【K12教育学习资料】2017高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.1椭圆及其性质课时练理
高考数学一轮总复习第十章圆锥曲线10.1椭圆及其性质理新人教B版
例2
(2013课标全国Ⅰ,10,5分)已知椭圆E:
mn
若焦点位置不确定,则可设椭圆方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0且A≠B).
3.点P(x0,y0)和椭圆
x a
2 2
+y
b
2 2
=1的关系
(1)P(x0,y0)在椭圆内⇔
x a
Hale Waihona Puke 2 0 2+y
2 0
b2
<1;
(2)P(x0,y0)在椭圆上⇔
x a
2 0 2
+y
2 0
b2
=1;
(3)P(x0,y0)在椭圆外⇔
高考理数
§10.1 椭圆及其性质
知识清单
1.椭圆的标准方程
(1)焦点在x轴上: x 2 + y 2 =1(a>b>0);
a2 b2
焦点在y轴上: x 2 + y 2 =1(a>b>0).
b2 a2
(2)统一方程: x 2 + y 2 =1(m>0,n>0),由m,n的大小来判断焦点在哪个坐标轴上.
(1)求a,b,c的值,由e2= c 2 = a 2 =b12-
x a
2 2
+y
b
2 2
=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E
高中圆锥曲线知识点总结全面经典
高中圆锥曲线知识点总结全面经典高中数学椭圆的知识总结：椭圆的定义：椭圆是平面内一个动点P到两个定点F1,F2的距离之和等于常数（PF1+PF2=2a>F1F2）时，动点P的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。
需要注意的是，若PF1+PF2=F1F2，则动点P的轨迹为线段F1F2；若PF1+PF2<F1F2，则动点P的轨迹无图形。
椭圆的参数方程：当焦点在x轴上时，椭圆的参数方程为{x=a*cosθ。
y=b*sinθ}，其中θ为参数；当焦点在y轴上时，椭圆的参数方程为{x=a*sinθ。
y=b*cosθ}。
椭圆的几何性质：（1）椭圆的范围为- a≤x≤a。
- b≤y≤b；（2）椭圆的焦点为两个焦点(±c,0)；（3）椭圆具有对称性，有两条对称轴x=0,y=0，一个对称中心(0,0)，四个顶点(±a,0),(0,±b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b；（4）椭圆的离心率为e=c/a，椭圆的形状由离心率e决定，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。
点与椭圆的位置关系：（1）点P(x,y)在椭圆外部当且仅当a²+b²1.直线与圆锥曲线的位置关系：（1）当Δ>0时，直线与椭圆相交；（2）当Δ=0时，直线与椭圆相切；（3）当Δ<0时，直线与椭圆相离。
例如，直线y-kx-1=0与椭圆5x²+m²=1恒有公共点，当且仅当m²≤5/(1+k²)。
焦点三角形：椭圆上的一点与两个焦点所构成的三角形。
弦长公式：若直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB=√(1+k²(x1-x2)²)；若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB=√(1+(y1-y2)²/k²)；若弦AB所在直线方程设为x=ky+b，则AB=√(1+k²(y1-y2)²)。
高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.1 椭圆及其性质课件
2
, k 1 2k
2
,且AB=
(x2 x1)2 ( y2 y1)2 =
(1
k 2 )(x2
x1 )2
=
2
2(1 k 2 ) 1 2k 2
.
若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意.
从而k≠0,故直线PC的方程为y+ k
1 2k 2
=-
1 k
x
2k 2 1 2k 2
y2 b2
=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E
于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为
.
答案 x2+ 3 y2=1
2
解析 不妨设点A在第一象限,∵AF2⊥x轴,∴A(c,b2)(其中c2=1-b2,0<b<1,c>0).
又∵|AF1|=3|F1B|,∴由
AF1
=3
F1B得B
5c 3
,
b2 3
,代入x2+
y2 b2
=1得
25c2 9
+
b4 9b2
=1,又c2=1-b2,∴b2=
2 3
.
故椭圆E的方程为x2+ 3 y2=1.
2
4.(2015江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的离心率为
x2 y2
x2
A. 3 + 2 =1 B. 3 +y2=1
x2 y2
x2 y2
C.12 + 8 =1 D. 12 + 4 =1
2020届高考数学一轮复习第十章圆锥曲线10.1椭圆及其性质课件文
6.(2016课标全国Ⅰ,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短
轴长的 1 ,则该椭圆的离心率为 ( )
4
A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
3
2
3
4
答案 B 如图,|OB|为椭圆中心到l的距离,则|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即
所以
故选B.
∴b的值为4,a的取值范围为[4 2 ,+∞).
得到方程①②③,消元化简
B组 自主命题·省(区、市)卷题组
考点一 椭圆的定义和标准方程
1.(2015广东,8,5分)已知椭圆 2x52 + my22 =1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m= (
)
A.2 B.3 C.4 D.9
答案 B 依题意有25-m2=16,∵m>0,∴m=3.选B.
2.(2018课标全国Ⅰ,4,5分)已知椭圆C:
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 2
3
2
2
3
的一个焦点为(2,0),则C的离心率为 ( )
答案 C 本题主要考查椭圆的方程及其几何性质. 由题意可知c=2,b2=4, ∴a2=b2+c2=4+22=8,则a=2 2 ,
∴e= c = 2 = 2 ,故选C. a 22 2
所以椭圆的离心率e= c = 2 = 3 -1.故选D. a 3 1
一题多解 在Rt△PF1F2中,因为PF1⊥PF2且∠PF2F1=60°,所以设|PF2|=1,则|F1F2|=2.由勾股定理
得|PF1|= 3
,所以e= 2c =
2a
|
| PF1
F1F2 | | | PF2
全国通用2017届高考数学一轮总复习第十章圆锥曲线10.6圆锥曲线的综合问题课件理
2 2
24 7
2
4c 2
3c 2
联立①②得7x2-8cx-8c2=0,
24 = 8c c=1, 8c 2 ,解得 所以 所以 a =2, 4 2 7
7
2
b= ,
7
3
于是椭圆C的方程为 x 2 + y 2 =1. (5分) (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),且直线PQ的方程为y=kx+m(k≠0),
2 y(3+4 由 x2 ⇒ k2)x2+8kmx+4m2-12=0.
4
3
1, 3 4 y kx m
所以x1+x2=- ,x1x = , (*) 22
8km 3 4k
4m 2 12 3 4k 2
y1 y2 由∠AFP=∠BFQ,得kPF=-kQF⇒ + =0 ⇒y1(x2-1)+y2(x1-1)=0, x1 1 x2 1
y kx m, 由 2 2 3x 4 y 12
消去y,整理得
(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, (*) 则Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,
3m 4km , 2 2 . 3 4k 3 4k 3m 2km 因为M在直线OP上,所以 2 = 2 , 3 4k 3 4k 3 得m=0(舍去)或k=- . 2
1 ,其左焦点到点P(2,1)的距 x + y =1(a>b>0)的离心率为 例2 (2012浙江,21,15分)如图,椭圆C:
高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程椭圆的标准方程课件
D.1x82 ＋y92＝1
(2)椭圆x42＋y32＝1 的左焦点为 F，直线 x＝m 与椭圆相交于点 A，B.当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面
积是___3_____．
13 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
[解析] (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则xa212＋by212＝1，xa222＋by222＝1，两式作差并化简变形得yx11－ －yx22＝－ba22xy11＋ ＋xy22， 而yx11－ －yx22＝0－3－－11＝12，x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，所以 a2＝2b2，又 a2－b2＝c2＝9，于是 a2＝18，b2＝9.故 选 D.
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
第十章 圆锥曲线与方程
1 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
第1讲 椭圆及其性质
2 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
3 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
9 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
2．已知方程5－x2m＋my＋2 3＝1 表示椭圆，则 m 的取值范围为(
)
A．(－3,5)
B．(－3,1)
C．(1,5)
D．(－3,1)∪(1,5)
5－m>0， 解析 方程表示椭圆的条件为m＋3>0，
等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线的方程与性质1．椭圆（1）椭圆概念2F 的距离的和等于常数这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c（0a b >>）（焦点在x 0a b >>）（焦点在y 轴上）。
②2x椭圆。
（2）椭圆的性质①②点对称。
③0x =，得所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
22||B F a =，且④离心率：。
∵0a c >>，∴01e <<，且1而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，0，0，从而b 越接近于a b =时，0c =2．双曲线（1）双曲线的概念注意：①式中是差的绝对值，在件下；为双曲线的一支；（2）双曲线的性质①a x ±=a ≥即双曲线在两条直线a x ±=的外侧。
②对称性：双曲线12222=-by a x 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。
在双曲线12222=-by a x 0=y 得12222=-bya x 的顶点。
y 轴没有交点。
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段2A A 2B B 叫做双曲线的虚轴，④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。
从图上看，双曲线⑤等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
2）等轴双曲线的性质：（12）渐近线互相垂直。
注意以上几个性质与定义式彼此等价。
亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。
3 ，当0>λ时交点在轴，当0<λ⑥3．抛物线（1）抛物线的概念平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)。
基础知识方法----高三数学总复习—圆锥曲线方程
圆 锥 曲 线基础知识、方法 一、椭圆方程.1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121, 2,2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+<=+>=+⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x轴上：)0(12222>>=+b a by a x . ii. 中心在原点，焦点在y轴上：)0(12222>>=+b a bx a y . ②一般方程：)0,0(122>>=+B A By Ax . ③椭圆的标准参数方程：12222=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （一象限θ应是属于20πθ<<）. ⑵ ①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长2a ，短轴长2b. ③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2221,2b a c c F F -==.⑤准线：ca x 2±=或c a y 2±=. ⑥离心率：)10(<<=e a ce .⑶若P 是椭圆：12222=+by a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2tan 2θb （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2cot2θ⋅b .二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==->=-<=-⑴①双曲线标准方程：)0,(1),0,(122222222>=->=-b a bxa yb a b y a x . 一般方程：)0(122<=+AC Cy Ax .⑵①i. 焦点在x 轴上：顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c -准线方程ca x 2±=渐近线方程：0=±b ya x 或02222=-b y a xii. 焦点在y 轴上：顶点：),0(),,0(a a -. 焦点：),0(),,0(c c -.准线方程：c a y 2±=.渐近线方程：0=±b x a y 或02222=-bx a y ，②轴x 、y 为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c.③离心率a c e =.④准线距c a 22（两准线的距离）；通径a b 22.⑤参数关系a ce b a c =+=,222.⑶等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e .⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222b y a x 与λ-=-2222by a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-b y a x .⑸共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x 如果双曲线的渐近线为0=±b y a x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλb y a x .例如：若双曲线一条渐近线为xy 21=且过)21,3(-p ，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：)0(422≠=-λλy x代入)21,3(-得12822=-y x .⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“∆法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P 在双曲线12222=-b y a x ，则常用结论1：P 到焦点的距离为m = n ，则P 到两准线的距离比为m ︰n.简证：ePF ePF d d 2121= = n m .常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b. 三、抛物线方程.3. 设p>0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：注：①x c by ay =++2顶点)244(2a b a b ac --.②)0(22≠=p px y 则焦点半径2Px PF +=;)0(22≠=p py x 则焦点半径为2P y PF+=.③通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.四、圆锥曲线的统一定义1、 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l的距离之比为常数e 的点的轨迹.当0<e<1时，轨迹为椭圆； 当e=1时，轨迹为抛物线； 当e>1时，轨迹为双曲线；2、 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD 与BC 的中点重合即可.五、直线与曲线的综合问题的方法步骤： 1、设交点坐标设直线y=kx+b 与曲线 f(x,y)=0的两个交点分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).根据条件列出x 1、x 2、y 1、y 2的关系式. （见注） 2、解方程解：⎩⎨⎧=+=0),(y x f b kx y 得：⎩⎨⎧=++=++0022221121c y b y a c x b x a 得⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=+-=-=+>-=∆2221222111211121204a c y y a b y y a c x x a b x x ac b 3、由1、2中 的等式运算得结论。
高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.1 椭圆及
长轴A1A2长为① 2a ,短轴B1B2长为② 2b
c
椭圆的焦距与长轴长的比e= a
2.利用椭圆的参数方程
x
y
a b
cos φ,通过参数φ能间接表示椭圆上点
sin φ,
的坐标,从而转化为三角函数问题求解.
3.点P(x0,y0)和椭圆
x a
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的关系:
x02 y02
25 4
,
得b2=3(1+4k2)-
25(1 4k 2 )2 64(1 k 2 )
.
(10分)
又原点O到直线AB的距离d= | b | ,
1 k2
所以△AOB的面积S= 5 · | b | ,
4 1 k2
所以S2=
25 16
3(1 1
4k k2
2
)
25(1 4k 2 )2 64(1 k 2 )2
椭圆方程设成mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式.
例1
(2017浙江名校协作体期初,19)已知椭圆C:
x a
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0),过椭
圆C上一点P与椭圆相切的直线l为y=- 2 x+ 3 2 ,且点P的横坐标为2.
42
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若AB是椭圆的一条动弦,且|AB|= 5 ,求△AOB面积的最大值.
,
令u=1 4k 2
1 k2
,则S2=- 625
1 024
u2
192 25
u
=- 625
1 024
2020届高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.1椭圆及其性质课件
4 16
4 2 44
∴当m=5时,(t2)max=4,即|t|max=2,
即当m=5时,点B横坐标的绝对值最大.
思路分析 (1)设出点B的坐标,利用向量的坐标运算得点A的坐标. (2)利用点A,B都在椭圆上得方程组,求得点B的横、纵坐标满足的关系式. (3)利用(2)中的关系式及点B在椭圆上,把点B的横坐标的平方表示为关于m的函数. (4)利用二次函数的最值得结论.
.
答案 15
解析 本题主要考查椭圆的定义和标准方程、直线斜率与倾斜角的关系,以及解三角形,旨在 考查学生的综合应用能力及运算求解能力,重点应用数形结合思想,突出考查了直观想象与数 学运算的核心素养.
如图,记椭圆的右焦点为Fc=2,连接OM,PF', 则|OM|=|OF|=2,又∵M为PF的中点, ∴|PF'|=2|OM|,PF'∥OM,∴|PF'|=4, 又∵P在椭圆上,∴|PF'|+|PF|=6,∴|PF|=2, 在△PFF'中,|PF'|=|FF'|=4,|PF|=2,连接F'M,
|=|AQ|. 记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k2>0,k1≠k2.
由(1)知,|AP|= 2a2 | k1 | 1 k12 ,|AQ|= 2a2 | k2 | 1 k22 ,
1 a2k12
1 a2k22
故 2a2 | k1 | 1 k12 = 2a2 | k2 | 1 k22 ,
高考数学 (浙江专用)
第十章 圆锥曲线与方程
§10.1 椭圆及其性质
五年高考
A组 自主命题·浙江卷题组
考点一 椭圆的定义和标准方程
1.(2019浙江,15,4分)已知椭圆 x2 + y2 =1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF 95
2023版高考数学一轮总复习第十章圆锥曲线与方程第一讲椭圆课件理
(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆. ( ✕ )
(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.
(
)
✕
(3)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆
的长半轴长,c为椭圆的半焦距).
( √ )
(4)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆. (
第十章
圆锥曲线与方程
第一讲
椭 圆
要点提炼
椭圆的定义和标准方程
考点1
1. 定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作
椭圆 .这两个定点叫作椭圆的________,两焦点间的距离叫作椭圆的______
焦点
焦距 .
______
集合语言:P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a>c>0,且
9 4
则|MF1|·|MF2|的最大值为( C )
A.13 B.12 C.9
D.6
椭圆的定义及其应用
考向1
解析
(1)由题意得a=3,b= 7,c= 2,∴|F1F2|=2 2,|AF1|+|AF2|=6.
∵|AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|·|F1F2|cos 45°=|AF1|2+8-4|AF1|,
(i) 2 + 2 =1(a>b>0),r1=a+ex0,r2=a-ex0;
2 2
(ii) 2 + 2 =1(a>b>0),r1=a+ey0,r2=a-ey0;
(北京专用)2020届高考数学一轮复习第十章圆锥曲线10.1椭圆及其性质课件
(3)解法一:直线BM与直线DE平行.证明如下:
当直线AB的斜率不存在时,由(2)可知kBM=1.
又因为直线DE的斜率kDE=1 0 =1,所以BM∥DE.
2 1
当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1)(k≠1).
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则直线AE的方程为y-1= y1 1 ·(x-2).
1
则x1+x2=-
1
4kt 2k
2
,x1x2=12t 2
2 2k 2
.
所以|OM|·|ON|= x1 · x2
kx1 t 1 kx2 t 1
=
k 2 x1x2
k (t
x1 x2 1)( x1
x2 )
(t
1) 2
2t2 2
=
k2
2t 2 1
2 2k 2
k (t
1 2k 2
1)
1
4kt 2k
当x1=x2=1,由(2)知,kBM=1.
又kDE=
1 0 2 1
=1,所以BM∥DE.
当x1≠1时,因为直线AB经过点D(1,0),
所以y2(x1-1)=y1(x2-1).
两边平方并把
yi2
=
3
xi2 3
(i=1,2)代入,
得到(3- x22 )(x1-1)2=(3- x12 )(x2-1)2,
.
x0
又 x02 +2 y02 =4,所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2
2
=
x0
2 y0 x0
+(y0-2)2
= x02 +
y02 +
4 y02 x02
高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.1.2椭圆的几何性质对点训练理
2017高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.1.2 椭圆的几何性质对点训练 理1．一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254解析 由题意知，圆过椭圆的三个顶点(4,0)，(0,2)，(0，－2)，设圆心为(a,0)，其中a >0，由4－a ＝a 2＋4，解得a ＝32，所以该圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.2.过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a ＋y2b ＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．答案22解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a ＋y 21b ＝1①， x 22a 2＋y 22b2＝1②. ①、②两式相减并整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.把已知条件代入上式得，－12＝－b 2a 2×22，∴b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝22.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.答案 57解析 如图，设右焦点为F 1，|BF |＝x ，则cos ∠ABF ＝x 2＋102－6220x ＝45.解得x ＝8，故∠AFB ＝90°.由椭圆及直线关于原点对称可知|AF 1|＝8，且∠FAF 1＝90°，△FAF 1是直角三角形，|F 1F 2|＝10，故2a ＝8＋6＝14,2c ＝10，e ＝c a ＝57.4．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b ＋yb＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧5b 4＋x 125b ＋－14b ＋74b＝1，72＋12b x 1－52b ＝5，解得b ＝3.所以a ＝35， 故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.5．如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝＋22＋－22＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)解法一：连接QF 1，如图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2，求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c.由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0，从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b2＝(a ＋a 2－2b 2)2.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a . 从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|. 又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|， 因此(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ， 于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3.解法二：连接QF 1，如上图，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|. |PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a . 由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2，因此e ＝c a ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝－22＋2－2＝ 9－62＝6－ 3.6.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bca， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)解法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10. 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得 (1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8kk ＋1＋4k2， x 1x 2＝k ＋2－4b21＋4k2.由x 1＋x 2＝－4，得－8kk ＋1＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝b 2－.由|AB |＝10，得 b 2－＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.解法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2, x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0. 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12. 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0.所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝b 2－.由|AB |＝10，得 b 2－＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.7．设椭圆x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，已知|AB |＝32|F 1F 2|. (1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切．求直线l 的斜率．解 (1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)． 由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2. 又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12.所以椭圆的离心率e ＝22.(2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2.故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c2＝1.设P (x 0，y 0)．由F 1(－c,0)，B (0，c )， 有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )．由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.①又因为点P 在椭圆上，故x 202c 2＋y 20c2＝1.②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c ，代入①得y 0＝c 3，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝x 1－2＋y 1－c2＝53c . 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx . 由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|k 2＋1＝r ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 3－2c 3k 2＋1＝53c ， 整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15. 所以，直线l 的斜率为4＋15或4－15. 8．已知椭圆C 的中心在原点，离心率e ＝32，右焦点为F (3，0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的上顶点为A ，在椭圆C 上是否存在点P ，使得向量OP →＋OA →与FA →共线？若存在，求直线AP 的方程；若不存在，简要说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，又离心率e ＝32，右焦点为F (3，0)，∴c a ＝32，c ＝3，∴a ＝2，b 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设椭圆C 上存在点P (x 0，y 0)，使得向量OP →＋OA →与FA →共线． ∵OP →＋OA →＝(x 0，y 0＋1)，FA →＝(－3，1)， ∴x 0＝－3(y 0＋1)． ①又点P (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 2＝1上，∴x 204＋y 20＝1. ② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－837，y 0＝17.∴P (0，－1)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－837，17.当点P 的坐标为(0，－1)时，直线AP 的方程为x ＝0，当点P 的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－837，17时，直线AP 的方程为3x －4y ＋4＝0，故存在满足题意的点P ，直线AP 的方程为x ＝0或3x －4y ＋4＝0.9．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b ≥1)的离心率e ＝32，且椭圆C 上一点N 到Q (0,3)距离的最大值为4，过点M (3,0)的直线交椭圆C 于点A 、B .(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|AB |<3时，求实数t 的取值范围．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2，则椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1，即x 2＋4y 2＝4b 2.设N (x ，y )，则 |NQ |＝x －2＋y －2＝4b 2－4y 2＋y －2＝－3y 2－6y ＋4b 2＋9 ＝－y ＋2＋4b 2＋12.当y ＝－1时，|NQ |有最大值4b 2＋12，则4b 2＋12＝4，解得b 2＝1，∴a 2＝4，故椭圆方程是x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )， 直线AB 的方程为y ＝k (x －3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y 2＝1，整理得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0. 则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，x 1·x 2＝36k 2－41＋4k2，Δ＝(－24k 2)2－16(9k 2－1)(1＋4k 2)>0，解得k 2<15.由题意得OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )， 则x ＝1t (x 1＋x 2)＝24k2t1＋4k2， y ＝1t (y 1＋y 2)＝1t [k (x 1＋x 2)－6k ]＝－6kt＋4k. 由点P 在椭圆上，得k 22t 2＋4k22＋144k2t 2＋4k22＝4，化简得36k 2＝t 2(1＋4k 2)．① 由|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|<3，得(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<3，将x 1＋x 2，x 1x 2代入得(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤242k4＋4k22－k 2－1＋4k2<3， 化简，得(8k 2－1)(16k 2＋13)>0，则8k 2－1>0，即k 2>18，∴18<k 2<15.② 由①得t 2＝36k 21＋4k 2＝9－91＋4k2，由②得3<t 2<4，∴－2<t <－3或3<t <2. 故实数t 的取值范围为－2<t <－3或3<t <2.。
2020届高考数学一轮复习第十章圆锥曲线10.1椭圆及其性质教师用书(PDF,含解析)
( )
Ａ.２ ３
Ｂ.６
Ｃ.４ ３
Ｄ.２
( ２) 设
Ｆ１ 、Ｆ２
分别是椭圆 ｘ２ ＋ ｙ２ ２５ １６
＝１
的左、右焦点ꎬＰ
为椭圆
上任意一点ꎬ点 Ｍ 的坐标为( ６ꎬ４) ꎬ则 ｜ ＰＭ ｜ － ｜ ＰＦ１ ｜ 的最小值为
.
解析 (１)由椭圆的方程得 ａ ＝ ３ .设椭圆的另一个焦点 为 Ｆꎬ则由椭圆的定义得 ｜ ＢＡ ｜ ＋ ｜ ＢＦ ｜ ＝ ｜ ＣＡ ｜ ＋ ｜ ＣＦ ｜ ＝ ２ａꎬ所以 △ＡＢＣ 的周长为 ｜ ＢＡ ｜ ＋ ｜ ＢＣ ｜ ＋ ｜ ＣＡ ｜ ＝ ｜ ＢＡ ｜ ＋ ｜ ＢＦ ｜ ＋ ｜ ＣＦ ｜ ＋ ｜ ＣＡ ｜ ＝
( ｜ ＢＡ ｜ ＋ ｜ ＢＦ ｜ ) ＋( ｜ ＣＦ ｜ ＋ ｜ ＣＡ ｜ )＝ ２ａ＋２ａ ＝ ４ａ ＝ ４ ３ . (２) 由椭圆的方程可知 Ｆ２( ３ꎬ０) ꎬ由椭圆的定义可得 ｜ ＰＦ１ ｜
＝ ２ａ－ ｜ ＰＦ２ ｜ ꎬ∴ ｜ ＰＭ ｜ － ｜ ＰＦ１ ｜ ＝ ｜ ＰＭ ｜ － ( ２ａ － ｜ ＰＦ２ ｜ ) ＝ ｜ ＰＭ ｜ ＋
足的关系式ꎬ化为关于 ａꎬｃ 的齐次方程ꎬ解出 ａꎬｃ 的关系或化为
关于 ｅ 的方程求解.
( ３) 根据题设条件及椭圆的几何特征构建不等式ꎬ求离心率
的取值范围.
( １) 设
Ｆ１ ꎬＦ２
是椭圆
ｘ２ ａ２
＋ ｙ２ ｂ２
＝ １(ａ>ｂ>０)的两个焦点ꎬＰ
是椭圆上的点ꎬ ｜ ＰＦ１ ｜ ∶ ｜ ＰＦ２ ｜ ＝ ２ ∶ １ꎬ且 △ＰＦ１ Ｆ２ 为直角三角
为
ｘ２ ａ２
＋ ｙ２ ｂ２
＝ １(ａ>ｂ>０).
∵ ２ａ ＝ １０ꎬ２ｃ ＝ ６ꎬ∴ ａ ＝ ５ꎬｃ ＝ ３ꎬ
椭圆的经典知识总结(K12教育文档)
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12椭圆知识总结 班级 姓名椭圆的定义:平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
注意：若)(2121F F PF PF =+,则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。
知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时,椭圆的标准方程：12222=+b y ax)0(>>b a ，其中222b a c -=2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx ay)0(>>b a ,其中222b a c-=；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时椭圆的焦点坐标为)0,(c ,)0,(c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c -知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：12222=+by ax )0(>>b a 的简单几何性质（1)对称性：对于椭圆标准方程12222=+bya x)0(>>b a ： 说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变,所以椭圆12222=+b y a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
高考数学复习：第10章圆锥曲线第1节 椭圆及其性质
第十章 圆锥曲线第一节 椭圆及其性质题型115 椭圆的定义与标准方程2013年1．（2013广东文9）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x2014年1.（2014大纲文9）已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F ，2F ，离心率为3，过2F 的直线l 交C 于A ，B 两点，若1AF B △的周长为则C 的方程为（ ）. A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 2.（2014辽宁文15）已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则AN BN += .3.（2014辽宁文20）如图所示，圆224xy +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P . （1）求点P 的坐标；（2）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P，且与直线:l y x =A ，B 两点，若PAB△的面积为2，求C 的标准方程.4.（2014天津文18）设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B .已知12AB F =. （1）求椭圆的离心率；（2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过点2F 的直线l 与该圆相切于点M，2MF =求椭圆的方程.5. （2014新课标Ⅱ文20） 设12,F F 分别是椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直.直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N=，求,a b .2015年1.（2015广东文8）已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()14,0F -，则m =（ ）. A ．2B ．3C ．4D ．91.解析 由左焦点为()14,0F -，可得4c =. 由222ab c =+，即22516m =+，得29m =. 又0m >，所以3m =.故选B.评注 本题考查椭圆的简单几何性质．2016年1.（2016山东文21（1））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为4，焦距为求椭圆C 的方程.1. 解析 设椭圆的半焦距为c ，由题意知24,2a c ==所以2,a b ===，所以椭圆C 的方程为22142x y +=. 2.（2016四川文20（1））已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点12P ⎫⎪⎭在椭圆E 上，求椭圆E 的方程. 2. 解析 由已知得，2.a b =又椭圆()222210x y a b a b +=>>过点12P ⎫⎪⎭，故2213414b b +=，解得2 1.b = 所以椭圆E 的方程是22 1.4x y += 3.（2016天津文19（1））设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知113||||||e OF OA FA +=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率，求椭圆的方程.3.解析 （1）由113e OF OA FA +=，即113()c c a a a c +=-，可得2223a c c -=. 又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为221.43x y +=2017年1.（2017全国1文12）设A ，B 是椭圆22:13x y C m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则m 的取值范围是（ ）.A.(][)0,19,+∞B.([)9,+∞C.(][)0,14,+∞D.([)4,+∞1.解析 因为在C 上存在点M ，满足120AMB ∠=，所以()max120AMB ∠.当点M 位于短轴端点时，AMB ∠取得最大值. ① 当03m <<时，如图1所示，有120AMB∠，则60,30AMO MAO ∠∠，所以()21tan 33mMAO ∠=，解得01m <；图1 图2 ② 当3m >时，如图2示，有120AMB∠，则60,30AMOMAO ∠∠，所以()2tan 33m MAO ∠=，解得9m .综上可得，的取值范围是(][)0,19,+∞.故选A.评注：先研究“椭圆()222210x y a b a b+=>>，,A B 是长轴两端点，M 位于短轴端点时，AMB ∠最大”这一结论.图3如图3所示，因为AMB MBx MAx ∠=∠-∠， 所以tan tan tan 1tan tan 1MB MA MB MAk k MBx MAxAMB MBx MAx k k -∠-∠∠==+∠⋅∠+⋅.设()0MA k t t =>，因为22MB MAa k k b⋅=-（中点弦的一个结论），所以2222222222tan 1a a b b tt ab t t AMB a c cba --+∠==---（当且仅当222a t b =，即a t b =时等号成立，此时M 位于短轴端点处）.2.（2017山东卷文21）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的离心率为2，椭圆C 截直线1y =所得线段的长度为（1）求椭圆C 的方程；（2）动直线():0l y kx m m =+≠交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M .点N 是点M 关于O 的对称点，圆N 的半径为NO . 设D 为AB 的中点，DE ，DF 与圆N 分别相切于点E ，F ，求EDF ∠的最小值.2.解析 （1）由椭圆的离心率为2，得()222=2a a b -， 又当1y =时，2222=-a x a b ，得2222-=a a b，所以2=4a ，2=2b .因此椭圆方程为22142+=x y . (2) 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立方程22=++2=4y kx mx y ⎧⎪⎨⎪⎩ ，得()222214240k x kmx m +++-=，由0∆>，得2242m k <+ .且122421km x x k +=+，因此122221m y y k +=+，所以222,2121kmm D k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 又()0,N m -，所以2222222121km m ND m k k ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()2242241321m k k k++=+，因为NF m =，所以()()()2422222224318312121k k ND k NFkk+++==+++.令283,3t k t=+，故21214t k ++=.所以()22216161+1112ND t t NF t t==++++. 令 1y t t=+，所以211y t '=-. 当 3t 时，0y '>，从而1y t t=+在[)3+∞，上单调递增. 因此1103y t t =+，等号当且仅当3t =时成立，此时0k =，所以 221+3=4ND NF ，12NDNF.设2EDF θ∠=，则1sin 2NF ND θ= ，所以θ的最小值为6π.从而EDF ∠的最小值为3π，此时直线l 的斜率为0.综上所述，当0k =，()()0,2m ∈时，EDF ∠取得最小值为3π. 题型116 椭圆离心率的值及取值范围2013年1. （2013四川文9）从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴做垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB OP ∥（O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）.A.B. 12C. D. 2.（2013江苏12）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a b y a x ， 右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的 距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 .2. (2013福建文15）椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为122.F F c 、，焦距为 若直线)y x c =+ 与椭圆Γ的一个交点M 满足12212,MF F MF F ∠=∠则该椭圆的离心率等于 .3.（2014北京文19）已知椭圆C ：2224x y +=.（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =上，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值.4.（2014江苏17）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F ，分别是椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点，顶点B 的坐标为()0,B b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1F C ．（1）若点C 的坐标为41,33⎛⎫⎪⎝⎭，且2BF ，求椭圆的方程；（2）若1F C AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．2014年1.（2014江西文14）设椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点为21F F ，，过2F 作x 轴的垂线与C 相交于B A ，两点，B F 1与y 轴相交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于 .2. （2014安徽文21）设1F ，2F 分别是椭圆E ：22221x ya b+=(0)a b >>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，113AF F B =. （1）若2||4,AB ABF =△的周长为16，求2AF ； （2）若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率.2015年1.（2015福建文11）已知椭圆E ：()2210a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线340l x y -=：交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的 距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）.A ．⎛ ⎝⎦B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．⎫⎪⎪⎣⎭D ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭1. 解析 设左焦点为F ，连接1AF ，1BF ，则四边形1BF AF 是平行四边形，故11||||AF BF =， 所以142AF AF a +==，所以2a =.设()0,M b ，则4455b，故1b .所以221a c-，203c <，03c<，所以椭圆E 的离心率的取值范围为⎛ ⎝⎦. 故选A.评注 1. 椭圆的定义和简单几何性质；2. 点到直线距离公式．2.（2015浙江文15）椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点(),0F c 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．2. 解析 解法一:设()00Q x y ，，则OQ OF c ==，所以222x y c +=，又2200221x y a b+=，所以()()22222220222a cb ac b x a bc --==- ，所以422202b y c x c =-=，所以20b y c=，不妨取0x =，所以QF 中点0022x c y +⎛⎫⎪⎝⎭，，代入00b y x c =，得2bc c -=，化简得2220()b bc c b c ⎧++=⎪⎨≠⎪⎩舍去或b c =，所以2e =.解法二:取左焦点1F ，则1F Q ：()c y x c b =-+，所以原点O 到1F Q 的距离2d =.又F 到b y xc =的距离d '=，由题意知，d d '=，所以b c =，所以2e =.3.（2015重庆文21）如图所示，椭圆()2210a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，且1PQ PF ⊥.程.（21PF λ=3443λ， 试确定椭圆离心率的取值范围.3. 解析 （1）由椭圆的定义，122||||(2(24a PF PF =+=+=，故2a =. 设椭圆的半焦距为c ，由已知12PFPF ⊥，因此122||c F F=====即c =1b ==. 故所求椭圆的标准方程为2214x y+=.（2）由1PF PQ ⊥，1||||PQ PF λ=，得11|||QF PF ==. 由椭圆的定义，12||||2PF PF a +=，12||||2QF QF a +=， 进而11||||||4PF PQ QF a ++=.于是1(1||4PF a λ+=， 解得1||PF =，故21||2||PF a PF =-=由勾股定理得222221212||||||(2)4PF PF F Fc c +===，从而2224c ⎛⎫+=， 两边除以24a 2e =.若记1t λ=+，则上式变为22224(2)111842t e t t +-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭. 由3443λ<≤，并注意到1λ+λ的单调性，得34t <≤，即11143t <≤.进而21529e <≤e <≤. 2016年1.（2016全国乙文5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ）. A.13 B.12 C.23D.341. B 解析 由等面积法可得1112224bc a b ⨯=⨯⨯⨯，故12c a =，从而12c e a ==.故选B. 2.（2016江苏10）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221x y a b +=()0a b >>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=，则该椭圆的离心率是 .2. 解析 由题意得(),0F c ，直线2b y =与椭圆方程联立，可得2b B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,22b C ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由90BFC ∠=，可得0BF CF ⋅=，2b BF c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，2b CF c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 则22231044c a b -+=，由222b a c =-，可得223142c a =，则c e a ===.2017年1.（2017全国3文11）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）. ABC．3D ．131.解析 因为直线与圆相切，即d a ==，整理得223a b =.令21b =，则有23a =，22c =，22223c e a ==，3e =.故选A. 评注 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，以及圆锥曲线的离心率公式和圆的方程，考查的知识点比较多，但总的难度不大，属于跨板块的综合类问题，基础中偏上的学生一般都能搞定.2.（2017浙江卷2）椭圆22194x y +=的离心率是（ ）.A.B. C. 23 D. 592.解析 由椭圆方程可得，229,4a b ==，所以2225c a b =-=，所以3a =，c =c e a ==.故选B ． 题型117 椭圆的焦点三角形2014年1.（2014重庆文21）如图所示，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||||F F DF =12DF F △的面积为2.（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由.DF 2F 1Oyx。
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2017高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.1 椭圆及其性质课时练 理时间：60分钟基础组1.[2016·冀州中学仿真]若曲线ax 2＋by 2＝1为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ，b 满足( )A ．a 2>b 2B.1a <1bC ．0<a <bD ．0<b <a答案 C解析 由ax 2＋by 2＝1，得x 21a＋y 21b＝1，因为焦点在x 轴上，所以1a >1b>0，所以0<a <b .2．[2016·武邑中学预测]设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案 D解析 ∵(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°. 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝4，∴S △F 1PF 2＝12mn ＝1，故选D.3．[2016·衡水二中模拟]已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1(x ≠0，y ≠0)上的动点，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M →·MP →＝0，则|OM →|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4] 答案 B解析 延长F 1M 交PF 2或其延长线于点G .∵F 1M →·MP →＝0，∴F 1M →⊥MP →，又MP 为∠F 1PF 2的平分线，∴|PF 1|＝|PG |且M 为F 1G 的中点，∵O 为F 1F 2的中点，∴OM 綊12F 2G .∵|F 2G |＝|PG |－|PF 2|＝||PF 1|－|PF 2||，∴|OM →|＝12|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.∵4－22<|PF 2|<4或4<|PF 2|<4＋22，∴|OM →|∈(0,22)．4．[2016·枣强中学期末]在△ABC 中，AB ＝BC ，cos B ＝－718.若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率为( )A.34 B.37 C.38 D.318答案 C解析 依题意知AB ＝BC ＝2c ，AC ＝2a －2c ，在△ABC 中，由余弦定理得(2a －2c )2＝8c 2－2×4c 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－718，故16e 2＋18e －9＝0，解得e ＝38.5．[2016·衡水二中仿真]如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是( )A.13 B.23 C.15 D.25答案 B解析 由题知|AF 1|＋|AF 2|＝2a (设a 为椭圆的长半轴)，|AF 1|－|AF 2|＝2，而|F 1F 2|＝|F 1A |＝4，因此可得2×|F 1A |＝2a ＋2，∴8＝2a ＋2，∴a ＝3，又c ＝2，故C 2的离心率e ＝23.6．[2016·枣强中学期中]已知F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与F 1A 的延长线、F 1F 2的延长线以及线段AF 2相切，若M (t,0)为一个切点，则( )A ．t ＝2B ．t >2C ．t <2D ．t 与2的大小关系不确定答案 A解析 如图，P ，Q 分别是圆C 与F 1A 的延长线、线段AF 2相切的切点，|MF 2|＝|F 2Q |＝2a －(|F 1A |＋|AQ |)＝2a －|F 1P |＝2a －|F 1M |，即|F 1M |＋|MF 2|＝2a ，所以t ＝a ＝2.故选A.7．[2016·冀州中学猜题]椭圆x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π4，则该椭圆离心率的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，63 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，32 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 答案 A解析 由题知AF ⊥BF ，根据椭圆的对称性，AF ′⊥BF ′(其中F ′是椭圆的左焦点)，因此四边形AFBF ′是矩形，于是|AB |＝|FF ′|＝2c ，|AF |＝2c sin α，根据椭圆的定义，|AF |＋|AF ′|＝2a ，∴2c sin α＋2c cos α＝2a ，∴e ＝c a ＝1sin α＋cos α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，而α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π4，∴α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1，故e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，63，故选A.8. [2016·武邑中学仿真]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．(0，2－1) B.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 D ．(2－1,1)答案 D解析 根据正弦定理得|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1，所以由a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1可得a |PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1||PF 2|＝c a＝e ，所以|PF 1|＝e |PF 2|，又|PF 1|＋|PF 2|＝e |PF 2|＋|PF 2|＝|PF 2|·(e ＋1)＝2a ，则|PF 2|＝2ae ＋1，因为a －c <|PF 2|<a ＋c (不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0，无意义)，所以a －c <2a e ＋1<a ＋c ，即1－c a <2e ＋1<1＋c a ，所以1－e <2e ＋1<1＋e ，即⎩⎪⎨⎪⎧－e 1＋e <2，2<1＋e2，解得2－1<e <1，选D.9．[2016·衡水中学模拟]已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为A (0，－1)，其右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3，则椭圆的方程为________．答案x 23＋y 2＝1解析 据题意可知椭圆方程是标准方程，故b ＝1.设右焦点为(c,0)(c >0)，它到已知直线的距离为|c ＋22|2＝3，解得c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝3，故椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.10．[2016·冀州中学期中]如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点．则PF →·PA →的最大值为________．答案 4解析 设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2，∵e ＝c a ＝12，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. ∵F (－1,0)，A (2,0)， PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，∴PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2.即当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.11．[2016·衡水中学仿真]已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1和F 2，且|F 1F 2|＝2，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在该椭圆上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的面积为1227，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解 (1)由题意知c ＝1,2a ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝4，a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)①当直线l ⊥x 轴时，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，△AF 2B 的面积为3，不符合题意．②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，显然Δ>0成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k2，可得|AB |＝k 2＋3＋4k2，又圆F 2的半径r ＝2|k |1＋k 2，∴△AF 2B 的面积为12|AB |r ＝12|k |k 2＋13＋4k 2＝1227，化简得：17k 4＋k 2－18＝0，得k ＝±1，∴r ＝2，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.12．[2016·枣强中学预测]如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．解 设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)因为B (0，b )，所以|BF 2|＝b 2＋c 2＝a . 又|BF 2|＝2，故a ＝ 2.因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1.解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为x c ＋y b＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x c ＋yb＝1，x 2a 2＋y2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝bc 2－a 2a 2＋c 2，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b .所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b c 2－a 2a 2＋c 2.又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b a 2－c 2a 2＋c 2.因为直线F 1C 的斜率为b a 2－c 2a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－－c ＝b a 2－c 23a 2c ＋c 3，直线AB 的斜率为－bc，且F 1C ⊥AB ，所以b a 2－c 23a 2c ＋c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1. 又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2.故e 2＝15.因此e ＝55.能力组13. [2016·冀州中学一轮检测]过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)左焦点F ，且斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点，向量OA →＋OB →与向量a ＝(3，－1)共线，则该椭圆的离心率为( )A.33 B.63 C.34D.23答案 B解析 设椭圆的左焦点为F (－c,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，直线AB 的方程为y ＝x ＋c ，代入椭圆方程并整理得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2c 2－a 2b 2＝0.由韦达定理得x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，所以y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2c ＝2b 2ca 2＋b 2.根据OA →＋OB →与a ＝(3，－1)共线，得x 1＋x 2＋3(y 1＋y 2)＝0，即－2a 2c a 2＋b 2＋3×2b 2c a 2＋b 2＝0，解得b 2a 2＝13，所以e ＝1－b 2a 2＝63，故选B. 14．[2016·武邑中学一轮检测]已知点A ，D 分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点和上顶点，点P 是线段AD 上的任意一点，点F 1，F 2分别是椭圆的左，右焦点，且PF 1→·PF 2→的最大值是1，最小值是－115，则椭圆的标准方程为________．答案x 24＋y 2＝1解析 设点P (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，所以PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－c 2.因为点P 在线段AD 上，所以x 2＋y 2可以看作原点O 至点P 的距离的平方，易知当点P与点A 重合时，x 2＋y 2取最大值a 2，当OP ⊥AD 时，x 2＋y 2取最小值a 2b 2a 2＋b2.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－c 2＝1a 2b 2a 2＋b2－c 2＝－115，解得a 2＝4，b 2＝1.即椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.15．[2016·武邑中学月考]已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点A (3，0)，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，记点B 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)直线AB 交圆O 于C ，D 两点，当B 为CD 的中点时，求直线AB 的方程．解 (1)设AB 的中点为M ，切点为N ，连接OM ，MN ，则|OM |＋|MN |＝|ON |＝2，取A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B ，故|A ′B |＋|AB |＝2(|OM |＋|MN |)＝4.所以点B 的轨迹是以A ′，A 为焦点，4为长轴长的椭圆． 其中，a ＝2，c ＝3，b ＝1， 则曲线Γ的方程为x 24＋y 2＝1.(2)因为B 为CD 的中点，所以OB ⊥CD ，则OB →⊥AB →.设B (x 0，y 0)， 则x 0(x 0－3)＋y 20＝0.又x 204＋y 20＝1，解得x 0＝23，y 0＝±23 则k OB ＝±22，所以k AB ＝±2， 则直线AB 的方程为2x ＋y －6＝0或2x －y －6＝0.16. [2016·衡水中学热身]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P (－2，1)在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足PM →＋F 2M →＝0.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 上任一动点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)，求3x 1－4y 1的取值范围．解 (1)点P (－2，1)在椭圆上， ∴2a 2＋1b2＝1.①又∵PM →＋F 2M →＝0，M 在y 轴上， ∴M 为PF 2的中点， ∴－2＋c ＝0，c ＝ 2. ∴a 2－b 2＝2，②联立①②，解得b 2＝2(b 2＝－1舍去)， ∴a 2＝4.故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－y 1x 0－x 1×2＝－1，y 0＋y 12＝2×x 0＋x12.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝4y 0－3x 05，y 1＝3y 0＋4x5.∴3x 1－4y 1＝－5x 0.∵点N (x 0，y 0)在椭圆C ：x 24＋y 22＝1上，∴－2≤x 0≤2，∴－10≤－5x 0≤10， 即3x 1－4y 1的取值范围为[－10,10]．。