一类具有阶段结构的非自治捕食-食饵系统的渐近性质

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一类具阶段结构的捕食者-食饵模型的周期解

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周期解
这一节主要讨论系统（"）的周期解 0 为此，必须讨论平衡点的稳定性及种群的持续生存性 0 定义 #"$ 系统（"）被称为是一致持续生存的，如果存在正常数 ) ! ， ) " 使得系统的任意一个正解（ 2）（ 2） ) ! " 3.4 .56 1 " 3.4 8’9 1 " )"
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众所周知，捕食者食饵模型是非常重要的种群模型 ! 文献［& " @］中考虑的食饵种群多是受密度制约的，当不存在捕食者时食饵的增长率（具有 E(F9739> 形式或满足 #% （ $ ）& $ ! 然而有些种群在数量很小时 # $）无密度制约，当达到一定数量后受密度制约 ! 这时（可具有如下形式： # $）（ # $ ）’
第 !" 卷
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西南师范大学学报（自然科学版）
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捕食者具有阶段结构与食饵具有脉冲扰动的捕食系统

Ｉ（）１）ｚｆｔｒｎＮ，ｚｔ＝（一一（，＝， ∈ ）
令＝
（．）１７
０（＜那么由系统（．的第一个方程，们有＜：），ｆ１２）我
（ ≥ ｆ，口￡（一— ｆ，ｆ（（一ｌ）））１ — ＿（））
局近定。＜么渐稳的果
（ｅ￣）有唯一的正不动点ｘ：ｒ－１・一ｂｌ＿５－－ｒ０
Ｉｏｒ。ｘ＝（１１ｎｅｒ－￣￣）＝
的任一解．我们考虑不等式
ｌｔ）ｆ（一（，ｄ ≤… … ｆ）（）
２１０１年第１０期【总第１６期）４
大众科技
ＤＡＺＨｏＮＧＪＫＥＩ
Ｎｏ１２０１．０。１
（ｕｌｉｌＮｏ１６Ｃｍｕａｖｙ．４）ｔｅ
捕食者具有阶段结构与食饵具有脉冲扰动的捕食系统
余敏 ’ 程建玲２
由（．）和（．）的第二个方程，ｔｎＴ＋时１８１２当 ≥ ｏ
定理ｌ
如果
（＝１－）那么当一ｅｒＴ
（．）有一个捕食者灭绝的１２，其中
Ｙ（＝ｅ２ｆｆ一；＋２（ｙＯ一ＹＯ，２）Ｏ一Ｙ（））ａｘｔ２）７２）ｔ — ）
（．１５）
刍；ｒ一，＇・，ｊ一，（））＝（＝ｎ＝，ｎ，ｃ，：
统（．）１有唯一的正周期解Ｘ（，且是全局渐近稳定。４木ｆ）
因此当ｔｎ（＋）） Ⅳ 时，系统（．）有一个捕食者灭 ∈（Ｔ ” １，ｒ ∈ １２

一类带阶段结构的食饵—捕食者交错扩散模型的非线性不稳定性

一类带阶段结构的食饵—捕食者交错扩散模型的非线性不稳定性一类带阶段结构的食饵—捕食者交错扩散模型的非线性不稳定性摘要：本文研究了一类带阶段结构的食饵—捕食者交错扩散模型的非线性不稳定性。

我们首先建立了该模型的数学表达式，并引入了阶段结构的概念。

然后，我们通过分析该模型的稳定性来探讨阶段结构对模型动力学行为的影响。

最后，通过数值模拟验证了我们的理论结果，并讨论了模型的生态意义。

本研究对于理解阶段结构在食饵—捕食者交错扩散模型中的作用具有重要意义。

1. 引言生态系统中的食物链关系是复杂而精密的，其中食饵和捕食者之间的相互作用是重要的研究内容。

近年来，研究者们发现，食饵和捕食者的阶段结构对于模型的动力学行为有着重要的影响。

然而，在过去的研究中，大多数模型都假设食饵和捕食者的种群是均匀分布的，这忽略了阶段结构的作用。

因此，我们需要研究一类带阶段结构的食饵—捕食者交错扩散模型的非线性不稳定性。

2. 建模我们考虑一类带有阶段结构的食饵—捕食者交错扩散模型，该模型的数学表达式如下：$$\begin{align*}\frac{\partial u}{\partial t} &= d_1 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \gamma u(1-\frac{u}{K}) - \alpha uv^m, \\\frac{\partial v}{\partial t} &= d_2 \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \alpha u v^m - \beta v.\end{align*}$$其中，$u(x,t)$表示食饵的种群密度，$v(x,t)$表示捕食者的种群密度，$d_1$和$d_2$是出现在扩散项中的常数，$\gamma$是食饵的自然增长率，$K$是食饵的最大容量，$\alpha$和$\beta$是食饵和捕食者之间的相互作用强度，$m$是一个正的常数。

一类具有非饱和功能反应的食饵-捕食者系统的定性分析

（）３的解在２内均为最终有界的．＋据此，根据动
力系统流形理论ｕ可知系统（）有界正半轨 ¨，３的线不会进入不稳定点Ｏ（，）ｆ＋。时都将００当叶。进入稳定的焦（）Ｃ（０．结点ｘ，）
当Ａｒ＋Ａｒ＜Ａ＜３２２３４ｌＡｒＡｒ，＋５３４时ｑ＞ＯＰ＞０，
于是，据ＢｎｉｓｎＤｌｃ判据得到下面的根ｅｄｘｏ — ｕａ定理．定理２如果。２Ａ＜ｒ＋３３，＞ｒ且ｌ２Ａｒ则
可适地取够的－，警㈨０以当选足大｜０得ｆ．ｉ使＜｝＞
第５期
李玉辉：具有非饱和功能反应的食饵一一类捕食者系统的定性分析
（）ｏｏ０点处，Ｉ在（，）易知系统（）３的线性系
统系数矩阵．的特征方程为，。
Ａ＋ｐＡ＋ｑ＝０，＝一ｔｏ＝一Ａｌ＋Ａ０，＝Ｐｒｑ
【＝（ｄｅｄｙ一＋ｙｔｃ
收稿日期：０ｌＩ２１２３作者简介：李玉辉（９４）男，１５一，辽宁盘锦人，北方工业学校讲师，主要从事微分方程应用方面的研究
１系统（）知，３在２＋内的正平衡点ｆ（。Ｙ）ｔｘ，不存ｏ
在，Ｃｘ，）是系统（）而（０点３的稳定焦（），结点０
（，）００点是系统（）３的鞍点；由引理２知，再系统
—
５３）ｇｄｔ＝４Ｙ．Ａｒ，＝ｅ４厶 ÷０ｏｏ

几类种群生态学模型动力学分析

摘要摘要本文利用常微分方程和泛函微分方程的相关理论，讨论了几类种群生态学模型的动力学性质.本文共由五章组成：第一章,介绍了本文的研究目的、意义以及本文的主要工作.第二章，研究了一类具有阶段结构的非自治捕食者—食饵系统和一类具Holling IV类功能反应的非自治捕食者—食饵系统，通过利用微分方程定性理论证明该系统在适当条件下是一致持久的；并且当系统是周期系统时，利用泛函分析的Brouwer 不动点定理和构造Lyapunov函数的方法，得到该系统周期正解唯一存在且全局渐近稳定的充分条件；对更具普遍意义的概周期现象，也得到了概周期正解存在且全局渐近稳定的充分条件.第三章，基于综合害虫管理策略，提出并研究了一类具有脉冲效应和Holling IV 类功能反应的捕食者—食饵系统，利用脉冲比较定理、Floquent乘子理论及微小扰动法，得到害虫灭绝周期解的局部渐近稳定性与系统持续生存的充分条件，所得结论为现实的害虫治理提供了可靠的策略依据.第四章，运用时滞微分方程的基本理论和脉冲微分方程的比较定理、周期解存在定理，研究了两类具有功能反应和一个固定脉冲时刻的时滞捕食者—食饵系统，得到了食饵灭绝周期解的全局吸引和系统持久的充分条件，也证明了系统所有解的一致完全有界，所得结论为现实的生物资源管理提供了可靠的策略依据，也丰富了脉冲时滞微分方程的理论.第五章，就全文进行了总结，指出了研究中还没有解决的问题，并对以后要研究的工作进行了展望.关键词:捕食者—食饵系统；一致持续生存；脉冲效应；灭绝性；全局吸引AbstractAbstractIn this thesis, dynamical behaviors of serveral types of population models in ecology are studied by using the theory of ordinary differential equation and functional differential equation. It is composed of five chapters.In Chapter 1, the goal, significance and the main works of this thesis are introduced.In Chapter 2, a predator-prey system with nonautonomous stage-structure and a nonautonomous predator-prey system with Holling IV functional response are studied. It is proved by differential equation qualitative theory that the system is persistent under proper conditions. Also, when the system is periodic, by using Brouwer fixed point theory and the way of constructing Lyapunov function, the sufficient conditions are obtained for the unique existence and global asymptotic stability of the periodic positive solution of the system. With respect to the general almost periodic system, we also obtain the sufficient conditions for the existence of general periodic positive solution as well as globally asymptotic stability．In Chapter 3，based on the strategy of integrated pest management, a predator-prey system with impulsive effect and Holling IV functional response is proposed and studied. By using impulsive comparison theorem, Floquent theory and small amplitude perturbation skill, the sufficient conditions for local asymptotic stability of pest-eradication periodic solution and permanence of the system are obtained.The results provide reliable tactical basis for the practical pest management.In Chapter 4，by using delay differential equation basic theory , comparison theorem and periodic solution existing theorem of impulsive differential equation, sufficient conditions which guarantee the global attractivity of prey-extinction periodic solution and permanence of the system are obtained. It is also proved that all solutions of the system are uniformly ultimately bounded.The obtained results provide reliable tactical basis for the practical biological resource management and enrich the theory of impulsive differential equation.In Chapter 5，we summarize the whole paper and point out the problems that are still unsolved in the research .Moreover, the future study is prospected.Key words: predator-prey system；uniform persistence；impulsive effect；extinction;global attractivity目录摘要 (I)Abstract (II)目录 (III)第一章绪论 (1)§1. 1引言 (1)§1. 2研究目的及意义 (2)§1. 3本文的主要工作 (3)第二章非自治捕食者-食饵系统 (4)§2. 1 引言 (4)§2. 2一类具有阶段结构的非自治捕食者-食饵系统的研究 (4)2. 2. 1预备知识 (5)2. 2. 2一致持久生存性 (5)2. 2. 3周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性 (6)2. 2. 4概周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性 (7)2. 2. 5小结 (9)§2. 3具Holling IV类功能反应的捕食者-食饵系统的研究 (9)2. 3. 1预备知识 (10)2. 3. 2一致持久性 (11)2. 3. 3周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性 (12)2. 3. 3结论 (13)第三章一类基于IPM策略的具有脉冲效应的捕食者-食饵系统 (14)§3. 1引言 (14)§3. 2具有脉冲效应和Holling IV类功能反应的捕食者-食饵系统分析 (14)3. 2. 1预备知识 (15)3. 2. 2灭绝性与持久生存性 (17)§3. 3本章小结 (22)第四章两类具时滞和脉冲作用的捕食者-食饵系统的动力学分析 (23)§4. 1引言 (23)§4. 2一类时滞脉冲捕食食饵-系统的全局吸引性和一致持久 (23)4. 2. 1预备知识 (24)4. 2. 2主要结果 (25)4. 2. 3小结 (29)§4. 3食饵具脉冲扰动与捕食者具连续收获的时滞捕食者-食饵系统的动力学行为 (30)4. 3. 1预备知识 (30)4. 3. 2主要结果 (31)4. 3. 3小结 (36)第五章总结与展望 (37)§5. 1 本文研究工作的总结 (37)§5. 2 对今后研究工作的展望 (37)参考文献 (38)致谢 (43)作者在攻读硕士期间主要研究成果 (44)第一章绪论§1. 1引言种群生态学是生物数学中的主要分支，在现实生活中发挥着越来越重要的作用. 种群生态学的研究主要通过建立符合生物发展规律的数学模型，然后利用相应的数学理论和方法对模型进行推理和求解，进而发现其演化规律.微分方程是研究种群生态学的重要理论和方法.人们利用微分方程建立生态数学模型来研究和解决生态学实际问题，并取得了巨大的成功[1-2].从单种群系统到多种群系统,从自治微分动力系统到非自治微分动力系统，从连续动力系统再到脉冲微分系统，生物动力系统经历了一个百年迅速发展的过程,所建立的数学模型越来越能真实确切地反映生命现象的本质及其发展过程.由于整个自然环境常随时间而改变，自治的生物模型无法刻画这一因素,而时变环境下非自治的生物系统能够更加准确的反映现实.因此非自治系统吸引了学者和专家的重视与兴趣并取得了大量的成果[3-7]，主要是研究系统的全局渐近稳定性、持久性、周期解的存在性等.脉冲微分方程作为20世纪末发展特别迅速的一个数学分支，是描述某些运动状态在固定或不固定时刻的快速变化或跳跃，它能更真实地反映自然界中一些瞬时突变的现象.在种群动力学中，很多自然现象或因素都需要用脉冲微分方程来描述才能更加真实的反映自然界事物变化规律，因此它比普通微分方程有更丰富的内容和性质.目前，脉冲微分方程在生物种群中的研究应用主要集中在脉冲发生在固定时刻的情况，对食饵-捕食者系统的研究结果较多.§1. 2研究目的及意义§1.2.1 非自治捕食者—食饵系统在自然界中，捕食现象是普遍存在的，所以对捕食模型的研究显得尤为重要.通过研究捕食模型的稳定性、持久性来解释和预测种群的发展趋势，这对于保持良好的生态平衡，保护生物种群的多样性，维持生态系统的可持续发展有着重要的指导意义.因此，捕食者与食饵之间的相互作用关系一直以来都是生物数学界与生态学界的一个重要的研究课题.在经典的微分系统中，总是假设系统的参数是不随时间的变化而变化的，即通常考虑的是自治系统的情形，这时我们通常研究系统平衡点的性态或极限环周围解的性质.一般来说，在环境不发生巨大的变化，不进行人为的破坏，生态系统的发展过程分布比较均匀，把系统的参数看做是常数有一定的合理性，并且有利于人们建立、分析与研究生态模型.然而，在现实世界中，很多生物种群的增长经常会受到很多自然因素的影响，如季节的影响、生存空间、食物供给的丰富性、种群的交配与生殖等，从而产生波动.也就是说，模型的有关参数往往是与时间有关的，所以研究非自治的捕食者—食饵系统具有重要的实际生物意义.但其不足之处有：(1)考虑环境及种群干扰因素过于简单；(2)对于多种群生物系统,没有较完善的数值模拟的方式从图形上来说明；(3)对于非自治生物系统考虑具有Holling IV功能、避难所和干扰常数的研究很少.对于非自治系统的研究完全可以考虑多种外界因素的干扰[8],以便使模型更贴近现实，达到更合理保护或控制生物.自然界中有很多现象呈现周期性的变化，如气候、昼夜更替、季节变化等，因此生物的生存环境是随时间而周期改变的.近些年来，很多学者对非自治周期系统进行了大量的研究，得到了周期正解和概周期解的存在唯一性和全局渐近稳定性.§1.2.2脉冲微分方程近年来，人们发现自然界中许多实际现象的发展过程并不是连续的，即系统受到一个短时间的外部作用，尽管这个短暂的干扰时间同整个发展过程相比较可以忽略不计，但是它可以改变系统的状态，导致物种的数量突变，若用连续动力系统去描述这些行为，则必定会与实际相差很大，因此不能单纯地用差分方程或微分方程来处理.而脉冲微分方程为研究这种在一个阶段是连续发展，而在一些时间点上是脉冲式的瞬间干扰行为提供了有力的工具，它能恰当的描述连续与脉冲相结合的自然现象.生物种群系统的许多自然现象和人为干预因素都需要用脉冲微分方程来描述.如：生育脉冲[9-10]，物种的迁徙，接种疫苗，生态环境的剧变对种群的影响.在渔业生产中，鱼苗的放养和成鱼的收获是周期性地发生而且是短时间完成的[11]. 在农业生产中，人们经常利用定期投放天敌和喷洒杀虫剂结合起来去控制害虫，即害虫的综合管理策略[12]. 投放天敌和喷洒杀虫剂是瞬时的、不连续的脉冲行为.在微生物培养中，培养基的脉冲输入[13-14].脉冲微分方程是在常微分方程的基础上发展起来的，其突出的特点是能充分考虑到瞬间变化对状态的影响，能够更合理、更精确地反映事物的变化规律.因此，许多学者对脉冲微分方程理论做了广泛而深入的研究.如文献[15]研究了时滞脉冲微分方程解的存在性、可微性与延拓性，文献[16]研究了脉冲微分方程系统的稳定性, 文献[17]研究了解的振动性, 等等.脉冲微分方程是非线性微分系统的一个分支.脉冲微分方程的研究始于20世纪60年代，近三十年来，脉冲微分方程的理论和方法得到了迅速发展[18-19]，已形成一个比较完整的学术体系，被广泛地应用于生物控制、传染病动力学、种群动力学、药物动力学、分子学、遗传学及生物控制论等方面.其代表成果有：癌细胞的化疗[20],脉冲收获[21], 种群生态学[22], 脉冲控制[23-24], 等等.尽管很多学者为脉冲微分方程在各领域的应用做了广泛的研究，但脉冲微分方程在种群动力学和传染病动力学的应用研究中，尚存在某些研究的空白.脉冲微分方程的定性理论尤其是状态依赖的脉冲微分方程的定性理论还处在起步阶段，脉冲自治系统的几何理论几乎是空白的.此外，脉冲从理论转入应用还有一定的困难，在应用方面，特别是在生命科学中的应用，还相对较少.而在最近十年，又不断地向时滞脉冲微分方程推进[25-26].脉冲种群系统与不含脉冲的种群动力系统相比，有着更加复杂的动力学性质.若同时考虑具有时滞和脉冲的种群系统，二者交织会影响解的性态，因此具有更加复杂的性质，其研究就更加困难，而且可供参考的文献不是很多，但这类种群模型是大量存在的，所以研究这类种群模型具有很重要的实际意义和很好的发展前景.§1.3 本文的主要工作本文运用微分方程定性理论、脉冲比较定理、Floquent乘子理论等方法，研究了非自治动力系统和脉冲微分系统的动力学性质，具体如下：第二章，分为两个部分，利用微分方程定性理论、泛函分析的Brouwer不动点定理和构造Lyapunov泛函的方法，讨论了一类食饵具有阶段结构的非自治捕食者—食饵系统和一类具Holling IV类功能反应的非自治捕食者—食饵系统，证明该系统在适当条件下是一致持久的，并且当系数分别为周期函数、概周期函数时，得到了该系统周期正解与概周期正解唯一存在且全局渐近稳定的充分条件.第三章，以农业生产中的害虫治理为背景，利用脉冲比较定理、Floquent乘子理论及分析的方法，建立并讨论了一类在固定时刻具有脉冲效应和Holling IV类功能反应的捕食者—食饵系统，得到了系统的一致最终有界性，并给出食饵灭绝周期解的局部渐近稳定性与系统持续生存的充分条件，所得结论为现实的害虫治理提供了可靠的策略依据.第四章，分为两个部分，分别对两类时滞脉冲微分系统作了讨论.运用时滞泛函微分方程的基本理论和脉冲微分方程的比较定理、周期解存在定理，得到了系统食饵、捕食者灭绝周期解的全局吸引和系统持久的充分条件，也证明了系统所有解的一致完全有界，所得的结论为现实的生物资源管理提供了可靠的策略依据，也丰富了脉冲时滞微分方程的理论.第二章非自治捕食者—食饵系统§2. 1 引言捕食者—食饵系统是生态学中一类非常重要的种群系统,许多学者对它进行广泛而深入的研究，并取得了大量的成果[27-33].在自然界中，种群在其成长发育的不同阶段，会表现各种不同的特征，而且其各项生理机能差别较大，如捕食能力，竞争能力，扩散率等等.因此，研究具有阶段结构的捕食模型具有很重要的现实意义，文[27-28]究了具有阶段结构的自治捕食系统.相比自治的微分方程而言，时变的微分系统[29-31]真实地描绘现实世界，比如：如果考虑气候改变，食物来源结构改变等环境因素的变化，自治的生物模型无法刻画这一因素，而时变微分系统能发挥着重要的作用，能够更加准确地描述现实的生命科学体系.由于季节的周期变化,生物的生存环境的周期变化,从而生物的一些习性,如体温、交配等也表现为周期性.这种周期性往往会影响种群的数量,并且可能导致一些周期性结果.因此,考虑时变环境下系统的参数,如内禀增长率、种群间的竞争系数、种群内的竞争系数等，为周期变化的是符合实际的.此外,在研究自然现象和社会现象中,我们考虑种群和环境、种群和种群之间等等的因素（如功能反应函数、种群干扰现象和阶段结构等等）是各异的.因此对时变环境下的非自治系统进行详细的研究不仅仅理论上的必要性而且还有重要的现实性.本章讨论了一类具有阶段结构的非自治捕食者—食饵系统和一类具Holling IV 类功能反应的非自治捕食者—食饵系统，通过利用微分方程定性理论、泛函分析的Brouwer 不动点定理和构造Lyapunov 函数的方法，对系统的一致持续生存性、周期正解的存在唯一性和渐近稳定性、概周期正解的存在唯一和全局渐近稳定性进行研究，得到出现各种动力学性质的充分条件.§2. 2 一类具有阶段结构的非自治捕食者—食饵系统的研究文[29]中考虑了如下的系统：1112222333()()()x x a b x c y yy a b x c y d z z z a b y c z =--⎧⎪=+--⎨⎪=-+-⎩ ，，，通过利用代数方程、Hurwitz 判别法则，得到了该系统平衡点的存在性、稳定性等相关的结论.本节在文[29]基础上假设环境随时间是周期或概周期变化下,针对食饵的年龄结构，把被捕食群体区分为成年群体和幼年群体，考虑到它们在系统中的不同作用，建立一类非自治具有阶段结构的捕食-被捕食模型.具体模型如下：1112222333()()(()()()()())()()(()()()()()()())()()(()()()()()).x t x t a t b t x t c t y t yt y t a t b t x t c t y t d t z t z t z t a t b t y t c t z t =--⎧⎪=+--⎨⎪=-+-⎩ ，， (2-2-1) 其中()x t ，()y t 1()a t 12(),(c 分别为幼年食饵和成年食饵在t 时刻的密度，为捕食者种群在t 时刻的密度.，分别为食饵幼体和成体的内禀增长率，为捕食者种群的死亡率.为种内密度制约因素，()z t 3(a t ()()t y t 2()a t 3),()c t )b t t 1()c t x -，，，表示种群间的相互作用. 2()()b t x t y =1,2,3),2d ()t ()t 2-()()d t y ()z t t 3()b t y ()()t z t (),a t b (),i i i t c ()t (i 是[0上连续的严格正函数，并且满足,)+∞2min{,,,}0L L L L i i i a b c d >，2max{,,,}M M M M i i i a b c d <+∞，()1,2,3i =，对于一个连续有界函数，记()h t inf{():}L h h t t R +=∈，.sup{():}M h h t t +=∈R §2.2.1 预备知识引理2.2.1[30]设是非负可微函数，若()g t (),g t M M '<为一正常数，且0(),g t dt +∞<+∞⎰则.lim ()0t g t →+∞=引理2.2.2（Brouwer 不动点定理）设n R 是维欧几里德空间，是n A n R 的一个有界凸集，f 是A A →的一个连续映射，那么必有x A ∈，使得()f x x =.定义 2.2.1[34] 系统(2-2-1)是一致持续生存的是指：如果存在正常数和m M ，使得对于系统(2-2-1)的任何正解()((),(),())X t x t y t z t =都存在T ，当t 时有，即. 0>T ≥()m X t M ≤≤lim inf m X →∞()lim sup ()t t t X t →∞≤≤M ≤§2.2.2 一致持续生存性由于一致持久性对于生物系统而言可以解释为种群最终不会消亡，因此对生物系统一致持久性的研究具有特别重要的意义，下面我们给出系统(2-2-1)的一致持久性结果.定理2.2.1 3R +=(){}(),(),()()0,()0,()0x t y t z t x t y t z t >>>是系统(2-2-1)的正向不变集. 证明对于任意和([0,)t ∈+∞(0),(0),(0))x y z 3R +∈，1110()(0)exp{[()()()()()]}0,t x t x a s b s x s c s y s ds =--⎰>>> 22220()(0)exp{[()()()()()()()]}0,ty t y a s b s x s c s y s d s z s ds =+--⎰ . 3330()(0)exp{[()()()()()]}0tz t z a s b s y s c s z s ds =-+-⎰故3R +是系统(2-2-1)的正向不变集..定理2.2.2 若系统(2-2-1)的系数满足条件110L M a c H ->，，22120L L M a b m d H +->3320M L a b m -+>, (2-2-2)则123{((),(),())|(),(),()}x t y t z t m x t H m y t H m z t H Ω=≤≤≤≤≤≤是系统(2-2-1)的最终有界区域，其中：第二章非自治捕食者—食饵系统1111L M M a c H m b -=1ε-，2212222L L M M a b m d H m c ε+-=-，332333M L M a b m m c ε-+=-，(1,2,3i i )ε= 是任意小的正数.证明考虑函数，则有123()()()()s t w x t w y t w z t =++()()st s t λ+= 1111122222(()()())()(()()())(w a t w w b t x t x t w a t w c t y t w y )t λλ+-+-+ 333331122(()()())()(()())()()w a t w w c t z t z t w c t w b t x t y t λ+-+-+-+2233(()())()()w d t w b t y t z t +-+. (2-2-3)令111()()k t w a t w 1λ=+，222()()k t w a t w 2λ=+，333()()k t w a t w 3λ=-+．选取3M a λ>，使 ()0i k t >(1,2,3i =)代入(2-2-3)有111222()()(()()())()(()()())()st s t k t w b t x t x t k t w c t y t y t λ+=-+- +3331122(()()())()(()())()()k t w c t z t z t w c t w b t x t y t -+-+2233(()())()()w d t w b t y t z t +-+，在上式中令2112()()()b t w t c t =，，21w =233()()2()d t w t b t =，选取t 使，，则有 11w ≥21w ≥111222333()()(()()())()(()()())()(()()())()st s t k t w b t x t x t k t w c t y t y t k t w c t z t z t λ+≤-+-+- =2112212()()()())()(()()())()()b t b t k t x t x t k t c t y t y t c t -+-(2333()()(()())()2()d t c t k t z t z t b t +-. 由于上面不等式的右端所有的二次项系数均为负的，所以存在常数，使得0k > ()()st s t k λ+≤ ，即 ()(())k s t s t λλ≤- ，从而有lim sup ()t k s t λ→∞≤　. 因此，对任给小的0ε>，存在T ，当时，有1t T >()k s t ελ≤+. 令,kH ελ=+当时，有 1t T >()x t H ≤，()y t H ≤，()z t H ≤.另外，由系统(2-2-1)中第一个方程，有111111()()(()()()()())()(())L M M xt x t a t b t x t c t y t x t a b x t c H =--≥-- ，所以 111lim inf ()L M M t a c H x t b α→∞-≥=. 因此，对任给10εα<<，存在，当时，有2T T >12t T >1()x t αε≥-.令11m αε=-，当时，有 2t T >1()x t m ≥. (2-2-4)同理可证：存在和，当，有 20m >3T T >23t T >2()y t m ≥ . (2-2-5)存在和，当，有 . (2-2-6)30m >4T T >34t T >3()z t m ≥综合式(2-2-4)、(2-2-5)和(2-2-6)可得，当时，有4t T ≥()(),(),()x t y t z t ∈Ω.因此，Ω是系统(2-2-1)的最终有界区域.定理2.2.3 若条件(2-2-2)成立，则系统(2-2-1)是一致持续生存.证明由定理2.2.2易得结论.§2.2.3 周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性设是[02(),(),(),()(1,2,3)i i i a t b t c t d t i =,)+∞上连续和严格正的ω周期函数，且有上下界，则系统(2-2-1)是一个ω周期系统.定理2.2.4 若条件(2-2-2)成立，且系统(2-2-1)还满足111122233332()2()()()0,()0,()()2()()0a t m b t c t m b t c t a t b t H c t m d t -++->>-++>，(2-2-7) 则系统(2-2-1)有唯一的全局渐近稳定的ω周期正解.证明 {}123((),(),())|(),(),()x t y t z t m x t H m y t H m z t H Ω=≤≤≤≤≤≤为有界闭凸集，且为系统(2-2-1)的正不变集，定义Poincare 映射3:A R R 3++→，使得 00()(,)A x x x ω=， 03x R +∈，则A 映射到自身，即. 由解对初值的连续依赖性可得Ω()A Ω⊂ΩA 连续.由Brouwer 不动点定理，在Ω中映射A 至少存在一个不动点，相应地系统(2-2-1)至少存在一个严格正的ω周期解.设1111()((),(),())p t x t y t z t =是系统(2-2-1)的ω周期正解，()((),(),())p t x t y t z t =是系统(2-2-1)任意一具有正初值的解，构造Lyapunov 函数：111()()()ln ()ln ()()()v t x t x t y t y t z t z t =-+-+-，则 11()(()()ln ()ln ()()())D v t D x t x t y t y t z t z t ++=-+-+-111(()())(ln ()ln ())(()())D x t x t D y t y t D z t z t +++≤-+-+-1=11(()())sgn(()())x t x t x t x t -- +111()()(()())()()yt y t y t y t y t y t -- +. 11(()())sgn(()())zt z t z t z t -- 由11(()())sgn(()())xt x t x t x t -- 1sgn(()())x t x t =-11[()(()())a t x t x t -2211()(()())b t x t x t --11()(()()()())]c t x t y t x t y t --111= 11()(()())sgn(()())a t x t x t x t x t --12211()(()())sgn(()())b t x t x t x t x t ---111()(()()()())sgn(()())c t x t y t x t y t x t x t ---11111()()()()(()())(()())sgn(()())a t x t x t b t x t x t x t x t x t x t ≤---+-11111()(()()()())sgn(()())c t x t y t x t y t x t x t ---1111112()()()2()()()()()()a t x t x t m b t x t x t c t m x t x t ≤-----1，同理可证: 111()()(()())()()y t y t y t y t y t y t -- 21212()()()()()()()()()b t x t x t c t y t y t d t z t z t ≤---+-1， 11(()())sgn(()())zt z t z t z t -- 313133()()()()()()2()()()a t z t z t b t H z t z t c t m z t z t ≤--+---1 所以 1111221()(()2()()())()()D v t a t m b t c t m b t x t x t +≤--+-+2133332(())()()(()()2()())()()c t y t y t a t b t H c t m d t z t z t --+-+-+-1t .令， 111122233332min{()2()()(),(),()()2()()}a a t m b t c t m b t c t a t b t H c t m d =-++--+-由11()(()()()()()())D v t a x t x t y t y t z t z t +≤--+-+-1，得111()()(()()()()()()s 0tT v t v T a x s x s y s y s z s z s d -+-+-+-≤⎰），111()(()()()()()())tTv T x s x s y s y s z s z s ds a-+-+-≤<⎰∞. 则有1lim ()()0t x t x t →∞-=，1lim (t)()0t y y t →∞-=，1lim ()()0t z t z t →∞-=.这说明系统(2-2-1)的ω周期正解是全局渐近稳定的，从而也说明了周期解的唯一性.§2.2.4 概周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性概周期现象以周期现象作为它的特例，在生态学中更具有实际意义，设，是(),(),()i i i a t b t c t (123i =，，)2()d t [)0+∞，上连续的严格正概周期函数，于是得到如下的概周期系统：1112222333()()(()()()()())()()(()()()()()()())()()(()()()()())(0)0,(0)0,(0)0.x t x t a t b t x t c t y t yt y t a t b t x t c t y t d t z t z t z t a t b t y t c t z t x y z =--⎧⎪=+--⎪⎨=+-⎪⎪>>>⎩ ,,-, (2-2-8) 考虑系统 (,)xf t x = ，(,)(,)n f t x C R D R ∈⨯， (2-2-9) 其中是D n R 的一个开集，(,)f t x 是关于t 对n x R ∈上是一致概周期的，对式(2-2-9)的伴随系统(,),(,)x f t x y f t y == . (2-2-10) 引理设存在定义在[上的Lyapunov 函数，满足[35]2.2.3)0,D D +∞⨯⨯(,,)V t x y ()()(,,)(),i a x y V t x y b x y -≤≤-其中和是连续、递增的正定函数； ()a r ()b r 11221212()(,,)(,,){},0ii V t x y V t x y k x x y y k -≤-+->是一个常数；()(,,)iii D V cV t x y +≤-00t t ≥≥S ⊂，这里是一个常数，并且设系统(2-2-9)有一个解，对一切落在紧集内，则系统(2-2-9)在中有唯一概周期解，且此解在上一致渐近稳定.0c >D S D 定理2.2.5 若系统(2-2-8)满足条件(2-2-2)和(2-2-7)，则概周期系统(2-2-8)存在唯一且全局渐近稳定的概周期正解.证明由定理2.2.2和定理2.2.3知，系统(2-2-8)是一致持续生存的，为这个一致持续生存域，显然Ω是紧集，考虑系统(2-2-8)的伴随系统： Ω11111111122121211133131111()()(()()()()()),()()(()()()()()()()),()()(()()()()()),(0)0,(0)0,(0)0.x t x t a t b t x t c t y t yt y t a t b t x t c t y t d t z t z t z t a t b t y t c t z t x y z =--⎧⎪=+--⎪⎨=-+-⎪⎪>>>⎩ ，1111()((),(),())P t x t y t z t =11111111122121211133131111()()(()()()()()),()()(()()()()()()()),()()(()()()()()),(0)0,(0)0,(0)0.ut u t a t b t u t c t v t vt v t a t b t u t c t v t d t w t w t w t a t b t v t c t w t u v w =--⎧⎪=+--⎪⎨=-+-⎪⎪>>>⎩ .1111()((),(),())Q t u t v t w t =在上定义Lyapunov 函数：[0,)+∞⨯Ω⨯Ω 11111111(,,)()()()()()()V P Q x t u t y t v t z t w t τ=-+-+-.取111111()()()()()()()()a r b r x t u t y t v t z t w t ==-+-+-，则为连续递增的正定函数，所以满足引理的条件.(),()a r b r ()V t 2.2.3()i 设是系统(2-2-8)在[0上任意两个解，则有 22222222((),(),()),((),(),())P x t y t z t Q u t v t w t ,)+∞⨯Ω⨯Ω1122(,,)(,,)V t P Q V t P Q -=111111222222()()()()()()()()()()()()x t u t y t v t z t w t x t u t y t v t z t w t -+-+------- 121212121212()()()()()()()()()()()()x t x t y t y t z t z t u t u t v t v t w t w t ≤-+-+-+-+-+-1212P P Q Q =-+-.所以满足引理的条件.()V t 2.2.3()ii 与定理2.2.4的证明相类似，有下式成立：111111111()()()()()()()()()()D V t A t x t u t B t y t v t C t z t w t +≤------，其中111112212313332()()2()()(),()()(),()()2()()A t a t m b t c t m b t B t c t b t H C t a t c t m d t =-++-=-=++111min{(),(),()}0,r A t B t C t =>()()D v t rv t +≤-()V t ()iii .取则，所以满足引理2.2.3的条件，从而由引理2.2.3可知系统(2-2-8)在Ω中有唯一正概周期解，它在中是一致渐近稳定的.当满足条件(2-2-2)和(2-2-7)时，可知其具有唯一全局渐近稳定的概周期正解.Ω§2.2.5 小结本节研究了一类食饵具有阶段结构而捕食者不分阶段的捕食者-食饵系统，由定理 2.2.2与定理 2.2.3可知,当系统参数满足110L M a c H ->，，时,系统是一致持久生存的,也就是这时各物种能够长期共存下去,这对于保护物种的多样性有重要意义.而通过定理2.2.4与定理2.2.5的证明，我们得出了该系统周期正解与概周期正解的唯一存在性和全局渐近稳定性的充分条件.22120LL M a b m d H +->3320ML a b m -+>§2. 3 具Holling IV 类功能反应的非自治捕食者—食饵系统的研究研究捕食系统，特别是具有功能反应的捕食系统有着十分重要的现实生态意义，已被许多学者广泛研究[36-42].而对于形式较为复杂的Holling IV 类功能性的捕食系统的研究较少.文[43]中研究了一类具有Holling IV 类功能反应的自治系统：22012()1()1xy x x a bx cx wx x rxy y y h h y wx x ββ⎧=---⎪++⎪⎨⎪=--+⎪++⎩ ,. 讨论了该系统平衡点的全局稳定性、极限环的唯一存在性.但是由于自然界中各种因素如：食物、环境等会随时间发生改变，因此考虑模型的有关参数与时间有关更符合客观实际，本节在文[43]的基础上分析了一类具有Holling IV 类功能性的非自治系统，讨论了其动力学性质.本文具体模型如下：22012()()()()(()()()()()),1()()()()()()()()()(()()()).1()()()()x t y t x t x t a t b t x t c t x t w t x t t x t r t x t y t y t y t h t h t y t w t x t t x t ββ⎧=---⎪++⎪⎨⎪=--+⎪++⎩ (2-3-11) 其中()x t 表示食饵种群在时刻的密度，表示捕食者种群在t 时刻的密度，是食t ()y t ()a t 饵的内禀增长率，2()/(1()()()())x t w t x t t x β++()t t 为Holling IV 类功能反应函数，表示捕食率.为食饵种群转化为捕食者的转化率.表示食饵的密度制约项，h t 表示捕食者种群的死亡率.()r t ()2()()()()b t x t c t x t --(),(),(),(),a t b t c t r t 01()h t y +0(),(),(),w t t h t β1()h t 是[0上连续和严格正的有界函数，并且满足；,)+∞{}01min ,,,,,,,0,L L L L L L L L a b c r w h h β>{}01max ,,,,,,,M M M M M M M M a b c r w h h β<+∞对于一个连续有界函数()f t ，记{}sup ():M f f t t R +=∈，{}inf ():L f f t t R +=∈.§2.3.1 预备知识设{}2((),())()0,()0R x t y t x t y t +=>>，由生物学意义，只在区域2int R +内考虑系统(2-3-11)，对解((),())x t y t 只考虑其具有正初值的情况，即000()0,()0,0x t y t t >>≥. (2-3-12)引理2.3.1 2R +是系统(2-3-11)的正向不变集.证明由系统(2-3-11)得到：202()()()exp{[()()()()()]}01()()()()tt y s x t x t a s b s x s c s x s ds w s x s s x s β=---++⎰>， 00012()()()()exp{[()()()]}01()()()()t t r s x s y t y t h s h s y s ds w s x s s x s β=--+++⎰>>>. 当时，必有.因此系统(2-3-11)满足正初值的解可以保持恒正，故00()0,()0x t y t >2()0,()0x t y t >R +是系统(2-3-11)的正向不变集. 引理2.3.2 对系统(2-3-11)满足正初值条件(2-3-12)的解((),())x t y t ，若满足条件0(M L L r h w >+ ， (2-3-13)则集合2{((),())0(),0()}T x t y t R x t N y t M +=∈<≤<≤是系统(2-3-11)的最终有界集，其中*M L a N N b >=，*M M >=N *N 与、*M 与M 充分接近.证明设((),())x t y t 是系统(2-3-11)满足正初值条件(2-3-12)的解，从而2((),())x t y t R +∈，由系统(2-3-11)的第一个方程知()()(())M L xt x t a b x t ≤- ，于是有lim sup ()ML t a x t b→+∞≤*N N =<. (1)若0()x t N ≤，则对有0t t ≥()x t N ≤；(2)若0()x t >N ，则存在0ε>，当00[,]t t t ε∈+时有()x t N >.由已知条件知()(N N a >())0M L x t xt b N ≤- <，故存在，当时，有100T t ≥≥1t T ≥()x t N ≤. 再由系统(2-3-11)的第二个方程知：012()()()(()1()(M L LL L r x t y t y t h h y t w x t x t β≤--+++ )1()(()1()()ML L L L r y t h h y t x t w x t β≤--+++01()(()M L L y t h h y t ≤--+.则*lim sup ()t y t M →+∞≤=M <.与前面讨论相同，若0()y t M ≤，则对有0t t ≥()y t M ≤；否则，存在，当时，有200T t ≥≥2t T ≥()y t M ≤.令{}01max ,T T =2T ，当时，有0(0t T ≥),0()x t N y t M <≤<≤，故集合是系统(2-3-11)的最终有界集. T§2.3.2 一致持久性定理2.3.1 设条件(2-3-13)成立，若满足：0L a M ->， 0()L M M r h G w 0-+>， (2-3-14) 则212{((),())(),()}x t y t R m x t N m y t M +Ω=∈≤≤≤≤是系统(2-3-11)的正不变集和最终有界集，则系统(2-3-11)是一致持久的. 其中*11L M Ma M m mbc N -<=+，*0221()()L M M M M r h G w m m G w h -+<=+，并且和足够接近(1. i m *i m ,2)i =证明由引理2.3.2知，存在，对所有的，是系统(2-3-11)的最终有界集.于是，由系统(2-3-11)的第一个方程知00T >0t T ≥()[T ()()()]L M M xt x b c N x t -+ t a ≥-M ，则 *11lim inf ()0L M M t a M x t m m b c N→+∞-≥=>+>1. (1) 若0()x t m ≥，则对有0t t ≥1()x t m ≥；(2) 若0()1x t m <，则存在0ε>，当00[,]t t t ε∈+时有1()x t m <，由已知条件知 11()()[()]0L M M x t m xt m a M b c N m <≥--+> 10，故存在，当时，有 3T T ≥3t T ≥1()x t m ≥. 再根据系统(2-3-11)第二个方程知12()()()(()1()(L M M M M r x t y t y t h h y t w x t x t β≥--+++ )1()(()1()()LM M M M r y t h h y t x t w x t β≥--+++令1()()()M f t x t 1(()m x t N ≤≤x t β=+)，则1111()max ,M M f t m m N ββ⎧⎫N G ≤++⎨⎬⎩⎭=，所以 01()()(())LMM Mr y t y t h h y t G w≥--++ ，则 *021()lim inf ()()L M M M M t r h G w 2y t m G w h →+∞-+≥=+m >. 与前面讨论相仿，若0()2y t m ≥，则对有0t t ≥2()y t m ≥；否则，存在，当 4T T ≥34t T ≥时，有 2()y t m ≥.由上述证明可知，当满足条件(2-3-13)、(2-3-14)时，存在，当时，恒有((.因此Ω是系统(2-3-11)的正向不变集和最终有界集，故系统(2-3-11)是一致持久的.40T >4t T ≥),())x t y t ∈Ω§2.3.3周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性下面假设(),(),(),(),a t b t c t r t 01(),(),(),()w t t h t h t β是[0,)+∞上连续的严格正函数，且有上下界，并且是周期为ω的光滑函数，则系统(2-3-11)是一个ω周期系统. 定理2.3.2 如果ω周期系统(2-3-11)满足条件(2-3-13)、(2-3-14)，则系统(2-3-11)至少有一个严格正的ω周期解.证明 {}12(),()((),())m x t N m y t M x t y t ≤≤≤≤Ω=为有界闭凸集，且为系统(2-3-11)的正向不变集，定义Pioncare 映射2:A R R 2++→，使得,00()(,)A x x x ω=02x R +∈,则映射A Ω到自身，即.由解对初值的连续依赖性可得映射是连续的.由Brouwer 不动点定理，在Ω中，A 至少存在一个不动点，相应地系统(2-3-11)至少存在一个严格正的()A Ω⊂ΩA ω周期解.定理2.3.3 若条件(2-3-13)、(2-3-14)成立，且系统(2-3-11)还满足21221122(1)M M M M M L LL L w M NM r r N b c m w m m βββ++++>++， (2-3-15) 2122111(1)M M LL L w N N h w m m ββ++>++ ， (2-3-16) 则系统(2-3-11)有唯一的、全局渐近稳定的ω周期正解. 证明设((),)()()x t z t y t =是系统(2-3-11)的ω周期正解，()((),())z t x t y t =是系统任一正解,构造Lyapunov 函数：()ln ()ln ()ln ()x t x t y t y t =-+-ln ()v t . 直接计算沿系统(2-3-11)的解的右上导数有()v t ()ln ()ln ()ln ()ln ()D v t D x t x t D y t y t +++≤-+- =(ln ()ln ())sgn(()())(ln ()ln ())sgn(()())d dx t x t x t x t y t y t y t y t dt dt--+--。

一类具有Ⅳ类功能反应的捕食者-食饵系统的极限环和全局稳定性

Ａｂｔａｔｓｒｃ：Ａｔｐ Ⅳ ｆｎｔｎｌｅｐｎｅｒｄｔｒ— ｐｅｓｓｅｗａｓｕｉｄｙｅｕｃｉａｒｓｏｓｐｅａｏｏｒｙｙｔｍｓｔｄｅ．Ｔｈｅｉｔｎｅｏｌｂｌｌｔｃｃｅｗａｅｘｓｅｃｆｇｏａｉｙｌｓｍｉ
ＷｉｈＩｎｔｏａｓｏｓｔＶＦｕｃｉｎｌＲｅｐｎｅ
ＺＡＮＧｉｏ，ＩＨＪａＪＡＮＧＦｎ — ｌｅｇｉ
（ｃｏｌＪＳｉｎｅＬａｎｎｎｖｒｉｆＰｔｌｍ＆ＣｅａｅｈｏｏｙＳｈｏｏｃｅｃ．ｉｏｉｇＵｉｓｙｏｅｒｅｅｔｏｕｈｍｌｃｎｌｇＴ
文章编号：６２９２２０）１０８ —０１７ —６５（０８０ — ０６３
一
类具有 Ⅳ类功能反应的捕食者一食饵系统的极限环和全局稳定性
张娇，姜凤利
（辽宁石油化工大学理学院，宁抚顺１３０）辽１０１
ｇｉｎ．ｖｅ
Ｋｅｒ：Ｐｒｄａｏｒｐｒｙｓｔｍ；ＥｑｕｌｂｒｕｍｏｎｔＬｉｉｃｃｅｙｗｏｄｓｅｔ－ｅｙｓｅｉｉｉｐｉ；ｍｔｙｌ
Ｃｏｒｓｏｄｎｕｈｒｒｅｐｎｉｇａｔｏ．Ｔｅ．＋８ —４３８３５；ｆｘ＋８ —４３８０６１：６１ —６６３２ａ：６１ —６６７６；ｅｍａｌｚａｇｉｏｅ１３ｃｒ－ｉｈｎｊｆ＠６．ｏ：ａｎ

具有阶段结构和扩散的一类自治捕食系统全局渐近稳定性研究

证明
考虑系统（１１的子系统：
文【研究了两种群均具有阶段结构的非自治１】捕食系统的持久性问题，得到了系统持续生存的一个充分条件．文在文【】本１的基础上继续对其系统的全局渐近稳定性进行研究．型、基本假设及其说模明参照文［】１．
』（帆：（－＊ａ（（）；Ｂ￡）ｔｘ）２）（一）（）２Ｘ￡￡ｙ－ｙ
ｙ（（（＋ｆ劳ｆ）一）
１）ｅ］２１）Ｄ（－１）（（２ＢＹ（）ｔｙ（）ｔｃ￡＋）￡
１
定义
维普资讯
第２４卷第３期
２００８年６月
Ｉ西大同大学学报ｆＩＪ自然科学版）
Ｊｕｎｌｆｈｎｉ）ｔｎｎｖｒ（ａｕａｓｉｅｏｒａｏａ￣ｌｏｇＵｉｅｓｙＮｔｒｌ（ｅ）Ｓａｊｍ・
２
（＝Ｗ２－）Ｂ（－ｌ２）２）￡ｌ－（］ｌｔ０（ｙ（）ｅｘｔ）ｔｔ
｛（＝ｌ）２Ｙ（＋ｌ２）ｌ）Ｙ￡ｙ（（ — ｌ）（（（）￡￡ｙ￡￡）（２）ｔｙ（（］３２）（＋２ｌ）￡ｌ（＝２）３ＢＹ（＋２２）（（（）Ｙ）￡２ｔａｘ￡）ｙ￡）２
＝
））－ｙ１
ｙ（＝）３Ｂ＋２２）２）Ｙ（））（］３２））（一２）Ｙ＋ｙ￡
！（ｙ（（）ｎ（）ｙ￡）ｙ）２一）（，）＋）＝（

一类带有时滞和阶段结构的非自治捕食模型的动力学性质

第ｌ期
２００８年１月
基础理论研究・
一
类带有时滞和阶段结构的非自治捕食模型的动力学性质
梁桂珍ｈ，守印陆志奇王，
（．１新乡学院数学系，河南新乡４３０；．５００２河南师范大学数学与信息科学学院，河南新乡４３０）５００摘要：究了一类具有时滞和阶段结构的非自治捕食系统（研专捕幼年食饵）解的渐近性质，得到了系统
年阶段，并且幼年被捕食，而成年具有很强的抗捕能力，近似看作不被捕食，其模型是在下列假设下建立的：（）Ｈ。幼年种群的出生率与现存成年个体数量成正比；
（：幼年、年种群的死亡率与现存幼年、年种群Ｈ）成成
和成年个体同样进行捕食，只捕食成年食饵．实际上并或非都是这样，有些食饵成年种群抗捕能力增强，捕食者而主要以捕食幼年为主，文正是把食饵种群分为幼年和成本
（，模型的系数均为时间的函数．Ｈ）在Ｅ述假设下，本文提出了下列具有阶段结构和时滞的
Ａｂｓｒｃ：ｅａｙｔｔｒｐｒｉｓｏｈｏｕｔｎｆｒａｎｎｕｏｏｕｒｄｔｒｐｅｙｔｍｓｔａｔＴｈｓｍｐｏｃｐｏｅｔｅｆｔｅｓｌｉｏｏａｔｎｍｏｓｐｅａｏ — ｒｙｓｓｅｉｏｗｉｈｓａｅｓｒｃｕｅａｄｔｍｅｄｌｙａｅｓｕｄｅａｄｔｏｄｔｎｎｅｉｈｓｓｅｒｅｍａｔｔｇｔｕｔｒｎｉｅａｒｔｉｄ，ｎｈｅｃｎｉｏｓｕｄｒｗｈｃｙｔｍｓａｅｐｒ－ｉｎｎｅａｄｇｏａｌｔｂｌｔｌｂａｎｄｅｃｎｌｂｌｙｓａｉｉａｅｏｔｉｅ．ｙＫｅｙｗｏｒｓ：ｉｅａｄｔｍｅｄｌｙ；ｓａｅｓｒｃｕｅ；ｎｎｕｏｏｕｓｔｇｔｕｔｒｏａｔｎｍｏ；ｐｅｍａｅｃｒｎｎｅ；ｇｏａｔｂｌｙｌｂｌｓａｉｉｔ

一类具有时滞和阶段结构的捕食者一食饵系统的全局稳定性

影响．
本文分别将捕食者种群和食饵种群分成两个阶段：成年种群和幼年种群，并且假设仅有成
年捕食者捕食幼年食饵．这一假设对许多动物来说是合理的，因为幼年种群不具有生育能力，并
收稿日期：２０１２ — ０３ — ０７修回日期：２０１３ — ０１一Ｏ８
例系数为ｄ２＞０１．
（Ｂ）捕食者种群：假定只有成年捕食者种群捕食幼年食饵，并且具有生育能力．丁０表示捕食者个体从幼年到成年的转化所需要的时间．参数ａ】＞０表示捕食者种群的捕获率，ａ２ａ】表
示捕食者种群的生育转化率．幼年捕食者的死亡率和从幼年向成年的转化率分别与现存的幼年种群的密度成正比（比例系数分别为ｄ３＞０和ｒ２＞０）；ｂ＞０表示成年捕食者的种内竞争率；成年捕食者的死亡率与现存密度成正比（比例系数为ｄ４＞０）．
绝的充分条件．
关键词：捕食系统；时滞；阶段结构：全局稳定
中图分类号：０１７５．１
文献标识码：Ａ
文章编号：１０００ — ４４２４（２０１３）０１ — ００５１ — ０１２
５１引言
捕食者一食饵系统是种群动力学中一类非常重要的模型，已经被许多学者所研究．在经典的
性．首先通过分析特征方程，运用Ｈｕｒｗｉｔｚ－Ｙ１定定理，讨论了该模型非负平衡点的局部
稳定性，并得到了Ｈｏｐｆ￣，＞支存在的充分条件；其次运用单调迭代方法和比较定理，讨论了该模型的非负平衡点的全局稳定性，从而得到了保证该生态系统永久持续生存与灭

一类具有阶段结构的非自治捕食系统

１一致持续生存
我们假设系统（）系数满足的
一
ｒ一ｎ＞０，一Ｑｎ一Ⅱ
＞０，ｌｍｋ一，＞０ａ，
（．）１１
其中
… ｍ｛ｉｎ
ｍａｘ
，
，），
｛
，
：
— ：一，肘：——ｉ＿广一
０有（）兰０ｙｔ０ｔ０ｔ，（），）（．
对系统（）的任意给定的初始条件：０（）＞０ｙｏ，（）＞００，）＞０容易证明相应的解在区间［，（，０＋ ∞）上存在正的和有界的，固此假设对
维普资讯
＠
一
２ｒ：鞍３穗５０．３０（— 山学报２１３－）０２期学范４
赵艳英
（山师范学院小教乐，鞍辽宁鞍山１４１）１０１
类具有阶段结构的非自治捕食系统
摘
要：究一类具有阶段结构的非自治捕食系统解的浙近性质，研在适当备件下，到系统是持续生存的得
食，而对幼年食饵的捕食忽略不计．
阶段结构模型已有许多作者研究【ｊ通常他们所研究模型的系数都是常数．，本文假设模型的系数依赖时间，进而研究阶段结构的两种群非自治捕食系统的渐近性质．
考虑下列模型
（）＝ｎＹ（）（）一ｒｔ（））一ｎ（）ｆ（）（）（（）一ｆ，，＝ｎ（）（）一Ｑ（）（）一．ｔｙ（）一口ｔｙｆｚｔ，（）ｔｘｔｔｙｔ８）＇（－（）（）（）｛＝ｔ（。ｆ（）（）一ｒ（）＋＾口ｔＹ（）（）（）一６ｆ（），（） ‘ ）（｝）

一类具有Allee效应的捕食-食饵模型正解的唯一性和渐近行为

一类具有Allee效应的捕食-食饵模型正解的唯一性和渐近行为作者：李海侠来源：《贵州大学学报（自然科学版）》2019年第04期和不动点指数理论给出正解存在的充要条件，接着运用扰动理论讨论参数c充分大时正解的唯一性和稳定性。

研究表明在一定条件下系统存在唯一的稳定解。

最后通过抛物系统的比较原理得到全局吸引子的存在条件。

关键词：加法Allee效应;不动点指数;扰动理论;唯一性;全局吸引子中图分类号：O175.26文献标识码： A本文讨论如下捕食-食饵扩散模型：N中带有光滑边界Ω的有界区域， u和v分别表示食饵和捕食者的浓度，a和d分别是u 和v的最大增长率。

mu+n是加法Allee效应项，m和n是Allee效应常量，反映了Allee效应的强弱程度;若m>br，则表现为强Allee效应，若m<br，则表现为弱Allee效应。

pu（1+bu）（1+cv）是Crowley￣Martin（C-M）反应函数，是一类依赖捕食者的经典反应函数之一。

它与Beddington￣DeAngelis（B-D）反应函数很像，不同之处在于分母多了体现物种间相互干扰的一项bcuv。

而且， C-M反应函数认为无论某个捕食者目前是否寻找或处理食饵，都允许存在捕食者间的干扰，这是比B-D反应函数优越之处，也非常符合现实中的一些生物现象。

因此研究带有C-M 反应函数的模型具有很大的生物意义。

系统（1）中的参数a，m，n，b，c，d，p，q，k都是正常数。

u0（x），v0（x）是连续函数。

近年来，随着全球环境的不断变化，很多种群会受到Allee效应的影响。

Allee效应会影响种群系统的稳定性，甚至导致某些种群灭亡。

因此，具有Allee效应的模型受到了生物学家和数学家的广泛关注[1-8]，其中文献[4-6]在齐次Neumann边界条件下讨论了具有加法Allee效应的捕食-食饵模型，文献[7]讨论了具有加法Allee效应和B-D反应函数的捕食-食饵模型，利用稳定性理论得到了正解的唯一性和稳定性。

一类具有阶段结构的捕食者-食饵扩散模型解的整体性态

ｄｙ
出
＿
ｄ２ △ ＝耽一
ｄｚ
— ３ △ 一如＋一ｅ２ｚ一弦，
ａ一ａ一ａｖｚ一０，
（ｚ，ｔ）∈ ａＱ× （Ｏ，ｏ。），
ｕ（ｘ，Ｏ）＝ＵＯ（）≥ ０，ｖ（ｘ，Ｏ）＝（）≥ ０，
Ｘ ∈ Ｑ，
第３２卷第３期
２０１３年３月
数学教学研究
５７
一
类具有阶段结构的捕食者一食饵扩散模型解的整体性态
刘志琳，张睿
７３００７０）（兰州交通大学数学与软件工程学院，甘肃兰州
摘
要：本文讨论一类具有阶段结构的捕食者一食饵扩散模型解的整体性态．主要通过线性化方法
，３一南ｖ一（＋ｅ１），
基金项目：甘肃省自然科学基金（１１Ｏ７ＺＡ１９７），甘肃省教育厅硕导项目（１１０４一ＩＩ）作者简介：刘志琳（１９８７一），女，甘肃会宁人。硕士研究生，主要研究方向为偏微分方程及其应用的研究。
和Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数方法证明该模型正平衡点的局部渐近稳定性和全局渐近稳定性．
关键词：阶段结构｝捕食者一食饵模型，稳定性
中图分类号：Ｏ１７５．２６
ｌ引言Ａｉｅｌｌｏ和Ｆｒｅｅｄｍａｎ在文［１－１￣首先提出并研究了具有阶段结构的单种群模型，证明了该
其中Ｑｃ是边界ａＱ光滑的有界区域，是ａＱ上的单位外法向量，ａ＝ａ／ａ，ｚ，Ｙ和分别表示食饵，幼年捕食者和成年捕食者的物种密度，模型中的所有参数都是正的，其中常数ｄｌ，ｄｚ和ｄｚ是扩散系数，ｒ表示食饵的内禀增长率，Ｋ表示环境容纳量，口表示成年捕食者的捕获率，ｓ表示成年捕食者的生长率，ｐ表示幼年捕食者转化成成年捕食者的转化率，ｅ表示幼年捕食者转化成成年捕食者的死亡率，ｈ表示成年捕食者吞食食饵后转化为自身能量的转化

一类非自治阶段结构捕食系统的持久性与周期解

一类非自治阶段结构捕食系统的持久性与周期解黄兴华，曹成堂(江苏城市职业技术学院，江苏连云港222006)摘要：研究了一类食饵成年后具有捕食其幼年捕食者能力的阶段结构的非自治捕食系统，利Lya punov函数方法得到系统持续生存的条件，以及在一定条件下存在唯一全局渐进稳定的概周期正解。

关键词：阶段结构；持续生存；概周期解；全局稳定中图分类号：Q141文献标识码：A文章编号：1008—8970一(2013)04—0118—02i1‘{、J1日在自然界中，许多种群在一生中经历了幼年与成年两个阶段，这种阶段模型已被许多作者研究¨-“，但是他们所研究的都是捕食者一直扮演捕食者的角色。

本文考虑如下的非自治捕食系统，其中食饵成年后具有捕食其幼年捕食者的能力：f球，)=xl(t X a,，(，)一012(，)一q3(OxI(f)一U14(r)J，O))．{砖(r)=口l：(，)‘(r)一q．(t)xA，)-a32(，)毫(f)，(1) p．(f)=七(f)q。

(f)五(，)y(f)一a2，(f)屯(f)贝，)一ck(r)y(f)一q，(f)，2(r)．这里的五(f)为幼年食饵种群甲，x：(r)为成年的食饵种群甲，yO)表示捕食幼年食饵种群甲的捕食者并且被成年种群甲捕获的种群，a。

(f)表示食饵幼年种群的内禀增长率，a。

，(r)表示食饵幼年到成年的变化率，a。

，(，)，a：，(，)，编：(r)表示种群密度制约因素，a：：(，)，a，。

(，)分别表示死亡率。

本文假设国，(f)，西：0)，a．，(f)，a14(f)，02，(，)，a。

(f)，a。

(f)，仍，(，)，仍：(，)，女(，)都是连续的，严格正的有上界和下界的函数。

若，(f)是定义在【o，+a。

)上的连续有界函数，引进记号：厂=sup驭，)：feR+}，厂‘=i nf{厂(，)：reR+}。

二、持久性SIJ里I：寇={(五，Y,X：l y≥o，X。

具阶段结构、密度制约的捕食者—食饵模型

具阶段结构、密度制约的捕食者—食饵模型本文的主要目的是建立几个捕食者-食饵模型并研究这些模型的渐近性态以及阶段结构、密度制约对种群的影响。

本文第一章，我们将捕食者种群分为未成年与成年两个阶段，并且假使只有成年个体捕食食饵，而未成年个体不捕食食饵；同时假设捕食种群中未成年个体成熟为成年个体的转化率是未成年种群密度的函数；建立了具有阶段结构的捕食者-食饵模型。

得到了系统持续生存的条件，并得到了渐近稳定的周期解。

这说明阶段结构可能是种群数量周期扰动的原因，从而使得种群模型的性态更加复杂。

本文第二章，我们对比率依赖型的捕食者-食饵模型进行了研究。

对于捕食者的死亡率，我们不仅考虑了捕食者的自然死亡因素，而且还考虑了由于种内之间争夺资源及其它原因引起的死亡等因素，即考虑捕食者之间密度制约因素。

对系统在原点的性态，我们作了全面的分析。

原点是一个高阶奇点，在它的邻域内存在多种拓扑结构。

我们得到了系统稳定性的条件，并通过分支理论得到了极限环的存在性。

对退化的唯一正平衡点进行研究，得到了Bogdanov-Takens分支，分支出同宿圈。

并进行了数值模拟。

本文第三章，首先假设捕食者的死亡率依赖于捕食者与食饵的比率，接着分别考虑了捕食者的功能性反应为双线性型的与比率依赖型的捕食者-食饵模型。

对于功能性反应为双线性型的模型，我们得到了正平衡点的全局稳定性。

对于功能性反应为比率依赖型的捕食者-食饵模型，通过分支理论得到了极限环的存在性。

并进行了数值模拟。

具有阶段结构非自治食饵--捕食者模型的研究

具有阶段结构非自治食饵--捕食者模型的研究
熊佐亮
【期刊名称】《南昌大学学报（工科版）》
【年(卷),期】2002(024)004
【摘要】本文研究了一类非自治具有阶段结构的食饵--捕食者模型的解的最终有界性,持久性,并证明了周期系统的正周期解的存在、唯一性以及全局渐近稳定性.【总页数】4页(P85-88)
【作者】熊佐亮
【作者单位】南昌大学基础课教学部,江西,南昌,330029
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.一类具有阶段结构的非自治捕食者-食饵系统的研究 [J], 肖琨;唐清干;王海峰
2.食饵具有阶段结构的捕食者-食饵扩散模型的研究 [J], 张瑛瑛;张睿
3.具有阶段结构及捕食者具有脉冲扰动的Beddington-DeAngelis食饵-捕食者模型 [J], 熊佐亮;王娓;武丽凤
4.具有阶段结构的非自治捕食者-食饵模型周期解的渐近性态 [J], 焦玉娟;张申贵
5.具有时滞的HollingⅡ功能反应非自治阶段结构捕食者食饵系统的持续生存 [J], 刘会民;马生全
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一类带有扩散项和阶段结构的非自治捕食-食饵系统解的渐近行为

一类带有扩散项和阶段结构的非自治捕食-食饵系统解的渐近行为胡华书;蒲志林;沈怡心【摘要】研究一类带有扩散项和阶段结构的非自治捕食-食饵系统解的渐近行为,包括解的向前和拉回行为及拉回吸引子的存在性.利用上下解方法和线性椭圆方程谱理论以及非自治吸引子理论,得到系统解的估计以及拉回吸引子的存在性.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(042)004【总页数】7页(P443-449)【关键词】捕食-食饵模型;阶段结构;非自治动力系统;拉回吸引子【作者】胡华书;蒲志林;沈怡心【作者单位】四川师范大学数学科学学院,四川成都 610066;四川师范大学数学科学学院,四川成都 610066;四川师范大学数学科学学院,四川成都 610066【正文语种】中文【中图分类】O193经典的Lotka-Volterra模型都是假设一个独立物种有相似的能力去捕食或者繁殖,但是大部分的生命循环并不是这样的,很多动物至少包括2个阶段:幼年和成年.物种在第一个阶段通常是不能捕食和繁殖的,由成年父母喂养,而成年物种靠捕食猎物为生.另外,物种也受环境、迁徙等影响,所以本文考虑带有扩散项和阶段结构的非自治捕食-食饵系统:(1)其中,Ω⊂RN,N≥1是具有光滑边界的有界区域,B表示边界算子其中,n是∂Ω的外法向量,u、v1和v2分别代表食饵、幼年捕食者和成年捕食者的数量,b、m、k、D、d1、d2是正常数,γ∈R,0<a(t)≤a1,a1是常数,γ表示食饵的内在增长率,ubu/(1+mu)代表了成熟捕食者的Holling-2型功能反应,描述了捕食者依靠食饵的密度的消耗率,b代表了搜索猎物的速率,m表示搜索速率乘上辅助工作时间,d1和d2分别表示幼年和成年捕食者的死亡率,D表示幼年捕食者变为成年捕食者的速率,算子-Δ考虑物种的耗散性,u0(x)、v10(x)、v20(x)均大于0. Georgescu等[1]已经研究过系统不带扩散项的自治情况,通过构造一个恰当的Lyapunov函数和使用LaSalle的不变性原则,研究系统的全局动力性,得到了系统正稳态的存在性及渐近稳定性.Langa等[2-3]也研究了带有扩散项的非自治Lotka-Volterra系统的向前和拉回行为.Langa等[4]利用非自治偏微分方程的吸引子的最新理论得到关于非自治Lotka-Volterra系统描述竞争,共生和捕食-食饵现象的持久性和全局解的向前和拉回渐近稳定性.Langa等[5]利用次超轨线对的方法研究了带有扩散项的非自治Lotka-Volterra模型的长时间行为,得到了包括竞争、共生和捕食-食饵3种情形.特别地,在一些参数条件下,证明了这些模型的一个唯一非退化全局解的存在性,它吸引其他任意完全的有界轨线.最后得出次超轨线对作为现在经典的上下解方法的一般化方法,得到3种模型的拉回和向前持久性.具有阶段性的捕食-食饵系统在最近十年也受到了广泛关注,描述阶段结构的生态反应已经由文献[6-7]给出,Liu等[8]也研究了阶段结构的种群模型的动力性.文献[9-10]研究了具有阶段结构的捕食-食饵系统的全局稳定性和持久性.所以对于研究带有扩散项和阶段结构的捕食-被食系统的渐近行为,是很有意义的.1 预备知识回顾拉回吸引子的概念.定义 1.1[4] 设(X,d)是一个完备距离空间,{S(t,s)}t≥s,t,s∈R是一个映射集簇,满足：(a) S(t,s)S(s,τ)z=S(t,τ)z,对所有的τ≤s≤t,z∈X成立;(b) S(t,τ)z在t>τ和z是连续的;(c) S(t,t)对所有的t∈R在X上是恒等映射.这样的映射叫做一个过程.通常,S(t,τ)z作为非自治方程在时刻τ具有初始条件u在时间t的解.对于自治方程的解仅仅依赖t-τ,记S(t,τ)=S(t-τ,0).为了描述像(1)式的非自治系统的渐近行为,需要一个非自治拉回吸引子的概念.定义 1.2[9] 给定t0∈R,B(t0)⊂X在时间t0是拉回吸收的,如果对每一个有界子集I⊂X,存在一个T=T(t,I)∈R,满足S(t0,τ)I⊂B(t0), 对所有的τ≤T.定义 1.3[4] 一个紧集簇{A(t)}t∈R⊂X是S(·,·)的一个拉回吸引子,如果：(a) S(t,τ)A(τ)=A(t),对所有的t≥τ;(b) 对所有的t∈R,I⊂X的有界子集,有其中dist(A,B)代表A和B之间的Hausdorff距离.定理 1.4[11-12] 假设存在一个紧的拉回吸收集簇,则存在一个拉回吸引子{A(t)}t∈R.为了更精确地描述拉回吸引子的动力学对象,给出如下定义.定义 1.5[4] 设S(·,·)是一个过程,称连续映射Ω:RX是一条完备轨线,如果对所有的s∈R,t≥s,S(t,s)ω(s)=ω(t).由文献[4]知,当吸收集簇是一致有界的,拉回吸引子可以被描述为{ω(t):ω(·)是一个对S来说的有界完备轨线}.(3)2 自治情形容易知道(1)式的反应项f≡(f1,f2,f3)在(R+)3是混拟单调的[13],由文献[13]的定义8.8.2知,系统(1)的上下解对应满足：(4)和(5)初边值满足：u0(x)>0, v10(x)>0, v20(x)>0;让(U,V1,V2)是初边值问题(6)相应的解,由v10、v20的非负性,则存在常数ρ1、ρ2,使得V1、V2满足0≤V1≤ρ1e-(λ1+D+d1)(t-s)φ1(x),0≤V2≤ρ2e-(λ2+d2)(t-s)φ2(x), (t,x)∈Ξ， (7)其中λi(i=1,2)是-ΔVi=λVi的第一特征值,φi(x)是相应于λi的正特征函数,且(6)式的解U在Ξ上一致有界,并有渐近极限[13-14]其中，μ1是-Δu=μu的第一特征值,Us是边值问题(9)的正解.很容易知道和是系统(1)的一对耦合上下解.由文献[13]的定理8.8.1知,存在一个非负解(u,v1,v2)满足(u,v1,v2)≤(U,V1,V2).回顾(7)式有(0,0,0)≤(u,v1,v2)≤(U,ρ1e-(λ1+D+d1)(t-s)φ1(x),ρ2e-(λ2+d2)φ2(x)). (10)由(10)式知(u,v1,v2)→(0,0,0),t→∞, γ≤μ1.(11)当γ>μ1时,包括对u的Neumann边界条件,依然有(v1,v2)→(0,0)，当t→∞.这隐含着对任一正的<γ-μ1,存在T1>0,满足bv2<,(12)让U()和U(0)是的正解.相应地,取1=和1=0.由于γ->μ1,当u(T1,x)≠0时,U()和U(0)收敛到它们的相关正稳态解和由(12)式知U()≤u≤U(0),当(t,x)∈Ξ1时,则让→0,则特别地,如果σ≡0,也就是说,对u的Neumann边界条件来说,则μ1=0,Us=γ/a,即当t→∞,(u,v1,v2)→(γ/a,0,0).得到了如下解的全局存在性和渐近行为.定理 2.1 给定系统(1)的任一非负初值(u0,v10,v20),系统(1)有唯一全局解(u,v1,v2)满足(10)式.当γ≤μ1时,有(u,v1,v2)→(0,0,0),t→∞;当u0≠0且γ>μ1,有(u,v1,v2)→(Us,0,0),其中,Us是(9)式的正解.特别地,如果σ≡0,则当t→∞时,(u,v1,v2)→(γ/a,0,0).3 解的渐近行为3.1 非自治logistic方程当v1=v2=0时,u满足logistic方程(14)其中,γ∈L∞((s,∞)×Ω),0<a(t)≤a1,对所有的t∈R.给定h∈L∞(Ω),记μ1(h)是(15)的第一特征值,ψ1(h)是唯一的正特征函数,‖ψ1(h)‖∞=1.μ1(h)关于h是连续且增的,关于Ω是连续且单减的,且如果h(x)>0在Ω里成立,由文献[12]，则(16)记μ1:=μ1(0).现在,给定h∈L∞(Ω),g∈R,g>0,考虑非线性椭圆方程(17)的正解的存在性和唯一性及解的一些重要性质,有如下结果.引理 3.1[3] 问题(17)有一个正解,当且仅当μ1(-h)<0.更进一步,如果这样的解存在,则是唯一的,记为u[h,g],当μ1(-h)≥0时,u[h,g]≡0,且满足：(a) u[h,g]是有下界的(b) 映射h∈L∞(Ω)u[h,g],g∈(0,∞)u[h,g]是连续的.关于方程(14)的正解的存在性和唯一性以及它的向前和拉回渐近行为,记正锥命题 3.2[3] 给定u0∈P\{0},方程(14)存在唯一正解,记为θ[γ,a](t,s;u0),对t>s是严格正的,且满足以下条件：(a) θ[γ,a](t,s;u0)关于γ是增的,且关于a是减的;(b) γ(t,x)≡γ(x),如果a(t)=a0>0,则‖θ[γ,a0](t,s;u0)-u[γ,a0]‖∞→0,当t→∞或者是当s→-∞时成立;(c) 如果μ1(-γ)>0,则‖θ[γ,a](t,s;u0)‖∞→0,当t→∞或s→-∞;(d) 如果μ1(-γ)<0,且a(t)→0,当t→∞时,则‖θ[γ,a](t,s;u0)‖∞→∞, t→∞;(e) 给定t∈R,μ1(-γ)<0,存在以及T(t,u0),满足V(x)≤θ[γ,a](t,s;u0)≤l(t)对所有的s≤T(t,u0),(18)其中3.2 解的估计本小节的第一个结果保证了系统(1)的正解的存在性和唯一性,以及提供了一些有用的估计.定理 3.3 给定(u0,v10,v20)∈P\{0},系统(1)存在唯一正解,记为(u(t,s;u0,v10,v20),v1(t,s;u0,v10,v20),v2(t,s;u0,v10,v20)),对t>s是严格正的,且满足：θ[γ-bρ2e-(λ2+d2)(t-s),a]≤u≤θ[γ,a],(19)0≤v1≤ρ1e-(λ1+D+d1)(t-s)φ1(x),(20)0≤v2≤ρ2e-(λ2+d2)(t-s)φ2(x).(21)证明取(u,v1,v2)=(θ[γ-bρ2e-(λ2+d2)(t-s),a]，0,0),ρ2e-(λ2+d2)(t-s)φ2(x)).(22)由命题3.2的(a)知u不难证明,(u,v1,v2)和满足由文献[13]的定理8.3.3知,系统(1)的正解存在,唯一性由标准结论可得.3.3 向前和拉回渐近行为定义A:I(A)是和Laplacian相关的线性算子.命题 3.4 假设γ<μ1,则当t→∞时,(u(t,s;u0,v10,v20),v1(t,s;u0,v10,v20),v2(t,s;u0,v10,v20))→(0,0,0).证明如果γ<μ1,则μ1(-γ)=μ1-γ>0,又由(19)式及命题3.2的(c)知,当t→∞时,u(t,s;u0,v10,v20)→0,又由(20)和(21)式知:当t→∞时,v1,v2→0.命题得证.命题 3.5 假设当t→∞时,a(t)→0,如果γ>μ1,则当t→∞时,(u(t,s;u0,v10,v20),v1(t,s;u0,v10,v20),v2(t,s;u0,v10,v20))→(∞,0,0).证明由(20)和(21)式知,当t→∞时,v1,v2→0.又因为γ>μ1,有γ-bρ2e-(λ2+d2)(t-s)φ2(x)>μ1, t≥t1,因此μ1(-γ+bρ2e-(λ2+d2)(t-s)φ2(x))<μ1(-μ1)=0.所以由命题3.2的(d)知θ[γ-bρ2e-(λ2+d2)(t-s)φ2(x),a]→∞,由(19)式知u(t,s;u0,v10,v20)→∞.命题得证.命题 3.6 假设γ<μ1,则当s→-∞时,(u(t,s;u0,v10,v20),v1(t,s;u0,v10,v20),v2(t,s;u0,v10,v20))→(0,0,0).命题 3.7 给定t∈R,γ>μ1,则当s→-∞时,(u(t,s;u0,v10,v20),v1(t,s;u0,v10,v20),v2(t,s;u0,v10,v20))→(θ[γ,a](t,s;u0),0,0).证明由(20)和(21)式知,当s→-∞时,v1(t,s;u0,v10,v20),v2(t,s;u0,v10,v20)→0.给定δ>0,存在sδ满足v2(t,s;u0,v10，v20)≤δ, s≤sδ,取u=θ[γ-bv2,a],有θ[γ-bδ,a]≤θ[γ-bv2,a]=u≤θ[γ,a], s≤sδ, (24)所以θ[γ-bδ,a]-θ[γ,a]≤u-θ[γ,a]≤0, s≤sδ. (25)因此,需要去证明ωδ:=θ[γ-bδ,a]-θ[γ,a]→0, δ→0,(26)不难证明ωδ满足(ωδ)t-Δωδ=γωδ-bδθ[γ-bδ,a]-a(t)ωδ(θ[γ-bδ,a]+θ[γ,a]).(27)记qδ(r,s)=γ-a(r)(θ[γ-bδ,a](r,s;u0)+θ[γ,a](r,s;u0)),由常数变异公式有ωδ(t,s;u0)=e-A(t-r)(qδ(r,s)ωδ(r,s;u0)-bδθ[γ-bδ,a](r,s;u0))dr.因为‖e-A(t-r)‖op≤1,得到‖ωδ(t,s;u0)‖∞≤‖qδ(r,s)‖∞‖ωδ(r,s;u0)‖∞dr+bδ‖θ[γ-bδ,a](r,s;u0)‖∞dr.由Gronwall引理得到‖ωδ(t,s;u0)‖∞≤另一方面,由命题3.2有‖θ[γ-bδ](t,s;u0)‖∞≤‖θ[γ,a](t,s;u0)‖∞≤l(t),对s≤T(t).对一些T(t)和l(t)是独立于δ的,由(28)式取δ→0,则得到(26)式,命题得证.3.4 拉回吸引子的存在性定义对t,s∈R,t≥s,S(t,s):XX;S(t,s)(u0,v10,v20)=(u(t,s;u0,v10,v20),v1(t,s;u0,v10,v20),v1(t,s;u0,v10,v20))，其中,(u(t,s;u0,v10,v20),v1(t,s;u0,v10,v20),v2(t,s;u0,v10,v20))是系统(1)的唯一正解,u0,v10,v20∈P.X上的范数|(u,v1,v2)|∞=‖u‖∞+‖v1‖∞+‖v2‖∞.3.4.1 X上的有界吸收集让I⊂X是有界的,即由(19)式及命题3.2的(e)知,存在T(t,u0,v10,v20)∈R,满足‖u(t,s;u0,v10,v20)‖∞≤‖θ[γ,a](t,s;u0)‖∞≤lγ(t), s≤T(t), (29)其中由(20)和(21)式知:‖v1(t,s;u0,v10,v20)‖∞≤‖ρ1e-(λ1+D+d1)(t-s)φ1(x)‖∞≤|ρ1|=l1(t), (30)‖v2(t,s;u0,v10,v20)‖∞≤‖ρ2e-(λ2+d2)(t-s)φ2(x)‖∞≤|ρ2|=l2(t). (31)这意味着X上的球有半径R1(t)=lγ(t)+l1(t)+l2(t),BX(0,R1(t))是过程S(t,s)的拉回吸收集.上的有界吸收集为了得到上的吸收集簇,需要从文献[15]得到结果,也可以参见文献[16],对一个Banach空间Y,Yβ为分数幂空间,其范数记为|·|β.引理3.8[3] 算子A在上生成一个解析半群,而且有Yβ下面讨论上的有界吸收集.给定I⊂X有界,定义:对t1≥s,h(t1,s)=γu(t1,s;u0,v10,v20)-a(t1)u2(t1,s;u0,v10,v20)-(32)由常数变异公式得到u(t,s;u0,v10,v20)=e-A(t-s)u0+e-A(t-t1)h(t1,s)dt1,因此,时间从t-1到t时,有u(t,s;u0,v10,v20)=e-Au(t-1,s;u0,v10,v20)+e-A(t-t1)h(t1,s)dt1.因此|u(t,s;u0,v10,v20)|β=‖Aβu(t,s;u0,v10,v20)‖∞≤‖Aβe-A‖op‖u(t-1,s;u0,v10,v20)‖∞+由估计[16]‖Aβe-A(t-t1)‖op≤Cβ(t-t1)-βe-δ(t-t1), (33)由某些常数Cβ,δ>0[16],由估计(29)式知,存在M(t)和T0(t),满足|u(t,s;u0,v10,v20)|β≤M(t),对所有的s≤T0(t),β<1-,∈(0,1).又由引理3.8知,有‖u(t,s;u0,v10,v20)‖C1≤|u(t,s;u0,v10,v20)|β≤R1(I,t),对所有的s≤T0(t).类似地，定义对t1≥s,h1(t1,s)=(D+d1)v1(t1,s;u0,v10,v20),h2(t1,s)=Dv1(t1,s;u0,v10,v20)-d2v2(t1,s;u0,v10,v20).(34)由估计(30)、(31)、(33)式知,存在M1(t)、M2(t)和T0(t)满足对所有的s≤T0(t),β<1-,∈(0,1)有|v1(t,s;u0,v10,v20)|β≤M1(t),|v2(t,s;u0,v10,v20)|β≤M2(t).由引理3.8知,则对所有的s≤T0(t),‖v1(t,s;u0,v10,v20)‖C1≤|v1(t,s;u0,v10,v20)|β≤R2(I,t),‖v2(t,s;u0,v10,v20)‖C1≤|v2(t,s;u0,v10,v20)|β≤R3(I,t).对某些上的球B(0,R(t))是上的吸收集,记R1(t)=R1(I,t), R2(t)=R2(I,t),R3(t)=R3(I,t).令R(t)=R1(t)+R2(t)+R3(t).再取上的范数重复上述结论,得到对所有的s≤T1(t),‖u(t,s;u0,v10,v20)‖C2≤N1(I,t),‖v1(t,s;u0,v10,v20)‖C2≤N2(I,t),‖v2(t,s;u0,v10,v20)‖C2≤N3(I,t).所以B(0,N(t))是上的有界吸收集,同样,记N1(t)=N1(I,t),N2(t)=N2(I,t), N3(t)=N3(I,t),令N(t)=N1(t)+N2(t)+N3(t),则B(0,N(t))在X上是紧的.定理3.9 过程S(t,s)存在一个拉回吸引子A(t),特别地,系统(1)至少存在一条完备有界轨线(u*(t),v1*(t),v2*(t)),t∈R.证明由前面的讨论知,S(t,s)在上存在有界吸收集,在X上是紧的,所以,由定理1.3知,S(t,s)存在一个拉回吸引子A(t),因此,系统(1)存在至少一条有界完备轨线(u*(t),v1*(t),v2*(t)),t∈R.参考文献【相关文献】[1] GEORGESCU P, HSIEH Y H. 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非自治具阶段结构捕食系统的持久性与全局渐近稳定性的开题报告

非自治具阶段结构捕食系统的持久性与全局渐近稳定性的开题报告一、研究背景捕食-食草模型是生态学中经典的模型之一，其中研究的主要是两个物种之间的交互作用。

然而，在实际食物网络中，很多种物种都存在捕食及被捕食的现象，构成了复杂而纷繁的非自治结构。

这样的结构所形成的生态系统与传统的捕食-食草模型有很大的不同，其中的物种可能存在竞争、共生和互惠协作等关系。

目前，如何利用数学建模来描述这种非自治结构的持久性和全局渐近稳定性，仍是一个有挑战性的问题，而其解决将为我们更好地认识生态系统的演化提供重要的帮助。

二、研究目的本研究旨在探究非自治结构的捕食系统的持久性和全局渐近稳定性，建立数学模型，对物种之间的交互作用进行数学描述。

通过模拟实验，分析系统的特性，并探讨不同因素对系统稳定性的影响，为生态系统的可持续发展提供理论依据。

三、研究方案1.建立模型：基于传统捕食-食草模型和Lotka-Volterra模型，建立非自治结构的捕食系统模型，并引入共生和互惠协作等关系。

2.分析特性：通过数学分析和模拟实验，探讨系统的持久性和全局渐近稳定性，分析主要影响因素。

3.探究影响因素：分析捕食率、种群数量变化等因素对系统稳定性的影响，并探究不同因素之间的相互作用。

4.验证方法：采用数值计算法和计算机模拟法对模型进行验证，并将结果与实际数据进行对比。

四、研究意义非自治结构的捕食系统是生态系统中常见的形式，对其持久性和稳定性的研究有助于我们更好地了解复杂生态系统的结构和演化规律。

同时，对于生态系统的可持续发展具有重要的理论和实践意义。

本研究将建立相应的数学模型，深入探究系统的特性和影响因素，为生态保护和管理提供理论支持。

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中图分类号：１１文献标识码：文章编号：０８— ９４２０）４—００ＯＱ４Ａ１０７７（０８００１一２基金项目：吉林省教育厅 “ 十一五” 科学技术研究项目（０７０）２０４０．
收稿日期：ｏ８一１—１２ｏＯ６
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第２９卷第４期
’ ２００８年４月
通化师范学院学报
ＪＯＵＲＮＮＧＨＵＡＴＣＨＥＯＬＥＡＬＯＦＴＯＥＡＲＳＣＬＧＥ
Ｖｏ．９ＮｏＩ２４
Ａｐｒ００．２８
类具有阶段结构的非自治捕食一食饵系统的渐近性质
（）１
其中（）（ｔ，ｉ＝１２，）表示幼年、年食饵种群成
一
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＞０刈
一＞０
在时刻ｔ密度，ｔ，ｉ＝１２的Ｙ（）（，）表示幼年、年成捕食者种群Ｙ在时刻ｔ的密度．
全文假设仅（）ｒ（）ｉ，，）（）ｎｉｔ，ｉｔ（＝１２３，ｔ，（）ｎ２ｔ，（）ｑｔ，（）ｋｔ连续的并且严ｔ，（）－ｔ，（）１ｔ，（）是ｑ３
则称系统（）一致持续生存的．１是定义２系统（）一致持续生存的且其所有１是
解有界即ｌｐｆｔｌｓｐｔ＝１２ｉｓｘ（）５Ｍ，ｉｕｙ（）５Ｍ，ｍｕｍ，
则称系统（）永久持续生存的．果系统的一个１是如正解是稳定的并且它吸引所有的正解，称它为全则
｜（），７ｆ）
作者简介：张安梅（９４一）女，１６，吉林白山人，通化师范学院数学系副教授．
１预备知识
本文研究具有阶段结构的非自治两种捕食一食饵系统的渐近性质．考虑以下模型
ｆ１ｔ＝（）２ｔ（）ｔＸ（）一ｒ（）１ｔ（）１ｔ１ｔｘ（）一ｔｘ（）一
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ｎ｛其中ｍ：ｍｉ
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定理２如果系统（）１的满足条件（）则系统２，（）１是一致持续生存的．证明定义（）＝ｍｉ｛（）（），算ｔｎｔ，：ｔ｝计（）的右上导数，ｔ如果（）＜２ｔｔ（）或（）＝ｔ
２
１，３２，
Ｒ０＝｛１２１Ｙ）Ｉｆ０Ｙ０ｉ，｝：（，，，，ｆ，＝１２Ｙ２Ｒ＋｛１２１Ｙ）；，ｆ，＝１２４＝（，，，２Ｉ＞０Ｙ＞０Ｙ，｝定义１如果存在正常数使得系统（）的任１
一
张安梅，光锐冯
（通化师范学院数学系，吉林通化１４０）３０２
摘
要：中研究了一类具有阶段结构的非自治捕食一食饵系统的持久性，文正周期解的存在性、唯一性以及全局渐近稳定性．
关键词：阶段结构；食一食饵系统；捕渐近稳定性