26.1.3 函数y=ax2+k 的图象和性质
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26.1.3二次函数y=a(x-h)2图像
a>0
a<0
图象
h>0
开口
h<0
h>0
h<0
对称性
顶点
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 直线ｘ＝ｈ
(ｈ,0)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
增减性
在同一坐标系中观察 y 3x 2 和 y 3 x 1 的函数图象， 回答问题。
2
(1)函数y=3(x-1)2的图象 与y=3x 2 的图象有什么关 系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别 是什么?
二次函数y=3(x-1)2 与y=3x2的图象形状 相同,可以看作是抛 物线y=3x2整体沿x轴 向右平移了1 个单位
y 3x 2
y 3x 1
2
图象是轴对称图形 对称轴是平行于 y轴的直线:x=1.
y 3x
2
y 3x 1
2
顶点是最低点,函数 有最小值.当x=1时, 最小值是0..
在对称轴(直线:x=1)左侧 (即x>1时),函数y=3(x-1)2 的值随x的增大而增大,.
想一想,在同一坐标系中作出二次函数 y=3(x+1)2的图象,它的增减性会是什么样?
1. 抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2的形状完全相同, 开口方向一致; 当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下. 2.抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平 移|h|得到. (h>0,向右平移;h<0向左平移.) 3.抛物线y=a(x－h)2有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向上; (2)对称轴是x=h; (3)顶点是(h,0). 4.抛物线y=ax2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下; (2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k).
26.1二次函数y=ax2+k图象和性质(2)
一12 3
个
运
动
员
推
铅 3米
12 3
球，
4米铅
一场篮球赛中,小明跳起投篮,已知球出手时离地面 高 20 米,与篮圈中心的水平距离为8米,当球出 手后9水平距离为4米时到达最大高度4米,设篮球 运行的轨迹为抛物线,篮圈中心距离地面3米。
问此球能否投中？
4米
3米
20
9
4米
8米
在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为 多少时能将篮球投入篮圈?
6y
4
0,
20 9
2
（4，4）
（8， 83,）290
01 2
-2
3 4 55 6 7 8 9 10
x
在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝 着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投 入篮圈？
6y
4
0,
20 9
2
（4，4） （5，4） (７，３） ● （8，3）
01
2
3
4
55
• 3、已知二次函数的图像经过点（1，9） 和（2，4）且它与x轴只有一个交点，求 这个二次函数。
• 4、如图所示的抛物线是把y=-x2经过平移 而得到的，这时抛物线经过原点O和X轴 正方向上一点A，顶点为P，当 ∠OPA=90°时，求抛物线的顶点P的坐标 及解析式
• 5、已知A为抛物线
y 3x2 2 3x 3
（3）对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3，且经过（1，2）的点的 解析式，
2、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数
y=ax2+c的图象大致是如图中的（
） y
y
y
y
o
26.1.3二次函数的图像(2)
1 2 y ( x 1 ) 画出二次函数 2
1 y、 ( x 1) 2 2
解: 先列表
点(－1,0)且与x轴垂直的直 线,我们把它记为x=－1, 顶点是(－1,0); 1 1 2 y ( x 1 ) y ( x 1) 抛物线 呢 ? 2 2
2
x=－1
-5 -6 -7 -8 -9 -10
x
向上或向下平移|k|得到. (k>0,向上平移;k<0向下平移.)
求抛物线y=-2x2+1与x轴、y 轴的交点坐标
的 图像,并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.:
… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 1 y ( x 1) 2 … -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 … 2 1 y ( x 1) 2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 … 2 y 1 2 1 然后描点画图,得 y ( x 1) 2 1 2 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x 和 y 2 ( x 1) 的图象. -1 -2 1 2 可以看出,抛物线 y 1 ( x 1) 2 y ( x 1 ) -3 2 2 -4 的开口向下, 对称轴是经过 x
右 平移____ 1 物线y=3(x-1)2是由抛物线y=3x2向____
单位而得到。
5、指出抛物线抛物线y= 2x2-4x+2的开口方向, 对称轴,顶点坐标;函数有最大值还是最小值? 是多少?
6.函数 y 4 x 4 x 1 的图象与坐标 2 轴有几个交点?可以由抛物线 y 4 x 平移得到吗？应怎样平移？
顶点是(－1, －1). 平移方法1:
x
平移方法2:
26.1二次函数y=ax2+k的图象和性质(1)
① 抛物线 y ② 抛物线 y ③ 抛物线 y （0，1），顶点是最低点 轴 x 2的开口方向 向上，对称轴为 y轴，顶点坐标为
x 2 1的开口方向向上，对称轴为 y轴，顶点坐标为 （0，1），顶点是最 低点 轴
x 2 1的开口方向向上，对称轴为 y轴，顶点坐标为 （0，1），顶点是最 低点 轴
a正负→开口方向 a相同→
⑤ 观察抛物线有何异同？ |a|越大开口越小 |a|越小开口越大
a大小→开口大小→
b相同→ 对称轴相同 当c>0时，向上平移 c相同→ 顶点不同→ 当c<0时，向下平移
１
归 纳
推一推抛物线的一些性质？
① 抛物线 y ax 2 c 的对称轴是y轴 ，顶点是（0，c） ② 当a>0时，抛物线开口 向上，顶点是最低 点
2
y x2 x
y ax 2 bx(a 0, c 0)
是不是二次函数？
3、一般地，抛物线
y ax 是轴对称图形，对称轴是y
2
轴，顶点是(０，０)。当a>0时，开口向上，顶点是图像
的最低点；当a<0时，开口向下，顶点时图像的最高点。
4பைடு நூலகம்二次函数
yx
2
与y
x 的图像关于x轴对称。
当a<0时，抛物线开口向下，顶点是最 高点
③ |a|的值越大，抛物线开口越小 |a|的值越小，抛物线开口越大
2 ④ 当c>0时，抛物线 y ax c是由 y ax 2 向上 平移k 个单位得到的；
当c<0时，抛物线 y ax 2 c是由 y ax 2 向下平移k 个单位得到的；
2
归纳：
a的正负决定了函数图像的开口方向， a的大小决定了函数图像的开口大小，即a决定 了函数图像的形状。
x 2 1的开口方向向上，对称轴为 y轴，顶点坐标为 （0，1），顶点是最 低点 轴
x 2 1的开口方向向上，对称轴为 y轴，顶点坐标为 （0，1），顶点是最 低点 轴
a正负→开口方向 a相同→
⑤ 观察抛物线有何异同？ |a|越大开口越小 |a|越小开口越大
a大小→开口大小→
b相同→ 对称轴相同 当c>0时，向上平移 c相同→ 顶点不同→ 当c<0时，向下平移
１
归 纳
推一推抛物线的一些性质？
① 抛物线 y ax 2 c 的对称轴是y轴 ，顶点是（0，c） ② 当a>0时，抛物线开口 向上，顶点是最低 点
2
y x2 x
y ax 2 bx(a 0, c 0)
是不是二次函数？
3、一般地，抛物线
y ax 是轴对称图形，对称轴是y
2
轴，顶点是(０，０)。当a>0时，开口向上，顶点是图像
的最低点；当a<0时，开口向下，顶点时图像的最高点。
4பைடு நூலகம்二次函数
yx
2
与y
x 的图像关于x轴对称。
当a<0时，抛物线开口向下，顶点是最 高点
③ |a|的值越大，抛物线开口越小 |a|的值越小，抛物线开口越大
2 ④ 当c>0时，抛物线 y ax c是由 y ax 2 向上 平移k 个单位得到的；
当c<0时，抛物线 y ax 2 c是由 y ax 2 向下平移k 个单位得到的；
2
归纳：
a的正负决定了函数图像的开口方向， a的大小决定了函数图像的开口大小，即a决定 了函数图像的形状。
26.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象(3)
课后作业：教科书复习巩固第5,8题．
练习
画出下列函数图象，并说出抛物线的 开口方向、对称轴、顶点，最大值或 最小值各是什么及增减性如何？
y= 2（x-3）2+3 y= −2（x+3）2-2 y= −2（x-2）2-1
y= 3（x+1）2+1
x
及时小结
转化 数学问题 建 模
实际问题
确立坐标系 确定点坐标
利用性质 求出解析式
巩固练习
1．抛物线 y x 2 3 的顶点坐标是（ A ） A.（－2，3） B.（2，3） C.（－2，－3） D.（2，－3）
2
2.把抛物线 y x 向左平移1个单位，再向上平移 3个单位，平移后抛物线的解析式为（ D ） A. y ( x 1)2 3 B.y ( x 1)2 3 C. y ( x 1)2 3 D.y ( x 1)2 3
引入新知
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
再描点画图.
解:
先列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 … 直线x=－1
y=ax2+k的图象是由y=ax2的图象 平移 沿 轴向 平移____ _个单位 得到的，k为正向 ，k为负向 .
y=a(xh)2的图象是由y=ax2的图 象沿___轴向 平移 个单位 得到的，h为正向_____，h为负 向_____.
课堂小结
这节课中， 你有哪些收获？ 解决问题的方法是什么？ 还有哪些疑惑？
26.1.3二次函数及其图象(3)
总结
(1) 抛物线 y a( x h) 的图象可由 y ax 的图象左右平
2
2
移得到, h 0 ,向右平移, h 0 ,向左平移,平移
h个单位.
(2)抛物线 y a( x h)的性质：
2
① a 0时,开口向上；a 0 时，开口向下； ②对称轴是直线 x
h；
③顶点坐标是 ( h,0).
练习二
1.在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象：
1 2 y x , 2
1 y ( x 2) 2 , 2
y
1 ( x 2) 2 . 2
观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方
1 2 y ( x h ) 向及对称轴、顶点的位置.你能说出抛物线 2
的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？
一、复习 用描点法画出函数 向、对称轴与顶点坐标. 图象， 并根据图象指出抛物线
yx
yx
2
2
的开口方
对于二次函数y ax
a>0时 顶点坐标 对称轴 位置
（0，0）
y轴 在x轴的上方 （除顶点外） 向上
2
a< 0时
（0，0）
y轴 在x轴的下方 （除顶点外） 向下
开口方向 当x=0时,y最小值=0。 当x=0时,y最大值=0 最值
2.抛物线y=
B．向下平移1个单位； D．向右平移1个单位．
2x2 向上平移5个单位,会得到哪条抛物线. 向下平移3.4个单位呢? 3、把抛物线y= 2x2-4x+2化成y= a(x-h)2的形式,并指出 抛物线的开口方向,对称轴,顶点坐标;函数有最大值 还是最小值?是多少?
点，当x=
，与y轴交点坐标 直线x=3
九年级数学下册 第二十六章 反比例函数26.1 反比例函数26.1.3 二次函数y=a(x-h)2+
y 3x2
向、对称轴和顶点坐标分 别是什么?
与y=-3x²有关
y3x12 y3x122
二次函数y=-3(x-1)2+2与
y=-3(x-1)2-2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向右平移1个
单位,再沿直线x=1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.
对称轴仍是平行于
y轴的直线(x=1).
x=1
【例 2】要修建一个圆形喷水池，在池
y
中心竖直安装一根水管，在水管的顶端
安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱
在与池中心的水平距离为1m处达到最高，
高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水
管应多长？
解析：如图建立直角坐标系，点（1，3）
是顶点，设抛物线的解析式为
y=a(x-1)2 +3（0≤x≤3），
∵点（3，0）在抛物线上，
系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-(x-2)2+4（单位：米）
的一部分，则水喷出的最大高度是( )
A．4米
B．3米
C．2米
D．1米
【解析】选A. 抛物线的
y (米)
顶点坐标为（2,4），
所以水喷出的最大高度
是4米.
x (米)
4.（温州·中考）已知二次函数的图象如图所示，关于该 函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( ) A.有最小值0，有最大值3 B.有最小值-1，有最大值0 C.有最小值-1，有最大值3 D.有最小值-1，无最大值 【解析】选C．因为图象顶点的纵 坐标为－１，最高值为３．故选Ｃ．
26.1.3 二次函数y=a(xh)2+k的图象
第2课时
1.会画y=a(x-h)2+k的图象； 2.了解y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的关系，能结合图 象理解y=a(x-h)2+k的性质.
26.1.3函数y=a(x—h)2的图象
2
2
在同一坐标系中观察 y 3x 2 y 3 x 1 和 的函数图象， 回答问题。
2
(1)函数y=3(x-1)2的图象
与y=3x2 的图象有什么关 系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别 是什么?
二次函数y=3(x-1)2 与y=3x2的图象形状 相同,可以看作是抛 物线y=3x2整体沿x轴 向右平移了1 个单位
（5）将函数y=3（x－4）2的图象沿x轴对折后得到的函 数解析式是 y=－3（x－4）2 ；将函数y=3（x－4）2的 图象沿y轴对折后得到的函数解析式是 y=3（x+4）2 ； （6）把抛物线y=a（x-4）2向左平移6个单位后得到抛 物线y=- 3（x-h）2的图象，则 a= -3 ，h= -2 .若 抛物线y= a（x-4）2的顶点A，且与y轴交于点B，抛 物线y= - 3（x-h）2的顶点是M，则SΔMAB= 144 . （7）将抛物线y=2x2－3先向上平移3单位，就得到函 数 y=2x2 的图象，在向 右 平移 3 个单 位得到函数y= 2（x-3）2的图象. （8）函数y=（3x+6）2的图象是由函数
x=-1
1 y ( x 1) 2 2
x=1
1 y ( x 1) 2 2
y
1 2 x 2
观察回答：顶点式二次函数图像的平移.gsp 1 y ( x 1) 函数 的图象,开口方向 下 ，对称轴 2 1 (-1,0) y ( x 1) 的图象,开口方 是 x=-1 ，顶点是 ；函数 2 （ 向 下 ，对称轴是 x=1 ，顶点是 1，0） 。
直线x=h
在x轴的下方( 除顶点外) 向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
2
在同一坐标系中观察 y 3x 2 y 3 x 1 和 的函数图象， 回答问题。
2
(1)函数y=3(x-1)2的图象
与y=3x2 的图象有什么关 系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别 是什么?
二次函数y=3(x-1)2 与y=3x2的图象形状 相同,可以看作是抛 物线y=3x2整体沿x轴 向右平移了1 个单位
（5）将函数y=3（x－4）2的图象沿x轴对折后得到的函 数解析式是 y=－3（x－4）2 ；将函数y=3（x－4）2的 图象沿y轴对折后得到的函数解析式是 y=3（x+4）2 ； （6）把抛物线y=a（x-4）2向左平移6个单位后得到抛 物线y=- 3（x-h）2的图象，则 a= -3 ，h= -2 .若 抛物线y= a（x-4）2的顶点A，且与y轴交于点B，抛 物线y= - 3（x-h）2的顶点是M，则SΔMAB= 144 . （7）将抛物线y=2x2－3先向上平移3单位，就得到函 数 y=2x2 的图象，在向 右 平移 3 个单 位得到函数y= 2（x-3）2的图象. （8）函数y=（3x+6）2的图象是由函数
x=-1
1 y ( x 1) 2 2
x=1
1 y ( x 1) 2 2
y
1 2 x 2
观察回答：顶点式二次函数图像的平移.gsp 1 y ( x 1) 函数 的图象,开口方向 下 ，对称轴 2 1 (-1,0) y ( x 1) 的图象,开口方 是 x=-1 ，顶点是 ；函数 2 （ 向 下 ，对称轴是 x=1 ，顶点是 1，0） 。
直线x=h
在x轴的下方( 除顶点外) 向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
26.1.3二次函数 的图象(四)
26.1.3二次函数()k h x a y +-=2的图象（四）九年级下册 编号06【学习目标】 会用二次函数()k h x a y +-=2的性质解决问题；【学习过程】 一、知识链接： 1.抛物线22(+1)3y x =--开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x ＝时，y 有最 值为 。
当x 时，y 随x 的增大而增大.2. 抛物线22(+1)3y x =--是由22y x =-如何平移得到的？答：。
二、自主学习1.抛物线的顶点坐标为（2，-3），且经过点（3,2）求该函数的解析式？ 分析：如何设函数解析式？写出完整的解题过程。
2.仔细阅读课本第10页例4：分析：由题意可知：池中心是 ，水管是 ，点 是喷头，线段 的长度是1米，线段 的长度是3米。
由已知条件可设抛物线的解析式为 。
抛物线的解析式中有一个待定系数，所以只需再确定 个点的坐标即可，这个点是 。
求水管的长就是通过求点 的 坐标。
二、跟踪练习：如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米. AO= 3米，现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系.(1) 直接写出点A 及抛物线顶点P 的坐标； (2) 求出这条抛物线的函数解析式；三、能力拓展 1.知识准备 如图抛物线()214y x =--与x 轴交于A,B 两点，交y 轴于点D ，抛物线的顶点为点C（1） 求△ABD 的面积。
（2） 求△ABC 的面积。
x y -1123-1123DC BO A xy B PA MOxyDBA OC（3）点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为4时，求所有符合条件的点P的坐标。
（4）点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为8时，求所有符合条件的点P的坐标。
（5）点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为10时，求所有符合条件的点P的坐标。
2.如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与轴、轴分别相交于两点．（1）求出直线AB的函数解析式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；（3）设（2）中的抛物线交轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．。
22.1.3 二次函数yax2 k的图象和性质 课件(共15张PPT)
解析式为___y_=_a_x_2_+_k___,向下平移k个单位，那么它的 解析式为____y_=_a_x_2_-_k___.
抛物线之间的平移规律：
抛物线
y=ax2 向上平移 抛物线
k(k>0)个单位
y=ax2+k
抛物线 y=ax2 向下平移 抛物线 y=ax2-k
k(k>0)个单位
运用所学，巩固练习
������
方向相反的抛物线所对应的函数是( B )
A.y=-������x2-1
������
B.y=������x2-1
������
C.y=-������x2+1
������
D.y=������x2+1
������
2.下列函数中,当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大的是
(B )
A.y=-x+1 B.y=x2-1 C.y=������ D.y=-x2+1
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
例3 已知抛物线 y 4x2 c 与直线 y=-x+k相交于A、B
两点，点A的坐标为（1，1）
（1）求c、k的值；
（2）若抛物线顶点为M，求三角形ABM的面积。
������
例1 已知函数 y ax2 c的图象过点（1，-1）和点（2，
5）， （1）求这个函数的解析式； （2）当x取何值时，函数值y随x的增大而增大； （3）求这个函数的图象与x轴的交点坐标。
例2 问：点A（1，7）是否在抛物线 y 2x2 上？如果不
在，那么怎样向上（或向下）平移抛物线可使平移后的抛 物线经过A点？
抛物线之间的平移规律：
抛物线
y=ax2 向上平移 抛物线
k(k>0)个单位
y=ax2+k
抛物线 y=ax2 向下平移 抛物线 y=ax2-k
k(k>0)个单位
运用所学，巩固练习
������
方向相反的抛物线所对应的函数是( B )
A.y=-������x2-1
������
B.y=������x2-1
������
C.y=-������x2+1
������
D.y=������x2+1
������
2.下列函数中,当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大的是
(B )
A.y=-x+1 B.y=x2-1 C.y=������ D.y=-x2+1
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
例3 已知抛物线 y 4x2 c 与直线 y=-x+k相交于A、B
两点，点A的坐标为（1，1）
（1）求c、k的值；
（2）若抛物线顶点为M，求三角形ABM的面积。
������
例1 已知函数 y ax2 c的图象过点（1，-1）和点（2，
5）， （1）求这个函数的解析式； （2）当x取何值时，函数值y随x的增大而增大； （3）求这个函数的图象与x轴的交点坐标。
例2 问：点A（1，7）是否在抛物线 y 2x2 上？如果不
在，那么怎样向上（或向下）平移抛物线可使平移后的抛 物线经过A点？
26.1.3.y=a(x+k)2
26.1.3 二次函数()k h x a y +-=2的图象（二）【学习目标】1．会画二次函数2)(h x a y -=的图象； 2.知道二次函数2)(h x a y -=与2ax y =的联系． 3.掌握二次函数2)(h x a y -=的性质，并会应用； 【学习过程】 一、温故知新1.将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。
2.将抛物线142+-=x y 的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为 。
二、自学指导画出二次函数2)1(+=x y ，2)1(-=x y 的图象；先列表：观察发现：（1）2)1(+=x y 的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 。
图象有最 点，即x = 时，y 有最 值是 ；在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x时y 随x 的增大而 。
2)1(+=x y 可以看作由2x y =向 平移 个单位形成的。
（2）2)1(-=x y 的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，图象有最 点，即x = 时，y 有最 值是 ；在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时y 随x 的增大而 。
2)1(+=x y 可以看作由2x y =向 平移 个单位形成的。
三、合作交流 归纳总结：（一）抛物线2)(h x a y -=特点：1.当0a >时，开口向 ；当0a <时，开口 ；2. 顶点坐标是 ；3. 对称轴是直线 。
（二）抛物线2)(h x a y -=与2y ax =形状相同，位置不同，2)(h x a y -=是由2y ax = 平移得到的。
（填上下或左右）二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。
（三）a 的正负决定开口的 ；a 决定开口的 ，即a 不变，则抛物线的形状 。
因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a 值 。
四、课堂训练1．抛物线()223y x =+的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大。
26.1.3_二次函数y=ax2+k的图象和性质
1、把抛物线y=-2x2向上平移3个单位长度，得 y=-2x2+3 到的抛物线是
2、把抛物线y=-x2-2向下平移5个单位，得到的 y=-x2-7 抛物线是 3、一条抛物线向上平移2.5个单位后得到抛物 2，原抛物线是 y=0.5x2-2.5 线y=0.5x
4、说出下列函数图象的性质：
1 2 (1) y x 2 2
y
y
1 2 x 2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
想一想
抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？ 怎样决定的？k决定什么？它的对称 轴是什么？顶点坐标怎样表示？
总结
2+k有如 一般地抛物线y=ax
下性质：
1、当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下，
2、对称轴y轴（或x=0），
2.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是( C)
A.对称轴
B.开口方向
C.顶点
D.形状
3.已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1，y1 ) ,(x1，y1 )
且x1＜x2＜0，则y1 ＜ y2(填“＜”或“＞”)
4、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和 二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的（ ）
在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： y=0.5x2，y=0.5x2+2 , y=0.5x2-2
观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开 口方向、对称轴及顶点。 你能说出抛物线y=0.5x2+k的开口方向、对 称轴及顶点吗？它与抛物线y=0.5x2有什么 关系？
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
3、顶点坐标是（0，k）， 4、|a|越大开口越小，反之开口越大。
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-5
讨论
（2）抛 物线 y=x2+1、 2-1与 y=x y=x2抛物 线有什么 关系？
-5
y=x2+1
y
y=x2
8
6
y=x2-1
4
2
5
x
-2
2 把抛物线y=x
向下移1个单 位，就得到抛 物线y=x2-1； 抛物线y=x2向 上平移1个单 位，就得到抛 物线y=x2+1。
-5
y=x2+1
y
y=x2
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2 a＞0
O O
a＜0
图象
开口
对称性
开口向上 开口向下 |a|越大，开口越小 关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点
增减性
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
1、函数y=4x2的图象的开口 向上 , 对称轴是 y轴 ,顶点是 (0,0) ; 函数有最 小 值为 0 。
2、把抛物线y=-x2-2向下平移5个 2-7 单位，得到的抛物线是 y=-x 3、一条抛物线向上平移2.5个单位 后得到抛物线y=0.5x2，原抛物线 y=0.5x2-2.5 是
4、分别说下列抛物线的开口 方向，对称轴、顶点坐标。 （1）y=-x2-3
（2）y=1.5x2+7
2-1 （3）y=2x
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k a＞0 a＜0
图象
开口
对称性
开口向上 开口向下 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称 （0，k） 顶点是最低点 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
顶点 增减性
顶点是最高点 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
1、把抛物线y=-2x2向上平移3个单位 长度，得到的抛物线是 y=-2x2+3
8
6
y=x2-1
4
2
5
x
-2
思考
把抛物线y=2x2向上平移5个单位， 会得到哪条抛物线？向下平移3.4个 2+5 y=2x2-3.4 单位呢？ y=2x
归纳：把抛物线y=ax2向上平移k 2+k； 个单位，就得到抛物线y=ax 2向下平移k个单位， 把抛物线y=ax 就得到抛物线y=ax2-k
思考
2、函数y=－3x2的图象的开口 向下 , (0,0) 对称轴是 y轴 ,顶点是___ 顶点是抛 物线的最 高 点
例2 在同一直角坐标系中，画出二次 函数y=x2+1,y=x2-1的图象。
解：列表：
-3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2+1 … 10 5 2 1 2 5 10 … … y=x2-1 … 8 3 0 -1 0 3 8
x
…
讨论
y
y=x2+1
10
（1）抛物线 2+1、 y=x y=x2-1的开 口方向、对 称轴、顶点 各是什么？
-5
8
6
4
2
2-1 y=x
5
抛物线
开 对 顶点 口 称 坐标 方轴 向 向y 上轴
y
y=x2+1
10
8
y=X +1 y= 上 轴 (0,-1)
4
2
y=x2-1
5
2+k中的a决定什么？ 抛物线y=ax
怎样决定的？k决定什么？它的 对称轴是什么？顶点坐标怎样表 示？
总结 2+k有如 一般地抛物线y=ax 下性质： 1、当a>0时，开口向上；当a<0时， 开口向下. 2、对称轴y轴（或x=0） 3、顶点坐标是（0，k） 4、|a|越大开口越小，反之开口越 大。 |a|相同，两函数图像开口相同
5 5 2、已知二次函数y=2x2+3，当x取 何值时，y随x的增大而增大；当x取 何值时，y随x的增大而减小？ 3、二次函数y=ax2+k（a，k是常数）， 当x取值x1、x2时（x1≠x2），函数值相 等，则当x取x1+x2时，函数值为 k
1、二次函数y=ax2+k的图象经过点A（2， 3）， B（3，5），求这个函数的解析 2 2 7 式。 y x