距 离相等的点,在这个角的平分线上. A
∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是 D,E(已知), 且PD=PE, ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一 个角的内部,且到角的两边距离相 O 1 2
∠PDO=∠PEO=90°，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
E
B
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)
首页
定理：角平分线上的点到这 个角的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是 OC上任意,PD⊥OA,PE⊥OB,垂 足分别是D,E(已知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这 个角的两边距离相等). O
在Rt△ODP和Rt△OEP中 O
D
A
1 2
E
P C B
OP=OP，PD=PE
∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
判定定理： 在一个角的内部,且到角的两 边距离相等的点,在这个角的平分线上.
∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是 D,E(已知), 且PD=PE, ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一 个角的内部,且到角的两边距离相 等的点,在这个角的平分线上). D 1 2 E
D
A
1 2 E
P C B
你能写出上面这个定理的逆命题吗?
性质定理:角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
北师大版八年级下册数学：1.4角平分线课件
则∠BAP__________∠CAP.
如图，AD为△ABC的角平分线,
∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE
E 如图，AD为△ABC的角平分线,
∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE
角平分线上的点到这个角的 两边的距离相等．
相信自己 探究尝试
如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，
若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.
课堂检测
1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上， 若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF. 2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE， 则∠BAP__________∠CAP. 3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，
PD⊥AB，PE⊥AC，若AD= 3 ，则PE=____.
E B
角平分线的性质定理 A
角平分线上的点到这个角的 D 两边的距离相等．
O
)1 )2
P C
几何语言：
∵OC平分∠AOB，PD⊥OA， PE⊥OB ∴PD=PE(角平分线上的点到这 个角的两边距离相等).
E B
你会用吗?
巩固训练.
已知:如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.
D
几何语言： ∵PD=PE， PD⊥OA，PE⊥OB ∴点P在∠AOB的平分线上。
O
) )
E
P C
B
典型例析
例题：在△ABC中，∠BAC =60°，点D 在BC上，AD =10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足 分别为 E，F，且 DE=DF，求DE的长.
解： ∵DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，DE=DF ∴AD平分∠BAC 又∵ ∠BAC=60°，∴ ∠BAD=30° 在Rt △ADE中， ∠AED=90°，AD=10 ∴DE=1/2AD=1/2×10=5.
北师大版八年级数学下册1.4角平分线课件
只需作出两个角的平分线,第三个角的平分线必过这两
条角平分线的交点.
3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线交点与三
个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用
小三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分
线交点到三边距离的常用方法.
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠B的平分线与∠C的外角的
∴点F在∠DAE的平分线上.
3.证明(1)∵P是∠AOB平分线上的一
点,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD.
又∵OP=OP,∴Rt△OCP≌Rt△ODP.
∴OC=OD.
(2)∵OC=OD,∠COP=∠DOP,
∴OP是CD的垂直平分线.
4.解(1)如图,作∠BAC的角平分线AF或作∠BAC的外角
∠CAE的外角平分线AN,则直线AF或直线AN上任意一点
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.
求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,
A
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴
CD＝DE (角平分线的性质).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
CD=ED（已证）,
DF=DB （已知）,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
F
C
∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
∴ QD＝QE
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC
的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
求证:(1)CF=EB;
(2)AB=AF+2EB.
证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线
,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC.
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,
条角平分线的交点.
3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线交点与三
个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用
小三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分
线交点到三边距离的常用方法.
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠B的平分线与∠C的外角的
∴点F在∠DAE的平分线上.
3.证明(1)∵P是∠AOB平分线上的一
点,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD.
又∵OP=OP,∴Rt△OCP≌Rt△ODP.
∴OC=OD.
(2)∵OC=OD,∠COP=∠DOP,
∴OP是CD的垂直平分线.
4.解(1)如图,作∠BAC的角平分线AF或作∠BAC的外角
∠CAE的外角平分线AN,则直线AF或直线AN上任意一点
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.
求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,
A
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴
CD＝DE (角平分线的性质).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
CD=ED（已证）,
DF=DB （已知）,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
F
C
∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
∴ QD＝QE
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC
的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
求证:(1)CF=EB;
(2)AB=AF+2EB.
证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线
,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC.
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,
北师大版初中数学八年级下册1.4 角平分线(第2课时) 课件
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.
你能证明这 个结论吗？
探究新知
1.4 角平分线/
做一做：
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观 察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流．
结论：三角形的三条角平分线相交于一点.
怎样证明这个结论呢?
探究新知
1.4 角平分线/
结论证明：
A
点拨：要证明三角形的三条角平分线
2.已知角平分线上的点,要利用角平分线性质定理寻找线段相 等关系,有时可结合全等三角形、直角三角形来求解.
巩固练习
1.4 角平分线/
变式训练
如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7，BC＝24，AC＝25.
（1）△ABC内是否存在一点到各边的距离相等？如果存在，请作
出这一点，并说明理由； 解：如图，作∠BAC、∠ACB的平分线，它们的交点P即 为符合要求的点. 作PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥AC， 垂足分别为E、F、G. ∵AP是∠BAC的平分线，∴PE＝PG. ∵CP是∠ACB的平分线，∴PF＝PG. ∴PE＝PF＝PG；
巩固练习
1.4 角平分线/
（2）求这点到各边的距离.
解：连接BP.设PE＝PF＝PG＝x. ∵S△ABC＝S△APB＋S△BPC＋S△APC， ∴0.5AB·BC＝0.5AB·x＋0.5BC·x＋0.5AC·x. ∴7×24＝（7＋24＋25）x. 解得x＝3. 即这点到各边的距离为3.
连接中考
1.4 角平分线/
例2 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AO,CO分别平分∠BAC 和∠ACB,OD⊥AC于D.若AB=10,BC=8,试求线段OD的长度.
解：连接OB,过O作OE⊥AB于E,OF⊥BC于F, ∵AO平分∠BAC,CO平分∠ACB,OE⊥AB,OF⊥BC,OD⊥AC, ∴OE=OD=OF, 设OE=OF=OD=R, 在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8, 由勾股定理得:AC=6,
八级数学下册1.4角平分线第1课时课件新版北师大版_9
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5
2.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分 别是E,F,BE=CF.
求证:AD是△ABC的角平分线.
证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴Rt△BDE 和 Rt△CDF 是直角三角形. ∵ BD = DC, BE = CF,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL). ∴DE=DF. 又∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴AD 是△ABC 的角平分线.
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BD = DF, DC = DE,
(2)在 Rt△ADC 与 Rt△ADE 中, ������������ = ������������, ∵ ������������ = ������������, ∴△ADC≌△ADE(HL). ∴AC=AE. ∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.
第一章 三角形的证明
1.4 角平分线
第1课时
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1
1.会证明角平分线的性质定理和判定定理.
2.能应用角平分线的性质定理解决问题.
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如图,107国道OA和320国道OB在某市相交于点O,在∠AOB 的内部有工厂C和D.现要修建一个货站P,使P到国道OA和OB的距 离相等,且到工厂C,D的距离也相等.如果你是设计师,你会怎样 解决这个问题呢?
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两边的距离 1.角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的__________ 相等.
到角的两边距离相等 2.角平分线的判定定理:在一个角的内部,且_________________
八年级数学下册1.4角平分线课件2(新版)北师大版
A D
O
∵ PD=PE, PD⊥OA, PE⊥OB,
垂足分别是D, E(已知),
∴点P在∠AOB的平分线上.
1
P
2
C
E B
学习目标
1.能够证明三角形的三条角平分线交于 一点且这一点到三条边的距离相等； 2.角平分线的性质定理和判定定理的灵 活运用.
动一动
剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的 平分线.
角平分线
想一想
1. 角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等A.
D
O
1
2
P C
E
∵ OC是∠AOB的平分线, P是OC上任意一点, B
PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别是D, E (已知)
∴ PD=PE
2.角平分线的判定定理
在一个角的内部, 且到角的图, 在△ABC中,已知 AC=BC,∠C=90°, AD是△ABC的角平 线, DE⊥AB, 垂足为E.
(1)如果CD=4cm, 求AC的长; (2)求证:AB=AC+CD.
练一练
1. 已知: 如图, ∠C=90°,∠B=30 °,AD是 Rt△ABC的角平分线. 求证: BD=2CD.
观察这三条角平分线, 你发现了什么?
结论: 三角形三个角的平分线相交于一点. 猜想：这一点到三条边的距离相等。
证一证
例2 已知：如图,设△ABC的角平分线BM,CN相
交于点P,过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足
分别是E,F,D.
求证：
.
∠BAC的平分线经过点P,且PD=PE=PF
定理: 三角形的三条角平分线相交于一点, 并且这一点到三边的距离相等.
2. 已知: 如图, △ABC的外角∠CBD和 ∠BCE的角平分线相交于点F.
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