21.2用函数观点看一元二次方程1
21-2 解一元二次方程 课件(共33张PPT)
小练习
用公式法解下列一元二次方程：
（3）5x2-3x=x+1
（4）x2+17x=8x
解：方程化为5x2-4x-1=0
解：方程化为x2-8x+17=0
a=5,b=-4,c=-1.
a=1,b=-8,c=17.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×（-1）=36＞0. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0.
因式分解，可以考虑配方法；
（4）三项都有，且二次项系数不为1时的，一般可以用公式法。
小练习
例 3：解方程：x2-6x-16=0。
解：原方程变形为（x-8)(x+2）=0。
于是，得x-8=0或x+2=0
∴x1=8，x2=-2
解析：一元二次方程的解法有：配方法，公式法和因式分解法，解题时要
注意选择合适的解题方法。解此一元二次方程选择因式分解法最简单，因
（3）求解b2-4ac的值，如果b2-4ac≥0；
−± 2−4
（4）代入公式x=
，即可求出一元二次方程的根。
2
知识梳理
例 2：用公式法解方程x2-3x-1=0正确的解为（ D ）
−3± 13
A. x1,2=
2
3± 5
C.x1,2=
2
B.
D.
−3± 5
x1,2=
2
3± 13
x1,2=
2
解析：x2-3x-1=0。这里a=1，b=-3,c=-1。
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×（-7）=44＞0. Δ=b2-4ac=(-2 2)2-4×2×1=0.
−± 2−4
方程有两个不等的实数根x=
2
部编本九年级数学上册21.2.1公式法解一元二次方程优质 课 件
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49 ∴x= =
即
x1= - 3 ,
x2=
④
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
做一做
1.用公式法解下列方程： (1) x2 +2x =5
填空：用公式法解方程 3x2+5x-2=0
解：a= 3 ，b= 5 ，c = -2.
b2-4ac= 52-4×3×(-2) = 49 .
反过来，有
当方程有两个不相等的实数根时，
当方程有两个相等的实数根，
当方程没有实数根，
0；
记住了， 别忘了!
0 。
一元二次方程根的判别式
（1） （2）
＞0 =0 ＜0 ≥0
两个不相等实根 两个相等实根 无实数根 两个实数根
（3）
（4）
要点、考点
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ =0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ ＜0时，方程无实数根. (4)当Δ ≥0时，方程有两个实数根 2.根据根的情况，也可以逆推出Δ 的情况，这方面 的知识主要用来求字母取值范围等问题.
x
b
例4 解方程： x 21 4ac 2a
3x 7x 8 0
2
这里
a 3、 b= - 7、 c= 8
49 96 - 47 0
2 b2 4ac （ 7 ） 4 3 8
方程没有实数解。
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
2、求出 b 4ac 的值，
21.2 解一元二次方程(直接开平方法)(教学设计)
章节名称21.2 解一元二次方程（直接开平方法）编号课型新授课备课人上课时间年月日教学目标知识与技能：1)利用开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程。
2)利用开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程。
过程与方法:回顾平方根的知识，通过对实际生活中的问题列出一元二次方程，通过整理并求解的过程，让学生初步掌握利用直接开平方解一元二次方程（形如：x2＝p(p≥0）的方法，再通过数学转换的方法，将一个一元二次方程（形如：(mx＋n)2＝p(p≥0)）“降次”为两个一元一次方程，这样就可以通过解一元一次方程来求一元二次方程的解。
情感态度与价值观：1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识。
教学重点运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程。
教学难点通过平方根的意义解形如x2＝p(p≥0)的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx＋n)2＝p(p ≥0)的一元二次方程。
板书设计21.2 解一元一次方程（直接开平方法）一般地，对于方程x2＝p，1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根p2xpx1-==，；2)当p＝0时，根据平方根的意义，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2≥0，所以方程无实数根。
教学过程教学环节教生活动设计意图导入新课【课前回顾】师：求下列各数的平方根 1）169 2）8125生：1）±135[多媒体展示][课前回顾]对于方程x2=p，1）当p= 4时，求方程的解？2）当p= 0时, 求方程的解？3）当p=-4时, 方程有解吗?为什么?师：尝试求解方程？生：1）x1=2, x2=﹣22）x1=x2=03）无解，当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2≥0，所以方程无解【情景导入】[多媒体展示][情景引入]一桶油漆可刷的面积为1500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗?师：列出方程，观察方程的样式，解方程求出棱长？生：设正方体的棱长为 x dm，则一个正方体的表面积为 6x2 dm2，则列出方程为：10×6x2=1500 ，化简整理，得x2=25，据平方根的意义，得x=±5,即x1=5, x2=﹣5。
用函数观点看一元二次方程—知识讲解提高-精品
用函数观点看一元二次方程一知识讲解（提高）【学习目标】1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；2.会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；3.经历探索验证二次函数y=o?+法+w0）与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题.【要点梳理】要点一、二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况求二次函数y=心？+"+c（aWO）的图象与x轴的交点坐标，就是令y=0,求^,+人工+0二。
中x的值的问题.此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：要点诠释：二次函数图象与X轴的交点的个数由&2一的值来确定的.(1)当二次函数的图象与X轴有两个交点时，A=i-2-4t7C>0,方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，A=i2-4^=0,方程有两个相等的实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，A=A2-4^<0,方程没有实根.2.抛物线与直线的交点问题抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题.我们把它延伸到求抛物线J=ax2+/?x+c(aWO)与y轴交点和一次函数与一次函数y=丘+4(Z。
0)的交点问题.抛物线y+bx+c(a#0)与y轴的交点是(0,c)., [y=kx+b x,抛物线y=+法+。
(aWO)与一次函数y=阮+4(kWO)的交点个数由方程组< ,[y=ax+bx+c 的解的个数决定.当方程组有两组不同的解时o两函数图象有两个交点；当方程组有两组相同的解时o两函数图象只有一个交点；当方程组无解时o两函数图象没有交点.总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题.要点诠释：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想,即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题.要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解用图象法解一元二次方程+W+c=0(以=0)的步骤：1.作二次函数y=ax+M4-C(L Z H0)的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；2.确定一元二次方程+岳:+c=0(。
人教版数学九年级上册22.2《用函数观点看一元二次方程(1)》教学设计
人教版数学九年级上册22.2《用函数观点看一元二次方程（1）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册第22.2节《用函数观点看一元二次方程（1）》的内容，是在学生学习了函数和一元二次方程的基础上进行的。
本节课的主要内容是引导学生从函数的观点来认识和理解一元二次方程，让学生通过观察、分析和探究，体会一元二次方程与二次函数之间的关系，提高学生解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过函数和一元二次方程的知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但在运用函数的观点来解决实际问题时，还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，要注重激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与，培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
三. 教学目标1.让学生理解一元二次方程与二次函数之间的关系，会用函数的观点来认识和解决一元二次方程问题。
2.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
3.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：引导学生从函数的观点来认识和理解一元二次方程。
2.难点：如何引导学生运用函数的观点来解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析和探究，发现一元二次方程与二次函数之间的关系。
2.运用案例教学法，让学生在实际问题中体会和运用函数的观点解决问题。
3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的一元二次方程和二次函数的案例，用于引导学生分析和讨论。
2.准备多媒体教学设备，用于展示和分析一元二次方程和二次函数的图像。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，引导学生从函数的观点来认识和理解一元二次方程。
例如，展示一些二次函数的图像，让学生观察图像与一元二次方程之间的关系。
2.呈现（10分钟）教师展示一些一元二次方程，让学生尝试用函数的观点来解释和解决这些问题。
教师引导学生观察一元二次方程的解与二次函数的零点之间的关系。
《21.2解一元二次方程——21.2.2公式法》教学设计【初中数学人教版九年级上册】
第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程公式法教学设计一、教学目标1.探索利用公式法解一元二次方程的一般步骤.2.能够利用公式法解一元二次方程.二、教学重点及难点重点：用公式法解一元二次方程.难点：用公式法解一元二次方程三、教学用具多媒体课件。
四、相关资源《复习配方法解一元二次方程》动画。
五、教学过程【温故知新，提出问题】XE燃解方程s h+2s+c=0此图片是动画绪略图，此处插入交互动画《【数学探完】一元二次方程的儿何解法》，可以通过几何的方法展现一元二次方程的解法。
问题1你能用配方法解卜列方程吗？(1)m+ll=O；(2)9/=12x+14.解：<1)移项，得x2 -7入=一11.配方，得x2-7a-+^|J=-11+r2>7即七2=5 3开方,得x—;=±g.7-757+必所以X]=—-—•^2=—5-(2)移项，得9F-12x=14・,414系数化为1,得『一二工二方.配方,得广一§+仲卜？+停).即厂：<--2=2.开方，得x-|=±>/2,所以“甲®夸问题2用配方法解一元二次方程的步骤?化：把原方程化成r+p.x+q=O的形式.移项：把常数项移到方程的右边，如F+px=迫.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，如/+px+(W)2=-g+(S(x+S=F+(9求解：解一元一次方程.定解：写出原方程的解.师生活动：学生独立完成，复习归纳。
(X潞瘢配方法任何一个一元二次方程都可以写成一般形式十取-c-m z=0),能否用配方法俾出能否用配方法街出or2me=O(aMO)的观］一元二次方程M+既13(/0)的二次坎系救u,—次敏卒致b以及常敏项c.<1>移项；将方程中含有耒知数的氐移对方程的左边.巧常数璜玛勤方程的右边.ar2—fez=—cQ)二次项系散化为卜若二次项的系敢不为1.划在方程两边同时序以二次项的系敷.将二次项的系敖化为I.X2+-Z=—-a aU>配方，方程的两边鄙加上一次咬系?I一半的平方鸟方程靛左遮配成一个完全平方式・/十打十(粉2=弋十(粉2flHk整电饵(工+y=静因为a*0.4a2>0,代数式62-iac来决定一元二次方程+hx+c=Oia^O)根的唁况.此图片是动画垸略图，此处插入交互动画《【教学探究】配方法》，可以逐步展现配方法的步曜.设计意图：通过复习，巩固旧知，钠垫新知，设置问题，引出新课.【合作探究，形成知识】问题2—元二次方程的一般形式是什么？你能否也用配方法解出方程的根呢？杯+皈+^=0(醇0)己知a『+M+c=0(再0),请用配方法推导出它的两个根.解：移项，得ar2+fer=-c.K c二次项系数化为1，得《?+-X=——.a a配方,得+-X+(A)2=-£+(A)2…gp(X+=)2=\二"(JI).a la a2a2。
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法(第一课时直接开平方法)课件人教版
∴ x3 5 或 x3- 5 .
∴ x1= 5-3 ，x2 = - 5-3 .
解一元二次方程的基本思路是：
把一个一元二次方程“ 降次 ”，转化 为两个一元一次方程．
由应用直接开平方法解形如：
x2=p（p≥0），那么x=± p
由应用直接开平方法解形如：
（mx+n）2=p（p≥0），则mx+n=____p_ .
问题：一桶油漆可刷的面积为1500 dm2 ， 李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体 形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的 棱长吗？
提示
可以根据正方体表面积 S=6a2求解. 同时要注意 所得的结果要符合实际
意义.
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方 体的表面积为__6_x_2_dm2 .根据一桶油漆可 刷面积列出方程 1_0_×_6_x_2_=_1_5_0_0____.
解下列方程：
（1）9x2 5 3；
解：移项，得 9x2 8.
系数化为1，得 x2 8 .
9
直接开平方，得
x
8. 9
x1
22 3
，x2
22 3
.
注意：二次根 式必须化为最 简二次根式。
（2）9x2 5 1.
解：先移项，得 9x2 4. 系数化为1，得 x2 4 0 9
1
x1
, 3
x2
1.
整理，得_x_2_=_2_5 ， 根据平方根的意义得x=___±_5__. 即x1=___5___，x2=__-_5___. 因为_棱__长__不_能__为__负__值__，所以正方体的棱长 是_5_d_m__.
浅谈“用函数观点看一元二次方程”
浅谈“用函数思维解读一元二次方程”湖口一中摘要：北师大版九年级：“用函数观点看一元二次方程”，是代数与几何知识有机结合的亮点；是初、高中数学知识的衔接点，是初中数学的重要内容，是学业水平考试的重点考察内容之一。
用函数观点看一元二次方程要把握以下两点：一是用函数思想看方程；二是用方程思想看函数。
关键词：二次函数；一元二次方程；数学思想方法二元一次方程是初中阶段最重要的一个代数知识，对二次函数与一元二次的教学，许多教师都感到难以把握，综合其原因主要有如下两点：一是本节教学内容牵扯到了的知识点较多，有相当数量的学生对旧的知识点掌握本身就不是特别牢固，教师对教学的深浅度不太容易把握；二是本节运用了各种教学方法，有函数、方法、类比、分类讨论、数形结合思想等，这都是初中数学中对学生所要培养的重要思想。
可以说本节内容是初中代数各种知识与思想的集中展现，是初中代数内容的一个总结。
“用函数观点看一元二次方程”，是代数与几何知识有机结合的一个亮点，是初中、高中知识的一个衔接点，是初中数学的重要内容，是初中学业水平考试重点考察的内容之一，因此，全面掌握二次函数的基础知识和基本技能，并能分析和解决有关二次函数的综合问题，合理利用他们之间代数关系是学生必备知识。
一、二次函数与一元二次方程的联系方程和函数有着不可分割的联系，用函数观点看一元二次方程要把握好以下两点：1、用函数的思想看方程；即函数值y=0（即图像上的点在x轴上），函数即转化为一元二次方程方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标。
2、用方程的思想看函数；即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，这两点间的距离AB=|x1-x2|，另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）-A|（A为其中一点的横坐标；当b2-4ac=0，图像与轴只有一个交点；当b2-4ac0时，图像落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a0来确定k的取值范围。
21.2.2公式法解一元二次方程(一)
21.2.2公式法解一元二次方程（1）主备人：符后丽 审核：数学备课组 课型：新授课学习目标：1、 掌握用求根公式法解一元二次方程的一般步骤，会用公式法解一元二次方程。
2、 经历求根公式的推导过程，进一步发展逻辑思维能力，体验数学的简洁美。
3、 进一步体会分类、类比、转化、降次的数学思想方法。
学习重点：公式法解一元二次方程学习难点：求根公式的推导过程学习过程：一 复习回顾1、在方程02752=+-x x 中，a= ，b= ，c= 。
2、在方程x x 8172=+中，a= ，b= ，c= 。
3、用配方法解下列方程。
（1）0142=+-x x （2）x x 2132=-二 新知探究1、（探索与思考）用配方法解一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax2、总结与归纳：（1）由上可知，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 是由系数a 、b 、c 而定，因此，用公式法解一元二次方程的基本步骤是：第一步： 第二步： 第三步：(2) 由上可知，一元二次方程解的个数情况是由ac b 42-决定的。
当ac b 42- 时，有 个 实数根；（=1x =2x ） 当ac b 42- 时，有 个 实数根；（=1x =2x ） 当ac b 42- 时，一元二次方程没有实数根；3、例题讲解（1）0742=--x x （2）012222=+-x x（3）1352+=-x x x （4）x x 8172=+三 巩固练习解下列方程（1）062=-+x x （2）04132=--x x（3）02632=--x x （4）0642=-x x（5）114842+=++x x x （6）x x x 85)42(-=-四 变式训练1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为 ，用求根公式的前提是 。
2、在方程02752=+-x x 中，a= ，b= ，c= ，=-ac b 42 ，方程的两根为=1x ，=2x 。
用函数观点看一元二次方程
B.k≥－ 且 k≠0;
7 4
C.k≥－ ;D.k>－ 且 k≠0
7 4
7 4
3、 找出能反映下列各情景中两个变量间关系的图象， 并将代号填在相应的横线上. (1)一辆匀速行驶的汽车，其速度与时间的关系.对应的图象是（）. (2)正方形的面积与边长之间的关系.对应的图象是（ ）. (3)用一定长度的铁丝围成一个长方形， 长方形的面积与其中一边的长之间的 关系.对应的图象是（ ）.
7、如图 2，一小孩将一只皮球从 A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图 象的一部分，如果他的出手处 A 距地面的距离 OA 为 1 m，球路的最高点 B(8， 9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到 0.1 m).
y B A O x
图2
8、 若抛物线 y=x2－(2k+1)x+k2+2， 与 x 轴有两个交点， 则整数 k 的最小值是______.
1 2 11 4
)
1 2 11 4
B.(－ ， )
1 2
5 4
C.( ， )
D.( ， －
1 2
11 ) 4
13、某乡镇企业现在年产值是 15 万元，如果每增加 100 元投资，一年增加 250 元产值，那么总产值 y(万元)与新增加的投资额 x(万元)之间函数关系为( A.y=25x+15 B.y=2.5x+1.5 C.y=2.5x+15 )
B
图4
图5
6、如图 6 所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形 ABCD，其中 AB 和 BC 分 别在两直角边上，设 AB=x m，长方形的面积为 y m2，要使长方形的面积最大， 其边长 x 应为( ) A.
21.2解一元二次方程十一章一元二次方程导入新课讲授新课课堂小结21.2.2公式法
•b2 - 4 > 0时,方程有两个不相等的实数根. •b2 - 4 = 0时,方程有两个相等的实数根. •b2 - 4 < 0时,方程无实数根.
例6:若关于x的一元二次方程2-21=0有两个不相
等的实数根，则k的取值范围是(
)
>-1
B
>-1
所以10或2. 将10代入原方程得x2-816=0，x12=4； 将2代入原方程得x2+44=0，x122（舍去）；
所以△ 的三边长为4，4，5， 其周长为4+4+5=13.
课堂小结
公式法
求根 公式
x b b2 4ac 2a
根的判别式b2-4
务必将方程化 为一般形式
步骤
一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（ Δ值）；
∴方程有两个相等的实数根．
当堂练习
1.解方程：x2 &.
∵ b 2 - 4 =7 2 – 4 × 1× (-18 ) =121>0,
x7 121711.
21
2
即
x1 = -9, x2 = 2 .
2. 解方程（x - 2) (1 - 3x) = 6.
且k≠0
<1
<1
且k≠0 解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数
根，则b2-4>0，同时要求二次项系数不为0，
即 k≠0(，2)故2 选4Bk.0
，k≠0.解得k>-1且
例7:不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x－3=0；（2）4x2=12x－9; (3) 75(y2+1). 解：（1）3x2+4x－3=0，34－3,
21.2 解一元二次方程
• • • •
用因式分解法解下列方程 x∧2-5x=0 3x(2x+1)=2(2x+1) 9x∧2-16=0
补充：十字相乘法
• 如6y∧2+19y+15=0
• 用因式分解法解下列方程 • 4x∧2+8x+3=0
• 6x∧2-7x+2=o
用适当的方法解下列方程
• • • •
(2x+1)(2x-1)=11 (x+2)∧2=-6x (4x∧2-9)-2(2x-3)=0 x(x-3)=4
• 2.已知关于x的一元二次方程x∧2+2x-a=0有2个相同的实数根，则a的值是 多少?
• 1.有2个 • 1个 • 没有 • 2.a=-1
一元二次方程求根的推导过程：公式法
因式分解法
• • • • • 因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解。
• (2)将二次三项式2x^2-4x+6进行配方，正确 的结果是______.
7
• ( 1 ) 已知方程5x^2+kx-6=0的一个跟是6，求另一个根和k.
• （2）设a b是方程x^2-3x-3=0的2个解，则b∕ a+a∕ b的值为_____. • （3）若一个一元二次方程的两根为a,b，且满足a^2+b^2=10,ab=3，则这 个方程是______________.
• • • • •
设一元二次方程2x∧2-2x=5的两个实数为a和b，则下列结论正确的是—— A.a+b=2 B.a+b=-1 C.ab=5∕2 D.ab=-5∕ 2
人教版九上数学 21.2解一元二次方程(第1课时) 教案
21.1 解一元二次方程（1）【教学目标】知识与技能：1.会用开平方法解形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程2.探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤；能够利用配方法解一元二次方程．过程与方法：在探索配方法时，使学生感受前后知识的联系，体会配方的过程以及方法。
情感态度价值观：体会由未知向已知转化的思想方法．【教学重难点】重点：用直接开平方法和配方法解一元二次方程．难点：把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2＝n(n 0)的形式.【教学过程】一、复习引入【问题】1.求出下列各式中x的值，并说说你的理由．（1）x2=9 （2）x2=5 （3）x2=a（a>0）．说明：复习平方根的意义，解形如x2=n的方程，为继续学习引入作好铺垫．2.什么是完全平方式？3. 填上适当的数，使下列各式成立.（1）x2+ 6x+ =(x+3)2(2) x2+8x+ =(x+ )2（3）a2+2ab+ =(a+ )2 (4)a2-2ab+=(a- )2二、探索新知【问题】一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm 2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体的盒子的全部外表，你能算出盒子的棱长吗？分析：学生独立分析题意，发现若设正方体的棱长为x dm ，则一个正方体的表面积为6x 2 dm 2，根据一桶油漆可以刷的面积，列出方程：10×6x 2=1500整理，得x 2=25x=±5x 1=5,x 2=-5棱长不能为负数，所以盒子的棱长为5 dm说明：在学生列出方程后，让学生讨论方程的解法，由于所列出的方程形式比较简单，可以运用平方根的定义（即开平方法）来求出方程的解．让学生感受开平方可以解一些简单的一元二次方程．归纳：一般地，对于方程2x p =（1）当P ＞0时，方程有两个不等的实数根（2）当P=0时，方程有两个相等的实数根（3）当P ＜0时，方程没有实数根【探究】你认为怎样解方程2(3)5x +=？学生独立分析问题，发现和【问题】中的方程形式类似，可以利用平方根的定义，直接开平方得到35x +=±，于是得到13x =-23x =-归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程． 说明：在学生讨论方程的解法时，注意引导学生根据降次的思想，利用配方的方法解决问题，进而体会配方法解方程的一般步骤．【探究】怎样解方程2640x x ++=？归纳：1.通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；2.配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程说明：引导学生根据降次的思想，利用配方的方法把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解方程．【例题讲解】例：解下列方程（1）x 2－8x + 1 = 0； （2）2213x x +=； （3）23640x x -+=．学生首先独立思考，自主探索，然后交流配方时的规律．经过分析得到（1）中经过移项可以化为281x x -=-，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上42，得到2228414x x -+=-+，得到（x －4）2=15；（2）中二次项系数不是1，此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数2，然后再进行配方，即23122x x -=-，方程两边都加上23()4，方程可以化为231()416x -=； （3）按照（2）的方式进行处理．总结：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式20ax bx c ++=； （2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a ；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．说明：在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理等），通过解几个具体的方程，归纳作配方法解题的一般过程．归纳：一般地，对于方程2()x n p +=（1）当P ＞0时，方程有两个不等的实数根，1x n =-+2x n =-（2）当P=0时，方程有两个相等的实数根12x x n ==-（3）当P ＜0时，方程没有实数根三、巩固练习教材9页第1、2题．说明：检查学生对基础知识的掌握情况，进一步掌握配方法四、小结作业小结：1. 要熟练直接开平方法和配方法的技巧，来解一元二次方程，2.掌握配方法解一元二次方程的一般步骤，并注意每一步的易错点。
人教版数学九上21.2《解一元二次方程》(配方法)ppt课件
３.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的 步骤吗？
21.2 解一元二次方程
３.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的 步骤吗？ （1）把常数项移到方程右边； （2）方程两边同除以二次项系数，化二次项 系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数一半的平方 ； （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方 求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次 方程无解．
，配方后的方程可以是A( )
A．(x-1)2=4
B．(x+1)2=4
C．(x-1)2=16
D．(x+1)2=16
2．一个小球以15 m/s的初速度向上竖直弹出
，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式h
＝15t－5t2，当小球的高度为10 m时，t为C( )
A．1 s
B．2 s
C．1 s或2 s
21.2 解一元二次方程
1．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时
，此方程可变形D为( ) A．(x＋2)2＝1
B．(x－2)2＝
1
C．(x＋2)2＝9
D D．(x－2)2＝9
2．下列配方有错误的是(
)
A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4
B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1
C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方 程两边都除以二次项系数，将方程化为二次项系数是1 的类型．
21.2 解一元二次方程
1．通过配成__完___全__平__方__形__式___来解一元二次方程的方法叫
九年级数学上册21一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法第一课时用直接开平方解一元二次
1．方程x2－64＝0解是( D)
A．x＝8
B．x＝－8
C．x＝4
D．x1＝8 ，x2＝－8
2．方程3x2＋9＝0根为( D)
A．3
B．－3
C．±3
D．无实数根
3．(滨州)以下方程中，一定有实数解是( B)
A．x2＋1＝0
B．(2x＋1)2＝0
C．(2x＋1)2＋3＝0
D．( －a)2＝a
4．方程(x＋1)2＝9解是( C)
∵一元二次方程(x－3)2＝1两个解恰好分别是等腰△ABC底边长和腰长， ∴①当底边长和腰长分别为4和2时，4＝2＋2，此时不能组成三角形； ②当底边长和腰长分别是2和4时，4＋4＞2，此时能组成三角形， ∴△ABC周长为：2＋4＋4＝10.
第8页
12．当m为何值时，方程
是关于x一元二次方程？
第9页
13．已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0，求xx－ 2＋2yy2的值． 【解】 已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0， 变形得：(x2＋4x＋4)＋(y2－6y＋9)＝0， 即(x＋2)2＋(y－3)2＝0， 所以x＝－2，y＝3.
第10页
21.2.1 配方法
第1课时 用直接开平方法解一元二次方程
1．利用直接开平方法解一元二次方程，其依据是__平__方__根__意义，即：假 如x2＝p(p＞0)，则x1＝____，x2＝_____．
2．形如(ax＋m)2＝n(n＞0)一元二次方程，也可利用直接开平方法求
解，即：先利用平方根意义把原方程转化为两个_____一__元__一__次__方ax程＋m＝
A．x＝1或x＝－1
B．x＝3或Байду номын сангаас＝－3
C．x1＝2或x2＝－4
九年级数学 第21章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.2公式法1
解方程
3x2 1 x10 22
2x222x10
x2x60
x2 3x 1 0 4
3x26x20
4x2 6x0 x24x84x11
x(2x4)58x
12/10/2021
小结
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
由配方法解一般的一元二 次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)若 b2-4ac≥0 得
1、把方程化成一般形式, 并写出a，b，c的值。
2a
4 256 4 16 .
w3.计算: b2-4ac 的值;
25
10
w4.代入:把有关数
28
值代入公式计算;
56
x ;x 1
2
5 12/10/2021
2.
w5.定根:写出原方 程的根.
跟踪练习 用公式法解下列方程： 1.2x2 +5x-3=0 2.(x-2)(3x-5)=0
3.4x2-3x+1=0
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例题1
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
（口答）填空：用公式法解方程
2x2+x-6=0 解：a= 2 ，b= 1 ，c = -6.
b2-4ac= 12-4×2×(-6) = 49.
1 49 1 7
x=
= 22 = 4 .
即 x1= -2 , x2= 3 . 2
2、求出b2-4ac的值。
求根公式 : X=
3、代入求根公式 :
12/10/2021
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
独立
知识的升华
作业
祝你成功！
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图象与x轴有一个交 点
(x0 ,0)
y
图象与x轴没有交点 y
二 次 函 数 的 图 象
a>0
x1
y
x2
x
x0
y
x y x
x x
x0
a<0
x1 x2
x
基础练习: 基础练习 1.若抛物线y=ax +bx+c,当 a>0,c<0时 1.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时, 若抛物线 图象与x轴交点情况是( 图象与x轴交点情况是( C ) A 无交点 C 有两个交点 B 只有一个交点 D不能确定
二次函数y=ax2+bx+c的值恒为正的条 由二次函数y=ax2+bx+c的图象和 轴交 的图象和x轴交 二次函数 由二次函数 的值恒为正的条 的图象和 点判断一元二次方程ax 件———— 点判断一元二次方程 2+bx+c=0的△ 的
a >0 △＜0 △＜0 Y △=0
O
X
二次函数y=ax2+bx+c的值恒为负的条 二次函数 的值恒为负的条 a ＜0 △ 件———— ＜0
h= 20 t – 5 t2
考虑下列问题: 考虑下列问题: (2)球的飞行高度能否达到 若能, (2)球的飞行高度能否达到 20 m? 若能, 需要多少时间? 需要多少时间?
问题1:如图, /s的速度将小 问题1:如图,以 40 m /s的速度将小 1:如图 30度角的方向击出时 度角的方向击出时, 球沿与地面成 30度角的方向击出时, 球的飞行路线是一条抛物线, 球的飞行路线是一条抛物线,如果不 考虑空气阻力, (单 考虑空气阻力,球的飞行高度 h (单 :m)与飞行时间 (单位:s)之间 单位:s) 位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间 2 具有关系: 具有关系: h= 20 t – 5 t 考虑下列问题: 考虑下列问题: (3)球的飞行高度能否达到 (3)球的飞行高度能否达到 20.5 m? 若能,需要多少时间? 若能,需要多少时间?
判断方程ax 为常数)一 判断方程 2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数 一 为常数 个解x的范围是 ) 的范围是( 个解 的范围是 C A 3< X < 3.23 C 3.24 <X< 3.25 B 3.23 < X < 3.24 D 3.25 <X< 3.26
9.若抛物线 9.若抛物线 + bx+ c 的顶点在第一象限, 的顶点在第一象限,则方程 x2 + bx+ c =0 的根的情况 无实根 ＿＿＿＿＿. 是＿＿＿＿＿.
有两个不相等的 实数根 有两个相等的 实数根
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
没有实数根
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax +bx+c的图象和 的图象和x 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有 三种情况: 三种情况: （a≠0) (1)有两个交点 (1)有两个交点 b2 – 4ac > 0 (2)有一个交点 (2)有一个交点 b2 – 4ac= 0 (3)没有交点 (3)没有交点 b2 – 4ac< 0 若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点 则 轴有交点,则 若抛物线 与 轴有交点 b2 – 4ac ≥0
作业: 作业
1.已知二次函数 1.已知二次函数 y=（ +2kx+ky=（k-1）x2+2kx+k-1 的图象与x轴有两个交点， 的图象与x轴有两个交点， 求k的取值范围。 的取值范围。
2 y=x
例题讲解: 例题讲解
2-6x-6的 1.已知二次函数 已知二次函数y=kx 1.已知二次函数y=kx 6x-
图象与x轴有两个交点， 图象与x轴有两个交点，求k的 取值范围。 取值范围。
2、已知关于x的二次函数 已知关于x
2+2(m-1)x+9(m+1) y=（m+6）x +2(my=（m+6）
Y △＞0 X O △＜0 △=0
b − 4ac > 0
2
b − 4ac = 0
2
b − 4ac < 0
2
一元二次方程
ax 2 + bx + c = 0
二次函数
有两个不等实 根 ，
x1
x2
有两个相等实 根
x0
没有实根
y = ax + bx + c
2
图象与x轴有两个交 点 y
(x1 ,0) (x2 ,0)
（h=0)
问题2: 问题 下列二次函数的图象与 x 轴有 交点吗? 若有,求出交点坐标 求出交点坐标. 交点吗 若有 求出交点坐标
(1) y = 2x2+x-3 (2) y = x2 - 2x +1 (3) y =
2– x
x+ 1
已知二次函数 0)的值为 的值为0, 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)的值为0, 自变量x 求自变量x的值 0)的解 求一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的解 一元二次方程ax +bx+c=0（
小测： 小测：二次函数的图像过点 1 A(3,0),B(1,-6)且以 且以x= 且以 2 为对称轴求此解析式
21.2 用函数观点看一元二次 方程1 方程
问题1:如图, /s的速度将小球 问题1:如图,以 40 m /s的速度将小球 1:如图 30度角的方向击出时 度角的方向击出时, 沿与地面成 30度角的方向击出时,球的 飞行路线是一条抛物线, 飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空 气阻力, (单位:m)与飞 单位:m) 气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞 (单位:s)之间具有关系 单位:s)之间具有关系: 行时间 t (单位:s)之间具有关系:
x=-1,由图象 称轴是直线 x=-1,由图象 关于x 知,关于x的方程 2+bx+c=0的两个根分别 ax +bx+c=0的两个根分别 -3.3 是x1=1.3 ,x2=＿＿＿
6.已知抛物线 的图象如图, 6.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,则 关于x 根的情况是( 关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是( ) A 有两个不相等的实数根 B 有两个异号的实数根 C有两个相等的实数根 D 没有实数根
分组画出 下列二次函数的图象 (1) y = 2x2+x-3 (2) y = x2 - 2x +1 (3) y = x2 – x+ 1
根据图象与x轴的交点情况， 根据图象与x轴的交点情况，你能够说出一 元二次方程ax +bx+c=0（ 0)的根判别式 元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的根判别式 情况吗？ 情况吗？
5、一元二次方程ax2+bx+c=0的两个 一元二次方程ax +bx+c=0的两个 根为x +bx+c与 根为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x 轴的交点坐标 (x1,0),(x2,0) 是 。
知识巩固: 知识巩固
2-3x-5 1.抛物线 抛物线y=2x 1.抛物线y=2x 3x-
与y轴交 (5/2,0) (-1,0) 于点＿＿＿＿ ＿＿＿＿, 轴交于点＿ 于点＿＿＿＿,与x轴交于点＿ (0,-5) ＿＿＿. ＿＿＿.
4.一元二次方程 4.一元二次方程 3 5 个根是x 个根是x1= -2 ,x2=
2+x-10=0的两 x +x-
, 那么二次
+x函数y= 3x2+x-10与x轴的交点坐标 5 ＿＿＿. 是＿＿＿. ,0) (-2,0) (
3
3
2+bx+c的对 5.抛物线 抛物线y=ax 5.抛物线y=ax +bx+c的对
的图象与x轴总有交点， 的图象与x轴总有交点， 求m的取值范围。 的取值范围。
例题讲解: 例题讲解
3、已知抛物线 + bx+ c 与x轴只有 一个公共点，且公共点为A 一个公共点，且公共点为A ），求 的值. （2，0），求b, c 的值.
2 y=x
4.已知抛物线 4.已知抛物线
2 y=x
+ mx +m-2 +m-
（a≠0)的解 0)的解
二次函数y=ax2+bx+c的图象 和x轴交点与一元二次方程 有什么关系? ax2+bx+c=0的根有什么关系?
2+bx+c的图象和x轴 的图象和x 二次函数y=ax
交点的横坐标是一元二次方程 交点的横坐标是一元二次方程 横坐标 ax2+bx+c=0的根
二次函数 一元二次方程 一元二次方程 +bx+c的 +bx+c=0根的 y=ax2+bx+c的 ax2+bx+c=0的 ax2+bx+c=0根的 +bx+c=0的 根 图象和x 判别式Δ 图象和x轴交点 判别式Δ=b2-4ac 有两个交点 只有一个交点 没有交点
小结： 小结：
二次函数与一元二次方程的关系密切 已知二次函数y=ax 已知二次函数y=ax2+bx+c 0)的值为 的值为m （a≠0)的值为m, 求自变量x 求自变量x的值
求一元二次方程ax +bx+c=m 求一元二次方程ax2+bx+c=m 0)的解 （a≠0)的解