第4章(约束)2

S
§4.6 复合形法
步骤：
(6) 计 算 f ( x ( R ) )，若 f ( x ( R ) ) < f ( x ( H ) )，则以 x( R ) 代替 x ( H )重构复合形后 转(8)； f ( x ( R ) ) > f ( x ( H ) )，则转(7)；
1 k −1 ( j ) ∑ xi ， i = 1,. .. , n， j = 1,. .. , k， j ≠ H； k −1 j =1
k k +1 )
对目标函数无性态要 求； 收敛快（当 m足够大时）； 不 受维数影响，维数 愈高，愈体现优点。
= x ( ) + α S ( )；
k k
(4) 判1：
(5) 判2：
(6) 判3：
( ) f ( x( ) ) − f ( x( ) ) ≤ε ， f ( x( ) ) ( ) ( ) f (x )− f (x ) ≤ε f ( x( ) )
§4.6 复合形法
初始复合形的形成：
1. 2. 人工 选择初始复合形： 随机产生初始复合形：
(1) (2) (3) (4) (5) 先 在可 行 域 内 定 一个 初 始 顶 点； 确 定 xi的 上 、 下 界 ： ai、 bi； 产 生 区 间 [0,1]中 的 k − 1组 伪 随 机 数 ri ( j )； 产 生 k − 1个 顶 点 ： xi( j ) = ai + ri ( j ) ( bi − ai )； 检 查 k − 1个 顶 点 的 可 行 性 ， 若 有 q个 顶 点 满 足 约 束 ， 求 q个 顶 点 的 几 何 中 心 ： xi (6) 以 x(
§4.5 随机方向搜索法
随机产生搜索方向
(1) 调随机数 r= ran do m(A), 在 [ 0, 1] 中产生随机数 r +1]中，均匀产生 m组随机数列 ri ( j ) ， r= 2r -1 , 在[− 1， 其中： i = 1, 2, L , n ； j = 1,2, L , m； (2) 产生 m 个随机单位向量： s( ) =
成新复合形，再进行下以轮迭代。
§4.6 复合形法
步骤：
(1) 形 成 初 始 复 合 形 ； (2) 计 算 k个 顶 点 的 f ( x ) 值 ， 找 出 最 坏 点 x ( H )、 次 坏 点 x( G )和 最 好 点 x( L )。 (3) 计 算 除 最 坏 点 外 ， 其 余 顶 点 的 形 心 ： xi( ) =
流程图：
§4.6 复合形法
方法评价
• • •
建议： ① ②
计算简单 ，不必求导，占内 存小； 随着维数的增加， 效率大大 下降； 不能解含 等式约束的问题；
初始α取1.3。 n+1≤ k ≤ 2n ，当 n ≤ 5 时， k 取值接近 2n ； 当 n > 5 时， k 的取值可小些。
§4.6 复合形法
§4.5 随机方向搜索法
步骤
(1) 选 收 敛 精 度 ε 1, ε 2 , ε 3和 初 始 点 x ( )， 并
0
§4.5 随机方向搜索法
方法评价
优点：
l l l
检 查 可 行 性 ， 令： k = 0；
k 0
(2) 产 生 S ( )， 选 步 长 α = 1 . 3H ( ) ； (3) 沿 S ( )搜 索 ， 得： x (
xi(0) = ai + ri ( bi − ai )
③
(0) i
i = 1, 2,L , n
(0)
(3) 产生 m个随机设计点： x ( j ) = x (0 ) + H (0 ) s ( j )； 其中： H ( )为试验步长。 (4) 产生最好设计点 x ( ) ： f ( x (l ) ) = min f ( x( j ) ) ；
第四章 约束问题的最优化方法
§4.1 引言 §4.2 内点惩罚函数法 §4.3 外点惩罚函数法 §4.4 混合惩罚函数法 §4.5 随机方向搜索法 §4.6 复合形法
§4.5 随机方向搜索法
基本思想：
随机产生初始点，随机产生 搜索方向 S (k) ，进行搜索。 但要确保： ① 新迭代点在可行域中； ② 目标函数值的下降性。
j≠H
是，则 α = 0 . 5α，转(5)； (7) 若 α > ε1： (G) (H ) 否，则调用收 缩法 ， 或 以 x 代替 x 转(3)； (8) 检查 终止准 则：
2 1 k 1 k ( j) ( j) (c) (c) ∑ f ( x ) − f ( x ) ≤ ε，其中： x = k ∑ xi k j =1 j =1
j
{ }
T
估计设计变量的上、下限：
ai ≤ xi ≤ bi
②
i = 1, 2,L , n
1
在区间[0,1]中产生伪随机数列 { ri }，
(r ) + (r )
( j) 2 1 2 0 l
( j) 2
+ L + rn ( j )
(
)
2
r1( j ) , r2( j ) ,L rn ( j ) ； j = 1, 2,L , m；
l l l
对 于严重非线性函数，只能得近似解； 当 m不够大时，解的 近似程度大； 对 于非凸函数，有可 能收敛于局部解。
不满 足， x
=x
，转(2)；
x(
k +1)
− x (0 ) ≤ ε 3
均满 足， 则 x* = x( k +1) 。
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j≤ m
判断是否 gu ( x ) ≤ 0 ；若满足，则 x 若不满足，则转向②。
=x
(0) i
{
}
g u ( x (l ) ) ≤ 0 若均满足， 则 S ( k ) = x (l ) − x (0)。 (5) 判断： ： (l ) (0) ( 0) ( 0) 返回(3)。 若有一项不满足，则 H = 0. 5H f ( x ) < f (x )
q + 1)
§4.6 复合形法
顶点数：
复合形法的搜索方向：
复合形法搜索方向的确定是利用复合形各顶点目标函数值大小的 关系， 按照统计的规律来判断目标函数的下降方向。
k ≈ 2n
二维空间中， k =4，复合形是四 边形 x(1) x(2) x(3) x(4)，计算得 ： f (x(1)) < f (x(2)) < f (x(3) ) < f (x(4)) 确定 最坏点 x(H) = x(4) 次坏点 x(G) = x(3) 最好点 x(L) = x(1) 。 x(S) 为 除 x(H) 以 外，各点的几何中 心。k)
的选择原则：
使新点 x(k+1) 在可行域内。
mi n
例题
2 2
§4.7 可行方向法
的最优解。 在第 k +1 次迭代时，从 x(k) 点出发，寻找一个可行的搜索方向和合适的步长因子， 从而得到一个可行、目标函数值下降的新点 x(k+1) ，再以此点出发，寻找新点，直至满 足收敛条件，得到最优点 x* 。
f ( x ) = ( x1 − 3) + ( x2 − 2) h ( x) = x1 + x2 − 4 ≤ 0
§4.6 复合形法
复合形法的基本运算： 映射： 扩展：
x ( R ) = x ( S ) + α ( x( S ) − x ( H ) )
若 f ( x( R ) ) < f ( x (L ) )， 则可沿 此方 向 扩张 ， f ( x( E ) ) < f ( x( R) )， 则 扩 张成功 ，以 x( E )代替 x( H )组 成新复 合形 ； f ( x( E ) ) > f ( x( R) ) ，则 扩 张失 败 ，以 x( R )代替 x( H )组 成 新复 合形 。 f ( x (R ) ) > f ( x ( H ) )， 则 以 α = 0 .5α 重 复 采 用 映 射 法 ，
i = 1,. . . , n， j = 1,. . . , k；
若
是，则 迭代结 束，以 此复合形 的 x ( L )为 x *。 否，则 须重新构成 的 复合形 ，转(2)
(
)
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§4.6 复合形法
x(0) g4 (x)=0
全 域最优 点 0 搜 索方向
x2
g1( x)=0
局 部最优 点
g2( x)=0
g3 (x)=0 x(1)
试验 方向
§4.7 可行方向法 §4.8 约束优化设计方法小结
x1
§4.5 随机方向搜索法
可行初始点的产生方法
人工确定的方法 随机选择方法 ① 即在可行域内人为地确定一个可行的初始点 即利用计算机产生的伪随机数来选择一个可行的初始点
检查是否在可行域内
是 ： α = 1 . 3， 转(5) 否 ： 转(4)
；
ai = m in xi( L ) , xi( S ) (4) 则 可 行 域 为 非 凸 集 ， 取 ，作为上下界， ( L ) (S ) bi = m ax xi , xi 计算 xi( j ) = ai + ri ( j ) ( bi − ai ) ， 重 新 构 成 复 合 形, 转(2)； (5) 计 算 映 射 点 ： x ( R) = x( S ) + α x (S ) − x ( H ) ， 检查是否在可行域内 是 ： 转(6) ； 否 ： 以 α = 0 .5α 再 代 入 上 式 计 算 ；