高三第三次调研考试数学试题
高三数学上学期第三次调研试题含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校HY2021届高三数学上学期第三次调研试题〔含解析〕第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.U =R ，集合(){}50A x x x =-≥，{B x y ==，那么()U C A B ⋂等于〔〕A.()0,3B.()0,5C.∅D.(]0,3【答案】D 【解析】 【分析】求出A 中不等式的解集确定出A ，求出B 中x 的范围确定B ，找出A 的补集与B 的交集即可. 【详解】由A 中不等式解得：0x ≤或者5x ≥，即(][),05,A =-∞⋃+∞，()0,5U C A ∴=，由B 中y =可得30x -≥，解得3x ≤，即(],3B =-∞，那么()(]0,3U C A B ⋂=.应选：D.【点睛】此题考察了交、并、补集的混合运算，纯熟掌握各自的定义是解此题的关键.32a iz i -=+〔a R ∈，i 是虚数单位〕为纯虚数，那么实数a 的值等于〔〕 A.23 B.32 C.23- D.32-【答案】A 【解析】()()()()3232321313a i i a a i z ---+--==，因为是纯虚数，所以320a -=，23a =。
应选A 。
3.在明朝程大位算法统宗中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，一共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？〞这首古诗描绘的这个宝塔其古称浮屠，此题说它一一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，一共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？〔〕 A.6 B.5C.4D.3【答案】D 【解析】【分析】设塔顶有x 盏灯，那么由等比数列的前n 项公式列出方程可解得x ．【详解】设塔顶有x 盏灯，由题意得7(12)38112x -=-，解得3x =．应选D ．【点睛】此题考察考察等比数列的应用．关键是由实际问题抽象出数学概念，题中“红光点点倍加增〞，说明每层灯盏数依次成系数，从而利用等比数列的前n 项和公式可计算．4.在打击拐卖儿童犯罪的活动中,警方救获一名男孩,为了确定他的家乡,警方进展了调查: 知情人士A 说,他可能是人,也可能是人； 知情人士B 说,他不可能是人； 知情人士C 说,他肯定是人； 知情人士D 说,他不是人.警方确定,只有一个人的话不可信.根据以上信息,警方可以确定这名男孩的家乡是〔〕 A.B. C.可能是,也可能是 D.无法判断【答案】A 【解析】 【分析】先确定B,C 中必有一真一假，再分析出A,D 两个正确，男孩为人. 【详解】第一步,找到打破口B 和C 的话矛盾,二者必有一假. 第二步,看其余人的话,A 和D 的话为真,因此男孩是人.第三步,判断打破口中B,C 两句话的真假,C 的话为真,B 的话为假,即男孩为人. 应选：A【点睛】此题主要考察分析推理，意在考察学生对该知识的理解掌握程度，属于根底题.1111ABCD A B C D -中，AB 的中点为M ，1DD 的中点为N ，那么异面直线1B M 与CN 所成的角为〔〕 A.30 B.45︒C.60︒D.90︒【答案】D 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义，把直线CN 平移和直线B 1M 相交，找到异面直线B 1M 与CN 所成的角，解三角形即可求得结果．在平移直线时经常用到遇到中点找中点的方法． 【详解】解：取AA 1的中点E ，连接EN ，BE 角B 1M 于点O ， 那么EN ∥BC ，且EN ＝BC ∴四边形BCNE 是平行四边形 ∴BE ∥CN∴∠BOM 就是异面直线B 1M 与CN 所成的角， 而Rt△BB 1M ≌Rt△ABE∴∠ABE ＝∠BB 1M ，∠BMB 1＝∠AEB ， ∴∠BOM ＝90°． 应选：D ．【点睛】此题是个根底题．考察异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法〔平移法〕的应用，表达了转化的思想和数形结合的思想方法．()sin(2)6f x x π=-的图像向左平移ϕ〔0ϕ>〕个单位，所得的图像关于y 轴对称，那么当ϕ最小时，tan ϕ=〔〕C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据平移变换得到解析式后,利用所得的图像关于y 轴对称列式,再求最小值.【详解】将函数()sin(2)6f x x π=-的图像向左平移ϕ〔ϕ>〕个单位后,得到函数sin[2()]sin(22)66y x x ππϕϕ=+-=+-,因为其图像关于y 轴对称,所以262k ππϕπ-=+,k Z ∈,即23k ππϕ=+,k Z ∈,因为0ϕ>,所以0k =时,ϕ获得最小值3π,此时tan tan 3πϕ==应选B .【点睛】此题考察了三角函数图像的平移变换,以及对称轴,属于中档题.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，那么该几何体的外表积为〔〕 A.1712π+ B.2012π+ C.1212π+ D.1612π+【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图可确定几何体为一个底面半径为3的半圆柱中间挖去一个底面半径为1的半圆柱；依次计算出上下底面面积、大圆柱和小圆柱侧面积的一半以及轴截面的两个矩形的面积，加和得到结果. 【详解】由三视图可知，几何体为一个底面半径为3的半圆柱中间挖去一个底面半径为1的半圆柱∴几何体外表积：()221112312332132231220222S ππππ=⨯-+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=+此题正确选项：B【点睛】此题考察几何体外表积的求解问题，关键是可以通过三视图确定几何体，从而明确外表积的详细构成情况.8.,m n 是两条不同的直线,,αβ〕 A.假设//m α，//m β，那么//αβB.假设m α⊥，αβ⊥，那么//m βC.假设m α⊂，m β⊥，那么αβ⊥D.假设m α⊂，αβ⊥，那么m β⊥【答案】C 【解析】 【分析】按照线面平行，垂直等等的断定或者性质逐一分析即可【详解】对于A ,平行于同一条直线的两个平面可能相交,故A 不正确; 对于B ,直线m 可能在平面β内,故B 不正确; 对于C ,根据平面与平面垂直的断定定理可知,C 正确;对于D ,直线m 与平面β可能斜交,故D 不正确. 应选C .【点睛】此题考察了空间直线、平面的平行、垂直的位置关系,意在考察线面平行，垂直的断定或者性质.属于根底题.A.当2x ≥时，1xx+的最小值为2B.当0x >2≥C.当02x <≤时，1x x-无最大值 D.当0x>且1x ≠时，1lg 2lg x x+≥ 【答案】B 【解析】 【分析】结合函数的单调性及根本不等式逐个判断即可。
广东省惠州市2024届高三上学期第三次调研考试数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 若直线与圆相切，则等于（ ）A．B．C．D．2. 设为虚数单位，若复数满足，则复数的虚部为（ ）A．B．C．D．3.公元年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的“开立圆术”.祖暅在求球的体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是立体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.更详细点说就是，介于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被称为“祖暅原理”.打印技术发展至今，已经能够满足少量个性化的打印需求，现在用打印技术打印了一个“睡美人城堡”.如图，其在高度为的水平截面的面积可以近似用函数，拟合，则该“睡美人城堡”的体积约为（）A．B．C．D．4.在平面直角坐标系中，若曲线（，为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C 在第一象限的交点为A，直线与C 的左支交于点B ，且．设C 的离心率为e ，则（ ）A．B．C．D．6. 已知集合，则集合A 的子集个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．87. 已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为A ．1B ．2C ．-1D ．-28. 数列{}中，“”是“{}是公比为2的等比数列”的（ ）.A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9. 已知直线，，则（ ）A．直线过定点B ．当时，C ．当时，D ．当时，之间的距离为10. 已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm 2）数据为：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm 2）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（ ）A ．甲种的样本极差小于乙种的样本极差广东省惠州市2024届高三上学期第三次调研考试数学试题(1)广东省惠州市2024届高三上学期第三次调研考试数学试题(1)三、填空题四、解答题B ．甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数C ．甲种的样本方差大于乙种的样本方差D ．甲种的样本60百分位数小于乙种的样本60百分位数11.已知复数，则下列各项正确的为（ ）A ．复数的虚部为B ．复数为纯虚数C ．复数的共轭复数对应点在第四象限D ．复数的模为512.如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆柱底面圆弧的两个三等分点，为圆柱的母线，点分别为线段上的动点，经过点的平面与线段交于点，以下结论正确的是（）A．B ．若点与点重合，则直线过定点C ．若平面与平面所成角为，则的最大值为D ．若分别为线段的中点，则平面与圆柱侧面的公共点到平面距离的最小值为13. 函数的最小值为______.14. 若实数，满足，则的最小值为__________.15. 幂函数在上为单调递增的，则______.16. 2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在中国首都北京举行,会议期间,达成了多项国际合作协议.假设甲、乙两种品牌的同类产品出口某国家的市场销售量相等，该国质量检验部门为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取300个进行测试，结果统计如下图所示,已知乙品牌产品使用寿命小于200小时的概率估计值为.(1)求的值;(2)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(3)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是乙品牌的概率．17. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）．(1)当时，若发送0，则要得到正确信号，试比较单次传输和三次传输方案的概率大小；(2)若采用三次传输方案发送1，记收到的信号中出现2次信号1的概率为，出现3次信号1的概率为，求的最大值．18. 如图，在四面体中，，，，分别为，的中点，过的平面与，分别交于点，.（1）求证：；（2）若四边形为正方形，求二面角的余弦值.19. 函数（1）若方程无实根，求实数的取值范围；（2）记的最小值为.若，，且，证明：.20. 中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统.从全球应用北斗卫星的城市中随机选取了40个城市进行调研，下图是这40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，求产值小于610万元的调研城市个数，并估计产值的中位数；(2)视频率为概率，从全球应用北斗卫星的城市中任取5个城市，求恰有2个城市的产值超过600万元的概率.21. 设函数 .(1)求函数的最小正周期及其对称中心；(2)求函数在上的值域.。
高三数学第三次调研考试试题(doc 12页)
高三数学第三次调研考试试题(doc 12页)6．定义运算a ⊕b=⎩⎨⎧>≤)()(b a b b a a ，则函数f(x)=1⊕2x的图象是（ ）.7．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：191622=+y x ，点A 、B 是它的两个焦点，当静止的小球放在点A 处，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A 时，小球经过的最短路程是（ ）.A ．20B ．18C ．16D ．以上均有可能 8．已知函数①x x f ln 3)(=；②xe xf cos 3)(=；③xe xf 3)(=；④x x f cos 3)(=.其中对于)(x f 定义域内的任意一个自变量1x 都存在唯一个自变量)()(,212x f x f x 使=3成立的函数是（ ）. A ．③B ．②③C ．①②④D ．④xy o1 xyo 1xy o1xyo1 A B C第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共7小题，其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分．每小题5分，满分30分． 9．已知向量(4,0),(2,2),AB AC ==则与的夹角的大小为 . 10．按下列程序框图运算：规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算，若x =5，则运算进行 次才停止。
11．下图的矩形，长为5，宽为2. 在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗.则我们可以估计出阴影部分的面积为 .12．已知点P (x ,y)满足条件3),(02,,0+=⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥x z k k y x x y x 若为常数y 的最大值为8，则k = .13．(坐标系与参数方程选做题) 曲线的极坐标方程x 输乘减大否停是θρsin 4=化为直角坐标方程为 .14．(不等式选讲选做题) 函数46y x x =-+-的最小值为 .15．(几何证明选讲选做题) 如图，⊙O 的直径AB =6cm ，P是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ， 若CPA ∠=30°，PC = 。
山西省阳泉市2023届高三三模数学试题
一、单选题1. 一组5个数据，，，，的和为25，方差为6，则，，，，，5这6个数的方差为（ ）A ．5B ．6C ．25D ．302. 已知，则的最大值为（ ）A．B ．1C．D ．33. 若复数z 满足，则z 的共轭复数（ ）A．B．C．D．4.设复数(其中为虚数单位)，则的虚部是（ ）A ．1B ．0C．D．5. 设集合，，若，则的范围是（ ）A．B．C．D．6. 已知样本甲：，，，…，与样本乙：，，，…，，满足，则下列叙述中一定正确的是A ．样本乙的极差等于样本甲的极差B ．样本乙的众数大于样本甲的众数C．若某个为样本甲的中位数，则是样本乙的中位数D．若某个为样本甲的平均数，则是样本乙的平均数7. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）A．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度8. 如图正方体中，点分别是的中点，为正方形的中心，则（）A．直线是异面直线B ．直线是相交直线C ．直线与所成角为D ．直线所成角的余弦值为9.茶文化起源于中国，中国饮茶据说始于神农时代．现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过．一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为，，给出三个茶温T （单位：）关于茶泡好后置于室内时间t （单位：分钟）的函数模型：①；②；③．根据生活常识，从这三个函数模型中选择一个，模拟茶温T（单位：）关于茶泡好后置于室内时间t （单位：分钟）的关系，并依此计算该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时间为（参考数据）（ ）A ．2.72分钟B ．2.82分钟C ．2.92分钟D ．3.02分钟10. 已知复数，则（ ）A．B．C．D．山西省阳泉市2023届高三三模数学试题二、多选题11.设集合，，若，则（ ）A．B．C．D．12.函数的单调递减区间为（ ）A．B．C．D．13. 已知集合，集合是自然数集，则（ ）A．B．C．D．14. 以双曲线的焦点为顶点，离心率为的双曲线标准方程为A．B．C．D．15. 如图所示，点E 为的边AC 的中点，F 为线段BE 上靠近点B的四等分点，则=（）A．B．C．D．16. 复数满足，下面各式正确的是（ ）A．B．C．D．17. 已知是圆上的两点，则下列结论中正确的是（ ）A．若点到直线的距离为，则B．若，则C ．若，则的最大值为6D．的最小值为18. 如图所示，四边形是圆柱的轴截面，点是底面圆周上不同于的任意一点，分别为的中点，点在母线上，则下列结论正确的是（）A ．平面B ．平面C．D ．若平面平面，则为的中点19. 如图1，在矩形与菱形中，，，，分别是，的中点.现沿将菱形折起，连接，，构成三棱柱，如图2所示，若，记平面平面，则（ ）三、填空题A ．平面平面B．C ．直线与平面所成的角为60°D ．四面体的外接球的表面积为20. 已知点在函数的图象上，若将的图象向左平移个单位后所得图象仍然经过点，则的值可以是（ ）A．B．C．D．21. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的值可以是（ ）A．B ．1C ．0D ．222.设函数在上的最小值为，函数在上的最大值为，若，则满足条件的实数可以是（ ）A．B．C．D．23.如图，三棱锥中，平面，，，，到平面的距离为，则（）A．B ．三棱锥的外接球的表面积为C ．直线与直线所成角的余弦值为D．与平面所成角的正弦值为24. 已知实数，，，则的值可能是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1025.已知为双曲线右支上一点（非顶点），、分别为双曲线的左右焦点，点为的内心，若，则该双曲线的离心率为________.26.函数的最大值为________.27. 已知圆C 的方程为，过直线l ：（）上任意一点作圆C 的切线，若切线长的最小值为，则直四、解答题线l 的斜率为__________．28. 已知集合，，则____．29.写出一个被直线平分且与直线相切的圆的方程：________．30.在中，分别为三个内角A 、B 、C 所对的边,设向量，若向量，则角A 的大小为________________31. 如图，等腰直角三角形的斜边为正四面体的侧棱，直角边绕斜边旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：①四面体的体积有最大值和最小值；②存在某个位置，使得；③设二面角的平面角为，则.正确命题的序号是______.32. 已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，该圆柱和圆锥的表面积分别为，，则__________.33.已知函数．（1）化简并求函数的最小正周期；（2）求使函数取得最大值的集合．34. 已知函数f (t )=（Ⅰ）将函数g(x )化简成Asin(ωx +φ)+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π]）的形式；（Ⅱ）求函数g(x )的值域．35.设，化简：．36. 在长方体中，，．(1)在边上是否存在点，使得，为什么？(2)当存在点，使时，求的最小值，并求出此时二面角的正弦值．37.在数列中，，且.(1)求的通项公式；五、解答题(2)若，数列的前项和为，求38. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点满足.(1)化简曲线的方程；(2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点A 作直线的垂线，交于两点，求面积的最小值.39. 已知四棱锥的底面为平行四边形，且平面ABCD,,,分别为中点，过作平面分别与线段相交于点.(1)在图中作出平面，使面平面SAD (不要求证明）；(2)若，是否存在实数，使二面角的平面角大小为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.40. 2021年1至4月，教育部先后印发五个专门通知，对中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质管理作出规定．“五项管理”是“双减”工作的一项具体抓手，是促进学生身心健康、解决群众急难愁盼问题的重要举措．为了在“控量”的同时力求“增效”，提高作业质量，某学校计划设计差异化作业，因此该校对初三年级的400名学生每天完成作业所用时间进行统计，部分数据如下表：男生女生合计90分钟以上80x 18090分钟以下y z 220合计160240400(1)求x 、y 、z 的值，并根据题中的列联表，判断是否有95%的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关；(2)学校从完成作业所需时间在90分钟以上的学生中用分层抽样的方法抽取9人了解情况，甲老师再从这9人中选取3人进行访谈，求甲老师选取的3人中男生人数大于女生人数的概率．附：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82841. 已知函数是定义在R 上的偶函数，且当时，．现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．（1）写出函数的增区间．（2）写出函数的解析式．（3）若函数，求函数的最小值．42. 青少年近视问题已经成为影响青少年健康的一个重要问题，习近平总书记连续作出重要指示，要求“全社会都要行动起来，共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”，某机构为了解使用电子产品对青少年视力的影响，随机抽取了200名青少年，调查他们每天使用电子产品的时间(单位：分钟)，根据调查数据按分成6组，得到频数分布表如下：时间/分频数123872462210（1）根据上表数据，求该地青少年每天使用电子产品时间的中位数；（2）若每天使用电子产品的时间超过60分钟，就叫长时间使用电子产品，完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为是否患近视与每天长时间使用电子产品有关.非长时间使用电子产品长时间使用电子产品合计患近视人数100未患近视人数80合计200参考公式：，其中.参考数据：0.100.050.0100.0012.7063.841 6.63510.82843. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其物理成绩（均为整数）分成六段，…后画出如下频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）估计这次考试的众数与中位数（结果保留一位小数）；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分.44. 在三棱锥中，G是的重心，P是面内一点，且平面.六、解答题（1）画出点P 的轨迹，并说明理由；（2）平面，，，，当最短时，求二面角的余弦值.45. 如图，在四棱锥中，底面ABCD 为平行四边形，，为锐角，平面平面ABCD ，点M 为PC 上一点．（1）若平面MBD ，求证：点M 为PC 的中点；（2）求证：平面平面PCD ．46. 已知为等差数列，为正项等比数列，的前项和为，，，，．(1)求数列，的通项公式；(2)求的前项和的最大值；(3)设求证：．47. 如图，在四棱锥中，平面，且，，．(1)求证：平面；(2)若二面角的余弦值是，求．48. 如图，多面体中，平面，(1)在线段上是否存在一点，使得平面？如果存在，请指出点位置并证明；如果不存在，请说明理由；(2)当三棱锥的体积为8时，求平面与平面AFC 夹角的余弦值.49.如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面平面，为的中点，点在上，七、解答题.(1)证明：平面；(2)若，且与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.50.已知在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．(1)若，求证：为直角三角形；(2)若的面积为，且，求的周长．51.某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p （0<p <1），各元件之间相互独立.当控制系统有不少于k 个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）.(1)若，当k =2时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望，并求；(2)已知设备升级前，单位时间的产量为a 件，每件产品的利润为4元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的2倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是8元.记设备升级后单位时间内的利润为Y （单位：元）.（i）请用表示E （Y ）；（ii ）设备升级后，若将该设备的控制系统增加2个相同的元件，请分析是否能够提高E （Y ）.52. 某商店试销一种成本单价为40元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量（件）与销售单价（元/件）可近似看作一次函数的关系．设商店获得的利润（利润销售总收入总成本）为元．（1）试用销售单价表示利润；（2）试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？53. 为应对中国人口老龄化问题，各地积极调研出台三孩配套政策.某地为了调研生育意愿是否与家庭收入有关，对不同收入的二孩家庭进行调研.某调查小组共调研了20个家庭，记录了他们的家庭年可支配收入以及生育三孩的意愿，若将年可支配收入不低于20万划归为富裕家庭，20万以下为非富裕家庭，调研结果如下表.家庭年可支配收入（万元）12162230108819208是否愿意生三孩否是否否否否是否是否家庭年可支配收入（万元）32284824192950181860是否愿意生三孩否是否是否是是否否否(1)根据上述数据，请完成下面列联表，并判断能否有90%的把握认为生育三孩与家庭是否富裕有关？富裕家庭非富裕家庭总数愿意生三孩不愿意生三孩总数20(2)相关权威部门的数据表明年可支配收入在20万元以上（含20万元）的家庭约占全部家庭的，若以该调查组的调研数据为依据制定相关政策，你认为是否合理？请说明理由.附：，.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.841 5.024 6.6357.87910.82854. 配速是马拉松运动中常使用的一个概念，是速度的一种，是指每公里所需要的时间，相比配速，把心率控制在一个合理水平是安全理性跑马拉松的一个重要策略.图1是一个马拉松跑者的心率（单位：次/分钟）和配速（单位：分钟/公里）的散点图，图2是一次马拉松比赛（全程约42公里）前3000名跑者成绩（单位：分钟）的频率分布直方图.（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求与的线性回归方程；（2）该跑者如果参加本次比赛，将心率控制在160左右跑完全程，估计他跑完全程花费的时间，并估计他能获得的名次.参考公式：线性回归方程中，，参考数据：.55. 在国家大力发展新能源汽车产业政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长．某地区年底新能源汽车保有量为辆，年底新能源汽车保有量为辆，年底新能源汽车保有量为辆．(1)根据以上数据，试从（，且），，（，且），三种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势（不必说明理由），设从年底起经过年后新能源汽车保有量为辆，求出新能源汽车保有量关于的函数关系式；(2)假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同，年底该地区传统能源汽车保有量为辆，预计到年底传统能源汽车保有量将下降．试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．（参考数据：，）56. 2021年东京奥运会，中国举重选手8人参赛，7金1银，在全世界面前展现了真正的中国力量；举重比赛根据体重进行分级，某次举重比赛中，男子举重按运动员体重分为下列十级：级别54公斤级59公斤级64公斤级70公斤级76公斤级体重54.01～5959.01～6464.01～7070.01～76级别83公斤级91公斤级99公斤级108公斤级108公斤级以上体重76.01～8383.01～9191.01～9999.01～108每个级别的比赛分为抓举与挺举两个部分，最后综合两部分的成绩得出总成绩，所举重量最大者获胜，在该次举重比赛中，获得金牌的运动员的体重以及举重成绩如下表体重5459647076839199106举重成绩291304337353363389406421430八、解答题（1）根据表中的数据，求出运动员举重成绩y 与运动员的体重x 的回归直线方程（保留1位小数）；（2）某金牌运动员抓举成绩为170公斤，挺举成绩为204公斤，则该运动员最有可能是参加的哪个级别的举重？参考数据：；参考公式：．57. 已知函数，，（）.(1)求函数的最小值；(2)若有两个不同极值点，分别记为，，且.（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）若不等式恒成立（为自然对数的底数），求正数的取值范围.58. 一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n ．如果n =3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n =4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为50%，且各件产品是否为优质品相互独立（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望．59. 已知，，.（1）若，求的值；（2）在（1）的条件下，若，，求sinβ的值.60. 已知函数.(1)判断的单调性；(2)设函数，记表示不超过实数的最大整数，若对任意的正数恒成立，求的值.（参考数据：，）61. 投资甲、乙两种股票，每股收益的分布列如表所示：甲种股票：收益x（元）02概率0.10.30.6乙种股票：收益y （元）012概率0.30.30.4(1)如果有人向你咨询：想投资其中一种股票，你会给出怎样的建议呢？(2)在实际中，可以选择适当的比例投资两种股票，假设两种股票的买入价都是每股1元，某人有10000元用于投资，请你给出一个投资方案，并说明理由．62. 已知函数．(1)当时，过点作曲线的切线l ，求l 的方程；(2)当时，对于任意，证明：．。
福建省南平市2024届高三下学期第三次质量检测数学试题(解析版)
南平市2024届高三第三次质量检测数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足()i 2i i z z +=-，则z =（）A.1B.C.D.2【答案】A 【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则化简复数，再根据复数模的计算公式计算即可.【详解】由题意可知，复数z 满足i 2i(i)z z +=-，则可转化为2i (2i)(12i)43i 12i (12i)(12i)55z --+===+--+，所以||1z ==.故选：A.2.已知,a b ∈R ，那么22log log a b >是1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数和指数函数的单调性可得.【详解】因为0,0a b >>，且2log y x =在()0,∞+上单调递增，所以22log log 0a b a b >⇒>>，又12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减,所以11,,22aba b a b ⎛⎫⎛⎫⇔∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭R ,所以2211log log 33aba b a b ⎛⎫⎛⎫>⇒>>< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，0b a <<时，不能得出22log log a b >成立.故选：A .3.已知向量a ，b 满足4a = ，2b = ，,150a b =︒ ，则a 在b上的投影向量为（）A.bB.C.b-D.【答案】D 【解析】【分析】利用||cos ,||b a a b b，计算可得a 在b上的投影向量.【详解】a 在b上的投影向量为：1||cos ,4cos1502||b a a b b b =︒=.故选：D.4.对任意非零实数α，当x 充分小时，()11x x αα+≈+⋅.如：1121 2.2524⎛⎫==≈⨯+⨯= ⎪⎝⎭的近似值为（）A.1.906B.1.908C.1.917D.1.919【答案】C 【解析】化为131218⎡⎤⎛⎫⋅+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，根据新定义，直接计算取近似值即可．【详解】1312218⎛⎫==⋅⋅- ⎝⎭131112121 1.917838⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅+-≈+⨯-≈ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故选：C .5.已知π1tan 62α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.35-B.34C.45-D.45【答案】A 【解析】【分析】由同角三角函数的基本关系求出2π1sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再由二倍角的余弦公式和诱导公式化简代入即可得出答案.【详解】因为π1tan 62α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以22πsin 16π2cos 6ππsin cos 166αααα⎧⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎛⎫⎪+ ⎪⎨⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得：2π1sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，22ππππcos 2cos 2πcos 212sin 3666αααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦131255⎡⎤=--⨯=-⎢⎥⎣⎦.故选：A .6.关于t 的实系数二次不等式()210t b t a +-+<的解集为()2,1--，若1x y a b -=，(),x y ∈R ，则2x y-的最小值为（）A.12B.C.2D.【答案】C 【解析】【分析】由已知可得21--，是一元二次方程()210t b t a +-+=的根，进而可得24a b =⎧⎨=⎩，可得1412222y x yyy y-+==+，可求2x y -的最小值.【详解】因为关于t 的实系数二次不等式()210t b t a +-+<的解集为()2,1--，所以21--，是一元二次方程()210t b t a +-+=的根，所以21(1)2(1)b a --=--⎧⎨-⨯-=⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩，所以241x y -=，所以241x y =+，所以141222,22y x yy y y -+==+≥=当且仅当0,1y x ==时取等号.所以2x y -的最小值为2.故选：C.7.在正四面体ABCD 中，P 为棱AD 的中点，过点A 的平面α与平面PBC 平行，平面α 平面ABD m =，平面α 平面ACD n =，则m ，n 所成角的余弦值为（）A.3B.13C.23D.33【答案】B 【解析】【分析】由面面平行的性质定理可得//m BP ，//n PC ，所以m ，n 所成角即为BPC ∠，在BPC △中，由余弦定理求解即可.【详解】因为平面//α平面PBC ，α 平面ABD m =，平面PBC ⋂面ABD BP =，所以//m BP ，因为平面//α平面PBC ，α 平面ACD n =，平面PBC ⋂面ACD PC =，所以//n PC ，所以m ，n 所成角即为,BP PC 所成角，而,BP PC 所成角为BPC ∠，设正四面体ABCD 的棱长为2，所以2AB AC AD BD BC =====，所以BP CP ===所以1cos 3BPC ∠==.故选：B .8.已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，11F A F B ⊥ ，2223F A F B =-，则C 的方程为（）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y += D.22154x y +=【答案】D 【解析】【分析】由题意设椭圆C 的方程为：222211x y a a +=-，由，11F A F B ⊥ ，2223F A F B =- 可求出54,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭或54,33A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程化简即可得求出25a =，即可得出答案.【详解】因为椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，所以设椭圆C 的方程为：222211x y a a +=-,设()00,B y ，(),A m n ，()21,0F ，则()()2201,,1,F A m n F B y =-=- ，因为2223F A F B =-，所以()0211323m n y⎧-=-⨯-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以052,33m n y ==-，所以052,33A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又因为11F A F B ⊥ ，所以()101082,,1,33F A y F B y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以2082033y -=，所以02y =±，所以54,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭或54,33A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为A 在C 上，所以2225169911a a +=-，即42950250a a -+=，解得：25a =或259a =，因为椭圆C 的焦点在x 轴上，所以25a =.故C 的方程为22154x y +=.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.六位评委给某选手的评分分别为：16，18，20，20，22，24.去掉最高分和最低分，所得新数据与原数据相比不变的是（）A.极差B.众数C.平均数D.第25百分位数【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、众数的定义，分析可得答案．【详解】从6个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到4个新数据为：18，20，20，22，极差为：22184-=，众数为：20，平均数为：18202022204+++=，因为0.2541⨯=，所以第25百分位数为1820192+=，而原数据：16，18，20，20，22，24，极差为：24168-=，众数为：20，平均数为：161820202224206+++++=，因为0.256 1.5⨯=，所以第25百分位数为18，所以所得新数据与原数据相比不变的是：众数和平均数.故选：BC.10.已知圆C ：()()221225x y -+-=，直线l ：()()()211740m x m y m m +++--=∈R ，则（）A.直线l 过定点()3,1B.圆C 被x轴截得的弦长为C.当2m =-时，圆C 上恰有2个点到直线l 距离等于4D.直线l 被圆C 截得的弦长最短时，l 的方程为250x y --=【答案】ACD 【解析】【分析】直线l 的方程变形为：()2740x y m x y +-++-=，令m 的系数等于零，即可判断A ；()1,2C 到x 轴的距离为2，求出圆C 被x 轴截得的弦长可判断B ；计算出当2m =-时，圆心到直线的距离即可判断C ；当PC l ⊥时，弦长最短，即可判断D.【详解】对于A ，直线l 的方程变形为：()2740x y m x y +-++-=，令27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过定点()3,1P ，故A 正确；对于B ，圆C 的圆心()1,2C ，半径=5r ，()1,2C到x 轴的距离为2，所以圆C 被x 轴截得的弦长为=，故B 错误；对于C ，当2m =-时，直线l ：3100x y +-=，此时圆心()1,2C 到直线l 的距离102d ==，而542r d -=-<，所以当2m =-时，圆C 上恰有2个点到直线l 的距离等于4，故C 正确.对于D ，当PC l ⊥时，弦长最短，此时1121231l CPk k =-=-=--，因为直线l 过定点()3,1P ，所以l 的方程为：()123y x -=-，化简为：250x y --=，故D 正确.故选：ACD.11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=.()f x 满足()()213244f x f x x ---=-，()1g x -的图象关于直线1x =对称，则（）A.()()202f f -=B.()11g =C.()1y f x x =+-为奇函数D.()1001100k g k ==∑【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，将恒等式代换变形得到()()112f x f x x +--=，再代入特殊值即可验证A ；对于B ，在()()112f x f x x +--=两边求导得到()()112g x g x ++-=，再代入特殊值即可验证B ；对于C ，举出()πsin2x f x x =+，()ππ1cos 22xg x =+作为反例即可说明C 错误；对于D ，证明()()112g x g x -++=，再对求和式变形即可验证D.【详解】对于A ，由()()213244f x f x x ---=-可知222213244222x x x f f +++⎛⎫⎛⎫⋅---⋅=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()112f x f x x +--=.从而()()111121f f +--=⋅，即()()202f f -=，故A 正确；对于B ，在()()112f x f x x +--=两边同时求导，可得()()112f x f x ''++-=，即()()112g x g x ++-=.代入0x =即得()11g =，故B 正确；对于C ，考虑()πsin2x f x x =+，()ππ1cos 22x g x =+，则()()g x f x ='，且()()()()()()π21π32213221sin32sin44cos πcos π4422x x f x f x x x x x x x -----=-+---=--+=-，()()()()()ππππ11111cos 1cos 02222x x g x g x g x g x ⎛⎫-⎛⎫+----=--=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故此时()(),f x g x 满足全部条件，但()()π1π11sin 1cos22x xf x x x x ++-=++-=+并不是奇函数（因为显然不过原点），故C 错误；之前已证()()112g x g x ++-=，再由()1g x -的图象关于直线1x =对称，知()()1111g x g x +-=--，即()()g x g x =-.故()()()()()()()()11111211212g x g x g x g x g x g x g x g x -++=-++=-+--=-+--=.所以()()()()100505011143412502100k k k g k g k g k ====-+-==⨯=∑∑∑，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对恒等式的换元及变形，需要选取恰当的换元方式方可简化等式.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合(){}2,4A x y yx ==，(){},B x y y x ==，则A B ⋂的子集个数为______.【答案】4【解析】【分析】先求交集中的元素，根据元素个数可得子集个数.【详解】由24y x y x ⎧=⎨=⎩解得00x y =⎧⎨=⎩或1414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以11(0,0),(,)44A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭，有两个元素，所以A B ⋂的子集个数为224=.故答案为：4.13.函数()()sin 0f x x ωω=>在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且在区间()0,2π上恰有两个极值点，则ω的取值范围是______.【答案】3544ω<≤【解析】【分析】利用正弦型函数的单调性可得302ω<≤，利用正弦型函数的极值点可得3544ω<≤.【详解】由()()sin 0f x x ωω=>在区间3π,6π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，可得ππ2π62k ω-≥-+，ππ2π32k ω≤+，k ∈Z ，即312k ω≤-，362k ω≤+，k ∈Z ，即302ω<≤，又()()sin 0f x x ωω=>在区间()0,2π上恰有两个极值点，可得3π5π2π22ω<≤，即3544ω<≤.综上，3544ω<≤.故答案为：3544ω<≤.14.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，2AB =，111A B =，且该正四棱台的每个顶点均在表面积为8π的球O 上，则平面11BCC B 截球O 所得截面的面积为______.【答案】8π7##8π7【解析】【分析】先求出外接球的半径与球心位置；再做辅助线证明出2O F ⊥平面11B BCC ，在21EO E 中，设2,EF x O F d ==，结合图象列出关于,x d 的方程组，最后解出截面圆的半径即可.【详解】由球O 的表面积为8π，所以24π8πS R ==，可知球O ，设上下底面的中心分别为12,O O ，因为2AB =，从而可知球O 的球心与下底面ABCD 的中心2O 重合；分别取11B C 和BC 的中点1E E 、，连接112111212,,,,,C O EO E E E O EO O O ，则在直角梯形112C O O C 中得1262O O =，则在直角梯形112E O O E 中得12E E =，过点2O 作1E E 的垂线，垂足为F ，由于BC ⊥平面112E O O E ，2O F ⊂平面112E O O E ，所以2BC O F ⊥，由21OF EE ⊥，1EE BC E = ，1,EE BC ⊂平面11B BCC ，从而2O F ⊥平面11B BCC ，在21EO E 中，设2,EF x O F d ==，则172E F x =-，则221x d +=，和22222x d ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立解得：276,77x d ==，又因为平面11B BCC 截球所得平面图形为圆面，所以圆面的半径287r =，所以圆面面积为28ππ7r =.【点睛】方法点睛：构建方程组利用勾股定理解截面圆半径是解决立体几何的一种重要方法.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()31ln 222f x ax x x x=--+，且()f x 图象在1x =处的切线斜率为0.（1）求a 的值；（2）令()()g x f x '=，求()g x 的最小值.【答案】（1）1（2）0【解析】【分析】（1）对()f x 求导，可得()10f '=，解方程即可得出答案；（2）由（1）知函数()31ln 222f x x x x x =--+，对()f x 求导，令()211ln (0)22g x x x x =+->，对()g x 求导，判断()g x '与0的大小得出()g x 的单调性，即可求出()g x 的最小值.【小问1详解】因为()31ln 222f x ax x x x =--+，所以()()2311ln 22f x a x x -+'=+，因为()f x 图象在1x =处的切线斜率为0,所以()10f '=，即31022a -+=，所以1a =.【小问2详解】由（1）知函数()31ln 222f x x x x x=--+，()f x 的定义域为()0,∞+，()211ln 22f x x x =+-'，则()211ln (0)22g x x x x =+->，求导得()233111x g x x x x='-=-，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，则函数()g x 在()0,1上递减，在()1,∞+上递增，()()min 10g x g ==.16.建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低.假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏10个，其中5个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，2个由工匠丙烧制，甲、乙、丙三人烧制建盏的成品率依次为0.2，0.1，0.3.（1）从这10个建盏中任取1个，求取出的建盏是成品的概率；（2）每件建盏成品的收入为1000元，每件废品的收入为0元.乙烧制的这3件建盏的总收入为X 元，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）0.19（2）分布列见解析，数学期望为300元【解析】【分析】（1）设事件B 为“取得的建盏是成品”，事件1A ，2A ，3A 分别表示“取得的建盏是由甲、乙、丙烧制的”，求得每个事件的概率，进而利用()()()()()()()112233P B P A P BA P A PB A P A P B A =++∣∣∣可求取出的建盏是成品的概率；（2）这3件中成品的件数为Y .由题可知13,10Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，利用二项分布的概率公式可求X 分布列及数学期望.【小问1详解】设事件B 为“取得的建盏是成品”，事件1A ，2A ，3A 分别表示“取得的建盏是由甲、乙、丙烧制的”.则()151102P A ==，()230.310P A ==，()321105P A ==.又()10.2P BA =∣，()20.2PB A =∣，()30.3P B A =∣，所以()()()()()()()112233P B P A P BA P A PB A P A P B A =++∣∣∣0.50.20.30.10.20.30.19=⨯+⨯+⨯=【小问2详解】设这3件中成品的件数为Y .由题可知13,10Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.因为1000X Y =，X 的可能取值为0，1000，2000，3000所以()()03031972900C 10101000P X P Y ⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()12131924310001C 10101000P X P Y ⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2123192720002C 10101000P X P Y ⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()33319130003C 10101000P X P Y ⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为X100020003000P7291000243100027100011000所以()72924327101000200030003001000100010001000E X =⨯+⨯+⨯+⨯=元.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，AB BC AD CD ==<，2π3ABC ∠=.M ，N 分别为棱CD ，PD 上的动点（与端点不重合），且CM DN CD DP=.（1）求证：AD ⊥平面APC ；（2）若3AP =，设平面AMN 与平面APC 所成的角为α，求cos α的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）155【解析】【分析】（1）解法一：由AB BC AD ==，AB CD ∥，2π3ABC ∠=，推出AD AC ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，由线面垂直判定定理可得AD ⊥平面PAC ；解法二：同解法一：（2）解法一：设1AD =，建立空间直角坐标系A xyz -，令CM DNCD DPλ==，设()111,,M x y z ，()222,,N x y z ，设平面AMN 的法向量为(),,n x y z =，由cos n AD n ADα⋅=⋅ ，利用基本不等式求解最值;解法二：不妨设1AD =，由AC ，AD ，AP 两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，求解平面AMN 的法向量为(),,n x y z =，由cos n AD n ADα⋅=⋅ ，利用基本不等式求解最值.【小问1详解】解法一：因为AB BC AD ==，AB CD ∥，2π3ABC ∠=，所以π6CAB ∠=，2πππ362CAD ∠=-=，即AD AC ⊥又PA ⊥平面ABCD ，所以PA AD ⊥因为AC PA A ⋂=，,AC PA ⊂平面PAC ，所以AD ⊥平面PAC ；解法二：同解法一.【小问2详解】解法一：设1AD =，如图所示，建立空间直角坐标系A xyz -.令CM DNCD DPλ==，()0,1λ∈，设()111,,M x y z ，()222,,N x y z 则有CM CD λ=，DN DPλ=即()()111,x y z λ-=，解得))1,,0M λλ-同理可得()0,1N λ-设平面AMN 的法向量为(),,n x y z =，由)()10,10,n AM x y n AN y z λλλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 令1x =，则)1y λλ-=，()221z λλ-=.得平面AMN的一个法向量为)()22111,,n λλλλ⎛⎫-- = ⎪⎝⎭又由（1）可知()0,1,0AD =是平面APC 的一个法向量，则有cos n ADn ADα⋅==⋅5==当且仅当211λλ-⎛⎫=⎪⎝⎭，即12λ=时取“=”又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cosα的最大值15cos5α=解法二：不妨设1AD=，由AC，AD，AP两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系A xyz-，则根据题意可得：())1,1,0AM AC ADλλλ=+-=-()()10,,AN AD APλλλ=+-=，()0,1λ∈，设平面AMN的一个法向量为(),,n x y z=，())1010n AM x yn AN y zλλλ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩取1x=，1yλ=-，()221zλλ=-于是()2231,,11nλλλ⎛⎫⎪=⎪--⎝⎭，cos5α=当且仅当211λλ-⎛⎫=⎪⎝⎭，即12λ=时取“=”又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos α的最大值15cos 5α=.18.已知()11,0A -，()21,0A ，直线1A P ，2A P 相交于点P ，且它们的斜率之积是4，记点P 的轨迹为曲线C（1）求C 的方程；（2）不过1A ，2A 的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线1MA 与2NA 交于点S ，点S 在直线12x =上，证明：直线l 过定点.【答案】（1）()22114y x x -=≠±（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由斜率公式结合题意即可列式，化简即可得解.（2）设直线l 的方程为：()1x my n n =+≠±，将其与椭圆方程联立，从而122841mny y m -+=-，21224441n y y m -⋅=-，思路一：由斜率公式、（1）中结论以及点S 在直线12x =上，可得1143A N A Mk k =-，从而结合韦达定理可得n 为定值2，由此即可得证；思路二：联立直线1MA 与直线2NA 的方程，可得()()12121111y yx x x x +=-+-，在里面代入12x =，结合韦达定理即可得出n 为定值，由此即可得证.【小问1详解】设(),P x y ，则()111PA y k x x =≠-+，()211PA y k x x =≠-，由已知，有()4111y yx x x ⋅=≠±+-，故C 的方程为()22114y x x -=≠±.【小问2详解】解法一：设()11,M x y ，()22,N x y ，若直线l 的斜率为0，则直线1MA 与2NA 的交点在y 轴上，与已知矛盾，故设直线l 的方程为：()1x my n n =+≠±，由2244x my n x y =+⎧⎨-=⎩，得()222418440m y mny n -++-=，()22Δ16410m n =+->，则122841mn y y m -+=-，21224441n y y m -⋅=-，由点S 在直线12x =上，设1,2S t ⎛⎫⎪⎝⎭，则121312A M t k t ==+，22112N A tk t==--，所以213A M NA k k =-，又124A N A N k k ⋅=，则()1134A N A M k k ⋅-=，即1143A N A M k k =-，21214113y y x x ⋅=-++，()()12213411y y my n my n -=++++，()()()()221212434410my y mn m y y n ++++++=，()()()222224484344104141n mn m mn m n m m --+++++=--，220n n --=，所以1n =-（舍去），或2n =，所以l 的方程为2x my =+，过定点()2,0解法二：设()11,M x y ，()22,N x y ，若直线l 的斜率为0，则直线1MA 与2NA 的交点在y 轴上，与已知矛盾，故设直线l 的方程为：()1x my n n =+≠±，由2244x my n x y =+⎧⎨-=⎩得，()222418440m y mny n -++-=，()22Δ16410m n =+->，则122841mn y y m -+=-，21224441n y y m -⋅=-，所以()()2121212n y y mny y-+=-⋅，即()()2121212n y y my y n-+=-，又直线1MA 的方程为()1111y y x x =++，直线2NA 的方程为()2211y y x x =--，联立直线1MA 与直线2NA 的方程，可得()()12121111y y x x x x +=-+-，又点S 在直线12x =上，故()()2112131y x y x +=--，所以()()()()()()21211121212121111111y x y my n my y n y y x y my n my y n y +++++==-+-+-()()()()()()()()()()21212222121211111122111122n y y n y y n y y n nnn y y n n y y y n y nn-+-+-++-+==⋅++--+--+-()()()()2121111131111n y n y n n n n y n y n +--++=⋅==---++--，故2n =，直线l 的方程为2x my =+，过定点()2,0.19.若数列{}n c 共有()*,3m m m ∈≥N 项，对任意()*,i i i m ∈≤N 都有1i m i c c S +-=（S 为常数，且0S >），则称数列{}n c 是S 关于m 的一个积对称数列.已知数列{}n a 是S 关于m 的一个积对称数列.（1）若3m =，11a =，22a =，求3a 的值；（2）已知数列{}n b 是公差为()0d d ≠的等差数列，111b =-，若10m =，2n n nb a b +=，求d 和S 的值；（3）若数列{}n a 是各项均为正整数的单调递增数列，求证：12112153m m m m a a a a Sa a a a --++⋅⋅⋅++<.【答案】（1）4（2）1,2S d ==（3）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得22S a a =，从而求出3a ；（2）依题意11i ia a S -=，即可得到21311i ii ib b S b b +--⨯=，再结合等差数列通项公式得到()2222222222111111121311109d i d i d b b d S d i d i d b b d -++++=-+-++，再根据对应系数相等得到方程组，解得即可；（3）依题意可得()1222111,31211m i i i a S S S S i m m a a i i i i -+⎛⎫=≤<=-<≤≥ ⎪--+⎝⎭，再利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】依题意224S a a ==，又13a a S =，所以314Sa a ==.【小问2详解】法一：由10m =知对任意i ()*,10i i ∈≤N 都有11i i a a S -=，即()()()()112131*********i i i i b i d b i db b S b b b i d b i d+--+++-⨯=⨯=+-+-，所以()()222112221112111310119b i i d b d S bi i db d++-+=+-+-+，所以()2222222222111111121311109d i d i d b b d S d i d i d b b d -++++=-+-++，所以()22222222111111111213109d d S d d S d b b d S d b b d ⎧-=-⎪⎪=⎨⎪++=-++⎪⎩，因为0d ≠，111b =-，所以2112240S d b d =⎧⎨+=⎩，即12S d =⎧⎨=⎩.法二：当1,2i =时由11029S a a a a ==得31241111029b b b b S b b b b =⨯=⨯，所以1111111121131098b d b d b d b d b b d b d b d++++⨯=⨯+++，即()()()()22222221111111110161211122710b b d db b d d b b d d b b d ++⨯++=++⨯+，令21110p b b d =+，22111211q b b d d =++，则()()221616p d q q d p +=+，因为0d ≠，111b =-，所以p q =，2221111101211b b d b b d d +=++，即2d =，1S =，当110i ≤≤时都有()()()()2131111112111212112111210i i i i i i i i b b a a b b i i +----++-+-=⨯=⨯-+--+-92132113292i i S i i-+-=⨯==-+-，所以2d =，1S =成立.【小问3详解】由已知1m a a S =，21m a a S -=，…，1i m i a a S +-=，所以()1222111,31211m i i i a S S S S i m m a a i i i i -+⎛⎫=≤<=-<≤≥ ⎪--+⎝⎭，所以112222*********m m m a a a S a a a m -⎛⎫++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭1111111111114224354611S m m ⎡⎤⎛⎫<++-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦1111111111115142231142233S S S m m ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫<+++--<+++= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即12112153m m m m a a a a S a a a a --++⋅⋅⋅++<.【点睛】关键点点睛：对于新定义型问题，关键是理解定义，第三问关键是利用放缩法得到()1222111,31211m i i i a S S S S i m m a a i i i i -+⎛⎫=≤<=-<≤≥ ⎪--+⎝⎭，再由裂项相消法求和.。
四川省自贡市2023届高三下学期第三次诊断性考试数学(文)试题
故选：D.
6．B
【分析】由等比数列及已知，要Tn 为递增数列只需 a1qn1 1 在 n ，结合 a1 的符号，再根据充分必要性的定义即可得答案.
【详解】由题设
Tn Tn1
an
a1qn1 且 n
2
，要Tn 为递增数列，只需
a1q n 1
2 ，显然 a1q
1，即T2
T1 ，不满足；
a1 1 ，则 a1qn1 1 在 n 2 上恒成立，满足.
所以Tn 为递增数列有 a1 1 且 q 1 .
所以，“数列Tn 为递增数列”是“ a1 0 且 q 1 ”的充分不必要条件.
故选：B.
答案第 2 页，共 18 页
7．C 【分析】对 K 、 H 、 G 、 B 四个点逐一进行分析，找出棱柱中与平面 PEF 平行的棱的条数， 即可判断． 【详解】解：取 AC 的中点 M ，连接 EM ， MK ， KF ， EF ，如图所示：
1在
n
2
上恒成
立，
当 q 0 ，不论 a1 取何值，总存在 a1qn1 0 ，不满足要求；
当0 q 1，
a1 0 ，则 a1qn1 0 ，不满足要求；
a1 0 ，总存在 0 a1qn1 1，不满足要求；
当q 1，
a1 0 ，则 a1qn1 0 ，不满足；
0
a1
1，若 a1
1，q= 3
1．A
参考答案：
【分析】利用复数的除法化简复数 z ，利用复数的模长公式可求得 z 的值.
【详解】由复数的四则运算可得
z
21 i
1 i
1
21 i2 1 i1 i
1
1
i2
1
1
高三数学第三次调研测试试题含解析 试题
普通中学2021届高三数学第三次调研测试试题〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求出，那么可求。
【详解】由题意知，所以，所以，应选C【点睛】此题考察一元二次不等式的解法及集合的并集运算，属根底题。
〔为虚数单位〕是由瑞士著名数学家欧拉创造的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥〞，表示的复数位于复平面内〔〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据新定义，化简即可得出答案．【详解】∵cos i sin i，∴i)=i，此复数在复平面中对应的点〔，〕位于第一象限，应选：A．【点睛】此题考察了复数的除法运算及复数的几何意义，涉及三角函数求值，属于根底题．的终边经过点，那么的值是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出点P到原点的间隔，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可．【详解】角α的终边经过点p〔﹣1，〕，其到原点的间隔r 2故sinα，cosα∴sinαcosα应选：B．【点睛】此题考察了任意角三角函数的定义，考察了二倍角公式，属于根底题．4.“成等差数列〞是“〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，，，成等差数列,而 ,但1,3,3,5不成等差数列,所以“，，，成等差数列〞是“〞的充分不必要条件,选A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“假设那么〞、“假设那么〞的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒〞为真，那么是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或者结论是否认式的命题，一般运用等价法．3．集合法：假设⊆，那么是的充分条件或者是的必要条件；假设＝，那么是的充要条件．5.正三棱锥的三视图如下列图所示，那么该正三棱锥的外表积为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通过三视图复原出立体图，通过条件可求得底面正三角形边长为，那么底面积为，侧棱长为，那么可求侧面积为，所以可得外表积.【详解】如下图，底面正三角的高AD=3，所以，AB=AC=BC=，所以,又SH为侧视图中的高，所以SH=3，那么,那么在等腰中,所以侧面积为，所以外表积为，应选A.【点睛】此题考察三视图求几何体的外表积，准确的复原出立体图是解题的关键，属中档题.的焦点到渐近线间隔与顶点到渐近线间隔之比为，那么双曲线的渐近线方程为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意知,由与相似〔O为坐标原点〕可得，再由，可得，进而可得渐近线方程.【详解】如下图，双曲线顶点为A，焦点为F，过A,F作渐近线的垂线，垂足为B，C，所以与相似〔O为坐标原点〕，又由题意知，所以，即，又因为，所以，即所以渐近线方程为：，应选A.【点睛】此题考察双曲线的几何性质，需灵敏运用三角形相似及之间的关系，属根底题.7.是圆内过点的最短弦，那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出圆的HY方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进展求解即可．【详解】圆的HY方程为〔x﹣3〕2+〔y+1〕2＝10，那么圆心坐标为C〔3，﹣1〕，半径为，过E的最短弦满足E恰好为C在弦上垂足，那么CE，那么|AB|，应选：D．【点睛】此题主要考察圆的HY方程的求解，以及直线和圆相交的弦长问题,属于中档题．8.执行如下图的程序框图，那么输出的值是〔〕A. B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】由中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得s＝3，i=1满足条件i，执行循环体s＝3+，i=2满足条件i，执行循环体s＝3++，i=3，满足条件i，执行循环体，s＝3++，i=4，不满足条件i退出循环，输出s的值是s＝．应选：C．【点睛】此题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是根底题．的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为，那么函数的单调递增区间为〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意知，然后利用正弦函数的单调性即可得到单调区间。
甘肃省2023届高三第三次高考诊断考试理科数学试题(含答案)
甘肃省2023届高三第三次高考诊断考试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．21x x >，2212s s >C ．21x x =，2212s s <4．平行四边形ABCD 中，5AB =，．．．．．已知函数()sin f x ω⎛= ⎝的最小正周期为T ，ππ2T <<的图象关于直线5π9x =对称，的图象向右平移()0m m >个单位长度后图象A．3n>8．半正多面体亦称“体现了数学的对称美由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示）则（）A．2AB=C．与AB所成的角是π3的棱共有9．已知椭圆2222:1x yCa b+=C相交于A，B两点，若四边形A．31-B．A ．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第个数B ．第2023行中第1012个数和第1013个数相等C ．记“杨辉三角”第n 行的第i 个数为i a ，则()11123n i ni i a +-==∑D ．第34行中第15个数与第16个数之比为2:311．已知A ，B 是圆22:4O x y +=上的两个动点，若点()1,2P 在以AB 为直径的圆上，15．若关于x 的不等式()2ln ln 4x k x x -<+对任意的()1,x ∈+∞恒成立，则整数k 的最大值为______.16．如图，圆锥PO 的底面直径和高均是a ，过PO 上一点O '作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为______.三、解答题(1)证明：BD PC ⊥；(2)若6PA =，PB AB =19．为提升本地景点的知名度、美誉度，各地文旅局长纷纷出圈，作为西北自然风光与丝路人文历史大集合的青甘大环线再次引发热议a参考答案：9．C【分析】根据题意可知，AF心率定义，即可求得椭圆的离心率【详解】显然直线3y x=与所以2π3AOF∠=，10．D【分析】根据二项式定理和二项式系数的性质判断各选项的对错【详解】第6行的第7个数为1，第因为点()1,2P 在以AB 为直径的圆上，所以所以12AM BM PM AB ===，连接AO ，BO ，MO ，则AO BO =所以2222OM AM OM PM +=+所以若存在直线y b =，其与两条曲线结合图象可得12,x x 是直线y b =与23,x x 是直线y b =与()y g x =图象的两个交点的横坐标，()11,e x x f x b ⎧==⎪画出可行域如图中阴影部分（含边界）所示，平移直线当43z x y =+表示的直线经过点A 时z 取得最大值，联立231010x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩，即()4,3A ，所以max 443325z =⨯+⨯=.则()0,0,3P ，()1,0,0B ，易知平面ABD 的一个法向量为设平面PAB 的一个法向量为330,n PA y z ⎧⋅=--=）过焦点F 时，,P Q 到C 的准线,M N ，PQ 中点为H ，HJ PQ 的中点H 到2px =-的中点到y 轴的距离为4，∴y ）()():20=+≠y k x k ，即x =n =，则直线:2l x ny =-，设228ny y x =-=，得28160y ny -+=8y n =，16y y =.。
江苏省南通市2023届高三下学期第三次调研数学模拟试卷及答案
南通市2023届高三第三次调研测试数学模拟试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。
3.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷共6页，22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若“()0,πsin2sin 0x x k x ∃∈-，＜”为假命题，则k 的取值范围为().A.(,2]-∞- B.(,2]-∞ C.(,2)-∞- D.(,2)-∞2.复数22021202212i 3i 2022i 2023i z =+++++ 的虚部为().A.1012B.1011- C.1011D.20223.平面向量a，b满足，240a a b -⋅-=，||3b =，则||a最大值是().A.3B.4C.5D.64.某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在随机变量X 的期望()E X 和方差()D X 存在但其分布未知的情况下，对事件“|()|X E X ε- ”的概率作出上限估计，其中ε为任意正实数．切比雪夫不等式的形式为：(|()|)((),)P X E X f D X εε- ，其中((),)f D X ε是关于()D X 和ε的表达式．由于记忆模糊，该同学只能确定((),)f D X ε的具体形式是下列四个选项中的某一种．请你根据所学相关知识，确定该形式是().A.2()D X ε⋅ B.21()D X ε⋅ C.2()D X ε D.2()D X ε5.已知三棱锥P ABC -，Q 为BC 中点，2PB PC AB BC AC =====，侧面PBC ⊥底面ABC ，则过点Q 的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为().A.5ππ,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.2π,2π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]π,2π6.抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，以AB 为直径的圆C 交y 轴于,M N 两点，O 为坐标原点，则MNC △的内切圆直径最小值为().A.8- B.6- C.4- D.2-7.已知宽为a 的走廊与另外一条走廊垂直相连，若长为8a 的细杆能水平地通过拐角，则另外一条走廊的宽度至少是().A.B.()1a- C. D.8.函数()2023f x xx =，若方程()()2sin 0x x f x ax +-=只有三个根123,,x x x ，且123x x x ＜＜，则213sin 2023x x x +的取值范围是().A.()0,+∞ B.()2023,+∞ C.(),2023-∞- D.(),0-∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.直线:0l mx y +-=与圆224x y +=交于,A B 两点，P 为圆上任意一点，则().A.线段AB 最短长度为B.AOB △的面积最大值为2C.无论m 为何值，l 与圆相交D.不存在m ，使APB ∠取得最大值10.正方体ABCD A B C D -''''的边长为2，Q 为棱AA '的中点，点,M N 分别为线段,C D CD ''上两动点(含端点)，记直线,QM QN 与面ABB A ''所成角分别为,αβ，且22tan tan 4αβ+=，则().A.存在点,M N 使得//MN AA 'B.DM DN ⋅为定值C.存在点,M N 使得32MN =D.存在点,M N 使得MN CQ⊥11.椭圆曲线232y ay x bx cx d +=+++是代数几何中一类重要的研究对象.则关于椭圆曲线232:2453W y y x x x +=-+-，下列结论正确的有().A.W 关于直线1x =-对称B.W 关于直线1y =-对称C.W 上的点的横坐标的取值范围为[)1,+∞D.W 上的点的横坐标的取值范围为{}[)12,⋃+∞12.1979年，李政道博土给中国科技大学少年班出过一道智趣题：“5只猴子分一堆桃子.怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉.准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃1个桃子.然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了;第2只猴子又爬起来，吃掉1个桃子后.也将桃子分成5等份，藏起自己的一份睡觉去了：以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”.下列说法正确的是().A.若第n 只猴子分得n b 个桃子(不含吃的)，则1541(2,3,4,5)n n b b n -=-=B.若第n 只猴子连吃带分共得到n a 个桃子，则{}(1,2,3,4,5)n a n =为等比数列C.若最初有3121个桃子，则第5只猴子分得256个桃子(不含吃的)D.若最初有k 个桃子，则4k +必为55的倍数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.随机变量1~2,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()21X σ+=__________.14.函数32()(0)f x ax bx cx d a b =++++<在R 上是增函数，则ca b+的最大值为__________.15.已知0122C C C C (1)n n n n n n n x x x x ++++=+ ，则012111C C C C 231n n n n n n ++++=+ __________.16.将函数()π()2sin 32f x x ϕϕ⎛⎫=+≤⎪⎝⎭的图象向右平移2π9个单位长度，得到的函数()g x 的图象关于点11π,018⎛⎫-⎪⎝⎭对称，且()g x 在区间,m m ϕϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ϕ=__________,实数m 的取值范围是__________.（本小题答对一空得2分，答对两空得5分）四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤，只有答案没有过程的不能得分.17.（10分）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为(01).p p <<现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束;若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次.记X 为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为(0)a a >元.（1）①写出X 的分布列;②证明：1();E X p<（2）某公司意向投资该产品.若0.25p =，且试验成功则获利5a 元，请说明该公司如何决策投资.18.（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，14AB AA ==，2BC =，123A C =，AC BC ⊥，160.A AB ︒∠=（1）证明：BC ⊥平面11ACC A ；（2）设点D 为1CC 的中点，求直线1A D 与平面11ABB A 所成角的正弦值．设{}n a 是各项均为正数的等差数列，11a =，且31a +是2a 和8a 的等比中项；记{}n b 的前n 项和为n S ，*22().n n b S n N -=∈（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式;（2）设数列{}n c 的通项公式2,,n n n a n c b n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数①求数列{}n c 的前21n +项和21n T +；②求(1)21ini i i a c -=∑.20.（12分）已知ABC △，D 为边AC 上一点，1AD =， 2.CD =（1）若34BA BD ⋅= ，0BC BD ⋅=，求ABC △的面积；（2）若直线BD 平分ABC ∠，求ABD △与CBD △内切圆半径之比的取值范围.双曲线C ：2213y x -=，点00(,)A x y 是C 上位于第一象限的一点，点A 、B 关于原点O 对称，点A 、D 关于y 轴对称．延长AD 至E 使得1||||3DE AD =，且直线BE 和C 的另一个交点F 位于第二象限中．（1）求0x 的取值范围；（2）证明：AE 不可能是BAF ∠的三等分线．22.（12分）已知函数()ex x f x =.（1）求曲线()y f x =在()()e,e f --处的切线方程；（2）若120nii i xx ==∑,＞，证明：()212e nni i f x -=≤∑.南通2023高三三模考前模拟数学1.若“(0,)x π∃∈，”为假命题，则k 的取值范围为()A.(,2]-∞-B.(,2]-∞ C.(,2)-∞- D.(,2)-∞【答案】A【解析】【分析】本题主要考查命题的真假，函数的恒成立问题，求函数的最值，属于中档题．由题意可得对任意(0,)x π∈，，即，求得2cos x 的范围，可得k 的取值范围．【解答】解： “(0,)x π∃∈，”为假命题，∴对任意(0,)x π∈，，即对任意(0,)x π∈，，，2k ∴-，故选：.A 2.已知i 为虚数单位，则复数22021202212i 3i 2022i 2023i =+++++ 的虚部为A.1012B.1011- C.1011D.2022【答案】A【解析】【分析】本题考查复数的四则运算，考查错位相减法求和，属于中档题.利用错位相减法求和求出复数z 求解即可.【解答】解：22021202212i 3i 2022i 2023i z =+++++ ，所以23202220232320222023z i i i i i i ⋅=+++++ ，所以220222023(1)12023i z i i i i -=++++-20232023120231i i i-=--20232024i i i=+=所以2024(2024)(1)1(1)(1)i i i z i i i +==--+20242024101210122i i-==-+所以复数z 的虚部为为1012.故选A3.平面向量a ，b满足，，||3b = ，则||a最大值是()A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了平面向量数量积的定义及性质的简单应用，属于中档题．先设向量a，b 的夹角为θ，由已知结合向量数量积的定义可得2||443cos ||||||a a a a θ-==- ，结合向量夹角的范围可求.【解答】解：设向量a ，b的夹角为θ，240a ab -⋅-=，||3b = ，243||cos a a b a θ∴-=⋅=，2||443cos ||||||a a a a θ-∴==-，且0a ≠ ，0θπ ，1cos 1θ∴-，则，即，解可得，，即||a最大值是4.故选：.B 4.某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在随机变量X 的期望()E X 和方差()D X 存在但其分布未知的情况下，对事件“|()|X E X ε-”的概率作出上限估计，其中ε为任意正实数．切比雪夫不等式的形式为：(|()|)((),)P X E X f D X εε-，其中((),)f D X ε是关于()D X 和ε的表达式．由于记忆模糊，该同学只能确定((),)f D X ε的具体形式是下列四个选项中的某一种．请你根据所学相关知识，确定该形式是A.2()D X ε⋅ B.21()D X ε⋅ C.2()D X ε D.2()D X ε【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了切比雪夫不等式，属于中档题.利用期望和方差的关系可得答案.【解答】解：因为(|()|)((),)P X E X f D X εε-，所以则所以((),)f D X ε的具体形式是2().D X ε故选：.D 5.已知三棱锥P ABC -，Q 为BC 中点，2PB PC AB BC AC =====，侧面PBC ⊥底面ABC ，则过点Q 的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为()A.5[,]3ππ B.2[,23ππ C.2[,2]3ππ D.[,2]ππ【答案】A【解析】【分析】本题考查空间几何体的外接球问题和截面问题，考查空间想象能力，难度较大.【解答】解：连接PQ ，QA ，由2PB PC AB BC AC =====，可知：ABC 和PBC 是等边三角形，设三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，所以球心O 到平面ABC 和平面PBC 的射影是ABC 和PBC 的中心F ，E ，PBC 是等边三角形，Q 为BC 中点，所以PQ BC ⊥，又因为侧面PBC ⊥底面ABC ，侧面PBC ⋂底面ABC BC =，所以PQ ⊥底面ABC ，而AQ ⊂底面ABC ，因此PQ AQ ⊥，所以OFQE 是矩形.ABC 和PBC 是边长为2的等边三角形，所以两个三角形的高h ==，在矩形OFQE 中，132233333OE FQ h AE h =====，连接OA ，所以3OA ===，设过点Q 的平面为α，当OQ α⊥时，此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，333OQ h =====，因此圆Q 的半径为：1==，所以此时面积为21;ππ⋅=当点Q 在以O 为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：2155;33ππ⋅=所以截面的面积范围为：5[,]3ππ，故选.A 6.B 【分析】根据抛物线、圆以及导数相关知识求解即可.7.D 【分析】根据解三角以及导数相关知识求解即可.8.D 【分析】根据观察法以及函数奇偶性得到2130,x x x ==-带入即可.9.CD 【分析】斜率一定存在，所以AB 错误，D 正确，直线所过定点在圆内故C 正确。
高三数学第三次调研考试试题含解析试题
七〔、、、、、、〕2021届高三数学第三次调研考试试题〔含解析〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共计70分．，，那么____．【答案】【解析】【分析】直接由补集运算得解。
【详解】因为，所以【点睛】此题主要考察了补集的运算，属于根底题。
〔i是虚数单位〕是纯虚数，那么实数的值是___．【答案】-3【解析】【分析】整理为，利用它是纯虚数列方程，问题得解。
【详解】因为因为复数是纯虚数，所以解得：【点睛】此题主要考察了复数的除法运算及复数的有关概念，考察计算才能，属于根底题。
3.下列图是一个算法流程图．假设输出的值是4，那么输入x的值是____．【答案】-1【解析】【分析】对的范围分类，利用流程图列方程即可得解。
【详解】当时，由流程图得：令，解得：，满足题意。
当时，由流程图得：令，解得：，不满足题意。
故输入的值是：【点睛】此题主要考察了流程图知识，考察分类思想及方程思想，属于根底题。
4.一组数据6，6，9，，的平均数是，且，那么该组数据的方差为____．【答案】【解析】【分析】由这组数据6，6，9，，的平均数是可求得，结合可求得，再利用方差公式计算即可得解。
【详解】因为数据6，6，9，，的平均数是所以，整理得：又，解得：或者此时都等于所以该组数据的方差为【点睛】此题主要考察了平均数的计算公式及方差计算公式，还考察了方程思想，属于根底题。
5.一只口袋装有形状、大小都一样的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，那么2只球都是白球的概率为____．【答案】【解析】【分析】计算出“从中1次随机摸出2只球〞一共有种不同的结果，“2只球都是白球〞有种不同的结果，再利用古典概型概率计算公式得解。
【详解】由题可得：“从中1次随机摸出2只球〞一共有种不同的结果，“摸出的2只球都是白球〞有种不同的结果.所以“从中1次随机摸出2只球，那么2只球都是白球〞的概率为【点睛】此题主要考察了组合知识，还考察了古典概型概率计算公式，属于根底题。
广东省惠州市2023届高三第三次调研考试数学试题含答案 (1)
惠州市2023届高三第三次调研考试试题数 学全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。
1．已知集合{0,1,2}A =，11,B x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，且B A ⊆，则实数x =（ ）A ．12B ．1C ．12或1 D ．02．数列{}n a 为等差数列，4a 、2019a 是方程2430x x -+=的两个根，则{}n a 的前2022项和为（ ）A. 1011B. 2022C. 4044D. 80883．“2m >”是“方程22121x y m m +=-+表示双曲线”的（ ）条件 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．已知实数0a b c >>>，则下列结论一定正确的是（ ）A. a a b c >B. 1122a c⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 11a c <D. 22a c > 5．已知互不重合的三个平面α、β、γ，其中a αβ= ，b βγ=，c γα=，且ab P =，则下列结论一定成立的是（ ）A. b 与c 是异面直线B. a 与c 没有公共点C. bc D. b c P =6．若函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在R 上为减函数，则函数log (||1)a y x =-的图象可以是（ ）A. B. C. D.7．在“ 2，3，5，7，11，13 ”这6个素数中，任取2个不同的数，这两数之和仍为素数的概率是（ ） A.15 B. 310 C. 25 D. 128．已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin ax x bx <<恒成立，则b a -的最小值为（ ） A. 1 B.2π C. 12π- D. 21π-二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。
2024届重庆市普通高中高三第三次教学质量检测试题考试数学试题
2024届重庆市普通高中高三第三次教学质量检测试题考试数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1ln6,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．1ln3,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．1ln3,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．1ln6,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦2．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A ．36B ．45C ．36-D ．45- 3．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．4．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1D ．1-6．己知函数()()1,0,ln ,0,kx x f x x x ->⎧=⎨--<⎩若函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()0,∞+D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭7．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ） A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形8．已知集合2{|1}A x x =<，{|ln 1}B x x =<，则 A ．{|0e}A B x x =<< B ．{|e}A B x x =< C ．{|0e}A B x x =<<D ．{|1e}AB x x =-<<9．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =（ ）A ．{2}B ．{1,0}-C ．{}1-D ．{1,0,1}-10．已知i 为虚数单位，实数,x y 满足(2)x i i y i +=-，则||x yi -= ( ) A ．1B ．2C ．3D ．511．如图，点E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A ．在点F 的运动过程中，存在EF //BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值 12．51(1)x x-+展开项中的常数项为 A ．1B ．11C ．-19D ．51二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
吉林省吉林市普通中学2022-2023学年高三下学期第三次调研测试数学试题
吉林省吉林市普通中学2022-2023学年高三下学期第三次调研测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}13A x x =−≤≤，{}2,R xB y y x ==∈，则下图阴影部分所对应的集合为（ ）A ．{}1x x <−B ．{}1x x ≤−C ．{0x x ≤或3}x >D ．{}03x x <≤2．已知圆C ：22220x y x y +−+=，直线l ：10x y −+=，则圆心C 到直线l 的距离为（ ）A ．12B C ．32D ．23．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（ ） A ．22B ．24C ．25D ．264．已知直线,a b 与平面α，β，γ，能使αβ⊥的充分条件是（ ） A ．αγ⊥，βγ⊥ B ．a α⊥，a β⊥ C ．a β⊥，a α⊂D ．b αβ=，a α⊂，a b ⊥5．“甲流”是甲型流感的简称，是由甲型流感病毒感染引起的急性呼吸道传染病，可呈季节性流行，北半球多在冬春季节发生．近期，我国多地纷纷进入“甲流”高发期，某地,A B 两所医院因发热就诊的患者中分别有25%,19%被确诊为“甲流”感染，且到A 医院就诊的发热患者人数是到B 医院的三倍．现从到这两所医院就诊的发热患者中任选一人，则此人未感染“甲流”的概率是（ ） A ．0.78B ．0.765C ．0.59D ．0.2356．已知110b a<<，则下列不等式不一定成立的是（ ）A ．a b <B ．2b aa b+>C ．11a b a b−<− D ．()ln 0b a −>7．如图，菱形纸片ABCD 中，π3A ∠=，O 为菱形ABCD 的中心，将纸片沿对角线BD 折起，使得二面角A BD C −−为π3，,E F 分别为,AB CD 的中点，则折纸后cos EOF ∠=（ ）A ．18B ．12C ．58−D ．08．已知不等式22e ln ln x x λλ+≥在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数λ的取值范围是（ ） A ．10,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,4e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,2e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D ．1,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、多选题9．从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，下列说法正确的是（ ） A ．若4人中男生女生各选2人，则有18种选法 B ．若男生甲和女生乙必须在内，则有12种选法 C ．若男生甲和女生乙至少有1人在内，则有15种选法 D ．若4人中既有男生又有女生，则有34种选法10．已知复数()2111i z m m =−++，2cos 2isin z θθ=+，下列说法正确的是（ ）A ．若1z 纯虚数，则1m =B ．若2z 为实数，则πk θ=，Z k ∈C ．若12z z =，则0m =或43m =−D ．若10z ≥，则m 的取值范围是(][),11,−∞−⋃+∞11．祖暅是我国南北朝时期数学家，天文学家，他提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异．”这就是祖暅原理，比西方发现早一千一百多年．即：夹在两个平行平面之间的两几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，曲线C ：2y x =，过点()1,0作曲线C 的切线l （l 的斜率不为0），将曲线C 、直线l 、直线y =1及x 轴所围成的阴影部分绕y 轴旋转一周所得的几何体记为Ω，过点()()0,01t t ≤≤作Ω的水平截面，所得截面面积为S ，利用祖暅原理，可得出Ω的体积为V ，则（ ）A ．()21π014t S t ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭B ．()21π014t S t ⎛⎫=−≤≤ ⎪⎝⎭C ．15π16V =D ．37π48V =12．设定义在R 上的可导函数()f x 与()g x 导函数分别为()f x '和()g x '，若()()212f x g x x =−+，()1f x +与()g x 均为偶函数，则（ ）A ．()11g '=B ．()20220323g =−'C ．()24f '=−D ．991198100i f i =⎛⎫= ⎪⎝'⎭∑三、填空题13．()()532x x y +−的展开式中，42x y 的系数是______．14．已知a ，b 是单位向量，且0a b ⋅=．若向量c 满足21c a b −−=，则c 的最大值是______．15．规定：{},,Max ,,.a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩设函数(){}()Max sin ,cos 0f x x x ωωω=>，若函数()f x 在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则实数ω的取值范围是______．四、双空题16．已知椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过焦点2F 的直线l 与椭圆C相交于,A B 两点，椭圆C 在,A B 两点处的切线交于点P ，则点P 的横坐标为______，若12F F P 的垂心为点H ，则PH 的最小值是______．五、解答题17．已知数列{}n a 满足22,32,n n n a n n −⎧=⎨−⎩为奇数为偶数{}n a 的前n 项和为n S ． (1)求1a ，2a ，并判断1024是数列中的第几项； (2)求21n S −．18．如图，圆O 为ABC 的外接圆，且O 在ABC 内部，1OA =，2π3BOC ∠=．(1)当π2AOB ∠=时，求AC ； (2)求图中阴影部分面积的最小值．19．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABFE 和四边形CDEF 均是等腰梯形，底面ABCD 为矩形，AC 与BD 的交点为O ，//EF 平面ABCD ，且EF 与底面ABCD 的距离24AE ED,AB EF ,AD ====(1)求证：FO ∥平面ADE ；(2)在线段BF 上是否存在一点M ，使得CM 与平面ADE ．若存在，请确定点M 的位置；若不存在，请说明理由．20．2022年11月20日，卡塔尔足球世界杯正式开幕，世界杯上的中国元素随处可见．从体育场建设到电力保障，从赛场内的裁判到赛场外的吉祥物都是中国制造，为卡塔尔世界杯提供了强有力的支持．国内也再次掀起足球热潮．某地足球协会组建球队参加业余比赛，该足球队教练组为了考查球员甲对球队的贡献，作出如下数据统计（甲参加过的比赛均分出了输赢）：(1)根据小概率值0.005α=的独立性检验，能否认为该球队赢球与甲球员参赛有关联； (2)从该球队中任选一人，A 表示事件“选中的球员参赛”，B 表示事件“球队输球”．()()||P B A P B A 与()()||P B A P B A 的比值是选中的球员参赛对球队贡献程度的一项度量指标，记该指标为R ．①证明：()()()()||||P A B P A B R P A B P A B =⋅； ②利用球员甲数据统计，给出()|P A B ，()|P A B 的估计值，并求出R 的估计值．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ−=++++．参考数据：21．已知点()0,1F ，动点M 在直线:1l y =－上，过点M 且垂直于x 轴的直线与线段MF 的垂直平分线交于点P ，记点P 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)已知圆()2224x y ++=的一条直径为AB ，延长,AO BO 分别交曲线C 于,S T 两点，求四边形ABST 面积的最小值．22．已知函数()e xf x =（e 是自然对数的底数），()sing x x =．(1)若函数()()()m x f x g x =，求函数()m x 在()0,π上的最大值．(2)若函数()y g x =的图象与直线()0y kx k =>有且仅有三个公共点，公共点横坐标的最大值为α，求证：()()221sin cos cos321αααααα+=+−．。
安徽省蚌埠市2023届高三第三次教学质量检查考试数学试题及参考答案
安徽省蚌埠市2023届高三年级第三次教学质量检查考试数学试卷及参考答案本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.设集合{}1,0,2,3,5A =-，{B x y ==，则A B = （）A.{}0,2 B.{}1,0,2,3- C.{}5 D.{}1,3,5-2.已知i 为虚数单位，复数z 满足()21i 2z -=，则2023z =（）A.1-B.1C.i- D.i3.已知tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α=（）A.2- B.12-C.12D.24.直线:10l x my m ++-=与圆()()22:129C x y -+-=的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定5.已知某地区中小学生人数如图①所示，为了解该地区中小学生的近视情况，卫生部门根据当地中小学生人数，用分层抽样的方法抽取了10%的学生进行调查，调查数据如图②所示，则估计该地区中小学生的平均近视率为（）A.50%B.32%C.30%D.27%6.若椭圆22:12x y C m +=的离心率为63，则椭圆C 的长轴长为（）A.6B.3或C.D.或7.函数()e 1cos e 1x xf x x -=⋅+的图象大致为（）8.在ABC △中，D 为BC 上一点，且3BD DC = ，ABC CAD ∠=∠，23BAD π∠=，则tan ABC ∠=（）A.13B.3C.3D.5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则下列结论正确的是（）A.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B.数列{}222n n S S +-是等差数列C.数列222n n T T +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列D.数列{}lg n T 是等差数列10.已知F 是抛物线24y x =的焦点，()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线上相异两点，则以下结论正确的是（）A.若126x x +=，那么8AB =B.若3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为12C.若FAB △是以F 为直角顶点的等腰三角形，则4AB =D.若2AF FB =，则直线AB 的斜率为±11.已知AB 为圆锥SO 底面圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的一点，E 为SA 的中点，5SA =，圆锥SO 的侧面积为15π，则下列说法正确的是（）A.圆O 上存在点F 使EF ∥平面SBCB.圆O 上存在点F 使AF ⊥平面SBCC.圆锥SO 的外接球表面积为62532πD.的正四面体在圆锥SO 内可以任意转动12.已知1a b >>，则下列结论正确的是（）A.ea ba b-> B.()ln 1ln 1b a a b +>+C.()()log 1log 1a b a b +>+ D.b aa ab b>三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()1,2a = ，()2,b m = ，()3a a b ⊥-，则m =______.14.已知()()3423401234212x x a a x a x a x a x --+=++++，则024a a a ++=______.15.已知实数0a b >>，且5a b -=，则1112a b++-的最小值为______.16.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当10x -≤≤时，()12x f x m +=-，则当01x <≤时，()f x =______；若对[]0,1x ∀∈都有21224f x tx ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭，则实数t 的取值范围为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出说明文字、演算式、证明步骤.17.（本小题满分10分）某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计（1）根据所给数据完成上表，依据0.001α=的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知这两名男生进球的概率均为23，这名女生进球的概率为12，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数X 的分布列和数学期望.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.82818.（本小题满分12分）已知函数()()21cos cos02f x x x x ωωωω=+->.（1）若1ω=，求函数()f x 的最小正周期；（2）若()y f x =图象在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一条对称轴，求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围.已知数列{}n a 满足11a =，2121n n a a +=+，2212n n a a -=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12111n nT a a a =+++ ，求证：23n T <.20.（本小题满分12分）如图，在四面体ABCD 中，G 为ABC △的重心，E ，F 分别在棱BC ，CD 上，平面ABD ∥平面EFG.（1）求DFCF的值；（2）若AB ⊥平面BCD ，DC CB ⊥，且3AB BC CD ===，求平面EFG 与平面ACD 的夹角的大小.已知A ，B 是双曲线22:14x E y -=的左、右顶点，M 为双曲线上与A ，B 不重合的点.（1）设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅是定值；（2）设直线:1l x =与直线MA 交于点P ，l 与x 轴交于点S ，点Q 满足2QS SP =，直线BQ 与双曲线E 交于点N （与A ，B ，M 不重合）.判断直线MN 是否过定点，若直线MN过定点，求出该定点坐标；若直线MN 不过定点，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()e 1xf x =-，()()lng x x a =+，a ∈R .（1）若1a =，求证：()()f x g x ≥；（2）若函数()f x 与函数()g x 存在两条公切线，求实数a 的取值范围.参考答案一、单选题12345678BCCADDAD二、多选题9101112ABCBCDADAD三、填空题13.61-；14.54-；15.21；16.221+--x（2分）；⎥⎦⎤⎢⎣⎡81381，（3分）.四、解答题17.解：（1）2×2列联表如下：喜欢足球不喜欢足球合计男生6040100女生3070100合计90110200假设为0H ：该校学生喜欢足球与性别无关联.根据列联表中的数据，经计算得到()001.022828.101801821109010010030407060200x =>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ根据小概率值001.0=α的独立性检验，推断0H 不成立，即认为该校学生喜欢足球与性别有关.（2）依题意X 的所有可能取值为0，1,2,3，()181213102=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P ，()18531212131321212=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⨯⨯==C X P ，()9421322131322212=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⨯==C X P ，()92213232=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P .X 的分布列如下：X 0123P1811859492∴X 的数学期望()61192394218511810=⨯+⨯+⨯+⨯=X E .18.解：(1)∵()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=-+=62sin 2cos 212sin 2321cos cos sin 32πωωωωωωx x x x x x x f ∴函数()x f 的最小正周期πωπ==22T .（2）由⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈+62,662πωπππωx ，∴函数()x f 的图象在⎪⎭⎫⎝⎛40π，内有且仅有一条对称轴，∴23622ππωππ≤+<，即3832≤<ω，∴65643ππωππ≤+<，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛1,2164sin 8πωππf .19.解：（1）由题意12112212+=+=-+n n n a a a ，∴()1211212+=+-+n n a a ，∵0211≠=+a ，∴数列{}112+-n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴nn a 2112=+-，即1212-=-nn a ，而2221122-==+-n n n a a ，∴⎪⎩⎪⎨⎧--=++为偶数为奇数n n a n n n ,22,121221.（2）由（1）()()∑∑∑=++==----=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n i i i i n i i ni i i na a T 111112122121212231212311()()()()∑∑=+=++--=--<ni i ii n i i i i 1111112122312122233121131211213111<⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+=+∑n ni i i .20.解：（1）延长CG 交AB 于点H ，连接DH CH ，，∵G 为ABC ∆的重心，∴H 为AB 的中点，且32=CH CG ，∵平面ABD ∥平面EFG ，平面ABD ∩平面DH DCH =，平面EFG ∩平面FGDCH =∴DH FG ∥，∴32==CH CG CD CF ，∴21=CF DF .（2）∵AB ⊥平面BCD ，BCD CD BC 平面，⊂，∴BC AB ⊥，CD AB ⊥，∵ABC AB BC B AB BC AB CD CB CD 平面，，，⊂=⋂⊥⊥,，∴ABC CD 平面⊥.如图，以BA 为x 轴，BC 为y 轴，过B 与CD 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，由（1）同理可得BD EF ∥，则32==CB CE CD CF ，∴()()()010230003，，，，，，，，E F A ，()()()330030011，，，，，，，，D C G ，∴()()()3,0,00,0,1221=-=-=CD GE GF ，，，，，()033，，-=CA .设平面EFG 的一个法向量为()c b a m ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅=++-=⋅0022a GE m c b a GF m ，令1=b ，则10-==c a ，，则()1,1,0-=m ，设平面ACD 的一个法向量为()z y x n ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅==⋅03303y x CA n z CD n ，令1=x ，则1=y ，0=z ，则()0,1,1=n ，设平面EFG 与平面ACD 的夹角为θ，则21221cos =⨯==n m θ，∴平面EFG 与平面ACD 的夹角的大小为3π.21.解：（1）设()11,y x M ，由题意()()0202，，，B A -，且142121=-y x ，∴4141442221212121111121=--=-=-⋅+=x x x y x y x y k k .（2）设()11,y x M ，()22,y x N ，()t P ,1，BN 的斜率为3k ，由SP QS 2=知：()t Q 2,1-，∴()612122131=----==t tk k k k BQAP.由（1）知：4121=k k ，∴2332=k k.设()2,2,0:≠±≠≠+=n m m n my x MN ……①双曲线1422=-y x E ：……②联立①②得：()0424222=-++-n mny y m ，44422221221---=--=+m n y y m mn y y ，∴()()2322222121221132=-+-+=-⋅-=n my n my y y x y x y k k ，即()()()()0232323221212=-++-+-n y y n m y y m ，整理得710=n ，故直线MN 过定点⎪⎭⎫⎝⎛0710.22.解：（1）令()()x x f x F -=，则()001>⇒>-='x e x F x，∴()x F 在()0，∞-上单调递减，在()∞+，0上单调递增，∴()()00=≥F x F ，∴()x e x f x≥-=1，当且仅当0=x 时，等号成立，∴()()()1ln 1ln +≥=+x x x f ，当且仅当0=x 时，等号成立，即()()x g x x f ≥≥，当且仅当0=x 时，等号成立.（2）设()x f 与()x g 的公切线为l ，直线l 与()x f 和()x g 分别切于点()1,11-x ex A 和点()()a x x B +22ln ,，易知()x e x f ='，()ax x g +='1，由题意知，公切线()1:111-+-=xx e x x ey l ，()()a x x x ax y ++-+=222ln 1，∴()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=--+=a x x a x e x a x e x x 22212ln 11111，即()()()⎪⎩⎪⎨⎧+++=-+-=a x a a x e x a x x x 22121ln 1ln 1.()()ax aa x a x a x +++=+++2222ln ln 1，即()()01ln 122=-++-+a a x a x .令()()1ln 1-+-=a u u u G ，则()u G 在()∞+，0上存在两个零点.11∵()u u u u G 1ln -+='，()0112>+=''uu u G ，∴()u G '在()∞+，0上单调递增，又∵()01='G ，∴()u G 在()1,0上单调递减，在()∞+，1上单调递增.1°若1>a ，则()()011>-=≥a G u G ，∴()u G 在()∞+，0上没有零点.2°若1=a ，则()()01=≥G u G ，当且仅当1=u 时，等号成立.∴()u G 在()∞+，0上有且只有一个零点.3°若1<a ，令320-=a e u ，则21100<<<e u ，且0ln 0<u ，∴()()02112321ln 211ln 10000>=-+--=-+->-+-=a q a u a u u u G ，()011<-=a G ，()()()01ln 11ln 11ln 111111=-+>-++>-++=+-----a e a e a e e e G a a a a a ，∴()u G 在()∞+，0上存在两个零点.综上所述：1<a .。
高三数学第三次调研测试试题 文含解析 试题
普通中学2021届高三数学第三次调研测试试题文〔含解析〕本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
一、选择题.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合B，由此能求出A∪B．【详解】∵集合，∴A∪B＝．应选：C．【点睛】此题考察并集的定义及求法，涉及一元二次方程的解法，是根底题．〔为虚数单位〕是由瑞士著名数学家欧拉创造的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥〞，表示的复数位于复平面内〔〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据新定义，化简即可得出答案．【详解】∵cos i sin i，∴i)=i，此复数在复平面中对应的点〔，〕位于第一象限，应选：A．【点睛】此题考察了复数的除法运算及复数的几何意义，涉及三角函数求值，属于根底题．的终边经过点，那么的值是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出点P到原点的间隔，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可．【详解】角的终边经过点p〔﹣1，〕，其到原点的间隔r 2故cos，sin∴sin cos.应选：B．【点睛】此题考察了任意角三角函数的定义，考察了二倍角公式，属于根底题．，那么“为假命题〞是“为真命题〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】假设为假命题，那么为真命题，那么为真命题，假设为真命题，那么至少有一个为真命题，但不一定为真命题，无法断定为假命题，即“为假〞是“为真〞的充分不必要条件；应选A.5.某几何体的三视图如下列图所示，且该几何体的体积为2，那么正视图的面积〔〕A. 2B. 1C.D.【答案】A【解析】【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中底面BADC为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝2，BC ＝1，AD＝2，PA⊥底面ABCD．即可得出．【详解】由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中底面BACD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝2，BC＝1，AD＝2，PA⊥底面ABCD．∴2，解得x＝2．∴正视图的面积S2．应选A．【点睛】此题考察了由三视图复原几何体，考察了四棱锥的体积计算公式，考察了空间想象才能与计算才能，属于中档题．的实轴长是虚轴长的倍，那么双曲线的渐近线方程为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过2a=b，直接求解双曲线的渐近线方程即可．【详解】双曲线的实轴长2a、虚轴长：2b，∴2a=b，即a=b．∴渐近线方程为：y＝±x=．应选：C．【点睛】此题考察双曲线的简单性质，考察双曲线的渐近线方程，属于根底题．图像上相邻的最高点和最低点之间的间隔为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】的周期是2π，最大值为，最小值为﹣，即可求出相邻的最高点和最低点之间的间隔．【详解】的周期是2π，最大值为，最小值为﹣，∴相邻的最高点和最低点的横坐标之差为半个周期π，纵坐标之差为，∴图象上相邻的最高点和最低点之间的间隔是，应选：A．【点睛】此题考察了函数y＝A cos〔ωx+〕的图象与性质的应用问题，是根底题．8.是圆内过点的最短弦，那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出圆的HY方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进展求解即可．【详解】圆的HY方程为〔x﹣3〕2+〔y+1〕2＝10，那么圆心坐标为C〔3，﹣1〕，半径为，过E的最短弦满足E恰好为C在弦上垂足，那么CE，那么|AB|，应选：D．【点睛】此题主要考察圆的HY方程的求解，以及直线和圆相交的弦长问题,属于中档题．9.执行如下图的程序框图，那么输出的值是〔〕A. B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】由中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得s＝3，i=1满足条件i，执行循环体s＝3+，i=2满足条件i，执行循环体s＝3++，i=3，满足条件i，执行循环体，s＝3++，i=4，不满足条件i退出循环，输出s的值是s＝．应选：C．【点睛】此题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是根底题．10.圆锥的高为3，底面半径长为4，假设一球的外表积与此圆锥侧面积相等，那么该球的半径长为〔〕A. 5B.C. 9D. 3【答案】B【解析】【分析】由中圆锥的底面半径和高，求出圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式，求出圆锥侧面积，利用球的外表积与此圆锥侧面积相等，可得答案．【详解】∵圆锥的底面半径r＝4，高h＝3，∴圆锥的母线l＝5，∴圆锥侧面积S＝πrl＝20π，设球的半径为r，那么4πr2＝20π，∴r应选：B．【点睛】此题考察了圆锥侧面积公式的应用，纯熟掌握各种旋转体的几何特征，是解答的关键．11.中，角的对边分别为，且，，那么面积的最大值为〔〕A. B. 4 C. D.【答案】C【解析】【分析】通过正弦定理化简表达式，利用余弦定理求出C的大小，进而利用余弦定理可求ab≤9，利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】∵，由正弦定理，得a2＝〔a﹣b〕b+c2，即a2+b2﹣c2＝ab．①由余弦定理得cos C，结合0＜C＜π，得C．∵c＝4，∴由余弦定理可得：16＝a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab＝ab，当且仅当a＝b等号成立，∴S△ABC，即△ABC面积的最大值为．应选：C．【点睛】此题主要考察了三角形面积公式，正弦定理与余弦定理的应用，考察了重要不等式求最值的方法，考察了计算才能，属于中档题．的焦点，点，为抛物线上一点，且不在直线上，那么周长取最小值时，线段的长为〔〕A. 1B.C. 5D.【答案】B【解析】【分析】求△PAF周长的最小值，即求|PA|+|PF|的最小值．设点P在准线上的射影为D，那么根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|．因此问题转化为求|PA|+|PD|的最小值，根据平面几何知识，当D、P、A三点一共线时|PA|+|PD|最小，由此即可求出P的坐标，然后求解PF长度．【详解】求△PAF周长的最小值，即求|PA|+|PF|的最小值，设点P在准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|因此，|PA|+|PF|的最小值，即|PA|+|PD|的最小值根据平面几何知识，可得当D，P，A三点一共线时|PA|+|PD|最小，此时P〔，3〕，F〔1，0〕的长为，应选：B．【点睛】此题考察抛物线的定义、HY方程，以及简单性质的应用，判断当D，P，A三点一共线时|PA|+|PD|最小，是解题的关键．二、填空题〔将答案填在答题纸上〕13.利用分层抽样的方法在学生总数为1200的年级中抽取30名学生，其中女生人数14人，那么该年级男生人数为_____．【答案】640【解析】【分析】先求得分层抽样的抽取比例，根据样本中女生抽到的人数，求总体中女生数，可得总体中男生数．【详解】分层抽样的抽取比例为，又女生抽到了14人，∴女生数为560．∴男生数为1200﹣560＝640．故答案为：640．【点睛】此题考察了分层抽样方法，纯熟掌握分层抽样的特征是解答此题的关键．，，假设，那么实数_____．【答案】-1【解析】【分析】由条件得到与一共线反向，求出m的值即可．【详解】因为向量，假设，那么与一共线反向，所以m＝-1，故答案为：-1．【点睛】此题考察向量的减法的几何意义及向量一共线的应用，考察计算才能．满足，那么目的函数的最大值为____．【答案】5【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到z的最大值．【详解】作出实数x，y满足对应的平面区域，如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大．又与联立得A〔2，1〕此时z最大，此时z的最大值为z＝2×2+1＝5，故答案为5．【点睛】此题主要考察线性规划的应用，考察了z的几何意义，利用数形结合是解决此题的关键．，实数满足，且，假设在区间上的最大值是2，那么的值是__________．【答案】【解析】【分析】利用函数的单调性可得||＝2，或者＝2，分别检验两种情况下的最大值是否为2，可得结论．【详解】由题意得﹣＝，∴n，且,又函数在〔0，1〕上是减函数，在〔1，+∞〕上是增函数，∴||＝2，或者＝2．∴当||＝2时，m，又n，∴n＝e，此时，f〔x〕在区间[m2，n]上的最大值为2，满足条件．当＝2时，n＝，m，此时，f〔x〕在区间[m2，n]上的最大值为||＝4，不满足条件．综上，n＝e，m．,故答案为．【点睛】此题考察了含绝对值函数的单调性、函数的最值的求法，表达了分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.中，为方程的两个根，数列的前项和为.〔1〕求及；〔2〕在〔1〕的条件下，记，的前项和为，求证：.【答案】〔1〕，〔2〕见证明【解析】【分析】〔1〕先解得方程的两根，再由等差数列通项公式得与d，可得再利用等差数列前n项和公式求出.〔2〕由〔1〕得到，利用裂项相消法求和即可.【详解】由方程的两个根分别为3，5，得，设公差为，那么，解得：，，.〔2〕依题意∴【点睛】此题考察了等差数列通项公式及前n项和公式的应用，考察了裂项相消法求和，属于根底题．18.2021年11月15日，我召开全创立全国文明城发动大会，会议向全人民发出发动令，吹响了集结号.为了理解哪些人更关注此活动，某机构随机抽取了年龄在15～75岁之间的100人进展调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如下图，其分组区间为：，，，，，.把年龄落在和内的人分别称为“青少年人〞和“中老年人〞，经统计“青少年人〞与“中老年人〞的人数之比为.〔1〕求图中的值，假设以每个小区间的中点值代替该区间的平均值，估计这100人年龄的平均值；〔2〕假设“青少年人〞中有15人关注此活动，根据条件完成题中的列联表，根据此统计结果，问能否有的把握认为“中老年人〞比“青少年人〞更加关注此活动？关注不关注合计青少年人15中老年人合计50 50 100附参考公式：，其中.【答案】〔1〕，，〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕根据频率分布直方图中前两个小矩形的面积和为，后四个小矩形的面积和为求出a,b，再利用频率分布直方图中平均数的计算公式直接求；〔2〕依题意完成2×2列联表，计算K2，对照临界值得出结论．【详解】〔1〕依题意，青少年人，中老年人的频率分别为，，由得，〔2〕由题意可知，“青少年人〞一共有，“中老年人〞一共有人完成列联表如下：关注不关注合计青少年人15 25 40中老年人35 25 60合计50 50 100结合列联表故没有把握认为“中老年人〞比青少年人“更加关注此活动.【点睛】此题考察了频率分布直方图的应用与HY性检验的应用问题，考察了频率分布直方图中平均数的计算公式及的运算，是中档题．19.如图，在三棱锥中，，，，为的中点.〔1〕求证：；〔2〕求点到平面的间隔 .【答案】〔1〕见证明〔2〕【解析】【分析】〔1〕由可得，又，由线面垂直的断定定理得到面，进而得到结合，又可证得面，再由线面垂直的性质得到AB⊥PA；〔2〕利用，可得，再利用数据求解即可.【详解】〔1〕在等边中，为中点∴∵，且∴面∵平面∴∵，∴面∴.〔2〕在中，，∴，同理故在中，边上的高设点到平面的间隔为，.∴∴即点到平面的间隔为.【点睛】此题考察线面垂直的断定和性质，考察空间想象才能和思维才能，考察了等体积转化的解题技巧，是中档题．的短轴长为2，且离心率为.〔1〕求椭圆的方程；〔2〕假设椭圆的右焦点，右顶点分别为，过的直线交椭圆于两点，求四边形〔为坐标原点〕面积的最大值.【答案】〔1〕〔2〕【解析】【分析】〔1〕根据椭圆的性质，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的HY方程；〔2〕设出直线的方程为，与椭圆方程联立，化为关于y的方程，利用根与系数的关系及三角形面积公式可得四边形面积，再由换元法结合“对勾函数〞的单调性求得最值．【详解】〔1〕依题意，那么由，解得，椭圆的方程为.〔2〕由〔1〕知，设，，的方程为，的方程与椭圆方程联立，整理得显然，，令，那么当且仅当〔即〕时，等号成立，故所求四边形面积的最大值为.【点睛】此题考察椭圆的简单性质，考察了直线与椭圆位置关系的应用，考察了利用换元法求函数的最值，是中档题．〔1〕假设，求在处的切线方程；〔2〕假设在上有零点，求的取值范围.【答案】〔1〕〔2〕【解析】【分析】〔1〕对函数进展求导，由得切线的斜率，再由，利用点斜式得到切线方程.〔2〕利用导数对m分类讨论说明的单调性及极值，结合零点存在定理分别列出不等式，可求解m的范围.【详解】〔1〕时，，，∴.故所求切线方程为，即.〔2〕依题意①当时，，在上单调递减，依题意，，解得故此时.②当时，，在上单调递增，依题意，，即此不等式无解.〔注：亦可由得出，此时函数无零点〕③当时，假设，，单调递增，，，单调递减，由时，.故只需，即，又，故此时综上，所求的范围为.【点睛】此题考察了导数的几何意义，考察了利用导数研究函数的零点、单调性、极值与最值问题，涉及零点存在定理的应用，属于中档题．22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为〔为参数〕，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.〔1〕求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；〔2〕假设与交于两点，点的极坐标为，求的值.【答案】〔1〕曲线普通方程为曲线的直角坐标方程为〔2〕【解析】【分析】〔1〕将曲线的参数方程中的t消掉得到曲线的普通方程，利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，能求出C2的直角坐标方程．〔2〕将代入，得，利用直线参数的几何意义结合韦达定理，能求出．【详解】〔1〕曲线的参数方程为〔为参数〕，两式相加消去t可得普通方程为；又由ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，曲线的极坐标方程为转化为直角坐标方程为〔2〕把曲线的参数方程为〔为参数〕，代入得，设，是对应的参数，那么，所以【点睛】此题考察了普通方程与参数方程、极坐标方程的互相转化，考察直线参数方程中参数的几何意义及应用，是中档题．23.选修4-5：不等式选讲函数.〔1〕解不等式；〔2〕记函数的最小值为，假设均为正实数，且，求的最小值. 【答案】〔1〕〔2〕【解析】【分析】〔1〕分，，三种情况去绝对值解不等式即可；〔2〕由柯西不等式，有．可得a2+b2+c2的最小值．【详解】〔1〕所以等价于或者或者，解得或者，所以不等式的解集为或者〔2〕由〔1〕可知，当时，获得最小值，所以，即故，由柯西不等式，整理得，当且仅当，即，，时等号成立所以的最小值为.【点睛】此题考察了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，柯西不等式的应用，属于中档题. 本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
高三第三次调查测试数学试题含标准答案及评分标准
卜人入州八九几市潮王学校苏北四二零二零—二零二壹高三第三次调查测试数学试题一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共计70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写上在答题卡相应位置上．1.全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={l ，3，5}，B={l ，2}，那么(СU A)∩B＝▲．2.假设复数(a+i)(1—2i)(i 是虚数单位)是纯虚数，那么实数a=▲.3.为第二象限角，且sin=，那么tan=▲.4.假设椭圆的一个顶点与两个焦点构成直角三角形，那么该椭圆的离心率是▲．5.中心在坐标原点，一个焦点为(5，o)，且以直线y=±x 为渐近线的双曲线方程为▲.6.如图是一个空间几何体的三视图，其主视图、左视图均为正三角形，俯视图为圆，那么该几 何体的侧面积为▲.7.某算法的伪代码如下列图，假设输出的y 值是4，那么输入的x 的所有可能的值是▲. 8.函数)y=f(x)是奇函数，当x ＜0时,f(x)=x 2+a x(a ∈R)，且f(2)=6，那么a =▲.对每个二元数组(x,y)，用计算机计算x 2+y 2的值，记“(x,y)满足x 2+y 2＜l 〞为事件A ，那么事件A 发生的概率为▲.10.p ：一4＜x －a ＜4，q ：(x 一2)(3一x)＞0，假设¬p 是¬q 的充分条件，那么实数a 的取值范围是▲. 11.函数f(x)，g(x)满足，f(5)=5，f ﹐(5)=3，g(5)=4，g ﹐(5)=1，那么函数y=的图象在x=5处的切线方程为▲.a ,b 满足a b 一4a 一b+1=0(a ＞1)，那么(a +1)(b+2)的最小值为▲.a ∈[1，3]，使得不等式a x 2+(a －2)x －2＞0成立，那么实数x 的取值范围是▲.14.对于△①假设sin2A=sin2B ，那么△ABC 为等腰三角形; ②假设sinA=cosB ，那么△ABC 为直角三角形；③假设sin 2A+sin 2B+cos 2C ＜1，那么△ABC 为钝角三角形；④假设tanA+tanB+tanC ＞0，那么△ABC 为锐角三角形． ▲.(把你认为所有正确的都填上)二、解答题：本大题一一共6小题，一共计90分。
高三数学第三次调研考试试题理数试题
2021-2021学年高三第三次调研考试制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日理科数学〔必修+选修II 〕一、选择题1． 复数Z 满足1iZ i =+，那么Z 的虚部为 A 、12B 、12-C 、1D 、1-2．0a ≥是函数2()ln xf x ae x =+为偶函数的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3．P 、A 、B 、C 是平面内四点，且PA PB PC AC ++=，那么一定有 A 、2PB CP =B 、2CP PB =C 、2AP PB =D 、2PB AP =4．αβγ、、是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出以下四个命题 ①假设l αββ⊥⊥、，那么l ∥α； ②假设l α⊥，l ∥β，那么αβ⊥③假设l 上有两个点到α的间隔 相等，那么l ∥α； ④假设αββγ⊥⊥、，那么γβ⊥； 其中正确的命题是 A 、①③B 、②④C 、①④D 、②③5．关于函数1()tan cot f x x x =+，以下说法正确的选项是A 、最小正周期为πB 、图像关于(,0)4π对称C 、函数的最大值为1D 、在区间(,)22ππ-内递增 6．正数,m n 满足3m n +=，那么14m n+最小时，(,)P m n 到直线3450x y +-=的间隔 为 A 、65B 、1C 、25D 、97．设正四面体ABCD 的四个面的中心分别为1234o o o o 、、、，那么直线12o o 与34o o 所成角的大小为A 3πB 2πC 4πD 6π8．假设实数x 、y 满足33000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，那么21y z x +=-的取值范围是A 、(,2)(1,)-∞-⋃+∞B 、(,2][1,)-∞-⋃+∞C 、(,2)[1,)-∞-⋃+∞D 、(,2](1,)-∞-⋃+∞9．3(0)()1(0)x x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩的反函数1()f x -，那么1|()|sin 6f x π-<的解集为A 、〔1， 3 〕B 、(12,1)C 、(12, 3 )D 、(— 3 ,12 )∪(12, 3 )10．中国古代“五行〞学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木、木克土、水克火、火克金〞，将这五咱不同属性的物质任意排成一列，属性相克的两种物质不相邻的排列一共 A 、60种B 、24种C 、50种D 、10种11．设函数()f x 是定义在R 上周期为2的可导函数，假设(2)2f =，且(2)2lim22x f x x→+-=-，那么曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程是A 、22y x =-+B 、42y x =-+C 、42y x =+D 、122y x =-+ 12．设P 为椭圆22143x y +=上的任意一点，EF 为圆N ：221x y +=的任一条直径，那么PE PF ⋅的取值范围是A 、[4,9]B 、[0,8]C 、1,3]D 、[2,3]13．假设231()nx x+展开式的各项系数和为32，那么展开式中的常数项为______ 14．随机变量ξ服从正态分布(3,100)N ，且(5)0.84P ξ≤=，那么(15)P ξ≤≤=____ 15．设P 是曲线24(1)y x =-上的一个动点，那么点P 到点(0，1)间隔 与点P 到y 轴间隔 之和的最小和的最小值是________.16．在正方体1111ABCD A B C D -中有如下四个命题 ①当P 在直线BC 1运动时，三棱锥A-D 1PC 的体积不变②当P 在直线BC 1运动时，直线AP 与平面ACD 1所成角的大小不变； ③当P 在直线BC 1运动时,二面角P-AD 1-C 的大小不变；④当P 在直线BC 1运动时，直线CP 与直线A 1B 1所成角的大小不变 三解答题17．在ABC ∆中，1AB AC ⋅=，2AB BC ⋅=- (I)求AB 的长度(II)假设||2AC =，求||BC18．设A 袋子中装有3个白球2个黄球，B 袋子中装有5个白球3个黄球，它们除颜色外，其余一样。
广东省惠州市2022届高三数学第三次调研考试试题(解析版)
广东省惠州市2022届高三数学第三次调研考试试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1. 已知集合，，则（ ）A. {1}B. {0}C. ｛0，1}D. ｛1，2}【答案】A【解析】【分析】解方程求出集合再进行交集运算即可求解.【详解】因为集合，所以.故选：A.2. 已知为虚数单位，复数z满足，则（ ）A. 1B. 2C.D. 0【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数，再根据模长公式求出.【详解】.故选：C.3. 若随机变量X满足，则（ ）A. B. 2 C. D. 3【答案】D【解析】【分析】由二项分布的期望公式直接求解即可【详解】因为，所以，故选：D.4. 已知点是角的终边与单位圆的交点，则（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依题意可得，，进而由二倍角公式可得.【详解】依题意，由任意角三角函数的定义可得，，所以.故选：C.5. 将一枚均匀的骰子掷两次，记事作为“第一次出现奇数点”，为“第二次出现偶数点”，则有（ ）A. 与相互独立B.C. 与互斥D.【答案】A【解析】【分析】根据相互独立事件的定义可判断A；根据互斥事件的概念、以及和事件的概率公式可判断B、C；由相互独立事件概率的乘法公式可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：由题意知，事件的发生与否对事件没有影响，所以与相互独立，故选项A正确；对于C：因为事件与可能同时发生，所以事件与不是互斥事件，故选项C不正确对于B：因为与不是互斥事件，所以，故选项B不正确；对于D：因为与相互独立事件，则，故选项D不正确；故选：A.6. 已知函数，如图所示，图象对应的函数解析式可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据题意得到函数图象关于原点对称，所求函数为奇函数，对选项A，B所给的函数为非奇非偶函数，故排除A，B；对选项C，利用的单调性即可判断C错误.【详解】因为函数图象关于原点对称，所以所求函数为奇函数.对选项A，，为非奇非偶函数，故排除A，对选项B，，为非奇非偶函数，故排除B，对选项C，设，定义域为，，所以函数为奇函数，，时，，为增函数，而函数图象在先增后减，故C错误.故选：D7. 如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则下列结论中正确的序号为（ ）①轨道Ⅱ的焦距为；②若R不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小；③轨道Ⅱ的长轴长为；④若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越大．A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④【答案】C【解析】【分析】根据椭圆中一个焦点与长轴两顶点的距离分别为，分别结合圆的半径R和r分析选项即可求解.【详解】①由椭圆的性质知，，解得，故正确；②由①知，所以，若R不变，r越大，越大，轨道Ⅱ的短轴长越小错误；故错误；③由①知，故轨道Ⅱ的长轴长为，故正确；④因为，若r不变，R越大，则越小，所以越大，轨道Ⅱ的离心率越大，故正确.故选：C【点睛】关键点点睛：根据示意图，理解并找出椭圆中与圆半径的关系，是解决问题的关键，属于中档题.8. 如图，点分别是正四面体棱上的点，设，直线与直线所成的角为，则（ ）A. 当时，随着的增大而增大B. 当时，随着的增大而减小C. 当时，随着的增大而减小D. 当时，随着的增大而增大【答案】D【解析】【分析】分和两种情况，分别过作的平行线，可得直线与所作的平行线成的角即为角可得答案.【详解】当时，如下图作交于点，所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即，设正四面体的棱长为3，则，可求得，所以在中，有，令，则，时，有正有负，函数有增有减，所以故A与B错误；当时，如下图作交于点，所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即.同样设正四面体的棱长为3，则，可求得，在中，有，所以，即，所以令，则，所以在定义域内单调递减，即增大，减小，即减小，从而增大，故D正确，C错误.故选：D.二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9. 若直线与圆相切，则b的取值可以是（ ）A. B. C. 2 D.【答案】AC【解析】【分析】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径求解.【详解】因为直线与圆相切，所以，解得：.故选：AC10. 有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法不正确的是（ ）A. 残差平方和变小B. 相关系数r变小C. 相关指数变小D. 解释变量x与预报变量y的相关性变弱【答案】BCD【解析】【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况．【详解】解：从散点图可分析得出：只有点偏离直线远，若去掉点，则变量与变量的线性相关性变强，相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，解释变量x与预报变量y的相关性变强；故选：．11. 关于双曲正弦函数和双曲余弦函数，下列结论正确的是（ ）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据题意，依次计算各选项即可得答案.【详解】解：因双曲正弦函数和双曲余弦函数，对于A，，A正确；对于B，，B不正确；对于C，显然双曲余弦函数是偶函数，且在上成立，故在上单调递增，所以，C正确；对于D，，D不正确.故选：AC12. 已知函数，其中，则下列选项中的条件使得仅有一个零点的有（ ）A. ，为奇函数B.C. ，D. ，【答案】BD【解析】【分析】对于A，由奇函数性质知，知，由导数可确定单调性，求得极大值和极小值，由极值可确定有三个零点，知A错误；对于B，由知单调递增，由此确定仅有一个零点，B正确；对于C，取，则可确定有两个零点，C错误；对于D，由可确定或，由此可确定仅有一个零点，D正确.【详解】由题意知：.对于A，为奇函数，，则，有两个不等实根，，在，上单调递增，在上单调递减，则存在两个极值点，又，，有三个零点，A错误；对于B，，，，在上单调递增，又当时，；当时，，仅有一个零点，B正确；对于C，若取，则的极大值为，极小值为，有两个零点，C错误；对于D，的极大值为，极小值为.，，，则或，则或，可知仅有一个零点，D正确.故选：BD.【点睛】思路点睛：本题考查函数零点个数的求解，解决此类问题的基本思路是确定的单调性，得到的极大值和极小值，由此确定与交点个数，即为零点个数.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一空2分，第二空3分.13. 若是边长为1的等边三角形，则______.【答案】【解析】【分析】根据数量积的定义可求数量积.【详解】因为为边长为1的等边三角形，所以，，而向量和的夹角为的补角，所以.故答案为：.14. 的展开式中，项的系数为__________．【答案】【解析】【分析】先求得二项式展开式的通项为，集合通项进而求得项的系数.【详解】由二项式展开式的通项为，则的展开式中，含的项为，所以项的系数为.故答案为：.15. 请从正方体的个顶点中，找出个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的个面都是正三角形，则这个点可以是___________.（只需写出一组）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意写出一组符合题意的点即可.【详解】如图三棱锥各棱长都是正方体的面对角线，因此三棱锥的个面都是正三角形，即这个点可以是，故答案为：（答案不唯一）.16. 将正三角形（1）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图（2）；将图（2）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图（3）；如此类推，将图（）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作三角形，然后去掉底边，得到图．上述作图过程不断的进行下去，得到的曲线就是美丽的雪花曲线．若图（1）中正三角形的边长为1，则图（）的周长为__________，图（）的面积为___________．【答案】 ①. ②.【解析】【分析】先根据所给的图形找互相邻的图形周长之间的关系，再进一步得到与第一个图形的周长之间的关系，找出相邻两个图形之间的面积关系，可求得图（）的面积【详解】解：第一个三角形的周长为，观察发现：第二个图形在第一个图形的周长的基础上多了实验室的周长的，第三个在第二个的基础上多了其周长的，所以第二个图形的周长为，第三个图形的周长为，第四个图形的周长为，……，所以第个图形的周长是第一个周长的倍，所以第个图形的周长为，由题意可知，第个图形的边长都相等，且长度变为原来的，则边长的递推公式为，，所以，边数的递推公式为，，则，第一个图形的面积为,当时，，则【点睛】关键点点睛：此题考查数列的应用，考查等比数列的性质的应用，解题的关键是由题意找出边长的递推公式和边数的递推公式，相邻两个图形面积之间的递推关系，考查计算能力，属于较难题四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 疫苗是指用各种病原微生物制作的用于预防接种的生物制品，接种疫苗是预防和控制传染病最经济､有效的公共卫生干预措施.某制药厂对预防某种疾病的两种疫苗开展临床对比试验.若使用后的抗体呈阳性，则认为疫苗有效.在已经接种疫苗的群体中随机抽取的100个样本，其中有60个接种了灭活疫苗，剩余40个接种了核酸疫苗.根据样本数据绘制等高条形图（如图所示），其中两个深色条的高分别表示接种灭活疫苗和核酸疫苗样本中抗体呈阳性的频率.现从这100个样本中随机抽取1人，已知事件“该样本接种了灭活疫苗且抗体呈阳性”发生的概率为0.54.（1）求等高条形图中a的值；（2）请在答题卷中完成下面的列联表，并判断能否在犯错概率不超过0.10的前提下认为两种疫苗的预防效果存在差异？灭活疫苗核酸疫苗总计抗体为阳性抗体为阴性总计6040100参考公式：，其中0.150.100.012.072 2.706 6.635【答案】（1）（2）列联表答案见解析，不能在犯错概率不超过0.10的前提下认为两种疫苗的预防效果存在差异【解析】【分析】（1）根据题意得，解方程即可得答案；（2）结合题意得接种灭活疫苗抗体阳性的共有人，接种核酸疫苗后抗体呈阳性的共有人，进而完成列联表，结合独立性检验求解即可.【小问1详解】解：依题意“1名受访者接种灭活疫苗且接种后抗体呈阳性”发生的概率为0.54，所以解得，所以【小问2详解】解：根据题意，接种灭活疫苗抗体阳性的共有：人，接种核酸疫苗后抗体呈阳性的共有：人，故列联表如下：灭活疫苗核酸疫苗总计抗体为阳性543488抗体为阴性6612总计6040100零假设为接种两种疫苗效果无差异根据列联表中的数据，得到因为所以不能在犯错概率不超过0.10的前提下认为两种疫苗的预防效果存在差异. 18. 的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知．（1）求B；（2）若，，求的面积．【答案】（1）；（2）﹒【解析】【分析】(1)已知条件结合正弦定理边化角即可求B；(2)结合正弦定理、余弦定理和三角形面积公式即可求解﹒【小问1详解】由正弦定理，得，即，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∵B为三角形内角，∴；【小问2详解】∵，∴由正弦定理得，∴由余弦定理得，即，∴，，∴的面积为．19. 已知数列是公差大于1的等差数列，，前n项和为，且___________.请在下列三个条件中任选一个，补充到上述题目的条件中，并求解下面的问题.①成等比数列；②是和的等差中项；③的前6项和是78.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设的公差为,再结合等差中项或等比中项或前项和公式求解得，再根据通项公式求解即可.（2）由（1）知，再根据错位相减法求解即可.【小问1详解】设的公差为d，选条件①：，则，解得或，，所以，，选条件②：由已知有，，即解得：选条件③：的前6项和是78，即解得：，【小问2详解】解：由（1）知：则20. 如图，为圆锥的顶点，为底面圆心，点，在底面圆周上，且，点，分别为，的中点．求证：；若圆锥的底面半径为，高为，求直线与平面所成的角的正弦值．【答案】证明见解析；.【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理和线面垂直的性质定理即可证明；建立空间直角坐标系，结合向量的数量积运算求出直线与平面所成的角的正弦值．【详解】解：由题意，得底面圆，点，分别为，的中点，， 底面圆，在底面圆上，．，为正三角形，又因为为的中点，，又因为，且平面，平面，平面，平面，．如图，以为原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，故，，，设平面的法向量为，由，可得，令，得为平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成的角的正弦值为．【点睛】本题考查线线垂直的判定，以及线面所成角的正弦值的求法，考查分析问题能力，运算求解能力，属于中档题.21. 如图已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心率．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，过点的直线与椭圆相交于，两点，当线段的中点落在由四点，，，构成的四边形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）依据题意可得，然后根据可得，最后可得椭圆方程.（Ⅱ）假设直线方程并于椭圆联立是韦达定理，可得中点，然后表示正方形区域的不等式，将中点坐标代入进行计算可得结果.【详解】（Ⅰ）由题可知：，所以又，所以椭圆的方程为（Ⅱ）由题可知：过点的直线斜率一定存在，设直线方程为，，线段的中点所以所以由①又，所以，则，因为，所以不可能在轴的右边又因为直线的方程为所以，即所以②由①②可知：【点睛】本题考查椭圆的应用，直线与圆锥曲线的结合，往往会联立方程并使用韦达定理，考查分析问题的能力，重在理解与计算，属中档题.22. 已知函数(e为自然对数的底数)有两个零点．（1）若，求在处的切线方程；（2）若的两个零点分别为，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）由化简得到，利用换元法，将要证转化为证明，结合导数证得结论成立.【详解】（1）当时，，．又，所以切点坐标为，切线的斜率为，所以切线的方程为，即．（2）由己知得有两个不等的正实根，所以方程有两个不等的正实根，即有两个不等的正实根，①.要证，只需证，即证，-令，，所以只需证．由①得，，所以，，消去得，只需证．设，令，则，所以只需证．令，，则，所以，即当时，成立．所以，即，即．【点睛】证明不等式恒成立问题，可利用构造函数法，结合导数求最值来进行求解.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高三第三次调研考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确答案的序号填在第Ⅱ卷前的选择题答题表中。
1．不等式|2|1x -≤的解集是 （ ） A ．[3,1]-- B ．[1,3] C ．[3,1]- D ．[1,3]-2．已知函数()1log a f x x =+，1()y f x -=是函数()y f x =的反函数，若1()y f x -=的图象过点(2,4)，则a 的值为 （ ）ABC ．4D ．83．过原点的直线与圆22430x y x +++=相切，若切点在第二象限，则该直线的方程是( )A．y = B．y = C．3y x =D．3y x = 4．已知点(2,1)A ,(0,2)B ,(2,1)C -,(0,0)O ．给出下面的结论：①//OC BA ；②OA AB ⊥；③OA OC OB +=；④2AC OB OA =-. 其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个5．已知231(2)nx x +(n ∈N*)的展开式中含有常数项，则n 的最小值是（ ） Ａ．4 Ｂ．5 Ｃ．9 Ｄ．106．某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙．现有编号为1～6的6种不同花色石材可供选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果共有 （ ） A ．350种 B ．300种 C ．65种 D ．50种7．若b a ,是两条不重合的直线，βα,是两个不重合的平面，则α∥β的一个充分而不必要条件是 （ ）A ．,,a b αα⊂⊂a ∥β,且b ∥βB ．,,βα⊂⊂b a 且a ∥bC ．a α⊥,b β⊥,且a ∥bD ．a ∥,αb ∥β,且a ∥b8．某电视机内的一种晶体管使用时间在10000小时以上的概率为0.2，则三个这样的晶体管在使用10000小时后最多有一个坏了的概率为 （ ）A ．B ．0.104C ．D ．9．已知数列{}n a 中，12a =，对一切正整数n 恒有12n n a a n ++=，则10a 的值为 （ ）A ．8B ．10C ．20D ．3810．若方程330x x m -+=在[0,2]上有解，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．[2,2]- B ．[0,2] C ．[2,0]- D ．(,2)-∞-∪(2,)+∞第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 11．若曲线4y x x =+在P 点处的切线与直线30x y +=平行，则P 点的坐标是 ．12．已知实数,x y 满足不等式组20y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，那么函数3z x y =+的最大值是 ．13．已知()sin 2tan 1f x a x b x =++，且(2)6f -=，那么(2)f π+= ．14．椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的半焦距为c ，直线2y x =与椭圆的一个交点的横坐标恰为c ，则该椭圆的离心率为 ．EDC 1B 1A 1CBA 15．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，若2PA AC ==，则该三棱锥外接球的体积是 ．16．若函数()f x 是二次函数且满足：对任意的,(1,1)u v ∈-，都有|()()|||f u f v u v -≤-成立．则()f x 可以是 （只需写出一个即可）．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题12分）已知ABC ∆中，角A , B , C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos 320cot tan22A A A =-． （1）若角C 为60︒，求cos2B 的值； （2）若a b c <<，求sin cos A A -的值．18．（本小题14分）已知两个定点A 、B 的坐标分别为(1,0)-和(1,0)，动点P 满足||AP OB PB ⋅=（O 为坐标原点）．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过点C (0,1)的直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于D 点，求D 点横坐标的取值范围．19．（本小题14分）如图，已知111ABC A B C -是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D 为侧棱1CC 的中点，E 为11A B 的中点． （1）求证：AB DE ⊥；（2）求直线11A B 到平面DAB 的距离； （3）求二面角A BD C --的大小．20．（本小题14分） 关于某港口今后20年的发展规划，有如下两种方案：方案甲：按现状进行运营。
据测算，每年可收入760万元，但由于港口淤积日益严重，从明年开始需投资进行清淤，第一年投资50万元，以后逐年递增20万元。
方案乙：从明年起开始投资6000万元进行港口改造，以彻底根治港口淤积并提高吞吐能力。
港口改造需用时4年，在此期间边改造边运营．据测算，开始改造后港口第一年的收入为320万元，在以后的4年中，每年收入都比上一年增长50%，而后各年的收入都稳定在第5年的水平上。
（1） 从明年开始至少经过多少年，方案乙能收回投资（累计总收益为正数） （2） 从明年开始至少经过多少年，方案乙的累计总收益超过方案甲（收益＝收入－投资）21．（本小题16分）已知函数()f x 的定义域为[0,1]，且同时满足：①(1)3f =；②()2f x ≥恒成立；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-．（1）试求函数()f x 的最大值和最小值；（2）试比较1()2n f 与122n +的大小(n ∈N ）； （3）某人发现：当x =12n (n N )时，有f (x )<2x +2.由此他提出猜想：对一切x (0,1],都有()22f x x <+，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．连云港市2006届高三第三次调研考试数学试题参考答案及评分标准一． 选择题： BCDC BBCB AA 二． 填空题：11．（-1，0）；12．4；13．-4；14．2-1；15．43；16．12x 2(注：本题答案不唯一，只要满足条件 a0,2|a |+|b |≤1即可)三． 解答题：17．解：由条件知20cos 2A=3·cos 2A 2-sin2A2cos A 2·sin A 2,即10cos 2A ·sinA=3cosA,又cotA 2tan A2,∴cosA 0, 解得sin2A=35. ·························································4分(1) 若∠C=60º,则cos2B=cos2(120º-A)=cos(240º-2A)=-cos(60º-2A)=-(cos60ºcos2A+sin60ºsin2A) =-33410. ······························································7分(2) 若a <b <c ,则A<60º.又由sin2A=35<32,知0<2A<60º或2A>120º.∴A<30º (11)分∵(sinA-cosA)2=1-sin2A=25,∴sinA-cosA=-105.·······················································12分18．解:(1)设P(x ,y ),则AP =(x +1,y ),BP =(x -1,y ),∵||AP OB PB ⋅=,∴(x +1)2=(x -1)2+y 2,········································································2分即y 2=4x . 动点P 的轨迹E 的方程是y 2=4x . ·······································································4分(2)设直线l 的方程为x =k (y -1),代入轨迹E 的方程y 2=4x ,整理得:y 2-4ky +4k =0. ·········6分由题意知,(4k )2-44k >0且4k >0,解得k >1. ···························································8分由根与系数的关系可得MN 的中点坐标为(k (2k -1),2k ), ∴线段MN 垂直平分线方程为:y -2k =-k [x -k (2k -1)], ·································10分令y =0,得D 点的横坐标x 0=2k 2-k +2, ∵k >1,∴x 0>3,即为所求. ··················································································14分 19．(1)证明:连结C 1E,则C 1E A 1B 1,又∵A 1B 1C 1C,∴A 1B 1平面EDC 1,∴A 1B 1DE, 而A 1B 1 ····························································································4分(2)取AB 中点为F,连结EF,DF,则EF AB,∴AB DF.过E 作直线EH DF 于H 点,则EH 平面DAB,∴EH 就是直线A 1B 1到平面DAB 的距离.在矩形C 1EFC 中,∵AA 1=AB=2,∴EF=2,C 1E=3,DF=2,∴在△DEF 中,EH=3, 故直线A 1B 1到平面DAB 的距离为3. ···························································9分(3)过A 作AM BC 于M 点,则AM 平面CDB,过M 作MN BD 于N 点,连结AN,则AN BD,∴∠ANM 即为所求二面角的平面角,在Rt △DCB 中,BC=2,DC=1,M 为BC 中点,∴MN=55,在Rt △AMN 中,tan ∠ANM=AMMN=15,故二面角A-BD-C 的大小为arctan 15. ·······························································14分20．解：（1）设从明年开始经过第n 年，方案乙的累计总收益为正数。