湖南省师大附中学年高二数学下学期期中试卷理(含解析)

2015-2016学年湖南师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，5}，则A∩（∁U B）等于（）A．{2}B．{2，3}C．{3}D．{1，3}2．下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是（）A．圆柱B．圆锥C．球D．三棱锥3．函数的零点所在的一个区间是（）A．C．4．化简：（sinα+cosα）2=（）A．1+sin2αB．1﹣sinαC．1﹣sin2αD．1+sinα5．向量=（1，﹣2），=（2，1），则（）A．∥B．⊥C．与的夹角为60°D．与的夹角为30°6．等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（）A．15B．30C．31D．647．下列坐标对应的点中，落在不等式x+y﹣1＜0表示的平面区域内的是（）A．C．8．在△ABC中，已知A=120°，b=1，c=2，则a=（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）9．比较大小：log25 log23；（填“＞”或“＜”）10．某校有高级教师20人，中级教师30人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，拟按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查．已知从其他教师中共抽取了10人，则该校共有教师人．11．某程序框图如图所示，若输入的a，b，c的值分别是3，4，5，则输出的y值为．12．a＞1，则的最小值是．三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13．已知sinα=，0＜α＜，求cosα和sin（α+）的值．14．已知在等差数列{a n}中，a1=﹣1，a3=3．（1）求a n；（2）令b n=2an，判断数列{b n}是等差数列还是等比数列，并说明理由．15．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．（1）求证：AC⊥平面B1BDD1；（2）求三棱锥B﹣ACB1体积．16．已知圆C经过A（3，2）、B（1，6），且圆心在直线y=2x上．（Ⅰ）求圆C的方程．（Ⅱ）若直线l经过点P（﹣1，3）与圆C相切，求直线l的方程．17．已知函数f（x）=log2（x+1）．（1）将函数f（x）的图象上的所有点向右平行移动1个单位得到函数g（x）的图象，写出函数g（x）的表达式；（2）若关于x的函数y=g2（x）﹣mg（x2）+3在[1，4]上的最小值为2，求m的值．一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）18．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=119．甲，乙，丙，丁，戊5人站成一排，要求甲，乙均不与丙相邻，不同的排法种数有（）A．72种B．54种C．36种D．24种20．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）21．若“∀x∈[0，]，tanx＜m”是假命题，则实数m的最大值为．22．已知椭圆C： +=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|= ．三、解答题（本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）23．现有长分别为1m、2m、3m的钢管各3根（每根钢管质地均匀、粗细相同附有不同的编号），从中随机抽取2根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．若X表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）．（1）求X的分布列；（2）若Y=﹣λ2X+λ+1，E（Y）＞1，求实数λ的取值范围．24．已知函数f（x）=．函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（2）若当x＞0时，f（x）＞恒成立，求正整数k的最大值．2015-2016学年湖南师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，5}，则A∩（∁U B）等于（）A．{2}B．{2，3}C．{3}D．{1，3}【分析】先求出集合B在全集中的补集，然后与集合A取交集．【解答】解：因为集合U={1，2，3，4，5}，B={2，5}，所以C U B={1，3，4}，又A={1，3，5}，所以A∩（C U B）={1，3，5}∩{1，3，4}={1，3}．故选D．【点评】本题考查了交集和补集运算，熟记概念，是基础题．2．下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是（）A．圆柱B．圆锥C．球D．三棱锥【分析】根据空间几何体三视图的概念，对选项中的几何体三视图进行判断即可．【解答】解：球的正视图、侧视图和俯视图都是半径相等的圆面，都相同．故选：C．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题目．3．函数的零点所在的一个区间是（）A．C．【分析】判断函数值，利用零点定理推出结果即可．【解答】解：函数，可得：f（﹣1）=5＞0，f（0）=3＞0，f（1）=＞0，f（2）=＞0，f（3）=﹣0，由零点定理可知，函数的零点在（2，3）内．故选：D．【点评】本题考查零点定理的应用，考查计算能力．4．化简：（sinα+cosα）2=（）A．1+sin2αB．1﹣sinαC．1﹣sin2αD．1+sinα【分析】把（sinα+cosα）2 展开，利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式可求得结果．【解答】解：∵（sinα+cosα）2 =1+2sinαcosα=1+sin2α，故选：A．【点评】本题主要考查二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．5．向量=（1，﹣2），=（2，1），则（）A．∥B．⊥C．与的夹角为60°D．与的夹角为30°【分析】运用数量积的坐标表示，求出两向量的数量积，再由夹角公式，判断两向量的位置关系．【解答】解：∵向量=（1，﹣2），=（2，1），∴=1×2+（﹣2）×1=0，∴夹角的余弦为0，∴⊥．故选B．【点评】本题主要考查运用两向量数量积求夹角，考查数量积的坐标表示，注意区别两向量共线与垂直的坐标表示．6．等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（）A．15B．30C．31D．64【分析】由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，再由a4=1=a1+3d，解方程求得a1和公差d的值，从而求得a12的值．【解答】解：设公差等于d，由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，即 a1+7d=8．再由a4=1=a1+3d，可得 a1=﹣，d=．故 a12 =a1+11d=﹣+=15，故选：A．【点评】本题主要考查等差数列的等差数列的通项公式的应用，求出首项和公差d的值，是解题的关键，属于基础题．7．下列坐标对应的点中，落在不等式x+y﹣1＜0表示的平面区域内的是（）A．C．【分析】分别把A，B，C，D四个点的坐标代入不等式x+y﹣1＜0进行判断，即能够求出答案．【解答】解：把（0，0）代入不等式x+y﹣1＜0，得﹣1＜0，成立，∴点A在不等式x+y﹣1＜0表示的平面区域内；把（2，4）代入不等式x+y﹣1＜0，得5＜0，不成立，∴点B在不等式x+y﹣1＜0表示的平面区域内；把（﹣1，4）代入不等式x+y﹣1＜0，得2＜0，不成立，∴点C不在不等式x+y﹣1＜0表示的平面区域内；把（1，8）代入不等式x+y﹣1＜0，得8＜0，不成立，∴点D不在不等式x+y﹣1＜0表示的平面区域内．故选A．【点评】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8．在△ABC中，已知A=120°，b=1，c=2，则a=（）A． B． C． D．【分析】由A的度数求出cosA的值，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解即可求出a的值．【解答】解：由b=1，c=2，A=120°，根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2cbcosA=1+4+2=7，则c=．故选C．【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）9．比较大小：log25 ＞log23；（填“＞”或“＜”）【分析】利用对数函数的单调性，判断即可．【解答】解：因为y=log2x，是单调增函数，所以log25＞log23．故答案为：＞．【点评】本题考查对数函数的单调性的应用，基本知识的考查．10．某校有高级教师20人，中级教师30人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，拟按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查．已知从其他教师中共抽取了10人，则该校共有教师100 人．【分析】根据教师的人数比，利用分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：∵按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查．已知从其他教师中共抽取了10人，∴从高级教师和中级教师中抽取了20﹣10=10人，设全校共有老师x人，则全校人数为，即x=100，故答案为：100【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．11．某程序框图如图所示，若输入的a，b，c的值分别是3，4，5，则输出的y值为 4 ．【分析】算法的功能是求a，b，c的平均数，代入计算可得答案．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求a，b，c的平均数，∴输出y==4．故答案为：4．【点评】本题考查了顺序结构的程序框图，判断算法的功能是关键．12．a＞1，则的最小值是 3 ．【分析】根据a＞1可将a﹣1看成一整体，然后利用均值不等式进行求解，求出最值，注意等号成立的条件即可．【解答】解：∵a＞1，∴a﹣1＞0=a﹣1++1≥2+1=3当a=2时取到等号，故答案为3【点评】本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及均值不等式的应用，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13．已知sinα=，0＜α＜，求cosα和sin（α+）的值．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，利用两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可求得sin（α+）的值．【解答】解：因为：sinα=，0＜α＜，所以：cosα==， (3)所以：sin （α+）=sin ==…（6分）【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．14．已知在等差数列{a n }中，a 1=﹣1，a 3=3．（1）求a n ；（2）令b n =2an ，判断数列{b n }是等差数列还是等比数列，并说明理由．【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用等比数列的通项公式及其定义即可判断出结论．【解答】解：（1）设数列{a n }的公差是d ，则，故a n =﹣1+2（n ﹣1）=2n ﹣3．（2）由（1）可得，∴是一常数，故数列{b n }是等比数列．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中．（1）求证：AC⊥平面B 1BDD 1；（2）求三棱锥B ﹣ACB 1体积．【分析】（1）要证AC⊥平面B 1BDD 1，只需证明AC 垂直平面B 1BD 1D 上的两条相交直线DD 1，BD ；即可．（2）求三棱锥B ﹣ACB 1体积．转化为B 1﹣ABC 的体积，直接求解即可．【解答】（1）证明：∵DD 1⊥面ABCD∴AC⊥DD 1（2分）又∵BD⊥AC，（3分）且DD 1，BD 是平面B 1BD 1D 上的两条相交直线（5分）∴AC⊥平面B 1BDD 1（6分）解：（2）=（12分） （其他解法酌情给分）【点评】本题是基础题，考查几何体的体积等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、运算求解能力．16．已知圆C经过A（3，2）、B（1，6），且圆心在直线y=2x上．（Ⅰ）求圆C的方程．（Ⅱ）若直线l经过点P（﹣1，3）与圆C相切，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）根据已知设出圆的标准方程，将点A，B的坐标代入标准方程，解方程组即可求出圆心及半径，从而得到圆C的方程．（Ⅱ）根据已知设出直线方程，利用直线与圆相切的性质d=r即可求出直线斜率k，从而求出直线方程．【解答】解：（Ⅰ）∵圆心在直线y=2x上，故可设圆心C（a，2a），半径为r．则圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣2a）2=r2．∵圆C经过A（3，2）、B（1，6），∴．解得a=2，r=．∴圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=5．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆C的圆心为C（2，4），半径r=．直线l经过点P（﹣1，3），①若直线斜率不存在，则直线l：x=﹣1．圆心C（2，4）到直线l的距离为d=3＜r=，故直线与圆相交，不符合题意．②若直线斜率存在，设斜率为k，则直线l：y﹣3=k（x+1），即kx﹣y+k+3=0．圆心C（2，4）到直线l的距离为d==．∵直线与圆相切，∴d=r，即=．∴（3k﹣1）2=5+5k2，解得k=2或k=．∴直线l的方程为2x﹣y+5=0或x+2y﹣5=0．【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的综合应用，属于中档题．17．已知函数f （x ）=log 2（x+1）．（1）将函数f （x ）的图象上的所有点向右平行移动1个单位得到函数g （x ）的图象，写出函数g （x ）的表达式；（2）若关于x 的函数y=g 2（x ）﹣mg （x 2）+3在[1，4]上的最小值为2，求m 的值．【分析】（1）根据函数图象平移关系进行求解即可．（2）利用换元法，转化为一元二次函数，利用一元二次函数单调性和最值之间的关系进行求解即可．【解答】解：（1）将函数f （x ）的图象上的所有点向右平行移动1个单位，得到y=log 2（x ﹣1+1）=log 2x ．即g （x ）=log 2x （x ＞0）；…（2分）（2）， 令t=log 2x （t ∈[0，2]）得y=t 2﹣2mt+3=（t ﹣m ）2+3﹣m 2…（4分）①若m ＜0，则y=t 2﹣2mt+3在t ∈[0，2]上递增，∴当t=0时，y min =3≠2，无解；…（6分）②若0≤m≤2，则当t=m 时，，解得m=1，﹣1（舍去），∴m=1…（8分）③若m ＞2，则y=t 2﹣2mt+3在t ∈[0，2]上递减，∴当t=2时，y min =7﹣4m=2，解得，不符合条件，舍去；综上可得m=1…（10分）【点评】本题主要考查函数图象的变化，以及函数最值的求解，利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键．一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）18．已知双曲线﹣=1 （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y 2=4x 的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=1【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a 、b 的另一个方程，求出a 、b ，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意， =，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．19．甲，乙，丙，丁，戊5人站成一排，要求甲，乙均不与丙相邻，不同的排法种数有（）A．72种B．54种C．36种D．24种【分析】根据题意，先排丁、戊两人，有2种排法，再排甲、乙、丙三人，分甲乙两人相邻、不相邻两种情况讨论，可得甲、乙、丙的排法，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先排丁、戊两人，有2种排法，排好后，丁、戊的两边和中间共有3个空位．再排甲、乙、丙三人，若甲乙相邻，则把甲乙视为一个元素，与丙一起放进三个空位中的两个空位中，有2A32=12种方法；若甲乙不相邻，则甲、乙、丙一起放进三个空位中，有A33=6种方法，根据分步、分类计数原理，不同的排法数目有2×（12+6）=36种，故选：C．【点评】本题考查排列、组合的运用，解题时注意甲乙两人可以相邻，还可以不相邻，需要分情况讨论，属于中档题．20．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④【分析】对于①利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．对于②、③、④通过函数的定义域与函数的值域的范围，画出函数的图象，利用“垂直对点集”的定义，即可判断正误；【解答】解：对于①y=是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；在另一支上对任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．对于②M={（x，y）|y=sinx+1}，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（π，0），满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；正确．对于③M={（x，y）|y=log2x}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”．对于④M={（x，y）|y=e x﹣2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如取M（0，﹣1），则N（ln2，0），满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确．所以②④正确．故选D．【点评】本题考查“垂直对点集”的定义，利用对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，是本题解答的关键，函数的基本性质的考查，注意存在与任意的区别．二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）21．若“∀x∈[0，]，tanx＜m”是假命题，则实数m的最大值为．【分析】把“∀x∈[0，]，tanx＜m”为假命题，转化为“∃x∈[0，]，tanx≥m”是真命题，由此求出实数m的最大值．【解答】解：“∀x∈[0，]，tanx＜m”为假命题，可得“∃x∈[0，]，tanx≥m”是真命题；又x∈[0，]时，0≤tanx≤，∴m≤，即实数m的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查函数最值的应用问题，也考查了全称命题与特称命题的应用问题，是基础题目．22．已知椭圆C： +=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|= 12 ．【分析】画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出|AN|+|BN|的值．【解答】解：如图：MN的中点为Q，易得，，∵Q在椭圆C上，∴|QF1|+|QF2|=2a=6，∴|AN|+|BN|=12．故答案为：12．【点评】本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用，是对基本知识的考查．三、解答题（本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）23．现有长分别为1m、2m、3m的钢管各3根（每根钢管质地均匀、粗细相同附有不同的编号），从中随机抽取2根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．若X表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）．（1）求X的分布列；（2）若Y=﹣λ2X+λ+1，E（Y）＞1，求实数λ的取值范围．【分析】（1）X可能的取值为2，3，4，5，6．求出对应的概率，即可得X的分布列；（2）根据期望的公式进行求解即可．【解答】解：（1）X可能的取值为2，3，4，5，6．则；；…（5分）∴X的分布列为：X 2 3 4 5 6P…（7分）（2）…（9分）∵Y=﹣λ2X+λ+1，∴E（Y）=﹣λ2E（X）+λ+1=﹣4λ2+λ+1，∵E（Y）＞1，∴．∴实数λ的取值范围是…（12分）【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和分布列，求出对应的概率是解决本题的关键．24．已知函数f（x）=．函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（2）若当x＞0时，f（x）＞恒成立，求正整数k的最大值．【分析】（1）直接求函数f（x）的导函数，化简导函数分子，判断正负即可；（2）可以先利用特殊值x=1先尝试k的可能值，然后用导数的方法予以证明；或者构造新函数将问题转化为求函数最值，利用函数的导数去研究函数的最值即可．【解答】解：（1）函数f（x）=∴f′（x）= [﹣1﹣ln（x+1）]=﹣ [+ln（x+1）]．由x＞0，x2＞0，＞0，ln（x+1）＞0，得f′（x）＜0．因此函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．（2）解法一：当x＞0时，f（x）＞恒成立，令x=1有k＜2[1+ln2]．又k为正整数．则k的最大值不大于3．下面证明当k=3时，f（x）＞（x＞0）恒成立．即证明x＞0时（x+1）ln（x+1）+1﹣2x＞0恒成立．令g（x）=（x+1）ln（x+1）+1﹣2x，则g′（x）=ln（x+1）﹣1．当x＞e﹣1时，g′（x）＞0；当0＜x＜e﹣1时，g′（x）＜0．∴当x=e﹣1时，g（x）取得最小值g（e﹣1）=3﹣e＞0．∴当x＞0时，（x+1）ln（x+1）+1﹣2x＞0恒成立．因此正整数k的最大值为3．解法二：当x＞0时，f（x）＞恒成立．即h（x）=＞k对x＞0恒成立．即h（x）（x＞0）的最小值大于k．由h′（x）=，记Φ（x）=x﹣1﹣ln（x+1）．=＞0，∴Φ（x）在（0，+∞）上连续递增．又Φ（2）=1﹣ln3＜0，Φ（3）=2﹣2ln2＞0，∴Φ（x）=0存在惟一实根a，且满足：a∈（2，3），a=1+ln（a+1），由x＞a时，Φ（x）＞0，h′（x）＞0；0＜x＜a时，Φ（x）＜0，h′（x）＜0知：h（x）（x＞0）的最小值为h（a）==a+1∈（3，4）．因此正整数k的最大值为3．【点评】本题考查函数的导数在最大值、最小值中的应用，以及函数的导数法研究函数的单调性，同时转化思想是解决此类恒成立问题的“良方”．。