高中数学必修4《两角和与差的余弦公式》说
两角和与差的余弦课件
公式意义
两角和的余弦等于两个角 的余弦之积减去两个角的 正弦之积
公式证明
根据三角函数的和差化积 公式和三角函数的积化和 差公式可以证明
两角差的余弦公式
公式定义
$\cos(α-β)=\cos α\cos β+\sin α\sin β$
公式意义
两角差的余弦等于两个角 的余弦之积加上两个角的 正弦之积
公式证明
解决物理问题等。随着科学技术的不断发展，该公式将在更多的领域得
到应用和发展。
THANKS
感谢观看
在信号处理中的应用
信号的合成与分解
使用两角和与差的余弦公式，可以将一 个信号分解为多个信号的叠加，也可以 将多个信号合成为一个信号。
VS
信号的调制与解调
在信号调制过程中，使用两角和的余弦公 式可以将一个低频信号加载到高频载波上 ；在信号解调过程中，使用两角差的余弦 公式可以从高频信号中提取出低频信号。
重要性质
该公式具有一些重要的性质，例如，当两个角度的和或差 为90度时，余弦值为0；当两个角度的和或差为180度时 ，余弦值为-1等。
应用范围
该公式在解决三角形问题、极坐标系问题以及在信号处理 等领域都有广泛的应用。
对两角和与差的余弦公式的展望
01
进一步研究
尽管我们已经得到了两角和与差的余弦公式，但是对该公式的进一步研
05
CATALOGUE
两角和与差的余弦公式的变式与扩展
两角和的余弦公式的变式
公式变形
$\cos(A+B) = \cos A \cos B \sin A \sin B$
证明
利用和差角公式和三角函数的和 角公式进行变形。
应用
用于计算两角和的余弦值，或者 利用已知的两角和的正弦、余弦
两角和与差的正弦、余弦和正切公式(必修四第三章)
第三章 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式知识点一： 两角和与差的正弦、余弦、正切公式βαβαβαsin c cos s )(s os in in +=+ ）（βα+Sβαβαβαsin c cos s )(s os in in -=- ）（βα-S βαβαβαsin sin cos cos )(cos +=- ）（βα-C βαβαβαsin sin -cos c )(c os os =+ ）（βα+Cβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ ）（βα+T βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- ）（βα-T 变形公式：)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=± )4sin(2cos sin πααα±=±.知识点二： 二倍角的正弦、余弦、正切公式：S 2α：sin 2α＝2sinαcosα；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.变形公式： 22cos 1cos 2αα+=, 22cos 1sin 2αα-= 1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2, 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 知识点三： 辅助角公式辅助角公式：asinx ＋bcosx ＝22a b +sin(x ＋φ)（其中cosφ＝22a ba +，sinφ＝22b ba +）.函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f(α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．知识点四: 常见的公式变形及逆用(1)1＋cosα＝2cos 2α2； 1－cosα＝2sin 2α2；(2)1＋sinα＝(sin α2＋cos α2)2； 1－sinα＝(sin α2－cos α2)2. (3)tan α2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.夯实基础要点1 两角差的余弦公式1.1 差角的余弦公式：C(α－β)：βαβαβαsin sin cos cos )(cos +=- （组合可为任意角或几个角的与βα） 1.2 公式记忆要点: 左端为两角差的余弦，右端为βα，的同名三角函数的积。
必修四数学 第3讲教师版 两角和与差的三角函数公式
课题：两角和与差的三角函数公式个性化教学辅导教案第3讲两角和与差的三角函数公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；（2）cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin αsin_β；（3）tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）sin 2α＝2sin_αcos__α．（2）cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．（3）tan 2α＝2tan α1－tan2α.3．有关公式的逆用、变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(2)cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2.(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，＝a 2＋b 2sin(α＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a＝a 2＋b 2·cos(α－φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .三个变化1．变角：通过对角的拆分尽可能化为同角、特殊角、已知角的和与差，其手法通常是“配凑”．2．变名：通过变换尽可能减少函数种类，降低次数，减少项数，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等． 3．变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更简化、更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”“逆用变形用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等．1．(必修4 P 127练习T 2改编)已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α为( ) A.210B ．－210C.7210 D ．－7210解析：选A.∵cos α＝－35，α是第三象限的角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos π4cos α－sin π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－35－22×⎝⎛⎭⎫－45＝210. 2．(必修4 P 130例4(1)改编)化简cos 18°cos 42°－cos 72°·sin 42°的值为( ) A.32B ．12C ．－12D ．－32解析：选B.法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°·sin 42° ＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝12.法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42° ＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.3．(必修4 P 135练习T 2改编)已知sin(α－k π)＝35(k ∈Z )，则cos 2α的值为( )A.725B ．－725C.1625D ．－1625解析：选A.由sin(α－k π)＝35(k ∈Z )得sin α＝±35.∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫±352＝1－1825＝725.故选A.4．(必修4 P 138A 组T 19(4)改编)11－tan 15°－11＋tan 15°＝________.解析：原式＝2tan 15°（1－tan 15°）（1＋tan 15°）＝2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°＝33. 答案：335．(必修4 P 137A 组T 10改编)tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两个实数根．α，β均为锐角，则α＋β＝________． 解析：由题意知tan α＋tan β＝56，tan αtan β＝16，∴tan(α＋β )＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1.∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2.∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π4. 答案：π4两角和与差公式的应用(2015·高考四川卷)sin 15°＋sin 75°的值是________． [解析] 法一：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15° ＝2(22sin 15°＋22cos 15°) ＝2(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°) ＝2sin 60°＝2×32＝62. 法二：sin 15°＋sin 75° ＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°) ＝2sin 45°cos 30°＝2×22×32＝62. [答案]62用两角和与差的三角函数公式直接求三角函数值时，只需在α±β中知道α，β的三角函数值，用公式展开后直接代入求值即可．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 扫一扫 进入 精品微课1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，且cos α＝－45，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A ．7 B ．17C ．－17D ．－7解析：选B.因α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，且cos α＝－45， 所以sin α<0，即sin α＝－35，所以tan α＝34.所以tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝1－341＋34＝17.2．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝12，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝________． 解析：tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2α∈(0，π)，tan 2α＝43＞0， ∴2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin 2α＝45，cos 2α＝35， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2α·cos π3＋cos 2α·sin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. 答案：4＋3310两角和与差公式的逆向应用(2015·高考全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°·sin 10°＝( ) A ．－32B ．32C ．－12D ．12[解析] sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10° ＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10° ＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.[答案] D两角和与差的三角函数的公式的逆向应用，注意两点：①角的统一；②三角函数名称的对应．1．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( ) A ．－22B ．22C ．32D ．1解析：选B.原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝22. 2.cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°的值为( )A.33B ． 3C ．－33D ．－ 3解析：选B.原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.3．sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos(110°－x )的值为( ) A.2 B ．22 C ．12D ．32解析：选 B.原式＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos[90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin[(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝22.利用两角和与差公式求角度设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2[解析] 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴由sin(α－β)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α，得α－β＝π2－α， ∴2α－β＝π2.[答案] B利用两角和与差的三角函数公式求角度，需要注意：①根据基本关系和公式求出需要求的角的三角函数值；②确定所求角的范围，求出对应的角度．1．已知α，β均为锐角，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，则α＋β为( ) A.π6B ．π4C ．π3D ．3π4解析：选B.由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2得 tan α＋tan β＝1－tan αtan β，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1－tan αtan β1－tan αtan β＝1.∵0<α，β<π2，∴0<α＋β<π，∴α＋β＝π4.2．设α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则α的值为( ) A.π6B ．π3C ．π4D ．5π12解析：选C.由cos(α＋β)＝sin(α－β)，得cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β， 即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(cos β＋sin β)， 因为β为锐角，所以cos β＋sin β≠0，所以cos α＝sin α， 所以tan α＝1.∴α＝π4，故选C.3．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12B ．π3C ．π4D ．π6解析：选C.∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. ∴β＝π4.故选C.二倍角公式及其应用(2015·高考广东卷)已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．[解] (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4 ＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.利用二倍角公式求三角函数值时，应注意：①cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α的选择应用； ②高次化简求值时，用cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos2α2降次； ③注意用恒等式(sin α±cos α)2＝1±sin 2α等价转化．1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.16B ．13C ．12D ．23＝45×22＋35×22＝7210. 答案：7210一、选择题1．(必修4 P 69A 组T 8(3)改编)已知tan α＝3，则(sin α－cos α)2等于( )A.35B ．25C ．75D ．85解析：选B.∵tan α＝3，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2sin α cos αsin 2α＋cos 2α＝1－2tan αtan 2 α＋1＝1－610＝25. 2．(必修4 P 146A 组T 8(3)改编)化简sin 3αsin α－2cos 2α等于( ) A ．sin αB ．cos αC ．1D ．0 解析：选C.sin 3αsin α－2cos 2α ＝sin 2αcos α＋cos 2αsin αsin α－2cos 2α ＝2cos 2α＋cos 2α－2cos 2α＝2cos 2α－(2cos 2α－1)＝1.3．(必修4 P 143A 组T 2(2)改编)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，若tan α＝m tan β，则m 的值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.由sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13， ∴sin αcos β＝512，cos αsin β＝112， ∴tan α＝5tan β，∴m ＝5，故选C.二、填空题4．(必修4 P 137A 组T 5改编)已知sin(30°＋α)＝35，60°<α<150°，则cos(2α＋150°)＝________． 解析：设30°＋α＝t ，∴90°<t <180°，∵sin t ＝35， ∴cos t ＝－45， ∴cos(2α＋150°)＝cos[2(t －30°)＋150°]＝cos(2t ＋90°)＝－sin 2t ＝－2sin t cos t ＝2425. 答案：2425三、解答题5．(必修4 P 125～126内文改编)用向量法证明cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.证明：如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B .则OA →＝(cos α，sin α)，OB →＝(cos β，sin β)．由向量数量积的坐标表示，有OA →·OB →＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β.设OA →与OB →的夹角为θ，则OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|cos θ＝cos θ＝cos αcos β＋sin αsin β.另一方面，由图(1)可知，α＝2k π＋β＋θ；由图(2)可知，α＝2k π＋β－θ.于是α－β＝2k π±θ，k ∈Z .所以cos(α－β)＝cos θ.则cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.一、选择题1．计算1－2sin 222.5°的结果等于( )。
高中数学必修四3.1.1两角和与差的余弦公式
第三章三角恒等变换3.1.1 两角和与差的余弦公式（一）预习指导探究cos(α+β)≠cos α+cos β反例：cos =cos( + )≠cos + cos 问题：cos(α+β),cos α,cos β的关系（二）基本概念1.解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线2.探究：在坐标系中α、β角构造α+β角3.探究：作单位圆，构造全等三角形探究：写出4个点的坐标P 1(1,0),P(cos α,sin α)P 3(cos(α+β),sin(α+β)),P 4(cos(-β),sin(-β)), 5.计算31p P ，42p p 31p P =42p p =6.探究：由31p P =42p p 导出公式[cos(α+β)-1]2+sin 2(α+β)=[cos(-β)-cos α]2+[sin(-β)-sin α]2展开并整理得所以可记为C )(23π63π67.探究：特征①熟悉公式的结构和特点；②此公式对任意α、β都适用③公式记号C )(8.探究：cos(α+β)的公式以-β代β得：公式记号C )(（三）典型例题选讲：例1不查表，求下列各式的值.(1)cos105°（2）cos15°(3)cos (4)cos80°cos20°+sin80°sin20°(5)cos 215°-sin 215°(6)cos80°cos35°+cos10°cos55°例2已知sin α= ，α，cos β= - ,β是第三象限角，求cos （α-β）的值. 103sin 5sin 103cos 554,2135例3：已知cos(2α-β)=- ,sin(α-2β)= ,且，求cos(α+β)的值.例4：cos(α- )=- ,sin( -β)= ,且＜α＜π，0＜β＜，求cos 的值.【课堂练习】1.求cos75°的值2.计算：cos65°cos115°-cos25°sin115°141173440,242912322223.计算：-cos70°cos20°+sin110°sin20°4.sin α-sin β=- ,cos α-cos β= , α(0, ), β(0, ),求cos(α-β)的值.5.已知锐角α，β满足cos α= ,cos(α-β)=- ,求cos β.6.已知cos(α-β)= ,求(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2的值. 2121225313531。
【高中数学】必修4 专题3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角差的余弦公式如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角,αβ,它们的终边与单位圆O 的交点分别为,A B ,则(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ==.由向量数量积的坐标表示,有(cos ,sin )(cos ,sin )cos cos sin sin OA OB ααββαβαβ⋅=⋅=+.设OA 与OB 的夹角为θ，则||||cos cos cos cos sin sin OA OB OA OB θ=θαβαβ⋅=⋅=+. 另一方面，由图（1）可知，2πk αβθ=++；由图（2）可知，2πk αβθ=+-.于是2π,k k αβθ-=±∈Z .所以cos()cos αβθ-=，也有cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+.学-科网所以，对于任意角,αβ有cos()αβ-=____________________.此公式给出了任意角,αβ的正弦、余弦值与其差角αβ-的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记作()C αβ-.有了公式()C αβ-以后，我们只要知道cos ,cos ,sin ,sin αβαβ的值，就可以求得cos()αβ-的值了.（1）注意公式中的,αβ都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合. （2）要掌握公式的正用（从左至右，即展开）和逆用（从右至左，即化简）.2．两角和的余弦公式比较cos()αβ-与cos()αβ+，并注意到αβ+与αβ-之间的联系：()αβαβ+=--，则由公式()C αβ-，有cos()cos[()]cos cos()sin sin()αβαβαβαβ+=--=-+-=____________________.于是，我们得到了两角和的余弦公式，简记作()C αβ+.3．两角和与差的正弦公式（1）两角和的正弦公式运用差角的余弦公式()C αβ-和诱导公式，得ππsin()cos[()]cos[()]22αβαβαβ+=-+=--=ππcos()cos sin()sin 22αβαβ-+-=____________________.于是，我们得到了两角和的正弦公式，简记作()S αβ+. （2）两角差的正弦公式在公式()S αβ+中，用β-代替β，可以得到sin()sin[()]sin cos()cos sin()αβαβαβαβ-=+-=-+-=____________________.于是，我们得到了两角差的正弦公式，简记作()S αβ-.4．两角和与差的正切公式（1）两角和的正切公式当cos()0αβ+≠时，将公式()S αβ+，()C αβ+的两边分别相除，有sin()tan()cos()αβαβαβ++==+sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβαβαβ+-，若cos cos 0αβ≠，将分子，分母分别除以cos cos αβ，得tan()αβ+=____________________，将其简记为()T αβ+，此为和角的正切公式.（2）两角差的正切公式在()T αβ+中用β-代替β，则tan tan()tan()tan[()]1tan tan()αβαβαβαβ+--=+-=--，又sin()tan()cos()βββ--=-sin tan cos βββ-==-，所以tan()αβ-=____________________，将其简记为()T αβ-，此为差角的正切公式.运用两角和与差的正切公式的注意点（1）两角和与差的正切公式中，,,,αβαβαβ+-均不等于ππ()2k k +∈Z ，这是由正切函数的定义域决定的；（2）当tan ,tan ,tan()αβαβ+（或tan()αβ-）中任意一个的值不存在时，就不能使用两角和（或差）的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他方法求解.（3）和角公式和差角公式公式()S αβ+，()C αβ+，()T αβ+给出了任意角,αβ的三角函数值与其和角αβ+的三角函数值之间的关系，为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式.类似地，公式()S αβ-，()C αβ-，()T αβ-都叫做差角公式.三角函数公式之间的联系()S αβ+，()C αβ+，()T αβ+，()S αβ-，()C αβ-，()T αβ-这6个和与差的三角函数公式之间具有紧密的联系，这种联系可以用框图形式表示，如图所示：5．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）二倍角的正弦公式 对于公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，令αβ=，则sin 2sin()sin cos ααααα=+=+cos sin 2sin cos αααα=，即sin2α=____________________，简记为2S α，称为二倍角的正弦公式.（2）二倍角的余弦公式对于公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，令αβ=，则22cos 2cos()cos sin ααααα=+=-，即cos2α=____________________，简记为2C α，称为二倍角的余弦公式. （3）二倍角的正切公式 对于公式tan()αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ+-，令αβ=，则tan 2tan()ααα=+=tan tan 1tan tan αααα+=-22tan 1tan αα-，即tan 2α=____________________，简记为2T α，称为二倍角的正切公式.二倍角公式的注意点（1）二倍角是相对的，如4α是2α的二倍，α是2α的二倍等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想.（2）对于2S α和2C α，α∈R ，但是在使用2T α时，一定要保证正切值存在，且式子有意义.若不能使用二倍角公式求2T α，则可以换为利用诱导公式直接求解.K 知识参考答案：1．cos cos sin sin αβαβ+ 2．cos cos sin sin αβαβ-3．（1）sin cos cos sin αβαβ+ （2）sin cos cos sin αβαβ-4．（1）tan tan 1tan tan αβαβ+- （2）tan tan 1tan tan αβαβ-+5．（1）2sin cos αα （2）22cos sin αα- （3）22tan 1tan αα-K —重点 两角差的余弦公式的推导，两角和的余弦公式、两角和与差的正弦、正切公式的应用，二倍角公式的应用 K —难点 两角差的余弦公式的探索和推导 K —易错求三角函数值时忽略角的范围1．和、差角公式及二倍角公式的应用（1）正用和、差角公式时，要注意三角函数值的符号，把非特殊角的三角函数化为特殊角的和或差的三角函数，或把非特殊角转化为题目中已知角的和或差.在逆用和、差角公式时，应准确找出所给式子与公式右边的异同，创造条件逆用公式，同时应注意所给角的关系，逐一分析条件中的哪个角对应公式中的角,αβ.学-科网（2）已知α的某个三角函数值，求2α的三角函数值,一般先根据已知角α的取值范围，确定2α的取值范围，再根据已知的某个三角函数值和二倍角公式，求得2α的三角函数值.注意观察题中角度间的关系,发现其特征,并能根据式子的特点构造出二倍角的形式,正用、逆用二倍角公式求值. 【例1】已知锐角αβ，满足()tan sin2αββ-=，求证：tan tan 2tan2αββ+=. 【解析】因为()tan sin2αββ-=，()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+，2222sin cos 2tan sin22sin cos sin cos 1tan βββββββββ===++， 所以2tan tan 2tan 1tan tan 1tan αββαββ-=++，整理得：323tan tan tan 1tan ββαβ+=-，所以33223tan tan tan tan 22tan tan tan 2tan21tan 1tan βββββαββββ++-⨯+===--.【例2】（11sin20cos10sin170--；（2）求证：.方法二：左边222222sin2cossin 2sin cos cos sin 2sin sin cos sin 2222222222cos 2xx x x x x x x x x x x =-+=-+=+ 右边,原式成立. 2．给值求值（1）解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的象限确定符号.（2）注意找已知式与待求式之间角的差异，实现角的变换.常见角的变换如下：()()ααββββα=+-=--，()()()()2,2()22),,(ααβαββαβαβαβαβααβαβα=++-=+--+=++-=-+，,2222αβαβαβαβαβ+-+-=+=-.（3）在给值求值的问题中要注意隐含条件，尤其是角的取值范围. 【例3】若，且，则A ．B ．C ．D ．【答案】A【名师点睛】因为，所以在遇到时要选择合适的公式进行变形.【例4】（1）已知35sin cos ,cos sin 44αβαβ+=+=-，求()sin αβ+的值； （2）已知2sin sin 3αβ+=，7cos cos 9αβ+=，求()cos αβ-的值； （3）已知,求的值.【解析】（1）已知35sin cos ,cos sin 44αβαβ+=+=-①②. 22+①②得22222235sin 2sin cos cos cos 2cos sin sin ()()44ααββααββ+++++=+-.∵()2222sincos 1,sin cos 1,sin cos cos sin sin ααββαβαβαβ+=+=+=+，∴()3422sin 16αβ++=，即()1sin 16αβ+=. （2）已知sin α+sin β=23 ①,cos α+cos β=79②, ①2+②2得sin 2α+2sin αsin β+sin 2β+cos 2α+2cos αcos β+cos 2β=(23)2+(79)2. ∵sin 2α+cos 2α=1,sin 2β+cos 2β=1,cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β), ∴2+2cos(α-β)=,即cos(α-β)=-.（3）==,可得，两边平方得=,即=1225-,即.而,解得,所以====124332437622255255-⎛⎫⎛⎫⨯-+---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【名师点睛】对于形如a sin α+b sin β=c 和a sin α+b cos β=c 等的正弦、余弦的条件式,通过平方可得到乘积项sin αsin β和sin αcos β等的形式,再结合sin 2θ+cos 2θ=1消去平方项,使之与两角和与差的三角公式相符合,总之,平方相加是基本方法. 3．给值求角对于给值求角的问题，需注意以下两个问题： （1）根据题设条件求角的某一三角函数值；（2）讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小. 【例5】已知()111cos ,cos 714ααβ=+=-，且π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求β的值. 【解析】π,0,0+π2αβαβ⎛⎫∈∴<< ⎪⎝⎭，，21431153sin 1sin()1.4971414ααβ⎛⎫∴=-=+=--= ⎪⎝⎭，()1cos cos cos()cos sin()sin 2βαβααβααβα∴=+-=+++=， π3β∴=. 【例6】已知sin α+sin β=132-,cos α+cos β=12,若α-β∈(0,π),求α-β的值.【得分锦囊】已知三角函数值求角,选函数时,可按照下列原则：一般已知正切函数值,选正切函数;已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是(0,π2),有时选正弦函数,有时选余弦函数;若角的范围是(π2-, π2),选正弦函数较好;若角的范围是(0,π),选余弦函数较好. 4．和、差角公式及二倍角公式与其他知识的综合（1）和、差角公式及二倍角公式与三角形相结合的问题，注意应用三角形的内角和为180°求解，另外，记住些常用结论，可以简化求解过程，达到事半功倍的效果，如：在ABC △中，sin()sin ,cos()cos ,A B C A B C +=+=-sincos ,tan()tan 22A B CA B C +=+=-等. （2）由于差角的余弦公式是由向量的数量积推导而得的,而三角变换的作用是研究三角函数的性质的,因此以三角变换为载体考查三角函数的图象和性质,或以向量的坐标表示为载体考查三角变换公式,都是常见的考查点，注意掌握. 【例7】已知，且满足，则()sin2sin αβα-的最大值为______.【答案】【解析】由，得，可化为，∴()sin22sin cos 2cos sin sin ααααβαα==-，，，()sin2sin αβα-的最大值为.【名师点睛】对三角函数恒等变形及三角函数性质进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 【例8】已知，，为ABC △的三个内角，且，4sin 5B =，()4cos 25A C +=-，求cos2A 的值． 【解析】∵，，∴，，．∵，∴．∴，． ∵，∴．∴．∴527625． 【名师点睛】本题在三角形中考查了两角差的正弦函数，三角函数的求值，属于基本知识的考查，由已知可求得的值，即可求出的值．5．求三角函数值时忽略角的范围【例9】已知tan(α-β)=,tan β=-,且α,β∈(0,π),则2α-β=A ．π4 B ．π4- C ．3π4- D ．π4或3π4-【错解】因为tan 2(α-β)=()()22122tan 4211tan 31()2αβαβ⨯-==---, 所以tan(2α-β)=tan[2(α-β)+β]=()()41tan2tan 37411tan2tan 137αββαββ⎛⎫+- ⎪-+⎝⎭=--⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=1，则2α-β=π4或3π4-.故选D ． 【错因分析】错解中没有根据题设条件确定2α-β的取值范围，从而产生增解.【正解】因为tan 2(α-β)=()()22122tan 4211tan 31()2αβαβ⨯-==---,所以tan(2α-β)=tan[2(α-β)+β]=()()41tan2tan 37411tan2tan 137αββαββ⎛⎫+- ⎪-+⎝⎭=--⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=1. 又tan α=tan[(α-β)+β]=()()11tan tan 127111tan tan 3127αββαββ⎛⎫+- ⎪-+⎝⎭==--⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭, α∈(0,π),所以0<α<π4. 又<β<π,所以-π<2α-β<0,所以2α-β=-.故选C ．【名师点睛】利用三角函数值求角时，不仅要注意已经明确给出的有关角的范围，还要结合有关角的三角函数值尽可能地缩小角的范围.1．o o o o sin 20cos10cos160sin10-=A ．32- B ．32 C ．12-D ．122．已知，则A ．B ．C ．D ．3．已知，则的值是 A ．B ．C ．D ．4．已知，，、均为锐角，则角等于A ．5π12 B ．π3 C ．π4D ．π65．若tan α=,则cos 2α+2sin 2α= A ．B ．C ．1D ．6．已知，，则的值为A ．B ．C ．D ．7．若()cos 3cos 605αα=-+︒，则___________．8．已知()10,π,cos 3αα∈=-. （1）求πcos 4α⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （2）求2πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．9．设向量()cos ,1,(2,sin )αα=-=a b ，若⊥a b ,则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．13-B ．13C ．1-D ． 3-10．已知，则=A ．B ．C ．D ．11．若cos x cos y +sin x sin y =13,则cos(2x-2y )= . 12．若，则的值为 .13．已知向量()2,sin α=m ，()cos ,1α=-n ，其中π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且⊥m n . （1）求sin2α和cos2α的值； （2）若()10sin 10αβ-=，且π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求角β.14．(2018新课标全国Ⅲ)若1sin 3α=，则cos2α= A ．89 B ．79 C ．79-D ．89-15．(2018新课标全国Ⅰ)已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则 A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 16．(2018新课标全国Ⅲ)函数2tan ()1tan xf x x=+的最小正周期为A ．4π B ．2πC ．πD ．2π17．(2018新课标全国Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=A ．15BC ．5D ．118．(2018新课标全国Ⅱ)已知5π1tan()45α-=，则tan α=__________． 19．(2018新课标全国Ⅱ) 已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．20．(2018浙江) 已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）．（1）求sin （α+π）的值； （2）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．21．(2018江苏）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=（1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值．1 2 3 4 5 6 9 10 14 15 16 17 DDACAADBBBCB1．【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+=o sin 30=12，故选D.3．【答案】A 【解析】，∵，∴，∴，故选A ．4．【答案】C 【解析】因为，结合、均为锐角，可以求得，所以，所以，故选C ．5．【答案】A【解析】方法一：由tan α=,cos 2α+sin 2α=1,得或,则sin 2α=2sin αcos α=,则cos 2α+2sin 2α=+.方法二：cos 2α+2sin 2α=2222cos 4sin cos 14tan 13649cos sin 1tan 25116ααααααα+++===+++.故选A ．7．【答案】【解析】由题意知，整理得，所以，则()1333tan tan3093tan 3031tan tan3013331ααα++︒+︒===--︒-⨯8．【解析】（1）∵22sin cos 1αα+=，1cos 3α=- ，∴28sin 9α=， 又∵()0,πα∈，∴22sin α=， 则πcos 4α⎛⎫-⎪⎝⎭=ππcos cos sin sin 44αα+=212222323⎛⎫⨯-+⨯=⎪⎝⎭426-（2）∵2sin 3α=，1cos 3α=-， ∴42sin22sin cos 9ααα=⋅=-，227cos2cos sin 9ααα=-=-， 则2πsin 23α⎛⎫+⎪⎝⎭=2π2πsin cos2cos sin233αα⋅+⋅=37142()()()2929⨯-+-⨯-4273-9．【答案】D【解析】∵⊥a b ，02cos sin 0αα∴⋅=⇒-=a b ，即tan 2α=．πtan 121tan 3.41tan 12ααα++⎛⎫∴+==- ⎪--⎝⎭＝故选D ．10．【答案】B 【解析】由题意，所以，由于，故选B ． 11．【答案】79-【解析】由cos x cos y+sin x sin y =,可知cos(x-y )=,则cos(2x-2y )=2cos 2(x-y )-1=2×()2-1=79-. 12．【答案】0【解析】∵，∴，∴，∴．13．【解析】（1）∵⊥m n ，∴2cos sin 0αα-=，即sin 2cos αα=.代入22cos sin 1αα+=，得25cos 1α=，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则5cos α=，25sin α=则sin22sin cos ααα==525425=， 2cos22cos 1αα=-= 132155⨯-=-.（2）∵π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭. 又()10sin 10αβ-=，∴()310cos 10αβ-=.∴()sin sin βααβ⎡⎤=--=⎣⎦()()sin cos cos sin ααβααβ---=25310510510510⨯-⨯22=. 又π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得π4β=.16．【答案】C【解析】由已知得22sin 1cos sin cos sin2sin 21(tan ()1tan )cos xx x x x x f x xx x ====++， 则()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.故选C ．17．【答案】B【解析】根据条件，可知三点共线，从而得到，因为，解得，即，所以，故选B ．18．【答案】【解析】5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+⋅，则.20．【解析】（1）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-， 所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （2）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 21．【解析】（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈． 又因为5cos()αβ+=，所以225sin()1cos ()αβαβ+-+， 因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．。
数学北师大版高中必修4两角和与差的正弦、余弦、正切公式
拓展提升——开阔思路
提炼方法
在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是 锐角，也可能为钝角(或直角)，这往往造成有两解，应注意分类讨论， 但三角形内角的余弦值为正，该角一定为锐角，且有惟一解，因此， 在解三角形中，若有求角问题，应尽量避免求正弦值．
3．(2009· 辽宁理)如图，A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直 的平面内，B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75° 、30° ，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60° ，AC＝0.1 km，试探究图中 B、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B、D 的距离(计算结 果精确到 0.01 km， 2≈1.414， 6≈2.449)．
2α＋β
49×5 239 －1＝2× －1＝－ . 2 729 729
tanα－β＋tan β (2)tan α＝tan[(α－β)＋β]＝ 1－tanα－βtan β 1 1 － 2 7 1 ＝ ＝ ，tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)] 1 1 3 1＋ × 2 7 1 1 ＋ 3 2 tan α＋tanα－β ＝ ＝ ＝1. 1 1 1－tan αtanα－β 1－ × 3 2
3＋4 3 3 (2)由(1)知 sin A＝ ，sin C＝ . 5 10 π 又因为 B＝ ，b＝ 3， 3 bsin A 6 所以在△ABC 中，由正弦定理得 a＝ ＝ . sin B 5 1 于是△ABC 的面积 S＝ absin C 2 3＋4 3 36＋9 3 1 6 ＝ × × 3× ＝ . 2 5 10 50
拓展提升——开阔思路
提炼方法
正弦定理、余弦定理都体现了三角形的边角关系，解题时要根据具体 题目合理选用，有时还需要交替使用．
高中数学必修4辅助角公式
高中数学必修4辅助角公式
学习高中数学必修4要学会对辅助角的公式进行归纳整理，高中数学必修4辅助角公式有哪些呢？下面是店铺为大家整理的高中数学必修4辅助角公式，希望对大家有所帮助!
高中数学必修4辅助角公式1.两角和差公式 (写的都要记) sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA ?
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
高中数学必修4辅助角公式2.用以上公式可推出下列二倍角公式tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2
(上面这个余弦的很重要)
sin2A=2sinA*cosA
高中数学必修4辅助角公式3.半角的只需记住这个
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)
高中数学必修4辅助角公式4.用二倍角中的余弦可推出降幂公式(sinA)^2=(1-cos2A)/2
(cosA)^2=(1+cos2A)/2
高中数学必修4辅助角公式5.用以上降幂公式可推出以下常用的化简公式
1-cosA=sin^(A/2)*2
1-sinA=cos^(A/2)*2。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式(高中数学)
＝cos 2c0o°s 2s0in°30°＝sin 30°＝12.
解决给角求值问题的方法 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后 局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形， 否则进行各局部的变形． (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正 负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时 要逆用或变用公式．
30°)
＝－1t＋anta4n5°45－°ttaann3300°°
1－ ＝－
3 3＝
3－2.
1＋
3 3
sin 47°－sin 17°cos 30°
(3)
sin 73°
＝sin（17°＋30°co）s 1－7°sin 17°cos 30°＝
sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30° cos 17°
所以 cos (α＋β)＝cos π4＋β－π4－α
＝cos π4＋β·cos π4－α
＋sin π4＋βsin π4－α
＝－12× 23＋
23×－12＝－
3 2.
又因为π2<α＋β<π，
所以 α＋β＝56π.
1．(2019·北京清华附中月考)若 tan α＝3，tan β＝43，则 tan(α－β)
1．已知 cos α＝－45，且 α∈π2，π，则 tanπ4－α＝(
)
A．－17
B．－7
C．17
D．7
解析：选 D.由 cos α＝－45，且 α∈π2，π，得 sin α＝35，所以 tan α＝csoins αα＝－34， 所以 tanπ4－α＝1t＋antaπ4n－π4ttaannαα＝1－1－－3434＝7.故选 D.
高中数学必修4三角函数优质课件：两角和与差的正弦、余弦公式
第二页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
给角求值问题
[例 1]
cos (1)sin
2200°°【·c常os考1题0°＋型】3sin
10°tan
70°－2cos
40°＝________.
(2)求值：(tan 10°－
＝－2.
第六页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[类题通法] 解决给角求值问题的策略
对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整 体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则 整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊 角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项 求值，化分子、分母形式进行约分式值；要善于逆用或变 用公式．
(2)原式 ＝cos(70°＋α)sin(10°＋α)－sin(70°＋α)cos(10°＋α)
＝sin[(10°＋α)－(70°＋α)] ＝sin(－60°)
＝－ 23.
第二十六页，编辑于星期日：二十三点 三十八 分。
(3)原式＝cos 21°cos 24°＋sin(180°－21°)sin(180°＋24°) ＝cos 21°cos 24°－sin 21°sin 24° ＝cos(21°＋24°)
20°cos 10°＋ sin 20°
3sin
10°－2cos
40°
＝2cos
20°cos
10°sin 30°＋sin sin 20°
10°cos
30°－2cos
40°
＝2cos 20°ssinin2300°°＋10°－2cos 40°
＝2cos
20°sin
人教版高中数学高一A版必修4 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
互动课堂疏导引导1.两角和的余弦公式比较cos(α-β)与cos(α+β),并且注意到α+β与α-β之间的关系:α+β=α-(-β),则由两角差的公式得 cos(α+β)=cos ［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ,即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(C (α+β))2.两角和与差的正弦公式sin(α-β)=cos(2π-α+β)=cos ［(2π-α)+β］ =cos(2π-α)cosβ-sin(2π-α)sinβ =sinαcosβ-cosαsinβ,即sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.(S (α-β))在上式中,以-β代β可得sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.(S (α+β))3.正确理解和差角的正弦公式(1)公式对于任意的角α、β都成立.(2)搞清sin(α±β)的意义.例如sin(α+β)是两角α与β的和的正弦,它表示角α+β终边上任意一点的纵坐标与原点到这点的距离之比.在一般情况下,sin(α+β)≠sinα+sinβ,如α=3π,β=6π时,sin(3π+6π)=sin 2π=1, sin 3π+sin 6π=23+21=213+≠1. ∴sin(3π+6π)≠sin 3π+sin 6π. 只有在某些特殊情况下,sin(α+β)=sinα+sinβ,例如,当α=0,β=6π时, sin(0+6π)=sin 6π=21,sin0+sin 6π=0+21=21, ∴sin(0+6π)=sin0+sin 6π. 在学习时一定要注意:不能把sin(α+β)按分配律展开.(3)牢记公式并能熟练左、右两边互化.例如化简sin20°cos50°-sin70°cos40°,要能观察出此式等于sin(20°-50°)=-sin30°=-21. (4)灵活运用和(差)角公式.例如化简sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ,不要将sin(α+β),cos(α+β)展开,而应就整个式子,直接运用公式sin ［(α+β)-β］=sinα,这也是公式的逆用.4.两角和与差的正切公式的推导当cos(α+β)≠0时,将公式S (α+β),C (α+β)的两边分别相除,有tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++.当cosα·cosβ≠0时,将上式的分子、分母分别除以cosα·cosβ,得 tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+(T (α+β)). 由于tan(-β)=ββββcos sin )cos()sin(-=-=-tanβ. 在T (α+β)中以-β代β,可得tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-(T (α-β)). 5.关于两角和与差的正切公式要注意几个问题(1)公式适用范围.因为y=tanx 的定义域为x≠2π+kπ,k ∈Z . 所以T (α±β)只有在α≠2π+kπ,β≠2π+kπ,α±β≠2π+kπ时才成立,否则不成立,这是由任意角的正切函数的定义域所决定的.当tanα、tanβ或tan(α±β)的值不存在时,不能使用T (α±β)处理某些有关问题,但可改用诱导公式或其他方法.例如,化简tan(2π-β),因为tan 2π的值不存在,不能利用公式T (α-β),所以改用诱导公式.(2)注意公式的逆向运用 ββαββαtan )tan(1tan )tan(++-+=tan ［(α+β)-β］=tanα, ααααtan 45tan 1tan 45tan tan 1tan 1︒-+︒=-+=tan(45°+α). (3)变形应用tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ),如tanα+tanβ+tanαtanβtan(α+β)=tan(α+β),tan(α+β)-tanα-tan β=tanαtanβtan(α+β).活学巧用1.在△ABC 中,若sinAsinB ＜cosAcosB,则此三角形的外心位于它的( )A.内部B.外部C.一边上D.不确定 解析:cosAcosB-sinAsinB ＞0,即cos(A+B)＞0,∴-cosC ＞0.∴cosC ＜0.∴C 为钝角.∴△ABC 为钝角三角形.∴三角形的外心位于它的外部.答案:B2.化简下列各式:(1)cos(80°+3α)cos(35°+3α)+sin(80°+3α)cos(55°-3α); (2)sin(x+3π)+2sin(x-3π)-3cos(32π-x); (3))cos(cos cos 2sin cos 2)sin βαβαβαβα+--+(. 解析:(1)原式=cos(80°+3α)cos(35°+3α)+sin(80°+3α)sin(35°+3α)=cos ［(80°+3α)-(35°+3α)］=cos45°=22. (2)原式=sinxcos 3π+cosxsin 3π+2sinxcos 3π-2cosxsin 3π-3cos 32πcosx-3sin 32πsinx =23sinx-23cosx+23cosx-23sinx=0. (3)原式=βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos cos cos 2sin cos 2sin cos cos sin +-=+--+ =)cos()sin(βαβα--=tan(α-β). 答案:(1)22;(2)0;(3)tan(α-β). 3.已知cos(α+β)=-31,cos2α=-135,α、β均为钝角,求sin(α-β). 解析:∵α、β∈(90°,180°),∴α+β,2α∈(180°,360°).∵cos(α+β)=- 31＜0,cos2α=-135＜0. ∴α+β,2α∈(180°,270°).∴sin(α+β)=322)31(1)(cos 122-=---=+--βα,sin2α=1312)135(12cos 122-=---=--α. ∴sin (α-β)=sin ［2α-(α+β)］=sin2αcos(α+β)-cos2α·sin(α+β) =(-1312)×(-31)-(-135)(322-)=3921012-. 答案:3921012-. 4.求下列各式的值. (1)︒︒+︒-︒15tan 75tan 115tan 75tan(2))25tan()305tan(1385tan 55tan ︒-︒--︒-︒ (3)︒+︒-15tan 3115tan 3.解:(1)原式=tan(75°-15°)=tan60°=3.(2)原式=)25tan )(36055tan(1)36025tan(55tan ︒-︒-︒-︒+︒-︒=︒︒+︒-︒25tan 55tan 125tan 55tan =tan(55°-25°)=tan30°=33. (3 ︒+︒-15tan 3115tan 3=︒︒+︒-︒15tan 60tan 115tan 60tan =tan(60°-15°)=tan45°=1. 答案:(1)3;(2) 33;(3)1. 5.化简求值:(3+tan30°tan40°+tan40°tan50°+tan50°tan60°)·tan10°.解:原式=(1+tan30°tan40°+1+tan40°tan50°+1+tan50°tan60°)·tan10°,因为tan10°=tan(40°-30°)=︒︒+︒-︒30tan 40tan 130tan 40tan 所以1+tan40°tan30°=︒︒-︒10tan 30tan 40tan . 同理,1+tan40°tan50°=︒︒-︒10tan 40tan 50tan , 1+tan50°tan60°=︒︒-︒10tan 50tan 60tan . 所以原式=(︒︒-︒10tan 30tan 40tan +︒︒-︒10tan 40tan 50tan +︒︒-︒10tan 50tan 60tan )·tan10° =tan40°-tan30°+tan50°-tan40°+tan60°-tan50°=-tan30°+tan60° =332333=+-. 6.tan12°+tan33°+tan12°tan33°的值为_______________.解析:因为tan45°=tan(12°+33°)=︒︒-︒+︒33tan 12tan 133tan 12tan =1, 所以原式=tan12°tan33°+1-tan12°tan33°=1.答案:1。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
• 二、两角和与差的正弦公式
名称 简记符号
公式
两角和 的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β
两角差 的正弦
S(α－β)
sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β
使用条件 α，β∈R α，β∈R
• 2．怎样利用诱导公式推出sin(α±β)? 提示：sin(α＋β)＝cosπ2－α＋β＝cosπ2－α－β ＝cosπ2－αcos β＋sinπ2－αsin β ＝sin αcos β＋cos αsin β， 用－β 代 β 得 sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋ cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
(4)若角的范围是－π2，π2，则选择正弦函数比余弦函数 更好；
(5)若角的范围是(0，π)，则选择余弦函数比正弦函数更 好．总之，尽量选择在区间上单调的函数．
• 三、两角和与差的正切公式
名称
公式
简记符号
使用条件
两角和 的正切
tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β
T(α＋β)
α，β，α＋β≠ kπ＋π2(k∈Z)
tan(α－β)＝
两角差 的正切
tan α－tan β 1＋tan αtan β
T(α－β)
α，β，
α－β≠ π
kπ＋ 2(k∈Z)
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)， α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝(α＋β)＋(α－β) α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等．
• S(α±β)的正向应用是把α±β的形式转化为单角α、β的三角函 数值计算．
【高中数学必修四】3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
4 4 2 4 2 3 7 2 ( ) ; 2 5 2 5 10
cos cos
sin
例2. 利用和(差)角公式计算下列各式的值.
(1) sin 72 cos 42 cos 72 sin 42 ;
o o o o
(2) cos 20 cos 70 sin 20 sin 70 ;
(2)sin cos
练习
把下列各式化为一个角的三角函数形式
1 2 sin cos
3 1 2 sin cos 2 2 2 6 3 sin x cos x 4 4 4 4
小结
1.和角公式，差角公式.
sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos cos (又有什么要求?) cos cos sin sin k 2 cos cos cos cos k ( k Z ) tan tan 2 1 tan tan
( S( ) )
( S( ) )
公式的特点: (1)公式对、 取任意值都成立 ; ( 2)公式中右边有两项 ,中间符号与左边两角间 的符号相同 ; ( 3)右边三角函数的排列的 顺序是 : sin cos 、cos sin . 公式的用途： 对于α ,β ,只要知道其正弦或余弦，就可以求出 差角(或和角)的正弦值.
两角和(差)的余弦公式: 两角和(差)的正弦公式:
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
人教版必修四3.1.2 两角和与差的正弦、余弦公式
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（第一课时，正弦、余弦公式）
( )] cos( ) cos[
cos cos( ) sin sin( ) cos cos sin sin
cos 75 cos(45 30) cos45 cos30 sin45 sin30
2 4 2 3 ( ) 2 5 2 5
7 2 , 10
sin( ) cos[
2
( )] ) ]
2 两角差的正弦公式
cos(
2 cos( ) cos sin( ) sin 2 2 ) sin sin(
7 2 sin sin cos cos sin 4 4 10 4
两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系
- 代
2
S(-)
C(+)
- 代
C(-)
2
S(+)
计算： (1) cos20 cos70 sin20 sin70
cos[(
2
) cos
sin( ) sin cos cos sin (S(-))
用- 代得出 两角和的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin (S(+))
3 例：已知 sin , 是第四象限角，请计算 sin( ) 5 4
2 3 2 1 2 2 2 2 6 2 4
3 例：已知 sin , 是 第 四 象 限 角 ， 请 计cos( 算 ) 5 4
数学必修四312两角和与差的正弦余弦正切公式
二、基础知识讲解
由 于 c o s ( ) c o s [ ( )]
c o sc o s ( ) s ins in ( )
c o sc o s sin sin
所以，对于任意角，
有 cos()coscossinsin
c o s ( )( c o s c o s) 2 ( s in s in ) 2 2 2
c( o s) 2 [c (o c so )2 s (si n si)2 n ] 2
一、复习引入
两角差的余弦公式C（α-β）
c o （ s ） c o sc o s s i n s i n
4 4
①利用诱导公式
②利用和(差)角公式
P131练习2,3,4
变通公式
α =(α＋β)－β 2β=（α＋β）- （α-β） β=α- （α-β） 2 α =（α＋β）+ （α-β） β=（α＋β）- α
+=(-)+(-)
2
22
二教P74例1
三、例题分析 逆用公式
例4：利用和（差）角公式计算下列各式的值：
(2)公 式 中 右 边 有 两 项 ,中 间 符 号 与 左 边 两 角 间 的 符 号 相 同 ;
(3)右 边 三 角 函 数 的 排 列 的 顺 序 是:sincos、 cossin. sin15° sin75°
二、基础知识讲解
探究：你能根据正切函数与正弦、余弦函数 的关系，从C（）， S()出发，推导出用任意
证明：∵tanA、tanB、tanC 都有意义， ∴△ABC中没有直角，∴tanAtanB≠1.
∵ tan(A+B)= tanAtanB , 1tanAtanB
高中数学必修四《两角和与差的正弦、余弦》PPT
13 12(cos cos sin sin ) 25
cos( ) 1
证明：
左边 sin(A B) A 2cos(A B)sinA
sinA
sin(A B)cosA cos(A B)sinA 2cos(A B)sinA
(2)对公式C 与S 要能正确、 熟练、 灵活地
进行三角变换, 力求在运用公式时做到"三会",
即会正用、 会逆用、 会变用
作业：
X
课本：P33 练习 4 、 6 、 7
<课课练>第十一课
把下列各式化为一个角的三角函数形式
（1） 3 sin 1 cos
2
2
（2）sin cos
解：原式
2cos（30o 20o ) cos20o
sin20o
2(cos30o cos20o
sin30o sin20o ) sin20o cos20o
2( 3 cos20o 1 sin20o ) sin20o
2
2 cos20o
3
分析：tan sincos , 能否由已知条件分别求出
tan cossin sincos及cossin的值呢？
解：将已知条件中的两个式子展开得
sincos cossin 2
3
sincos 7
30
sincos cossin 1
5
cossin 13
30
tan sincos 7 30 7 tan cossin 30 13 13
小结
(1)公式C 、S 的作用: 均用单角 , 的正弦、 余弦来分别表达复角 , 的正余弦.可于 三角函数式的化简、 计算和证明
《两角和与差的余弦》 说课稿
《两角和与差的余弦》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《两角和与差的余弦》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析《两角和与差的余弦》是高中数学必修 4 第三章《三角恒等变换》中的重要内容。
它是三角函数知识的延伸和拓展，也是后续学习其他三角恒等式的基础。
本节课在教材中的地位和作用十分重要。
通过对两角和与差的余弦公式的推导和应用，学生不仅能够加深对三角函数的理解，还能提高逻辑推理和数学运算能力。
二、学情分析在学习本节课之前，学生已经掌握了三角函数的基本定义和诱导公式，具备了一定的三角函数运算能力。
但对于两角和与差的余弦公式的推导和理解可能会存在一定的困难，需要通过引导和启发来帮助学生突破难点。
同时，学生在这个阶段的抽象思维能力和逻辑推理能力还有待提高，在教学过程中要注重培养学生的自主探究和合作交流能力。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解两角和与差的余弦公式的推导过程。
（2）掌握两角和与差的余弦公式，并能熟练运用公式进行三角函数的化简、求值和证明。
2、过程与方法目标（1）通过公式的推导，培养学生的逻辑推理能力和数学建模能力。
（2）通过公式的应用，提高学生的数学运算能力和分析问题、解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生在探究过程中体验成功的喜悦，增强学习数学的信心。
（2）培养学生勇于探索、敢于创新的精神，以及严谨的治学态度。
四、教学重难点1、教学重点两角和与差的余弦公式的推导和应用。
2、教学难点两角和与差的余弦公式的推导过程，特别是向量法的应用。
五、教法与学法1、教法（1）启发式教学法：通过设置问题，引导学生思考，激发学生的学习兴趣和主动性。
（2）探究式教学法：让学生参与公式的推导过程，培养学生的探究能力和创新精神。
（3）讲练结合法：通过例题讲解和练习巩固，让学生熟练掌握公式的应用。
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新人教版高中数学必修4《两角和与差的余弦公式》说课稿
教材：人教版普通高中课程标准实验教科书------数学必修4 3.1.第一课时．
一、教材分析
（一）教材的地位和作用
两角和与差的余弦公式是三角函数线和诱导公式等知识的延伸，也是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等问题的解决有重要的支撑作用。
（二）教学重点和难点
重点：两角和与差的余弦公式的简单应用
难点：两角差的余弦公式的推导
数学教学是数学领域与教学形态的整合，应关注数学教育的长期目标与短期目标的平衡，所以突破重难点的关键我是通过设置层层递进的问题情境，给学生足够的自由探索与学习交流的空间，借助多媒体动态演示，使学生从感性认识升华到理性认识.
（三）教学目标
数学教学不仅仅是知识的教学、技能的训练，更应使学生的能力得到提高．根据课程标准的要求和本节课的教学内容，结合高一学生的认知特点，确定教学目标如下：
1．知识与技能目标：
通过让学生探索、猜想、发现，掌握用向量法推导“两角差的余弦公式”，使学生初步理解公式的结构及其功能。
2．过程与方法目标：
（1）使学生经历用向量的数量积推导公式的过程，体现向量的工具性和知识间的融合，以及数形结合、分类讨论等数学思想。
（2）通过公式的运用，培养学生逆向思维的意识与习惯，增强数学应用意识和创新意识，体会化归思想、换元思想在数学中的运用.
3．情感与价值观目标：
注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心．
二、教学方法
本着以“教师为主导，学生为主体，问题解决为主线，能力发展为目标”的指导思想，结合我校学生实际，主要采用“问题探究”式教学方法。
引导学生在自主学习与合作交流中经历知识的形成过程；通过层层深入的例题与习题的配置，引导学生积极思考，灵活掌握知识，使学生从“懂”到“会”到“悟”，提高思维品质，力求把传授知识与培养能力融为一体．
三、学法指导
教与学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的．教学中，应不断地教给学生治学之道，求学之法．因此，本节课我采用学生自主探索与合作交流相结合的研讨式学习方法，让学生“学”有新“思”，“思”有新“得”，“练”有所“获”，真正成为知识的发现者和研究者，从而形成新的学习动力．
四、教学程序
遵循数学教学的“过程性”和“发展性”的原则，设计如下教学环节：
情境引入概念形成概念深化应用举例练习反馈归纳小结达标检测布置作业
教学
环节
教学内容双边活动设计意图
情
境
引
入
一、复习回顾：
1．单位圆与角α的终边交点P的坐标
为（用角α的三角函数表示）
2．向量数量积的定义式
向量数量积的坐标表示是
二、创设情境，引入课题
[问1]：不查表，求︒
︒
-375
cos
,)
405
cos(
的值（第一个较容易求出，第二个转化
为求︒
15
cos的值，学生遇到困难）
[问2]：︒
︒
︒-
=30
45
15
那么︒
︒
︒-
=30
cos
45
cos
15
cos是否成
立？
[问3]：一般地，对任意角
β
α
β
α
β
αcos
cos
)
cos(
,
,-
=
-是否成
立？如何求)
cos(β
α-？引出课题
学生在学案上将知
识回顾填完
多媒体演示3个问
题，学生思考
使学生对本节课所必备的
基础知识有一个清晰准确的
认识,分散教学难点.
自然流畅地提出问题，揭
示课题，引发学生思考，置
学生于愤悱情境之中，迅速
进入角色
概
念
形
成
探究：如何得到)
cos(β
α-？能否由
α,β的正弦、余弦得到)
cos(β
α-
已知角α，β的终边分别交单位圆于点
P,Q，则P点坐标为
(用角α的三角函数表示) Q点坐标为
(用角β的三角函数表示)
OQ
OP⋅的定义式为：坐标表示
为
β
α-与OQ
OP,的关系是
得出公式：
()β
α
β
α
β
αsin
sin
cos
cos
cos+
=
-
学生独立思考，小组
互相交流，发表自己的
见解，多媒体演示体现
角的任意性
层层深入的问题设计，
将难点化解．学生在自主探
索、充分交流中体验成功的
乐趣。
通过多媒体动画演示，
使静态的知识以鲜活的画面
呈现给学生，既帮助学生理
解公式的推导，又渗透了数
形结合、分类讨论思想，突
破教学难点．
若β固定，
（视情况而定，如果学生已经在前面自己解决了，再换题）
归纳
小结1．知识：两角和与差的余弦公式（强调
公式中α、β的任意性及结构特征）
2．规律与方法：
1）牢记公式的结构，不符合公式结构的，
常通过诱导公式变形使之符合
2）非特殊角转化为特殊角的和差形式
3．题型：三角函数式的化简、求值
4．数学思想：分类讨论、数形结合、化
归的思想方法
先由学生总
结，然后师生共同
归纳完善.
学生在回顾、总结、反思
的过程中，将所学知识条理
化、系统化，使自己的认知结
构更趋合理．
注重数学思想方法的提
炼，可使学生逐渐把经验内化
为能力，从而走向一个新的至
高点．
达标检测1．cos25 °cos35 °–cos65 °cos55 °
的值等于( ).
(A) 0 (B) 1／2 (C)
2
3
(D)
2
1
-
2．在△ABC中,若sinAsinB=cosAcosB,则
△ABC是 ( ).
(A)直角三角形(B)钝角三角形(C)锐角
三角形(D)不确定
3．已知cosθ=–
13
5
, θ∈(π,
2
3π
)求
cos(θ
6
π
-)的值.
学生在学案上完
成，投影学生的做
题情况，强化步骤
的规范性
检测学生的达成度，及时发
现问题，以备矫正
布
置作业见学案
第一层次要求所有
学生都要完成，第
二层次则只要求学
有余力的同学完
成．
作业分为两个层次，既巩
固所学，又为学有余力的同学
留出自由发展的空间，培养学
生的创新意识和探索精神.同
时为下节课内容作好准备.
几点说明
两角和与差的余弦公式
一、公式二、题型三、练习
()β
α
β
α
β
αsin
sin
cos
cos
cos+
=
-求值
()β
α
β
α
β
αsin
sin
cos
cos
cos-
=
+化简
（
2）．时间安排
设计说明：
本节课的设计理念是“以学生的发展为本”，把思维的训练和能力的培养落实到教学的每一个环节。
体现新（学生在自由探索、合作交流中体验成功的乐趣）、活（多样题型、变式训练，激活学生思维）、实（例题-练习-检测-作业环环相扣，将知识落实到位）、严（投影标准答案，体现步骤的严密性和书写的规范性；对学生发言的点评，渗透数学语言表述的严谨性）．虽然，能力的提高不是一蹴而就的，但潜移默化，日积月累，必定升华! 谢谢指导！
（注：素材和资料部分来自网络，供参考。
请预览后才下载，期待你的好评与关注！）
教学环节 时间分配 引入 约3分钟 概念形成及深化 约15分钟 例题与练习 约15分钟 小结 约2分钟 达标检测 约5分钟
布置作业。