6.函数的单调性

1.函数单调性的定义：一般地，设函数y ＝f （x ）地定义域为A ，区间A M ⊆，如果取区间M 中地任意两个值x 1、x 2，则当改变量△x ＝x 1－x 2＞0时，有△y ＝f （x 1）－f （x 2）_______，那么就称函数y ＝f （x ）在区间M 上是增函数；当改变量△x ＝x 1－x 2＞0时，有△y ＝f （x 1）－f （x 2）_______，那么就称函数y ＝f （x ）在区间M 上是减函数.如果一个函数在某个区间M 上是增函数或者是减函数，就说函数在区间M 上具有_______，区间M 叫做____________.
2.基本初等函数的单调性：
（1）一次函数f （x ）＝kx ＋b ：当_________，f （x ）单调递增；当_________，f （x ）单调递减.
（2）二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ：当a>0时，f （x ）在区间_________上是增函数，在区间_________上是减函数；当a<0时，f （x ）在区间_________上是增函数，在区间_________上是减函数.
（3）反比例函数x
k )x (f =：k>0时，f （x ）在区间______________上是______函数 k<0时，f （x ）在区间______________上是______函数
（4）指数函数y ＝a x ：当_________，f （x ）单调递增；当_________，f （x ）单调递减.
（5）对数函数y ＝log a x ：当_________，f （x ）在区间_________上单调递增；
当_________，f （x ）在区间_________上单调递减.
3.复合函数y ＝f ［)x (ϕ］的单调性：若y ＝f （μ）和μ＝)x (ϕ在相应的区间内具有相同的单调性，则y ＝f ［)x (ϕ］在这个区间上是__________；若y ＝f （μ）和μ＝)x (ϕ在相应的区间内具有相反的单调性，则y ＝f ［)x (ϕ］在这个区间上是__________.
4.增减函数的性质：
（1）增（减）函数＋增（减）函数为_________函数；
（2）增（减）函数－减（增）函数为_________函数；
（3）y ＝f （x ）与y ＝kf （x ）（k ≠0），当k>0时，增减性_________；当k<0时，增减性_________；
（4）当f （x ）恒为正或恒为负时，)
x (f 1y =与y ＝f （x ）的单调性_________. 【基础知识检测】
1.函数y ＝x ＋x
1的递增区间是__________.
2.函数1
x 11y --= （ ） A.在（－1，＋∞）上单调递增 B.在（－1，＋∞）上单调递减
C.在（1，＋∞）上单调递增
D.在（1，＋∞）上单调递减
3.函数y ＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)是单调函数的充要条件是 （ ）
A.b≥0
B.b≤0
C.b>0
D.b<0
4.已知函数y ＝f （x ）是定义在（－∞，＋∞）上的增函数，则方程f （x ）＝0的根 （ ）
A.有且只有一个
B.有2个
C.至多有1个
D.有2个以上
【典型例题探究】
例1.求证：f （x ）＝－x 3＋1在（－∞，＋∞）上是减函数.
例2. 指出函数)x 2x (log )x (f 2
21-=的单调区间.
例3.已知奇函数)x (f 是定义在)2,2(-上的减函数，若0)1m 2(f )1m (f >-+-，求实数m 的取值范围.
例4.设函数f （x ）＝x 3＋bx 2＋cx （x ∈R ），已知g （x ）＝f （x ）－f ˊ（x ）是奇函数.
（1）求b 、c 的值 （2）求g （x ）的单调区间.
【巩固练习】
A 组
1.若函数f(x)=1
21x +, 则该函数在(-∞,+∞)上是 ( ) A. 单调递减无最小值 B. 单调递减有最小值
C. 单调递增无最大值
D. 单调递增有最大值
2.函数f （x ）（x ∈R ）的图像如图，则函数
g （x ）＝f （log a x ）（0＜a ＜1）的单调递减区间是 A.]21,0[ B. ]1,a [ C.),21
()0,(+∞-∞ D. ]1a ,a [+ 3.设函数f （x ）＝log a ｜x ｜在（－∞，0）上是单调递增，则f （a ＋1）与f （2）的大小关系是
（ ）
A. f （a ＋1）＝f （2）
B. f （a ＋1）<f （2）
C. f （a ＋1）>f （2）
D. 不确定
4.有下列四个命题：
（1）y ＝2x 2＋x ＋1在（0，＋∞）上不是增函数；
（2）函数1
x 1y +=在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上是减函数； （3）函数2x x 45y ---=的单调递增区间为[－2，＋∞)；
（4）已知f （x ）在R 上增函数，若a ＋b ＞0,则f （a ）＋f （b ）＞f （－a ）＋f （－b ）， 其中正确命题的序号是__________________.
5.函数3x 2x y 2-+=的单调减区间是________________.
6.函数y ＝－（x －3）｜x ｜的递增区间是_______________.
7.证明:x 1x )x (f +=
在（0，1］上是减函数.
B 组
1.设函数f(x)=,a
ax x c 22
++其中a 为实数. (1)若f(x)的定义域为R,求a 的取值范围; (2)当f(x)的定义域为R 时，求f(x)的单调递减区间.
2.定义在R 上的函数y ＝f （x ），f （0）≠0，当x ＞0时，f （x ）＞1，且对任意的a 、b ∈R ，有 f （a ＋b ）＝f （a ）·f （b ）.
（1）证明：f （0）＝1； （2）证明：对任意的x ∈R ，恒有f （x ）＞0
（3）证明：f （x ）在R 上是增函数；（4）若f （x ）·f （2x －x 2）＞1，求x 的取值范围.。