【配套K12】2018-2019学年高中数学苏教版必修四教学案：第1章 章末小结小结与测评-含答案
【配套K12】2018-2019学年高中数学苏教版必修4教案：第一章 三角函数 第1课时 1.1任意
第1课时§1.1 任意角【教学目标】一、知识与技能1.推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义；象限角、坐标轴上的角的概念；终边相同角的表示方法．2.理解并掌握正角、负角、零角的定义；理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法．二、过程与方法：渗透数形结合的数学思想，考虑问题要细致，说理要明确三、情感、态度与价值观：体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念。
【教学重点难点】：（1）正角、负角、零角的定义；（2）终边相同的角的表示方法【教学过程】【问题情境】通过周期运动的实例引人三角函数．让学生对本章有一个初步印象．【学生活动】初中我们已给角下了定义．我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角α．角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置的图形(先后用教具和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备)．讲解新课：1．角的概念的推广⑴“旋转”形成角一条射线OA绕着______________________，就形成角α．____ _叫做角α的始边，______叫做角α的终边，_____叫做角α的顶点．⑵．“正角”与“负角”“0角”我们把_______________________叫做正角，把_______________________叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°，⑶意义用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
1 角有正负之分2 角可以任意大3 可以为零角2．“象限角及轴线角”建立平面直角坐标系,角的顶点重合于___________，角的始边重合于_______，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限,称之为________）3．终边相同的角(1)在平面直角坐标系中作出30, 390，330角⑴观察：390，330角，它们的终边都与________角的终边相同⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与)(Z k k ∈个周角的和： 390=______+____360 330=______+_____360⑶结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：}{__________==ββS例题分析：例1、在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角(1)120(2)640(3)95012'-︒︒-︒例2、写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中在360~720-︒︒间的角写出来：（1）60︒ （2）21-︒ （3）36314︒'。
高中数学 第1章 三角函数章末复习课讲义 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学教案
第1章 三角函数任意角的三角函数概念(1)已知角α的终边过点P (－4m,3m )(m ≠0)，则2sin α＋cos α的值是________． (2)函数y ＝sin x ＋2cos x －1的定义域是________． 思路点拨：(1)根据三角函数的定义求解，注意讨论m 的正负． (2)利用三角函数线求解．(1)25或－25 (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z[(1)r ＝|OP |＝(－4m )2＋(3m )2＝5|m |.当m >0时，sin α＝y r ＝3m 5m ＝35，cos α＝x r ＝－4m 5m ＝－45，∴2sin α＋cos α＝25.当m <0时，sin α＝y r ＝3m －5m ＝－35，cos α＝x r ＝－4m －5m ＝45，∴2sin α＋cos α＝－25.故2sin α＋cos α的值是25或－25.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≥12，如图，结合三角函数线知：⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，2k π－π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，解得2k π≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z.]三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：(1)任意角和弧度制.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算. (2)任意角的三角函数.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域.1．(1)已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的非负半轴．若角α的终边经过点P (－3，y )，且sin α＝34y (y ≠0)，判断角α所在的象限，并求cos α和tan α的值； (2)若角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值． [解] (1)依题意，点P 到原点O 的距离为|PO |＝(－3)2＋y 2，∴sin α＝y r＝y3＋y2＝34y . ∵y ≠0，∴9＋3y 2＝16，∴y 2＝73，∴y ＝±213. ∴点P 在第二或第三象限． 当点P 在第二象限时，y ＝213，cos α＝x r ＝－34，tan α＝－73.当点P 在第三象限时，y ＝－213，cos α＝x r ＝－34， tan α＝73. (2)设角α终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)， 则r ＝x 2＋y 2＝k 2＋(－3k )2＝10|k |. 当k >0时，r ＝10k . ∴sin α＝－3k10k＝－310，1cos α＝10k k ＝10.∴10s in α＋3cos α＝－310＋310＝0.当k <0时，r ＝－10k .∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10kk ＝－10.∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.同角三角函数的基本关系与诱导公式已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0,2π)．求：(1)cos 2⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos (－π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ1＋tan (π－θ)；(2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．思路点拨：先利用根与系数的关系得到sin θ＋cos θ与sin θcos θ，再利用诱导公式和三角函数的基本关系式求解．[解] 由根与系数的关系，得 sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2. (1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(2)由sin θ＋cos θ＝3＋12，两边平方可得1＋2sin θcos θ＝4＋234，1＋2×m2＝1＋32，m ＝32. (3)由m ＝32可解方程2x 2－(3＋1)x ＋32＝0， 得两根12和32.∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝12，cos θ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12.∵θ∈(0,2π)， ∴θ＝π6或π3.同角三角函数的基本关系和诱导公式是三角恒等变换的主要依据，主要应用方向是三角函数式的化简、求值和证明.常用以下方法技巧：(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形.(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再化简变形.(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式.2．已知f (α)＝sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)sin (－π＋α)·tan (－α＋3π).(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－47π4，求f (α)的值．[解] (1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α(－sin α)(－tan α)＝sin α·cos α.(2)由f (α)＝sin α·cos α＝18可知，(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34.又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－32. (3)∵α＝－47π4＝－6×2π＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π4·sin ⎝⎛⎭⎪⎫－47π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4＝cos π4·sin π4＝22×22＝12.三角函数的图象与性质已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋1ω>0，A >0,0<φ<π2的周期为π，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3＋1，且f (x )的最大值为3.(1)写出f (x )的表达式；(2)写出函数f (x )的对称中心，对称轴方程及单调区间；(3)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．思路点拨：(1)由T ＝2πω求ω，由f (x )的最大值为3求A ，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3＋1，求φ. (2)把ωx ＋φ看作一个整体，结合y ＝sin x 的单调区间与对称性求解．(3)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2求出ωx ＋φ的X 围，利用单调性求最值．[解] (1)∵T ＝π，∴ω＝2πT＝2.∵f (x )的最大值为3，∴A ＝2. ∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3＋1， ∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋φ＋1＝3＋1，∴cos φ＝32. ∵0<φ<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1. (2)由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，令2x ＋π6＝k π，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )，∴对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，1(k ∈Z )．由2x ＋π6＝k π＋π2，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，∴对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．(3)当0≤x ≤π2时，π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为3，最小值为0.三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现.在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质.具体要求：(1)用“五点法”作y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π. (2)对于y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别.(3)已知函数图象求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法.3．函数f (x )＝cos(πx ＋φ)0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋fx ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．[解] (1)由题图得f (0)＝32，所以cos φ＝32， 因为0<φ<π2，故φ＝π6.由于f (x )的最小正周期等于2，所以由题图可知1<x 0<2. 故7π6<πx 0＋π6<13π6，由f (x 0)＝32得cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，所以πx 0＋π6＝11π6，x 0＝53. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝－sin πx ， 所以g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－sin πx ＝cos πx cos π6－sin πx sin π6－sin πx ＝32cos πx －12sin πx －sin πx ＝32cos πx －32sin πx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13时，－π6≤π6－πx ≤2π3.所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx ≤1，故π6－πx ＝π2，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3； 当π6－πx ＝－π6，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32. 数形结合思想【例4】 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的简图如图所示，求函数g (x )＝f (x )－lg x 零点的个数．思路点拨：识图→求A ，ω，φ→ 画出f (x )及y ＝lg x 的图象→下结论 [解] 显然A ＝2.由图象过(0,1)点，则f (0)＝1，即sin φ＝12，又|φ|＜π2，则φ＝π6.又⎝⎛⎭⎪⎫11π12，0是图象上的点，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝0， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12ω＋π6＝0，由图象可知，⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，0是图象在y 轴右侧部分与x 轴的第二个交点．∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2，因此所求函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.在同一坐标系中作函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6和函数y ＝lg x 的示意图如图所示：∵f (x )的最大值为2，令lg x ＝2，得x ＝100，令1112π＋k π＜100(k ∈Z )，得k ≤30(k ∈Z )，而1112π＋31π＞100，∴在区间(0,100]内有31个形如⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112π＋k π，1712π＋k π(k ∈Z,0≤k ≤30)的区间，在每个区间上y ＝f (x )与y ＝lg x 的图象都有2个交点，故这两个函数图象在⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π12，100上有2×31＝62个交点，另外在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1112π上还有1个交点，∴方程f (x )－lg x ＝0共有实根63个， ∴函数g (x )＝f (x )－lg x 共有63个零点．数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、判断图象交点的个数、求参数X 围等题目中.本章中，常常利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象解答三角问题，是典型的“以形助数”的方法，而利用三角公式证明三角函数中的几何性质问题，又是典型的“以数助形”的解题策略.4．若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪cos θ≤12，0≤θ≤π，求M ∩N .[解] 首先作出正弦函数与余弦函数以及直线y ＝12的图象，如图①②.结合图象得集合M ，N 分别为：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤π. 得M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤56π.。
「精品」高中数学第一章三角函数本章复习教案苏教版必修4
第一章三角函数本章复习整体设计知识网络1．任意角的概念是本章的基础，推广了角，扩大了研究的范围．在此基础上，为了计算中的简单，引入了两种度量制度：角度制与弧度制，但是其本质是一样的．其最基本的一个应用就是简化了弧长与扇形面积公式．同时也为定义任意角的三角函数作了前期工作，也就得到了本章的核心问题——任意角的三角函数定义．从这个核心出发，分成四条路线走，研究最基本的比例，就可以得到同角三角函数的基本关系式，同时根据定义就可以推导出诱导公式．知道了核心的本质意义在坐标系里面，可以定义点的坐标，为推导第三章和角公式作了应有的准备．而和角公式的两个特殊方面只是本身的一个推广，由此就得来了复杂多变的三角函数公式，而这些复杂的公式(第三章的倍角公式，差角公式)的本质又是和角公式．抛开比例的式子，应用弧度制的度量作为基础，就有了三角函数的图象和性质，这是三角与函数结合的产物，既有函数的特征，因此可以用函数的知识来解，又具有三角的特性，因此还可以用这一特点进行一些特殊的运算．所有的推导可以应用在计算与化简、证明恒等式上．2．数学的魅力在于系统、严密，学习的兴趣在于环环相扣．本章最为理想的复习方法就是引导学生打通本章中的这张知识网络图，这是进行具体问题具体分析的理论依据，也是解决问题最基本的方法．教师指导学生步步为营，将其引入数学王国，畅游科学殿堂．《三角函数》一章知识网络图三维目标1．通过全章复习，让学生切实掌握三角函数的基本性质，会判定三角函数的奇偶性，确定单调区间及求周期的方法．熟练掌握同角三角函数的基本关系式及六组诱导公式，弄清公式的推导关系和互相联系，让学生做到记准、用熟．2．要求学生会用“五点法”作正、余弦函数的简图，掌握应用基本三角变换公式的求值、化简、证明．3．本章的最终目标是让学生熟练掌握三角函数基础知识、基本技能、基本运算能力，以及数形结合思想、转化与化规思想，激发学生学习兴趣，培养他们善于总结、善于合作、善于创新以及应用数学解决实际问题的能力．重点难点教学重点：三角函数的定义，诱导公式，以及三角函数的图象与性质．教学难点：三角恒等变形及三角函数的图象与性质的综合运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)了解一下全章的知识网络结构，并回顾思考本章学习了哪些具体内容：首先，我们给出了三角函数的定义，包括任意角的三角函数的符号，同角三角函数的关系式，诱导公式．又共同学习了正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质．接下来，我们又共同探讨了它们的应用，并能运用上述公式和性质进行三角函数式的化简、求值、证明以及它们的综合运用．由此展开全章的系统复习．思路2.(问题导入)你现在已经会求任意角的三角函数值，会画三角函数的图象，会用三角函数模型来解释现实生活中具有周期性变换规律的一些现象．你是如何学习到这些知识的？又是如何提高自己能力的？由此引导学生回顾全章知识的形成过程，进而展开全面复习．推进新课知识巩固①我们是怎样推广任意角的？又是怎样得到任意角的三角函数定义的？②本章学习了哪些同角三角函数的基本关系式？怎样推导的？③本章都学习了哪些诱导公式？各有什么用途？怎样记忆？④你是如何得到正弦曲线、余弦曲线和正切曲线的？⑤你能从图象上说出三角函数的哪些性质？活动：问题①，为了使学生了解知识的形成顺序与过程，教师可引导学生回忆从前的学习情景，让学生感悟数学是在什么样的背景下向前推进的，同时也加强系统数学知识的记忆，居高临下地来掌握全章知识．问题②，教师引导学生回忆三角函数定义，回忆同角三角函数的基本关系式的推导，并回忆这些公式的作用和应用方法技巧．利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，也就是要就角所在象限进行分类讨论．同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角的三角函数间的相互关系，利用它可以使解题更方便，但要注意公式成立的前提是角对应的三角函数有意义．sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.问题③，教师引导学生回顾的同时，最好能利用多媒体或幻灯片来展示这些公式．以前学习的都是孤立的、零碎的，现在是放在一起记忆提高．幻灯片如下：问题④，三角函数性质是通过图象来研究的，而且画图、识图、用图也是对学生的基本要求．教师要让学生亲自动手画一画，以加深学生对三角函数性质的进一步理解提升．让学生明了：利用平移正弦线，可以比较精确地画出正弦函数的图象，利用正弦函数的图象和诱导公式，可以画出余弦函数的图象，可以看出在长度为一个周期的闭区间上有五个点(即函数值最大和最小的点以及函数值为0的点)．这五个点在确定正弦函数、余弦函数图象的形状时起着关键的作用．因此，在精确度不太高时，我们常用“五点法”画正弦、余弦函数以及与它们类似的一些函数〔特别是函数y ＝Asin(ωx ＋φ)〕的简图．教师同时打出幻灯(如图1、图2、图3)：图1图2图3问题⑤，让学生由图象说性质，教师可引导学生从函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、周期性、对称性等方面叙述．教师要强调，正弦、余弦、正切函数的图象以及它们的主要性质非常重要，要牢固掌握，但不要死记硬背．讨论结果：①～⑤略．应用示例例1已知角α终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3∶4(且均不为零)，求2sin α＋cos α的值．活动：本例属于较为简单的题目，目的是要学生熟悉任意角的三角函数定义，也要明确解题中的一种很重要的方法是回归定义．教师引导学生思考距离与坐标的不同、是否需要对点的坐标进行分类讨论，然后让学生独立完成此题．解：由题意，需对角α终边的位置进行讨论：①若角α终边过点P(4,3)，则2sin α＋cos α＝2×35＋45＝2；②若角α终边过点P(－4,3)，则2sin α＋cos α＝2×35＋－45＝25；③若角α终边过点P(－4，－3)，则2sin α＋cos α＝2×－35＋－45＝－2；④若角α终边过点P(4，－3)，则2sin α＋cos α＝2×－35＋45＝－25.点拨：任意角的三角函数定义不仅是本章的核心，也是整个三角函数的中心问题．要指导学生深刻理解三角函数定义的内涵，它只是一个比值，只与角的大小有关，而与点P 在角的终边上的位置无关.例2已知sin α＋3cos α＝0，求： (1)3cos α－sin α3cos α＋sin α；(2)2sin 2α－3sin αcos α＋2的值．活动：教师引导学生观察本题的条件与结论，关键是求sin α与cos α的值，由sin α＋3cos α＝0及sin 2α＋cos 2α＝1联立方程组即得sin α与cos α的值．教师进一步点拨：根据同角三角函数的基本关系，不直接求sin α与cos α的值，需作怎样的变形即可？对看出本题由已知可得tan α＝－3的同学教师给予鼓励并作进一步探究，对看不出这一步的学生再给予进一步引导，直至其独立解出此题．解：(1)3cos α－sin α3cos α＋sin α＝3－tan α3＋tan α＝3＋33－3＝－2－ 3.(2)2sin 2α－3sin αcos α＋2＝4sin 2α－3sin αcos α＋2cos 2α＝cos 2α(4tan 2α－3tan α＋2)＝11＋tan 2α(4tan 2α－3tan α＋2)＝11＋－2(4×9＋3×3＋2)＝4710.点拨：本题主要考查利用同角三角函数关系式求值．对于只含有正弦、余弦函数的齐次式，在求解时常常转化为只含有正切的式子，这种变形技巧十分重要，也称为“1”的代换，在今后的学习中经常用到，应要求学生仔细体会并熟悉掌握.变式训练1．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15，求tan α的值．解：由sin α＋cos α＝15平方整理，得sin αcos α＝－1225<0.∵α为三角形的内角，∴0<α<π，sin α>0，cos α<0. ∴sin α－cos α>0.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925，∴sin α－cos α＝75.由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15sin α－cos α＝75⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.点拨：本题主要考查同角三角函数的基本关系式．对于三角求值题目，一定要注意角的范围，有时要根据所给三角函数值的大小，适当缩小所给角的范围，才能求出准确的值．教师要抓住时机就此进一步挖掘，以激起学生的探究兴趣．2．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，π2<θ<π，则m 的取值范围是… ( )A ．3≤m≤9B ．m≤－5或m≥3C ．m ＝0或m ＝8D ．m ＝8 答案：D例3已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R (其中A>0，ω>0)的图象在y 轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为M(2,22)，与x 轴正半轴的第一个交点为N(6,0)，求这个函数的解析式．活动：本例是一道经典例题，主要考查三角函数模型的应用及训练学生的分析思维能力，对数形结合的思维要求也较高．教师可引导学生展开思考讨论，怎样根据题目中给出的条件找到思维的切入点．题目中虽然没有直接给出图象，实质是已知图象求解析式问题．指导学生画出草图，利用数形结合来深化题意的理解，事实上，学生很容易看出A 的值．如果学生没找出周期问题，教师可进一步点拨：题目中告诉的x 轴的横坐标2与6表示图象的哪段．根据题意，知道点M 、N 恰是函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R (其中A>0，ω>0)在对应于包含0的周期的那段图象的五个关键点中的两个．由此可知A 、T ，但要注意指导φ的求法．解：方法一：根据题意，可知T4＝6－2＝4，所以T ＝16.于是ω＝2πT ＝π8.又A ＝22，将点M 的坐标(2,22)代入y ＝22sin(π8x ＋φ)，得22＝22sin(π8×2＋φ)，即sin(π4＋φ)＝1.所以满足π4＋φ＝π2的φ为最小正数解．所以φ＝π4.从而所求的函数解析式是y ＝22sin(π8x ＋π4)，x∈R .方法二：由题意可得A ＝22，将两个点M(2,22)，N(6,0)的坐标分别代入y ＝22sin(ωx ＋φ)并化简，得⎩⎪⎨⎪⎧ω＋φ＝1，ω＋φ＝0，故在长度为一个周期且包含原点的闭区间上， 有⎩⎪⎨⎪⎧2ω＋φ＝π2，6ω＋φ＝π，从而所求的函数解析式是y ＝22sin(π8x ＋π4)，x∈R .点拨：由三角函数图象求解析式确定φ时，答案可能不只一个，这里可提醒学生注意，习惯上一般取离x 轴最近的一个，这样的解析式简洁．本例对学生有着很高的训练价值，特别是数形结合思想、转化与化归思想的运用．数形结合是数学中重要的思想方法，对各类函数的研究都离不开图象，在中学阶段，几乎所有函数的性质都是通过观察图象而得到的.例4已知函数f(x)＝12log (sinx －cosx)．(1)求它的定义域；(2)判断它的奇偶性；(3)判断它的周期性．图4活动：这是一组知识性很强的基础题，要求学生全面掌握有关三角函数的定义和性质．教师可先让学生自己动手操作，必要的时候给予点拨帮助．本题的关键是熟悉三角函数线或三角函数图象，利用数形结合直观性训练学生快速解题．如图4、图5.图5解：(1)x 必须满足sinx －cosx>0，利用图4或图5，知2k π＋π4<x<2k π＋5π4(k∈Z )，∴函数定义域为(2k π＋π4，2k π＋5π4)，k∈Z .(2)∵f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称， ∴f(x)不具备奇偶性．(3)函数f(x)的最小正周期为T ＝2π.点评：利用单位圆中的三角函数线或正、余弦线可知：以第Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx －cosx 的符号；以第Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx ＋cosx 的符号．要让学生在深刻理解的基础上记忆这点，因函数的定义域是函数的核心，故研究函数的性质都必须以函数的定义域为前提. 变式训练1．如图6，⊙O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在⊙O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为(45，－35)，∠AOC＝α(α为锐角)．图6(1)求⊙O 的半径，并用α的三角函数表示C 点的坐标； (2)若|BC|＝2，求tan α的值． 解：(1)⊙O 的半径r ＝452＋－352＝1，点C(cos α，sin α)．(2)在△BOC 中，由于|OB|＝|OC|＝1，|BC|＝2， ∴∠COB 是直角． 由三角函数的定义，知cos(α－90°)＝sin α＝45，且α为锐角，故cos α＝35，tan α＝43.2.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于点(π3，0)对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点(π4，0)对称D ．关于直线x ＝π3对称答案：A知能训练教科书复习题1～18.课堂小结提出问题让学生回顾总结，通过本节复习，系统掌握三角函数有关知识，你对三角函数有什么新的认识？三角函数与以前所学函数有什么异同之处？在灵活应用本章知识进行三角函数式的化简、求值、证明方面你都有哪些提高？我们都解决了哪些实际问题？教师与学生一起归纳总结，共同完成本节小结．作业已知函数f(x)＝sin πx 图象的一部分如图7(1)，则图7(2)的函数图象所对应的函数解析式可以为( )图7A ．y ＝f(2x －12) B ．y ＝f(2x －1)C ．y ＝f(12x －1)D ．y ＝f(12x －12)答案：B设计感想1．本章复习课只安排了1课时，课堂设计的容量较大，指导思想是充分利用多媒体，放手让学生根据教师提供的知识网络自己进行归纳总结，教师在知识的交汇处、在思维的提高上给予指导、点拨．建议教师课堂上不要把自己的思路、提前归纳的方法直接告诉学生．2．加强学生的学法指导，因为“在不断变动的世界上，没有任何一门或一套课程可供在可见的未来使用，或可供你终身受用．现在需要的最重要的技能是如何学习”．因此数学课的学习过程，不仅是传授知识、技能的过程，更是教会学生如何学习数学的过程．也就是说，学习数学的过程实际上就是学生获取、整合、储存、运用数学知识和获得学习能力的过程．在本章复习课设计中，就体现了学生如何学习的问题．3．复习不是简单的重复，不是练习堆积的习题课，而是成为学生再发现、再提高、再创造的氛围场所，是学生对所学知识居高临下的掌握和学生身心健康成长的愉悦体验．备课资料一、备用习题1．已知集合A ＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z }，B ＝{β|β＝60°＋k·720°，k∈Z }，C ＝{γ|γ＝60°＋k·180°，k∈Z }，那么集合A ，B ，C 之间的关系是( )A ．B AC B ．A B CC ．B C AD ．C B A2．若α是第四象限角，则π－α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．一扇形的半径与弧长之比是3∶π，则该扇形所含弓形的面积与该扇形的面积之比是A ．(2π－33)∶2πB ．(6π－33)∶6πC ．(4π－33)∶4πD ．(8π－33)∶8π4．把函数y ＝4cos(x ＋π3)的图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π65．如果|x|≤π4，设函数f(x)＝cos 2x ＋sinx 的最大值为M ，最小值为m ，则M m的值为… ( ) A ．－54B ．－3－2 2C ．3＋2 2D ．－52＋526．已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的周期为1，最大值与最小值之差是3，且函数图象过点(18，34)，则函数表达式为( ) A ．y ＝3sin(2x ＋7π12) B ．y ＝3sin(2x －π12) C ．y ＝32sin(2πx ＋π12) D ．y ＝32sin(2πx －π12) 7．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段的长为π4，则f(π4)＝__________.8．已知α、β∈(0，π2)，且α＋β>π2，求证：对于x∈(0，π)，有f(x)＝(cos αsin β)x ＋(cos βsin α)x <2. 参考答案：1．A 2.C 3.A 4.C 5.D 6.D 7.08．由α＋β>π2，知α>π2－β. 又由α、β∈(0，π2)，知π2－β∈(0，π2)． ∵y＝sinx 在(0，π2)内为增函数，y ＝cosx 在(0，π2)内为减函数， ∴sin α>sin(π2－β)＝cos β，cos α<cos(π2－β)＝sin β.∴0<cos βsin α<1,0<cos αsin β<1. 又∵x∈(0，π)，∴(cos βsin α)x ＜1，(cos αsin β)x ＜1.∴f(x)＝(cos αsin β)x ＋(cos βsin α)x <2. 二、三角函数的拓展1．关于三角函数的发展史三角函数亦称圆函数，是正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等函数的总称．在平面直角坐标系xOy 中，在与x 轴正向夹角为α的动径上取点P ，P 的坐标是(x ，y)，OP ＝r ，则正弦函数sin α＝y r ，余弦函数cos α＝x r ，正切函数tan α＝y x ，余切函数cot α＝x y ，正割函数sec α＝r x，余割函数csc α＝r y. 这6种函数在1631年徐光启等人编译的《大测》中已齐备．正弦最早被看作圆内圆心角所对的弦长，公元前2世纪古希腊天文学家希帕霍斯就制造过这种正弦表，公元2世纪托勒密又制造了0°～90°每隔半度的正弦表．公元5世纪时印度最早引入正弦概念，还给出正弦函数表，记载于《苏利耶历数书》(约400年)中．该书中还出现了正矢函数，现在已很少使用它了．约510年印度数学家阿那波多考虑了余弦概念，传到欧洲后有多种名称，17世纪后才统一．正切和余切函数是由日影的测量而引起的，9世纪的阿拉伯计算家哈巴什首次编制了一个正切、余切表.10世纪的艾布·瓦法又单独编制了第一个正切表．哈巴什还首先提出正割和余割概念，艾布·瓦法正式使用．到1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中收入正弦、余弦、正切、余切、正割、余割6种函数，并附有正割表．他还首次用直角三角形的边长之比定义三角函数.1748年欧拉第一次以函数线与半径的比值定义三角函数，令圆半径为1，并创用许多三角函数符号．至此现代形式的三角函数开始通行，并不断发展至今．现在的许多教辅资料中，有关三角函数的运算都是6种函数的综合运算．2．关于三角函数的定义法三角函数定义是三角函数的核心内容．关于三角函数定义法，总的说来就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”，这两种方法本质上是一致的．正因为此，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用，采用哪一种定义方法是一个取舍问题，没有对错之分，并不存在商榷的问题．因此，“单位圆上的点毕竟是特殊点，用它定义三角函数有失一般性”的认识是不正确的．由上述三角函数发展史已经表明，任意角的三角函数是因研究圆周运动的需要而产生的，数学史上，三角函数曾经被称为“圆函数”，所以，采用“单位圆定义法”能更真实地反映三角函数的发展进程．在老师们熟悉的“终边定义法”中，给出定义后有如下说明：“根据相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值(如果有的话)都不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变等，对于确定的角α，上面三个比值都是惟一确定的．这就是说，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．”这恰恰说明了“以角α的终边与单位圆的交点坐标为‘比值’”是不失一般性的．另外，用“单位圆定义法”直截了当、简洁易懂，不需要这样的说明，就更显出其好处了．3．关于《新课程》中的三角函数种类《高中数学课程标准(实验)》只要求正弦、余弦和正切三个函数，其目的是削枝强干，是非常正确的．进一步地，三角函数中正弦、余弦函数是“基本三角函数”，其余都是通过这两个函数的运算(相除、取倒数等)而得到的，或者说是从这两个函数“派生”出来的，因此教师在教学中没有必要对其他的三角函数再作补充．。
高中数学苏教版必修4教案：第一章 三角函数 第15课时 1.3.4三角函数的应用(1)
第十五课时 §1.3.4 三角函数的应用（1）【教学目标】 一、知识与技能：会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题；体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型 二、过程与方法从实际的应用中体会数学与生活是相关的，不是完全脱离现实的，同时理解三角函数在描述周期性现象时的重要作用三、情感态度价值观：培养学生应用数学的能力，让学生体会到数学在实际生活中的应用，意识到只要认真观察思考，会发现数学来源于生活教学重点难点：建立三角函数的模型 【教学过程】 一．复习回顾1、 回顾课本 “三角函数的周期性”2、 求函数sin()y A x k ωϕ=++的解析式3、查阅物理中“单摆运动” 二．新课讲解：一定条件下，单摆运动是一种周期性的运动，从而引出对具有周期性现象的问题的研究，可用具有周期性规律的三角函数来描述。
实际上，三角函数能够描述、模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中有着广泛的应用。
三、例题分析： 例1、 （教材P42例1）点评：本题是简谐运动的问题，在利用三角函数描述问题时，首先分析此现象具有周期性，其次结合题意作出函数草图，然后根据图象用“待定系数法”求出sin()y A x k ωϕ=++。
例2、 （教材P43例2）点评：①本题是圆周运动的问题；②寻找变量间的关系是关键，结合图形建立恰当的直角坐标系，将几何问题代数化已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图 例3、如图所示，求函数的一个解析式。
例4、已知函数cos()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，0ϕπ<<）的最小值是5-，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差4π，且图象经过点5(0,)2-，求这个函数的解析式。
x33π 56π3O例5、已知函数sin()y A x B ωϕ=++（0A >，0ω>，||ϕπ<）的最大值为值为，周期为23π，且图象过点(0,4-，求这个函数的解析式四、课堂小结：本课所学内容，重点应用了三角函数的什么性质？以后研究哪类问 题可以借助于三角函数模拟呢？ 五、作业：（补充）1．已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||ϕπ<）的周期是23π，最小值是2-，且图象过点5(,0)9π，求这个函数的解析式；2．函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）的最小值是2-，其图象相邻的最高点和最低点的横坐标的差是3π，又图象经过点(0,1)，求这个函数的解析式3．如图为函数sin()y A x ωϕ=+（||2πϕ<，x R ∈）的图象中的一段，根据图象求它的解析式。
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鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。
（四）巩固练习（预计用时：5分钟）
随堂练习：
随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对立体几何知识的掌握情况。
鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决立体几何问题。
错题订正：
5. 板书设计：简洁明了，准确精炼，概括性强，同时具有艺术性和趣味性，激发学生的学习兴趣和主动性。
课堂
课堂评价：
1. 提问：通过提问学生，了解他们对立体几何知识点的理解和掌握情况，及时发现并解决他们在学习过程中遇到的问题。
2. 观察：通过观察学生的课堂表现，了解他们的学习态度和参与度，及时调整教学策略，提高教学效果。
回顾旧知：
简要回顾上节课学习的平面几何内容，帮助学生建立知识之间的联系。
提出问题，检查学生对旧知的掌握情况，为立体几何新课学习打下基础。
（三）新课呈现（预计用时：25分钟）
知识讲解：
清晰、准确地讲解立体几何知识点，结合实例帮助学生理解。
突出重点，强调难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。
互动探究：
设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习立体几何内容做好准备。
教师备课：
深入研究教材，明确立体几何教学目标和重难点。
准备教学用具和多媒体资源，确保立体几何教学过程的顺利进行。
设计课堂互动环节，提高学生学习立体几何的积极性。
（二）课堂导入（预计用时：3分钟）
激发兴趣：
提出问题或设置悬念，引发学生的好奇心和求知欲，引导学生进入立体几何学习状态。
教学反思与总结
今天讲授的是高中数学必修四中的立体几何部分，通过回顾整个教学过程，我发现学生在理解立体几何图形的性质和判定上存在一定的困难。在教学过程中，我尝试采用了引导发现法和实物操作法，让学生通过观察模型和动手操作来理解立体图形的性质，但部分学生仍然难以把握。
高中数学 第一章 三角函数本章复习教案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学教案
第一章三角函数本章复习整体设计知识网络1．任意角的概念是本章的基础，推广了角，扩大了研究的范围．在此基础上，为了计算中的简单，引入了两种度量制度：角度制与弧度制，但是其本质是一样的．其最基本的一个应用就是简化了弧长与扇形面积公式．同时也为定义任意角的三角函数作了前期工作，也就得到了本章的核心问题——任意角的三角函数定义．从这个核心出发，分成四条路线走，研究最基本的比例，就可以得到同角三角函数的基本关系式，同时根据定义就可以推导出诱导公式．知道了核心的本质意义在坐标系里面，可以定义点的坐标，为推导第三章和角公式作了应有的准备．而和角公式的两个特殊方面只是本身的一个推广，由此就得来了复杂多变的三角函数公式，而这些复杂的公式(第三章的倍角公式，差角公式)的本质又是和角公式．抛开比例的式子，应用弧度制的度量作为基础，就有了三角函数的图象和性质，这是三角与函数结合的产物，既有函数的特征，因此可以用函数的知识来解，又具有三角的特性，因此还可以用这一特点进行一些特殊的运算．所有的推导可以应用在计算与化简、证明恒等式上．2．数学的魅力在于系统、严密，学习的兴趣在于环环相扣．本章最为理想的复习方法就是引导学生打通本章中的这张知识网络图，这是进行具体问题具体分析的理论依据，也是解决问题最基本的方法．教师指导学生步步为营，将其引入数学王国，畅游科学殿堂．《三角函数》一章知识网络图三维目标1．通过全章复习，让学生切实掌握三角函数的基本性质，会判定三角函数的奇偶性，确定单调区间及求周期的方法．熟练掌握同角三角函数的基本关系式及六组诱导公式，弄清公式的推导关系和互相联系，让学生做到记准、用熟．2．要求学生会用“五点法”作正、余弦函数的简图，掌握应用基本三角变换公式的求值、化简、证明．3．本章的最终目标是让学生熟练掌握三角函数基础知识、基本技能、基本运算能力，以及数形结合思想、转化与化规思想，激发学生学习兴趣，培养他们善于总结、善于合作、善于创新以及应用数学解决实际问题的能力．重点难点教学重点：三角函数的定义，诱导公式，以及三角函数的图象与性质．教学难点：三角恒等变形及三角函数的图象与性质的综合运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)了解一下全章的知识网络结构，并回顾思考本章学习了哪些具体内容：首先，我们给出了三角函数的定义，包括任意角的三角函数的符号，同角三角函数的关系式，诱导公式．又共同学习了正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质．接下来，我们又共同探讨了它们的应用，并能运用上述公式和性质进行三角函数式的化简、求值、证明以及它们的综合运用．由此展开全章的系统复习．思路2.(问题导入)你现在已经会求任意角的三角函数值，会画三角函数的图象，会用三角函数模型来解释现实生活中具有周期性变换规律的一些现象．你是如何学习到这些知识的？又是如何提高自己能力的？由此引导学生回顾全章知识的形成过程，进而展开全面复习．推进新课知识巩固①我们是怎样推广任意角的？又是怎样得到任意角的三角函数定义的？②本章学习了哪些同角三角函数的基本关系式？怎样推导的？③本章都学习了哪些诱导公式？各有什么用途？怎样记忆？④你是如何得到正弦曲线、余弦曲线和正切曲线的？⑤你能从图象上说出三角函数的哪些性质？活动：问题①，为了使学生了解知识的形成顺序与过程，教师可引导学生回忆从前的学习情景，让学生感悟数学是在什么样的背景下向前推进的，同时也加强系统数学知识的记忆，居高临下地来掌握全章知识．问题②，教师引导学生回忆三角函数定义，回忆同角三角函数的基本关系式的推导，并回忆这些公式的作用和应用方法技巧．利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，也就是要就角所在象限进行分类讨论．同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角的三角函数间的相互关系，利用它可以使解题更方便，但要注意公式成立的前提是角对应的三角函数有意义．sin 2α＋cos 2α＝1，sinαcosα＝tanα. 问题③，教师引导学生回顾的同时，最好能利用多媒体或幻灯片来展示这些公式．以前学习的都是孤立的、零碎的，现在是放在一起记忆提高．幻灯片如下：问题④，三角函数性质是通过图象来研究的，而且画图、识图、用图也是对学生的基本要求．教师要让学生亲自动手画一画，以加深学生对三角函数性质的进一步理解提升．让学生明了：利用平移正弦线，可以比较精确地画出正弦函数的图象，利用正弦函数的图象和诱导公式，可以画出余弦函数的图象，可以看出在长度为一个周期的闭区间上有五个点(即函数值最大和最小的点以及函数值为0的点)．这五个点在确定正弦函数、余弦函数图象的形状时起着关键的作用．因此，在精确度不太高时，我们常用“五点法”画正弦、余弦函数以及与它们类似的一些函数〔特别是函数y ＝Asin(ωx＋φ)〕的简图．教师同时打出幻灯(如图1、图2、图3)：图1图2图3问题⑤，让学生由图象说性质，教师可引导学生从函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、周期性、对称性等方面叙述．教师要强调，正弦、余弦、正切函数的图象以及它们的主要性质非常重要，要牢固掌握，但不要死记硬背．讨论结果：①～⑤略．应用示例例1已知角α终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3∶4(且均不为零)，求2sinα＋cosα的值．活动：本例属于较为简单的题目，目的是要学生熟悉任意角的三角函数定义，也要明确解题中的一种很重要的方法是回归定义．教师引导学生思考距离与坐标的不同、是否需要对点的坐标进行分类讨论，然后让学生独立完成此题．解：由题意，需对角α终边的位置进行讨论：①若角α终边过点P(4,3)，则2sinα＋cosα＝2×35＋45＝2； ②若角α终边过点P(－4,3)，则2sinα＋cosα＝2×35＋－45＝25； ③若角α终边过点P(－4，－3)，则2sinα＋cosα＝2×－35＋－45＝－2； ④若角α终边过点P(4，－3)，则2sinα＋cosα＝2×－35＋45＝－25. 点拨：任意角的三角函数定义不仅是本章的核心，也是整个三角函数的中心问题．要指导学生深刻理解三角函数定义的内涵，它只是一个比值，只与角的大小有关，而与点P 在角的终边上的位置无关.例2已知sinα＋3cosα＝0，求：(1)3cosα－sinα3cosα＋sinα；(2)2sin 2α－3sinαcosα＋2的值． 活动：教师引导学生观察本题的条件与结论，关键是求sinα与cosα的值，由sinα＋3cosα＝0及sin 2α＋cos 2α＝1联立方程组即得sinα与cosα的值．教师进一步点拨：根据同角三角函数的基本关系，不直接求sinα与cosα的值，需作怎样的变形即可？对看出本题由已知可得tanα＝－3的同学教师给予鼓励并作进一步探究，对看不出这一步的学生再给予进一步引导，直至其独立解出此题．解：(1)3cosα－sinα3cosα＋sinα＝3－tanα3＋tanα＝3＋33－3＝－2－ 3. (2)2sin 2α－3sinαcosα＋2＝4sin 2α－3sinαcosα＋2cos 2α＝cos 2α(4tan 2α－3tanα＋2)＝11＋tan 2α(4tan 2α－3tanα＋2)＝11＋－32(4×9＋3×3＋2)＝4710. 点拨：本题主要考查利用同角三角函数关系式求值．对于只含有正弦、余弦函数的齐次式，在求解时常常转化为只含有正切的式子，这种变形技巧十分重要，也称为“1”的代换，在今后的学习中经常用到，应要求学生仔细体会并熟悉掌握.变式训练1．已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝15，求tanα的值． 解：由sinα＋cosα＝15平方整理，得sinαcosα＝－1225<0. ∵α为三角形的内角，∴0<α<π，sinα>0，cosα<0.∴sinα－cosα>0.∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝4925， ∴sinα－cosα＝75. 由⎩⎪⎨⎪⎧ sinα＋cosα＝15sinα－cosα＝75 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ sinα＝45，cosα＝－35，∴tanα＝－43. 点拨：本题主要考查同角三角函数的基本关系式．对于三角求值题目，一定要注意角的范围，有时要根据所给三角函数值的大小，适当缩小所给角的范围，才能求出准确的值．教师要抓住时机就此进一步挖掘，以激起学生的探究兴趣．2．已知sinθ＝m －3m ＋5，cosθ＝4－2m m ＋5，π2<θ<π，则m 的取值范围是… ( ) A ．3≤m≤9 B ．m≤－5或m≥3C ．m ＝0或m ＝8D ．m ＝8答案：D例3已知函数y ＝Asin(ωx＋φ)，x∈R (其中A>0，ω>0)的图象在y 轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为M(2,22)，与x 轴正半轴的第一个交点为N(6,0)，求这个函数的解析式． 活动：本例是一道经典例题，主要考查三角函数模型的应用及训练学生的分析思维能力，对数形结合的思维要求也较高．教师可引导学生展开思考讨论，怎样根据题目中给出的条件找到思维的切入点．题目中虽然没有直接给出图象，实质是已知图象求解析式问题．指导学生画出草图，利用数形结合来深化题意的理解，事实上，学生很容易看出A 的值．如果学生没找出周期问题，教师可进一步点拨：题目中告诉的x 轴的横坐标2与6表示图象的哪段．根据题意，知道点M 、N 恰是函数y ＝As in(ωx＋φ)，x∈R (其中A>0，ω>0)在对应于包含0的周期的那段图象的五个关键点中的两个．由此可知A 、T ，但要注意指导φ的求法．解：方法一：根据题意，可知T 4＝6－2＝4，所以T ＝16. 于是ω＝2πT ＝π8.又A ＝22， 将点M 的坐标(2,22)代入y ＝22sin(π8x ＋φ)， 得22＝22sin(π8×2＋φ)， 即sin(π4＋φ)＝1. 所以满足π4＋φ＝π2的φ为最小正数解．所以φ＝π4. 从而所求的函数解析式是y ＝22sin(π8x ＋π4)，x∈R . 方法二：由题意可得A ＝22，将两个点M(2,22)，N(6,0)的坐标分别代入y ＝22sin(ωx＋φ)并化简，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin 2ω＋φ＝1，sin 6ω＋φ＝0，故在长度为一个周期且包含原点的闭区间上，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2ω＋φ＝π2，6ω＋φ＝π，从而所求的函数解析式是y ＝22sin(π8x ＋π4)，x∈R .点拨：由三角函数图象求解析式确定φ时，答案可能不只一个，这里可提醒学生注意，习惯上一般取离x 轴最近的一个，这样的解析式简洁．本例对学生有着很高的训练价值，特别是数形结合思想、转化与化归思想的运用．数形结合是数学中重要的思想方法，对各类函数的研究都离不开图象，在中学阶段，几乎所有函数的性质都是通过观察图象而得到的.例4已知函数f(x)＝12log (sinx －cosx)．(1)求它的定义域；(2)判断它的奇偶性；(3)判断它的周期性．图4活动：这是一组知识性很强的基础题，要求学生全面掌握有关三角函数的定义和性质．教师可先让学生自己动手操作，必要的时候给予点拨帮助．本题的关键是熟悉三角函数线或三角函数图象，利用数形结合直观性训练学生快速解题．如图4、图5.图5解：(1)x 必须满足sinx －cosx>0，利用图4或图5，知2kπ＋π4<x<2kπ＋5π4(k∈Z )， ∴函数定义域为(2kπ＋π4，2kπ＋5π4)，k∈Z . (2)∵f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称，∴f(x)不具备奇偶性．(3)函数f(x)的最小正周期为T ＝2π.点评：利用单位圆中的三角函数线或正、余弦线可知：以第Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx －cosx 的符号；以第Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx ＋cosx 的符号．要让学生在深刻理解的基础上记忆这点，因函数的定义域是函数的核心，故研究函数的性质都必须以函数的定义域为前提.变式训练1．如图6，⊙O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在⊙O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为(45，－35)，∠AOC＝α(α为锐角)． 图6(1)求⊙O 的半径，并用α的三角函数表示C 点的坐标；(2)若|BC|＝2，求tanα的值． 解：(1)⊙O 的半径r ＝452＋－352＝1，点C(cosα，sinα)．(2)在△BOC 中，由于|OB|＝|OC|＝1，|BC|＝2，∴∠COB 是直角．由三角函数的定义，知cos(α－90°)＝sinα＝45，且α为锐角， 故cosα＝35，tanα＝43. 2.已知函数f(x)＝sin(ωx＋π3)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于点(π3，0)对称 B ．关于直线x ＝π4对称 C ．关于点(π4，0)对称 D ．关于直线x ＝π3对称 答案：A知能训练教科书复习题1～18.课堂小结提出问题让学生回顾总结，通过本节复习，系统掌握三角函数有关知识，你对三角函数有什么新的认识？三角函数与以前所学函数有什么异同之处？在灵活应用本章知识进行三角函数式的化简、求值、证明方面你都有哪些提高？我们都解决了哪些实际问题？教师与学生一起归纳总结，共同完成本节小结．作业已知函数f(x)＝sinπx 图象的一部分如图7(1)，则图7(2)的函数图象所对应的函数解析式可以为( )图7A ．y ＝f(2x －12)B ．y ＝f(2x －1)C ．y ＝f(12x －1)D ．y ＝f(12x －12) 答案：B设计感想1．本章复习课只安排了1课时，课堂设计的容量较大，指导思想是充分利用多媒体，放手让学生根据教师提供的知识网络自己进行归纳总结，教师在知识的交汇处、在思维的提高上给予指导、点拨．建议教师课堂上不要把自己的思路、提前归纳的方法直接告诉学生．2．加强学生的学法指导，因为“在不断变动的世界上，没有任何一门或一套课程可供在可见的未来使用，或可供你终身受用．现在需要的最重要的技能是如何学习”．因此数学课的学习过程，不仅是传授知识、技能的过程，更是教会学生如何学习数学的过程．也就是说，学习数学的过程实际上就是学生获取、整合、储存、运用数学知识和获得学习能力的过程．在本章复习课设计中，就体现了学生如何学习的问题．3．复习不是简单的重复，不是练习堆积的习题课，而是成为学生再发现、再提高、再创造的氛围场所，是学生对所学知识居高临下的掌握和学生身心健康成长的愉悦体验．备课资料一、备用习题1．已知集合A ＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z }，B ＝{β|β＝60°＋k·720°，k∈Z }，C ＝{γ|γ＝60°＋k·180°，k∈Z }，那么集合A ，B ，C 之间的关系是( )A ．BA CB ．A BC C ．B C AD ．C B A2．若α是第四象限角，则π－α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．一扇形的半径与弧长之比是3∶π，则该扇形所含弓形的面积与该扇形的面积之比是A ．(2π－33)∶2π B．(6π－33)∶6πC ．(4π－33)∶4π D．(8π－33)∶8π4．把函数y ＝4cos(x ＋π3)的图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π65．如果|x|≤π4，设函数f(x)＝cos 2x ＋sinx 的最大值为M ，最小值为m ，则M m的值为… ( )A ．－54B ．－3－2 2C ．3＋2 2D ．－52＋526．已知函数y ＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的周期为1，最大值与最小值之差是3，且函数图象过点(18，34)，则函数表达式为( ) A ．y ＝3sin(2x ＋7π12) B ．y ＝3sin(2x －π12) C ．y ＝32sin(2πx＋π12) D ．y ＝32sin(2πx－π12) 7．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段的长为π4，则f(π4)＝__________.8．已知α、β∈(0，π2)，且α＋β>π2，求证：对于x∈(0，π)，有f(x)＝(cosαsinβ)x ＋(cosβsinα)x <2. 参考答案：1．A 2.C 3.A 4.C 5.D 6.D 7.08．由α＋β>π2，知α>π2－β. 又由α、β∈(0，π2)，知π2－β∈(0，π2)． ∵y＝sinx 在(0，π2)内为增函数，y ＝cosx 在(0，π2)内为减函数， ∴sinα>sin(π2－β)＝cosβ，cosα<cos(π2－β)＝sinβ.∴0<cosβsinα<1,0<cosαsinβ<1. 又∵x∈(0，π)，∴(cosβsinα)x ＜1，(cosαsinβ)x ＜1.∴f(x)＝(cosαsinβ)x ＋(cosβsinα)x <2. 二、三角函数的拓展1．关于三角函数的发展史三角函数亦称圆函数，是正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等函数的总称．在平面直角坐标系xOy 中，在与x 轴正向夹角为α的动径上取点P ，P 的坐标是(x ，y)，OP ＝r ，则正弦函数sinα＝y r ，余弦函数cosα＝x r ，正切函数tanα＝y x ，余切函数cotα＝x y，正割函数secα＝r x ，余割函数cscα＝r y. 这6种函数在1631年徐光启等人编译的《大测》中已齐备．正弦最早被看作圆内圆心角所对的弦长，公元前2世纪古希腊天文学家希帕霍斯就制造过这种正弦表，公元2世纪托勒密又制造了0°～90°每隔半度的正弦表．公元5世纪时印度最早引入正弦概念，还给出正弦函数表，记载于《苏利耶历数书》(约400年)中．该书中还出现了正矢函数，现在已很少使用它了．约510年印度数学家阿那波多考虑了余弦概念，传到欧洲后有多种名称，17世纪后才统一．正切和余切函数是由日影的测量而引起的，9世纪的阿拉伯计算家哈巴什首次编制了一个正切、余切表.10世纪的艾布·瓦法又单独编制了第一个正切表．哈巴什还首先提出正割和余割概念，艾布·瓦法正式使用．到1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中收入正弦、余弦、正切、余切、正割、余割6种函数，并附有正割表．他还首次用直角三角形的边长之比定义三角函数.1748年欧拉第一次以函数线与半径的比值定义三角函数，令圆半径为1，并创用许多三角函数符号．至此现代形式的三角函数开始通行，并不断发展至今．现在的许多教辅资料中，有关三角函数的运算都是6种函数的综合运算．2．关于三角函数的定义法三角函数定义是三角函数的核心内容．关于三角函数定义法，总的说来就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”，这两种方法本质上是一致的．正因为此，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用，采用哪一种定义方法是一个取舍问题，没有对错之分，并不存在商榷的问题．因此，“单位圆上的点毕竟是特殊点，用它定义三角函数有失一般性”的认识是不正确的．由上述三角函数发展史已经表明，任意角的三角函数是因研究圆周运动的需要而产生的，数学史上，三角函数曾经被称为“圆函数”，所以，采用“单位圆定义法”能更真实地反映三角函数的发展进程．在老师们熟悉的“终边定义法”中，给出定义后有如下说明：“根据相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值(如果有的话)都不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变等，对于确定的角α，上面三个比值都是惟一确定的．这就是说，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．”这恰恰说明了“以角α的终边与单位圆的交点坐标为‘比值’”是不失一般性的．另外，用“单位圆定义法”直截了当、简洁易懂，不需要这样的说明，就更显出其好处了．3．关于《新课程》中的三角函数种类《高中数学课程标准(实验)》只要求正弦、余弦和正切三个函数，其目的是削枝强干，是非常正确的．进一步地，三角函数中正弦、余弦函数是“基本三角函数”，其余都是通过这两个函数的运算(相除、取倒数等)而得到的，或者说是从这两个函数“派生”出来的，因此教师在教学中没有必要对其他的三角函数再作补充．。
高中数学苏教版必修4教案：第一章 三角函数 第16课时 1.3.4三角函数的应用(2)
第十六课时 §1.3.4 三角函数的应用（2）【教学目标】 一、知识与技能：会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题；体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型 二、过程与方法从实际的应用中体会数学与生活是相关的，不是完全脱离现实的，同时理解三角函数在描述周期性现象时的重要作用三、情感态度价值观：培养学生应用数学的能力，让学生体会到数学在实际生活中的应用，意识到只要认真观察思考，会发现数学来源于生活教学重点难点：建立三角函数的模型 【教学过程】 一．复习回顾1、 回顾课本 “三角函数的周期性”2、 求函数sin()y A x k ωϕ=++的解析式 二、例题分析： 例1、（教材P46的11）点评：本题和例2类似分析，合理建系找关系，从而得出三角函数解析式解决问题。
例2、 (教材P44例3)点评：本题是一个与潮汐运动有关的港口水深问题，首先分析此现象具有周期性，其次结合题意作出函数草图，然后根据图象确定sin()y A x k ωϕ=++的解析式即可。
三、课堂小结：通过这两节课的学习,利用三角函数描述具有周期性现象的问题时,你总结出了怎样 的好的解决办法?四、课后思考：1、下表是某城市1973－2002年月平均气温（华氏 °F ）若用x 表示月份，y 表示平均气温，则下面四个函数模型中最合适的是（ ）A ．26cos6y x π= B ．(1)26cos466x y π-=+C ．(1)26cos466x y π-=-+ D ．26sin266y x π=+2、某港口水的深度y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：时）的函数，记作y=f （t ），下面是某日水深的数据：经长期观察，y=f （t ）的曲线可以近似地看成函数y Asin(t )k =ω+ϕ+的图象. （1）试根据以上数据，画出函数y f (t)=的草图，并求其近似表达式； （2）试说明y f (t)=的图象可由y sin t =的图象经过怎样的变换得到；（3）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米.如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）369121518212410。
【K12教育学习资料】2018-2019学年高中数学苏教版必修四教学案：第1章 1.3 三角函数的图
第1课时三角函数的周期性问题1：今天是周三，66天后的那一天是周几？你是如何推算的？提示：66天后的那一天是周六，因为每隔七天，周一到周日依次循环，而66＝7×9＋3，所以66天后的那一天是周六．问题2：在三角函数中：(1)终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(x＋k·2π)＝sin x(k∈Z)．(2)终边相同的角的余弦函数值相等，即cos(x＋k·2π)＝cos x(k∈Z)．上述两个结论说明正弦函数和余弦函数有什么共同性质？提示：正弦函数和余弦函数都具有周期性．1．周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．2．最小正周期(1)定义：对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期．(2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.(3)正切函数y＝tan x也是周期函数，并且最小正周期是π.问题：由周期函数的定义可知y＝sin x，y＝sin 2x，y＝sin 3x，y＝sin x2，y＝sinx3的周期分别为2π，π，2π3，4π，6π.你能猜出y ＝sin 4x ，y ＝sin 14x 的周期吗？那么y ＝sin ωx (ω>0)的周期又是什么？提示：y ＝sin 4x ，y ＝sin 14x 的周期分别为π2，8π；y ＝sin ωx (ω>0)的周期为2πω.(1)若函数y ＝f (x )的周期为T ，则函数y ＝Af (ωx ＋φ)的周期为T|ω|(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω≠0)．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω>0)的周期T ＝2πω.1．对周期函数与周期定义中的“对定义域内的任意一个x ”，要特别注意“任意一个”的要求，如果只是对某些x 有f (x ＋T )＝f (x )成立，那么T 就不是函数f (x )的周期．例如：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π2＝sin π4，但是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2≠sin π3，也就是说，π2不能对x 在定义域内的每一个值都有sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin x 成立，因此π2不是函数y ＝sin x 的周期． 2．从等式f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)来看，应强调的是与自变量x 相加的常数才是周期，如f (2x ＋T )＝f (2x )，T 不是最小正周期，而应写成f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋T 2＝f (2x )，则T2是f (x )的最小正周期．3．若f (x )是周期函数，则其图象平移周期的整数倍后，一定与原图象完全重合，即周期函数的周期不唯一．[例1] 求下列函数的最小正周期．(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π3； (2)f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋π4； (3)f (x )＝14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3； (4)f (x )＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ax ＋π4(a ≠0)． [思路点拨] 直接利用周期公式求解． [精解详析] (1)T ＝2π13＝6π，∴最小正周期为6π. (2)T ＝2π|－3|＝23π，∴最小正周期为2π3. (3)T ＝2π12＝4π，∴最小正周期为4π. (4)T ＝2π|2a |＝π|a |，∴最小正周期为π|a |. [一点通] 利用公式求y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期时，要注意ω的正负，公式可记为T ＝2π|ω|；函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|.1．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4的最小正周期为________． 解析：T ＝2π12＝4π.答案：4π2．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋π6的最小正周期为________． 解析：T ＝π|－3|＝π3.答案：π33若f (x )＝－5sin ⎝⎛⎭⎪⎫kx －π3的最小正周期为π5，求k . 解：由T ＝2π|k |＝π5.∴|k |＝10，∴k ＝±10.[例2] 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6. [思路点拨] 利用奇偶性、周期性将－5π6转化可求．[精解详析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫2×π2－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1.[一点通] 函数的周期性与其它性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解．4．设f (x )是定义在R 上的以4为周期的奇函数，且f (1)＝－1，则f (2 015)＝________. 解析：∵f (x )的周期为4，f (x )为奇函数，且f (1)＝－1. ∴f (2 015)＝f (4×504－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－(－1)＝1. 答案：15．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________. 解析：由于f (x )的周期为5， 所以f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)． 又f (x )为R 上的奇函数，∴f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1. 答案：－16．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，求f (7)的值．解：∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是周期为4的函数， ∴f (7)＝f (2×4－1)＝f (－1)，又∵f (x )在R 上是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (－1)＝－f (1)，而当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2， ∴f (1)＝2×12＝2，∴f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.1．求三角函数的周期的常用方法正弦函数和余弦函数的周期性实质是由终边相同的角所具有的周期性决定的．求三角函数的周期的常用方法有：(1)公式法：对形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0)的周期直接用公式T ＝2πω求解； (2)定义法：用周期函数的定义求解；(3)图象法：周期函数的图象总是周而复始地重复同一个形状，因而观察图象是不是周期性的循环也是判断周期性的常用方法．2．周期函数的一些常见结论由周期函数的定义“函数f (x )满足f (x )＝f (a ＋x )(a >0)，则f (x )是周期为a 的周期函数”得：(1)若函数f (x )满足－f (x )＝f (a ＋x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f x(f (x )≠0)恒成立，则T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝f x ＋1f x －1(f (x )≠1)，则T ＝2a .课下能力提升(七)一、填空题1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的最小正周期为________． 解析：T ＝2π|－2|＝π.答案：π2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的最小正周期为________． 解析：T ＝π3.答案：π33．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是________．解析：∵T ＝2πk4＝8πk≤2，∴k ≥4π，∴k min ＝13.答案：134．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是________．①f (x )是周期为1的函数 ②f (x )是周期为2的函数 ③f (x )是周期为12的函数④f (x )是周期为π的函数解析：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2－1＝－cos πx －1， ∴f (x )的周期为2ππ＝2. 答案：②5．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为________． 解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.又f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数， ∴f (6)＝f (2)．由f (2)＝－f (0)＝0，得f (6)＝0. 答案：0 二、解答题6．求下列函数的最小正周期．(1)f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－16x ； (2)f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫mx ＋π6(m ≠0)． 解：(1)T ＝2π⎪⎪⎪⎪⎪⎪－16＝12π， 即函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－16x 的最小正周期为12π. (2)T ＝2π|m |，即函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫mx ＋π6(m ≠0)的最小正周期为2π|m |. 7．已知函数f (n )＝sin n π6(n ∈Z)，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102)．解：由诱导公式知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋126π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π6＋2π＝sin n π6，∴f (n ＋12)＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0,102＝12×8＋6， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (6) ＝sinπ6＋sin 2π6＋…＋sin 6π6＝2＋ 3.8．若单摆中小球相对静止位置的位移x (cm)随时间t (s)的变化而周期性变化，如下图所示，请回答下列问题：(1)单摆运动的周期是多少？(2)从O 点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A 点算起呢？ (3)当t ＝11 s 时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？ 解：(1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4 s.(2)若从O 点算起，到曲线上的D 点表示完成了一次往复运动；若从A 点算起，到曲线上的E 点表示完成了一次往复运动．(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s 相对于静止位置的位移是0 cm.第2课时 三角函数的图象与性质问题1：作函数图象的基本步骤是什么？ 提示：列表、描点、连线．问题2：正弦函数值与正弦线有关系吗？ 提示：有关系，正弦函数值可以用正弦线表示．问题3：若在直角坐标系的x 轴上取一点O 1，以O 1为圆心，单位长为半径作圆，从⊙O 1与x 轴的交点A 起，把⊙O 1分成12等份，过⊙O 1上各分点作x 轴的垂线，得到对应于0，π6，π3，π2，…，2π等角的正弦线．相应地，再把x 轴上从0到2π这一段分成12等份，把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合，再把这些正弦线的终点用光滑的曲线连接起来，如图，所得函数图象是什么图象？提示：函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象． 问题4：由此你能作出y ＝sin x ，x ∈R 的图象吗？提示：能．因sin(x ＋2k π)＝sin x (k ∈Z)，这样只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象向左、向右平行移动(每次平移2π个单位长度)，可得y ＝sin x ，x ∈R 的图象．1．正弦曲线正弦函数的图象叫做正弦曲线．如图：2．正弦曲线的作法(1)几何法——借助三角函数线； (2)描点法——五点法．用“五点法”画正弦曲线在[0,2π]上的图象时所取的五个关键点为(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．由于cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，x ∈R.想一想，你能通过y ＝sin x ，x ∈R 的图象变换得到y ＝cos x ，x ∈R 的图象吗？提示：能．只要把y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位即可．1．余弦曲线余弦函数的图象叫做余弦曲线．如图所示：2．余弦曲线的画法(1)要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度便可，这是由于cos x ＝sin(x ＋π2)．(2)用“五点法”画出余弦曲线y ＝cos x 在[0,2π]上的图象时所取的五个关键点分别为：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．1．正弦曲线、余弦曲线的作法 (1)正弦、余弦函数图象的几何作法．作图时，函数自变量要用弧度制．这样自变量与函数值均为实数，因此在x 轴、y 轴上可以统一单位，作出图象正规、准确，但较繁琐．(2)五点法：在要求不太高的情况下，可用五点法作出，对y ＝sin x 取(0,0)、⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1、(π，0)、⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1、(2π，0)；对y ＝cos x 取(0,1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0、(π，－1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0、(2π，1)． 然后用平滑曲线将它们连接起来，就得到[0,2π]内的简图． 2．正弦曲线、余弦曲线的对称性正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(k π，0)(k ∈Z)，正弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π＋π2(k ∈Z)．余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z)，余弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π(k ∈Z)．[例1] 用“五点法”作出下列函数的简图：(1)y ＝－sin x ；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.[思路点拨] 取五个关键点利用列表、描点、连线的作法即可画出简图． [精解详析] (1)列表：描点画图，然后由周期性得整个图象，如图所示：(2)列表：描点、连线得y ＝sin(x －π3)在一个周期内的图象，然后由周期性得整个图象，如图所示：[一点通] 画函数的图象一般先根据函数的解析式判断函数的特点，再采用列表描点的方法进行画图．根据与其有关的已知曲线的特点列出关键的五个点，再描点连线即可．用“五点法”作图要注意画出一个周期的图象后，再利用周期性作平移才能得到整个函数图象．1．作出函数y ＝|sin x |的图象． 解：由y ＝|sin x |，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ， 2k π≤x ≤2k π＋πk ∈，－sin x ， 2k π＋π<x ≤2k π＋2πk ∈(k ∈Z)．其图象如图所示，2．作出函数y ＝sin|x |的图象．解：y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ， x ≥0.－sin x ， x <0，其图象如图所示，3．用“五点法”作函数y ＝1－cos x (0≤x ≤2π)的简图． 解：列表：描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示：[例2] 求方程sin x ＝1x在区间[－π，π]内的解的个数．[思路点拨] 利用数形结合，画出两个函数y ＝sin x 和y ＝1x在[－π，π] 内的图象，两图象交点的个数即为方程解的个数．[精解详析] 根据条件只需在同一直角坐标系中画出y ＝sin x 与y＝1x在区间[－π，π]上的图象．如图，根据图象可知，两个函数图象有4个交点，即方程有4个实根．[一点通] 本题如果没有范围限制就还需要继续补充图象，由正弦函数图象的无限延续及反比例函数无限接近于x 轴与y 轴的特点可知，方程应有无数个解．不管有没有范围限制，我们在解决这一类问题时都不可能画出全部图象，而是画出一部分图象，根据图象的趋势判断解的个数．4．求方程x 2＝cos x 的实数解的个数．解：作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象如图所示，由图象可知原方程有两个实数解．5．判断方程x4－cos x ＝0的根的个数．解：设f (x )＝x4，g (x )＝cos x ，在同一直角坐标系中画出f (x )与g (x )的图象，如图所示．由图象可知，f (x )与g (x )的图象有三个交点， 故方程x4－cos x ＝0有三个根.[例3] 利用正弦曲线，求满足12＜sin x ≤32的x 的集合．[思路点拨] 作出正弦函数y ＝sin x 在一个周期内的图象，然后借助图象求解． [精解详析] 首先作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象，如图所示，作直线y ＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π6和5π6；作直线y ＝32，该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π3和2π3.观察图象可知，在[0,2π]上，当π6＜x ≤π3，或2π3≤x ＜5π6时，不等式12＜sin x ≤32成立． 所以12＜sin x ≤32的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫π6＋2k π＜x ≤π3＋2k π或2π3＋2k π≤x ＜5π6＋2k π，k ∈Z .[一点通] 利用正弦曲线、余弦曲线解三角不等式的一般步骤为： (1)画出正弦函数y ＝sin x 或余弦函数y ＝cos x 在[0,2π]上的图象； (2)写出适合不等式的在区间[0,2π]上的解集； (3)把此解集推广到整个定义域上去．6．求满足cos x ≤12的x 集合．解：作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图．由图形可以得到，满足条件的x 的集合为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋2k π，5π3＋2k π(k∈Z)．7．求满足sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤12的x 的范围．解：令z ＝x ＋π4，sin z ≤12，在同一直角坐标系中作出y ＝sin z ，z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2与直线y ＝12的图象，如图所示，然后观察图象可知，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2内适合sin z ≤12的z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π6，π6，故当z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π6＋2k π，π6＋2k π，k ∈Z ，即－7π6＋2k π≤x ＋π4≤π6＋2k π，k ∈Z 时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤12成立．∴17π12＋2k π≤x ≤－π12＋2k π，k ∈Z . 即满足sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤12的x 的范围为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－17π12＋2k π，－π12＋2k π，k ∈Z .1．“五点法”作图(1)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分(即取五个点)，分别找到函数图象的最高点、最低点及“平衡点”．这五个点大致确定了函数图象的位置与形状，因此可以画出函数的简图．(2)由于“五点法”作图时，精确度较差，因此画图之前要做到心中有图，明确正弦曲线的变化趋势和规律．正弦函数的图象是“波浪状”，在连线时一定要注意这一点，不要画成“折线”．2．利用三角函数图象解简单的三角不等式 利用正弦函数的图象解sin x >a 的方法(1)作出直线y ＝a 和正弦函数y ＝sin x 的图象； (2)在一个周期内确定sin x ＝a 的x 值； (3)确定sin x >a 的解集．课下能力提升(八)一、填空题1．已知sin x ＝m －1且x ∈R ，则m 的取值范围是________． 解析：由y ＝sin x ，x ∈R 的图象知， －1≤sin x ≤1，即－1≤m －1≤1，所以0≤m ≤2.答案：0≤m ≤2 2．函数y ＝log 12sin x 的定义域是________．解析：由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧log 12sin x ≥0，sin x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤1，sin x ＞0，∴0＜sin x ≤1，由正弦函数图象可得{x |2k π＜x ＜(2k ＋1)π，k ∈Z}． 答案：{x |2k π＜x ＜(2k ＋1)π，k ∈Z} 3．方程sin x ＝lg x 的解有________个．解析：如图所示，y ＝sin x 与y ＝lg x 的图象有3个交点，故方程有3个解．答案：34．已知y ＝cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝1围成一个封闭的平面图形，则该图形的面积为________．解析：S ＝2×2π×12＝2π.答案：2π 5．若cos x ≥22，则x 的取值范围为________． 解析：当cos x ＝22时， x ＝π4＋2k π或x ＝－π4＋2k π，k ∈Z.借助余弦曲线可知，x 的取值范围为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z二、解答题6．用五点法在同一坐标系中作出下列函数一个周期上的简图：(1)y ＝sin x ； (2)y ＝2sin x ； (3)y ＝2sin x2.解：(1)(2)五点选取列表如下，图象如下图：(3)五点选取列表如下，图象如下图：7．设sin θ>cos θ，θ∈[0,2π]，借助正弦曲线和余弦曲线求θ的取值范围． 解：作出正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 在一个周期[0,2π]上的图象如图所示，由图象可知：满足不等式sin θ>cos θ的θ的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.8．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．解：f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈π，2π]，如下图，则k 的取值范围是(1,3)．第3课时 正、余弦函数的图象与性质观察分析正弦函数图象如图．问题1：你能说出正弦函数y ＝sin x 的定义域、值域、周期性及奇偶性吗？ 提示：能．定义域为R ，值域为[－1,1]，最小正周期为2π，是奇函数． 问题2：你能写出正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的单调区间吗？提示：能．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上为增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)上为减函数．正、余弦函数的性质1．正弦函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1；类似地，余弦函数在区间[2k π－π，2k π](k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个区间[2k π，2k π＋π](k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.2．正弦函数在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，但不能说正弦函数在第一象限内是增函数．例如x 1＝π6＋2π，x 2＝π3，都是第一象限角，而sin x 1＝12，sin x 2＝32，从而有x 1>x 2，sin x 1<sin x 2，这不符合增函数定义．所以正弦函数、余弦函数的单调性，只能针对区间而言，不能针对象限而言．3．正、余弦函数都不是单调函数，但是它们有无数个单调区间，利用其单调性，可以比较同一个单调区间内两个角的同名三角函数值的大小．[例1] 求下列函数的单调区间：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3； (2)y ＝cos 2x .[思路点拨] 可依据y ＝sin x (x ∈R)和y ＝cos x (x ∈R)的单调区间． [精解详析] (1)令u ＝x －π3，函数y ＝sin u 的递增、递减区间分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，⎣⎢⎡2k π＋π2，⎦⎥⎤2k π＋3π2(k ∈Z)．∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的递增、递减区间分别由下面的不等式确定： 2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 2k π＋π2≤x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，2k π＋5π6≤x ≤2k π＋11π6，k ∈Z. ∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的递增区间、递减区间分别是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z)、⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋5π6，2k π＋11π6(k ∈Z)．(2)函数y ＝cos2x 的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定： 2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z,2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z. ∴k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，k π≤x ≤k π＋π2，k ∈Z.∴函数y ＝cos2x 的单调递增区间、单调递减区间分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z)、⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z)．[一点通] 求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法来解答，列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ”视为一个“整体”(若ω<0，可利用三角函数的诱导公式化x 系数为正)；②根据A 的符号选取y ＝sin x 的单调区间．1．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递减区间是________．解析：2k π≤2x －π3≤2k π＋π，2k π＋π3≤2x ≤2k π＋4π3，k π＋π6≤x ≤k π＋4π3，k ∈Z. 即递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) 2．求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间．解：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .∴要求y ＝－2sin z 的单调递增区间，即求y ＝sin z 的单调递减区间． 即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z)．∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z)，∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z).[例2] 比较下列各组三角函数值的大小： (1)sin 250°与sin 260°； (2)cos15π8与cos 14π9； (3)sin 11°，cos 10°，sin 168°.[思路点拨] (1)250°和260°在函数y ＝sin x 的单调递减区间[π2，3π2]内，可比较大小；(2)利用诱导公式将已知角转化为y ＝cos x 同一单调区间内，然后比较大小； (3)先转化为同名三角函数再比较大小．[精解详析] (1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上单调递减，且90°<250°<260°<270°，∴sin 250°>sin 260°.(2)cos 15π8＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π8＝cos π8， cos14π9＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π－4π9＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减， 且0<π8<4π9<π，∴cos π8>cos 4π9， ∴cos15π8>cos 14π9. (3)sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°. 又因为y ＝sin x 在x ∈[0，π2]上是增函数，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°.[一点通] 比较两个三角函数值的大小，一般应先化为同名三角函数，并运用诱导公式把它们化为在同一单调区间上的同名三角函数，以便运用函数的单调性进行比较．3．比较下列各组数的大小．(1)sin 2016°和cos 160°；(2)sin 74和cos 53.解：(1)sin 2 016°＝sin(360°×5＋216°)＝sin 216°＝ sin(180°＋36°)＝－sin 36°.cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵sin 36°＜sin 70°，∴－sin 36°＞－sin 70°， 即sin 2 016°＞cos 160°.(2)cos 53＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53，又π2<74<π2＋53<3π2，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是减函数， ∴sin 74>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53＝cos 53，即sin 74>cos 53.4．若△ABC 是锐角三角形，试比较sin A 与cos B 的大小． 解：因为△ABC 是锐角三角形，A ＋B ＝π－C ，且0<C <π2，所以A ＋B >π2，所以0<π2－B <A <π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B <sin A ，即cos B <sin A . 5．比较sin ⎝⎛⎭⎪⎫sin3π8和sin ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π8的大小． 解：∵cos 3π8＝sin π8，∴0＜cos 3π8＜sin 3π8＜1＜π2.而y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内递增， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫cos3π8＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π8.[例3] 求下列函数的最大值和最小值，并写出取得最值时的x 取值集合． (1)y ＝1－12sin x ； (2)y ＝3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (3)y ＝2cos 2x ＋5sin x －4.[思路点拨] 解答本题中的(1)可先根据sin x 的范围，求出1－12sin x 的范围．解答本题中的(2)可由2x ＋π3∈R ，得到sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的范围．解答本题中的(3)可先减少函数名，即利用sin 2x ＋cos 2x ＝1消去cos 2x 便可转化成关于sin x 的二次函数问题．[精解详析] (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧1－12sin x ≥0，－1≤sin x ≤1，∴－1≤sin x ≤1. ∴当sin x ＝－1时，y max ＝62， 此时x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝－π2＋2k π，k ∈Z ；当sin x ＝1时，y min ＝22， 此时x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝π2＋2k π，k ∈Z .(2)∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5， 此时2x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝π12＋k π(k ∈Z)，故x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝π12＋k π，k ∈Z .当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1，此时2x ＋π3＝－π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝－5π12＋k π，故x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝－5π12＋k π，k ∈Z .(3)y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －542＋98.∵sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝－1，即x ＝－π2＋2k π(k ∈Z)时，y 有最小值－9， 此时x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝－π2＋2k π，k ∈Z ；当sin x ＝1，即x ＝π2＋2k π(k ∈Z)时，y 有最大值1，此时x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝π2＋2k π，k ∈Z .[一点通] (1)求有关y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，x ∈R 的最值或值域这类题目的关键在于充分利用好正弦函数y ＝sin x 的有界性，即|sin x |≤1.(2)形如y ＝p sin 2x ＋q sin x ＋r (p ≠0)形式的三角函数最值问题常利用二次函数的思想转化成在给定区间[m ，n ]上求二次函数最值的问题，解答时依然采用数形结合的思想加以分析，必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定”或“轴定区间变”问题．6．函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3的最小值是________．解析：由π6≤x ≤2π3，得－π6≤x －π3≤π3，所以y ＝2cos(x －π3)在x ＝π3时有最大值2， 在x ＝2π3时有最小值1.答案：17．求函数y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域． 解：y ＝cos 2x －4cos x ＋5＝(cos x －2)2＋1. ∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝－1时，y 取最大值(－1－2)2＋1＝10； 当cos x ＝1时，y 取最小值(1－2)2＋1＝2. ∴函数y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域为[2,10]． 8．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．解：∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3.∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.若a ＞0，则⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5.解得⎩⎨⎧ a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.若a ＜0，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝－5，－3a ＋b ＝1.解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.综上知⎩⎨⎧a ＝12－63，b ＝－23＋123或⎩⎨⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.1．正、余弦函数的单调性(1)求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，首先把x 的系数化为正数，再利用整体代换，即把ωx ＋φ代入相应不等式中，求解相应的变量x 的范围．(2)求复合函数的单调区间时，要先求定义域，同时还要注意内层、外层函数的单调性． 2．正、余弦函数的最值(或值域)问题求含有正、余弦函数的式子的最值，常见的方法有：(1)可化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B (A ≠0)的形式，利用三角函数的性质求最值；(2)转化成关于某一三角函数的二次函数的形式，即y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C ，或y ＝A cos 2x ＋B cos x ＋C ，利用配方法求解．课下能力提升(九)一、填空题1．函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3的值域是________．解析：∵函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3上单调递减，∴y max ＝sin π2＝1，y min ＝sin π6＝12.∴该函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 2．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 解析：y ＝cos x 在[－π，0]上为增函数，在[0，π]上为减函数，所以a ∈(－π，0]． 答案：(－π，0]3．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大的顺序排列为______________________． 解析：cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0， cos 760°＝cos 40°＞0，且cos 20°＞cos 40°， 故cos 150°＜cos 760°＜sin 470°. 答案：cos 150°＜cos 760°＜sin 470°4．若f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________.解析：由题意知0≤x ≤π3时，0≤ωπ≤ωπ3＜π3，f (x )max ＝2sin ωπ3＝2，sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，ω＝34. 答案：345．若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.解析：∵f (x )为偶函数， ∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z)， ∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)．又∵φ∈[0,2π]， ∴φ＝3π2. 答案：3π2二、解答题6．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4的单调区间． 解：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝－sin(2x －π4)． 因为2x －π4是关于x 的增函数，所以只需要考虑y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4关于2x －π4的单调性即可．当2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)时，y ＝sin(2x －π4)为增函数，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4为减函数，解得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z)，即函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z)；同理，令2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，求得函数y ＝sin(－2x ＋π4)的单调增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z)． 7．求下列函数的值域：(1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6； (2)y ＝6－sin x －cos 2x .解：(1)∵－π6≤x ≤π6， ∴0≤2x ＋π3≤2π3，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴y ∈[0,2]． 即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤π<π6的值域为[0,2]．(2)y ＝6－sin x －cos 2x ＝sin 2x －sin x ＋5 ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋194∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤194，7. 即函数y ＝6－sin x －cos 2x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤194，7.8．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围．解：由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2(k ∈Z)得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z)． ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z)．据题意：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32.故ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.第4课时 正切函数的图象和性质单位圆中的正切线如图所示．问题1：由三角函数的定义知tan α＝y x，此时x ≠0.试想y ＝tan α中，α有什么限制？ 提示：α≠π2＋k π，k ∈Z.问题2：如图甲，当α在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上增大时，正切线AT 如何变化？正切值又如何变化？提示：正切线AT 向Oy 轴的正向逐步延伸，正切值增大且无限增大． 问题3：如图乙，当α在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0上增大时，又该如何？提示：正切线AT 向Oy 轴的正向逐步缩小，正切值增大．问题4：正切函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2)单调性如何？提示：递增．函数y ＝tan x 的性质与图象1．正切函数y ＝tan x 的定义域是{x | x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z}，这与正弦、余弦函数不同．2．正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，这与正弦函数、余弦函数不同．3．正切函数无单调减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间．[例1] 观察正切函数图象，写出下列不等式的解集： (1)tan x >0；(2)|tan x |≤1. [思路点拨] 画出正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的图象，结合图象求解集．[精解详析] (1)设y ＝tan x ，则它在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的图象如图所示：由图可知满足不等式tan x >0的解集为 {x |k π<x <k π＋π2，k ∈Z}．(2)设y ＝|tan x |，则它在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的图象如图所示：由图可知满足不等式|tan x |≤1的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z .[一点通] (1)正切函数的图象是由被互相平行的直线x ＝π2＋k π(k ∈Z)所隔开的无数多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线．(2)正切函数的图象向上、向下无限延伸，但永远不与x ＝π2＋k π(k ∈Z)相交，与x 轴交于点(k π，0)(k ∈Z)．1．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在区间[0,2π]上的交点个数是________． 解析：作出y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象知有1个交点． 答案：12．观察正切曲线，满足条件|tan x |>3的x 的取值范围是________． 解析：画出函数y ＝|tan x |的图象可知π3＋k π<x <π2＋k π或－π2＋k π<x <－π3＋k π，k ∈Z.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，－π3＋k π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋k π，π2＋k π(k ∈Z)[例2] 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3的定义域、值域，并指出它的单调区间． [思路点拨] 利用换元法，把3x －π3看做一个整体来求其单调区间．[精解详析] 令3x －π3≠k π＋π2(k ∈Z)，得x ≠k π3＋5π18(k ∈Z)， ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，且x ≠k π3＋5π18，k ∈Z ，值域为R.令k π－π2<3x －π3<k π＋π2(k ∈Z)， 得k π3－π18<x <k π3＋5π18(k ∈Z)． ∴函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π3－π18，k π3＋5π18(k ∈Z)．[一点通] 正切函数在每一个单调区间内都是增函数，不存在减区间．因此在求单调区间时，若ω<0，应先由诱导公式把x 的系数化成正值，再用换元法整体代换，最后求出x 的范围即可．3．函数y ＝11＋tan x的定义域是________．解析：要使函数y ＝11＋tan x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π2＋k π，k ∈Z ，tan x ≠－1，即x ≠π2＋k π，且x ≠－π4＋k π，k ∈Z.答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π2＋k π，且x ≠－π4＋k π，k ∈Z4．y ＝tan x2满足下列哪些条件________(填序号)． ①在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增；②为奇函数；③以π为最小正周期；④定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π4＋k π2，k ∈Z . 解析：令x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4， 所以y ＝tan x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增正确；tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝－tan x 2，故y ＝tan x 2为奇函数； T ＝πω＝2π，所以③不正确；由x 2≠π2＋k π，k ∈Z 得，x ≠π＋2k π，k ∈Z ，所以④不正确．答案：①②5．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的单调减区间． 解：∵y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6， ∴只需求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6的单调增区间，即为原函数的单调减区间．令μ＝x 4－π6，则μ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k πk ∈Z ， 即－π2＋k π<μ<π2＋k π(k ∈Z)．∴－π2＋k π<x 4－π6<π2＋k π(k ∈Z)．解得4k π－4π3<x <4k π＋8π3(k ∈Z)． ∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的单调减区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z).[例3] 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小：(1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π5与tan ⎝⎛⎭⎪⎫－13π7； (2)tan(－1 280°)与tan1 680°.[思路点拨] 利用诱导公式将角转化到同一单调区间内，再借助正切函数的单调性求解． [精解详析] (1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋π7＝tan π7，又函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，而－π2＜－π5＜π7＜π2.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5＜tan π7，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π5＜tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7. (2)∵tan(－1 280°)＝tan(－4×360°＋160°)＝tan(180°－20°)＝tan(－20°)， tan 1 680°＝tan(4×360°＋240°) ＝tan(180°＋60°)＝tan 60°，而函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数， ∴tan(－20°)＜tan 60°， 即tan(－1 280°)＜tan 1 680°.[一点通] 运用正切函数的单调性比较大小的一般步骤为： (1)利用诱导公式将角化到同一单调区间上； (2)运用单调性得到大小关系．6．记a ＝tan 1，b ＝tan 2，c ＝tan 3，则a ，b ，c 三数的大小关系是________． 解析：∵tan 3＝tan(3－π)，tan 2＝tan(2－π)， 又∵－π2<2－π<3－π<0<1<π2， 且y ＝tan x 在(－π2，π2)上是单调递增的， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1. ∴tan 2<tan 3<tan 1. 答案：a >c >b 7．比较tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎪⎫－12π5的大小．解：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝－tan 13π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π4＝－tan π4.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π5＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5＝－tan 2π5.又函数y ＝tan x 在( －π2，π2)上是增函数， 且－π2<π4<2π5<π2，∴tan π4<tan 2π5.∴－tan π4>－tan 2π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5.1．正切函数图象的性质函数y ＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的图象过⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1，(0,0)三点，以直线x ＝±π2为渐近线，根据这三点两线就可以大体勾画出正切函数图象的草图．2．正切函数的单调区间的求法正切函数y ＝tan x 在整个定义域上不具有单调性，但在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k∈Z)上具有单调性，是增函数．在求函数y ＝tan(ωx ＋φ)(ω≠0)的单调区间时，首先保证ω>0，否则就先利用诱导公式化为正的，再利用整体换元的方法求出单调区间．课下能力提升(十)一、填空题1．下列正确命题的序号为________． ①y ＝tan x 为增函数；②y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的最小正周期为2πω；③在x ∈[－π，π]上y ＝tan x 是奇函数；④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上y ＝tan x 的最大值是1，最小值为－1. 解析：函数y ＝tan x 在定义域内不具有单调性，故①错误；函数y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的最小正周期为πω，故②错误；当x ＝－π2，π2时，y ＝tan x 无意义，故③错误；由正切函数的图象可知④正确．答案：④2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是________．解析：T ＝π4，∴πω＝π4，∴ω＝4，∴f (x )＝tan4x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0.答案：03．a ，b 是不等于1的正数，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，若a tan θ＞b tan θ＞1，则下列不等式成立的是________．(填序号)①a ＞b ＞1；②a ＜b ＜1；③b ＜a ＜1；④b ＞a ＞1.解析：∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴tan θ＞0. 又btan θ＞b 0，∴b ＞1，又a tan θ＞btan θ，∴a ＞b ，∴a ＞b ＞1. 答案：①4．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2范围内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为________个．解析：在同一坐标系中，首先作出y ＝sin x 与y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的图象，须明确x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，有sin x ＜x ＜tan x (利用单位圆中的正弦线，正切线就可证明)，然后利用对称性作出x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2的两函数的图象如图，由图象可知它们有三个交点．答案：35．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则ω的范围是________．解析：若ω使函数在(－π2，π2)上递减，则ω必小于0，且⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω，－π2ω，故－1≤ω<0.答案：[－1,0) 二、解答题6．求下列函数的单调区间： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4； (2)y ＝13tan 2x ＋1.解：(1)由－π2＋k π<x －π4<π2＋k π(k ∈Z)，解得－π4＋k π<x <34π＋k π(k ∈Z)， ∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z)．(2)令－π2＋k π<2x <π2＋k π(k ∈Z)，∴－π4＋k π2<x <π4＋k π2(k ∈Z)，∴函数y ＝13tan 2x ＋1的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π2，π4＋k π2(k ∈Z)．7．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，若使a －2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的值总大于零，求a 的取值范围．解：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，∴0≤2x －π3≤π3.又∵y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3内单调递增，∴0≤tan(2x －π3)≤3， ∴0≤2tan(2x －π3)≤2 3. 由题意知a －2tan(2x －π3)>0恒成立， 即a >2tan(2x －π3)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3恒成立． ∴a >2 3.∴实数a 的取值范围是(23，＋∞)8．已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．解：函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图象的对称轴为直线x ＝－tan θ. ∵y ＝f (x )在[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3， 即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.。
【配套K12】2018-2019学年高中数学苏教版必修四教学案：第1章 1.3 三角函数的图象和性质
第1课时三角函数的周期性问题1：今天是周三，66天后的那一天是周几？你是如何推算的？提示：66天后的那一天是周六，因为每隔七天，周一到周日依次循环，而66＝7×9＋3，所以66天后的那一天是周六．问题2：在三角函数中：(1)终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(x＋k·2π)＝sin x(k∈Z)．(2)终边相同的角的余弦函数值相等，即cos(x＋k·2π)＝cos x(k∈Z)．上述两个结论说明正弦函数和余弦函数有什么共同性质？提示：正弦函数和余弦函数都具有周期性．1．周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．2．最小正周期(1)定义：对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期．(2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.(3)正切函数y＝tan x也是周期函数，并且最小正周期是π.问题：由周期函数的定义可知y＝sin x，y＝sin 2x，y＝sin 3x，y＝sin x2，y＝sinx3的周期分别为2π，π，2π3，4π，6π.你能猜出y ＝sin 4x ，y ＝sin 14x 的周期吗？那么y ＝sin ωx (ω>0)的周期又是什么？提示：y ＝sin 4x ，y ＝sin 14x 的周期分别为π2，8π；y ＝sin ωx (ω>0)的周期为2πω.(1)若函数y ＝f (x )的周期为T ，则函数y ＝Af (ωx ＋φ)的周期为T|ω|(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω≠0)．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω>0)的周期T ＝2πω.1．对周期函数与周期定义中的“对定义域内的任意一个x ”，要特别注意“任意一个”的要求，如果只是对某些x 有f (x ＋T )＝f (x )成立，那么T 就不是函数f (x )的周期．例如：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π2＝sin π4，但是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2≠sin π3，也就是说，π2不能对x 在定义域内的每一个值都有sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin x 成立，因此π2不是函数y ＝sin x 的周期． 2．从等式f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)来看，应强调的是与自变量x 相加的常数才是周期，如f (2x ＋T )＝f (2x )，T 不是最小正周期，而应写成f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋T 2＝f (2x )，则T2是f (x )的最小正周期．3．若f (x )是周期函数，则其图象平移周期的整数倍后，一定与原图象完全重合，即周期函数的周期不唯一．[例1] 求下列函数的最小正周期．(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π3； (2)f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋π4； (3)f (x )＝14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3； (4)f (x )＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ax ＋π4(a ≠0)． [思路点拨] 直接利用周期公式求解． [精解详析] (1)T ＝2π13＝6π，∴最小正周期为6π. (2)T ＝2π|－3|＝23π，∴最小正周期为2π3. (3)T ＝2π12＝4π，∴最小正周期为4π. (4)T ＝2π|2a |＝π|a |，∴最小正周期为π|a |. [一点通] 利用公式求y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期时，要注意ω的正负，公式可记为T ＝2π|ω|；函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|.1．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4的最小正周期为________． 解析：T ＝2π12＝4π.答案：4π2．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋π6的最小正周期为________． 解析：T ＝π|－3|＝π3.答案：π33若f (x )＝－5sin ⎝⎛⎭⎪⎫kx －π3的最小正周期为π5，求k . 解：由T ＝2π|k |＝π5.∴|k |＝10，∴k ＝±10.[例2] 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6. [思路点拨] 利用奇偶性、周期性将－5π6转化可求．[精解详析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫2×π2－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1.[一点通] 函数的周期性与其它性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解．4．设f (x )是定义在R 上的以4为周期的奇函数，且f (1)＝－1，则f (2 015)＝________. 解析：∵f (x )的周期为4，f (x )为奇函数，且f (1)＝－1. ∴f (2 015)＝f (4×504－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－(－1)＝1. 答案：15．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________. 解析：由于f (x )的周期为5， 所以f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)． 又f (x )为R 上的奇函数，∴f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1. 答案：－16．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，求f (7)的值．解：∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是周期为4的函数， ∴f (7)＝f (2×4－1)＝f (－1)，又∵f (x )在R 上是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (－1)＝－f (1)，而当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2， ∴f (1)＝2×12＝2，∴f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.1．求三角函数的周期的常用方法正弦函数和余弦函数的周期性实质是由终边相同的角所具有的周期性决定的．求三角函数的周期的常用方法有：(1)公式法：对形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0)的周期直接用公式T ＝2πω求解； (2)定义法：用周期函数的定义求解；(3)图象法：周期函数的图象总是周而复始地重复同一个形状，因而观察图象是不是周期性的循环也是判断周期性的常用方法．2．周期函数的一些常见结论由周期函数的定义“函数f (x )满足f (x )＝f (a ＋x )(a >0)，则f (x )是周期为a 的周期函数”得：(1)若函数f (x )满足－f (x )＝f (a ＋x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f x(f (x )≠0)恒成立，则T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝f x ＋1f x －1(f (x )≠1)，则T ＝2a .课下能力提升(七)一、填空题1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的最小正周期为________． 解析：T ＝2π|－2|＝π.答案：π2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的最小正周期为________． 解析：T ＝π3.答案：π33．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是________．解析：∵T ＝2πk4＝8πk≤2，∴k ≥4π，∴k min ＝13.答案：134．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是________．①f (x )是周期为1的函数 ②f (x )是周期为2的函数 ③f (x )是周期为12的函数④f (x )是周期为π的函数解析：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2－1＝－cos πx －1， ∴f (x )的周期为2ππ＝2. 答案：②5．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为________． 解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.又f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数， ∴f (6)＝f (2)．由f (2)＝－f (0)＝0，得f (6)＝0. 答案：0 二、解答题6．求下列函数的最小正周期．(1)f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－16x ； (2)f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫mx ＋π6(m ≠0)． 解：(1)T ＝2π⎪⎪⎪⎪⎪⎪－16＝12π， 即函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－16x 的最小正周期为12π. (2)T ＝2π|m |，即函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫mx ＋π6(m ≠0)的最小正周期为2π|m |. 7．已知函数f (n )＝sin n π6(n ∈Z)，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102)．解：由诱导公式知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋126π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π6＋2π＝sin n π6，∴f (n ＋12)＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0,102＝12×8＋6， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (6) ＝sinπ6＋sin 2π6＋…＋sin 6π6＝2＋ 3.8．若单摆中小球相对静止位置的位移x (cm)随时间t (s)的变化而周期性变化，如下图所示，请回答下列问题：(1)单摆运动的周期是多少？(2)从O 点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A 点算起呢？ (3)当t ＝11 s 时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？ 解：(1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4 s.(2)若从O 点算起，到曲线上的D 点表示完成了一次往复运动；若从A 点算起，到曲线上的E 点表示完成了一次往复运动．(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s 相对于静止位置的位移是0 cm.第2课时 三角函数的图象与性质问题1：作函数图象的基本步骤是什么？ 提示：列表、描点、连线．问题2：正弦函数值与正弦线有关系吗？ 提示：有关系，正弦函数值可以用正弦线表示．问题3：若在直角坐标系的x 轴上取一点O 1，以O 1为圆心，单位长为半径作圆，从⊙O 1与x 轴的交点A 起，把⊙O 1分成12等份，过⊙O 1上各分点作x 轴的垂线，得到对应于0，π6，π3，π2，…，2π等角的正弦线．相应地，再把x 轴上从0到2π这一段分成12等份，把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合，再把这些正弦线的终点用光滑的曲线连接起来，如图，所得函数图象是什么图象？提示：函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象． 问题4：由此你能作出y ＝sin x ，x ∈R 的图象吗？提示：能．因sin(x ＋2k π)＝sin x (k ∈Z)，这样只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象向左、向右平行移动(每次平移2π个单位长度)，可得y ＝sin x ，x ∈R 的图象．1．正弦曲线正弦函数的图象叫做正弦曲线．如图：2．正弦曲线的作法(1)几何法——借助三角函数线； (2)描点法——五点法．用“五点法”画正弦曲线在[0,2π]上的图象时所取的五个关键点为(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．由于cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，x ∈R.想一想，你能通过y ＝sin x ，x ∈R 的图象变换得到y ＝cos x ，x ∈R 的图象吗？提示：能．只要把y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位即可．1．余弦曲线余弦函数的图象叫做余弦曲线．如图所示：2．余弦曲线的画法(1)要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度便可，这是由于cos x ＝sin(x ＋π2)．(2)用“五点法”画出余弦曲线y ＝cos x 在[0,2π]上的图象时所取的五个关键点分别为：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．1．正弦曲线、余弦曲线的作法 (1)正弦、余弦函数图象的几何作法．作图时，函数自变量要用弧度制．这样自变量与函数值均为实数，因此在x 轴、y 轴上可以统一单位，作出图象正规、准确，但较繁琐．(2)五点法：在要求不太高的情况下，可用五点法作出，对y ＝sin x 取(0,0)、⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1、(π，0)、⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1、(2π，0)；对y ＝cos x 取(0,1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0、(π，－1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0、(2π，1)． 然后用平滑曲线将它们连接起来，就得到[0,2π]内的简图． 2．正弦曲线、余弦曲线的对称性正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(k π，0)(k ∈Z)，正弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π＋π2(k ∈Z)．余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z)，余弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π(k ∈Z)．[例1] 用“五点法”作出下列函数的简图：(1)y ＝－sin x ；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.[思路点拨] 取五个关键点利用列表、描点、连线的作法即可画出简图． [精解详析] (1)列表：描点画图，然后由周期性得整个图象，如图所示：(2)列表：描点、连线得y ＝sin(x －π3)在一个周期内的图象，然后由周期性得整个图象，如图所示：[一点通] 画函数的图象一般先根据函数的解析式判断函数的特点，再采用列表描点的方法进行画图．根据与其有关的已知曲线的特点列出关键的五个点，再描点连线即可．用“五点法”作图要注意画出一个周期的图象后，再利用周期性作平移才能得到整个函数图象．1．作出函数y ＝|sin x |的图象． 解：由y ＝|sin x |，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ， 2k π≤x ≤2k π＋πk ∈，－sin x ， 2k π＋π<x ≤2k π＋2πk ∈(k ∈Z)．其图象如图所示，2．作出函数y ＝sin|x |的图象．解：y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ， x ≥0.－sin x ， x <0，其图象如图所示，3．用“五点法”作函数y ＝1－cos x (0≤x ≤2π)的简图． 解：列表：描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示：[例2] 求方程sin x ＝1x在区间[－π，π]内的解的个数．[思路点拨] 利用数形结合，画出两个函数y ＝sin x 和y ＝1x在[－π，π] 内的图象，两图象交点的个数即为方程解的个数．[精解详析] 根据条件只需在同一直角坐标系中画出y ＝sin x 与y＝1x在区间[－π，π]上的图象．如图，根据图象可知，两个函数图象有4个交点，即方程有4个实根．[一点通] 本题如果没有范围限制就还需要继续补充图象，由正弦函数图象的无限延续及反比例函数无限接近于x 轴与y 轴的特点可知，方程应有无数个解．不管有没有范围限制，我们在解决这一类问题时都不可能画出全部图象，而是画出一部分图象，根据图象的趋势判断解的个数．4．求方程x 2＝cos x 的实数解的个数．解：作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象如图所示，由图象可知原方程有两个实数解．5．判断方程x4－cos x ＝0的根的个数．解：设f (x )＝x4，g (x )＝cos x ，在同一直角坐标系中画出f (x )与g (x )的图象，如图所示．由图象可知，f (x )与g (x )的图象有三个交点， 故方程x4－cos x ＝0有三个根.[例3] 利用正弦曲线，求满足12＜sin x ≤32的x 的集合．[思路点拨] 作出正弦函数y ＝sin x 在一个周期内的图象，然后借助图象求解． [精解详析] 首先作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象，如图所示，作直线y ＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π6和5π6；作直线y ＝32，该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π3和2π3.观察图象可知，在[0,2π]上，当π6＜x ≤π3，或2π3≤x ＜5π6时，不等式12＜sin x ≤32成立． 所以12＜sin x ≤32的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫π6＋2k π＜x ≤π3＋2k π或2π3＋2k π≤x ＜5π6＋2k π，k ∈Z .[一点通] 利用正弦曲线、余弦曲线解三角不等式的一般步骤为： (1)画出正弦函数y ＝sin x 或余弦函数y ＝cos x 在[0,2π]上的图象； (2)写出适合不等式的在区间[0,2π]上的解集； (3)把此解集推广到整个定义域上去．6．求满足cos x ≤12的x 集合．解：作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图．由图形可以得到，满足条件的x 的集合为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋2k π，5π3＋2k π(k∈Z)．7．求满足sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤12的x 的范围．解：令z ＝x ＋π4，sin z ≤12，在同一直角坐标系中作出y ＝sin z ，z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2与直线y ＝12的图象，如图所示，然后观察图象可知，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2内适合sin z ≤12的z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π6，π6，故当z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π6＋2k π，π6＋2k π，k ∈Z ，即－7π6＋2k π≤x ＋π4≤π6＋2k π，k ∈Z 时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤12成立．∴17π12＋2k π≤x ≤－π12＋2k π，k ∈Z . 即满足sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤12的x 的范围为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－17π12＋2k π，－π12＋2k π，k ∈Z .1．“五点法”作图(1)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分(即取五个点)，分别找到函数图象的最高点、最低点及“平衡点”．这五个点大致确定了函数图象的位置与形状，因此可以画出函数的简图．(2)由于“五点法”作图时，精确度较差，因此画图之前要做到心中有图，明确正弦曲线的变化趋势和规律．正弦函数的图象是“波浪状”，在连线时一定要注意这一点，不要画成“折线”．2．利用三角函数图象解简单的三角不等式 利用正弦函数的图象解sin x >a 的方法(1)作出直线y ＝a 和正弦函数y ＝sin x 的图象； (2)在一个周期内确定sin x ＝a 的x 值； (3)确定sin x >a 的解集．课下能力提升(八)一、填空题1．已知sin x ＝m －1且x ∈R ，则m 的取值范围是________． 解析：由y ＝sin x ，x ∈R 的图象知， －1≤sin x ≤1，即－1≤m －1≤1，所以0≤m ≤2.答案：0≤m ≤2 2．函数y ＝log 12sin x 的定义域是________．解析：由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧log 12sin x ≥0，sin x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤1，sin x ＞0，∴0＜sin x ≤1，由正弦函数图象可得{x |2k π＜x ＜(2k ＋1)π，k ∈Z}． 答案：{x |2k π＜x ＜(2k ＋1)π，k ∈Z} 3．方程sin x ＝lg x 的解有________个．解析：如图所示，y ＝sin x 与y ＝lg x 的图象有3个交点，故方程有3个解．答案：34．已知y ＝cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝1围成一个封闭的平面图形，则该图形的面积为________．解析：S ＝2×2π×12＝2π.答案：2π 5．若cos x ≥22，则x 的取值范围为________． 解析：当cos x ＝22时， x ＝π4＋2k π或x ＝－π4＋2k π，k ∈Z.借助余弦曲线可知，x 的取值范围为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z二、解答题6．用五点法在同一坐标系中作出下列函数一个周期上的简图：(1)y ＝sin x ； (2)y ＝2sin x ； (3)y ＝2sin x2.解：(1)(2)五点选取列表如下，图象如下图：(3)五点选取列表如下，图象如下图：7．设sin θ>cos θ，θ∈[0,2π]，借助正弦曲线和余弦曲线求θ的取值范围． 解：作出正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 在一个周期[0,2π]上的图象如图所示，由图象可知：满足不等式sin θ>cos θ的θ的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.8．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．解：f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈π，2π]，如下图，则k 的取值范围是(1,3)．第3课时 正、余弦函数的图象与性质观察分析正弦函数图象如图．问题1：你能说出正弦函数y ＝sin x 的定义域、值域、周期性及奇偶性吗？ 提示：能．定义域为R ，值域为[－1,1]，最小正周期为2π，是奇函数． 问题2：你能写出正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的单调区间吗？提示：能．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上为增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)上为减函数．正、余弦函数的性质1．正弦函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1；类似地，余弦函数在区间[2k π－π，2k π](k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个区间[2k π，2k π＋π](k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.2．正弦函数在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，但不能说正弦函数在第一象限内是增函数．例如x 1＝π6＋2π，x 2＝π3，都是第一象限角，而sin x 1＝12，sin x 2＝32，从而有x 1>x 2，sin x 1<sin x 2，这不符合增函数定义．所以正弦函数、余弦函数的单调性，只能针对区间而言，不能针对象限而言．3．正、余弦函数都不是单调函数，但是它们有无数个单调区间，利用其单调性，可以比较同一个单调区间内两个角的同名三角函数值的大小．[例1] 求下列函数的单调区间：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3； (2)y ＝cos 2x .[思路点拨] 可依据y ＝sin x (x ∈R)和y ＝cos x (x ∈R)的单调区间． [精解详析] (1)令u ＝x －π3，函数y ＝sin u 的递增、递减区间分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，⎣⎢⎡2k π＋π2，⎦⎥⎤2k π＋3π2(k ∈Z)．∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的递增、递减区间分别由下面的不等式确定： 2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 2k π＋π2≤x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，2k π＋5π6≤x ≤2k π＋11π6，k ∈Z. ∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的递增区间、递减区间分别是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z)、⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋5π6，2k π＋11π6(k ∈Z)．(2)函数y ＝cos2x 的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定： 2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z,2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z. ∴k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，k π≤x ≤k π＋π2，k ∈Z.∴函数y ＝cos2x 的单调递增区间、单调递减区间分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z)、⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z)．[一点通] 求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法来解答，列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ”视为一个“整体”(若ω<0，可利用三角函数的诱导公式化x 系数为正)；②根据A 的符号选取y ＝sin x 的单调区间．1．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递减区间是________．解析：2k π≤2x －π3≤2k π＋π，2k π＋π3≤2x ≤2k π＋4π3，k π＋π6≤x ≤k π＋4π3，k ∈Z. 即递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) 2．求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间．解：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .∴要求y ＝－2sin z 的单调递增区间，即求y ＝sin z 的单调递减区间． 即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z)．∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z)，∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z).[例2] 比较下列各组三角函数值的大小： (1)sin 250°与sin 260°； (2)cos15π8与cos 14π9； (3)sin 11°，cos 10°，sin 168°.[思路点拨] (1)250°和260°在函数y ＝sin x 的单调递减区间[π2，3π2]内，可比较大小；(2)利用诱导公式将已知角转化为y ＝cos x 同一单调区间内，然后比较大小； (3)先转化为同名三角函数再比较大小．[精解详析] (1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上单调递减，且90°<250°<260°<270°，∴sin 250°>sin 260°.(2)cos 15π8＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π8＝cos π8， cos14π9＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π－4π9＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减， 且0<π8<4π9<π，∴cos π8>cos 4π9， ∴cos15π8>cos 14π9. (3)sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°. 又因为y ＝sin x 在x ∈[0，π2]上是增函数，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°.[一点通] 比较两个三角函数值的大小，一般应先化为同名三角函数，并运用诱导公式把它们化为在同一单调区间上的同名三角函数，以便运用函数的单调性进行比较．3．比较下列各组数的大小．(1)sin 2016°和cos 160°；(2)sin 74和cos 53.解：(1)sin 2 016°＝sin(360°×5＋216°)＝sin 216°＝ sin(180°＋36°)＝－sin 36°.cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵sin 36°＜sin 70°，∴－sin 36°＞－sin 70°， 即sin 2 016°＞cos 160°.(2)cos 53＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53，又π2<74<π2＋53<3π2，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是减函数， ∴sin 74>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53＝cos 53，即sin 74>cos 53.4．若△ABC 是锐角三角形，试比较sin A 与cos B 的大小． 解：因为△ABC 是锐角三角形，A ＋B ＝π－C ，且0<C <π2，所以A ＋B >π2，所以0<π2－B <A <π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B <sin A ，即cos B <sin A . 5．比较sin ⎝⎛⎭⎪⎫sin3π8和sin ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π8的大小． 解：∵cos 3π8＝sin π8，∴0＜cos 3π8＜sin 3π8＜1＜π2.而y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内递增， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫cos3π8＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π8.[例3] 求下列函数的最大值和最小值，并写出取得最值时的x 取值集合． (1)y ＝1－12sin x ； (2)y ＝3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (3)y ＝2cos 2x ＋5sin x －4.[思路点拨] 解答本题中的(1)可先根据sin x 的范围，求出1－12sin x 的范围．解答本题中的(2)可由2x ＋π3∈R ，得到sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的范围．解答本题中的(3)可先减少函数名，即利用sin 2x ＋cos 2x ＝1消去cos 2x 便可转化成关于sin x 的二次函数问题．[精解详析] (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧1－12sin x ≥0，－1≤sin x ≤1，∴－1≤sin x ≤1. ∴当sin x ＝－1时，y max ＝62， 此时x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝－π2＋2k π，k ∈Z ；当sin x ＝1时，y min ＝22， 此时x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝π2＋2k π，k ∈Z .(2)∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5， 此时2x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝π12＋k π(k ∈Z)，故x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝π12＋k π，k ∈Z .当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1，此时2x ＋π3＝－π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝－5π12＋k π，故x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝－5π12＋k π，k ∈Z .(3)y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －542＋98.∵sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝－1，即x ＝－π2＋2k π(k ∈Z)时，y 有最小值－9， 此时x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝－π2＋2k π，k ∈Z ；当sin x ＝1，即x ＝π2＋2k π(k ∈Z)时，y 有最大值1，此时x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝π2＋2k π，k ∈Z .[一点通] (1)求有关y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，x ∈R 的最值或值域这类题目的关键在于充分利用好正弦函数y ＝sin x 的有界性，即|sin x |≤1.(2)形如y ＝p sin 2x ＋q sin x ＋r (p ≠0)形式的三角函数最值问题常利用二次函数的思想转化成在给定区间[m ，n ]上求二次函数最值的问题，解答时依然采用数形结合的思想加以分析，必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定”或“轴定区间变”问题．6．函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3的最小值是________．解析：由π6≤x ≤2π3，得－π6≤x －π3≤π3，所以y ＝2cos(x －π3)在x ＝π3时有最大值2， 在x ＝2π3时有最小值1.答案：17．求函数y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域． 解：y ＝cos 2x －4cos x ＋5＝(cos x －2)2＋1. ∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝－1时，y 取最大值(－1－2)2＋1＝10； 当cos x ＝1时，y 取最小值(1－2)2＋1＝2. ∴函数y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域为[2,10]． 8．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．解：∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3.∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.若a ＞0，则⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5.解得⎩⎨⎧ a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.若a ＜0，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝－5，－3a ＋b ＝1.解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.综上知⎩⎨⎧a ＝12－63，b ＝－23＋123或⎩⎨⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.1．正、余弦函数的单调性(1)求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，首先把x 的系数化为正数，再利用整体代换，即把ωx ＋φ代入相应不等式中，求解相应的变量x 的范围．(2)求复合函数的单调区间时，要先求定义域，同时还要注意内层、外层函数的单调性． 2．正、余弦函数的最值(或值域)问题求含有正、余弦函数的式子的最值，常见的方法有：(1)可化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B (A ≠0)的形式，利用三角函数的性质求最值；(2)转化成关于某一三角函数的二次函数的形式，即y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C ，或y ＝A cos 2x ＋B cos x ＋C ，利用配方法求解．课下能力提升(九)一、填空题1．函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3的值域是________．解析：∵函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3上单调递减，∴y max ＝sin π2＝1，y min ＝sin π6＝12.∴该函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 2．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 解析：y ＝cos x 在[－π，0]上为增函数，在[0，π]上为减函数，所以a ∈(－π，0]． 答案：(－π，0]3．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大的顺序排列为______________________． 解析：cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0， cos 760°＝cos 40°＞0，且cos 20°＞cos 40°， 故cos 150°＜cos 760°＜sin 470°. 答案：cos 150°＜cos 760°＜sin 470°4．若f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________.解析：由题意知0≤x ≤π3时，0≤ωπ≤ωπ3＜π3，f (x )max ＝2sin ωπ3＝2，sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，ω＝34. 答案：345．若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.解析：∵f (x )为偶函数， ∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z)， ∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)．又∵φ∈[0,2π]， ∴φ＝3π2. 答案：3π2二、解答题6．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4的单调区间． 解：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝－sin(2x －π4)． 因为2x －π4是关于x 的增函数，所以只需要考虑y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4关于2x －π4的单调性即可．当2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)时，y ＝sin(2x －π4)为增函数，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4为减函数，解得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z)，即函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z)；同理，令2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，求得函数y ＝sin(－2x ＋π4)的单调增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z)． 7．求下列函数的值域：(1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6； (2)y ＝6－sin x －cos 2x .解：(1)∵－π6≤x ≤π6， ∴0≤2x ＋π3≤2π3，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴y ∈[0,2]． 即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤π<π6的值域为[0,2]．(2)y ＝6－sin x －cos 2x ＝sin 2x －sin x ＋5 ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋194∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤194，7. 即函数y ＝6－sin x －cos 2x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤194，7.8．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围．解：由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2(k ∈Z)得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z)． ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z)．据题意：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32.故ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.第4课时 正切函数的图象和性质单位圆中的正切线如图所示．问题1：由三角函数的定义知tan α＝y x，此时x ≠0.试想y ＝tan α中，α有什么限制？ 提示：α≠π2＋k π，k ∈Z.问题2：如图甲，当α在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上增大时，正切线AT 如何变化？正切值又如何变化？提示：正切线AT 向Oy 轴的正向逐步延伸，正切值增大且无限增大． 问题3：如图乙，当α在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0上增大时，又该如何？提示：正切线AT 向Oy 轴的正向逐步缩小，正切值增大．问题4：正切函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2)单调性如何？提示：递增．函数y ＝tan x 的性质与图象1．正切函数y ＝tan x 的定义域是{x | x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z}，这与正弦、余弦函数不同．2．正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，这与正弦函数、余弦函数不同．3．正切函数无单调减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间．[例1] 观察正切函数图象，写出下列不等式的解集： (1)tan x >0；(2)|tan x |≤1. [思路点拨] 画出正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的图象，结合图象求解集．[精解详析] (1)设y ＝tan x ，则它在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的图象如图所示：由图可知满足不等式tan x >0的解集为 {x |k π<x <k π＋π2，k ∈Z}．(2)设y ＝|tan x |，则它在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的图象如图所示：由图可知满足不等式|tan x |≤1的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z .[一点通] (1)正切函数的图象是由被互相平行的直线x ＝π2＋k π(k ∈Z)所隔开的无数多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线．(2)正切函数的图象向上、向下无限延伸，但永远不与x ＝π2＋k π(k ∈Z)相交，与x 轴交于点(k π，0)(k ∈Z)．1．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在区间[0,2π]上的交点个数是________． 解析：作出y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象知有1个交点． 答案：12．观察正切曲线，满足条件|tan x |>3的x 的取值范围是________． 解析：画出函数y ＝|tan x |的图象可知π3＋k π<x <π2＋k π或－π2＋k π<x <－π3＋k π，k ∈Z.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，－π3＋k π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋k π，π2＋k π(k ∈Z)[例2] 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3的定义域、值域，并指出它的单调区间． [思路点拨] 利用换元法，把3x －π3看做一个整体来求其单调区间．[精解详析] 令3x －π3≠k π＋π2(k ∈Z)，得x ≠k π3＋5π18(k ∈Z)， ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，且x ≠k π3＋5π18，k ∈Z ，值域为R.令k π－π2<3x －π3<k π＋π2(k ∈Z)， 得k π3－π18<x <k π3＋5π18(k ∈Z)． ∴函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π3－π18，k π3＋5π18(k ∈Z)．[一点通] 正切函数在每一个单调区间内都是增函数，不存在减区间．因此在求单调区间时，若ω<0，应先由诱导公式把x 的系数化成正值，再用换元法整体代换，最后求出x 的范围即可．3．函数y ＝11＋tan x的定义域是________．解析：要使函数y ＝11＋tan x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π2＋k π，k ∈Z ，tan x ≠－1，即x ≠π2＋k π，且x ≠－π4＋k π，k ∈Z.答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π2＋k π，且x ≠－π4＋k π，k ∈Z4．y ＝tan x2满足下列哪些条件________(填序号)． ①在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增；②为奇函数；③以π为最小正周期；④定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π4＋k π2，k ∈Z . 解析：令x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4， 所以y ＝tan x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增正确；tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝－tan x 2，故y ＝tan x 2为奇函数； T ＝πω＝2π，所以③不正确；由x 2≠π2＋k π，k ∈Z 得，x ≠π＋2k π，k ∈Z ，所以④不正确．答案：①②5．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的单调减区间． 解：∵y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6， ∴只需求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6的单调增区间，即为原函数的单调减区间．令μ＝x 4－π6，则μ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k πk ∈Z ， 即－π2＋k π<μ<π2＋k π(k ∈Z)．∴－π2＋k π<x 4－π6<π2＋k π(k ∈Z)．解得4k π－4π3<x <4k π＋8π3(k ∈Z)． ∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的单调减区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z).[例3] 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小：(1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π5与tan ⎝⎛⎭⎪⎫－13π7； (2)tan(－1 280°)与tan1 680°.[思路点拨] 利用诱导公式将角转化到同一单调区间内，再借助正切函数的单调性求解． [精解详析] (1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋π7＝tan π7，又函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，而－π2＜－π5＜π7＜π2.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5＜tan π7，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π5＜tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7. (2)∵tan(－1 280°)＝tan(－4×360°＋160°)＝tan(180°－20°)＝tan(－20°)， tan 1 680°＝tan(4×360°＋240°) ＝tan(180°＋60°)＝tan 60°，而函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数， ∴tan(－20°)＜tan 60°， 即tan(－1 280°)＜tan 1 680°.[一点通] 运用正切函数的单调性比较大小的一般步骤为： (1)利用诱导公式将角化到同一单调区间上； (2)运用单调性得到大小关系．6．记a ＝tan 1，b ＝tan 2，c ＝tan 3，则a ，b ，c 三数的大小关系是________． 解析：∵tan 3＝tan(3－π)，tan 2＝tan(2－π)， 又∵－π2<2－π<3－π<0<1<π2， 且y ＝tan x 在(－π2，π2)上是单调递增的， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1. ∴tan 2<tan 3<tan 1. 答案：a >c >b 7．比较tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎪⎫－12π5的大小．解：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝－tan 13π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π4＝－tan π4.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π5＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5＝－tan 2π5.又函数y ＝tan x 在( －π2，π2)上是增函数， 且－π2<π4<2π5<π2，∴tan π4<tan 2π5.∴－tan π4>－tan 2π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5.1．正切函数图象的性质函数y ＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的图象过⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1，(0,0)三点，以直线x ＝±π2为渐近线，根据这三点两线就可以大体勾画出正切函数图象的草图．2．正切函数的单调区间的求法正切函数y ＝tan x 在整个定义域上不具有单调性，但在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k∈Z)上具有单调性，是增函数．在求函数y ＝tan(ωx ＋φ)(ω≠0)的单调区间时，首先保证ω>0，否则就先利用诱导公式化为正的，再利用整体换元的方法求出单调区间．课下能力提升(十)一、填空题1．下列正确命题的序号为________． ①y ＝tan x 为增函数；②y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的最小正周期为2πω；③在x ∈[－π，π]上y ＝tan x 是奇函数；④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上y ＝tan x 的最大值是1，最小值为－1. 解析：函数y ＝tan x 在定义域内不具有单调性，故①错误；函数y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的最小正周期为πω，故②错误；当x ＝－π2，π2时，y ＝tan x 无意义，故③错误；由正切函数的图象可知④正确．答案：④2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是________．解析：T ＝π4，∴πω＝π4，∴ω＝4，∴f (x )＝tan4x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0.答案：03．a ，b 是不等于1的正数，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，若a tan θ＞b tan θ＞1，则下列不等式成立的是________．(填序号)①a ＞b ＞1；②a ＜b ＜1；③b ＜a ＜1；④b ＞a ＞1.解析：∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴tan θ＞0. 又btan θ＞b 0，∴b ＞1，又a tan θ＞btan θ，∴a ＞b ，∴a ＞b ＞1. 答案：①4．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2范围内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为________个．解析：在同一坐标系中，首先作出y ＝sin x 与y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的图象，须明确x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，有sin x ＜x ＜tan x (利用单位圆中的正弦线，正切线就可证明)，然后利用对称性作出x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2的两函数的图象如图，由图象可知它们有三个交点．答案：35．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则ω的范围是________．解析：若ω使函数在(－π2，π2)上递减，则ω必小于0，且⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω，－π2ω，故－1≤ω<0.答案：[－1,0) 二、解答题6．求下列函数的单调区间： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4； (2)y ＝13tan 2x ＋1.解：(1)由－π2＋k π<x －π4<π2＋k π(k ∈Z)，解得－π4＋k π<x <34π＋k π(k ∈Z)， ∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z)．(2)令－π2＋k π<2x <π2＋k π(k ∈Z)，∴－π4＋k π2<x <π4＋k π2(k ∈Z)，∴函数y ＝13tan 2x ＋1的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π2，π4＋k π2(k ∈Z)．7．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，若使a －2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的值总大于零，求a 的取值范围．解：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，∴0≤2x －π3≤π3.又∵y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3内单调递增，∴0≤tan(2x －π3)≤3， ∴0≤2tan(2x －π3)≤2 3. 由题意知a －2tan(2x －π3)>0恒成立， 即a >2tan(2x －π3)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3恒成立． ∴a >2 3.∴实数a 的取值范围是(23，＋∞)8．已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．解：函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图象的对称轴为直线x ＝－tan θ. ∵y ＝f (x )在[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3， 即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.。
2018-2019学年苏教版高中数学必修4教案：第一章 三角函数 第14课时 1.3.3函数的图象(2)
第十四课时 §1.3.3 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象（2）【教学目标】 一、知识与技能：(1) 会用“五点法”画y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象； (2) 会用图象变换的方法画y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象； (3) 会求一些函数的振幅、周期、最值等。
二、过程与方法在研究函数y ＝Asin (ωx ＋ϕ) 的图象的过程中进一步体会化归的数学思想，自觉运用数形结合思想解决问题。
三、情感态度价值观：会用联系的观点看问题，了解各个量之间内在的联系。
教学重点难点：函数图象的伸缩、平移变换。
【教学过程】 一．复习回顾1．x A y sin =型函数的图象-----振幅变换: 2．x y ωsin =型函数的图象-----周期变换 3．)sin(ϕ+=x y 型函数的图象-----相位变换 二．新课讲解问题： 函数y ＝Asin (ωx ＋ϕ)（A >0,ω>0）的图象可以由正弦曲线经过哪些图象变换而得到？引例 画出函数y ＝3sin(2x ＋3π)，x ∈R 的简图 解：(五点法)由T ＝22π，得T ＝π 列表：描点画图：这种曲线也可由图象变换得到： 方法一：即：y ＝sin x y ＝sin(x ＋3π)y ＝sin(2x ＋3πy ＝3sin(2x ＋3π)一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0)的图象，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点向左(当_______时)或向右(当______时平行移动｜ϕ｜个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当______时)或伸长(当________时)到原来的ω1倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当________时)或缩短(当________时)到原来的A 倍(横坐标不变)问题：以上步骤能否变换次序？方法二：____移 个单位纵坐标不变 横坐标变为 倍横坐标不变另外，注意一些物理量的概念:A ：称为振幅；T ＝ωπ2：称为周期；f ＝T1：称为频率； ωx ＋ϕ：称为相位x ＝0时的相位ϕ称为初相三、例题分析：例1、已知函数sin(A y =ωx )ϕ+（πϕω2,0,0<<>>A ）的图象一个最高点为A （2，3），由点A 到相邻最低点的图象交x 轴于（6， 0），求此函数的解析式。
苏教版高中数学必修4教案：第一章 三角函数 第11课时 1.3.2三角函数的图象与性质(2)
第十一课时 §1.3.2 三角函数的图象与性质（2）【教学目标】一、知识与技能：1.能指出正弦、余弦函数的定义域，并用集合符号来表示；2.能说出函数sin y x =，x R ∈和cos y x =，x R ∈的值域、最大值、最小值，以及使函数取得这些值的x 的集合。
3．理解三角函数的有关性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、对称性等二、过程与方法通过作图来认识三角函数性质，充分发挥图象在认识和研究函数性质中的作用，渗透“数形结合”思想。
三、情感态度价值观：通过正余弦函数图象的理解，使学生从感性到理性的进步，体会从图形概括抽象，使学生理解 动与静的辨证关系教学重点难点：与正、余弦函数相关的函数的定义域和值域的求法【教学过程】一．新课讲解：函数性质：1．定义域2因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx ｜≤1，｜cosx ｜≤1，即－1≤sinx ≤1，－1≤cosx ≤1也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］其中正弦函数y =sin x ,x ∈R①当且仅当x ＝ ，k ∈Z 时，取得最大值1②当且仅当x ＝ ，k ∈Z 时，取得最小值－1而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R①当且仅当x ＝ ，k ∈Z 时，取得最大值1②当且仅当x ＝ ，k ∈Z 时，取得最小值－13．周期性正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π4．奇偶性由sin(－x)＝－sinx cos(－x)＝cosx可知：y ＝sinx 为奇函数 y ＝cosx 为偶函数∴正弦曲线关于 对称,余弦曲线关于 对称5．单调性从y ＝sinx ，x ∈［－23,2ππ］的图象上可看出：当x ∈［－2π，2π］时，曲线逐渐 ，sinx 的值由_____增大到_____. 当x ∈［2π，23π］时，曲线逐渐 ，sinx 的值由____减小到_____ 结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间 (k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间 (k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1余弦函数在每一个闭区间 (k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间 (k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－16．对称性y ＝sin x ，x ∈R对称中心坐标_____________________对称轴方程_______________________y ＝cos x ，x ∈R对称中心坐标_____________________对称轴方程_______________________二、例题分析:例1、求下列函数最值并求取得最值时的x 取值集合（1） y=sin(3x+4π)-1 （2）y=sin 2x-4sinx+5 （3） y=xx cos 3cos 3+-（4）4tan cos y x x =⋅； （5）264sin cos y x x =--；例2、求下列函数的定义域和值域并判断函数的奇偶性：（1）21sin 1y x =+； （2）2sin 1sin x y x+=+（3）y asinx b =+（其中,a b 为常数且0,≠b a ） （4）y=)cos(sin x例3、指出下列函数的周期、单调区间和对称轴以及取得最值时的x 的取值集合：（1）y=1+sinx ，x ∈R （2）y=-cosx ，x ∈R（3）y ＝sin(x ＋4π) x ∈R （4） y=sin （3π-2x ），x ∈R （5)y ＝3cos(3π－x ) x ∈R课堂小结：掌握三角函数的有关性质并能熟练应用。
2018-2019学年高中数学苏教版必修四教学案：第1章 章末小结小结与测评-含答案
一、任意角和弧度制1．任意角(1)角的分类：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．(2)终边相同的角的集合：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合S＝{β|β＝k²360°＋α，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示为角α与整数个周角的和．第一象限角的集合：{α|k²360°<α<k²360°＋90°，k∈Z}；第二象限角的集合：{α|k²360°＋90°<α<k²360°＋180°，k∈Z}；第三象限角的集合：{α|k²360°＋180°<α<k²360°＋270°，k∈Z}；第四象限角的集合：{α|k²360°＋270°<α<k²360°＋360°，k∈Z}；终边落在x轴上的角的集合：{α|α＝k²180°，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合：{α|α＝k²180°＋90°，k∈Z}；终边落在坐标轴上的角的集合：{α|α＝k²90°，k∈Z}．2．弧度制(1)角度与弧度的互化公式：角度化成弧度：360°＝2π rad,180°＝π rad,1°＝π180rad≈0.017 45 rad；弧度化成角度：2π rad ＝360°，π rad ＝180°，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°≈57.30°. (2)扇形的弧长与面积公式： 扇形的弧长公式：l ＝|α|r ； 扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2.二、任意角的三角函数 1．定义设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它到坐标原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)，则sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝y x.2．三角函数在各象限的符号(如图)3．角α的正弦线、余弦线、正切线设角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点P (如图)，则图中的有向线段MP ，OM ，AT 的数量分别等于角α的正弦、余弦、正切的值，这些有向线段叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．三、同角三角函数的基本关系式及诱导公式 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2x ＋cos 2x ＝1. (2)商数关系：tan x ＝sin xcos x.2．诱导公式(1)公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，tan(α＋2k π)＝tan α，k ∈Z.(2)公式二：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α.(3)公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α. (4)公式四：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α.(5)公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. (6)公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α. α＋2k π，k ∈Z ，－α，π±α的三角函数值等于α的同名三角函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.π2±α的正弦(余弦)函数值等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．也可以用口诀记忆：“奇变偶不变，符号看象限”．3．诱导公式的应用步骤任意负角的三角函数――→用公式一或公式二任意正角的三角函数――→用公式一 0～2π角的三角函数――→用公式三或公式四锐角三角函数四、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质五、y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时，A 是振幅，T ＝2πω是周期，f ＝1T ＝ω2π是频率，φ是初相，ωx ＋φ是相位．(2)用“五点法”作图，就是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，令z 分别取0、π2、π、3π2、2π来求相应的x ，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象．(3)图象变换如下：y ＝sin x 1ω−−−−−−−−−→各的坐成原的倍坐不点横标变来纵标变y ＝sin ωx (0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−−−−−−→向左或向右平移位度个单长 y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――――――――――――→各点的纵坐标变成原来的A 倍，横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．或者y ＝sin x――――――――――――――――→向左 φ>0 或向右 φ<0 平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ) 1ω−−−−−−−−−−−−→各的坐原的倍，坐不点横标变为来纵标变y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――――――――――――→各点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)1．若sin α<0且tan α>0，则α是第________象限角． 答案：三2．若角α的终边经过点P (1，－2)，则tan α的值为________． 解析：tan α＝－21＝－2. 答案：－23．已知圆的半径是6 cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是________． 解析：15°化为弧度为π12，设扇形的弧长为l ，则l ＝6³π12＝π2，其面积S ＝12lR ＝12³π2³6＝3π2.答案：3π24．tan 300°＋cos 405°sin 405°的值是________．解析：tan 300°＋cos 405°sin 405°＝tan(360°－60°)＋cos 360°＋45°sin 360°＋45°＝tan(－60°)＋cos 45°sin 45°＝－tan 60°＋1＝1－ 3.答案：1－ 35．设α是第二象限角，则sin αcos α²1sin 2α－1等于________． 解析：因为α是第二象限角， 所以sin αcos α²1sin 2α－1 ＝sin αcos α ²1－sin 2αsin 2α＝sin αcos α²|cos α||sin α| ＝sin αcos α²－cos αsin α＝－1. 答案：－16．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值等于________．解析：由已知得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13.答案：－137．若(sin θ＋cos θ)2＝2，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则θ＝________.解析：由(sin θ＋cos θ)2＝2，∴sin θ cos θ＝12∴sin θ cos θsin 2θ＋cos 2θ＝12即tan θ1＋tan 2θ＝12，又tan θ＞0， ∴tan θ＝1，又θ∈(0，π2)．∴θ＝π4. 答案：π48．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3的递增区间是________． 解析：令k π－π2<x 2＋π3<k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－5π3<x <2k π＋π3(k ∈Z)，故所求函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－5π3，2k π＋π3(k∈Z)．答案：⎝⎛⎭⎪⎫2k π－5π3，2k π＋π3(k ∈Z) 9．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则 φ＝________.解析：由题意得周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π， ∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝±1. ∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<54π， ∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4. 答案：π410．函数y ＝cos 2x －sin x 的最大值是________． 解析：∵y ＝cos 2x －sin x ＝1－sin 2x －sin x＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋122＋54， 又∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－12时，y max ＝54.答案：5411．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________. 解析：由题图可知，T ＝2³⎝⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π2＝πω，∴ω＝2.又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0，所以A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2³3π8＋φ＝0，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋3π4＝0，∴φ＋3π4＝k π，k ∈Z. 又|φ|＜π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝A tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 又图象过点(0,1)，∴A tan π4＝1，∴A ＝1，即f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan π3＝ 3. 答案： 312．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx x ＞0，f x ＋1 ＋1 x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值为________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－cos 4π3＝cos π3＝12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－43＋1＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＋1＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋2 ＝－cos 2π3＋2 ＝cosπ3＋2 ＝12＋2＝52， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝12＋52＝3.答案：313．在函数①y ＝sin |x |，②y ＝|sin x |，③y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，④y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3中，最小正周期为π的函数为________．解析：y ＝sin |x |不是周期函数，其余三个函数的最小正周期均为π. 答案：②③④ 14．将函数y ＝cos(x －π3)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的对称轴为________．解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数y 1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图象，再向左平移π6个单位，得函数y 2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象．由x 2－π4＝k π(k ∈Z)，得x ＝2k π＋π2(k ∈Z)即为所求的全部对称轴．答案：x ＝2k π＋π2(k ∈Z)二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知单位圆上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，y ，设以OP 为终边的角为θ(0＜θ＜2π)，求θ的正弦值、余弦值．解：∵P 在单位圆上，∴y 2＋34＝1.∴y ＝±12.当y ＝12时，sin α＝12，cos α＝－32.当y ＝－12时，sin α＝－12，cos α＝－32.16．(本小题满分14分)已知f (x )＝a sin(3π－x )＋b tan(π＋x )＋1(a 、b 为非零常数)． (1)若f (4)＝10，求f (－4)的值； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5＝7，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫995π的值． 解：∵f (x )＝a sin(2π＋π－x )＋b tan(x ＋π)＋1 ＝a sin x ＋b tan x ＋1，∴f (－x )＝a sin(－x )＋b tan(－x )＋1 ＝－a sin x －b tan x ＋1， ∴f (x )＋f (－x )＝2.(1)∵f (4)＝10，f (4)＋f (－4)＝2， ∴f (－4)＝2－f (4)＝2－10＝－8. (2)∵f (π5)＝7，f (π5)＋f (－π5)＝2，∴f (－π5)＝2－f (π5)＝2－7＝－5. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫99π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20π－π5＝a sin ⎝⎛⎭⎪⎫20π－π5＋b tan ⎝⎛⎭⎪⎫20π－π5＋1 ＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5＋b tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5＝－5. 17．(本小题满分14分)已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)． (1)求sin π－α ＋5cos 2π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值；(2)求sin 2α＋2sin αcos α－cos 2α＋2的值． 解：由已知，得－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)． ∴－sin(π－α)＝2cos(－α)．∴sin α＝－2cos α. ∵cos α≠0，∴tan α＝－2.(1)原式＝sin α＋5cos α－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋sin α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝tan α＋5－2＋tan α＝－2＋5－2－2＝－34.(2)原式＝sin 2 α＋2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＋2 ＝tan 2α＋2tan α－1tan 2α＋1＋2 ＝4＋2³ －2 －14＋1＋2＝95.18．(本小题满分16分)设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω＞0且最小正周期为π2. (1)求f (0)；(2)求f (x )的解析式；(3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α4＝95，求sin α的值．解：(1)f (0)＝3sinπ6＝32. (2)因为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6且最小正周期为π2，所以2πω＝π2，即ω＝4，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (3)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝3cos α＝95， ∴cos α＝35，∴sin α＝±45.19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期及最大值； (2)求函数f (x )的零点的集合． 解：(1)最小正周期T ＝π，当2x ＋π6＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π6(k ∈Z)时，函数f (x )的最大值为1. (2)由f (x )＝0，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝12， 所以2x ＋π6＝2k π＋π6或2x ＋π6＝2k π＋5π6(k ∈Z)，即x ＝k π或x ＝k π＋π3(k ∈Z)，数学故函数f (x )的零点的集合为{x |x ＝k π或x ＝k π＋π3，k ∈Z}． 20．(本小题满分16分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)求函数的单调递增区间．解：(1)由图象可知A ＝2，T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，2在图象上， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝2， 即－π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，且|φ|＜π， ∴φ＝2π3， ∴函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3. (2)由(1)可得函数的解析式为 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3， 令2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2， 解得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ， 故函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z.。
2018版高中数学苏教版必修四学案章末复习课1
学习目标.理解任意角的三角函数的概念.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式.能画出＝，＝，＝的图象.理解三角函数＝，＝，＝的性质.了解函数＝(ω＋φ)的实际意义，掌握函数＝(ω＋φ)图象的变换．．任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(，)，那么：()叫做α的，记作，即；()叫做α的，记作，即；()叫做α的，记作，即．．同角三角函数的基本关系式()平方关系：.()商数关系：α＝.．诱导公式六组诱导公式可以统一概括为“·±α(∈)”的诱导公式．当为偶数时，函数名不改变；当为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．．正弦函数、余弦函数和正切函数的性质函数＝＝＝图象定义域{∈且≠π＋，∈} 值域对称性对称轴：＝π＋(∈)；对称中心：(π，)(∈)对称轴：＝π(∈)；对称中心：(∈)对称中心：(∈)，无对称轴奇偶性周期性最小正周期：最小正周期：最小正周期：单调性在(∈)上是单调增函数；在(∈)上是单调减函数在[－π＋π，π](∈)上是单调增函数；在[π，π＋π](∈)上是单调减函数在开区间(π－，π＋)(∈)上是单调增函数最值在＝(∈)时，＝；在＝－＋π(∈)时，＝－在＝π(∈)时，＝；在＝π＋π(∈)时，＝－无最值类型一三角函数的概念例已知角θ的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴．若(，)是角θ终边上一点，且θ＝－，则＝. 反思与感悟()已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②在α的终边上任选一点(，)，到原点的距离为(＞)．则α＝，α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．。
【配套K12】2018-2019学年高中数学苏教版必修4教案：第一章 三角函数 第6课时 1.2.2
第六课时 §1.2.2 同角三角函数关系（2）【教学目标】一、知识与技能1.掌握同角三角函数的基本关系，已知某角的一个三角函数值，会求其余的各三角函数值。
2.理解并掌握同角三角函数的基本关系及简单变形，并能应用它解决一类三角函数的求值问题，提高学生分析和解决问题的能力。
3.通过学习，认识事物间存在的内在联系，使学生面对问题养成勤于思考的习惯。
二、过程与方法三、情感态度价值观教学重难点：正弦、余弦、正切线的概念及利用【教学过程】一、复习引入同角三角函数的基本关系式（1）倒数关系：sin csc 1αα⋅=，cos sec 1αα⋅=，tan cot 1αα⋅=．（2）商数关系：sin tan cos ααα=，cos cot sin ααα=． （3）平方关系：22sin cos 1αα+=，221tan sec αα+=，221cot csc αα+=二、例题分析：例1、已知cot m α=（0m ≠），求cos α例2、化简22sin tan cos cot 2sin cos αααααα++例3、已知0sin 3sin 6cos sin cos sin 222=+-+-αααααα ， 求ααααtan 1cos sin 2cos 22++的值。
例4．已知sin α+cos α=a ，求（1）sin αcos α；（2）sin 3α+cos 3α的值。
例5．证明（1）x x x x cos sin 1sin 1cos +=- （2）x x x x x x tan 1tan 1sin cos cos sin 2122-+=-+例6、求证：22sin tan cos cot 2sin cos tan cot x x x x x x x x ⋅+⋅+⋅=+．小结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边；（2）证明左右两边同等于同一个式子；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。
2018版高中数学苏教版必修四学案：章末复习课1
1章三角函数[学习目标】1•理解任意角的三角函数的概念2掌握同角三角函数基本关系及诱导公式3能画出y= sin x, y= cos x, y= tan x 的图象4理解三角函数y= sin x, y= cos x, y= tan x 的性质.5. 了解函数y= Asin( »+妨的实际意义，掌握函数y= Asin(3x+$)图象的变换.n知识梳理----------------------------i .任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y),那么：(1) y叫做a的________ ，记作 ______ ，即_____________ ；(2) x叫做a的________ ，记作 ______ ，即_____________ ；(3) ^叫做a的_________ ，记作 ______ ，即_____________ .x2.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：_____________________ .⑵商数关系：tan a= COM ("工k n+ 2, « Z [3 .诱导公式n六组诱导公式可以统一概括为“k ±a(k € Z)”的诱导公式.当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把a视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.题型探究---------------------------类型一三角函数的概念例1已知角B的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4, y)是角B终边上一点，且sin 0=-兮，贝V y= ____________________ .反思与感悟(1)已知角a的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值.②在a的终边上任选一点P(X, y), P到原点的距离为r(r > 0).则sin a= :, cos a=:.已知a 的终边求a 的三角函数值时，用这几个公式更方便.⑵当角a的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 跟踪训练1 已知角a的终边经过点P(3,4t)，且sin(2k n+a = -；(k€ Z)，则t = ________________________ .类型二同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用例2 已知关于x的方程2x2—(寸3 + 1)x + m= 0的两根为sin 0, cos 0, (0,2 n .求: cos2字-0sin 扌+ 0(1)---------------------------- p ----cos 牙-0p cos(—— 0 1+ ta n( n 0)⑵m的值；(3)方程的两根及此时0的值.反思与感悟(1)牢记两个基本关系式sin2a+ cos2a= 1及tan a并能应用两个关系式进cos a行三角函数的求值、化简、证明.在应用中，要注意掌握解题的技巧.比如：已知sin a±3OS a 的值，可求cos a sin a注意应用(cos a±sin1 ±2sin a cos an(2)诱导公式可概括为k》土a k € Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限.2sin(n—a)cos(2 n—a)tan(— n+a) si n(— n+ a tan— a+ 3 n跟踪训练 2 已知f( a)=(1) 化简f( a ；(2) 若f( a= 士且玄a n，求cos a—Sin a的值；8 4 2⑶若a=—4，求f( a的值.类型三三角函数的图象与性质例3将函数y= f(x)的图象向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的然后向上平移1个单位长度，得到函数y= . 3sin x的图象.(1)求f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)若函数y= g(x)与y= f(x)的图象关于直线x= 2对称，求当x€ [0,1]时，函数y= g(x)的最小值和最大值.3X+ $看作一个整体来解决. 反思与感悟研究y= Asin@x+妨的单调性、最值问题，把跟踪训练3函数f(x) = 3sin 2x+才的部分图象如图所示.(1)写出f(x)的最小正周期及图中x o, y o的值；⑵求f(x)在区间—n —上的最大值和最小值.类型四三角函数的最值和值域命题角度 1 可化为y = Asin(®x+ $汁k型例4求函数y=—2si n(x + y + 3, x€ [0 , n的最大值和最小值.反思与感悟利用y= Asin( 3汁妨+ k求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响.跟踪训练4已知函数y= asin(2x+石)+ b在x€［0 ,㊁］上的值域为［—5,1］，求a, b的值. 命题角度2 可化为sin x或cos x的二次函数型例5已知|x|w才，求函数f(x) = cos2x+ sin x的最小值.反思与感悟在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错.跟踪训练5已知函数f(x)=—sin2x —asin x+ b+ 1的最大值为0,最小值为—4,若实数a>0, 求a, b的值.类型五数形结合思想在三角函数中的应用例6已知方程sin(x+于=譽在［0, n上有两个解，求实数m的取值范围.3 2反思与感悟 数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究 y =Asin( 3X +$)(A >0, 3>0)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想. 跟踪训练6 设函数f(x)= Asin( 3x+ ©)(A , w, $是常数，A > 0, w >0).若f(x)在区间年，刁 n 2 n n 上是单调函数，且 峪)=f(yo =—呢)，则f(x)的最小正周期为 _____________ .1 .若一个角 a 的终边上有一点 P(— 4 , a)，且sin a C OS a=-43，贝y a 的值为175 .已知函数f(x)=— sinx + sin x + a ，若1 < f(x )w —对一切x € R 恒成立，求实数 a 的取值范 围.厂规律与方法■ -----------------------------------三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合 起来，即利当堂训练 2 .已知 f( a )=sin n — a -^OlZ n — a cos — n — a tan a 31 n 则f(— 3 )的值为 3.函数y = |sin x|+ sin|x|的值域为 __________ f n n t 4.函数f(x) = 2sin(wx+妨w>0,— K2的部分图象如图所示，则 w , $的值分别是用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法.答案精析知识梳理亠亠 y 1. ⑴正弦 sin a sin a= y (2)余弦 cos a cos a= x (3)正切 tan a tan a= x (X M 0)2 2 2. (1)sin a+ cos a= 14. [- 1,1] [ — 1,1] R 奇函数偶函数奇函数 2 n 2 n n 扌+ 2k n题型探究例1 — 89跟踪训练1—三 例2解由根与系数的关系，得V 3+1 sin 0+ cos 0= —2 —,msin 0cos 0= ^.=sin 0+ cos 0= sin 0— cos 0sin 0— cos 02V 3+1(2)由 sin 0+ cos 0= —2— 两边平方可得 m =(3) 由m =〒可解方程2X 2— ( .3+ 1)x +〒=0,(1)原式= 2 sin 0 cos 0+ = + : sin 0— cos 0 1 — tan 0 sin 0— cos 0 1 — sin 0 cos 0 sin 2 0 cos 0 1 + 2sin 0cos 0=4 + 2、31 + 2X+于，•••张(o,2 n, J n •- 0= 6或3 跟踪训练2 sin a cos a tan a sin a cos a —sin a — tan a 1 ⑵由 f( a= Sin a cos a=；可知， 8 2 2 2 (cos a — sin a = cos a — 2sin a c os a+ sin a 1 3 =1 — 2sin a cos a= 1 — 2即 cos a — sin <, • •• cos a — sin a=—弩 2 - (3) •- a=— 44n =— 6 x 2n+ 4,=cos [— 6X 2 n+ 訂sin 6X 2 n+=cos ； si 门亍=于 x ：22= 2例3解(1)函数y = .3 sin x 的图象向下平移1个单位长度得y = . 3sin x — 1，再将得到的3倍，得到y =乜sin ^c — 1图象上的点的横坐标伸长为原来的的图象，然后向右平移1个单位 n 3长度，得到y = 3sin (n x —n — 1的图象，•函数y = f(x)的最小正周期为T = 红 6•由2k n —詐才33 n 2 3 sin 0=1, __3 sin 0= 2，I cos 0= 2cos 0= 1. 解(i )f ( a= X 8 = 4. n n 又"4< a <2，二 cos o<sin a, 7t47 n ~ = cos47 n T sin 7t得两根3x —n2k n+ n，k€ 乙得6k—x w 6k+k€ Z,「.函数y= f(x)的单调增区间是[6k—丁,56k+ 2], k€ 乙(2) •••函数y= g(x)与y= f(x)的图象关于直线x= 2对称,•••当x€ [0,1]时，y= g(x)的最值即为x€ [3,4]时，y = f(x)的最值.•••当x€ [3,4]时，承―扌€ [#, n,,n n 3(§x —3)€ [0，玄],1• f(x)€ [—1, 2].1•••当x€ [0,1]时，y= g(x)的最小值是一1，最大值为*跟踪训练3解(1)f(x)的最小正周期为n x0= 76^, y0= 3.(2)因为x € —2，一12 "，所以2x + 6€—"6，0 I 于是，当2x + 6= 0,即x= —12时，f(x) 取得最大值0 ；当2x+n=—n，即x=—n时f(x)取得最小值—3.例 4 解•/ x€ [0 , n]当sin(x+ 6)= 1, 即x= n时，y取得最小值1.n 1当sin(x+ 6)= —2，即x= n时，y取得最大值4.•函数y=—2sin(x+》+ 3, x€ [0 , n]的最大值为4,最小值为1.跟踪训练4解•/ x€ [0, J ,- n r n 7 n 1•- 2x+ 6 €【6, 6 n , si n(2x + 6) € [ —2，1].a + b= 1,•••当a> 0 时，[a = 4, 解得b =- 3;、一-1 + b= 1，当a v 0时，a + b=- 5,a =- 4, 解得b =- 1.••• a, b的取值分别是4，—3或—4,—1.例 5 解y= f(x) = cos2x+ sin x =- sin2x+ sin x+ 1.n令t = sin x, •/ |x|< -,• - -2 < sin x w £则y=-t2+1+ 1 = - (t-2)2+ 4(-~22<t<"22),•••当t=- 22,即x=-n时，f(x)有最小值，且最小值为一(-2-1)2+5跟踪训练5解令t = sin x，则2( a \ a 2g(t) = - t —at+ b+ 1= -t+ 2 + 4 + b+ 1,a且t € [- 1,1] •根据对称轴t o=- a与区间[-1,1]的位置关系进行分类讨论.①当一号w- 1,即卩a>2时，y max = g —1 = a+ b= 0,I y min = g 1= 一a+ b= 一4,[a = 2, 解得b =- 2.②当一1< -2<0 ,即0<a<2 时，1- *2 2y max = g ―2 = 4 + b + 1= 0，y min = g 1= —a + b= —4,a = 2, a=—6,解得(舍)或(舍),b =—2 b=—10综上所述，a= 2, b=—2._ n n rm例6 解函数y= sin(x+ 3), x€ [0, n的图象如图所示，方程sin(x+ 3) = "2■在[0 , n上有两个解等价于函数y1= sin(x+3), y2 = m在同—平面直角坐标系中的图象在[0, n]有两个不同的交点，所以普w m< 1,即V3w m v 2.跟踪训练6 n当堂训练1 4.3或—^3r2• —2 3.[0,2]n4. 2,—35.[3,4]。
高中数学(苏教版)必修4精品教学案全集：第1章高中数学必修4的教学建议
数学学科《必修4》的教学指导一．课标要求在本模块中，学生将学习三角函数、平面上的向量（简称平面向量）、三角恒等变换。
三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。
在本模块中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。
在本模块中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。
三角恒等变换在数学中有一定的应用，同时有利于发展学生的推理能力和运算能力。
在本模块中，学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换。
内容与要求1．三角函数（约16课时）（1）任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。
（2）三角函数①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（π/2±α, π±α的正弦、余弦、正切），能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图象，了解三角函数的周期性。
③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（-π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。
④理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1，sin x/cos x=tan x。
⑤结合具体实例，了解y=A sin（ωx+φ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=A sin（ωx+φ）的图象，观察参数A，ω，φ对函数图象变化的影响。
⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。
2．平面向量（约12课时）（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。
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一、任意角和弧度制1．任意角(1)角的分类：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．(2)终边相同的角的集合：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示为角α与整数个周角的和．第一象限角的集合：{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}；第二象限角的集合：{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}；第三象限角的集合：{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}；第四象限角的集合：{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}；终边落在x轴上的角的集合：{α|α＝k·180°，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合：{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}；终边落在坐标轴上的角的集合：{α|α＝k·90°，k∈Z}．2．弧度制(1)角度与弧度的互化公式：角度化成弧度：360°＝2π rad,180°＝π rad,1°＝π180rad≈0.017 45 rad；弧度化成角度：2π rad ＝360°，π rad ＝180°，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°≈57.30°. (2)扇形的弧长与面积公式： 扇形的弧长公式：l ＝|α|r ； 扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2.二、任意角的三角函数 1．定义设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它到坐标原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)，则sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝y x.2．三角函数在各象限的符号(如图)3．角α的正弦线、余弦线、正切线设角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点P (如图)，则图中的有向线段MP ，OM ，AT 的数量分别等于角α的正弦、余弦、正切的值，这些有向线段叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．三、同角三角函数的基本关系式及诱导公式 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2x ＋cos 2x ＝1. (2)商数关系：tan x ＝sin xcos x.2．诱导公式(1)公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，tan(α＋2k π)＝tan α，k ∈Z.(2)公式二：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α.(3)公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α. (4)公式四：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α.(5)公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. (6)公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α. α＋2k π，k ∈Z ，－α，π±α的三角函数值等于α的同名三角函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.π2±α的正弦(余弦)函数值等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．也可以用口诀记忆：“奇变偶不变，符号看象限”．3．诱导公式的应用步骤任意负角的三角函数――→用公式一或公式二任意正角的三角函数――→用公式一 0～2π角的三角函数――→用公式三或公式四锐角三角函数四、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质五、y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时，A 是振幅，T ＝2πω是周期，f ＝1T ＝ω2π是频率，φ是初相，ωx ＋φ是相位．(2)用“五点法”作图，就是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，令z 分别取0、π2、π、3π2、2π来求相应的x ，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象．(3)图象变换如下：y ＝sin x 1ω−−−−−−−−−→各的坐成原的倍坐不点横标变来纵标变y ＝sin ωx (0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−−−−−−→向左或向右平移位度个单长 y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――――――――――――→各点的纵坐标变成原来的A 倍，横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．或者y ＝sin x――――――――――――――――→向左φ或向右φ平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ) 1ω−−−−−−−−−−−−→各的坐原的倍，坐不点横标变为来纵标变y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――――――――――――→各点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)1．若sin α<0且tan α>0，则α是第________象限角． 答案：三2．若角α的终边经过点P (1，－2)，则tan α的值为________． 解析：tan α＝－21＝－2. 答案：－23．已知圆的半径是6 cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是________． 解析：15°化为弧度为π12，设扇形的弧长为l ，则l ＝6×π12＝π2，其面积S ＝12lR ＝12×π2×6＝3π2.答案：3π24．tan 300°＋cos 405°sin 405°的值是________．解析：tan 300°＋cos 405°sin 405°＝tan(360°－60°)＋＋＋＝tan(－60°)＋cos 45°sin 45°＝－tan 60°＋1＝1－ 3.答案：1－ 35．设α是第二象限角，则sin αcos α·1sin 2α－1等于________． 解析：因为α是第二象限角， 所以sin αcos α·1sin 2α－1 ＝sin αcos α ·1－sin 2αsin 2α＝sin αcos α·|cos α||sin α| ＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1. 答案：－16．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值等于________．解析：由已知得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13.答案：－137．若(sin θ＋cos θ)2＝2，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则θ＝________.解析：由(sin θ＋cos θ)2＝2，∴sin θ cos θ＝12∴sin θ cos θsin 2θ＋cos 2θ＝12即tan θ1＋tan 2θ＝12，又tan θ＞0， ∴tan θ＝1，又θ∈(0，π2)．∴θ＝π4. 答案：π48．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3的递增区间是________． 解析：令k π－π2<x 2＋π3<k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－5π3<x <2k π＋π3(k ∈Z)，故所求函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－5π3，2k π＋π3(k∈Z)．答案：⎝⎛⎭⎪⎫2k π－5π3，2k π＋π3(k ∈Z) 9．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则 φ＝________.解析：由题意得周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π， ∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝±1. ∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<54π， ∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4. 答案：π410．函数y ＝cos 2x －sin x 的最大值是________． 解析：∵y ＝cos 2x －sin x ＝1－sin 2x －sin x＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋122＋54， 又∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－12时，y max ＝54.答案：5411．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________. 解析：由题图可知，T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π2＝πω，∴ω＝2.又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0，所以A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ＝0，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋3π4＝0，∴φ＋3π4＝k π，k ∈Z. 又|φ|＜π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝A tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 又图象过点(0,1)，∴A tan π4＝1，∴A ＝1，即f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan π3＝ 3. 答案： 312．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx x ＞0，f x ＋＋1 x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值为________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－cos 4π3＝cos π3＝12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－43＋1＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＋1＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋2 ＝－cos 2π3＋2 ＝cosπ3＋2 ＝12＋2＝52， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝12＋52＝3.答案：313．在函数①y ＝sin |x |，②y ＝|sin x |，③y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，④y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3中，最小正周期为π的函数为________．解析：y ＝sin |x |不是周期函数，其余三个函数的最小正周期均为π. 答案：②③④ 14．将函数y ＝cos(x －π3)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的对称轴为________．解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数y 1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图象，再向左平移π6个单位，得函数y 2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象．由x 2－π4＝k π(k ∈Z)，得x ＝2k π＋π2(k ∈Z)即为所求的全部对称轴．答案：x ＝2k π＋π2(k ∈Z)二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知单位圆上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，y ，设以OP 为终边的角为θ(0＜θ＜2π)，求θ的正弦值、余弦值．解：∵P 在单位圆上，∴y 2＋34＝1.∴y ＝±12.当y ＝12时，sin α＝12，cos α＝－32.当y ＝－12时，sin α＝－12，cos α＝－32.16．(本小题满分14分)已知f (x )＝a sin(3π－x )＋b tan(π＋x )＋1(a 、b 为非零常数)． (1)若f (4)＝10，求f (－4)的值； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5＝7，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫995π的值． 解：∵f (x )＝a sin(2π＋π－x )＋b tan(x ＋π)＋1 ＝a sin x ＋b tan x ＋1，∴f (－x )＝a sin(－x )＋b tan(－x )＋1 ＝－a sin x －b tan x ＋1， ∴f (x )＋f (－x )＝2.(1)∵f (4)＝10，f (4)＋f (－4)＝2， ∴f (－4)＝2－f (4)＝2－10＝－8. (2)∵f (π5)＝7，f (π5)＋f (－π5)＝2，∴f (－π5)＝2－f (π5)＝2－7＝－5. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫99π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20π－π5＝a sin ⎝⎛⎭⎪⎫20π－π5＋b tan ⎝⎛⎭⎪⎫20π－π5＋1 ＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5＋b tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5＝－5. 17．(本小题满分14分)已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)． (1)求π－α＋5cos 2π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值；(2)求sin 2α＋2sin αcos α－cos 2α＋2的值． 解：由已知，得－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)． ∴－sin(π－α)＝2cos(－α)．∴sin α＝－2cos α. ∵cos α≠0，∴tan α＝－2.(1)原式＝sin α＋5cos α－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋sin α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝tan α＋5－2＋tan α＝－2＋5－2－2＝－34.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＋2 ＝tan 2α＋2tan α－1tan 2α＋1＋2 ＝4＋－－14＋1＋2＝95.18．(本小题满分16分)设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω＞0且最小正周期为π2. (1)求f (0)；(2)求f (x )的解析式；(3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α4＝95，求sin α的值．解：(1)f (0)＝3sinπ6＝32. (2)因为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6且最小正周期为π2，所以2πω＝π2，即ω＝4，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (3)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝3cos α＝95， ∴cos α＝35，∴sin α＝±45.19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期及最大值； (2)求函数f (x )的零点的集合． 解：(1)最小正周期T ＝π，当2x ＋π6＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π6(k ∈Z)时，函数f (x )的最大值为1. (2)由f (x )＝0，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝12， 所以2x ＋π6＝2k π＋π6或2x ＋π6＝2k π＋5π6(k ∈Z)，即x ＝k π或x ＝k π＋π3(k ∈Z)，最新K12教育教案试题 故函数f (x )的零点的集合为{x |x ＝k π或x ＝k π＋π3，k ∈Z}． 20．(本小题满分16分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)求函数的单调递增区间．解：(1)由图象可知A ＝2，T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，2在图象上， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝2， 即－π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，且|φ|＜π， ∴φ＝2π3， ∴函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3. (2)由(1)可得函数的解析式为 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3， 令2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2， 解得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ， 故函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z.。