上海市金山中学高二数学上学期期中试题
【精品】2017年上海市金山中学高二上学期期中数学试卷带解析答案
2016-2017学年上海市金山中学高二（上）期中数学试卷一.填空题（每小题4分，共56分）1．（4分）已知向量，，若，则m=．2．（4分）若直线l经过点P（1，2），方向向量为=（3，﹣4），则直线l的点方向式方程是．3．（4分）已知方程+=1表示椭圆，则k的取值范围为．4．（4分）若直线l过点A（2，3）且点B（﹣3，2）到直线l的距离最大，则l 的方程为．5．（4分）直线l过点P（2，3）与以A（3，2），B（﹣1，﹣3）为端点的线段AB有公共点，则直线l倾斜角的取值范围是．6．（4分）已知直角坐标平面内的两个向量=（1，2），=（m﹣1，m+3），使得平面内的任意一个向量都可以唯一分解成=λ+μ，则m的取值范围．7．（4分）已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，则=．8．（4分）设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为．9．（4分）平面上三条直线x﹣2y+1=0，x﹣1=0，x+ky=0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的取值集合为．10．（4分）过点作圆O：x2+y2=1的切线，切点为N，如果，那么y0的取值范围是．11．（4分）已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为．12．（4分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是．（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．13．（4分）已知函数f（x）=与g（x）═mx+1﹣m的图象相交于点A，B两点，若动点P满足|+|=2，则P的轨迹方程是．14．（4分）记椭圆=1围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，3…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则=．二.选择题（每小题5分，共20分）15．（5分）对任意平面向量，下列关系式中不恒成立的是（）A．B．C．D．16．（5分）直线l1；x+ay+2=0和直线l2：（a﹣2）x+3y+6a=0，则“a=3”是“l1∥l2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件17．（5分）已知点（a，b）是圆x2+y2=r2外的一点，则直线ax+by=r2与圆的位置关系（）A．相离B．相切C．相交且不过圆心 D．相交且过圆心18．（5分）已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足=+λ（+），λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．重心B．垂心C．外心D．内心三.解答题（12分+14分+14分+16分+18分，共74分）19．（12分）已知△ABC的顶点A（1，3），AB边上的中线所在直线的方程是y=1，AC边上的高所在直线的方程是x﹣2y+1=0．求（1）AC边所在直线的方程；（2）AB边所在直线的方程．20．（14分）已知直线l过点（0，﹣1）且被两条平行直线l1：2x+y﹣6=0和l2：4x+2y﹣5=0截得的线段长为，求直线l的方程．21．（14分）若、是两个不共线的非零向量，（1）若与起点相同，则实数t为何值时，、t、三个向量的终点A，B，C在一直线上？（2）若||=||，且与夹角为60°，则实数t为何值时，||的值最小？22．（16分）已知点A（0，2），B（4，4），；（1）若点M在第二或第三象限，且t1=2，求t2取值范围；（2）若t1=4cosθ，t2=sinθ，θ∈R，求在方向上投影的取值范围；（3）若t1=a2，求当，且△ABM的面积为12时，a和t2的值．23．（18分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，短轴的两个端点分别为A、B，且|AB|=2，△ABF为等边三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，点M在椭圆C上且位于第一象限内，它关于坐标原点O的对称点为N；过点M 作x轴的垂线，垂足为H，直线NH与椭圆C交于另一点J，若，试求以线段NJ为直径的圆的方程；（3）已知l1、l2是过点A的两条互相垂直的直线，直线l1与圆O：x2+y2=4相交于P、Q两点，直线l2与椭圆C交于另一点R；求△PQR面积取最大值时，直线l1的方程．2016-2017学年上海市金山中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（每小题4分，共56分）1．（4分）已知向量，，若，则m=3．【解答】解：向量，，若，则1•m﹣3×1=0解得m=3．故答案为：3．2．（4分）若直线l经过点P（1，2），方向向量为=（3，﹣4），则直线l的点方向式方程是．【解答】解：∵直线l经过点P（1，2），方向向量为=（3，﹣4），∴直线l的方程为：y﹣2=﹣，转化为点方向式方程，得：．故答案为：．3．（4分）已知方程+=1表示椭圆，则k的取值范围为．【解答】解：∵方程表示椭圆，则⇒解得k∈故答案为：．4．（4分）若直线l过点A（2，3）且点B（﹣3，2）到直线l的距离最大，则l 的方程为5x+y﹣13=0．【解答】解：k AB==．∵直线l过点A（2，3）且点B（﹣3，2）到直线l的距离最大，∴l⊥AB时满足条件．∴k l=﹣5．∴直线l的方程为：y﹣3=﹣5（x﹣2），化为：5x+y﹣13=0．故答案为：5x+y﹣13=0．5．（4分）直线l过点P（2，3）与以A（3，2），B（﹣1，﹣3）为端点的线段AB有公共点，则直线l倾斜角的取值范围是．【解答】解：设直线l倾斜角为θ，θ∈[0，π）．k PA==﹣1，k PB==2．∵直线l过点P（2，3）与以A（3，2），B（﹣1，﹣3）为端点的线段AB有公共点，∴tanθ≥2或tanθ≤﹣1．则直线l倾斜角的取值范围是．故答案为：．6．（4分）已知直角坐标平面内的两个向量=（1，2），=（m﹣1，m+3），使得平面内的任意一个向量都可以唯一分解成=λ+μ，则m的取值范围{m|m≠5} ．【解答】解：由题意知向量，不共线；∴m+3≠2（m﹣1）；解得m≠5；∴m的取值范围为{m|m≠5}．故答案为：{m|m≠5}．7．（4分）已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，则=﹣4．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，∴AB=2，＜＞=1350，=||×||cos135°=2×2×（﹣）=﹣4故答案为：﹣48．（4分）设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为[﹣3，3] ．【解答】解：由z=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A（3，0）时，直线y=的截距最小，此时z最大为z=3﹣0=3，由图象可知当直线y=，过点B时，直线y=的截距最大，此时z最小，由，解得，即B（1，2），代入目标函数z=x﹣2y，得z=1﹣2×2=1﹣4=﹣3，故﹣3≤z≤3，故答案为：[﹣3，3]．9．（4分）平面上三条直线x﹣2y+1=0，x﹣1=0，x+ky=0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的取值集合为{0，﹣1，﹣2} ．【解答】解：若是三条直线两两相交，交点不重合，则这三条直线把平面分成了7部分，∴如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成立，一是x+ky=0过另外两条直线的交点，x﹣2y+1=0，x﹣1=0的交点是（1，1）∴k=﹣1，二是这条直线与另外两条直线平行，此时k=0或﹣2，故答案为：{0，﹣1，﹣2}10．（4分）过点作圆O：x2+y2=1的切线，切点为N，如果，那么y0的取值范围是[﹣1，1] ．【解答】解：∵，∴≥，∴OM≤2，∴3+y02≤4，∴﹣1≤y0≤1，故答案为：[﹣1，1]．11．（4分）已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为15．【解答】解：∵椭圆方程为，∴焦点坐标为B（3，0）和B'（﹣3，0）连接PB'、AB'，根据椭圆的定义，得|PB|+|PB'|=2a=10，可得|PB|=10﹣|PB'|因此，|PA|+|PB|=|PA|+（10﹣|PB'|）=10+（|PA|﹣|PB'|）∵|PA|﹣|PB'|≤|AB'|∴|PA|+|PB|≤10+|AB'|=10+=10+5=15当且仅当点P在AB'延长线上时，等号成立综上所述，可得|PA|+|PB|的最大值为15故答案为：1512．（4分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是①④⑤．（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．【解答】解：△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则=，AB=2，所以||=1，即是单位向量；①正确；因为=2，所以，故||=2；故②错误；④正确；夹角为120°，故③错误；⑤（4+）•=4=4×1×2×cos120°+4=﹣4+4=0；故⑤正确．故答案为：①④⑤．13．（4分）已知函数f（x）=与g（x）═mx+1﹣m的图象相交于点A，B两点，若动点P满足|+|=2，则P的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．【解答】解：联立函数f（x）=与g（x）═mx+1﹣m得x=1±．当x=1﹣时，y=1﹣m，当x=1+时，y=1+m，设动点P（x，y），则=（1﹣﹣x，1﹣m﹣y），=（1+﹣x，1+m﹣y），则+=（2﹣2x，2﹣2y），由|+|=2，得（2﹣2x）2+（2﹣2y）2=4，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴P的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，故答案为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．14．（4分）记椭圆=1围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，3…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则= 2．【解答】解：把椭圆=1得，椭圆的参数方程为：（θ为参数），∴x+y=2cosθ+sinθ=sin（θ+φ），由正弦函数的性质可知：当sin（θ+φ）=1时，x+y取最大值，∴（x+y）max==．∴M n==2，故答案为：2．二.选择题（每小题5分，共20分）15．（5分）对任意平面向量，下列关系式中不恒成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：对于A，∵|•|=||×||×|cos＜，＞|，又|cos＜，＞|≤1，∴|•|≤||||恒成立，A正确；对于B，由三角形的三边关系和向量的几何意义得，|﹣|≥|||﹣|||，∴B 错误；对于C，由向量数量积的定义得（+）2=|+|2，C正确；对于D，由向量数量积的运算得（+）•（﹣）=2﹣2，∴D正确．故选：B．16．（5分）直线l1；x+ay+2=0和直线l2：（a﹣2）x+3y+6a=0，则“a=3”是“l1∥l2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：若a=3，则两直线方程分别为x+3y+2=0和x+3y+18=0，满足两直线平行，即充分性成立，若l1∥l2，当a=0时，两直线分别为x+2=0和﹣2x+3y=0，此时两直线不平行，不满足条件．当a≠0时，若两直线平行则≠，由得a2﹣2a=3，即a2﹣2a﹣3=0，解得a=3或a=﹣1，当a=﹣1时，=，不满足条件．则a≠﹣1，即a=3，故“a=3”是“l1∥l2”的充要条件，故选：C．17．（5分）已知点（a，b）是圆x2+y2=r2外的一点，则直线ax+by=r2与圆的位置关系（）A．相离B．相切C．相交且不过圆心 D．相交且过圆心【解答】解：∵点（a，b）是圆x2+y2=r2外的一点，∴a2+b2＜r2，∵圆心（0，0）到直线ax+by=r2的距离：d=＜r，且d＞0，∴直线ax+by=r2与圆相交且不过圆心．故选：C．18．（5分）已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足=+λ（+），λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．重心B．垂心C．外心D．内心【解答】解：由=+λ（）⇒﹣=λ（）⇒，=λ（），又∵=λ（）=﹣||+||=0，∴∴点P在BC的高线上，即P的轨迹过△ABC的垂心故选：B．三.解答题（12分+14分+14分+16分+18分，共74分）19．（12分）已知△ABC的顶点A（1，3），AB边上的中线所在直线的方程是y=1，AC边上的高所在直线的方程是x﹣2y+1=0．求（1）AC边所在直线的方程；（2）AB边所在直线的方程．【解答】解：（1）由题意，直线x﹣2y+1=0的一个法向量（1，﹣2）是AC边所在直线的一个方向向量∴可设AC所在的直线方程为：2x+y+c=0又点A的坐标为（1，3）∴2×1+3+c=0∴c=﹣5∴AC所在直线方程为2x+y﹣5=0．（2）y=1是AB中线所在直线方程设AB中点P（x P，1），B（x B，y B）∴∴点B坐标为（2x P﹣1，﹣1），且点B满足方程x﹣2y+1=0∴（2x P﹣1）﹣2•（﹣1）+1=0得x P=﹣1，∴P（﹣1，1）∴AB所在的直线的斜率为：∴AB边所在直线方程为y﹣3=1（x﹣1），即x﹣y+2=020．（14分）已知直线l过点（0，﹣1）且被两条平行直线l1：2x+y﹣6=0和l2：4x+2y﹣5=0截得的线段长为，求直线l的方程．【解答】解：l1与l2之间的距离，设直线l与两平行直线的夹角为α，则，∴．①当直线l斜率存在时，设l：y+1=kx，即l：kx﹣y﹣1=0，则：．即直线l的方程为：3x+4y+4=0．②当直线l斜率不存在时，l：x=0，符合．所以直线l的方程为：3x+4y+4=0或x=0．21．（14分）若、是两个不共线的非零向量，（1）若与起点相同，则实数t为何值时，、t、三个向量的终点A，B，C在一直线上？（2）若||=||，且与夹角为60°，则实数t为何值时，||的值最小？【解答】解：（1），，∵，即∴，可得∴；故存在t=时，A、B、C三点共线；（2）设||=||=k||2=||2+t2||2﹣2t||||cos60°=k2（t2﹣t+1）=k2（t﹣）2+，∴时，||的值最小．22．（16分）已知点A（0，2），B（4，4），；（1）若点M在第二或第三象限，且t1=2，求t2取值范围；（2）若t1=4cosθ，t2=sinθ，θ∈R，求在方向上投影的取值范围；（3）若t1=a2，求当，且△ABM的面积为12时，a和t2的值．【解答】解：（1）点A（0，2），B（4，4），=（4t2，2t1+4t2）；若点M在第二或第三象限，且t1=2，则，解得t2＜0，且t2≠﹣1；（2），，∴在方向上投影为||•cos＜，＞===4t2+t1=4（sinθ+cosθ）=8sin（θ+）；∴在方向上投影的范围为[﹣8，8]；（3），，且，∴，；∴点M到直线AB：x﹣y+2=0的距离为：；∴，解得a=±2，t2=﹣1．23．（18分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，短轴的两个端点分别为A、B，且|AB|=2，△ABF为等边三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，点M在椭圆C上且位于第一象限内，它关于坐标原点O的对称点为N；过点M 作x轴的垂线，垂足为H，直线NH与椭圆C交于另一点J，若，试求以线段NJ为直径的圆的方程；（3）已知l1、l2是过点A的两条互相垂直的直线，直线l1与圆O：x2+y2=4相交于P、Q两点，直线l2与椭圆C交于另一点R；求△PQR面积取最大值时，直线l1的方程．【解答】解：（1）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，短轴的两个端点分别为A、B，且|AB|=2，△ABF为等边三角形．∴由题意，得：，∴椭圆C的方程为．（2）设M（x0，y0），则由条件，知x0＞0，y0＞0，且N（﹣x0，﹣y0），H（x0，0）．从而．于是由．再由点M在椭圆C上，得．所以，进而求得直线NH的方程：．由．进而．∴以线段NJ为直径的圆的方程为：．（3）当直线l1的斜率不存在时，直线l2与椭圆C相切于点A，不合题意，当直线l 1的斜率为0时，由题意得．当直线l1的斜率存在且不为0时，设其方程为y=kx﹣1（k≠0），则点O到直线l1的距离为，从而由几何意义，得，由于l2⊥l1，故直线l2的方程为，由题意得它与椭圆C的交点R的坐标为，于是．，，当且仅当时，上式取等号．∵，故当时，，此时直线l1的方程为：．（也可写成．）赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：PABl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
上海市金山中学高二数学上学期期中试题
上海市金山中学高二数学上学期期中试题金山中学 2017 学年度第一学期高二年级数学学科期中考试卷（时间 120 分钟满分 150 分）一、填空题 ( 本大题满分 54 分 ) 本大题共有12 题，此中第 1 题至第 6 题每题 4 分，第 7 题至第 12 题每题5 分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果， 不然一律得零分．1．已知函数 f ( x)0, x 0,1,x则 f ( f ( x))．0,2．若以1 a 3为增广矩阵的线性方程组有独一一组解，则实数a 的取值范围为．a 4 13．若直线 l 过点 A 1,3 , 且与直线 x 2y 3 0 垂直 , 则直线 l 的方程为 ________________.4．已知圆的方程为 x2y 2 4 ，则经过点 (1, 3) 的圆的切线方程为 __________________ ．5．若不等式组 x 1 2016,a 的值为．x 1 a, 的解集中有且仅有有限个实数，则6．已知函数 f xlog 3 4 2 ，则方程 f 1 x4 的解 x = _____________ ．x7．已知直线 2xy 20 和 mxy 1 0 的夹角为 ，则 m 的值为.4x y 2,．若实数x, y 知足x y2, 则 z2x y 的取值范围是__________.80 y 3,9．在数列a n 中 , 已知 a n 4n 1 ，则过点 P 4,a 2017和点 Q 3,a 2018 的直线的倾斜角是__________. ( 用反三角函数表示结果 )10．设 F 1, F 2 分别为椭圆 x2y 21 的左、右焦点， A 为椭圆上一点， 且 OB1OA OF 1 ，36 27 2OC1OA OF 2 ，则 OB OC__________ ．211．已知函数f xx 2b4 a 2 x2a b 是偶函数，则函数图像与 y 轴交点的纵坐标的最大值是 __ ____ ．12．定义变换 T 将平面内的点P x, y (x 0, y 0) 变换到平面内的点 Q x, y ．x y 1(x 0, y 0) 经变换 T 后获得曲线 C 1 ，曲线 C 1 经变换 T 后获得曲线 C 2 ，若曲线C 0 :24，挨次类推，曲线 C n 1 经变换 T 后获得曲线 C n ，当 n N * 时，记曲线 C n 与 x, y 轴正半轴的交点为 A n a n ,0 和 B n 0,b n , 记 D n a n , b n ．某同学研究后认为曲线 C n 拥有以下性质：①对随意的 nN * ，曲线 C n 都对于原点对称；②对随意的n N * ，曲线 C n 恒过点 0,2 ；③对随意的 n N *，曲线 C n 均在矩形 OA n D n B n （含界限）的内部；④记矩形 OA n D n B n 的面 积为S n ，则 lim S n 1 . 此中全部正确结论的序号是 .n二、选择题 ( 本大题满分 20 分) 本大题共有 4 题，每题只有一个正确答案 . 考生应在答题纸的 相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 分，不然一律得零分．4 k 6是“方程 x2y 2 1表示椭圆”的（）13．6 k k 4（ A ）充要条件（ B ）充足不用要条件（ C ）必需不充足条件 （ D ）既不充足也不用要条件14．已知向量 ab 知足 a 1， b2 ，a, b 的夹角为 120°，则 a 2b 等于（ ）（A ） 3 （B ） 15（C ） 21（D ） 515．已知函数f ( x ) log 2( x 2 ax 3 )在区间 [2,) 上是 增函 数， 则 a 的 取 值范围a （ ）（ A ）（,4]（ B ）（,2]（ C ）（ 4,4]（ D ） 4,416．如图，已知 l 1l 2 , 圆心在 l 1 上、半径为 1m 的圆 O 在 t 0时与 l 2 相切于点 A , 圆 O 沿 l 1 以 1m/ s 的速度匀速向上挪动 , 圆被直线 l 2 所截上方圆弧长记为 x , 令 ycos x , 则 y 与时间t ( 0 t 1 , 单位 : s ) 的函数 y f (t) 的图像大概为 ()1三、解答题 ( 本大题满分76 分) 本大题共有 5 题，解答以下各题一定在答题纸相应编号的规定地区内写出必需的步骤．17． ( 此题满分12 分) 此题共有 2 个小题，第 (1) 小题满分 6 分，第 (2) 小题满分 6 分已知会合 A y y 2x , x 2,3 , B x x a ( x a 3) 0．（ 1）当a 4 时，求 A B ；（ 2）若A B ，务实数a的取值范围．18． ( 此题满分14 分 ) 此题共有 2 个小题，第 (1) 小题满分 6 分，第 (2) 小题满分8 分．已知向量 a 2 cos2 x, 3 ， b 1,sin 2x ，函数 f ( x) a b ，（ 1）求f ( x) 的单一增区间；（ 2）在△ABC中，a、b、c分别是角 A 、 B 、 C 的对边， R 为△ ABC 外接圆的半径，且 f (C ) 3 ，c 1 2 3， sin Asin B 2， a ＞b，求 a 、b的值．4R19．（此题满分16 分）此题共有 2 个小题，第 (1) 小题满分 8 分，第 (2) 小题满分8 分 .如图，已知直线l : x3y c 0(c 0) 为公海与领海的分界限，一艘巡逻艇在O 处发现了北偏东 60 海面上A处有一艘走私船，走私船正向停靠在公海上策应的走私海轮 B 航行，以便上海轮后逃跑。
2014-2015年上海市金山中学高二(上)期中数学试卷及参考答案
2014-2015学年上海市金山中学高二（上）期中数学试卷一.填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）二元一次方程组的增广矩阵是．2．（3分）向量=．3．（3分）已知直线l过点（1，2），且有一方向向量与向量（﹣1，2）垂直，则l的方程为．4．（3分）向量在向量方向上的投影为．5．（3分）两平行直线6x﹣8y+3=0与3x﹣4y+3=0间的距离是．6．（3分）阅读如图所示的程序框，若输入的n是100，则输出的变量S的值是．7．（3分）已知直线2x+y﹣2=0和mx﹣y+1=0的夹角为，则m的值为．8．（3分）直线（a2+1）x﹣2ay+1=0的倾斜角的取值范围是．9．（3分）若点P（﹣1，5），Q（5，3），过线段PQ的中点，使P，Q两点到直线m的距离都等于3，则直线m的方程是．10．（3分）设向量，满足||=2，||=1且，的夹角为，若向量2t+7与+t的夹角为钝角，则实数t的取值范围是．11．（3分）设A是平面向量的集合，是定向量，对属于集合A，定义．现给出如下四个向量：①，②，③，④．那么对于任意、，使恒成立的向量的序号是（写出满足条件的所有向量的序号）．12．（3分）设平面上三点A、B、C不共线，平面上另一点D满足3+4=2，则△ABC的面积与四边形ABCD的面积之比为．二.选择题（每小题3分，共12分）13．（3分）“a=1”是“行列式”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件14．（3分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|=（）A．B． C．D．1015．（3分）不等边△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，则直线xsin2A+ysinA=a与直线xsin2B+ysinC=c的位置关系是（）A．平行B．垂直C．重合D．相交但不垂直16．（3分）设，为单位向量，若向量满足|﹣（+）|=|﹣|，则||的最大值是（）A．1 B．C．2 D．2三.解答题（17题8分，18题8分，19题10分，20题12分，21题14分，共52分）17．（8分）已知矩阵的某个行向量的模不大于行列式中元素0的代数余子式的值，求实数x的取值范围．18．（8分）已知△ABC的顶点A（1，3），AB边上的中线所在直线的方程是y=1，AC边上的高所在直线的方程是x﹣2y+1=0．求（1）AC边所在直线的方程；（2）AB边所在直线的方程．19．（10分）已知：l1：ax﹣2y﹣2a+4=0，l2：2x+a2y﹣2a2﹣4=0，其中0＜a＜2，l1、l2与两坐标轴围成一个四边形．（1）求两直线的交点；（2）a为何值时，四边形面积最小？并求最小值．20．（12分）（上海春卷22）在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义．（1）若，求；（2）若，证明：若位置向量的终点在直线Ax+By+C=0上，则位置向量的终点也在一条直线上．21．（14分）我们把一系列向量a i（i=1，2，3，…n）按次序排成一列，称之为向量列，记作{}．已知非零的向量列满足：，=（x n，y n）=（n≥2）．（1）证明数列是等比数列；（2）设θn表示向量，的夹角的弧度数（n≥2），若b n=，S n=b2+b3+…+b n，求S n；（3）设，把，，…，中所有与共线的向量按原来的顺序排成一列，记为，…，令，O为坐标原点，求点列{D n}的极限点D的坐标．（注：若点D n坐标为（t n，v n），=t，=v，则点D（t，v）为点列{D n}的极限点．2014-2015学年上海市金山中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）二元一次方程组的增广矩阵是．【解答】解：二元一次方程组，即，∴二元一次方程组的增广矩阵是．故答案为：．2．（3分）向量=．【解答】解：===．故答案为：．3．（3分）已知直线l过点（1，2），且有一方向向量与向量（﹣1，2）垂直，则l的方程为x﹣2y+3=0．【解答】解：l的方向向量（2，1），∴斜率k=．∴l方程为y﹣2=（x﹣1），即x﹣2y+3=0．故答案为：x﹣2y+3=0．4．（3分）向量在向量方向上的投影为3．【解答】解：∵向量在向量，∴cos（，）===，∴向量在向量方向上的投影为：cos（，）=5×=3，故答案为3；5．（3分）两平行直线6x﹣8y+3=0与3x﹣4y+3=0间的距离是．【解答】解：由题意可得：两条平行直线为6x﹣8y+3=0与6x﹣8y+6=0，由平行线的距离公式可知d==．故答案为：6．（3分）阅读如图所示的程序框，若输入的n是100，则输出的变量S的值是5049．【解答】解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是累加并输出S=100+99+98+ (2)∵100+99+98+…+2=5049，故答案为：5049．7．（3分）已知直线2x+y﹣2=0和mx﹣y+1=0的夹角为，则m的值为或3．【解答】解：由直线2x+y﹣2=0和mx﹣y+1=0的夹角为，它们的斜率分别为﹣2、m，可得tan=1=||，求得m=或3，故答案为：或3．8．（3分）直线（a2+1）x﹣2ay+1=0的倾斜角的取值范围是[，] ．【解答】解：①当a=0时，斜率不存在，即倾斜角为；②当a＞0时，直线的斜率k==1，∴k≥1，即直线的倾斜角的取值范围为[，）．③当a＜0时，直线的斜率k==﹣1，∴k≤﹣1，即直线的倾斜角的取值范围为（，]．综上，直线的倾斜角的取值范围为[，]．故答案为：[，]．9．（3分）若点P（﹣1，5），Q（5，3），过线段PQ的中点，使P，Q两点到直线m的距离都等于3，则直线m的方程是x=2或4x﹣3y+4=0．【解答】解：∵P（﹣1，5），Q（5，3），∴线段PQ的中点为（2，4），当直线m的斜率存在时设直线m的方程为y﹣4=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+4=0，∵P，Q两点到直线m的距离都等于3，∴，解得k=，∴m的方程为，整理，得4x﹣3y+4=0．当直线m的斜率不存在时，直线m的方程为x=2，满足条件．∴直线m的方程是x=2或4x﹣3y+4=0．故答案为：x=2或4x﹣3y+4=0．10．（3分）设向量，满足||=2，||=1且，的夹角为，若向量2t+7与+t的夹角为钝角，则实数t的取值范围是（﹣7，﹣）∪（﹣，﹣）．【解答】解：由题意可得•=2×1×cos=1，由于向量2t+7与+t的夹角为钝角，可得（2t+7）•（+t）＜0，且向量2t+7与+t不共线．由（2t+7）•（+t）＜0 可得2t2+15t+7＜0，解得﹣7＜t＜﹣．再由向量2t+7与+t不共线，可得，解得t≠±．综上可得，实数t的取值范围是（﹣7，﹣）∪（﹣，﹣），故答案为：（﹣7，﹣）∪（﹣，﹣）．11．（3分）设A是平面向量的集合，是定向量，对属于集合A，定义．现给出如下四个向量：①，②，③，④．那么对于任意、，使恒成立的向量的序号是①③④（写出满足条件的所有向量的序号）．【解答】解：对于①当时，满足当时，=要满足需∴对于③④故答案为①③④12．（3分）设平面上三点A、B、C不共线，平面上另一点D满足3+4=2，则△ABC的面积与四边形ABCD的面积之比为2：7．【解答】解：一般情形对于特殊情形也是成立的，由已知条件取特殊点，设B（0，0），A（1，0），C（0，1），则D点为（1.5，2），∴S==，△ABCS四边形ABCD=S梯形BEDC﹣S△ADE=﹣=1.75，∴△ABC的面积与四边形ABCD的面积之比为：=．故答案为：2：7．二.选择题（每小题3分，共12分）13．（3分）“a=1”是“行列式”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【解答】解：若“a=1”，则“行列式≠0”，“a=1”是“行列式”的不充分条件，若“行列式”，即（3a+3+6a）﹣（2a2+1+27）=0，即2a2﹣9a+25=0，此时方程无解，故“a=1”是“行列式”的不必要条件，故选：D．14．（3分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|=（）A．B． C．D．10【解答】解：∵，且，∴x•2+1•（﹣4）=0，解得x=2．又∵，且，∴1•（﹣4）=y•2，解之得y=﹣2，由此可得，，∴=（3，﹣1），可得==．故选：B．15．（3分）不等边△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，则直线xsin2A+ysinA=a与直线xsin2B+ysinC=c的位置关系是（）A．平行B．垂直C．重合D．相交但不垂直【解答】解：∵lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，∴sin2B=sinA•sinC，∴直线xsin2A+ysinA=a与直线xsin2B+ysinC=c的x的系数之比，y的系数只比为：，两直线的常数项之比为：，又△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，由正弦定理得：=，∴．故选：C．16．（3分）设，为单位向量，若向量满足|﹣（+）|=|﹣|，则||的最大值是（）A．1 B．C．2 D．2【解答】解：∵向量满足|﹣（+）|=|﹣|，∴|﹣（+）|=|﹣|≥，∴≤==2．当且仅当||=|﹣|即时，=2．∴．故选：D．三.解答题（17题8分，18题8分，19题10分，20题12分，21题14分，共52分）17．（8分）已知矩阵的某个行向量的模不大于行列式中元素0的代数余子式的值，求实数x的取值范围．【解答】解：∵行列式，∴行列式中元素0的代数余子式的值为﹣=2．∵矩阵的行向量分别为，，∴||=．由题意：||≤2，∴，∴|x|≥3，∴x≤﹣3或x≥3．∴实数x的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．18．（8分）已知△ABC的顶点A（1，3），AB边上的中线所在直线的方程是y=1，AC边上的高所在直线的方程是x﹣2y+1=0．求（1）AC边所在直线的方程；（2）AB边所在直线的方程．【解答】解：（1）由题意，直线x﹣2y+1=0的一个法向量（1，﹣2）是AC边所在直线的一个方向向量∴可设AC所在的直线方程为：2x+y+c=0又点A的坐标为（1，3）∴2×1+3+c=0∴c=﹣5∴AC所在直线方程为2x+y﹣5=0．（2）y=1是AB中线所在直线方程设AB中点P（x P，1），B（x B，y B）∴∴点B坐标为（2x P﹣1，﹣1），且点B满足方程x﹣2y+1=0∴（2x P﹣1）﹣2•（﹣1）+1=0得x P=﹣1，∴P（﹣1，1）∴AB所在的直线的斜率为：∴AB边所在直线方程为y﹣3=1（x﹣1），即x﹣y+2=019．（10分）已知：l1：ax﹣2y﹣2a+4=0，l2：2x+a2y﹣2a2﹣4=0，其中0＜a＜2，l1、l2与两坐标轴围成一个四边形．（1）求两直线的交点；（2）a为何值时，四边形面积最小？并求最小值．【解答】解（1）：求两直线的交点，D==a3+4，D x==2a3﹣4a2+4a2+8=2（a3+4），D y==2（a3+4）∴交点为（2，2）；（2）由l1：ax﹣2y﹣2a+4=0，l2：2x+a2y﹣2a2﹣4=0，令x=0，y=0得，l1：；l2：，则．所以．此时a=．20．（12分）（上海春卷22）在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义．（1）若，求；（2）若，证明：若位置向量的终点在直线Ax+By+C=0上，则位置向量的终点也在一条直线上．【解答】解：（1）=（2）设则=∴于是故从而由于A、B不全为零，所以3A+4B、﹣4A+3B也不全为零于是的终点在直线上21．（14分）我们把一系列向量a i（i=1，2，3，…n）按次序排成一列，称之为向量列，记作{}．已知非零的向量列满足：，=（x n，y n）=（n≥2）．（1）证明数列是等比数列；（2）设θn表示向量，的夹角的弧度数（n≥2），若b n=，S n=b2+b3+…+b n，求S n；（3）设，把，，…，中所有与共线的向量按原来的顺序排成一列，记为，…，令，O为坐标原点，求点列{D n}的极限点D的坐标．（注：若点D n坐标为（t n，v n），=t，=v，则点D（t，v）为点列{D n}的极限点．【解答】解：（1）==||，∵∴数列是等比数列（2）∵cosθn====，∴θn=，n≥2，∴b n===，∴S n=b1+b2+b3+…+b n=1，n≥2，（3），，，，∴∥…即，∴t n=，v n=2×∴，∴极限点D的坐标。
上海市金山中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷
上海市金山中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一.填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）二元一次方程组的增广矩阵是．2．（3分）向量=．3．（3分）已知直线l过点（1，2），且有一方向向量与向量（﹣1，2）垂直，则l的方程为．4．（3分）向量在向量方向上的投影为．5．（3分）两平行直线6x﹣8y+3=0与3x﹣4y+3=0间的距离是．6．（3分）阅读如图所示的程序框，若输入的n是100，则输出的变量S的值是．7．（3分）已知直线2x+y﹣2=0和mx﹣y+1=0的夹角为，则m的值为．8．（3分）直线（a2+1）x﹣2ay+1=0的倾斜角的取值范围是．9．（3分）若点P（﹣1，5），Q（5，3），过线段PQ的中点，使P，Q两点到直线m的距离都等于3，则直线m的方程是．10．（3分）设向量，满足||=2，||=1且，的夹角为，若向量2t+7与+t的夹角为钝角，则实数t的取值范围是．11．（3分）设A是平面向量的集合，是定向量，对，定义．现给出如下四个向量：①，②，③，④．那么对于任意、，使恒成立的向量的序号是（写出满足条件的所有向量的序号）．12．（3分）设平面上三点A、B、C不共线，平面上另一点D满足3+4=2，则△ABC的面积与四边形ABCD的面积之比为．二.选择题（每小题3分，共12分）13．（3分）“a=1”是“行列式”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件14．（3分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|=（）A．B．C．D．1015．（3分）不等边△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且lgsinA，lgsinB，lgsinC 成等差数列，则直线xsin2A+ysinA=a与直线xsin2B+ysinC=c的位置关系是（）A．平行B．垂直C．重合D．相交但不垂直16．（3分）设，为单位向量，若向量满足|﹣（+）|=|﹣|，则||的最大值是（）A．1B．C．2D．2三.解答题（17题8分，18题8分，19题10分，20题12分，21题14分，共52分）17．（8分）已知矩阵的某个行向量的模不大于行列式中元素0的代数余子式的值，求实数x的取值范围．18．（8分）已知△ABC的顶点A（1，3），AB边上的中线所在直线的方程是y=1，AC边上的高所在直线的方程是x﹣2y+1=0．求（1）AC边所在直线的方程；（2）AB边所在直线的方程．19．（10分）已知：l1：ax﹣2y﹣2a+4=0，l2：2x+a2y﹣2a2﹣4=0，其中0＜a＜2，l1、l2与两坐标轴围成一个四边形．（1）求两直线的交点；（2）a为何值时，四边形面积最小？并求最小值．20．（12分）（上海春卷22）在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义．（1）若，求；（2）若，证明：若位置向量的终点在直线Ax+By+C=0上，则位置向量的终点也在一条直线上．21．（14分）我们把一系列向量a i（i=1，2，3，…n）按次序排成一列，称之为向量列，记作{}．已知非零的向量列满足：，=（x n，y n）=（n≥2）．（1）证明数列是等比数列；（2）设θn表示向量，的夹角的弧度数（n≥2），若b n=，S n=b2+b3+…+b n，求S n；（3）设，把，，…，中所有与共线的向量按原来的顺序排成一列，记为，…，令，O为坐标原点，求点列{D n}的极限点D的坐标．（注：若点D n坐标为（t n，v n），=t，=v，则点D（t，v）为点列{D n}的极限点．上海市金山中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）二元一次方程组的增广矩阵是．考点：二元一次方程组的矩阵形式．专题：选作题；矩阵和变换．分析：先把方程组方程组改写为，再由增广矩阵的概念进行求解．解答：解：二元一次方程组，即，∴二元一次方程组的增广矩阵是．故答案为：．点评：本题考查二元一次方程组的矩阵形式，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握增广矩阵的概念．2．（3分）向量=．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：计算题．分析：直接利用向量的加减法就是即可得到结果．解答：解：===．故答案为：．点评：本题是基础题，考查向量的加减法的运算，注意向量的和与差后仍然是一个向量．3．（3分）已知直线l过点（1，2），且有一方向向量与向量（﹣1，2）垂直，则l的方程为x﹣2y+3=0．考点：直线的点斜式方程．专题：直线与圆．分析：欲求直线l的方程，先求出直线l的斜率，已知直线l过点A（1，1），代入直线的点斜式即求得直线方程．解答：解：l的方向向量（2，1），∴斜率k=．∴l方程为y﹣2=（x﹣1），即x﹣2y+3=0．故答案为：x﹣2y+3=0．点评：本题主要考查了直线的倾斜角，斜率和直线的方程．4．（3分）向量在向量方向上的投影为3．考点：平面向量数量积的含义与物理意义．专题：计算题．分析：先求向量，的夹角，再求向量在向量方向上的投影；解答：解：∵向量在向量，∴cos（，）===，∴向量在向量方向上的投影为：cos（，）=5×=3，故答案为3；点评：此题主要考查平面向量数量积的定义及其性质，注意向量积公式，是一道基础题；5．（3分）两平行直线6x﹣8y+3=0与3x﹣4y+3=0间的距离是．考点：两条平行直线间的距离．专题：直线与圆．分析：首先使两条平行直线x与y的系数相等，再根据平行线的距离公式求出距离即可．解答：解：由题意可得：两条平行直线为6x﹣8y+3=0与6x﹣8y+6=0，由平行线的距离公式可知d==．故答案为：点评：本题是基础题，考查平行线的应用，平行线的距离的求法，注意平行线的字母的系数必须相同是解题的关键．6．（3分）阅读如图所示的程序框，若输入的n是100，则输出的变量S的值是5049．考点：程序框图．分析：根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=100+99+98+…+2的值解答：解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是累加并输出S=100+99+98+ (2)∵100+99+98+…+2=5049，故答案为：5049．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．7．（3分）已知直线2x+y﹣2=0和mx﹣y+1=0的夹角为，则m的值为或3．考点：两直线的夹角与到角问题．专题：直线与圆．分析：由条件利用两条直线的夹角公式，求得m的值．解答：解：由直线2x+y﹣2=0和mx﹣y+1=0的夹角为，它们的斜率分别为﹣2、m，可得tan=1=||，求得m=或3，故答案为：或3．点评：本题主要考查两条直线的夹角公式的应用，属于基础题．8．（3分）直线（a2+1）x﹣2ay+1=0的倾斜角的取值范围是．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：根据直线斜率和倾斜角之间的关系，即可得到结论．解答：解：①当a=0时，斜率不存在，即倾斜角为；②当a＞0时，直线的斜率k==1，∴k≥1，即直线的倾斜角的取值范围为．综上，直线的倾斜角的取值范围为．故答案为：．点评：本题主要考查直线斜率和倾斜角之间的关系，利用基本不等式求出斜率的取值服务是解决本题的关键．9．（3分）若点P（﹣1，5），Q（5，3），过线段PQ的中点，使P，Q两点到直线m的距离都等于3，则直线m的方程是x=2或4x﹣3y+4=0．考点：点到直线的距离公式；直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：由已知得线段PQ的中点为（2，4），当直线m的斜率存在时设直线m的方程为kx﹣y﹣2k+4=0，当直线m的斜率不存在时，直线m的方程为x=2，由此利用点到直线的距离公式能求出直线m的方程．解答：解：∵P（﹣1，5），Q（5，3），∴线段PQ的中点为（2，4），当直线m的斜率存在时设直线m的方程为y﹣4=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+4=0，∵P，Q两点到直线m的距离都等于3，∴，解得k=，∴m的方程为，整理，得4x﹣3y+4=0．当直线m的斜率不存在时，直线m的方程为x=2，满足条件．∴直线m的方程是x=2或4x﹣3y+4=0．故答案为：x=2或4x﹣3y+4=0．点评：本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．10．（3分）设向量，满足||=2，||=1且，的夹角为，若向量2t+7与+t的夹角为钝角，则实数t的取值范围是（﹣7，﹣）∪（﹣，﹣）．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得•=1，（2t+7）•（+t）＜0，且向量2t+7与+t不共线．由（2t+7）•（+t）＜0 求得t的范围；由，解得t的范围，再把这2个t 的范围取交集，即得所求．解答：解：由题意可得•=2×1×cos=1，由于向量2t+7与+t的夹角为钝角，可得（2t+7）•（+t）＜0，且向量2t+7与+t不共线．由（2t+7）•（+t）＜0 可得2t2+15t+7＜0，解得﹣7＜t＜﹣．再由向量2t+7与+t不共线，可得，解得t≠±．综上可得，实数t的取值范围是（﹣7，﹣）∪（﹣，﹣），故答案为：（﹣7，﹣）∪（﹣，﹣）．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量共线的性质，用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．11．（3分）设A是平面向量的集合，是定向量，对，定义．现给出如下四个向量：①，②，③，④．那么对于任意、，使恒成立的向量的序号是①③④（写出满足条件的所有向量的序号）．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；阅读型．分析：由于①是零向量代入f（x）检验是否满足要求即可；对于一般情况，利用向量的数量积的运算律求出f（x）f（y）；要满足条件得到，再判断②③④哪个满足即可．解答：解：对于①当时，满足当时，=要满足需∴对于③④故答案为①③④点评：本题考查向量的数量积的运算律：满足交换量不满足结合律但当向量与实数相乘时满足结合律．12．（3分）设平面上三点A、B、C不共线，平面上另一点D满足3+4=2，则△ABC的面积与四边形ABCD的面积之比为2：7．考点：向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：一般情形对于特殊情形也是成立的，由已知条件取特殊点，设B（0，0），A（1，0），C（0，1），则D点为（1.5，2），由此能求出△ABC的面积与四边形ABCD的面积之比．解答：解：一般情形对于特殊情形也是成立的，由已知条件取特殊点，设B（0，0），A（1，0），C（0，1），则D点为（1.5，2），∴S△ABC==，S四边形ABCD=S梯形BEDC﹣S△ADE=﹣=1.75，∴△ABC的面积与四边形ABCD的面积之比为：=．故答案为：2：7．点评：本题考查三角形与四边形面积的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意特殊值的合理运用．二.选择题（每小题3分，共12分）13．（3分）“a=1”是“行列式”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：判断a=1时，行列式是否成立，再判断行列式时，a=1是否成立，进而根据充要条件的定义，可得答案．解答：解：若“a=1”，则“行列式≠0”，“a=1”是“行列式”的不充分条件，若“行列式”，即（3a+3+6a）﹣（2a2+1+27）=0，即2a2﹣9a+25=0，此时方程无解，故“a=1”是“行列式”的不必要条件，故选：D点评：本题考查的知识点是充要条件，行列式运算，难度不大，属于基础题．14．（3分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|=（）A．B．C．D．10考点：平行向量与共线向量；向量的模．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由向量平行与垂直的充要条件建立关于x、y的等式，解出x、y的值求出向量的坐标，从而得到向量的坐标，再由向量模的公式加以计算，可得答案．解答：解：∵，且，∴x•2+1•（﹣4）=0，解得x=2．又∵，且，∴1•（﹣4）=y•2，解之得y=﹣2，由此可得，，∴=（3，﹣1），可得==．故选：B点评：本题给出向量互相平行与垂直，求向量的模．着重考查了向量平行、垂直的充要条件和向量模的公式等知识，属于基础题．15．（3分）不等边△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且lgsinA，lgsinB，lgsinC 成等差数列，则直线xsin2A+ysinA=a与直线xsin2B+ysinC=c的位置关系是（）A．平行B．垂直C．重合D．相交但不垂直考点：数列与三角函数的综合；数列与解析几何的综合．专题：计算题；综合题．分析：由lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，可得sin2B=sinA•sinC，再由=即可得到答案．解答：解：∵lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，∴sin2B=sinA•sinC，∴直线xsin2A+ysinA=a与直线xsin2B+ysinC=c的x的系数之比，y的系数只比为：，两直线的常数项之比为：，又△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，由正弦定理得：=，∴．故选C．点评：本题考查两直线的位置关系，着重考查两直线平行、相交与重合的位置关系的判断，难点在于数列与三角函数的综合应用，属于难题．16．（3分）设，为单位向量，若向量满足|﹣（+）|=|﹣|，则||的最大值是（）A．1B．C．2D．2考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：由向量满足|﹣（+）|=|﹣|，可得|﹣（+）|=|﹣|≥，即．当且仅当，．即可得出．解答：解：∵向量满足|﹣（+）|=|﹣|，∴|﹣（+）|=|﹣|≥，∴．当且仅当，=2．∴．故选：D．点评：本题考查了向量模的运算性质、向量的平行四边形法则及其向量垂直，属于难题．三.解答题（17题8分，18题8分，19题10分，20题12分，21题14分，共52分）17．（8分）已知矩阵的某个行向量的模不大于行列式中元素0的代数余子式的值，求实数x的取值范围．考点：几种特殊的矩阵变换．专题：矩阵和变换．分析：本题可以先求出行列式中元素0的代数余子式的值，再利用矩阵的行向量的模的特征，得到相应的不等关系，解不等式，得到本题结论．解答：解：∵行列式，∴行列式中元素0的代数余子式的值为﹣=2．∵矩阵的行向量分别为，，∴||=．由题意：||≤2，∴，∴|x|≥3，∴x≤﹣3或x≥3．∴实数x的取值范围是（﹣∞，﹣33，+∞）．点评：本题考查了行列式的代数余子式和矩阵的行向量，以及向量模的计算、解不等式，本题难度不大，属于基础题．18．（8分）已知△ABC的顶点A（1，3），AB边上的中线所在直线的方程是y=1，AC边上的高所在直线的方程是x﹣2y+1=0．求（1）AC边所在直线的方程；（2）AB边所在直线的方程．考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：（1）根据AC边的高所在的直线方程，设出AC所在的直线方程，再代入点A的坐标，求参数即可（2）由中点坐标公式表示出点B的坐标，再根据点B在AC的高线上，可求出中点坐标，从而可确定直线AB的斜率，又由点A的坐标，即可表示出直线的方程解答：解：（1）由题意，直线x﹣2y+1=0的一个法向量（1，﹣2）是AC边所在直线的一个方向向量∴可设AC所在的直线方程为：2x+y+c=0又点A的坐标为（1，3）∴2×1+3+c=0∴c=﹣5∴AC所在直线方程为2x+y﹣5=0．（2）y=1是AB中线所在直线方程设AB中点P（x P，1），B（x B，y B）∴∴点B坐标为（2x P﹣1，﹣1），且点B满足方程x﹣2y+1=0∴（2x P﹣1）﹣2•（﹣1）+1=0得x P=﹣1，∴P（﹣1，1）∴AB所在的直线的斜率为：∴AB边所在直线方程为y﹣3=1（x﹣1），即x﹣y+2=0点评：本题考查直线方程的求法，要熟练应用直线垂直的关系和中点坐标公式．属简单题19．（10分）已知：l1：ax﹣2y﹣2a+4=0，l2：2x+a2y﹣2a2﹣4=0，其中0＜a＜2，l1、l2与两坐标轴围成一个四边形．（1）求两直线的交点；（2）a为何值时，四边形面积最小？并求最小值．考点：两条直线的交点坐标．专题：计算题；综合题．分析：（1）两直线联系方程组，由此能求出其交点坐标．（2）由l1：ax﹣2y﹣2a+4=0，l2：2x+a2y﹣2a2﹣4=0，令x=0，y=0得，l1：；l2：，由此能求出其面积的最小值．解答：解（1）：求两直线的交点，D==a3+4，D x==2a3﹣4a2+4a2+8=2（a3+4），D y==2（a3+4）∴交点为（2，2）；（2）由l1：ax﹣2y﹣2a+4=0，l2：2x+a2y﹣2a2﹣4=0，令x=0，y=0得，l1：；l2：，则．所以．此时a=．点评：本题考查两直线的交点坐标的求法和四边形面积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意配方法的合理运用．20．（12分）（上海春卷22）在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义．（1）若，求；（2）若，证明：若位置向量的终点在直线Ax+By+C=0上，则位置向量的终点也在一条直线上．考点：平面向量的综合题．专题：计算题．分析：（1）把已知，代入，利用坐标表示即可（2）设，由可先找出x、yx′、y′之间的关系，向量的终点在直线Ax+By+C=0上，把向量的坐标代入，然后代换成关于的坐标即可解答：解：（1）=（2）设则=∴于是故从而由于A、B不全为零，所以3A+4B、﹣4A+3B也不全为零于是的终点在直线上点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，向量的基本运算，判断点在直线上，属于基本方法的考查．21．（14分）我们把一系列向量a i（i=1，2，3，…n）按次序排成一列，称之为向量列，记作{}．已知非零的向量列满足：，=（x n，y n）=（n≥2）．（1）证明数列是等比数列；（2）设θn表示向量，的夹角的弧度数（n≥2），若b n=，S n=b2+b3+…+b n，求S n；（3）设，把，，…，中所有与共线的向量按原来的顺序排成一列，记为，…，令，O为坐标原点，求点列{D n}的极限点D的坐标．（注：若点D n坐标为（t n，v n），=t，=v，则点D（t，v）为点列{D n}的极限点．考点：数列与向量的综合；数列的极限．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）得出，运用等比数列的定义判断，（2）化简得出b n===，裂项求解，（3）根据向量的平行得出t n=，v n=2×，，求解即可．解答：解：（1）==||，∵∴数列是等比数列（2）∵cosθn====，∴θn=，n≥2，∴b n===，∴S n=b1+b2+b3+…+b n=1，n≥2，（3），，，，∴∥…即，∴t n=，v n=2×∴，∴极限点D的坐标点评：本题综合考查了数列的性质，求和公式，裂项的思想，属于综合题．。
上海市金山区2020学年高二数学上学期期中考试试题(无答案)沪教版
金山区2020学年第一学期期中考试高二数学试卷（时间90分钟，满分100分）一、填空题（每题3分，共36分） 1、线性方程组366437x y x y +=-⎧⎨-=⎩的增广矩阵是__________________2、行列式1357的值是_________3、已知向量34a i j =+r r r ，34b i j =-+r r r （其中i r 、j r分别是与x 轴、y 轴正方向相同的单位向量），则向量a r 与b r 的数量积a b ⋅=r r__________4、计算：111lim 242n n →∞⎛⎫+++=⎪⎝⎭L__________5、行列式312527342D -=-中，元素1的代数余子式是__________6、若向量a r 与b r 的夹角为150°，||a =r ，||4b =r，|2|a b +=r r_________7、在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 、C 的坐标分别为(1,1)、(3,4)(1,3)-，则△ABC 的面积S =__________8、图中程序框图的功能是交换两个变量的值并输出，请写出（1）__________9、数列的前n 项和221n S n n =++，那么它的通项公式_______________10、设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项之和为n S ，若1n S +，n S ，2n S +等差数列，则公比q =__________11、已知G 点是△ABC 的重心，过G 点作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，设AM xAB =u u u u r u u u r ，AN y AC =u u u r u u u r ，则11x y+=__________12、定义一种运算“&”：“规定1&12=，同时规定：若&m n k =，则&(1)2m n k +=+”，试计算：1&2005=__________ 二、选择题（每题3分，共12分）13、给出下面的算法：（1）1a ←；（2）3b ←；（3）a a b ←+；（4）b a b ←-；（5）print (,)a b ，它的结果是（ ）（A ）(1,3) （B ）(4,2)- （C ）(4,1) （D ）(1,1) 14、算法的三种基本结构是（ ）（A ）顺序结构、模块结构、条件结构 （B ）顺序结构、循环结构、模块结构 （C ）顺序结构、条件结构、循环结构 （D ）模块结构、条件结构、循环结构15、已知a r 、b r 是两个非零向量，若函数()()()f x ax b a bx =+⋅-r r r r的图像是一条直线，则必有（ ）（A ）a b ⊥r r （B ）//a b r r （C ）||||a b =r r （D ）||||a b ≠r r16、已知数列2111123n a n=++++L ，则1k k a a +-共有（ ） （A ）1项 （B ）k 项 （C ）2k 项 （D ）21k +项 三、解答题（共6题，满分52分）17、（本题满分6分）在等比数列{}n a 的前n 项中，1a 最小，且166n a a +=，21128n a a -=，前n 项和126n S =，求公比q 和n 的值.c ba B A18、（本题满分6分）已知向量(3,1)OA =-u u u r ，(1,3)OB =u u u r，在直线4y x =+上是否存在点P ，使得0PA PB ⋅=u u u r u u u r？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.19、（本题满分8分）解方程组：1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩.20、（本题满分8分）在△ABC 中，已知AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ，利用向量方法证明：2222cos b a c ac B =+-.21、（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）已知数列{}n a 的前n 项和221n n n S k +=-（n ∈N *，k 是与n 无关的正整数）.（1）求数列{}n a 的通项公式，并证明数列{}n a 是等差数列；（2）设数列{}n a 满足不等式：12212|1||1||1||1|6k k a a a a --+-+-+-≤L ，求所有这样的k 的值.22、（本题满分14分，第1小题2分，第2小题3分，第3小题9分）在等差数列{}n a 中，19a =，公差2d =，等比数列{}n b 中，123729b b b =，公比3q =.（1）写出数列{}n a 的通项公式； （2）写出数列{}n b 的通项公式；（3）设数列9n n n c a b =+，是否存在不小于2的自然数m ，使得对于任意自然数n ，n c 都能被m 整除？如果存在，求出最大的m 的值；如果不存在，说明理由.。
2016年上海市金山中学高二上学期数学期中考试试卷
2016年上海市金山中学高二上学期数学期中考试试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知向量，，如果与垂直，那么实数的值为．2. 若直线经过点，方向向量为，则直线的点方向式方程是．3. 已知方程表示椭圆，则的取值范围为．4. 若直线过点且点到直线的距离最大，则的方程为．5. 直线过点与以，为端点的线段有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是．6. 已知直角坐标平面内的两个向量，，使平面内的任意一个向量都可以唯一表示成，则的取值范围是．7. 已知是等腰直角三角形，，则．8. 设，满足约束条件则的取值范围为．9. 平面上三条直线，，，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数的取值集合为．10. 过点作圆：的切线，切点为，如果，那么的取值范围是．11. 已知椭圆内有两点，，为椭圆上一点，则的最大值为．12. 是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论中正确的是．（写出所有正确结论的序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④；⑤．13. 已知函数与的图象相交于，两点，若动点满足，则动点的轨迹方程是．14. 记椭圆围成的区域（含边界）为，当点分别在，，上时，的最大值分别是，，，则．二、选择题（共4小题；共20分）15. 对任意平面向量，，下列关系式中不恒成立的是A.B.C.D.16. 直线和直线，则“”是“”的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件17. 已知点是圆外的一点，则直线与圆的位置关系为A. 相离B. 相切C. 相交且不过圆心D. 相交且过圆心18. 已知是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心三、解答题（共5小题；共65分）19. 已知的顶点，边上的中线所在直线的方程是，边上的高所在直线的方程是．求：（1）边所在直线的方程；（2）边所在直线的方程．20. 已知直线过点且被两条平行直线和截得的线段长为，求直线的方程．21. 设，是两个不共线的非零向量，．（1）若与起点相同，为何值时，，三向量的终点在一直线上?（2）若且与夹角为，那么为何值时，的值最小?22. 已知点，，；（1）若点在第二或第三象限，且，求的取值范围；（2）若，，，求在方向上投影的取值范围；（3）若，求当，且的面积为时，和的值．23. 已知椭圆的左焦点为，短轴的两个端点分别为，，且，为等边三角形．（1）求椭圆的方程；（2）如图，点在椭圆上且位于第一象限内，它关于坐标原点的对称点为；过点作轴的垂线，垂足为，直线与椭圆交于另一点，若，试求以线段为直径的圆的方程；（3）已知，是过点的两条互相垂直的直线，直线与圆相交于，两点，直线与椭圆交于另一点；求面积取最大值时，直线的方程．答案第一部分1.2.【解析】因为直线经过点，方向向量为，所以直线的方程为：，转化为点方向式方程，得：．3.【解析】因为方程表示椭圆，则解得．4.【解析】，因为直线过点且点到直线的距离最大，所以时满足条件．所以．所以直线的方程为：，化为：．5.【解析】设直线的倾斜角为，．，．因为直线过点与以，为端点的线段有公共点，所以或．则直线倾斜角的取值范围是．6.【解析】因为可以唯一表示成，所以与不共线，所以，所以．7.【解析】因为是等腰直角三角形，，所以，，所以8.【解析】由得，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线，由图象可知当直线，过点时，直线的截距最小，此时最大为，由图象可知当直线，过点时，直线的截距最大，此时最小，由解得即，代入目标函数，得，故．9.【解析】由于直线与相交于点，所以要使这三条直线将平面划分为六部分．有以下三种情况：①这三条直线交于一点，此时，得；②与平行，此时；③与平行，此时．综上知，或或，实数的取值集合为．10.【解析】因为，所以，所以，所以，所以．11.【解析】因为椭圆方程为，所以焦点坐标为和，连接，，根据椭圆的定义，得，可得，因此，，因为，所以当且仅当点在延长线上时，等号成立，综上所述，可得的最大值为．12. ①④⑤【解析】显然，，，，①正确；，②不正确；与的夹角为，③不正确；④显然正确；，⑤正确．13.【解析】联立函数与得．当时，，当时，，所以，，设动点，则，，则，由，得，即，所以的轨迹方程是．14.【解析】由椭圆得，椭圆的参数方程为：（为参数），所以，由正弦定理的性质可知：当时，取最大值，所以．所以．第二部分15. B【解析】A选项中，恒成立（）；B选项中，当，反向共线或不共线时不成立；C选项中，恒成立；D选项中，恒成立．16. C 【解析】若，则两直线方程分别为和，满足两直线平行，即充分性成立，若，当时，两直线分别为和，此时两直线不平行，不满足条件．当时，若两直线平行则，由得，即，解得或，当时，，不满足条件．则，即，故“”是“”的充要条件．17. C 【解析】因为点是圆外的一点，所以，因为圆心到直线的距离为：，且，所以直线与圆相交且不过圆心．18. B 【解析】由又因为所以．所以点在的高线上，即的轨迹过的垂心．第三部分19. （1）由题意，直线的一个法向量是边所在直线的一个方向向量，所以可设所在的直线方程为：，又点的坐标为，所以，所以，所以所在直线方程为．（2）因为是边的中线所在的直线方程，设中点，，所以，，所以点坐标为，且点满足方程，所以得，所以，所以所在的直线的斜率为：，所以边所在直线方程为，即．20. 与之间的距离，设直线与两平行直线的夹角为，则，所以．①当直线的斜率存在时，设，即，则：，即直线的方程为：．②当直线的斜率不存在时，，符合．所以直线的方程为：或．21. （1）设，化简得，因为与不共线，所以，所以，所以时，，，的终点在一直线上．（2）．所以当时，有最小值．22. （1）点，，；若点在第二或第三象限，且，则解得，且．（2），，所以在方向上投影为所以在方向上投影的范围为．（3）因为，，所以，且，所以，；所以点到直线：的距离为：，所以，解得，．23. （1）因为椭圆的左焦点为，短轴的两个端点分别为，，且，为等边三角形．所以由题意，得：解得所以椭圆的方程为．（2）设，则由条件，知，，且，．从而，．于是由，及，得．再由点在椭圆上，得，求得．所以，，，进而求得直线的方程为：．由求得．进而，线段的中点坐标为．所以以线段为直径的圆的方程为：．（3）当直线的斜率不存在时，直线与椭圆相切于点，不合题意，当直线的斜率为时，由题意得．当直线的斜率存在且不为时，设其方程为，则点到直线的距离为，从而由几何意义，得，由于，故直线的方程为，由题意得它与椭圆的交点的坐标为，于是，故，令，则，当且仅当，即时，上式取等号．因为，故当时，，此时直线的方程为：．（也可写成）．。
上海市金山中学2019-2020学年高二第一学期期中考试试题 数学【含解析】
上海市金山中学2019-2020学年高二第一学期期中考试试题 数学一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.已知全集{}22,4,1U a a =-+，{1,2}A a =+，{7}U C A =，则a =__________. 【答案】3 【解析】 【分析】先根据{7}U C A =和{}22,4,1U a a =-+确定4是A 中元素，7不是A 中元素，由此计算a 的值. 【详解】因为{7}U C A =，{}22,4,1U a a =-+，所以21417a a a +=⎧⎨-+=⎩，解得3a =. 【点睛】本题考查根据全集的概念计算参数，难度较易.全集包含了所研究问题涉及到的所有元素.2.方程组25032x y x y --=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为____________【答案】125312-⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】直接利用增广矩阵的概念得到答案.【详解】25032x y x y --=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为125312-⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：125312-⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查了增广矩阵，属于简单题型.3.若111111111123456a b c a A b B c C =++，则1B 化简后的值等于________． 【答案】6 【解析】 【分析】由题意可知，1B 为三阶行列式中元素1b 的代数余子式，然后利用代数余子式的概念可得出1B 的值.【详解】由题意可知，1B 为三阶行列式111123456a b c 中元素1b 的代数余子式， 因此，()1131634646B =-=-⨯-⨯=.故答案为：6.【点睛】本题考查代数余子式的计算，理解代数余子式的概念是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.4.幂函数经过点22⎛ ⎝⎭，则此幂函数的解析式为_______. 【答案】12y x -= 【解析】设幂函数为y x α=，代入点22,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以12222,2α-==所以12α=-，12y x -=，填12y x -=。
上海市金山中学2018-2019学年高二上期中考试数学试题
金山中学2018-2019学年度第一学期高二期中考试数学试卷一、填空题1.已知一个关于y x 、的二元一次方程组的增广矩阵为 ⎝⎛0111-，⎪⎪⎭⎫22则=x ________. 2.若()32，-=是直线l 的一个方向向量,则l 的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示).3.双曲线13222=-y x 的渐近线方程是___________.4.以点(1,2)为圆心,直径为24的圆的方程是_________.5.若实数y x 、满足不等式组，⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥0220y x x y x 则y x z 2+=的最大值为_________. 6.若方程022=++-+m y x y x 表示一个圆,则实数m 的取值范围是_______.7.过点A(1,2)作圆0204222=--++y x y x 的弦,则弦长的最小值是________.8.已知直线，0:=++m my x l 且与以A(-1,1)、B(2,2)为端点的线段相交,实数m 的取值范围为___________.9.在平面直角坐标系xOy 中,P 是椭圆14322=+y x 上的一个动点,点A(1,1),B(0,-1),则 PB PA +的最大值为__________.10.如图,设线段EF 的长度为1,端点E 、F 在边长为2的正方形ABCD 的四边上滑动,当E 、F 沿着正方形的四边滑动一周时,EF 的中点M 所形成的轨迹为G,若G 围成的周长为L,则L=___.11.若直线m x y l +-=2:与曲线241:x xy C -=有且仅有三个交点,则实数m 的取值范围是___________.12.矩阵运算 ⎝⎛c a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫dy cx by ax y x d b 的几何意义为平面上的点()y x ，在矩阵 ⎝⎛c a ⎪⎪⎭⎫d b 的作用下变换成点()，，dy cx by ax ++若曲线12422=++y ay x 在矩阵 ⎝⎛b 1⎪⎪⎭⎫1a 的作用下变换成曲线，1222=-y x 则a b -的值为_______. 二、选择题13.条件甲:“曲线C 上的点的坐标都是方程()y x F ，的解”；条件乙:“曲线C 是()0=y x F ， 的图形”,则甲是乙的A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件14.能成为以行列形式表示的直线方程y x 11200111=的一个方向向量的是A.()12，=B.()21--=，C. ()21-=，D.()12，-=15.方程()()212222=++++-y x y x 表示的轨迹是A.线段B.圆C.椭圆D.双曲线16.在平面直角坐标系中,定义(){}2121max y y x x B A d --=，，为两点A ()、，11y x B ()22y x ，的“切比雪夫距离”,又设点P 及l 上任意一点Q,称()Q P d ，的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”,记作()l P d ，,给出下列三个命题:①对任意三点A 、B 、C,都有()()()；，，，B A d B C d A C d ≥+②已知点P(2,1)和直线022:=--y x l ,则()；，38=l P d③定点()()，，、，0021c F c F -动点P ()y x ，满足()()()，＞＞，，022221a c a F P d F P d =-则点P 的轨迹与直线k y =(k 为常数)有且仅有2个公共点。
高二数学上学期期中试题_2 27(共12页)
金山(jīn shān)中学2021-2021学年高二数学上学期期中试题一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.集合,,那么=()A. B. C. D.2. ,,,那么a,b,c的大小关系为()A. B. C. D.3. 命题“,〞的否认是( )A. ,B. ,C. ,D. ,4.直线,直线,且,那么m的值是〔〕A. B. C. 或者 D. 或者5. 是两条不同的直线，是一个平面，那么以下命题正确的选项是〔〕，，那么，//mα，那么lα，mα⊥，那么l m⊥lα//l m⊥，，那么//6. 在中,假设点D满足,那么()A. B. C. D.7. 为了得到函数的图象,可以将函数的图象A. 向左平移(p ín ɡ y í)个单位B. 向右平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位8. 假设x ,,且,那么的最小值是 A. 5 B. C.D.9. 设D 为椭圆上任意一点,,,延长AD 至点P ,使得,那么点P 的轨迹方程为( ) A. B. C. D.10. 圆,直线l ：,假设圆上恰有4个点到直线l 的间隔都等于1,那么b 的取值范围为( )A.B.C.D.11. ,分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆上一点,且为坐标原点,假设,那么椭圆的离心率为( )A.B.C.D.12. 设函数的定义域为,假设函数()f x 满足条件：存在，使()f x 在上的值域是，那么称()f x 为“倍缩函数〞，假设函数为“倍缩函数〞，那么实数的范围是〔 〕A.B.C.D.二、填空题：此题一共4小题(xi ǎo t í)，每一小题5分，一共20分.13. 一个骰子连续投2次,点数积大于21的概率为_________．14. 过圆上一点作圆的切线, 那么该切线的方程为_________．15.A,B,C,D是同一球面上的四个点,其中是正三角形,平面ABC,,那么该球的体积为_________．16.棱长为的正方体中，点分别是的中点，又分别在线段上，且.设平面平面，现有以下结论：①平面；②；③与平面不垂直；④当变化时，l不是定直线.其中不成立的结论是 .〔填写上所有不成立结论的编号〕三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.17.〔本小题满分(mǎn fēn)是10分〕设等差数列的前n项和为,假设,．18.求数列的通项公式；19.设,假设的前n项和为,证明：．20.〔本小题满分是12分〕某随机抽取局部学生调查其上学路上所需时间是单位：分钟,并将所得数据制成频率分布直方图如图,假设上学路上所需时间是的范围为,样本数据分组为,．21.22.求直方图中a的值；23.假如上学路上所需时间是不少于40分钟的学生可申请在住宿,假设招收学生1200人,请估计所招学生中有多少人可以申请住宿；24.求该校学生上学路上所需的平均时间是．25.〔本小题满分是12分〕如图,正三棱柱中,各棱长均为4,M、N分别是的中点．求证(qiúzhèng)：平面；求直线AB与平面所成角的余弦值．26.〔本小题满分是12分〕以点C为圆心的圆经过点和,且圆心在直线上．Ⅰ求圆C的方程；Ⅱ设点P在圆C上,求的面积的最大值．27.〔本小题满分是12分〕椭圆,四点,,,中恰有三点在椭圆C上求C的方程；设直线l不经过点，且与C相交于与直线的斜率的和为,证明：l过定点．22.〔本小题满分(mǎn fēn)是12分〕设为实数，函数，.〔1〕求证：不是上的奇函数；〔2〕假设()f x是R上的单调函数，务实数a的值；〔3〕假设函数()f x在区间上恰有个不同的零点，务实数的取值范围.2021级高二上学期期中考试数学卷参考答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C C BD D D B A B D A A二、填空题13. 14. 15. 16. ④三、填空题17.解：等差数列的公差为d,由,得,又由,得,由上可得等差数列的公差,；证明：由题意得．所以(suǒyǐ)．18.解：由,解得．上学路上所需时间是不少于40分钟的学生可申请在住宿,招收学生1200人, 估计所招学生中有可以申请住宿人数为：．该校学生上学路上所需的平均时间是为：．19.证明：因为且M为BC的中点,所以,又在正三棱柱(léngzhù)中,因为平面平面ABC,平面ABC,且平面平面,所以平面,因为平面,所以,因为M,N分别为BC,的中点,所以,又因为,,所以≌,所以,,所以,所以,又因为平面,平面,, 所以平面．解：设,由可知平面,所以AO为斜线AB在平面内的射影,所以(suǒyǐ)为AB与平面所成的角,由题可知,所以为等腰三角形,作于E,那么E为AB的中点,所以,由等面积法可知,在中,,所以,所以直线AB与平面所成的角的余弦值为．20.解：Ⅰ依题意,所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线的交点,21.中点为斜率为1,22.垂直平分线方程为即分23.联立,解得,即圆心,24.半径分25.所求圆方程为分26.Ⅱ,分27.圆心到AB的间隔为分28.到AB间隔的最大值为分29.面积的最大值为分30.解：根据(gēnjù)椭圆的对称性,,两点必在椭圆C上,31.又的横坐标为1,32.椭圆必不过,33.,,三点在椭圆C上．34.把,代入椭圆C,得：35.,36.解得,,椭圆C的方程为；证明：当斜率不存在时,设l：,,, 直线与直线的斜率的和为,,解得,此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足．当斜率存在时,设l：,,,,联立,整理,得,, ,那么,,又,,此时(cǐ shí),存在k,使得成立,直线l的方程为,当时,,过定点．22．解：〔1〕假设()f x是R上的奇函数，那么对任意的，都有〔*〕取，得，即，解得，此时，所以，，从而，这与〔*〕矛盾，所以假设不成立，所以()f x不是R上的奇函数；〔2〕①当时，对称轴，所以()f x在上单减，在上单增，在上单减，不符；②当时，对称轴，所以()f x在上单减，在上单增，在上单减，不符；③当时，对称轴，所以(suǒyǐ)()f x在上单调递减，在上单调递减，所以()f x是R上的单调减函数．综上，2a ．〔3〕①当2a =时，由〔2〕知， ()f x 是R 上的单调减函数，至多个零点，不符；②当2a >时，由〔2〕知， ，所以()f x 在[2,2]-上单调递减， 所以()f x 在[2,2]-上至多1个零点，不符；③当2a <时，由〔2〕知，，所以()f x 在(,]a -∞上单调递减，在2(,]2a a +上单调递增，在上单调递减．因为()f x 在区间[2,2]-上恰有个零点，所以，，，解得或者 又2a <，故0423a <<-综上，实数a 的取值范围是内容总结（1）假如上学路上所需时间是不少于40分钟的学生可申请在住宿,假设招收学生1200人,请估计所招学生中有多少人可以申请住宿。
上海市金山中学2017_2018学年高二数学上学期期中试题 (1)
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！ 金山中学2017学年度第一学期高二年级数学学科期中考试卷（时间120分钟 满分150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1．已知函数0,0,()1,0,x f x x <⎧=⎨≥⎩则(())f f x = ．2．若以()1341a a 为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解，则实数a 的取值范围为 ．3．若直线l 过点()1,3A -,且与直线230x y --=垂直,则直线l 的方程为________________.4．已知圆的方程为422=+y x ，则经过点)3,1(的圆的切线方程为__________________．5．若不等式组12016,1,x x a -≥⎧⎨+≤⎩的解集中有且仅有有限个实数，则a 的值为 ．6．已知函数()34log 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则方程()14f x -=的解x = _____________． 7．已知直线022=-+y x 和01=+-y mx 的夹角为4π，则m 的值为 . 8．若实数,x y 满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩则2z x y =-的取值范围是__________.9．在数列{}n a 中,已知41n a n =-，则过点()20174,P a 和点()20183,Q a 的直线的倾斜角是__________. (用反三角函数表示结果)10．设12,F F 分别为椭圆2213627x y +=的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且()112OB OA OF =+u u u v u u u v u u u v ，()212OC OA OF =+u u u v u u u v u u u u v ，则OB OC +=u u u v u u u v__________．11．已知函数()()b a x a b x x f -+--+=2422是偶函数，则函数图像与y 轴交点的纵坐标的最大值是__ ____．12．定义变换T 将平面内的点(),(0,0)P x y x y ≥≥变换到平面内的点Q．若曲线0:C 1(0,0)42x yx y +=≥≥经变换T 后得到曲线1C ，曲线1C 经变换T 后得到曲线2C ， L ，依次类推，曲线1n C -经变换T 后得到曲线n C ，当*n N ∈时，记曲线n C 与,x y 轴正半轴的交点为(),0n n A a 和()0,n n B b ,记(),n n n D a b ．某同学研究后认为曲线n C 具有如下性质：①对任意的*n N ∈，曲线n C 都关于原点对称；②对任意的*n N ∈，曲线n C 恒过点()0,2；③对任意的*n N ∈，曲线n C 均在矩形n n n OA D B （含边界）的内部；④记矩形n n n OA D B 的面积为n S ，则1lim =∞→n n S .其中所有正确结论的序号是 .二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．64<<k 是“方程14622=-+-k y k x 表示椭圆”的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件14．已知向量a b =v v 满足1a =v ，2b =v ，,a b v v 的夹角为120°，则2a b -v v等于 （ ）（A ）3 （B（C ）（D ）515．已知函数)3(log )(22a ax x x f +-=在区间),2[+∞上是增函数，则a 的取值范围（ ）（A ）（]4,∞- （B ）（]2,∞- （C ）（]4,4- （D ）[]4,4- 16．如图，已知21l l ⊥,圆心在1l 上、半径为m 1的圆O 在0=t 时与2l 相切于点A ,圆O 沿1l 以s m /1的速度匀速向上移动,圆被直线2l 所截上方圆弧长记为x ,令x y cos =,则y 与时间t (10≤≤t ,单位:s )的函数)(t f y =的图像大致为11三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分 已知集合[]{}(){}2,2,3,(3)0xA y y xB x x a x a ==-∈=--+>．（1）当4a =-时，求A B I ； （2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．（1）求)(x f 的单调增区间；（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，且3)(=C f ，1=c ，2432sin sin R B A =，a ＞b ，求a 、b 的值．19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分8分. 如图，已知直线:0(0)l x c c +-=>为公海与领海的分界线，一艘巡逻艇在O 处发现了北偏东60o 海面上A 处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮B 航行，以便上海轮后逃窜。
2020-2021学年上海市金山中学高二(上)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年上海市金山中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．已知向量，且，则m＝．2．关于x、y的方程组有无穷多组解，实数m＝．3．已知三角形的三个顶点是A（6，7），B（4，0），C（0，3），则AB边上的高所在的直线方程为．4．已知非零向量、满足，若，则、夹角的大小为．5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则角A的大小为．6．点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6＝0的上方，则t的取值范围是．7．若b，c，a成等差数列，则直线ax+by+c＝0通过点．8．方程（x2﹣3||x+8）（x2﹣3||x+8）＝0的四根组成首项为1的等比数列，且，则|+|＝．9．设直线l的方程是ax+3y﹣2＝0，其倾斜角为α，若，则a的取值范围为．10．已知等腰直角三角形△ABC中，AB＝AC＝9，M i（i＝1，2，3，…，8）顺次为线段BC 的九等分点，则的最大值为．11．在等差数列{a n}中，已知首项a1＞0，公差d＞0，a1+a2≤60，a2+a3≤100，则4a1+2a3的最大值为．12．已知平面单位向量，满足，设，，向量与的夹角为θ，则sin2θ的最大值为．二、选择题13．行列式中，x的代数余子式的值是（）A．0B．C．D．114．若直线l1：x+ay+6＝0与l2：（a﹣2）x+3y+2a＝0平行，则l1与l2间的距离为（）A．B．C．D．15．数列{a n}中a1＝1，＝（n，a n），＝（a n+1，n+1），且⊥，则a100＝（）A．B．﹣C．100D．﹣10016．已知动直线l：ax+by+c﹣2＝0（a＞0，c＞0）恒过点P（2，n），且Q（5，0）到动直线l的最大距离为3，则的最小值为（）A．B．C．3D．9三、解答题17．已知向量＝（﹣3，1），＝（1，﹣2），＝+k（k∈R）．（1）若与向量2﹣垂直，求实数k的值；（2）若向量＝（1，﹣1），且与向量k+平行，求实数k的值．18．矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（1）求AD边所在直线的方程；（2）若直线l：ax+y+b+1＝0平分矩形ABCD的面积，求出原点与（a，b）距离的最小值．19．已知首项大于0的等差数列{a n}的公差d＝1，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：，其中n≥2；①已知，求证：当n≥2时，数列{c n}为等差数列；②是否存在实数λ，使得数列{b n}为等比数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．20．已知向量＝（1，3），＝（2，1），||＝||（n∈N+）．（1）判断△AB0B1的形状，并说明理由；（2）求数列{||}（n∈N+）的通项公式；（3）若△AB n﹣1B n的面积为＝a n（n∈N+），求（a1+a2+…+a n）．21．在平面直角坐标系中，已知射线OA：x﹣y＝0（x≥0），OB：2x+y＝0（x≥0）．过点P（1，0）作直线分别交射线OA，OB于点A，B．（1）当AB的中点在直线x﹣2y＝0上时，求直线AB的方程；（2）当△AOB的面积取最小值时，求直线AB的方程；（3）当|PA|•|PB|取最小值时，求直线AB的方程．参考答案一、填空题1．已知向量，且，则m＝﹣2．解：根据题意，向量，若，则有1×2＝1×（﹣m），故m＝﹣2，故答案为：﹣2．2．关于x、y的方程组有无穷多组解，实数m＝4．解：若关于x、y的方程组有无穷多组解，则直线mx+2y＝8与直线2x（m﹣3）y＝m重合即解得m＝4故答案为：43．已知三角形的三个顶点是A（6，7），B（4，0），C（0，3），则AB边上的高所在的直线方程为2x+7y﹣21＝0．解：∵三角形的三个顶点是A（6，7），B（4，0），C（0，3），∴k AB＝＝，∴AB边上的高所在的直线的斜率为k＝﹣，且经过点C（0，3），∴AB边上的高所在的直线方程为：y﹣3＝﹣x，整理得：2x+7y﹣21＝0．故答案为：2x+7y﹣21＝0．4．已知非零向量、满足，若，则、夹角的大小为．解：∵，∴，∴，又∵，∴＝，∴、夹角的大小为．故答案为：．5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则角A的大小为．解：∵，∴bc+a2＝b2+c2，由余弦定理可得cos A＝，∴A＝，故答案为：．6．点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6＝0的上方，则t的取值范围是t＞．解：点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6＝0的上方，则﹣4﹣3t+6＜0 则t的取值范围是：t＞故答案为：t＞7．若b，c，a成等差数列，则直线ax+by+c＝0通过点（﹣，﹣）．解：∵若b，c，a成等差数列，∴2c＝a+b，∴a+b﹣2c＝0，∴当x＝﹣，y＝﹣时，ax+by+c＝﹣a﹣b+c＝（﹣a﹣b+2c）＝0，∴直线ax+by+c＝0恒过定点（﹣，﹣）．故答案为：（﹣，﹣）．8．方程（x2﹣3||x+8）（x2﹣3||x+8）＝0的四根组成首项为1的等比数列，且，则|+|＝．解：设x1，x2是两根，x3，x4是两根，∵方程（x2﹣3||x+8）（x2﹣3||x+8）＝0的四根组成首项为1的等比数列，∴不妨设x1＝1，则x2＝8，x3＝2，x4＝4，∴，，∴，∵，∴．故答案为：．9．设直线l的方程是ax+3y﹣2＝0，其倾斜角为α，若，则a的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）．解：∵设直线l的方程是ax+3y﹣2＝0，其倾斜角为α，，∴k＝tanα＝﹣∈（﹣∞，﹣1）∪（，+∞），∴a＞3或a＜﹣．∴a的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）．10．已知等腰直角三角形△ABC中，AB＝AC＝9，M i（i＝1，2，3，…，8）顺次为线段BC 的九等分点，则的最大值为40．解：因为M i（i＝1，2，3，…，8）顺次为线段BC的九等分点，所以＝＝（﹣），＝＝（﹣），则＝+＝+（﹣）＝+，＝+＝+（﹣）＝+，因为△ABC为等腰直角三角形，所以•＝0，则＝（+）•（+）＝（||²+||²）＝（9²+9²）＝2i（9﹣i）＝﹣2（i﹣）²+，因为i＝1，2，3， (8)所以当i＝4或5时，取最大值40，故答案为：40．11．在等差数列{a n}中，已知首项a1＞0，公差d＞0，a1+a2≤60，a2+a3≤100，则4a1+2a3的最大值为200．解：由条件有a1+a2＝2a1+d≤60，a2+a3＝2a1+3d≤100则4a1+2a3＝4a1+2（a1+2d）＝，当且仅当，时等号成立．故答案为：200．12．已知平面单位向量，满足，设，，向量与的夹角为θ，则sin2θ的最大值为．解：由题意，，又，∴，即，可得，设与的夹角为α，得cos．又，，∴＝＝3+3cosα，＝＝2+2cosα，＝＝5+4cosα．∴＝＝＝＝（1﹣）．∵cos，∴cos2θ，∴sin2θ≤，即sin2θ的最大值为．故答案为：．二、选择题13．行列式中，x的代数余子式的值是（）A．0B．C．D．1解：行列式中，x的代数余子式的值：﹣＝﹣（+）＝﹣．故选：C．14．若直线l1：x+ay+6＝0与l2：（a﹣2）x+3y+2a＝0平行，则l1与l2间的距离为（）A．B．C．D．解：由l1∥l2得：＝≠，解得：a＝﹣1，∴l1与l2间的距离d＝＝，故选：B．15．数列{a n}中a1＝1，＝（n，a n），＝（a n+1，n+1），且⊥，则a100＝（）A．B．﹣C．100D．﹣100解：由＝（n，a n），＝（a n+1，n+1），且⊥，得na n+1+（n+1）a n＝0，即na n+1＝﹣（n+1）a n．∵a1＝1≠0，∴．则，，，…，把以上n﹣1个等式累乘得：，∴，则．故选：D．16．已知动直线l：ax+by+c﹣2＝0（a＞0，c＞0）恒过点P（2，n），且Q（5，0）到动直线l的最大距离为3，则的最小值为（）A．B．C．3D．9解：因为直线l：ax+by+c﹣2＝0（a＞0，c＞0）恒过点P（2，n），所以2a+bn+c﹣2＝0，因为Q（5，0）到动直线l的最大距离为3，所以|PQ|＝3，所以（2﹣5）2+n2＝9，解得n＝0，所以2a+c＝2，又因为a＞0，c＞0，所以＝+＝++1≥2+1＝3，当且仅当a＝，c＝1时，等号成立，所以的最小值为3．故选：C．三、解答题17．已知向量＝（﹣3，1），＝（1，﹣2），＝+k（k∈R）．（1）若与向量2﹣垂直，求实数k的值；（2）若向量＝（1，﹣1），且与向量k+平行，求实数k的值．解：（1）＝+k＝（﹣3+k，1﹣2k），2﹣＝（﹣7，4）．∵与向量2﹣垂直，∴•（2﹣）＝﹣7（﹣3+k）+4（1﹣2k）＝0，解得k＝．（2）k+＝（k+1，﹣2k﹣1），∵与向量k+平行，∴（﹣2k﹣1）（﹣3+k）﹣（1﹣2k）（k+1）＝0，解得k＝．18．矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（1）求AD边所在直线的方程；（2）若直线l：ax+y+b+1＝0平分矩形ABCD的面积，求出原点与（a，b）距离的最小值．解：（1）∵AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为﹣3，又∵点T（﹣1，1）在直线AD上，∴AD边所在的直线的方程为y﹣1＝﹣3（x+1），化为一般式可得3x+y+2＝0；（2）∵直线l：ax+y+b+1＝0平分矩形ABCD的面积，∴直线l过点M（2，0），∴2a+b+1＝0，∴原点与（a，b）的距离为＝＝，由二次函数的知识可得当a＝﹣时，原点与（a，b）距离取最小值为．19．已知首项大于0的等差数列{a n}的公差d＝1，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：，其中n≥2；①已知，求证：当n≥2时，数列{c n}为等差数列；②是否存在实数λ，使得数列{b n}为等比数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．解：（1）首项大于0的等差数列{a n}的公差d＝1，且，可得（﹣+﹣）＝﹣＝＝，解得a1＝1或﹣3（舍去），所以a n＝1+n﹣1＝n；（2）①证明：由题意可得b1＝﹣1，b2＝λ，b3＝﹣b2﹣＝﹣，b n+1＝b n+，即为nb n+1+（n﹣1）b n＝（﹣1）n﹣1，C n+1﹣∁n＝﹣＝＝﹣＝1，所以当n≥2时，数列{c n}是公差为1的等差数列；②假设存在实数λ，使得数列{b n}为等比数列．由b1＝﹣1，b2＝λ，可得公比q＝﹣λ，又b3＝﹣λ2＝﹣，解得λ＝1或﹣，当λ＝1时，q＝﹣1，（n﹣1）b n＝（﹣1）n（λ+n﹣2），即为（n﹣1）b n＝（﹣1）n（n﹣1），化为b n＝（﹣1）n，成立；当λ＝﹣时，可得（n﹣1）b n＝（﹣1）n（n﹣），即b n＝，不成立．所以存在实数λ，使得数列{b n}为等比数列，且λ的值为1．20．已知向量＝（1，3），＝（2，1），||＝||（n∈N+）．（1）判断△AB0B1的形状，并说明理由；（2）求数列{||}（n∈N+）的通项公式；（3）若△AB n﹣1B n的面积为＝a n（n∈N+），求（a1+a2+…+a n）．解：（1）由题意可得＝﹣＝（﹣1，2），∵•＝﹣1×2+2×1＝0，∴⊥，∴△AB0B1是直角三角形．（2））∵||＝||（n∈N+），∴数列{||}成等比数列，公比为，∴＝．||＝＝3＝．∴数列{||}（n∈N+）的通项公式为||＝；（3）△AB n﹣1B n的面积为＝a n＝＝＝，∴数列{a n}是等比数列，公比q＝，首项．＝．21．在平面直角坐标系中，已知射线OA：x﹣y＝0（x≥0），OB：2x+y＝0（x≥0）．过点P（1，0）作直线分别交射线OA，OB于点A，B．（1）当AB的中点在直线x﹣2y＝0上时，求直线AB的方程；（2）当△AOB的面积取最小值时，求直线AB的方程；（3）当|PA|•|PB|取最小值时，求直线AB的方程．解：（1）设A（a，a），B（b，﹣2b），则线段AB的中点为C（，）；所以﹣2×＝0，且＝，分别化为：a＝5b，a+2b﹣3ab＝0．解得a＝，b＝；所以直线AB的方程为：y﹣0＝（x﹣1），化为：7x﹣4y﹣7＝0．（2）设A（a，a），B（b，﹣2b），（a，b＞0）．a＝b＝1时，A（1，1），B（1，﹣2），S△OAB＝×|OP|×|AB|＝×1×3＝．a，b≠1时，S△OAB＝×|OP|×（a+2b）＝（a+2b），又＝，化为a+2b＝3ab，所以a+2b＝3ab＝•a•2b≤•，解得a+2b≥．所以S△OAB≥×＝，当且仅当a＝2b＝时取等号．综上可得：当△AOB的面积取最小值时，直线AB的方程为：y＝（x﹣1），化为4x﹣y﹣4＝0．（3）设直线AB的方程为：my＝x﹣1（m≠1，﹣）．联立，解得A（，），可得|PA|＝＝．联立，解得B（，），可得|PB|＝＝．所以|PA|•|PB|＝＝＝，设f（m）＝，则m＝﹣3时，f（﹣3）＝1；令m+3＝k≠0，则f（m）＝g（k）＝＝，k＜0时，g（k）＝≥＝．k＞0时，g（k）＝≥＝，而＜，所以g（k）的最小值为：．当且仅当k＝﹣时取等号．所以m＝﹣﹣3，此时直线AB的方程为（﹣﹣3）y＝x﹣1，即x+（3+）y ﹣1＝0．。
上海市金山中学高二(上)期中数学试卷
2016-2017学年上海市金山中学高二（上）期中数学试卷一.填空题（每小题4分，共56分）1．已知向量，，若，则m=．2．若直线l经过点P（1，2），方向向量为=（3，﹣4），则直线l的点方向式方程是．3．已知方程+=1表示椭圆，则k的取值范围为．4．若直线l过点A（2，3）且点B（﹣3，2）到直线l的距离最大，则l的方程为．5．直线l过点P（2，3）与以A（3，2），B（﹣1，﹣3）为端点的线段AB有公共点，则直线l倾斜角的取值范围是．6．已知直角坐标平面内的两个向量=（1，2），=（m﹣1，m+3），使得平面内的任意一个向量都可以唯一分解成=λ+μ，则m的取值范围．7．已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，则=．8．设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为．9．平面上三条直线x﹣2y+1=0，x﹣1=0，x+ky=0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的取值集合为．10．过点作圆O：x2+y2=1的切线，切点为N，如果，那么y0的取值范围是．11．已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为．12．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是．（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．13．已知函数f（x）=与g（x）═mx+1﹣m的图象相交于点A，B两点，若动点P 满足|+|=2，则P的轨迹方程是．14．记椭圆=1围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，3…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则=．二.选择题（每小题5分，共20分）15．对任意平面向量，下列关系式中不恒成立的是（）A．B．C．D．16．直线l1；x+ay+2=0和直线l2：（a﹣2）x+3y+6a=0，则“a=3”是“l1∥l2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件17．已知点（a，b）是圆x2+y2=r2外的一点，则直线ax+by=r2与圆的位置关系（）A．相离B．相切C．相交且不过圆心D．相交且过圆心18．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ（+），λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．重心B．垂心C．外心D．内心三.解答题（12分+14分+14分+16分+18分，共74分）19．已知△ABC的顶点A（1，3），AB边上的中线所在直线的方程是y=1，AC边上的高所在直线的方程是x﹣2y+1=0．求（1）AC边所在直线的方程；（2）AB边所在直线的方程．20．已知直线l过点（0，﹣1）且被两条平行直线l1：2x+y﹣6=0和l2：4x+2y﹣5=0截得的线段长为，求直线l的方程．21．若、是两个不共线的非零向量，（1）若与起点相同，则实数t为何值时，、t、三个向量的终点A，B，C在一直线上？（2）若||=||，且与夹角为60°，则实数t为何值时，||的值最小？22．已知点A（0，2），B（4，4），；（1）若点M在第二或第三象限，且t1=2，求t2取值范围；（2）若t1=4cosθ，t2=sinθ，θ∈R，求在方向上投影的取值范围；（3）若t1=a2，求当，且△ABM的面积为12时，a和t2的值．23．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，短轴的两个端点分别为A、B，且|AB|=2，△ABF为等边三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，点M在椭圆C上且位于第一象限内，它关于坐标原点O的对称点为N；过点M 作x轴的垂线，垂足为H，直线NH与椭圆C交于另一点J，若，试求以线段NJ为直径的圆的方程；（3）已知l1、l2是过点A的两条互相垂直的直线，直线l1与圆O：x2+y2=4相交于P、Q两点，直线l2与椭圆C交于另一点R；求△PQR面积取最大值时，直线l1的方程．2016-2017学年上海市金山中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（每小题4分，共56分）1．已知向量，，若，则m=3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】直接利用向量的数量积运算法则求解即可．【解答】解：向量，，若，则1•m﹣3×1=0解得m=3．故答案为：3．2．若直线l经过点P（1，2），方向向量为=（3，﹣4），则直线l的点方向式方程是．【考点】直线的点斜式方程．【分析】利用直线的点斜式方程求解．【解答】解：∵直线l经过点P（1，2），方向向量为=（3，﹣4），∴直线l的方程为：y﹣2=﹣，转化为点方向式方程，得：．故答案为：．3．已知方程+=1表示椭圆，则k的取值范围为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】根据题意，方程表示椭圆，则x2，y2项的系数均为正数且不相等列出不等关系，解可得答案．【解答】解：∵方程表示椭圆，则⇒解得k∈故答案为：．4．若直线l过点A（2，3）且点B（﹣3，2）到直线l的距离最大，则l的方程为5x+y ﹣13=0．【考点】点到直线的距离公式．【分析】直线l过点A（2，3）且点B（﹣3，2）到直线l的距离最大，可得l⊥AB时满足条件．利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：k AB==．∵直线l过点A（2，3）且点B（﹣3，2）到直线l的距离最大，∴l⊥AB时满足条件．∴k l=﹣5．∴直线l的方程为：y﹣3=﹣5（x﹣2），化为：5x+y﹣13=0．故答案为：5x+y﹣13=0．5．直线l过点P（2，3）与以A（3，2），B（﹣1，﹣3）为端点的线段AB有公共点，则直线l倾斜角的取值范围是．【考点】直线的倾斜角．【分析】利用斜率计算公式、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：设直线l倾斜角为θ，θ∈﹣3，3﹣3，3﹣1，1﹣1，1﹣8，8hslx3y3h；（3），，且，∴，；∴点M到直线AB：x﹣y+2=0的距离为：；∴，解得a=±2，t2=﹣1．23．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，短轴的两个端点分别为A、B，且|AB|=2，△ABF为等边三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，点M在椭圆C上且位于第一象限内，它关于坐标原点O的对称点为N；过点M 作x轴的垂线，垂足为H，直线NH与椭圆C交于另一点J，若，试求以线段NJ为直径的圆的方程；（3）已知l1、l2是过点A的两条互相垂直的直线，直线l1与圆O：x2+y2=4相交于P、Q两点，直线l2与椭圆C交于另一点R；求△PQR面积取最大值时，直线l1的方程．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆左焦点为F，短轴的两个端点分别为A、B，且|AB|=2，△ABF 为等边三角形，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设M（x0，y0），则由条件，知x0＞0，y0＞0，且N（﹣x0，﹣y0），H（x0，0）．推导出，进而求得直线NH的方程：．由．再求出线段HJ的中点坐标，由此能求出以线段NJ为直径的圆的方程．（3）当直线l1的斜率为0时，．当直线l1的斜率存在且不为0时，设其方程为y=kx﹣1（k≠0），利用点到直线距离公式、弦长公式、直线垂直、三角形面积公式，结合已知条件能求出结果．【解答】解：（1）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，短轴的两个端点分别为A、B，且|AB|=2，△ABF为等边三角形．∴由题意，得：，∴椭圆C的方程为．（2）设M（x0，y0），则由条件，知x0＞0，y0＞0，且N（﹣x0，﹣y0），H（x0，0）．从而．于是由．再由点M在椭圆C上，得．所以，进而求得直线NH的方程：．由．进而．∴以线段NJ为直径的圆的方程为：．（3）当直线l1的斜率不存在时，直线l2与椭圆C相切于点A，不合题意，当直线l1的斜率为0时，由题意得．当直线l1的斜率存在且不为0时，设其方程为y=kx﹣1（k≠0），则点O到直线l1的距离为，从而由几何意义，得，由于l2⊥l1，故直线l2的方程为，由题意得它与椭圆C的交点R的坐标为，于是．，，当且仅当时，上式取等号．∵，故当时，，此时直线l1的方程为：．（也可写成．）2017年4月4日。
【新】上海市金山中学2017-2018学年高二数学上学期期中试题-推荐
金山中学2017学年度第一学期高二年级数学学科期中考试卷（时间120分钟 满分150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1．已知函数0,0,()1,0,x f x x <⎧=⎨≥⎩则(())f f x = ．2．若以()1341a a 为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解，则实数a 的取值范围为 ．3．若直线l 过点()1,3A -,且与直线230x y --=垂直,则直线l 的方程为________________. 4．已知圆的方程为422=+y x ，则经过点)3,1(的圆的切线方程为__________________． 5．若不等式组12016,1,x x a -≥⎧⎨+≤⎩的解集中有且仅有有限个实数，则a 的值为 ．6．已知函数()34log 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则方程()14f x -=的解x = _____________． 7．已知直线022=-+y x 和01=+-y mx 的夹角为4π，则m 的值为 . 8．若实数,x y 满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩则2z x y =-的取值范围是__________.9．在数列{}n a 中,已知41n a n =-，则过点()20174,P a 和点()20183,Q a 的直线的倾斜角是__________. (用反三角函数表示结果)10．设12,F F 分别为椭圆2213627x y +=的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且()112OB OA OF =+，()212OC OA OF =+，则OB OC +=__________． 11．已知函数()()b a x a b x x f -+--+=2422是偶函数，则函数图像与y 轴交点的纵坐标的最大值是__ ____．12．定义变换T 将平面内的点(),(0,0)P x y x y ≥≥变换到平面内的点Q．若曲线0:C 1(0,0)42x yx y +=≥≥经变换T 后得到曲线1C ，曲线1C 经变换T 后得到曲线2C ， ，依次类推，曲线1n C -经变换T 后得到曲线n C ，当*n N ∈时，记曲线n C 与,x y 轴正半轴的交点为(),0n n A a 和()0,n n B b ,记(),n n n D a b ．某同学研究后认为曲线n C 具有如下性质：①对任意的*n N ∈，曲线n C 都关于原点对称；②对任意的*n N ∈，曲线n C 恒过点()0,2；③对任意的*n N ∈，曲线n C 均在矩形n n n OA D B （含边界）的内部；④记矩形n n n OA D B 的面积为n S ，则1lim =∞→n n S .其中所有正确结论的序号是 .二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．64<<k 是“方程14622=-+-k y k x 表示椭圆”的 （ ）（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件14．已知向量a b =满足1a =，2b =，,a b 的夹角为120°，则2a b -等于 （ ） （A ）3 （B ）15 （C ）（D ）515．已知函数)3(log )(22a ax x x f +-=在区间),2[+∞上是增函数，则a 的取值范围（ ）（A ）（]4,∞- （B ）（]2,∞- （C ）（]4,4- （D ）[]4,4- 16．如图，已知21l l ⊥,圆心在1l 上、半径为m 1的圆O 在0=t 时与2l 相切于点A ,圆O 沿1l 以s m /1的速度匀速向上移动,圆被直线2l 所截上方圆弧长记为x ,令x y cos =,则y 与时间t (10≤≤t ,单位:s )的函数)(t f y =的图像大致为1三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分 已知集合[]{}(){}2,2,3,(3)0xA y y xB x x a x a ==-∈=--+>．（1）当4a =-时，求A B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．（1）求)(x f 的单调增区间；（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，且3)(=C f ，1=c ，2432sin sin RB A =，a ＞b ，求a 、b 的值．19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分8分. 如图，已知直线:0(0)l x c c -=>为公海与领海的分界线，一艘巡逻艇在O 处发现了北偏东60海面上A 处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮B 航行，以便上海轮后逃窜。
2019-2020学年上海市金山中学高二上学期期中数学试题(解析版)
上海市金山中学高二上学期期中数学试题一、单选题 1．函数的定义域为，值域为，则的最大值是（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【详解】 如图.要使函数在定义域上，值域为，则的最大值是. 选C.2．二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩存在唯一解的必要非充分条件是( )A ．系数行列式0D ≠B ．比例式1122a b a b ≠ C ．向量1122,a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不平行 D ．直线111a x b y c +=，222a x b y c +=不平行【答案】D【解析】利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到A B C ，，为充要条件，直线分共面和异面两种情况． 【详解】解：当两直线共面时，直线111a x b y c +=，222a x b y c +=不平行，二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧+=⎨⎩存在唯一解 当两直线异面，直线111a x b y c +=，222a x b y c +=不平行，二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧+=⎨⎩无解， 故直线111a x b y c +=，222a x b y c +=不平行是二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧+=⎨⎩存在唯一解的必要非充分条件． 故选：D ． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题．3．设a r 、b r都是非零向量，下列四个条件中，一定能使0a b a b+=r r r r r 成立的是（ ）A ．2a b =-r rB ．2a b =r rC ．//a b r rD ．a b ⊥r r【答案】A【解析】根据题意得知与a r 同向的单位向量和与b r同向的单位向量是相反向量，由此可得出a r 、b r方向相反，由此可得出正确选项. 【详解】由题意知，a ar r 是与a r 同向的单位向量，b br r 是与b r同向的单位向量，这两个向量互为相反向量，所以，a r 、b r方向相反.因此，使得0a b a b+=r r r r r 成立的条件为2a b =-r r.故选：A. 【点睛】本题考查了相反向量的概念，同时也考查了与非零向量同向的单位向量概念的理解，考查推理能力，属于基础题.4．到两条坐标轴的距离之差的绝对值为2的点的轨迹是（ ） A ．两条直线 B ．四条直线C ．四条射线D ．八条射线【答案】D【解析】设所求动点的坐标为(),x y ，可得出动点的轨迹方程为2x y -=，可得出2x y -=、2x y -=-，分析出方程2x y -=所表示的射线条数，从而可得出动点轨迹对应的射线条数. 【详解】设所求动点的坐标为(),x y ，可得出动点的轨迹方程为2x y -=， 所以，2x y -=或2x y -=-，下面来考查2x y -=所代表的射线条数. ①当0x >，0y ≥时，2x y x y -=-=； ②当0x <，0y ≥时，2x y x y -=--=； ③当0x <，0y ≤时，2x y x y -=-+=； ④当0x >，0y ≤时，2x y x y -=+=.可知方程2x y -=代表四条射线，同理可知方程2x y -=-也代表四条射线. 因此，到两条坐标轴的距离之差的绝对值为2的点的轨迹是八条射线. 故选：D. 【点睛】本题考查动点轨迹形状的判断，求出动点的轨迹方程是解题的关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.二、填空题5．已知全集{}22,4,1U a a =-+，{1,2}A a =+，{7}U C A =，则a =__________. 【答案】3【解析】先根据{7}U C A =和{}22,4,1U a a =-+确定4是A 中元素，7不是A 中元素，由此计算a 的值. 【详解】因为{7}U C A =，{}22,4,1U a a =-+，所以21417a a a +=⎧⎨-+=⎩，解得3a =. 【点睛】本题考查根据全集的概念计算参数，难度较易.全集包含了所研究问题涉及到的所有元素. 6．方程组25032x y x y --=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为____________【答案】125312-⎛⎫⎪⎝⎭【解析】直接利用增广矩阵的概念得到答案. 【详解】25032x y x y --=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为125312-⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：125312-⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查了增广矩阵，属于简单题型.7．若111111111123456a b c a A b B c C =++，则1B 化简后的值等于________． 【答案】6【解析】由题意可知，1B 为三阶行列式中元素1b 的代数余子式，然后利用代数余子式的概念可得出1B 的值. 【详解】由题意可知，1B 为三阶行列式111123456a b c 中元素1b 的代数余子式，因此，()1131634646B =-=-⨯-⨯=.故答案为：6. 【点睛】本题考查代数余子式的计算，理解代数余子式的概念是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.8．幂函数经过点2⎛ ⎝⎭，则此幂函数的解析式为_______. 【答案】12y x -=【解析】设幂函数为y x α=，代入点2,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以1222,α-==所以12α=-，12y x -=，填12y x -=。
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上海市金山中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题一.填空题（每小题3分，共36分）1．二元一次方程组⎩⎨⎧=++-=-+0320132y x y x 的增广矩阵是 .2．化简=-+ .3．已知直线l 过点)2,1( ,且有一方向向量与向量)2,1(-垂直， 则l 的方程为 .4．向量(3,4)a =r 在向量(1,0)b =r方向上的投影为 .5．两平行直线0386=+-y x 与0343=+-y x 间的距离是 . 6．如图所示的程序框，若输入的n 是100， 则输出的变量S 的值是 .7．已知直线022=-+y x 和01=+-y mx 的夹角为4π， 则m 的值为 .8．直线()21210a x ay +-+=的倾斜角的取值范围是 .9．若点(1,5)P -,(5,3)Q ，过线段PQ 的中点，使Q P ,两点到直线m 的距离都等于3，则直线m 的方程是 .10．两个向量1e ,2e 21=e 12=e ，1e ,2e 的夹角为60°，若向量2172e e t +与向量21e t e +的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是 .11．设A 是平面向量的集合，a ρ是定向量，对A x ∈ρ，定义a x a x x f ρρρρρ⋅⋅-=)(2)(．现给出如下四个向量： ①)0,0(=a ρ，②⎪⎪⎭⎫⎝⎛=42,42a ρ，③⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22,22a ρ，④⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=23,21a ρ． 那么对于任意x ρ、A y ∈ρ，使y x y f x f ρρρρ⋅=⋅)()(恒成立的向量a ρ的序号是____________（写出满足条件的所有向量a ρ的序号）．12. 设平面上三点A 、B 、C 不共线，平面上另一点D 满足342BA BC BD +=u u u v u u u v u u u v，则ABC ∆ 的面积与四边形ABCD 的面积之比为 .二.选择题（每小题3分，共12分）13． “1=a ”是“行列式031113231=a a”的 （ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件 14．设R y x ∈,，向量()()()4,2,,1,1,-===y x 且//,⊥，=+ （ ） （A ）5 （B ）10 （C ）52 （D ）1015．在ABC ∆中，三内角C B A ,,所对的边是c b a ,,且C B A sin lg ,sin lg ,sin lg 成等差数列，那么直线a A y A x =+sin sin 2与直线c C y B x =+sin sin 2的位置关系是 ( )（A ）平行 （B ）垂直 （C ）重合 （D ）相交但不垂直16. 设,为单位向量，若向量-=+-)(，的最大值是 （ ） （A ）1 （B ）2 （C ） 2 （D ） 22三.解答题（17题8分，18题8分，19题10分，20题12分，21题 14分， 共52分）17．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++23015x x 的某个行向量的模不大于行列式234032112----中元素0的代数余子式的值，求实数x 的取值范围。
18．已知ABC ∆的顶点(1,3)A ，AB 边上的中线所在的直线方程是1y =，AC 边上的高所在的直线方程是210x y -+=。
求：（1）AC 边所在的直线方程； （2）AB 边所在的直线方程。
19．已知：2212:2240,:2240l ax y a l x a y a --+=+--=，其中102,a l <<、2l 与两坐标轴围成一个四边形。
（1）求两直线的交点；（2）a 为何值时，四边形面积最小？并求最小值。
20．在平面上，给定非零向量b r ，对任意向量a r ，定义 22()'||a b a a b b ⋅=-⋅r ru u r r rr 。
（1）若(23)a =r ，，(13)b =-r，，求'a u u r ；（2）若(21)b =r ，，证明：若位置向量a r 的终点在直线0Ax By C ++=上，则位置向量'a u u r 的终点也在一条直线上。
21．我们把一系列向量(1,2,,)i a i n =v L 按次序排成一列，称之为向量列，记作{}n a v.已知非零的向量列{}n a v满足：()111,y x a =，(,)n n n a x y =v11111(,)2n n n n x y x y ----=-+(2)n ≥。
（1）证明数列|}{|n a 是等比数列；（2）设n θ表示向量1,n n a a -v v 的夹角的弧度数()2≥n ，若()nn n n b θπ14-=，n n b b b S +++=...32，求n S ；（3）设()2,11=a ，把1a ，2a ，……，n a 中所有与1a 共线的向量按原的顺序排成一列，记为,......,......,,21n d d d ，令n n d d d OD +++=......21，O 为坐标原点，求点列{}n D 的极限点D 的坐标。
（注：若点n D 坐标为()n n v t ,，,lim t t n n =∞→v v n n =∞→lim ，则点()v t D ,为点列{}n D 的极限点。
金山中学2014学年度第一学期高二年级数学学科期中考试卷答案（考试时间：90分钟 满分：100分 命题人：俞丹萍 审核人：陈繁球） 一.填空题（每小题3分，共36分） 1．二元一次方程组⎩⎨⎧=++-=-+0320132y x y x 2．化简=-+ .3．已知直线l 过点)2,1( ,且有一方向向量与向量(则l 的方程为 . 032=+-y x4．向量(3,4)a =r 在向量(1,0)b =r方向上的投影为5．两平行直线0386=+-y x 与0343=+-y x间的距离是 .1036．如图所示的程序框，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是 . 5049 7．已知直线022=-+y x 和01=+-y mx 的夹角为4，则m 的值为 . 3-或38．直线()21210a x ay +-+=的倾斜角的取值范围是 . π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．若点(1,5)P -,(5,3)Q ，过线段PQ 的中点，使Q P ,两点到直线m 的距离都等于3，则直线m 的方程是 . 2x =或4340x y -+=10．两个向量1e ,2e2=1=，1e ,2e 的夹角为60°，若向量2172e e t +与向量21e t e +的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是 . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛--21,214214,7Y11．设A 是平面向量的集合，a ρ是定向量，对A x ∈ρ，定义a x a x x f ρρρρρ⋅⋅-=)(2)(．现给出如下四个向量： ①)0,0(=a ρ，②⎪⎪⎭⎫⎝⎛=42,42a ρ，③⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22,22a ρ，④⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=23,21a ρ． 那么对于任意x ρ、A y ∈ρ，使y x y f x f ρρρρ⋅=⋅)()(恒成立的向量a ρ的序号是____________（写出满足条件的所有向量a ρ的序号）． ①③④12. 设平面上三点A 、B 、C 不共线，平面上另一点D 满足342BA BC BD +=u u u v u u u v u u u v，则ABC ∆的面积与四边形ABCD 的面积之比为 . 27二.选择题（每小题3分，共12分）13．“1=a ”是“行列式031113231=a a”的 （ D ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件 14．设R y x ∈,，向量()()()4,2,,1,1,-===y x 且//,⊥，=+ （ B ） （A ）5 （B ）10 （C ）52 （D ）1015．在ABC ∆中，三内角C B A ,,所对的边是c b a ,,且C B A sin lg ,sin lg ,sin lg 成等差数列，那么直线a A y A x =+sin sin 2与直线c C y B x =+sin sin 2的位置关系是 ( C )（A ）平行 （B ）垂直 （C ）重合 （D ）相交但不垂直16. 设,为单位向量，若向量-=+-)(的最大值是 （ D ） （A ）1 （B ）2 （C ） 2 （D ） 22三.解答题（17题8分，18题8分，19题10分，20题12分，21题 14分， 共52分）17．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++23015x x 的某个行向量的模不大于行列式234032112----中元素0的代数余子式的值，求实数x 的取值范围.18．已知ABC ∆的顶点(1,3)A ，AB 边上的中线所在的直线方程是1y =，AC 边上的高所在的直线方程是210x y -+= 求：（1）AC 边所在的直线方程； （2）AB 边所在的直线方程。
解：（1）由题意，直线210x y -+=的一个法向量(1,2)-是AC 边所在直线的一个方向向量∴AC 边所在直线方程为2x+y －5=0。
（2）y=1是AB 中线所在直线方程∴设AB 中点P (,1)p x ，则B (21,1)p x --满足方程210x y -+=∴(21)2(1)10p x --⨯-+=，得1p x =-， ∴P(－1,1)则AB 边所在直线方程为20x y -+=。
19．已知：2212:2240,:2240l ax y a l x a y a --+=+--=，其中102,a l <<、2l 与两坐标轴围成一个四边形。
（1）求两直线的交点；（2）a 为何值时，四边形面积最小？并求最小值。
法二：两直线都过定点（2,2） 过程略（2）由2212:2240,:2240l ax y a l x a y a --+=+--=，1l 与x 轴，y 轴交点为⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,42a ，()a -2,0，2l 与x 轴，y 轴交点为()0,22+a ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+242,0a ，则2221111515(2)2(2)24()22244s a a a a a =-⨯++⨯=-+=-+≥。
所以 21=a 时，min 154S =。
20．在平面上，给定非零向量b r ，对任意向量a r ，定义 22()'||a b a a b b ⋅=-⋅r ru u r r rr 。
（1）若(23)a =r ，，(13)b =-r，，求'a u u r ；（2）若(21)b =r ，，证明：若位置向量a r 的终点在直线0Ax By C ++=上，则位置向量'a u u r 的终点也在一条直线上；21．我们把一系列向量(1,2,,)i a i n =v L 按次序排成一列，称之为向量列，记作{}n a v.已知非零的向量列{}n a v 满足：()111,y x a =，(,)n n n a x y =v11111(,)2n n n n x y x y ----=-+(2)n ≥。