从力做功到平面向量的数量积
高一数学必修课件从力做的功到向量的数量积
汇报人：XX
20XX-01-13
• 引言 • 力做的功 • 向量的基本概念 • 向量的数量积 • 从力做的功到向量的数量积的过渡 • 案例分析与应用举例
01
引言
课程背景
高中物理中的功
向量的数量积的引入
学生在高中物理中已经学习了力做功 的概念，以及功的计算公式。
功的定义及计算公式
功的定义
功是力在物体上沿力的方向移动的距 离与力的乘积，表示力ຫໍສະໝຸດ 物体做功的 多少。功的计算公式
$W = vec{F} cdot vec{s} = Fscostheta$，其中$vec{F}$是力向量 ，$vec{s}$是位移向量，$theta$是力 与位移之间的夹角。
正功与负功的判断方法
向量减法
向量减法是加法的逆运算，即$vec{a}vec{b}=vec{a}+(-vec{b})$。若$vec{a}$、$vec{b}$ 不共线，则$vec{a}-vec{b}$的方向与较大的向量相同 ，大小为$||vec{a}|-|vec{b}||$；若$vec{a}$、 $vec{b}$共线且方向相同，则$vec{a}-vec{b}$的方向 与$vec{a}$、$vec{b}$相同，大小为$|vec{a}||vec{b}|$；若$vec{a}$、$vec{b}$共线且方向相反， 则$vec{a}-vec{b}$的方向与$vec{a}$相同，大小为 $|vec{a}|+|vec{b}|$。
数量积的性质及其证明
01
02
03
04
05
性质1：交换律，即 $vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$。
第1部分第二章§5从力做的功到向量的数量积
答案：C
7．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与 b 的夹角为________度． 解析：设a，b夹角为θ，则由a⊥c，得a·c＝0，即 (a＋b)·a＝0，a2＋a·b＝0，∴1＋2cos θ＝0，从而θ ＝120°. 答案：120
答案：B
向量的数量积 (1)射影：若非零向量a，b的夹角为θ，则 |b|cos θ 叫 作向量b在a方向上的射影． (2)数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ ，我们把 |a||b|cos θ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作 a·b，即a·b＝ |a||b|cos θ .
(3)数量积的特殊情况： 当两个向量相等时，a·a＝ |a|2 .
a·b＝0
a·e |a|cos θ
≤ 等号
问题1：试想当力扩大2倍，力对物体所做的功也 扩大2倍吗？
提示：是．即(2F)·s＝2(F·s)． 问题2：实数的乘法满足交换律、结合律、乘法 对加法的分配律，向量数量积的运算是否也有类似 运算律？ 提示：有．
向量数量积的运算律 (1)a·b＝ b·a (交换律)； (2)(λa)·b＝ λ(a·b) ＝ a·(λb)(结合律)； (3)(a＋b)·c＝ a·c＋b·c (分配律)．
4．向量数量积运算不满足结合律，即(a·b)·c＝ a·(b·c)不一定正确．
[例1] 已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③ a与b的夹角是60°时，分别求a·b，a·(a＋b)．
[思路点拨] 由条件确定向量夹角后，代入数量积 定义进行计算．
[精解详析] ①当a∥b时，若a与b同向， 则它们的夹角θ＝0°， ∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18， a·(a＋b)＝a2＋a·b＝9＋18＝27. 若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，
北师大版高中数学第二章5 从力做的功到向量的数量积
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5 从力做的功到向量的数量积
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考纲定位
重难突破
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意 义． 2.体会平面向量的数量积与向量射影的关 系． 3.能运用数量积的运算性质和运算律解决
重点：1.平面向量数量积的含义与物理意义． 2.数量积的性质及应用．
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当夹角为 π 时，2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，
2t＝λ， 可求得7＝λt，
λ<0，
λ＝－ 14，
所以 t＝－
14 2.
所以所求实数 t 的范围是
－7，－ 214∪－ 214，－12.
[答案]－7，－ 214∪－ 214，－12
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数量积运算时，一是要找准两向量的夹角，二是注意向量数量积的运算律的应用．
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1．已知|a|＝|b|＝1，a 与 b 的夹角为 60°，求： (1)(a－b)2； (2)a2－b2； (3)a·a＋a·b； (4)(3a－2b)·(a－2b)．
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[错因与防范] (1)解答本题常会出现错误的答案为－7，－12.原因是不理解数量积的符 号与向量夹角的关系，不等式“(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0”与“向量夹角为钝角”并不等价， 其中还包含了共线且反向的情况． (2)注意问题转换的等价性 数量积的符号同向量夹角的关系如下：对于非零向量 a 和 b 及其夹角 θ，①a·b＝0⇔a⊥b； ②a·b>0⇔θ 为锐角或零角；③a·b<0⇔θ 为钝角或平角．如本例应排除向量 2te1＋7e2 与 e1 ＋te2 共线且反向的特殊情形后才等价．
高中数学 第二章 平面向量 2.5 从力做的功到向量的数
2.5 从力做的功到向量的数量积典题精讲例1若|a |=1，|b |=2，(a -b )⊥a ，则向量a 与b 的夹角为（ ）A.30°B.45°C.90°D.135°思路解析：设a 与b 的夹角为θ，∵（a -b ）·a =0.∴|a |2-b ·a =0.∴b ·a =1.∴cos θ=||||b a b a ∙=22. 又∵0°≤θ≤180°，∴θ=45°.答案：B绿色通道：求向量a 与b 的夹角的步骤：（1）计算b ·a ，|a |，|b |；（2）计算cos 〈a ，b 〉；（3）根据范围确定夹角的大小.变式训练1已知a 与b 都是非零向量，且a +3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.思路分析：求a 与b 的夹角余弦值，只要求出a ·b 与|a |、|b |即可.解：∵（a +3b ）⊥（7a －5b ）,∴（a +3b ）·（7a －5b ）=0.∴7a 2+16a ·b －15b 2=0.①又∵（a －4b ）⊥（7a －2b ）,∴（a －4b ）·（7a －2b ）=0.∴7a 2－30a ·b +8b 2=0.②①－②得46a ·b =23b 2，即有a ·b =21b 2=21|b |2. 代入①式，得7|a |2+8|b |2－15|b |2=0，故有|a |2=|b |2，即|a |=|b |.∴cos〈a ，b 〉=21||||||21||||2==∙b b b b a b a . 又∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉=60°，即a 与b 的夹角为60°.变式训练2已知△ABC 中，a =5，b =8，·=-20，试求C.有个同学求解如下：解：如图2-5-4，∵||=a =5，||=b =8，图2-5-4 218520||||-=⨯-=CA BC . 又∵0°≤∠C≤180°，∴∠C=120°.这位同学的解答正确吗？如果你是他的数学老师，你会给他写什么批语？思路解析：这位同学的解答不正确，其原因就在于没能正确理解向量夹角的定义.由于BC 与CA 两向量的起点并不同，故∠C≠〈BC ，CA 〉,而是∠C＋〈BC ,CA 〉=180°，则cos 〈, 〉218520-=⨯-=. 又∵0°≤〈BC ,CA 〉≤180°，∴〈BC ,CA 〉=120°.∴∠C=60°.所以这位同学的解答不正确，∠C=60°；批语是：如果你再理解了向量夹角的定义，那么这道题就能做对了，请你再试试吧.例2已知向量a 、b 不共线，且|2a +b |=|a +2b |，求证：（a +b ）⊥（a －b ）.思路分析：可以证明（a +b ）与（a －b ）垂直，转化为证明（a +b ）与（a －b ）的数量积为零.也可以利用向量线性运算的几何意义来证明.证法一：∵|2a +b |=|a +2b |，∴（2a +b )2=（a +2b )2.∴4a 2+4a ·b +b 2=a 2+4a ·b +4b 2.∴a 2=b 2.∴（a +b ）·（a －b ）=a 2－b 2=0.又a 与b 不共线，a +b ≠0，a －b ≠0，∴（a +b ）⊥（a －b ）.证法二：如图2-5-5所示，在平行四边形OCED 中，设=a ，=b ,A 、B 、N 、M 分别是OC 、OD 、DE 、EC 的中点.图2-5-5则有2a +b =OC +OB =OC +CM =OM ，a +2b =+=+=ON ,a +b =21,a -b =BA =NM . ∵|2a +b |=|a +2b |，∴|OM |=|ON |.∴△OMN 是等腰三角形.可证F 是MN 的中点. ∴OE ⊥BA . ∴⊥. ∴21⊥BA . ∴（a +b ）⊥（a －b ）.绿色通道：证明向量垂直的两种方法：①应用化归思想，转化为证明这两个向量的数量积为0.②应用向量加减法的几何意义来证明.变式训练向量a 、b 均为非零向量，且|a |=|b |，求证：(a -b )⊥(a ＋b ）.思路分析：转化为证明向量(a -b )和(a ＋b )的数量积为0；或应用向量加减法的几何意义来证明.证法一：如图2-5-6所示，在平行四边形OACB 中,图2-5-6 设OA =a ,OB =b ,则a -b =，a+b =OC ， ∴|OA |=|OB |.∴四边形OA ＣB 是菱形.∴OC ⊥BA .∴⊥OC ，即(a -b )⊥(a ＋b ）.证法二：∵|a |=|b |，∴(a -b )·(a ＋b ）=a 2-b 2=|a |2-|b |2=0.∵a 、b 均为非零向量,∴a -b ≠0，a ＋b ≠0.∴(a -b )⊥(a ＋b ）.问题探究问题（1）在Rt△ABC 中，∠BA C=90°，化简||2+||2-2||·||cos 〈,〉； （2）在等边△ABC 中，化简||2+||2-2||·||cos 〈,〉；（3）由（1）和（2）你发现了什么结论，并加以证明.导思:归纳、猜想、证明是人类认识世界和发现世界的主要手段，观察式子的结构特点，结合向量的数量积便可发现结论.探究：（1）∵∠BA C=90°，∴cos〈AB ,AC 〉=0. ∴||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2+||2=||2. (2)∵||2=||2=||2,〈,〉=60°， ∴||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2+|AC |2-||2=||2=|BC |2.(3)可发现如下结论：在△ABC 中，有 ||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2； ||2+|BC |2-2|||BC |cos 〈,BC 〉=|AC |2； |CA |2+|CB |2-2|CA ||CB |cos 〈CA ,CB 〉=|AB |2. 可以用语言叙述：三角形任一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.此结论称为余弦定理.证明：如图2-5-7，在△ABC 中，有-=,图2-5-7 ∴(-AB )2=2BC . ∴2AB +2AC -2·=2BC ,即|AB |2+|AC |2-2|AB ||AC |cos 〈AB ,AC 〉=|BC |2. 同理可证：||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2; ||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2.。
从力的做功到向量的数量积
C
'
120
A
60
B
2射影的定义
如图 OA a ,OB b
则
过点B作BB1⊥OA于B1
OB1 b cos
b
θ O
B
|b
|cosθ
叫作向量 b
在
a 方向上的射影
a B1
A
当夹角为钝角、直角时射影应如何呢？
b
O
θ
| b | cos 0
a
b
O
| b | cos 0
b
a b | a || b | cos
在 b方向上射影| a |cos 的乘
B
积。
b
θ O
B1
a
A
两个特殊向量之间怎样进行数量及运算呢？
当两个向量相等时,两个向量的数量积等于向量长度的平方
2 2 aa a a
当两个向量都是单位向量时,它们的数量积等于它们夹角的余 弦值:
a b 类型三：夹角问题 cos = a b 1 向量 a , b满足( a b ) (2 a b ) 4 且 | a | 2， | b | 4, 求 a与b 的夹角 2.设向量 a , b满足 | a | 2， | b | 1 ， 且它们的夹角为60，若 2t a 7b与a t b 的夹角为钝角，求t的 范围
想一想： 向量的数量积满足结合律吗？
即： (a b)c a(b c)
成立吗？
说明： (a b)c 表示一个与 c 共线的向量 ，
而 a(b c) 表示一个与 a 共线的向量 ， 而 c 与 a 不一定共线 ，
2.5从力做的功到向量的数量积
1.掌握平面向量数量积的物理背景； 2.理解一个向量在另一个向量方向上的正投影的概念；
3.掌握平面向量数量积的定义性质及几何意义.
我们学过功的概念，即一个物体在力 F 的作用下产生位移 s， 力 F 所做的功W应当怎样计算？
F
s
W=| F|| s |cosθ
数量积a b a b cos
0
两个向量的数量积是一个数量，它的 大小与这两个向量的长度及夹角有关.
思考1：向量的数量积是一个数量，那么
它什么时候为正，什么时候为负？
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
即0 a 0
数量积 a ·b =| a || b |cos
2 2 | a | | a || b | cos60° 6 | b |
36 12 96 72.
2 2 | a | a b 6 | b |
例2：在三角形ABC,设边BC,CA,AB的长度分 别为a,b,c,证明:
a2=b2+c2-2bccosA
向量 a 与 b的数量积等于 b 的长度 向上投影 a cos 的积.
b 与 a在
b方
向量的数量积的物理意义：
力对物体做功, 就是力F与其作用下 物体的位移S的数量积F S .
投影的作图:
B b O O B B
θ
a
b
B1
θ
O
B O a
(5)对任意两个向量，有 | a b || a || b | . 当且仅当a / /b时，等号成立.
例1： a 5, b 4, a与b的夹角 120 ，求a b.
高二数学教案：从力做的功到向量的数量积
从力做的功到向量的数量积（第一课时）广东省江门市江海中学董艳丽北师大版高中数学必修四●教学目标1．通过实例，正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；2．掌握平面向量的数量积的5个重要性质，并能运用这些性质解决有关问题；3．通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；4．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质的应用，培养学生的应用意识.●教学重点平面向量的数量积概念、性质及其应用●教学难点平面向量的数量积的概念，平面向量的数量积的重要性质的理解●教学方法启发引导式启发学生在理解力的做功运算的基础上，逐步理解夹角、射影及向量的数量积等概念，并掌握向量的5个重要性质。
●教具准备多媒体辅助教学●教学过程教学环节教学程序教学设想创设情境通过前面的学习，我们知道两个向量可以进行加减法运算，两个向量之间能进行乘法运算吗？找找物理学中有没有两个向量之间的有关乘法运算？创设问题情境，激发学生的学习欲望和要求。
新课引入在物理学中，力F对物体做的功为||||cosW F sθ=，功W可以看成是向量F、s的某种运算有关，而这个运算结果的正负与这两个向量的夹角有关。
从而引出两个向量的夹角的概念。
通过对力做功的分析引出两个向量的夹角，过渡比较自然。
探究问题师生互动1、给出两个向量的夹角的概念，并让学生通过观察发现两个向量的起点时，有向线段所夹的角才为两个向量的夹角。
并让学生讨论两个向量的夹角的范围0180θ︒≤≤︒，要求学生解释为什么在这个范围。
进一步提问学生，如果夹角0θ=︒、90︒及180︒时，两向量的位置关系如何？2、练习：在ABC∆中已知A=45°，B=50°，C=85°求下列向量的夹角：（1）AB AC与（2）AB C与B（3）AC C与B的夹角。
3、（1）射影的概念cosbθ叫作向量b在a方向上的射影。
高中数学知识点精讲精析 从力做的功到向量的数量积
2.5 从力做的功到向量的数量积1．向量数量积的物理意义：力F 与其作用下物体位移s 的数量积•F s2．两个向量的数量积：(1)设两个非零向量a OA =与b OB =,称∠AOB=θ为向量a 与b 的夹角， (00≤θ≤1800)，当非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当a 与b 反方向时θ=1800，0与其它非零向量不谈夹角问题（2）数量积的定义：a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ, 叫做a 与b 的数量积; 规定00a ⋅=,其中︱b ︱cos θ∈R ，叫向量b 在a 方向上的投影. 3.数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积.4．平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a bR λλλλ⋅=⋅=⋅∈③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅± ④乘法公式成立： ()()2222a b a b a b ab +⋅-=-=-； ()2222a b a a b b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+ 特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅； （2）消去律不成立a b a c ⋅=⋅不能得到b c =⋅ （3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =05．两个向量的数量积的坐标运算：已知1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y +6．向量数量积的性质：（1）a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔02121=+y y x x（2）当a 与b 同向时，||||,a b a b ⋅=⋅当a 与b 反向时，||||,a b a b ⋅=-⋅一般地||||,a b a b ⋅≤⋅ 特别地：2||a a a ⋅=——向量运算与模的转化。
从力做功到平面向量的数量积
，则
b
B
O
计算向量的夹角时要 将两个向量起点放在 一起.
A
a
O b B A 若 0 ， a 与 b 同向
B O
a
b
a
B O A 若 180， a 与 b 反向
b
a
A
由于零向量的方向是 任意的，为方便起见， 规定:零向量可与任一 向量垂直.
例5 已知单位向量 e1 , e2的夹角为60°，求向量 a e1 e2, b e2 2e1 的夹角. 1 e e cos 60 , e e 解：由单位向量 1 , 2 的夹角为60°，得 1 2 2 所以 a b (e1 e2 ) (e2 2e1 ) 2e1 e1 e1 e2 e2 e2
2.5 从力做的功到向量的 数量积
如图：一个物体在力 F 的作用下产生位移
如何计算力 F 所做的功？
F
S
W = F s cos , 是 F 与 s 的夹角. 力做的功：
向量的夹角
两个非零向量 a 和 b ，作 OA a ， OB b AOB 叫作向量 a 与 b例1 已知 a 5, b 4, a与b的夹角 120o，求a b.
解：a b a b cos
5 4cos120o
1 5 10 ( ) 2
10.
例2 已知 a 4, b 5, 且a与b的夹角为60 ，求 : 2 2 (1)a b (2) (a b) (3) (a b) 2 2 (4) a b (5)(2a 3b)(3a 2b)
高中数学第二章 §5 从力做的功到向量的数量积
[核心必知]1．平面向量数量积的概念(1)向量的夹角a和b，如图所示，作AOB＝θ叫作向量a与b(2)规定：零向量与任一向量垂直．(3)向量b在a方向上的射影①定义：如图，＝a，＝b，过点B作BB1⊥OA于点B1则OB1＝|b|cos θ.|b|cos_θ叫作向量b在a方向上的射影．②数值特征：续表(4)向量的数量积2.数量积的性质(1)若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos_θ．(2)若a⊥b，则a·b＝0；反之，若a·b＝0，则a⊥b.通常记作a⊥b⇔a·b＝0．(3)|a|(4)cos θ＝a·b|a||b|(|a||b|≠0)(5)对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|.当且仅当a∥b时等号成立．3．数量积的运算律若给定向量a，b，c和实数λ，则数量积满足：(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘向量结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．[问题思考]1．向量b 在a 方向上的射影仍是一个向量，对吗？提示：不对．向量b 在a 方向上的射影不是向量而是数量，它的符号取决于两向量夹角θ的取值范围．2．两向量a 与b 的数量积是一个向量，对吗？提示：不对．向量的数量积是一个实数，其值可正，可负，可以为0.讲一讲1．已知向量a 与b 的夹角θ＝120°，且|a |＝4，|b |＝2，求 (1)a ·(－b )；(2)(a －2b )·(a ＋b )[尝试解答] (1)∵向量a 与b 的夹角θ＝120°， ∴向量a 与－b 的夹角为180°－θ＝60°. ∴a ·(－b )＝|a |·|b |·cos 60°＝4·2·12＝4.(2)(a －2b )·(a ＋b ) ＝a 2＋a ·b －2b ·a －2b 2＝|a |2－a ·b －2|b |2＝|a |2－|a ||b |cos θ－2|b |2＝42－4×2×cos 120°－2×22＝12.1．求两向量数量积的一般步骤是： (1)求向量a 与b 的夹角θ； (2)分别求|a |，|b |； (3)计算a ·b ＝|a ||b |cos θ.2．对于形如本讲(2)的数量积运算，类似于多项式的乘法运算，但注意展开时两向量的“积”为数量积，需用“·”连接，不能写成ab 或a ×b .练一练1．[多维思考] 在本讲的条件不变的情况下，求： (1)(a －b )2；(2)(a ＋2b )·(a －3b )． 解：(1)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝|a |2－2|a |·|b |cos 120°＋|b |2＝42－2×4×2×(－12)＋22＝28.(2)(a ＋2b )·(a －3b )＝a 2－3a ·b ＋2b ·a －6b 2＝|a |2－a ·b －6|b |2＝|a |2－|a |·|b |×cos 120°－6|b |2＝42－4×2×(－12)－6×22＝－4.讲一讲2．已知|a |＝|b |＝2，(1)若a ·b ＝22，试求a 与b 的夹角； (2)若a 与b 的夹角为150°，试求|a ＋b |. [尝试解答] (1)设a 与b 的夹角为θ，则：cos θ＝a ·b |a ||b |＝222·2＝22.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°. (2)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2|a |·|b |cos 150°＋|b |2＝22＋2×2×2×(－32)＋22＝8－4 3. ∴|a ＋b |＝8－43＝6－ 2.1．求向量的夹角主要是利用数量积的变形公式cos θ＝a ·b|a ||b |.求解时应抓住两个“积”考虑，一是数量积a ·b ，二是模的积|a ||b |，同时注意向量夹角的取值范围是[0，π]．2．求向量的长度，关键是合理运用性质|a |＝a 2，以及数量积公式a ·b ＝|a |·|b |cos θ. 练一练2. 已知a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角．∵|a |＝|b |＝|a －b |.∴△OAB 是等边三角形，设其边长为m . 则a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b |cos 60° ＝m 2＋12m 2＝32m 2.|a ||a ＋b |＝m （a ＋b ）2＝m a 2＋2a ·b ＋b 2＝m |a |2＋2|a ||b |cos 60°＋|b |2＝mm 2＋2m 2×12＋m 2＝3m 2.设a 与a ＋b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·（a ＋b ）|a ||a ＋b |＝32m 23m2＝32. ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°，即a 与a ＋b 的夹角为30°.讲一讲3．已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a ＋k b 与a －k b 垂直？ [尝试解答] ∵(a ＋k b )⊥(a －k b )，∴(a ＋k b )·(a －k b )＝0，∴a 2－(k b )2＝0，即|a |2－k 2|b |2＝0， 又|a |＝3，|b |＝4， ∴9－16k 2＝0，得k ＝±34，∴当k ＝±34时，向量a ＋k b 与a －k b 垂直．有关向量的垂直问题是向量数量积的重要应用之一，解决该类问题主要运用性质a ⊥b ⇔a ·b ＝0，同时注意运算时要正确把握向量数量积的运算律．练一练3．已知a ，b 是非零向量，且满足(3a －b )⊥a ，(4a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角是( ) A.56π B.23π C.π3 D.π6解析：选D 设a 与b 的夹角为θ，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧（3a －b ）·a ＝0，（4a －b ）·b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧3|a |2－a ·b ＝0，4a ·b －|b |2＝0，∴|a |＝13a ·b ，|b |＝2a ·b . ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝3a ·b 2a ·b ＝32. ∵0≤θ≤π，∴θ＝π6.设正三角形ABC 的边长为2，＝b ，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a .[错解] ∵△ABC 为正三角形，且边长为 2. ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝|a |·|b cos 60°＋|b ||c |cos 60°＋|c |·|a |cos 60° ＝3×(2)2×12＝3.[错因] 错解在于未正确理解向量夹角的含义，向量a 与b 、b 与c ，c 与a 的起点均不同，所以它们夹角并非60°，应是120°.[正解] ∵△ABC 为正三角形，边长为2， ∴向量a 与b ，b 与c ，c 与a 的夹角均为120°. |a |＝|b |＝|c |＝2， ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝3a ·b ＝3|a ||b |cos 120° ＝3×(2)2×(－12)＝－3.1．设向量a ·b ＝40，|b |＝10，a 在b 方向上的射影为( ) A ．4 B ．4 3 C ．4 2 D ．8＋32解析：选A ∵a ·b ＝|a ||b |cos θ， ∴a 在b 方向上的射影． |a |cos θ＝a ·b |b |＝4010＝4. 2．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝ ( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8解析：选D 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)． 因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8.法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a ·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝8.3．若e 1，e 2是夹角为π3的单位向量，且a ＝2e 1＋e 2，b ＝－3e 1＋2e 2，则a ·b 等于( )A ．1B ．－4C ．－72 D.72解析：选 C a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21＋4e 1·e 2－3e 1·e 2＋2e 22＝－6|e 1|2＋|e 1||e 2|cos π3＋2|e 2|2＝－6＋12＋2＝－72.4．(新课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则＝________.答案：25．(全国新课标)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________． 解析：依题意，可知|2a －b |2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝4－4|a ||b |·cos 45°＋|b |2＝4－22|b |＋|b |2＝10，即|b |2－22|b |－6＝0， ∴|b |＝32(负值舍去)． 答案：3 26．已知|a |＝1，|b |＝2，设a 与b 的夹角为θ. (1)若θ＝π3，求|a －b |；(2)若a 与a ＋b 垂直，求θ. 解：(1)∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝|a |2－2|a ||b |cos π3＋|b |2＝1－22×12＋2＝3－ 2∴|a －b |＝3－ 2. (2)若a 与a ＋b 垂直，则a ·(a ＋b )＝0，∴a 2＋a ·b ＝0， ∴a ·b ＝－|a |2＝－1. ∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－11×2＝－22.∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝135°.一、选择题1．已知|b |＝3，a 在b 方向上的射影是32，则a ·b ＝( )A ．3 B.92C ．2 D.12解析：选B 设a ，b 的夹角为θ(0≤θ≤π) 依题意，|a |cos θ＝32，而|b |＝3.∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝3×32＝92.2．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，则|a ＋2b |＝( )A. 2B. 3C. 5D.7解析：选B ∵|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝1－4×12＋4＝3，∴|a ＋2b |＝ 3.3．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与向量b 的夹角是( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析：选C 设向量a 与向量b 的夹角为θ(0≤θ≤π)， 由条件得a ·b －a 2＝2，所以a ·b ＝2＋a 2＝3＝|a ||b |cos θ＝1×6×cos θ， 所以cos θ＝12，又因为0≤θ≤π， 所以θ＝π3.4．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0解析：选D ∵a ⊥c ， ∴a ·c ＝0. ∵a ∥b ， ∴b ⊥c . ∴b ·c ＝0，∴c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2b ·c ＝0. 二、填空题5．已知|a |＝1，|b |＝3，|a －b |＝4，则|a ＋b |＝________． 解析：由|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2得16＝1－2a ·b ＋9，2a ·b ＝－6 ∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1－6＋9＝4 |a ＋b |＝2. 答案：26．已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2，且|2a ＋b |＝10，则向量a 与a －2b 的夹角为________．解析：由|2a ＋b |＝10得，4|a 2|＋4a ·b ＋|b |2＝10，∴4·12＋4a ·b ＋22＝10，∴a ·b ＝12， ∴a ·(a －2b )＝|a |2－2a ·b ＝1－2×12＝0. 故a ⊥(a －2b )，即a 与a －2b 的夹角为90°.答案：90°7．已知e 1，e 2是夹角为2π3的单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则k 的值为________．解析：∵a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋(1－2k )e 1·e 2－2e 22＝k ＋(1－2k )×1×1×cos 2π3－2 ＝2k －52＝0， ∴k ＝54. 答案：548．设a ，b ，c 是三个任意的非零向量，且互不平行，以下四个命题：①|a |＋|b |>|a ＋b |；②若a ≠0，a ·b ＝0，则b ＝0；③向量a ，b 满足：a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；④若a ，b 的夹角为θ，则|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的射影长．其中正确的命题是________(填序号)解析：①正确，根据三角形两边之和大于第三边；②错误，由a ≠0，a ·b ＝0可得b ＝0或a ⊥b ；③错误，a ·b >0时a 与b 可以同向；④错误，|b |cos θ表示b 在a 方向上的射影，不是长度，故正确的个数只有1个．答案：①三、解答题9．已知|a |＝3，|b |＝4，且(a ＋2b )·(2a －b )≥4，求a 与b 的夹角θ的范围．解：由(a ＋2b )·(2a －b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝2×32－2×42＋3a ·b ≥4得a ·b ≥6，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝a ·b 3×4≥63×4＝12. 又θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3. 10．已知a ⊥b ，且|a |＝2，|b |＝1，若有两个不同时为零的实数k ，t ，使得a ＋(t －3)b 与－k a ＋t b 垂直，试求k 的最小值．解：∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，又由已知得[a ＋(t －3)b ]·[－k a ＋t b ]＝0，∴－k a 2＋t (t －3)b 2＝0.∵|a |＝2，|b |＝1，∴－4k ＋t (t －3)＝0.∴k ＝14(t 2－3t ) ＝14(t －32)2－916(t ≠0)． 故当t ＝32时，k 取最小值－916.。
从力做的功到向量的数量积(师大附中)
第二章 平面向量
从力做的功到向量的数量积
实例分析
向量数量积的物理背景
F2FLeabharlann qF1S力 F 对物体做的功为 W = F S cosq
发现
00 ? q 900 q = 900
F 做正功 W > 0 F 不做功 W = 0
900 <q ? 1800 F 做负功 W < 0
问题提出
两个向量的夹角
B b
q
O
a
B b
OB1 = b cosq
q A B1 O
aA
b cosq 叫作向量 b 在 a 方向上的射影（也叫投影）
当θ为锐角时 b cosq ___＞__0
当θ为直角时 当θ为钝角时 b cosq ___=__0 b cosq __＜___0
基础问题
物理实例中，与位移 ︱Fr ︱cosθ ，即是力
(3)a (b c) a b a c.
思考：若a c b c，有a b吗？ 反之成立吗？
解答：不成立. 解答：成立.
例2 在Δ ABC中，设边BC，CA，AB
的长度分别为a，b，c，证明：
a²=b²+c²–2bccosA， b²=c²+a²–2cacosB， c²=a²+b²–2abcosC.
特别地:零向量与任一向量 的数量积为0.
例题讲解
例1 ⑴ 已知|a|=3，|b|=4，且 a 与 b 的夹角
θ =150°，求 a·b .
解：a· b =| a || b |cosθ =3×4×cos150°
=3×4×（-
3 2
）=－6 3..
⑵ 已知 a =(1,1), b =(2,0), a 与b 的夹角θ= 45°
从力的做功到平面向量数量积说课稿
(2) 3 , 求a b
4
解：（1）由a // b，分两种情况：
当a,b同向， a b 2;
当a,b反向， a b 2。
（2）a b 1 2 cos 3 1
4
第三部分 说教学过程
例2已知
a
5，b
4，a 与b的夹角
120
0，求
a•
b。
解：a• b =
a
b
cos
4
5
cos1200
1 第一环节：情景引入,揭示主题 2 第二环节：师生互动,探究新知 43 第三环节：学习致用 ,课后延伸 5
第三部分 说教学过程
第1 一环节：情景引入,揭示主题
复习引入
创设情境，激发兴趣 创设情境，接触主题
讨论探究，揭示主题
复习引入
❖ 问题一：前面学习了两个非零向量的加减运算、实数 与向量的积，那么非零向量还有哪些运算呢？
第一部分 说教材
2
教学目标
•以物理中功等实例，认识理解平
知识与技 能
面向量数量积的含义及其物理意 义，体会平面向量数量积与向量 射影的关系，掌握平面向量数量
积运算的重要性质。
培养学生观察、归纳、
类比、联想和数形结
合等发现规律的一般 过程与方
方法。培养其探索精 神和实际动手能力。
法
情感态度 价值观
让学生经历由实例到 抽象的数学定义的形 成过程，性质的发展 到论证过程，进一步 感悟数学的本质，培 养学生的探索研究的 能力。
5
4
(
1) 2
10
第三部分 说教学过程
学生练习
1、判断下列各命题是否正确，并说明理由
(1)若 a 0，则对任一非零向量 b ，有 a b 0
2021高中数学《从力做功到向量的数量积》
第6课时从力做功到向量的数量积1.通过物理中“功”等实例,明白得平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系.3.把握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判定两个平面向量的垂直关系.一只飞着的天鹅拉着地上的小车行驶在一条笔直的马路上,如下图,当小车前进了s时,你能算出天鹅对小车所做的功吗?问题1:(其中θ=<a,b>,称为向量a、b的夹角)叫作向量a、b的数量积(或),记作a·b,即.把|a|cos θ叫作向量a在b方向上的.如图,OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b,过点A作AA1垂直于直线OB,垂足为A1,那么OA1=|a|cos θ.投影是一个数量,不是向量;当θ为锐角时,它是值;当θ为钝角时,它是;当θ=90°时,它是;当θ=0°时,它是;当θ=180°时,它是.问题2:向量与物理学中一些矢量的关系向量是既有又有方向的量,它们能够有一起的作用点,也能够没有一起的作用点(即与作用点);力也是既有又有的量,且作用于作用点(即力与作用点).用向量知识解决力的问题,往往是把向量平移到同一作用点上.物理学中,速度、加速度与位移的合成与分解,实质上是向量的加、减法运算,而运动的也用到向量的;力的做功是力在物体前进方向上的分力与物体的乘积,它的实质是.(1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角,即,功是一个,它能够是、负数或0.(2)在解决问题时要注意数形结合.问题3:向量数量积的运算律已知向量a、b、c和实数λ,那么(1)a·b= (互换律);(2)(λa)·b= = (对实数的结合律);(3)(a+b)·c= (分派律).问题4:向量数量积的性质:(1)若是e是单位向量,那么a·e=e·a= ;(2)非零向量a,b,a⊥b⇔;(3)a·a= 或|a|= ;(4)cos<a,b>= ;(5)|a·b|≤|a||b|.1.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角为90°,且c=2a+3b,d=ka-4b,假设c⊥d,那么实数k的值为().A.6B.-6C.3D.-32.已知点A(-1,0),B(1,3),向量a=(2k-1,2),假设OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥a,那么实数k的值为().A.-2B.-1C.1D.23.已知向量a、b,其中|a|=√2,|b|=2,且(a-b)⊥a,那么向量a和b的夹角是.4.设x、y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,求|a+b|.向量数量积的概念已知a、b、c是非零向量,有以下三个说法:(1)假设|b|=|c|,那么|a·b|=|a·c|;(2)(a·b)|c|=|a|(b·c);(3)假设|a·b|=|a||b|,那么a∥b.其中正确的个数为().A.0B.1C.2D.3向量的夹角与模的运算已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角为120°,求:(1)(a-b)2;(2)|a+b|.向量数量积在物理学中的运用一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,而该船实际航行的方向与水流方向成30°角,求水流速度与船的实际速度.已知|a|=3,|b|=2,假设a·b=-3,那么a与b夹角的大小为.已知|a|=3,|b|=4,|a+b|=√21.求:(1)a·b;(2)(2a-b)·(3a+b).一辆汽车在平直公路上向西行驶,车上装着风速计和风向标,测得风向为东偏南30°,风速为4 m/s,这时气象台报告实际风速为2 m/s.试求风的实际方向和汽车的速度大小.1.某人骑自行车的静风速度为v1,风速为v2,那么逆盛行驶的速度的大小为().A.|v1-v2|B.|v1+v2|C.|v1|+|v2|D.|O1||O2|2.使劲F推动一物体水平运动,运动的位移为s,设F与水平面角为θ,那么对物体所做的功为().A.|F|·sB.F cos θ·sC.F sin θ·sD.|F||s|cos θ3.作用于原点的两个力F1(1,1),F2(2,3),为使它们平稳,需要加力F3= .4.一个物体在力F的作用下产生的位移是s,F与s的夹角是α.(1)用|O|、|O|、α表示力F所做的功W;(2)用F、s表示W;(3)当α慢慢增大时,F·s的大小如何转变,什么缘故?(2021年·新课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,假设b·c=0,那么t= .考题变式(我来改编):答案第6课时从力做功到向量的数量积知识体系梳理问题1:|a||b|cos θ内积a·b=|a||b|cos θ投影正负值0|a| -|a|问题2:大小无关大小方向同一有关叠加合成位移向量的数量积(1)W=|F||s|·cos<F,s> 实数正数问题3:(1)b·a a·(λb)λ(a·b)a·c+b·c问题4:(1)|a|cos<a,e> (3)|a|2√O·O(4)O·O|O||O|基础学习交流1.A∵c⊥d,∴c·d=(2a+3b)·(ka-4b)=0,即2k-12=0,解得k=6.2.B OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3),∵OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥a,∴2(2k-1)+3×2=0,∴k=-1.3.π4由题意知(a-b)·a=a2-a·b=2-a·b=0,∴a·b=2.设a与b的夹角为θ,那么cos θ=O·O|O|·|O|=√22,∴θ=π4.4.解:∵a⊥c,∴2x-4=0,∴x=2,∵b∥c,∴1×(-4)-2y=0,∴y=-2,∴a=(2,1),b=(1,-2),∴a+b=(3,-1),∴|a+b|=√10.重点难点探讨探讨一:【解析】依照数量积的概念知,当a与b,a与c的夹角不同时,|a·b|≠|a·c|,∴(1)不正确;同理,(2)不正确;而|a·b|=|a||b|且a、b为非零向量,∴a∥b,即(3)正确.应选B.【答案】B【小结】(1)两向量的数量积是两个向量之间的乘法,它是一个实数,不是一个向量,其值能够为正,也能够为负,还能够为0.(2)切记两个向量的数量积及一个向量在另一个向量方向上的投影都是实数.探讨二:【解析】a·b=|a||b|cos 120°=3×4×(-12)=-6.(1)(a-b)2=a2-2a·b+b2=32-2×(-6)+42=37.(2)|a+b|=√(O+O)2=√O2+2a·b+O2=√32+2×(-6)+42=√13.【小结】(1)向量的数量积是两个向量之间的运算,求向量的模要合理运用|a|=√O2.(2)向量数量积的运算律类似于代数中的两个多项式的乘积,进行运算时归并“同类项”,要注意a2仅仅是一种记号,并非表示平方,即a2=a·a=|a|2,同理b2=|b|2.探讨三:【解析】如下图,设OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示水流速度,OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示船垂直于对岸的速度,OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示船的实际速度,∠AOC=150°,|OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=5 km/h,因为OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,因此|OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos 30°=5×√32≈4.33 km/h;|OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·sin 30°=5×12=2.5 km/h.[问题]此题解答正确吗?[结论]不正确.OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .于是,正确解答如下:如下图,设OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示水流速度,OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示船垂直于对岸的速度,OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示船的实际速度,∠AOC=30°,|OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=5 km/h.因为OACB为矩形,因此|OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·1tan30°=|OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·1tan30°=5√3≈8.66 km/h,|OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos30°=5√332=10 km/h.答:水流速度为8.66 km/h,船的实际速度为10 km/h.【小结】1.利用向量解决物理问题的步骤:①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的成立,即成立以向量为主体的数学模型;③参数的取得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,说明相关的物理现象.2.向量在物理应用中的大体题型:①力、速度、加速度、位移都是向量;②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加与减;③动量m·v是数乘向量,冲量Δt·F也是数乘向量;④功是力F与位移s的数量积,即W=F·s.思维拓展应用应用一:2π3cos θ=O·O|O||O|=-33×2=-12,∵0≤θ≤π,∴θ=2π3.应用二:(1)∵|a+b|2=a2+2a·b+b2=32+2a·b+42=25+2a·b=21,∴a·b=-2.(2)(2a-b)·(3a+b)=6a2-a·b-b2=6×32-(-2)-42=40.应用三:依据物理知识,有三对相对速度,汽车对地的速度为v车地,风对车的速度为v风车,风对地的速度为v风地.风对地的速度能够看成车对地与风对车的速度的合速度,即v风地=v风车+v车地.如图,依照向量加法的平行四边形法那么可知,表示向量v风地的有向线段OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是▱ACDB的对角线.∵|OO|=4 m/s,∠ACD=30°,|OO|=2 m/s,∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中,|OO|=|OO|·cos 30°=2√3(m/s).即风向的实际方向是正南方向,汽车速度的大小为2√3m/s.基础智能检测1.B依照题意知v1、v2方向相反,且|v1|>|v2|,逆盛行驶的速度为v=v1+v2,应选B.2.D由功的概念知W=|F||s|·cos<F,s>=|F||s|cos θ,应选D.3.(-3,-4)由题意知F1+F2+F3=0,∴F3=-(F1+F2)=-[(1,1)+(2,3)]=-(3,4)=(-3,-4).4.解:(1)W=|O||O|cos α;(2)W=F·s;(3)F·s=|O|·|O|cos α,因为余弦函数在[0,π]上是减函数,因此当α慢慢增大时,F·s慢慢减少.全新视角拓展2依照向量的运算法那么,b·c=b·[ta+(1-t)b]=0,即ta·b+(1-t)|b|2=0,从而取得,t|a||b|cos t+1-t=0,解得t=2.60°+(1-t)|b|2=12思维导图构建O·O|a|cos θ(a·b)(λb)a·c b·c|O|·|O|。
§5从力做的功到向量的数量积
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0． （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号 由夹角决定. （2）一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质 不适合．
（3）a ·b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运
算．
例题讲解
例 已知|a |=5，|b |=4，a与b的夹 角 120 ，求a ·b.
B
b
OaA
a
Ob B
A
若 0，a 与b 同向
B
b
a
B
O
A
若 180，a 与b 反向
b
a
O
A
若 90，a 与b 垂直，
记作 a b
平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
与b 反向时， a ·b = -| a | ·| b | ．
特别地 a a | a |2 或 | a | a a
（4）cos a b
| a || b | （5）a ·b ≤| a | ·| b |
练习：
1．若a =0，则对任一向量b ，有a ·b=0． √
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a ·b≠0． ×
解： a ·b =|a | |b |cosθ
5 4 cos120 54( 1)
2 10
物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方
向上的力做功．
F
作OA a，OB b ，过点B作 BB1
θ s
垂直于| b直| c线osOθ叫A，向垂量足b 在为aB方1，向则上O的B投1 影|．b | cosθ
高中数学必修四课件：2.5 从力做的功到向量的数量积 参考课件2
一、知识复习
1、数量积的定义： a b | a || b | cos
其中： a 0, b 0
是a和b的夹角,范围是0
注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.
数量积的坐标公式 ：
其中： a (x1, y1), b (x2 , y2 )
第七页，编辑于星期一：点 四分。
第四页，编辑于星期一：点 四分。
二.教学重、难点 :
重点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算 律.
难点: 运算律的理解
第五页，编辑于星期一：点 四分。
三.学法与教法 (1)自主性学习+探究式学习法： (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况， 找出未掌握的内容及其存在的差距. 四.教学过程
为零,是判断相应的两条
直线是否垂直的重要方
法之一.
第十七页，编辑于星期一：点 四分。
例3、已知OA a,OB b, a b a b 2,当AOB的面积有最大值时,
求a与b的夹角
B
b
O
A
a
第十八页，编辑于星期一：点 四分。
例4. 已知两点M 1,0, N1,0,且点P使MP MN, PM PN, NM NP
求 : 1.AD BC 2.AB CD 3.AB DA
D
C
60
A
B
进行向量数量积 计算时,既要考 虑向量的模,又
要根据两个向量 方向确定其夹角。
第十四页，编辑于星期一：点 四分。
三、典型例题分析
例1、如图,在平行四边形ABCD中,已知 AB 4, AD 3, DAB 60,
求 : 1.AD BC 2.AB CD 3.AB DA
高中数学-第二章 平面向量 2.5 从力做的功到向量的数量积课件 北师大版必修4
π
b=|a||b|cos θ=5×5×cos = ,
a·
3
2
=
所以|a+b|= ( + )2 = 2 + 2 + 2·
25 + 25 + 25=5 3.
|a-b|= (-)2 =
=
2 + 2 -2·
25 + 25-25=5.
(2)由2 =16,得| |=4,又| + |=| −
1
因此 cos θ=- ,从而 θ=120°.选 C.
2
答案:C
(2)解:如图所示,在平面内取一点 O,作=a, =b,
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OACB,使||=| |,
∴四边形 OACB 为菱形,OC 平分∠AOB,这时=a+b,=a-b.
)
(2)向量的数量积运算满足(a·
b)·
c=a·
(b·
c). (
)
(3)已知 a≠0,且 a·
c=a·
b,则 b=c. (
)
(4)在△ABC 中,| |=5,| |=6,∠ABC=60°,则 · =15.
(
)
答案:(1)× (2)× (3)× (4)×
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解析:设a与c的夹角为θ1,b与c的夹角为θ2,
∵a·c=b·c,
∴|a|·|c|cos θ1=|b|·|c|cos θ2.
∵c≠0,∴|a|cos θ1=|b|cos θ2.
答案:D
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的
25知识讲解_从力做的功到向量的数量积及坐标表示_基础
连接，也不能省略．
（2）求平面向量数量积的步骤是：①求 a 与 b 的夹角 ， ∈[0°，180°]．②分别求| a |和| b |．③
求它们的数量积，即 a · b =| a | | b |·cos ．
举一反三：
【变式 1】已知| a |=5，| b |=4，〈 a ， b 〉= ，求（ a + b ）· a .
3. 如 果 表 示 向 量 a 的 有 向 线 段 的 起 点 和 终 点 的 坐 标 分 别 为 (x1, y1 ) 、 (x2 , y2 ) ， 那 么 | a | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (平面内两点间的距离公式).
要点六：向量在几何中的应用
2
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件
的数量积．
【思路点拨】 已知向量| a |与| b |，求 a · b ，只需确定其夹角 ．
【解析】
（1）当 a ∥ b 时，有 =0°和 =180°两种可能．
若 a 与 b 同向，则 =0°， a · b =| a | |b|cos0°=4×5×1=20；
若 a 与 b 反向，则 =180°， a · b =| a | | b |cos180°=4×5×(―1)=―20．
式的值代入，即可求得被求式的值．
举一反三：
【高清课堂：平面向量的数量积 395485 例 4】
【变式 1】已知| a | 2,| b | 5, a b 3 ，求| a b |,| a b | ．
【答案】 35 23
【解析】
(a
b)2
2 a
2ab
2 b
4
25
6
35 ，|
a
b
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反之成立吗？
解答：成立.
例1 已知 a 5, b 4, a与b的夹角 120o，求a b.
解：a b a b cos
5 4cos120o
1 5 10 ( ) 2
10.
例2 已知 a 4, b 5, 且a与b的夹角为60 ，求 : 2 2 (1)a b (2) (a b) (3) (a b) 2 2 (4) a b (5)(2a 3b)(3a 2b)
例5 已知单位向量 e1 , e2的夹角为60°，求向量 a e1 e2, b e2 2e1 的夹角. 1 e e cos 60 , e e 解：由单位向量 1 , 2 的夹角为60°，得 1 2 2 所以 a b (e1 e2 ) (e2 2e1 ) 2e1 e1 e1 e2 e2 e2
1 3 2 1 . 2 2 2 2 2 2 a e1 e2 e1 2e1 e2 e2 3,
2 2 2 2 b e2 2e1 4 e1 4e1 e2 e2 3,
①
又
所以
a b 3.
②
C B a 2 2 2 ( AC - AB) a a BC BC BC ( AC - AB) 2 2 (b c) (b c) b b c c 2b c b c 2 b c cos A
向量的数量积的物理意义
力对物体做功，就是力 F 与其作用下物体的位移 S 的数量积 F S 。
两个向量数量积的性质
1.如果e是单位向量，则a e = e a a cos （ 是向 量a与e的夹角） ;
2.a b a b 0, a b 0 a b；
2.5 从力做的功到向量的 数量积
如图：一个物体在力 F 的作用下产生位移
如何计算力 F 所做的功？
F
S
W = F s cos , 是 F 与 s 的夹角. 力做的功：
向量的夹角
两个非零向量 a 和 b ，作 OA a ， OB b AOB 叫作向量 a 与 b 的夹角．
3.a a a , 即 a = a a；
a b 4.cos ( a b 0)； a b
2
5. a b a b .(当且仅当a b时，等号成立.)
向量数量积的运算律
1.a b b a;
2.(a) b (a b) a (b);
k a 2k 1a b 2b 0
2 2
14 所以当 k 时, k a b a 2b 15
14 解得 : k 15
k 25 2k 1 5 4 cos60 2 16 0
两个向量的数量积是否 为零,是判断相应的两条 直线是否垂直的重要方 法之一.
若 90 ， a 与 b 垂直，
记作 a b
向量的数量积（或内积）定义
a b cos
叫做向量 a 和 b 的数量积（或内积），
记作 a b ，即 a b = a b cos , 其中 是 a 与 b 的夹角.
注意:两个向量的数量积是一个实数，可以 是正数，负数，零.
3.(a + b) c a c b c.
思考：对于不共线向量a, b, c,判断(a b)c a (b c ) 是否成立？
不成立，因为(a b) c表示一个与c共线的向量，而a (b c ) 表示一个与a共线的向量，而a与c不共线，所以式子不成立。 思考：若a c b c，有a b吗？ 解答：不成立.
b² c² – 2bccosA. 同理可证其他两式，我们把这个结果称为余弦定理.
例4
已知 a 5, b 4, 且a与b夹角为60 ,问k为何值时, 使 k a b a 2b
解: k a b a 2b k a b a 2b 0
投影：
b
O 若是a与b的夹角， b cos叫做向量 | b | cos
b在a方向上的投影，如图，OB1 b cos .
思考： 1.投影是一个数量还是一个向量？
B
a
A
2.投影的正负与什么有关？
向量的数量积的几何意义
由投影的意义，我们可以得到 a b 的几何意义：
a与b的数量积等于a的长度 a 与b在a方向上射影 b cos的乘积，或b的长度 b 与a在b方向上射影 a cos的乘积.
例3 在ABC中，设边BC，CA，AB的长度分别为a，b，c，证明： a² b² c² – 2bccosA， b² c² a² – 2cacosB， c² a² b² – 2abcosC.
c A b
证明：设 AB c, BC a, AC b, 则
范围： 0 180
Hale Waihona Puke ，则 bB
O
计算向量的夹角时要 将两个向量起点放在 一起.
A
a
O b B A 若 0 ， a 与 b 同向
B O
a
b
a
B O A 若 180， a 与 b 反向
b
a
A
由于零向量的方向是 任意的，为方便起见， 规定:零向量可与任一 向量垂直.