2016年高考数学一轮复习课件：第一节 坐标系
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 选修4—4 坐标系与参数方程 第1节 极坐标方程与参数方程
π
θ=4代入 ρ2-2ρcos
+1=0,得 ρ2-3 2ρ+1=0,∴ρ1+ρ2=3 2,ρ1ρ2=1,∴|AB|=|ρ1-ρ2|
= (1 + 2 )2 -41 2 =
(3 2)2 -4 × 1 = 14.
θ-4ρsin θ
考向2参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程
例2(2022全国甲,文22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个 定点
叫做极点;自极点O引一条 射线
再选定一个 长度
(通常取 弧度
O,
Ox,叫做极轴;
单位、一个 角度
)及其正方向(通常取
单位
逆时针 方
向),这样就建立了一个极坐标系.
|OM|
(2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的距离
叫做点M
的极径,记为 ρ ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角 xOM 叫做点
选修4—4 第1节 极坐标方程与参数方程
内
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
课标解读
1.了解在直角坐标系伸缩变换作用下平
面图形的变化情况.
2.能用极坐标表示点的位置,理解在两个
坐标系中表示点的位置的区别,能进行极
坐标和直角坐标的互化.
3.能在极坐标系中给出简单图形的方程,
通过比较这些图形在两个坐标系中的方
程,理解用方程表示平面图形时选择适当
坐标系的意义.
4.了解参数方程及参数的意义.
5.能选择适当的参数写出直线、圆和圆
锥曲线的参数方程.
衍生考点
核心素养
高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数第一节函数的概念及其表示课件
2
故函数 f(x)的解析式为 f(x)=x2-2(x≥2).
故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2(x≥2).
(4)因为f(x)+2f(-x)=x2+2x,①
所以f(-x)+2f(x)=x2-2x,
所以2f(-x)+4f(x)=2x2-4x,②
②-①,得
1 2
f(x)=3x -2x,
故函数 f(x)的解析式为
与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的 集合{f(x)|x∈A} 叫做函数
的 值域
.
(2)如果两个函数的
定义域
两个函数是同一个函数.
相同,并且 对应关系 完全一致,那么这
微点拨对函数概念的理解
(1)函数的三要素是定义域、值域和对应关系;
(2)如果两个函数的定义域和对应关系相同,这两个函数就是同一个函数,
的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.
微拓展复合函数:一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可
以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作
y=f(g(x)),其中y=f(u)叫做复合函数y=f(g(x))的外层函数,u=g(x)叫做y=f(g(x))
则 f(f(26))等于(
log 5 (-1), ≥ 4,
1
A.
5
1
B.
e
C.1
D.2
)
答案 (1)ln 2
(2)C
解析(1)由题意知,当x>0时,f(x)<0;
当x≤0时,f(x)=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3.
2015年高考数学一轮复习课时训练第1节 坐标系
第十三篇坐标系与参数方程(选修44)课时训练练题感提知能第1节坐标系【选题明细表】A组填空题1.在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标是.解析:法一由ρ=-2sin θ得ρ2=-2ρsin θ,化成直角坐标方程为x2+y2=-2y,化成标准方程为x2+(y+1)2=1,圆心坐标为(0,-1),其对应的极坐标为.法二由ρ=-2sin θ=2cos知圆心的极坐标为.答案:2.在极坐标系中,过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是.解析:过点(1,0)且与极轴垂直的直线,在直角坐标系中的方程为x=1,其极坐标方程为ρcos θ=1.答案:ρcos θ=13.在平面直角坐标系中,经伸缩变换后曲线x2+y2=16变换为椭圆x'2+=1,此伸缩变换公式是.解析:设此伸缩变换为代入x'2+=1,得(λx)2+=1,即16λ2x2+μ2y2=16.与x2+y2=16比较得故即所求变换为答案:4.(2013珠海市5月高三综合)已知在极坐标系下,点A(2,),B(4,),O是极点,则△AOB的面积等于.解析:S △AOB=×2×4×sin(-)=4.答案:45.在极坐标系中,曲线ρcos θ+ρsin θ=2(0≤θ<2π)与θ=的交点的极坐标为.解析:将θ=代入到ρcos θ+ρsin θ=2中得交点(,).答案:(,)6.(2013年高考北京卷)在极坐标系中,点(2,)到直线ρsin θ=2的距离等于.解析:把极坐标化为直角坐标,点(2,)为点(,1),直线ρsin θ=2为直线y=2,点(,1)到直线y=2的距离为1.答案:17.(2013肇庆教学质量评估)在极坐标系(ρ,θ)(ρ>0,0≤θ<)中,曲线ρ=2sin θ与ρ=2cos θ的交点的极坐标为.解析:两式相除,得tan θ=1,故θ=,代入ρ=2sin θ得ρ=2sin =.故交点的极坐标为(,).答案:(,)8.(2013梅州市高三总复习质检)在极坐标系中,已知点P为方程ρ(cos θ+sin θ)=1所表示的曲线上一动点,点Q(2,),则|PQ|的最小值为.解析:方程ρ(cos θ+sin θ)=1化为直角坐标方程为x+y-1=0,点Q(2,)的直角坐标为(1,),|PQ|最小值==.答案:9.(2012年高考陕西卷)直线2ρcos θ=1与圆ρ=2cos θ相交的弦长为.解析:2ρcos θ=1可化为2x=1,即x=;ρ=2cos θ两边同乘ρ得ρ2=2ρcos θ,化为直角坐标方程是x2+y2=2x.将x=代入x2+y2=2x得y2=,∴y=±,∴弦长为2×=.答案:ρ=4sin θ的异于极10.在极坐标系中,射线θ=(ρ≥0)与曲线C点的交点为A,与曲线C2:ρ=8sin θ的异于极点的交点为B,则|AB|= .解析:将射线与曲线C1的方程联立,得解得故点A的极坐标为;同理由得可得点B的极坐标为,所以|AB|=4-2=2.答案:211.(2012年高考湖南卷)在极坐标系中,曲线C 1:ρ(cosθ+sinθ) =1与曲线C2:ρ=a(a>0)的一个交点在极轴上,则a= .解析:由得ρ=a=.答案:12.在极坐标系中,点P到曲线l:ρcos=上的点的最短距离为.解析:注意到点P的直角坐标是(0,1),曲线l:ρcos=的直角坐标方程是x-y-3=0,因此点P到直线l上的点的最短距离即为点P到直线l的距离,等于=2.答案:2B组13.(2013惠州市高三一模)若直线的极坐标方程为ρcos(θ-)=3,曲线C:ρ=1上的点到直线的距离为d,则d的最大值为. 解析:ρcos(θ-)=3化为直角坐标方程为x+y-6=0.ρ=1化为直角坐标方程为x2+y2=1.圆心(0,0)到直线x+y-6=0的距离为=3.故d+1.答案:3+114.(2013揭阳市高中毕业班第二次高考模拟)在极坐标系中,O为极点,直线l过圆C:ρ=2cos(θ-)的圆心C,且与直线OC垂直,则直线l的极坐标方程为.解析:把ρ=2cos(θ-)化为直角坐标系的方程为x2+y2=2x+2y,圆心C的坐标为(1,1),与直线OC垂直的直线方程为x+y-2=0,化为极坐标系的方程为ρcos θ+ρsin θ-2=0或ρcos(θ-)=.答案:ρcos θ+ρsin θ-2=0或ρcos(θ-)=。
《课堂新坐标》高考数学一轮总复习课件：第一章 第二节 集合(共31张PPT)
落实·固基础 A．U C．{3，5，6}
B．{1，3，5} D．{2，4，6}
高考体验·明
【解析】 ∵U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4} ，
∴∁UM＝{3，5，6}． 探究·提知能 【答案】 C
课后作
菜单
新课标 ·文科数学（广东专用）
3．若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则( )
A．{6} B．{5，8} C．{6，8} D．{5，6，8}
(2)(2012·浙江高考)设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|x2 －2x－3≤0}，则A∩(∁RB)＝( )
探究·提知能 A．(1，4)
B．(3，4)
课后作
C．(1，3)
D．(1，2)∪(3，4)
菜单
新课标 ·文科数学（广东专用）
C．∁RP Q
D．Q ∁RP
集合B是点集，表示抛物线y＝x2＋1上所有点组成的集合．
【解析】 a＝0 时，B＝ 【尝试解答】 当a＝0，b＝1，2，6时，a＋b＝1，2，6；
当y＝1时，x可取2，3，4，5，共有4个数； 在具体情境中，了解全集与空集的含义．
A，a≠0 时，B
C． ，{25，20} D． {(25，20)}
落实·固基础
高考体验·明
探究·提知能 菜单
课后作
新课标 ·文科数学（广东专用）
1．解答本题(2)时应注意两点：一是A∪B＝A B A；
二是B A时，应分B
B≠
落实·固基础
高考体验·明
2．集合A中元素的个数记为n，则它的子集的个数为2n
，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.
3．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间 的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满
高三数学第一轮复习课件(ppt)目录
Page 12
目录 CONTENTS
第二章
2.1 函数及其表示 2.2 函数的单调性与最值 2.3 函数的奇偶性与周期性 2.4 一次函数、二次函数 2.5 指数与指数函数 2.6 对数与对数函数 2.7 幂函数 2.8 函数的图象及其变换 2.9 函数与方程
函数
2.10 函数模型及其应用
第一讲：三角函数
S ABC=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2ah，可得sinA=√15/8，sinC=√15/4。
∴cosA=7/8,cosC=1/4，
∴cos（A-C）=7/8 x 1/4 + √15/8 x √15/4
=11/16 c=2
A
b=2
h=√15/2
Page 21
B
C 1/2 a
1/2
C、﹙1，＋∞﹚
D、[1，＋∞﹚
解析：由于3x＞0，所以3x+1＞1，所以f（x）＞0，集合表示为（0，＋∞），答案为A
2、已知函数y=2x＋1的值域为（5,7），则对应的自变量x的范围为（
）
A、[2,3）
B、[2,3]
C、(2,3)
D、（2,3]
解析：根据题意：5＜2x+1＜7,解得2＜x＜3，用集合表示为（2,3），答案为C
A [1,2]
解析：解二元一次不等式x2 +2x-8≤0，可得-4≤x≤2，所以M为[-4,2]; 解不等式3x-2≥2x-1,可得x≥1,所以N为[1,＋∞﹚。此时我们可以应用数轴马 上解决问题：
-4 0 1 2
如图所示，阴影部分即为所求。答案：A 启示：掌握好数轴工具，在集合、函数问题（ B
B、﹙－∞，5]
）
D、[5，＋∞﹚
高考数学(理)一轮复习精品资料 专题58 坐标系(教学案)含解析
1．了解在平面直角坐标系下的伸缩变换．2．理解极坐标的概念，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.一、平面直角坐标系下的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，λ＞，y ′＝μ·y ，μ＞的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，λy ′＝μ·y ，μ下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆． 二、极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x (θ与(x ，y )所在象限一致)．【特别提醒】(1)在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)． (2)在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一点的坐标． 三、曲线的极坐标方程 1．圆的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为R 的圆的极坐标方程为ρ＝R .(2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O 的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos θ.(3)圆心在点⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2处，且过极点O 的圆的极坐标方程为ρ＝2a sin θ.2．直线的极坐标方程(1)过点(a,0)与极轴垂直的直线的极坐标方程为ρcos θ＝a .(2)过点⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2与极轴平行的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a . 【特别提醒】(1)确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．(2)研究曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及“角度”和“到定点距离”时，引入极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便．考点一、平面直角坐标系下的伸缩变换例1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标．【变式探究】求直线l ：y ＝6x 经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，变换后所得到的直线l ′的方程．解：设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ′，∴y ′＝x ′，即y ＝x 为所求． 【举一反三】求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，变换后所得曲线C ′的焦点坐标．考点二、极坐标与直角坐标的互化例2、在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ： ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.【方法技巧】极坐标方程与普通方程互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρ＝cos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．(3)将直角坐标方程中的x 转化为ρcos θ，将y 换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程．【变式探究】在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C 1和C 2的交点的直角坐标． 解析：由ρsin 2θ＝cos θ⇒ρ2sin 2θ＝ρcos θ⇒y 2＝x ，又由ρsin θ＝1⇒y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.故曲线C 1和C 2交点的直角坐标为(1,1)． 考点三、曲线的极坐标方程例3、(2014·江西高考)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4【变式探究】已知圆C ： x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 的方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C ：ρ＝2，l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)， 则由|OQ |·|OP |＝|OR |2得ρρ1＝ρ22.又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．1.【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB =______. 【答案】2【解析】直线10x --=过圆22(1)1x y -+=的圆心，因此 2.AB = 2.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ． 【答案】（I ）圆,222sin 10a ρρθ-+-=（II ）11=a 时，极点也为21,C C 的公共点，在3C 上.所以1=a .3.【2016高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||AB =，求l 的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）.4.【2016高考新课标3理数】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.【答案】（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（Ⅱ）31(,)22． 【解析】（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=. ……5分（Ⅱ）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()sin()2|3d παα==+-.………………8分 当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22. ………………10分 1.【2015高考北京，理11】在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 6ρθθ=的距离为．【答案】12.【2015高考湖北，理16】在直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C 相交于A ,B 两点，则||AB = . 【答案】52【解析】因为(sin 3cos )0ρθθ-=，所以θρθρcos 3sin -，所以03=-x y ，即x y 3=；由1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去t 得422=-x y ．联立方程组⎩⎨⎧=-=4322x y x y ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==22322y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=22322y x ， 即)223,22(A ，)223,22(--B ，由两点间的距离公式得52)223223()2222(||22=+++=AB . 3.【2015高考广东，理14】(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为24sin(2=-）πθρ，点A 的极坐标为74A π⎛⎫⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 .【答案】2．4.【2015高考安徽，理12】在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是 .【答案】6【解析】由题意2sin ρρθ=，转化为普通方程为228x y y +=，即22(4)16x y +-=；直线()3R πθρ=∈转化为普通方程为y =，则圆上的点到直线的距离最大值是通过圆心的直线上半径加上圆心到直线的距离，设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则圆上的点到直线距离的最大值4246D d r =+=+=+=.5.【2015高考新课标2，理23】选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=． （Ⅰ）.求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．【答案】（Ⅰ）(0,0)和3)2；（Ⅱ）4．6.【2015高考福建，理21】选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos (t )23sin x ty tì=+ïí=-+ïî为参数.在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin()m,(m R).4pq -=? (Ⅰ)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．【答案】(Ⅰ) ()()22129x y -++=，0x y m --=；(Ⅱ) m=-3±【解析】(Ⅰ)消去参数t ，得到圆的普通方程为()()22129x y -++=,sin()m 4pq -=，得sin cos m 0r q r q --=, 所以直线l 的直角坐标方程为0x y m --=. (Ⅱ)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即|12m |2，--+=解得m=-3±7.【2015高考陕西，理23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=．（I ）写出C 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 【答案】（I）(223x y +-=；（II ）()3,0．1．（2014·广东卷）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2交点的直角坐标为________． 【答案】(1，1)【解析】本题主要考查将极坐标方程化为直角坐标方程的方法．将曲线C 1的方程ρsin2θ＝cos θ 化为直角坐标方程为y 2＝x ，将曲线C 2的方程ρsin θ＝1化为直角坐标方程为y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.故曲线C 1和C 2交点的直角坐标为(1，1)．2．（2014·湖北卷） (选修44：坐标系与参数方程)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，则C 1与C 2交点的直角坐标为________． 【答案】()3，13．（2014·湖南卷）在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________．【答案】ρcos θ－ρsin θ＝1【解析】依题意可设直线l ：y ＝x ＋b ，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.由|AB |＝2可知圆心(2，1)在直线l ：y ＝x ＋b 上，即l ：y ＝x －1，所以l 的极坐标方程是ρcos θ－ρsin θ－1＝0.4．(2014·辽宁卷)选修44：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1，由x 21＋y 21＝1得x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线的斜率k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.5．(2014·陕西卷)C ．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________． 【答案】C ．1。
第01讲 直线的方程(九大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)
2
5
∪ 2, +∞ ．
题型突破·考法探究
题型四：直线的方程
【典例4-1】已知为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为(0,2)，斜边上中线CE所
在直线方程为3 + − 7 = 0，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程
为
．
【答案】 − 3 + 1 = 0
当直线不经过原点时，设直线方程为：2 + = 1，
2
3
把点(2,3)代入2 + = 1，解得 = 4．
∴直线方程为 + 2 = 8．
综上可得直线方程为：3 − 2 = 0或 + 2 − 8 = 0，
故答案是：3 − 2 = 0或 + 2 − 8 = 0．
【方法技巧】
题型二：三点共线问题
【典例2-1】若点 3,1 、 −2, 、 8,11 在同一直线上，则实数k的值为
【答案】−9
【解析】因为三点 3,1 、 −2, 、 8,11 在同一直线上，
∴的斜率和的斜率相等，
−1
即−2−3 =
11−1
，
8−3
∴ = −9．
故答案为：−9．
．
是
．
【答案】
1
−3, −
2
3−0
2−0
1
【解析】设(3,0)，则 = 2−3 = −3， = −1−3 = − 2，
∵点(, )是线段上的任意一点，
∴
1
]，
的取值范围是[−3，−
−3
2
1
故答案为：[−3，− 2]
的取值范围
高考数学总复习第一轮复习课件：选修4-4(2)参数方程ppt课件(含答案)
y42＝1，∴椭圆 C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线 l 过(3,0)，则 3－a＝0， ∴a＝3.]
解析答案
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14
课堂 题型全突破
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6
2．常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tan α(x－x0)
xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α
(t 为参数)
圆
x2＋y2＝r2
x＝_r_c_o_s_θ___， y＝__rs_i_n_θ___
(θ 为参数)
椭圆
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
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11
3．直线 l 的参数方程为xy＝ ＝12＋ －t3，t (t 为参数)，则直线 l 的斜率 为________．
－3 [将直线 l 的参数方程化为普通方程为 y－2＝－3(x－1)，因 此直线 l 的斜率为－3.]
解析答案
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12
4．曲线
C
的参数方程为xy＝ ＝scions
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参数方程与普通方程的互化
1．将下列参数方程化为普通方程．
x＝1t ， (1)y＝1t t2－1
(t 为参数)；
x＝2＋sin2θ， (2)y＝－1＋cos 2θ (θ 为参数)．
15
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[解]
(1)∵1t 2＋1t
t2－12＝1，∴x2＋y2＝1.
∵t2－1≥0，∴t≥1 或 t≤－1.
又 x＝1t ，∴x≠0.
高考数学一轮复习-不等式选讲 第一节 绝对值不等式课件 理 选修4-5
[听前试做] (1)证明：记 f(x)＝|x－1|－|x＋2|
＝3－，2xx≤－－1，2，－2＜x＜1， －3，x≥1.
由－2＜－2x－1＜0，解得－12＜x＜12， 则 M＝－12，12. 所以13a＋16b≤13|a|＋16|b|＜13×12＋16×12＝14.
2．|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c＞0)，|x－a|－|x－b|≤c(或≥c)(c ＞0)型不等式的解法
(1) 可 通 过 零 点 分 区 间 法 或 利 用 绝 对 值 的 几 何 意 义 进 行 求 解．零点分区间法的一般步骤：
①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根； ②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间； ③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等 式，求出解集； ④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．
含绝对值不等式的常用解法 (1)基本性质法：对 a∈(0，＋∞)，|x|<a⇔－a<x<a，|x|>a⇔ x<－a 或 x>a. (2)平方法：两边平方去掉绝对值符号． (3)零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值 符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为 与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．
－5x，x<12， 则 y＝－x－2，12≤x≤1，
3x－6，x>1.
其图象如图所示．从图象可
知，当且仅当 x∈(0,2)时，y<0.所以原不等式的解集是(0,2)．
(2)当 x∈－a2，12时，f(x)＝1＋a. 不等式 f(x)≤g(x)化为 1＋a≤x＋3. 所以 x≥a－2 对 x∈－a2，12都成立． 故－a2≥a－2，即 a≤43. 从而 a 的取值范围是－1，43.
高考数学大一轮复习-第七章 立体几何 第6课时 空间直角坐标系课件 北师大版
(2)已知M点坐标为(x，y，z)确定点M位置的步骤：①在x轴、y 轴、z轴上依次取坐标为x，y和z的点P、Q、R；②过P、Q、R分别作 垂直于x轴、y轴和z轴的平面；③三个平面的唯一交点就是M.
考点三 空间中两点间的距离 [例 3] 如图所示，以棱长为 a 的正方体的三条棱所在的直线 为坐标轴建立空间直角坐标系，点 P 在正方体的体对角线 AB 上， 点 Q 在棱 CD 上．当点 P 为对角线 AB 的中点，点 Q 在棱 CD 上 运动时，探究|PQ|的最小值为______．
审题视点 确定点 P、Q 的坐标，利用两点间的距离公式得到 |PQ|，然后利用函数知识解决．
C.
3 2
D.
6 3
解析：构造正方体，则从正方体一个顶点出发的相邻三个面
上的对角线长都是1，则此正方体的对角线长为
6 2.
答案：A
3．以点A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(2,4,3)为顶点的三角形是
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
()
C．直角三角形
D．无法判断
解析：依题意有|AB|＝ 4－102＋1＋12＋9－62 ＝ 49 ＝ 7，同理可得
(3)点 P 关于原点 O(0,0,0)对称的点 P3(3，－2，－1)． (4)点 P(－3,2,1)关于点 Q(1,1,1)对称的点 P4(5,0,1)．
(1)关于原点对称，三个坐标变为原坐标的相反数； (2)关于哪条轴对称，对应坐标不变，另两个坐标变为原来的相 反数．如 M(1,3，－2)关于 x 轴的对称点坐标为 M′(1，－3,2)； (3)关于坐标平面的对称点，由 x，y，z，O 中的三个字母表示的 坐标平面，缺少哪个字母的对应坐标变为原来的相反数，其它不变， 如 N(1,3，－2)关于坐标平面 xOz 的对称点 N′(1，－3，－2)．
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(二)小题查验
1．判断正误
(1)过极点， 做斜角为 α 的直线的极坐标方程可表示为 θ＝α 或 θ＝π＋α ( √ )
(2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点 O 的圆的极坐标方程 为 ρ＝2asin θ ( × )
2 ． 在 极 坐 标 系 中 ， 圆 心 在 ( 2 ， π) 且 过 极 点 的 圆 的 方 程为
y＝x 为所求．
x′＝3x， y2 3．求双曲线 C：x －64＝1 经过 φ： 变换后所得曲线 2 y ′＝ y ，
2
C′的焦点坐标．
解：设曲线 C′上任意一点 P′(x′，y′)，由上述可知，将 1 2 2 2 2 x＝ x′， x ′ 4 y ′ x ′ y 3 代入 x2－64＝1 得 9 － 64 ＝1，化简得 9 y＝2y′ y′ 2 x2 y 2 － 16 ＝1，即 9 －16＝1 为曲线 C′的方程，可见仍是双曲 线，则焦点 F1(－5,0)，F2(5,0)为所求．
2．求直线 l：y＝6x 经过 的方程．
x′＝3x， φ： 2y′＝y，
变换后所得到的直线 l′
解：设直线 l′上任意一点 P′(x′，y′)， 1 x＝ x′， 3 由上述可知，将 代入 y＝6x 得 y＝ 2y′
1 2y′＝6×3x′，∴y′＝x′，即
ρ＝－2 2cos θ ． ______________
解析：如图，O 为极点，OB 为直径，A(ρ， θ)，则∠ABO＝θ－90° ， OB＝2 2＝ ρ ， sinθ－90° θ.
化简得 ρ＝－2 2cos
3．在极坐标系中，曲线 C1：ρ 2cos θ＋sin θ＝1 与曲线 C2：ρ 2 2 ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则 a＝_____.
[提醒] (1)在将直角坐标化为极坐标求极角 θ 时，易忽视判断 点所在的象限(即角 θ 的终边的位置)．
选修 4－4 坐标系与参数方程
第一节
坐 标 系
基础盘查一
平面直角坐标系中的伸缩变换
(一)循纲忆知
理解坐标系的作用， 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下 平面图形的变化情况．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)在伸缩变换下，直线仍然变成直线，圆仍然变成圆( × )
(2)在伸缩变换下，椭圆可变为圆，圆可变为椭圆
1．点 P 的直角坐标为(1，－ 3)，则点 P
π 2，－ 3 ． 的极坐标为________
解析：因为点 P(1，－ 3)在第四象限，与原点的距离为 2，且
π π OP 与 x 轴所成的角为－ 3，所以点 P 的极坐标为2，－3.
2．曲线 ρ＝4sin θ 与 ρ＝2
1 A3，－2经过
x′＝3x， φ： 2y′＝y.
φ 变换所得的点 A′的坐标．
x′＝3x， φ： 2y′＝y，
解： 设 A′(x′ ， y′) ，由伸缩变换
得到
x′＝3x， 1 由于点 A 的坐标为3，－2， 1 y′＝2y， 1 1 于是 x′＝3×3＝1，y′＝2×(－2)＝－1， ∴A′(1，－1)为所求．
ρ＝4sin 解析：由 ρ＝2，
π 5π 2， 或2， 6 6 ． 的交点坐标是________________
θ，
1 π 5π ∴sin θ＝2，∴θ＝6或 6 .
基础盘查三
简单曲线的极坐标方程
(一)循纲忆知
能在极坐标系中给出简单的图形 (如过极点的直线、过极点 或圆心在极点的圆)的方程，通过比较这些图形在极坐标系 和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选 择适当坐标系的意义．
[必备知识]
设 M 为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)， 极坐标为 (ρ ， θ) ．由图可知下面的关系式成立：
2 2 2 ρ ＝ x ＋ y ， x＝ρcos θ， 或 (θ 与(x，y)所在 y y ＝ ρ sin θ tan θ＝xx≠0 ຫໍສະໝຸດ 象限一致)．基础盘查二
极坐标系的概念及极坐标和直角坐标的互化
(一)循纲忆知
能在极坐标系中用极坐标表示点的位置， 理解在极坐标和平面 直角坐标系中表示点的位置的区别， 能进行极坐标和直角坐标
的互化x＝ρcos y θ，y＝ρsin θ，ρ ＝x ＋y ，tan θ＝xx≠0.
2 2 2
(二)小题查验
解析：曲线 C1 的直角坐标方程为 2x＋y＝1，曲线 C2 的直角 坐标方程为 x ＋y ＝a ，曲线 C1 与 x
2 2 2
轴的交点坐标为
2 ， 0 ， 2
2 此点也在曲线 C2 上，代入解得 a＝ 2 .
考点一
平面直角坐标系下图形的伸缩变换 (基础送分型考点——自主练透)
[类题通法]
平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示． 在伸缩变
x，λ>0 x′＝λ· 换 y，μ>0 y′＝μ·
下， 直线仍然变成直线， 抛物线仍然变成抛
物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变 成圆．
考点二
极坐标与直角坐标的互化 (重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]
设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
x，λ＞0， x′＝λ· φ： y，μ＞0 y′＝μ·
的 作 用 下 ， 点 P(x ， y) 对 应 到 点
P′(x′，y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称 伸缩变换．
[题组练透]
1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换 求点
( √ )
1 x′＝ x， 2 2．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为 则在这一 y′＝3y，
y′＝3sin 2x′ 坐标变换下正弦曲线 y＝sin x 的方程变为_____________ ．
1 x′＝ x， x＝2x′， 2 解析：由 知 1 y＝3y′. y ′ ＝ 3 y ， 代入 y＝sin x 中得 y′＝3sin 2x′.