高考数学(理)自由复习步步高系列09.docx

高中数学学习材料唐玲出品1.德摩根公式:();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.2.包含关系：A B ⊆⇔A B A A B B =⇔=U U C B C A ⇔⊆U A C B ⇔=∅U C A B R ⇔=.3.与空集有关的结论：①任何一个集合A 是它本身的子集. ②空集是任何非空集合的真子集. ③0{|0}0a A x ax b b =⎧=+==∅⇒⎨≠⎩. ④2{|0(0)}0A x ax bx c a =++=≠=∅⇒∆<. ⑤{|}A x m x n m n =<<=∅⇒≥.⑥0{|0}0a A x ax b b =⎧=+>=∅⇒⎨≤⎩. ⑦20{|0(0)}0a A x ax bx c a <⎧=++>≠=∅⇒⎨∆<⎩.⑧点集与数集的交集是∅.4.判断判断充分条件及必要条件的结论：原命题不易判断，可等价为逆否命题判断；小范围推出大范围；大范围推不出小范围.5.函数的奇偶性质结论：①()f x 为奇函数()()()()0f x f x f x f x ⇔-=-⇔-+=；()f x 为偶函数()()(||)()()0.f x f x f x f x f x ⇔=-=⇔--= ②若()f x a +为奇函数⇒()f x 的图像关于点)0,(a 中心对称； 若()f x a +为偶函数⇒()f x 的图像关于直线a x =对称；6.函数的周期性结论：①若()y f x =对 x R ∈时 ()()f x a f x a +=-恒成立,则 ()f x 的周 期 为 2||a ； ②若()y f x =是偶函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为2||a ； ③若()y f x =奇函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为4||a ；④若()y f x =关于点(,0)a ,(,0)b 对称,则()f x 的周期为2||a b -；⑤()y f x =的图象关于直线x a =,()x b a b =≠对称,则函数()y f x =的周期为2||a b -； ⑥()y f x =对x R ∈时,()()f x a f x +=-或1()()f x f x a +=±,则()y f x =的周期为2||a ；7. 函数的对称性常用结论：①若函数()y f x =对x R ∈时，()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-恒成立,则()y f x =图像关于直线x a =对称；②若()y f x =对x R ∈时,()()f a x f b x +=-恒成立,则()y f x =图像关于直线2a b x +=对称；③函数()y f x =与()y f x =--的图像关于原点成中心对称；函数()y f x =,()y n f m x =--的图像关于点22(,)m n对称；若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称；8.与二次函数相关的图像绝对值变换：①||2x x x 2c bx ax y c bx ax y ++=−−−−−−−−−−−−→−++=轴上方轴为对称轴翻折到轴下方的图像以把;②y 22||||y ax bx c y a x b x c =++−−−−−−−−−−−−−−→=++保留右侧图像，再作右侧图像关于轴为对称的图形;③222||||x c y axbx y ax bx y ax bx c =+−−−−−−−−→=+−−−−−−−→=++把轴下方的图像翻着上去图像向上平移个单位.9.一元二次方程2()f x x px q =++＝0的实根分布:①方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；②方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <;③方程0)(=x f 在区间(,)m -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .10.常用的指对数运算公式及结论： ①11m nm nmnaa a-==（0,,a m n N *>∈，且1n >）.②log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).③对数恒等式：log a NaN =(0a >,且1a ≠, 0N >).推论：log log m na a nb b m=(0a >,且1a ≠, 0N >). 11. 抽象函数与具体函数的对应：抽象函数)(x f 具有的性质特殊函数模型)()()(y f x f y x f +=+正比例函数)0()(≠=k kx x f)()()(y f x f xy f = 二次函数2)(x x f =)()()()()()(y f x f y x f y f x f y x f ÷=-=+指数函数)10()(≠<=a a x f x)()()()()()(y f x f y x f y f x f xy f -=÷+=对数函数)10(log )(≠<=a x x f a)()()()()(y f x g y g x f y x f ±=± 正弦函数x x f sin )(= )()()()()(y g x g y f x f y x f =±余弦函数x x f cos )(=)()(1)()()(y f x f y f x f y x f ±=±正切函数x x f tan )(=12121()[()()]22x x f f x f x +≤+ 凹函数12121()[()()]22x x f f x f x +≥+ 凸函数12. 等差数列的通项公式和前n 项和公式推论：①*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈,()n m a a n m d =+-,m n a a m nd --=；②1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n na =+-=中间项. 13.等比数列的通项公式前n 项和公式推论：①1*11()n n n a a a q q n N q-==⋅∈；②11(1),11,1n n a q q S q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩ 或11,11,1n n a a qq q S na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.14.等差、等比对应重要性质：①如果数列{}n a 是等差数列,则数列{}n a A (n a A 总有意义)是等比数列；如果数列{}n a 是等比数列,则数列{log ||}(0,1)a n a a a >≠是等差数列；②在等差数列中，若m n l k m n l k a a a a +=+⇒+=+(反之不一定成立)；特别地,当2m n p +=时,有2m n p a a a +=；在等比数列中，若m n l k m n l k a a a a +=+⇒=(反之不一定成立); 特别地,当2m n p +=时,有2m n P a a a =；15.常见裂项公式：111(1)1n n nn ++=-；1111()()n n k k nn k++=-；1111(1)(1)2(1)(1)(2)[]n n n n n n n -++++=-.16.二倍角公式及降幂公式 ：sin 2sin cos ααα=22tan 1tan αα=+. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-221tan 1tan αα-=+. 22tan tan 21tan ααα=-.221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+== 2sin 21cos 2tan ,cos 1cos 2sin 2αααααα-==+ 21sin 2222(cos sin )|cos sin |θθθθθ±=±=± 17.三角函数图像的对称中心和对称轴的结论：①正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2x k k Z ππ=+∈.函数sin()y A x ωϕ=+对称轴可由2x k πωϕπ+=+()k Z ∈解出；对称中心的横坐标是方程x k ωϕπ+=()k Z ∈的解，对称中心的纵坐标为0.对称性.18.ABC ∆中得到的结论：①sin sin()A B C =+,cos cos()A B C =-+,tan tan()A B C =-+. ②22sincosA B C +=,22cossinA B C +=,22tancotA B C +=.③sin sin a b A B A B >⇔>⇔>. ④锐角ABC ∆中,2A B π+>,sin cos ,cos cos A B A B ><.⑤tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=. 19.三角形中向量结论： ①AB AC +过BC 边的中点：||||||||()()AB AC AB AC AB AC AB AC +⊥-；②13()0PG PA PB PC GA GB GC G =++⇔++=⇔为ABC ∆的重心；③PA PB PB PC PA PC P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心； ④||||||0BC PA CA PB AB PC P ++=⇔为ABC ∆的内心；||||()(0)AB AC AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆内心.O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+.⑤设1122(,),(,)A x y B x y , 12AOB A B B A S x y x y ∆=-. 222121||||sin ||||()2ABC S AB AC A AB AC AB AC ∆==-⋅.⑥O 为ABC ∆内一点,则0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆++=. 20.不等式恒成立、有解判断结论： 对于参数a 及函数(),y f x x A =∈.若()a f x ≥恒成立，则max ()a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，则min ()a f x ≤； 若()a f x ≥有解，则min ()a f x ≥；若()a f x ≤有解，则max ()a f x ≤； 若()a f x =有解，则min max ()()f x a f x ≤≤. 21. 线性规划解题方法，目标函数常用的转化公式： ①,x zz ax by y b b =+⇒=-+与直线的截距相关联.②()()11;11;;(,)(,)()()b y y b ay b x y b y c b x b a z a ak k a b x y y c x a x c x c x c x c y ck x b---+++---=⇔⨯=⇔+=+⇔=⇒--+--+----；与的斜率③2222()()z x y ax by c z x m x n =++++⇒=-+-表示(,)x y 到(,)m n 两点距离的平方；④2222ax by c z ax by c z a b a b ++=++⇒=⨯++表示(,)x y 到直线0ax by c ++=的距离的22a b +倍.22. 圆的几何性质的结论：（1）过圆心的情况：圆的任意两条弦的垂直平分线的交点为圆心；分别过圆的两条切线的两个切点，并且与切线分别垂直的两条直线的交点为圆心；平分圆的直线过圆心；（2）圆上某点关于直线的对称点仍在圆上，此直线必过圆心；如果圆本身关于某条直线对称,则这条直线必过圆心；（3）半径、半弦长、弦心距构成直角三角形； （4）切线长定理、割线定理、弦切角定理. 23. 圆锥曲线中点弦斜率公式：在椭圆22221x y a b+=中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线斜率2020b x k a y =-；在双曲线22221x y a b-=中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线斜率2020b x k a y =；在抛物线22(0)y px p =>中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0p y k =.24. 解析几何与向量综合的有关结论：⑴给出直线的方向向量(1,)u k =或(,)u m n =.等于已知直线的斜率k 或n m ；⑶给出0=+PN PM ,等于已知P 是MN 的中点;⑷给出()AP AQ BP BQ λ+=+,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; ⑸给出以下情形之一： ①AC AB //； ②存在实数λ,使AB AC λ=； ③若存在实数,αβ, 且1αβ+=；使OC OA OB αβ=+,等于已知C B A ,,三点共线.⑺给出0=⋅MB MA ,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=⋅m MB MA ,等于已知AMB ∠是钝角或反向共线,给出0>=⋅m MB MA ,等于已知AMB ∠是锐角或同向共线.⑻给出||||()MAMBMA MB MP λ+=,等于已知MP 是AMB ∠的平分线.⑼在平行四边形ABCD 中,给出0)()(=-⋅+AD AB AD AB ,等于已知ABCD 是菱形. ⑽在平行四边形ABCD 中,给出||||AB AD AB AD +=-,等于已知ABCD 是矩形. ⑾在ABC ∆中,给出12()AD AB AC =+,等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线. 25.正四面体(设棱长为a )的性质： ①全面积23S a =；②体积3212V a =；③对棱间的距离22d a =；④相邻面所成二面角13arccos α=；⑤外接球半径64R a =；⑥内切球半径612r a =；⑦与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：24r a '=.⑧正四面体内任一点到各面距离之和为定值63h a =.26.直角四面体的性质：(直角四面体—三条侧棱两两垂直的四面体).在直角四面体O ABC -中,,,OA OB OC 两两垂直,令,,OA a OB b OC c ===,则⑴底面三角形ABC 为锐角三角形；⑵直角顶点O 在底面的射影H 为三角形ABC 的垂心；⑶2BOC BHC ABC S S S ∆∆∆=； ⑷2222AOB BOC COA ABC S S S S ∆∆∆∆++=；⑸22221111OHabc=++；⑹外接球半径22212a b c R ++=.27.长方体的性质：②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心。