高一期中试卷(数学答案)
高一年级第一学期期中考试数学试卷及其参考答案
高一年级第一学期期中考试数学试卷（基础模块第一章、第二章）一、选择题（每小题5分，共60分）1.下列表示正确的是（）．A.{ 0 }＝∅B.｛全体实数｝＝ＲＣ.{ a }∈{ａ,ｂ,c } D.{ x∈R∣x2+1＝0 }＝∅2.已知全集U={ 0,1,2,3,4,5}，集合A={1,2,5}，B={2,3,4}，则（U C A）B＝（）．A.{2}B.{0,2,3,4}C.{3,4}D.{1,2,3,4,5}3.已知A={ (x,y) | 2x-y=0 }，B={ (x,y) | 3x+2y=7 }，则A B＝（）．A.{(2,1)}B.{1,2}C.{(1,2)}D.{x=1,y=2}4．设A={ x | 0< x < 1 }，B={ x | x < a } ，若A⊆B，则a的取值范围是（）．A.[1,＋∞) B.(－∞,0]C.[0,＋∞)D.(－∞,1]5.已知集合A={ x | x2＋14= 0 }，若A∩R =∅，则实数ｍ的取值范围是（）．A.m<1B.m≥1C.0<m<1D.0≤m<16.“A⊆B”是“A B＝A”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.不等式21-+xx≤0的解集为（）．A.{ x | x≥2}B.{ x | x≥2或x<－1 }C.{ x|－1<x≤2 }D.{x| x≥2或x≤－1 }8.已知a<b<0，c>0，那么（）．A.a2<b2B.a b<1C.ca<cb D.ca>cb9.绝对值不等式| 2x－3 |<5的解集是（）．A.{ x | x<－1或x>4 }B.{ x |－1<x<4 }C.{ x | x<－1 }D.{ x | x>4 }10.与不等式－x2－2x＋3>0同解的不等式(组)是（）．A. x2＋2x－3>0B. (x＋3)(x－1)<0C.x+3>0x-1D.x+3<0x-1>0⎧⎨⎩a 、b 、c 的大小顺序是（ ）． A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.a>c>b12.若实数0<a <1，则)0>1(a-x)(x-a的解集为（ ）． A.{ x |1<x<a a } B.{ x | 1<<a x a} C.{ x | 1< >x a 或x a } D.{ x | 1<a >x 或x a}二、填空题（每小题4分，共16分）13.设全集U={ 1,2,3,4,5 },A={ 2,5 }，则U C A 的所有子集的个数为 _________． 14.符合条件｛ａ｝⊆Ｍ ｛ａ，ｃ，ｄ｝的集合Ｍ的个数是 _________．15.设ａ，ｂ为实数，则“ａ2＝ｂ2”是“ａ＝ｂ”的 _________条件．(填充分或必要)16.不等式2+2m x x+n>0的解集是(11,32-)，则不等式2-nx +2x-m >0的解集是 _________．三、解答题（共74分，解答应写出文字说明及演算步骤） 17.已知U={ x |－2<x<7 ,x ∈N }，A={ 1,2,4 }，B={ 2,3,5}．求: ⑴ A U B ；⑵ A B ；⑶ B C C U U A；⑷ B C C U U A ．(12分)18.若集合A={ x | mx 2＋2x －1 = 0 , m ∈R , x ∈R }中有且仅有一个元素，那么m 的值是多少？(12分)19.设集合A={ x | x 2－3x ＋2 = 0 }，B = { x | x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5) = 0 }，若A B = { 2 }，求实数ａ的值．(12分) 20.解不等式x+23-x≤1．(12分) 21.设全集为R ，A={ x | |x-1|<3 }，B={ x | x 2－x －2≥0 },求A B ，A U B ，A CB ．(12分)22.已知集合A={ x | x 2－x －12 ≤0 }，集合B={ x | m －1≤x ≤2m ＋3 }，若A U B=A ，求实数m 的取值范围．(14分)高一年级第一学期期中考试数学试卷参考答案二、填空题（每小题4分，共16分）13、 8 14、 3 15、 必要 16、 （－2,3）三、解答题：（22题14分，17~21题每题12分，共计74分）17.解：U={ 0,1,2,3,4,5,6 }. ⑴A U B={1,2,3,4,5}.⑵A B={2}.⑶B C C U U A ={ 0,3,5,6 }U { 0,1,4,6 }={ 0,1,3,4,5,6, }. ⑷ B C C U U A={ 0,3,5,6 } { 0,1,4,6 }={ 0,6 }.18. 解：当m=0时, A=12⎧⎫⎨⎬⎩⎭,符合题意.当m ≠0时,要使集合A 中有且仅有一个元素,必须 方程mx 2＋2x －1 = 0有两个相等实数根, ∴ 2∆=2+4m =0, 即m=－1,综上所述,m=0或m=－1. 19. 解：A={ 1,2 }∵ A B={ 2 }, ∴ 2 B, ∴ 2是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5) = 0的根,把x=2代入此方程得2a +4a+3=0, ∴ a=-1或a=-3, 当a=-1时,B={ -2,2 }, A B={ 2 },符合题意. 当a=-3时,B={ 2 }, A B={ 2 },符合题意. 综上所述,a 的值为-1或3. 20. 解：原不等式⇔x+2-13-x ≤0⇔x+2-(3-x)3-x ≤0⇔2x-13-x≤0 ⇔2x-1x-3≥00≠⎧⇔⎨⎩x-3(2x-1)(x-3)≥012⇔x ≤或x>3, ∴ 解集为12{x |x ≤或x>3}. 21. 解：解|x-1|<3得-2<x<4, 故A=(-2,4).解x 2－x －2≥0得x ≤－1或x ≥2, 故B=(-∞,-1]∪[2,+∞).∴ A B=(-2,-1]∪[2,4),A U B=R,A C B=(-2,4) (-1,2)=(-1,2).22.解: 解x2－x－12 ≤0得－3≤x≤4, 故A=[-3,4],由A U B=A，知B A，∴⎧⎪⎨⎪⎩m-1≤2m+3,m-1≥-3,2m+3≤4,即12⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩m≥-4,m≥-2,m≤,∴ -2≤m≤12.。
浙江省宁波2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
浙江省宁波2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（答案在最后）1.已知集合{||11},{14}A x x B x x =-<=≤≤∣∣，则A B = （）A.{12}x x <<∣B.{12}xx ≤<∣C .{04}xx <<∣ D.{04}xx <≤∣【答案】B 【解析】【分析】先求集合A ，再根据交集运算求解即可.【详解】由题意，因为集合{|02},{|14}A x x B x x =<<=≤≤所以{|12}A B x x =≤< .故选：B.2.已知命题2000:1,0p x x x ∃≥-<，则命题p 的否定为（）A.200010x ,x x ∃≥-≥ B.200010x ,x x ∃<-≥C.210x ,x x ∀<-≥ D.210x ,x x ∀≥-≥【答案】D 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定方法对命题p 否定即可.【详解】由命题否定的定义可知，命题2000:1,0p x x x ∃≥-<的否定是：210x ,x x ∀≥-≥．故选：D.3.对于实数a ，b ，c ，下列结论中正确的是（）A.若a b >，则22>ac bcB.若>>0a b ，则11>a bC.若<<0a b ，则<a b b aD.若a b >，11>a b，则<0ab 【答案】D 【解析】【分析】由不等式的性质逐一判断．【详解】解：对于A ：0c =时，不成立，A 错误；对于B ：若>>0a b ，则11<a b，B 错误；对于C ：令2,a =-1b =-，代入不成立，C 错误；对于D ：若a b >，11>a b，则0a >，0b <，则<0ab ，D 正确；故选：D ．4.已知0x 是函数1()33xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个零点，则0x ∈（）A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由条件可得函数单调递减，再由零点存在定理即可得到结果.【详解】根据题意知函数1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间1,+∞上单调递减，函数()3f x x =-+在区间()1,∞+单调递减，故函数1()33xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间1,+∞上单调递减，又因1>2>3>0,4<0，又因()133xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()1,∞+上是连续不中断的，所以根据零点存在定理即可得知存在()03,4x ∈使得()00f x =.故选：C5.“2a ≤”是“函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数的单调性求函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增的等价条件，在结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】二次函数21y x ax =-+图象的对称轴为2a x =，若函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增，根据复合函数的单调性可得2≤24−2+1>0，即52a <，若2a ≤，则52a <，但是52a <，2a ≤不一定成立，故“2a ≤”是“函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增”的充分不必要条件．故选：A 6.函数22()1xf x x =+的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，即可判断A 、B ，再根据0x >时函数值的特征排除C.【详解】函数22()1x f x x =+的定义域为R ，且()()2222()11x x f x f x x x --==-=-+-+，所以22()1xf x x =+为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A 、B ；又当0x >时()0f x >，故排除C.故选：D7.已知42log 3x =，9log 16y =，5log 4z =，则x ，y ，z 的大小关系为（）A.y x z >>B.z x y >>C.x y z >>D.y z x>>【答案】C 【解析】【分析】利用对数运算法则以及对数函数单调性可限定出x ，y ，z 的取自范围，即可得出结论.【详解】根据题意可得2222log 3log 3x ==，2233log 4log 4y ==，5log 4z =利用对数函数单调性可知32223log 3log log log 22x ===，即32x >；又323333331log 3log 4log log log 32y ====<，可得312y <<；而55log 4log 51z ==<，即1z <；综上可得x y z >>.故选：C8.已知函数323log ,03()1024,3x x f x x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根()12341234,,,x x x x x x x x <<<，则()()3412344x x x x x --的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,0)- C.(4,2)- D.(2,0]-【答案】B 【解析】【分析】根据图象分析可得121x x =，()()343410,3,4,6,7x x x x +=∈∈，整理得3431233(4)(4)2410x x x x x x x ⎛⎫--=-++ ⎪⎝⎭，结合对勾函数运算求解.【详解】因为op =3log 3,0<≤32−10+24,>3，当3x >时()22()102451f x x x x =-+=--，可知其对称轴为5x =，令210240x x -+=，解得4x =或6x =；令210243x x -+=，解得3x =或7x =；当03x <≤时3()3log f x x =，令33log 3x =，解得13x =或3x=，作出函数=的图象，如图所示，若方程()f x m =有四个不同的实根12341234,,,()x x x x x x x x <<<，即()y f x =与y m =有四个不同的交点，交点横坐标依次为12341234,,,()x x x x x x x x <<<，则12341134673x x x x <<<<<<<<<，对于12,x x ，则3132log log x x =，可得3132312log log log 0x x x x +==，所以121x x =；对于34,x x ，则()()343410,3,4,6,7x x x x +=∈∈，可得4310x x =-；所以()()3434333431233334161024(4)(4)2410x x x x x x x x x x x x x x x -++--⎛⎫--===-++ ⎪⎝⎭，由对勾函数可知332410y x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()3,4上单调递增，得()3324101,0x x ⎛⎫-++∈- ⎪⎝⎭，所以34123(4)(4)x x x x x --的取值范围是()1,0-.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是画出函数图象，结合函数图象分析出121x x =，()()343410,3,4,6,7x x x x +=∈∈，从而转化为关于3x 的函数；二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.函数1()21x f x -=+恒过定点(1,1)B.函数3x y =与3log y x =的图象关于直线y x =对称C.0x ∃∈R ，当0x x >时，恒有32x x >D.若幂函数()f x x α=在(0,)+∞单调递减，则0α<【答案】BCD 【解析】【分析】由指数函数的性质可判断A ；由反函数的性质可判断B ；由指数函数的增长速度远远快于幂函数，可判断C ；由幂函数的性质可判断D .【详解】对于A ，函数1()21x f x -=+恒过定点(1,2)，故A 错误；对于B ，函数3x y =与3log y x =的图象关于直线y x =对称，故B 正确；对于C ，因为指数函数的增长速度远远快于幂函数，所以0x x >时，恒有32x x >，故C 正确；对于D ，当0α<时，幂函数()f x x α=在(0,)+∞单调递减，故D 正确；故选：BCD .10.已知函数e 1()e 1x x f x +=-，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 的定义域为RB.函数()f x 的值域为(,1)(1,)-∞-+∞C.()()0f x f x +-=D.函数()f x 为减函数【答案】BC 【解析】【分析】根据分母不为0求出函数的定义域，即可判断A ；再将函数解析式变形为2()1e 1xf x =+-，即可求出函数的值域，从而判断B ；根据指数幂的运算判断C ，根据函数值的特征判断D.【详解】对于函数e 1()e 1x x f x +=-，则e 10x -≠，解得0x ≠，所以函数的定义域为{}|0x x ≠，故A 错误；因为e 1e 122()1e 1e 1e 1x x x x xf x +-+===+---，又e 0x >，当e 10x ->时20e 1x >-，则()1f x >，当1e 10x -<-<时22e 1x<--，则()1f x <-，所以函数()f x 的值域为(,1)(1,)-∞-+∞ ，故B 正确；又11e 1e 1e 1e 1e 1e ()()01e 1e 1e 11e e 11e xxxx x x x x x xx xf x f x --++++++-+=+=+=+------，故C 正确；当0x >时()0f x >，当0x <时()0f x <，所以()f x 不是减函数，故D 错误.11.已知0,0a b >>，且1a b +=，则（）A.22log log 2a b +≥- B.22a b +≥C.149a b +≥ D.33114a b ≤+<【答案】BCD 【解析】【分析】利用基本不等式求出ab 的范围，即可判断A ；利用基本不等式及指数的运算法则判断B ；利用乘“1”法及基本不等式判断C ；利用立方和公式及ab 的范围判断D.【详解】因为0,0a b >>，且1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号，所以()22221log log log log 24a b ab +=≤=-，当且仅当12a b ==时取等号，故A 错误；22a b +≥=22a b =，即12a b ==时取等号，故B 正确；()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即13a =，23b =时取等号，故C 正确；()()()2332222313a b a b a ab b a ab b a b ab ab +=+-+=-+=+-=-，因为104ab <≤，所以3034ab <≤，所以11314ab ≤-<，即33114a b ≤+<，故D 正确.故选：BCD12.对于定义在[]0,1上的函数()f x 如果同时满足以下三个条件：①()11f =；②对任意[]()0,1,0x f x ∈≥成立；③当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有()()()1212f x f x f x x +≤+成立，则称()f x 为“天一函数”.若()f x 为“天一函数”，则下列选项正确的是（）A.()00f =B.()0.50.5f ≤C.()f x 为增函数 D.对任意[0,1]x ∈，都有()2f x x ≤成立【答案】ABD【分析】对于A ，令120x x ==，结合题中条件即可求解；对于B ，令120.5x x ==，结合题中条件即可求解；对于C ，令2121101X x x x X +>≥=≥=，结合性质②③可得()()21f X f X ≥，因此有()f x 在[]0,1x ∈上有递增趋势的函数(不一定严格递增)，即可判断；对于D ，应用反证法：若存在[]00,1x ∈，使0>20成立，讨论1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，结合递归思想判断0x 的存在性.【详解】对于A ，令120x x ==，则()()()000f f f +≤，即()00f ≤，又对任意[]()0,1,0x f x ∈≥成立，因此可得()00f =，故A 正确；对于B ，令120.5x x ==，则()()()0.50.51f f f +≤，又()11f =，则()0.50.5f ≤，故B 正确；对于C ，令2121101X x x x X +>≥=≥=，则221(0,1]x X X -∈=，所以()()()()()()12122121f X f X X f X f X f X f X X +-≤⇒-≥-，又对任意[]()0,1,0x f x ∈≥成立，则()221()0f x f X X =-≥，即()()210f X f X -≥，所以()()21f X f X ≥，即对任意1201x x ≤<≤，都有()()12f x f x ≤，所以()f x 在[]0,1x ∈上非递减，有递增趋势的函数(不一定严格递增)，故C 错误；对于D ，由对任意1201x x ≤<≤，都有()()12f x f x ≤，又()00f =，()11f =，故()[]0,1f x ∈，反证法：若存在[]00,1x ∈，使0>20成立，对于1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()1f x ≤，而21x ≥，此时不存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使0>20成立；对于10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，若存在010,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭使0>20成立，则()()()002f f x f x ≥，而[)020,1x ∈，则()()()()000022f x f x f x f x ≥+=，即0≥20>40，由()[)00,1f x ∈，依次类推，必有[)0,1∈t ，0()2nf t x >且*n ∈N 趋向于无穷大，此时()[0,1)f t ∈，而02nx 必然会出现大于1的情况，与>20矛盾，所以在10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上也不存在010,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭使0>20成立，综上，对任意[]0,1x ∈，都有()2f x x ≤成立，故D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：对于D ，应用反证及递归思想推出1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭情况下与假设矛盾的结论.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若23(1)()log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则(0)(8)f f +=______.【答案】4【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为23(1)()log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，所以()0031f ==，()32228log 8log 23log 23f ====，所以(0)(8)4f f +=.故答案为：414.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()22xf x x =-，则()()10f f -+＝__________．【答案】1-【解析】【分析】根据()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(1)(1)f f -=-，(0)0f =，只需将1x =代入表达式，即可求出(1)f 的值，进而求出(1)(0)f f -+的值．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(1)(1)f f -=-，(0)0f =，又当0x >时，()22xf x x =-，所以12(1)211f =-=，所以(1)(0)101f f -+=-+=-．故答案为：1-【点睛】本题主要考查利用奇函数的性质转化求函数值，关键是定义的灵活运用，属于基础题．15.定义在R 上的偶函数()f x 满足：在[)0,+∞上单调递减，则满足()()211f x f ->的解集________.【答案】()0,1【解析】【分析】利用偶函数，单调性解抽象不等式【详解】因为()f x 为定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递减，所以()()()()211211f x f fx f ->⇔->，所以2111211x x -<⇔-<-<，即01x <<，故答案为：()0,116.设函数31()221x f x =-+，正实数,a b 满足()(1)2f a f b +-=，则2212b aa b +++的最小值为______.【答案】14##0.25【解析】【分析】首先推导出()()2f x f x +-=，再说明()f x 的单调性，即可得到1a b +=，再由乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为31()221x f x =-+，所以3132()221221xx xf x --=-=-++，所以331()()22221221x x x f x f x +-=-+-=++，又21x y =+在定义域R 上单调递增，且值域为()1,+∞，1y x =-在()1,+∞上单调递增，所以31()221x f x =-+在定义域R 上单调递增，因为正实数,a b 满足()(1)2f a f b +-=，所以10a b +-=，即1a b +=，所以()()222211212412b a b a a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()2222211412b b a a b a a b ⎡⎤++=+++⎢⎥++⎣⎦()()22222111124444b a b a ab a b ⎡⎢≥++=++=+=⎢⎣，当且仅当()()222112b b a a a b ++=++，即35a =，25b =时取等号，所以2212b a a b +++的最小值为14.故答案为：14四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.计算下列各式的值.（1）20.5233727228)9643-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）2log 3223(lg5)lg2lg50log 3log 22+⨯+⋅+【答案】（1）229（2）5【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；（2）根据对数的运算性质及换底公式计算可得.【小问1详解】20.5233727229643-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2223333212139245-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦2323332521334⎛⎫⨯- ⎪⨯⎝⎭⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭5162221399=+-+=.【小问2详解】2log 3223(lg5)lg2lg50log 3log 22+⨯+⋅+()210lg 3lg 2(lg 5)lg lg 10535lg 2lg 3⎛⎫=+⨯⨯+⋅+ ⎪⎝⎭()()2(lg5)1lg51lg513=+-⨯+++()()22lg 51lg 5135=+-++=.18.设全集为R ，已知集合{}2|280A x R x x =∈--≤，(){}2|550B x R x m x m =∈-++≤.（1）若3m =，求A B ，R A ð；（2）若R B A ⊆ð，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}25A B x R x ⋃=∈-≤≤；{2R A x x =<-ð或}4x >；（2）4m >.【解析】【分析】（1）先解不等式求出集合A ，B ，根据补集的概念，以及并集的概念，即可得出结果；（2）由（1）得出R A ð，再对m 分类讨论，即可得出结果.【详解】（1）因为{}{}228024A x R x x x R x =∈--≤=∈-≤≤，则{2R A x x =<-ð或}4x >；若3m =，则{}{}2815035B x R x x x R x =∈-+≤=∈≤≤，所以{}25A B x R x ⋃=∈-≤≤.（2）由（1）{2R A x x =<-ð或}4x >，()(){}|50B x R x x m =∈--≤，当5m =时，则{5}B =，满足R B A ⊆ð；当5m >时，则[5,]B m =，满足R B A ⊆ð；当5m <时，则[,5]B m =，为使R B A ⊆ð，只需4m >，所以45m <<.综上，4m >.19.为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年旳太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C （单位：万元）与太阳能电池面积x （单位：平方米）之间的函数关系为4,0105(),10m xx C x m x x-⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，（m 为常数），已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为0.5x （单位：1万元），记()F x 为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和（1）写出()F x 的解析式；（2）当x 为多少平方米时，()F x 取得最小值？最小值是多少万元？【答案】（1）1607.5,010()8000.5,10x x F x x x x-≤≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩；（2）40平方米，最小值40万元.【解析】【分析】（1）根据给定的条件，求出m 值及()C x 的解析式，进而求出()F x 的解析式作答.（2）结合均值不等式，分段求出()F x 的最小值，再比较大小作答.【小问1详解】依题意，当5x =时，()12C x =，即有45125m -⨯=，解得80m =，则804,0105()80,10xx C x x x -⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，于是得1607.5,010()10()0.58000.5,10x x F x C x x x x x -≤≤⎧⎪=+=⎨+>⎪⎩，所以()F x 的解析式是1607.5,010()8000.5,10x x F x x x x-≤≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩.【小问2详解】由（1）知，当010x ≤≤时，()1607.5F x x =-在[0,10]上递减，min ()(10)85F x F ==，当10x >时，800()402x F x x =+≥=，当且仅当8002x x =，即40x =时取等号，显然4085<，所以当x 为40平方米时，()F x 取得最小值40万元.【点睛】方法点睛：在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．20.已知函数1()2(R)2xx m f x m -=-∈是定义在R 上的奇函数.（1）求m 的值；（2）根据函数单调性的定义证明()f x 在R 上单调递增；（3）设关于x 的函数()()()9143xxg x f m f =++-⋅有零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2m =（2）证明见解析（3）(],3-∞【解析】【分析】（1）由奇函数性质(0)0f =求得参数值，再验证符合题意即可；（2）根据单调性的定义证明；（3）令()0g x =，结合()f x 的单调性得到9431x x m +=⋅-，参变分离可得1943x x m =-+-⨯，依题意可得关于x 的方程1943x x m =-+-⨯有解，令()1943xxh x =-⨯+-，则y m =与()y h x =有交点，利用换元法求出()h x 的值域，即可得解.【小问1详解】因为1()2(R)2xxm f x m -=-∈是定义在R 上的奇函数，所以(0)1(1)0f m =--=，解得2m =，当2m =时，1()2222xx xx f x -=-=-，满足()()f x f x -=-，()f x 是奇函数，所以2m =；【小问2详解】由（1）可得1()22x x f x =-，设任意两个实数12,R x x ∈满足12x x <，则1212121212111()()22(22)(1)2222xx x x x x x x f x f x -=--+=-+⋅，∵12x x <，∴12022x x <<，1211022x x +>⋅，∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在R 上为单调递增；【小问3详解】令()0g x =，则()()9143xxf m f +=--⋅，又()f x 是定义在R 上的奇函数且单调递增，所以()()1943xxf m f +=⋅-，则9431x x m +=⋅-，则1943x x m =-+-⨯，因为关于x 的函数()()()9143xxg x f m f =++-⋅有零点，所以关于x 的方程1943x x m =-+-⨯有解，令()1943xxh x =-⨯+-，则y m =与()y h x =有交点，令3x t =，则()0,t ∈+∞，令()214H t t t +--=，()0,t ∈+∞，则()()222314H t t t t +-==---+，所以()H t 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，所以()(],3H t ∈-∞，所以()(],3h x ∈-∞，则(],3m ∈-∞，即实数m 的取值范围为(],3-∞.21.设R a ∈，已知函数()y f x =的表达式为21()log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）当3a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）设0a >，若存在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得函数()y f x =在区间[],2t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(,1)(0,)-∞-⋃+∞（2）1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可；（2）根据函数的单调性求出最值，根据不等式有解分离参数求取值范围.【小问1详解】当3a =时，21()log 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，不等式()1f x >，即21log 31x ⎛⎫+>⎪⎝⎭，所以132x +>，即10x x +>，等价于()10x x +>，解得1x <-或0x >；所以不等式()1f x >的解集为(,1)(0,)-∞-⋃+∞；【小问2详解】因为0a >，1[,1]2t ∈，所以当[,2]x t t ∈+时，函数1y a x=+为减函数，所以函数()21log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间[],2t t +上单调递减，又函数()y f x =在区间[],2t t +上最大值和最小值的差不超过1，所以()()21f t f t -+≤，即2211log ()log ()12a a t t +-+≤+，即222111log ()1log ()log 2()22a a a t t t +≤++=+++所以112()2a a t t +≤++，即存在1[,1]2t ∈使122a t t ≥-+成立，只需min122a t t ⎛⎫≥- ⎪+⎝⎭即可，考虑函数121,[,1]22y t t t =-∈+，221,[,1]22t y t t t -=∈+，令321,2r t ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，213,1,86826r y r r r r r⎡⎤==∈⎢⎥-+⎣⎦+-，设()8g r r r =+，其中31,2r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，任取123,1,2r r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且12r r <，则()()()212121212121888r r g r g r r r r r r r r r ⎛⎫--=+--=- ⎪⎝⎭，因为12r r <，所以210r r ->，因为123,1,2r r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2180r r -<，所以()()21g r g r <，所以函数()g r 在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以86y r r =+-在31,2r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，所以856,36r r ⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦，116,8356r r⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+-，所以13a ≥，所以a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.22.已知函数43()21x x f x +=+，函数2()||1g x x a x =-+-.（1）若[0,)x ∈+∞，求函数()f x 的最小值；（2）若对1[1,1]x ∀∈-，都存在2[0,)x ∈+∞，使得()()21f x g x =，求a 的取值范围.【答案】（1）2（2）1313,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】（1）首先利用指数运算，化简函数()()421221xx f x =++-+，再利用换元，结合对勾函数的单调性，即可求解函数的最值；（2）首先将函数()f x 和()g x 在定义域的值域设为,A B ，由题意可知B A ⊆，()02g ≥，确定a 的取值范围，再讨论去绝对值，求集合B ，根据子集关系，比较端点值，即可求解.【小问1详解】若[)0,x ∈+∞，()()()()221221442122121x x x x xf x +-++==++-++，因为[)0,x ∈+∞，令212x t =+≥，则()42,2y t t t=+-≥，又因为42y t t=+-在[)2,+∞上单调递增，当2t =，即0x =时，函数取得最小值2；【小问2详解】设()f x 在[)0,+∞上的值域为A ，()g x 在[]1,1-上的值域为B ，由题意可知，B A ⊆，由（1）知[)2,A =+∞，因为()012g a =-≥，解得：3a ≥或3a ≤-，当3a ≥时，且[]11,1x ∈-，则10x a -<，可得()222111111151124g x x a x x x a x a ⎛⎫=-+-=-+-=-+- ⎪⎝⎭，可得()1g x 的最大值为()11g a -=+，最小值为1524g a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即5,14B a a ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，可得524a -≥，解得：134a ≥，当3a ≤-时，且[]11,1x ∈-，10x a ->，可得()222111111151124g x x a x x x a x a ⎛⎫=-+-=+--=+-- ⎪⎝⎭，可知，()1g x 的最大值为()11g a =-，最小值为1524g a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即5,14B a a ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦，可得524a --≥，解得：134a ≤-，综上可知，a 的取值范围是1313,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求函数()g x 的值域，根据()02g ≥，缩小a 的取值范围，再讨论去绝对值.。
福建省厦门2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)
厦门2024-2025学年第一学期期中考高一数学试卷（答卷时间：120分钟 卷面总分：150分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．设全集，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．若命题，则命题的否定为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知命题，若命题是命题的充分不必要条件，则命题可以为（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列幕函数满足：“①；②当时，为单调通增”的是（ ）A ． B ．C ．D ．5．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知且，则的最小值是（ ）A ．B ． 25C ．5D ．{}0,1,2,3,4,5,6U ={}{}1,2,3,3,4,5,6A B ==U ()A B = ð{}1,2{}2,3{}1,2,3{}0,1,2,32:0,320p x x x ∃>-+>p 20,320x x x ∃>-+≤20,320x x x ∃≤-+≤20,320x x x ∀≤-+>20,320x x x ∀>-+≤:32p x -<≤q p q 31x -≤≤1x <31x -<<3x <-,()()x R f x f x ∀∈-=-(0,)x ∈+∞()f x ()f x =3()f x x=1()f x x-=2()f x x=()()()f x x a x b =--a b >()2xg x a b =+-0,0x y >>3210x y +=32x y+52657．已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在上的图象如图所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知，则与之间的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．无法比较二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得部分分．9．下列函数中，与不是同一函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．若，则下列不等式成立的是（ ）A ．B．C ．D ．11．设，用符号表示不大于的最大整数，如．若函数，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．函数的值域是C ．若，则D ．方程有2个不同的实数根三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填写在答题卷相应位置上．12．计算________．13．“不等式对一切实数都成立”，则的取值范围为________．()f x ()g x (2,2)-[0,2]x ()()0f x g x ⋅>x (2,1)(0,1)-- (1,0)(0,1)- (1,0)(1,2)- (2,1)(1,2)-- 45342024120241,2024120241a b ++==++a b a b>a b <a b =y x =2y =u =y =2n m n=,0a b c a b c >>++=22a b <ac bc <11a b<32a a a b b+>+x R ∈[]x x [1.6]1,[ 1.6]2=-=-()[]f x x x =-[(1.5)]1f =-()f x [1,0]-()()f a f b =1a b -≥2()30f x x -+=21232927()((1.5)48---+=23208x kx -+-<x k14．某学校高一年级一班48名同学全部参加语文和英语书面表达写作比赛，根据作品质量评定为优秀和合格两个等级，结果如表所示：若在两项比赛中都评定为合格的学生最多为10人，则在两项比赛中都评定为优秀的同学最多为________人．优秀合格合计语文202848英语301848四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知集合，集合．（1）当时，求，．（2）若，求的取值范围．16．（15分）已知函数．（1）判断函数的奇偶性并用定义加以证明；（2）判断函数在上的单调性并用定义加以证明．17．（15分）已知函数．（1）若函数图像关于对称，求不等式的解集；（2）若当时函数的最小值为2，求当时，函数的最大值．18．（17分）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”规则如下①3小时内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值（单位：EXP ）与游玩时间（单位：小时）滴足关系式：；②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验值不变）；③超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时国成正比例关系，正比例系数为50．（1）当时，写出累积经验值与游玩时间的函数关系式，求出游玩6小时的累积经验值；（2）该游戏厂商把累积经验值与游现时间的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数的取值范围．19．（17分）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．例如，已知，求证：．{}34A x x =-<≤{}121B x k x k =+≤≤-2k ≠A B ()R A B ðA B B = k 2()f x x x=-()f x ()f x (0,)+∞2()23,f x x bx b R =-+∈()f x 2x =()0f x >[1,2]x ∈-()f x [1,2]e ∈-()f x E t 22016E t t a =++1a =E t ()E f t =E t ()H t 0a >a 1ab =11111a b+=++证明：原式．波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征．请根据上述材料解答下列问题：（1）已知，求的值；（2）若，解方程；（3）若正数满足，求的最小值．111111ab b ab a b b b=+=+=++++1ab =221111a b+++1abc =5551111ax bx cxab a bc b ca c ++=++++++,a b 1ab =11112M a b=+++高一数学期中考参考答案1234567891011A DCB DAABABDBDACD12．13．14．1215．解：（1）由题设，则，，则，（2）由，若时，，满足；若时，；综上，．16．解：（1）是奇函数，证明如下：由已知得的定义域是，则，都有，且，所以是定义域在上的奇函数．（2）在上单调递减，证明如下：，且，都有∵，∴，∵，∴∴，即，所以在上单调递减32({}3B ={}34A B x x =-<≤ {}()34R A x x x =≤->或ð()R A B = ð∅A B A B A =⇒⊆ B =∅1212k k k +>-⇒<B ≠∅12151322214k k k k k +≤-⎧⎪+>-⇒≤≤⎨⎪-≤⎩52k ≤()f x ()f x (,0)(0,)-∞+∞ (,0)(0,)x ∀∈-∞+∞ (,0)(0,)x -∈-∞+∞ 22()()()f x x x f x x x-=--=-=--()f x (,0)(0,)-∞+∞ ()f x (0,)+∞12,(0,)x x ∀∈+∞12x x <22212121121212122222()()x x x x x x f x f x x x x x x x --+-=--+=222112************222()()x x x x x x x x x x x x x x x x --+⨯---==211212()(2)x x x x x x -⨯+=12x x <210x x ->12,(0,)x x ∈+∞120x x >12()()0f x f x ->12()()f x f x >()f x (0,)+∞17．解：（1）因为图像关于对称，所以：，所以：得：，即，解得或所以，原不等式的解集为：（2）因为是二次函数，图像抛物线开口向上，对称轴为，①若，则在上是增函数所以：，解得：；所以：，②若，则在上是减函数，所以：，解得：（舍）；③若，则在上是减函数，在上是增函数；所以，解得：或（舍），所以：综上，当时，的最大值为11；当时，最大值为6．18．解：（1）当时，，，当时，，当时，当时，所以，当时，．（2）当时，，整理得：恒成立，令函数的对称轴是，当时，取得最小值，即，()f x 2x =2b =22()43()43,1f x xx f x x x e e -+=-+=<2430x x ee -+<2430x x -+<1x <3x >{}13x x x <>或2()23f x x bx =-+x b =1b ≤-()f x [1,2]-min ()(1)422f x f b =-=+=1b =-max ()()7411f x f x b ==-=2b ≥()f x [1,2]-min ()(2)742f x f b ==-=54b =12b -<<()f x [1,]b -(,2]b 2min ()()32f x f b b ==-=1b =1b =-max ()(1)426f x f b =-=+=1b =-()f x 1b =()f x 03t <≤1a =22016E t t =++3t =85E =35t <≤85E =5t >8550(5)33550E t t=--=-22016,03()85,3533550,5t t t E t t t t ⎧++<≤⎪=<≤⎨⎪->⎩6t =()35E t =03t <≤22016()24t t aH t t++=≥24160t t a -+≥2()416f t t t a =-+2(0,3]t =∈2t =()f t 164a -1640a -≥14a ≥19．解：（1）．（2）∵，∴原方程可化为：，即：，∴，即，解得：．（3）∵，当且仅当，即∴有最小值，此时有最大值，从而有最小值，即有最小值．222211111ab ab b aa b ab a ab b ab a b+=+=+=++++++1abc =55511(1)ax bx bcxab a abc bc b b ca c ++=++++++5551111x bx bcx b bc bc b bc b ++=++++++5(1)11b bc x b bc ++=++51x =15x =2221122111111211223123123ab b b b b M ab a b b b b b b b b b++=+=+==-=-++++++++++12b b +≥=12b b =1b a b===12b b +1123b b ++3-11123b b-++2-11112M a b=+++2。
四川省绵阳中学2024-2025学年高一上学期期中测试数学试卷(含答案)
绵阳中学高2024级高一上期期中测试数学试题第I 卷（选择题）一､单选题（每小题5分，共计40分）1.已知命题，命题的否定是（）A.B.C.. D.2.已知集合，若，则实数的值不可以为（）A.2 B.1 C.0 D.3.下列函数既是奇函数又在单调递增的是（）A. B.C. D.4.已知，若的解集为，则函数的大致图象是（ ）A. B.C. D.5.已知函数在区间上的值域是，则区间可能是（）A. B. C. D.6.“函数的定义域为”是“”的（ ）2:,210p x x ∀∈+>R p 2,210x x ∀∈+R …2,210x x ∃∈+>R 2,210x x ∃∈+<R 2,210x x ∃∈+R …{}()(){}2320,220A x x x B x x ax =-+==--=∣∣A B A ⋃=a 1-()0,∞+1y x =31y x=1y x x =-1y x x=+()2f x ax x c =--()0f x >()2,1-()y f x =-222y x x =-+[],a b []1,2[],a b []1,0-30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,3[]1,1-()211f x ax ax =-+R 04a <<A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（ ）A.B.C. D.8.已知函数是定义在的单调函数，且对于任意的，都有，若关于的方程恰有两个实数根，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.二､多选题（每小题6分，共计18分）9.对于任意实数，下列四个命题中为假命题的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.已知为正实数，且，则（ ）A.的最大值为4B.的最小值为18C.的最小值为4D.11.定义在上的偶函数满足：，且对于任意，，若函数，则下列说法正确的是（）A.在上单调递增B.0,0a b >>1ab =11422m a b a b++≥+m 2m ≥4m ≥6m ≥8m ≥()f x [)0,∞+[)0,x ∞∈+()2f f x ⎡=⎣x ()2f x x k +=+k 92,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭51,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭133,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭13,4∞⎛⎫- ⎪⎝⎭,,,a b c d ,0a b c >≠ac bc>22ac bc >a b>0a b <<22a ab b >>0,a bcd >>>ac bd>,a b 8ab a b ++=ab 22(1)(1)a b +++a b +1111a b +++R ()f x ()22f =120x x >>()()21122122x f x x f x x x ->-()()2f xg x x -=()g x ()0,∞+()()34g g -<C.在上单调递减D.若正数满足，则第II 卷（非选择题）三､填空题（每小题5分，共计15分）12.函数__________.13.函数，若，则14.已知函数的定义域为的图象关于直线对称，且，若，则__________.四､解答题（共计77分）15.（13分）已知定义在上的函数满足：.（1）求函数的表达式；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.16.（15分）设集合.（1）若，求实数的值；（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.17.（15分）如图，正方形的边长为分别是和边上的点沿折叠使与线段上的点重合（不在端点处），折叠后与交于点.若（1）证明：的周长为定值.（2）求的面积S 的最大值.()f x ()2,∞+m ()()24202m f m f m -+->()2,m ∞∈+()12f x x =+()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩()()2f a f a =+()2__________.f a =()(),f x g x (),y f x =R 1x =()()()()110,45f x g x f x g x -+=--=()21f =()()12g g +=R ()()2223f x f x x x +-=-+()f x ()21f x ax ≥-[]1,3a {}(){}222320,2150A x x x B x x a x a =-+==+++-=∣∣{}2A B ⋂=a x A ∈x B ∈a ABCD 1,,E F AD BC EF C AB M M ,A B CD AD G ,BM x BF y==AMG AMG18.（17分）已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明；（3）解不等式.19.（17分）若函数的定义域为，集合，若存在正实数，使得任意，都有，且，则称在集合上具有性质.（1）已知函数，判断在区间上是否具有性质，并说明理由；（2）已知函数，且在区间上具有性质，求正整数的最小值；（3）如果是定义域为的奇函数，当时，，且在上具有性质，求实数的取值范围.()21ax b f x x-=+[]1,1-()11f =-()f x ()f x []1,1-()()()210f t f t f -+>()f x D M D ⊆t x M ∈x t D +∈()()f x t f x +>()f x M ()P t 2()f x x =()f x [1,0]-(1)P 3()f x x x =-()f x [0,1]()P n n ()f x R 0x ≥()()f x x a a a =--∈R ()f x R (6)P a数学参考答案题号12345678910答案D D C C B B D C AD ABC题号11答案ABD 填空题12.13.414.【详解】因为的图象关于直线对称，则①，又，即，结合①得②，因为，则，结合②得，则，令，得，令，得，由，得，由，得，则，所以.15.【详解】（1）将的替换为得联立()(],22,1∞--⋃-()y f x =1x =()()11f x f x -=+()()110f x g x -+=()()110f x g x -=-()()110g x f x ++=()()45f x g x --=()()135f x g x +--=()()35g x g x +-=1x =()()125g g +-=2x =()()125g g -+=()()110f x g x -+=()()2110f g +-=()()45f x g x --=()()225f g --=()()125g g -+-=()()125g g +=()()2223f x f x x x +-=-+x x -()()2223f x f x x x -+=++()()()()22223223f x f x x x f x f x x x ⎧+-=-+⎪⎨-+=++⎪⎩解得（2）不等式为，化简得，要使其在上恒成立，则，，当且仅当取等，所以.16.【详解】（1）由，所以或，故集合.因为，所以，将代入中的方程，得，解得或，当时，，满足条件；当时，，满足条件，综上，实数的值为或（2）因为“”是“”的必要条件，所以对于集合.当，即时，，此时；当，即时，，此时；当，即时，要想有，须有，此时：，该方程组无解.综上，实数的取值范围是.17.【详解】（1）设，则，由勾股定理可得，即，由题意，，()21213f x x x =++()21f x ax ≥-2121213x x ax ++≥-116x a x ≤++[]1,3min116x a x ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭11116x x ++≥=x =1a ≤+()()2320120x x x x -+=⇒--=1x =2x ={}1,2A ={}2A B ⋂=2B ∈2x =B 2430a a ++=1a =-3a =-1a =-{}{}2402,2B x x =-==-∣3a =-{}{}24402B x x x =-+==∣a 1-3-x A ∈x B ∈B A⊆()()22,Δ4(1)4583B a a a =+--=+Δ0<3a <-B =∅B A ⊆Δ0=3a =-{}2B =B A ⊆Δ0>3a >-B A ⊆{}1,2B A ==()221352a a ⎧+=-⎨-=⎩a (],3∞--,,01BM x BF y x ==<<1CF MF y ==-222(1)x y y +=-212x y -=90GMF DCF ∠∠==即，可知，设的周长分别为，则又因为，所以，的周长为定值，且定值为2.（2）设的面积为，则，因为，所以，.因为，则，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，满足故的面积的最大值为.18.【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，，解得，，而，解得，.（2）函数在上为减函数；90AMG BMF ∠∠+= Rt Rt AMG BFM ∽,AMG BFM 1,p p 11p AM x p BF y -==111p x y y x =++-=+()2111112x x x p p x y y y---==⋅+==AMG BFM 1S 22122(1)S AM x S BF y-==112S xy =()2221221(1)(1)(1)211x x x x x x x S S y y x x ----====-+()()()211121311x x x x x⎡⎤⎡⎤-++-⎣⎦⎣⎦==-+-+++10x +>201x>+211x x ++≥=+3S ≤-211x x+=+1x =-()0,1x ∈AMG 3-()21ax b f x x-=+[]1,1-()()22;11ax b ax b f x f x x x ----=-=-++0b =()21ax f x x ∴=+()11f =-2a =-()[]22,1,11x f x x x -∴=∈-+()221x f x x -=+[]1,1-证明如下：任意且，则因为，所以，又因为，所以，所以，即，所以函数在上为减函数.（3）由题意，，又，所以，即解不等式，所以，所以，解得，所以该不等式的解集为.19.【详解】（1），当时，，故在区间[―1，0]上不具有性质；（2）函数的定义域为，对任意，则，在区间上具有性质，则，即，因为是正整数，化简可得：对任意恒成立，设，其对称轴为，则在区间上是严格增函数，所以，，解得，故正整数的最小值为2；[]12,1,1x x ∈-12x x <()()()()()()121212122222121221221111x x x x x x f x f x x x x x ------=-=++++12x x <120x x -<[]12,1,1x x ∈-1210x x ->()()120f x f x ->()()12f x f x >()()12f x f x >[]1,1-()()()210f t f tf -+>()00f =()()210f t f t -+>()()21f t f t >--()()21f t f t >-22111111t t t t ⎧-≤≤⎪-≤-≤⎨⎪<-⎩0t≤<()()221(1)21f x f x x x x +-=+-=+0.8x =-()()10.60f x f x +-=-<()f x ()1P ()3f x x x =-R []0,1x ∈x n +∈R ()f x [0,1]()P n ()()f x n f x +>33()()x n x n x x +-+>-n 223310x nx n ++->[]0,1x ∈22()331g x x nx n =++-02n x =-<()g x [0,1]2min ()(0)10g x g n ==->1n >n（3）法一：由是定义域为上的奇函数，则，解得，若，，有恒成立，所以符合题意，若，当时，，所以有，若在上具有性质，则对任意恒成立，在上单调递减，则，x 不能同在区间内，，又当时，，当时，，若时，今，则，故，不合题意；，解得，下证：当时，恒成立，若，则，当时，则，，所以成立；当时，则，可得，，即成立；当时，则，即成立；综上所述：当时，对任意x ∈R 均有成立，()f x R (0)0f a a =-=0a ≥0a =()f x x =6x x +>0a >0x <()()()f x f x x a a x a a =--=----=-++()2,,2,x a x a f x x a x a x a x a +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩()f x R (6)P (6)()f x f x +>x ∈R ()f x [,]a a -6x +[,]a a -6()2a a a ∴>--= [2,0]x a ∈-()0f x ≥[0,2]x a ∈()0f x ≤264a a <≤2x a =-6[0,2]x a +∈(6)()f x f x +≤46a ∴<302a <<302a <<()()6f x f x +>302a <<46a <6x a +≤-()662f x x a +=++()2f x x a =+()()6f x f x +>6a x a -<+<63x a a <-<-()()66f x x a +=-+>-()2f x x a a =+<-()()6f x f x +>6x a +>()()()6622f x x a x a f x +=+->+≥()()6f x f x +>302a ≤<()()6f x f x +>故实数的取值范围为.法二：由是定义域为上的奇函数，则，解得.作出函数图像：由题意得：，解得，若，，有恒成立，所以符合题意，若，则，当时，则，，所以成立；当时，则，可得，，即成立；当时，则，即成立；综上所述：当时，对任意x ∈R 均有成立，故实数的取值范围为.a 30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭()f x R (0)0f a a =-=0a ≥2(2)46a a a --=<302a ≤<0a =()f x x =6x x +>302a <<46a <6x a +≤-()662f x x a +=++()2f x x a =+()()6f x f x +>6a x a -<+<63x a a <-<-()()66f x x a +=-+>-()2f x x a a =+<-()()6f x f x +>6x a +>()()()6622f x x a x a f x +=+->+≥()()6f x f x +>302a ≤<()()6f x f x +>a 30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭。
2023-2024学年河北省张家口市高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河北省张家口市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，2}，集合B ＝{2，3}，则∁U （A ∪B ）＝（ ） A ．{4}B ．{3}C ．{1，3，4}D ．{3，4}2．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x ＜1}，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{﹣1，0}D ．{1，2}3．若实数α，β满足﹣13＜α＜β＜﹣12，则α﹣β的取值范围是（ ） A ．﹣13＜α﹣β＜﹣12 B ．﹣25＜α﹣β＜0 C ．﹣1＜α﹣β＜0D ．﹣1＜α﹣β＜14．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab +b ，则满足x ⊙（x ﹣1）＜0的x 的取值范围为（ ） A ．（0，1）B ．（﹣1，1）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，十∞）D ．（﹣1，0）5．设x ∈R ，则“x 2＞x ”是“|x |＞1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f （x ）＝x 2+2x ，则当x ＞0时，函数f （x ）的解析式是（ ） A ．f （x ）＝﹣x 2+2x B ．f （x ）＝﹣x 2﹣2xC ．f （x ）＝x 2+2xD ．f （x ）＝x 2﹣2x7．已知偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递增，则不等式f （2x ﹣1）＜f （1）的解集是（ ） A ．（﹣∞，1） B ．（﹣1，1）C ．（0，1）D ．（﹣∞，0）∪（1，+∞）8．已知函数f （x ）={(a −2)x +52，x ≤2a x ，x ＞2是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，2）B ．（1，2）C ．[1，2）D ．（0，1]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列集合中，可以表示为{2，3}的是（ ） A ．{x ∈Z |2≤x ≤3}B ．{x |x 2﹣5x +6＝0}C ．{(x ，y)|x +y =5x −y =−1}D ．不等式组{x ＞22x −6＜0的解集10．下列函数既是偶函数，在（0，+∞）上又是增函数的是（ ） A ．y ＝x 2+1B ．y ＝2xC ．y ＝|x |D ．y =|1x−x|11．下列结论正确的是（ ）A ．“x ∈N ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件B ．“∃x ∈R ，使得x 2﹣3x +40≤0”是假命题C ．命题“∀x ＞0，x 2﹣3＞0”的否定是“∃x ＞0，x 2﹣3≤0”D ．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则a 2+b 2＝c 2是“△ABC 是直角三角形”的充要条件12．下列命题为真命题的是（ ） A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2 B ．若a ＞b ＞0，则ba ＜b+2a+2C ．若a ＞1，则a 2−4a+7a−1的最小值是2D ．若a ＞0，b ＞0，3a+1b=1，则3a +b 的最小值是16 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
甘肃省武威市武威第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)
武威一中2023年秋季学期期中考试高一年级 数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（共8小题，每小题5分）1.已知A 是由0，，三个元素组成的集合，且，则实数为（ ）A.2B.3C.0或3D.0，2，3均可2.已知全集，集合，，那么（ ）A. B. C. D.3.若集，合，则（ ）A. B. C. D.4.设，则（ ）A.B.C.1D.-25.若命题“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.6.已知函数是一次函数，且，则（ ）A.11B.9C.7D.57.已知函数是定义在上的偶函数，又，则，，的大小关系为（ ）A. B.C. D.8.若定义在R 的奇函数，若时，则满足的的取值范围是（ ）A. B.C. D.m 232m m -+2A ∈m U =R {}24A x x =-≤≤∣501x B x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭A B = ()1,4-(]1,4-()2,5-[)2,5-{}24x A x =<∣{N 13}B x x =∈-<<∣A B = {12}xx -<<∣{}0,1{}1{13}xx -<<∣()212,11,11x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪+⎩()()1f f =15120R x ∃∈201k x >+k 1k >01k <<1k ≤0k ≤()f x ()23f f x x ⎡⎤-=⎣⎦()5f =()22f x ax a =+[],2a a +()()2g x f x =+()2g -()3g -()2g ()()()232g g g ->->()()()322g g g ->>-()()()223g g g ->>-()()()232g g g >->-()f x 0x <()2f x x =--()0xf x ≥x ()[],20,2-∞- ()(),22,-∞-+∞ ][(,20,2⎤-∞-⎦[]2,2-二、多选题（共4小题，每小题选对得5分，错选或多选得0分，少选或漏选得2分）9.下列结论中，不正确的是（ ）A. B. C. D.10.下列命题中，真命题的是（ ）A.，都有 B.任意非零实数，都有C.，使得D.函数211.下列命题正确的是（ ）A.命题“，，”的否定是“，，”B.与是同一个函数C.函数的值域为D.若函数的定义域为，则函数的定义域为12.函数的定义域为R ，已知是奇函数，，当时，，则下列各选项正确的是（ ）A. B.在单调递C. D.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题13.已知，集合，则图中阴影部分所表示的集合是________.14.函数的单调递减区间为________.15.已知集合，，若“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是________.0.20.20.20.3>113323--<0.10.20.81.25->0.33.11.70.9>x ∀∈R 21x x x -≥-,a b 2b a a b+≥()1,x ∃∈+∞461x x +=-y =x ∀y ∈R 220x y +≥x ∃y ∈R 220x y +<()1f x x =-()211x g x x -=+y x =[)0,+∞()1f x +[]1,4()f x []2,5()f x ()1f x +()()22f x f x +=-[]1,2x ∈()22f x ax =+()()4f x f x +=()f x []0,1()10f =13533f ⎛⎫=⎪⎝⎭U R ={11}A x x =->{B xy ==∣y =204x A xx ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭{}22210B x x ax a =-+-<∣x A ∈x B ∈a16已，，，知为四个互不相等的实数.若，，，中最大，则实数的取值范围为________.四、解答题17.（本小题10分）计算下列各式（式中字母都是正数）：（1）；（2）；（3.18.（本小题12分）已知函数.（1）证明：函数在上是减函数；并求出函数在的值域；（2）记函数，判断函数的的奇偶性，并加以证明.19.（本小题12分）设关于的函数，其中，都是实数。
2023-2024学年安徽省合肥一中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省合肥一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，5}，B ＝{2，4}，则（∁U A ）∩B ＝（ ） A ．{4}B ．{2，4}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4}2．命题“∃x ∈R ，x 2﹣3x +3≥0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2﹣3x +3＜0 B ．∀x ∈R ，x 2﹣3x +3≥0 C ．∃x ∈R ，x 2﹣3x +3≤0 D ．∃x ∈R ，x 2﹣3x +3＜03．函数y =√x 2+2x−3x−1的定义域是（ ）A ．[﹣3，1]B ．[﹣1，1）∪（1，3]C ．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）4．对于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是（ ） A ．若a ＜b ，则1a＞1bB ．若a ＜b ，则ac 2＜bc 2C ．若a ＜0＜b ，则ab ＜b 2D ．若c ＞a ＞b ，则1c−a＜1c−b5．函数f(x)=9−3xx−2(x ＞3)的值域为（ ） A ．（﹣3，0）B ．（0，+∞）C ．（﹣1，0）D ．（﹣2，0）6．已知函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1a x，x ＞1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，2]B ．（0，1]C ．[1，2]D ．（0，+∞）7．对实数a 和b ，定义运算“◎”：a ◎b ={a ，a −b ≤2b ，a −b ＞2，设函数f （x ）＝（x 2﹣1）◎（5x ﹣x 2）（x ∈R ），若函数y ＝f （x ）﹣m 的图象与x 轴恰有1个公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，6]￥D ．[−114，−1)∪[6，8]8．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （1）＝3，若∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，都有（x 1﹣x 2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0，则不等式（x +3）f （x +3）＞3的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞） B ．（﹣∞，2）∪（4，+∞） C ．（﹣∞，3）D ．（3，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，与函数y ＝x +1是同一函数的是（ ） A ．y =(√x +1)2 B ．y =√x 33+1C ．y =√(x +1)33D ．y =x 2+1x−110．设x ∈R ，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件可以是（ ） A ．﹣1＜a ＜0B ．﹣2＜a ＜0C ．﹣3＜a ≤0D ．0≤a ＜111．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列说法正确的是（ ） A ．糖水加糖更甜可用式于a+m b+m＞ab表示，其中a ＞b ＞0，m ＞0B ．当x ＞32时，y =2x −1+12x−3的最小值为4 C ．若x ＞0，y ＞0，2x +y ＝1，则√2x +√y ≤√2D ．若a 2（b 2﹣2）＝4，则a 2+b 2的最小值为6 12．已知函数f(x)=x1+|x|（x ∈R ），则（ ） A ．函数f （x ）为奇函数B ．函数f （x ）的值域是（﹣1，1）C ．函数f （x ）在R 上单调递减D ．若对任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则当a ∈[﹣1，1]时，t ≥2或t ＝0或t ≤﹣2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （f （﹣2））＝ ．14．下列命题中，真命题的编号是 ． ①∀x ∈R ，x 2﹣2x +3＞0；②∃x ∈N *，x 为方程2x 2﹣3＝0的根； ③∀x ∈{﹣1，0，1}，2x +1＞0； ④∃x ，y ∈Z ，使3x ﹣2y ＝10．15．已知a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，则10a +7b 的最小值为 ．16．已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ），若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32，则m 的最大值是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜8}，B ＝{x |m ﹣3＜x ＜3m ﹣1}． （1）当m ＝2时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}． （1）若集合B ＝{x |﹣6＜x ＜2}，求实数m 的值；（2）若m ≥0，“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 19．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣5m +7）x m 为奇函数． （1）求f （x ）的解析式；（2）若函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2，求函数g （x ）的解析式． 20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣4x +a ．（1）在①∃x ∈[1，5]，②∀x ∈[1，5]这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．若命题：“_____，f （x ）＞0”为真命题，求实数a 的取值范围； （2）求函数F(x)=12[f(x)+f(|x|)]的单调递增区间．21．（12分）如图，某学校欲建矩形运动场，运动场左侧为围墙，三面通道各宽2m ，运动场与通道之间由栅栏隔开．（1）若运动场面积为3200m 2，求栅栏总长的最小值；（2）若运动场与通道占地总面积为3200m 2，求运动场面积的最大值．22．（12分）已知函数f(x)=x 2+a x+b 是奇函数，且f(−2)=−52．（1）判断并根据定义证明函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上的单调性；（2）设函数h （x ）＝f 2（x ）﹣2tf （x ）﹣2（t ＜0），若对∀x 1，x 2∈[13，3]，都有|h （x 1）﹣h （x 2）|≤8，求实数t 的取值范围．2023-2024学年安徽省合肥一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，5}，B＝{2，4}，则（∁U A）∩B＝（）A．{4}B．{2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}解：由已知得∁U A＝{2，3，4}，所以（∁U A）∩B＝{2，4}．故选：B．2．命题“∃x∈R，x2﹣3x+3≥0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣3x+3＜0B．∀x∈R，x2﹣3x+3≥0C．∃x∈R，x2﹣3x+3≤0D．∃x∈R，x2﹣3x+3＜0解：∃x∈R，x2﹣3x+3≥0的否定是：∀x∈R，x2﹣3x+3＜0．故选：A．3．函数y=√x2+2x−3x−1的定义域是（）A．[﹣3，1]B．[﹣1，1）∪（1，3] C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）解：要使得函数y=√x2+2x−3x−1有意义，则x2+2x﹣3≥0，且x﹣1≠0，解得x＞1或x≤﹣3，故定义域为（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）．故选：D．4．对于实数a，b，c，下列说法正确的是（）A．若a＜b，则1a ＞1bB．若a＜b，则ac2＜bc2C．若a＜0＜b，则ab＜b2D．若c＞a＞b，则1c−a ＜1c−b解：若a＜0，b＞0，则1a ＜1b，故A错误；若c＝0，则ac2＝bc2，故B错误；因为a＜0＜b，所以ab﹣b2＝b（a﹣b）＜0，即ab＜b2，故C正确；因为c＞a＞b，所以0＜c﹣a＜c﹣b，所以1c−a ＞1c−b＞0，故D错误．故选：C．5．函数f(x)=9−3xx−2(x ＞3)的值域为（ ） A ．（﹣3，0） B ．（0，+∞） C ．（﹣1，0） D ．（﹣2，0）解：由题意，函数f(x)=9−3x x−2=−3+3x−2（x ＞3）， 令t ＝x ﹣2，则t ＞1，可得3t∈(0，3)，故f(x)=−3+3x−2（x ＞3）的值域为（﹣3，0）． 故选：A ．6．已知函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1a x ，x ＞1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，2]B ．（0，1]C ．[1，2]D ．（0，+∞）解：二次函数y ＝x 2﹣（a +2）x +3的对称轴为x =a+22， 因为函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1ax，x ＞1是R 上的减函数，所以有{a+22≥1，a ＞01−a −2+3≥a，解得0＜a ≤1．故选：B ．7．对实数a 和b ，定义运算“◎”：a ◎b ={a ，a −b ≤2b ，a −b ＞2，设函数f （x ）＝（x 2﹣1）◎（5x ﹣x 2）（x ∈R ），若函数y ＝f （x ）﹣m 的图象与x 轴恰有1个公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，6] B ．(−∞，−1]∪(−114，6) C ．(−114，+∞)D ．[−114，−1)∪[6，8]解：当x 2﹣1﹣（5x ﹣x 2）≤2⇒2x 2﹣5x ﹣3≤0⇒−12≤x ≤3时，f （x ）＝x 2﹣1； 当x 2﹣1﹣（5x ﹣x 2）＞2⇒2x 2﹣5x ﹣3＞0⇒x ＜−12或x ＞3时，f （x ）＝5x ﹣x 2， 作出f （x ）的图象，如图所示：函数y＝f（x）﹣m的图象与x轴恰有1个公共点，转化为函数f（x）的图象与直线y＝m恰有1个交点，由图象并结合各分段区间上的f（x）的值，可得：6≤m≤8或−114≤m＜﹣1，则实数m的取值范围是[−114，﹣1）∪[6，8]，故D项正确．故选：D．8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）＝3，若∀x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0，则不等式（x +3）f （x +3）＞3的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞） B ．（﹣∞，2）∪（4，+∞） C ．（﹣∞，3）D ．（3，+∞）解：由∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，都有（x 1﹣x 2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0， 不妨令x 1＜x 2⇒x 1f （x 1）＜x 2f （x 2）可知函数xf （x ）在（0，+∞）上单调递增， 记g （x ）＝xf （x ），则g （﹣x ）＝（﹣x ）f （﹣x ）＝﹣x [﹣f （x ）]＝xf （x ）＝g （x ），所以g （x ）为偶函数，因此g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，且g （﹣1）＝g （1）＝1×f （1）＝3， 不等式（x +3）f （x +3）＞3等价于g （x +3）＞g （1），故|x +3|＞1，解得x ＞﹣2或x ＜﹣4，故不等式的解集为：（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞）． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，与函数y ＝x +1是同一函数的是（ ） A ．y =(√x +1)2 B ．y =√x 33+1C ．y =√(x +1)33D ．y =x 2+1x−1解：由题意知函数y ＝x +1的定义域为R ，值域为R ，y =(√x +1)2的定义域为[﹣1，+∞），与函数y ＝x +1的定义域不同，不是同一函数，故A 错误； y =√x 33+1=x +1定义域为R ，定义域与对应关系和y ＝x +1相同，为同一函数，故B 正确； y =√(x +1)33=x +1定义域R ，定义域与对应关系和y ＝x +1相同，为同一函数，故C 正确；y =x 2+1x−1的定义域为{x ∈R |x ≠1}，与函数y ＝x +1的定义域不同，不是同一函数，故D 错误．故选：BC ．10．设x ∈R ，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件可以是（ ） A ．﹣1＜a ＜0B ．﹣2＜a ＜0C ．﹣3＜a ≤0D ．0≤a ＜1解：当a ＝0时，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0为﹣2＜0，满足题意；a ≠0时，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立，则必有a ＜0且Δ＝（﹣2a ）2+4a ×2＜0， 解得﹣2＜a ＜0，故a 的取值范围为﹣2＜a ≤0，由题意知所选不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件中不等式相应集合应为（﹣2，0]的真子集，结合选项可知﹣1＜a ＜0，﹣2＜a ＜0所对应集合为（﹣2，0]的真子集， 故选项A ，B 满足条件．故选：AB ．11．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列说法正确的是（ ） A ．糖水加糖更甜可用式于a+m b+m＞ab表示，其中a ＞b ＞0，m ＞0B ．当x ＞32时，y =2x −1+12x−3的最小值为4 C ．若x ＞0，y ＞0，2x +y ＝1，则√2x +√y ≤√2D ．若a 2（b 2﹣2）＝4，则a 2+b 2的最小值为6解：对于选项A ，当a ＝2，b ＝1，m ＝1时，a b=2，a+m b+m=32＜2，当a ＞b 时，糖水不等式不成立，故A 不正确； 对于选项B ，因为x ＞32，y =2x −1+12x−3=2x −3+12x−3+2≥2√(2x −3)×(12x−3)+2=4， 当且仅当2x ﹣3=12x−3，即x ＝2时取等号，故B 正确； 对于选项C ，因为2x +y =1≥2√2xy ，所以xy ≤18，当且仅当2x ＝y ，即x =14，y =12时等号成立， 所以(√2x +√y)2=2x +y +2√2⋅√xy ≤1+2√2⋅√18=2， 即√2x +√y ≤√2，当且仅当x =14，y =12时等号成立，故C 正确； 对于选项D ，因为a 2（b 2﹣2）＝4， 所以a 2=4b 2−2＞0，所以a 2+b 2=4b 2−2+b 2=4b 2−2+（b 2﹣2）+2≥2√4b 2−2⋅(b 2−2)+2＝6，当且仅当b 2−2=4b 2−2，即a 2＝2，b 2＝4时，等号成立，故D 正确．故选：BCD ．12．已知函数f(x)=x1+|x|（x ∈R ），则（ ） A ．函数f （x ）为奇函数B ．函数f （x ）的值域是（﹣1，1）C ．函数f （x ）在R 上单调递减D ．若对任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则当a ∈[﹣1，1]时，t ≥2或t ＝0或t ≤﹣2 解：选项A ，由题意得x ∈R ，f （﹣x ）=−x 1+|−x|=−x 1+|x|=−f （x ），所以函数f （x ）是奇函数，故A 正确；选项B ，C ，由函数解析式可得f （x ）={x 1+x ，x ≥0x 1−x ，x ＜0={1−1x+1，x ≥011−x−1，x ＜0，函数图象如图所示：所以f （x ）的值域是（﹣1，1），在R 上单调递增，故B 正确，C 错误； 选项D ，由函数f （x ）在R 上单调递增， 则当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）max ＝f （1）=12，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则t 2﹣2at +12≥12恒成立， 即t 2﹣2at ≥0恒成立，令h （a ）＝﹣2at +t 2，即a ∈[﹣1，1]时，h （a ）≥0恒成立， 则{ℎ(1)=t 2−2t ≥0ℎ(−1)=t 2+2t ≥0，解得：t ≤﹣2或t ≥2或t ＝0，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （f （﹣2））＝ 0 ．解：f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （﹣2）＝3，所以f （f （﹣2））＝f （3）＝0．故答案为：0．14．下列命题中，真命题的编号是 ①④ ． ①∀x ∈R ，x 2﹣2x +3＞0；②∃x ∈N *，x 为方程2x 2﹣3＝0的根； ③∀x ∈{﹣1，0，1}，2x +1＞0； ④∃x ，y ∈Z ，使3x ﹣2y ＝10．解：x 2﹣2x +3＝（x ﹣1）2+2＞0恒成立，故①正确； 由2x 2﹣3＝0，解得x =±√62∉N ∗，故②错误；﹣1×2+1＝﹣1＜0，故③错误， x ＝4，y ＝1满足题意，故④正确． 故答案为：①④．15．已知a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，则10a +7b 的最小值为 12 ． 解：因为a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，所以（4a +4b ）（6a +3b ）＝36，所以（4a +4b ）（6a +3b ）=36≤(4a+4b+6a+3b)24=(10a+7b)24， 则10a +7b ≥12，当且仅当{4a +4b =6a +3b (a +b)(2a +b)=3，即a =12，b ＝1时，等号成立，故10a +7b 的最小值为12． 故答案为：12．16．已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ），若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32，则m 的最大值是134．解：因为函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1）， 当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ）， 当x ∈（1，2]时，x ﹣1∈（0，1]，则f （x ）＝2f （x ﹣1）＝2（x ﹣1）[1﹣（x ﹣1）]＝﹣2（x ﹣1）（x ﹣2）=−2(x −32)2+12∈[0，12]， 当x ∈（2，3]时，x ﹣2∈（0，1]，则f （x ）＝4f （x ﹣2）＝4（x ﹣2）[1﹣（x ﹣2）]＝﹣4（x ﹣2）（x ﹣3）=−4(x 2−5x +6)=−4(x −52)2+1∈[0，1]，当x ∈（3，4]时，x ﹣3∈（0，1]，则f （x ）＝8f （x ﹣3）＝8（x ﹣3）[1﹣（x ﹣3）]＝﹣8（x ﹣3）（x ﹣4）=−8(x 2−7x +12)=−8(x −72)2+2∈[0，2]，因为对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32， 当x ∈（3，4]时，令f(x)=−8(x 2−7x +12)=32， 解得x =134或x =154，如下图所示：由图可知，m ≤134，故实数m 的最大值为134． 故答案为：134．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜8}，B ＝{x |m ﹣3＜x ＜3m ﹣1}．（1）当m ＝2时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．解：（1）当m ＝2时，B ＝{x |﹣1＜x ＜5}，所以A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜5}；（2）因为A ∪B ＝A ，所以B 是A 的子集，①B ＝∅，即3m ﹣1≤m ﹣3，解得m ≤﹣1；②B ≠∅，则{m −3≥−23m −1≤83m −1＞m −3，所以1≤m ≤3，综上所述，实数m 的取值范围为{m |m ≤﹣1或1≤m ≤3}．18．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}．（1）若集合B ＝{x |﹣6＜x ＜2}，求实数m 的值；（2）若m ≥0，“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：（1）因为B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}＝{x |﹣6＜x ＜2}，所以方程x 2+2mx ﹣3m 2＝0的两根分别为﹣6和2，由韦达定理得{−6+2=−2m −6×2=−3m 2，解得m ＝2． 所以实数m 的值为2．（2）由x 2﹣x ﹣6＜0，得﹣2＜x ＜3，A ＝{x |﹣2＜x ＜3}，由于“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则A ⫋B ，当m ＝0时，B ＝{x |x 2＜0}＝∅，此时A ⫋B ，不成立；当m ＞0时，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}＝{x |﹣3m ＜x ＜m }，因为A ⫋B ，则有{−3m ≤−2m ≥3，解得m ≥3； 综上所述，实数m 的取值范围是[3，+∞）．19．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣5m +7）x m 为奇函数．（1）求f （x ）的解析式；（2）若函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2，求函数g （x ）的解析式． 解：（1）因为f （x ）为幂函数，所以m 2﹣5m +7＝1，解得m ＝2或m ＝3；当m ＝2时，f （x ）＝x 2是偶函数，不是奇函数；当m ＝3时，f （x ）＝x 3是奇函数，所以m ＝3．故f （x ）的解析式f （x ）＝x 3．（2）由（1）得，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2＝x 3﹣x 2，对于x ＜0，则﹣x ＞0，g （﹣x ）＝（﹣x ）3﹣（﹣x ）2＝﹣x 3﹣x 2，又因为函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，所以g （﹣x ）＝g （x ），所以g （x ）＝﹣x 3﹣x 2（x ＜0），所以函数g （x ）的解析式g(x)={x 3−x 2，x ≥0−x 3−x 2，x ＜0． 20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣4x +a ．（1）在①∃x ∈[1，5]，②∀x ∈[1，5]这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．若命题：“_____，f （x ）＞0”为真命题，求实数a 的取值范围；（2）求函数F(x)=12[f(x)+f(|x|)]的单调递增区间．解：（1）由f （x ）＞0，得x 2﹣4x +a ＞0，即a ＞﹣x 2+4x ，令g （x ）＝﹣x 2+4x ，g （x ）＝﹣（x ﹣2）2+4，所以g （x ）在[1，2]上单调递增，在[2，5]上单调递减，则在[1，5]上g （x ）的最小值为g （5）＝﹣5，最大值为g （2）＝4．选择条件①，∃x ∈[1，5]使得a ＞﹣x 2+4x 成立，则a ＞g （x ）min ，所以a ＞﹣5，故实数a 的取值范围是（﹣5，+∞）．选择条件②，∀x ∈[1，5]使得a ＞﹣x 2+4x 恒成立，则a ＞g （x ）max ，所以a ＞4，故实数a 的取值范围是（4，+∞）．（2）当x ≥0时，F(x)=12[f(x)+f(|x|)]=12[f(x)+f(x)]=f(x)，＝x 2﹣4x +a ＝（x ﹣2）2+a ﹣4，所以F （x ）在[0，2）上单调递减，在[2，+∞）上单调递增；当x ＜0时，F(x)=12[f(x)+f(|x|)]=12[f(x)+f(−x)]=12[x 2−4x +a +(−x)2+4x +a]=x 2+a ， 所以F （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，综上函数F （x ）的单调递增区间为[2，+∞）．21．（12分）如图，某学校欲建矩形运动场，运动场左侧为围墙，三面通道各宽2m ，运动场与通道之间由栅栏隔开．（1）若运动场面积为3200m 2，求栅栏总长的最小值；（2）若运动场与通道占地总面积为3200m 2，求运动场面积的最大值．解：（1）设矩形运动场的长、宽分别为a ，b （如图，单位：m ），由题意，ab ＝3200，所以2a +b ≥2√2ab =160，当且仅当{a =40b =80时，取“＝”， 故栅栏总长的最小值为160m ．（2）由题意（a +2）（b +4）＝3200，整理得ab +4a +2b ﹣3192＝0，而4a +2b =3192−ab ≥2√8ab =4√2ab ，故ab +4√2ab −3192≤0，令√ab =t （t ＞0），则t 2+4√2t −3192≤0，解得0＜t ≤38√2，所以√ab ≤38√2，即ab ≤2888，当且仅当{b =2a √ab =38√2，即{a =38b =76时，取“＝”， 故运动场面积的最大值为2888m 2．22．（12分）已知函数f(x)=x 2+a x+b 是奇函数，且f(−2)=−52．（1）判断并根据定义证明函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上的单调性；（2）设函数h （x ）＝f 2（x ）﹣2tf （x ）﹣2（t ＜0），若对∀x 1，x 2∈[13，3]，都有|h （x 1）﹣h （x 2）|≤8，求实数t 的取值范围．（1）解：因为f(−2)=−52，且f （x ）是奇函数，所以f(2)=52，所以{4+a 2+b =524+a −2+b =−52，解得{a =1b =0，所以f(x)=x +1x ． 此时，f(x)+f(−x)=x +1x +(−x)+1−x=0， 所以f （x ）是奇函数，满足要求； 函数f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 证明如下：任取x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(x 1+1x 1)−(x 2+1x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−1x 1x 2)， 因为x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2，所以x 1﹣x 2＜0，0＜x 1x 2＜1，所以x 1x 2﹣1＜0， 所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），所以函数f （x ）在（0，1）上单调递减；同理可证明函数f （x ）在（1，+∞）上单调递增．（2）由题意知ℎ(x)=x 2+1x 2−2t(x +1x )， 令z =x +1x ，y ＝z 2﹣2tz ﹣2，由（1）可知函数z =x +1x 在[13，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增， 所以z ∈[2，103]，因为函数y ＝z 2﹣2tz ﹣2的对称轴方程为z ＝t ＜0，所以函数y ＝z 2﹣2tz ﹣2在[2，103]上单调递增， 当z ＝2时，y ＝z 2﹣2tz ﹣2取得最小值，y min ＝﹣4t +2；当z =103时，y ＝z 2﹣2tz ﹣2取得最大值，y max =−203t +829．所以h （x ）min ＝﹣4t +2，ℎ(x)max =−203t +829，又因为对∀x1，x2∈[13，3]都有|h（x1）﹣h（x2）|≤8恒成立，所以h（x）max﹣h（x）min≤8，即−203t+829−(−4t+2)≤8，解得t≥−13，又因为t＜0，所以t的取值范围是[−13，0)．。
高一数学期中考试题及答案
高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是实数集R的子集？A. 整数集ZB. 有理数集QC. 无理数集D. 复数集C2. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在区间[0, 2]上的最大值是：A. 1B. 5C. 7D. 93. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∩B的元素个数。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 若a > 0，b < 0，且|a| < |b|，则a + b的符号是：A. 正B. 负C. 零D. 不确定5. 下列哪个不等式是正确的？A. √2 < πB. e < 2.72C. √3 > √2D. log2(3) > log3(2)6. 已知等差数列的首项为a1 = 3，公差为d = 2，第5项a5的值是：A. 9B. 11C. 13D. 157. 函数y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的零点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 38. 已知f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的最小值。
A. 0B. 4C. 8D. 169. 抛物线y = x^2 - 2x - 3与x轴的交点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知等比数列的首项为a1 = 2，公比为r = 3，求第4项a4的值。
A. 162B. 486C. 729D. 1458二、填空题（每题2分，共20分）11. 圆的一般方程为x^2 + y^2 + dx + ey + f = 0，其中d^2 + e^2 - 4f > 0时，表示______。
12. 若函数f(x) = 3x - 2在区间[1, 4]上是增函数，则f(1) =______。
13. 已知集合M = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，则M的补集∁_R M = {x | ______ }。
14. 函数y = log_2(x)的定义域是{x | x > ______ }。
高一数学期中考试题及答案
高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 函数f(x) = x^2 - 2x + 1的零点是：A. 1B. -1C. 0D. 23. 集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B等于：A. {1}B. {2, 3}C. {4}D. {1, 2, 3, 4}4. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n = 2n + 1，那么a_5等于：A. 11B. 9C. 13D. 155. 若函数f(x) = 3x - 5，则f(2)等于：A. 1B. -1C. 7D. 36. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标是：A. (0, 3)B. (1, 5)C. (-3/2, 0)D. (3/2, 0)7. 圆的一般方程为x^2 + y^2 + 2x - 4y + 5 = 0，其圆心坐标是：A. (-1, 2)B. (1, -2)C. (-1, -2)D. (1, 2)8. 函数y = x^2 - 4x + 3的最小值是：A. -1B. 0C. 1D. 39. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么三角形ABC是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定10. 函数y = √(x - 2)的定义域是：A. x ≥ 2B. x > 2C. x < 2D. x ≠ 2二、填空题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的最大值为2，则x的值为______。
2. 已知数列{a_n}满足a_1 = 1，a_n = 2a_{n-1} + 1，那么a_3等于______。
3. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的对称轴方程是______。
4. 集合A = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，则A的元素个数为______。
2023-2024学年安徽省高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M ＝{﹣1，0，1}，集合N ＝{x ∈R |x 2＝2x }，则M ∩N ＝（ ） A ．{0，1}B ．{﹣1，0}C ．{0}D ．∅2．已知命题p ：∃x ∈R ，4x ＞x 4，则¬p 是（ ） A ．∃x ∈R ，4x ≤x 4 B ．∀x ∈R ，4x ＜x 4C ．∀x ∈R ，4x ＞x 4D ．∀x ∈R ，4x ≤x 43．若α是β的必要不充分条件，γ是β的充要条件，则γ是α的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知幂函数f （x ）＝x α（α∈Z ），具有如下性质：f 2（1）+f 2（﹣1）＝2[f （1）+f （﹣1）﹣1]，则f （x ）是（ ） A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数5．函数f(x)={x +3，x ≤0√x ，x ＞0，且f （a ﹣3）＝f （a +2）（a ∈R ），则f （a ）＝（ ）A ．2B ．1C ．√2D ．06．已知实数a ，b ，c 满足3×2a ﹣2b +1＝0，且a ＝c +x 2﹣x +1（x ∈R ），则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a7．水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出的速度如图甲乙所示．某天零点到六点该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）．给出以下三个论断：①零点到三点只进水不出水；②三点到四点不进水只出水；③四点到六点不进水也不出水．其中正确论断的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①8．设函数f(x)=√ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ，且a ＜0）的定义域为D ，若所有点（s ，f （t ））（s ，t ∈D ）构成一个正方形区域，则a ＝（ ） A ．﹣4B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期中考试数学试卷(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a∈R，若集合M={1,a}，N={−1,0,1}，则“a=0”是“M⊆N”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.下列命题是全称量词命题且为真命题的是A. ∀a，b∈R，a2+b2<0B. 菱形的两条对角线相等C. ∃x0∈R，x20=x0D. 一次函数的图象是直线3.设全集U=R，集合A={1,2,3,4,5}，B={x|3<x<8,x∈N}，则下图中的阴影部分表示的集合是A. {1,2,3,4,5}B. {3,4}C. {1,2,3}D. {4,5,6,7}4.若函数f(x)=4x2−kx−8在[5,8]上是单调函数，则实数k的取值范围是A. (−∞,40)B. (−∞,40]∪[64,+∞)C. [40,64]D. [64,+∞)5.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|13<x<12}，则不等式cx2+bx+a>0的解集为A. {x|−12<x<−13}B. {x|x>3或x<2}C. {x|2<x<3}D. {x|−3<x<−2}6.已知关于x的不等式2x+2x−a≥7在区间(a,+∞)上恒成立，则实数a的最小值为A. 1B. 32C. 2 D. 527.17世纪初，约翰·纳皮尔为了简化计算而发明了对数．对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明．我们知道，任何一个正实数N可以表示成N=a×10n(1≤a<10,n∈Z)的形式，这便是科学记数法，若两边取常用对数，则有lg N=n+lg a.现给出部分常用对数值(如下表)，则可以估计22023的最高位的数值为真数x2345678910lg x(近0.301030.477120.602060.698970.778150.845100.903090.95424 1.000似值)A. 6B. 7C. 8D. 98.已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)=−x2+2x，函数f(x)={x,x≤0,g(x),x>0,若f(2−x2 )>f(x)，则实数x的取值范围是A. (−2,1)B. (−∞,−2)∪(1,+∞)C. (1,2)D. (−∞,1)∪(2,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷含答案
北京市2023-2024学年高一（下）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共50分）（答案在最后）1.若复数2i z =-+，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】运用复数的几何意义求解即可.【详解】复数2i z =-+，则复数z 在复平面内对应的点(2,1)-位于第二象限．故选：B .2.已知向量(2,1)a = ，(4,)b x = ，且a b∥，则x 的值为（）A.-2B.2C.-8D.8【答案】B 【解析】【分析】运用平面向量共线的坐标公式计算即可.【详解】(2,1)a =rQ ，(4,)b x =，且a b∥，240x ∴-=，即2x =．故选：B ．3.在三角形ABC 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，若0120A ∠=，2a =，3b =，则B ＝（）A.3πB.56π C.566ππ或 D.6π【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由于0120A ∠=为钝角，所以只有一解.由正弦定理得：21sin sin1203sin 2B B =⇒=，选D.考点：解三角形.4.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（）A.B.πC.D.2π【答案】A 【解析】【分析】根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，即可求解.【详解】由题知，如图，PAB 为圆锥的轴截面，边长均为2，则圆锥的高322PO =⨯=底面半径1212r =⨯=，故圆锥体积2211ππ1π333V r PO =⋅=⨯=.故选：A5.已知P 为ABC 所在平面内一点，2BC CP =uu u r uur，则（）A.1322AP AB AC =-+uu u r uu u r uuu r B.1233AP AB AC=+C.3122AP AB AC=-uu u r uu u r uuu r D.2133AP AB AC=+uu u r uu u r uuu r【答案】A 【解析】【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.【详解】由题意作出图形,如图,则11()22AP AC CP AC BC AC AC AB =+=+=+- 1322AB AC =-+，故选：A.6.已知非零向量a ，b，则“a b b -= ”是“20a b -= ”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合向量的模的定义，数量积的性质和运算律判断.【详解】若20a b -= ，则a b b -=，a b b -= ，所以“a b b -= ”是“20a b -=”成立的必要条件，若a b b -= ，则220a a b -⋅=，()20a a b ⋅-= ，当()1,0a = ，11,22b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，()20,1a b -= ，()20a a b ⋅-= 成立，但20a b -≠.所以，“a b b -= ”不是“20a b -=”成立的充分条件，所以“a b b -= ”是“20a b -= ”成立的必要不充分条件，故选：B.7.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos a B c =，则ABC 的形状一定是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形【答案】B 【解析】【分析】由正弦定理可得2sin cos sin A B C =，再由()C A B π=-+，可得2sin cos sin()sin cos cos sin A B A B A B A B =+=+，从而可得in 0()s A B -=，进而可得结论【详解】解：因为2cos a B c =，所以由正弦定理可得2sin cos sin A B C =，因为A B C π++=，所以()C A B π=-+，所以()()sin sin sin C A B A B π⎡⎤=-+=+⎣⎦，所以2sin cos sin()sin cos cos sin A B A B A B A B =+=+，所以sin cos cos sin 0A B A B -=，所以in 0()s A B -=，因为A B ππ-<-<，所以0A B -=，所以A B =，所以ABC 为等腰三角形，故选：B8.对于非零向量,m n ，定义运算“⨯”：sin m n m n θ⨯=，其中θ为,m n 的夹角.设,,a b c 为非零向量，则下列说法错误．．的是A.a b b a⨯=⨯ B.()a b c a c b c+⨯=⨯+⨯C.若0a b ⨯=，则//a bD.()a b a b⨯=-⨯【答案】B 【解析】【详解】由运算定义，sin ,sin a b a b b a b a θθ⨯=⨯=，所以a b b a⨯=⨯正确；()sin ,sin sin a b c a b c a c b c a c b c θαβ+⨯=+⨯+⨯=+ ，所以()a b c a c b c +⨯≠⨯+⨯，故B错误；C 、sin 0a b a b θ⨯== ，则0,θπ=，所以//a b 正确；D 、()()sin ,sin sin a b a b a b a b a b θπθθ⨯=-⨯=--= ，所以()a b a b ⨯=-⨯正确．故选B ．点睛：本题考查向量的新定义运算，关键就是理解新定义．本题采取排除法，通过逐个验证，我们可以发现A 、C 、D 都是正确的，所以错误的就是B ．9.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1,,AB BC AA AB P ⊥=为棱11A B 的中点，Q 为线段1AC 上的动点．以下结论中正确的是（）A.存在点Q ，使BQ AC ∥B.不存在点Q ，使11BQ B C ⊥C.对任意点Q ，都有1BQ AB ⊥D.存在点Q ，使BQ 平面1PCC 【答案】C 【解析】【分析】A 选项，根据异面直线的定义可以判断；B 选项，容易发现1,A Q 重合时符合题意；C 选项，利用线面垂直得到线面垂直；D 选项，先找出平面1PCC 的一条垂线，问题转化为判断这条垂线是否和BQ 垂直的问题.【详解】A 选项，由于BQ ⋂平面ABCB =，B AC ∉，AC ⊂平面ABC ，则,BQ AC 一定异面，A 选项错误；B 选项，根据直三棱柱性质，1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，故1BB BC ⊥，又AB BC ⊥，1AB BB B Ç=，1,AB BB ⊂平面11ABB A ，故BC ⊥平面11ABB A ，又1BA ⊂平面11ABB A ，故1BC BA ⊥，显然11BC B C ∥，即111B C BA ⊥，故1,A Q 重合时，11BQ B C ⊥，B 选项错误；C 选项，直棱柱的侧面11ABB A 必是矩形，而1AA AB =，故矩形11ABB A 成为正方形，则11AB BA ⊥，B 选项已经分析过，BC ⊥平面11ABB A ，由1AB ⊂平面11ABB A ，故1AB BC ⊥，又1BC BA B ⋂=，1,BC BA ⊂平面1BCA ，故1AB ⊥平面1BCA ，又BQ ⊂平面1BCA ，则1BQ AB ⊥必然成立，C 选项正确；D 选项，取AB 中点M ，连接,CM PM ，根据棱柱性质可知，CM 和1C P 平行且相等，故平面1PCC 可扩展成平面1CMPC ，过B 作BN CM ⊥，垂足为N ，根据1BB ⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，故1BB BN ⊥，显然11BB CC ∥，故1BN CC ⊥，由BN CM ⊥，1CC CM C = ，1,CC CM ⊂平面1CMPC ，故BN ⊥平面1CMPC ，若BQ 平面1PCC ，则BQ BN ⊥，过Q 作QO //1BB ，交11A C 于O ，连接1B O ，于是1BQOB 共面，又1BQ BB B = ，1,BQ BB ⊂平面1BQOB ，故BN ⊥平面1BQOB ，由于1B O ⊂平面1BQOB ，故1BN B O ⊥，延长OQ 交AC 于J ，易得1B O //BJ ，则BJ BN ⊥，而J 在线段AC 上，这是不可能的，D 选项错误.故选：C10.圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即ABC ∠）为26.5 ，夏至正午太阳高度角（即ADC ∠）为73.5 ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（）A.sin532sin 47a ︒︒B.2sin 47sin53a ︒︒C.tan 26.5tan 73.5tan 47a ︒︒︒D.sin 26.5sin 73.5sin 47a ︒︒︒【答案】D 【解析】【分析】先求BAD ∠，在BAD 中利用正弦定理求AD ，在Rt ACD 中即可求AC .【详解】73.526.547BAD ∠=-= ，在BAD 中由正弦定理得：sin sin BD AD BAD ABD=∠∠，即sin 47sin 26.5a AD= ，所以sin 26.5sin 47a AD =，又因为在Rt ACD 中，sin sin 73.5ACADC AD=∠= ，所以sin 26.5sin 73.5sin 73.5sin 47a AC AD =⨯=,故选：D【点睛】本题主要考查了解三角形应用举例，考查了正弦定理，属于中档题.二、填空题（每题5分，共30分）11.已知复数i(1i)z =+，则z =________；||z =________．【答案】①.1i--②.【解析】【分析】运用共轭复数、复数乘法及复数的模的公式计算即可.【详解】因为i(1i)1i z =+=-+，则1i z =--，||z ==.故答案为：1i --.12.已知向量(1,1)a =-r ，(2,1)b =- ，则2a b += ________；向量a 在b上的投影向量的坐标为________．【答案】①.(0,1)-②.63(,)55-【解析】【分析】运用平面向量加法、向量数量积、向量的模、投影向量公式计算即可.【详解】解：(1,1)a =-r，(2,1)b =-，则2(2,2)(2,1)(0,1)a b +=-+-=-；()()12113a b ⋅=⨯-+-⨯=-，||b == 故向量a 在b上的投影向量的坐标为：363,555a b b b b b⋅⎛⎫⨯=-=- ⎪⎝⎭ .故答案为：(0,1)-；63(,55-.13.在正四面体A -BCD 中，二面角A -BC -D 的余弦值是_______.【答案】13【解析】【分析】根据二面角平面角的定义，结合正四面体的性质，找出该角，由余弦定理，可得答案.【详解】如图，取BC 的中点F ，连接AF，DF，则AF BC ⊥，DF BC ⊥，即AFD ∠为二面角A BC D --的平面角，设正四面体D ABC -的棱长为6，在正ABC中，sin 60AF AB ==sin 60DF BD ==由余弦定理2221cos 23FD FA AD AFD FD FA +-∠===⋅⋅.故答案为：13.14.已知点(0,0)O ，(1,2)A ，(,0)(0)B m m >，则cos ,OA OB <>=___________；若B 是以OA 为边的矩形的顶点，则m =___________.【答案】①.②.5【解析】【分析】①根据向量的夹角公式，直接求解即可；②根据已知可得0OA AB ⋅=，求出相应的坐标代入即可求出m 的值.【详解】①因为(0,0)O ，(1,2)A ，(,0)(0)B m m >，所以(1,2)OA = ，(,0)OB m =，所以5cos ,5||||OA OB OA OB OA OB ⋅<>===；②(1,2)AB m =-- ，若B 是以OA 为边的矩形的顶点，则0OA AB ⋅=,即140OA AB m ⋅=--=，所以5m =.故答案为：5；515.若ABC 的面积为2223()4a cb +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________；c a 的取值范围是_________.【答案】①.60②.(2,)+∞【解析】【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得tan B =，可求得3B π∠=；再利用()sin sin C A B =+，将问题转化为求函数()f A 的取值范围问题.【详解】()2221sin 42ABC S a c b ac B ∆=+-=，2222a c b ac +-∴=，即cos B =，sin cos 3B B B π∴=∠=，则21sin cos sin sin 11322sin sin sin 2tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫-⋅--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====⋅+，C ∴∠为钝角，,036B A ππ∠=∴<∠<，)1tan 0,,3tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，故()2,ca∈+∞.故答案为3π，()2,∞+.【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角A B C π++=的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含A ∠的表达式的最值问题是解题的第二个关键.16.如图矩形ABCD 中，22AB BC ==，E 为边AB 的中点，将ADE V 沿直线DE 翻转成1A DE △．若M 为线段1AC 的中点，则在ADE V 翻转过程中，下列叙述正确的有________（写出所有序号）．①BM 是定值；②一定存在某个位置，使1CE DA ⊥；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使1MB A DE 平面∥．【答案】①②④【解析】【分析】运用等角定理及余弦定理可判断①；运用勾股定理证得1A E CE ⊥、DE EC ⊥，结合线面垂直的判定定理及性质可判断②；运用反证法证及线面垂直判定定理证得DE ⊥平面1A EC ，结合线面垂直性质可得1DE A E ⊥得出矛盾可判断③；运用面面平行判定定理证得平面//MBF 平面1A DE ，结合面面平行性质可判断④.【详解】对于①，取CD 中点F ，连接MF ，BF ，如图所示，则1MF DA ∥，BF DE ，11122MF A D ==，FB DE ==由等角定理知，1π4A DE MFB ∠=∠=，所以由余弦定理可得22252cos 4MB MF FB MF FB MFB =+-⋅⋅∠=，所以52MB =是定值，故①正确；对于④，由①知，1MF DA ∥，BF DE ，又FB 、MF ⊄平面1A DE ，1DA 、DE ⊂平面1A DE ，所以//FB 平面1A DE ，//MF 平面1A DE ，又FB MF F = ，FB 、MF ⊂平面MBF ，所以平面//MBF 平面1A DE ，又因为MB ⊂平面MBF ，所以//MB 平面1A DE ，故④正确，对于②，连接EC ，如图所示，当1A C =时，因为11A E =，CE =22211A C A E CE =+，所以1A E CE ⊥，因为矩形ABCD 中，D E C E ==，2DC =，所以222DE CE DC +=，即DE EC ⊥，又因为1A E DE E ⋂=，1A E 、DE ⊂平面1A DE ，所以CE ⊥平面1A DE ，又1A D ⊂平面1A DE ，所以1CE DA ⊥，故②正确；对于③，假设③正确，即在某个位置，使1DE A C ⊥，又因为矩形ABCD 中，D E C E ==2DC =，所以222DE CE DC +=，即DE EC ⊥，又因为1A C EC C ⋂=，1AC 、EC ⊂平面1A EC ，所以DE ⊥平面1A EC ，又1A E ⊂平面1A EC ，所以1DE A E ⊥，这与1π4DEA ∠=矛盾，所以不存在某个位置，使1DE A C ⊥，故③错误．故答案为：①②④.三、解答题（每题14分，共70分）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求证：EF CD ⊥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由三角形中位线证得EF PA ∥，结合线面平行的判定定理证明即可.（2）由线面垂直性质可得PD CD ⊥，结合线面垂直判定定理可得CD ⊥平面PAD ，再结合线面垂直性质、线线垂直性质证明即可.【小问1详解】因为E ，F 分别是AB ，PB 的中点，所以EF PA ∥，又EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以//EF 平面PAD ；【小问2详解】因为PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PD CD ⊥，又因为底面ABCD 为正方形，CD AD ⊥，=PD AD D ⋂，PD 、AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥，由（1）知，EF PA ∥，所以EF CD ⊥．18.已知2()22cos f x x x =+．（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．【答案】（1）π，π2π[π,π]63k k ++，Z k ∈（2）max ()3f x =，min ()0f x =【解析】【分析】（1）结合二倍角公式及辅助角公式化简函数()f x ，结合sin y t =图象与性质求解即可.（2）先求出π26x +的范围，结合sin y t =图象与性质即可求得最值.【小问1详解】因为2π()22cos 2cos 212sin(216f x x x x x x =+=++=++，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，令ππ3π2π22π262k x k +≤+≤，Z k ∈，解得π2πππ63k x k +≤≤+，Z k ∈，所以()f x 单调递减区间为π2π[π,π]63k k ++，Z k ∈．【小问2详解】因为π[0,]2x ∈，所以ππ7π2[,]666x +∈，所以由函数图象性质知，当ππ262x +=，即π6x =时，max ()3f x =；当π7π266x +=，即π2x =时，min ()0f x =．19.如图，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =．（1）求证：平面//BAF 平面CDE ；（2）求证：平面EAC ⊥平面EBD ；（3）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）13BM BD =，证明见解析【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理得到//AF 平面CDE ，//AB 平面CDE ，再利用面面平行的判定定理，即可证明结果；（2）根据条件得到AC ⊥平面EBD ，再由面面垂直的判定定理，即可证明结果；（3）构造平行四边形，利用线面平行的判定定理，即可证明结果.【小问1详解】因为//AF DE ，AF ⊄面CDE ，DE ⊂面CDE ，所以//AF 平面CDE ，同理，//AB 平面CDE ，又AF AB A ⋂=，,AF AB ⊂面BAF ,所以平面//BAF 平面CDE .【小问2详解】因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，DE ⊥ 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，AC DE ∴⊥，BD DE D = ，,BD DE ⊂平面EBD ，AC ∴⊥平面EBD ，AC ⊂ 平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面EBD .【小问3详解】当13BM BD =时，//AM 平面BEF ，理由如下：作MN ED ∥，则MN 平行且等于13BD ，//AF DE ，3DE AF =，∴AF 平行且等于MN ，∴AMNF 是平行四边形，//AM FN ∴，AM ⊄ 平面BEF ，FN ⊂平面BEF ，//AM ∴平面BEF .20.在ABC ∆中，2sin sin sin A B C =.（Ⅰ）若π3A ∠=，求B ∠的大小；（Ⅱ）若1bc =，求ABC ∆的面积的最大值.【答案】（1）π3B ∠=，（2）．【解析】【详解】【分析】试题分析：（Ⅰ）因为2sin sin sin ,A B C =由正弦定理可得2a bc =，再利用余弦定理得所以22222122a b c bc b c bc =+-⨯=+-即b c =，所以为等边三角形．所以π3B ∠=（注：当然也可用化角来处理）；（Ⅱ）由已知可得21a bc ==．所以222221cos 22b c a b c A bc +-+-==21122bc -≥=，又sin (0,]2A ∈．所以11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤试题解析：（Ⅰ）方法一：因为2sin sin sin ,A B C =且，所以2a bc =．又因为π3A ∠=，所以22222122a b c bc b c bc =+-⨯=+-．所以2()0b c -=．所以b c =．因为π3A ∠=，所以为等边三角形．所以π3B ∠=．方法二：因为πA BC ++=，所以sin sin()C A B =+．因为2sin sin sin B C A =，π3A ∠=，所以2ππsin sin()sin 33B B +=．所以13sin cos sin )224B B B +=．所以11cos 23sin 24224B B -+⨯=．所以12cos 2122B B -=．所以πsin(2)16B -=．因为(0,π)B ∈，所以ππ112(,π)666B -∈-．所以ππ262B -=，即π3B ∠=．（Ⅱ）因为2sin sin sin ,A B C =1bc =，且，所以21a bc ==．所以222221cos 22b c a b c A bc +-+-==21122bc -≥=（当且仅当时，等号成立）．因为(0,π)A ∈，所以π(0,]3A ∈．所以sin (0,]2A ∈．所以11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤．所以当是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值．考点：三角函数的性质与解三角形21.对于数集{}12,,1,n X x x x =- ，其中120n x x x <<<⋅⋅⋅<，2n ≥，定义向量集(){},,,Y a a s t s X t X ==∈∈ ，若对任意1a Y ∈ ，存在2a Y ∈ 使得120a a ⋅= ，则称X 具有性质P ．（1）判断{}1,1,2-是否具有性质P ；（2）若2x >，且{}1,1,2,X x =-具有性质P ，求x 的值；（3）若X 具有性质P ，求证：1X ∈且当1n x >时，11x =．【答案】（1）具有性质P（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据集合新定义判断即可；（2）在Y 中取()1,2a x = ，根据数量积的坐标表示，求出可能的2a ，再根据2x >求出符合条件的值即可；（3）取()111,a x x Y =∈ ，()2,a s t Y =∈ ，由120a a ⋅= ，化简可得0s t +=，所以,s t 异号，而1-是X 中的唯一的负数，所以,s t 中之一为1-，另一个为1，从而得到1X ∈，最后通过反证法得出1n x >时，11x =.【小问1详解】{}1,1,2-具有性质P .因为{}1,1,2X =-，所以()()()()()()()()(){}1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,2,2,1,2,1,2,2Y =------，若对任意1a Y ∈ ，存在2a Y ∈ 使得120a a ⋅= ，所以X 具有性质P .【小问2详解】因为2x >，且{}1,1,2,X x =-具有性质P ，所以可取()1,2a x = ，又Y 中与()1,2a x = 垂直的元素必有形式()()()1,1,1,2,1,x ---中的一个，当()21,1a =- 时，由120a a ⋅= ，可得202x x -+=Þ=，不符合题意；当()21,2a =- 时，由120a a ⋅= ，可得404x x -+=Þ=，符合题意；当()21,a x =- 时，由120a a ⋅= ，可得200x x x -+=Þ=，不符合题意；所以4x =.【小问3详解】证明：取()111,a x x Y =∈ ，设()2,a s t Y =∈ ，满足120a a ⋅= ，所以()100s t x s t +=⇒+=，所以,s t 异号，因为1-是X 中的唯一的负数，所以,s t 中之一为1-，另一个为1，所以1X ∈，假设1k x =，其中1k n <<，则101n x x <<<，选取()11,n b x x = ，并设()2,b p q = ，满足120b b ⋅= ，所以10n px qx +=，则,p q 异号，从而,p q 之中恰有一个为1-，若1p =-，则1n x qx =，显然矛盾；若1q =-，则1n n x px p x =<<，矛盾，所以当1n x >时，11x =，综上，得证.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解集合的新定义，并用向量的数量积为零时坐标表示出所求的参数值.。
天津市滨海新区塘沽第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题(含答案)
塘沽一中2024—2025学年度第一学期高一年级期中考试数学学科试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间100分钟，试卷共4页。
卷Ⅰ答案用2B 铅笔填涂在答题纸上对应区域，卷Ⅱ答案用黑色字迹的笔答在答题纸规定区域内。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2.命题“，”的否定是（ ）A.， B.，C.， D.，3.如果a ，b ，c ，，则正确的是（ ）A.若，则B.若，，则C.若，则D.若，，则4.设a ，，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.下列函数既是偶函数，且在上单调递减的是（ ）A. B. C. D.6.已知，，，则（ ）A. B. C. D.7.已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）{}|2A x x =<}2,1,0,1,{,23B =--()R A B = ð{}3{}2;3}0,1,2,3{}2,1,{0,1,2--0x ∃>2310x x -->0x ∀>2310x x --≤0x ∀≤2310x x --≤0x ∃>2310x x --≤0x ∃≤2310x x --≤R d ∈a b >11a b<a b >c d >a c b d ->-22ac bc >a b>a b >c d >ac bd>R b ∈22a b =1133ab⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0,+∞2y x =1y x =+231y x =+21y x =32log 3a =0.23b =23log 2c =a b c>>b a c >>c b a>>b c a>>()f x ()f xA. B. C. D.8.函数的零点所在区间为（ ）A. B. C. D.9.已知国内某人工智能机器人制造厂在2023年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，）（ ）A.2029年B.2030年C.2031年D.2032年10.设正实数x ，y 满足，则（ ）A.的最大值是B.的最小值为4C.最小值为2D.最小值为211.对任意的函数，都有，，且当时，，若关于x 的方程；在区间内恰有10个不等实根，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D.12.已知函数的定义域是，对，都有，且当时，，且，则下列说法中正确的个数为（ ）①②函数在上单调递增③④满足不等式的x 的取值范围为()e e 43x xf x x --=-()e e 34x xf x x--=-()e e 48x xf x x -+=-()1x f x x =-()1ln 3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0,1()1,2()2,e ()e,320%lg 20.30≈lg 30.48≈22x y +=xy 14112x y+224x y +212x y x+R x ∈()f x ()()f x f x -=()()2f x f x =+[]1,0x ∈-()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()log 0a f x x -=[]10,10-()3,5()5,7[]5,7[]3,5()f x ()0,+∞x ∀()0,y ∈+∞()()()f x y f x f y ⋅=+1x >()0f x >113f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()10f =()f x ()0,+∞()()()()1111123202220230232022220222023f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22f x f x --≥92,4⎛⎤ ⎥⎝⎦A.1个B.2个C.3个D.4个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每小题5分，双空题答对一个给3分，共30分）13.已知函数，则函数的定义域为____________.14.____________。
湖南省长沙市2024-2025学年高一上学期期中考试 数学含答案
2024年下学期期中考试试卷高一数学（答案在最后）时量：120分钟分值：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{1,2}A =，{,}B xy x A y A =∈∈，则集合B 中元素的个数为（）A.4B.3C.2D.12.设,a b ∈R ，则“a b =”是“22a b =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.命题“a ∃∈R ，210ax +=有实数解”的否定是（）A.a ∀∈R ，210ax +≠有实数解 B.a ∃∈R ，210ax +=无实数解C.a ∀∈R ，210ax +=无实数解D.a ∃∈R ，210ax +≠有实数解4.已知集合{1,2}M =，{1,2,4}N =，给出下列四个对应关系：①1y x=，②1y x =+，③y x =，④2y x =，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（）A.①②B.①③C.②④D.③④5.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）A. B.C. D.6.若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A.02a << B.111a b+≤2≤ D.228a b +≤7.已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，则满足()0xf x <的x 的取值范围是（）A.(,2)(2,)-∞-+∞B.(0,2)(2,)+∞ C.(2,0)(2,)-+∞ D.(,2)(0,2)-∞-8.若函数2(21)2(0)()(2)1(0)b x b x f x x b x x -+->⎧=⎨-+--≤⎩，为在R 上的单调增函数，则实数b 的取值范围为（）A.1,22⎛⎤⎥⎝⎦ B.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.[]1,2 D.[2,)+∞二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数()bf x x x=+，下列说法正确的是（）A.若1b =，则函数()f x 的最小值为2B.若1b =，则函数()f x 在(1,)+∞上单调递增C.若1b =-，则函数()f x 的值域为RD.若1b =-，则函数()f x 是奇函数10.已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）的部分图象如图所示，则（）A.0abc >B.0a b +>C.0a b c ++< D.不等式20cx bx a -+>的解集为112x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭-<<11.定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x f y f x y +=+，当0x <时，()0f x >.则下列说法正确的是（）A.(0)0f = B.()f x 为奇函数C.()f x 在区间[],m n 上有最大值()f n D.()2(21)20f x f x -+->的解集为{31}x x -<<三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若36a ≤≤，12b ≤≤，则a b -的范围为________.13.定义在R 上的函数()f x 满足：①()f x 为偶函数；②()f x 在(0,)+∞上单调递减；③(0)1f =，请写出一个满足条件的函数()f x =________.14.对于一个由整数组成的集合A ，A 中所有元素之和称为A 的“小和数”，A 的所有非空子集的“小和数”之和称为A 的“大和数”.已知集合{1,0,1,2,3}B =-，则B 的“小和数”为________，B 的“大和数”为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知集合{3}A x a x a =≤≤+，集合{1B x x =<-或5}x >，全集R U =.（1）若A B =∅ ，求实数a 的取值范围；（2）若命题“x A ∀∈，x B ∈”是真命题，求实数a 的取值范围.16.（15分）已知幂函数()2()253mf x m m x =-+是定义在R 上的偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）在区间[]1,4上，()2f x kx >-恒成立，求实数k 的取值范围.17.（15分）已知关于x 的不等式(2)[(31)]0mx x m ---≥.（1）当2m =时，求关于x 的不等式的解集；（2）当m ∈R 时，求关于x 的不等式的解集.18.（17分）为促进消费，某电商平台推出阶梯式促销活动：第一档：若一次性购买商品金额不超过300元，则不打折；第二档：若一次性购买商品金额超过300元，不超过500元，则超过300元部分打8折；第三档：若一次性购买商品金额超过500元，则超过300元，不超过500元的部分打8折，超过500元的部分打7折.若某顾客一次性购买商品金额为x 元，实际支付金额为y 元.（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）若顾客甲、乙购买商品金额分别为a 、b 元，且a 、b 满足关系式45085b a a =++-320(90)a ≥，为享受最大的折扣力度，甲、乙决定拼单一起支付，并约定折扣省下的钱平均分配.当甲、乙购买商品金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付多少钱？并分析折扣省下来的钱平均分配，对两人是否公平，并说明理由．（提示：折扣省下的钱=甲购买商品的金额+乙购买商品的金额-甲乙拼单后实际支付的总额）19.（17分）经过函数性质的学习，我们知道：“函数()y f x =的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“()y f x =是奇函数”.（1）若()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()1f x x =+，求()f x 的解析式；（2）某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数()y f x =的图象关于点(,0)a 成中心对称图形”的充要条件是“()y f x a =+为奇函数”.若定义域为R 的函数()g x 的图象关于点(1,0)成中心对称图形，且当1x >时，1()1g x x=-.（i ）求()g x 的解析式；（ii ）若函数()f x 满足：当定义域为[],a b 时值域也是[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“保值”区间，若函数()tg()(0)h x x t =>在(0,)+∞上存在保值区间，求t 的取值范围.2024年下学期期中考试参考答案高一数学1.B2.A3.C4.D【详解】对于①，1y x =，当2x =时，1N 2y =∉，故①不满足题意；对于②，1y x =+，当1x =-时，110N y =-+=∉，故②不满足题意；对于③，y x =，当1x =时，1y N =∈，当2x =时，2N y =∈，故③满足题意；对于④，2y x =，当1x =时，1y N =∈，当2x =时，4N y =∈，故④满足题意. D.5.A6.C 【详解】因为0a >，0b >，当3a =，1b =时，3ab =，1114133a b +=+=，2210a b +=，所以ABC 选项错误.由基本不等式a b +≥22a b+≤=，选C.7.A 【详解】定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，故函数在(0,)+∞上单调递减，且(2)0f =，故(2)(2)0f f -=-=，函数在(2,0)-和(2,)+∞上满足()0f x <，在(,2)-∞-和(0,2)上满足()0f x >.()0xf x <，当0x <时，()0f x >，即(,2)x ∈-∞-；当0x >时，()0f x <，即(2,)x ∈+∞.综上所述：(,2)(2,)x ∈-∞-+∞ .故选A.8.C 【详解】21020221b b b ->⎧⎪-⎪≥⎨⎪-≥-⎪⎩，解得12b ≤≤.∴实数b 的取值范围是[]1,2，故选C.9.BCD 10.ACD11.ABD解：因为函数()f x 满足()()()f x f y f x y +=+，所以(0)(0)(0)f f f +=，即2(0)(0)f f =，则(0)0f =；令y x =-，则()()(0)0f x f x f +-==，故()f x 为奇函数；设12,x x ∈R ，且12x x <，则1122122()()()()f x f x x x f x x f x =-+=-+，即1212())()(0f x f x f x x -=->，所以()f x 在R 上是减函数，所以()f x 在区间[],m n 上有最大值()f m ；由2(21)(2)0f x f x -+->，得2(23)(0)f x x f +->，由()f x 在R 上减函数，得2230x x +-<，即(3)(1)0x x +-<，解得31x -<<，所以2(21)(2)0f x f x -+->的解集为{31}x x -<<，故选ABD.12.[1,5]13.21x -+（答案不唯一）14.5，80【详解】由题意可知，B 的“小和数”为(1)01235-++++=，集合B 中一共有5个元素，则一共有52个子集，对于任意一个子集M ，总能找到一个子集M ，使得M M B = ，且无重复，则M 与M 的“小和数”之和为B 的“小和数”，这样的子集对共有54222=个，其中M B =时，M =∅，考虑非空子集，则子集对有421-对，则B 的“大和数”为4(21)5580-⨯+=.故答案为：5；80.15.【详解】（1）因为3a a <+对任意a ∈R 恒成立，所以A ≠∅，又A B =∅ ，则135a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得12a -≤≤；（2）若x A ∀∈，x B ∈是真命题，则有A B ⊆，则31a +<-或5a >，所以4a <-或5a >.16.【详解】（1）因为2()(253)mf x m m x =-+是幂函数，所以22531m m -+=，解得2m =或12，又函数为偶函数，故2m =，2()f x x =；（2）原题可等价转化为220x kx -+>对[1,4]x ∈恒成立，分离参数得2k x x <+，因为对[1,4]x ∈恒成立，则min 2(k x x<+，当0x >时，2x x +≥=当且仅当2x x=即x =时取得最小值.故k <17.【详解】（1）解：当2m =时，不等式可化为(1)(5)0x x --≥解得1x ≤或5x ≥，所以当2m =时，不等式的解集是{1x x ≤或5}x ≥.（2）①当0m =时，原式可化为2(1)0x -+≥，解得1x ≤-；②当0m <时，原式可化为2((31)]0x x m m ---≤，令231m m =-，解得23m =-或1；1）当23m <-时，231m m -<.故原不等式的解为231m x m -≤≤；2）当23m =-时，解得3x =-；3）当203m -<<时，231m m <-，原不等式的解为231x m m≤≤-；③当0m >时，原式可化为2((31)]0x x m m---≥，1）当01m <<时，231m m >-，2x m∴≥或31x m ≤-；2）当1m =时，不等式为2(2)0x -≥，x ∈R ；3）当1m >时，231m m <-，31x m ∴≥-或2x m≤.综上，当23m <-时，原不等式的解集为231x m x m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭-≤≤；当23m =-时，不等式的解集为{}3x x =-；当203m -<<时，解集为231x x m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤-；当0m =时，解集为{}1x x ≤-；当01m <<时，不等式的解集是{2x x m ≥或31}x m ≤-；当1m =时，不等式的解集为R ；当1m >时，解集是{31x x m ≥-或2}x m≤.18.【详解】（1）由题意，当0300x <≤时，y x =；当300500x <≤时，3000.8(300)0.860y x x =+-=+；当500x <时，3000.8(500300)0.7(500)0.7110y x x =+-+-=+.综上，,03000.860,300500 0.7110,500x x y x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪+<⎩.（2）甲乙购买商品的金额之和为4502320(90)85a b a a a +=++≥-.45045023202(85)3201708585a b a a a a +=++=-+++--490230490550≥=⋅+=（元）当且仅当4502(85)85a a -=-即8515a -=±时，原式取得最小值.此时100a =（或70a =，舍去），550450b a =-=（元）因为550500>，则拼单后实付总金额0.7550110495M =⨯+=（元）故折扣省下来的钱为55049555-=（元）.则甲乙拼单后，甲实际支付5510072.52-=（元），乙实际支付55450422.52-=（元）而若甲乙不拼单，因为100300<，故甲实际应付100a '=（元）；300450500<<，乙应付0.845060420b '=⨯+=（元）.因为420元<422.5元，若按照“折扣省下来的钱平均分配”的方式，则乙实付金额b 比不拼单时的实付金额b '还要高，因此该分配方式不公平.（能够答出“乙购买的商品的金额是甲购买商品的金额的4.5倍，则乙应减的价钱应是甲的4.5倍，故不公平”之类的答案的可酌情给分）答：当甲、乙的购物金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付495元.若按“折扣省下来的钱平均分配”的方式拼单，则拼单后乙实付422.5元，比不拼单时的实付420元还要高，因此这种方式对乙不公平.19.【详解】（1）()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，0x -<，所以()()f x f x =--()2211x x ⎡⎤=--+=--⎣⎦，又()00f =，所以()221,00,01,0x x f x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪-->⎩；（2）（i ）因为定义域为R 的函数()g x 的图象关于点()1,0成中心对称图形，所以()1y g x =+为奇函数，所以()()11g x g x +=--，即()()2g x g x =--，1x <时，21x ->，所以()()1121122g x g x x x ⎛⎫=--=--=-+ ⎪--⎝⎭.所以()11,111,12x xg x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪-⎩；（ii ）()()()11,1tg 011,12t x x h x x t t x x ⎧⎛⎫⋅-≥ ⎪⎪⎪⎝⎭==>⎨⎛⎫⎪⋅-+< ⎪⎪-⎝⎭⎩，a ）当()0,1x ∈时，()11()11022h x t t t x x ⎛⎫⎛⎫=⋅-+=⋅--> ⎪ --⎝⎭⎝⎭在()0,1单调递增，当()[,]0,1a b ⊆时，则112112t a a t bb ⎧⎛⎫⋅--= ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅--= ⎪⎪-⎝⎭⎩，即方程112t x x ⎛⎫⋅--= ⎪-⎝⎭在()0,1有两个不相等的根，即()220x t x t +--=在()0,1有两个不相等的根，令()()()22,0m x x t x t t =+-->，因为()()0011210m t m t t ⎧=-<⎪⎨=+--=-<⎪⎩，所以()220x t x t +--=不可能在()0,1有两个不相等的根；b ）当()1,x ∈+∞时，()()110h x t t x ⎛⎫=⋅-=> ⎪⎝⎭在()1,+∞单调递增，当()[,]1,a b ⊆+∞时，则1111t a a t bb ⎧⎛⎫⋅-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即方程11t x x ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭在()1,+∞有两个不相等的根，即20x tx t -+=在()1,+∞有两个不相等的根，令()()2,0n x x tx t t =-+>，则有()2110022212n t t t t t n t t t⎧=-+>⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+<⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，解得4t >.c ）当01a b <<<时，易知()g x 在R 上单调递增，所以()()()tg 0h x x t =>在()0,+∞单调递增，此时11211t a a t bb ⎧⎛⎫⋅--= ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()()()()2222211221111111211112111a a a a a t a a a a a b b b t b b b b ⎧---+-====-+⎪⎪----⎨-+-+⎪===-++⎪---⎩令()()()11,011r a a a a =--+<<-，则易知()r a 在()0,1递减，所以()()00r a r <=即0t <，又1b >时，()112241t b b =-++≥=-，当且仅当()111b b -=-，即2b =时取等，以()()110111241t a a t b b ⎧=-+<⎪⎪-⎨⎪=-++≥⎪-⎩，此时无解；t 的范围是()4,+∞.。
2023-2024学年天津市南开区高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年天津市南开区高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项只有一项是符合题目要求的）1．下列给出的对象能构成集合的有（）①某校2023年入学的全体高一年级新生；②√2的所有近似值；③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式3x﹣10＜0的所有正整数；A．1个B．2个C．3个D．4个2．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则p的否定为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∃n∈N，n2＝2n D．∀n∈N，n2≤2n3．已知集合M＝{a|65−a∈N+，且a∈Z}，则M等于（）A．{2，3}B．{1，2，3，4}C．{1，2，3，6}D．{﹣1，2，3，4} 4．已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．下列各组函数不是同一函数的是（）A．f（x）＝4x﹣1，g（x）=2(x−1)2B．f（x）＝x（x≠0），g（x）=x 2xC．f（x）=1|x|，g（x）=1√x2D．f（x）＝|x﹣2|，g（t）={t−2，t≥22−t，t＜26．已知奇函数y＝f（x）为R上的减函数，且在区间[﹣4，3]上的最大值为8，最小值为﹣6，则f（﹣3）+f（4）的值为（）A．﹣1B．﹣2C．1D．27．已知有限集M，N，定义集合M﹣N＝{x|x∈M，且x∉N}，|M|表示集合M中的元素个数．若M＝{﹣1，0，1，3}，N＝{1，3，5}，则|（M﹣N）∪（N﹣M）|＝（）A．3B．4C．5D．6（多选）8．若a＞0，b＞0，与不等式﹣b＜1x＜a不等价的是（）A．−1b ＜x＜0或0＜x＜1aB．−1a＜x＜1bC ．x ＜−1a 或x ＞1bD ．x ＜−1b 或x ＞1a9．从盛装20升纯酒精的容器里倒出1升酒精，然后用水加满，再倒出1升酒精溶液，再用水加满，照这样的方法继续下去，如果第k 次时共倒出了纯酒精x 升，则倒出第k +1次时，共倒出了纯酒精f （x ）的表达式是（ ） A ．f(x)=1920x +1 B ．f(x)=120x +1 C ．f(x)=1920(x +1) D ．f(x)=120x 10．已知函数f （x ）={−3x ，x ≥02x −x 2，x ＜0，若 f （2﹣a 2）＞f （﹣|a |），则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣2，﹣1）∪（1，2）B ．(−2，−√2)∪(√2，2)C ．（﹣2，0）∪（0，2）D ．（﹣1，0）∪（0，1）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.）11．已知幂函数f （x ）＝（k +4）x α的图象过点（8，2），则k α＝ ． 12．函数y =1√7−6x−x 2的定义域为 ．13．设集合A ＝{2，a +2，2a 2+a }，若3∈A ，则a ＝ ． 14．函数y =(12)x 4+14x 的值域为 ．15．已知函数f （x ）＝9x ﹣m •3x +m +6，若方程f （﹣x ）+f （x ）＝0有解，则实数m 的取值范围是 ． 三、解答题：（本大题共5个小题，共55分。
2023-2024学年湖南省怀化市高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖南省怀化市高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知A＝{1，3，5，7}，B＝{2，4，6，7，8}，则A∪B＝（）A．{x|1＜x＜8}B．[1，8]C．{7}D．{1，2，3，4，5，6，7，8}2．若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0在R上有解，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[−14，+∞)C．（﹣∞，1]D．[−14，2]3．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（）A．y＝x+1B．y＝x3C．y=−1xD．y＝x44．黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中（例如图中所示的建筑）．黄金三角形有两种，一种是顶角为36°，底角为72°的等腰三角形，另一种是顶角为108°，底角为36°的等腰三角形，则“△ABC中有一个角是36°”是“△ABC为黄金三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知f（x）＝（m2+m﹣5）x m为幂函数，则（）A．f（x）在（﹣∞，0）上单调递增B．f（x）在（﹣∞，0）上单调递减C．f（x）在（0，+∞）上单调递增D．f（x）在（0，+∞）上单调递减6．如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则以下说法中错误的是（）A．（a+b）2≥4ab B．当a＝b时，A1，B1，C1，D1四点重合C．（a﹣b）2≤4ab D．（a+b）2＞（a﹣b）27．血药浓度（PlasmaConcentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间，已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的个数是（）①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒A．0个B．1个C．2个D．3个8．已知正数x，y满足3xy+y2﹣4＝0，则3x+5y的最小值为（）A．1B．4C．8D．16二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知集合A＝{﹣1，1}，集合B＝{x|ax﹣1＝0}，若A∩B＝B，则a的取值可能是（）A．2B．﹣1C．1D．010．已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集是{x|x≤﹣2或x≥6}，则下列说法正确的是（）A．a＜0B．不等式bx+c＞0的解集是{x|x＜﹣3}C．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是{x|−16＜x＜12}D．a+b+c＞011．关于函数f(x)=√x 2−x 4|x|的性质的描述，正确的是（ ）A ．f （x ）的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]B ．f （x ）的值域为（﹣1，1）C ．f （x ）的图象关于y 轴对称D ．f （x ）在定义域上是增函数12．已知f （x ）是定义在R 上的不恒为零的函数，对于任意a ，b ∈R 都满足f （ab ）＝af （b ）+bf （a ），则下述正确的是（ ）A ．f （0）＝0B ．f （1）＝0C ．f （x ）是偶函数D ．若f （2）＝2，则f(−12)=12 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上的相应横线上.13．命题“∃x ∈Q ，使得x +√3＞0”的否定是 ．14．已知f(1x)=x +2，则f （2）＝ ． 15．若函数f （x ）定义域为[1，5]，则函数f （2x +1）的定义域为 ．16．奇函数f （x ）满足：对任意x 1，x 2∈（0，+∞），x 1≠x 2，都有[f （x 1）﹣f （x 2）]（x 2﹣x 1）＞0且f （2）＝0，则不等式3f(x)−2f(−x)x ＞0的解集为 ．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，求∁R （A ∪B ），（∁R A ）∩B ．18．（12分）已知函数f(x)=2+x−2|x|3(−2＜x ≤3)． （1）用分段函数的形式表示函数f （x ）；（2）画出函数f （x ）的图象；（3）写出函数f （x ）的值域．19．（12分）已知函数f(x)=ax +b x，且f （1）＝5，f （2）＝4．（1）求实数a ，b 的值；（2）用函数单调性定义证明：函数f （x ）在区间（﹣∞，﹣2]上单调递增．20．（12分）已知一次函数f （x ）满足f （x ）+2f （﹣x ）＝﹣3x ﹣6．（1）求f （x ）的解析式；（2）求函数g （x ）＝xf （x ）在[0，t ]上的最小值（其中t 为常数）．21．（12分）已知函数y ＝（a +1）x 2﹣（a +1）x +1（a ∈R ）．（1）若关于x 的不等式y ≥0的解集为R ，求实数a 的取值范围；（2）若关于x 的不等式y ≤0的解集是P ，集合Q ＝{x |0≤x ≤1}，若P ∩Q ＝∅，求实数a 的取值范围．22．（12分）“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元．例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额130−5×[13060]=130−5×2=120元，其中[x ]表示不大于x 的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额860−5×[86060]−40×1=750元．（1）小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；（2）已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？2023-2024学年湖南省怀化市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知A＝{1，3，5，7}，B＝{2，4，6，7，8}，则A∪B＝（）A．{x|1＜x＜8}B．[1，8]C．{7}D．{1，2，3，4，5，6，7，8}解：因为A＝{1，3，5，7}，B＝{2，4，6，7，8}，所以A∪B＝{1，2，3，4，5，6，7，8}．故选：D．2．若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0在R上有解，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[−14，+∞)C．（﹣∞，1]D．[−14，2]解：因为：“∃x∈R，使x2﹣x﹣m＝0”为真命题，则即m＝x2﹣x有解，设f（x）＝x2﹣x，对称轴方程为x=12，则f（x）≥f(12)=−14，则要使：∃x∈R，使x2﹣x﹣m＝0，只需m≥−1 4．故选：B．3．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（）A．y＝x+1B．y＝x3C．y=−1xD．y＝x4解：函数y＝x+1不为奇函数，故A错误；函数y＝x3在R上为奇函数，且为增函数，故B正确；函数y=−1x为奇函数，但在定义域内不单调，故C错误；函数y＝x4为偶函数，故D错误．故选：B．4．黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中（例如图中所示的建筑）．黄金三角形有两种，一种是顶角为36°，底角为72°的等腰三角形，另一种是顶角为108°，底角为36°的等腰三角形，则“△ABC中有一个角是36°”是“△ABC为黄金三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：若△ABC中有一个角是36°且△ABC不是等腰三角形，则△ABC不是黄金三角形，反之，若△ABC为黄金三角形，则△ABC中必有一个角是36°．因此，“△ABC中有一个角是36°”是“△ABC为黄金三角形”的必要不充分条件．故选：B．5．已知f（x）＝（m2+m﹣5）x m为幂函数，则（）A．f（x）在（﹣∞，0）上单调递增B．f（x）在（﹣∞，0）上单调递减C．f（x）在（0，+∞）上单调递增D．f（x）在（0，+∞）上单调递减解：因为f（x）＝（m2+m﹣5）x m是幂函数，所以m2+m﹣5＝1，解得m＝2或m＝﹣3，所以f（x）＝x2或f（x）＝x﹣3，对于f（x）＝x2，函数在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减；对于f（x）＝x﹣3，函数在（0，+∞）上单调递减，且为奇函数，所以在（﹣∞，0）上单调递减；故只有B选项“f（x）在（﹣∞，0）上单调递减”符合这两个函数的性质．故选：B．6．如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则以下说法中错误的是（）A．（a+b）2≥4ab B．当a＝b时，A1，B1，C1，D1四点重合C．（a﹣b）2≤4ab D．（a+b）2＞（a﹣b）2解：对于A：由图可知：正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和，即有（a+b）2≥4ab，故A正确；对于B：正方形A1B1C1D1的面积为（a﹣b）2，当a＝b时，正方形A1B1C1D1的面积为0，故B正确；对于C：结合图象正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和的大小关系不定，故C错误；对于D：结合图象（a+b）2＞（a﹣b）2，当且仅当a＝b时，A1，B1，C1，D1四点重合，故D正确．故选：C．7．血药浓度（PlasmaConcentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间，已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的个数是（）①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒A．0个B．1个C．2个D．3个解：由图可知，首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用所以①正确；服用该药物1单位后，药物的持续作用时间约为5.5小时，所以②错误，③正确；首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，累计浓度会超过最低中毒浓度，会发生药物中毒，所以④错误．所以正确的有①③，故选：C．8．已知正数x，y满足3xy+y2﹣4＝0，则3x+5y的最小值为（）A．1B．4C．8D．16解：∵正数x，y满足3xy+y2﹣4＝0，∴y（3x+y）＝4即3x+y=4y，则3x+5y＝3x+y+4y＝4y+4y≥2√4y⋅4y=8，当且仅当4y=4y即y＝1，x＝1时取等号，此时3x+5y取得最小值8，故选：C．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知集合A＝{﹣1，1}，集合B＝{x|ax﹣1＝0}，若A∩B＝B，则a的取值可能是（）A．2B．﹣1C．1D．0解：∵A∩B＝B，∴B⊆A，当a＝0时，集合B为∅，符合题意，当a≠0时，集合B={1a}，则1a=−1或1a=1，解得a＝﹣1或a＝1，综上所述，a的取值为0或1或﹣1．故选：BCD．10．已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集是{x|x≤﹣2或x≥6}，则下列说法正确的是（）A．a＜0B．不等式bx+c＞0的解集是{x|x＜﹣3}C．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是{x|−16＜x＜12}D．a+b+c＞0解：对于A，因为关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集是{x|x≤﹣2或x≥6}，则a＜0，选项A正确；对于B，由题意可知，关于x的方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝﹣2，x2＝6，由韦达定理可得6−2=−ba，即b＝﹣4a，−2×6=ca，所以c＝﹣12a，由bx+c＞0可得﹣4ax﹣12a＞0，解得x＞﹣3，选项B错误；对于C，由cx2﹣bx+a＜0可得﹣12ax2+4ax+a＜0，即12x2﹣4x﹣1＜0，解得−16＜x＜12，因此，不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是{x|−16＜x＜12}，选项C正确；对于D，由b＝﹣4a，c＝﹣12a，且a＜0，得a+b+c＝﹣15a＞0，选项D正确．故选：ACD．11．关于函数f(x)=√x2−x4|x|的性质的描述，正确的是（）A．f（x）的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]B．f（x）的值域为（﹣1，1）C ．f （x ）的图象关于y 轴对称D ．f （x ）在定义域上是增函数解：当x ≠0时，f(x)=√x 2−x 4|x|=|x|√1−x 2|x|=√1−x 2，故1﹣x 2≥0，解得﹣1≤x ≤1且x ≠0，A 正确； 因为0≤1﹣x 2＜1，所以0≤f （x ）＜1，B 错误，因为f （﹣x ）=√1−(−x)2=√1−x 2=f （x ），故f （x ）为偶函数，图象关于y 轴对称，C 正确； 结合 C 可知f （x ）为偶函数，在定义域上不单调，D 错误．故选：AC ．12．已知f （x ）是定义在R 上的不恒为零的函数，对于任意a ，b ∈R 都满足f （ab ）＝af （b ）+bf （a ），则下述正确的是（ ）A ．f （0）＝0B ．f （1）＝0C ．f （x ）是偶函数D ．若f （2）＝2，则f(−12)=12 解：f （x ）是定义在R 上的不恒为零的函数，对于任意a ，b ∈R 都满足f （ab ）＝af （b ）+bf （a ），对于A ，令a ＝b ＝0，则f （0）＝0f （0）+0f （0）＝0，故A 正确；对于B ，令a ＝b ＝1，则f （1）＝1f （1）+1f （1）＝2f （1），则f （1）＝0，故B 正确；对于C ，令a ＝b ＝﹣1，则f （1）＝﹣f （﹣1）﹣f （﹣1）＝﹣2f （﹣1），∴f （﹣1）＝0，又令a ＝﹣1，b ＝x ，则f （﹣x ）＝﹣f （x ）+xf （﹣1）＝﹣f （x ）+0＝﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数，故C 错误；对于D ，令a ＝2，b =−12，则f （﹣1）＝f [2×（−12）]＝2f （−12）−12f （2）＝2f （−12）﹣1＝0， ∴若f （2）＝2，则f(−12)=12，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上的相应横线上.13．命题“∃x ∈Q ，使得x +√3＞0”的否定是 ∀x ∈Q ，都有x +√3≤0 ．解：根据存在量词命题的否定是全称量词命题知：命题“∃x ∈Q ，使得x +√3＞0”的否定是∀x ∈Q ，都有x +√3≤0．故答案为：∀x ∈Q ，都有x +√3≤0．14．已知f(1x )=x +2，则f （2）＝ 52． 解：∵f(1x )=x +2，∴f （x ）=1x +2，则f （2）=12+2=52，故答案为：5 2．15．若函数f（x）定义域为[1，5]，则函数f（2x+1）的定义域为[0，2]．解：由题得1≤2x+1≤5，解得0≤x≤2．故函数f（2x+1）的定义域为[0，2]．故答案为：[0，2]．16．奇函数f（x）满足：对任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，都有[f（x1）﹣f（x2）]（x2﹣x1）＞0且f（2）＝0，则不等式3f(x)−2f(−x)x＞0的解集为（﹣2，0）∪（0，2）．解：因为对任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，都有[f（x1）﹣f（x2）]（x2﹣x1）＞0，即[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0，所以f（x）在（0，+∞）上递减，又因为f（x）是奇函数，所以f（x）在（﹣∞，0）上递减，f（﹣2）＝﹣f（2）＝0，则当f（x）＜0时，x＞2或﹣2＜x＜0，当f（x）＞0时，x＜﹣2或0＜x＜2，因为f（x）＝﹣f（﹣x），所以不等式3f(x)−2f(−x)x＞0等价于5f(x)x＞0，即f(x)x＞0，则有{f(x)＞0x＞0或{f(x)＜0x＜0，解得﹣2＜x＜0或0＜x＜2，所以不等式3f(x)−2f(−x)x＞0的解集为（﹣2，0）∪（0，2）．故答案为：（﹣2，0）∪（0，2）．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求∁R（A∪B），（∁R A）∩B．解：（1）∵A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，∴A∪B＝{x|2＜x＜10}，∴∁R（A∪B）＝{x|x≤2或x≥10}；（2）∵A＝{x|3≤x＜7}，∴∁R A＝{x|x＜3或x≥7}，又∵B＝{x|2＜x＜10}，∴（∁R A）∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}．18．（12分）已知函数f(x)=2+x−2|x|3(−2＜x≤3)．（1）用分段函数的形式表示函数f（x）；（2）画出函数f（x）的图象；（3）写出函数f （x ）的值域．解：（1）当0＜x ≤3时，f （x ）＝2+x−2x 3=2−x 3， 当﹣2＜x ≤0时，f （x ）＝2+x+2x 3=x +2， 综上，函数f （x ）的解析式为f （x ）={x +2，−2＜x ≤02−x 3，0＜x ≤3； （2）图象过点（﹣2，0），（0，2），（3，1），其中点（﹣2，0）是空点，（0，2）和（3，1）是实心点，函数f （x ）的图象如图所示：（3）由图得函数f （x ）的值域为（0，2]．19．（12分）已知函数f(x)=ax +b x，且f （1）＝5，f （2）＝4． （1）求实数a ，b 的值；（2）用函数单调性定义证明：函数f （x ）在区间（﹣∞，﹣2]上单调递增．解：（1）根据题意，f(x)=ax +b x∴{f(1)=a +b =5f(2)=2a +b 2=4，∴{a =1b =4； （2）证明：由（1）可知f(x)=x +4x， ∀x 1，x 2∈（﹣∞，﹣2]，且x 1＞x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(x 1+4x 1)−(x 2+4x 2)=(x 1−x 2)+(4x 1−4x 2) =(x 1−x 2)+4(x 2−x 1)x 1x 2=(x 1−x 2)(1−4x 1x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−4x 1x 2)， ∵x 1−x 2＞0，4−x 1x 2x 1x 2＞0 ∴f （x 1）＞f （x 2）；故函数f （x ）在区间（﹣∞，﹣2]上单调递增．20．（12分）已知一次函数f （x ）满足f （x ）+2f （﹣x ）＝﹣3x ﹣6．（1）求f （x ）的解析式；（2）求函数g （x ）＝xf （x ）在[0，t ]上的最小值（其中t 为常数）．解：（1）∵f （x ）+2f （﹣x ）＝﹣3x ﹣6①，∴f （﹣x ）+2f （x ）＝3x ﹣6②，由﹣②×2﹣①得 3f （x ）＝2×（3x ﹣6）﹣（﹣3x ﹣6），∴f （x ）＝3x ﹣2．（2）由（1）可知g （x ）＝x （3x ﹣2）＝3x 2﹣2x ，∴g(x)=3x 2−2x =3(x −13)2−13，其中x ∈[0，t ]， 若0＜t ≤13，则函数g(x)=3(x −13)2−13在[0，t ]上单调递减， 此时g （x ）的最小值为g （t ）＝3t 2﹣2t ，若t ＞13，则函数g(x)=3(x −13)2−13在(0，13)上单调递减，在(13，t)上单调递增， 此时g （x ）的最小值为g(13)=−13． 综合上述，g(x)min ={3t 2−2t ，0＜t ≤13−13，t ≥13． 21．（12分）已知函数y ＝（a +1）x 2﹣（a +1）x +1（a ∈R ）．（1）若关于x 的不等式y ≥0的解集为R ，求实数a 的取值范围；（2）若关于x 的不等式y ≤0的解集是P ，集合Q ＝{x |0≤x ≤1}，若P ∩Q ＝∅，求实数a 的取值范围． 解：（1）由题设y ＝（a +1）x 2﹣（a +1）x +1≥0在x ∈R 恒成立，显然a +1＝0，即a ＝﹣1时y ＝1＞0，满足在x ∈R 上恒成立；由{a +1＞0Δ=(a +1)2−4(a +1)≤0⇒{a +1＞0a −3≤0⇒−1＜a ≤3； 综上所述a 的取值范围为[﹣1，3]．（2）由题设y ＝f （x ）＝（a +1）x 2﹣（a +1）x +1＞0在x ∈[0，1]上恒成立，当a +1＝0，即a ＝﹣1时y ＝1＞0，满足在x ∈[0，1]上恒成立；当a +1≠0时，函数对称轴为x =12∈[0，1]， 当a +1＞0，即a ＞﹣1时，只需Δ＝（a +1）2﹣4（a +1）＜0，即a ＜3，故﹣1＜a ＜3；当a +1＜0，即a ＜﹣1时，只需f （1）＝（a +1）﹣（a +1）+1＝1＞0，也满足题设；综上，a 的取值范围为（﹣∞，3）．22．（12分）“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元．例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额130−5×[13060]=130−5×2=120元，其中[x ]表示不大于x 的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额860−5×[86060]−40×1=750元．（1）小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；（2）已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？ 解：（1）分两次支付：支付额为250−5×[25060]+650−5×[65060]−40=230+600−40=790元， 一次支付：支付额为900−5×[90060]−40×2=745元 因为745＜790，所以一次支付好．（2）设购买x （x ∈N *）件，平均价格为y 元/件．由于预算不超过500元，最多购买19件， 当1≤x ≤14时，不能享受每满400元再减40元的优惠，当1≤x ≤14时，y =1x (30x −5×[30x 60])=30−5x ×[x 2]，n ∈N *， 当x ＝2n 时，y =30−52n×n =27.5，n ∈N *． 当x ＝2n +1时，y =30−52n+1×n =30−52+52(2n+1)＞27.5，n ∈N *． 所以当1≤x ≤14时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件．当15≤x≤19时，能享受每满400元再减40元的优惠y=1x(30x−5×[30x60]−40)=30−5x×[x2]−40x，当x＝2n时，y=30−52n×n−402n=27.5−20n，当n＝8，x＝16时，y min＝25当x＝2n+1时，y=30−5 2n+1×n−402n+1=30−52−752(2n+1)，y随着n的增大而增大，所以当n＝7，x＝15时，y min＝25．综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件．。
广东省深圳市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)
2024-2025学年高一年级第一学期中考试数学试卷考试时长：120分钟 卷面总分：150分本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷为1-11题，共58分，第Ⅱ卷为12-19题，共92分.全卷共计100分.考试时间为120分钟.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.命题“”的否定是（ ）A. B.C.D.3.已知幂函数图象过点，则等于（ ）A.12B.19C.24D.364.已知函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则等于（）A.B.1C.17D.255.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.6.若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为（ ）A. B.或C.或 D.或7.若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）A. B. C. D.{}1,0,1,2,3,{12}A B xx =-=-<∣…A B ⋂={}1,0-{}1,0,1-{}0,1{}0,1,22,12x x x ∀∈>-R 2,12x x x ∀∈<-R 2,12x x x ∀∈-R …2,12x x x ∃∈-R …2,12x x x∃∈<-R ()fx )2P ()6f ()245f x x mx =-+[)2,∞-+(,2]∞--()1f 7-x ∃∈R ()()22210m x m x -+-+...m 6m >26m <<26m < (2)m …()f x [)0,∞+()21f -=()1f x >{22}x x -<<∣{2xx <-∣2}x >{2xx <-∣02}x <<{2xx >∣20}x -<<()21f x -[]3,1-y ={}131,2⎛⎤ ⎥⎝⎦35,22⎛⎤ ⎥⎝⎦51,2⎛⎤⎥⎝⎦8.若，且，则的最小值为（ ）A.B.C.D.二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.命题“，都有”的否定是“，使得”B.当时，的最小值为C.若不等式的解集为，则D.“”是“”的充分不必要条件10.下列说法正确的是（ ）A.与B.命题，则C.已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是D.函数的值域为11.已知函数，则下列判断中正确的有（ ）A.存在，函数有4个根B.存在常数，使为奇函数C.若在区间上最大值为，则的取值范围为或D.存在常数，使在上单调递减三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，集合，若，则__________.13.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是__________.a b >2ab =22(1)(1)a b ab-++-24-4-2-0x ∀>21x x >-0x ∃…21x x -…1x >121x x +-2+220ax x c ++>{12}xx -<<∣2a c +=1a >11a<y =y =:,01x p x x ∀∈>-R :,01x p x x ⌝∃∈≤-R ()()()2511x ax x f x ax x ⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩R a []3,1--1y x =-+1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭(),f x x x a a =-∈R k ∈R ()y f x k =-a ()f x ()f x []0,1()1f a 2a ≤-2a ≥a ()f x []1,3{}1,3,2A m =-{}23,B m =B A ⊆m =()1ax f x x a-=-()2,∞+a14.若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知：关于的不等式的解集为：不等式的解集为.（1）若，求；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.16.（15分）某开发商计划2024年在泉州开发新的游玩项目，全年需投入固定成本300万元，若该项目在2024年有万人游客，则需另投入成本万元，且该游玩项目的每张门票售价为60元.（1）求2024年该项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）；（2）当2024年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少.17.（15分）已知满足.（1）求的最小值；（2）若恒成立，求的取值范围.18.（17分）已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）判断函数在（上的单调性，并用定义证明；（3）解不等式.19.（17分）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得.()()()2224,02,0x x x f x x x ⎧-+>⎪=⎨≤⎪⎩()1,32a a --a p x ()224300x ax a a -+>…,A q 502x x -≤-B 1a =A B ⋂p q a x ()R x ()()225,(05)20100,(520),90061565,20x R x x x x x x x ⎧⎪<<⎪=+-≤<⎨⎪⎪+-≥⎩()W x x ,0x y >6x y +=3y x y+()2244x y m x y +≥+m ()24ax b f x x +=+()2,2-()115f =()f x ()f x 2,2)-()()210f t f t +->R ()f x ,x y ∀∈R ()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+0x >()0f x >x ∈R ()1f x =（1）求证：为奇函数；（2）求证：在上单调递增；2024-2025学年第一学期期中考试高一年级数学试卷答案一､选择题（共小题）题号1234567891011()f x ()f x R 11选项B C D D C B D D BCD AD BC三､填空题（共3小题）12.13.14.四､解答题（共5小题）15.解：（1）：关于的不等式的解集为：不等式的解集为.当时，，解得，所以，又，所以，解得，所以，所以；（2）若是的必要不充分条件，则是的真子集，由（1）知时，集合，所以，则，又时，，符合是的真子集，时，，符合是的真子集，所以，综上，实数的取值范围为.16.解：（1）某开发商计划2024年全年投入固定成本300万元，若该项目在2024年有万人游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为60元，则，又，2-(,1)(1,2]∞--⋃[)0,1p x ()224300x ax a a -+>…,A q 502x x --…B 1a =2430x x -+…13x ……{}13A xx =∣ (5)02x x --…()()52020x x x ⎧--⎨-≠⎩…25x <…{25}B xx =<∣…{23}A B xx ⋂=<∣…p q B A ()22{25},4300B xx x ax a a =<-+>∣……0a >{}3A xa x a =∣……235a a ⎧⎨⎩ (5)23a ……2a ={}26A xx =∣……B A 53a =553A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭……B A 523a ……a 523aa ⎧⎫⎨⎬⎩⎭……x ()R x ()225,0520100,52090061565,20x R x x x x x x x ⎧⎪<<⎪=+-<⎨⎪⎪+-⎩……()()60300W x x R x =--()225,0520100,52090061565,20x R x x x x x x x ⎧⎪<<⎪=+-<⎨⎪⎪+-⎩……所以，即W ；（2）当时，单调递增，且当时，所以，当时，，则在上单调递增，所以，当时，，当且仅当即时等号成立，故，，综上，游客为30万人时利润最大，最大为205万.17.解：（1），当且仅当，即时取等号，即取得最小值.（2）由，得，即，不等式恒成立，即恒成立，()()26030025,056030020100,5209006030061565,20x x W x x x x x x x x x ⎧⎪--<<⎪⎪=--+-<⎨⎪⎛⎫⎪--+- ⎪⎪⎝⎭⎩……()260325,0540200,520900265,20x x x x x x x x x ⎧⎪-<<⎪=-+-<⎨⎪⎪--+⎩……05x <<60325y x =-5x =25y =-()25W x <-520x <…()2240200(20)200W x x x x =-+-=--+()W x ()5,20()200W x <20x …()900900265265265205W x x x x x ⎛⎫=--+=-++-+= ⎪⎝⎭ (900)x x=30x =()max 205W x =20520025>>- ()33211211213113122y y x y x x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+-=+-=++-=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭113122⎛+-=+ ⎝…2y xx y=()62,61x y =-=3y x y +12+0,0,6x y x y >>+=60x y =->06y <<()2244x y m x y ++…2244x y m x y++…，当且仅当，即时取等号，因此当时，取得最小值，则，所以的取值范围.18.解：（1）函数是定义在上的奇函数，则，即，因为，解得，则，经检验，是奇函数.（2）在（上为增函数，证明如下：设，则，由于，则，即，又，则有，则在上是增函数.（3）由题意可得，在上为单调递增的奇函数，由可得，所以，解得，，故的范围为.19.解：（1）证明：的定义域为，关于原点对称，令，得，解得或，又不存在，使得，故，令，得，故，即，因此为奇函数；()()()2222225(2)322804(6)4512364363232y y x y y y y y x y y y y +-+++-+-+===++++()5163253282323333y y ⎡⎤=++-⋅=⎢⎥+⎣⎦…1622y y +=+2y =4,2x y ==2244x y x y ++8383m …m 83m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ (2)4ax bx ++()2,2-()004bf ==0b =()11145a f ==+1a =()24xf x x =+()f x ()f x 2,2)-22m n -<<<()()()()()()222244444m n mn m nf m f n m n m n ---=-=++++22m n -<<<0,4m n mn -<<40mn ->()()22440m n++>()()0f m f n -<()f x ()2,2-()f x ()2,2-()()210f t f t +->()()()211f t f t f t >--=-2212t t >>->-131t <<t 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x R 0x y ==()()()220010f f f =+()00f =()01f =±x ∈R ()1f x =()00f =y x =-()()()()()()001f x f x f x x f f x f x +--===+-()()0f x f x +-=()()f x f x -=-()f x（2）证明：时，，则，当且仅当，等号成立，又不存在，使得，则，于是时，，又为奇函数，则时，，于是对，任取，则，而，又，则，于是，故，因此在上单调递增；0x >0,022x x f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭()22212212x f x x f x f x f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=+= ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭…12x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭x ∈R ()1f x =12x f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭0x >()01f x <<()f x 0x <()()()1,0f x f x =--∈-(),11x f x ∀∈-<<R 12x x <()21210,0x x f x x ->->()()()()()()()()()()212121212121011f x f x f x f x f x x f x x f x f x f x f x +--⎡⎤-=+-==>⎣⎦+--()()()12,1,1f x f x ∈-()()()121,1f x f x ∈-()()1210f x f x ->()()()()21210,f x f x f x f x ->>()f x R。
北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
2024年高一第一学期期中试卷数学（答案在最后）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合{}31M x x =-<<，{}14N x x =-≤<，则M N = （）A.{}31x x -<< B.{}3x x >- C.{}11x x -≤< D.{}4x x <2.设命题p ： n ∃∈N ，225n n >+，则p 的否定是（）A. n ∀∈N ，225n n >+ B. n ∀∈N ，225n n ≤+C.n ∃∈N ，225n n ≤+ D.n ∃∈N ，N 225n n <+3.下列各组函数中，两个函数相同的是（）A.3y =和y x=B.2y =和y x=C.y =和2y =D.y =和2x y x=4.下列函数在区间()0,+∞上为增函数的是（）A.2xy = B.()21y x =- C.1y x-= D.3xy -=5.若实数a ，b 满足a b >，则下列不等式成立的是（）A.a b> B.a c b c+>+ C.22a b > D.22ac bc>6.“4a ≥”是“二次函数()2f x x ax a =-+有零点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在下列区间中，一定包含函数()25xf x x =+-零点的区间是（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,48.已知函数()1,01,0x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（）A.()1,2 B.(),2-∞- C.()(),12,-∞+∞ D.(][),12,-∞+∞ 9.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠，都有()()21210f x f x x x -<-，且()30f =，则不等式()0f x >的解集是（）A.()(),30,3-∞-B.()()3,03,-+∞C.()3,3- D.()(),33,-∞-+∞ 10.现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数()()2e 0,e 2.71828ex xa bf x ab +=≠=⋅⋅⋅来表示.下列结论正确的是（）A.若0ab >，则()f x 为奇函数B.若0ab >，则()f x 有最小值C.若0ab <，则()f x 为增函数D.若0ab <，则()f x 存在零点二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.函数()f x =的定义域为__________.12.已知函数()()1104f x x x x=++>，则当且仅当x =_________时，()f x 有最小值________.13.已知集合{}2,0A a =，{}3,9B a =-，若满足{}9A B = ，则实数a 的值为________.14.已知函数()y f x =在R 上是奇函数，当0x ≤时，()21xf x =-，则()1f =________；当0x >时，()f x =________.15.已知非空集合A ，B 满足以下四个条件：①{}1,2,3,4,5,6A B = ；②A B =∅ ；③A 中的元素个数不是A 中的元素；④B 中的元素个数不是B 中的元素.（ⅰ）如果集合A 中只有1个元素，那么集合A 的元素是__________；（ⅱ）有序集合对(),A B 的个数是__________.三、解答题（共6小题，第16题9分，第17-19题6分，第20题7分，第21题6分）16.已知集合{}14A x x =-≤≤，{}11B x a x a =-≤≤+.（1）若4a =，求A B ；（2）若A B A = ，求a 的取值范围.17.解下列关于x 的不等式：（1）2112x x +≤-（2）213x -≥（3）()()2220ax a x a +--≥∈R 18.已知函数()22xxf x a -=⋅-是定义在R 上的奇函数.（1）求a 的值，并用定义法证明()f x 在R 上单调递增；（2）解关于x 的不等式()()23540f x x f x -+->.19.某工厂要建造一个长方体的无盖贮水池，其容积为34800m ，深为3m ，如果池底造价为每平方米150元，池壁每平方米造价为120元，怎么设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？20.已知函数()()21f x mx m x m =--+.（1）若不等式()0f x >的解集为R ，求m 的取值范围；（2）若不等式()0f x ≤对一切()0,x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围；21.设k 是正整数，集合A 至少有两个元素，且* N A ⊆.如果对于A 中的任意两个不同的元素x ，y ，都有x y k -≠，则称A 具有性质()P k .（1）试判断集合{}1,2,3,4B =和{}1,4,7,10C =是否具有性质()2P ？并说明理由；（2）若集合{}{}1212,,,1,2,,20A a a a =⋅⋅⋅⊆⋅⋅⋅，求证：A 不可能具有性质()3P ；（3）若集合{}1,2,,2023A ⊆⋅⋅⋅，且同时具有性质()4P 和()7P ，求集合A 中元素个数的最大值.高一第一学期期中试卷数学参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）CBAABABDCD二、共填空题（共5小题）11.[)1,+∞12.12；213.-314.12；()12xf x -=-15.5；10三、解答题（共6小题）17.（1）{}23A B x x =≤≤ .（2）a 的取值范围是7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.16.（1）()3,2-；（2）(][),12,-∞-+∞ （3）综上所述：当0a =时，不等式解集为(],1-∞-；当0a >时，不等式解集为(]2,1,a ⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭；当20a -<<时，不等式解集为2,1a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，不等式解集为{}1-；当2a <-时，不等式解集为21,a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.18.（1）1a =，证明略（2）()()()()()2235403544f x x f x f x x f x f x -+->⇒->--=-∴23542x x x x ->-⇒>或23x <-.19.水池总造价()()16001502331207201600150x f x xy x y x ⎛⎫=⨯++⨯=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭72024000057600240000297600≥+=+=元.当且仅当40x m =，40y m =时取等号.∴设计水池底面为边长为40m 的正方形能使总造价最低，最低造价是297600元.20.（1）m 的取值范围为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）m 的取值范围为(],1-∞-；21.（1）集合B 不具有性质()2P ，集合C 具有性质()2P （2）证明：将集合{}1,2,,20⋅⋅⋅中的元素分为如下11个集合，{1，4}，{2，5}，{3，6}，{7，10}，{8，11}.{9，12}，{13，16}，{14，17}，{15，18}，{19}，{20}，所以从集合{}1,2,,20⋅⋅⋅中取12个元素，则前9个集合至少要选10个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为3，所以A 不可能具有性质()3P ；（3）先说明连续11项中集合A 中最多选取5项，以1，2，3……，11为例.构造抽屉{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}，{5}，{6}，{7}.①5，6，7同时选，因为具有性质()4P 和()7P ，所以选5则不选1，9；选6则不选2，10；选7则不选3，11；则只剩4，8.故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.②5，6，7选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又{4，11}只能选一个元素，3，8可以选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又{1，8}只能选一个元素，4，9可以选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.③5，6，7中只选1个，又四个集合{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}每个集合至多选1个元素，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A 的元素至多只有5个，如取1，4，6，7，9.因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项；从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合A 的元素最多有184×5=920个.给出如下选取方法：从1，2，3……，11中选取1，4，6，7，9；然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次.此时集合A的元素为：1，4，6，7，9；12，15，17，18，20；23，26，28，29，31；……；2014，2017，2019，2020，2022，共920个元素.经检验可得该集合符合要求，故集合A的元素最多有920个.。
2023-2024学年湖南省长沙一中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖南省长沙一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={x|xx−1≤0}，则∁R A ＝（ ） A ．（﹣∞，0）∪（1，+∞） B ．（﹣∞，0]∪[1，+∞）C ．（﹣∞，0）∪[1，+∞）D ．[0，1）2．若对数函数f （x ）经过点（4，2），则它的反函数g （x ）的解析式为（ ） A ．g （x ）＝2x B ．g(x)=(12)x C ．g （x ）＝4xD ．g （x ）＝x 23．设x ∈R ，则“√x +1≤2”是“|x ﹣1|＜2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则a |c |＞b |c | B ．若a ＞b ，则1a2＜1b 2C ．若a c 2＞b c 2，则a ＞bD ．若a 2＞b 2，则a ＞b5．已知a ，b ∈R ，且2a ﹣b ﹣2＝0，则9a +13b 的最小值为（）A ．2B ．4C ．6D ．86．心理学家有时用函数L （t ）＝250（1﹣e ﹣kt）来测定人们在时间t （min ）内能够记忆的单词量L ，其中k 表示记忆率．心理学家测定某学生在10min 内能够记忆50个单词，则该学生在30min 从能记忆的单词个数为（ ） A ．150B ．128C ．122D ．617．已知函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x +1）＝f （1﹣x ），当x 1，x 2∈（1，+∞），且x 1≠x 2时，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0恒成立，设a ＝f （﹣1），b ＝f （0），c ＝f （e ）（其中e ＝2.71828…），则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a8．已知函数f(x)={−x 2+ax ，(x ≤1)ax −1，(x ＞1)，若存在x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得f （x 1）＝f （x 2）成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＞2B ．a ＜2C ．﹣2＜a ＜2D ．a ＞2或a ＜﹣2二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列大小关系正确的是（ ） A ．π2.5＞π3.4B ．(15)23＜(12)23C ．0.50.3＜0.52.3D ．0．81.5＜0．9−7210．下列函数中，最小值为2的函数是（ ） A ．y =lnx +1lnxB ．y ＝e x +e ﹣xC ．y =x 2+3√x 2+2D ．y =x +2√x +211．以下计算正确的是（ ） A ．log 39+log 42＝0 B ．√(log 23)2−4log 23+4=2+log 213C ．25log 53=9D ．(log 225+log 215)(log 58+log 512)=212．以数学家约翰•卡尔•弗里德里希•高斯的名字命名的“高斯函数”为y ＝[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[3.2]＝3，[﹣1.5]＝﹣2，则（ ） A ．∀x ∈R ，[x ]﹣[x ﹣1]＝1B ．不等式[x ]2﹣[x ]≤2的解集为{x |﹣1≤x ＜3}C ．当|x |≥1，[|x|]+3[|x|]的最小值为2√3 D ．方程x 2＝4[x ]+3的解集为{√15} 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f （x ）＝a x ﹣1+2，a ＞0 且a ≠1，则f （x ）必过定点 ．14．已知函数f(x)={2−x +b ，x ≥0g(x)，x ＜0，为R 上的奇函数，则f （﹣1）＝ ．15．已知关于x 的不等式log 2x ＜ax +2恰有一个整数解，则实数a 的取值范围是 ．16．我们知道，函数y ＝f （x ）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f （x ）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y ＝f （x ）的图象关于点P （a ，b ）成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f （x +a ）﹣b 为奇函数．（1）请你利用这个结论求得函数f （x ）＝x 3+3x 2的对称中心为 ．（2）已知函数g(x)=−x+2x+1−x 3−3x 2与一次函数y ＝k （x +1）﹣3有两个交点M （x 1，y 1），N （x 2，y2），则x1+y1+x2+y2＝．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知幂函数f（x）＝（2m2﹣m﹣2）x m﹣1在定义域内单调递增．（1）求f（x）的解析式；（2）求关于x的不等式f（x+1）＜f（x2﹣2x+3）的解集．18．（12分）设a∈R，函数f(x)=2x−a2x+a（a＞0）．（1）若函数y＝f（x）是奇函数，求a的值；（2）请判断函数y＝f（x）的单调性，并用定义证明．19．（12分）已知A＝{x|log2（x﹣1）＜1}，B＝{x|x2+mx+n＜0}．（1）若m＝﹣6，n＝8，求A∩B，A∪B；（2）若A∪B＝{x|1＜x＜4}，求m的取值范围．20．（12分）佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本p（x）（万元），当月产量不足70台时，p（x）=12x2+40x（万元）；当月产量不小于70台时，p（x）＝101x+6400x−2060（万元）．若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完．（1）求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．21．（12分）已知二次函数f（x）＝x2+2ax+2．（1）若∃x∈[0，2]，使等式f（2x）＝0成立，求实数a的取值范围．（2）解关于x的不等式（a+1）x2+x＞f（x）（其中a∈R）．22．（12分）对于函数f1（x），f2（x），如果存在一对实数a，b，使得f（x）＝af1（x）+bf2（x），那么称f （x）为f1（x），f2（x）的亲子函数，（a，b）称为f（x）关于f1（x）和f2（x）的亲子指标．（1）已知f1（x）＝2x﹣3，f2（x）＝x+1，试判断f（x）＝5x﹣5是否为f1（x），f2（x）的亲子函数，若是，求出其亲子指标；若不是，说明理由．（2）已知f1(x)=3x，f2(x)=9x，F（x）为f1（x），f2（x）的亲子函数，亲子指标为（﹣2m﹣2，m），是否存在实数m，使函数F（x）在x∈[0，log3154]上的最小值为﹣5，若存在，求实数m的值，若不存在，说明理由．2023-2024学年湖南省长沙一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|xx−1≤0}，则∁R A＝（）A．（﹣∞，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，0]∪[1，+∞）C．（﹣∞，0）∪[1，+∞）D．[0，1）解：因为A={x|xx−1≤0}={x|0≤x＜1}，则∁R A＝{x|x≥1或x＜0}．故选：C．2．若对数函数f（x）经过点（4，2），则它的反函数g（x）的解析式为（）A．g（x）＝2x B．g(x)=(12)xC．g（x）＝4x D．g（x）＝x2解：设f（x）＝log a x（a＞0，a≠1），对数函数f（x）经过点（4，2），则log a4＝2，解得a＝2，故f（x）＝log2x，则反函数fg（x）＝2x．故选：A．3．设x∈R，则“√x+1≤2”是“|x﹣1|＜2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：解不等式√x+1≤2可得：﹣1≤x≤3，解不等式|x﹣1|＜2可得：﹣1＜x＜3，则（﹣1，3）⫋[﹣1，3]，所以“√x+1≤2”是“|x﹣1|＜2”的必要不充分条件．故选：B．4．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则a|c|＞b|c|B．若a＞b，则1a2＜1b2C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a2＞b2，则a＞b解：当c＝0时，A显然错误；当a＝2，b＝﹣2时，B显然错误；由a c2＞b c 2，由不等式的性质可知，a ＞b ，C 正确；当a ＝﹣2，b ＝1时，D 显然错误． 故选：C ．5．已知a ，b ∈R ，且2a ﹣b ﹣2＝0，则9a +13b 的最小值为（）A ．2B ．4C ．6D ．8解：由2a ﹣b ﹣2＝0，知2a ﹣b ＝2， 所以9a +13b=32a +13b≥2√32a ⋅13b=2√32a−b =2√32=6，当且仅当9a =13b ，即a =12，b ＝﹣1时，等号成立， 所以9a +13b 的最小值为6．故选：C ．6．心理学家有时用函数L （t ）＝250（1﹣e﹣kt）来测定人们在时间t （min ）内能够记忆的单词量L ，其中k 表示记忆率．心理学家测定某学生在10min 内能够记忆50个单词，则该学生在30min 从能记忆的单词个数为（ ） A ．150B ．128C ．122D ．61解：由题可得L （10）＝250（1﹣2e﹣10k）＝50，则2e −10k =45，所以L(30)=250(1−2e −30k )=250[1−(2e −10k )3]=250×[1−(45)3]=122， 即该学生在30min 从能记忆的单词个数为122． 故选：C ．7．已知函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x +1）＝f （1﹣x ），当x 1，x 2∈（1，+∞），且x 1≠x 2时，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0恒成立，设a ＝f （﹣1），b ＝f （0），c ＝f （e ）（其中e ＝2.71828…），则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a解：因为函数f （x ）的定义域为R ，且满足f （x +1）＝f （1﹣x ）， 所以函数y ＝f （x ）的图象关于x ＝1对于， 又因为当x 1，x 2∈（1，+∞），且x 1≠x 2时，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0恒成立，所以函数y ＝f （x ）在（1，+∞）上单调递减，又因为a ＝f （﹣1）＝f （3），b ＝f （0）＝f （2），c ＝f （e ）， 2＜e ＜3，所以f （2）＞f （e ）＞f （3），即b ＞c ＞a ． 故选：D ．8．已知函数f(x)={−x 2+ax ，(x ≤1)ax −1，(x ＞1)，若存在x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得f （x 1）＝f （x 2）成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＞2B ．a ＜2C ．﹣2＜a ＜2D ．a ＞2或a ＜﹣2解：存在x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得f （x 1）＝f （x 2）成立， 可得f （x ）在R 上不单调．可考虑f （x ）在R 上单调，若f （x ）在R 上递增，可得a ＞0，且a2≥1，﹣1+a ≤a ﹣1，解得a ≥2；若f （x ）在R 上递减，可得a ＜0，则f （x ）在（﹣∞，1]上先增后减，不成立， 所以当a ＜2时，f （x ）在R 上不单调． 故选：B ．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列大小关系正确的是（ ） A ．π2.5＞π3.4 B ．(15)23＜(12)23 C ．0.50.3＜0.52.3D ．0．81.5＜0．9−72解：y ＝πx 在R 上单调递增，故π2.5＜π3.4，故A 错误； y =x 23在（0，+∞）上单调递增，故(15)23＜(12)23，故B 正确； y ＝0.5x 在R 上单调递减，故0.50.3＞0.52.3，故C 错误； 0.81.5＜0.80＝1，0．9−72＞0．90=1，故D 正确． 故选：BD ．10．下列函数中，最小值为2的函数是（ ） A ．y =lnx +1lnxB ．y ＝e x +e ﹣xC ．y =x 2+3√x 2+2D ．y =x +2√x +2解：当lnx ＜0时，A 显然错误；因为e x ＞0，则y ＝e x +e ﹣x ≥2√e x ⋅e −x =2，当且仅当x ＝0时取等号，B 正确；令t =√2+x 2，则t ≥√2，故y=2√2+x2=√2+x2√2+x2=t+1t单调递增，故y≥√22=3√22，C错误；y＝x+2√x+2＝（√x+1）2+1，因为1+√x≥1，故y≥2，D正确．故选：BD．11．以下计算正确的是（）A．log39+log42＝0B．√(log23)2−4log23+4=2+log213C．25log53=9D．(log225+log215)(log58+log512)=2解：log39+log42＝2log33+12log22=52，故A错误；√(log23)2−4log23+4=√(log23−2)2=2﹣log23=2+log213，故B正确；25log53=5log59=9，故C正确；(log225+log215)(log58+log512)=log25•log54＝2log25•log52＝2，故D正确．故选：BCD．12．以数学家约翰•卡尔•弗里德里希•高斯的名字命名的“高斯函数”为y＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]＝3，[﹣1.5]＝﹣2，则（）A．∀x∈R，[x]﹣[x﹣1]＝1B．不等式[x]2﹣[x]≤2的解集为{x|﹣1≤x＜3}C．当|x|≥1，[|x|]+3[|x|]的最小值为2√3D．方程x2＝4[x]+3的解集为{√15}解：对于A：设x的整数部分为a，小数部分为b，则[x]＝a，[x﹣1]＝a﹣1，得[x]﹣[x﹣1]＝1，故A正确；对于B：因为[x]2﹣[x]≤2，解得﹣1≤[x]≤2，所以﹣1≤x＜3，故B正确；对于C：当|x|≥1时，[|x|]≥1，所以[|x|]+3[|x|]≥2√[|x|]3[|x|]=2√3，当且仅当[|x|]=3[|x|]=√3时，等号成立，这与[|x|]是正整数矛盾，故C错误；对于D：由x2＝4[x]+3知，x2为整数且4[x]+3≥0，所以[x]≥−34，可知[x]≥0，可得x≥0，因为[x]2≤x2＜（[x]+1）2，即[x]2≤4[x]+3＜（[x]+1）2，由[x]2≤4[x]+3，解得2−√7≤[x]≤2+√7≈4.6，可得0≤[x]≤4；由4[x]+3＜（[x]+1）2，解得[x]＞1+√3或[x]＜1−√3（舍），可知3≤[x]≤4，即[x]＝3或[x]＝4，当[x ]＝3时，x 2＝4[x ]+3＝15，可得x =√15， 当[x ]＝4时，x 2＝4[x ]+3＝19，可得x =√19，所以方程x 2＝4[x ]+3的解集为{√15，√19}，故D 错误． 故选：AB ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f （x ）＝a x ﹣1+2，a ＞0 且a ≠1，则f （x ）必过定点 （1，3） ．解：由指数函数y ＝a x （a ＞0，a ≠1）的图象恒过（0，1）点 而要得到函数y ＝a x ﹣2+2（a ＞0，a ≠1）的图象，可将指数函数y ＝a x （a ＞0，a ≠1）的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位． 则（0，1）点平移后得到（1，3）点． 点P 的坐标是（1，3）． 故答案为：（1，3）．14．已知函数f(x)={2−x +b ，x ≥0g(x)，x ＜0，为R 上的奇函数，则f （﹣1）＝ 12 ．解：∵f(x)={2−x +b ，x ≥0g(x)，x ＜0，为R 上的奇函数，∴f （0）＝20+b ＝1+b ＝0， ∴b ＝﹣1；∴当x ≥0时，f （x ）＝2﹣x ﹣1，∴f （1）=12−1=−12， ∴f （﹣1）＝﹣f （1）=12． 故答案为：12．15．已知关于x 的不等式log 2x ＜ax +2恰有一个整数解，则实数a 的取值范围是 （﹣2，−12] ． 解：设f （x ）＝log 2x ，g （x ）＝ax +2，易知函数g （x ）＝ax +2恒过定点（0，2）， 画出两个函数的图象，如图所示：若不等式log 2x ＜ax +2恰有一个整数解，则a ＜0，且{f(1)＜g(1)f(2)≥g(2)，即{0＜a +21≥2a +2，解得﹣2＜a ≤−12，即实数a 的取值范围是（﹣2，−12]．故答案为：（﹣2，−12]．16．我们知道，函数y ＝f （x ）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f （x ）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y ＝f （x ）的图象关于点P （a ，b ）成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f （x +a ）﹣b 为奇函数．（1）请你利用这个结论求得函数f （x ）＝x 3+3x 2的对称中心为 （﹣1，2）． ．（2）已知函数g(x)=−x+2x+1−x 3−3x 2与一次函数y ＝k （x +1）﹣3有两个交点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+y 1+x 2+y 2＝ ﹣8 ．解：（1）设点（a ，b ）为函数f （x ）＝x 3+3x 2图象的对称中心，令g （x ）＝f （x +a ）﹣b ＝（x +a ）3+3（x +a ）2﹣b ，则g （x ）为奇函数，所以g （﹣x ）＝﹣g （x ），即（﹣x +a ）3+3（﹣x +a ）2﹣b ＝﹣（x +a ）3﹣3（x +a ）2+b ， 可得，3（a +1）x 2+a 3+3a 2﹣b ＝0， 所以{a +1=0a 3+3a 2−b =0，解得{a =−1b =2， 所以函数f （x ）＝x 3+3x 2的对称中心为（﹣1，2）．（2）若函数y ＝f （x ）的图象关于点P （a ，b ）成中心对称图形则函数y ＝f （x +a ）﹣b 为奇函数， 所以f （﹣x +a ）﹣b ＝﹣f （x +a ）+b ，即f （﹣x +a ）+f （x +a ）＝2b ，所以函数y ＝f （x ）的图象关于点P （a ，b ）成中心对称图形的充要条件可转化为f （﹣x +a ）+f （x +a ）＝2b ，因为g(−1+x)=−(−1+x)+2−1+x+1−(−1+x)3−3(−1+x)2=3−xx−x 3+3x −2，g (−1−x)=−(−1−x)+2−1−x+1−(−1−x)3−3(−1−x)2=3+x −x+x 3−3x −2， 所以g （﹣1+x ）+g （﹣1﹣x ）＝﹣6，即g(x)=−x+2x+1−x 3−3x 2对称中心为（﹣1，﹣3），因为函数y ＝k （x +1）﹣3的图像是恒过点（﹣1，﹣3）的直线， 所以交点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）的中点为（﹣1，﹣3）， 所以x 1+x 22=−1，y 1+y 22=−3，即x 1+y 1+x 2+y 2＝﹣2﹣6＝﹣8．故答案为：（﹣1，2）；﹣8．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知幂函数f （x ）＝（2m 2﹣m ﹣2）x m﹣1在定义域内单调递增．（1）求f （x ）的解析式；（2）求关于x 的不等式f （x +1）＜f （x 2﹣2x +3）的解集． 解：（1）由题意，令2m 2﹣m ﹣2＝1，解得m ＝﹣1或m =32， 当m ＝﹣1时，f （x ）＝x ﹣2，不满足在定义域内单调递增；当m =32时，f （x ）=x 12，满足在定义域内单调递增；f （x ）的解析式为f （x ）=x 12．（2）∵f （x ）=x 12在[0，+∞）上单调递增，∴{x +1≥0x 2−2x +3≥0x +1＜x 2−2x +3，解得x ∈[﹣1，1）∪（2，+∞）．即关于x 的不等式f （x +1）＜f （x 2﹣2x +3）的解集为[﹣1，1）∪（2，+∞）．18．（12分）设a ∈R ，函数f(x)=2x−a 2x +a（a ＞0）．（1）若函数y ＝f （x ）是奇函数，求a 的值； （2）请判断函数y ＝f （x ）的单调性，并用定义证明． 解：（1）若函数y ＝f （x ）为奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），f(−x)=2−x −a 2−x +a =1−a⋅2x 1+a⋅2x ，则1−a⋅2x 1+a⋅2x =a−2x 2x +a， 解得a ＝±1，由a ＞0，得a ＝1；（2）由（1）知f(x)=2x−12x +1=1−22x +1，函数为单调递增函数，证明如下：设x 1＜x 2，f(x 1)−f(x 2)=2x1−12x 1+1−2x2−12x 2+1=2(2x1−2x2)(2x 1+1)(2x2+1)， 因为x 1＜x 2，所以2x 1＜2x 2，即2x 1−2x 2＜0且2x 1+1＞0，2x 2+1＞0， 所以f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， 所以函数y ＝f （x ）在R 上为增函数．19．（12分）已知A ＝{x |log 2（x ﹣1）＜1}，B ＝{x |x 2+mx +n ＜0}． （1）若m ＝﹣6，n ＝8，求A ∩B ，A ∪B ； （2）若A ∪B ＝{x |1＜x ＜4}，求m 的取值范围． 解：（1）因为A ＝{x |log 2（x ﹣1）＜1}＝{x |1＜x ＜3}， 当m ＝﹣6，n ＝8时，B ＝{x |x 2﹣6x +8＜0}＝{x |2＜x ＜4}，故A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}，A ∪B ＝{x |1＜x ＜4}；（2）因为A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |x 2+mx +n ＜0}，且A ∪B ＝{x |1＜x ＜4}， 所以4是方程x 2+mx +n ＝0的根，设另一个根为x 1， 则1≤x 1＜3，所以5≤x 1+4＝﹣m ＜7，解得﹣7＜m ≤﹣5， 即m 的取值范围为（﹣7，﹣5]．20．（12分）佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x 台，另需投入成本p （x ）（万元），当月产量不足70台时，p （x ）=12x 2+40x （万元）；当月产量不小于70台时，p （x ）＝101x +6400x−2060（万元）．若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完． （1）求月利润y （万元）关于月产量x （台）的函数关系式； （2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润． 解：（1）当0＜x ＜70时，y ＝100x ﹣（12x 2+40）﹣400=−12x 2+60x ﹣400，当x ≥70时，y ＝100x ﹣（101x +6400x −2060）﹣400＝1660﹣（x +6400x）． 所以利润y （万元）关于月产量x （台）的函数关系式为 y ={−12x 2+60x −400，0＜x ＜70且x ∈N ∗1660−(x +6400x)，x ≥70且x ∈N∗；（2）当0＜x ＜70时，y =−12x 2+60x ﹣400=−12（x ﹣60）2+1400， 当x ＝60时，y 取得最大值为1400万元； 当x ≥70时，y ＝1660﹣（x +6400x ）≤1660﹣2√x ⋅6400x=1500， 当且仅当x =6400x，即x ＝80时y 取最大值1500． 综上，当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，最大月利润为1500万元． 21．（12分）已知二次函数f （x ）＝x 2+2ax +2．（1）若∃x ∈[0，2]，使等式f （2x ）＝0成立，求实数a 的取值范围． （2）解关于x 的不等式（a +1）x 2+x ＞f （x ）（其中a ∈R ）． 解：（1）x ∈[0，2]时，2x ∈[1，4]， 所以f （2x ）＝（2x ）2+2a •2x +2， 令t ＝2x ∈[1，4]，设g（t）＝t2+2at+2＝0，可得2a＝﹣t−2t，令y＝﹣t−2t，则t在[1，√2]上单调递增，在（√2，4]单调递减，所以y max=−√222=−2√2，y min＝min{﹣3，−92}=−92，所以a∈[−94，−√2]．（2）不等式（a+1）x2+x＞f（x），整理可得（ax+1）（x﹣2）＞0，①当a＝0时，不等式可得x﹣2＞0，解得x＞2；当a≠0，方程（ax+1）（x﹣2）＝0，可得x=−1a或x＝2，②当a＞0时，（x+1a）（x﹣2）＞0，又因为−1a＜x＜2，可得不等式的解集为{x|x＜−1a或x＞2}；③当a＜0时，则不等式为（x+1a）（x﹣2）＜0，（i）当−1a=2，即a=−12，不等式为（x﹣2）2＜0，则解集为∅；（ii）当−1a＞2，即a＜−12，则（x+1a）（x﹣2）＜0，解集为{x|2＜x＜−1a}；（iii）当−1a＜2，即−12＜a＜0，则（x+1a）（x﹣2）＜0，解集为{x|−1a＜x＜2}．综上所述：当a＝0时，不等式解集为{x|x＞2}；a＞0时，不等式的解集为{x|x＜−1a或x＞2}；a=−12时，不等式的解集为∅；a＜−12时，不等式的解集为{x|2＜x＜−1a}；−12＜a＜0时，不等式的解集为{x|−1a＜x＜2}．22．（12分）对于函数f1（x），f2（x），如果存在一对实数a，b，使得f（x）＝af1（x）+bf2（x），那么称f （x）为f1（x），f2（x）的亲子函数，（a，b）称为f（x）关于f1（x）和f2（x）的亲子指标．（1）已知f1（x）＝2x﹣3，f2（x）＝x+1，试判断f（x）＝5x﹣5是否为f1（x），f2（x）的亲子函数，若是，求出其亲子指标；若不是，说明理由．（2）已知f1(x)=3x，f2(x)=9x，F（x）为f1（x），f2（x）的亲子函数，亲子指标为（﹣2m﹣2，m），是否存在实数m，使函数F（x）在x∈[0，log3154]上的最小值为﹣5，若存在，求实数m的值，若不存在，说明理由．解：（1）f （x ）＝5x ﹣5是f 1（x ），f 2（x ）的亲子函数． 设存在一对实数a ，b ，使得f （x ）＝af 1（x ）+bf 2（x ）， 即5x ﹣5＝a （2x ﹣3）+b （x +1）＝（2a +b ）x ﹣3a +b ， ∴{2a +b =5−3a +b =−5，解得{a =2b =1，∴亲子指标（2，1）．（2）由题意知：F （x ）＝（﹣2m ﹣2）3x +m 9x ，x ∈[0，log 3154]， 令t ＝3x ，t ∈[1，154]，则g （t ）＝mt 2﹣（2m +2）t ，∵F （x ）在x ∈[0，log 3154]上的最小值为﹣5， ∴g （t ）＝mt 2﹣（2m +2）t 在[1，154]上的最小值为﹣5，当m ＝0时，g （t ）＝﹣2t 在[1，154]上的最小值为−152，不符合题意，故m ≠0； 当m ＜0时，g （t ）是开口向下，对称轴为t ＝1+1m ＜1， ∴g （t ）在[1，154]上单调递减，g （t ）min ＝g （154）＝m （154）2﹣（2m +2）×154=−5， 解得m =821（舍去）； 当m ＞411时，g （t ）是开口向上，对称轴为t ＝1+1m ＜154， ∴g （t ）在[1，1+1m ]上单调递减，在[1+1m ，154]上单调递增，∴g （t ）min ＝g （1+1m）＝m （1+1m）2﹣（2m +2）×（1+1m）＝﹣5， 即m 2﹣3m +1＝0，解得m =3±√52； 当0＜m ≤411时，g （t ）是开口向上，对称轴为t ＝1+1m ≥154， ∴g （t ）在[1，154]上单调递减，g （t ）min ＝g （154）＝m （154）2﹣（2m +2）×154=−5， 解得m =821＞411（舍去）； 综上所述，存在实数m =3±√52，使函数F （x ）在x ∈[0，log 3154]上的最小值为﹣5．。
北京市延庆区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷含解析
延庆区2024-2025学年第一学期期中试卷高一数学（答案在最后）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}2,1,0,1B =--，则A B = （）A.{}0,1 B.{}1,0- C.{}2,1,0,1,2-- D.{}1,0,1-【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解即得.【详解】集合{}1,0,1,2A =-，{}2,1,0,1B =--，所以{}1,0,1A B ⋂=-.故选：D2.若集合[]3,1A =-，()2,3B =-，则A B = （）A.(]2,1- B.[)2,1- C.(]3,3- D.[)3,3-【答案】D 【解析】【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解.【详解】因为[]3,1A =-，()2,3B =-，所以A B = [)3,3-，故选：D.3.已知全集{}N 6U x x =∈≤且{}25A x U x =∈≤，则集合U A ð中的元素有（）A.2个B.4个C.5个D.7个【答案】B 【解析】【分析】利用列举法表示集合U ，解不等式化简集合A ，再求出U A ð即可得解.【详解】依题意，{0,1,2,3,4,5,6}U =，解不等式25x ≤，得x ≤≤，则{0,1,2}A =，所以{3,4,5,6}U A =ð，集合U A ð中的元素有4个.故选：B4.已知集合A 满足{}1A ⊆{}1,2,3,4，则A 有（）A.2个 B.4个C.5个D.7个【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，求出集合{}2,3,4的真子集个数即可得解.【详解】集合A 满足{}1A⊆{}1,2,3,4，则集合A 可视为集合{1}与集合{}2,3,4的每个真子集的并集，而集合{}2,3,4的真子集个数为3217-=，所以A 有7个.故选：D5.若22P a a =-和24Q a =-，则P 和Q 的大小关系为（）A.P Q >B.P Q< C.P Q≥ D.P Q≤【答案】C 【解析】【分析】根据条件，通过作差法，得到2(2)P Q a -=-，即可求解.【详解】因为22P a a =-，24Q a =-，所以2222(24)44(2)0P Q a a a a a a -=---=-+=-≥，当且仅当2a =时取等号，所以P Q ≥，故选：C.6.设,,a b c ∈R ，且a b <，c d <，则（）A.22a b <B.d c a b> C.ac bd< D.33a b <【答案】D 【解析】【分析】举例说明判断ABC ；利用不等式的性质判断D.【详解】对于A ，取2,2a b =-=，满足a b <，而224a b ==，A 错误；对于B ，取2,1,1,4a b c d =-=-==满足,a b c d <<，而21d ca b=-<-=，B 错误；对于C ，取2,1,1,4a b c d =-=-==满足,a b c d <<，而24ac bd =->-=，C 错误；对于D ，由不等式性质知，由a b <，得33a b <，D 正确.故选：D7.下列函数中，既是偶函数又在区间(),0-∞上单调递增的是（）A.21y x =B.1y x =+C.2y x =-，(),0x ∈-∞D.y x=【答案】A 【解析】【分析】利用奇偶函数的判断方法及基本函数的单调性，对各个选项逐一分析判断，即可求解.【详解】对于选项A ，因为221y x x-==，定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，关于原点对称，又2211()()()f x f x x x -===-，所以21y x=是偶函数，又由幂函数的性质知21y x =在区间()0,∞+上单调递减，所以21y x =在区间(),0-∞上单调递增，故选项A 正确，对于选项B ，因为1y x =+图象不关于y 轴对称，即1y x =+不是偶函数，所以选项B 错误，对于选项C ，因为2y x =-，(),0x ∈-∞的定义域不关于原点对称，即2y x =-，(),0x ∈-∞是非奇非偶函数，所以选项C 错误，对于选项D ，当(),0x ∈-∞时，y x x ==-在区间(),0-∞上单调递减，所以选项D 错误，故选：A.8.已知函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 为奇函数”是“(0)=0f ”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】试题分析：因函数的定义域是,故“是奇函数”是“”的充分条件；反之,若(0)0f =,则函数不一定是奇函数,“f (x )为奇函数”不是必要条件.应选A.考点：充分必要条件.9.已知函数2()2f x x ax =++有两个零点，在区间(1,2)-上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是（）A.(,)-∞-⋃+∞B.(,3)(3,)-∞-⋃+∞C.(,4](3,)-∞-+∞D.(,4][2,)-∞-+∞ 【答案】C 【解析】【分析】求出函数()f x 的单调区间，再结合集合的包含关系及零点存在性定理列式求解即得.【详解】函数2()2f x x ax =++在(,]2a -∞-上单调递减，在[,)2a-+∞上单调递增，由在区间(1,2)-上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，得(,](1,2)2a ∞---⊆且(1)0(2)0f f ->⎧⎨<⎩或[,)(1,22)a--+∞⊆且(1)0(2)0f f -<⎧⎨>⎩，则2230620a a a ⎧-≥⎪⎪->⎨⎪+<⎪⎩或1230620aa a ⎧-≤⎪⎪-<⎨⎪+>⎪⎩，解得4a ≤-或3a >，所以实数a 的取值范围是(,4](3,)-∞-+∞ .故选：C10.x ∀∈R ，设()f x 取41y x =+，1y x =+，24y x =-+三个函数值中的最小值，则()f x 的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】作出函数()f x 的图象，利用图象求出其最大值.【详解】在同一坐标系内作出直线41y x =+，1y x =+，24y x =-+，由()f x 取41y x =+，1y x =+，24y x =-+三个函数值中的最小值，得()f x 的图象为下图中实线构成的折线图，则()f x 的最大值即为()f x 的图象最高点对应的纵坐标值，观察图象知，()f x 的图象最高点是直线1y x =+与24y x =-+的交点，由124y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，因此()f x 的图象最高点是(1,2)，所以()f x 的最大值为2.故选：B第II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()124f x x =+______.【答案】(2,)-+∞【解析】【分析】利用函数有意义列式求出定义域.【详解】依题意，240x +>，解得2x >-，所以函数()124f x x =+的定义域是(2,)-+∞.故答案为：(2,)-+∞12.已知奇函数()f x 满足()()53f f -<-，则()5f ______()3f .【答案】大于【解析】【分析】利用奇函数的性质，结合不等式的性质求解即得.【详解】由奇函数()f x 满足()()53f f -<-，得()()53f f -<-，所以()()53f f >.故答案为：大于13.已知(],A a =-∞，(),3B =-∞，且x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则a 的取值范围是______【答案】3a ≥【解析】【分析】根据条件得到BA ，再利用集合间的关系，即可求解.【详解】因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则B A ，又(],A a =-∞，(),3B =-∞，所以3a ≥，故答案为：3a ≥.14.已知0x <，则812y x x=++的最大值是______，当且仅当x =______时，等号成立.【答案】①.7-②.2-【解析】【分析】根据给定条件，借助配凑的方法，利用基本不等式求出最大值及对应x 的值.【详解】由0x <，得0x ->，则81(2)17y x x =--+≤---，当且仅当82x x-=-，即2x =-时取等号，所以当2x =-时，812y x x=++取得最大值7-.故答案为：7-；2-15.已知函数2()2||1f x x x =--，给出下列四个结论：①函数()f x 是偶函数；②函数()f x 的增区间为[1,)+∞；③不等式()1f x x <-的解集是(1,3)-；④当3x >-时，令3()()g x f x x =+，则()g x 的最小值为4-.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①④【解析】【分析】利用偶函数的定义判断①；求出函数的单调递增区间判断②；分段求出不等式的解集判断③；利用基本不等式分段求出最小值判断④.【详解】函数2()2||1f x x x =--的定义域为R ，对于①，22()()2||12||1()f x x x x x f x -=----=--=，函数()f x 是偶函数，①正确；对于②，2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧+-≤=⎨-->⎩，函数()f x 的增区间为[1,0],[1,)-+∞，②错误；对于③，不等式()1f x x <-，则20211x x x x ≤⎧⎨+-<-⎩或20211x x x x >⎧⎨--<-⎩，解得10x -<<或03x <<，所以不等式()1f x x <-的解集是(1,0)(0,3)- ，③错误；对于④，依题意，2221,303()21,03x x x x g x x x x x ⎧+--<≤⎪⎪+=⎨--⎪>⎪+⎩，当30x -<≤时，2()(3)4443g x x x =++-≥=+，当且仅当233x x +=+，即3x =-时取等号；当0x >时，14()(3)88283x g x x =++-≥=+，当且仅当1433x x +=+，即3x =时取等号，而84)2)]0--=-+=>，即84->，所以()g x的最小值为4-，④正确.故所有正确结论的序号是①④.故答案为：①④【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.求下列方程（组）的解集．．：（1）2560x x +-=（2）3ax =（3）10x +-=（4）2214112x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩【答案】（1）{6,1}-（2）当0a =时，解集为∅；当0a ≠时，方程解集为3a 禳镲睚镲铪.（3）{3-（4）{(0,1),(2,0)}-【解析】【分析】（1）解一元二次方程即可得解集.（2）对a 分类讨论即可得方程的解集.（3(0)t t =≥，把原方程化为一元二次方程，结合t 的取值范围即可得到原方程的解集.（4）利用代入消元法即可得到方程组的解集.【小问1详解】由2560x x +-=得，(6)(1)0x x +-=，解得126,1x x =-=，故方程的解集为{6,1}-.【小问2详解】当0a =时，方程无解，解集为∅，当0a ≠时，解方程得3x a =，方程解集为3a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【小问3详解】(0)t t =≥，则方程可化为2210t t +-=，解方程得，1211t t =-+=-，22(13x t ==-=-{3-.【小问4详解】由2214112x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得，2240x x +=，解得120,2x x ==-,方程组的解为1101x y =⎧⎨=⎩，2220x y =-⎧⎨=⎩，故方程组解集为{(0,1),(2,0)}-.17.求下列不等式（组）的解集．．：（1）2430x x -+≥（2）23210x x -++>（3）2112x x +≥+（4）221132340x x x ⎧+<⎪⎨⎪-+>⎩【答案】（1）{|1x x ≤或}3x ≥（2）1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（3）{|2x x <-或 （4）{}|21x x -<<【解析】【分析】（1）根据条件，因式分解得到(3)(1)0x x --≥，再利用一元二次不等式的解法，即可求解；（2）根据条件，变形得到23210x x --<，再因式分解得(31)(1)0x x +-<，即可求解；（3）先变形成102x x -≥+，再等价于(1)(2)0x x -+≥且2x ≠-，即可求解；（4）先利用绝对值不等式的解法，求2113x +<的解，再求22340x x -+>的解，再求交集，即可求解.【小问1详解】由2430x x -+≥，得到(3)(1)0x x --≥，所以1x ≤或3x ≥，故不等式2430x x -+≥的解集为{|1x x ≤或}3x ≥.【小问2详解】由23210x x -++>，即23210x x --<，得到(31)(1)0x x +-<，所以113-<<x ，故不等式23210x x -++>的解集为1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.【小问3详解】由2112x x +≥+，得到102x x -≥+，等价于(1)(2)0x x -+≥且2x ≠-，所以2x <-或1x ≥，故不等式2112x x +≥+的解集为{|2x x <-或}1≥x .【小问4详解】由2113x +<，得到3213x -<+<，即2<<1x -，对22340x x -+>，因为9442230∆=-⨯⨯=-<，所以22340x x -+>的解集为R ，故不等式组221132340x x x ⎧+<⎪⎨⎪-+>⎩的解集为{}|21x x -<<.18.已知关于x 的方程220x x m +-=，m ∈R .（1）当1m =时，若方程的两根为1x 与2x ，求下列各式的值：①2212x x +;②12||x x -;③1222x x +;（2）若该方程的两根同号，求实数m 的取值范围.【答案】（1）①6；②；③4；（2）10m -<<.【解析】【分析】（1）把1m =代入，利用韦达定理列式，再逐一变形计算各个式子的值.（2）利用判别式及韦达定理列出不等式组求解.【小问1详解】当1m =时，方程2210x x +-=，224(1)80∆=-⨯-=>，则12122,1x x x x +=-=-，①222121212()26x x x x x x =-++=；②12||x x ==-=；③1212122()224x x x x x x ++==.【小问2详解】由方程的两根同号，得1212Δ440200m x x x x m =+>⎧⎪+=-<⎨⎪=->⎩，解得10m -<<，所以实数m 的取值范围是10m -<<.19.已知函数()21f x m x=+过点()1,2-.（1）求函数()f x 的解析式及定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（3）令()()1g x f x =-，求()g x 的解析式，并证明()g x 的图像关于1x =对称.【答案】（1）()211f x x=+，定义域为{}|0x x ≠（2）偶函数，证明见解析（3）()211(1)(1)g x x x =+≠-，证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件可得1m =，即可得()211f x x=+，由解析式可直接求出定义域，即可求解；（2）利用奇偶函数的判断方法，即可求解；（3）利用()211f x x=+，即可得()211(1)(1)g x x x =+≠-，再任取一点(,)P x y ，通过证明其关于1x =对称的点也在()g x 的图象上，即可求解.【小问1详解】因为函数()21f x m x =+过点()1,2-，则21m =+，得到1m =，所以()211f x x =+，定义域为{}|0x x ≠.【小问2详解】函数()f x 为偶函数，证明如下，因为()211f x x =+的定义域为{}|0x x ≠，关于原点对称，又()221111()()f x f x x x -=+=+=-，所以()f x 为偶函数.【小问3详解】因为()()2111(1)(1)g x f x x x =-=+≠-，设(,)P x y 是()g x 图象上任意一点，(,)P x y 关于1x =的对称点为(2,)P x y '-，因为()211(1)(1)g x x x =+≠-，所以()2221112111()(21)(1)(1)g x g x x x x -=+=+=+=----，即点(2,)P x y '-也在()g x 图象上，所以()g x 的图像关于1x =对称.20.已知函数()223f x x mx =++.（1）当1m =，[]2,2x ∈-时，求函数()f x 的值域；（2）若函数()f x 在[]22-,上是单调函数，求实数m 的取值范围；（3）当2m =时，比较()0f 与()()226f a a a -+-∈R 的次小.【答案】（1）[2,11]（2）(,2][2,)-∞-+∞ （3）()2(0)26f f a a <-+-【解析】【分析】（1）利用二次函数的对称轴可求函数的单调性，求出最大值和最小值即可得到函数的值域.（2）讨论函数的单调性，利用定义域和对称轴的关系可求得参数的取值范围.（3）计算226a a -+-的取值范围，利用二次函数的单调性和对称轴可比较大小.【小问1详解】当1m =时，()223f x x x =++，对称轴为直线1x =-，()f x 在(2,1)--上为减函数，在(1,2)-上为增函数，min max ()(1)1232,()(2)44311f x f f x f =-=-+===++=，故函数()f x 的值域为[2,11].【小问2详解】函数()223f x x mx =++，对称轴为直线x m =-，当函数()f x 在[]22-,上是单调增函数时，2m -≤-，2m ≥，当函数()f x 在[]22-,上是单调减函数时，2m -≥，2m ≤-，综上得，实数m 的取值范围为(,2][2,)-∞-+∞ .【小问3详解】当2m =时，()243f x x x =++，对称轴为直线2x =-，()f x 在(,2)-∞-上为减函数，在(2,)-+∞上为增函数，且()0(4)f f =-，∵2226(1)55a a a -+-=---≤-，∴()226(5)(4)(0)f a a f f f -+-≥->-=，故()2(0)26f f a a <-+-.21.设集合(){}123,,,R,1,2,3k A a a x x x x k ==∈=，对于集合A 中的任意元素()123,,a x x x =和()123,,b y y y =及实数λ，定义：当且仅当()1,2,3i i x y i ==时a b =()112233,,a b x y x y x y +=+++；()123,,a x x x λλλλ=.若A 的子集{}123,,B a a a =满足：当且仅当1230λλλ===时，()1122330,0,0a a a λλλ++=，则称B 为A 的完美子集.（1）集合()()(){}11,0,0,0,2,0,0,0,3B =，()()(){}21,2,3,2,3,4,3,4,5B =，分别判断这两个集合是否为A 的完美子集，并说明理由；（2）集合()()(){}2,,2,,2,2,,2,2B m m m m m m m m m =---，若B 不是A 的完美子集，求m 的值.【答案】（1）1B 是A 的完美子集，2B 不是A 的完美子集，理由见解析；（2）12m =.【解析】【分析】（1）根据完美子集定义去计算验证是否当且仅当1230λλλ===时，()1122330,0,0a a a λλλ++=即可得解；（2）先计算112233a a a λλλ++()()()()1231231232,2,2222m m m m m m m m m λλλλλλλλλ=++++++---，接着由()1122330,0,0a a a λλλ++=得方程()()123042m λλλ+-=+，解该方程得12m =或1230λλλ+=+，再结合元素互异性分类讨论12m =和1230λλλ+=+这两种情况即可得解.【小问1详解】1B 是A 的完美子集，2B 不是A 的完美子集，理由如下：对于()()(){}11,0,0,0,2,0,0,0,3B =，因为()()()1231,0,0,0,2,0,0,0,3a a a ===，所以()()()()112233123123,0,00,2,00,0,3,2,3a a a λλλλλλλλλ++=+=+，所以当且仅当1230λλλ===时，()1122330,0,0a a a λλλ++=，所以1B 是A 的完美子集；对于()()(){}21,2,3,2,3,4,3,4,5B =，因为()()()1231,2,3,2,3,4,3,4,5a a a ===，所以()()()112233*********,2,32,3,43,4,5a a a λλλλλλλλλλλλ=++++()123123123,2323344,5λλλλλλλλλ=++++++，令1231231321232302*********λλλλλλλλλλλλ++=⎧⎪++=⇒==-⎨⎪++=⎩，所以123,,λλλ存在无数组解使得()1122330,0,0a a a λλλ++=，如当132222λλλ==-=-时，()1122330,0,0a a a λλλ++=，所以2B 不是A 的完美子集.【小问2详解】因为()()(){}2,,2,,2,2,,2,2B m m m m m m m m m =---，所以()()()1232,,2,,2,2,,2,2a m m m a m m m a m m m =-=--=，所以112233a a a λλλ++()()()()1231231232,2,2222m m m m m m m m m λλλλλλλλλ=++++++---，因为B 不是A 的完美子集，所以存在()()123,,0,0,0λλλ≠，使得1122330a a a λλλ+=+，即存在()()123,,0,0,0λλλ≠使得()()()123123123202202220m m m m m m m m m λλλλλλλλλ⎧++=⎪++-=⎨⎪-+-+=⎩，解方程组得()()123042m λλλ+-=+，由集合互异性可得2m m ≠且22m m ≠-，故0m ≠且2m ≠-，所以解()()123042m λλλ+-=+得12m =或1230λλλ+=+，且由12320m m m λλλ++=得12320λλλ++=，若12m =，则有123123123110221302233022λλλλλλλλλ⎧++=⎪⎪⎪+-=⇒⎨⎪⎪--+=⎪⎩1235573λλλ=-=-，所以123,,λλλ存在无数组解使得()1122330,0,0a a a λλλ++=，如当12355573λλλ=--==时，()1122330,0,0a a a λλλ++=，所以B 不是A 的完美子集，符合题意；当1230λλλ+=+且12m ≠时，则由12320λλλ++=得1230,λλλ==-，所以由()123022m m m λλλ+-=+得()320m λ--=，又2m ≠-得30λ=，故20λ=，不符合题意；综上m 的值为12.【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论；（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”，归纳“举例”提供的解题方法，归纳“举例”提供的分类情况；（3）类比新定义中的概念、原理、方法去解决题中需要解决的问题.。
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大丰市南阳中学2007～2008第一学年度期中考试高 一 数 学 试 卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I 卷1～2页，第II 卷3～8页. 全卷满分160分，考试时间120分钟。
第I 卷(选择题，共50分)注意事项：1．答第I 卷前，考生务必在答题卡的相应栏目内写上自己的姓名、考试证号、考试科目，并用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
3. 考试结束，将答题卡和第II 卷一并交回。
一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有 且只有一项是符合题目要求的．1、若集合A ＝｛x ｜ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R ｝中有且只有一个元素，则a 的取值集合是（ ） A ．｛1｝B ．｛－1｝C ．｛0，1｝D ．｛－1，0，1｝2、已知全集}90|{<<=x x U ，}1|{a x x A <<=，若∅≠A ，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）9<a （B ）91≤<a （C ）9≥a （D ）9≤a 3、已知函数11)(22-+-=x x x f 的定义域是（ ）（A ）[－1，1]（B ）{－1，1}（C ）（－1，1） （D ）),1[]1,(+∞--∞4、下列函数式中，满足1(1)()2f x f x +=的是 A ． 1(1)2x + B ．14x + C ．2x D ．2x-5、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b %，则n 年后这批设备的价值为A ．(1%)na b -B ．(1%)a nb -C ．[1(%)]n a b -D ．(1%)n a b - 6、三个数3..0222,3.0log ,3.0===c b a 之间的大小关系是（ ）A ．a <c<bB ．a <b<cC ．b<a <cD ．b<c<a7、下列几个图形中,可以表示函数关系y=f(x)的那一个图是( )AB C D8、如图, 给出幂函数y=x n在第一象限内的图象, n取±2 , ±21四个值, 则相应于曲线C1 , C2 , C3 , C4的n依次为( )A. －3 , －31,31, 3 B、3，.31，－31, －3C. －31, －3 , 3,31D. 3 ,31, －3 , －319、定义在R上的函数()f x对任意两个不相等实数,a b，总有()()f a f ba b->-成立，则必有（）A、函数()f x是先增加后减少B、函数()f x是先减少后增加C、()f x在R上是增函数D、()f x在R上是减函数10、函数()23xf x=-的零点所在区间为（）.A．（-1，0） B. （0，1） C. （1，2） D. （2，3）二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．将答案填在题中的横线上．11、已知集合A＝｛x｜y＝x2－2x－2，x∈R｝，B＝｛y｜y＝x2－2x＋2，x∈R｝，则A∩B ＝____ ．12、设22 (1)() (12)2 (2)x xf x x xx x+-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥，若()3f x=，则x=。
13、已知{})2,1(12∈+=xxy，则函数的值域为14、已知函数f（x）＝221xx＋，那么f（1）＋f（2）＋f（21）＋f（3）＋f（31）＋f（4）＋f（41）＝________．15、已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，f （－2）＝10，则f （2）=____．16、化简()=-444π17、若方程023)3(2=-+++a x a x 的一根小于—1，另一根大于0，则a 的取植范围是 18、如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(2m )与时间t (月) 的关系:t y a =,有以下叙述:① 这个指数函数的底数是2; ② 第5个月时,浮萍的面积就会超过230m ; ③ 浮萍从24m 蔓延到212m 需要经过1.5个月; ④ 浮萍每个月增加的面积都相等;⑤ 若浮萍蔓延到22m 、23m 、26m 所经过的时间分别为1t 、2t 、3t ，则123t t t +=.其中正确的是 （填序号）南阳中学2007～2008学年度第一学期期中考试高 一 数 学 试 卷一、选择题：（本大题共有10小题，每小题5分，共50分）二、填空题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．将答案填在横线上）11． ),1[+∞ 1213． {}5,3 14． 2715、 --26 16、 π-417、 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-32, 18、 1、2、5t/月三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、 (本题满分12分)计算题：（1）0.25－1×(4121)436()23⨯+log 2(51)×log 3(81)×log 5(91) （2）已知32121=+-xx ,试求23222323-+-+--x x x x 的值。
（1）0 6分 （2）316分 20、 (本题满分14分)已知2()3f x x ax =++在[1,1]-上的最小值为3-,求a 的值。
20. 解：当12a->时，即2a <-时 min (1)43,y f a ==+=-7.a ∴=- 4分 当112a-≤-≤时，即22a -≤≤时 2min12()3,24a a y f -=-==-a ∴=±. 4分 当12a-<-时，即2a >时 min (1)43,y f a =-=-=-7.a ∴= 4分 综上：7.a =± 2分21、 (本题满分14分)确定函数y ＝x ＋x5（x ＞0）的单调区间，并用定义证明． 解：单调增区间为（+∞,5） 2分单调减区间为（0，]5 2分 设2121),,0(,x x x x +∞∈=-)()(21x f x f )5(52211x x x x +-+=212121)5)((x x x x x x -- 6分 2121),,0(,x x x x +∞∈021 x x -∴，021 x x当x ∈（+∞,5）时，0521 -x x 0)()(21 x f x f -，)(x f 为增函数 2分 当x ∈（0，]5时，0521 -x x 0)()(21 x f x f -，)(x f 为减函数 2分 22、 (本题满分14分)设函数)(x f y =是定义在（0,+∞）上的减函数，并且满足)()()(y f x f xy f +=，131=⎪⎭⎫⎝⎛f ．（1）求)1(f 的值；（2）若存在实数m ，使得()f m ＝2，求m 的值； （3）如果2)2()1( x f f -+，求x 的取值范围.22、 解：（1）令1==y x ，则)1()1()1(f f f +=，∴0)1(=f 4分（2）∵131=⎪⎭⎫⎝⎛f ∴23131)3131(91=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f f∴m=2 4分 （3）∴()()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+91)2(222f x f x f f ， 2分又由)(x f y =是定义在R ＋上的减函数，得：()⎪⎩⎪⎨⎧>--029122x x 解之得：⎪⎭⎫⎝⎛∈2,1835x . 4分 23、 (本题满分16分)季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售。
（1）试建立价格P 与周次t 之间的函数关系式。
（2）若此服装每件进价Q 与周次t 之间的关系为Q ＝－0.1252)8(-t ＋12，t ∈[0，16]，t ∈N *，试问该服装第几周每件销售利润L 最大?（注：每件销售利润＝售价－进价）23t ∈[0,5](1) P= 20 t ∈(5,10] 640-2t t ∈(10,16](2)二次函数最值3种情况分别求 8 当t ∈[0,5] 时，=L 10+2t+0.1252)8(-t -12 5=t 时125.9max =L 元 当t ∈(5,10] 时，=L 20+0.1252)8(-t -12， t =6或10时，5.8max =L 元 当t ∈(10,16] 时，=L 40-2t+0.1252)8(-t -12 ，11=t 时875.12max -=L 元。