《曲边梯形的面积》教案

曲边梯形的面积教学设计
宁波滨海国际合作学校汪庆东
一、教学内容解析
本节课是人教A版选修2-2第一章第5节的内容。

该内容不在浙江省高考范围之列，本节课作为一节数学拓展课，主要让学生学会曲边梯形的面积的求法，了解定积分的实际背景，同时让学生了解微积分及
割圆术等数学历史，旨在帮助学生了解以曲代直及无限逼近这两种重要的数学思想，进一步拓展学生视野，增强学生学习数学的兴趣。

基于以上分析，教学内容应在类比和转化的方法引领下，引导学生利用分割与无限逼近的思想解决生活当中的曲边梯形的面积的求法。

重点是探究求曲边梯形面积的方法
难点是把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”的思想方法。

二、教学目标设置
1、知识与技能目标：
（1）通过问题情景，经历求曲边梯形面积的过程，初步了解、感受定积分概念的实际背景；（2）理解求曲边梯形面积的“四步曲”——分割、近似代替、求和、取极限；
（3）了解割圆术、微积分创立的背景，了解相关数学史。

2、过程与方法目标：
（1）通过问题的探究体会“以直代曲、无限逼近”的思想；
（2）通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。

3、情感、态度与价值观目标：
（1）在探究中进一步感受极限的思想，体会直与曲虽然是对立矛盾的；
（2）通过相关数学史教学，让学生感受数学来源于生活并服务于生活的工具作用。

三、学情分析
本节课的教学对象是高一年级学生，且本节课不作为高考考试内容，而高一学生对本节
课的认知基础有限，根据分析学生在本节课之前已经具备的认知基础有：
1. 学生学习过匀速直线运动的位移公式及其几何意义；
2. 高一上学期学习了匀加速直线运动的位移公式，并初步了解其公式推导过程中的分
割思想；
3. 对割圆术求圆周率的方法有少部分的了解。

四、教学策略分析
课堂教学以学生为中心，突出合作学习，探究学习和自主学习。

师生合作探
究，通过匀速直线运动位移的几何意义匀加速直线运动的位移公式的推导变速运动位移公式的求解，通过师行合作，共同完成新知学习。

再通过数学历史的渗透教学，拓展学生视野，提高学生学习兴趣，并让学生类比提炼出本节课的重要数学思想及解题步骤，再利用两道习题进行升华。

五、教学过程
（一）问题情境—生活中的数学原型
【引入1】本节课我们一起研究一个非常重要但一直没有走进课堂，却又是一个学习数学的
人不能不了解的一个问题。

【引入2】观察下面的图片，请同学们思考，我们将要研究一个什么问题？
【引入3】本节课我们一起学习这一类曲边图形中一种特殊图形的面积——曲边梯形的面积
【设计意图】利用生活中的实例，引导学生理解数学来源于生活，并引出本节课课题。

（二）新课学习
【问题一】匀速直线运动的位移公式及其几何意义？
（1）公式：S=vt
（2）几何意义：矩形的面积（如下图）
【设计意图】为下一步引出匀加速直线运动的位移公式做铺垫。

【问题二】匀加速直线运动的位移公式及其几何意义？
（1）公式：
（2）几何意义：梯形的面积（如下图）
【思考】如何用匀速直线动运动的位移公式推导匀加速直线运动的位移公式？
【设计意图】为进一步研究如何求曲边梯形面积打下基础。

【师生共同探究】
（1）将t无限分割，分成n段，每一段即，如图：
(2)以分割成的每一个小梯形的上底或下底作为矩形的长作矩形，则整个梯形面积近似等于n 个小矩形的面积之和，如下图
（图一）（图二）
（3）按照图一分割方案：
按照图二分割方案：
整个梯形的面积为s，则
（4）当分割的次数越来越多，即当时，
【问题三】如何求变加速运动的位移？比如当时，如何求在t=1时的位移？
【设计意图】层层递进，自然过度到本节课新课内容：如何求曲边梯形面积
【思考】求的位移的几何意义是什么？（即求曲边梯形（或曲边三角形）的面积）
【思考】“曲边梯形”与“直边图形”的主要区别是什么？如何类比求匀加速直线运动的位
移公式的方法求解？
【学生共同探究】
（1）把区间[0，1]等分成n个小区间：
每个区间长度为
（2）求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。

（（图一）（图二）
（3）方案一：方案二：
【提示】给出公式：
【课件展示】当时，矩形的面积之和无限接近曲边梯形的面积
（4）取极限：
【探究】对曲边梯形的分割方案，除了以上两种分割方案以外，还有其它分割方案吗？
【学生活动】
1.分小组讨论，并在纸上做出方案。

2.通过对比各组方案，选出最佳方案。

【教师展示】
方案1：；
方案2：；
方案3：；
方案4：
（三）数学史学习
1. 牛顿－莱布尼兹之微积分
【学生阅读】数学史材料第1－3页：微积分发展史简述、牛顿－莱布尼兹公式；
【设计意图】拓展学生视野，让学生了解数学文化，增强学习数学的兴趣。

2.割圆术
【讲授】
割圆术是由魏晋时期的数学家刘徽首创，所谓“割圆术”是用圆内接正多边形的面积去无
限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法。

【学生讨论】割圆术与本节课存在着哪些共同的数学思想方法？
【解答】
割圆术求圆面积的思想方法：
1.将圆等分成n个小扇形。

2.用小三角形面积近似代替小扇形面积。

3.求小三角形面积之和。

4.随着n的增大，小三角形面积之和不断逼近圆面积。

将割圆术求圆面积的思想方法进行提炼
1.分割
2.近似代替
3.求和
4.取极限
【设计意图】
带领学生学习与本节课有庆的数学史，拓展学生视野，同时通过回顾割圆术中正多边形逼近圆的方法，让学生类比本节课的数学思想，以期达到总结的效果。

（四）课堂小结
【思考】
1. 在本节课的学习中，你用到了什么样的数学思想？
2. 在本节课的问题处理中，求曲边梯形面积的过程可以概括成几个步骤？
【师生互动】
让学生回顾总结本节所学知识，师生共同补充、纠正。

【设计意图】
让学生养成善于总结的好习惯，并对本节的知识研究线索有一个全面的认识，同时反馈学生对本节课重点内容的把握情况。

（五）课后作业
1. 求由所围成的面积S？
2.思考：如何用本节课的数学思想探究圆锥的体积公式？
【设计意图】
让学生体会通过对特例的探究，掌握到了一般的数学方法。

同时，巩固知识，发现教学中的不足。

数学与实际相结合，培养学生自觉学习的习惯和探索精神，提高综合运用数学知识的能力。