苏教版必修5高中数学第1章《解三角形》word复习课作业

复习课 解三角形
课时目标 1.掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
一、填空题
1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝______________.
2．三角形两条边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2
－7x －6＝0的根，则
此三角形的面积是________cm 2
.
3．如图所示，C 、D 、B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别是β、α(β<α)．则A 点离地面的高AB 为______(用a 、α、β表示)． 4．在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是______________．
5．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝16，面积为2203，那么BC 的长度为________． 6．一艘船以20 km/h 的速度向正北航行，船在A 处看见灯塔B 在船的东北方向，1 h 后船在C 处看见灯塔B 在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC 等于___km. 7．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是________． 8．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC ＝________.
9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2
＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________.
10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，如果2b ＝a ＋c ，∠B ＝30°，△
ABC 的面积为3
2
，那么b ＝________.
二、解答题
11．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，试确定△
ABC 的形状．
12．在△ABC 中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角． (1)求最大角的余弦值；
(2)求以此最大角为内角，夹此角的两边之和为4的平行四边形的最大面积．
能力提升
13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C ＝－1
4
.
(1)求sin C 的值；
(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．
14．如图所示，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．
1．在解三角形时，常常将正弦定理、余弦定理结合在一起用，要注意恰当的选取定理，简化运算过程．
2．应用正、余弦定理解应用题时，要注意先画出平面几何图形或立体图形，再转化为解三角形问题求解，即先建立数学模型，再求解．
复习课 解三角形
答案
作业设计 1．45°
解析 sin B ＝b·sin A a ＝2
2
，且b<a ，∴B＝45°.
2．6
解析 由5x 2
－7x －6＝0，解得x 1＝－35
，x 2＝2.
∵x 2＝2>1，不合题意．∴设夹角为θ，则cos θ＝－3
5
，
得sin θ＝45，∴S＝12×3×5×45
＝6 (cm 2
)．
3.a sin αsin βsin
α－β
解析 设AB ＝h ，则AD ＝h
sin α
，
在△ACD 中，∵∠CAD＝α－β，
∴CD sin α－β＝AD
sin β
. ∴a sin α－β＝h sin αsin β，∴h＝a sin αsin β
sin α－β
.
4．2<x<2 2
解析 因为三角形有两解，所以a sin B<b<a
，即2
2
x<2<x ，∴2<x<2 2. 5．49
解析 S △ABC ＝12AC·AB·sin 60°＝12×16×AB×3
2
＝2203，∴AB＝55.
∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC cos 60°＝552＋162
－2×16×55×12
＝2 401.
∴BC＝49. 6．20 2
解析 如图所示，BC sin 45°＝AC
sin 30°
∴BC＝
AC sin 30°×sin 45°＝2012
×2
2
＝20 2 (km )．
7.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞ 解析 由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m(k ＋1)，c ＝2mk(m>0)，
∵⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋b>c a ＋c>b
即⎩
⎪⎨
⎪
⎧
＋＋
，∴k>1
2
.
8.106
解析 设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a
2
.
在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2
－2BM·AM cos ∠AMB，
即72
＝14a 2＋42－2×a 2
×4·cos ∠AMB.①
在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2
－2AM·CM·cos ∠AMC，
即62＝42
＋14a 2＋2×4×a 2
·cos ∠AMB.②
①＋②得：72＋62＝42＋42
＋12
a 2，∴a＝106.
9．30°
解析 由sin C ＝23sin B ，根据正弦定理，得
c ＝23b ，把它代入a 2－b 2
＝3bc 得 a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.
由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b·23b ＝6b 243b 2
＝3
2. 又∵0°<A<180°，∴A＝30°.
10．1＋ 3
解析 ∵2b＝a ＋c ，S ＝12ac sin B ＝3
2
，∴ac＝6.
∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c)2
－2ac cos B －2ac. ∴b 2＝4b 2－63－12，∴b 2
＝23＋4，b ＝1＋ 3.
11．解 由(a ＋b ＋c)(b ＋c －a)＝3bc ，得b 2＋2bc ＋c 2－a 2
＝3bc ，
即a 2＝b 2＋c 2
－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc ＝bc 2bc ＝12
，
∴A＝π3
.
又sin A ＝2sin B cos C.
∴a＝2b·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－c
2a
，
∴b 2＝c 2
，b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．
12．解 (1)设这三个数为n ，n ＋1，n ＋2，最大角为θ，
则cos θ＝n 2＋＋2－＋
2＋
<0，
化简得：n 2
－2n －3<0⇒－1<n<3.
∵n ∈N *
且n ＋(n ＋1)>n ＋2，∴n ＝2.
∴cos θ＝4＋9－162×2×3＝－1
4
.
(2)设此平行四边形的一边长为a ，则夹θ角的另一边长为4－a ，平行四边形的面积为：
S ＝a (4－a )·sin θ＝154(4a －a 2)＝154[－(a －2)2
＋4]≤15.当且仅当a ＝2时，S max
＝15.
13．解 (1)∵cos 2C ＝1－2sin 2
C ＝－14，0<C <π，∴sin C ＝104.
(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝c
sin C ，得c ＝4.
由cos 2C ＝2cos 2
C －1＝－14及0<C <π，得cos C ＝±64
.
由余弦定理c 2＝a 2＋b 2
－2ab cos C ，
得b 2
±6b －12＝0(b >0)， 解得b ＝6或26， ∴⎩⎨
⎧
b ＝6，
c ＝4
或⎩⎨
⎧
b ＝26，
c ＝4.
14．解 设BD ＝x ，在△ABD 中，由余弦定理有 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD ·cos∠ADB ，
即142＝x 2＋102
－20x cos 60°， ∴x 2
－10x －96＝0，∴x ＝16(x ＝－6舍去)，即BD ＝16. 在△BCD 中，由正弦定理
BC sin ∠CDB ＝BD
sin ∠BCD
，
∴BC ＝16sin 30°sin 135°
＝8 2.。