第十课判别式与韦达定理

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根的判别式韦达定理

一元二次方程根的判别式和韦达定理知识点1.根的判别式21.4022.02043.,22ac b b ac b x x a a ⎧⎪≠-∆⎪⎪∆>⎧⎪⎪⎪∆=⎨⎨⎪⎪∆<⎩⎪⎪-±--±∆⎪==⎪⎩22概念：对于一个一元二次方程ax +bx+c=0(a 0)来说，b 称为根的判别式，记为。

时，方程有个不相等的根根的判别式意义：时，方程有个相等的根时，方程没有实数根公式法：解为即为补充：0≥∆时，方程有2个解，但不知道两个解是否相等。

例题讲解例1.当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。

（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根；（3）没有实根。

例2.当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。

小结：对于求一元二次方程中字母的取值或取值范围问题，一定要考虑全面。

特别注意“0≠a ”！例3．已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。

小结：这一类的题要注意3个方面：0≠a ，∆与0的关系，另外1x 和2x 间的数量关系课堂练习1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中，无实根的方程是。

2、已知关于x 的方程022=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是。

3、下列方程中，无实数根的是（）A 、011=-+-x xB 、 762=+y yC 、021=++xD 、0232=+-x x4、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（） A 、43<m B 、m ≤43 C 、43>m 且m ≠2 D 、m ≥43且m ≠25、在方程02=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（）A 、有两个不等实根B 、有两个相等实根C 、没有实根D 、无法确定 6、关于x 的一元二次方程x 2＋kx －1=0的根的情况是（）A 、有两个不相等的同号实数根B 、有两个不相等的异号实数C 、有两个相等的实数根D 、没有实数根7、 m 取何值时，方程()0112)2(22=++--x m x m （1）有两个不相等的实数根（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根8、试证：关于x 的方程1)2(2-=+-x m mx 必有实根。

(人教版初中数学)韦达定理

判别式与韦达定理〖知识点〗一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理〖大纲要求〗1.掌握一元二次方程根的判别式,会判断常数系数一元二次方程根的情况.对含有字母系数的由一元二次方程,会根据字母的取值范围判断根的情况,也会根据根的情况确定字母的取值范围；2.掌握韦达定理及其简单的应用；3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题. 内容分析1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac当△＞0时,方程有两个不相等的实数根；当△＝0时,方程有两个相等的实数根,当△＜0时,方程没有实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1,x 2,那么a b x x -=+21,ac x x =21(2)如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1,x 2,那么x 1+x 2=-P,x 1x 2=q(3)以x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．3.二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式ax 2+bx+c 的因式时,如果可用公式求出方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1,x 2,那么ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)．〖考查重点与常见题型〗1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况,有关试题出现在选择题或填空题中,如：关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中,如果a<0,那么梗的情况是（）（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根（D ）不能确定2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值,有关问题在中考试题中出现的频率非常高,多为选择题或填空题,如：设x 1,x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根,则x 12＋x 22的值是（）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题.在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题,考查了考生分析问题、解决问题的能力.考查题型1．关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中,如果a<0,那么根的情况是（）（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根（D ）不能确定2．设x 1,x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根,则x 12＋x 22的值是（）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．下列方程中,有两个相等的实数根的是（）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=04．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=05．如果x 1,x 2是两个不相等实数,且满足x 12－2x 1＝1,x 22－2x 2＝1,那么x 1·x 2等于（）（A ）2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－16．如果一元二次方程x 2＋4x ＋k 2＝0有两个相等的实数根,那么k ＝7．如果关于x 的方程2x 2－(4k+1)x ＋2 k 2－1＝0有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是8．已知x 1,x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根,则x 1＋x 2＝ ,x 1·x 2＝ ,（x 1－x 2）2＝9．若关于x 的方程(m 2－2)x 2－(m －2)x ＋1＝0的两个根互为倒数,则m ＝二、考点训练：1、不解方程,判别下列方程根的情况：（1）x 2－x=5 (2)9x 2－6 2 +2=0 (3)x 2－x+2=02、当m= 时,方程x 2+mx+4=0有两个相等的实数根；当m= 时,方程mx 2+4x+1=0有两个不相等的实数根；3、已知关于x 的方程10x 2－(m+3)x+m －7=0,若有一个根为0,则m= ,这时方程的另一个根是；若两根之和为－35,则m= ,这时方程的两个根为 . 4、已知3－ 2 是方程x 2+mx+7=0的一个根,求另一个根及m 的值.5、求证：方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根.6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－ 5 和1+ 5 .7、设x 1,x 2是方程2x 2+4x －3=0的两根,利用根与系数关系求下列各式的值：(1) (x 1+1)(x 2+1) (2)x 2x 1 + x 1x 2（3）x 12+ x 1x 2+2 x 1 解题指导1、如果x 2－2(m+1)x+m 2+5是一个完全平方式,则m= ;2、方程2x(mx －4)=x 2－6没有实数根,则最小的整数m= ;3、已知方程2(x －1)(x －3m)=x(m －4)两根的和与两根的积相等,则m= ;4、设关于x 的方程x 2－6x+k=0的两根是m 和n,且3m+2n=20,则k 值为 ;5、设方程4x 2－7x+3=0的两根为x 1,x 2,不解方程,求下列各式的值:(1) x 12+x 22 (2)x 1－x 2 （3）ｘ1 ＋ｘ2 ＊（4）x 1x 22＋12x 1 ＊6.实数ｓ、ｔ分别满足方程19ｓ2＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ2＝0求代数式ｓｔ＋4ｓ＋1ｔ的值. 7.已知a 是实数,且方程x 2+2ax+1=0有两个不相等的实根,试判别方程x 2+2ax+1－12(a 2x 2－a 2－1)=0有无实根？8.求证：不论k 为何实数,关于x 的式子(x －1)(x －2)－k 2都可以分解成两个一次因式的积.9．实数K 在什么范围取值时,方程ｋｘ2＋2（ｋ－1）ｘ－（K －1）＝0有实数正根？独立训练（一）1、不解方程,请判别下列方程根的情况；(1)2t 2+3t －4=0, ; (2)16x 2+9=24x, ;(3)5(u 2+1)－7u=0, ;2、若方程x 2－(2m －1)x+m 2+1=0有实数根,则m 的取值范围是 ;3、一元二次方程x 2+px+q=0两个根分别是2+ 3 和2－ 3 ,则p= ,q= ;4、已知方程3x 2－19x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是 ,m= ;5、若方程x 2+mx －1=0的两个实数根互为相反数,那么m 的值是 ;6、 m,n 是关于x 的方程x 2-(2m-1)x+m 2+1=0的两个实数根,则代数式m n = .7、已知关于x 的方程x 2－(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6,求k 的值;8、如果α和β是方程2x 2+3x －1=0的两个根,利用根与系数关系,求作一个一元二次方程,使它的两个根分别等于α+1 β 和β+1 α; 9、已知a,b,c 是三角形的三边长,且方程(a 2+b 2+c 2)x 2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根,求证：这个三角形是正三角形10.取什么实数时,二次三项式2x 2－(4k+1)x+2k 2－1可因式分解.11.已知关于X 的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β,若ｓ＝1 α＋1 β,求ｓ的取值范围. 独立训练（二）1、已知方程x 2－3x+1=0的两个根为α,β,则α+β= , αβ= ;2、如果关于x 的方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同,则m 的值为 ;3、已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212,则k= ; 4、若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3,则a= ;5、方程4x 2－2(a-b)x －ab=0的根的判别式的值是 ;6、若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m 的值为 ;7、已知p<0,q<0,则一元二次方程x 2+px+q=0的根的情况是 ;8、以方程x 2－3x －1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;9、设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根,求下列各式的值：(1)x 12x 2+x 1x 22 (2) 1x 1 －1x 210．m 取什么值时,方程2x 2－(4m+1)x+2m 2－1=0（1）有两个不相等的实数根,（2）有两个相等的实数根,（3）没有实数根；11．设方程x 2+px+q=0两根之比为1:2,根的判别式Δ=1,求p,q 的值.12．是否存在实数ｋ,使关于ｘ的方程9x 2－(4ｋ－7)x －6ｋ2=0的两个实根x 1,x 2,满足｜x 1 x 2｜＝32 ,如果存在,试求出所有满足条件的ｋ的值,如果不存在,请说明理由.。

一元二次方程根的判别式与韦达定理

由因式分解法可知，方程（x－x1）(x－x2)＝0（x1，x2为已知数）的两根为x1和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，即x2一(x1＋x2)x＋x1x2＝0，则二次项系数为1，一次项系数为p＝－(x1＋x2)，q＝x1x2．
于是，上述方程两个根的和、积与系数的关系分别有如下关系：
x1＋x2＝－p，x1x2＝q
例1
(1)已知关于x的一元二次方程x2Байду номын сангаас2x＋m＝0有解，求m的范围．
(2)己知关于x的一元二次方程x2－ x－m＝0有两个不相等实数根，求m的取值范围．
(3)求证：关于x的一元二次方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0（a≠0）总有实数根
(4)已知关于x的方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围
(2)己知：a、b、c分别是△ABC的三边长，
求证：关于x的方程b2x2＋(b2＋c2一a2)x＋c2＝0没有实数根．
练习
己知△ABC三边a，b，c，关于x的方程(a＋c)x2＋2bx－a＋c＝0，x2＋2ax＋b2＝0均有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
模块二一元二次方程根与系数关系
知识导航：
练习
(1)方程x2—2x－1＝0的两个实数根分别为x1、x2，(x1－l)(x2－1)＝______________
cz，设x1、x2是方程2x2—6x+l＝o的两个实数根，则(x1－ )(x2－ )的值为__________
【总结】
1、用韦达定理，常见的恒等变形有：
＋＝ ,x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2,(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
(2)一元二次方程x2—4x－c＝0的一个根是3，则另一个根是____，c＝___________

一元二次方程的判别式、韦达定理应用举例

一元二次方程的判别式、韦达定理应用举例抛物线
1. 判别式：
判别式是用来判别一元二次方程的根（解）是实根、重根还是无解的
一个实用公式，它是欧拉定理的重要应用。

判别式的表达式为：D=b²-4ac。

其中a、b、c分别为一元二次方程中的系数：ax²+bx+c=0。

2. 韦达定理应用举例：
韦达定理是欧几里得几何中的重要定理，可以用来证明几何图形的线
段关系。

举例说明：
假设有ABC三角形，设三点的坐标分别为A（2，3），B（-1，-4），C（1，-1），根据韦达定理可得：
d(AB)² + d(BC)² =d(AC)²
即求出d(AB)² + d(BC)² 与d(AC)²的值，如果相等，证明该三角形
是等腰的。

3. 抛物线：
抛物线是第二次多项式函数的一类，表达式为：y=ax²+bx+c，其中a、b、c分别为常数，x为变量。

抛物线的性质：当a>0时，抛物线是一条开
口向上的“U”形线，当a<0时，抛物线是一条开口向下的“∩”形线。

二次函数根的判别式与韦达定理

X1X2＞0 X1+X2＞0
两个负根
△≥0
{ X1X2＞0 X1+X2＜0
①当Δ＞0，即a＜1时，方程有两个不等实根
x1 1 1 a
x2 1 1 a
②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；
③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．
分类讨论是初中数学中重要的思想方法.
根与系数的关系（韦达定理）的发现过程
解下列方程并完成填空：
（1）x2-7x+12=0 (2)x2+3x-4=0 (3) 2x2+3x-2=0
例1 、判定方程根的情况（其中a为常数）如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x2－ax－1＝0 （2）x2－2x＋a＝0．
解（1）Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，
所以方程一定有两个不等的实数根
x1 a
a2 4 2
x2 a
a2 4 2
（2）Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，
4a 2
= 4a2
=
c a
一元二次方程的根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 ,
那么X1+x2= -
b a
,
X1x2=
c a
注：能用公式的前提条件为b2-4ac≥0
特殊情况：当二次项系数a=1 时
如果方程x2+px+q=0的两根是 X1 ，X2，
那么
X1+X2=
例4、若x1和x2分别是方程2x2＋5x－3＝0的两根．
（1）求| x1－x2|的值；
7 2
（2）求

二次函数根的判别式、韦达定理

一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理一、根的判别式1.一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a -+=±．也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2.判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ∆=-确定．判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b acx a -±-=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时24b b ac -±-是2a 的整数倍，则方程的根为整数根．说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>;有两个相等的实数根时，0∆=;没有实数根时，0∆<．(2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况(有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根． ① 当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ② 当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．3.一元二次方程的根的判别式的应用：一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：（1）运用判别式，判定方程实数根的个数；（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；（3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．二、韦达定理如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ，，那么，就有()()212ax bx c a x x x x ++=--比较等式两边对应项的系数，得1212b x x ac x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⋅⎪⎩①，② ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．因此，给定一元二次方程20ax bx c ++=就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数1x ，2x 满足①与②，那么这两数12x x ，必是一个一元二次方程20ax bx c ++=的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不求方程20ax bx c ++=的根，而知其根的正、负性．在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论：当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba-<，则此方程的正根小于负根的绝对值．当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0ba -<，则此方程的两根均为负根．⑴ 韦达定理：如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12bx x a+=-，12c x x a =．(隐含的条件：0∆≥)⑵ 若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根(其中12x x ≥)，且m 为实数，当0∆≥时，一般地： ① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0x x x x x x -++=． ⑷ 其他：① 若有理系数一元二次方程有一根a b +，则必有一根a b -(a ，b 为有理数)． ② 若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ③ 若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ④ 若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =．⑤ 若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-． ⑸ 韦达定理主要应用于以下几个方面：① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ③ 已知方程的两根，求作方程；④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑤ 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．例题一、判断方程根的情况【例1】不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）22340x x +-=；（2）216924y y +=；（3）()25170x x +-=。

判别式与韦达定理(竞赛辅导)

判别式与韦达定理根的判别式和韦达定理是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它们可进一步研究根的性质，也可以将一些表面上看不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论.1．判别式的应用例1已知实数a、b、c、R、P满足条件PR＞1，Pc+2b+Ra=0.求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实根.证明: △=（2b）2-4ac.①若一元二次方程有实根，必须证△≥0.由已知条件有2b=-（Pc+Ra），代入①，得△=（Pc+Ra）2-4ac=（Pc）2+2PcRa+（Ra）2-4ac=（Pc-Ra）2+4ac（PR-1）.∵（Pc-Ra）2≥0，又PR＞1，a≠0，（1）当ac≥0时，有△≥0；（2）当ac＜0时，有△=（2b）2-4ac＞0.（1）、（2）证明了△≥0，故方程ax2+2bx+c=0必有实数根.例2k是实数，O是数轴的原点，A是数轴上的点，它的坐标是正数a.P是数轴上另一点,坐标是x,x＜a，且OP2=k·PA·OA.（1）k为何值时，x有两个解x1，x2（设x1＜x2）；（2）若k＞1，把x1，x2，0，a按从小到大的顺序排列，并用不等号“＜”连接.解（1）由已知可得x2=k·（a-x）·a，即x2+kax-ka2=0，当判别式△＞0时有两解，这时△=k2a2+4ka2=a2k（k+4）＞0.∵a＞0，∴k（k+4）＞0，故k＜-4或k＞0.（2）x1＜0＜x2＜a.例3证明不可能分解为两个一次因式之积.分析若视原式为关于x的二次三项式，则可利用判别式求解.证明:将此式看作关于x的二次三项式，则判别式△=显然△不是一个完全平方式，故原式不能分解为两个一次因式之积. 例3 已知x，y，z是实数，且x+y+z=a……①x2+y2+z2=12a……②求证：0≤x≤23a, 0≤y≤23a, 0≤z≤23a.分析: 将①代入②可消去一个字母，如消去z，然后整理成关于y的二次方程讨论. 证明: 由①得z=a-x-y，代入②整理得此式可看作关于y的实系数一元二次方程，据已知此方程有实根，故有△ =16（x-a）2-16（4x2-4ax+a2）≥0≥0≤x≤23a同理可证：0≤y≤23a ，0≤z≤23a .例5 设a 1，a 2，a 3，b 是满足不等式（a 1+a 2+a 3）2≥2（）+4b 的实数.求证：a 1a 2+a 2a 3+a 3a 1≥3b. 证明: 由已知可得≤0.设则∵a 3是实数，故△≥0，即有（a 1+a 2）2≥（）-2a 1a 2+4b+r≥2（）-（a 1+a 2）2+4b.于是（a 1+a 2）2≥（）+2b ，∴a 1a 2≥b.同理有a 2a 3≥b，a 3a 1≥b.三式相加即得 a 1a 2+a 2a 3+a 3a 1≥3b.例6 设a 、b 、c 为实数，方程组2y xy ax bx c=⎧⎨=++⎩与2y xy ax bx c=-⎧⎨=++⎩均无实数根.求证:对于一切实数x都有21 4ax bx ca++>.证明:由已知条件可以推出a≠0，因为若a=0，则方程组y xy bx c=⎧⎨=+⎩,y xy bx c=-⎧⎨=+⎩至少有一个有实数解.进一步可知，方程ax2+bx+c=±x无实根，因此判别式△=(b1)2-4ac＜0，于是（b-1）2+（b+1）-8ac＜0.即 4ac-b2＞1.∴2222424b ac bax bx c a xa a⎡⎤-⎛⎫++=-+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＞21144aaa•=.2．韦达定理的应用例7 假设x1、x2是方程x2-（a+d）x+ad-bc=0的根.证明这时x13、x23是方程的根.证明：由已知条件得∴=a3+d3+3abc+3bcd，由韦达定理逆定理可知，、是方程的根.例8 已知两个系数都是正数的方程a1x2+b1x+c1=0…… ①a2x2+b2x+c2=0……②都有两个实数根，求证：（1）这两个实数根都是负值；（2）方程a1a2x2+b1b2x+c1c2=0…… ③也有两个负根.证明：∵方程①有两个实数根，∴＞0. ④同理＞0. ⑤又a1、b1、c1都是正数，∴＞0，＜0.由此可知方程①的两根是负值.同样可证方程②的两根也是负值. 显然a1c1＜4a1c1代入④，得＞0，⑥由＞0，得＞⑦∴△=≥=＞0，∴方程③也有两个实数根.又a1a2＞0，b1b2＞0，c1c2＞0，∴＞0，＜0.由此可知方程③的两个根也是负值.例9对自然数n，作x的二次方程x2+（2n+1）x+n2=0，使它的根为αn和βn.求下式的值：+解：由韦达定理得=而 =（n≥3），∴原式=+=例10首项不相等的两个二次方程（a-1）x2-（a2+2）x+（a2+2a）=0 ①及（b-1）x2-（b2+2）x+（b2+2b）=0 ②（其中a，b为正整数）有一公共根，求的值.解：由题得知，a，b为大于1的整数，且a≠b.设x0是方程①②的公共根，则x0≠1，否则将x=1代入①得a=1，矛盾.得x0代入原方程，并经变形得③及④所以a，b是关于t的方程相异的两根，因此于是 ab-（a+b）=2，即（a-1）（b-1）=3.由a-1=1b-1=3⎧⎨⎩或a-1=3b-1=1⎧⎨⎩，解得a=2b=4⎧⎨⎩或a=4b=2⎧⎨⎩∴例11设实数a，b，c满足求证:1≤a≤9.证明：由（1）得bc=a2-8a+7.（1）-（2）得 b+c=所以实数b，c可看成一元二次方程的两根，则有△≥0，即≥0，即（a-1）（a-9）≤0，∴1≤a≤9.例12 求证：对任一矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形A 和矩形B 的周长和面积比都等于常数k （k≥1）. 分析设矩形A 及B 的长度分别是a ，b 及x ，y ，为证明满足条件的矩形B 存在，只须证明方程组(x y k a b xy kab ⎧⎨⎩+=+= （k ，a ，b 为已知数）有正整数解即可. 再由韦达定理，其解x ，y 可以看作是二次方程 z 2-k （a+b ）z+kab=0的两根. ∵k≥1，故判别式△ =k 2（a+b ）2-4kab≥k 2（a+b ）2-4k 2ab=k 2（a-b ）2≥0， ∴上述二次方程有两实根z 1，z 2. 又z 1+z 2=k （a+b ）＞0，z 1z 2=kab ＞0，从而，z 1＞0，z 2＞0，即方程组恒有x ＞0，y ＞0的解，所以矩形B 总是存在的. 练习 1．填空题（1）设方程x-1x =1987的两根为m ，n （m ＞n ），则代数式311n m n ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭--的值是_______; （2）若r 和s 是方程x 2-px+q=0的两非零根,则以r 2+21s 和s 2+21r 为根的方程是______________________;（3）已知方程x 2-8x+15=0的两根可以写成a 2+b 2与a-b,其中a 与b 是方程x 2+px+q=0的两根,那么|p|-q=__________. 2.选择题(1)若p,q 都是自然数,方程px 2-qx+1985=0的两根都是质数,则12p 2+q 的值等于( ).(A)404 (B)1998 (C)414 (D)1996(2)方程(1984x)2-1983·1985x -1=0的较大根为r,x 2+1983x-1984=0的较小根为s,则r-s 等于( ). (A)11985 (B)1985 (C)19841985 (D)-19831984(3)x 2+px+q 2=0(p≠0)的两个根为相等的实数，则x 2-qx+p 2=0的两个根必为（）. (A) 非实数 (B)相等两实数 (C)非实数或相等两实数 (D)实数（4）如果关于方程mx 2-2（m+2）x+m+5=0没有实数根，那么关于x 的方程（m-5）x 2-2（m+2）x+m=0的实根个数为 (A)2 (B)1 (C)0 (D)不确定3．设a 1≠0，方程a 1x 2+b 2x+c 1=0的两个根是1-a 1和1+a 1；a 1x 2+b 1x+c 2=0的两个根是12a -1和1-11a ；a 1x 2+b 1x+c 1=0的两根相等，求a 1，b 1，c 1，b 2，c 2的值. 4.常数a 是满足1≤a≤50的自然数.若关于x 的二次方程(x-2)2+(x-a)2=x 2的两根都是自然数,试求a 的值. 5.设x 2、x 2为正系数方程ax 2+bx+c=0的两根，x 1+x 2=m ，x 1·x 2=n 2，且m ，n.求证: (1) 如果m ＜n ，那么方程有不等的实数根； (2) 如果m ＞n ，那么方程没有实数根.6．求作一个以两正数α，β为根的二次方程，并设α，β满足 7．当a ，b 为何值时，方程x 2+（1+a ）x+（3a 2+4ab+4b 2+2）=0有实根？ 8．试证：1986不能等于任何一个整系数二次方程ax 2+bx+c=0的判别式的值. 9．方程x 2+ax+1=b 的根是自然数，证明a 2+b 2是合数. 10．不用辅助工具解答：（1）证满足的根在和197.…间；（2）同（1）证＜1..练习答案:1.(1)(2)(3)3.2. C B A.3.4.x=a+2±由于x为自然数，可知a为完全平方数即a=1，4，9，16，25，36，49.5. 略6. 3x2-7x+2=0.7. 因为方程有实根,所以判别式8. 设1986=4k+2(其中k是自然数).令△=b2-4ac=4k+2,这时b2能被2整除,因而b也能被2整除.取b＝2t,这时b2=4t2,且4t2-4ac=4k+2.这时等式左边的数能被4整除,而右边的数不能被4整除,得出矛盾,故命题得证.文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。

初中数学一元二次方程根的判别式与韦达定理

根的判别式与韦达定理中考要求例题精讲板块一根的判别式☞定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a+= 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．☞判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．☞根的判别式的应用：☞⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况：⑴22340x x +-=；⑵20ax bx +=（0a ≠）【解析】略【答案】⑴22340x x +-=∵2342(4)410∆=-⨯⨯-=> ∴方程有两个不相等的实数根． ⑵∵0a ≠∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零 ∵22()40b a b ∆=--⋅⋅=∵无论b 取任何数，2b 均为非负数 ∴0∆≥，故方程有两个实数根【巩固】不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定【解析】由方程可得3680∆=+>，所以方程有两个不相等的实数根．【答案】A【巩固】不解方程判定下列方程根的情况：⑴22340x x +-=；⑵232x +=212x +=；⑷22(21)220m x mx +-+=；⑸2210x ax a ++-=220-+=；⑺4(1)30x x +-=；⑻2(1)(2)x x m --=【解析】略【答案】⑴两个不等的实数根；⑵两个相等的实数根；⑶无实数根；⑷无实数根；⑸两个不等的实数根；⑹无实数根；⑺两个不相等的实数根；⑻两个不相等的实数根【例2】已知a ，b ，c 是不全为0的3个实数，那么关于x 的一元二次方程2222()()0x a b c x a b c ++++++= 的根的情况（）． A ．有2个负根 B ．有2个正根 C ．有2个异号的实根 D ．无实根【解析】方程 2222()()0x a b c x a b c ++++++=的判别式为：2222()4()a b c a b c ∆=++-++222333222a b c ab bc ca =---+++222222222(2)(2)(2)a ab b b bc c c bc a a b c =-+-+-+-+-+----222222[()()()]a b b c c a a b c =--+-+-+++∵a ，b ，c 不全为0，∴0∆<．∴原方程无实数根．故选D ．【答案】D☞⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；【例3】 m 取什么值时，关于x 的方程222(3)6x mx +-=有两个相等的实数根【解析】略【答案】1m =±【巩固】如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（）A ． 1k <B ． 0k ≠C ．10k k <≠且D ． 1k >【解析】由题可得363600k k ∆=->⎧⎨≠⎩所以 10k k <≠且【答案】C【巩固】方程2610kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【解析】注意二次项系数不为0 【答案】9k <且0k ≠【巩固】若关于x 的二次方程2(1)220m x mx m -++-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是【解析】注意二次项系数不为0【答案】23m >且1m ≠【巩固】若关于x 的一元二次方程2(1)210k x x ++-=有实数根，则k 的最小整数值为【解析】注意题目要求以及二次项系数不为0的条件【答案】2k =-【巩固】已知方程22(21)10m x m x +++=有实数根，求m 的范围．【解析】注意分两种情况讨论：若0m =，则原方程可化为101x x +=⇒=-满足题意；若0m ≠，则由题意可知221(21)404104m m m m ∆=+-≥⇒+≥⇒≥-．综上可知，14m ≥-【答案】14m ≥-【例4】关于x的一元二次方程2(12)10k x ---=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【解析】由题意，得4(1)4(12)010120k k k k ++->⎧⎪+≥⎨⎪-≠⎩解得12k -≤<且12k ≠【答案】12k -≤<且12k ≠【巩固】关于x的方程210x ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为________．【解析】240k ⎧∆=->⎪⎨>⎪⎩，解得1k >【答案】1k >【巩固】已知关于x 的方程222(1)50x m x m ++++=有两个不相等的实数根，化简：|1|m -【解析】∵0>△，∴2m >∴|1||1||2|23m m m m --+-=-【答案】23m -【巩固】已知关于x的一元二次方程20x m -=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．【解析】由题意可知，原方程的判别式21(41303m m m ∆=+=+>⇒>-．又101m m -≥⇒≤，故113m -<≤．【答案】113m -<≤【巩固】k 为何值时，方程2(1)(23)(3)0k x k x k --+++=有实数根．【解析】需要分两种情况来讨论：⑴ 当10k -=时，原方程是一元一次方程，有一个实数根45x =； ⑵ 当10k -≠时，方程是一元二次方程，故0∆≥，解得214k ≥-且1k ≠，所以当214k ≥-且1k ≠时方程有两个实数根．综上所述，当214k ≥-时，方程有实数根．【答案】214k ≥-【例5】关于x 的方程()26860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是．【解析】由一元二次方程根的情况可知240b ac -≥，即()()284660a --⨯⨯-≥，解得263a ≤，故max 8a =．【答案】8【巩固】若方程222(1)450x a x a a ++++-=有实数根，求：正整数a ．【解析】0∆≥，即()()22414450a a a +-+-≥，解不等式得3a ≤，即123a =，，．【答案】1，2，3【例6】已知关于x 的方程()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根，且a 、b 为实数，则32a b +=________．【解析】∵()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根．∴0∆=，即()()222210a b b b ++-+=∴()()22210a b b ++-=，∴0a b +=，10b -=∴1b =，1a =-，因此321a b +=-．【答案】1-【巩固】当a b 、为何值时，方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根？【解析】要使关于x 的一元二次方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根，则必有0∆≥，即()()22241434420a a ab b +-+++≥，得()()22210a b a ++-≤．又因为()()22210a b a ++-≥，所以()()22210a b a ++-=，得1a =，12b =-．【答案】1a =，12b =-【例7】已知a ，b ，c 为正数，若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么方程22220a x b x c ++=的根的情况是（）A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根【解析】22220a x b x c ++=的422224(2)(2)b a c b ac b ac ∆=-=+-，∵二次方程20ax bx c ++=有两个实数根， ∴240b ac ->，∴220b ac ->，∴422224(2)(2)0b a c b ac b ac ∆=-=+->∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正．故有两个负根．故选C ．【答案】C【巩固】若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，那么方程2(1)220m x mx m +-+-=（）．A ．没有实数根B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根D ．实数根的个数不能确定【解析】∵方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，∴20m +=，得2m =-．∴方程2(1)220m x mx m +-+-=，即为方程2440x x -+-=，∴244(1)(4)0∆=-⨯-⨯-=． ∴方程2(1)220m x mx m +-+-=有2个相等的实数根．故选C ．特别注意方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根．若20m +≠，则方程要么有2个根（相等或不相等），要么没有实数根．条件指明，该方程只有1个实数根，所以20m +=，且10m +≠．【答案】C☞⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；【例8】对任意实数m ，求证：关于x 的方程222(1)240m x mx m +-++=无实数根．【解析】略【答案】∵210m +≠，故方程为一元二次方程．()()()2222422414442016m m m m m m ∆=--++=---()424241616444m m m m =---=-++()222m =-+∵220m +≠，∴0∆<，故方程无实根．【巩固】求证：关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m -+++=有两个实数根．【解析】略【答案】∵2(2)10x m x m -+++=是关于x 的一元二次方程∴[]22(2)4(1)m m m ∆=-+-+= ∵20m ≥∴原方程有两个实数根．【巩固】已知实数a 、b 、c 、r 、p 满足2pr >，20pc b ra -+=，求证：一元二次方程220ax bx c ++=必有实根．【解析】略【答案】2(2)4b ac ∆=-，因2b pc ra =+，则222()4()()2(2)pc m ac pc ra ac pr ∆=+-=++-．又2pr >，所以当0ac ≥时，0∆≥；当0ac <时，40ac ->，2()40pc ra ac ∆=+->．因此，一元二次方程220ax bx c ++=必有实根．【巩固】证明：无论实数m 、n 取何值时，方程2()0mx m n x n +++=都有实数根【解析】注意分类讨论.【答案】⑴若0m =，则方程为nx n =-，当0n ≠时，有实数根1x =-；当0n =时，方程的根为任意实数⑵当0m ≠时，原方程为一元二次方程 22()4()0m n mn m n ∆=+-=-≥ ∴方程必有实数根综合⑴⑵可知，原结论成立【巩固】已知：方程()22250mx m x m -+++=没有实数根，且5m ≠，求证：()()25220m x m x m --++=有两个实数根．【解析】略【答案】当0m =时，()22250mx m x m -+++=可化为450x -+=，此时方程有根，故0m ≠ 故214(2)4(5)0404m m m m m ∆=+-+<⇒-<⇒>．方程()()25220(5)m x m x m m --++=≠的判别式为： 224(2)4(5)4(94)0m m m m ∆=+--=+>故方程()()25220(5)m x m x m m --++=≠有两个实数根．板块二韦达定理☞ 如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=．☞利用韦达定理求代数式的值【例9】不解方程224)0x x +-=，求两根之和与两根之积【解析】韦达定理成立的前提条件是0∆≥ 【答案】令此方程的两个实数根为1x 、2x由韦达定理得12x x +==，12x x ⋅==【巩固】设方程24730x x --=的两个根为1x 、2x ，不解方程求下列各式的值⑴12(3)(3)x x --；⑵211211x xx x +++；⑶12x x -【解析】不解方程，即利用韦达定理将12x x +、12x x 的整体构造出来【答案】由韦达定理得1274x x +=，1234x x ⋅=-⑴12121237(3)(3)3()939344x x x x x x --=-++=--⨯+=；⑵221221112121212121212(1)(1)()2()10111(1)(1)132x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++-+++===+++++++ ⑶2221212127397()()4()4()4416x x x x x x -=+-=-⨯-=，∴12x x -=【巩固】已知方程22430x x +-=的两个根为1x 、2x⑴12x x += ；⑵12_______x x ⋅=；⑶1211_______x x +=；⑷2212_______x x +=【解析】略【答案】⑴2-；⑵32-；⑶43；⑷7【巩固】已知α、β是方程2520x x ++=的值．【解析】注意α，β均为负数，很多学生求出的结果均为负值【答案】由韦达定理可得，5αβ+=-，2αβ=∴22222()2522a a ββαβαβαβαβαβ+++=++===☞利用韦达定理求参数的值【例10】若3-、2是方程20x px q -+=的两个根，则________p q += 【解析】略【答案】7-【巩固】若方程210x px ++=的一个根为1，则它的另一根等于，p 等于【解析】部分学生喜欢将1x =p 的数值，然后再求方程另外一个根，此方法较慢。

判别式-韦达定理经典题型讲解

训练题
1、（海淀中考）已知：关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0的两个实数根之差的平方为m．
（1）试分别判断当a=1，c=-3与a=2，c= 时，m≥4是否成立，并说明理由；
（2）若对于任意一个非零的实数a，m≥4总成立，求实数c及m的值．
2、已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：①x2-1=0，②x2+x-2=0，③x2+2x-3=0，…（n）x2+（n-1）x-n=0．
家长签字：
【典例3】.已知关于x的一元二次方程与有一个相同的根，求k的值。
【典例4】已知方程
（1）若方程两根之差为5，求k。
（2）若方程一根是另一根2倍，求这两根之积。
【典例5】已知方程两根之比为1：3，判别式值为16，求a、b的值。
【典例6】（06黑龙江）已知关于x的方程kx2-2（k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．
（6）方程x+8x-1=0的两个根为α，β，则3α+2αβ+8α-9=_______
5、已知a-3a=1,b-3b=1,求 + 的值。
6、三角形ABC 的三边长分别为 a,b,c，满足b=8-c, a-12a-bc+52=0,试判断三角形ABC的形状。
7、s,t满足19s+99s+1=0,t+99t+19=0 ，并且st≠1,求的值。
学生姓名
赵琦
年级
九年级
上课时间
07月15日16:30~18:30
教学目标
教学重难点
1、求根公式：
2、根的判别式：
3、韦达定理：
根的判别式
【典例1】.关于的方程的一个根是－2，则方程的另一根是_____；＝______。

精品九年级数学上册一元二次方程判别式和韦达定理

一元二次方程判别式和韦达定理一、知识内容提要1、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其根的判别式为：△＝b2－4ac（1）△= b2－4ac＞0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根21242b b acxa-±-=，。

（2）△= b2－4ac＝0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根122bx xa==-。

（3）△= b2－4ac＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根。

2、一元二次方程根的判别式的主要应用方面：（1）判定方程根情况：根据方程或给定的条件，判定方程根的情况（不解方程）；（2）确定字母取值范围：利用判别式建立等式、不等式,确定含字母的一元二次方程中参数值或取值范围；（3）证明、探求参数条件：证明某种条件下方程根情况，或求参数满足条件等；（4）讨论根的性质：构造一元二次方程，把原问题转化为讨论根的性质。

3、韦达定理：一元二次方程)0(02≠=++acbxax的根与系数的关系设方程的两根为1x、2x，则acxxabxx=-=+2121,。

注：现在应用韦达定理的前提条件是042≥-=∆acb，即方程必须有实数解。

4．韦达定理的逆定理: 以两个实数21xx，为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：()021212=++-xxxxxx注意：（1）根与系数的关系是以一元二次方程有两个实数根（Δ≥0）为前提的，因此，运用韦达定理判定根具体条件必须考虑Δ≥0这一条件。

（2）运用韦达定理可以不解方程，求含有1x、2x的代数式值，常见变形如下：2122122212)(xxxxxx-+=+，21221221214)()(||xxxxxxxx-+=-=-，)(3)(21213213231xxxxxxxx+-+=+，21212111xxxxxx+=+二、考点分析（一）判别式的运用问题一、利用判别式,判定方程根的个数和情况.例1、不解方程，直接判断下列方程的解的情况：⑴2710x x --=⑵294(31)x x =-（3）22320x x --+= （4）2(1)02m x m x -++=(m 为常数)例2.关于x 的一元二次方程01)12(2=-+++k x k x 的根的情况是（）.A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.根的情况无法判断练习：⑴若关于x 的方程x 2－2x －m ＝0有两个相等的实数根，则m ＝__________；⑵若关于x 的方程(x ＋1)2＝1－k 无实根，则k 的取值为__________；⑶若关于x 的一元二次方程21(1)04k x x -+-=有实根，则k 的取值范围为__________；例3.已知关于x 的方程02)22=++-k x k x （. (1)求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形ABC 的一边长为a=1,另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长；练习：已知关于x 的方程 x 2－(k ＋1)x ＋2k －2＝0⑴求证：无论k 为何值，方程总有实根；⑵若等腰△ABC ，底边a ＝3，另两边b 、c 恰好是此方程的两根，求△ABC 的周长。

初中数学知识点总结：判别式法与韦达定理

初中数学知识点总结：判别式法与韦达定理末宝介绍的9个方法贯穿了整个初中乃至高中数学，同学们务必要掌握哦!1、配方法通过把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式解决数学问题的方法，叫配方法。

配方法用的最多的是配成完全平方式，它是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。

因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。

通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2bxc=0(a、b、c属于R，a≠0)根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。

它是中学数学中常用的方法之一。

第十课判别式与韦达定理

第10课判别式与韦达定理〖知识点〗一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理〖大纲要求〗1.掌握一元二次方程根的判别式,会判断常数系数一元二次方程根的情况.对含有字母系数的由一元二次方程,会根据字母的取值范围判断根的情况,也会根据根的情况确定字母的取值范围；2.掌握韦达定理及其简单的应用；3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题. 内容分析1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac当△＞0时,方程有两个不相等的实数根；当△＝0时,方程有两个相等的实数根,当△＜0时,方程没有实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1,x 2,那么a b x x -=+21,ac x x =21(2)如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1,x 2,那么x 1+x 2=-P,x 1x 2=q(3)以x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．3.二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式ax 2+bx+c 的因式时,如果可用公式求出方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1,x 2,那么ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)．〖考查重点与常见题型〗1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况,有关试题出现在选择题或填空题中,如：关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中,如果a<0,那么梗的情况是〔〕〔A 〕有两个相等的实数根〔B 〕有两个不相等的实数根〔C 〕没有实数根〔D 〕不能确定2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值,有关问题在中测试题中出现的频率非常高,多为选择题或填空题,如：设x 1,x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根,那么x 12＋x 22的值是〔〕〔A 〕15 〔B 〕12 〔C 〕6 〔D 〕33．在中测试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解做题.在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题,考查了考生分析问题、解决问题的水平.考查题型1．关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中,如果a<0,那么根的情况是〔〕〔A 〕有两个相等的实数根〔B 〕有两个不相等的实数根〔C 〕没有实数根〔D 〕不能确定2．设x 1,x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根,那么x 12＋x 22的值是〔〕〔A 〕15 〔B 〕12 〔C 〕6 〔D 〕33．以下方程中,有两个相等的实数根的是〔〕（A ） 2y 2+5=6y 〔B 〕x 2+5=2 5 x 〔C 〕 3 x 2－ 2 x+2=0〔D 〕3x 2－2 6 x+1=04．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是〔〕（A ） y 2+5y －6=0 〔B 〕y 2+5y ＋6=0 〔C 〕y 2－5y ＋6=0 〔D 〕y 2－5y －6=05．如果x 1,x 2是两个不相等实数,且满足x 12－2x 1＝1,x 22－2x 2＝1,那么x 1·x 2等于〔〕〔A 〕2 〔B 〕－2 〔C 〕1 〔D 〕－16．如果一元二次方程x 2＋4x ＋k 2＝0有两个相等的实数根,那么k ＝7．如果关于x 的方程2x 2－(4k+1)x ＋2 k 2－1＝0有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是8．x 1,x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根,那么x 1＋x 2＝ ,x 1·x 2＝ ,〔x 1－x 2〕2＝9．假设关于x 的方程(m 2－2)x 2－(m －2)x ＋1＝0的两个根互为倒数,那么m ＝二、考点练习：1、不解方程,判别以下方程根的情况：〔1〕x 2－x=5 (2)9x 2－6 2 +2=0 (3)x 2－x+2=02、当m= 时,方程x 2+mx+4=0有两个相等的实数根；当m= 时,方程mx 2+4x+1=0有两个不相等的实数根；3、关于x 的方程10x 2－(m+3)x+m －7=0,假设有一个根为0,那么m= ,这时方程的另一个根是；假设两根之和为－35,那么m= ,这时方程的两个根为 . 4、 3－ 2 是方程x 2+mx+7=0的一个根,求另一个根及m 的值.5、求证：方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根.6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－ 5 和1+ 5 .7、设x 1,x 2是方程2x 2+4x －3=0的两根,利用根与系数关系求以下各式的值：(1) (x 1+1)(x 2+1) (2)x 2x 1 + x 1x 2〔3〕x 12+ x 1x 2+2 x 1 解题指导1、如果x 2－2(m+1)x+m 2+5是一个完全平方式,那么m= ;2、方程2x(mx －4)=x 2－6没有实数根,那么最小的整数m= ;3、方程2(x －1)(x －3m)=x(m －4)两根的和与两根的积相等,那么m= ;4、设关于x 的方程x 2－6x+k=0的两根是m 和n,且3m+2n=20,那么k 值为 ;5、设方程4x 2－7x+3=0的两根为x 1,x 2,不解方程,求以下各式的值:(1) x 12+x 22 (2)x 1－x 2 〔3〕ｘ1 ＋ｘ2 ＊〔4〕x 1x 22＋12x 1 ＊6.实数ｓ、ｔ分别满足方程19ｓ2＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ2＝0求代数式ｓｔ＋4ｓ＋1ｔ的值. 7.a 是实数,且方程x 2+2ax+1=0有两个不相等的实根,试判别方程x 2+2ax+1－12(a 2x 2－a 2－1)=0有无实根？8.求证：不管k 为何实数,关于x 的式子(x －1)(x －2)－k 2都可以分解成两个一次因式的积.9．实数K 在什么范围取值时,方程ｋｘ2＋2〔ｋ－1〕ｘ－〔K －1〕＝0有实数正根？独立练习〔一〕1、不解方程,请判别以下方程根的情况；(1)2t 2+3t －4=0, ; (2)16x 2+9=24x, ;(3)5(u 2+1)－7u=0, ;2、假设方程x 2－(2m －1)x+m 2+1=0有实数根,那么m 的取值范围是 ;3、一元二次方程x 2+px+q=0两个根分别是2+ 3 和2－ 3 ,那么p= ,q= ;4、方程3x 2－19x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是 ,m= ;5、假设方程x 2+mx －1=0的两个实数根互为相反数,那么m 的值是 ;6、 m,n 是关于x 的方程x 2-(2m-1)x+m 2+1=0的两个实数根,那么代数式m n = .7、关于x 的方程x 2－(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6,求k 的值;8、如果α和β是方程2x 2+3x －1=0的两个根,利用根与系数关系,求作一个一元二次方程,使它的两个根分别等于α+1 β 和β+1 α; 9、 a,b,c 是三角形的三边长,且方程(a 2+b 2+c 2)x 2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根,求证：这个三角形是正三角形10.取什么实数时,二次三项式2x 2－(4k+1)x+2k 2－1可因式分解.11.关于X 的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2〔3－ｍ〕ｘ＋1＝0的两实数根为α,β,假设ｓ＝1 α＋1 β,求ｓ的取值范围. 独立练习〔二〕1、方程x 2－3x+1=0的两个根为α,β,那么α+β= , αβ= ;2、如果关于x 的方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同,那么m 的值为 ;3、方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212,那么k= ; 4、假设方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3,那么a= ;5、方程4x 2－2(a-b)x －ab=0的根的判别式的值是 ;6、假设关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m 的值为 ;7、 p<0,q<0,那么一元二次方程x 2+px+q=0的根的情况是 ;8、以方程x 2－3x －1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;9、设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根,求以下各式的值：(1)x 12x 2+x 1x 22 (2) 1x 1 －1x 210．m 取什么值时,方程2x 2－(4m+1)x+2m 2－1=0（1）有两个不相等的实数根,〔2〕有两个相等的实数根,〔3〕没有实数根；11．设方程x 2+px+q=0两根之比为1:2,根的判别式Δ=1,求p,q 的值.12．是否存在实数ｋ,使关于ｘ的方程9x 2－(4ｋ－7)x －6ｋ2=0的两个实根x 1,x 2,满足｜x 1 x 2｜＝32 ,如果存在,试求出所有满足条件的ｋ的值,如果不存在,请说明理由.。

根的判别式与韦达定理

一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ;当判别式042≥-=∆ac b 时;其求根公式为：aacb b x 24221-±-=、；当0≥∆时;设一元二次方程的两根为21x x 、;有：abx x -=+21;a c x x =⋅21；根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的;即当ab x x -=+21;ac x x =⋅21时;那么21x x 、则是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根..一元二次方程的根与系数的关系;综合性强;应用极为广泛;在中学数学中占有极重要的地位;也是数学学习中的重点..学习中;除了要求熟记一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式ac b 42-=∆存在的三种情况外;还常常要求应用韦达定理解答一些变式题目;以及应用求根公式求出方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 、;进而分解因式;即))((212x x x x a c bx ax --=++..下面就对韦达定理的应用可能出现的问题举例做些分析;希望能带来小小的帮助..一、根据判别式;讨论一元二次方程的根..例1：已知关于x 的方程103)21(22=-+--a x a x 有两个不相等的实数根;且关于x 的方程201222=-+-a x x 没有实数根;问a 取什么整数时;方程1有整数解分析：在同时满足方程1;2条件的a 的取值范围中筛选符合条件的a 的整数值.. 解：说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础;正确确定a 的取值范围;并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理;从而筛选出a ;这是解答本题的基本技巧..二、判别一元二次方程两根的符号..例2：不解方程;判别方程07322=-+x x 两根的符号 ..判别根的符号;需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定;倘若由题中021<⋅x x ;所以可判定方程的根为一正一负；倘若021>⋅x x ;仍需考虑21x x +的正负;倘若021>+x x ;则方程有两个正数根；倘若021<+x x ;则方程有两个负数根..解：说明：对于)0(02≠=++a c bx ax 来说;往往二次项系数;一次项系数;常数项皆为已知;可据此求出根的判别式∆;但∆只能用于判定根的存在与否;若判定根的正负;则需要确定21x x ⋅ 或21x x +的正负情况..因此解答此类题的关键是：既要求出判别式的值;又要确定21x x ⋅ 或21x x +的正负情况..三、已知一元二次方程的一个根;求出另一个根以及字母系数的值..例3：已知方程052622=+-+-m m x x 的一个根为2;求另一个根及m 的值..分析：此类题通常有两种解法：一是根据方程根的定义;把x =2代入原方程;先求出m 的值;再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及m 的值.. 解法一：解法二：例4：已知方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根;且两个根的平方和比两根的积大21;求m 的值..分析：本题若利用转化的思想;将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于m 的方程;即可求得m 的值.. 解：说明：当利用根与系数的关系求出m 后;还需注意使用韦达定理的必要条件0≥∆;应舍去不合题意的m .. 四、运用判别式及根与系数的关系解题.. 例5：已知21x x 、是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根;问1x 和2x 能否同号若能同号;请求出相应的m 的取值范围；若不能同号;请说明理由..解：说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系;是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具;也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具..知识的运用方法灵活多样;是设计考察创新能力试题的良好载体;在中考中与此有联系的试题出现频率很高;是重点练习的内容..五、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题..例6：已知βα、是方程0522=-+x x 的两个实数根;求ααβα22++的值..分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题;应摒弃常规的求根后;再带入的方法;力求简解.. 解法一：解法二：说明：既要熟悉问题的常规解法;也要随时想到特殊的简捷解法;是解题能力提高的重要标志;是努力的方向..有关一元二次方程根的计算问题;当根是无理数时;运算将十分繁琐;这时;如果方程的系数是有理数;利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用..这类问题在解法上灵活多变;式子的变形具有创造性;重在考查能力..六、运用一元二次方程根的意义及判别式解题..例7：已知两方程052=++-m mx x 和0713)17(2=+++-m x m x 至少有一个相同的实数根;求这两个方程的四个实数根的乘积..分析：可设两方程的相同根为α;根据根的意义;可以构成关于α和m 的二元方程组;得解后再由根与系数的关系求值.. 解：说明：本题的易错点为求解出关于α、m 的二元方程组后;忽略m 对方程和判别式的讨论..∆与韦达定理综合训练一、填空题：1、如果关于x 的方程062=++k x x 的两根之差为2;那么k = ..2、已知关于x 的一元二次方程01)1()1(22=++--x a x a 两根互为倒数;则a = .. 3、已知关于x 的方程0)1(232=-+-m mx x 的两根为21x x 、;且431121-=+x x ;则m = .. 4、已知21x x 、是方程04722=--x x 的两个根;那么：=+2221x x ；=++)1)(1(21x x ；=-21x x ..5、已知关于x 的一元二次方程0642=--x mx 的两根为21x x 、;且221-=+x x ;则m = ；=+⋅21)(21x x x x ..6、如果关于x 的一元二次方程022=++a x x 的一个根是21-;那么另一个根是 ;a 的值为 ..7、已知32+是042=+-k x x 的一根;则另一根为 ;k 的值为 ..8、一个一元二次方程的两个根是62+和62-;那么这个一元二次方程为： ..二、求值题：1、已知21x x 、是方程01322=--x x 的两个根;利用根与系数的关系;求321231x x x x +的值.. 2、已知21x x 、是方程01232=--x x 的两个根;利用根与系数的关系;求22221)(x x -的值.. 3、已知21x x 、是方程04322=-+x x 的两个根;利用根与系数的关系;求52212251x x x x ⋅+⋅的值.. 4、已知两数的和等于6;这两数的积是4;求这两数..5、已知关于x 的方程01)1(22=++--m x m x 的两根满足关系式121=-x x ;求m 的值及方程的两个根..6、已知方程042=++mx x 和016)2(2=---x m x 有一个相同的根;求m 的值及这个相同的根.. 三、能力提升题：1、实数k 为何值时;方程0)1(22=-+-k kx kx 有正的实数根 2、已知关于x 的一元二次方程0321)2(2=-+-+m x m x 1求证：无论m 取什么实数值;这个方程总有两个不相等的实数根.. 2若这个方程的两个实数根21x x 、满足1221+=+m x x ;求m 的值..3、若0>n ;关于x 的方程041)2(2=+--mn x n m x 有两个相等的正的实数根;求n m 的值..4、是否存在实数k ;使关于x 的方程06)74(922=+--k x k x 的两个实根21x x 、;满足2321=x x ;如果存在;试求出满足条件的k 的值;如果不存在;请说明理由..5、已知关于x 的一元二次方程)0(01)3(222≠=+-+m x m x m 的两实数根为21x x 、;若2111x x m +=;求m 的值.. 6、实数m 、n 分别满足方程0199192=++m m 和099192=++n n ;求代数式nm mn 14++ 的值..答案与提示：一、填空题：1、提示：;;;∴;∴;解得：2、提示：;由韦达定理得：;;∴; 解得：;代入检验;有意义;∴..3、提示：由于韦达定理得：;;∵; ∴;∴;解得：..4、提示：由韦达定理得：;;；；由;可判定方程的两根异号..有两种情况：①设＞0;＜0;则；②设＜0;＞0;则..5、提示：由韦达定理得：;;∵;∴;;∴;∴..6、提示：设;由韦达定理得：;;∴;解得：;;即..7、提示：设;由韦达定理得：;;∴;∴;∴8、提示：设所求的一元二次方程为;那么;;∴;即；；∴设所求的一元二次方程为：二、求值题：1、提示：由韦达定理得：;2、∴3、提示：由韦达定理得：;;∴4、提示：由韦达定理得：;;∴5、提示：设这两个数为;于是有;;因此可看作方程的两根;即;;所以可得方程：;解得：;;所以所求的两个数分别是;..6、提示：由韦达定理得;;∵;∴;∴;∴;化简得：；解得：;；以下分两种情况：①当时;;;组成方程组：；解这个方程组得：；②当时;;;组成方程组：；解这个方程组得：7、提示：设和相同的根为;于是可得方程组：；①②得：;解这个方程得：；以下分两种情况：1当时;代入①得2当时;代入①得..所以和相同的根为;的值分别为;..三、能力提升题：1、提示：方程有正的实数根的条件必须同时具备：①判别式△≥0；②＞0;＞0；于是可得不等式组：解这个不等式组得：＞12、提示：1的判别式△＞0;所以无论取什么实数值;这个方程总有两个不相等的实数根..2利用韦达定理;并根据已知条件可得：解这个关于的方程组;可得到：;;由于;所以可得;解这个方程;可得：;；3、提示：可利用韦达定理得出①＞0;②＞0；于是得到不等式组：求得不等式组的解;且兼顾；即可得到＞;再由可得：;接下去即可根据;＞;得到;即：＝44、答案：存在..提示：因为;所以可设；由韦达定理得：;；于是可得方程组：解这个方程组得：①当时;；②当时;；所以的值有两个：；；5、提示：由韦达定理得：;;则;即;解得：6、提示：利用求根公式可分别表示出方程和的根：;;∴;∴;∴;又∵;变形得：;∴;∴。

第十课判别式与韦达定理

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