2019-2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.4函数的应用一

3．4　函数的应用(一)1．能利用已知函数模型求解实际问题．2．能自建确定性函数模型解决实际问题．几类常见的函数模型1．一次函数y＝kx＋b中k的取值是如何影响其图象和性质的？[答案]　当k>0时直线必经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时直线必经过第二、四象限，y随x的增大而减小2．二次函数的图象和性质由哪些因素决定？[答案]　二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质由开口方向、对称轴及顶点位置决定．a 决定抛物线的开口方向，直线x ＝－决定对称轴的位置，决定顶点的纵坐b 2a 4ac －b 24a 标．另外其单调性由开口方向及对称轴决定3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝kx ＋8(k ≠0)在R 上是增函数．( )(2)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的最大值是.( )4ac －b 24a (3)分段函数中每一段的模型可以是一次函数或二次函数．( )[答案]　(1)×　(2)×　(3)√题型一用一、二次函数模型解决实际问题【典例1】　某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x 元与日销售量y 件之间有如下关系：销售单价x (元)30404550日销售量y (件)603015(1)在坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x ，y )对应的点，并确定x 与y 的一个函数关系式y ＝f (x )；(2)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据上述关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出销售单价x 为多少时，才能获得最大日销售利润．[思路导引]　(1)在平面直角坐标系中描出点，选择合适的模型，从而用待定系数法求解；(2)日销售利润P ＝每件利润×销量．[解]　(1)在平面直角坐标系中画出各点，如图．这些点近似地分布在一条直线上，猜想y 与x 之间的关系为一次函数关系，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0，且k ，b 为常数)，则Error!解得Error!∴f (x )＝－3x ＋150，经检验，点(45,15)，点(50,0)也在此直线上．∴y 与x 之间的函数解析式为y ＝－3x ＋150(30≤x ≤50)．(2)由题意，得P ＝(x －30)(－3x ＋150)＝－3x 2＋240x －4500＝－3(x －40)2＋300(30≤x ≤50)．∴当x ＝40时，P 有最大值300.故销售单价为40元时，日销售利润最大．在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．[针对训练]1.有l 米长的钢材，要做成如右图所示的窗框：上半部分为半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形，则小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所通过的光线最多？并求出窗户面积的最大值．[解]　设小矩形的长为x ，宽为y ，窗户的面积为S ，则由图可得9x ＋πx ＋6y ＝l ，所以6y ＝l －(9＋π)x ，所以S ＝x 2＋4xy ＝x 2＋x [l －(9＋π)x ]＝π2π223－x 2＋lx ＝－2＋.36＋π62336＋π6(x －2l36＋π)2l 23(36＋π)要使窗户所通过的光线最多，只需窗户的面积S 最大．由6y >0，得0<x <.l9＋π因为0<<，2l 36＋πl9＋π所以当x ＝，y ＝＝，2l36＋πl －(9＋π)x 6l (18－π)6(36＋π)即＝时，窗户的面积S 有最大值，且S max ＝.x y 1218－π2l 23(36＋π)题型二用幂函数模型解决实际问题【典例2】　在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R 与管道半径r 的四次方成正比．(1)写出函数解析式；(2)假设气体在半径为3 cm 的管道中的流量为400 cm 3/s ，求该气体通过半径为r cm 的管道时，其流量R 的表达式；(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm ，计算该气体的流量(精度为1 cm 3/s)．[解]　(1)由题意得R ＝kr 4(k 是大于0的常数)．(2)由r ＝3 cm ，R ＝400 cm 3/s ，得k ·34＝400，∴k ＝，40081∴流量R 的表达式为R ＝·r 4.40081(3)∵R ＝·r 4，∴当r ＝5 cm 时，R ＝×54≈3086(cm 3/s)．4008140081利用幂函数模型解决实际问题的一般步骤(1)设出函数关系式．(2)利用待定系数法求出函数关系式．(3)根据题意，利用得出的函数关系式解决问题．[针对训练]2．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额x 的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？[解]　(1)设两类产品的收益与投资额x 的函数关系式分别为f (x )＝k 1x (x ≥0)，g (x )＝k 2(x ≥0)，x 结合已知得f (1)＝＝k 1，g (1)＝＝k 2，1812所以f (x )＝x (x ≥0)，g (x )＝(x ≥0)．1812x (2)设投资稳健型产品x 万元，则投资风险型产品(20－x )万元，依题意得获得收益为y ＝f (x )＋g (20－x )＝＋(0≤x ≤20)，令t ＝(0≤t ≤2)，则x ＝20－t 2，x 81220－x 20－x 5所以y ＝＋＝－(t －2)2＋3，所以当t ＝2，即x ＝16时，y 取得最大值，y max ＝3.20－t 28t 218故当投资稳健型产品16万元，风险型产品4万元时，可使投资获得最大收益，最大收益是3万元.题型三用分段函数模型解决实际问题【典例3】　提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)[思路导引]　用待定系数法确定v (x )的表达式，再确定f (x )．[解]　(1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得Error!解得Error!故函数v (x )的表达式为v (x )＝Error!(2)依题意并由(1)可得f (x )＝Error!当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20≤x ≤200时，f (x )＝x (200－x )13＝－x 2＋x ＝－(x 2－200x )13200313＝－(x －100)2＋，13100003所以当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值.100003综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值≈3333，100003即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/时．构建分段函数模型的关键点建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．[针对训练]3．某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x 元只取整数，用y 表示出租所有自行车的日净收入(即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费后的所得)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式．(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？[解]　(1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115>0，解得x >2.3.又因为x ∈N ，x ≥3，所以3≤x ≤6，且x ∈N .当6<x ≤20，且x ∈N 时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115，综上可知y ＝f (x )＝Error!(2)当3≤x ≤6，且x ∈N 时，因为y ＝50x －115是增函数，所以当x ＝6时，y max ＝185元．当6<x ≤20，且x ∈N 时，y ＝－3x 2＋68x －115＝－32＋，(x －343)8113所以当x ＝11时，y max ＝270元．综上所述，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元．课堂归纳小结解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型，这是解应用问题的难点所在；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题.1．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为( )A．y＝0.2x(0≤x≤4000)B．y＝0.5x(0≤x≤4000)C．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)D．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)[解析]　由题意得y＝0.3(4000－x)＋0.2x＝－0.1x＋1200.(0≤x≤4000)[答案]　C2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A．310元B．300元C．390元D．280元[解析]　由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1300)，可求得解析式y＝500x＋300(x≥0)，当x＝0时，y＝300.[答案]　B3．下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是( )①这几年生活水平逐年得到提高；②生活费收入指数增长最快的一年是2014年；③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年；④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．A ．1B ．2C ．3D ．4[解析]　由题意知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；“生活费收入指数”在2014～2015年最陡；故②正确；“生活价格指数”在2015～2016年最平缓，故③不正确；“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故④正确．[答案]　C4．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________．[解析]　(1)x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付(60＋80)－10＝130元．(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，当y <120元时，李明得到的金额为y ×80%，符合要求；当y ≥120元时，有(y －x )×80%≥y ×70%恒成立，即8(y －x )≥7y ，x ≤，y8因为min ＝15，所以x 的最大值为15.(y8)[答案]　(1)130　(2)155.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM 面积的最大值．[解]　(1)如图所示，延长NP 交AF 于点Q ，所以PQ ＝8－y ，EQ ＝x －4.在△EDF 中，＝，所以＝.EQ PQ EF FD x －48－y 42所以y ＝－x ＋10，定义域为[4,8]．12(2)设矩形BNPM 的面积为S ，则S ＝xy ＝x＝－(x －10)2＋50.(10－x2)12又x ∈[4,8]，所以当x ＝8时，S 取最大值48.课后作业(二十四)复习巩固一、选择题1．某厂生产中所需一些配件可以外购，也可以自己生产．如果外购，每个配件的价格是1.10元；如果自己生产，则每月的固定成本将增加800元，并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元，则决定此配件外购或自产的转折点(即生产多少件以上自产合算)是( )A ．1000件B ．1200件C ．1400件D ．1600件[解析]　设生产x 件时自产合算，由题意得1.1x ≥800＋0.6x ，解得x ≥1600，故选D.[答案]　D2．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本(单位：万元)为C (x )＝x 2＋2x ＋20.已知1万件售价是20万元，为获取更12大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．36万件B ．22万件C ．18万件D ．9万件[解析]　∵利润L (x )＝20x －C (x )＝－(x －18)2＋142，∴当x ＝18时，L (x )取最大12值．[答案]　C3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y ＝Error!其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )A ．15B ．40C ．25D ．130[解析]　若4x ＝60，则x ＝15>10，不合题意；若2x ＋10＝60，则x ＝25，满足题意；若1.5x ＝60，则x ＝40<100，不合题意．故拟录用25人．[答案]　C4．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A ．45.606万元B ．45.6万元C ．45.56万元D ．45.51万元[解析]　依题意，可设甲地销售x 辆，则乙地销售(15－x )辆，故总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(0≤x ≤15)，∴对称轴为直线x ＝10.2，又x ∈N *，∴当x ＝10时，S max ＝45.6.[答案]　B5．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝Error!(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A 件产品用时15 min ，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16[解析]　由题意知，组装第A 件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间cA 为＝30，解得c ＝60.将c ＝60代入＝15，得A ＝16.c 4cA [答案]　D二、填空题6．若等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为__________________．[解析]　由题意，得2x ＋y ＝20，∴y ＝20－2x .∵y >0，∴20－2x >0，∴x <10.又∵三角形两边之和大于第三边，∴Error!解得x >5，∴5<x <10，故所求函数的解析式为y ＝20－2x (5<x <10)．[答案]　y ＝20－2x (5<x <10)7．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y (km)与刹车时的速度x (km/h)的关系可以用y ＝ax 2来描述，已知这种型号的汽车在速度为60 km/h 时，紧急刹车后滑行的距离为b km.若一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3bkm ，则这辆车的行驶速度为________km/h.[解析]　由题意得a ×602＝b ，解得a ＝，所以y ＝x 2.因为y ＝3b ，所以b3600b 3600x 2＝3b ，解得x ＝－60(舍去)或x ＝60，所以这辆车的行驶速度是60 km/h.b 3600333[答案]　6038．某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为________元/瓶．[解析]　设销售价每瓶定为x 元，利润为y 元，则y ＝(x －3)＝80(x －3)(9－x )＝－80(x －6)2＋720(x ≥3)，所以x ＝6时，y 取得最(400＋4－x 0.5×40)大值．[答案]　6三、解答题9．某种商品在近30天内每件的销售价格P (元)和时间t (天)的函数关系为：P ＝Error!(t ∈N *)设该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q ＝40－t (0<t ≤30，t ∈N *)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？[解]　设日销售金额为y (元)，则y ＝PQ ，所以y ＝Error!(t ∈N *)①当0<t<25且t∈N*时，y＝－(t－10)2＋900，所以当t＝10时，y max＝900(元)．②当25≤t≤30且t∈N*时，y＝(t－70)2－900，所以当t＝25时，y max＝1125(元)．结合①②得y max＝1125(元)．因此，这种商品日销售额的最大值为1125元，且在第25天时日销售金额达到最大．10．医院通过撒某种药物对病房进行消毒．已知开始撒放这种药物时，浓度激增，中间有一段时间，药物的浓度保持在一个理想状态，随后药物浓度开始下降．若撒放药物后3小时内的浓度变化可用下面的函数表示，其中x表示时间(单位：小时)，f(x)表示药物的浓度：f(x)＝Error!(1)撒放药物多少小时后，药物的浓度最高？能维持多长时间？(2)若需要药物浓度在41.75以上消毒1.5小时，那么在撒放药物后，能否达到消毒要求？并简要说明理由．[解]　(1)当0<x≤1时，f(x)＝－x2＋4x＋40＝－(x－2)2＋44，∴f(x)在(0,1]上是增函数，其最大值为f(1)＝43；f(x)在(2,3]上单调递减，故当2<x≤3时，f(x)<－3×2＋48＝42.因此，撒放药物1小时后，药物的浓度最高为43，并维持1小时．(2)当0<x≤1时，令f(x)＝41.75，即－(x－2)2＋44＝41.75，解得x＝3.5(舍去)或x＝0.5；当2<x≤3时，令f(x)＝41.75，即－3x＋48＝41.75，解得x≈2.08.因此药物浓度在41.75以上的时间为2.08－0.5＝1.58小时，∴撒放药物后，能够达到消毒要求．综合运用11．拟定从甲地到乙地通话m min的电话费f(m)＝1.06·(0.50[m]＋1)，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]＝3，[3.7]＝4，[5.2]＝6)，则从甲地到乙地通话时间为5.5 min的通话费为( )A．3.71B．3.97C．4.24D．4.77[解析]　5.5 min的通话费为f(5.5)＝1.06×(0.50×[5.5]＋1)＝1.06×(0.50×6＋1)＝1.06×4＝4.24.[答案]　C12．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物定一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式是________．[解析]　设新价为b ，则售价为b (1－20%)．∵原价为a ，∴进价为a (1－25%)．依题意，有b (1－20%)－a (1－25%)＝b (1－20%)×25%，化简得b ＝a ，∴y ＝b ×20%·x ＝a ×20%·x ，即y ＝x (x ∈N *)．5454a 4[答案]　y ＝x (x ∈N *)a 413．渔场中鱼群的最大养殖量为m (m >0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x 小于m ，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．则y 关于x 的函数关系式为____________________．该函数的定义域是________．[解析]　根据题意知，空闲率是，故y 关于x 的函数关系式是m －x m y ＝kx ·，0<x <m .m －x m [答案]　y ＝kx ·　{x |0<x <m }m －x m 14．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．旅行社需付给航空公司包机费每团15000元．(1)写出飞机票的价格y (单位：元)关于人数x (单位：人)的函数关系式；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解]　(1)由题意，得y ＝Error!即y ＝Error!(2)设旅行社获利S (x )元，则S (x )＝Error!即S (x )＝Error!因为S (x )＝900x －15000在区间(0,30]上为增函数，所以当x ＝30时，S (x )取最大值12000元，又S (x )＝－10(x －60)2＋21000在区间(30,75]上，当x ＝60时，S (x )取得最大值21000.故当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润．。