10-11选修2-2模块测试卷

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【人教A版数学选修2-2】模块综合测试

RJA·数学·选修2-2
第19页
系列丛书
15．已知函数 f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1 有两个极值点 x1，x2，
且 x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，则 f(－1)的取值范围是 [3,12] ．
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解析：因为 f(x)有两个极值点 x1，x2，所以 f′(x)＝3x2＋4bx ＋c＝0 有两个根 x1，x2，且 x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，
A．0 个根
B．1 个根
C．2 个根
D．3 个根
解析：设 f(x)＝13x3－ax2＋1，则 f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)，当 x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)在(0,2)上为减函数，又 f(0)f(2)＝1×(83－4a＋1)＝131－4a<0，所以 f(x)＝0 在(0,2)上恰好有 1 个根，故选 B.
RJA·数学·选修2-2
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解析：函数 f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点 x1，x2(x1<x2)，则 f′(x)＝lnx－2ax＋1 有两个零点，即方程 lnx＝2ax－1 有两个根，由数形结合易知 0<a<12且 0<x1<1<x2.因为在(x1，x2)上 f(x)递增，所以 f(x1)<f(1)<f(x2)，即 f(x1)<－a<f(x2)，所以 f(x1)<0，f(x2)>－12. 故选 D.
得－ 2<a< 2.
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14．已知函数 y＝f(x)及其导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，

北师大版高中数学选修2-2(下)选修模块2-2水平测试.docx

焦作市2010—2011学年（下）选修模块2-2水平测试数学试卷注意：本试卷满分120分，附加题20分，考试时间100分钟。

答案必须写在答题卷上，在试卷上作答无效。

一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中只有一个是符合要求的）。

1.若复数(a 2-3a +2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数a 的值为（）A.1B.2C.1或2D.-12.函数2323+-=x x x f )(在区间],[11-上的最大值为（） A.2 B.0 C.-2 D.43.421dx x ⎰等于 ( ) A ．2ln2- B.2ln 2 C.ln 2- D.ln 24.已知曲线C:1)(3+=x x f ，则与直线431--=x y 垂直的曲线C 的切线方程为（）A 013.=--y xB 033.=--y xC 033013.=+-=--y x y x 或D 033013.=--=--y x y x 或5.设a,b 为实数，若复数i bia i+=++121，则 ( ) A.31,22a b == B. 3,1a b == C. 13,22a b == D. 1,3a b ==6. 证明),(21214131211+∈>-+++++N n nn 假设n=k 时成立，当n=k+1时，左端增加的项数是 ( )A.1项B.1-k 项C.k 项D.k 2项7.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极大值点（）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个8.由曲线32x y x y ==,围成的封闭图形面积为（） A ．121 B.41 C . 31 D.127 9.设'()f x 是函数()f x 的导函数，将()y f x =和'()y f x =的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）x 'abxy)(f y =OA B C D10.已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2-+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程是（） A ．12-=x y B.x y = C ．23-=x y D.32+-=x y二．填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．若复数iiz -=12，则=+||i z 3 。

高中数学选修2-2分章节测试卷(含答案)

第一章综合能力检测一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．函数y ＝sin(π4－x )的导数为( )A ．－cos(π4＋x )B ．cos(π4－x )C ．－sin(π4－x )D ．－sin(x ＋π4)2．(2009·广东三校联考)函数f (x )＝a ln x ＋x 在x ＝1处取得极值，则a 的值为( ) A.12B ．－1C ．0D ．－123．如果f (x )为定义在R 上的偶函数，且导数f ′(x )存在，则f ′(0)的值为( ) A ．2B ．1C ．0D ．－14．(2009·全国卷Ⅰ)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1B ．2C ．－1D ．－25．已知f (x )＝(x －1)2＋2，g (x )＝x 2－1，则f [g (x )]( ) A ．在(－2,0)上递增 B ．在(0,2)上递增 C ．在(－2，0)上递增 D ．在(0，2)上递增6．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在R 上是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．2≤m ≤47．(2009·江西高考)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或78．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1) 9．由y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π所围成图形的面积可表示为( ) A.⎠⎛0π(sin x －cos x )dxC.⎠⎛0π(cos x －sin x )dx10．已知f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )dx ，则f (a )的最大值为( )A ．－12B.19C.29D ．不存在11．(2009·青岛模拟)如右图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，由曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π412．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a ) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.⎠⎛02(2x －e x )dx ＝________.14．(2009·海淀区模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的导函数y＝f ′(x )的部分图象如右图所示，且导函数f ′(x )有最小值－2，则ω＝________，φ＝________.15．若函数y ＝a (x 3－x )的单调递减区间为(－33，33)，则a 的取值范围是________． 16．物体A 以速度v ＝3t 2＋1在一直线上运动，在此直线上物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t 的速度与A 同向运动，当t ＝________ s 时，两物体相遇，相遇时物体A 走过________m.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)(2009·浙江高考)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调．．．，求a的取值范围．18．(本小题满分12分)已知F(x)＝⎠⎛x－1t(t－4)dt，x∈(0，＋∞)．(1)求F(x)的单调区间；(2)求函数F(x)在[1,5]上的最值．19．(本小题满分12分)已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．20．(本小题满分12分)求函数y＝x3－3ax＋2的极值，并说明方程x3－3ax＋2＝0何时有三个不同的实根？何时有唯一的实根？(其中a>0)21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝13ax3－bx2＋(2－b)x＋1，在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，且0<x1<1<x2<2.(1)证明a>0；(2)求z＝a＋2b的取值范围．22．(本小题满分12分)(2009·湖北黄冈模拟)已知函数f(x)＝12x2－a ln x(a∈R)．(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)求证：当x>1时，12x2＋ln x<23x3.第二章综合能力检测一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．所有自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段推理( ) A ．正确 B ．推理形式不正确 C ．两个“自然数”概念不一致 D ．两个“整数”概念不一致 2．若a >0，b >0，则有( )A.b 2a >2b －aB.b 2a <2b －aC.b 2a ≥2b －a D.b 2a≤2b －a 3．设S (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n 2，则( )A ．S (n )共有n 项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13B ．S (n )共有n ＋1项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14C ．S (n )共有n 2－n 项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14D ．S (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋144．F (n )是一个关于自然数n 的命题，若F (k )(k ∈N *)真，则F (k ＋1)真，现已知F (7)不真，则有：①F (8)不真；②F (8)真；③F (6)不真；④F (6)真；⑤F (5)不真；⑥F (5)真．其中为真命题的是( )A ．③⑤B ．①②C ．④⑥D ．③④5．若x ，y ∈R ，且2x 2＋y 2＝6x ，则x 2＋y 2＋2x 的最大值为( ) A ．14B ．15C ．16D ．176．设f (x )(x ∈R )为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)等于( )A ．0B ．1 C.52D ．57．若O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心8．如图所示为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A 到H 有几条不同的旅游路线可走( )A ．15B ．16C ．17D ．189．对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)定义它们之间的一种“距离”：||AB ||＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|.给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则||AC ||＋||CB ||＝||AB ||； ②在△ABC 中，若∠C ＝90°，则||AC ||2＋||CB ||2＝||AB ||2； ③在△ABC 中，||AC ||＋||CB ||>||AB ||. 其中真命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．310．已知a ，b ，c ，d 是正实数，P ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋d c ＋d ＋b ，则有( )A ．0<P <1B ．1<P <2C ．2<P <3D ．3<P <411．一个等差数列{a n }，其中a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (1≤n ≤19)．一个等比数列{b n }，其中b 15＝1.类比等差数列{a n }有下列结论，正确的是( )A ．b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 29－n (1≤n ≤29，n ∈N *)B ．b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 29－nC ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 29－n (1≤n ≤29，n ∈N *)D ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 29－n 12．观察数表1 2 3 4 …第一行 2 3 4 5 …第二行 3 4 5 6 …第三行 4 5 6 7 …第四行 … … … …第一列第二列第三列第四列根据数表中所反映的规律，第n 行与第n 列的交叉点上的数应该是( ) A ．2n －1 B ．2n ＋1 C ．n 2－1D ．n 2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若三角形内切圆的半径为r ，三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S ＝12r (a ＋b ＋c )，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则四面体的体积V ＝________.14．若符号“*”表示求实数a 与b 的算术平均数的运算，即a *b ＝a ＋b2，则两边均含有运算符号“*”和“＋”，且对于任意3个实数a 、b 、c 都能成立的一个等式可以是________．15．把数列{2n ＋1}依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数……循环下去，如：(3)，(5,7)，(9,11,13)，(15,17,19,21)，…，则第104个括号内各数字之和为________．16．已知n 次多项式P n (x )＝a 0x n ＋a 1x n －1＋…＋a n －2x 2＋a n －1x ＋a n .如果在一种算法中，计算x k 0(k ＝2,3,4，…，n )的值需要k －1次乘法，计算P 3(x 0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算P n (x 0)的值共需要________次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：P 0(x )＝a 0，P k ＋1(x )＝xP k (x )＋a k ＋1(k ＝0,1,2，…，n －1)．利用该算法，计算P 3(x 0)的值共需要6次运算，计算P n (x 0)的值共需要________次运算．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)证明对于任意实数x ，y 都有x 4＋y 4≥12xy (x ＋y )2.18．(本小题满分12分)(2009·江苏高考)如右图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .19．(本小题满分12分)求证：y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a ，y ＝cx 2＋2ax ＋b (a ，b ，c 是互不相等的实数)这三条抛物线中，至少有一条与x 轴有两个交点．20．(本小题满分12分)已知函数f(n)(n∈N*)，满足条件：①f(2)＝2，②f(xy)＝f(x)·f(y)，③f(n)∈N*，④当x>y时，有f(x)>f(y)．(1)求f(1)，f(3)的值；(2)由f(1)，f(2)，f(3)的值，猜想f(n)的解析式；(3)证明你猜想的f(n)的解析式的正确性．21．(本小题满分12分)已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d的等差数列；a20，a21，…a30是公差为d2的等差数列(d≠0)．(1)若a20＝40，求d；(2)试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；(3)续写已知数列，使得a30，a31，a40是公差为d3的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例)，并进行研究，你能得到什么样的结论？22．(本小题满分12分)对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．如果函数f(x)＝x2＋abx－c(b，c∈N)有且只有两个不动点0,2，且f(－2)<－12.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知各项均不为零的数列{a n}满足4S n·f(1a n)＝1，求数列的通项a n；(3)如果数列{a n}满足a1＝4，a n＋1＝f(a n)，求证当n≥2时，恒有a n<3成立．第三章综合能力检测一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．一个实数x 与一个虚数y 的和x ＋y 必为( )A ．实数B ．虚数C ．可能实数也可能是虚数D ．纯虚数 2．复数4＋3i1＋2i 的实部是( )A ．－2B ．2C ．3D ．43．复数z ＝m －2i1＋2i (m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上的对应点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若复数a ＋3i1＋2i (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－2B ．4C ．－6D ．65．若3＋2i 是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0(p ，q ∈R )的一个根，则q 的值是( ) A ．26B ．13C ．6D ．56．已知z 1＝2－5i ，z 2＝－3＋i ，z 1，z 2的对应点分别为P 1，P 2，则向量P 2P 1→对应的复数为( ) A ．－5＋6iB ．5－6iC ．5＋6iD ．－1－4i7．已知m1＋i ＝1＋n i ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i 的值为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i8．复数z 满足|3z ＋1|＝|z －i|，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．直线B ．正方形C ．圆D ．椭圆9．“复数z ＝12＋32i ”是“z ＋1z ∈R ”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件10．复数－35＋2i 2＋35i ＋(21＋i )2008的虚部为( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i11．设f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i 1＋i )n(n ∈N *)，则集合{x |x ＝f (n )}中的元素有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个12．若复数z ，a ，x 满足x ＝a －z 1－a z，且|z |＝1，则|x |等于( )A ．0B ．1C ．|a |D.12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z 0＝3＋2i ，复数z 满足z ·z 0＝3z ＋z 0，则复数z ＝________. 14．复数z 满足|z ＋2＋2i|＝|z |，那么|z －1＋i|的最小值是________． 15．i 是虚数单位，若1＋7i 2－i＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则乘积ab ＝________.16．对于n 个复数z 1，z 1，…，z n ，如果存在n 个不全为零的实数k 1，k 2，…，k n ，使得k 1z 1＋k 2z 2＋…＋k n z n ＝0，就称z 1，z 2，…，z n 线性相关．若要说明复数z 1＝1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝－2线性相关，那么可取{k 1，k 2，k 3}＝________.(只要写出满足条件的一组值即可)三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)(1)设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )．若z 1z 2为实数，求实数x ； (2)计算：(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7－i 11)(4－3i)．18．(本小题满分12分)在复数范围内解方程|z 2|＋(z ＋z )i ＝3－i2＋i .(i 为虚数单位)19．(本小题满分12分)已知z ＝(－1＋3i)(1－i)－(1＋3i)i ，ω＝z ＋a i(a ∈R )，当|ωz |≤2时，求a的取值范围．20．(本小题满分12分)已知z ∈C ，z －1z ＋1是纯虚数，求|z 2－z ＋2|的最小值．21．(本小题满分12分)设虚数z 满足|2z ＋5|＝|z ＋10|. (1)求|z |的值；(2)若z m ＋mz为实数，求实数m 的值；(3)若(1－2i)z 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数z .22．(本小题满分12分)对任意一个非零复数α，定义M α＝{ω|ω＝α2n －1，n ∈N *}．(1)设α是方程x ＋1x ＝2的一个根，试用列举法表示集合M α.若在M α中任取两个元素，求其和为零的概率P ；(2)若集合M α中只有三个元素，试写出满足条件的一个α值，并说明理由．第一章综合能力检测答案一、选择题：1．解析：y ′＝－cos(π4－x )＝－sin[π2－(π4－x )]＝－sin(π4＋x )．答案：D2．解析：f ′(x )＝ax ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ，由题知当a ＝－1时，原函数在x ＝1处取得极值．答案：B3．解析：偶函数的导数为奇函数，即f ′(x )为奇函数，故f ′(0)＝0. 答案：C4．解析：y ′＝1x ＋a ，设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切的切点为(x 0，x 0＋1)，则1x 0＋a ＝1，∴x 0＝1－a ，∴ln(1－a ＋a )＝2－a ，∴e 2－a ＝1， ∴a ＝2. 答案：B5．解析：F (x )＝f [g (x )]＝x 4－4x 2＋6，F ′(x )＝4x 3－8x .令F ′(x )>0，得－2<x <0或x >2，∴F (x )在(－2，0)上递增．答案：C6．解析：由题意，得f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋(15m 2－2m －7)，由于f ′(x )≥0恒成立，故Δ≤0，解得2≤m ≤4. 答案：D7．解析：设直线与曲线y ＝x 3的切点为P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 30y 0x 0－1＝3x 20⇒切线斜率k ＝3x 20＝0或k ＝274. 若k ＝0，切线方程为y ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝ax 2＋154x －9，消去y ，得ax 2＋154x －9＝0，其判别式Δ＝0⇒a ＝－2564；若k ＝274，切线方程为y ＝274(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝274(x －1)，y ＝ax 2＋154x －9消去y ，得ax 2－3x －94＝0，其判别式Δ＝0⇒a ＝－1. 答案：A8．解析：∵f ′(x )＝－x ＋b x ＋2，由题知，f ′(x )<0在(－1，＋∞)上恒成立，即－x ＋bx ＋2<0，∴b <x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1. ∴b <－1.又当b ＝－1时，f ′(x )＝－x －1x ＋2＝－x (x ＋2)＋1x ＋2＝－(x ＋1)2x ＋2<0，∴b ≤－1. 答案：C9．解析：由y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π所围成的图形，如下图的阴影部分．答案：B10．解析：⎠⎛01(2ax 2－a 2x )dx＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝23a －12a 2，即f (a )＝23a －12a 2＝－12(a 2－43a ＋49)＋29＝－12(a －23)2＋29，∴当a ＝23时，f (a )有最大值29. 答案：C11．解析：根据几何概型的意义，所投的点落在阴影部分的概率是S 阴影S 矩形，由S 阴影＝⎠⎛0πsin xdx ＝(－cos x )|π0＝2，所求概率为S 阴影S 矩形＝22π＝1π. 答案：A 12．解析：设函数F (x )＝xf (x )，∴F ′(x )＝[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )≤0，∴F (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上单调递减．∵a <b ，∴F (a )≥F (b )，即af (a )≥bf (b )．又∵0<a <b ，f (b )≥0，∴af (a )≤bf (a )，bf (b )≥af (b )．∴bf (a )≥af (b )．答案：A二、填空题：13.解析：⎠⎛02(2x －e x )dx ＝(x 2－e x )|20＝4－e 2＋1＝5－e 2. 答案：5－e 214．解析：f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)，依题意，得ω＝2,2cos(π3＋φ)＝－1，解得φ＝π3.答案：2 π315．解析：∵y ′＝a (3x 2－1)，令y ′<0，当a >0时，不等式的解集为(－33，33)；当a <0时，不等式的解集为(－∞，－33)∪(33，＋∞)．∵已知函数y ＝a (x 3－x )在(－33，33)上单调递减， ∴a >0. 答案：a >016．解析：设A 追上B 时，所用的时间为t 0，依题意有s A ＝s B ＋5，即10tdt＋5，t 30＋t 0＝5t 20＋5，即t 0(t 20＋1)＝5(t 20＋1)，解得t 0＝5 s ．所以s A ＝5t 20＋5＝130(m)．答案：130三、解答题：17．解：(1)由函数f (x )的图象过原点，得b ＝0，又f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)， f (x )在原点处的切线斜率是－3，则－a (a ＋2)＝－3，所以a ＝－3，或a ＝1.(2)由f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ＋23.又f (x )在(－1,1)上不单调，即⎩⎨⎧－1<a <1，a ≠－a ＋23，或⎩⎪⎨⎪⎧－1<－a ＋23<1，a ≠－a ＋23.解得⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <1，a ≠－12，或⎩⎪⎨⎪⎧－5<a <1，a ≠－12，所以a 的取值范围是(－5，－12)∪(－12，1)．18．解：F (x )＝⎠⎛x －1(t 2－4t )dt ＝(13t 3－2t 2)|x －1＝13x 3－2x 2－(－13－2)＝13x 3－2x 2＋73(x >－1)． (1)F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )>0，即x 2－4x >0，得－1<x <0或x >4，由F ′(x )<0，即x 2－4x <0，得0<x <4，∴F (x )的单调递增区间为(－1,0)∪(4，＋∞)，单调递减区间为(0,4)．(2)由(1)知F (x )在[1,4]上递减，[4,5]上递增．又∵F (1)＝13－2＋73＝23，F (4)＝13×43－2×42＋73＝－253，F (5)＝13×53－2×52＋73＝－6，∴F (x )在[1,5]上的最大值为23，最小值为－253. 19．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，因为x ＝±1是函数f (x )的极值点，所以x ＝±1是方程f ′(x )＝0即3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根．由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－2b3a ＝0，①c3a ＝－1，②又f (1)＝－1，所以a ＋b＋c ＝－1.③ 由①②③，解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)因为f (x )＝12x 3－32x ，所以f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)·(x ＋1)．当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，当－1<x <1时，f ′(x )<0.所以函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数．所以当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1，当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.20．解：函数的定义域为R ，其导函数为y ′＝3x 2－3a .由y ′＝0，得x＝±a ，列表讨论如下：x (－∞，－a ) －a(－a ，a ) a (a ，＋∞) f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值由此可得，函数x ＝－a 处取得极大值2＋2a 32；在x ＝a 处取得极小值2－2a 32.根据列表讨论，可作出函数的草图(如右图所示)，因为极大值f (－a )＝2＋2a 32>0，故当极小值f (a )＝2－2a 32<0，即a >1时，方程x 3－3ax ＋2＝0有三个不同的实根；当极小值f (a )＝2－2a 32>0，即0<a <1时，方程x 3－3ax ＋2＝0有唯一的实根．21．解：求函数f (x )的导数得 f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b .(1)证明：由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，知x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根．所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)．当x <x 1时，f ′(x )>0，函数为增函数，由x －x 1<0，x －x 2<0得a >0. (2)在题设下，0<x 1<1<x 2<2等价于⎩⎨⎧f ′(0)>0，f ′(1)<0，f ′(2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －2b ＋2－b <0，4a －4b ＋2－b >0.化简得⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －3b ＋2<0，4a －5b ＋2>0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线2－b ＝0，a －3b ＋2＝0,4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为A (47，67)，B (2,2)，C (4,2)．z 在这三点的值依次为167，6,8.所以z 的取值范围为(167，8)．22．解：(1)f ′(x )＝x －ax ，∵x ＝2是一个极值点，∴2－a2＝0.∴a ＝4.此时f ′(x )＝x －4x ＝x 2－4x ＝(x －2)(x ＋2)x.∵f (x )的定义域是{x |x >0}，∴当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0. ∴当a ＝4时，x ＝2是f (x )的极小值点．∴a ＝4. (2)∵f ′(x )＝x －ax，∴当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a >0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝(x －a )(x ＋a )x，令f ′(x )>0有x >a ，∴函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)；令f ′(x )<0有0<x <a ，∴函数f (x )的单调递减区间为(0，a )． (3)证明：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，则g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x >0，∴g (x )在(1，＋∞)上是增函数． ∴g (x )>g (1)＝16>0.∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.第二章综合能力检测答案一、选择题：1．解析：三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．答案：A 2．解析：∵b 2a －(2b －a )＝b 2－2ab ＋a 2a ＝(b －a )2a ≥0，∴b 2a≥2b －a . 答案：C 3．解析：从n 到n 2共有n 2－n ＋1个自然数，即S (n )共有n 2－n ＋1项．故选D. 4．解析：若F (k )真，则F (k ＋1)一定真，其逆否命题为F (k ＋1)不真，则F (k )不真． ∴F (7)不真，则F (6)不真；F (6)不真，则F (5)不真．答案：A5．解析：x 2＋y 2＋2x ＝x 2＋(6x －2x 2)＋2x ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16≤16. 答案：C6．解析：∵f (x ＋2)＝f (x )＋f (2) ∴令x ＝－1则有 f (1)＝f (－1)＋f (2) ∴f (2)＝2f (1)又∵f (1)＝12，∴f (2)＝1∴f (5)＝f (2＋3)＝f (2)＋f (3) ＝f (2)＋f (2)＋f (1) ＝2f (2)＋f (1)＝2＋12＝52. 答案：C7．解析：OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，AP →＝λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)＝λ(e 1＋e 2)，∴AP 是∠A 的内角平分线．答案：B8．解析：这是图论中的一个问题，如果一条一条的去数，由于道路错综复杂，哪些已算过，哪些没有算过就搞不清了，所以我们换一个思路，用分析法来试试．要到H 点，需从F 、E 、G 走过来，F 、E 、G 各点又可由哪些点走过来，……，这样一步步倒推，最后归结到A ，然后再反推过去得到如下的计算法：A 至B 、C 、D 的路数记在B 、C 、D 圆圈内，B 、C 、D 分别到F 、E 、G 的路数亦记在F 、E 、G 圆圈内，最后F 、E 、G 各个路数之和，即得至H 的总路数如答图1所示．答案：C9．解析：①当点C 在线段AB 上时，可知||AC ||＋||CB ||＝||AB ||，故①是正确的．②取A (0,0)，B (1,1)，C (1,0)，则||AC ||2＝1，||BC ||2＝1，||AB ||2＝(1＋1)2＝4，故②是不正确的．③取A (0,0)，B (1,1)，C (1,0)，证明||AC ||＋||CB ||＝||AB ||，故③不正确．故选B. 10．解析：P ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋dc ＋d ＋b>a a ＋b ＋c ＋d ＋b a ＋b ＋d ＋c ＋c c ＋d ＋a ＋b ＋d c ＋d ＋b ＋a ＝1， P ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋dc ＋d ＋b<a a ＋b ＋b a ＋b ＋c c ＋d ＋d c ＋d ＝2， ∴1<P <2. 答案：B11．解析：在等差数列{a n }中，a 10＝0，知以a 10为等差中项的项和为0，如a 9＋a 11＝a 8＋a 12＝…＝a 2＋a 18＝a 1＋a 19＝0.而在等比数列{b n }中，b 15＝1，类比地有b 1b 29＝b 2b 28＝…＝b 14b 16＝1.从而类似地总结规律应为各项之积．∵等差数列{a n }中a 10＝0，∴a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a 8＋a 12＝a 9＋a 11＝0. 即：a 19－n ＋a n ＋1＝0， a 18－n ＋a n ＋2＝0， a 17－n ＋a n ＋3＝0， …∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 19－n . ∵b 15＝1，∴b 1b 29＝b 2b 28＝…＝b 14b 16＝1. 即b 29－n b n ＋1＝b 28－n b n ＋2＝…＝b 14b 16＝1.∴b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 29－n (1≤n ≤29，n ∈N *)．故选A.12．解析：根据数表可知，第1行第1列上的数为1，第2行第2列上的数为3，第3行第3列上的数为5，第4行第4列上的数为7，那么，由此可以推导出第n 行第n 列交叉点上的数应该是2n －1. 答案：A二、填空题：13．解析：由平面图形到空间图形的类比过程中，边长→面积，面积→体积．答案：13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)14．解析：答案不唯一．因为a ＋(b *c )＝a ＋b ＋c 2＝2a ＋b ＋c 2，又(a ＋b )*(a ＋c )＝(a ＋b )＋(a ＋c )2＝2a ＋b ＋c2，因此答案成立．同时：(a *b )＋c ＝(a *c )＋(b *c )；a *(b ＋c )＝(a ＋b )*c ＝(b ＋c )*a ＝(a ＋c )*b ；(a *b )＋c ＝(b *a )＋c 也符合题意．答案：a ＋(b *c )＝(a ＋b )*(a ＋c )15．解析：前面103个括号中共用了256个数，第104个括号有4个数分别是515,517,519,521，其和为2072. 答案：207216．解析：P n (x 0)＝a 0x n －10＋…＋a n －2x 20＋a n －1x 0＋a n ，共需n 次加法运算，每个小因式中所需乘法运算依次为n ，n －1，…，1.故共需计算次数为n ＋n (n ＋1)2＝12n (n ＋3)．第二种运算中，P 0(x 0)＝a 0，不需要运算，P 1(x 0)＝x 0P 0(x 0)＋a 1，需2次运算．P 2(x 0)＝x 0P 1(x 0)＋a 2，需2＋2次运算，依次往下，P n (x 0)需2n 次运算．答案：12n (n ＋3) 2n三、解答题：17．证明：(分析法)要证x 4＋y 4≥12xy (x ＋y )2，只需证明2(x 4＋y 4)≥xy (x ＋y )2，即证2(x 4＋y 4)≥x 3y ＋xy 3＋2x 2y 2.只需x 4＋y 4≥x 3y ＋xy 3与x 4＋y 4≥2x 2y 2同时成立即可．又知x 4＋y 4－2x 2y 2＝(x 2－y 2)2≥0，即x 4＋y 4≥2x 2y 2成立，只需再有x 4＋y 4≥x 3y ＋xy 3成立即可．由于x 4＋y 4－x 3y －xy 3＝(x －y )(x 3－y 3)， ∵x －y 与x 3－y 3同号，∴(x －y )(x 3－y 3)≥0，即x 4＋y 4≥x 3y ＋xy 3成立．∴对于任意实数x ，y 都有x 4＋y 4≥12xy (x ＋y )2成立．18．证明：(1)因为E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，所以EF ∥BC ，EF ⊄面ABC ，BC ⊂面ABC .所以EF ∥平面ABC .(2)因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，所以BB 1⊥面A 1B 1C 1，BB 1⊥A 1D ，又A 1D ⊥B 1C ，所以A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ⊂平面A 1FD ，所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .19．证明：假设三条抛物线均与x 轴无两交点，则Δ1＝4b 2－4ac ≤0，Δ2＝4c 2－4ab ≤0，Δ3＝4a 2－4bc ≤0，∴a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ≤0，即12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≤0，∴a ＝b ＝c ，与a ，b ，c 是互不相等的实数矛盾．故三条抛物线中，至少有一条与x 轴有两个交点．20．解：(1)∵f (2)＝f (2×1)＝f (2)·f (1)，又f (2)＝2，∴f (1)＝1.又∵f (4)＝f (2·2)＝f (2)·f (2)＝4,2＝f (2)<f (3)<f (4)＝4，且f (3)∈N *.∴f (3)＝3.(2)由f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝3，猜想f (n )＝n (n ∈N *)．(3)用数学归纳法证明：(ⅰ)当n ＝1时，f (1)＝1，函数解析式成立． (ⅱ)假设n ＝k 时，f (k )＝k ，函数解析式成立．①若k ＋1＝2m (m ∈N *)，f (k ＋1)＝f (2m )＝f (2)·f (m )＝2m ＝k ＋1. ②若k ＋1＝2m ＋1(m ∈N *)，f (2m ＋2)＝f [2(m ＋1)]＝f (2)·f (m ＋1)＝2(m ＋1)＝2m ＋2，2m ＝f (2m )<f (2m ＋1)<f (2m ＋2)＝2m ＋2. ∴f (2m ＋1)＝2m ＋1＝k ＋1.即当n ＝k ＋1时，函数解析式成立．综合(ⅰ)(ⅱ)可知，f (n )＝n (n ∈N *)成立． 21．解：(1)a 10＝10，a 20＝10＋10d ＝40， ∴d ＝3.(2)a 30＝a 20＋10d 2＝10(1＋d ＋d 2)(d ≠0)， a 30＝10[(d ＋12)2＋34]，当d ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a 30∈[7.5，＋∞)；(3)所给数列可推广为无穷数列{a n }，其中a 1，a 2，…，a 10是首项为1，公差为1的等差数列，当n ≥1时，数列a 10n ，a 10n ＋1，…，a 10(n ＋1)是公差为d n 的等差数列．研究的问题可以是：试写出a 10(n ＋1)关于d 的关系式，并求a 10(n ＋1)的取值范围研究的结论可以是：由a 40＝a 30＋10d 3＝10(1＋d ＋d 2＋d 3)，依次类推可得a 10(n ＋1)＝10(1＋d ＋…＋d n ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧10×1－d n ＋11－d ，d ≠1，10(n ＋1)，d ＝1.当d >0时，a 10(n ＋1)的取值范围为(10，＋∞)． 22．解：(1)依题意有x 2＋a bx －c＝x ，化简为(1－b )x 2＋cx ＋a ＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧2＋0＝－c 1－b，2·0＝a 1－b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1＋c 2，代入表达式得f (x )＝x 2(1＋c 2)x －c ，由f (－2)＝－21＋c <－12，得c <3.又因为c ∈N ，b ∈N ，若c ＝0，b ＝1，f (x )＝x 不止有两个不动点，若c ＝1，b ＝32，则f (x )＝x只有一个不动点，所以c ＝2，b ＝2，故f (x )＝x 22(x －1)(x ≠1)．(2)由题设得4S n ·(1a n)22(1a n－1)＝1，得2S n ＝a n －a 2n ，(*) 且a n ≠1，把n －1代入得2S n －1＝a n －1－a 2n －1.(**)由(*)与(**)两式相减得2a n ＝(a n －a n －1)－(a 2n －a 2n －1)，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1＋1)＝0，所以a n ＝－a n －1或a n －a n －1＝－1，把n ＝1代入(*)得2a 1＝a 1－a 21，解得a 1＝0(舍去)或a 1＝－1.由a 1＝－1，a n ＝－a n －1，得a 2＝1，这与a n ≠1矛盾，所以a n －a n －1＝－1，即{a n }是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以a n ＝－n .(3)证明：(采用反证法)假设a n ≥3(n ≥2)，则由(1)知a n ＋1＝f (a n )＝a 2n2a n －2，所以a n ＋1a n ＝a n 2(a n －1)＝12·(1＋1a n －1)≤12(1＋12)＝34<1，即a n ＋1<a n (n ≥2，n ∈N )，有a n <a n －1<…<a 2，而当n ＝2时，a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3，所以a 2<3.这与假设矛盾，故假设不成立，所以a n <3.第三章综合能力检测答案一、选择题：1．解析：由复数的概念可知x ＋y 仍是虚数．答案：B2．解析：4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i)(1－2i)1＋22＝(4＋6)＋(3－8)i5＝2－i. 答案：B3．解析：m －2i 1＋2i ＝(m －2i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(m －4)－2(m ＋1)i5，对于m 的值，不存在m 使m －4>0且m＋1<0，故对应的点不可能在第一象限．答案：A4．解析：∵z ＝(a ＋3i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝a ＋65＋(3－2a )i 5.若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝0，3－2a ≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，a ≠32.答案：C5．解析：由于实系数一元二次方程的虚根成对出现，是互为共轭复数的，故另一根为3－2i ，则(3＋2i)·(3－2i)＝q2＝13.故选A.6．解析：∵P 2P 1→＝OP 1→－OP 2→，∴P 2P 1→对应的复数为z 1－z 2＝(2－5i)－(－3＋i)＝5－6i. 答案：B7．解析：由m1＋i ＝1＋n i 得m ＝(1＋i)(1－n i)＝(1＋n )＋(1－n )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1＋n ，0＝1－n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，∴m ＋n i ＝2＋i. 答案：C8．解析：设z ＝x ＋y i ，则|3x ＋3y i ＋1|＝|x ＋y i －i|. ∴(3x ＋1)2＋9y 2＝x 2＋(y －1)2，即4x 2＋4y 2＋3x ＋y ＝0.∴复数z 对应点Z 的轨迹为圆．故选C.9．解析：由z ＝12＋32i 可得，z ＋1z ＝12＋32i ＋12－32i ＝1∈R . ∴z ＝12＋32i 是z ＋1z ∈R 的充分条件．但z ＋1z ∈R ⇒|z |＝1z ＝12＋32i ，所以z ＝12＋32i 是z ＋1z∈R 的充分非必要条件．答案：A10．解析：－35＋2i 2＋35i ＋(21＋i )2008＝i(35i ＋2)2＋35i ＋1i1004＝i ＋1. 答案：B11．解析：f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i1＋i )n ＝i n ＋(－i)n (n ∈N *)，根据i n 取值的周期性，给n 赋值发现集合{x |x ＝f (n )}＝{0，－2,2}，故应选C.12．解析：由|z |＝1，得|z |2＝1，即z ·z ＝1，所以x ＝a －z z z －a z ＝a －zz (z －a )＝－1z＝－z ，所以|x |＝|－z |＝1. 答案：B二、填空题：13．解析：由已知得z ＝z 0z 0－3＝3＋2i 2i ＝1－32i. 答案：1－32i14．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z ＋2＋2i|＝|z |得(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝x 2＋y 2，即x ＋y ＋2＝0，点(1，－1)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|1－1＋2|2＝2，∴|z －1＋i|的最小值为 2. 答案： 215．解析：1＋7i 2－i ＝(1＋7i)(2＋i)4＋1＝－1＋3i由－1＋3i ＝a ＋b i 得a ＝－1，b ＝3 ∴ab ＝－3 答案：－316．解析：由k 1z 1＋k 2z 2＋k 3z 3＝0得k 1(1＋2i)＋k 2(1－i)＋k 2·(－2)＝0，即(k 1＋k 2－2k 3)＋(2k 1－k 2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋k 2－2k 3＝0，2k 1－k 2＝0.∴k 1∶k 2∶k 3＝1∶2∶32.(答案不唯一，只需满足1∶2∶32的任何一组都行) 答案：{1,2，32}三、解答题：17．解：(1)z 1z 2＝(1＋i)(x ＋2i)＝x ＋2i ＋x i －2＝(x －2)＋(2＋x )i ，因为z 1z 2是实数，所以x ＋2＝0，所以x ＝－2.(2)原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i)＝2(12－3i －4i 2)＋(28－4i －21i ＋3i 2)＝2(11－7i)＋25(1－i)＝47－39i.18．解：原方程化简为|z |2＋(z ＋z )i ＝1－i ，设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，代入上述方程；得x 2＋y 2＋2x i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，2x ＝－1.解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝±32.所以原方程的解是z ＝－12±32i.19．解：z ＝2＋4i －(1＋3i)i ＝1＋i i ＝－i(1＋i)＝1－i ，ω＝1＋(a －1)i ，ωz ＝1＋(a －1)i1－i＝[1＋(a －1)i](1＋i)2＝2－a ＋a i 2，由|ωz |≤2，得(2－a 2)2＋(a2)2≤2，解得1－3≤a ≤1＋ 3.故a 的取值范围是[1－3，1＋3]．20．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z －1z ＋1＝(x －1)＋y i (x ＋1)＋y i ＝x 2＋y 2－1＋2y i(x ＋1)2＋y 2是纯虚数，∴x2＋y 2＝1且y ≠0，于是－1<x <1.而|z 2－z ＋2|＝|(x ＋y i)2－(x ＋y i)＋2|＝|(x 2－y 2－x ＋2)＋y (2x －1)i|＝(x 2－y 2－x ＋2)2＋y 2(2x －1)2＝8x 2－6x ＋2＝8(x －38)2＋78，∴当x ＝38时，|z 2－z ＋2|取得最小值144. 21．解：(1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则 (2x ＋5)2＋(2y )2＝(x ＋10)2＋y 2. 化简得x 2＋y 2＝25.∴|z |＝5. (2)∵z m ＋m z ＝x ＋y i m ＋m x ＋y i＝(x m ＋mx x 2＋y 2)＋(y m －myx 2＋y2)i 为实数，∴y m －myx 2＋y 2＝0. 又y ≠0，且x 2＋y 2＝25， ∴1m －m25＝0，解得m ＝±5. (3)(1－2i)z ＝(1－2i)(x ＋y i)＝(x ＋2y )＋(y －2x )i ，依据题意，得x ＋2y ＝y －2x . ∴y ＝－3x .①又∵|z |＝5，即x 2＋y 2＝25.② 由①、②得⎩⎨⎧x ＝102，y ＝－3102或⎩⎨⎧x ＝－102，y ＝3102.∴z ＝102－3102i 或z ＝－102＋3102i. 22．解：(1)解方程x ＋1x ＝2，得x ＝22±22i.当α1＝22＋22i 时，ω＝α2n －11＝(α21)nα1＝[(22＋22i)2]n α1＝in α1.由i n 的周期性知，ω有四个值，n ＝1时，ω＝22＋22i ；n ＝2时，ω＝－22＋22i ；n ＝3时，ω＝－22－22i ；n ＝4是，ω＝22－22i. 当α2＝22－22i 时，ω＝α2n －12＝(α22)n α2＝(－i)nα2.当n ＝1时，ω＝22－22i ；n ＝2时，ω＝－22－22i ；n ＝3时，ω＝－22＋22i ；n ＝4时，ω＝22＋22i.∴不论α＝22＋22i 还是α＝22－22i ，都有 M α＝{22＋22i ，22－22i ，－22＋22i ，－22－22i}，P ＝2C 24＝13. (2)取α＝－12＋32i ，则α3＝1，α5＝－12－32i ，于是M α＝{α，α3，α5}＝{－12＋32i,1，－12－32i}．(或取α＝－12－32i ，则α3＝1，α5＝－12＋32i)。

(完整版)新课改高二数学选修2-2模块综合测试题(含答案)

新课改高二数学选修2-2模块综合测试题（本科考试时间为120分钟，满分为100分）说明：本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ，试卷Ⅰ分值为30分，试卷Ⅱ分值为70分。

第I 卷一．选择题（本大题有10小题，每小题3分,共30分） 1．在“近似替代”中，函数在区间上的近似值（）)(x f ],[1+i i x x （A ）只能是左端点的函数值（B ）只能是右端点的函数值)(i x f )(1+i x f （C ）可以是该区间内的任一函数值）（D ）以上答案均正确()∈i i f ξξ(],[1+i i x x 2．已知，其中m 为实数，i 为虚数单位，若，则m 的22123i 4(56)i z m m m z m =-+=++，120z z -=值为（）(A) 4(B)(C) 6(D) 01-3．已知,下列各式成立的是（）1,1x y <<（A ）（B ）（C ）（D ）2x y x y ++->221x y +<1x y +<1xy x y+>+4．设f (x )为可导函数，且满足=－1，则曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线的斜率是(1)(1)lim2x f f x x→--（）（A ）2（B ）－1（C ）（D ）－2125．若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）必要条件6．函数在处有极值10, 则点为（）223)(a bx ax x x f +--=1=x ),(b a （A ）（B ）（C ）或（D ）不存在)3,3(-)11,4(-)3,3(-)11,4(-7．，则的最小值为（）1x y z ++=22223x y z ++(A)1(B)(C)(D)34611588．曲线，和直线围成的图形面积是（）xy e =xy e -=1x =(A)(B)(C)(D) 1e e --1e e -+12e e ---12e e -+-9．点是曲线上任意一点, 则点到直线的距离的最小值是（）P x x y ln 2-=P 2y x =-(A) １ (B) (C) ２ (D) 10．设（），当时，的最大值为，则的最小值为2()f x x ax b =++,a b R ∈[]11,x ∈-()f x m m （）(A) (B) １ (C) (D) ２1232第I 卷二．填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）11．定义运算,若复数满足,其中为虚数单位,则复数a b ad bc c d =-z 112z zi-=i．z =12．如图,数表满足:⑴第行首尾两数均为;⑵表中递推关系类似杨辉三角,n n 记第行第2个数为.根据表中上下两行数据关系,(1)n n >()f n 可以求得当时, ．2n …()f n =13．设函数f (x )=n 2x 2(1－x )n (n 为正整数)，则f (x )在［0,1］上的最大值为．14．设，，，且，，则的i a R +∈i x R +∈12,,i n = 222121n a a a ++= 222121n x x x ++= 1212,,,n na a a x x x 值中，现给出以下结论，其中你认为正确的是．①都大于1②都小于1③至少有一个不大于1④至多有一个不小于1⑤至少有一个不小于1三解答题（本大题共5小题，共54分）15（本小题满分10分）(1)求定积分的值；(2)若复数，，1222x dx --⎰12()z a i a R =+∈234z i =-且为纯虚数，求12z z 1z12 234 34 7 7 4… … …16（本小题满分10分）现要制作一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，求高为多少？l 17（本小题满分12分）已知函数11()ln()x f x x x =+-+（1）求的单调区间；()f x （2）求曲线在点（1，）处的切线方程；()y f x =1()f （3）求证：对任意的正数与，恒有．a b 1ln ln b a b a-≥-18（本小题满分10分）（提示：请从以下两个不等式选择其中一个证明即可，若两题都答以第一题为准）（1）设，，，且i a R +∈i b R +∈12,,i n = 12122n n a a a b b b ++=++= 求证：2221211221n n na a a ab a b a b +++≥+++ （2）设（）求证：i a R +∈12,,i n = 21212222122334122()()n n n a a a a a a a a a a a a a a a ++≤++++++++ 19（本小题满分12分）设数列满足{}n a 211123,,,,,n n n a a na n +=-+= （1）当时，求，并由此猜想出的一个通项公式；12a =234,,a a a {}n a （2）当时，证明对所有，有13a ≥1n ≥ ①2n a n ≥+②1211111112n a a a ++≤+++新课改高二数学选修2-2模块综合测试题参考答案一选择题1 C2 B3 D4 D5 A6 B7 C8 D9 B 10 A二填空题11 1-i 1213 14 ③⑤222n n -+242()n n n ++三解答题15 (1)（2）10316 当高时， h =3max V =17 （1）单调增区间，单调减区间0(,)+∞10(,)- （2）切线方程为 44230ln x y -+-=（3）所证不等式等价为10ln a bb a+-≥而，设则，由（1）结论可得，1111()ln()f x x x =++-+1,t x =+11()ln F t t t=+-由此，所以即011()(,)(,)F t +∞在单调递减，在单调递增，10min ()()F t F ==10()()F t F ≥=，记代入得证。

选修2-2模块测试前两章

选修2-2模块测试题(A)一、选择题1．y ='y 为（）．A ．56x B C D ．62．已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ x N *∈（），猜想()f x 的表达式为（）． A ．4()22x f x =+ B ．2()1f x x =+ C ．1()1f x x =+ D ．2()21f x x =+3．下列函数中，在),0(+∞上为增函数的是（）．A ．x y 2sin =B ．x xe y =C ．x x y -=3D ．x x y -+=)1ln( 4．设函数()m f x x tx =+的导数()21f x x '=+，则数列1(*)()n N f n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（）． A ．n n 1- B ．n n 1+ C ．1+n nD ．12++n n 6．给出以下命题：（1）若()0b af x dx >⎰，则()0f x >；（2）20sin 4xdx =⎰π；（3）()f x 的原函数为()F x ，且()F x 是以T 为周期的函数，则0()()a a T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；其中正确命题的个数为（）．A ．1B ．2C ．3D ．07．用数学归纳法证明不等式111113(2)123224n n n n n +++⋅⋅⋅+>≥+++的过程中，由n k =递推到1n k =+时的不等式左边（）． A ．增加了1项12(1)k + B ．增加了2项11212(1)k k +++C ．增加了“11212(1)k k +++”，又减少了“11k +”; D ．增加了12(1)k +，减少了“11k +”8．设函数(),()f x g x 在[,]a b 上均可导，且()()f x g x ''<，则当a x b <<时，有（）． A ．)()(x g x f >B ．)()(x g x f <C ．)()()()(a f x g a g x f +<+D ．)()()()(b f x g b g x f +<+二、填空题11．函数()y f x =在(0,2)上是增函数，函数(2)y f x =+是偶函数，则(1),(2.5),(3.5f f f 的大小关系是．12．对于定义在区间],[b a 上的函数)(x f ，给出下列命题：（1）若)(x f 在多处取得极大值，那么)(x f 的最大值一定是所有极大值中最大的一个值；（2）若函数)(x f 的极大值为m ，极小值为n ，那么n m >；（3）若),(0b a x ∈，在0x 左侧附近0)('<x f ，且0)(0'=x f ，则0x 是)(x f 的极大值点；（4）若)('x f 在],[b a 上恒为正，则)(x f 在],[b a 上为增函数，其中正确命题的序号是．三、解答题13．已知函数32()(1)48(2)f x ax a x a x b =+-+-+的图象关于原点成中心对称，试判断()f x 在区间[]4,4-上的单调性，并证明你的结论．14．已知、a b R ∈,a b e >>(其中e 是自然对数的底数)，求证：a bb a >．15．已知函数()ln f x x =(0)x ≠，函数1()()(0)()g x af x x f x '=+≠'：（1）当0x ≠时，求函数()y g x =的表达式；（2）若0a >，函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2 ,求a 的值；（3）在（2）的条件下，求直线2736y x =+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积．答案与解析：1．C 推理形式不符合演绎推理的形式．2．A Z R ∈ ，得2 21503,5a a a +-=⇒=-或（舍）． 3．C 该数列为2,3,2,3,2,3,...4．C151362y x x x ==⋅=，所以511'665566y x x --=⋅=⋅=．5．B 计算得222(1),(2),(3)234f f f ===由归纳猜想可得． 6．B ''()0x x x y xe e xe ==+>恒成立．7．C 3234344log [log (log )]0,log (log )1,log 3,464x x x x =====，4342422log [log (log )]0,log (log )1,log 4,216x x x x =====， 423233log [log (log )]0,log (log )1,log 2,9x x x x ====，89x y z ++=．8．C ''1()()21m m f x x tx mx t x -=+=+=+，得2,1m t ==，即2()f x x x =+，1111()(1)1f n n n n n ==-++，11111111223111n n S n n n n =-+-++-=-=+++…．9．C2211111(1)(1)22i i i ii i i i-+-++=+=-+--．10．B 仅仅（1）是错误的，其余正确． 11．C 当n k =时，不等式左边为11111232k k k k+++⋅⋅⋅++++，当1n k =+时，不等式左边为11111232212(1)k k k k k ++⋅⋅⋅+++++++，对照可得出结论． 12．C 令()=()()F x f x g x -，由()=()()0F x f x g x '''-<，则()F x 在[,]a b 上为减函数，则由a x b <<，得()()f x g x -＜()()f a g a -，即)()()()(a f x g a g x f +<+．13通过计算可知(())((()))f f x f f f x ==于是猜想((...()))n f f f x =次．14．二由一元二次不等式的解集的端点与相应一元二次方程的根的关系得0,200pm p m<=-<⇒>，即0,0m p <>．15．(2.5)(1)(3.5)f f f >>∵函数()y f x =在(0,2)上是增函数，∴022x <+<即20x -<<，∴函数(2)y f x =+ 在(2,0)-上是增函数，又∵函数(2)y f x =+是偶函数， ∴函数(2)y f x =+ 在(0,2)上是减函数，由图象可得(2.5)(1)(3.5)f f f >>．16．⑶⑷ （1）错，因为最值也可以在区间],[b a 的端点处取得，故最值可能是)(a f 或)(b f ；（2）错，极大值不一定大于极小值；（3）、（4）均符合相应的定义和性质，正确．19．解：答：()f x 在[]4,4-上是单调递减函数．证明：∵函数()f x 的图象关于原点成中心对称，则()f x 是奇函数,，所以1,0a b ==，于是3()48f x x x =-， ∴2()348f x x '=-，∴当(4,4),()0x f x '∈-<，又∵函数()f x 在[]4,4-上连续，所以()f x 在[-4,4]上是单调递减函数．20．证明：∵0,0a b b a >>，∴要证 abb a >，只要证：ln ln a b b a >，即只要证：ln ln b ab a >，取函数ln ()x f x x =，∵21ln ()xf x x-'=， ∴当x e >时,()0f x '<,∴函数()f x 在(,)e +∞上是单调递减， ∴当a b e >>时，有()()f b f a >，即ln ln b ab a>得证． 21．证明：（1）当1n =时．111111()2a S a a ==+，∴211(0)n a a =>，∴11a =1=，∴1n =时，结论成立．（2）假设n k =时，()n N *∈，结论成立，即k a当1n k =+时，11111111()()22k k k k k k ka S S a a a a ++++=-=+-+，11111()22k k a a ++=+-1111()2k k a a ++=+-∴21110k k a +++-=，解得10)k n a a +=>，∴1n k =+时，结论成立，由（1）（2）可知,对n N *∈都有n a ． 22．解：（1）∵()ln f x x =,∴当0x >时，()ln f x x =，当0x <时,()ln()f x x =-，∴当0x >时，1()f x x '=，当0x <时，11()(1)f x x x'=⋅-=-， ∴当0x ≠时,函数()ay g x x x ==+；（2）∵由⑴知当0x >时,()ag x x x=+，∴当0,0a x >>时, ()≥g xx =∴函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是∴依题意得2=∴1a =；（3）由27361y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得2121322,51326x x y y ⎧==⎧⎪⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩， ∴直线2736y x =+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积， 232271()()36S x x dx x ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦⎰=7ln 324-．。

高中数学人教B版选修2-2模块综合检测1 Word版含解析

选修2-2模块综合测试(一)(时间120分钟满分150分)一、选择题1．“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是() A. 完全归纳推理 B. 归纳推理C. 类比推理D. 演绎推理解析：由特殊到一般的推理为归纳推理．故选B.答案：B2．设f(x)＝10x＋lg x，则f′(1)等于()A. 10B. 10ln10＋lgeC.10ln10＋ln10 D. 11ln10解析：∵f′(x)＝10x ln10＋1x ln10，∴f′(1)＝10ln10＋lg e，故选B.答案：B3．[2013·四川高考]如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()A. AB. BC. CD. D解析：设z＝－a＋b i(a，b∈R＋)，则z的共轭复数z＝－a－b i，它对应点的坐标为(－a，－b)，是第三象限的点．故选B.答案：B4．[2014·江西高考]z是z的共轭复数，若z＋z＝2，(z－z)i＝2(i为虚数单位)，则z ＝()A．1＋i B．－1－iC．－1＋i D．1－i解析：设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z＝a－b i，又z＋z＝2，即(a＋b i)＋(a－b i)＝2，所以2a ＝2，解得a ＝1.又(z －z )i ＝2，即[(a ＋b i)－(a －b i)]·i ＝2，所以b i 2＝1，解得b ＝－1.所以z ＝1－i.答案：D5．a ＋b >2c 成立的一个充分条件是( ) A ．a >c 或b >c B ．a >c 且b >c C ．a >c 且b <cD ．a >c 或b <c解析：⎩⎨⎧ a >c b >c ⇒a ＋b >2c ，a ＋b >2cD ⇒/⎩⎪⎨⎪⎧a >c ，b >c . 答案：B6．[2014·杭州高二检测]函数y ＝ln x (x >0)的图象与直线y ＝12x ＋a 相切，则a 等于( )A. ln2－1B. ln2＋1C. ln2D. 2ln2解析：因为函数y ＝ln x 的导数y ′＝1x ，又函数y ＝ln x (x >0)的图象与直线y ＝12x ＋a 相切，所以1x ＝12，即x ＝2，所以切点P (2，ln2)，所以ln2＝1＋a ，即a ＝ln2－1.答案：A7．∫2π0|sin x |d x ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4解析：∫2π0|sin x |d x ＝∫π0sin x d x ＋∫2ππ(－sin x )d x ＝－cos x ⎪⎪ π0＋cos x⎪⎪ 2ππ＝1＋1＋1＋1＝4.答案：D8．给出下列三个命题： ①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b 1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n2；③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任意一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1，当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝1时，圆O 1与O 2相切．其中假命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2D. 3解析：①中，∵a ≥b >－1，∴a ＋1≥b ＋1>0. ∴要证原式成立，只要证 a (1＋b )≥b (1＋a )，这显然成立． ∴①正确； ②中m (n －m )≤m ＋(n －m )2＝n2也成立； ③中⊙O 1的圆心为O (0,0)，半径r 1＝3. ⊙O 2的圆心为Q (a ，b )，半径r 2＝1， ∴|OQ |＝a 2＋b 2.∵|OP |＋|PQ |＝r 1＋r 2＝4或|OP |－|PQ |＝r 1－r 2＝2与|OQ |的大小关系都是不确定的，∴不一定相切，故③为假命题．故选B.答案：B9．在区间(0，＋∞)内，函数f (x )＝e x －x 是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减D ．先减后增解析：f ′(x )＝e x －1，因为x >0，所以e x >1，所以e x －1>0，即y ′>0在(0，＋∞)上恒成立．故函数在(0，＋∞)上是增函数．答案：A10．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)<2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1) D ．f (0)＋f (2)>2f (1)解析：因为(x －1)f ′(x )≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，f ′(x )≥0.或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，f ′(x )≤0.(1)函数y ＝f (x )在(－∞，1]上单调递减， f (0)>f (1)；在[1，＋∞)上单调递增，f (2)>f (1)，所以f (0)＋f (2)>2f (1)． (2)函数y ＝f (x )为常数函数时， f (0)＋f (2)＝2f (1)，故f (0)＋f (2)≥2f (1)，故选C. 答案：C11．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )且f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )不能等于( ) A. f (1)＋2f (1)＋…＋nf (1) B. f (n (n ＋1)2)C. n (n ＋1)D.n (n ＋1)2f (1) 解析：f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令x ＝y ＝1，∴f (2)＝2f (1)．令x ＝1，y ＝2，f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)． ⋮f (n )＝nf (1)，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝(1＋2＋…＋n )f (1) ＝n (n ＋1)2f (1)． ∴A 、D 正确；又f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝f (1＋2＋…＋n ) ＝f (n (n ＋1)2)．∴B 也正确．故选C. 答案：C12．已知y ＝f (x )是R 上的可导函数，对于任意的正实数t ，都有函数g (x )＝f (x ＋t )－f (x )在其定义域内为减函数，则函数y ＝f (x )的图象可能为下图中的( )解析：因为函数g (x )＝f (x ＋t )－f (x )在其定义域内为减函数，所以g ′(x )＝f ′(x ＋t )－f ′(x )<0恒成立，即f ′(x )为减函数(切线斜率减小)．答案：A 二、填空题13．[2013·重庆高考]已知复数z ＝5i1＋2i (i 是虚数单位)，则|z |＝________.解析：∵z ＝5i1＋2i ＝5i (1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝10＋5i 5＝2＋i ，∴|z |＝22＋12＝ 5.答案： 514．函数y ＝11－cos x 的导数是__________．解析：y ′＝1′(1－cos x )－1·(1－cos x )′(1－cos x )2＝－sin x(1－cos x )2.答案：y ′＝－sin x(1－cos x )215．[2014·江苏高考]在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．解析：由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)可得－5＝4a ＋b 2 (1)．又y ′＝2ax －bx 2，所以在点P 处的切线斜率4a －b 4＝－72(2)．由(1)(2)解得a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.答案：－316．如图，在平面直角坐标系xOy 中，设三角形ABC 的顶点分别为A (0，a )、B (b,0)、C (c,0)．点P (0，p )为线段AO 上的一点(异于端点)，这里a 、b 、c 、p 为非零常数．设直线BP 、CP 分别与边AC 、AB 交于点E 、F ，某同学已正确求得直线OE 的方程：(1b －1c )x ＋(1p －1a)y ＝0.请你完成直线OF 的方程： (________)x ＋(1p －1a)y ＝0.解析：由对称性可猜想填1c －1b .事实上，由截距式可得直线AB ：x b ＋ya ＝1.直线CP ：x c ＋yp＝1，两式相减得(1c －1b )x ＋(1p －1a )y ＝0.显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．答案：1c －1b三、解答题17．(10分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝1＋5i ，z 2＝1－(a －2)i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求实数a 的取值范围．解：由题意，得z 1＝1＋5i1＋i ＝3＋2i ，于是|z 1－z 2|＝|2－(a －4)i|＝(4－a )2＋4，|z 1|＝13.因为|z 1－z 2|<|z 1|，所以(4－a )2＋4<13，即a 2－8a ＋7<0，解得a 的取值范围为(1,7)． 18．(12分)已知a 、b 、c 、d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数．证明：假设a 、b 、c 、d 都是非负数，因为a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以(a ＋b )(c ＋d )＝1. 又(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd ，所以ac ＋bd ≤1，这与已知ac ＋bd >1矛盾．所以a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数．19．(12分)已知实数a ≠0，函数f (x )＝ax (x －2)2(x ∈R )有极大值32，求a 的值．解：f (x )＝ax (x －2)2＝a (x 3－4x 2＋4x )． ∴f ′(x )＝a (3x 2－8x ＋4)＝a (3x －2)(x －2)．由f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝2.当a >0时，f (x )在x ＝23时，取极大值，由f (23)＝32，得a ＝27；当a <0时，f (x )在x ＝2时，取极大值，由f (2)＝32，得a 不存在， ∴a ＝27.20．(12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋1的图象经过点(1，－3)且在x ＝1处，f (x )取得极值．求：(1)函数f (x )的解析式； (2)f (x )的单调递增区间．解：(1)由f (x )＝ax 3＋bx ＋1的图象过点(1，－3)，得a ＋b ＋1＝－3. ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，又f ′(1)＝3a ＋b ＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－4，3a ＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－6.∴f (x )＝2x 3－6x ＋1.(2)∵f ′(x )＝6x 2－6，∴由f ′(x )>0得x >1或x <－1. ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)．21．(12分)已知数列8·112·32，8·232·52，…，8·n (2n －1)2·(2n ＋1)2，…，S n 为该数列的前n 项和，计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4＝8081.观察上述结果，推测出S n (n ∈N *)，并用数学归纳法加以证明．解：推测S n ＝(2n ＋1)2－1(2n ＋1)2(n ∈N *)．用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，S 1＝(2＋1)2－1(2＋1)2＝89，等式成立；(2)假设当n ＝k 时等式成立，即S k ＝(2k ＋1)2－1(2k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2－1(2k ＋1)2＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2 ＝[(2k ＋1)2－1](2k ＋3)2＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2(2k ＋3)2－(2k ＋3)2＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2(2k ＋3)2－(2k ＋1)2(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋3)2－1(2k ＋3)2＝[2(k ＋1)＋1]2－1[2(k ＋1)＋1]2.也就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)和(2)，可知对一切n ∈N *，等式均成立．22．(12分)[2014·辽宁高考]已知函数f (x )＝(cos x －x )(π＋2x )－83(sin x ＋1)，g (x )＝3(x －π)cos x －4(1＋sin x )ln(3－2xπ)．证明：(1)存在唯一x 0∈(0，π2)，使f (x 0)＝0；(2)存在唯一x 1∈(π2，π)，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1<π.证明：(1)当x ∈(0，π2)时，f ′(x )＝－(1＋sin x )(π＋2x )－2x －23cos x <0，函数f (x )在(0，π2)上为减函数，又f (0)＝π－83>0，f (π2)＝－π2－163<0，所以存在唯一x 0∈(0，π2), 使f (x 0)＝0.(2)考虑函数h (x )＝3(x －π)cos x 1＋sin x －4ln(3－2x π)，x ∈[π2，π]．令t ＝π－x ，则x ∈[π2，π]时，t ∈[0，π2]．设u (t )＝h (π－t )＝3t cos t 1＋sin t－4ln(1＋2tπ)，则u ′(t )＝3f (t )(π＋2t )(1＋sin t ).由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )>0，当t ∈(x 0，π2)时，u ′(t )<0.在(0，x 0)上u (t )是增函数，又u (0)＝0，从而当t ∈(0，x 0]时，u (t )>0，所以u (t )在(0，x 0]上无零点．在(x 0，π2)上u (t )为减函数，由u (x 0)>0，u (π2)＝－4ln2<0，知存在唯一t 1∈(x 0，π2)，使u (t 1)＝0.所以存在唯一的t 1∈(0，π2)，使u (t 1)＝0.因此存在唯一的x 1＝π－t 1∈(π2，π)，使h (x 1)＝h (π－t 1)＝u (t 1)＝0.因为当x ∈(π2，π)时，1＋sin x >0，故g (x )＝(1＋sin x )h (x )与h (x )有相同的零点，所以存在唯一的x 1∈(π2，π)，使g (x 1)＝0.因x 1＝π－t 1，t 1>x 0，所以x 0＋x 1<π.。

模块综合测评人教A版数学选修2-2 全册测评

模块综合测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在复平面内，复数5i2－i的对应点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：5i2－i＝5i(2＋i)(2－i)(2＋i)＝5i(2＋i)5＝－1＋2i，其对应的点的坐标为(－1,2)，位于第二象限，故选B.答案：B2．用反证法证明命题：“如果a>b，那么3a>3b”时，假设的内容应是()A.3a＝3b成立B.3a<3b成立C.3a＝3b或3a<3b成立D.3a＝3b且3a<3b成立解析：用反证法证明命题时“大于”的否定为“小于或等于”，故选C. 答案：C3．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫1，－53处切线的倾斜角为( ) A ．1 B.π4C.5π4 D ．－π4解析：∵y ＝13x 3－2，∴y ′＝x 2，∴曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫1，－53处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角为π4，故选B. 答案：B4．对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和为”( )A ．定值B ．变数C ．有时为定值、有时为变数D ．与正四面体无关的常数解析：设正四面体S －ABC 的棱长为a ，正四面体内任意一点O 到各面的距离分别为h 1，h 2，h 3，h 4，由体积关系得V S －ABC ＝13×24a 2·(h 1＋h 2＋h 3＋h 4)＝13×34a 2×63a .∴h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝63a (63a 为正四面体的高)，∴正四面体内任意一点到各面的距离之和为定值，故选A.答案：A5．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12是f (x )的极小值点B ．x ＝2是f (x )的极小值点C ．x ＝12是f (x )的极大值点D ．x ＝2是f (x )的极大值点解析：f (x )＝2x ＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2，由f ′(x )＝0得x＝2，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，∴x ＝2是函数f (x )的极小值点，故选B.答案：B6．已知z 1，z 2是复数，定义复数的一种运算“”为：z 1z 2＝⎩⎪⎨⎪⎧z 1z 2(|z 1|>|z 2|)z 1＋z 2(|z 1|≤|z 2|)若z 1＝2＋i 且z 1z 2＝3＋4i ，则复数z 2＝( )A ．2＋iB ．1＋3iC ．2＋i 或1＋3iD ．条件不够，无法求出解析：z 1＝2＋i ，且z 1z 2＝3＋4i ，若|z 1|>|z 2|，则z 1z 2＝z 1z 2＝(2＋i)z 2＝3＋4i ，∴z 2＝3＋4i 2＋i ＝(3＋4i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝10＋5i5＝2＋i ，此时|z 1|＝5，|z 2|＝5，不满足|z 1|>|z 2|，舍；若|z 1|≤|z 2|，则z 1z 2＝z 1＋z 2＝(2＋i)＋z 2＝3＋4i ，∴z 2＝(3＋4i)－(2＋i)＝1＋3i ，此时|z 1|＝5，|z 2|＝10，满足|z 1|≤|z 2|.∴z 2＝1＋3i ，故选B. 答案：B7．如图阴影部分面积是( )A ．e ＋1eB ．e ＋1e －1C ．e ＋1e －2D ．e －1e解析：函数y ＝e x 与y ＝e －x 的图象都过点(0,1)，所以阴影部分的面积为⎠⎛01(e x －e －x )d x ＝(e x ＋e －x )10＝(e ＋e －1)－(1＋1)＝e ＋1e－2，故选C . 答案：C8．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，f(x)＝2x 2－3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝( ) A .92 B .94 C .174 D .178解析：由f(x)＝2x 2－3xf ′(2)＋ln x ，∴f ′(x)＝4x －3f ′(2)＋1x ，令x ＝2，得f ′(2)＝8－3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝178，故选D .答案：D9．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1,2,3)，且法向量为m ＝(－1，－2,1)的平面的方程为( )A ．x ＋2y ＋z －2＝0B ．x －2y －z －2＝0C ．x ＋2y －z －2＝0D ．x ＋2y ＋z ＋2＝0解析：由类比的方法，得此时平面的方程应为：(－1)×(x －1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0，整理得x ＋2y －z －2＝0，故选C.答案：C10．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43B ．2 C.83 D.1623解析：因为抛物线方程为x 2＝4y ，所以其焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1.如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图象和x轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，即S ＝4－2⎠⎛02x 24d x ＝4－2·x 31220＝4－43＝83.故选C .答案：C11．已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( ) A ．ln 2 B ．1C ．1－ln 2D ．1＋ln 2解析：设切点为(x 0，x 0ln x 0)，由y ＝x ln x ，得y ′＝ln x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝k ，kx 0－2＝x 0ln x 0.∴(ln x 0＋1)·x 0－2＝x 0ln x 0，解得x 0＝2，∴k ＝ln 2＋1，故选D . 答案：D12．函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f ′(x)，且满足xf ′(x)＋2f(x)>0，则不等式(x ＋2 019)f (x ＋2 019)5<5f (5)x ＋2 019的解集为( )A ．{x|x>－2 014}B ．{x|－2 019<x<－2 014}C ．{x|0<x<2 014}D ．{x|x<－2 014}解析：构造函数F(x)＝x 2·f(x)，依题意可知，当x>0时，F ′(x)＝x[xf ′(x)＋2f(x)]>0，故函数F(x)在(0，＋∞)上为增函数．由于x>0，故所求不等式可化为(x ＋2 019)2·f(x ＋2 019)<52·f(5)，所以0<x ＋2 019<5，解得－2 019<x<－2 014.故选B .答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln (－x)＋3x ，则曲线y ＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是______________．解析：因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ln x －3x ，所以f ′(x)＝1x －3，则f ′(1)＝－2.所以y ＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.答案：y ＝－2x －114．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋142＋…＋120192<________.解析：根据不等式的左边规律是n ＋1个自然数倒数的平方和，右边分母的规律是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以第n 个不等式应为：1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1，∴1＋122＋132＋142＋…＋120192<40372019.答案：4037201915．若函数f(x)＝x 3＋ax 2＋x －7在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x －7在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立，又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，∴3x 2＋2ax ＋1≥0，恒成立，∴Δ＝(2a )2－4×3×1≤0，解得－3≤a ≤ 3.∴实数a 的取值范围是[－3，3]．答案：[－3，3]16．下列四个命题中，正确的为________(填上所有正确命题的序号)． ①若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则a ，b ，c 中至少有一个不小于1； ②若z 为复数，且|z |＝1，则|z －i|的最大值等于2； ③对任意x ∈(0，＋∞)，都有x >sin x ； ④定积分∫ππ－x 2d x ＝π24. 解析：①若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则用反证法证明，假设a ，b ，c 都小于1，则a ＋b ＋c<3，与已知矛盾，故可得a ，b ，c 中至少有一个不小于1，故①正确；②若z 为复数，且|z|＝1，则由|z －i |≤|z|＋|－i |＝2，可得|z －i |的最大值等于2，故②正确；③令y ＝x －sin x ，其导数为y ′＝1－cos x ，y ′≥0，所以y ＝x －sin x 在R 上为增函数，当x ＝0时，x －sin x ＝0，所以对任意x ∈(0，＋∞)，都有x －sin x >0，故③正确．④定积分∫ππ－x 2d x 表示以原点为圆心，π为半径的圆的面积的四分之一，故④正确．答案：①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知复数z ＝(1＋2m)＋(3＋m)i (m ∈R )，i 为虚数单位． (1)若复数z 在复平面上所对应的点在第二象限，求m 的取值范围； (2)当m 为何值时，|z |最小，并求|z |的最小值．解析：(1)因为复数z ＝(1＋2m )＋(3＋m )i(m ∈R )在复平面上所对应的点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2m <03＋m >0，解得－3<m <－12，所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－3，－12. (2)因为|z |2＝(1＋2m )2＋(3＋m )2＝5m 2＋10m ＋10＝5(m ＋1)2＋5，所以当m ＝－1时，|z |min ＝ 5.18．(12分)已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋a . (1)求f (x )在区间[－2,2]上的最值；(2)若f (x )有且只有两个零点，求实数a 的值．解析：(1)f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝3(舍去)，∴f (x )在[－2,1)上单调递增，在(1,2]上单调递减， ∵f (1)＝4＋a ，f (－2)＝－50＋a ，f (2)＝2＋a ， ∴在区间[－2,2]上，f (x )min ＝－50＋a ，f (x )max ＝4＋a .(2)令f(x)＝x3－6x2＋9x＋a＝0，可得a＝－x3＋6x2－9x，设g(x)＝－x3＋6x2－9x，则g′(x)＝－3x2＋12x－9，令g′(x)＝0，得x＝1或x＝3，列表如下：x (－∞，1)1(1,3)3(3，＋∞) g′(x)－0＋0－g(x)递减有极小值－4递增有极大值0递减∴g(x)的大致图象如下：要使a＝－x3＋6x2－9x有且只有两个零点，只需直线y＝a与g(x)的图象有两个不同的交点，∴实数a的值为－4或0.19．(12分)(1)当a>2时，求证：a＋2＋a－2<2a；(2)证明：2，3，5不可能是同一个等差数列中的三项．证明：(1)由题意得(a＋2＋a－2)2＝2a＋2a＋2·a－2，∵a－2>0，a＋2>0，且a＋2≠a－2，∴要证a＋2＋a－2<2a，即证2a＋2a＋2·a－2<4a，即证a＋2·a－2<a，即证a2－4<a2，即证－4<0，而－4<0显然成立，所以a ＋2＋a －2<2a 得证．(2)假设2，3，5是同一个等差数列中的三项，分别设为a m ，a n ，a p ，则d ＝a m －a n m －n ＝2－3m －n为无理数，又d ＝a m －a p m －p ＝2－5m －p ＝－3m －p为有理数，矛盾．所以假设不成立，即2，3，5不可能是同一个等差数列中的三项．20．(12分)时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y (单位：千套)与销售价格x (单位：元/套)满足的关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m 的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留1位小数)．解析：(1)因为x ＝4时，y ＝21，代入关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21，解得m＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量为y ＝10x －2＋4(x －6)2，所以每日销售套题所获得的利润f (x )＝(x －2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤10x －2＋4(x －6)2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，且在⎝⎛⎭⎫2，103上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在⎝⎛⎭⎫103，6上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．21．(12分)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )． (1)若f (x )在x ＝2处取得极值，求a 的值；(2)求f (x )的单调区间；(3)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3. 解析：(1)f ′(x )＝x －a x，因为x ＝2是一个极值点，所以2－a 2＝0，所以a ＝4. (2)因为f ′(x )＝x －a x，f (x )的定义域为x >0，所以当a ≤0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a >0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝(x －a )(x ＋a )x，令f ′(x )>0，得x >a ，所以函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)；令f ′(x )<0，得0<x <a ，所以函数f (x )的单调递减区间为(0，a )．(3)证明：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，则g ′(x )＝2x 2－x －1x，因为当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0，所以g (x )在(1，＋∞)上是增函数．所以g (x )>g (1)＝16>0. 所以当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3. 22．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．(1)试求出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．(2)用数学归纳法证明你的猜想，求并出a n 的表达式．解析：(1)因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2) 所以S n ＝n 2(S n －S n －1)，所以S n ＝n 2n 2－1S n －1(n ≥2) 因为a 1＝1，所以S 1＝a 1＝1.所以S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2n n ＋1(n ∈N *)． (2)证明：①当n ＝1时，S 1＝1成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立，即S k ＝2k k ＋1，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝a k ＋1＋S k ＝a k ＋1＋2k k ＋1，所以a k ＋1＝2(k ＋2)(k ＋1)，所以S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝2(k ＋1)k ＋2＝2(k ＋1)(k ＋1)＋1，所以n ＝k ＋1时等式也成立，得证．所以根据①、②可知，对于任意n ∈N *，等式均成立．又因为a k ＋1＝2(k ＋2)(k ＋1)，所以a n ＝2n (n ＋1).。

人教新课标版数学高二-选修2-2模块综合检测卷(三)

数学·选修2－2(人教A 版)模块综合检测卷(三)(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题中要求的)1．(2013·江门二模)已知复数z 的实部为1，且|z |＝2，则复数z 的虚部是( )A ．－ 3 B.3i C ．±3i D ．±3解析：设复数z 的虚部是为b ，要求已知复数z 的实部为1，且|z |＝2，故有1＋b 2＝4，解得b ＝±3，故选D. 答案：D2. 若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以复数的实部cos θ＋sin θ＞0，虚部sin θ－cos θ＜0，所以复数对应的点在第四象限．故选D.答案：D3．(2014·安徽池州一中月考)设x ∈R ，则“x 2＝x ”成立的充分不必要条件是( )A ．“x ＝1”B ．“x (x －1)＝0”C ．“x (x ＋1)＝0”D ．“x (x 2－1)＝0”解析：“x ＝1”是“x 2＝x ”的充分不必要条件； “x (x －1)＝0”是“x 2＝x ”的充要条件； “x (x ＋1)＝0” 是“x 2＝x ”的不充分不必要条件；“x (x 2－1)＝0”是“x 2＝x ”的不充分不必要条件．故选A.答案：A4．已知函数f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.2 D ．a >0解析：∵f ′(x )＝12(ax 2－1)－12·2ax ＝axax 2－1，∴f ′(1)＝aa －1＝2，∴a ＝2. 答案：B5．函数f (x )＝ln x －12x 2的图象大致是( )答案：B6．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，x ＝3及x 轴所围成的曲边四边形的面积为( )A.116B.92C.12＋ln 3 D ．4－ln 3解析：由xy ＝1得y ＝1x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝1x得x D ＝1，所以曲边四边形的面积为x d x ＋1x d x ＝＋＝12＋ln 3，故选C.7．某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1 000元．如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人(不到100人不组团)．要使旅行社的收费最多，旅游团组团人数为() A．130 B．140 C．150 D．160解析：设参加旅游的人数为x，旅游团收费为y，则依题意有f(x)＝1 000x－5(x－100)x(100≤x≤180)，令f′(x)＝1 500x－10x＝0得x ＝150.又f(100)＝100 000，f(150)＝112 500，f(180)＝108 000，所以当参加人数为150人时，旅游团的收费最高，可达112 500元，故选C.答案：C8．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3]∪[3，＋∞) B．[－3，3]C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－3，3)解析：f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)恒成立，Δ＝4a2－12≤0⇒－3≤a≤ 3.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分；将正确答案填在题中的横线上)9．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的实部是________．解析：因为z ＋1＝－3＋2ii ＝2＋3i ，所以z ＝1＋3i ，故z 的实部是1.答案：110．(2013·江西卷)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.解析：设e x ＝t ，则x ＝ln t (t ＞0)，所以f (t )＝t ＋ln t ，所以f ′(t )＝1＋1t ，所以f ′(1)＝2.答案：211．(2013·潮州二模改编)计算⎰e 1⎝⎛⎭⎪⎫3x －1x d x ＝________________.解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2′＝3x ，(ln x )′＝1x ，＝32e 2－32－(ln e －ln 1)＝3e 2－52. 答案：3e 2－5212．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是________．解析：f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x . 令f ′(x )＞0，解得x ＞2，故单调递增区间为(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)13．一同学在电脑中打出如下若干个圆，○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前100个圆中有________个●.解析：∴2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＜100，即n(n＋3)2＜100，则满足条件的n＝12.答案：1214．设函数f(x)＝xx＋2(x＞0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝____________________.解析：观察1,3,7,15，…，与对应项的关系，显然满足2n－1，观察2,4,8,16，…，与对应项的关系，显然满足2n，故f n(x)＝x(2n－1)x＋2n.答案：x(2n－1)x＋2n三、解答题(本大题共6小题，共80分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)15．(本小题满分12分)设|z |＝1，且z ≠±i ，求证z1＋z 2为实数．证明：由条件可知z ≠0，设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，x ≠0)，则z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，且x 2＋y 2＝1，所以z 1＋z 2＝x ＋y i 1＋x 2－y 2＋2xy i ＝x ＋y i 2x 2＋2xy i＝12x ·x ＋y i x ＋y i ＝12x ∈R ，所以z 1＋z2为实数．16．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1.(1)写出a 1，a 2，a 3, 并推测a n 的表达式；解析：由S n ＋a n ＝2n ＋1得a 1＝32， a 2＝74， a 3＝158，∴a n ＝2n ＋1－12n ＝2－12n .(2)用数学归纳法证明所得的结论．证明：①当n ＝1时，左边＝S 1＋a 1＝32＋32＝3，右边＝2×1＋1＝3，∴结论成立． ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即a k ＝2－12k ，当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1, ∵a 1＋a 2＋…＋a k ＝2k ＋1－a k,∴2a k ＋1＝4－12k ， ∴a k ＋1＝2－12k ＋1成立．根据①②知对于任何自然数n ，结论成立．17．(本小题满分14分)设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax ＋b (a ＞0)．(1)求f (x )的最小值；解析：解法一 f (x )＝ax ＋1ax ＋b ≥2ax ·1ax ＋b ＝b ＋2，当且仅当ax ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝1a 时，f (x )的最小值为b ＋2.解法二 f (x )的导数f ′(x )＝a －1ax 2＝a 2x 2－1ax 2，当x ＞1a 时，f ′(x )＞0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上递增；当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＜0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上递减．所以当x ＝1a 时，f (x )取得最小值2＋b .(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程y ＝32x ，求a ，b 的值．解析：由题意得：f (1)＝32⇔a ＋1a ＋b ＝32， ①f ′(x )＝a 2x 2－1ax 2⇒f ′(1)＝a －1a ＝32， ② 由①②得：a ＝2，b ＝－1.18．(本小题满分14分)已知y ＝f (x )为定义在R 上奇函数，并且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2ln x －mx ＋12x 2.(1)求f (x )的解析式；解析：因为y ＝f (x )为定义在R 上奇函数，所以设x ∈(－∞，0)，有－x ∈(0，＋∞)，f (x )＝－f (－x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2ln (－x )＋mx ＋12x 2，即当x ∈(－∞，0)，f (x )＝－2ln(－x )－mx －12x 2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2ln x －mx ＋12x 2，x ＞0，0，x ＝0，－2ln (－x )－mx －12x 2，x ＜0.(2)若f (x )在[1,2]上单调递减，求m 的取值范围．解析：因为f (x )在[1,2]上单调递减，所以f ′(x )＝2x －m ＋x ＝x 2－mx ＋2x≤0在[1,2]上恒成立．设h (x )＝x 2－mx ＋2，则有⎩⎨⎧h (1)≤0，h (2)≤0，解得m ≥3.19．(2013·河北唐山市一模)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝mx ＋nex 在x ＝1处取得极值e －1.(1)求函数f (x )的解析式，并求f (x )的单调区间；解析：f ′(x )＝－mx ＋n －me x .依题意，f (1)＝e －1，f ′(1)＝0，即⎩⎨⎧(m ＋n )e －1＝e －1，－n e －1＝0，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝0.所以f (x )＝xe x ，f ′(x )＝x －1e x .当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.函数f (x )在(－∞，1)单调递增；在(1，＋∞)单调递减．(2)当x >0时，试证：f (1＋x )>f (1－x )．解析：设g (x )＝f (1＋x )－f (1－x )＝1＋x e 1＋x －1＋xe 1－x ＝(1＋x )e －x －(1－x )e xe .设h (x )＝(1＋x )e －x －(1－x )e x ＝1＋xex －(1－x )e x，则h ′(x )＝x (e 2x －1)e x>0，h (x )在(0，＋∞)上单调递增，h (x )>h (0)＝0，所以g (x )>0，从而f (1＋x )>f (1－x )．20．(本小题满分14分)数列{a n }满足a 1＝16,前n 项和S n ＝n (n ＋1)2a n .(1)求出a 2，a 3，a 4的值；解析：(2)猜出a n 的表达式，并用数学归纳法证明．解析：猜想a n ＝1(n ＋1)(n ＋2)，下面用数学归纳法给出证明．①当n ＝1时，a 1＝16＝1(1＋1)(1＋2)，结论成立．②假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＝1(k ＋1)(k ＋2)，则当n ＝k＋1时，S k ＝k (k ＋1)2a k ＝k (k ＋1)2·1(k ＋1)(k ＋2)＝k2(k ＋2)，S k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1，即S k ＋a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1.所以k2(k ＋2)＋a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1.所以a k ＋1＝k2(k ＋2)(k ＋1)(k ＋2)2－1＝kk (k ＋3)(k ＋2)＝1(k ＋2)(k ＋3).当n ＝k ＋1时结论成立．由①②可知，对一切n ∈N *都有a n ＝1(n ＋1)(n ＋2).。

高中数学-选修2-2模块测试卷(含详细答案)

高中数学选修2-2模块测试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．因指数函数xa y =是增函数（大前提）,而x y )31(=是指数函数（小前提），所以x y )31(=是增函数（结论）”，上面推理的错误是（）A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错2．设O 是原点，向量OA OB ，对应的复数分别为2332i i --+，，那么向量BA 对应的复数是（）A ．55i -+B ．55i --C ．55i +D ．55i - 3．函数x x x f ln )(=，则（）A ．在(0)∞，上递增B ．在(0)∞，上递减C ．在1(0)e ，上递增 D ．在1(0)e，上递减 4．如右图，阴影部分面积为（） A ．[()()]ba f x g x dx -⎰B ．[()()][()()]c bacg x f x dx f x g x dx -+-⎰⎰C ．[()()][()()]c bacf xg x dx g x f x dx -+-⎰⎰D ．[()()]bag x f x dx -⎰5．证明：2111111(1)22342n n n n+<+++++<+>，当2n =时，中间式子等于（） A ．1 B ．112+C ．11123++ D ．1111234+++ 6．42xe dx -⎰的值等于（）A ．42e e -- B ．42e e + C ．422e e +- D ．422e e -+-7．函数2sin(2)y x x =+导数是（）A ．2cos(2)x x + B ．22sin(2)x x x + C ．2(41)cos(2)x x x ++ D ．24cos(2)x x +8．抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与其平行直线0bx y c ++=间的距离是（）A ．24B ．22C ．322D ．29．'()f x 是()f x 的导函数，'()f x 的图象如右图所示，则()f x 的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．10．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（） A ．(0)(2)2(1)f f f +< B ．(0)(2)2(1)f f f +≤ C ．(0)(2)2(1)f f f +≥ D ．(0)(2)2(1)f f f +>二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）11．若复数()()22563m m m m i -++-是纯虚数，则实数m =_________． 12．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为3213232s t t t =-+，那么速度为零的时刻是_________． 13．若函数()y f x =的图象在4x =处的切线方程是29y x =-+，则(4)(4)f f '-=_________．14．已知2()ln(22)(0)f x x ax a a =-+->，若()f x 在[1)+∞，上是增函数，则a 的取值范围是_________．15．通过类比长方形，由命题“周长为定值l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为216l ”，可猜想关于长方体的相应命题为：．三、解答题（共6小题，共75分）16．（本小题满分10分）已知复数2(1i)3(1i)2iz ++-=+，若21i()z az b a b ++=+∈R ，，求a b +的值．17．（本小题满分11分）设2(0)()cos 1(0)x x f x x x ⎧=⎨->⎩ ≤，，试求π21()f x dx -⎰．18．（本小题满分12分）设a b c ，，均为大于1的正数，且10ab =．求证：log log 4lg a b c c c +≥． 19．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，113a =，且前n 项的算术平均数等于第n 项的21n -倍*()n ∈N ．（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想{}n a 的通项公式，并加以证明． 20．（本小题满分14分）已知函数21()ln 2f x x x =+．（1）求函数()f x 在区间[1e]，上的最大、最小值；（2）求证：在区间(1)+∞，上，函数()f x 的图象在函数32()3g x x =的图象的下方．21．（本小题满分14分）已知函数3()31f x x ax =+-，()()5g x f x ax '=--，其中()f x '是()f x 的导函数．（1）对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围；（2）设2a m =-，当实数m 在什么范围内变化时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点．参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ADDBDCCCDC二、填空题11．2 12．1秒或2秒 13．3 14．12a <≤15．表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为236S ⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题 16．解：2i 33i 3i1i 2i 2iz +--===-++，2(1i)(1i)1i a b ∴-+-+=+，()(22i)1i a b ∴++--=+，1a b ∴+=． 17．解：ππ02211()()()f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰π0221(cos 1)x dx x dx -=+-⎰⎰1π4π13232=+-=-． 18．证明：由于1a >，1b >，故要证明log log lg a b c c c +4≥，只需证明lg lg 4lg lg lg c cc a b+≥，又1c >，lg 0c >，所以只需证明11lg lg a b +4≥，即lg lg 4lg lg a b a b+≥．因为10ab =，所以lg lg 1a b +=，故只需证明14lg lg a b≥．①由于1a >，1b >，所以lg 0a >，lg 0b >，所以2lg lg 10lg lg 24a b a b +⎛⎫<= ⎪⎝⎭≤．即①式成立，所以原不等式成立．19．解：（1）由已知113a =，123(21)n n a a a a n a n ++++=-，分别取2345n =，，，，得2111153515a a ===⨯， 312111()145735a a a =+==⨯，4123111()277963a a a a =++==⨯， 51234111()4491199a a a a a =+++==⨯，所以数列的前5项是113a =，2115a =，3135a =，4163a =，5199a =；（2）由（1）中的分析可以猜想1(21)(21)n a n n =-+．下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，猜想显然成立． ②假设当n k =时猜想成立，即1(21)(21)k a k k =-+．那么由已知，得12311(21)1k k k a a a a a k a k +++++++=++，即21231(23)k k a a a a k k a +++++=+．所以221(2)(23)k k k k a k k a +-=+，即1(21)(23)k k k a k a +-=+，又由归纳假设，得11(21)(23)(21)(21)k k k a k k +-=+-+，所以11(21)(23)k a k k +=++，即当1n k =+时，公式也成立．由①和②知，对一切*n ∈N ，都有1(21)(21)n a n n =-+成立．20．（1）解：由已知1()f x x x'=+，当[1e]x ∈，时，()0f x '>，所以函数()f x 在区间[1e]，上单调递增，所以函数()f x 在区间[1e]，上的最大、最小值分别为2e (e)12f =+，1(1)2f =，所以函数()f x 在区间[1e]，上的最大值为2e 12+，最小值为12；（2）证明：设2312()ln 23F x x x x =+-，则221(1)(12)()2x x x F x x x x x -++'=+-=．因为1x >，所以()0F x '<，所以函数()F x 在区间(1)+∞，上单调递减，又1(1)06F =-<，所以在区间(1)+∞，上，()0F x <，即2312ln 23x x x +<，所以在区间(1)+∞，上函数()f x 的图象在函数32()3g x x =图象的下方．21．解：（1）由题意，得22()335(3)35g x x ax a x a x =-+-=-+-，设2()(3)35a x a x ϕ=-+-，11a -≤≤．对11a -≤≤中任意a 值，恒有()0g x <，即()0a ϕ<，(1)0(1)0ϕϕ<⎧∴⎨-<⎩，，即2232080x x x x ⎧--<⎪⎨3+-<⎪⎩，，解得213x -<<．故213x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <．（2）22()33f x x m '=-，①当0m =时，3()1f x x =-的图象与直线3y =只有一个公共点． ②当0m ≠时，列表：()()f x f m ∴==极小．又()f x 的值域是R ，且在()m +∞，上单调递增，∴当x m >时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点；当x m <-时，恒有()()f x f m -≤．由题意，得()3f m -<，即3221213m m m -=-<，解得33(20)(02)m ∈-，，．综上，m 的取值范围是33(22)-，．极大值最小值。

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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作模块综合测评(时间150分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若复数z＝a＋i的实部与虚部相等，则实数a＝()A.－1B.1C.－2D.2【解析】z＝a＋i的虚部为1，故a＝1，选B.【答案】 B2.已知复数z＝11＋i，则z·i在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】∵z＝11＋i＝1－i2，∴z＝12＋12i，∴z·i＝－12＋12i.【答案】 B3.观察：6＋15<211， 5.5＋15.5<211，4－2＋17＋2 <211，……，对于任意的正实数a，b，使a＋b<211成立的一个条件可以是()A.a＋b＝22B.a＋b＝21C.ab＝20D.ab＝21【解析】由归纳推理可知a＋b＝21.故选B.【答案】 B4.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝()A.－eB.－1C.1D.e【解析】∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，∴f′(x)＝2f′(1)＋1 x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1.【答案】 B5.由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图像是一条直线；③一次函数的图像是一条直线.写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是()A.②①③B.③②①C.①②③D.③①②【解析】该三段论应为：一次函数的图像是一条直线(大前提)，y＝2x＋5是一次函数(小前提)，y＝2x＋5的图像是一条直线(结论).【答案】 D6.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图1所示，则()图1A.函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B.函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C.函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D.函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点【解析】根据极值的定义及判断方法，检查f ′(x )的零点左右值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个点处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f (x )在这个点处不是极值.由此可见，x 2是函数f (x )的极大值点，x 3是极小值点，x 1，x 4不是极值点.【答案】 A7.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )【导学号：94210089】A.94e 2B.2e 2C.e 2D.e 22【解析】 ∵f ′(x )＝e x ，∴曲线在点(2，e 2)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝e 2，切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即e 2x －y －e 2＝0，切线与x 轴和y 轴的交点坐标分别为A (1，0)，B (0，－e 2)，则切线与坐标轴围成的△OAB 的面积为12×1×e 2＝e 22.【答案】 D8.已知数列1，a ＋a 2，a 2＋a 3＋a 4，a 3＋a 4＋a 5＋a 6，…，则数列的第k 项是( )A.a k ＋a k ＋1＋…＋a 2kB.a k －1＋a k ＋…＋a 2k －1C.a k －1＋a k ＋…＋a 2kD.a k －1＋a k ＋…＋a 2k －2【解析】由归纳推理可知，第k 项的第一个数为a k －1，且共有k 项.故选D.【答案】 D9.函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A.a ≤0 B.a <1 C.a <2D.a ≤13【解析】由题意可知f ′(x )＝3ax 2－1≤0在R 上恒成立，则a ≤0. 【答案】 A10.设a ＝⎠⎛10x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系( ) A .a>b>c B.b>a>c C .a>c>bD.b>c>a【解析】由题意可得a ＝⎠⎛01x －13dx ＝32x 23⎪⎪⎪10＝32；b ＝1－⎠⎛01x 12dx ＝1－23x 32⎪⎪⎪10＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－0＝13；c ＝⎠⎛01x 3dx ＝x 44⎪⎪⎪10＝14.综上，a >b >c . 【答案】 A11.在数学归纳法的递推性证明中，由假设n ＝k 时成立推导n ＝k ＋1时成立时，f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1增加的项数是( )A.1B.2k ＋1C.2k －1D.2k【解析】 ∵f (k )＝1＋12＋13＋…＋12k －1，又f (k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1.从f (k )到f (k ＋1)是增加了(2k ＋1－1)－2k ＋1＝2k 项. 【答案】 D12.已知函数f (x )＝x 3－ln (x 2＋1－x )，则对于任意实数a ，b (a ＋b ≠0)，则f （a ）＋f （b ）a ＋b的值为( )A.恒正B.恒等于0C.恒负D.不确定【解析】可知函数f (x )＋f (－x )＝x 3－ln (x 2＋1－x )＋(－x )3－ln (x 2＋1＋x )＝0，所以函数为奇函数，同时，f ′(x )＝3x 2＋1x 2＋1>0，f (x )是递增函数，f （a ）＋f （b ）a ＋b ＝f （a ）－f （－b ）a －（－b ），所以f （a ）＋f （b ）a ＋b>0，所以选A .【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.复数3＋ii 2(i 为虚数单位)的实部等于________. 【解析】 ∵3＋ii 2＝－3－i ，∴其实部为－3. 【答案】－314.观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，……，根据上述规律，第五个等式为________.【解析】第n 个等式左边为1到n ＋1的立方和，右边为1＋2＋3＋…＋(n ＋1)的平方，所以第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.【答案】 13＋23＋33＋43＋53＋63＝21215.曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12围成的封闭图形的面积为__________.【导学号：94210090】【解析】由于曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12的交点的横坐标分别为x ＝π6及x ＝5π6，因此所求图形的面积为⎠⎜⎛π65π6⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －12dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x －12x ⎪⎪⎪⎪5π6π6＝3－π3.【答案】3－π316.(2016·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是________.【解析】设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x .∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝e x －1＋x . ∵当x ＞0时，f ′(x )＝e x －1＋1， ∴f ′(1)＝e 1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程为 y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 【答案】 2x －y ＝0三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设复数z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值.【解】 z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝（3－i ）（2－i ）5＝5－5i5＝1－i .因为z 2＋az ＋b ＝(1－i )2＋a (1－i )＋b ＝－2i ＋a －ai ＋b ＝(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i ，所以⎩⎨⎧a ＋b ＝1，－（2＋a ）＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝4.18.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围. 【解】 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1， f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝2－1，x 2＝2＋1.当x ∈(－∞， 2－1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－1)上是增函数；当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(2－1, 2＋1)上是减函数；当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数. (2)由f (2)≥0，得a ≥－54.当a ≥－54，x ∈(2，＋∞)时， f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0，所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0. 综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，＋∞.19.(本小题满分12分)设等差数列{a n }的公差为d ，S n 是{a n }中从第2n －1项开始的连续2n －1项的和，即S 1＝a 1， S 2＝a 2＋a 3， S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7， ……S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋…＋a 2n －1， ……若S 1，S 2，S 3成等比数列，问：数列{S n }是否成等比数列？请说明你的理由. 【解】 ∵S 1，S 2，S 3成等比数列，∴S 1＝a 1≠0，且S 1·S 3＝S 22，由S 1·S 3＝S 22，得a 1(a 4＋a 5＋a 6＋a 7)＝(a 2＋a 3)2，即a 1(4a 1＋18d )＝(2a 1＋3d )2，2a 1d ＝3d 2.∴d ＝0或a 1＝32d . 当d ＝0时，S n ＝2n －1a 1≠0，S n ＋1S n ＝2n a 12n －1a 1＝2(常数)，n ∈N ＋，{S n }成等比数列；当a 1＝32d 时，S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋a 2n －1＝2n －1a 2n －1＋2n －1（2n －1－1）2d＝2n －1[a 1＋(2n －1－1)d ]＋2n －1（2n －1－1）2d＝2n －1⎝⎛⎭⎪⎫32d ·2n －1＋a 1－32d ＝32d ·4n －1≠0，S n ＋1S n ＝32d ·4n32d ·4n －1＝4(常数)，n ∈N ＋，{S n }成等比数列.综上所述，若S 1，S 2，S 3成等比数列，则{S n }成等比数列.20.(本小题满分12分)已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝14f (x )＋ax 3＋92x 2－b (x ∈R )，其中a ，b ∈R ，若函数g (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围.【解】 (1)因为f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数，所以－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0，所以－1<m <3，又m ∈Z ，所以m ＝0，1，2. 而m ＝0，2时，f (x )＝x 3不是偶函数，m ＝1时， f (x )＝x 4是偶函数，所以f (x )＝x 4.(2)由(1)知g (x )＝14x 4＋ax 3＋92x 2－b ，则g ′(x )＝x (x 2＋3ax ＋9)，显然x ＝0不是方程x 2＋3ax ＋9＝0的根. 为使g (x )仅在x ＝0处有极值，必须x 2＋3ax ＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a 2－36≤0，解不等式得a ∈[－2，2]. 这时，g (0)＝－b 是唯一极值，所以a ∈[－2，2].21.(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想. 【解】 (1)由S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1，因为a n >0，所以a 1＝1.由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0，所以a 2＝2－1，由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3，得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N ＋). 证明：①当n ＝1时， a 1＝1－0＝1，命题成立； ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时， a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ，即a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1 －12⎝⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0. 所以a k ＋1＝k ＋1－k ，则n ＝k ＋1时，命题成立.则①②知，n ∈N ＋，a n ＝n －n －1.22.(本小题满分12分)设函数f (x )＝a e xln x ＋b e x －1x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1.【解】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋bx e x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2. (2)证明：由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2x e x －1，从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e . 设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x . 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0.故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .设函数h (x )＝x e －x －2e ，则h ′(x )＝e －x (1－x ). 所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e . 综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.。

选修2-2测试卷

数学测试卷1. 在复平面内,复数(2-i)2对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2.把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论还正确的是 (A) 如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则比与另一条相交 (B) 如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则比与另一条垂直 (C) 如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交 (D) 如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行3.某纺织厂的一个车间有技术工人m 名（m N *∈），编号分别为1、2、3、……、m ，有n 台（n N *∈）织布机，编号分别为1、2、3、……、n ，定义记号i j a ：若第i 名工人操作了第j 号织布机，规定1i j a =，否则0i j a =，则等式41424343n a a a a ++++= 的实际意义是A 、第4名工人操作了3台织布机；B 、第4名工人操作了n 台织布机；C 、第3名工人操作了4台织布机；D 、第3名工人操作了n 台织布机.4.平面几何中，有边长为a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为A ．3a B ．3C ．4a D ．4a 5.如图，在梯形ABCD 中，()AB DC AB a CDb a b ==>，，∥．若E F A B ∥，EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则可推算出nm nbma EF++=．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD BC，相交于O 点，设OAB △，OCD △的面积分别为12S S ，，EF AB ∥且EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则OEF △的面积0S 与12S S ，的关系是Ａ．120mS nS S m n +=+Ｂ．120nS mS S m n +=+6.函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（A ）)2()3()3()2(0//f f f f -<<< y （B ） )2()2()3()3(0//f f f f <-<< （C ）)2()3()2()3(0//f f f f -<<< （D ）)3()2()2()3(0//f f f f <<-< 7.已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是A ．0x ∃∈R,0()0f x =B ．函数()y f x =的图像是中心对称图形 C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x =8.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞9.设函数)(x f 的定义域为R ,)0(00≠x x 是)(x f 的极大值点,以下结论一定正确的是A ．)()(,0x f x f R x ≤∈∀B ．0x -是)(x f -的极小值点C ．0x -是)(x f -的极小值点D ．0x -是)(x f --的极小值点10.若函数()f x 对任意的x R ∈都有()()f x f x '>成立，则 A ．6(ln5)5(ln 6)f f > B ．6(ln5)5(ln 6)f f =C ．6(ln5)5(ln 6)f f <D ．6(ln 5)f 与5(ln 6)f 的大小不确定11.复数z 满足：()(2)5z i i --=；则z =______________12.若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a =____________. 13.已知函数32()f x x x =-在1x =处切线的斜率为b ，若()ln a g x b x x=-，且()g x 2x <在(1,)+∞上恒成立,则实数a 的取值范围是14.若函数24()1xf x x =+在区间(,21)m m +上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是 ____ ． 15.“已知数列{}n a 为等差数列，它的前n 项和为n S ，若存在正整数(),m n m n ≠，使得m n S S =，则0m n S +=”，类比前面结论，若正项数列{}n b 为等比数列，它的前n 项乘积为n T ，若m n T T =，则_________ 16.设()f x =(1)求(0)(1)f f +，(1)(2)f f -+，(2)(3)f f -+； (2)根据上述计算，归纳猜想一个一般性结论，并给出证明.17.设函数)12ln()(2++=x b x x f ，其中0≠b .（1）若己知函数)(x f 是增函数，求b 的范围；（2）若己知1=b ，求证：对任意的正整数n ，不等式)(n f n <恒成立 18.若),,3,2,1(0n i x i =>，观察下列不等式：4)11)((2121≥++x x x x ， 9)111)((321321≥++++x x x x x x ，…，请你猜测)111)((2121nn x x x x x x ++++++ 将满足的不等式，并用数学归纳法加以证明。

选修2-2 模块综合测评

模块综合测评(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的)1．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－1或12．演绎推理“ 因为对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠ 1)是增函数，而函数y ＝log 12x 是对数函数，所以y ＝log 12x 是增函数” 所得结论错误的原因是( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．大前提和小前提都错误 3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是 ( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋44．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可以被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有1个不能被5整除5．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a ＝( )A ．－2B ．－12C ．12D ．26．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，则z 1z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限7．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是()图18．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n>12(n >1，n ∈ N *)的过程中，从n ＝k 到n ＝k ＋1时左边需增加的代数式是( )A.12k ＋2 B.12k ＋1－12k ＋2 C.12k ＋1＋12k ＋2 D.12k ＋19．已知a ，b ∈C ，下列命题正确的是( )A ．3i<5iB ．a ＝0⇔|a |＝0C ．若|a |＝|b |，则a ＝±bD ．a 2≥0 10．下面四个推理不是合情推理的是( ) A ．由圆的性质类比推出球的有关性质B ．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C ．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D ．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的11．函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是( ) A ．1，－1 B ．1，－17 C ．3，－17 D ．9，－1912．设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )＞g ′(x )，则当a ＜x ＜b 时，有( ) A ．f (x )＞g (x ) B ．f (x )＜g (x )C ．f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )＞g (x )＋f (b )二、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，将答案填在题中的横线上) 13．观察下列不等式1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……照此规律，第五个不等式为________．14．设复数a＋b i(a，b∈R)的模为3，则(a＋b i)(a－b i)＝________.15．复数z满足方程z i＝1－i，则z＝________.16．若复数(－6＋k2)－(k2－4)i所对应的点在第三象限，则实数k的取值范围是________．17．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)·(1＋i)＝b i，则|a＋b i|＝________.18．若函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则ab＝________.19.函数y＝13x3－ax2＋x－2a在R上不是单调函数，则a的取值范围是________．20．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)21．(本小题满分12分)已知z∈C，且|z|－i＝z＋2＋3i(i为虚数单位)，求复数z2＋i的虚部．22．(本小题满分12分)已知z，w为复数，(1＋3i)z为实数，w＝z2＋i且|w|＝52，求z，w.23．(本小题满分12分) 某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则当该商品零售价定为多少元时利润最大，并求出利润的最大值．24．(本小题满分14分)设函数f(x)＝－13x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m＞0.(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．模块综合测评答案1.B [由题意知⎩⎨⎧m (m ＋1)＝0m 2－1≠0，∴m ＝0.]2.A [对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)，当a >1时是增函数，当0<a <1时是减函数，故大前提错误．]3.D [当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.]4.B [用反证法证明时，要假设所要证明的结论的反面成立，本题中应反设a ，b 都不能被5整除．]5.A [y ′＝－2(x －1)2，y ′|x ＝3＝－12， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·(－a )＝－1，∴a ＝－2.] 6.D [z 1z 2＝2＋i 1＋i ＝32－i 2，对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在第四象限．]7.D [观察导函数f ′(x )的图象可知，f ′(x )的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A 、C.如图所示，f ′(x )有3个零点，从左到右依次设为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 3是极小值点，x 2是极大值点，且x 2>0，故选项D 正确．故选D.]8.B [从n ＝k 到n ＝k ＋1左边增加了12k ＋1＋12k ＋2减少了1k ＋1，∴需增加的代数式为12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝12k ＋1－12k ＋2.] 9.B [A 选项中，虚数不能比较大小；B 选项正确；C 选项中，当a ，b ∈R 时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋32i ，但i ≠－12＋32i 或12－32i ；D 选项中，当a ∈R 时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i 2＝－1<0.]10.C [逐项分析可知，A 项属于类比推理，B 项和D 项属于归纳推理，而C 项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．]11.C [f ′(x )＝3x 2－3.令f ′(x )＝0，即3x 2－3＝0，解得x ＝±1.当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在x ＝－1处取得极大值，f (x )极大值＝3，在x ＝1处取得极小值，f (x )极小值＝－1.而端点处的函数值f (－3)＝－17，f (0)＝1，比较可得f (x )的最大值为3，最小值为－17.]12.C [∵f ′(x )－g ′(x )＞0， ∴(f (x )－g (x ))′＞0，∴f (x )－g (x )在[a ，b ]上是增函数， ∴当a ＜x ＜b 时f (x )－g (x )＞f (a )－g (a )， ∴f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )．]13.[解析] 左边的式子的通项是1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2，右边式子的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.14.[解析] ∵|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3，∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3. [答案] 315.[解析] ∵z i ＝1－i ，∴z ＝1－i i ＝(1－i )ii·i ＝－i(1－i)＝－1－i ，∴z ＝－1＋i. [答案] －1＋i16.[解析] 由已知得⎩⎨⎧－6＋k 2＜0，k 2－4＞0，∴4<k 2<6.∴－6<k <－2或2<k < 6. [答案] (－6，－2)∪(2，6)17.[解析] 由(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，得⎩⎨⎧a －1＝0，a ＋1＝b ，解方程组，得a ＝1，b ＝2，则a ＋b i ＝1＋2i.∴|a ＋b i|＝1＋4＝ 5. [答案]518.[解析] 由题意可知⎩⎨⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝－2.即⎩⎨⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2.∴a ＝1，b ＝－3，即ab ＝－3.[答案] －319.[解析] y ′＝x 2－2ax ＋1有两个不相等零点，得Δ＝(－2a )2－4>0，得a 2>1，解得a <－1或a >1.[答案] (－∞，－1)∪(1，＋∞)20.[解析] 设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝ln x 0. ∵y ′＝(ln x )′＝1x ，∴y ′|x ＝x 0＝1x 0，由题意知1x 0＝12，∴x 0＝2，y 0＝ln 2.由ln 2＝12×2＋b ，得b ＝ln 2－1. [答案] ln 2－121.[解] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，代入方程|z |－i ＝z ＋2＋3i ，得出x 2＋y 2－i ＝x －y i ＋2＋3i ＝(x ＋2)＋(3－y )i ，故有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝x ＋23－y ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝4，∴z ＝3＋4i ，复数z2＋i ＝3＋4i 2＋i ＝2＋i ，虚部为1.22.[解] 设z ＝x ＋y i ，(x ，y ∈R )，所以(1＋3i)z ＝(x －3y )＋(3x ＋y )i ，又(1＋3i)z 为实数，所以3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，所以w ＝z 2＋i＝(x ＋y i )(2－i )5＝15[(2x －3x )＋(－6x －x )i]＝－x 5(1＋7i)，又因为|w |＝52，所以|x5|1＋72＝52，所以x ＝±5.当x ＝5时，z ＝5－15i ，当x ＝－5时，z ＝－5＋15i.w ＝±(1＋7i)． 23.[解] 设商场销售该商品所获利润为y 元，则 y ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)，则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700.令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．则p ，y ，y ′变化关系如下表：故当p ＝30又y ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．24.[解] (1)当m ＝1时，f (x )＝－13x 3＋x 2， f ′(x )＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1. (2)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋m 2－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1－m 或x ＝1＋m . 因为m ＞0，所以1＋m ＞1－m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：函数f (x )在x ＝1－m 处取得极小值f (1－m )，且f (1－m )＝－23m 3＋m 2－13.函数f (x )在x ＝1＋m 处取得极大值f (1＋m )，且f (1＋m )＝23m 3＋m 2－13.。

人教A版选修2-2模块检测.docx

模块检测(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是( )．A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆解析∵|z|＝|3＋4i|＝5，∴z点的轨迹是以原点为圆心，以5为半径的圆．答案 C2．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n ＝k＋1时命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )．A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立解析依题意，若n＝4时该命题成立，则n＝5时该命题必成立；而n＝5时命题不成立，却无法判定n＝6时该命题成立还是不成立，故应选C.答案 C3．观察下式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则第n个式子是( )．A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2解析法一由已知得第n个式子左边是2n－1项的和且首项为n，以后是各项依次加1，设最后一项应为m，则m －n ＋1＝2n －1，∴m ＝3n －2. 法二特值验证法．n ＝2时，2n －1＝3,3n －1＝5，都不是4，故只有3n －2＝4. 答案 C4．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极小值点共有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析在极小值点附近左负右正，有一个极小值点．答案 A5．函数y ＝x ln x 在(0,5)上是( )． A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上单调递减D ．在⎝⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上单调递增解析 f ′(x )＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1(x >0)．令f ′(x )＝0，得x ＝1e，∴在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1e 上，f ′(x )<0，在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5，f ′(x )>0，故选D. 答案 D6．类比下列平面内的结论，在空间中仍能成立的是( )． ①平行于同一直线的两条直线平行； ②垂直于同一直线的两条直线平行；③如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直；④如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交．A．①②④B．①③C．②④D．①③④答案 B7．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a等于( )．A．2 B．3 C．4 D．5解析f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f′(－3)＝0.∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，∴a＝5.答案 D8．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且对任意m，n∈N*都有：①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2；②f(m＋1,1)＝2f(m,1)．给出以下三个结论：(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26.其中正确结论的个数为( )．A．3 B．2 C．1 D．0解析(1)由f(1,1)＝1和f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2得f(1,2)＝f(1,1＋1)＝f(1,1)＋2＝1＋2＝3，f(1,3)＝f(1,2)＋2＝5，f(1,4)＝f(1,3)＋2＝7，f(1,5)＝f(1,4)＋2＝9；(2)由f(1,1)＝1和f(m＋1,1)＝2f(m,1)得f(2,1)＝f(1＋1,1)＝2f(1,1)＝2，f(3,1)＝2f(2,1)＝4，f(4,1)＝2f(3,1)＝8，f(5,1)＝2f(4,1)＝16；(3)由f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2得f(5,6)＝f(5,5)＋2，而f(5,5)＝f(5,4)＋2，f(5,4)＝f(5,3)＋2，f(5,3)＝f(5,2)＋2，f(5,2)＝f(5,1)＋2＝16＋2＝18，则f(5,6)＝26.答案 A9．若0<x <π2，则2x 与3sin x 的大小关系( )． A ．2x >3sin x B ．2x <3sin x C ．2x ＝3sin xD ．与x 的取值有关解析令f (x )＝2x －3sin x ，则f ′(x )＝2－3cos x . 当cos x <23时，f ′(x )>0，当cos x ＝23时，f ′(x )＝0，当cos x >23时，f ′(x )<0.即当0<x <π2时，f (x )先递减再递增，而f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π－3>0.故f (x )的值与x 取值有关，即2x 与sin x 的大小关系与x 取值有关．故选D. 答案 D10．f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈[1，2]，则f (x )d x ＝( )．A.34B.45C.56D ．不存在解析 f (x )d x ＝x 2d x ＋ (2－x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3⎪⎪⎪⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 221＝13＋(4－2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝56.答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)11．在下面演绎推理中：“∵|sin x |≤1，又m ＝sin α，∴|m |≤1”，大前提是________．答案 |sin x |≤112．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式： 22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…； 23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，….根据上述分解规律，则52＝1＋3＋5＋7＋9，若m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是73，则m 的值为________．解析 m 3的分解中最小数是3,5,7,9，…中的第m (m －1)2个，∴73＝2·m (m －1)2＋1.∵m (m －1)＝72，又m >0，∴m ＝9. 答案 913.⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 3…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 100＝________. 解析原式＝i 1＋2＋3＋…＋100＝i 5 050＝i 2＝－1. 答案－1 14．曲线y ＝x x －2在点(1，－1)处的切线方程为________．解析 y ′＝x －2－x (x －2)2＝－2(x －2)2，∴y ′|x ＝1＝－2，故所求切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即2x ＋y －1＝0. 答案 2x ＋y －1＝0三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元？解设在甲地销售m 辆车，在乙地销售(15－m )辆车，则总利润y＝5.06m－0.15m2＋2(15－m)＝－0.15m2＋3.06m＋30，所以y′＝－0.3m＋3.06.令y′＝0，得m＝10.2.当0≤m<10.2时，y′>0；当10.2<m≤15时，y′<0.故当m＝10.2时，y取得极大值，也就是最大值．又由于m为正整数，且当m＝10时，y＝45.6；当m＝11时，y＝45.51.故该公司获得的最大利润为45.6万元．16．(10分)设函数f(x)＝(a－2)ln(－x)＋1x＋2ax(a∈R)．(1)当a＝0时，求f(x)的极值；(2)当a≠0时，求f(x)的单调区间．解(1)依题意，知f(x)的定义域为(－∞，0)．当a＝0时，f(x)＝－2ln(－x)＋1 x ，f′(x)＝－2x－1x2＝－(2x＋1)x2.令f′(x)＝0，解得x＝－1 2 .当x<－12时，f′(x)>0；当x>－12时，f′(x)<0.故当x＝－12时，f(x)取得极大值为2ln 2－2.(2)f′(x)＝a－2x－1x2＋2a＝(a－2)x－1＋2ax2x2＝a(2x＋1)⎝⎛⎭⎪⎫x－1ax2.若a >0，令f ′(x )>0，解得x <－12；令f ′(x )<0，解得－12<x <0.若a <0，①当－2<a <0时，－12>1a ，令f ′(x )>0，解得1a <x <－12；令f ′(x )<0，解得x <1a 或－12<x <0.②当a ＝－2时，－12＝1a，f ′(x )＝－(2x ＋1)2x 2≤0.③当a <－2时，－12<1a ，令f ′(x )>0，解得－12<x <1a ；令f ′(x )<0，解得x <－12或1a<x <0.综上，当a >0时，f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0；当－2<a <0时，f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－12，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0；当a ＝－2时，f (x )的减区间为(－∞，0)，无增区间；当a <－2时，f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1a ，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0.17．(10分)已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，求实数a 的取值范围．解由f (x )>1，得ax －ln x －1>0. 即a >1＋ln xx在区间(1，＋∞)内恒成立．设g (x )＝1＋ln xx ，则g ′(x )＝－ln xx 2，∵x>1，∴g′(x)<0.∴g(x)＝1＋ln xx在区间(1，＋∞)内单调递减．∴g(x)<g(1)＝1，即1＋ln xx<1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a≥1.18．(12分)已知数列8·112·32，8·232·52，…，8·n(2n－1)2·(2n＋1)2，…，S n为该数列的前n项和，计算得S1＝89，S2＝2425，S3＝4849，S4＝8081.观察上述结果，推测出S n(n∈N*)，并用数学归纳法加以证明．解推测S n＝(2n＋1)2－1(2n＋1)2(n∈N*)．用数学归纳法证明如下：(1)当n＝1时，S1＝(2＋1)2－1(2＋1)2＝89，等式成立；(2)假设当n＝k时等式成立，即S k＝(2k＋1)2－1(2k＋1)2，那么当n＝k＋1时，S k＋1＝S k＋8(k＋1)(2k＋1)2(2k＋3)2＝(2k＋1)2－1(2k＋1)2＋8(k＋1)(2k＋1)2(2k＋3)2＝[(2k＋1)2－1](2k＋3)2＋8(k＋1) (2k＋1)2(2k＋3)2＝(2k＋1)2(2k＋3)2－(2k＋3)2＋8(k＋1)(2k＋1)2(2k＋3)2＝(2k＋1)2(2k＋3)2－(2k＋1)2 (2k＋1)2(2k＋3)2＝(2k＋3)2－1(2k＋3)2＝[2(k＋1)＋1]2－1[2(k＋1)＋1]2.也就是说，当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)和(2)，可知对一切n∈N*，等式均成立．19．(12分)已知函数f(x)＝x2＋ln x.(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在g(x)＝23x3＋12x2的下方．(1)解∵f(x)＝x2＋ln x，∴f′(x)＝2x＋1 x .∵x>1时，f′(x)>0，∴f(x)在[1，e]上是增函数，∴f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2.(2)证明令F(x)＝f(x)－g(x)＝12x2－23x3＋ln x，∴F′(x)＝x－2x2＋1x＝x2－2x3＋1x＝x2－x3－x3＋1x＝(1－x)(2x2＋x＋1)x.∵x>1，∴F′(x)<0，∴F(x)在(1，＋∞)上是减函数，∴F(x)<F(1)＝12－23＝－16<0.∴f(x)<g(x)．∴当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在g(x)＝23x3＋12x2的下方．。

高中数学高中数学选修22模块综合测试题-(11)

高中数学选修2-2模块综合测试题一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、观察按下列顺序排列的等式：9011⨯+=，91211⨯+=，92321⨯+=，93431⨯+=，…，猜想第*()n n ∈N 个等式应为（）Ａ．9(1)109n n n ++=+Ｂ．9(1)109n n n -+=-Ｃ．9(1)101n n n +-=-Ｄ．9(1)(1)1010n n n -+-=-2、曲线2x y =在(1,1)处的切线方程是（） A. 230x y ++= B. 032=--y x C. 210x y ++= D. 012=--y x3、定义运算a b ad bc c d=- ，则符合条件1142i iz z -=+ 的复数z 为（）Ａ．3i - Ｂ．13i + Ｃ．3i + Ｄ．13i - 4、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A ．假设至少有一个钝角B ．假设至少有两个钝角Ｃ．假设没有一个钝角Ｄ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 5、曲线3πcos 02y x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤≤与x 轴以及直线3π2x =所围图形的面积为（）Ａ．4 Ｂ．2Ｃ．52Ｄ．36、平面几何中，有边长为a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定考号姓名班级学校线封密值32a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）Ａ．43a Ｂ．63a Ｃ．54a Ｄ．64a 7、若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h →+--=（）A ．3-B ． 12-C ．9-D ．6- 8、复数z=534+i,则z 是（） A ．25 B ．5 C ．1 D ．79、一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动（1步的距离为1个单位长度）．令()P n 表示第n 秒时机器人所在位置的坐标，且记(0)0P =，则下列结论中错误的是（）Ａ．(3)3P =Ｂ．(5)1P =Ｃ．(2007)(2006)P P >Ｄ．(2003)(2006)P P <10、如图是导函数/()y f x =的图象，那么函数()y f x =在下面哪个区间是减函数A. 13(,)x xB. 24(,)x xC.46(,)x xD.56(,)x x11、设*211111()()123S n n n n n n n=+++++∈+++N ，当2n =时，(2)S =（）Ａ．12Ｂ．1123+ Ｃ．111234++Ｄ．11112345+++12、如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm 处，则克服弹力所做的功为（） (A)0.28J (B)0.12J (C)0.26J (D)0.18J二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13、=---⎰dx x x )2)1(1(1214、设1Z = i 4 + i 5+ i 6+…+ i 12 ,2Z = i 4 · i 5·i 6·…· i 12，则Z 1 ，2Z 关系为15．已知32()3f x x x a =++（a 为常数），在[33]-，上有最小值3，那么在[33]-，上()f x 的最大值是16．仔细观察下面图形：图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17、（本小题10分）已知等腰梯形OABC 的顶点A B ，在复平面上对应的复数分别为12i +、26i -+，且O 是坐标原点，OA BC ∥．求顶点C 所对应的复数z ．18、（本小题12分） 20()(28)(0)xF x t t dt x =+->⎰．（1）求()F x 的单调区间；（2）求函数()F x 在[13]，上的最值．19．（本小题12分）设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+．（1）求()y f x =的表达式；（2）若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值． 20、（本小题12分）某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间定价为每天１８０元时，房间会全部住满；房间单价增加１０元，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费２０元的各种维护费用。

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模块综合测评(二) 选修2－2(B 卷)(时间：90分钟满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( )A ．192B ．202C ．212D ．222解析：归纳得13＋23＋33＋43＋53＋63＝()1＋2＋…＋62＝212. 答案：C2．复数⎝⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2＝( ) A ．－3－4i B ．－3＋4i C ．3－4iD ．3＋4i解析：⎝⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2＝8－6i2i ＝－3－4i. 答案：A3．函数y ＝(sin x 2)3的导数是( ) A ．y ′＝3x sin x 2·sin2x 2B ．y ′＝3(sin x 2)2C ．y ′＝3(sin x 2)2cos x 2D ．y ′＝6sin x 2cos x 2解析：y ′＝[(sin x 2)3]′＝3(sin x 2)2·(sin x 2)′＝3(sin x 2)2·cos x 2·2x ＝3×2sin x 2·cos x 2·x ·sin x 2＝3x ·sin x 2·sin2x 2，故选A.答案：A4．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)．则f ′(0)等于( )A ．0B ．－4C ．－2D ．2解析：因为f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)，所以f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，f ′(0)＝2f ′(1)．因为f ′(1)＝2＋2f ′(1)，所以f ′(1)＝－2，故f ′(0)＝－4.答案：B5．观察下列各等式：55－4＋33－4＝2，22－4＋66－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.nn －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2 C.nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2答案：A6．已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示，其中f′(x)是函数f(x)的导函数，函数y＝f(x)的图象大致是图中的()ABCD解析：由y ＝xf ′(x )的图象可得当x ＜－1时，f ′(x )＞0，所以当x ＜－1时f (x )为增函数；当－1＜x ＜0时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－1,0)上为减函数；当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)上为减函数；当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(1，＋∞)上为增函数，所以选择C.答案：C7．若f (x )＝ln xx ，0＜a ＜b ＜e ，则有( ) A ．f (a )＞f (b ) B ．f (a )＝f (b ) C ．f (a )＜f (b )D ．f (a )·f (b )＞1解析：f ′(x )＝1－ln xx 2，在(0，e)上，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，e)上为增函数． ∴f (a )＜f (b )．答案：C8．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图，则函数y ＝ax 2＋32bx＋c3的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[－2,3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞ 解析：由题图可知d ＝0.不妨取a ＝1， ∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 由图可知f ′(－2)＝0，f ′(3)＝0， ∴12－4b ＋c ＝0,27＋6b ＋c ＝0， ∴b ＝－1.5，c ＝－18. ∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －94.当x ＞98时，y ′＞0，∴y ＝x 2－94x －6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞.故选D.答案：D9．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴相切于点(1,0)，则f (x )的( )A ．极大值为427，极小值为0 B ．极大值为0，极小值为－427 C ．极小值为－527，极大值为0 D ．极小值为0，极大值为527解析：由题设条件知⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1.所以f (x )＝x 3－2x 2＋x ，进而可求得f (1)是极小值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13是极大值．答案：A10．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]解析：∵f ′(x )＝sin θx 2＋3cos θx ，f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，∴θ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，3π4.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈[2，2]．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．设f (z )＝z ，且z 1＝1＋5i ，z 2＝－3＋2i ，则f (z 1－z 2)的值是__________．解析：∵z 1－z 2＝(1＋5i)－(－3＋2i)＝4＋3i ， ∴z 1－z 2＝4－3i.∵f (z )＝z ，∴f (4－3i)＝4－3i ＝4＋3i. 答案：4＋3i12．设函数y ＝ax 2＋bx ＋k (k ＞0)在x ＝0处取得极值，且曲线y＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线x ＋2y ＋1＝0，则a ＋b 的值为__________．解析：函数y ＝ax 2＋bx ＋k (k ＞0)在x ＝0处取得极值，得x ＝0是导函数2ax ＋b ＝0的解，则b ＝0，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线x ＋2y ＋1＝0，得2a ＋b ＝2，所以a ＝1，a ＋b ＝1.答案：113．由曲线y ＝(x －2)2＋1，横坐标轴及直线x ＝3，x ＝5围成的图形的面积等于__________．解析：S ＝⎠⎛35[(x －2)2＋1]d x＝⎠⎛35(x 2－4x ＋5)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－2x 2＋5x |53＝323. 答案：32314．观察下列等式： 1＝1 13＝1 1＋2＝3 13＋23＝9 1＋2＋3＝6 13＋23＋33＝36 1＋2＋3＋4＝10 13＋23＋33＋43＝100 1＋2＋3＋4＋5＝15 13＋23＋33＋43＋53＝225…可以推测：13＋23＋33＋…＋n 3＝__________.(n ∈N *，用含有n 的代数式表示)解析：观察对比左右数列，可以发现右边是左边的平方，所以13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2＝n 2(n ＋1)24.答案：n 2(n ＋1)24三、解答题：本大题共4小题，满分50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(12分)设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(m 2－1)x (x ∈R )，其中m ＞0. (1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)当m ＝1时，f (x )＝－13x 3＋x 2， f ′(x )＝－x 2＋2x ，2分故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1.4分 (2)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋m 2－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1－m 或x ＝1＋m .6分因为m ＞0，所以1＋m ＞1－m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在(－∞，1－m )，(1＋m ，＋∞)内是减函数，在(1－m,1＋m )内是增函数.10分函数f (x )在x ＝1－m 处取得极小值f (1－m )，且f (1－m )＝－23m 3＋m 2－13.函数f (x )在x ＝1＋m 处取得极大值f (1＋m )，且f (1＋m )＝23m 3＋m 2－13.12分16. (12分)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．(1)求证：P A ⊥底面ABCD ； (2)求四棱锥P －ABCD 的体积；(3)对于向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，c ＝(x 3，y 3，z 3)，定义一种运算：(a ×b )·c ＝x 1y 2z 3＋x 2y 3z 1＋x 3y 1z 2－x 1y 3z 2－x 2y 1z 3－x 3y 2z 1.试计算(AB →×AD →)·AP →的绝对值的值；说明其与四棱锥P －ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算(AB →×AD →)·AP →的绝对值的几何意义．解：(1)∵AP →·AB →＝－2－2＋4＝0，∴AP ⊥AB . 又∵AP →·AD →＝－4＋4＋0＝0， ∴AP ⊥AD .2分∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线， ∴AP ⊥底面ABCD .4分 (2)设AB →与AD →的夹角为θ，则cos θ＝AB →·AD →|AB →|·|AD →|＝8－24＋1＋16·16＋4＝3105.6分V ＝13|AB →|·|AD →|·sin θ·|AP →|＝23105·1－9105·1＋4＋1＝16.8分(3)|(AB →×AD →)·AP →|＝|－4－32－4－8|＝48，它是四棱锥P －ABCD 体积的3倍.10分猜测：|(AB →×AD →)·AP →|在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积(或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积).12分17. (12分)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0＜x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：(1)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5小时，要耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(升)．即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.4分(2)当速度为x 千米/时，汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时，设耗油量为h (x )升，依题意得：h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8·100x ＝11 280x 2＋800x －154(0＜x ≤120)，7分h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0＜x ≤120).8分令h ′(x )＝0，得x ＝80.当x ∈(0,80)时，h ′(x )＜0，h (x )是减函数；当x ∈(80,120)时，h ′(x )＞0，h (x )是增函数.10分∴当x ＝80时，h (x )取到极小值h (80)＝11.25.∵h (x )在(0,120]上只有一个极值，∴它是最小值．即当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.12分18. (14分)已知函数f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝1x 2－1＋a . (1)若f (x )的一个极值点到直线l ：22x ＋y ＋a ＋5＝0的距离为1，求a 的值；(2)求方程f (x )＝g (x )的根的个数．解：(1)由f ′(x )＝2x x 2＋1＝0，得x ＝0，1分故f (x )仅有一个极小值点M (0,0)，2分根据题意得：d ＝|5＋a |3＝1.∴a ＝－2或a ＝－8.4分(2)令h (x )＝f (x )－g (x )＝ln(x 2＋1)－1x 2－1－a ， h ′(x )＝2x x 2＋1＋2x (x 2－1)2＝2x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 2＋1＋1(x 2－1)2.6分当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )≥0，当x ∈(－∞，－1)∪(－1,0)时，h ′(x )＜0.因此，h(x)在(－∞，－1)，(－1,0)上时，h(x)单调递减，在(0,1)，(1，＋∞)上时，h(x)单调递增.8分又h(x)为偶函数，当x∈(－1,1)时，h(x)的极小值为h(0)＝1－a. 当x→－1－时，h(x)→－∞，当x→－1＋时，h(x)→＋∞，当x→－∞时，h(x)→＋∞，当x→＋∞时，h(x)→＋∞.10分故f(x)＝g(x)的根的情况为：当1－a＞0时，即a＜1时，原方程有2个根；当1－a＝0时，即a＝1时，原方程有3个根．当1－a<0时，即a>1时，原方程有4个根．14分。

人教A版选修2-2习题-模块综合测评(一) Word版含答案

模块综合测评(一) 选修2－2(A 卷)(时间：90分钟满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．下面三段话可组成“三段论”，则“小前提”是( ) ①因为指数函数y ＝a x (a ＞1)是增函数；②所以y ＝2x 是增函数；③而y ＝2x 是指数函数．A ．①B ．②C ．①②D ．③答案：D2．函数f (x )＝x 2( ) A ．4 C.14解析：因为f (x )＝x 2＝84＝2.答案：B3．下列各函数的导数：①(x )′＝12x－ 12；②(a x )′＝a 2ln x ；③(sin2x )′＝cos2x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＋1′＝1x ＋1.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：(x )′＝(x 12)′＝12x－ 12，①正确；(a x )′＝a x ln a ，②错误；(sin2x )′＝2cos2x ，③错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＋1′＝x ＋1－x (x ＋1)2＝1(x ＋1)2，④错误．答案：B4．函数y ＝x3＋sin x 的图象大致是( )AD解析：由y ′＝13＋cos x 与x ＞0时，y ＝x3＋sin x ＞0可知原函数图象大致为C.答案：C5．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )＞k 2成立时，总可推出f(k＋1)＞(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是()A．若f(1)≤1成立，则f(9)≤81成立B．若f(2)≤4成立，则f(1)＞1成立C．若f(3)＞9成立，则当k≥1时，均有f(k)＞k2成立D．若f(3)＞16成立，则当k≥3时，均有f(k)＞k2成立答案：D6．设x＝3＋4i，则复数z＝x－|x|－(1－i)在复平面上的对应点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：∵x＝3＋4i∴z＝3＋4i－5－(1－1)i＝－3＋5i.∴复数z B.答案：B7．设函数f(x)＝(x3－1)2，下列结论中正确的是()A．x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝0是极大值点B．x＝1及x＝0均是f(x)的极大值点C．x＝1是函数f(x)的极小值点，函数f(x)无极大值D．函数f(x)无极值解析：f′(x)＝2(x3－1)·3x2，令f′(x)＝0，解得：x＝0或x＝1，判断单调性可知选C.答案：C8．定义A*B，B*C，D*C，D*B分别对应如图中的图形①②③(1)(2)(3)(4)可以表示A *D ，A *C 的分别是( ) A ．(1)，(2) B ．(2)，(3) C ．(2)，(4) D ．(1)，(4)答案：C9．积分a 2－x 2d x ＝( )A .14πa 2B .12πa 2C ．πa 2D ．2πa 2解析：定积分a 2－x 2d x 表示的是关于半个圆的面积，圆心为原点，半径为a ，因此答案为B .答案：B10．f 0(x)＝cos x ＝f ′0(x)，f 2(x)＝f ′1(x)，…，f n ＋1(x)＝f ′n (x)，n ∈N ，则f 2007(x )为( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析：因为(sin x )′＝cos x ，(cos x )′＝－sin x ，故先求 f 1(x )＝－sin x ，f 2(x )＝－cos x ，f 3(x )＝sin x ， f 4(x )＝cos x ，∴4是周期，则f 2007(x )＝f 3(x )＝sin x . 答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．对于平面几何中的命题“夹在两平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题__________．解析：平行线类比为平行面．答案：夹在两平行平面间的平行线段相等12．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为__________．解析：∵y ′＝3x 2－10. 设切点P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＞0)，则点P 处切线斜率k ＝3x 20－10＝2， ∴x 0＝－2(x 0＜0)． ∴P (－2,15)．答案：(－2,15)13．由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x 及x 轴所围图形的面积为__________．解析：答案：2ln 214．已知f(x)，g(x)都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，若f ′(x )g (x )＜f (x )g ′(x )，且f (x )＝a x·g (x )(a ＞0且a ≠1)及f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝103，则a的值为__________．解析：∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2，又∵f ′(x )g (x )＜f (x )g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2＜0.∴f (x )g (x )为减函数． ∴0＜a ＜1.∵f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝103， ∴a ＋a －1＝103. 解得a ＝13. 答案：13分．15．(12分)设复数z z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．解：z ＝(1＋i )2＋3(12＋i ＝2＋i ＝－i 2＋i ＝(3－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝1－i ，4分将z ＝1－i 代入z 2＋az ＋b ＝1＋i ，得(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ，即(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i ，8分所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.12分16．(12分)观察下表：1， 2,3， 4,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15. … 问：(1)此表第n 行的第一个数与最后一个数分别是多少？ (2)此表第n 行的各个数之和是多少？ (3)2 012是第几行的第几个数？解：(1)此表n 行的第1个数为2n －1，第n 行共有2n －1个数，依次构成公差为1的等差数列.4分由等差数列的通项公式，此表第n 行的最后一个数是2n －1＋(2n －1－1)×1＝2n －1.6分(2)由等差数列的求和公式，此表第n 行的各个数之和为[2n －1＋(2n －1)]×2n －12＝22n －2＋22n－3－2n－2或2n－1×2n－1＋2n －1×(2n －1－1)2×1＝22n －2＋22n －3－2n －2. 8分(3)设2 012在此数表的第n 行．则2n －1≤2 012≤2n －1，可得n ＝11. 故2 012在此数表的第11行.10分设2 012是此数表的第11行的第m 个数，而第11行的第1个数为210，因此，2 012是第11行的第989个数.12分 17．(12分)已知函数f (x )＝x －2x ＋1－a ln x ，a ＞0.(1)讨论f (x )的单调性；(2)设a ＝3，求f (x )在区间[1，e 2]上的值域，其中e ＝2.71828…是自然对数的底数．解：(1)f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2. 2分设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8. ①当Δ＜0即0＜a ＜22时，对一切x ＞0都有f ′(x )＞0. 此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数.4分②当Δ＝0即a ＝22时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x ＞0都有f ′(x )＞0.此时f (x )也是(0，＋∞)上的单调递增函数． 6分③当Δ＞0即a ＞22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根， x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－8，0＜x 1＜x 2.此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82上单调递增，在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增.9分 (2)当a ＝3时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝1，x 2＝2. 由(1)知，在(1，e 2)内，当x ＝2时f (x )取得极值，f (1)＝0，f (2)＝2－3ln2，f (e 2)＝e 2－2e －2－5. 因为f (2)＜f (1)＜f (e 2)，所以f (x )在区间[1，e 2]上的值域为[2－3ln2，e 2－2e －2－5].12分 18．(14分)设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx . (1)当a ＝b ＝12时，求函数f (x )的单调区间；(2)令F (x )＝f (x )＋12ax P (x 0，y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立，求实数(3)当a ＝0，b ＝－1[1，e 2]内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．解：(1)依题意知，f (x )的定义域为(0，＋∞)． 1分当a ＝b ＝12时，f (x )＝ln x －14x 2－12x ， f ′(x )＝1x －12x －12＝－(x ＋2)(x －1)2x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－2(舍去)． 3分当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，当x ＞1时，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞).5分(2)F (x )＝ln x ＋a x ，x ∈(0,3]，则有k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12在(0,3]上恒成立.7分所以a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 20＋x 0max ，当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12.9分所以a ≥12.10分(3)当a ＝0，b ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ，由f (x )＝mx ，得ln x ＋x ＝mx ，又x ＞0，∴m ＝1要使方程f (x )＝mx只需m ＝1＋ln x x 有唯一实数解，令g (x )＝1＋ln x x (x ＞0)，∴g ′(x )＝1－ln x x 2，由g ′(x )＞0，得0＜x ＜e.g ′(x )＜0，得x ＞e ，∴g (x )在区间[1，e]上是增函数，在区间[e ，e 2]上是减函数．g (1)＝1，g (e 2)＝1＋lne 2e 2＝1＋2e 2，g (e)＝1＋1e ，13分∴m ＝1＋1e 或1≤m ＜1＋2e 2.14分。

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福州教院附中10-11学年下高二数学（理）选修2-2模块测试卷
出题人：郑玲审题人：林枫
考试时间：120分钟满分：150分
一、选择题：（每题5分，共60分）
1．化简31i i
-=+( ) A ．12i - B ．12i + C ．2i + D ．2i -
2．在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．函数f(x)=cosx+sinx 的图象在点（0，f(0)）处的切线的倾斜角为（）
A ．0
B ．π4
C ．1
D ．π
2
4．已知2()35f x x =+,则从0.1到0.2的平均变化率为（）
A ． 0.3
B . 0.6
C ． 0.9
D ． 1.2
5．“四边形ABCD 是矩形，四边形ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前提为（）
A ．正方形都是对角线相等的四边形
B ．矩形都是对角线相等的四边形
C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D ．矩形都是对边平行且相等的四边形
6．函数32()23f x x x a =-+的极大值为6，那么a 的值是（）
A ．5
B ． 0
C ．6
D ．1
7．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a b c ，，中恰有一个偶数”正确的反设为（）
A ．a b c ，，中至少有两个偶数
B ．a b c ，，中至少有两个偶数或都是奇数
C ．a b c ，，都是奇数
D ．a b c ，，都是偶数 8．由直线1,2,2x x =
=曲线1y x =及x 轴所围图形的面积为（） A ．154 B ．174 C ．1ln 22 D ．2ln 2
9．函数x e x y 2=的单调递减区间是（）
A ．(–1, 2)
B ．(–∞, –1)与(1, +∞)
C ．(–∞, –2)与(0, +∞)
D ．(–2，0) 10．
34|2|x dx -+⎰等于（） A ．10.5
B ．-10.5
C ．7
D ．14.5 11．右图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，
给出下列命题：
①3-是函数()y f x =的极值点；
②1-是函数()y f x =的最小值点；
③()y f x =在0x =处切线的斜率小于零；
④()y f x =在区间(3,1)-上单调递增.
则正确命题的序号是（）
A ．①②
B ．①④
C ．②③
D ．③④
12．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（）
A ．(0)(2)2(1)f f f +<
B ．(0)(2)2(1)f f f +≤
C ．(0)(2)2(1)f f f +≥
D ．(0)(2)2(1)f f f +>
二、填空题：（每题4分，共16分）
13．设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8=⋅z z ，则z
z 等于 14. 设函数)12ln()(-=x x f ，则()f x '等于___________________
15．用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1）时，当n=1左边所得的项是1+2+3；从“k →k+1”需增添的项是 .
16．对于命题：如果O 是线段AB 上一点,则0OB OA OA OB ⋅+⋅= ；将它类比到平面的
情形是：若O 是ABC ∆ 内一点,有0OAB
OBC OCA S OC S OA S OB ∆∆∆⋅+⋅+⋅= ；将它类比到空间的情形应该是:若O 是四面体ABCD 内一点,则有___________。

三、解答题（6题，共74分）
17．(本小题满分12分)（1）已知,R m ∈且复数z=(2+i )i m m --
162--1(2i )，当实数m 取什么值时，复数z 是纯虚数；
（2）已知复数31(1)z i i =-，若复数z 满足1z =,求1z z -的最大值.
18．(本小题满分12分)已知函数bx ax x x f ++=23)(在23
x =-与1x =处都取得极值。

（1）求函数()f x 的解析式；(2) 求函数()f x 的单调区间；
（3）求函数()f x 在区间[-2，2]的最大值与最小值
19.(本小题满分12分) 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层．每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x （单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝
购地总费用建筑总面积）
20．（本小题满分12分）
已知抛物线C ：x x y 22+-=，在点A （0，0），B （2，0）分别作抛物线的切线L 1、L 2。

（1）求切线L 1和L 2的方程；（2）求抛物线C 与切线L 1和L 2所围成的面积S 。

21．（本题满分12分）设数列{}n a 满足12a =， 211123,,,,,n n n a a na n +=-+=
（1）求234,,a a a ，；（2）猜想出{}n a 的一个通项公式并用数学归纳法证明你的结论。

22. (本题满分14分) 设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+=
（1）求函数)(x f 的单调区间；
（2）若当]1,11[--∈e e
x 时，不等式1)(2++>m m x f 恒成立，求实数m 的取值范围；
（3）若关于x 的方程0)(2=-++x f a x x 在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a 的取值范围。