著名机构数学讲义春季16-八年级基础版-概率初步-教师版
著名机构讲义春季09-八年级培优版-期中复习-学生版
教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间学 科数学课题名称期中复习知识模块Ⅰ:一次函数的图像与性质1、一般地,一次函数(是常数,且)的图像是一条直线2、一般地,直线()与轴的交点坐标是(0,)。
直线()的截距是。
3、一般地,一次函数()的图像可由正比例函数的图像平移得到。
当时,向上平移个单位;当时,向下平移个单位。
如果,那么直线与直线b kx y +=b k ,0k ≠b kx y +=0≠k y b b kx y +=0≠k b b kx y +=0b ≠kx y =0>b b 0<b b 21b b ≠1b kx y +=期中复习平行。
反过来,如果,直线与直线平行,那么,。
4、由一次函数的函数值 (或),就得到关于的一元一次不等式(或),在一次函数的图像上且位于轴上方(或下方)的所有点,他们的横坐标的取值范围就是不等式(或)的解集。
5、一般来说,一次函数(为常数,且)具有以下性质: 当时,函数值随自变量的值增大而增大; 当时,函数值随自变量的值增大而减小。
6、正比例函数是特殊的一次函数,它的性质与一次函数的性质是一致的。
7、直线()过点(0,)且与直线平行。
由直线在直角坐标平面内的位置情况可知:当,且时,直线经过第一、二、三象限; 当时,直线经过第一、三、四象限; 当时,直线经过第一、二、四象限; 当时,直线经过第二、三、四象限。
把上述判断反过来叙述也是正确的知识模块Ⅱ:代数方程(一)整式方程1.一元整式方程:如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程.2.一元n 次方程:一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n (n 是正整数),这个方程叫做一元次方程.3.一元高次方程:一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n ,若次数n 是大于2的正整数,这样的方程统称为一元高次方程.4.(1)二项方程:如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项,另一边是零,那么2b kx y +=11b x k y +=22b x k y +=21k =k 21b ≠b b kx y +=0>y 0<y x 0>+b kx 0<+b kx b kx y +=x 0>+b kx 0<+b kx b kx y +=b k ,0≠k 、a 0>k y x 、b 0<k y x b kx y +=0,0≠≠b k b kx y =kx y =、a 0>k 0>b b kx y +=、b 00<>b k ,且b kx y +=、c 00><b k ,且b kx y +=、d 00<<b k ,且b kx y +=n这样的方程就叫做二项方程.(2)二项方程的一般形式为0(0,0,)nax b a b n +=≠≠是正整数 (3)二项方程根的情况:当n 为奇数时,方程有且只有一个实数根当n 为偶数时,如果ab <0,那么方程有两个实数根,且这两个根互为相反数;如果ab >0,那么方程没有实数根.(二)分式方程1.分式方程:分母中含有未知数的方程叫做分式方程2.基本思想:通过去分母把分式方程转化为整式方程,在求解。
第3讲 概率初步--基础版
第3讲概率初步知识点1 随机事件与概率随机事件的概念在一定条件下,必然会发生的事件叫必然事件。
在一定条件下,一定不可能发生的事件叫不可能事件。
在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件叫随机事件概率的概念及意义一般地,在大量重复试验中,如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近,那么这个常数p就叫做事件A的概率。
①事件A的概率是一个大于等于0,且小于等于1的数,即,其中P(必然事件)=1,P(不可能事件)=0,0<P(随机事件) <1.②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值,即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率,但二者不能简单地等同,两者存在一定的偏差是正常的,也是经常的.【典例】1.下列问题哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是随机事件?(1)太阳从西边落山;(2)a2+b2=﹣1(其中a、b都是实数);(3)水往低处流;(4)三个人性别各不相同;(5)一元二次方程x2+2x+3=0无实数解;(6)经过有信号灯的十字路口,遇见红灯.2.在一个不透明的口袋中装有大小、外形一模一样的5个红球、3个篮球和2个白球,它们已经在口袋中被搅匀了,请判断以下是不确定、不可能事件、还是必然事件.(1)从口袋中一次任意取出一个球,是白球;(2)从口袋中一次任取5个球,全是篮球;(3)从口袋中一次任取5个球,只有篮球和白球,没有红球;(4)从口袋中一次任意取出6个球,恰好红、蓝、白三种颜色的球都齐了.3.掷一个骰子,观察向上一面的点数,求下列事件的概率:(1)点数为偶数;(2)点数大于2且小于5.4.已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球,其中3个白球,4个黑球.(1)求从中随机抽取出一个黑球的概率是多少?(2)若往口袋中再放入x个白球和y个黑球,从口袋中随机取出一个白球的概率是,求y与x之间的函数关系式.【方法总结】要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地,必然发生的事件发生的可能性最大,不可能发生的事件发生的可能性最小,随机事件发生的可能性有大有小,不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同.①事件A的概率是一个大于等于0,且小于等于1的数,即,其中P(必然事件)=1,P(不可能事件)=0,0<P(随机事件) <1.②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值,即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率,但二者不能简单地等同,两者存在一定的偏差是正常的,也是经常的.【随堂练习】1.(2018春•鄄城县期末)如图,超市举行有奖促销活动:凡一次性购物满300元者即可获得一次摇奖机会,摇奖机是一个圆形转盘,被分成16等分,指针分别指向红、黄、蓝色区域,分获一、二、三获奖,奖金依次为60、50、40元.(1)分别计算获一、二、三等奖的概率.(2)老李一次性购物满了300元,摇奖一次,获奖的概率是多少?请你预测一下老李摇奖结果会有哪几种情况?2.(2018春•奉贤区期末)布袋中放有x只白球、y只黄球、2只红球,它们除颜色外其他都相同,如果从布袋中随机摸出一个球,恰好是红球的概率是.(1)试写出y与x的函数关系式;(2)当x=6时,求随机地取出一只黄球的概率P.3.(2018春•相城区期中)一只不透明的袋子中装有a个白球,b个黄球和10个红球,这些球除颜色外都相同,将球摇匀,从中任意摸出一个球,摸到红球的概率是40%;(1)当a=8时,求摸到白球的概率;(2)若摸到黄球的概率是摸到白球的两倍,求a,b的值.知识点2 用列举法求概率用列表法和树状图法,求事件的概率1. 列表法:当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时,为了不重不漏地列举出所有可能的结果,我们采用列表法来求出某事件的概率.2. 树状图法:当一个事件涉及三个或更多元素时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用树形图法来求出某事件的概率.树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合,依次列出,像树的树丫形式,最末端的树丫个数就是总的可能的结果.【典例】1.一个不透明的口袋中有三个小球,上面分别标有字母A,B,C,除所标字母不同外,其它完全相同,从中随机摸出一个小球,记下字母后放回并搅匀,再随机摸出一个小球,用画树状图(或列表)的方法,求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率.2.如图,在一个可以自由转动的转盘中,指针位置固定,三个扇形的面积都相等,且分别标有数字1,2,3.(1)小明转动转盘一次,当转盘停止转动时,指针所指扇形中的数字是奇数的概率为;(2)小明先转动转盘一次,当转盘停止转动时,记录下指针所指扇形中的数字;接着再转动转盘一次,当转盘停止转动时,再次记录下指针所指扇形中的数字,求这两个数字之和是3的倍数的概率(用画树状图或列表等方法求解).3.三个小球上分别标有-2,0,1三个数,这三个球除了标的数不同外,其余均相同、将小球放入一个不透明的布袋中搅匀.(1)从布袋中任意摸出一个小球,将小球上所标之数记下,然后将小球放回袋中,搅匀后再任意摸出一个小球,再记下小球上所标之数,求两次记下之数的和大于0的概率.(请用“画树状图”或“列表”的方法给出分析过程,并求出结果)(2)从布袋中任意摸出一个小球,将小球上所标之数记下,然后将小球放回袋中,搅匀后再任意摸出一个小球,将小球上所标之数再记下,…,这样一共摸了13次,若记下的13个数之和等于-4,平方和等于14,求:这13次摸球中,摸到球上所标之数是0的次数. 【方法总结】求概率应掌握以下方法:2. 求概率的一般步骤:①判断使用列表法或画树状图法:列表法一般适用于两步计算;画树状图法适用于两步及两步以上求概率;②不重不漏的列举出所有事件出现的可能结果,并判断每种事件发生的可能性是否相等;③确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出现3. 判断游戏的公平性:判断游戏的公平性是通过概率来判断的,在条件相等的前提下,如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率相等,则游戏公平,否则不公平.4. 在重复实验计算概率的题中,第一次取出后放回,然后第二次再取出计算概率,做这类考题时要注意两次取得的结果总数是一致的,如果不放回,那么第二次取出的结果的总数比第一次少一种情况【随堂练习】1.(2018•深圳模拟)为了提高学生书水平.我市举办了首届“汉字听写大赛”,经选拔后有50名学生参加决赛,这50名学生同时听写50个汉字,若每正确听写出一个汉字得1分.根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图:请结合图表完成下列各题:(1)求表中a的值,并把频数分布方图补充完整;(2)第5组10名同学中,有4名男同学,现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习,且4名男同学每组分两人,求小宇与小强两名男同学能分在同一组的概率.2.(2018•云南)将正面分别写着数字1,2,3的三张卡片(注:这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其他方面完全相同,若背面向上放在桌面上,这三张卡片看上去无任何差别)洗匀后,背面向上放在桌面上,从中先随机抽取一张卡片,记该卡片上的数字为x,再把剩下的两张卡片洗匀后,背面向上放在桌面上,再从这两张卡片中随机抽取一张卡片,记该卡片上的数字为y.(1)用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法,写出(x,y)所有可能出现的结果.(2)求取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P.3.(2018•利辛县模拟)合肥合家福超市为了吸引顾客,设计了一种促销活动:在三等分的转盘上依次标有“合”,“家”,“福”字样,购物每满200元可以转动转盘1次,转盘停下后,指针所指区域是“福”时,便可得到30元购物券(指针落在分界线上不计次数,可重新转动一次),一个顾客刚好消费400元,并参加促销活动,转了2次转盘.(1)求出该顾客可能获得购物券的最高金额和最低金额;(2)请用画树状图法或列表法求出该顾客获购物券金额不低于30元的概率.知识点3用频率估计概率用频率估计概率实际上,从长期实践中,人们观察到,对一般的随机事件,在做大量重复试验时,随着试验次数的增加,一个时间出现的频率,总在一个固定的数附近摆动,显示出一定的稳定性.因此,我们可以通过大量的重复试验,用一个随机事件发生的频率去估计它的概率【典例】1.在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个,某学习小组做摸球实验,将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回袋中,不断重复,下表是活动进行中的一组统计数据:(1)请估计:当n很大时,摸到白球的频率将会接近;(精确到0.1)(2)试估算口袋中白球有多少个?(3)若从中先摸出一球,放回后再摸出一球,请用列表或树状图的方法(只选其中一种),求两次摸到的球颜色相同的概率..2.某商场设立了一个可以自由转动的转盘,并规定:顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品.下表是活动进行中的一组统计数据:(1)计算并完成表格:(2)请估计,当n很大时,频率将会接近(精确到0.1)(3)假如你去转动该转盘一次,你获得铅笔的概率约是,理由是:.3.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个,小颖做摸球实验,她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒子中,不断重复上述过程,下表是实验中的一组统计数据:(1)请估计:当n很大时,摸到白球的频率将会接近;(精确到0.1)(2)假如你摸一次,你摸到白球的概率P(白球)=;(3)试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只?【方法总结】1.当试验的可能结果不是有限个,或各种结果发生的可能性不相等时,一般用统计频率的方法来估计概率.2.利用频率估计概率的数学依据是大数定律:当试验次数很大时,随机事件A出现的频率,稳定地在某个数值P附近摆动.这个稳定值P,叫做随机事件A的概率,并记为P(A)=P.3.利用频率估计出的概率是近似值.【随堂练习】1.(2017秋•福州期末)盒中有若干枚黑棋和白棋,这些棋除颜色外无其他差别,现让学生进行摸棋试验:每次摸出一枚棋,记录颜色后放回摇匀.重复进行这样的试验得到以下数据:摸到黑棋的频率(精确到0.001)(1)根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是____;(精确到0.01)(2)若盒中黑棋与白棋共有4枚,某同学一次摸出两枚棋,请计算这两枚棋颜色不同的概率,并说明理由2.(2018春•东台市期中)“2018东台西溪半程马拉松”的赛事共有两项:A、“半程马拉松”、B、“欢乐跑”.小明参加了该项赛事的志愿者服务工作,组委会随机将志愿者分配到两个项目组.(1)小明被分配到“半程马拉松”项目组的概率为____.(2)为估算本次赛事参加“半程马拉松”的人数,小明对部分参赛选手作如下调查:①请估算本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为____.(精确到0.1)②若本次参赛选手大约有3000人,请你估计参加“半程马拉松”的人数是多少?3.(2017•张家港市模拟)4件同型号的产品中,有l件不合格品和3件合格品.(1)从这4件产品中随机抽取1件进行检测,不放回,再随机抽取1件进行检测.请用列表法或画树状图的方法,求两次抽到的都是合格品的概率;(解答时可用A表示l件不合格品,用B、C、D分别表示3件合格品)(2)在这4件产品中加入x件合格品后,进行如下试验:随机抽取1件进行检侧,然后放回,多次重复这个试验,通过大量重复试验后发现,抽到合格品的频率稳定在0.95,则可以推算出x的值大约是多少?综合运用:概率初步1.有100张卡片(从1号到100号),从中任取1张,计算:(1)取到卡片号是7的倍数的情况有多少种?(2)取到卡片号是7的倍数的概率是多少?2.在不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球(除颜色外其余都相同),其中白球有2个,黄球有1个,现从中任意摸出一个是白球的概率为.(1)试求袋中篮球的个数;(2)第一次任意摸出一个球(不放回),请画出树状图或列表的方法,求两次摸到都是白球的概率.3.甲、乙两个不透明的口袋,甲口袋中装有3个分别标有数字1,2,3的小球,乙口袋中装有2个分别标有数字4,5的小球,它们的形状、大小完全相同,现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字,再从乙口袋中摸出一个小球记下数字.(1)请用列表或树状图的方法(只选其中一种),表示出两次所得数字可能出现的所有结果;(2)求出两个数字之积能被2整除的概率.4.有4个完全一样的小球,上面分别标着数字,2,1,﹣3,﹣4.现随机摸出一个小球后不放回,将该小球上的数字记为m,再随机地摸出一个小球,将小球上的数字记为n.(1)请列表或画出树状图并写出(m,n)所有可能的结果;(2)求所选出的m,n能使一次函数y=mx+n 的图像经过第二、三、四象限的概率.5.小明和小刚用如图所示的两个转盘各转一次做“配紫色”游戏,配成紫色(一红一蓝),小明得1分,否则小刚得1分.(1)这个游戏公平吗?为什么?(2)如果不公平,如何修改规则才能使该游戏对双方公平?6.随着通讯技术的迅猛发展,人与人之间的沟通方式更多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷(每人必选且只选一种),在全校范围内随机调查了部分学生,将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给的信息解答下列问题:(1)这次统计共抽查了名学生;在扇形统计图中,表示“QQ”的扇形圆心角的度数为;(2)将条形统计图补充完整;(3)该校共有1500名学生,请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名?(4)某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系,请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率.7.在“植树节”期间,小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动,规则如下:在两个盒子内分别装入标有数字1,2,3,4的四个和标有数字1,2,3的三个完全相同的小球,分别从两个盒子中各摸出一个球,如果所摸出的球上的数字之和小于6,那么小王去,否则就是小李去.(1)用树状图或列表法求出小王去的概率;(2)小李说:“这种规则不公平”,你认同他的说法吗?请说明理由.。
8年级下册数学(春季)-第18讲-概率初步
8年级数学下册(春季)辅导教案1.理解必然事件,不可能事件和随机事件,知道概率的含义;2.掌握等可能试验中事件的概率计算公式,会用枚举法得出事件的概率;3.学会画树形图计算简单事件的概率.(此环节设计时间在10-15分钟)教法说明:回顾上次课的预习思考内容。
甲乙两个同学做“石头、剪刀、布”的游戏,在一个回合中两人能分出胜负的概率是多少?分析:(1)一个回合:那么是几次等可能试验?树形图应该画几级?(甲、乙独立出拳的,应该算两次)(2)每一个级别里应该画几条树枝?(每个试验的结果有几种可能性)树状图如下:观察树形图:共有9种可能的出拳方式,一个回合定胜负的出拳方式有6种.故本题结论为P(A)=6293剪刀石头布剪刀石头布剪刀石头布布石头剪刀乙甲(此环节设计时间在50-60分钟)知识点1:随机事件、必然事件、不可能事件在一定条件下必定出现的现象叫做必然事件;如果用U表示,则概率为1:P(U)=1;在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件;如果用V表示,则概率为0:P(V)=0;在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫做随机事件(不确定事件);一般用A表示,则概率P(A)介于0到1之间;P(A)——纯小数、真分数、百分数等表示.例题1:下列语句正确的是()A、“上海冬天最低气温低于-5℃”,这是必然事件;B、“在去掉大小王的52张扑克牌中抽13张牌,其中有4张黑桃”,这是必然事件;C、“电视打开时正在播放广告”,这是不可能事件;D、“从由1,2,5组成的没有重复数字的三位数中任意抽取一个数,这个三位数能被4整除”,这是随机事件.参考答案:D试一试:1.下列成语或词语所反映的事件中,可能性大小最小的是().A、瓮中捉鳖;B、守株待兔;C、旭日东升;D、夕阳西下.2.在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球,其中黄球1个,红球1个,白球2个,“从中任意摸出2个球,它们的颜色相同”这一事件是()A.必然事件;B.不可能事件;C.随机事件;D.确定事件.参考答案:1.B;2.C.知识点2:事件发生的可能性例题2:事件“钟面上时针与分针成一直线”发生的可能性()A、不可能;B、可能性很小;C、可能性很大;D、以上都不对.参考答案:B试一试:1.投掷一枚普通的六面体骰子,有下列事件:①掷得的点数是6;②掷得的点数是奇数;③掷得的点数不大于4;④掷得的点数不小于2;这些事件发生的可能性由大到小排列正确的是()A、①②③④;B、④③②①;C、③④②①;D、②③①④.2.木盒里有10个红球,3个黄球和1个白球,这些球只是颜色不同,大小一样;从木盒中任意摸出1个球,①摸出1个黄球;②摸出1个白球;③摸出1个绿球;④摸出一个红球;⑤摸出一个球颜色是黄色或者白色;这些事情发生可能性的大小从大到小排列为.参考答案:1.B;2.④⑤①②③.知识点3:概率的理解例题3:气象台预报“本市明天降水概率是80%”,对此信息,下面的几种说法正确的是()A、本市明天将有80%的地区降水;B、本市明天将有80%的时间降水;C、明天肯定下雨;D、明天降水的可能性比较大.参考答案:D试一试:1.下列说法正确的是()A.“明天的降水概率为30%”是指明天下雨的可能性是30%;B.连续抛一枚硬币50次,出现正面朝上的次数一定是25次;C.连续三次掷一颗骰子都出现了奇数,则第四次出现的数一定是偶数;D.某地发行一种福利彩票,中奖概率为1%,买这种彩票100张一定会中奖.2.下列事件中,概率接近于1的是()A、大晴天出门遇到下冰雹;B、在1到10的十个整数中任取一个数恰是偶数;C、自然数1是素数;D、买了一张福利彩票,但没有中奖.参考答案:1.A;2.D.知识点4:频率与概率的关系例题4:甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中,统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所参考答案:2 3知识点7:转化为面积问题的概率计算例题7:如图,EF过矩形ABCD对角线的交点O,且分别交AB、CD于E、F,矩形ABCD内的一个动点P 落在阴影部分的概率是;参考答案:1 4试一试:1.一矩形场地内有两相邻的正方形,面积分别为2和8,(如图)小明随机地向场地进行丢石子实验,则石子落在阴影部分的概率是;2.如图两块完全相同的正方形木板重叠而成的,其中一个正方形的一个顶点恰好落在另一个正方形的中心O,现有一个机器猫在上面走动,则机器猫恰好落在重叠区域的概率是;参考答案:1.16;2.17此环节设计时间在30分钟左右(20分钟练习+10分钟互动讲解)。
著名机构初中数学培优讲义实数.第01讲(A).教师版
内容 基本要求略高要求较高要求平方根、算数平方根了解开方与乘方互为你运算,了解平方根及算术平方根的概念,会用根号表示非负数的平方根及算术平方根会用平方运算的方法,求某些非负数的平方根立方根 了解立方根的概念,会用根号表示数的立方根 会用立方运算的方法,求某些数的立方根能运用圆的性质解决有关问题 实数 了解实数的概念会进行简单的实数运算1.平方根、立方根的有关概念以及其区别和联系;2.会求一个数的平方根和立方根并了解其限定条件3.能进行实数的运算无 理 数 的 发 现 ── 第 一 次 数 学 危 机大约公元前5世纪,不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论.当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究,把几何、算术、天文、音乐称为"四艺",在其中追求宇宙的和谐规律性.他们认为:宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比,毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理,但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比(不可通约)的情形,如直角边长均为1的直角三角形就是如此.这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条,导致了当时认识上的"危机",从而产生了第一次数学危机.到了公元前370年,这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了.他的处理不可通约量的方法,出现在欧几里得《原本》第5卷中.欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致.今天中学几何课本中对相似三角形的处理,仍然反映出由不可通约量而带来的某些中考要求重难点课前预习实 数困难和微妙之处. 第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击.这表明,几何学的某些真理与算术无关,几何量不能完全由整数及其比来表示,反之却可以由几何量来表示出来,整数的权威地位开始动摇,而几何学的身份升高了.危机也表明,直觉和经验不一定靠得住,推理证明才是可靠的,从此希腊人开始重视演译推理,并由此建立了几何公理体系,这不能不说是数学思想上的一次巨大革命!模块一 平方根、算术平方根平方根:如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根. 也就是说,若2x a =,则x 就叫做a 的平方根. 一个非负数a 的平方根可用符号表示为“a ±”. 算术平方根:一个正数a 有两个互为相反数的平方根,其中正的平方根叫做a 的算术平方根,可用符号表示为“a ”;0有一个平方根,就是0,0的算术平方根也是0,负数没有平方根,当然也没有算术平方根.(负数的平方根在实数域内不存在,具体内容高中将进学习研究)一个非负数的平方根不一定是非负数,但它的算术平方根一定是非负数,即若0a ≥,则0a ≥. 平方根的计算:求一个非负数的平方根的运算,叫做开平方.开平方与平方是互逆运算,可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根,以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根.对定义和性质的考察【例1】 判断题:(1)a 一定是正数. ( ) (2)2a 的算术平方根是a . ( ) (3)若2()6a -=,则6a =-.( )(4)若264x =,则648x =±=±. ( ) (5)64的平方根是8±. ( ) (6)若两个数平方后相等,则这两个数也一定相等. ( ) (7)如果一个数的平方根存在,那么必有两个,且互为相反数. ( ) (8)2a -没有平方根. ( ) (9)如果两个非负数相等,那么他们各自的算术平方根也相等. ( )【难度】1星 【解析】略【答案】(1)×;(2)×;(3)×;(4)√;(5)×;(6)×;(7)×;(8)×;(9)√.【巩固】若()4216A a=+,则A 的算术平方根是_________.例题精讲【难度】2星【解析】A 22(16)a +,故A 的算术平方根为216a +.【答案】216a +【巩固】设a a 的值是________. 【难度】2星【解析】a 48a 必须是完全平方数, 因为24843=⨯整数的整数a 为3.【答案】3【例2】 x 为何值时,下列各式有意义?(1; (2 (3(4) ; (5); (6;【难度】1星 【解析】略【答案】(1)0x ≥;(2)x =0;(3)2x ≤;(4)x 为任意数;(5)x >1;(6)112x -≤≤.对计算的考察【例3】 求下列等式中的x :(1)若x 2=1.21,则x =______; (2)x 2=169,则x =______;(3)若294x =,则x =______; (4)若x 2=2(2)-,则x =______.【难度】1星【解析】一个正数的平方根有两个,且互为相反数.【答案】(1) 1.1x =±;(2)x =±13;(3)32x =±;(4)x 2=±.【例4】 求下列各式的值(1) (2(3 (4(5 (6【难度】1星(1)2612⨯=; (27512=+=;(30.30.80.5-=-; (4290.91365=⨯=;(520===; (6110.8250.25 5.245=⨯+⨯=+=;【答案】(1)12; (2)12; (3)0.5-; (4)965; (5)20; (6)5.2.【巩固】求下列各式中x 的值.(1)29x =; (2)22500x -=(3)21(51)303x --= (4)2(100.2)0.64x -=【难度】1星【解析】本题考察的是平方根,正数的平方根有两个,且互为相反数.(1)3x =±; (2)225,5x x ==±;(3)221(51)3,(51)9,513,5133x x x x -=-=-=±=+;或513x =-,解得45x =或25x =-.(4)100.20.8,0.2100.8,0.210.8x x x -=±=±=或0.29.2x =解得54x =或x =46.【答案】(1)3x =±; (2)5x =±;(3)45x =或25x =-; (4)54x =或x =46.对非负性的考察【例5】 如果3a b -+【难度】2星【解析】由绝对值和算术平方根的非负性及相反数的定义解题.有题可知30220a b a b -+=⎧⎨+-=⎩解得4353a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3==.【答案】3【例6】已知2b =,求11a b+的平方根. 【难度】2星【解析】由题可知940490a a -≥⎧⎨-≥⎩,49a ∴=,b =2,=【答案】【巩固】已知x ,y ,z满足21441()02x y z -+-=,求()x z y -的值. 【难度】2星 【解析】由题可知441020102x y y z z ⎧⎪-+=⎪+=⎨⎪⎪-=⎩,解得121412x y z ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩,()x z y -1111()()22416=--⨯-=.【答案】116总结: (1)当被开方数扩大(或缩小)2n 倍,它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥).(2)平方根和算术平方根与被开方数之间的关系:①若0a ≥,则2a =;②不管a(0)||(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩注意二者之间的区别及联系.(3)若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间,即120a a a ≤<<时,它的算术平方根也之间,即:0≤<的算术平方根的大致范围.模块二 立方根如果一个数的立方等于a ,那么这个数叫做a 的立方根,也就是说,若3,x a =则x 就叫做a 的立方根, 一个数a 的立方根可用符号表,其中“3”叫做根指数,不能省略. 前面学习的其实省略了根指数“2”“三次根号a ”“二次根号a ”“根号a ”.任何一个数都有立方根,且只有一个立方根,正数的立方根为正数,负数的立方根为负数,0的立方根为0.立方根的计算:求一个数的立方根的运算,叫做开立方,开立方与立方是互逆运算,可以通过立方运算来求一个数的立方根,以及检验一个数是不是另一个数的立方根.对立方根定义和性质的考察【例7】 (1)下列说法中,不正确的是 ( )A . 8的立方根是2B . 8-的立方根是2-C . 0的立方根是0D .a(2)61164-的立方根是( )A .- B .114± C . 114 D .114-(3)某数的立方根是它本身,这样的数有( ) A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 (4)下列说法正确的是( )① 正数都有平方根;② 负数都有平方根, ③ 正数都有立方根;④ 负数都有立方根;A .1个B .2个C .3个D .4个(5)若a 立方比a 大,则a 满足( )A . a <0B . 0< a <1C . a >1D . 以上都不对 (6)下列运算中不正确的是( )A .= B .3C 1-D .4【难度】1星 【解析】略【答案】(1)D ;(2)D ;(3)C ;(4)C ;(5)D ;(6)B .【巩固】(1)若x 的立方根是4,则x 的平方根是______.(2)3311-+-x x 中的x 的取值范围是______,11-+-x x 中的x 的取值范围是______.(3)-27______.(40=则x 与y 的关系是______.(54那么(66)2a -⋅的值是______.(6则x =______.(7)若m <0,则m .(8)若59x +的立方根是4,则34x +的平方根是______.【难度】2星 【解析】略【答案】 (1)8±;(2)任意数; x =1;(3)1-或5-;(4)互为相反数;(5)-12;(6)x =1; (7)0; (8)对计算的考察【例8】 求下列等式中的x :(1)若x 3=0.729,则x =______; (2)x 3=6427-,则x =______;(3)若52,则x =______; (4)若x 3=3(2)--,则x =______. 【难度】1星 【解析】略【答案】(1)0.9;(2)43-;(3)1258;(4)2.【例9】 求下列各式的值(1 (2(3) (4)3(5 (6(7【难度】1星 【解析】略【答案】(1)0.4;(2)2-;(3)25-;(4)64;(5)43;(6)9;(7)6.【巩固】(1)填表:(2(3) 根据你发现的规律填空:① 1.442== ,= ;② 7.696=,= .【难度】2星 【解析】略【答案】(1)0.01; 0.1; 1; 10; 100.(2)当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍,它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍(3) ①14.42; 0.01442; ②0.7696.总结 :(1) 当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍,它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍.(2)a =,3a =(3) 若一个数a 介于另外两个数1a 、2a 之间,即12a a a <<<综合应用【例10】 2(27)b +的立方根. 【难度】2星【解析】由题可知80270a b +=⎧⎨+=⎩,解得827a b =-⎧⎨=-⎩,235,+=.【答案】1【例11】 已知2x -的平方根是±2,27x y ++的立方根是3,求22x y +的平方根. 【难度】2星【解析】Q2(2)=±,6x ∴=;Q 3=,8y ∴=,10==±.【答案】10±总结:平方根与立方根的区别与联系: 区别:(1)根指数不同:平方根的根指数是2,通常省略不写;立方根的根指数是3,却不能省略. (2)被开方数取值范围不同:平方根中被开方数必须是非负数;而立方根中被开方数可以为任何数. (3)平方的结果不同:平方根的结果除0之外,还有两个互为相反数的结果;而立方根的结果只有一个.(4)平方根等于本身的数是0,算术平方根等于它本身的数是0,1,立方根等于它本身的数是0,1,1-;联系:(5)平方根与立方根相等的数是0.(6)平方根与立方根都是与乘方运算互为逆运算.模块三 实数1 无理数的概念:无限不循环小数叫做无理数. 注意:(1)所有开方开不尽的方根都是无理数,不是所有带根号的数都是无理数. (2)圆周率π及一些含π的数是无理数. (3)不循环的无限小数是无理数.(4)有理数可化为分数,而无理数则不能化为分数. 2 无理数的性质:设a 为有理数,b 为无理数,则a+b ,a-b 是无理数; 3 实数的概念:有理数和无理数统称为实数. 实数的分类:0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 4实数的性质:(1)任何实数a ,都有一个相反数-a .(2)任何非0实数a ,都有倒数1a.(3)正实数的绝对值是它本身,负实数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.(4)正实数大于0,负实数小于0;两个正实数,绝对值大的数大,两个负实数,绝对值大的反而小. 5 实数与数轴上的点一一对应:即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示,反过来,每个实数都可以在数轴上找到表示它的点.对实数定义的考察【例12】 判断正误.(1)实数是由正实数和负实数组成.( ) (2)0属于正实数.( )(3)数轴上的点和实数是一一对应的.( )(4)如果一个数的立方等于它本身,那么这个数是±1.( ) (5)若x =则x =( ) 【难度】2星 【解析】略【答案】(1)×;(2)×;(3)√;(4)×;(5)√.【例13】 下列说法错误的是( )A .实数都可以表示在数轴上B .数轴上的点不全是有理数C .坐标系中的点的坐标都是实数对 D【难度】1星 【解析】略【答案】D【例14】 下列说法正确的是( )A .无理数都是无限不循环小数B .无限小数都是无理数C .有理数都是有限小数D .带根号的数都是无理数【难度】1星 【解析】略 【答案】A对实数性质的考察【例15】的相反数是________;的倒数是________;35-的绝对值是________.【难度】1星 【解析】略【答案】【例16】 3.141π-=______;=-|2332|______. 【难度】1星 【解析】略【答案】-3.141π;【例17】 若||x =x =______;若||1x =,则x =______. 【难度】1星 【解析】略【答案】1或1-实数的分类【例18】 把下列各数填入相应的集合:-1、π、 3.14-、127.0&、0(1)有理数集合{ }; (2)无理数集合{ }; (3)整数集合{ }; (4)正实数集合{ }; (5)负实数集合{ }. 【难度】1星 【解析】略【答案】(1)-1 3.14-、1、7.0&、0;(2、π(3)-10(4π、1、7.0&;(5)-1、 3.14-、比较大小【例19】 估 )A .7~8之间B .8.0~8.5之间C .8.5~9.0之间D .9~10之间【难度】1星【解析】略 【答案】C【例20】 实数2.6 ( )A .2.6<<B .2.6C 2.6<D 2.6< 【难度】2星【解析】略【答案】B【例21】 一个正方体水晶砖,体积为1002cm ,它的棱长大约在 ( )A .4~5cm 之间B .5~6cm 之间C .6~7cm 之间D .7~8cm 之间【难度】1星【解析】略【答案】A【巩固】把下列各数按照由大到小的顺序,用不等号连接起来.4,4-,153-,1.414,π,0.6, 34-, 【难度】1星【解析】略 【答案】314 1.4140.64543π>>>>>>->-.对计算的考察【例22】 计算题(1)32716949+- (2)233)32(1000216-++ 【难度】1星【解析】(1)32716949+-71333=-+=-;(2)233)32(1000216-++226101633=++=. 【答案】(1)3-;(2)2163.综合应用【例23】 写出符合条件的数. (1)小于25的所有正整数; (2)绝对值小于22的所有整数.【难度】2星【解析】略【答案】(1)1,2,3,4;(2)1-,2-,0,1,2.【例24】 一个底为正方形的水池的容积是3150m 3,池深14m ,求这个水底的底边长.【难度】1星【解析】设这个水底的底边长为x ,则有2143150x =,解得15x =.【答案】15【例25】 已知a 是11的整数部分,b 是它的小数部分,求32()(3)a b -++的值.【难度】2星【解析】91116<<Q ,∴3114<<,11∴的整数部分为3,小数部分为113-,3,113a b ∴==-,32()(3)a b -++32(3)(1133)271116=-+-+=-+=-.【答案】16-总结:没有最小的实数,0是绝对值最小的实数;带根号的数不一定是无理数;一个实数的立方根只有一个;负数没有平方根.无理数大小的比较方法:(1)比较两个数的平方的大小:a >0,b >0,若2()a >2()b ,则a b >;若2()a <2()b ,则a b <; 若2()a =2()b >,则a b =.(2)比较被开方数的大小:a >0,b >0, 若a >b ,则a b >; 若a <b , 则a b <;若a =b ,则a b =.(3)作差法:若a-b >0,则a >b ;若a-b =0,则a =b ;若a-b <0,则a <b .(4)作商法:a >0,b >0,若a b >1,则a >b ;若a b =1,则a =b ;若a b<1,则a <b .【练习1】下列说法正确是( )A .有理数都是实数B .实数都是有理数C .带根号的数都是无理数D .无理数包含0【难度】1星课堂检测【解析】略【答案】A【练习2】下列命题中,真命题是( )A .22011的平方根是2011B .64-的平方根是8±C6=± D .若22a b =【难度】1星【解析】略【答案】D【练习3】有一个数值转换器原理如图所示,则当输入x 为36时,输出的y 是( )输出y输入xA .6 BCD.【难度】2星【解析】略【答案】B【练习4】数轴上,有一个半径为1个单位长度的圆上的一点A 与原点重合,该圆从原点向正方向滚动一周,这时点A 与数轴上一点重合,这点表示的实数是 .【难度】1星【解析】略【答案】2π【练习5】计算:(1(2【难度】1星【解析】(1585355245420+=-+=-; (2340.60.4-+=-. 【答案】(1)3220-;(2)0.4-.【练习6】已知()0328322=+-+-+y x y x ,求yx xy +3的值. 【难度】2星【解析】利用非负性建立二元一次方程组,解出x ,y 的值,代入即可解决问题.【答案】21.通过本堂课你学会了 .2.通过本节课,你复习的知识点 .3.掌握的不太好的部分 .4.老师点评:① .② .③ .1. 下列命题中,错误的命题个数是( )(1)2a -没有平方根; (2)100的算术平方根是10,记作10100=±(3)数轴上的点不是表示有理数,就是表示无理数; (4)2是最小的无理数.A .1个B .2个C .3个D .4个【难度】1星【解析】错误的有(1),(2),(4).【答案】C2. 若22b a =,则下列等式成立的是( )A .33b a =B .b a =C .b a =D . ||||b a =【难度】1星【解析】略【答案】D3. 已知坐标平面内一点A(2-,3),将点A 先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,得到,则A′的坐标为 .【难度】2星【解析】在坐标平面内点的平移是左减右加,上加下减.【答案】(22,33)-+-4.已知10<<x ,则21x x x x 、、、的大小关系是__________________________(用“>”连接).【难度】1星 课后作业 总结复习【解析】可以采用特殊值法解题,如14x =. 【答案】21x x x>>>5.计算:(1 (2)2(2)-【难度】1星【解析】(111213333=-=- ;(2)2(2)-11433231423=⨯+-⨯=+-=. 【答案】(1) 13- ; (2)4.6.已知一个长方体封闭水箱的容积是1620立方分米,它的长、宽、高的比试5:4:3,则水箱的长、宽、高 各是多少分米?做这个水箱要用多少平方分米的板材?【难度】1星【解析】在列方程解应用题时,要注意见比设k 的应用.【答案】长、宽、高各是15分米,12分米,9分米;846平方分米.7.已知实数a ,满足0a +,求11a a -++的值.【难度】2星【解析】Q 0a +,0a a a ∴++=,20a a +=,0a ∴=,112a a -++=【答案】28.先阅读理解,再回答下列问题:=,且12<的整数部分为1;=23<2;34<3;n 为正整数)的整数部分为______,请说明理由.【难度】2星【解析】nQ 2(1)n n n n +=+,又22(1)(1)n n n n <+<+Q ,1n n ∴<<+(n 为正整数),∴整数部分为n .【答案】n9. 计算下列各组算式,观察各组之间有什么关系,请你把这个规律总结出来,然后完成后面的填空.(1;(2(3(4(5= ;(6= (0,0)a b ≥≥.【难度】2星【解析】(5=(6=【答案】(5;(610.若a 为217-的整数部分,1-b 是9的平方根,且a b b a -=-||,求b a +的算术平方根.【难度】3星 【解析】161725,45,223,2a <<∴<∴<<∴=Q ,14b b -==或2b =-.又a b b a -=-Q ,b a ∴≥,2,4a b ∴==,==。
上海1对3春季讲义-数学-八年级-第18讲-概率初步
精锐教育1对3辅导讲义甲乙两个同学做“石头、剪刀、布”的游戏,在一个回合中两人能分出胜负的概率是多少?分析:(1)一个回合:那么是几次等可能试验?树形图应该画几级?(甲、乙独立出拳的,应该算两次)(2)每一个级别里应该画几条树枝?(每个试验的结果有几种可能性)树状图如下:分析:(1)一个回合:那么是几次等可能试验?树形图应该画几级?(甲、乙独立出拳的,应该算两次)(2)每一个级别里应该画几条树枝?(每个试验的结果有几种可能性)树状图如下:观察树形图:共有9种可能的出拳方式,一个回合定胜负的出拳方式有6种.故本题结论为P(A)=6293剪刀石头布剪刀石头布剪刀石头布布石头剪刀乙甲知识点1:随机事件、必然事件、不可能事件在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫做随机事件(不确定事件);一般用A表示,则概率P(A)介于0到1之间;P(A)——纯小数、真分数、百分数等表示.在一定条件下必定出现的现象叫做必然事件;如果用U表示,则概率为1:P(U)=1;在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件;如果用V表示,则概率为0:P(V)=0;例题1:下列语句正确的是()A、“上海冬天最低气温低于-5℃”,这是必然事件;B、“在去掉大小王的52张扑克牌中抽13张牌,其中有4张黑桃”,这是必然事件;C、“电视打开时正在播放广告”,这是不可能事件;D、“从由1,2,5组成的没有重复数字的三位数中任意抽取一个数,这个三位数能被4整除”,这是随机事件.参考答案:D【试一试】1.下列成语或词语所反映的事件中,可能性大小最小的是().A、瓮中捉鳖;B、守株待兔;C、旭日东升;D、夕阳西下.2.在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球,其中黄球1个,红球1个,白球2个,“从中任意摸出2个球,它们的颜色相同”这一事件是()A.必然事件;B.不可能事件;C.随机事件;D.确定事件.参考答案:1.B;2.C.知识点2:事件发生的可能性各种事件发生的可能性有大有小,可用普通词语来表述。
初中数学]概率初步全章教案 人教版
初中数学]概率初步全章教案人教版概率初步》全章教案25.1.1 随机事件(第一课时)知识与技能:通过对生活中各种事件的判断,归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点,并根据这些特点对有关事件作出准确判断。
过程与方法:历经实验操作、观察、思考和总结,归纳出三种事件的各自的本质属性,并抽象成数学概念。
情感态度和价值观:体验从事物的表象到本质的探究过程,感受到数学的科学性及生活中丰富的数学现象。
重点:随机事件的特点难点:对生活中的随机事件作出准确判断教学程序设计一、创设情境,引入课题1.问题情境下列问题哪些是必然发生的?哪些是不可能发生的?1) 太阳从西边下山;2) 某人的体温是100℃;3) a2+b2=-1(其中a、b都是实数);4) 水往低处流;5) 酸和碱反应生成盐和水;6) 三个人性别各不相同;7) 一元二次方程x2+2x+3=0无实数解。
设计意图:首先,这几个事件都是学生熟知的生活常识和学科知识,通过这些生动、有趣的实例,自然地引出必然事件和不可能事件;其次,必然事件和不可能事件相对于随机事件来说,特征比较明显,学生容易判断,把它们首先提出来,符合由浅入深的理念,容易激发学生的研究积极性。
】2.引发思考我们把上面的事件(1)、(4)、(5)、(7)称为必然事件,把事件(2)、(3)、(6)称为不可能事件,那么请问:什么是必然事件?什么又是不可能事件呢?它们的特点各是什么?设计意图:概念让学生完成,把课堂尽量多地还给学生,以此来体现自主研究、主动参与原理念。
】二、引导两个活动,自主探索新知活动1:5名同学参加演讲比赛,以抽签方式决定每个人的出场顺序。
签筒中有5根形状大小相同的纸签,上面分别标有出场的序号1、2、3、4、5.小军首先抽签,他在看不到的纸签上的数字的情况从签筒中随机(任意)地取一根纸签。
请考虑以下问题:1)抽到的序号是几,可能吗?这是什么事件?2)抽到的序号小于6,可能吗?这是什么事件?3)抽到的序号是1,可能吗?这是什么事件?4)你能列举与事件(3)相似的事件吗?根据学生回答的具体情况,教师适当地加点拔和引导。
八年级数学《概率初步》教案
【教师活动】
1、出示案例1、案例2,让学生赏析,感受生活现象。
2、出示PPT
(1)、足球大师齐达内吃红牌,被罚下场;
(2)、彩票的第一个号码是25;
(3)、乔丹扣碎篮板
引导学生进行交流讨论,哪些事件可能发生?哪些事件不能发生?揭示并板书章课题。
3、进行摸牌游戏。
4、总结事件类型,揭示并板书节课
1、实验观察并回答例一的问题。
2、观察并回答例二的问题。
3、交流总结三种事件的概念。
4、总结结论的文字表述,一名学生口述,其余学生参与纠正补充。
【媒体使用】
依次出示问题1、2。
【赏析】
本次活动教师重点关注学生应从以下三个方面理解随机事件:(1)实验是在相同条件下;(2)可以大量重复实验;(3)每一次实验结果不一定相同,且无法预测下一次实验结果。
(2)一个人随意翻书三次,三次都翻到了偶数页,我们能否说翻到偶数页的可能性就大?
(3)袋子里装有红、白两种颜色的小球,质地、大小、形状一样,小明从中随机摸出一个球,然后放回,如果小明5次摸到红球,能否断定袋子里红球的数量比白球多?怎样做才能判断哪种颜色的球数量较多?
(4)已知地球表面陆地面积与海洋面积的比均为3:7。如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上,“落在海洋里”与“落在陆地上”哪个可能性更大?
(1)这个球是白球还是黑球?
(2)如果两种球都有可能被摸出,那么摸出黑球和摸出白球的可能性一样大吗?
归纳:一般地,随机事件发生的可能性是有大小的,不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
思考:能否通过改变袋子中某种颜色的球的数量,使“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性大小相同?
(1)一个袋子里装有20个形状、质地、大小一样的球,其中4个白球,2个红球,3个黑球,其它都是黄球,从中任摸一个,摸中哪种球的可能性最大?
【初中数学】第23章+概率初步(单元复习课件)+八年级数学下册同步课堂(沪教版)
在所有可能情况n中,再找到满足条件的事 件的个数m,最后代入公式计算.
五、树状图法
当一次试验中涉及2个因素或更多的因素时, 为了 不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用“树状图”.
树形图的画法:
一个试验
如一个试验中涉
及2个或3个因数, 第一个因数中有2 种可能情况;第二 个因数中有3种可 能的情况;第三个 因数中有2种可能 的情况.
1 修地理和生物的概率为 6 .
6.(青岛中考)小华和小军做摸球游戏,A 袋中装有编号为 1,2,3 的三个小球,
B 袋中装有编号为 4,5,6 的三个小球,两袋中的所有小球除编号外都相同, 从两个袋子中分别随机摸出一个小球,若 B 袋摸出的小球的编号与 A 袋摸 出小球的编号之差为偶数,则小华胜,否则小军胜.这个游戏对双方公平 吗?请说明理由.
规则1:P(小红赢)= 5;
9
规则2:P(小红赢)= 4
9
∵5
9
4 9
,
∴小红选择规则1.
【考点分类训练】
9.A、B两个小型超市举行有奖促销活动,顾客每购满20元就有一次按下面规则
转动转盘获奖机会,且两超市奖额等同.规则是: ①A超市把转盘甲等分成4个 扇形区域、B超市把转盘乙等分成3个扇形区域,并标上了数字(如图所示); ②顾客第一回转动转盘要转两次,第一次与第二次分别停止后指针所指数字之 和为奇数时就获奖(若指针停在等分线上,那么重转一次,直到指针指向某一 份为止).
P(A)=
1 n
+
1 n
+…+
1 n
=
m n
m个
四、列表法 当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现的结果
数目较多时,为了不重不漏的列出所有可能的结果,通 常采用列表法. 列表法中表格构造特点:
著名机构讲义春季13-八年级培优版-平面向量及概率-学生版
教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间学 科数学课题名称平面向量及概率知识模块Ⅰ:平面向量1.向量的概念既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小也叫做向量的长度.(或向量的模) 2.向量的运算法则(1)向量的加法满足交换律:a b b a +=+r r r r .平面向量及概率(2)向量的加法满足结合律:()()a b c a b c ++=++r r r r r u u r. (3)向量的减法定律: ()a b a b -=+-r r r r.【例1】(2018宝山一模3)已知a r 、b r为非零向量,下列判断错误的是( )A .如果2a b =r r ,那么a b r r ∥;B .如果||||a b =r r ,那么a b =r r 或a b =-r r; C .0r 的方向不确定,大小为0; D .如果e r 为单位向量且2a e =r r,那么向量||2a =r .【例2】(2018年黄浦一模5)如图,向量OA u u u r 与OC u u u r 均为单位向量,且OA OB ⊥,令n OA OB =+r u u u r u u u r,则||n r =( )(A )1; (B )2; (C )3; (D )2.【例3】(2018年嘉定一模5)已知矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,如果BC a =u u u r r ,DC b =u u u r r ,那么BO u u u r等于(▲)(A )1()2a b -r r ; (B )1()2a b +r r ; (C )1()2b a -r r; (D )a b -r r .【例4】(2018年青浦一模14) 如图4,在△ABC 中,点D 是边AB 的中点.如果CA a =u u u r r ,CD b =u u u r r ,那么CB =u u u r▲ (结果用含a 、b 的式子表示).【例5】(2018年徐汇一模8)计算:()()3245a b a b ---r r r r = .【例6】(2018年崇明贤一模20)如图,在ABC △中,BE 平分ABC ∠交AC 于点E ,过点E 作ED BC ∥交AB 于点D ,已知5AD =,4BD =.(1)求BC 的长度;(2)如果AD a =u u u r r ,AE b =u u u r r ,那么请用a r 、b r 表示向量CB u u u r.【例7】(2018年浦东一模20)如图,已知△ABC 中,点D 、E 分别在边AB 和AC 上,DE ∥BC ,且DE 经过△ABC 的重心,设BC a =u u u r r. (1)=DE ▲ (用向量a r表示);(第5题)BAOD CBA 图4ABCDE (第20题图)(第20题图)ABCDE (第20题图)ABCD E F(2)设AB b =u u u r r,在图中求作12b a +r r .(不要求写作法,但要指出所作图中表示结论的向量.)【例8】(2018年奉贤一模20)已知:如图5,在平行四边形ABCD 中,2AD =,点E 是边BC 的中点,AE BD 、相交于点F ,过点F 作FG BC ∥,交边DC 于点G 。
八年级数学概率与统计初步课件
八年级数学概率与统计初步课件概率与统计是数学中非常重要的分支,也是与现实生活密切相关的内容之一。
通过学习概率与统计,我们可以更好地了解和分析事件发生的可能性以及对数据进行整理、归纳和分析的方法。
本篇文章将为大家介绍八年级数学中关于概率与统计的初步内容。
一、概率的基本概念概率是研究随机事件发生可能性的数学分支。
在概率中,我们通常使用实数来表示事件发生的可能性,范围从0到1。
0表示不可能事件,1表示必然事件。
以掷硬币为例,硬币出现正面和反面的可能性都是相等的,因此概率为1/2。
二、随机事件的分类与计算方法随机事件分为互斥事件和非互斥事件。
当两个事件不可能同时发生时,称为互斥事件;当两个事件可以同时发生时,称为非互斥事件。
1. 互斥事件的概率计算对于互斥事件A和B,其概率的计算公式为:P(A或B) = P(A) +P(B)。
例如,抛一颗骰子,事件A为出现奇数点数,事件B为出现大于3的点数,则P(A或B) = P(A) + P(B) = 1/2 + 1/2 = 1。
2. 非互斥事件的概率计算对于非互斥事件A和B,其概率的计算公式为:P(A或B) = P(A) +P(B) - P(A且B)。
例如,从一副扑克牌中抽取一张牌,事件A为红色牌,事件B为大于10的牌,则P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A且B) = 1/2 + 1/4 - 1/8 = 5/8。
三、统计分布的基本概念与方法统计分布是对数据进行整理和归纳的方法,可以帮助我们更好地理解数据的特征和规律。
在统计分布中,我们常用频数表、频率表和直方图等来展示数据的分布情况。
1. 频数表与频率表频数表是将数据按照不同取值进行分类,并统计每个取值对应的数量。
频率表是在频数表的基础上,将频数除以总样本量得到的相对数量。
举例说明:某班级同学的身高数据如下所示。
身高(cm)频数频率140-150 5 1/10150-160 8 4/10160-170 10 5/10总计 23 12. 直方图直方图是用矩形表示不同取值区间的频率或频数的统计图表。
概率初步(教师版)-教育文档
一.确定事件和随机事件【知识结构】 1.必然事件:在一定条件下,必定出现的现象叫做必然事件。
例如,在标准大气压下,水加热到100℃就要沸腾是必然事件。
2.不可能事件:在一定条件下,必定不出现的现象叫做不可能事件。
例如,同性电互相吸引就是不可能事件。
必然事件的反面是不可能事件。
必然事件和不可能事件统称为确定事件。
3.随机事件:在一定条件下,可能出现也可能不出现的现象叫做随机事件,也称为不确定事件。
例如,“掷一枚硬币出现正面”,“某人射击一次中靶”,“检查某件产品合格”等都是随机事件。
一个事件中描述的现象“出现”,就说这个事件“发生”。
一个确定事件是发生还是不发生,答案是确定的;而一个随机事件是发生还是不发生,具有不确定性。
【要点点拨】区分必然事件、不可能事件、随机事件的要点:“必定”发生——每次一定发生,不可能不发生。
“必定”不发生——每次都完全没有机会发生。
“可能”发生——有时会发生,有时不会发生。
例1 抛掷两枚分别标有1,2,3,4的四面体骰子,写出这个实验中的一个随机事件是 掷得点数和为5等 ;写出这个实验中的一个必然事件是 掷得点数和不超过9等 。
例2 下列三个事件:①明天,上海会下雨;②将汽油滴入水中,汽油会浮在水面上;③任意投掷一枚质地均匀的硬币,硬币停止后,正面朝上;④方程2340x x -+=有两个不相等的实数根,其中必然事件是( D )(A )②④ (B )①③④ (C )④ (D )②例3 从一副没有大、小王的扑克牌中任意抽取牌,请判断以下事件是必然事件、不可能事件还是随机事件。
(1)任意抽取5张牌,其中有一张是大王。
(2)任意抽取5张牌,四种花色都有。
(3)任意抽取5张牌,都是K 。
(4)任意抽取13张牌,至少有4张是同一花色。
(5)任意抽取13张牌,其中有4张是黑桃。
解:必然事件:(4); 不可能事件:(1)、(3); 随机事件:(2)、(5)。
二.事件发生的可能性【知识结构】随机事件发生的可能性有大小差别,我们可以根据事件发生的条件或有关经验、资料等,对事件发生的可能性大小作出大致的判断,并进行定性的描述。
沪教版八年级数学-概率初步-教师版 (2)
例2.在一次考试中,有一部分学生对两道选择题(答对一个得3分)无法确定其正确选项,于是他们就从每道题的四个选项中随意选择了某项。
(1)填写下表:可能得分情况 得6分 得3分 得0分可能得分情况的概率169 (2)在上述情况下,这一部分同学这两道题的平均得分约是多少? (1)161,166. (2)这两题得分的平均数=6×161+3×83+0×169=1.5. 答:这两题得分的平均数是1.5分例3.如图,为举办毕业联欢会,小颖设计了一个游戏:游戏者分别转动如图的两个可以自由转动的转盘各一次,当两个转盘的指针所指字母都相同时,他就可以获得一次指定..一位到会者为大家表演节目的机会.(1)利用画树形图或列表的方法(只选其中一种)表示出游戏可能出现的所有结果; (2)若小亮参加一次游戏,则他能获得这种指定机会的概率是多少? (1)方法一: 方法二: 转盘2 转盘1 C D A (A ,C ) (A ,D ) B (B ,C ) (B ,D ) C(C ,C ) (C ,D )即游戏共有6种结果.(2)参加一次游戏,获得这种指定机会的概率是16. 例4.田忌赛马是一个为人熟知的故事.传说战国时期,齐王与田忌各有上、中、下三匹马,同等级的马中,齐王的马比田忌的马强.有一天,齐王要与田忌赛马,双方约定:比赛三局,每局各出一匹马,每匹马赛一次,赢得两局者为胜,看样子田忌似乎没有什么获胜的希望,但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马强…5.一只小鸟自由自在地在空中飞行,然后随意落在图中所示的某个方格中(每个方格除颜色外完全一样),那么小鸟停在某个方格中(此方格是黑色)的概率是( B )A .21 B .31 C..41 D. 51自我测试1.在标有1,3,4,6,8的五张卡片中,随机抽取两张,和为奇数的概率为 . 0.6 2.在中考体育达标跳绳项目测试中,1分钟跳绳160次为达标,小敏记录了他预测时1分钟跳的次数分别为145,155,140,162,164,则他在该次测试中达标的概率是 .523.某人把50粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀,接着抓出100粒黄豆,数出其中有10粒黄豆被染色,则这袋黄豆原来约有 450 粒.4.含有4种花色的36张扑克,记录抽到红心的频率为25%,那么其中扑克牌花色是红心的大约 有 9 张.5.下列事件属于必然事件的是( C ) A .打开电视,正在播放新闻 B .我们班的同学将会有人成为航天员 C .实数a <0,则2a <0D .新疆的冬天不下雪6.概率为0.007的随机事件在一次试验中( B )A.一定不发生B.可能发生,也可能不发生C.一定发生D.以上都不对 7.以下说法合理的是( D )A .小明在10次抛图针的试验中发现3次钉尖朝上,由此他说钉尖朝上的概率是30% B.抛掷一枚普通的正六面体骰子,出现6的概率是1/6的意思是每6次就有1次掷得6 C.某彩票的中奖机会是2%,那么如果买100张彩票一定会有2张中奖D.在一次课堂进行的试验中,甲、乙两组同学估计一枚硬币落地后,正面朝上的概率分别为0.48和0.51.8.随机掷一枚均匀的硬币两次,两次正面都朝上的概率是( A ) A .41 B..21 C. 43 9.某“中学生暑期环保小组”的同学,随机调查了“幸福小区”10户家庭一周内使用环保方便袋的数量,数量如下(单位:只)6,5,7,8,7,5,8,10,5,9,利用上述数据估计该小区2000户家庭一周内需要环保方便袋约( B )A.2000只 B.14000只 C.21000只 D.98000只10.把标有号码1,2,3,…10的10个乒乓球放在一个箱子中,摇匀后,从中任意取一个,号码为小于7的奇数的概率是( A )A .103B.107C.52D.5311.在一个暗箱里放入除颜色外其他都相同的3个红球和11个黄球,搅拌均匀后随机任取一个球,取到红球的概率是( D )A.113B.118C..1411D.14312.掷一枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有1~6的点数,掷得面朝上的点数为奇数的概率为(D )A.16B.13C.14D.1213.一个密闭不透明的盒子里有若干个白球,在不允许将球倒出来数的情况下,为估计白球的个数,小刚向其中放入8个黑球,摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把球放回盒中,不断重复,共摸球400次,其中88次摸到黑球,估计盒中大约有白球( A )A.28个B.30个C.36个D.42个14.在一个不透明的布袋中,红色、黑色、白色的玻璃球共有40个,除颜色外其它都完全相同,小明通过多次试验后发现其中摸到红色、黑色的频率分别为15%和45%,则口袋中白色球的个数很可能是( B )A.6B.16C.18D.2415.如图1,有6张写有汉字的卡片,它们的背面都相同,现将它们背面朝上洗匀后如图2摆放,从中任意翻开一张是汉字“自”的概率是(A )A.12B.13C.23D.1616.如图,一个小球从A点沿轨道下落,在每个交叉口都有向左或向右两种机会相等的结果,小球最终到达H点的概率是( B )A.12B.14C.16D.18图2图1。
人教版初中数学春季班讲义中考总复习(教师版)第10讲 统计与概率--基础班
第10讲统计与概率知识点1 数据的收集、整理与描述1. 普查和抽样调查普查:为一特定目的而对所有考查对象所做的调查叫普查.好处:调查结果准确;缺点:花费多,工作量大,全面调查只在样本很少的情况下适合采用;抽样调查:为一特定目的而对部分考查对象所做的调查叫做抽样调查.好处:耗费的人力,物力,财力少,工作量小;缺点:调查结果不如普查精确,受样本容量大小及其代表性影响较大;2.总体、个体、样本、样本容量总体:所考察对象的全体;个体:组成总体的每一个考察对象;样本:从总体重所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本;样本容量:样本中的个体数目;3.常见的统计图有:扇形统计图、条形统计图和折线统计图.扇形统计图用圆中各扇形的面积描述各统计项目占总体的百分比;条形统计图用宽度相同的“条形”的高度描述各统计项目的数据;折线统计图用折线描述数据的变化过程和趋势.扇形统计图中,扇形的圆心角=该统计项目占总体的百分比×360°.4.在选择制作统计图时,需要根据了解的情况而定:若要清楚地表示出各统计项目在总体重所占的百分比,则选择扇形统计图;若要清楚地反映数据的变化过程和趋势,则选择折线统计图;若要清楚地表示出每个统计项目的具体数据,则选择条形统计图.5.频数:某个对象出现的次数称为该对象的频数,各频数之和为试验的总次数.6.频率:频数与总次数的比值称为频率.7.频数分布表(1)在统计数据时,经常把数据按照不同的范围分成几个组,分成的组的个数称为组数,每一组两个端点的差称为组距,称这样画出的统计图表为频数分布表.(2)列频数分布表的步骤:①计算极差,即计算最大值与最小值的差.②决定组距与组数(一般100以内的数据分成5~12组).③决定分点,常使分点比数据多一位小数,并且把第一组的起点稍微减小一些.④列频数分布表.组数的决定方法:设数据总数目为n,一般地,当n≤50时,分为5~8组;当50≤n≤100时,则分为8~12组.分点的决定方法:若数据为整数,则分点数据减去0.5;若数据是保留小数点后的一位数,则分点数据减去0.05.8.频数分布直方图画出频数分布表以后,构造一个坐标系,用横轴表示各组数据,纵轴表示频数,以该组内的频数为高,组距为宽,画一个长方形,每组两端的数据也可以用中位数来代替.各小组的频数之和等于数据总数.【典例】例1(2020秋•金塔县期末)下列调查,比较容易用普查方式的是()A.了解某市居民年人均收入B.了解某一天离开贵阳市的人口流量C.了解某市中小学生的近视率D.了解某市初中生体育中考成绩【解答】解:A、了解某市居民年人均收入,不容易用普查方式;B、了解某一天离开贵阳市的人口流量,比较容易用普查方式;C、了解某市中小学生的近视率,不容易用普查方式;D、了解某市初中生体育中考成绩,不容易用普查方式;故选:B.【方法总结】本题考查的是抽样调查和全面调查,选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用,一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大,应选择抽样调查,对于精确度要求高的调查,事关重大的调查往往选用普查.例2(2020秋•肃州区期末)某市今年共有7万名考生参加中考,为了了解这7万名考生的数学成绩,从中抽取了1000名考生的数学成绩进行统计分析.以下说法正确的有()个.①这种调查方式是抽样调查;②7万名学生是总体;③每名学生的数学成绩是个体;④1000名学生的数学成绩是总体的一个样本;⑤1000名学生是样本容量.A.1B.2C.3D.4【解答】解:①为了了解这7万名考生的数学成绩,从中抽取了1000名考生的数学成绩进行统计分析,这种调查采用了抽样调查的方式,故说法正确;②7万名考生的数学成绩是总体,故原说法错误;③每名考生的数学成绩是个体,故说法正确;④1000名考生的数学成绩是总体的一个样本,故说法正确;⑤1000是样本容量,故原说法错误.所以正确的说法有3个.故选:C.【方法总结】本题考查的是确定总体、个体和样本.解此类题需要注意考察对象实际应是表示事物某一特征的数据,而非考查的事物.例3(2020秋•本溪期末)某单位有5名司机,分别用A,B,C,D,E表示,某月各位司机的耗油费用如下表:司机A B C D E 耗油费用110元120元102元150元98元根据表中的数据制作统计图,为了更清楚地比较每位司机的耗油费用,应选择()A.条形统计图B.扇形统计图C.折线统计图D.以上都不对【解答】解:根据题意,为了更清楚地比较每位司机的耗油费用,结合统计图各自的特点,应选择条形统计图.故选:A.【方法总结】本题主要考查统计图的选择,根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断.例4(2020春•江岸区校级月考)一个样本容量为80的样本最大值是123,最小值是50,取10为组距,则可分为8组.【解答】解:(123﹣50)÷10=7.3≈8(组),故答案为:8.【方法总结】本题考查频数分布表的制作方法,掌握组距和组数的关系是正确分组的关键.例5(2020秋•长春期末)“数学运算”是数学学科核心素养之一,长春市某校对八年级学生“数学运算能力”情况进行调研,从该校360名八年级学生中抽取了部分学生进行运算能力测试,并对测试成绩进行分析,成绩分为A、B、C三个层次,绘制了频数分布表(如表),请根据图表信息解答下列问题:分组频数频率A400.40B500.50C100.10合计100 1.00(1)补全频数、频率分布;(2)如果成绩为A等级的同学属于优秀,请你估计该校八年级约有多少人达到优秀水平?【解答】解:(1)调查总人数:10÷010=100(人),“B组”人数:100﹣40﹣10=50(人),“A组”的频率为:40÷100=0.40,故答案为:0.40,50,100;(2)360×0.40=144(人),答:该校八年级360名学生中约有144人达到优秀水平.【方法总结】本题考查频数分布表,掌握频数、频率、总数之间的关系是解决问题的关键.【随堂练习】1.(2020秋•铁西区期末)在“生命安全”主题教育活动中为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生命安全知识掌握情况,制定了如下方案,你认为最合理的是()A.抽取乙校七年级学生进行调查B.在丙校随机抽取600名学生进行调查C.在其中两个学校各随机抽取150名老师进行调查D.在四个学校各随机抽取150名学生进行调查【解答】解:A、抽取乙校七年级学生进行调查,样本不具有代表性,故本选项不合题意;B、在丙校随机抽取600名学生进行调查,样本不具有代表性,故本选项不合题意;C 、在其中两个学校各随机抽取150名老师进行调查,样本不具有代表性,故本选项不合题意;D 、在四个学校各随机抽取150名学生进行调査最具有代表性,故本选项符合题意. 故选:D .2.(2020秋•罗湖区期末)为了直观地表示世界七大洲的面积各占全球陆地面积的百分比,最适合使用的统计图是( ) A .扇形图B .条形图C .折线图D .直方图【解答】解:为了直观地表示世界七大洲的面积各占全球陆地面积的百分比, 最适合使用的统计图是:扇形图. 故选:A .3.(2020秋•兰州期末)为了了解我县初一4300名学生在疫情期间“数学空课”的学习情况,全县组织了一次数学检测,从中抽取100名考生的成绩进行统计分析,以下说法正确的是( )A .这100名考生是总体的一个样本B .4300名考生是总体C .每位学生的数学成绩是个体D .100名学生是样本容量【解答】解:A .这100名考生的数学成绩是总体的一个样本,故本选项不合题意; B .4300名考生的数学成绩是总体,故本选项不合题意; C .每位学生的数学成绩是个体,故本选项符合题意; D .100是样本容量,故本选项不合题意. 故选:C .4.(2020春•崇川区校级月考)一个容量为100的样本的最大值是120,最小值是48,取组距为10,则可分成 8 组.【解答】解:根据题意,极差为120﹣48=72, 而7210=7.2,所以组数为7+1=8. 故答案为8.5.(2020秋•长春期末)某校开展了“放飞梦想”征文比赛,要求参赛学生每人交一件作品.现将参赛作品的成绩(单位:分)进行统计如下:频数频率等级成绩(用s表示)a0.08A90≤s≤100b yB80≤s<90C s<80c0.22合计d1请根据上表提供的信息,解答下列问题:(1)彤彤的成绩为84分,她的成绩属于B等级;(2)表中y的值为0.70;(3)若d=200,则a=16.【解答】解:(1)根据各个等级所对应的成绩范围可知,彤彤的成绩为84分,在80≤s<90组内,应属于B等级,故答案为:B;(2)y=1﹣0.08﹣0.22=0.70,故答案为:0.70;(3)a=200×0.08=16,故答案为:16.6.(2020秋•宽城区期末)某校为了解九年级学生休息日时每天学习的时长情况,随机抽取了n名九年级学生进行调查,据调查每名学生休息日时每天学习时长都少于5小时.该校将所收集的数据分组整理,绘制了如图所示的频数分布直方图和扇形统计图.根据图中信息,解答下列问题:(1)在这次调查活动中,采取的调查方式是抽样调查.(填写“全面调查”或“抽样调查”)(2)求n的值.(3)若该校九年级共有450名学生,请估计该校休息日时每天学习时长在“3≤t<4”范围的学生人数.【解答】解:(1)在这次调查活动中,采取的调查方式是抽样调查, 故答案为:抽样调查; (2)n =10÷20%=50;(3)∵样本中每天学习时长在“3≤t <4”范围的学生人数为50﹣(5+10+16+4)=15(人), ∴1550×450=135(人),∴该校九年级休息日时每天学习时长在“3≤t <4”范围的学生人数约为135人.知识点2 数据的分析1.数据的集中趋势 (1)算术平均数:把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商. 公式:x =x 1+x 2+⋯+x nn使用:当所给数据x 1,x 2,…,x n 中各个数据的重要程度相同时,一般使用该公式计算平均数.(2)加权平均数:若n 个数x 1,x 2,…,x n 的权分别是w 1,w 2,…,w n ,则x 1w 1+x 2w 2+⋯+x n w nw 1+w 2+⋯+w n叫做这n 个数的加权平均数.使用:当所给数据x 1,x 2,…,x n 中各个数据的重要程度(权)不同时,一般选用加权平均数计算平均数.权的意义:权就是权重,即数据的重要程度.常见的权:1)数值、2)百分数、3)比值、4)频数等。
概率初步单元精编讲义
第二十五章概率初步一、课标导航二、核心纲要1.确定事件和随机事件(1)确定事件①必然事件:在一定的条件下重复进行试验时,在每次试验中必然会发生的事件.②不可能事件:有的事件在每次试验中都不会发生,这样的事件叫做不可能事件.(2)随机事件:在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件,称为随机事件.2.概率的意义与表示方法(1)概率的意义:一般地,对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的数值,称为随机事件A发生的概率,记为P(A).(2)事件和概率的表示方法一般地,事件用英文大写字母A、B、C、……,表示事件A的概率P,可记为P(A)=P. (3)概率的计算:一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)=m n .3.确定事件和随机事件的概率之间的关系(1)确定事件概率①当A是必然发生的事件时,P(A)=1.②当A是不可能发生的事件时,P(A)=0. (2)确定事件和随机事件的概率之间的关系4.用列举法求事件的概率的常用方法(1)穷举法:如果试验的结果较少,我们可以采用简单列举的方法,把所有可能性的结果直接排列出来.(2)列表法:当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现的结果数目较多时,为了不重不漏地列出所有可能性的结果,通常采用列表法.(3)树状图法:当一次试验要涉及三个或更多的因素时,用列表法就不方便了,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用树状图法.本节重点讲解:一个计算(概率的计算),三个方法,三个概念(确定事件、随机事件、概率).三、全能突破基础演练1.下列事件中,属于确定事件的个数是().(1)打开电视,正在播广告;(2)投掷一枚普通的骰子,掷得的点数小于10;(3)射击运动员射击一次,命中10环;(4)在一个只装有红球的袋中摸出白球.A.0B.1C.2D.32.在四张完全相同的卡片上,分别画有圆、菱形、等腰三角形、等腰梯形,现从中随机抽取一张,卡片上的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是()A.14B.12C.34D.13.一个不透明的盒子里有n个除颜色外,其他完全相同的小球,其中有6个黄球,每次摸球前先将盒子里的球摇匀,任意找出一个球记下颜色后再放回盒子,通过大量重复摸球实验后发现,摸到黄球的频率稳定在30%,那么可以推算出n大约是().A.6B.10C.18D.204.同时掷两个质地均匀的骰子,观察向上一面的点数,两个骰子的点数相同的概率为.5.如下左图所示,A,B是边长为1的小正方形组成的网格的两个格点,在格点中任意放置点C,恰好能使ABC的面积为1的概率是.6.如下右图所示,在3×3的正方形网格中,已有两个小正方形被涂黑,再将图中剩余的编号为1-7的小正方形中任意一个涂黑,则所得图案是一个轴对称图形的概率是 .7.在平行四边形ABCD 中,AC 、BD 是两条对角线,现从以下四个关系式:①AB =BG ,②AC =BD ,③AC ⊥BD ,④AB ⊥BC 中任取一个作为条件,即可推出平行四边形ABCD 是菱形的概率为 .8.三张完全相同的卡片上分别写有函数232y x y y x x===、、,从中随机抽取一张,则所得卡片上函数的图像在第一象限内y 随x 的增大而增大的概率是 .9.在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字式3,-2,-1,1,2的小球,它们除数字不同外其余全部相同,现从盒子里随机取出一个小球,将该小球的数字作为a 的值,再将该数字加2作为b 的值,则抛物线23y ax bx =++的对称轴在y 轴左侧的概率是 .10.有七张正面分别标有数字式3,-2,-1,0,1,2,3的卡片,它们除数字不同外其余全部相同,现将它们背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,记卡片上的数字为 a ,则使关于x 的一元二次方程22(1)(3)0x a x a a --+-=有两个不相等的实数根,且以x 为自变量的二次函数22(1)2y x a x a =-+-+的图像不经过点(1,0)的概率是 .11.在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1,2,3,4四个小球,除数字不同外,小球没有任何区别,每次实验先搅拌均匀.(1)若从中任取一球,球上的数字为偶数的概率为多少?(2)若从中任取一球(不放回),再从中任到一球,请用画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率.(3)若设计一种游戏方案:从中任取两球,两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜,否则为乙胜,请问这种游戏方案设计对甲、乙双方公平吗?说明理由.能力提升12.一只盒子中有红球m个,白球8个,黑球n个,每个球除颜色外都相同,从中任取一个球,取得白球的概率与不是白球的概率相同,那么m与n的关系是().A.m=3,n=5B.m=n=4C.m+n=4D.m+n=813.在围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子,从盒中随机取出一颗棋子,取得白色棋子的概率是25.如果再往盒中放进6颗黑色棋子,取得白色棋子的概率是14,则原来盒中有白色棋子()A.8颗B.6颗C.4颗D.2颗14.如下图所示,正方形ABCD内接于,o o若在这个圆上,随意抛一粒豆子,则豆子落在正方形ABCD内的概率是()A. 2πB.2πC.12π15.箱子中装有4个只有颜色不同的球,其中2个白球,2个红球,4个人依次从箱子中任意摸出一个球,不放回,则第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率是.16.有四张正面分别标有数字3,0,1,5的不透明卡片,它们除数字不同外其余全部相同,现将它们背面朝上,洗匀后从中任取一张,将该卡片上的数字记为a,则使关于x的分式样方程11222axx x-+=--有正整数解的概率为.17.甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏,他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的15张卡片,其中写有“锤子”,“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为2,3,4,6.两人各随机摸出一张卡片(先摸者不放回)来比胜负,并约定:“锤子”胜“石头”,“石头”胜“剪子”,“剪子”胜“布”,“布”胜“锤子”和“石头”,同种卡片不分胜负.(1)若甲先摸,则他摸出“石头”的概率是多少?(2)若甲先摸出了“石头”,则乙获胜的概率是多少?(3)若甲先摸,则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大?18.如下图所示,甲、乙两个可以自由转动的均匀的转盘,甲转盘被分成3个面积相等的扇形,乙转盘被分成4个面积相等的扇形,每一个扇形都有相应的数字,同时转动两个转盘,当转盘停止后,设甲转盘中指针所指区域内的数字为m,乙转盘中指针所指区域内的数字为n(若指针指在边界线上时,重转一次,直到指针都指向一个区域为止)。
著名机构数学讲义春季16-八年级基础版-概率初步-学生版
教师姓名学生姓名年级初二上课时间学科数学课题名称概率初步概率初步知识模块Ⅰ:事件的分类1、事件分为确定事件和随机事件,其中确定事件包括必然事件和不可能事件(1)必然事件:在一定条件下,必定出现的现象叫做必然事件.例如,在标准大气压下,水加热到100℃就要沸腾是必然事件.(2)不可能事件:在一定条件下,必定不出现的现象叫做不可能事件.例如,同性电互相吸引就是不可能事件.必然事件的反面是不可能事件.必然事件和不可能事件统称为确定事件.(3)随机事件:在一定条件下,可能出现也可能不出现的现象叫做随机事件,也称为不确定事件.例C 、明天肯定下雨;D 、明天降水的可能性比较大.【例4】在一副扑克牌中,任意抽出一张,用P 1、P 2、P 3、P 4、P 5、P 6、P 7,分别表示抽到红心,A 、8、大怪、草花4,黑桃奇数,方块偶数的可能性,用“>”,“<”或“=”把它们联结起来.知识模块Ⅱ:概率1、一般说来,如果一次试验中共有n 种等可能出现的结果,其中事件A 包含的结果有k 种,那么事件A 的概率()=kP A n=事件A 包含的可能结果数所有的可能结果总数.2、不可能事件必定不发生,规定用“0”作为不可能事件的概率;而必然事件必定发生,就规定用“1”作为必然事件的概率.这样随机事件的概率,就是大于0且小于1的一个数,通常可以写成纯小数、百分数或真分数. 由于任何事件A 发生的次数k 总不能大于试验的次数n ,因此随机事件的概率()P A 满足 0()1P A ≤≤.3、概率越大,表明事件发生的可能性越大;概率越小,表明事件发生的可能性越小.人们通常对随机事件进行大量的反复试验来研究概率,一般地,次数大的试验,事件发生的频率才接近概率. 【例5】甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中,统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示,则符合这一结果的实验可能是( ) A 、掷一枚正六面体的骰子,出现1点的概率; B 、抛一枚硬币,出现正面的概率;C 、任意写一个整数,它能2被整除的概率;D 、从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球,取到红球的概率.【例6】如图所示的两个圆盘中,指针落在每一个数上的机会均等,那么两个指针同时落在偶数上的概率( )A .15B .625C .1025D .19255432165432(2)王强说:“根据实验,一次试验中出现向上点数为5的概率最大.”李刚说:“如果抛540次,那么出现向上点数为6的次数正好是100次.”请判断王强和李刚说法的对错.(3)如果王强与李刚各抛一枚骰子.求出现向上点数之和为3的倍数的概率.【例11】有四张背面相同的纸牌A,B,C,D,其正面分别画有四个不同的几何图形(如图).小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张,放回洗匀后再摸出一张.(1)用树状图(或列表法)表示两次摸牌所有可能出现的结果,(纸牌可用A,B,C,D表示).(2)求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率.【例12】口袋中有5张完全相同的卡片,分别写有1厘米、2厘米、3厘米、4厘米和5厘米,口袋外有2张卡片分别写有4厘米和5厘米.现随机从袋中取出一张卡片,与袋外两张卡片放在一起,以卡片上的数量分别作为三条线段的长度,回答下列问题:(1)求这三条线段能构成三角形的概率.(2)求这三条线段能构成直角三角形的概率.【例13】在围棋盒中有x颗黑色棋子和y颗白色棋子,从盒中随机地取出一个棋子,如果它是黑色棋子的概率是38.(1)试写出y与x的函数关系式.(2)若往盒中再放进10颗黑色棋子,则取得黑色棋子的概率变为12,求x和y的值.【例14】妞妞和她的爸爸玩“锤子、剪刀、布”游戏.每次用一只手可以出锤子、剪刀、布三种手势之一,规则是锤子赢剪刀、剪刀赢布、布赢锤子,若两人出现相同手势,则算打平.(1)你帮妞妞算算爸爸出“锤子”手势的概率是多少?(2)妞妞决定这次出“布”手势,妞妞赢的概率有多大?(3)妞妞和爸爸出相同手势的概率是多少?【习题1】填空:指出下列事件中哪些是必然事件?哪些是随机事件?哪些是不可能事件?(1)1是奇数,2是偶数.(2)直线21y x=-经过点(1,2)A.(3)两条平行线会相交.(4)任意画出三条线段能组成一个三角形.(5)从全体正整数中取出一个数,这个数不是质数就是合数.(6)让教练打靶,打中靶心.。
著名机构初中数学培优讲义概率.第01讲(A级).教师版
内容 基本要求略高要求较高要求事件了解不可能事件、必然事件和随机事件的含义概率了解概率的意义;知道大量重复实验时,可用概率估计事件发生的概率会运用列举法(包括列表、画数状图)计算简单事件发生的概率板块一、基本概念1.与概率有关的定义:(1)必然事件:事先能肯定一定发生的事件称为必然事件. (2)不可能事件:事先能肯定一定不发生的事件称为不可能事件.(3)确定事件:事先能肯定它是否发生的事件称为确定事件,必然事件和不可能事件都是确定事件. ⑷不确定事件(随机事件):事先不能肯定它会不会发生的事件称为不确定事件. ⑸概率:随机事件A 发生的可能性的大小.记为()P A .设n 为事件A 包含的可能结果数,m 为所有可能结果总数,则()nP A m=. 对于任何一个事件A ,它的概率()P A 满足0()1P A ≤≤,必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.⑹ (补充)乘法原理:若一件事情需分m 个步骤完成,而且每个步骤的概率分别为:12,,m p p p L ,则,完成该事件的概率为:12m p p p p =⋅⋅⋅L .加法原理:若一件事情需分m 种方法完成,而且每种方法的概率分别为:12,,m p p p L ,则,完成该事件的概率为:12m p p p p =+++L2.求概率的方法: (1)列表 (2)画树状图(3)用频率估计概率例题精讲中考要求概率3.频率与概率⎪⎩⎪⎨⎧↓←理论概率(试验次数很多)用试验的方法频率【例1】 下列事件中必然发生的是( )A .抛两枚均匀的硬币,硬币落地后,都是正面朝上B .掷一枚质地均匀的骰子,朝上一面的点数是3C .通常情况下,抛出的篮球会下落D .阴天就一定会下雨 【解析】(1)随机抛掷一枚均匀的硬币,可能反面朝上;(2)掷一枚质地均匀的骰子,朝上的点数可能是1至6中的任何一个数; (3)抛出的篮球一定会下落,是必然事件; (4)阴天不一定会下雨.【答案】C【例2】 下列成语所描述的事件是必然发生的是 ( )A. 水中捞月B. 拔苗助长C. 守株待免D. 瓮中捉鳖 【解析】【答案】D【例3】 下列事件中是必然事件的是( )A .小菊上学一定乘坐公共汽车B .某种彩票中奖率为1%,买10000张该种票一定会中奖C .一年中,大、小月份数刚好一样多D .将豆油滴入水中,豆油会浮在水面上 【解析】只有D 是必然事件,答案:D【答案】D【例4】 下列事件是必然事件的是( )A .抛掷一枚硬币,四次中有两次正面朝上 B.打开电视体育频道,正在播放NBA 球赛 C.射击运动员射击一次,命中十环 D.若a 是实数,则0a ≥ 【解析】只有D 是必然事件,答案:D【答案】D【例5】 下列说法正确的是( )A .“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间降雨B .“抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上C .“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定会中奖D .“抛一枚正方体骰子朝正面的数为奇数的概率是0.5”表示如果这个骰子抛很多很多次,那么平均每2次就有1次出现朝正面的数为奇数 【解析】省略 【答案】D【例6】为了防控输入性甲型H1N1流感,某市医院成立隔离治疗发热流涕病人防控小组,决定从内科5位骨干医师中(含有甲)抽调3人组成,则甲一定抽调到防控小组的概率是()A.35B.25C.45D.15【解析】省略【答案】A【例7】设有12只型号相同的杯子,其中一等品7只,二等品3只,三等品2只,从中任意取1只,是二等品的概率等于()A.112B.16C.14D.712【解析】省略【答案】C【例8】在3 □ 2 □(-2)的两个空格□中,任意填上“+”或“-”,则运算结果为3的概率是.【解析】省略【答案】12【例9】某校九年级(1)班50名学生中有20名团员,他们都积极报名参加学校开展的“文明劝导活动”。
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教师姓名学生姓名年级初二上课时间
学科数学课题名称概率初步
概率初步
知识模块Ⅰ:事件的分类
1、事件分为确定事件和随机事件,其中确定事件包括必然事件和不可能事件
(1)必然事件:在一定条件下,必定出现的现象叫做必然事件.例如,在标准大气压下,水加热到100℃就要沸腾是必然事件.
(2)不可能事件:在一定条件下,必定不出现的现象叫做不可能事件.例如,同性电互相吸引就是不可能事件.必然事件的反面是不可能事件.
必然事件和不可能事件统称为确定事件.
(3)随机事件:在一定条件下,可能出现也可能不出现的现象叫做随机事件,也称为不确定事件.例
B 、本市明天将有80%的时间降水;
C 、明天肯定下雨;
D 、明天降水的可能性比较大.
【答案】D
【例4】在一副扑克牌中,任意抽出一张,用P 1、P 2、P 3、P 4、P 5、P 6、P 7,分别表示抽到
红心,A 、8、大怪、草花4,黑桃奇数,方块偶数的可能性,用“>”,“<”或“=”把它们联结起来.
【答案】4523671p p p p p p p =<=<=<.
知识模块Ⅱ:概率
1、一般说来,如果一次试验中共有n 种等可能出现的结果,其中事件A 包含的结果有k 种,那么事件A 的概率()=k
P A n
=
事件A 包含的可能结果数所有的可能结果总数.
2、不可能事件必定不发生,规定用“0”作为不可能事件的概率;而必然事件必定发生,就规定用“1”作为必然事件的概率.这样随机事件的概率,就是大于0且小于1的一个数,通常可以写成纯小数、百分数或真分数. 由于任何事件A 发生的次数k 总不能大于试验的次数n ,因此随机事件的概率()P A 满足 0()1P A ≤≤.
3、概率越大,表明事件发生的可能性越大;概率越小,表明事件发生的可能性越小.人们通常对随机事件进行大量的反复试验来研究概率,一般地,次数大的试验,事件发生的频率才接近概率.
【例5】甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中,统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示,则符合这一结果的实验可能是( ) A 、掷一枚正六面体的骰子,出现1点的概率; B 、抛一枚硬币,出现正面的概率;
F
O
A B
C
D E C 、任意写一个整数,它能2被整除的概率;
D 、从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球,取到红球的概率. 【答案】D
【例6】如图所示的两个圆盘中,指针落在每一个数上的机会均等,那么两个指针同时落
在偶数上的概率( )
A .15
B .625
C .1025
D .1925
【答案】B
【例7】袋子里装有红、黄、蓝三种小球,其形状、大小、质量、质地等完全相同,每种
颜色的小球各5个,且分别标有数字1,2,3,4,5.现从中摸出一球: (1)摸出的球是蓝色球的概率是________. (2)摸出的球是红色1号球的概率是________. (3)摸出的球是5号球的概率是________.
【答案】(1)13p =;(2)115p =;(3)1
5p =.
【例8】如图,EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ,且分别交AB 、CD 于E 、F ,矩形ABCD 内的一个动点P 落在阴影部分的概率是 ; 【答案】14
【例9】在一个不透明的口袋中装有红、白、黑三种颜色的小球若干个,他们只有颜色不
同,其中有白球1个、黑球2个,已知从中任意摸出1个球得出白球的概率为25%. (1)求袋中有多少个红球?
(2)求从袋中一次摸出2个球,得一红一白的概率,求画出树状图. 【答案】(1)设袋中有x 个红球,则
11
214
x =++,解得:1x =;
54
3
2
1
6
5
4
32
(2)
21
126
p==.
【例10】王强与李刚两位同学在学习“概率”时,做抛骰子(均匀正方体形状)实验,他们共抛了54次,出现向上点数的次数如下表:
向上点数123456
出现次数69581610
(1)请你计算出现向上点数为3的频率及出现向上点数为5的频率.
(2)王强说:“根据实验,一次试验中出现向上点数为5的概率最大.”李刚说:“如果抛540次,那么出现向上点数为6的次数正好是100次.”请判断王强和李刚说法的对错.(3)如果王强与李刚各抛一枚骰子.求出现向上点数之和为3的倍数的概率.
【答案】(1)
5
54
p=,
168
5427
p==;(2)错,可能,但是不一定;(3)
1
3
.
【例11】有四张背面相同的纸牌A,B,C,D,其正面分别画有四个不同的几何图形(如图).小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张,放回洗匀后再摸出一张.
(1)用树状图(或列表法)表示两次摸牌所有可能出现的结果,
(纸牌可用A,B,C,D表示).
(2)求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率.【答案】(1)树状图如右图所示;
(2)圆与平行四边形是中心对称图形,
故概率为:
41
164
p==.
【例12】口袋中有5张完全相同的卡片,分别写有1厘米、2厘米、3厘米、4厘米和5厘米,口袋外有2张卡片分别写有4厘米和5厘米.现随机从袋中取出一张卡片,与袋外两张卡片放在一起,以卡片上的数量分别作为三条线段的长度,回答下列问题:
(1)求这三条线段能构成三角形的概率.
(2)求这三条线段能构成直角三角形的概率.
【答案】(1)
4
5
p=;(2)
1
5
p=.
【例13】在围棋盒中有x颗黑色棋子和y颗白色棋子,从盒中随机地取出一个棋子,如
果它是黑色棋子的概率是3
8
.
(1)试写出y与x的函数关系式.
(2)若往盒中再放进10颗黑色棋子,则取得黑色棋子的概率变为1
2
,求x和y的值.
【答案】(1)由题意,可得
3
8
x
x y
=
+
,故
5
3
y x
=;
(2)由题意,可得:
101
102
x
x y
+
=
++
,又
5
3
y x
=,
故解得:15x =,25y =.
【例14】妞妞和她的爸爸玩“锤子、剪刀、布”游戏.每次用一只手可以出锤子、剪刀、
布三种手势之一,规则是锤子赢剪刀、剪刀赢布、布赢锤子,若两人出现相同手势,则算打平. (1)你帮妞妞算算爸爸出“锤子”手势的概率是多少? (2)妞妞决定这次出“布”手势,妞妞赢的概率有多大? (3)妞妞和爸爸出相同手势的概率是多少?
【答案】(1)爸爸可以出三种手势,出“锤子”是其中一种,故概率为1
3
p =;(2)妞妞赢的话,爸爸
只能出锤子,故概率为1
3p =;(3)两人都出锤子,或者都出布,或者都出剪刀,这样有三种情
况,总共有9种情况:布剪刀,布锤子,布布,或者剪刀剪刀,剪刀锤子,剪刀布,或者锤子剪刀,锤子锤子,锤子布,故相同手势的概率为3193
p =
=.
【习题1】填空:指出下列事件中哪些是必然事件?哪些是随机事件?哪些是不可能事件?
(1)1是奇数,2是偶数. (2)直线21y x =-经过点(1,2)A . (3)两条平行线会相交.
(4)任意画出三条线段能组成一个三角形.
(5)从全体正整数中取出一个数,这个数不是质数就是合数. (6)让教练打靶,打中靶心. (7)上海市夏季平均温度比冬季高.
(8)刘翔在将要进行的田径比赛中获得男子100米栏金牌.
【习题9】将正面分别标有数字2、3、4背面花色相同的三张卡片洗匀后.背面朝上放在桌面上.
(1)随机地抽取一张,求抽得偶数的概率.
(2)随机地抽取一张作为个位上的数字(不放回)再抽取一张作为十位上的数字,请你画出树形图,并根据树形图求恰好取到“24”的概率是多少?
【答案】(1)抽得的偶数为2或4,故概率为
2
3
p=;
(2)树形图如右图所示,
故恰好取到“24”的概率是
1
6
p=.
【习题10】如图,甲转盘被分成3个面积相等的扇形,乙转盘被分成2个面积相等的扇形.小夏和小秋利用它们来做决定获胜与否的游戏.规定小夏转甲盘一次,小秋转乙盘一次为一次游戏(当指针指在边界线上时视为无效,重转).
(1)小夏说:“如果两个指针所指区域内的数之和为6或7,则我获胜;否则你获胜”.按小夏设计的规则,请你写出两人获胜的可能性分别是多少?
(2)请你对小夏和小秋玩的这种游戏设计一种公平的游戏规则,并用一种合适的方法(例如:树状图、列表)说明其公平性.
【答案】(1)经分析,两个指针所指区域内的数之和为:
5、6、6、7、7、8,故
42
63
p==
小夏
,
1
3
p=
小秋
;
(2)要使游戏公平,则小夏和小秋的概率要相等,
因此若和为7小夏赢,否则小秋赢.
甲
3
2
1
乙
5
4。