Bessel函数介绍
Bessel函数介绍
第一类贝塞尔函数图2 0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数（贝塞尔J函数）曲线（在下文中，第一类贝塞尔函数有时会简称为“J函数”，敬请读者留意。
）第一类α阶贝塞尔函数Jα(x)是贝塞尔方程当α为整数或α非负时的解，须满足在x= 0 时有限。
这样选取和处理Jα的原因见本主题下面的性质介绍；另一种定义方法是通过它在x= 0 点的泰勒级数展开（或者更一般地通过幂级数展开，这适用于α为非整数）：上式中Γ(z)为Γ函数（它可视为阶乘函数向非整型自变量的推广）。
第一类贝塞尔函数的形状大致与按速率衰减的正弦或余弦函数类似（参见本页下面对它们渐进形式的介绍），但它们的零点并不是周期性的，另外随着x的增加，零点的间隔会越来越接近周期性。
图2所示为0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数Jα(x)的曲线（α = 0,1,2）。
如果α不为整数，则Jα(x)和J−α(x)线性无关，可以构成微分方程的一个解系。
反之若α是整数，那么上面两个函数之间满足如下关系：于是两函数之间已不满足线性无关条件。
为寻找在此情况下微分方程与Jα(x)线性无关的另一解，需要定义第二类贝塞尔函数，定义过程将在后面的小节中给出。
贝塞尔积分α为整数时贝塞尔函数的另一种定义方法由下面的积分给出：（α为任意实数时的表达式见参考文献[2]第360页）这个积分式就是贝塞尔当年提出的定义，而且他还从该定义中推出了函数的一些性质。
另一种积分表达式为：和超几何级数的关系贝塞尔函数可以用超几何级数表示成下面的形式：第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）图3 0阶、1阶和2阶第二类贝塞尔函数（贝塞尔Y函数）曲线图（在下文中，第二类贝塞尔函数有时会简称为“Y函数”，敬请读者留意。
）第二类贝塞尔函数也许比第一类更为常用。
这种函数通常用Yα(x)表示，它们是贝塞尔方程的另一类解。
x = 0 点是第二类贝塞尔函数的（无穷）奇点。
Yα(x)又被称为诺依曼函数（Neumann function），有时也记作Nα(x)。
贝塞尔函数的有关公式
贝塞尔函数的有关公式贝塞尔函数是数学中一类特殊的函数，广泛应用于物理学、工程学和数学物理学等领域。
贝塞尔函数一族的定义包括第一类贝塞尔函数、第二类贝塞尔函数以及修正的贝塞尔函数。
本文将介绍这些贝塞尔函数的基本定义和性质，并给出一些常见的贝塞尔函数公式。
一、第一类贝塞尔函数(Bessel Function of the First Kind)第一类贝塞尔函数是非负整数阶的解特殊二阶常微分方程贝塞尔方程的解。
第一类贝塞尔函数通常用J_n(x)表示，其中n是阶数，x是实数。
它的定义为：J_n(x) = (1/π) ∫[0,π] cos(nθ - xsinθ) dθ其中,J_0(x)是常数函数。
第一类贝塞尔函数有一些重要的性质：1.对于所有的实数x和n≥0，J_n(x)是实函数。
2.J_0(x)在x=0处取得最大值，而在其他地方有若干个零点。
3.J_n(x)在x→0时的行为类似于x^n，即J_n(x)~(x/2)^n/(n!)。
第一类贝塞尔函数的递推公式:J_{n+1}(x)=(2n/x)J_n(x)-J_{n-1}(x)其中J_{1}(x)=(2/x)J_0(x)。
第一类贝塞尔函数的导数计算公式:dJ_n(x)/dx = J_{n-1}(x) - (n/x) J_n(x)利用这个公式可以计算贝塞尔函数的导数。
二、第二类贝塞尔函数(Bessel function of the second kind)第二类贝塞尔函数是贝塞尔方程的另一类解，通常用Y_n(x)表示，其中n是阶数，x是实数。
第二类贝塞尔函数的定义为：Y_n(x) = (1/π) ∫[0,π] sin(nθ - xsinθ) dθ其中,Y_0(x)是称作“诺依曼函数”。
第二类贝塞尔函数的性质如下：1.对于所有的实数x和n≥0，Y_n(x)是实函数。
2.Y_0(x)在x=0处不取得最大值，而在其他地方有若干个零点。
3. Y_n(x)在x→0时的行为类似于(2/π)(ln(x/2) + γ) + O(x^2)。
贝塞尔函数表0～2rad
贝塞尔函数表0～2rad摘要：一、贝塞尔函数简介1.贝塞尔函数的定义2.贝塞尔函数在数学和工程领域的应用二、贝塞尔函数表0～2rad1.贝塞尔函数表的构成2.贝塞尔函数值的变化规律3.贝塞尔函数的性质和特点三、贝塞尔函数表在实际问题中的应用1.贝塞尔函数表在数学问题中的应用2.贝塞尔函数表在工程问题中的应用正文：贝塞尔函数是一类在数学和工程领域有着广泛应用的函数。
它们以瑞士数学家卡尔·沃尔夫冈·贝塞尔的名字命名，并因其独特的性质和特点而受到学者们的关注。
贝塞尔函数可以表示为：BesselFunction(x, n, λ) = (1 / (2 * π * √(x^2 + n^2 * λ^2))) * ∫(exp(-(x^2 + n^2 * λ^2) / 2) * (x^2 - n^2 * λ^2) ^ (n - 1/2)) dλ其中，x表示函数的变量，n表示函数的阶数，λ表示函数的参数。
贝塞尔函数表0～2rad是一份详细列出贝塞尔函数值的表格，其中包含了不同阶数和参数下的贝塞尔函数值。
这个表格可以帮助学者们快速查找和计算贝塞尔函数值，为他们的研究和工程应用提供便利。
贝塞尔函数表0～2rad的构成主要包括两部分：一是表格的标题和表头，包括函数名、阶数、参数和函数值；二是表格的主体，详细列出了不同阶数和参数下的贝塞尔函数值。
这个表格是通过对贝塞尔函数进行数值积分计算得到的，因此具有较高的精度和可靠性。
贝塞尔函数值的变化规律可以通过观察贝塞尔函数表0～2rad得出。
一般来说，随着参数λ的增大，贝塞尔函数值会先增大后减小，呈现出一个波浪形的变化趋势。
而随着阶数n的增大，贝塞尔函数值会呈现出一个指数增长的趋势。
这些变化规律对于理解和掌握贝塞尔函数的性质和特点具有重要意义。
贝塞尔函数表0～2rad在实际问题中的应用非常广泛。
在数学领域，贝塞尔函数表可以帮助学者们快速计算贝塞尔函数值，为他们的理论研究和数值模拟提供数据支持。
05第五章贝赛尔函数
西安理工大学应用数学系
2. Bessel函数－Bessel方程的解 函数－ 函数 方程的解
用广义幂级数法求解该方程。由常微分方程理论， 用广义幂级数法求解该方程。由常微分方程理论，设方程的解 ∞ 为 y= a x s + k , ( a ≠ 0, s为常数 )
∑
k =0
k
0
各阶导数为
y ' = ∑ k = 0 ( s + k )ak x
ut = a2 (uxx + uyy ) 该问题的数学模型为： 该问题的数学模型为： u x2 +y2 =R2 = 0 u t=0 = ϕ(x, y)
用分离变量法求解。 用分离变量法求解。 令
x2 + y2 < R2, t > 0
u(x, y,t) =V(x, y)T(t) 代入方程得
9 ′ ′ ′ x J3/2 (x) + xJ3/2 (x) +(x − )J3/2 (x) = 0 4
2 2
证明： 证明：因
1 ′ = x J3/2(x) + x J3/2(x) ′ y 2 3 1 1 − − 1 2 ′ ′ ′ ′ y′ =− x J3/2(x) + x 2 J3/2(x) + x2 J3/2(x) 4
s +1
∞
x y " = ∑ k = 0 ( s + k )( s + k − 1)ak x s + k = a0 s( s − 1) x + a1 ( s + 1) sx
s
+ ∑ k = 2 ( s + k )( s + k − 1)ak x s + k
7贝塞尔函数
贝塞尔函数是贝塞尔方程的解，它们和其他函数组合成柱调和函数。
除初等函数外，在物理和工程中贝塞尔函数是最常用的函数，它们以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名，他在1824年第一次描述过它们。
中文名贝塞尔函数外文名Bessel Function意义一类特殊函数的总称方程的解无法用初等函数系统地表示命名F.W.贝塞尔的姓氏分类数学目录1 基本概念2 基本内容3 分类4 应用范围基本概念编辑是数学上的一类特殊函数的总称。
一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数：这类方程的解无法用初等函数系统地表示。
贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数变化而变化（相应地，被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。
实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为n阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。
基本内容编辑贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。
一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为'''贝塞尔方程'''）的标准解函数。
这类方程的解无法用初等函数系统地表示。
但是可以运用自动控制理论中的相平面法对其进行定性分析。
这里，被称为其对应贝塞尔函数的阶数。
实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。
定义贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。
针对各种具体情况，人们提出了这些解的不同形式。
下面分别介绍不同类型的贝塞尔函数。
历史几个正整数阶的贝塞尔函数早在18世纪中叶被瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出，当时引起了数学界的轰动。
贝塞尔函数详细介绍(全面)
(−1) m x 2 n + 2 m −1 = x n J ( x) = x n ∑ n + 2 m−1 n −1 2 m!⋅Γ(n + m) m =0
∞
d x n J n ( x ) = x n J n −1 ( x ) dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) dx
y = AJ n ( x) + BYn ( x)
A、B为任意常数， n为任意实数
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
三 贝塞尔函数的性质
(−1) m x J n ( x) = ∑ ⋅ m = 0 m! Γ ( n + m + 1) 2
∞ n+2m
J α ( x) cos απ − J −α ( x) Yn ( x) = lim α →n sin απ
= −3J1 ( x) + 2 J1 ( x) + J1 ( x) − J 3 ( x) = − J 3 ( x)
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
(4)
d n x J n ( x) = x n J n −1 ( x) dx = − xJ1 ( x ) + ∫ x −1 J1 ( x )dx 2 = − xJ1 ( x) + 2 ∫ J1 ( x)dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) = − xJ1 ( x ) − 2 ∫ dJ 0 ( x) = − xJ1 ( x) − 2 J 0 ( x ) + C dx ′ (5) ∫ x 3 J 0 ( x )dx = ∫ x 2 dxJ1 ( x ) = x 3 J 1 ( x ) − 2 ∫ x 2 J1 ( x)dx J n −1 ( x) − J n +1 ( x) = 2 J n ( x) 2n J n −1 ( x) + J n +1 ( x) = J n ( x) 3 2 3 2 = x J 1 ( x ) − 2 ∫ dx J 2 ( x ) = x J 1 ( x ) − 2 x J 2 ( x ) + C x
贝塞尔函数
贝塞尔函数贝塞尔函数是贝塞尔方程的解，它们和其他函数组合成柱调和函数。
贝塞尔函数和初等函数是在物理和工程中最常用的函数。
贝塞尔函数是以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名的，他在1824年第一次描述过它们。
贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。
一般贝塞尔函数是一些常微分方程（一般称为'''贝塞尔方程'''）的标准解函数。
贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。
针对各种具体情况，人们提出了这些解的不同形式。
下面分别介绍不同类型的贝塞尔函数。
这类方程的解无法用初等函数系统地表示。
但是可以运用自动控制理论中的相平面法对其进行定性分析。
这里被称为其对应贝塞尔函数的阶数。
实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数。
这样做能带来好处，比如消除了函数在=0点的不光滑性。
几个正整数阶的贝塞尔函数早在18世纪中叶被瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出，当时引起了数学界的轰动。
雅各布·伯努利，莱昂哈德·欧拉|欧拉、约瑟夫·路易斯·拉格朗日|拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。
1817年，德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔在研究约翰内斯·开普勒提出的三体万有引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。
贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位。
因为贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的。
最典型的问题有：在圆柱形波导中的电磁波传播问题；圆柱体中的热传导定律|热传导问题；以及圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题。
§4.2 虚宗量Bessel函数
§ 4.2 虚宗量Bessel 函数()()()()0'''222=−++ρμρρρρρR m R R当0>μ时，令()()ρρμR x y x ==,0)()()(')(''222=−++x y m x x xy x y x m 阶Bessel 方程 当0<μ时，令()()ρρμR x y x =−=,0)()()(')(''222=+−+x y m x x xy x y x m 阶虚宗量Bessel 方程一、虚宗量Bessel 方程通解1、第一类虚宗量Bessel 函数()()k m k m x k m k x I 2021!1+∞=∑⎟⎠⎞⎜⎝⎛++Γ=当≠m 整数时，通解()()()x I c x I c x y m m −+=21 当=m 整数时，)()(x I x I m m =−，因此另外一个特解需要另外构造。
2、第二类虚宗量Bessel 函数()()()()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+=+=−−→−→−→−→νπνπνπνπνπνπνπνπνπνννπνννννννννννννsin lim sin cos sin lim sin cos sin lim sin cos lim 1x J x J e i x J x J x iJ i x iJ x iJ x J x J x J i x J x iN x J H i m m m m m m m()()x J i x I x J i x I v v v v v v −−−==)(),(Q()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡−==⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=∴−−→−−−→−−−→−−−−→−−−→νπνπνπππππνπνπνπννπννπννπνπνπννπνsin )()(lim sin )()(lim sin )(2sin 2cos )(2sin 2cos lim sin )()(lim sin )()(lim 2222221x I x I e i x I i i x I i i e i x I i i x I i i e i x I i e x I i e e i x I i x I i e i H v v i m v v v v v v i m v v v v v v i m v v i v v i i m v v v v i m m 为了令此特解为实函数，乘以常数22ππim e i ，得到另一个实特解，称为第二类虚宗量Bessel函数 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−→νππνsin )()(lim 2x I x I x K v v m m 所以，当=m 整数时，虚宗量Bessel 函数通解：()()()x K c x I c x y m m 21+=二、第一类、第二类虚宗量Bessel 函数性质当0→x 时，()()()∞====0),,3,2,1(00,100m m K m I I L 当∞→x 时，()()0,→∞→x K x I m mBessel 方程通解()()()x K c x I c x y m m 21+=1、 当在圆柱内部求解定解问题时，存在自然边界条件()=→x y x 0lim 有限 所以 02=c ，通解退化为()()x I c x y m 1=2、 当在圆柱外部求解定解问题时，存在自然边界条件()=∞→x y x lim 有限 所以 01=c ，通解退化为()()x K c x y m 2=。
bessely函数
bessely函数贝塞尔函数（Bessel function）是数学中的一类特殊函数，由德国数学家弗里德里希·贝塞尔（Friedrich Bessel）在19世纪初引入和研究的。
贝塞尔函数在物理学、工程学和数学中有广泛的应用。
贝塞尔函数可以分为第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数两类。
第一类贝塞尔函数一般记作Jn(z)，其中n为阶数，z为自变量。
第二类贝塞尔函数一般记作Yn(z)。
贝塞尔函数满足贝塞尔方程，即二阶常微分方程：z^2 * d^2y/dz^2 + z * dy/dz + (z^2 - n^2) * y = 0贝塞尔函数的性质和特点使其在科学和工程领域中拥有广泛的应用，特别是在波动理论、电磁学、热力学和量子力学中。
以下是贝塞尔函数的一些重要应用：1.振动问题：贝塞尔函数可以描述弦、鼓膜、声音等的振动情况。
通过解贝塞尔方程，可以得到这些系统的振动模式和频率。
2.圆柱波：贝塞尔函数是描述无限长圆柱体中的波动现象的基本工具。
例如，电磁波在圆柱体中的传播可以用贝塞尔函数来描述。
3.散射和辐射问题：贝塞尔函数的特殊性质使其在散射和辐射问题中有重要应用。
例如，电磁波在球体上的散射和辐射问题可以通过贝塞尔函数来求解。
4.热传导问题：贝塞尔函数可以描述热传导问题中的温度分布。
例如，考虑一个半径为R的无限长圆柱体，在柱体表面施加边界条件后，可以通过贝塞尔函数来求解圆柱体内部的温度分布。
5.量子力学：贝塞尔函数在量子力学中有重要的应用，特别是在氢原子问题中。
贝塞尔函数可以用来描述氢原子中电子的径向波函数。
除了上述的应用，贝塞尔函数还在其他领域中发挥着重要的作用，如电磁场分析、激光传输、声学等。
贝塞尔函数的定义和性质可以通过级数展开、递归关系或微分方程等多种方法来推导和求解。
总结起来，贝塞尔函数是一类特殊函数，具有广泛的应用领域。
它可以用来描述振动问题、圆柱波、散射和辐射问题、热传导问题以及量子力学中的一些问题。
第十六章 贝塞尔函数
（2） 当 不是整数时 ，得到一个特解为
x y1 (1) 2 m 2 k ! ( k 1) k 0
k
2 k
称之为 n 阶第一类贝塞尔函数，记作
1 x 2k J ( x ) ( 1) ( ) k ! ( k 1) 2 k 0
k
（3）当 v =正整数n或零时，有 (n m 1) (n m )!
2n (1) J n1 ( x ) J n ( x ) J n 1 ( x ) ; x 1 ' ( 2) J n ( x ) [ J n1 ( x ) J n1 ( x )] ; 2 ( 3) ( 4) x J n ( x ) nJ n ( x ) xJn1 ( x ) ; x J n ( x ) xJn1 ( x ) nJ n ( x ) ;
(16.11)
(16.13)
令x kr , y( x ) R( r )，则式（16.11）变为 d y dy 2 2 x x ( x ) y 0 2 dx dx
2 2
式（16.13）称为v阶Bessel微分方程
二、Bessel方程的解-Bessel函数
d y dy 2 2 x x ( x ) y 0 2 dx dx
(k 1)! (k 1)k!
(3 1)! 4! (3 1)3!
2( k 1) x 2 k 1 ( 1) 2 k 2 2 ( k 1)!( k 1)!
k 2 k 1 2 ( k 1 ) x ( 1)k 2 k 2 2 k! ( k 1)(k 1)!
k
n=1 ；m=0→∞ ：
x x3 x5 x7 x 2 k 1 k J1 ( x ) 3 5 7 (1) 2k 1 2 2 2! 2 2! 3! 2 3! 4! 2 k!( k 1)!
第7章贝塞尔(Bessel)函数
⎡∞ ⎢ ⎢⎣ l =0
(−1)l ⎛ (n + l)!l ! ⎜⎝
x 2
⎞n+2l ⎟⎠
⎤ ⎥t n ⎥⎦
=
∞ n=−∞
J n (x)t n
母函数.
x (t−1)
e2 t
2. 贝塞尔函数的积分表达式
∫ 由洛朗系数公式
ak
=
1
2π i
f (x,t) L t k +1 dt
得积分表达式
x (t−1)
∫ J n ( x )
12
( i i ) 当ν = n (整数)时, J−n (x) = (−1)n Jn (x)P6线9 已性证相明关.不构
成通解. ∞ ∑ 故另一特解应为 y2 (x) = aJn (x) ln X + X −ν Dk X k k =0
但是用上式计算 a 和Dk 通常不易.
因此引入一个与 Jn 线性无关的特解.即诺伊曼函数(Neumann）
k =0
k =2
∞
∑ (1+ 2ν )C1x1+ν + [k(k + 2ν )Ck + Ck−2 ]xk+ν = 0
k =2
由x 的同次幂系数之和为零，得
⎧(1 + ⎨⎩k (k
2ν )C1 = + 2ν )Ck
0, +
(ν
Ck −2
> 0) =0
⎧⎪C1 ⎨⎪⎩Ck
= =
0 k
−Ck −2
(2ν + k
3
求正则解的步骤：
为方便起见，设正则奇点 z0 = 0 （对于一般的 z0点，只需把 z → z − z0 ）
Bessel方程及Bessel函数
1.1 第一类Bessel函数的定义式
Bessel函数的定义式为 （8）
当不为整数时，例如，，非整数阶Bessel函数为 （9）
注：求的方法 方法1）先求的数值解，再用（9）式求。 方法2）非整数阶Bessel函数也可以通过后文的递推关系得
出。 当为正整数或零时，，整数阶Bessel函数的表达式为 （10）
上面（14）、（15）的第二种写法在Penny-shaped crack问题中有重要
应用。其推导为：
两边同除以得：；
同理：
两边同除以得：
-------------------------------------------------------------------------------------------（16）
其中，， 。 （10） （11）
此二式还可以表示为如下更一般的形式： ；
（12）
（13） （14）
此二式还可以表示为如下更一般的形式： ；
(15)
(16) (17)
此二式还可以表示为如下更一般的形式： (18) (19)
(20)
4.2 第一类Bessel函数的正交性
求如下问题的固有值及固有函数 （a）式的通解为
由自然边界条件，得 ，所以
将上式代入(b)式，可得 所以，固有值为： （） 与固有值相对应的固有函数为
（42）
（）
（43）
上述固有函数系 （） 具有如下的正交性
（44）
5．将函数展开为Fourier-Bessel级数（或称为“广
（37） （38） （为非负整数） （为非负整数，） 递推公式： （与、不一样！） （与、不一样！） 还可得： （与、一样！） （与、一样！） （与、不一样！） （与、一样！） （与、不一样！）
Bessel函数介绍
贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在 18 世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬 链振动时提出了，当时引起了数学界的兴趣。丹尼尔的叔叔雅各布·伯努利，欧拉、拉格朗 日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817 年，德国数学家贝塞尔在研究开 普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架， 后人以他的名字来命名了这种函数 [1] [2]。
和超几何级数的关系
贝塞尔函数可以用超几何级数表示成下面的形式：
第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）
图 3 0 阶、1 阶和 2 阶第二类贝塞尔函数（贝塞尔 Y 函数）曲线图 （在下文中，第二类贝塞尔函数有时会简称为“Y 函数”，敬请读者留意。）
第二类贝塞尔函数也许比第一类更为常用。 这种函数通常用 Yα(x)表示，它们是贝塞尔方 程的另一类解。x = 0 点是第二类贝塞尔函数的（无穷）奇点。 Yα(x)又被称为诺依曼函数（Neumann function），有时也记作 Nα(x)。它和 Jα(x)存在如下 关系：
第一类α阶贝塞尔函数 Jα(x)是贝塞尔方程当α为整数或α非负时的解，须满足在 x = 0 时 有限。这样选取和处理 Jα的原因见本主题下面的性质介绍；另一种定义方法是通过它在 x = 0 点的泰勒级数展开（或者更一般地通过幂级数展开，这适用于α为非整数）：
上式中Γ(z)为Γ函数（它可视为阶乘函数向非整型自变量的推广）。第一类贝塞尔函数的
以上形式保证了当宗量 x 为实数时，函数值亦为实数。这两个函数构成了下列修正贝塞尔 方程（与一般贝塞尔方程的差别仅在两个正负号）的一个相互线性无关的解系：
修正贝塞尔函数与一般贝塞尔函数的差别在于：一般贝塞尔函数随实宗量是振荡型的，而修 正贝塞尔函数 Iα 和 Kα则分别是指数增长和指数衰减型的。和第一类贝塞尔函数 Jα一样， 函数 Iα当α > 0 时在 x=0 点等于 0，当α=0 时在 x=0 点趋于有限值。类似地，Kα在 x=0 点 发散（趋于无穷）。
besselk函数
besselk函数
Bessel函数是一类特殊函数，主要用于求解线性常微分方程组，作用类似于正弦函数和余弦函数。
它在数值分析和应用数学中有广泛的应用，特别是在复杂函数插值、拟合和函数逼近中都有着重要的作用。
Bessel函数的主要性质：
（1）Bessel函数具有正则性：即Bessel函数有几阶就是正则的函数。
（2）Bessel函数具有零点：每一阶Bessel函数都有n个零点。
（3）Bessel函数具有周期性：即Bessel函数有几阶就具有几个周期。
（4）Bessel函数具有对称性：Bessel函数的零点都是对称的。
（5）Bessel函数具有函数比性：即Bessel函数有几阶就具有几个函数值比性。
（6）Bessel函数具有单调性：Bessel函数在单调增区间内是单调递增的，在单调减区间内是单调递减的。
（7）Bessel函数具有振幅缩小性：Bessel函数总是随着自变量的增加而减小，在一定范围内振幅随着自变量的增加而缩小。
（8）Bessel函数具有函数加性性：即Bessel函数的和等于左右函数的和。
- 1 -。
bessel函数
bessel函数贝塞尔函数（Bessel Function）是一个在数学中具有广泛应用的特殊函数。
它得名于德国数学家弗里德里希·贝塞尔（Friedrich Bessel），他在19世纪早期首次引入了这个函数。
贝塞尔函数可以分为第一类贝塞尔函数（Bessel Function of the First Kind）和第二类贝塞尔函数（Bessel Function of the Second Kind），分别用J(x)和Y(x)表示。
这两个函数都是解贝塞尔微分方程而得到的，其方程形式为：x^2*y''(x)+x*y'(x)+(x^2-n^2)*y(x)=0其中，y(x)是贝塞尔函数，y'(x)和y''(x)分别表示y(x)的一阶和二阶导数，n是贝塞尔函数的阶数。
第一类贝塞尔函数J(x)在数学和物理学中应用非常广泛。
它在波动现象、电磁场理论、量子力学、光学等领域都有重要的作用。
贝塞尔函数具有周期性，其性质和三角函数类似。
当x趋近于无穷大时，贝塞尔函数的振幅会逐渐减小，并呈现振幅快速振荡的特点。
这种振荡现象在光学中有重要应用，例如描述光的衍射和干涉。
第二类贝塞尔函数Y(x)在数学和物理学中的应用较少，主要用于表示贝塞尔函数的通解形式。
贝塞尔函数的解可以表示为线性组合的形式，其中包括第一类和第二类贝塞尔函数。
第二类贝塞尔函数在x趋近于零的时候有发散的性质，因此在物理问题中较少使用。
除了第一类和第二类贝塞尔函数外，还存在修正贝塞尔函数（Modified Bessel Function），通常用I(x)和K(x)表示。
修正贝塞尔函数在数学分析中也有广泛的应用，特别是在处理边界值问题和椭圆型方程时会经常出现。
贝塞尔函数的计算通常使用数值方法进行，尤其是在高阶贝塞尔函数的计算中。
常用的数值计算方法包括泰勒展开法、渐进展开法、递推关系等。
此外，贝塞尔函数还有一系列的性质和恒等式，如递推关系、积分关系、级数展开等，这些性质可以用于简化贝塞尔函数的计算和分析。
Bessel函数
J0(x)、J1(x)和J2(x)的图形分布示意图
J0(x) J1(x) J2(x)
图4 Bessel函数的图形
2°Bessel函数的性质 ° 函数的性质 Bessel函数有很多性质，例如： 1)
ω
∫
0
ω ' J 0 (ω ' )dω ' = ωJ1 (ω )
1 2) 2π
∫
2π
0
exp( jω cos θ )dθ = J 0 (ω )
k
当n为偶数时，有Jn(-x)= Jn(x)，Jn(x)为偶数； 当n为奇数时，有Jn(-x)=-Jn(x)，Jn(x)为奇函数； 所以只要知道了x>0时的曲线形状，便可知道当x<0 时的曲线形状。 常用的Bessel函数有J0(x)、J1(x)和J2(x)。各种数 学手册中均列有Bessel函数表，可以查到J0(x)、 J1(x)和J2(x)以及 J 1 ( x ) 与x的数值关系。
(n，k为整数)
Γ函数的定义为：
Γ( p ) = ∫ exp( − x) x p −1dx
0
∞
Γ函数具有以下性质：
Γ(1) = 1
pΓ( p) Γ( p ) = ( p − 1)!
p为有限实数 p为正整数
可见，p为正整数时，Γ(p)又称为阶乘函数。
x 0 Γ ( k + 1)Γ ( n + k + 1)
Bessel函数 函数
• 1° n阶第一类 阶第一类Bessel函数的定义 ° 阶第一类 函数的定义 • 2°Bessel函数的性质 ° 函数的性质
1° n阶第一类Bessel函数是Bessel方程的一个特 °
解，记作Jn(x)，其定义形式为：
贝塞尔函数综述
第一部分 Bessel 函数(阶数或自变量趋于0或无穷时，各种Bessel 函数的极限值，可以利用Mathematica 试算推得。
)一、Bessel 方程及其通解0)(22222=-++y n x dx dy x dxy d x （1） 上式称为以x 为宗量的n 阶Bessel 方程。
●当n 为整数时，（1）式的通解为)()(x BY x AJ y n n += （2）其中，A 、B 为任意实数；)(x J n 为n 阶第一类Bessel 函数；)(x Y n 为n 阶第二类Bessel 函数（或称为“诺依曼(Neumann)函数”）。
●当n 不为整数时，例如，v n =，（1）式的通解可表示为如下两种形式)()(x BJ x AJ y v v -+= （3） )()(x BY x AJ y v v += （4）其中，A 、B 为任意实数；)(x J v 和)(x J v -分别称为v 阶和v -阶第一类Bessel 函数； )(x Y v 称为v 阶第二类Bessel 函数。
另外，Bessel 方程的通解还可以表示为)()()2()1(x BH x AH y v v +=其中，)()()()1(x iY x J x H v v v +=，)()()()2(x iY x J x H v v v -=分别称为称为第一类和第二类汉克尔（Hankel ）函数，或统称为第三类Bessel 函数。
●值得注意的是， ∞=-→)(lim 0x J v x ，∞=→)(lim 0x Y v x ，∞=→)(lim 0x Y n x ，当所研究的问题的区域包含0=x 时，由于要求Bessel 方程的解在0=x 处取有限值，所以，此时对（2）、（3）、（4）式而言，必有0=B 。
此条件称为“Bessel 方程的自然边界条件”。
例1：022=+'+''y x y x y x λ （10<≤x ）此式为以x λ为宗量的0阶Bessel 方程，其通解为)()(00x BY x AJ y λλ+=另外，由于所求解问题的区域10<≤x 包含0=x ，根据Bessel 方程的自然边界条件，必然有0=B ，通解最后简化为)(0x AJ y λ=例2：0)413(22=-+'+''y x y x y x 为以x 3为宗量的21阶Bessel 方程，其通解为)3()3(2121x BJ x AJ y -+= 或 )3()3(2121x BY x AJ y +=例3：0)(1222=-+'+''y xm k y x y上式两边同乘以2x ，可将其化为如下的以kx 为宗量的m 阶Bessel 方程0)(2222=-+'+''y m k x y x y x （0≠x ） 例4：012=+'+''y k y xy 上式两边同乘以2x ，可将其化为如下的以kx 为宗量的0阶Bessel 方程0222=+'+''y k x y x y x （0≠x ）即：0)0(2222=-+'+''y k x y x y x （0≠x ）例5：0)]1([222222=+-++R l l r k rd Rd r r d R d r 令r k x =，xx y r R 2)()(π=，则可以将上式化为如下的21+l 阶Bessel 方程0])21([22222=+-++y l x xd yd x x d y d x 二、虚宗量Bessel 方程及其通解0)(22222=+-+y n x dx dy x dxy d x （5） 上式称为“n 阶虚宗量的Bessel 方程”或“n 阶修正的Bessel 方程”，其通解为)()(x BK x AI y n n += （6）其中，A 、B 为任意实数；)(x I n 为“n 阶第一类修正的Bessel 函数”，或称为“n 阶第一类虚宗量Bessel 函数”； )(x K n 为“n 阶第二类修正的Bessel 函数”，或称为“n 阶第二类虚宗量Bessel 函数”。
bessel方程
Bessel方程简介Bessel方程是数学中的一类特殊微分方程，以德国数学家弗里德里希·贝塞尔（Friedrich Bessel）的名字命名。
Bessel方程在物理、工程和应用数学中经常出现，特别是在圆柱坐标系下的问题中。
定义Bessel方程是形如x2y″+xy′+(x2−n2)y=0的二阶线性常微分方程，其中n为常数。
这个方程有两个线性无关的解，称为第一类Bessel函数J n(x)和第二类Bessel函数Y n(x)。
第一类Bessel函数第一类Bessel函数J n(x)可以通过级数展开或递归关系求解。
级数展开形式为：J n(x)=∑(−1)m m!(m+n)!∞m=0(x2)2m+n递归关系则定义了J n(x)的计算方式：J n(x)=1π[(x/2)nn!]1/2[W−n−1(x)+W n+1(x)]其中，W n(x)为贝塞尔函数。
第一类Bessel函数在物理学中有广泛的应用，例如在圆柱坐标系下的电磁场分析和振动问题中。
第二类Bessel函数第二类Bessel函数Y n(x)也可以通过级数展开或递归关系求解。
级数展开形式为：Y n(x)=J n(x)cos(nπ)−J−n(x)sin(nπ)递归关系则定义了Y n(x)的计算方式：Y n(x)=1π[(x/2)nn!]1/2[W−n−1(x)−W n+1(x)]第二类Bessel函数在物理学中也有重要的应用，特别是在圆柱坐标系下的电磁场边界条件和波动问题中。
性质和特点Bessel方程和Bessel函数具有许多重要的性质和特点。
渐近行为当x趋向于无穷大时，第一类Bessel函数J n(x)渐近于√2πx cos(x−nπ2−π4)，而第二类Bessel函数Y n(x)渐近于√2πx sin(x−nπ2−π4)。
零点Bessel函数的零点是它们的重要特征。
第一类Bessel函数J n(x)在正实轴上有无穷多个零点，而第二类Bessel函数Y n(x)在正实轴上没有零点。
bessel函数的数值计算方法
bessel函数的数值计算方法《Bessel函数的数值计算方法》一、Bessel函数简介Bessel函数，又称波索函数，是一类非平凡的复变函数，由德国数学家FriedrichBesel(1784-1846)于1817年提出。
它是圆坐标系下的一类无穷级数奇函数，是很多有关理论的的研究的基础，在理论物理学以及工程技术中都具有极为廣泛的应用。
Bessel函数的概念也可以用于解决类似拟辛普森中距离等特征，在椭圆坐标系和球坐标系中具有实际应用价值。
在物理学和数学上，Bessel函数也可以用于分析离散时间序列，例如金融市场分析。
二、Bessel函数的数值计算方法Bessel函数的数值计算有很多种方法，最简单的通过它的级数表示形式计算，例如Jn(x)可以表示为：Jn（x）=∑ (2n+1)!/[(n!) 2^(2n+1) x^n]同时，Bessel函数的数值计算还可以采用递推关系计算，例如Jn+1与Jn的递推关系：Jn+1(x) = Jn(x)(2n/x)-Jn-1(x)此外，Bessel函数可以采用切比雪夫多项式逼近法计算：Jn(x)≈∑A (2n-k)!/[(n-k)! 2^(2n-k) x^(n-k)]k=0,1,...,n在A有已知的值的情况下，可以采用以上的数值计算方法，在计算机科学和电子技术中，我们一般采用计算机软件来快速计算，采用数值积分的方法，具体的可以借助以下几种程序：MATLAB、MATEMATICA、MAPLE等软件。
三、Bessel函数的应用Bessel函数不仅仅有数学意义，它在实际应用中也十分重要，例如镜片折射，它可以用来求解折射方程，解决折射中空圆盘边界，例如折射台球中。
它还可以应用到角度投射视网膜上，用于精确投射光路，精确定位像素位置，从而形成精确的图像。
此外，Bessel函数也可以应用于放射和电磁场的分析，用来求解圆柱坐标放射介质和电荷分布的基础问题，以及球面放射和场的模拟，从而准确计算放射物体的空间分布。
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贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。
一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数y(x)：这类方程的解是无法用初等函数系统地表示的。
贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数α变化而变化（相应地，α被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。
实际应用中最常见的情形为α是整数n，对应解称为n阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中，α本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对α和−α定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在α=0 点的不光滑性）。
历史贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出了，当时引起了数学界的兴趣。
丹尼尔的叔叔雅各布·伯努利，欧拉、拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。
1817年，德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数[1][2]。
现实背景和应用范围贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的（在圆柱域问题中得到的是整阶形式α = n；在球形域问题中得到的是半奇数阶形式α = n+½），因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，最典型的问题有：●在圆柱形波导中的电磁波传播问题；●圆柱体中的热传导问题；●圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题；在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。
譬如在信号处理中的调频合成（FM synthesis）或凯泽窗（Kaiser window）的定义中，都要用到贝塞尔函数。
定义贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。
针对各种具体情况，人们提出了表示这些解的不同形式。
下面分别介绍这些不同类型的贝塞尔函数。
第一类贝塞尔函数图2 0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数（贝塞尔J函数）曲线（在下文中，第一类贝塞尔函数有时会简称为“J函数”，敬请读者留意。
）第一类α阶贝塞尔函数Jα(x)是贝塞尔方程当α为整数或α非负时的解，须满足在x= 0 时有限。
这样选取和处理Jα的原因见本主题下面的性质介绍；另一种定义方法是通过它在x= 0 点的泰勒级数展开（或者更一般地通过幂级数展开，这适用于α为非整数）：上式中Γ(z)为Γ函数（它可视为阶乘函数向非整型自变量的推广）。
第一类贝塞尔函数的形状大致与按速率衰减的正弦或余弦函数类似（参见本页下面对它们渐进形式的介绍），但它们的零点并不是周期性的，另外随着x的增加，零点的间隔会越来越接近周期性。
图2所示为0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数Jα(x)的曲线（α = 0,1,2）。
如果α不为整数，则Jα(x)和J−α(x)线性无关，可以构成微分方程的一个解系。
反之若α是整数，那么上面两个函数之间满足如下关系：于是两函数之间已不满足线性无关条件。
为寻找在此情况下微分方程与Jα(x)线性无关的另一解，需要定义第二类贝塞尔函数，定义过程将在后面的小节中给出。
贝塞尔积分α为整数时贝塞尔函数的另一种定义方法由下面的积分给出：（α为任意实数时的表达式见参考文献[2]第360页）这个积分式就是贝塞尔当年提出的定义，而且他还从该定义中推出了函数的一些性质。
另一种积分表达式为：和超几何级数的关系贝塞尔函数可以用超几何级数表示成下面的形式：第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）图3 0阶、1阶和2阶第二类贝塞尔函数（贝塞尔Y函数）曲线图（在下文中，第二类贝塞尔函数有时会简称为“Y函数”，敬请读者留意。
）第二类贝塞尔函数也许比第一类更为常用。
这种函数通常用Yα(x)表示，它们是贝塞尔方程的另一类解。
x = 0 点是第二类贝塞尔函数的（无穷）奇点。
Yα(x)又被称为诺依曼函数（Neumann function），有时也记作Nα(x)。
它和Jα(x)存在如下关系：若α为整数（此时上式是0/0型未定式）则取右端的极限值。
从前面对Jα(x)的定义可以知道，若α不为整数时，定义Yα是多余的（因为贝塞尔方程的两个线性无关解都已经用J函数表示出来了）。
另一方面，若α为整数，Yα便可以和Jα构成贝塞尔方程的一个解系。
与J函数类似，Y函数正负整数阶之间也存在如下关系：Jα(x)和Yα(x)均为沿负实半轴割开的复平面内关于x的全纯函数。
当α为整数时，复平面内不存在贝塞尔函数的支点，所以J和Y均为x的整函数。
若将x固定，则贝塞尔函数是α的整函数。
图3所示为0阶、1阶和2阶第二类贝塞尔函数Yα(x)的曲线（α = 0,1,2）：汉开尔函数贝塞尔方程的另外一对重要的线性无关解称为汉开尔函数（Hankel functions）Hα(1)(x)和Hα(2)(x)，分别定义为：其中i为虚数单位。
以上的线性组合也成为第三类贝塞尔函数；它们描述了二维波动方程的内行柱面波解和外行柱面波解（"行"与在"行动"中同音）。
利用前面推出的关系可将汉开尔函数表示成：若α为整数，则须对等号右边取极限值。
另外，无论α是不是整数，下面的关系都成立：虚宗量的贝塞尔函数（修正贝塞尔函数）贝塞尔函数当宗量x为复数时同样成立，并且当x为纯虚数时能得到一类重要情形——它们被称为第一类和第二类虚宗量的贝塞尔函数，或修正贝塞尔函数（有时还称为双曲型贝塞尔函数），定义为：以上形式保证了当宗量x为实数时，函数值亦为实数。
这两个函数构成了下列修正贝塞尔方程（与一般贝塞尔方程的差别仅在两个正负号）的一个相互线性无关的解系：修正贝塞尔函数与一般贝塞尔函数的差别在于：一般贝塞尔函数随实宗量是振荡型的，而修正贝塞尔函数Iα和Kα则分别是指数增长和指数衰减型的。
和第一类贝塞尔函数Jα一样，函数Iα当α > 0 时在x=0 点等于0，当α=0时在x=0 点趋于有限值。
类似地，Kα在x=0 点发散（趋于无穷）。
图4-1第一类修正贝塞尔函数Iα(x)对实自变量的曲线（α = 0,1,2）图4-2第二类修正贝塞尔函数Kα(x)对实自变量的曲线（α = 0,1,2）复数宗量的贝塞尔函数之零值：Jα(x) = 0的解在α≥-1的情况下都是实数；阶数-2>α>-1的情况下，除了实数之外还有且仅有一对共轭的纯虚数解（G.N Watson 参考文献[5]）。
球贝塞尔函数图5-1第一类球贝塞尔函数j n(x)曲线（n = 0,1,2）图5-2第二类球贝塞尔函数y n(x)曲线（n = 0,1,2）若使用分离变量法求解球坐标下的三维拉普拉斯方程，则可得到如下形式关于径向（r方向）分量的常微分方程：关于上述方程的一对线性无关解称为球贝塞尔函数，分别用j n和y n表示（有时也记为n n）。
这两个函数与一般贝塞尔函数J n和Y n存在关系：球贝塞尔函数也可写成：0阶第一类球贝塞尔函数j0(x)又称为sinc函数。
头几阶整阶球贝塞尔函数的表达式分别为：第一类：}-第二类：}-}-还可以依照前面构造汉开尔函数相同的步骤构造所谓球汉开尔函数：事实上，所有半奇数阶贝塞尔函数都可以写成由三角函数组成的封闭形式的表达式，球贝塞尔函数也同样可以。
特别地，对所有非负整数n，存在：而对实自变量x，h n(2)是上面h n(1)的复共轭（!! 表示双阶乘）。
由此我们可以通过得到h，再分离实部虚部，求出相应阶j和h的表达式，譬如j0(x) = sin(x)/x，y0(x) = -cos(x)/x，等等。
黎卡提-贝塞尔函数黎卡提-贝塞尔函数（Riccati-Bessel functions）和球贝塞尔函数比较类似：该函数满足方程：这个方程以及相应的黎卡提-贝塞尔解是德国物理学家古斯塔夫·米（Gustav Mie）于1908年研究电磁波在球状颗粒表面散射问题时提出的，后人将这种散射称为米氏散射（Mie scattering）。
这个问题近几年的进展可参见文献 Du (2004)。
后人有时会遵从德拜（Debye）在1909年的论文中的记法，用ψn,χn代替前面的S n,C n。
渐近形式贝塞尔函数在α非负时具有下面的渐近形式。
当自变量x为小量，即时，有：式中γ为欧拉-马歇罗尼常数（也叫欧拉常数，等于 0.5772156649...），Γ为Γ函数。
对于很大的x，即时，渐近形式为：（α=1/2 时渐近号两边严格相等；参见前面对球贝塞尔函数的介绍）。
其他形式贝塞尔函数的渐近形式可以从上面的式子直接推得。
譬如，对大自变量，修正贝塞尔函数的渐近形式为：对小自变量：性质整阶（α = n）第一类贝塞尔函数J n常通过对其母函数（generating function）的罗宏级数（Laurent series）展开来定义：上式得左边即为整阶第一类贝塞尔函数的母函数，这是丹麦天文学家汉森于1843年提出的。
（这种定义也可以通过路径积分或其他方法推广到非整数阶）。
整阶函数的另一个重要性质是下列雅可比-安格尔恒等式（Jacobi-Anger identity）：利用这一等式可以将平面波展开成一系列柱面波的叠加，或者将调频信号分解成傅里叶级数的叠加。
函数Jα、Yα、Hα(1)和Hα(2)均满足递推关系：其中Z代表J, Y, H(1)或H(2)。
（常将这两个恒等式联立推出其他关系）。
从这组递推关系可以通过低阶贝塞尔函数（或它们的低阶导数）计算高阶贝塞尔函数（或它们的高阶导数）。
特别地，有：由于贝塞尔方程对应的作用算符除以x后便是一个（自伴随的）厄米算符（Hermitian），所以它的解在适当的边界条件下须满足正交性关系。
特别地，可推得：其中α > -1，δm,n为克罗内克尔δ，uα,m表示Jα(x)的第m级零点。
这个正交性关系可用于计算傅里叶-贝塞尔级数中各项的系数，以利用该级数将任意函数写成α固定、m变化的函数Jα(x uα,m)的无穷叠加形式。
（可以立即得到球贝塞尔函数相应的关系）。
另一个正交性关系是下列在α > -1/2时成立的“封闭方程”（closure equation）：其中δ为狄拉克δ函数。
球贝塞尔函数的正交性条件为（当α > 0）：贝塞尔方程的另一个重要性质与其朗斯基行列式（Wronskian）相关，由阿贝尔恒等式（Abel's identity）得到：其中Aα和Bα是贝塞尔方程的任意两个解，Cα是与x无关的常数（由α和贝塞尔函数的种类决定）。
譬如，若Aα = Jα、Bα = Yα，则Cα is 2/π。
该性质在修正贝塞尔函数中同样适用，譬如，若Aα = Iα、Bα = Kα，则Cα为-1。
参考文献[1] 严镇军编，《数学物理方程》，第二版，中国科学技术大学出版社，合肥，2002，第82页~第123页，ISBN 7-312-00799-6/O·177[2] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (Dover: New York, 1972) （英文）Chapter 9整阶贝塞尔函数■Section 9.1 J, Y （韦伯） and H （汉开尔）■Section 9.6修正贝塞尔函数（I和K）■Section 9.9开尔文函数■Chapter 10分数阶贝塞尔函数■Section 10.1球贝塞尔函数（j、y和h）■Section 10.2修正球贝塞尔函数（I和K）■Section 10.3黎卡提-贝塞尔函数■Section 10.4艾里函数（Airy functions）[3] George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists(Harcourt: San Diego, 2001).[4] Frank Bowman, Introduction to Bessel Functions (Dover: New York, 1958) ISBN 0486604624.[5] G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Second Edition, (1966) Cambridge University Press.[6] G. Mie, "Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen", Ann. Phys. Leipzig25(1908), p.377.[7] Hong Du, "Mie-scattering calculation," Applied Optics43(9), 1951-1956 (2004).。