2017届江西省赣州市高三上学期期末考试数学(理)试题

赣州市2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|650}A x x x =-+≤，{|1}B x x a =<+.若A B ≠∅∩，则a 的取值范围为（ ） A ．(0,)+∞ B ．[0,)+∞ C ．(4,)+∞ D ．[4,)+∞2.已知复数2ia i+-（其中a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则a i +的模为（ ） A ．52B ．55C ．5D ．53.已知变量,x y 成负相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．0.4 2.3y x =+B ．2 2.4y x =+C ．29.5y x =-+D ． 0.4 4.4y x =-+4.已知O 为ABC ∆内一点，且1()2AO OB OC =+ ，AD t AC =，若,,B O D 三点共线，则t 的值为（ ）A ．14B ．13 C. 12 D ．235.若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则该双曲线C 的离心率为（ ）A ．23B ．2 C.3 D ．2336.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一个走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为（ ）A ． 48里B ．24里 C.12里 D ．6里 7.函数sin (0)ln ||xy x x =≠的图象大致是（ ）A ．B ． C. D ．8.如图，有一建筑物OP ，为了测量它的高度，在地面上选一长度为40m 的基线AB ，若在点A 处测得P 点的仰角为30°，在B 点处的仰角为45°，且30AOB ∠=°，则建筑物的高度为（ ）A ．20mB ．202m C. 203m D ．40m9.阅读如下程序框图，如果输出5k =，那么空白的判断框中应填入的条件是（ ）A ．25S >-B ．26S <- C.25S <- D ．24S <- 10.将函数()cos 2f x x ω=的图象向右平移34πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,]46ππ-上为减函数，则正实数ω的最大值为（ ） A ．12 B ．1 C. 32 D ．311.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点（A 在第一象限），过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，若60AFE ∠=°，则AFE ∆的面积为（ ） A ．43 B ．23 C.433 D ．23312.设函数'()f x 是函数()()f x x R ∈的导函数，(0)1f =，且1()'()13f x f x =-，则4()'()f x f x >的解集为（ ）A ．ln 4(,)3+∞ B ．ln 2(,)3+∞ C. 3(,)2+∞ D ．(,)3e +∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在1020171(1)x x-+的展开式中，含2x 项的系数为 ． 14.如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．15.已知非零常数α是函数tan y x x =+的一个零点，则2(1)(1cos 2)αα++的值为 ． 16.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，若1(1)n n n a a n ++-=，则40S = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222a b c ac bc ca ++=++.（1）证明：ABC ∆是正三角形；（2）如图，点D 的边BC 的延长线上，且2BC CD =，7AD =，求sin BAD ∠的值.18. （本小题满分12分）传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征.教育部考试中心确定了2017年普通高考部分学科更注重传统文化考核.某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取80名同学的成绩，然后就其成绩分为A B C D E 、、、、五个等级进行数据统计如下：根据以上抽样调查数据，视频率为概率.（1）若该校高二年级共有1000名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为B 的人数；（2）若等级A B C D E 、、、、分别对应100分、80分、60分、40分、20分，学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是否达标？（3）为更深入了解教学情况，将成绩等级为A B 、的学生中，按分层抽样抽取7人，再从中任意抽取3名，求抽到成绩为A 的人数X 的分布列与数学期望. 19. （本小题满分12分）如图甲所示，BO 是梯形ABCD 的高，45BAD ∠=°，1OB BC ==，3OD OA =，现将梯形ABCD 沿OB 折起如图乙所示的四棱锥P OBCD -，使得3PC =，点E 是线段PB 上一动点.（1）证明：DE 和PC 不可能垂直；（2）当2PE BE =时，求PD 与平面CDE 所成角的正弦值. 20. （本小题满分12分）已知圆2219:()24E x y +-=，经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点12,F F ，且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且1F E A ，，三点共线，直线l 交椭圆C 于两点M N ，，且(0)MN OA λλ=≠.（1）求椭圆C 的方程；（2）当AMN ∆的面积取到最大值时，求直线l 的方程. 21. （本小题满分12分）已知函数()ln 2,f x x ax a R =-∈.（1）若函数()y f x =存在与直线20x y -=平行的切线，求实数a 的取值范围； （2）设21()()2g x f x x =+，若()g x 有极大值点1x ，求证：1212ln 1x a x x +>. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1l 的方程为3y x =，曲线C 的参数方程为13cos 3sin x y ϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（ϕ是参数，0ϕπ≤≤）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）分别写出直线1l 与曲线C 的极坐标方程； （2）若直线2:2sin()3303l πρθ++=，直线1l 与曲线C 的交点为A ，直线1l 与2l 的交点为B ，求||AB . 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设实数,a b 满足29a b +=.（1）若|92||1|3b a -++<，求a 的取值范围； （2）若,0a b >，且2z ab =，求z 的最大值.赣州市2016～2017学年度第一学期高三理科数学参考答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ABCBBCADDBAB12.提示：观察3()()3f x f x '=-，由已知可设函数3()2e1xf x =-.二、填空题：13.45； 14.83； 15.2； 16.420. 16.提示：由条件得5191411,,,a a a a a a === ，4012345404141()()()S a a a a a a a a =+++++++- 20(240)4202⋅+==.三、解答题17.解：（1）由222a b c ac bc ca ++=++得222()()()0a b b c c a -+-+-=…………………………………………………………3分 所以0a b b c c a -=-=-=，所以a b c ==………………………………………………4分 即ABC ∆是正三角形…………………………………………………………………………5分 （2）因为ABC ∆是等边三角形，2BC CD =，所以2AC CD =，120ACD ∠=o …………………………………………………………7分 所以在ACD ∆中，由余弦定理可得：2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠， 可得22744cos120CD CD CD CD =+-⋅o ，解得1CD =………………………………9分 在ABC ∆中，33BD CD ==，由正弦定理可得33sin 3212sin 147BD BBAD AD⋅⋅∠===…………………………………………………12分18.解：（1）由于这80人中，有12名学生成绩等级为B ， 所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为1238020=……………………………2分 则该校高二年级学生获得成绩为B 的人数约有3100015020⨯=…………………………3分 （2）由于这80名学生成绩的平均分为:1[9100128031602240620]5980⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……………………………………4分 且5960<，因此该校高二年级此阶段教学未达标…………………………………………6分 （3）成绩为A 、B 的同学分别有9人，12人，所以按分层抽样抽取7人中成绩为A 的有3人，成绩为B 的有4人………………………7分则由题意可得：033437C C 4(0)C 35P X ===，123437C C 18(1)C 35P X ===， 213437C C 12(2)C 35P X ===，303437C C 1(3)C 35P X ===……………………………………10分所以41812190123353535357EX =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………………………12分 19.解：如图甲所示，因为BO 是梯形ABCD 的高，45BAD ∠= ，所以AO OB =…………………………………………………………………………………1分 因为1BC =，3OD OA =，可得3OD =，2OC =……………………………………2分如图乙所示，1OP OA ==，2OC =，3PC =，所以有222OP OC PC +=，所以OP OC ⊥………………………………………………3分 而OB OP ⊥，OB OC O = ，所以OP ⊥平面OPD ……………………………………4分 又OB OD ⊥，所以OB 、OD 、OP 两两垂直．故以O 为原点，建立空间直角坐标系（如图）， 则(0,0,1)P ，(1,1,0)C ，(0,3,0)D ………………………5分zyxO EDCBP（1）设(,0,1)E x x -其中01x ≤≤，所以(,3,1)DE x x =-- ，(1,1,1)PC =-，假设DE 和SC 垂直，则0DE PC ⋅=，有3(1)(1)0x x -+-⋅-=，解得2x =，这与01x ≤≤矛盾，假设不成立，所以DE 和SC 不可能垂直…………………………6分 （2）因为2PE BE =，所以 21(,0,)33E …………………………………………………7分 设平面CDE 的一个法向量是(,,)n x y z =，因为(1,2,0)CD =- ，11(,3,)33DE =- ，所以0n CD ⋅= ，0n DE ⋅= ，即20213033x y x y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩………………………………………………………………………9分 取(2,1,5)n =………………………………………………………………………………10分而(0,3,1)PD =- ，所以3cos ,15PD n PD n PD n⋅<>==⋅所以PD 与平面CDE 所成角的正弦值为315……………………………………………12分 20．（1）OyxF 2F 1AE如图，圆E 经过椭圆C 的左、右焦点1F ，2F ， 所以2219(0)24c +-=，解得2c =……………………………………………………1分 因为1F ，E ，A 三点共线，所以1AF 为圆E 的直径， 所以212AF F F ⊥…………………………………………2分 因为2222121AF AF AF =-=，所以1224a AF AF =+=．所以2a =…………………………………………………4分 由222a b c =+，得2b =．所以椭圆C 的方程为22142x y +=…………………………………………………………5分（2）由（1）得，点A 的坐标为(2,1)，因为(0)MN OA λλ=≠所以直线l 的斜率为22，设直线l 的方程为22y x m =+……………………………6分 联立2222142y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22220x mx m ++-=………………………………………7分 设1122(,),(,)M x y N x y ，由22(2)4(2)0m m ∆=-->，得22m -<<．因为1221222x x m x x m ⎧+=-⎪⎨⋅=-⎪⎩所以22121123MN kx x m =+-=-………………………………………………9分又点A 到直线l 的距离为63d m =， 211612223AMN S MN d m m ∆==-⋅ 2222224(4)2222m m m m -+=-≤⋅=…………………………………………10分 当且仅当224m m -=，即2m =±时，等号成立……………………………………11分 所以直线l 的方程为222y x =+或222y x =-…………………………………12分 21．（1）因为1()2,0f x a x x'=->………………………………………………………1分 因为函数()y f x =存在与直线20x y -=平行的切线，所以()2f x '=在(0,)+∞上有解……………………………………………………………2分 即122a x -=在(0,)+∞上有解，也即122a x+=在(0,)+∞上有解， 所以220a +>，得1a >-故所求实数a 的取值范围是(1,)-+∞………………………………………………………4分 （2）因为2211()()ln 222g x f x x x x ax =+=+- 因为2121()2x ax g x x a x x-+'=+-=……………………………………………………5分①当11a -≤≤时，()g x 单调递增无极值点，不符合题意………………………………6分 ②当1a >或1a <-时，令()0g x '=，设2210x ax -+=的两根为1x 和2x ， 因为1x 为函数()g x 的极大值点，所以120x x <<， 又12121,20x x x x a =+=>，所以11,01a x ><<，所以211111()20g x x ax x '=-+=，则21112x a x +=………………………………………8分 要证明1211ln 1x a x x +>，只需要证明2111ln 1x x ax +> 因为332111111111111ln 1ln 1ln 1222x x x x x ax x x x x x ++-=-+=--++，101x <<， 令31()ln 122x h x x x x =--++，(0,1)x ∈……………………………………………9分 所以231()ln 22x h x x '=--+，记231()ln 22x p x x =--+，(0,1)x ∈，则2113()3x p x x x x-'=-+=当303x <<时，()0p x '>，当313x <<时，()0p x '<， 所以max 33()()1ln 033p x p ==-+<，所以()0h x '<……………………………11分 所以()h x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)0h x h >=，原题得证……………………12分 22．（1）直线1l 的极坐标方程为3ρπ=…………………………………………………2分 曲线C 的普通方程为22(1)3x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==，所以曲线C 的极坐标方程为22cos 20,0ρρθθ--=≤≤π…………………………5分（2）设11(,)A ρθ，则有22cos 203ρρθθ⎧--=⎪⎨π=⎪⎩，解得112,3ρθπ==………………7分 设22(,)B ρθ，则有2sin()33033ρθθπ⎧++=⎪⎪⎨π⎪=⎪⎩，解得223,3ρθπ=-=…………………9分 所以12||||5AB ρρ=-=……………………………………………………………………10分 23.(1) 由29a b +=得92a b =-，即|||92|a b =-， 所以|||1|3a a ++<，解得22a -<<，所以a 的取值范围(2,2)-……………………………………………5分 (2) 因为,0a b >, 所23332()()32733a b b a b z ab a b b +++==⋅⋅≤=== 当且仅当3a b ==时，等号成立．故z 的最大值为27…………………………………10分 （注：也要可用导数求解）。