苏教版选修1-1高中数学2.4.2《抛物线的几何性质》word课后知能检测
苏教版数学高二-数学 选修1试题 2.4抛物线的简单几何性质
2.4 抛物线的简单几何性质1．直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，若弦AB 中点的横坐标为3，则|AB|为( )A ．4B ．8C ．6D ．10解析 由题可知，抛物线的准线方程为x ＝－1，焦点为F ，AB 中点到准线的距离为3＋1＝4，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝2×4＝8.答案 B2．已知点M(－4,1)，F 为抛物线C ：y 2＝－4x 的焦点，点P 在抛物线上，若|PF|＋|PM|取最小值，则点P 的坐标是 ( )A ．(0,0)B ．(－1,2)C ．(－14，1)D ．(－2,22)解析如图所示，l 为抛物线的准线，过P 作PP′⊥l 于P′，过M 作MN ⊥l 于N ， ∴|PF|＋|PM|＝|PP′|＋|PM|≥|MN|.∴当|PF|＋|PM|取小值时，P 的纵坐标为1，代入抛物线方程可得P 的坐标为(－14，1)．答案 C3．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则实数a 为( ) A ．－1 B ．1 C ．－12D ．－2解析 抛物线的焦点为(1,0)，代入直线方程为a ＋1＝0，∴a ＝－1. 答案 A4．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 到抛物线准线的距离之和的最小值为( )A ．3 B.172C. 5D.92解析 根据抛物线定义，点P 到准线的距离转化为到焦点F(12，0)的距离，故为(0,2)和(12，0)的距离为172. 答案 B5．已知抛物线y ＝4ax 2(a>0)的准线与圆x 2＋y 2＋mx －14＝0相切，且此抛物线上的点A(x 0,2)到焦点的距离等于3，则m ＝( )A ．±3B ．±2C ．±1D ．0解析 抛物线y ＝4ax 2的准线方程为y ＝－116a ，由题知2＋116a ＝3，∴a ＝116. ∴抛物线的准线为y ＝－1，圆的方程可化为(x ＋m 2)2＋y 2＝14＋m 24，由圆与抛物线的准线相切可得14＋m 24＝1，即m ＝±3，故选A. 答案 A6．P(x 0，y 0)是抛物线x 2＝2py(p>0)上任一点，则P 到焦点的距离是________． 解析 抛物线的准线为y ＝－p2，∴P 到焦点的距离为y 0＋p2.答案 y 0＋p27．抛物线y ＝4x 2上一点P ，则P 到直线y ＝4x －5的距离的最小值为________． 解析 设P(x ，y)，则d ＝|4x －y －5|17＝|4x －4x 2－5|17＝|2x －12＋4|17≥417＝41717.答案41717 8．抛物线y 2＝2px(p ＞0)上有一点纵坐标为－42，这点到准线的距离为6，则抛物线的方程为________．解析 设点(x 0，－42)，则(－42)2＝2px 0， ∴x 0＝322p ＝16p.又由抛物线的定义可知x 0＋p 2＝6，∴16p ＋p2＝6，即p 2－12p ＋32＝0，解得p ＝4，或p ＝8. ∴抛物线方程为y 2＝8x ，或y 2＝16x. 答案 y 2＝8x ，或y 2＝16x9．已知点A(x ，y)在抛物线y 2＝4x 上运动，求z ＝x 2＋12y 2＋3的最小值．解 ∵A 在抛物线上，∴x≥0， z ＝x 2＋12y 2＋3＝x 2＋2x ＋3，二次函数z ＝x 2＋2x ＋3的对称轴为x ＝－1. ∴在[0，＋∞)上是增函数． ∴当x ＝0时，z 有最小值3.10．线段AB 过x 轴正半轴上一定点M(m,0)，端点A ，B 到x 轴的距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A ，O ，B 三点作抛物线，求抛物线的方程．解 画图可知抛物线方程为y 2＝2px(p>0)，直线AB 的方程为x ＝ky ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋m ，y 2＝2px 消去x ，整理得y 2－2pky －2pm ＝0. 由根与系数的关系得y 1y 2＝－2pm. 由题设|y 1|·|y 2|＝2m ，则p ＝1. 故抛物线方程为y 2＝2x.11．一顶点在坐标原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线2x －y －4＝0所得的弦长为35，求抛物线的方程．解 设抛物线方程为y 2＝2px(p≠0)， 将直线方程y ＝2x －4代入，并整理得 2x 2－(8＋p)x ＋8＝0.设方程的两个根为x 1，x 2，则根据韦达定理有 x 1＋x 2＝8＋p 2，x 1x 2＝4.由弦长公式，得 (35)2＝(1＋22)， 即9＝(8＋p 2)2－16.整理得p 2＋16p －36＝0，解得p ＝2，或p ＝－18，此时Δ>0.故所求的抛物线方程为y 2＝4x ，或y 2＝－36x.12．如图，已知直线l ：y ＝2x －4交抛物线y 2＝4x 于A ，B两点，试在抛物线AOB 这段曲线上求一点P ，使△PAB 的面积最大，并求出这个最大面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －4，y 2＝4x.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2. ∴A(4,4)，B(1，－ 2)． ∴|AB|＝4－12＋4＋22＝3 5.设P(x 0，y 0)为抛物线AOB 这段曲线上一点，d 为点P 到直线AB 的距离，则 d ＝|2x 0－y 0－4|4＋1＝15⎪⎪⎪⎪y 202－y 0－4 ＝125|(y 0－1)2－9|. ∵－2<y 0<4，∴当y 0＝1时，d 有最大值925.从而△PAB 的最大面积为S ＝12×35×925＝274.此时P ⎝⎛⎭⎫14，1.因此，当P ⎝⎛⎭⎫14，1时，△PAB 的面积取得最大值，最大值为274.。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质(二)课件 苏教版选修1-1.pptx
(2)求证：直线AB过定点. 证明
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反思与感悟
在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这 类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这 类问题的关键是代换和转化.
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跟踪训练 3 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与抛物线 y2＝4x 相交于不 同的 A、B 两点. (1)如果直线 l 过抛物线的焦点，求O→A·O→B的值； 解答
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(2)求直线AB的方程. 解答
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 y21＝4x1，
①
y22＝4x2，
②
且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 由②－①，得(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)， 所以yx22－－yx11＝2. 所以直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，
即2x－y－3＝0.
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(3)设直线l：y＝x＋m，当实数m为何值时，直线l与曲线C有交点？
解答
由题意，联立y＝x＋m和x2＝4y， 消去y并整理得x2－4x－4m＝0， 因为直线与曲线C有交点，所以Δ＝(－4)2＋16m≥0，解得m≥－1.
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类型二 与弦长、中点弦有关的问题 例2 已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点坐标为(1,0)， 线段AB恰被M(2,1)所平分. (1)求抛物线E的方程； 解答 由于抛物线的焦点坐标为(1,0)， 所以p2＝1，p＝2， 所以抛物线E的方程为y2＝4x.
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∵kAB＝xy22－－xy11，
④
y1＋y2＝2y0，
⑤
由③④⑤得 kAB＝yp0，即弦 AB 的斜率只与焦参数 p 和弦 AB 中点的 纵 坐 标有关.
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高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-1 2.4.2 抛物线的几何性质》
课题：抛物线的几何性质〔授课年级及课型：高二新授课〕1教材内容分析〔苏教版高中数学选修1-1第二章第四节〕本堂课是苏教版高中课程标准实验教科书选修1-1第二章圆锥曲线中的第章节的内容，是学生在学习了椭圆、双曲线的以及抛物线的定义之后对抛物线几何性质的探索与应用由于学生已经有了在椭圆、双曲线中探究其几何性质的探究根底和知识根底，因此，本节课可以主要通过类比椭圆、双曲线，探索研究抛物线的几何性质，培养和开展学生自主探究能力，提出和发现问题、分析和解决问题的能力2学情分析：本节课对抛物线几何性质的学习是学生在学习了椭圆、双曲线的概念以及几何性质的根底上，进一步对抛物线及其性质进行研究利用椭圆及双曲线几何性质中学生积累的探究经验，学生可以自行通过类比，明确抛物线需要探究的要素以及探究问题的方式，这是对本节课学习的有利因素抛物线作为一类特殊的圆锥曲线，其有处理的特殊方法和研究技巧，即利用到焦点和准线的距离相等，可以将焦半径或是焦点弦的计算转化为点到准线的距离，利用点的坐标进行表示，学生能否深刻理解抛物线的定义，发现和掌握这种处理方法是本节课教师需要着重引导的问题之一3教学目标〔1〕理解并掌握抛物线的简单几何性质，会根据性质处理简单问题；〔2〕能借助抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，从而解决有关焦半径、焦点弦的问题；〔3〕通过探究过程，培养学生分析、探究和解决问题的能力，进一步体会分类讨论、数形结合和转化的数学思想方法4教学重点与难点教学重点：探究抛物线的简单几何性质；教学难点：抛物线焦半径、焦点弦的计算；5教学方法与策略本节课采用启发式教学与探究式教学相结合，通过学生自主探究，培养和开展学生自主探究能力，提出和发现问题、分析和解决问题的能力，感受数学中研究问题中，例如：归纳、类比等思维方式，增强学生学好数学的自信6教学过程复习回忆，启发思考对于椭圆、双曲线我们研究了它们的哪些几何性质？是如何进行研究的？〔学生答复〕对称性、顶点、范围、离心率等所用的推理思想：图象、算术推理6.2以问题为导向，探究新知学生活动：探究抛物线的几何性质？（1）范围（2）对称性（3）顶点O（4）开口方向思考：结合图象，说说抛物线、、的几何性质？练习：抛物线的范围_______________,对称性__________,开口方向__________:抛物线的范围_______________,对称性__________,开口方向__________:6.3例题讲解，知识内化例1、求顶点在原点，焦点为F〔-4,0〕的抛物线方程〔学生答复〕解：设∵F〔-4,0〕∴∴练习：抛物线的准线为=-2，焦点坐标_________,焦点到准线的距离__________,标准方程__________例2、抛物线上有一点的横坐标为6，该点到焦点的距离为10，求顶点到准线的距离〔学生答复〕由抛物线定义知：∴∴小结：抛物线上的点到焦点的连线叫做抛物线的焦半径，在处理有关焦半径的问题时，我们根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转换为点到准线的距离对于抛物线，焦半径长。
苏教版数学高二 选修2-1测评2.4.2 抛物线的几何性质
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．抛物线焦点在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，AF ＝5，则该抛物线的方程是________．【解析】 设抛物线的标准方程为y 2＝2ax (a ≠0)，设A (m ，－3)． 由抛物线定义得5＝AF ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋a 2，又(－3)2＝2am ， ∴a ＝±1或a ＝±9，故所求抛物线的标准方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x . 【答案】 y 2＝±2x 或y 2＝±18x2．抛物线y 2＝4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB ＝43，则焦点到弦AB 的距离为________．【解析】 由题意我们不妨设A (x,23)，则(23)2＝4x ，∴x ＝3，∴直线AB 的方程为x ＝3，抛物线的焦点为(1,0)，∴焦点到弦AB 的距离为2.【答案】 23．在抛物线y 2＝16x 内，过点(2,1)且被此点平分的弦AB 所在直线的方程是________. 【导学号：09390047】【解析】 显然斜率不存在时的直线不符合题意．设直线斜率为k ，则直线方程为y －1＝k (x －2)①，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －2)，y 2＝16x ，消去x 得ky 2－16y ＋16(1－2k )＝0，∴y 1＋y 2＝16k ＝2(y 1，y 2分别是A ，B 的纵坐标)，∴k ＝8，代入①得y ＝8x －15.【答案】 y ＝8x －154．已知过抛物线Γ：x ＝－y 22的焦点F 的直线交抛物线Γ于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝－7，则AB 的值为________．【解析】 因为x ＝－y 22，所以y 2＝－2x ，所以抛物线Γ的准线方程为x ＝12，根据抛物线的定义知AF ＝12－x 1，BF ＝12－x 2，所以AB ＝AF ＋BF ＝1－(x 1＋x 2)＝1－(－7)＝8.【答案】 85．直线y ＝k (x ＋1)与抛物线y 2＝8x 有两个交点，则实数k 的取值范围是________．【解析】 联立直线与抛物线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x ＋1)，所以ky 2－8y ＋8k ＝0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝(－8)2－4×k ×8k ＞0，解得－2＜k ＜2，且k ≠0.所以实数k 的取值范围是(－2，0)∪(0，2)． 【答案】 (－2，0)∪(0，2)6．已知抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，P 是E 的准线l 上一点，Q 是直线PF 与E 的一个交点．若PQ →＝2QF →，则直线PF 的方程为________. 【导学号：09390048】【解析】 抛物线E ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，设Q 到l 的距离为d ，则QF ＝d .∵PQ →＝2QF →，∴|PQ →|＝2|QF →|＝2d ，∴直线的倾斜角为45°或135°，∴直线的斜率为±1，∴直线的方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0. 【答案】 x ＋y －1＝0或x －y －1＝07．如图2-4-3是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽_____________ m.图2-4-3【解析】建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意A(2，－2)，代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝6，故水面宽为2 6 m.【答案】2 68．设点A的坐标为(a,0)(a∈R)，则曲线y2＝2x上的点到A点的距离的最小值为________. 【导学号：09390049】【解析】设抛物线上的点到A点的距离为d，抛物线上任一点的坐标为(x，y)，则d2＝(x－a)2＋y2＝x2－(2a－2)x＋a2＝[x－(a－1)]2＋(2a－1)．因为x∈[0，＋∞)，所以当a－1≥0，即a≥1时，d2min＝2a－1，d min＝2a－1；当a－1<0，即a<1时，当x＝0时，d2min＝a2，d min＝|a|.【答案】2a－1(a≥1)或|a|(a<1)二、解答题9．已知抛物线y2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程．【解】 设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0，则直线OB 的方程为y ＝－1k x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，得x ＝0(舍)或x ＝2p k 2，∴A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 2，2p k ，B 点坐标为(2pk 2，－2pk )，由|OA |＝1，|OB |＝8， 可得⎩⎪⎨⎪⎧4p 2k 2＋1k 4＝1， ①4p 2k 2(k 2＋1)＝64，②解方程组得k 6＝64，即k 2＝4.则p 2＝16k 2(k 2＋1)＝45，又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝455x .10．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC→＝OA →＋λOB →，求λ的值． 【解】 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4，由抛物线定义得，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x .(2)由于p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可化简为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)；设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.[能力提升]1．等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积为________．【解析】 由条件，不妨设l OA 为y ＝x ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得x ＝2p ，所以A (2p,2p )．故S △AOB ＝12·2·(2p )·(2p )＝4p 2.【答案】 4p 22．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 作一条直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为m ，n ，则1m ＋1n ＝________.【解析】 由焦点弦性质，知1PF ＋1FQ ＝2p ，抛物线的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，∴2p ＝1a ，p ＝12a ，∴1PF ＋1FQ ＝4a ，即1m ＋1n ＝4a . 【答案】 4a3．已知抛物线y ＝18x 2与双曲线y 2a 2－x 2＝1(a ＞0)有共同的焦点F ，O 为坐标原点，P 在x 轴上方且在双曲线，则OP →·FP→的最小值为________．【解析】 抛物线y ＝18x 2的焦点F 为(0,2)，则双曲线y 2a 2－x 2＝1中，c ＝2，则a 2＝3.即双曲线方程为y 23－x 2＝1，设P (m ，n )()n ≥3，则n 2－3m 2＝3，则OP →·FP →＝(m ，n )·(m ，n －2)＝m 2＋n 2－2n ＝n 23－1＋n 2－2n ＝4n 23－2n －1＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫n －342－74，所以当n ＝3时，OP →·FP →的最小值为3－2 3. 【答案】 3－2 34．如图2-4-4，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.图2-4-4【证明】法一：设直线AB的方程为y＝k⎝⎛⎭⎪⎫x－p2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C⎝⎛⎭⎪⎫－p2，y2.联立方程，得⎩⎨⎧y＝k⎝⎛⎭⎪⎫x－p2，y2＝2px，消去x，得y2－2pyk－p2＝0，∴y1y2＝－p2，k OA＝y1x1，k OC＝y2－p2＝2py1.又∵y21＝2px1，∴k OC＝y1x1＝k OA，∴AC经过原点O.当k不存在时，AB⊥x轴，同理可得k OA＝k OC，所以AC经过原点O.法二：因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，由于直线AB斜率不确定，所以经过点F的直线AB的方程可设为x＝my＋p2，代入抛物线方程消去x得y2－2pmy－p2＝0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2＝－p2.因为BC∥x轴，且点C在准线x＝－p2上，所以点C的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－p2，y2，故直线CO的斜率为k＝y2－p2＝2py1＝y1x1，即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.法三：如图，过A作AD⊥l，D为垂足，则AD∥EF∥BC，设AC 与EF 相交于点N ，则EN AD ＝CN AC ＝BFAB ，NF BC ＝AF AB .由抛物线的定义可知AF ＝AD ，BF ＝BC ，∴EN ＝AD ·BF AB ＝AF ·BC AB ＝NF .即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O .。
数学知识点苏教版高中数学(选修2-1)2.4《抛物线》word教案-总结
抛物线知识导学一、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线()l F l ∉距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．注意：抛物线的定义中涉及到一个定点和一条定直线，要求这个定点不能在定直线上，否则轨迹就不再是一条抛物线，而是一条直线（过定点且与定直线垂直的直线）． 二、抛物线的标准方程1．抛物线的标准方程是指当抛物线在标准位置时的方程．所谓标准位置，就是指抛物线的顶点在坐标原点，抛物线的对称轴为坐标轴．抛物线的标准方程有四种形式（抛物线标准方程的具体推导过程见教材）：（1）焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，焦点坐标为02p ⎛⎫⎪⎝⎭，，准线方程为2px =-，其开口方向向右； （2）焦点在x 轴的负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =->，焦点坐标为02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，准线方程为2p x =，其开口方向向左； （3）焦点在y 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =>，焦点坐标为02p ⎛⎫⎪⎝⎭，，准线方程为2py =-，其开口方向向上； （4）焦点在y 轴的负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =->，焦点坐标为02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，准线方程为2p y =，其开口方向向下． 其中抛物线的标准方程中参数p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离．注意：不要受二次函数的影响把抛物线方程记作类似212y x p=的形式，应按本部分要求记作：22x py =．如求抛物线22y px =的焦点坐标，应先将方程写成标准形式：212x y p=，然后得其焦点坐标为108p ⎛⎫⎪⎝⎭，．2．抛物线的标准方程的求法是“先定型，后计算”．所谓“定型”是指确定类型，也就是确定抛物线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，是正半轴还是负半轴，从而设出相应的标准方程的形式，“计算”就是指根据题目的条件求出方程中参数p 的值，从而得到抛物线的标准方程． 三、抛物线的几何性质1右侧其中抛物线的对称轴也叫做抛物线的轴． 如右图，抛物线标准方程为22(0)y px p =>，焦点坐标为02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，过点F 作垂直于对称轴（x 轴）的直线交抛物线于12M M ，两点，计算得12M M ，两点坐标为22p p p p ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，可知线段12M M 的长为定值2p ，只与焦参数p 有关．线段12M M 叫做抛物线的通径．2．与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有下列特点： （1）抛物线可以无限延伸，但无渐近线．（2）抛物线只有一个顶点、一条对称轴，并且没有对称中心，它不是中心对称图形，离心率为1，是固定的．（3）抛物线的开口大小与离心率无关，与p 的大小有关，p 越大则开口越大，反之则越小． （4）抛物线的焦点与准线分别在顶点的两侧，且它们到顶点的距离相等，均为2p ． 抛物线中的思维误区一、对抛物线的定义模糊导致错误例1 若动点P 与定点(11)F ，和直线:340l x y +-=的距离相等，则动点P 的轨迹是（ ）Ａ．椭圆 Ｂ．双曲线 Ｃ．抛物线 D ．直线误：由抛物线的定义，可知选（C ）．析：抛物线的定义中，定点一定不在定直线上，而本题中的定点(11)F ，在定直线:340l x y +-=上．正：设动点P 的坐标为()x y ，，则=整理，得320x y -+=．所以动点P 的轨迹为直线，选（D ）．二、忽视标准方程的种类导致错误例2 求以原点为顶点，坐标为对称轴，并且经过点(24)P --，的抛物线的标准方程． 误：设抛物线22(0)y px p =->，将(24)P --，代入，得4p =．故抛物线的标准方程为28y x =-．析：错解只考虑了抛物线方程的一种情况，应还有位于三、四象限时的抛物线方程.正：还有一种情形设22(0)xpy p =->， 求得标准方程为2x y =-．所以满足条件的抛物线的标准方程为28y x =-或2x y =-．三、对直线与抛物线一个交点认识不清例3 求过点(01)M ，且和抛物线2:4C y x =仅有一个公共点的直线方程．误：设所求直线方程是1y kx =+． 由214y kx y x =+⎧⎨=⎩，，消去y ，得222(2)10kx k x +-+=，抛物线与所求的直线只有一个公共点，224(2)40k k ∴∆=--=，解得1k =． 故所求的直线方程为1y x =+．析：由于过点(01)M ，的直线l 的斜率可能存在，也可能不存在，同时抛物线与其对称轴平行的直线与抛物线恒有一个交点的特性，从而漏了两个解．正：（1）当直线l 的斜率不存在时，其方程为0x =，显然与抛物线C 仅有一个公共点． （2）当直线l 的斜率为零，其方程为1y =，显然与抛物线C 仅有一个公共点． （3）当直线l 的斜率为(0)k k ≠，设所求直线方程是1y kx =+． 由214y kx y x =+⎧⎨=⎩，，消去y ，得222(2)10kx k x +-+=，抛物线与所求的直线只有一个公共点， 224(2)40k k ∴∆=--=，解得1k =． 故所求的直线方程为1y x =+．综上可知，所求的直线方程为011x y y x ===+，，． 四、对于多解认识不清例4 求顶点在原点，焦点在x 轴上且通径长为8的抛物线方程． 误：∵抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上， ∴设抛物线方程为22(0)y px p =>，焦点坐标为02p ⎛⎫⎪⎝⎭，． ∵通径82p = ∴所求的抛物线方程为28y x =．析：错因只考虑到焦点在x 轴正半轴的情形，而忽略了焦点也可能在x 轴负半轴的情形，故产生了漏解．正：∵抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，可设抛物线方程为22y ax =．又通径为82a =，∴28a =±． 故所求的抛物线方程为28y x =±．抛物线定义的应用定义揭示了事物的属性，不仅是我们理解事物的基础，也是解决问题的重要工具．本文将介绍如何利用抛物线的定义解题，望对同学们有所帮助 1、求最值例1 设P 是抛物线24y x =上的一个动点，F 是焦点．（1）求点P 到点(11)A -，的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值； （2）若B 点的坐标为（3，2），求PB PF +的最小值．解析：（1）如图1，易知抛物线的焦点为(10)F ，，准线是1x =-．由抛物线的定义知：点P 到直线1x =-的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点(11)A -，的距离与点P 到(10)F ，的距离之和最小．显然，连结AF 交抛物线于P 点．故最小值为（2）如图2，自点B 作BQ 垂直于准线，交点为Q ，交抛物线于点1P ，此时，11PQ PF =，那么114PB PF PB PQ BQ ++==≥，即最小值为4．点评：此题利用抛物线的定义，使抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相互转化，再利用平面几何中的知识，使问题获解．2、求曲线的方程 例2 圆心在抛物线22y x =上且与x 轴及抛物线的准线都相切，求该圆的方程．解析：如图3，设圆心为P 且A F ，为切点，由PA PF =，结合抛物线的定义知F 为抛物线的焦点，即102F ⎛⎫⎪⎝⎭，，因此112P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或112P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，且圆的半径1r =． 故所求方程为221(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭或221(1)12x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭．点评：本题利用抛物线的定义，可知切点与焦点重合，从而确定了点的坐标，使问题的求解变的很顺畅．3、确定方程的曲线例3 3x y =-+表示的曲线是（ ）Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线解析：方程变形为．它表示“点()M x y ，与点(31)F -，的距离等于它到直线30x y -+=的距离”，根据抛物线的定义知，M 的轨迹是抛物线．故选（D ）．点评：本题若直接化简方程，再判断其轨迹较繁杂，根据方程两边所表示的几何意义，利用抛物线的定义则简单易行． 4、求三角形面积例4 设O 为抛物线的顶点，F 为抛物线的焦点且PQ 为过焦点的弦，若OF a =，PQ b =，求OPQ △的面积．解析：如图4，不妨设抛物线方程为24y ax =，1122()()P x y Q x y ，，，，由抛物线定义知12122PQ PF QF x a x a b x x b a =+=+++=⇒+=-．由2114y ax =，2224y ax =，得2222121224(2)44y y b a y y a b a a a+=-⇒+=-． 又由于PQ 为过焦点的弦，因此212y y a =-．故21y y -==因此，2112OPQ S OF y y =-= △ 点评：将焦点弦分成两段，利用定义将过焦点的弦长用两端点横坐标表示，结合方程，利用根与系数的关系是解题的基本思路．本题中计算三角形面积的技巧，是抛物线中经常用到的，需掌握．抛物线的焦半径公式一、抛物线的焦半径公式 如图，设抛物线方程为22(0)y px p =>，焦点为02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，，准线l 的方程为2p x =-．设00()P x y ，为抛物线上任意一点，PA l ⊥，A 为垂足．由抛物线定义，得0022p p PF PA x x ⎛⎫==--=+ ⎪⎝⎭．02p P F x=+即为抛物线22(0)y px p =>的焦半径公式． 抛物线中的许多问题用其求解，则简捷方便． 二、焦半径公式应用举例 例１ 设抛物线24y x =的焦点弦的两个端点分别为11()A x y ，和22()B x y ，，若126x x +=，那么AB =______．解：设焦点为F ，由2p =，利用焦半径公式，得121262822p p AB AF BF x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+++=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．例2 抛物线22(0)y px p =>上有112233()()()A x y B x y C x y ，，，，，三点，F 是它的焦点，若AF BF CF 、、成等差数列，则（ ）A ．123x x x ，，成等差数列B ．132x x x ，，成等差数列C ．123y y y ，，成等差数列D ．132y y y ，，成等差数列解：由抛物线的焦半径公式，得12p A F x=+，22p BF x =+，32p CF x =+， ∵AF BF CF 、、成等差数列，∴1322222p p p x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴1322x x x +=，即123x x x ，，成等差数列．故选（Ａ）．例3 过抛物线28y x =的焦点的直线交抛物线于A 、Ｂ两点，已知10AB =，O 为坐标原点，则OAB △的重心的横坐标是______．解：设1122()()A x y B x y ，，，，原点(00)O ，，4p =． ∵121241022p p AB x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴126x x +=．∴OAB △的重心的横坐标是1206233x x ++==． 例4 设抛物线24y x =的焦点弦被焦点分为长是m 和n 的两部分，求m 和n 的关系．解：设抛物线24y x =的焦点弦的端点为1122()()A x y B x y ，，，，则11m x =+，21n x =+，焦点为(10)F ，，当直线AB 的斜率存在时，设AB 所在直线方程为(1)(0)y k x k =-≠，与抛物线方程联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，，消去y ，得2222(24)0k x k x k -++=．∴121x x = ．∴12121212(1)(1)111m n x x x x x x x x m n =++=+++=+++=+ ， 即m n m n += ．当k 不存在时，121x x ==，4m n m n ==+． 综上，有m n m n =+ ．。
苏教版选修1-1高中数学2.4.2《抛物线的几何性质》1
江苏省涟水县第一中学高中数学 2.4.2 抛物线的几何性质（1）教学案苏教版选修1-1教学目标：掌握抛物线的几何性质，能应用抛物线的几何性质解决问题．教学重点、难点：抛物线的几何性质．教学方法：自主探究．课堂结构：一、复习回顾抛物线的标准方程有哪些？二、自主探究探究1类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？根据抛物线)0(22>=ppxy的图象研究抛物线的几何性质．1．范围．当x的值时，y也，这说明此抛物线向右上方和右下方无限延伸．2．对称性．从图象上看：抛物线关于轴对称；从方程上看：把y换成y-方程不变，图象关于轴对称．3．顶点．抛物线和它对称轴的交点叫抛物线的顶点，即坐标原点．4．离心率．抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率．由定义知，抛物线y2＝2px（p>0）的离心率为e＝1．2px x2 = 2p y三、例题评析例1 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M -，求它的标准方程．例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处． 已知灯口圆的直径为60cm ，灯深40cm ，求抛物线的标准方程和焦点位置．例3 图中是抛物线形拱桥，当水面在位置l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水下降1米后，水面宽多少？若在水面上有一宽为2米，高为1．6米的船只，能否安全通过拱桥？班级：高二（ ）班 姓名：____________1.抛物线的通经：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦叫做抛物线的通经，抛物线)0(22>=p px y 的通经为 .2．已知抛物线的顶点为原点，焦点在y 轴上，抛物线上点(),2m -到焦点的距离为4，则m 的值为_________________3.抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为____________4.已知抛物线24y x =上一点到焦点的距离为5，则这点坐标为____________5．抛物线22y x =上的两点A 、B 到焦点的距离之和为5，则线段AB 的中点的横坐标是 ．6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线042=--y x 上， 求抛物线的方程．7．已知抛物线的顶点是双曲线14491622=-y x 的中心，而焦点是双曲线的左顶点， 求抛物线的方程．8.抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．。
苏教版高中数学选修1-1高二课时训练2.4.2抛物线的几何性质.docx
一、填空题1．M 为抛物线x 2＝2py (p >0)上任意一点，F 为焦点，则以MF 为直径的圆与x 轴的位置关系是________．2．若抛物线y 2＝2px (p >0)与直线ax ＋y －4＝0的一个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离为________．3．若点P 在y 2＝x 上，点Q 在(x －3)2＋y 2＝4上，则PQ 的最小值为________． 4．已知点A (2,0)，B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则当AP →·BP →取得最小值时，点P 的坐标是________．5．已知抛物线y 2＝8x ，以坐标原点为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB ，OA ＝OB ，若焦点F 是△OAB 的重心，则△OAB 的周长为________．6．在抛物线y ＝4x 2上求一点，使该点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点的坐标是________．7．等腰直角三角形ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是________．8．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足的坐标为(2,1)．能使抛物线的方程为y2＝10x的条件是________．(填写适合条件的所有序号)9．在直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点(2p,0)作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，给出下列结论：①OA⊥OB；②△AOB的最小面积是4p2；③x1x2＝－4p2，其中正确结论的序号是________．二、解答题10．求过定点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．11．在抛物线y2＝4x上恒有两点关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围．12．已知抛物线y2＝2px(p>0)有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边所在直线的方程是y＝x，斜边长为53，求抛物线的方程．答案1解析：如图所示，设C 为线段MF 的中点，即C 为圆的圆心，则CC ′＝12(MM ′＋OF )＝12⎝⎛⎭⎪⎫yM ＋p 2＝12MF ，∴该圆与x 轴相切．答案：相切2解析：将(1,2)代入y 2＝2px (p >0)和ax ＋y －4＝0得p ＝2，a ＝2，∴y 2＝4x,2x ＋y －4＝0.∵焦点为(1,0)，∴d ＝|2＋0－4|5＝255.答案：2553解析：设P (x ，y )，圆心C (3,0)，半径r ＝2，∵PC 2＝(x －3)2＋y 2＝(x －3)2＋x ＝x 2－5x ＋9＝(x －52)2＋114≥114，当x ＝52时，|PC |2＝114<r 2＝4，∴抛物线与圆相交，∴PQ min ＝0. 答案：04解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24，y ，则AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－2，y ，BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－4，y ，∴AP →·BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－4＋y 2＝y 416＋52y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时，等号成立，此时P (0,0)．答案：(0,0)5解析：如图所示．由OA ＝OB 可知AB ⊥x 轴，垂足为点M ，又F 是△OAB 的重心，则OF ＝23OM . ∵F (2,0)，∴OM ＝32OF ＝3.∴M (3,0)，故设A (3，m )，代入y 2＝8x 得m 2＝24，∴m ＝26或m ＝－2 6.∴A (3,26)．∴OA ＝OB ＝33.∴△OAB 的周长为233＋4 6. 答案：233＋4 66解析：设该点为A (x 0，y 0)，那么有y 0＝4x 20(x 0∈R )．设点A 到直线y ＝4x －5的距离为d ，则d ＝|4x 0－y 0－5|42＋1＝117|－4x 20＋4x 0－5| ＝117⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－122－4＝417⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x 0－122＋1. 当x 0＝12时，d 取最小值，此时y 0＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1，所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 7解析：设点A (x ，y )在x 轴的上方，则由抛物线的对称性及OA ⊥OB 知，直线OA 的方程为y ＝x (x ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p ，即点A (2p,2p )，B (2p ，－2p )，所以AB ＝4p ，所以S △ABO ＝12AB ·2p ＝12·4p ·2p ＝4p 2.答案：4p 28解析：由抛物线方程y 2＝10x 知，焦点在x 轴上，所以②适合；对于③，由焦半径公式知，1＋p2＝6，所以p ＝10，此时y 2＝20x ，不符合条件；对于④，2p ＝5，此时y 2＝5x ，不符合题意；又因为抛物线y 2＝10x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，原点O (0,0)，设点P (2,1)，可得k PO ·k PF ＝－1，所以⑤也适合．因此应填序号为②⑤.答案：②⑤9解析：当直线AB 的斜率存在时，设直线的方程为y ＝k (x －2p )(k ≠0)，与抛物线的方程联立，得k 2x 2－(4pk 2＋2p )x ＋4p 2k 2＝0，所以x 1x 2＝4p 2，y 1y 2＝－4p 2·4p 2＝－4p 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即OA ⊥OB ，①正确，易证当直线AB 的斜率不存在时，①也正确；由抛物线的图形可知，AB ⊥x 轴时，S △AOB 取最小值，所以S △AOB min ＝12×2p |y 1－y 2|＝4p 2，所以②正确；③不正确．答案：①②10解：(1)若直线的斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y 2＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0.直线x ＝0与抛物线只有一个公共点(0,0)．(2)若直线的斜率存在，设为k ，则过点P (0,1)的直线方程为y ＝kx ＋1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x 消去y ，得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0.当k ＝0时，则得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1.即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点； 当k ≠0时，直线与抛物线只有一个公共点， 则Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，所以k ＝12.所以直线方程为y ＝12x ＋1.综上所述，所求的直线方程为x ＝0，y ＝1，y ＝12x ＋1.11解：设抛物线上的点B ，C 关于直线y ＝kx ＋3对称，直线BC 的方程为x ＝－ky ＋m ，代入y 2＝4x ，得y 2＋4ky －4m ＝0.设点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，BC 的中点为M (x 0，y 0)， 则y 0＝y 1＋y 22＝－2k ，x 0＝－ky 1＋y 2＋2m2＝2k 2＋m .因为点M (x 0，y 0)在直线y ＝kx ＋3上，所以－2k ＝k (2k 2＋m )＋3，所以m ＝－2k 3＋2k ＋3k.又因为直线BC 与抛物线交于不同两点，所以Δ＝16k 2＋16m >0，把m 代入化简，得k 3＋2k ＋3k<0，即k ＋1k 2－k ＋3k<0，解得－1<k <0.12解：设△AOB 是抛物线的内接直角三角形，直角的顶点是O ，边AO 所在直线的方程是y ＝x ，则边OB 所在直线的方程是y ＝－x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得A (2p,2p )，又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y 2＝2px ，得B (2p ，－2p )．因为AB ＝53，所以2p －2p2＋2p ＋2p2＝53，即p 2＝7516.因为p >0，所以p ＝534.所以所求抛物线的方程是y 2＝532x .。
数学苏教版选修2-1教案：2.4.2 抛物线的几何性质 Word版含解析
2．4.2抛物线的几何性质(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)探究抛物线的简单几何性质，初步学习利用方程研究曲线性质的方法．(2) 掌握抛物线的简单几何性质，理解抛物线方程与抛物线曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题．2．过程与方法(1)通过抛物线的方程研究抛物线的简单几何性质，使学生经历知识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力．(2)通过掌握抛物线的简单几何性质及应用过程，培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对抛物线对称美的感受，激发学生对美好事物的追求．●重点难点重点：掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用．难点：抛物线各个知识点的灵活应用．(教师用书独具)●教学建议本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学方法．先通过多媒体动画演示，创设问题情境，在抛物线简单几何性质的教学过程中，通过多媒体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高．根据本节课特点，结合教法和学生的实际，在多媒体辅助教学的基础上，主要采用“复习——类比——探索——应用”的探究式学习方法，增加学生参与的机会，使学生在掌握知识形成技能的同时，培养逻辑推理、理性思维的能力及科学的学习方法，增强自信心．●教学流程通过复习和预习，知道如何通过对抛物线的标准方程的讨论来研究它的几何性质．提问：双曲线有哪些几何性质，获取的途径有哪些？⇒从范围、对称性、顶点及离心率等研究抛物线的几何性质．既要数形结合直观感知，又要根据标准方程严格推证．⇒采用类比教学的方法，由焦点在x轴上的情形得出焦点在y轴上的情形，总结四种情形下的抛物线的几何性质．注意抛物线与双曲线的性质对比．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握由几何性质求标准方程的方法，首先根据几何性质恰当设出标准方程，然后求出待定系数．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握抛物线的焦点弦长的求解公式，体会抛物线定义的应用，并且通过与一般弦长公式比较，体会焦点弦长公式的优势．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握与抛物线有关的最值问题的求法，体会函数思想、转化思想的应用，注意抛物线定义的解题功能，注意抛物线范围的应用．⇒通过易错易误辨析，使学生避免错用判别式而判错抛物线与直线交点个数问题，体会等价转化思想的应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.太阳能是最清洁的能源．太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子．太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面．它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据．1．抛物线有几个焦点？【提示】一个．2．抛物线的顶点与椭圆有什么不同？【提示】椭圆有四个顶点，抛物线只有一个顶点．3．抛物线有对称中心吗？【提示】没有．4．抛物线有对称轴吗？若有对称轴，有几条？【提示】有；1条．已知拋物线的焦点F在x轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与拋物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此拋物线的标准方程．【思路探究】求A 、B 两点的坐标→求出弦长AB →写出△OAB 的面积，利用面积列方程解p 【自主解答】 由题意，设拋物线方程为y 2＝ax (a ≠0)． 焦点F (a 4，0)，直线l ：x ＝a4，∴A 、B 两点的坐标分别为(a 4，a 2)，(a 4，－a2)，∴AB ＝|a |，∵△OAB 的面积为4， ∴12·|a4|·|a |＝4，∴a ＝±42， ∴拋物线的方程为y 2＝±42x .1．本例中，由于焦点F 有两个位置，故有两个标准方程．2．利用几何性质求抛物线的标准方程，仍是先定位，再定量，利用待定系数法求解．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆x 29＋y 216＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的方程．【解】 ∵椭圆x 29＋y 216＝1的焦点在y 轴上，∴椭圆x 29＋y 216＝1短轴所在的直线为x 轴．∴抛物线的对称轴为x 轴．∴设抛物线的方程为y 2＝mx (m ≠0)． ∴|m4|＝5，∴m ＝±20. ∴所求抛物线的方程为y 2＝20x 或y 2＝－20x .已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A 、B 两点，且AB ＝52p ，求AB 所在直线的方程．【思路探究】思路一 联立消元→韦达定理→弦长公式→列方程→求斜率k →求方程 思路二 联立消元→韦达定理→焦点弦公式→列方程→求斜率k →求方程【自主解答】 法一 焦点F (p 2，0)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ，则AB ＝2p <52p .所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －p 2)，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由韦达定理得，y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2.∴AB ＝ (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝ (1＋1k 2)·(y 1－y 2)2＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝2p (1＋1k 2)＝52p ，解得k ＝±2.∴AB 所在直线方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p2)．法二 如图所示，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，设A 、B 到准线的距离分别为d A ，d B ， 由抛物线的定义知，AF ＝d A ＝x 1＋p 2，BF ＝d B ＝x 2＋p2，于是AB ＝x 1＋x 2＋p ＝52p ，x 1＋x 2＝32p .当x 1＝x 2时，AB ＝2p <52p ，所以直线AB 与Ox 不垂直．设直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)y 2＝2px ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0，x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2＝32p ，解得k ＝±2，所以直线AB 的方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p 2)．1．通过两种方法的比较可知，在求焦点弦长时，利用焦点弦长公式较一般弦长公式要简便．2．若焦点在y 轴正半轴上，则焦点弦长公式应改为：AB ＝y 1＋y 2＋p ，应注意相应地变化．斜率为12的直线经过抛物线x 2＝8y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB的长．【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则对于抛物线x 2＝8y ，焦点弦长AB ＝p ＋(y 1＋y 2)＝4＋(y 1＋y 2)．因为抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)，且直线AB 的斜率为12，所以直线AB 的方程为y ＝12x＋2，代入抛物线方程x2＝8y，得y2－6y＋4＝0，从而y1＋y2＝6，所以AB＝10.即线段AB的长为10.已知P是抛物线y2＝4x上任意一点，点A(a,0)，试求当P A最小时P点的坐标．【思路探究】设P(x，y)→表示|P A|→分类讨论求取得最小值时P点的坐标【自主解答】设P(x，y)，则P A＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋4x＝[x－(a－2)]2＋4a－4.∵x≥0，a∈R，∴需分类讨论如下：(1)当a－2≤0即a≤2时，P A的最小值为|a|，此时P(0，0)．(2)当a－2＞0即a＞2时，则x＝a－2，P A取得最小值为2a－1，此时P(a－2，±2a－2)．综上所述，P A最小时，P点的坐标为：a≤2时，P(0,0)；a＞2时，P(a－2，±2a－2)．1．本例常犯的一种错误是，忽略抛物线上点的坐标的取值范围x ≥0，不进行分类讨论，直接认为x ＝a －2时取得最小值．2．与抛物线有关的最值问题，一般转化为函数最值问题求解．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．【解】 法一 设抛物线y ＝x 2上一点P (x 0，y 0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为d ，则d ＝|x 0－y 0－2|2＝|x 20－x 0＋2|2＝12|(x 0－12)2＋74|.当x 0＝12时，d min ＝728.法二 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2x －y ＋m ＝0消去y 得x 2－x －m ＝0令Δ＝1＋4m ＝0得m ＝－14，∴切线方程为x －y －14＝0，∴最短距离为d ＝|－2＋14|2＝78 2.错用Δ判别式而致错求过定点P (0,1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程．【错解】 由题意设直线的方程为y ＝kx ＋1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x消去y 得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0.∵直线与抛物线只有一个公共点， ∴Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，∴k ＝12.∴所求直线的方程为y ＝12x ＋1.【错因分析】 本题错解的原因有两个：一是忽略直线斜率不存在的情况，只考虑斜率存在的直线；二是方程消元后，认定它为二次方程．事实上，二次项系数为零的一次方程的解也符合题意．【防范措施】 当直线和抛物线只有一个公共点时，应该有两种情况：一是直线和抛物线相切；二是直线与抛物线的对称轴平行，容易忽略的是第二种情况，还有第一种情况中应考虑斜率不存在的情形．【正解】 若直线的斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y 2＝2x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，∴直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．若直线的斜率存在，则由题意设直线的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x 消去y 得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0. 当k ＝0时，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1，即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点．当k ≠0时，有Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，∴k ＝12，即方程为y ＝12x ＋1的直线与抛物线只有一个公共点．综上所述，所求直线的方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.1．由抛物线的几何性质求抛物线的标准方程，应当先定位，再定量，恰当地设出标准形式，利用待定系数法求解．2．当抛物线方程为y 2＝2px (p >0)时，其焦点弦长公式为AB ＝x 1＋x 2＋p ，替代一般弦长公式计算更为简洁，对其它标准方程，可以得出相应焦点弦弦长公式．3．抛物线的最值问题一般转化为函数最值问题，若是涉及到抛物线上的点坐标，应注意范围的限制．1．顶点是坐标原点，焦点是(0,2)的抛物线的方程是______． 【解析】 ∵p2＝2，∴p ＝4，∴抛物线方程为x 2＝8y .【答案】 x 2＝8y图2－4－32．过抛物线x 2＝－4y 的焦点作直线垂直于y 轴，交抛物线于A ，B 两点，O 为抛物线的顶点，则△OAB 的面积是________．【解析】 F (0，－1)，将y ＝－1代入得x A ＝2，∴AB ＝4， ∴S △OAB ＝12×4×1＝2.【答案】 23．设拋物线的顶点坐标为(0,1)，准线方程为y ＝－1，则它的焦点坐标为________．【解析】 设准线与y 轴交点为K (0，－1)，顶点为A (0,1)，焦点为F (0，y 0)， 由拋物线性质可知：线段FK 中点为A ，∴y 0－12＝1，∴y 0＝3， ∴焦点为F (0,3)． 【答案】 (0,3)4．斜率为1的直线经过拋物线y 2＝4x 的焦点，与拋物线相交于两点A 、B ，求线段AB 的长．【解】 由题意知抛物线焦点为F (1,0)，k AB ＝1，所以AB 的方程为y ＝x －1代入y 2＝4x 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，Δ＝32>0，∴设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，AB ＝AF ＋FB ＝x 1＋x 2＋2＝8，∴线段AB 长为8.一、填空题1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是________． 【解析】 ∵p2＝2，∴p ＝4，∴抛物线标准方程为y 2＝8x .【答案】 y 2＝8x2．经过抛物线y 2＝2px (p >0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为________． 【解析】 通径长为2p .【答案】 2p3．(2013·烟台高二检测)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与抛物线相交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝8，则PQ 的值为________．【解析】 PQ ＝x 1＋x 2＋2＝10. 【答案】 104．(2013·四川高考改编)抛物线y 2＝4x的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________．【解析】 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)， 双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0， 则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|(3)2＋(－1)2＝32或d 2＝|3×1＋0|(3)2＋12＝32. 【答案】325．已知等边三角形AOB 的顶点A ，B 在抛物线y 2＝6x 上，O 是坐标原点，则△AOB 的边长为________．【解析】 设△AOB 边长为a ，则A (32a ，a 2)，∴a 24＝6×32a .∴a ＝12 3. 【答案】 12 36．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为m 、n ，则1m ＋1n＝________.【解析】 由焦点弦性质知1PF ＋1FQ ＝2p ，抛物线的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，∴2p ＝1a，p ＝12a， ∴1PF ＋1FQ ＝4a ，即1m ＋1n ＝4a . 【答案】 4a7．(2013·南通高二检测)已知弦AB 过拋物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，则以AB 为直径的圆与拋物线的准线的位置关系是________．【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点为M (x 0，y 0)，如图，则AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋x 2＋p .设A ，B ，M 到准线l ：x ＝－p 2距离分别为d 1，d 2，d ，则有d 1＝x 1＋p 2，d 2＝x 2＋p 2，d ＝d 1＋d 22＝x 1＋x 2＋p 2＝AB2，∴以AB 为直径的圆与拋物线的准线相切． 【答案】 相切8．(2012·陕西高考)如图2－4－4所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．图2－4－4【解析】设水面与拱桥的一个交点为A，如图所示，建立平面直角坐标系，则A的坐标为(2，－2)．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则22＝－2p×(－2)，得p＝1.设水位下降1米后水面与拱桥的交点坐标为(x0，－3)，则x20＝6，解得x0＝±6，所以水面宽为26米．【答案】2 6二、解答题9．(2013·哈师大附中高二检测)设抛物线顶点在原点，焦点在y轴负半轴上，M为抛物线上任一点，若点M到直线l：3x＋4y－14＝0的距离的最小值为1，求此抛物线的标准方程．【解】 设与l 平行的切线方程为3x ＋4y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2py 3x ＋4y ＋m ＝0得2x 2－3px －pm ＝0. ∴Δ＝0即m ＝－98p . 又d ＝|14－98p |5＝1，∴p ＝8或p ＝1529(舍)， ∴抛物线的标准方程为x 2＝－16y .10．过点(0,4)，斜率为－1的直线与拋物线y 2＝2px (p ＞0)交于两点A ，B ，如果OA ⊥OB (O 为原点)求拋物线的标准方程及焦点坐标．【解】 直线方程为y ＝－x ＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋4，y 2＝2px ，消去y 得x 2－2(p ＋4)x ＋16＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2(p ＋4)，x 1x 2＝16，Δ＝4(p ＋4)2－64＞0.所以y 1y 2＝(－x 1＋4)(－x 2＋4)＝－8p .由已知OA ⊥OB 得x 1x 2＋y 1y 2＝0，从而16－8p ＝0，解得p ＝2.所以，拋物线的标准方程为y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0)．图2－4－511．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明：直线l 必过一定点，并求出该定点．【解】 (1)设l ：my ＝x －1与y 2＝4x 联立，得y 2－4my －4＝0，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝－3.(2)证明：设l ：my ＝x ＋n 与y 2＝4x 联立，得y 2－4my ＋4n ＝0，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4n .由OA →·OB →＝－4＝(m 2＋1)y 1y 2－mn (y 1＋y 2)＋n 2＝n 2＋4n ，解得n ＝－2，∴l ：my ＝x －2过定点(2,0)．(教师用书独具)某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．【思路探究】建立符合题设条件的平面直角坐标系，设出对应的抛物线方程，选取点的坐标代入，求得抛物线的方程．【自主解答】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．由题意知，点P(10，－4)在抛物线上，∴100＝－2p×(－4)，2p＝25，即抛物线方程为x2＝－25y.∵每4米需用一根支柱支撑，∴支柱横坐标分别为－6，－2,2,6.由图知，AB是最长的支柱之一，设点B的坐标为(2，y B)，代入抛物线方程x2＝－25y，得y B＝－4，25＝3.84，∴AB＝4－425即最长支柱的长为3.84米．1．本例解题的实质是利用抛物线方程求点的坐标，建立坐标系的方法也不尽相同．2．抛物线的实际应用问题，一般可根据图形建立平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程，依据题意得到抛物线上一点的坐标，从而可求出抛物线的标准方程，进而使问题获解．一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求使卡车通过的a的最小整数值．【解】 以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴建立直角坐标系，则点B 的坐标为(a 2，－a 4)，如图所示． 设隧道所在抛物线方程为x 2＝my ，则(a 2)2＝m ·(－a 4)，∴m ＝－a . 即抛物线方程为x 2＝－ay .将(0.8，y )代入抛物线方程，得0.82＝－ay ，即y ＝－0.82a. 欲使卡车通过隧道，应有y －(－a 4)>3， 即a 4－0.82a>3.由于a >0， 得上述不等式的近似解为a >12.21.∴a 应取13.。
2018-2019数学苏教版选修1-1作业：第2章2.4.2 抛物线的几何性质-word文档
[基础达标]1．设抛物线y 2＝mx 的准线与直线x ＝1的距离为3，则抛物线的方程为________．解析：当m >0时，准线方程为x ＝－m 4＝－2， ∴m ＝8，此时抛物线方程为y 2＝8x ；当m <0时，准线方程为x ＝－m 4＝4， ∴m ＝－16，此时抛物线方程为y 2＝－16x .∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－16x .答案：y 2＝8x 或y 2＝－16x2．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点．若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．解析：设抛物线方程为y 2＝2px ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 21＝2px 1y 22＝2px 2⇒y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2·(y 1＋y 2)＝2p ⇒2p ＝1×4⇒p ＝2. 故y 2＝4x .答案：y 2＝4x3．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA →与x轴正向的夹角为60°，则|OA →|＝________.解析：如图，过A 作AD ⊥x 轴于D .在Rt △AFD 中，∠AFD ＝60°.令FD ＝m ，则FA ＝2m .AD ＝3m .根据抛物线的定义可知．p ＋m ＝2m .∴m ＝p .∴|OA →|＝OD 2＋AD 2＝ ⎝⎛⎭⎫p 2＋p 2＋(3p )2＝212p . 答案：212p 4．若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________．解析：依题意，设点M (x ，y )，其中x >0，则有⎩⎨⎧y 2＝2x x 2＋y 2＝3x >0，由此解得x ＝1，又该抛物线的准线方程为x ＝－12，结合抛物线的定义，点M 到该抛物线的焦点的距离等于1＋12＝32. 答案：325．直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为________．解析：直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝x －3，消元得x 2－10x ＋9＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝－2，和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9y ＝6，∴AP ＝10，BQ ＝2，PQ ＝8， ∴梯形APQB 的面积为48.答案：486. 如图，圆形花坛水池中央有一喷泉，水管OP ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线对称轴1 m ，则为使水不落到池外，水池直径最小为________m.解析：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则P (－1，－1)，代入抛物线方程得p ＝12，抛物线x 2＝－y ，代入点(x ，－2)，得x ＝2，即水池半径最小为r ＝(1＋2)m ，水池直径最小为2r ＝(2＋22)m.答案：2＋2 27．已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过点F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解：由题意，抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，直线l ：x ＝p 2， ∴A 、B 两点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p ，⎝⎛⎭⎫p 2，－p ，∴AB ＝2|p |.∵△OAB 的面积为4，∴12·⎪⎪⎪⎪p 2·2|p |＝4，∴p ＝±2 2. ∴抛物线的标准方程为y 2＝±42x .8. 如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4,2)作倾斜角互补的两条直线AB ，AC 交抛物线于B ，C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值．证明：设k AB ＝k (k ≠0)，∵直线AB ，AC 的倾斜角互补，∴k AC ＝－k (k ≠0)，∵直线AB 的方程是y ＝k (x －4)＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －4)＋2，y 2＝x ，消去y 后，整理得 k 2x 2＋(－8k 2＋4k －1)x ＋16k 2－16k ＋4＝0.∵A (4,2)，B (x B ，y B )是上述方程组的解．∴4·x B ＝16k 2－16k ＋4k 2，即x B ＝4k 2－4k ＋1k 2， 以－k 代换x B 中的k ，得x C ＝4k 2＋4k ＋1k 2， ∴k BC ＝yB －yC xB －xC ＝k (xB －4)＋2－[－k (xC －4)＋2]xB －xC＝k (xB ＋xC －8)xB －xC ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋2k 2－8－8kk 2＝－14， ∴直线BC 的斜率为定值．[能力提升]1．等腰直角三角形OAB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 是抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△OAB 的面积为________．解析：设等腰直角三角形OAB 的顶点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，由OA ＝OB ，则x 21＋y 21＝x 22＋y 22，∴x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0，∵x 1>0，x 2>0,2p >0，∴x 1＝x 2，即A 、B 关于x 轴对称．故直线OA 的方程为：y ＝x tan 45°，即y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2px y ＝x ，解得，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝0(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2py ＝2p ，故AB ＝4p ， 等腰三角形OAB 的面积为12×2p ×4p ＝4p 2. 答案：4p 22．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中能得出抛物线方程为y 2＝10x 的条件是________(要求填写合适条件的序号)． 解析：在①②两个条件中，应选择②，则由题意，可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)；对于③，由焦半径公式r ＝1＋p 2＝6，∴p ＝10，此时y 2＝20x ，不符合条件； 对于④，2p ＝5，此时y 2＝5x ，不符合题意；对于⑤，设焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，则由题意，满足12·1－02－p 2＝－1. 解得p ＝5，此时y 2＝10x ，所以②⑤能使抛物线方程为y 2＝10x .答案：②⑤3．某河上有座抛物线形拱桥，当水面距顶5 m 时，水面宽为8 m ，一木船宽4 m 高2 m ，载货后木船露在水面上的部分高为34m ，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？解：如图所示建立直角坐标系xOy ，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，过点(4，－5)，∴16＝－2p (－5)，∴2p ＝165， ∴抛物线方程为x 2＝－165y ，x ＝2时，y ＝－54， ∴相距为34＋54＝2时不能通行． 4．(创新题)A ，B 为抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，O 为原点，若OA ⊥OB ，求证：直线AB 过定点．证明：设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，则y 21y 22＝2px 1·2px 2＝4p 2x 1x 2＝－4p 2y 1y 2， 所以y 1y 2＝－4p 2.因为y 22－y 21＝(y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝2p (x 2－x 1)，若x 1≠x 2，则y 2－y 1x 2－x 1＝2p y 1＋y 2， 所以直线AB 的方程为y －y 1＝2p y 1＋y 2(x －x 1)． 因为y 21＝2px 1，所以y －y 1＝2p y 1＋y 2⎝⎛⎭⎫x －y 212p ， 所以y ＝2px y 1＋y 2－y 21y 1＋y 2＋y 1 ＝2px y 1＋y 2＋y 1y 2y 1＋y 2＝2p y 1＋y 2(x －2p )， 所以直线AB 过定点(2p,0)．若x 1＝x 2≠0，则y 1＝－y 2.因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，故直线x 21－y 21＝0，即x 21－2px 1＝0，所以x 1＝2p . 故直线AB 过定点(2p,0)，所以存在定点(2p,0)，使得命题成立．。
高中数学 2.4.2.1 抛物线的几何性质 苏教版选修1-1
设P(t2,t),则
PO′2=(t2-3)2 1 ,
2
4
当t2= 5
2
时,PO′min=
11 , 2
∴PQmin=PO′min-1=12 ( 1 1 -2 ).
2
即18=p|10-p |, 2
2
解得：p=2或18,
∴该点横坐标为1或9.
答案：1或9
2.(2010·北京高二检测）若抛物线y2=x上一点P到准线的距 离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为____.
【解析】设P（x0,y0）,则y02=x0,
∴
1 x0+4=
x解02+得y0x20,=
1. 8
∴y0=± 2 ∴, 点P的坐标为(
4
±1 ,
8
). 2
4
答案：( 1 ±, ) 2
8
4
3.已知点P是抛物线x2=2y上的一动点，l为准线，过点P作直 线l的垂线，垂足为N，已知定点M（2，0），则当点P在该 抛物线上移动时，PM+PN的最小值等于____.
【解析】如图所示，当点P′位于点P时，PM+PN=MF最小， 易知F（0，12 ）， ∴ MF= (2-0)2+(0-1)2= 17.
8.（2010·宁德高二检测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 C的项点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在x轴上.
（1）求抛物线C的标准方程； （2）求过点F且与直线OA垂直的直线的方程.
【解题提示】解答本题（1）可先设出抛物线的方程再代 入A点坐标即可，解答本题（2）可先求出点F的坐标，再求 方 程.
22
答案： 1 7
2
4.边长为1的等边△AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过 A、B两点的抛物线方程是____.
江苏省高级中学(苏教版)高中数学选修1-1学案：2.4.2 抛物线的几何性质
课题： §2.4.2抛物线的几何性质【学习目标】掌握抛物线的几何性质，能应用抛物线的几何性质解决问题． 【学习重点与难点】抛物线的几何性质． 【学习过程】 一、问题情境抛物线的标准方程有哪些？二、建构数学探究1 类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？根据抛物线)0(22>=p px y 的图象研究抛物线的几何性质． 抛物线的几何性质．三、数学运用例1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M-，求它的标准方程．变式顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(2,M-的抛物线有几条？求出它们的标准方程．例 2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．例3 图中是抛物线形拱桥，当水面在位置l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水下降1米后，水面宽多少？若在水面上有一宽为2米，高为1．6米的船只，能否安全通过拱桥？四、课堂检测1．241x y =的焦点坐标是 ． 2．求适合下列条件的抛物线的方程： （1）顶点在原点，焦点为（0，－5）． （2）准线方程为3=x ，顶点为原点．（3）对称轴为x 轴，顶点在原点，且过点（－3，4）．3．顶点在原点，对称轴为y 轴，且焦点在直线02=+-y x 上的抛物线的标准方程 是 ，焦点坐标是 ，准线方程是 ．4．若P （x 0，y 0）是抛物线y 2＝－32x 上一点，F 为抛物线的焦点，则PF ＝ ．5．已知圆07622=--+x y x 与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则p = ．五 课后作业1.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为_____. 2.已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，AF ＝54x 0，则x 0＝________.3.已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM ＝________.4.已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________.5.已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C的焦点为F ，则直线BF 的斜率为________.6. 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点， 求证：①y1y2＝－p2，x1x2＝p2 4；②1AF ＋1BF为定值；③以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.。
苏教版高中数学选修(1-1)-2.4《抛物线的几何性质》教学教案
抛物线的几何性质学习目标：1、掌握抛物线的几何性质，理解其产生过程；2、能应用抛物线的几何性质解决有关问题；学习重点：抛物线几何性质学习过程：一、问题情境1．上节课我们学习了抛物线，通过抛物线的定义研究了它的标准方程。
首先来回顾一下抛物线的定义及其标准方程。
2．同学们觉得这节课应该研究什么内容？类比椭圆、双曲线的研究过程，这节课应该来研究“抛物线的几何性质”。
二、探索研究同学们自己先类比探索“抛物线的几何性质有哪些？如何研究？”，必要时可与同桌交流你的结论。
三、归纳总结四、例题解析1．求满足下列条件的抛物线方程：(1) 顶点在坐标原点，焦点为F(5，0)；(2) 顶点在坐标原点，关于y 轴对称，且经过M(2, 22-)； (3) 顶点在坐标原点，准线方程为x=3分析：根据待定系数法设出抛物线的方程，由题意列出相应的关系式求解。
2．汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197mm ，反光曲面的顶点到灯口的距离是69mm 。
由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线。
为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1mm)课下思考：设过抛物线y 2=2px 的焦点F 的一条直线和抛物线有两个交点，且两个交点的纵坐标为和，求证：=-p 2。
五、巩固练习1、求下列条件的抛物线的方程： （1）顶点在原点，焦点为（0,5）；（2）对称轴为x 轴，顶点在原点，且过点（-3,4）.解：如图，在车灯的一个轴截面上建立直角坐标系。
设抛物线方程为22(0)y px p =>，灯应安装在其焦点F 处。
在x 轴上取一点C ，使OC=69，过C 做x 轴的垂线，交抛物线于A 、B 两点，AB 就是灯口的直径，即AB=197，所以点A 的坐标为（69，1972） 将A 点代入方程22,70.3y px x =≈解得 它的焦点坐标约为F （35,0）因此，灯泡应该安装在距顶点约35mm 处.。
苏教版高中数学高二选修1-1练习2.4.2抛物线的几何性质(二)
2.4.2 抛物线的几何性质(二)一、基础过关1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为________．2．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．3．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA →与x轴正向的夹角为60°，则OA 的长度为________．4．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是__________．5．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，灯口直径为60cm ，灯深40 cm ，则光源到反射镜顶点的距离是________ cm.6．点P 到A (1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线l ：y ＝x 的距离等于22，则这样的点P 的个数为________．7．根据条件求抛物线的标准方程．(1)抛物线的顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线x ＋y ＋2＝0上；(2)抛物线的顶点在原点，焦点是圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心．二、能力提升8．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作两弦AB 和CD ，其所在直线的倾斜角分别为π6与π3，则AB 与CD 的大小关系是____________．9．若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆M ：(x －3)2＋y 2＝1上，则PQ 的最小值是________．10．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，BF ＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF ＝________.11．已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上．又知此抛物线上一点A (1，m )到焦点的距离为3.(1)求此抛物线的方程；(2)若此抛物线方程与直线y ＝kx －2相交于不同的两点A 、B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．三、探究与拓展13．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线与x 轴交点为Q ，过Q 点的直线l 交抛物线于A 、B 两点．(1)直线l 的斜率为22，求证：FA →·FB →＝0； (2)设直线FA 、FB 的斜率为k FA 、k FB ，探究k FB 与k FA 之间的关系并说明理由．答案1．2 2.34 2 3.212p 4．x 2＝2y －15．5.6256．37．解 (1)直线x ＋y ＋2＝0与x ，y 轴的交点坐标分别为(－2，0)和(0，－2)，所以抛物线的标准方程可设为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝－2py (p >0)，由－p 2＝－2，得p ＝4， 所以所求抛物线的方程为y 2＝－8x 或x 2＝－8y .(2)圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心为(2,0)，故抛物线方程的形式为y 2＝2px (p >0)．由p 2＝2得p ＝4，所以所求抛物线方程为y 2＝8x . 8．AB >CD 9.112－1 10.4511．解 (1)由题意设抛物线方程为y 2＝2px ， 其准线方程为x ＝－p 2， ∵A (1，m )到焦点的距离等于A 到其准线的距离． ∴1＋p 2＝3，∴p ＝4. ∴此抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x y ＝kx －2，消去y 得k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0， ∵直线y ＝kx －2与抛物线相交于不同的两点A 、B ，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0Δ>0，解得k >－1且k ≠0. 又∵x 1＋x 2＝4k ＋8k 2＝4，解得k ＝2或k ＝－1(舍去)． ∴所求k 的值为2.12．(1)解 由题意知，抛物线焦点为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)证明 设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线方程y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b .∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b ，令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2，∴直线l 过定点(2,0)．13．(1)证明 ∵Q ⎝⎛⎭⎫－p 2，0， ∴直线l 的方程为y ＝22⎝⎛⎭⎫x ＋p 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝22⎝⎛⎭⎫x ＋p 2y 2＝2px .消去x 得y 2－22py ＋p 2＝0. 解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋222p ，(2＋1)p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－222p ，(2－1)p . 而F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，故FA →＝((1＋2)p ，(1＋2)p )， FB →＝((1－2)p ，(2－1)p )， ∴FA →·FB →＝－p 2＋p 2＝0.(2)解 k FA ＝－k FB 或k FA ＋k FB ＝0. 因直线l 与抛物线交于A 、B 两点，故直线l 方程：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋p 2 (k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋p 2y 2＝2px， 消去x 得ky 2－2py ＋kp 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝p 2. k FA ＝y 1x 1－p 2，k FB ＝y 2x 2－p 2， ∴k FA ＝p 2y 2y 212p －p 2＝p 2y 2⎝⎛⎭⎫p 2y 222p －p2 ＝y 2p 2－y 222p＝－k FB .。
2019-2020学年苏教版数学选修【1-1】导学检测案：2.4.2抛物线的几何性质
2019-2020学年苏教版数学精品资料课题：2.4.2抛物线的几何性质班级：姓名：学号：第学习小组【学习目标】1．掌握抛物线的简单几何性质；2．能根据抛物线方程解决简单的应用问题【课前预习】1.类比椭圆、双曲线来填写下表图形标准方程焦点坐标准线方程[来源:][来源:][来源:]【合作探究】y px p上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，求[例1]若抛物线22(0)P的横坐标及抛物线方程.[例2]给定抛物线22yx ，设(,0),0A a a ，P 是抛物线的一点，且PA d ，试求d的最小值. 例3．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4m 时，测得拱桥内水面宽为16m ；当水面升高3m 后，拱桥内水面的宽度为__ __m ．[来源:]【学后反思】164课题：2.4.1抛物线的几何性质检测案班级：姓名：学号：第学习小组【课堂检测】1.若抛物线42x y 上一点A 的纵坐标是4，则A 点到焦点F 的距离为＿＿＿2．若抛物线)0(22p py x上纵坐标为4的点到焦点的距离为5，则焦点到准线的距离是．3. 抛物线24y x 上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到y 轴的距离为【课后巩固】1、抛物线x y 2上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ________．2．已知点P 在抛物线24y x 上，那么点P 到点(21)Q ，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为．3、已知P 是抛物线x y 42上的动点，F 是抛物线的焦点，则线段PF 的中点轨迹方程是4、抛物线x y22关于直线01y x 对称的抛物线方程是。
5．已知圆x 2+y 2－6x －7=0与抛物线y 2=-2px (p ＞0)的准线相切，则p=．[来源:]6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质(二)学案苏教版选修1-1
学习目标 1. 掌握抛物线的几何特性 .2. 学会解决直线与抛物线相关的综合问题．
知识点一 直线与抛物线的位置关系 思考 1 若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？
思考 2 直线与抛物线的位置关系与公共点个数．
梳理 直线 y＝ kx＋ b 与抛物线 y2＝ 2px( p>0) 的交点个数决定于关于 x 的方程 k2x2＋ 2( kb－ p) x＋ b2 ＝ 0 的解的个数．当 k≠０ 时，若 Δ>0，则直线与抛物线有 ________个不同的公共 点；当 Δ＝ 0 时，直线与抛物线有 ________个公共点；当 Δ <0 时，直线与抛物线 ________ 公共点．当 k＝ 0 时，直线与抛物线的对称轴 ________________ ，此时直线与抛物线有 ________ 个公共点．
＝
(2
k
－
4)
2
－
4k
2
＝
4
k
2
－
16k
＋
16－
4
k2＝－
16k
＋
16.
①当 Δ>0，即 k<1 且 k≠０时， l 与 C有两个公共点，此时直线 l 与抛物线 C相交；
②当 Δ＝ 0，即 k＝ 1 时， l 与 C只有一个公共点，此时直线 l 与抛物线 C相切；
③当 Δ<0，即 k>1 时，直线 l 与 C没有公共点．
8/9
消去 x，得 y2－4ty － 4b＝0. 设 A( x1 ，y1) 、 B( x2，y2) ，
则 y1＋y2＝4t ， y1y2＝－ 4b.
∵ O→A·O→B＝ x1x2＋ y1y2
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质(一)学案苏教版选修1-1(2021年整理)
所以所求抛物线的方程为y2＝±4x或y2＝±36x。
例2 解 （1）因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率为k＝tan 60°＝ 。
又F ，所以直线l的方程为y＝ .
联立
消去y得x2－5x＋ ＝0。
设A（x1,y1）,B(x2，y2），则x1＋x2＝5.
而AB＝AF＋BF＝x1＋ ＋x2＋
＝x1＋x2＋p，所以AB＝5＋3＝8.
1．抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴，抛物线上的点（－5，2 ）到焦点的距离是6，则抛物线方程为________．
2．顶点在坐标原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是________．
3．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．
4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则AB＝________。
AB＝p－（x1＋x2）
x2＝2py（p>0)
AB＝y1＋y2＋p
x2＝－2py(p>0)
AB＝p－（y1＋y2)
类型一 由抛物线的几何性质求标准方程
例1 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A,B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．
引申探究
(2)若AB＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
反思与感悟 (1）抛物线的焦半径
定义
抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段
焦半径公式
P(x0，y0)为抛物线上一点，F为焦点.
高中数学苏教版选修1-1学案：第二章 2.4.2 抛物线的几何性质 Word版含答案
2.4.2抛物线的几何性质[学习目标]1.掌握抛物线的简单几何性质.2.能运用抛物线的简单几何性质解决与抛物线有关的问题.知识点一抛物线的几何性质x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0x∈R，y≤0直线过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，AF＝x1＋p2，BF＝x2＋p2，故AB＝x1＋x2＋p.知识点三直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数.当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点.当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点.题型一抛物线的几何性质例1已知双曲线方程是x28－y29＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程.解因为双曲线x28－y29＝1的右顶点坐标为(22，0)，所以p2＝22，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为y 2＝82x ，其准线方程为x ＝－2 2.反思与感悟(1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称.(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程.跟踪训练1已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M (1，－2).求抛物线的标准方程和准线方程.解(1)当抛物线的焦点在x 轴上时， 设其标准方程为y 2＝mx (m ≠0). 将点M (1，－2)代入，得m ＝4. ∴抛物线的标准方程为y 2＝4x . (2)当抛物线的焦点在y 轴上时， 设其标准方程为x 2＝ny (n ≠0). 将点M (1，－2)代入，得n ＝－12.∴抛物线的标准方程为x 2＝－12y .故所求的抛物线的标准方程为y 2＝4x 或x 2＝－12y .准线方程为x ＝－1或y ＝18.题型二抛物线的焦点弦问题例2已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且AB ＝52p ，求AB 所在的直线方程.解由题意知焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若AB ⊥x 轴，则AB ＝2p <52p ，不满足题意.所以直线AB 的斜率存在，设为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2. 所以AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2·(y 1－y 2)2 ＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2＝52p ， 解得k ＝±2.所以AB 所在的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －p 2 或y ＝－2⎝⎛⎭⎫x －p2. 反思与感悟(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解. (2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.跟踪训练2已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点. (1)若直线l 的倾斜角为60°，求AB 的值； (2)若AB ＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离. 解(1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan60°＝3，又F ⎝⎛⎭⎫32，0. 所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32， 消去y 得x 2－5x ＋94＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5， 而AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p . 所以AB ＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知 AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3，又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.题型三直线与抛物线的位置关系例3已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 有： (1)一个公共点； (2)两个公共点； (3)没有公共点.解将直线l 和抛物线C 的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程(*)只有一个解，为x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与抛物线C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴. 当k ≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2，①当Δ>0，即k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点，此时直线l 与抛物线C 相交； ②当Δ＝0，即k ＝1时，直线l 与抛物线C 有一个公共点，此时直线l 与抛物线C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点，此时直线l 与抛物线C 相离. 综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与抛物线C 有一个公共点； (2)当k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点； (3)当k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点.反思与感悟直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况.跟踪训练3如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4,2)作倾斜角互补的两条直线AB ，AC 交抛物线于B ，C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值.证明设k AB ＝k (k ≠0)，∵直线AB ，AC 的倾斜角互补， ∴k AC ＝－k (k ≠0)，∴直线AB 的方程是y ＝k (x －4)＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)＋2，y 2＝x ，消去y 后，整理得k 2x 2＋(－8k 2＋4k －1)x ＋16k 2－16k ＋4＝0. ∵A (4,2)，B (x B ，y B )是上述方程组的解.∴4·x B ＝16k 2－16k ＋4k 2，即x B ＝4k 2－4k ＋1k 2.以－k 代换x B 中的k ，得x C ＝4k 2＋4k ＋1k 2，∴k BC ＝y B －y C x B －x C ＝k (x B －4)＋2－[－k (x C －4)＋2]x B －x C＝k (x B ＋x C －8)x B －x C ＝k (8k 2＋2k 2－8)－8kk 2＝－14.∴直线BC 的斜率为定值.分类讨论思想的应用例4已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线y ＝2x ＋1截得的弦长为15，求抛物线的标准方程.分析由于抛物线的开口有两种可能性：向左或向右，其标准方程可以设为y 2＝2px (p ＞0)或y 2＝－2px (p ＞0).解设直线和抛物线相交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). (1)当抛物线开口向右时，设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝2x ＋1，消去y ，得4x 2－(2p －4)x ＋1＝0. 所以x 1＋x 2＝p －22，x 1x 2＝14.AB ＝(x 1－x 2)2＋[(2x 1＋1)－(2x 2＋1)]2 ＝5·(x 1－x 2)2 ＝5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝5·(p －22)2－4×14＝15， 则p 24－p ＝3，整理，得p 2－4p －12＝0， 解得p ＝－2(负值舍去)或p ＝6， 故抛物线的标准方程为y 2＝12x .(2)当抛物线开口向左时，设抛物线的标准方程为 y 2＝－2p 1x (p 1＞0)，同理可得p 1＝2，此时所求抛物线的标准方程为y 2＝－4x .综上所述，抛物线的标准方程为y 2＝－4x 或y 2＝12x .解后反思分类讨论思想在解决抛物线问题时经常用到，如对抛物线的开口方向进行讨论，对直线的斜率是否存在进行讨论，对判别式Δ的取值范围进行讨论等.1.以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为__________________. 答案y 2＝8x 或y 2＝－8x解析设抛物线y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)， 依题意得x ＝p2，代入y 2＝2px 或y 2＝－2px ，得|y |＝p ，∴2|y |＝2p ＝8，p ＝4. ∴抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .2.若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为____________. 答案(18，±24)解析由题意知，点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离，因此点P 在线段OF 的垂直平分线上，而F (14，0)，所以点P 的横坐标为18，代入抛物线方程得y ＝±24，故点P 的坐标为(18，±24). 3.抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为__________. 答案(12，1)解析因为y ＝4x 2与y ＝4x －5不相交，设与y ＝4x －5平行的直线方程为y ＝4x ＋m .则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x 2，y ＝4x ＋m ，⇒4x 2－4x －m ＝0.① 设此直线与抛物线相切，此时有Δ＝0， 即Δ＝16＋16m ＝0，∴m ＝－1. 将m ＝－1代入①式，x ＝12，y ＝1，故所求点的坐标为(12，1).4.经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是____________. 答案6x －4y －3＝0解析设直线l 的方程为3x －2y ＋c ＝0，抛物线y 2＝2x 的焦点F (12，0)，所以3×12－2×0＋c ＝0，所以c ＝－32，故直线l 的方程是6x －4y －3＝0.5.已知直线x －y ＋1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________. 答案 －14解析由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝ax 2，消去y 得ax 2－x －1＝0， ∵直线与抛物线相切，∴a ≠0且Δ＝1＋4a ＝0. ∴a ＝－14.1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.2.直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点.尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.3.判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果. (2)代数法：设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x (或y )的一元二次方程形式：Ax 2＋Bx ＋C ＝0(或Ay 2＋By ＋C ＝0).相交：①有两个交点：⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ>0；②有一个交点：A ＝0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；相切：有一个公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＝0；相离：没有公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ<0.直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件.。
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【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.4.2 抛物线
的几何性质课后知能检测 苏教版选修1-1
一、填空题
1．对抛物线x 2
＝－3y ，下列说法正确的是________． ①此抛物线关于y 轴对称； ②焦点坐标为(0，3
4
)；
③此抛物线与抛物线x 2
＝3y 关于x 轴对称．
【解析】 抛物线x 2
＝－3y 的焦点为(0，－34)，故②错．
【答案】 ①③
2．若抛物线y 2
＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为________．
【解析】 由定义知PO ＝PF ，∴x P ＝1
8，y P ＝±
18＝±24
. 【答案】 (18，±2
4
)
3．(2013·连云港高二检测)若抛物线y 2
＝2px (p ＞0)上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点横坐标为________．
【解析】 由题意知：y ＝±6，∴2px ＝y 2
＝36，∴x ＝18p ，∴18p －(－p 2)＝10，∴p ＝2
或18.
∴x ＝1或9. 【答案】 1或9
4．(2012·安徽高考)过抛物线y 2
＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________．
【解析】 由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1，0)，又|AF |＝3，由抛物线定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.
将x ＝2代入y 2
＝4x 得y 2
＝8，由图知，y ＝22， ∴A (2，22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 又⎩⎨⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2，或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2.
由图知，点B 的坐标为(1
2，－2)，
∴|BF |＝12－(－1)＝3
2.
【答案】 3
2
5．(2012·陕西高考)如图2－4－2所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________m.
图2－4－2
【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为
x 2＝－2py (p >0)，则A (2，－2)，将其坐标代入x 2＝－2py 得p ＝1.
∴x 2
＝－2y .
当水面下降1 m ，得D (x 0，－3)(x 0>0)，将其坐标代入x 2
＝－2y 得x 2
0＝6，
∴x 0＝ 6.∴水面宽|CD |＝2 6 m. 【答案】 2 6
6．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为________．
【解析】 不妨设抛物线的标准方程为y 2
＝2px (p ＞0)，由于l 垂直于对称轴且过焦点， 故直线l 的方程为x ＝p
2
.代入y 2
＝2px 得y ＝±p ，
即|AB |＝2p ，又|AB |＝12，故p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3，
故S △ABF ＝1
2×6×12＝36.
【答案】 36
7．(2012·北京高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2
＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点．其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．
【解析】 ∵y 2
＝4x 的焦点为F (1，0)，又直线l 过焦点F 且倾斜角为60°，故直线l 的方程为y ＝3(x －1)，
将其代入y 2
＝4x 得3x 2
－6x ＋3－4x ＝0，即3x 2
－10x ＋3＝0. ∴x ＝1
3
或x ＝3.
又点A 在x 轴上方，∴x A ＝3.∴y A ＝2 3. ∴S △OAF ＝1
2×1×23＝ 3.
【答案】
3
8．已知以F 为焦点的抛物线y 2
＝4x 上的两点A 、B 满足AF →＝3FB →，则弦AB 的中点到准线的距离为________．
【解析】 F 的坐标为(1，0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵AF →＝3FB →，
∴(1－x 1，－y 1)＝3(x 2－1，y 2)，
∴1－x 1＝3x 2－3，即x 1＋3x 2＝4，且－y 1＝3y 2，即y 1＝－3y 2. 设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，AB 中点为P (x 0，y 0)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧y 2
＝4x ，y ＝k （x －1），得ky 2－4y －4k ＝0，∴y 1y 2＝－4. ∴y 21＝12，y 2
2＝43，∴x 1＝3，x 2＝13，
∴x 0＝
x 1＋x 22
＝5
3
， ∴中点P 到准线x ＝－1的距离d ＝53－(－1)＝8
3.
【答案】 8
3
二、解答题
9．如图2－4－3，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A (2，2)，其焦点F 在x 轴上．
图2－4－3
(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)求过点F 且与直线OA 垂直的直线的方程．
【解】 (1)由题意，可设抛物线C 的标准方程为y 2
＝2px ，因为点A (2，2)在抛物线C 上，所以p ＝1.因此，抛物线C 的标准方程为y 2
＝2x .
(2)由(1)可得焦点F 的坐标是(12，0)，又直线OA 的斜率为2
2＝1，故与直线OA 垂直的直
线的斜率为－1.因此，所求直线的方程是x ＋y －1
2
＝0.
10．(2013·银川高二检测)已知A ，B 是抛物线y 2
＝2px (p >0)上两点，O 为坐标原点．若|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB 的方程．
【解】 由抛物线的性质知A ，B 关于x 轴对称． 设A (x ，y )，则B (x ，－y )，焦点为F (p
2，0)．
由题意知AF ⊥OB ， 则有
y
x －
p 2
·－y
x
＝－1.
∴y 2
＝x (x －p
2)，
2px ＝x (x －p
2
)．
∴x ≠0.∴x ＝5p 2.∴直线AB 的方程为x ＝5p
2
.
11．如图2－4－4，过抛物线y 2
＝x 上一点A (4，2)作倾斜角互补的两条直线AB ，AC ，交抛物线于B 、C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值．
图2－4－4
【证明】 设k AB ＝k (k ≠0)， ∵直线AB ，AC 的倾斜角互补， ∴k AC ＝－k (k ≠0)，
AB 的方程是y ＝k (x －4)＋2.
由方程组⎩⎪⎨
⎪⎧y ＝k （x －4）＋2，y 2
＝x ，
消去y 后，整理得
k 2x 2＋(－8k 2＋4k －1)x ＋16k 2－16k ＋4＝0.
∵A (4，2)，B (x B ，y B )的坐标是上述方程组的解， ∴4·x B ＝16k 2
－16k ＋4
k
2
， 即x B ＝4k 2
－4k ＋1k
2
. 以－k 代换x B 中的k ，得x C ＝4k 2
＋4k ＋1k
2
， ∴k BC ＝y B －y C
x B －x C
＝
k （x B －4）＋2－[－k （x C －4）＋2]
x B －x C
＝k （x B ＋x C －8）
x B －x C ＝k （8k 2
＋2
k 2－8）
－8k
k 2
＝－14
.
所以直线BC 的斜率为定值．。