9-压杆稳定16K
合集下载
(整理)压杆稳定(教材).
第九章压杆稳定§9-1 压杆稳定的基本概念在前面的一些章节中，已经讨论了构件在静力平衡状态下的应力、应变以及强度和刚度的设计问题。
构件除了强度和刚度不足而引起失效外，有时由于不能保持其原有的平衡状态而失效，这种失效形式称为丧失稳定性。
考察图9-1所示的等直杆AB，若A端固定，B端作用沿轴线方向的载荷p。
实验表明，若外力p较小时，杆件保持在直线形状的平衡，微小的外界扰动将使杆件发生轻微的弯曲，干扰力解除后，杆件仍恢复直线形状，即外界的干扰不能改变其原有的铅垂平衡状态，压杆的直线平衡是稳定的；若外力p慢慢地增加到某一数值并且超过这一数值时，任何微小的外界扰动将使杆件AB发生弯曲，干扰力解除后，杆件处于弯曲状态下的平衡，不能恢复原图9-1有的直线平衡状态，杆件原有的直线平衡状态是不稳定的。
若外力P继续增大，杆件将因过大的弯曲变形而突然折断。
杆件维持直线稳定平衡的最大外力称为临界压力，记为P cr。
压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线平衡，称为丧失稳定，简称“失稳”。
工程上，一般的细长压杆，由于轴向载荷的偏心或杆件的初曲率，往往因这种屈曲而导致失效的。
因此压杆的“失稳”也称为“屈曲”。
机械中有许多细长压杆，如螺旋千斤顶的螺杆（图9-2a），内燃机气阀门的挺杆（图9-2b）等。
还有，桁架结构中的抗压杆、建筑物中的柱等都是压杆。
这类构件除了要有足够的强度外，还必须有足够的稳定性，才能正常工作。
(a)(b)图9-2除了压杆的失稳形式外，一些细长或薄壁的构件也存在静力平衡的稳定性问题。
例如，细长圆杆的纯扭转，薄壁矩形截面梁的横力弯曲以及承受均布压力的薄壁圆环等，都有可能丧失原有的平衡状态而失效。
图9-3给出了几种构件失稳的示意图，图中虚线分别表示其丧失原有平衡形式后新的平衡状态。
(a)(b)(c)图9-3承受轴向压力的细长压杆的平衡，在什么条件下是稳定的，什么条件下是不稳定的；怎样才能保证压杆正常、可靠地工作等等问题，统称为“稳定问题”。
第9章 压杆稳定 课件
第9 章 压杆稳定
物体平衡的稳定性
随遇平衡 不稳定平衡
稳定平衡
第9 章 压杆稳定
压杆稳定性的几个概念
? 稳定失效：指构件在某种外力 （例如轴向压力）作用下，其 平衡形式发生突然转变。
? 稳定平衡状态 ：当承受的载荷 小于 某一确定值 Fcr 时，压杆保持直线 平衡状态。此时给杆加一 横向干扰 力，杆便发生微小弯曲，干扰力去 掉后，杆件将在平衡位置附近摆动， 最终恢复到原来的直线平衡位置。 这说明压杆原来的平衡状态是稳定 的。
对于细长杆件 ，受压 开始时轴线为直线，接着 被压弯，发生大的弯曲变 形，最后折断。
例：如图所示发动机 配气机构中的 挺杆，在推 动摇臂打开气阀时，受到 压力作用。
摇臂
气阀
挺杆
第9 章 压杆稳定
内燃机的 连杆
撑杆跳运动员用的 杆
第9 章 压杆稳定
勃兰登堡门 （BRANDENBURGER TOR ）： 它建于 1788年~1791年，一直是德国统一的象征。
第9 章 压杆稳定
失稳曲线
w ? A sin n? x
l
n=1
n=2
n=3
l
第9 章 压杆稳定
附：求二阶常系数齐次微分方程 y ??? p y ?? 的q 通? 解0
特征方程为 r 2 ? pr ? q ? 0 ① 两个不相等的实 根r1，r2 通解
y ? C1e r1x ? C2e r2x ② 两个相等的实根 r1＝r2 通解
EI
d2y dx2
?
k
2y
?
0
第9 章 压杆稳定
x
Pcr
通解为：
d2y dx2
?
k
2y
材料力学上册第九章压杆稳定
一、工程实例
压力机的压杆
Mechanics of Materials
网架结构中的杆
桥墩
Mechanics of Materials
铁塔中的杆
Mechanics of Materials
Mechanics of Materials
航 天 飞 机 发 射 架 中 的 杆 件
Mechanics of Materials
第九章 压杆稳定
§9-1 压杆稳定性的概念 §9-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 §9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉
公式·压杆的长度因数 §9-4 欧拉公式的应用范围·临界应力总图 §9-5(9-6)压杆的稳定计算·压杆的合理截面
§9-1 压杆稳定的概念
Mechanics of Materials
压杆可能在低应力情况下发生弯曲 —失稳破坏
Mechanics of Materials
鱼洞长江大桥边 跨现浇支架失稳
Mechanics of Materials
稳定计算的重要性
Mechanics of Materials
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
材料力学9压杆稳定
对于A3钢（Q235） E＝210GPa，σP＝200MPa。
2E 102 对于用A3钢（Q235）制成的压杆，当 大于102
P
时才可用欧拉公式计算临界载荷。
三、中、小柔度的压杆
实际中的压杆，往往小于1。 当< 1 ， cr>P，欧拉公 式不成立。材料进入弹塑性阶段，此时的稳定问题属于弹塑性 稳定。临界应力常常采用经验公式：
代入通解得 B＝0 0 Asinkl
EIw M (x) Fw
A≠0 sinkl 0
令
k2 F
EI
w k 2w 0
kl n w A sin n x
l
n 1,2,3........
n2 2 EI
F l2
两端铰支、细长压杆，处于临界状态。利用挠曲线微分方
a s
b
2
材料常数
因此，当 2 ≤≤ 1 时可以用直线公式。
对于A3钢（Q235） cr 304 1.12 σs＝235MPa。
2
a s
b
304 235 1.12
61.6
称 2 ≤≤ 1的杆为中柔度杆。
称<2的杆为小柔度杆（短粗杆）
Fcr
π 2EIz
0.5l 2
对应于杆在xz平面内的失稳，杆端约束相当于两端铰支，
Fcr
π
2 EI y l2
而取用的临界力值应是上列两种计算值中的较小者。
z
y
轴销 x
2 EI Fcr ( l )2
细长压杆的临界载荷公式。
若杆在不同的纵向平面内约束相同，计算临界载荷时取Imin。因为 随着轴向压力增大，压杆总是在抗弯能力差的纵向平面内弯曲。
9压杆稳定
作出正切曲线，与从坐标画出的 º斜直线相交， 作出正切曲线，与从坐标画出的45º斜直线相交，交点 的横坐标为
Pcr = (4.493) EI / l 2
2
弯矩为零的C点的横坐标 弯矩为零的 点的横坐标
1.352 xc = ≈ 0.3l k
材料力学电子教程
第九章
压杆稳定
§9-4 压杆的临界应力及临界应力总图
π 2E σ cr = 2 ≤ σ p λ
材料力学电子教程
第九章
压杆稳定
或写成
π 2E λ≥ σp
π 2E 记 λ1 = σp
欧拉公式的适用范围： 欧拉公式的适用范围：
λ ≥ λ1
满足该条件的杆称为细长杆或 满足该条件的杆称为细长杆或大柔度杆 细长杆
材料力学电子教程
第九章
压杆稳定
对Q235钢，当取 钢 当取E=206GPa，σp=200MPa, 则 ，
固定支座的边界条件是
x=0时， v = 0 时
dv =0 dx
x=l
时， v
=0
dv =0 dx
材料力学电子教程
第九章
压杆稳定
边界条件带入上面各式得
R R C1 + l = 0, C1 cos kl +C 2 sin kl = 0, kC 2 − =0 2 2 EIk EIk
解得
tan kl = kl
P k = EI
2
则有
v '' + k 2 v ' = 0
该微分方程的通解 通解为 通解
v = A sin kx &#A、B——积分常数，可由边界条件确定 ——积分常数， 积分常数
材料力学电子教程
第九章
09章工力压杆稳定
b3h / 12 b
bh 2 3
y
l
iz
0.5 2.3 2 0.04
3 99.6 p 101
因此，压杆将在正视图平面内屈曲。
因此，压杆将在正视 图平面内屈曲。
z=132.6
工作安全因数 ：
FPcr
(z)
cr
A
π 2E
2
π
d2 4
276.2kN
nw
cr wr
FPcr FP
276.2 150
目的。
增强支承的刚性
＝μl
i
支承的刚性越大，压杆长度系数μ值越低，
临界载荷也就越大。例如，将两端铰支的细长 杆，变成两端固定约束的情形，临界载荷将成 数倍增加。
合理选择截面形状
＝μl
i
当压杆两端在各个方向上都具有相同的约束 条件时，压杆将在刚度最小的主轴平面内屈曲。
这时如果只增加截面某个方向的惯性矩（例 如，增加矩形截面高度），并不能提高压杆的承 载能力。
§9-1 压杆稳定的概念
压杆失稳(Buckling):
细长压杆之所以丧失工作能力是由于 其轴线不能维持原有直线形状的平衡状态 所致，这种现象称为丧失稳定，或失稳。
由此而引发的失效称为稳定性失效 (failure by lost stability), 又称为屈曲失效 (failure by buckling)。
1m
§9–6 提高压杆稳定性的措施
为了提高压杆承载能力，防 止屈曲失效，必须综合考虑杆长、
cr
π2E
2
支承性质、截面的合理性以及材 料性能等因素的影响。
＝μl
i
尽量减小压杆长度
＝μl
i
减小压杆长度，可以显著地提高压杆的承载能
北科大材力第九章压杆稳定
l
3.一端固定，一端铰支
EI P cr (0.7l ) 2
2
两端固定
EI 2 Pcr (0.5l ) 2
Pcr
Pcr
0.7l l l
0.5l
不同约束情况下，细长杆的临界压力欧拉公
式可统一写成：
2 EI Fcr ( l ) 2
欧拉公式普遍形式
： 长度系数 l： 相当长度
一端固定，一端自由 两端铰支 一端固定，一端铰支 两端固定
x 0, y 0; x l , y 0
y0m
y0 m y sin x 挠曲线方程： Fcr / F 1 l y0 m l x 时，有最大附加弯矩： ymax 2 Fcr / F 1
1 . F Fcr，ymax 仅为y0 m的若干分之一； ）当 2）当F 0.5 Fcr，ymax y0 m； . 3）当F ~ Fcr，ymax 迅速增长，一旦F Fcr，ymax .
3. 中、小柔度杆的临界应力 (大柔度杆) 欧拉公式
S P
(中柔度杆)
cr a b
s
s
直线经验公式
s
a s b
(小柔度杆)
cr s
越大， cr 越小，Pcr = cr A 越小，越容易失稳。
临界应力总图
•柔度
l i
E=206GPa，稳定 安全系数为nst=3。 试求容许荷截[F]。
A
2m
C 3m
F B
D
解：① 由杆ACB的平衡条件易求得外力F与
CD杆轴向压力的关系为：
xA A yA
mA F 0
C 2m FN 3m
F
材料力学9 压杆稳定
2.0
# 一端固定，另一端自由
0.7
Fcr
π 2 EI
2l 2
# 一端固定，另一端铰支
Fcr
π 2 EI
0.7l 2
Fcr
π 2 EI
(l)2
欧拉公式的普遍形式
第九章 压杆稳定
Fcr
π 2 EI (l)2
P297
杆端的约束愈强，则 µ值愈小，压杆的临界载荷愈高； 杆端的约束愈弱，则 µ值愈大，压杆的临界载荷愈低。
第九章 压杆稳定
例： 图示各杆材料和截面均相同，试问哪一 根杆能承受 的轴向压力最大， 哪一根杆能承受的轴向压力最小？
P
P
P
a 1.3 a
1.6a
(1)
(2)
(3)
相当长度 (l)1 2a (l)2 1.3a
(l)3 0.7 1.6a 1.12a
l1 l2 l3
第九章 压杆稳定
讨论： 2
第二特征柔度，只与材料性质有关
① 适用范围: s cr a b s s (塑性材料)
a
ss
b
2
Q235 钢 ss 235MPa, a 304MPa, b 1.12MPa
2 60
② 2 1 中柔度杆或中长杆
③ 2 s cr s s
第九章 压杆稳定
讨论：
l
Fcr
π 2 EI
(l)2
长度因数 （反映杆端约束牢固程度）
相当长度
表明某种杆端约束情况下，长度为l 的压杆的稳
定性，与长度为l 的两端铰支压杆的稳定性相当
9压杆稳定new解析
c
lBC 0.7 0.5a 0.35a
a\2
B
F AB cr
2 EI
(0.5a)2
F BC cr
2 EI
0.35a 2
A
故取
Fcr
2 EI
0.5a 2
a
2024年7月14日星期日
材料§力9-4学欧拉公式的应用范围 • 经验公式
Ⅰ. 欧拉公式应用范围
在推导细长中心压杆临界力的欧拉公式时，应用了材料
1 两端绞支
Fcr
2EI
l2
2 一端固定另端绞支
C为拐点
Pc
r
A
Fcr
2EI
0.7l 2
l
C
B
2024年7月14日星期日
材料§9力-3其学它支座条件下细长压杆的临界压力
3 两端固定 C，D为拐点
P c r
AD
l
Fcr
2EI
0.5l 2
C
B
2024年7月14日星期日
材料§9力-3其学它支座条件下细长压杆的临界压力
当 F增大到一定的临 界值Fcr，撤去横向力后， 杆的轴线将保持弯曲的平 衡形态，而不再恢复其原 来的直线平衡形态，
压杆在原来直线形态
下的平衡是 不稳定平衡。
F Q
F
(a)
F F cr
2024年7月14日星期日
材料力学 §9-1 压杆稳定的概念
2024年7月14日星期日
材料力学 §9-1 压杆稳定的概念
材料§9力-3其学它支座条件下细长压杆的临界压力
例2：已知：图示压杆EI,且杆在B支承处不能转动
F
求：临界压力
c
B
A
2024年7月14日星期日
9 压杆稳定简练版
i1
I A
1 64
d
2
1 4
d
2
d 4
1
l
i
1
0.5l1 d /4
2l1 d
材料力学 第九章 压杆稳定
正方形截面杆：
i2
I A
1 12
d
4
d
d2
12
2
l
i
2
1 l2 d / 12
2
3l2 d
由 1 = 2 得
2l1 2 3 l2
讨论：
（1）相当长度 l 的物理意义
1 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当
长度 l 。
2 l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于
半波正弦曲线的一段长度
材料力学 第九章 压杆稳定
Fcr
2EI
l 2
为长度系数 l 为相当长度
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I 1 若杆端在各个方向的约束情况相同（球形绞等），则 I
F
cr
A
F cr
y
δ
F M(x) y cr
v
m
m
B
yB
材料力学 第九章 压杆稳定
压杆任一 x 截面沿 y 方向的 位移为 y = f (x) 该截面的弯矩为
F M(x) y cr
杆的挠曲线近似微分方程为
F cr
y
F M( x) y cr
m
m
F EIy" M( x) y y B cr
F l cr
2EI
2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
讲授：
可见，压杆的稳定不但与材料、截面有关，还与长度有关系。研究表明，压杆稳定与材料、截面、长度、两端的固定形式等都有关系。
我们把压杆受轴向压力时突然弯曲的现象叫压杆失稳。在不失稳的情况下，压杆能承受的最大轴向压力叫压杆的临界力，这时的直线形状的平衡状态叫做临界平衡状态。
我们要想研究压杆的稳定性，就必须先求出压杆的临界力。
讲解：P183例题（8-2）P188习题（8-1）
（四）折减系数法校核压杆的稳定（讲授、举例）
为使用方便，常用强度许用应力[σ]乘以折减系数φ的值作为压杆的稳定许用应力。
那么压杆的稳定条件是：σ=P/A<φ.[σ]
φ值是随λ变化而变化的折减系数，数值小于1。
讲解：P184例题（8-3）P188习题（8-2）
广州白云工商高级技工学校质量记录
教案首页
编号：QD-0706-09版本号：C/0
课程名称
建筑力学
项目
压杆
课题
压杆稳定
课型
理论
授课班级
15/8施大
授课
时间
11月3日
课
时
6
授课教师
钟利生
学习目标
专业能力
1、运用欧拉公式计算压杆临界压力和临界压应力；
2、折减系数法校核压杆稳定。
社会能力
培养学生解决施工现场实际问题的基本能力。
三、新课导入
在工程建设中，压杆是很常见的一种受力构件，例如施工脚手架的竖杆、楼房的结构柱等等，这些构件是受轴向压力的，我们把这些受轴向压力的直杆叫压杆。我们研究压杆的目的就是研究它们的稳定性，指导我们如何控制压杆在设计、施工阶段的质量和安全。
四、讲授新课
（一）压杆的稳定性
引导：同一种材料和截面的压杆，长短不一时，能承受的压力大小也不一样，我们可以试一下：一根只有10cm长和一根2m长的同型号钢筋，长度2m的钢筋受很小的压力就弯曲了（即失稳），而10cm长的钢筋要施加较大的压力才能使之弯曲。
（四）提高压杆稳定性的措施（介绍）
五、小节回顾
1、求解压杆临界力公式及临界应力公式：欧拉公式；
2、欧拉公式的适用条件λ>λp；
3、折减系数校核压杆稳定性公式：σ=P/A<φ.[σ]，及其求解步骤。
六、布置作业习题P188(8-3)
方法能力
观察力、思考力、空间想象力、自学能力。
教学对象分析
培训班学生具有一定的工作经验和文化基础，但理论基础不是很扎实，目的是提高其理论水平，要尽量与实际问题联系教学，以激发学生学习力学的兴趣。
教学方法
举例、讲授、设问、引导
教学回顾
今天主要是讲述建筑力学的压杆稳定的基础。学生学习积极性一般，主要针对本节课的主要内容作了重点讲解和演练，出勤率较前有所下降，课堂反映一般，教学效果良好。
但部分学生由于基础较差，对一些知识仍不掌握，要加强讲解和指导。
教研室主任审签：万和香2009年10月31日
1、2节
3分钟
3分钟
4分钟
80分钟
3、4节
90分钟
5、6节
80分钟
8分钟
2分钟
一、组织教学
1、检查人员到位情况，填写教学日志
2、检查教室清洁，强调课堂纪律
二、教学计算，我们在校核或设计直梁截面时，按正应力和剪应力强度条件分别计算（一般情况下，可只作正应力强度计算），最后再用叠加法计算梁的最大挠度，校核梁的刚度。
②临界应力公式：σcr=Pcr/A=π2EI/A(μl)2（讲授）
令i2=I/A,引进系数λ=μl/i，λ叫长细比或柔度。
则σcr=2E/λ2
可见，长细比越大，临界应力越小，压杆的稳定性越差。
（三）欧拉公式的适用范围（讲授、举例）
引进λp:极限柔度，即用欧拉公式确定临界应力时柔度的最小值
只有当λ>λp时，才能运用欧拉公式计算压杆的临界压力。
（二）压杆的临界力和临界应力
①临界力的计算公式：欧拉公式。（讲授、举例）
Pcr=π2EI/(μl)2
其中Pcr:压杆的临界力
E：材料弹性模量，单位为帕或兆帕
I：横截面的最小惯性矩
μ：长度系数
l：压杆长度
μl：计算长度
长度系数μ是根据压杆两端不同的支座而得出的经验数值，可差表8-2。
讲解：P181例题（8-1）
可见，压杆的稳定不但与材料、截面有关，还与长度有关系。研究表明，压杆稳定与材料、截面、长度、两端的固定形式等都有关系。
我们把压杆受轴向压力时突然弯曲的现象叫压杆失稳。在不失稳的情况下，压杆能承受的最大轴向压力叫压杆的临界力，这时的直线形状的平衡状态叫做临界平衡状态。
我们要想研究压杆的稳定性，就必须先求出压杆的临界力。
讲解：P183例题（8-2）P188习题（8-1）
（四）折减系数法校核压杆的稳定（讲授、举例）
为使用方便，常用强度许用应力[σ]乘以折减系数φ的值作为压杆的稳定许用应力。
那么压杆的稳定条件是：σ=P/A<φ.[σ]
φ值是随λ变化而变化的折减系数，数值小于1。
讲解：P184例题（8-3）P188习题（8-2）
广州白云工商高级技工学校质量记录
教案首页
编号：QD-0706-09版本号：C/0
课程名称
建筑力学
项目
压杆
课题
压杆稳定
课型
理论
授课班级
15/8施大
授课
时间
11月3日
课
时
6
授课教师
钟利生
学习目标
专业能力
1、运用欧拉公式计算压杆临界压力和临界压应力；
2、折减系数法校核压杆稳定。
社会能力
培养学生解决施工现场实际问题的基本能力。
三、新课导入
在工程建设中，压杆是很常见的一种受力构件，例如施工脚手架的竖杆、楼房的结构柱等等，这些构件是受轴向压力的，我们把这些受轴向压力的直杆叫压杆。我们研究压杆的目的就是研究它们的稳定性，指导我们如何控制压杆在设计、施工阶段的质量和安全。
四、讲授新课
（一）压杆的稳定性
引导：同一种材料和截面的压杆，长短不一时，能承受的压力大小也不一样，我们可以试一下：一根只有10cm长和一根2m长的同型号钢筋，长度2m的钢筋受很小的压力就弯曲了（即失稳），而10cm长的钢筋要施加较大的压力才能使之弯曲。
（四）提高压杆稳定性的措施（介绍）
五、小节回顾
1、求解压杆临界力公式及临界应力公式：欧拉公式；
2、欧拉公式的适用条件λ>λp；
3、折减系数校核压杆稳定性公式：σ=P/A<φ.[σ]，及其求解步骤。
六、布置作业习题P188(8-3)
方法能力
观察力、思考力、空间想象力、自学能力。
教学对象分析
培训班学生具有一定的工作经验和文化基础，但理论基础不是很扎实，目的是提高其理论水平，要尽量与实际问题联系教学，以激发学生学习力学的兴趣。
教学方法
举例、讲授、设问、引导
教学回顾
今天主要是讲述建筑力学的压杆稳定的基础。学生学习积极性一般，主要针对本节课的主要内容作了重点讲解和演练，出勤率较前有所下降，课堂反映一般，教学效果良好。
但部分学生由于基础较差，对一些知识仍不掌握，要加强讲解和指导。
教研室主任审签：万和香2009年10月31日
1、2节
3分钟
3分钟
4分钟
80分钟
3、4节
90分钟
5、6节
80分钟
8分钟
2分钟
一、组织教学
1、检查人员到位情况，填写教学日志
2、检查教室清洁，强调课堂纪律
二、教学计算，我们在校核或设计直梁截面时，按正应力和剪应力强度条件分别计算（一般情况下，可只作正应力强度计算），最后再用叠加法计算梁的最大挠度，校核梁的刚度。
②临界应力公式：σcr=Pcr/A=π2EI/A(μl)2（讲授）
令i2=I/A,引进系数λ=μl/i，λ叫长细比或柔度。
则σcr=2E/λ2
可见，长细比越大，临界应力越小，压杆的稳定性越差。
（三）欧拉公式的适用范围（讲授、举例）
引进λp:极限柔度，即用欧拉公式确定临界应力时柔度的最小值
只有当λ>λp时，才能运用欧拉公式计算压杆的临界压力。
（二）压杆的临界力和临界应力
①临界力的计算公式：欧拉公式。（讲授、举例）
Pcr=π2EI/(μl)2
其中Pcr:压杆的临界力
E：材料弹性模量，单位为帕或兆帕
I：横截面的最小惯性矩
μ：长度系数
l：压杆长度
μl：计算长度
长度系数μ是根据压杆两端不同的支座而得出的经验数值，可差表8-2。
讲解：P181例题（8-1）