高中数学第三章三角恒等变换3.2两角和与差的三角函数例题与探究(含解析)北师大版必修4
高中数学第三章三角恒等变换3_2两角和与差的正切函数优化训练北师大版
3.2 两角和与差的正切函数5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.若A A tan 1tan 1+-=4+5，则tan （4π-A ）的值为（ ）A.54--B.54+C.541+-D.541+解析：tan （4π-A ）=54tan 1tan 1tan 4tan1tan 4tan+=+-=∙+-AAAAππ.答案：B2.计算tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=_____________. 解析:tan60°=tan（20°+40°）=340tan 20tan 140tan 20tan =︒︒-︒+︒，则tan20°+tan40°=3（1-tan20°tan40°）=33-tan20°tan40°， 因此tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=3. 答案:3 3.当α=40°时,)tan()2tan(1)tan()2tan(βαβαβαβα-∙---++=________________.解析:原式=tan ［(2α+β)+(α-β)］=tan3α=tan120°=-tan60°=3-. 答案:3-10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.如果tan （α+β）=52，tan （β-4π）=41，那么tan （α+4π）等于（ ） A.1813 B.2213 C.223 D.183 解析：tan （α+4π）=tan ［（α+β）-（β4π-）］=2234152152=∙+. 答案：C 2.已知34tan 1tan 1+=+-αα，则cot （4π+α）的值等于（ ）A.34+B.34-C.34--D.34+-解析:由)4tan(tan 4tan 1tan 4tantan 1tan 1απααπαα-=+-=+-,可知，tan （4π-α）=34+. 而4π-α与4π+α互为余角， 则有cot （4π+α）=tan （4π-α）=34+.答案：A 3.︒+︒︒-︒15cos 15sin 15cos 15sin =_________________.解析：原式=︒︒+︒-︒-=+︒-︒15tan 45tan 115tan 45tan 115tan 115tan =-tan （45°-15°）=33-.答案:33-4.求证：（1+tan22°）（1+tan23°）=2. 证明：∵22°+23°=45°，∴tan（22°+23°）=︒︒-︒+︒23tan 22tan 123tan 22tan .∴1-tan22°tan23°=tan22°+tan23°. 左边=（1+tan22°）（1+tan23°）=1+tan22°+tan23°+tan22°tan23°=2=右边. 5.已知tan(α+β)=5,tan(α-β)=3,求tan2α,tan2β,tan(2α+4π). 解:tan2α=tan ［(α+β)+(α-β)］ =7435135)tan()tan(1)tan()tan(-=⨯-+=-+--++βαβαβαβα.tan2β=tan ［(α+β)-(α-β)］ =8135135)tan()tan(1)tan()tan(=⨯+-=+++--+βαβαβαβα.tan(2α+4π)=1137417412tan 12tan 1=+-=-+αα. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.若0＜α＜2π,0＜β＜2π,且tan α=71,tan β=43,则α+β等于（ ）A.6πB.4πC.3π D.43π解析:∵tan α=71,tan β=43,∴tan(α+β)=4371147tan tan 1tan tan ⨯-=-+βαβα=1. 又∵0<α<2π,0<β<2π,∴0<α+β<π.而在(0,π)内只有tan 4π=1.∴α+β=4π.答案:B2.在△ABC 中，已知tanA 、tanB 是方程3x 2+8x-1=0的两个根，则tanC 等于（ ） A.2 B.-2 C.4 D.-4解析:由于tanA 、tanB 是方程3x 2+8x-1=0的两个根， 根据韦达定理，有tanA+tanB=38-，tanA·tanB=31-. 则tanC=tan ［π-（A+B ）］=-tan （A+B ）=2)31(138tan tan 1tan tan =----=-+-BA BA .答案:A3.（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan44°）（1+tan45°）=_____________. 解析:原式=（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）+…+（1+tan44°）（1+tan45°）=［（1+tan1°）（1+tan44°）］…［（1+tan22°）（1+tan23°）］·（1+tan45°）=2·2·…·2=223. 4.tan70°+tan50°3-tan50°·tan70°=_______________. 解析:原式=tan(70°+50°)(1-tan70°tan50°)-3tan70°tan50° =3-(1-tan70°tan50°)3-tan70°tan50°=3-. 答案:3-5.如果α、β、γ都是锐角，并且它们的正切分别为21、51、81，求证：α+β+γ=45°. 证明：由于tan α=21，tan β=51， 可知tan （α+β）=97512115121tan tan 1tan tan =∙-+=-+βαβα. 由题意可知tan γ=81，则tan （α+β+γ）=tan ［（α+β）+γ］=8197189tan )tan(1tan )tan(∙-=+-++γβαγβα=1. 根据α、β、γ都是锐角，且0＜tan α=21＜1，0＜tan β=51＜1，0＜tan γ=81＜1，可知0°＜α＜45°，0°＜β＜45°，0°＜γ＜45°,得0＜α+β+γ＜135°. 所以，α+β+γ=45°.6.求证：tan （A-B ）+tan （B-C ）+tan （C-A ）=tan （A-B ）·tan（B-C ）·tan（C-A ）. 证明：（A-B ）+（B-C ）=A-C. 由两角和的正切公式变形为 tan ［（A-B ）+（B-C ）］=)tan()tan(1)tan()tan(C B B A C B B A -∙---+-.∴tan（A-B ）+tan （B-C ）=tan （A-C ）·［1-tan （A-B ）·tan（B-C ）］. 左=tan （A-C ）［1-tan （A-B ）·tan （B-C ）］+tan （C-A ）=tan （A-C ）-tan （A-C ）·tan （A-B ）·tan （B-C ）+tan （C-A ）=tan （C-A ）· tan （A-B ） ·tan（B-C ）=右. 7.已知α∈(0,4π),β∈(0,π),且tan(α-β)=21,tan β=71-，求tan(2α-β)的值及角2α-β.解:tan α=tan ［(α-β)+β］=31)71(2117121tan )tan(1tan )tan(=-⨯--=∙--+-ββαββα. tan(2α-β)=tan ［α+(α-β)］=213112131)tan(tan 1)tan(tan ⨯-+=-∙--+βααβαα=1. 又 β∈(0,π),tan β=71-<0,∴β∈(2π,π).∵α∈(0, 4π),∴2α∈(0, 2π).∴2α-β∈(-π,0).∴2α-β=43-π.8.已知sin α=53 (90°＜α＜180°),cos β=1312(270°＜β＜360°),求tan(α+β)和tan(α-β)的值. 解:∵sin α=53,90°<α<180°,∴cos α=43-. ∴tan α=54-.∵cos β=1312,270°<β<360°, ∴sin β=135-.∴ta n β=125-.∴tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+=335616167)12)(4(112543-=--=-----. tan(α-β)=6316)125)(43(112543tan tan 1tan tan -=--++-=+-βαβα. 9.设一元二次方程mx 2+(2m-1)x+(m+1)=0的两根为tan α、tan β,求tan(α+β)的取值范围. 解:因为tan α、tan β为方程的两根,则有Δ=(2m-1)2-4m(m+1)≥0,且m≠0,解得m≤81,m≠0,所以m∈(-∞,0)∪(0,81］. 由韦达定理得tan α+tan β=mm 12--,tan α·tan β=mm 1+,于是,tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan ∙-+=121112-=+---m mm m m . 因为2m-1≤2×81-1=-43且2m-1≠-1,所以tan(α+β)的取值范围是(-∞,-1)∪ (-1,-43］.。
高中数学第三章三角恒等变换3.2两角和与差的三角函数的应用技巧素材北师大版4剖析
3.2 两角和与差的三角函数的应用技巧两角和与差的三角函数公式是高中数学三角函数部分的重要公式之一,能够让学生在学习和应用公式的过程中,加深对三角函数部分整体知识的把握.掌握两角和与差公式的应用技巧有利于学生分析问题和解决问题能力的培养.由于公式的设计巧妙,知识点覆盖较广,转化关系较为复杂,学生在应用起来往往有所难度.笔者从实际教学经验出发,谈一谈两角和与差公式的应用技巧.一、正用公式当一个角能够表示成两个特殊角的和或差时，常常正用两角和与差的三角函数公式来解题。
例1、求值007515tan tan +.分析：由于非特殊角015与075可以转化为045和030这两个特殊角的和与差的形式，从而可以正用三角函数的和与差公式来求解。
解：)tan()tan(tan tan 000000304530457515++-=+ 0000301301301301tan tan tan tan -+++-= 331331331331-+++-= 13131313-+++-= 21321322)()(++-= 3232++-=＝4。
二、逆用公式在逆用公式时有好多的技巧与方法，大体上来说，可以分为三类：（一） 构造逆用如果能通过诱导公式的转化，构造和与差公式的结构特征，就可以逆用公式解题。
例2、求值ππππ92992187sin sin cos sin-。
解法一：原式＝πππππ929292187sin )cos(cos sin -- ＝ππππ9218792187sin cos cos sin -＝)sin(ππ92187- ＝6πsin＝21。
解法二：原式＝πππππ9299292sin sin cos )sin(-- ＝ππππ929929sin sin cos cos - ＝)cos(ππ929+ ＝3πcos＝21。
（二） 特殊逆用形如x b x a cos sin +（其中0≠ab ）的三角函数均可利用特殊值与特殊角的对应关系逆用和与差的三角函数公式化简成一个角的三角函数形式。
高中数学第三章三角恒等变换3.2两角和与差的三角函数2自我小测北师大版必修
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(1)求 tan(α＋ β)的值； (2)求函数 f(x)＝ 2sin(x－ α)＋ cos(x＋ β)的最大值．
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参考答案 tan α＋tan β 2＋ 3 1． 解析： ∵tan(α＋β)＝1－ tan αtan β＝ 1－ 2× 3＝－ 1， 0＜ α＋β＜π， 3π ∴ α＋ β＝ 4 .
∴ f(x)的最大值为 5.
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5． 解析： ∵tan(28°＋ 32° )＝ 1－ tan 28° tan 32°，
∴ tan 28°＋ tan 32°＝ tan 60° (1－ tan 28° tan 32° )
＝ 3(1－m)．
答案： B
π
1＋ tan α
6． 解析： 由 tan 4＋α＝ 2，得 1－ tan α＝ 2，
1
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3.2 两角和与差的三角函数
自我小测 π
1．若 tan α＝ 2，tan β＝ 3，且 α， β∈ 0，2 ，则 α＋ β的值为 ( )
π A． 6
π B． 4
3π C． 4
5π D． 4
2．设 A，B， C 是△ ABC 的三个内角，且 tan A， tan B 是方程 3x2－ 5x＋ 1＝0 的两个实
∴ tan
α＝
. 3
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1
sin2α＋ cos2α
高中数学第三章三角恒等变换3.2两角和与差的三角函数例题与探究(含解析)北师大版必修4
3.2两角和与差的三角函数典题精讲例1计算︒︒-︒20cos 20sin 10cos 2.思路分析：10°、20°角直观上看似没有联系，但是两者的和角是30°为特殊角，所以把10°等价代换成30°-20°后就可以用两角差的公式化简.解：︒︒-︒20cos 20sin 10cos 2=︒︒-︒-︒20cos 20sin )2030cos(2=320cos 20sin 20sin 20cos 3=︒︒-︒+︒.绿色通道：本题是无条件的三角函数求值问题，这是三角函数中的重要内容，是高考常考查的内容之一，对于这类非特殊角的三角函数式，求解具体数值一般有以下途径：（1）将非特殊角化为特殊角的和或差的形式；（2）化为正负相消的项，消项，求值；（3）化为分子、分母形式，进行约分求值；（4）利用诱导公式化任意角的三角函数为在［0,2π］内的三角函数；（5）特别注意诱导公式2π±α的应用；（6）化切函数为弦函数；（7）善于逆用和变形三角函数的和差公式.在进行求值过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则才进行各局部的变形.变式训练1(2006陕西高考卷，理)13cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为_____________.思路分析：原式=cos43°cos77°+sin43°cos(90°+77°)=cos43°cos77°-sin43°sin77°=cos(43°+77°)=cos120°=-21.答案：-21变式训练2求sin187πcos 92π-sin 9πsin 92π的值.思路分析：观察分析这些角的联系，会发现9π=2π-187π，即187π与9π是互余的两角，因此可用诱导公式将sin 9π变为cos 187π，进而用和差角的正余弦公式求解.解：原式=sin 187πcos 92π-sin（2π-187π）sin 92π=sin 187πcos 92π-cos 187πsin 92π=sin（187π-92π）=sin 6π=21.例2(2006重庆高考卷，理13)已知α,β∈（43π,π），sin(α+β)=53-,sin（β-4π）=1312,则cos（α+4π）=________________.思路分析：利用α+4π=(α+β)-(β-4π)来求值.∵α,β∈（43π,π），∴(α+β)∈(23π,2π).∴cos(α+β)=)(sin 12βα+-=54.又(β-4π)∈(2π,43π)，∴cos(β-4π)=-135.∴cos(α+4π)=cos ［(α+β)-(β-4π)］=cos(α+β)cos(β-4π)+sin(α+β)sin(β-4π)=54(-135)+(53-)1312=-6556.答案：-6556绿色通道：本题属于“知值求值”的题目，“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中常用，因为变角后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明.常见的角的变换方式：α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)，α+2β=(α+β)+β等等，变换的方式很多，需要自己慢慢的体会和探索.黑色陷阱：求解时如果将sin(α+β)和sin（β-4π）展开，通过解方程组求sinβ和cosβ，那么运算量很大，会因解方程组而陷入困境.变式训练1已知cosα=71，cos（α+β）=1411-，且α、β∈（0，2π），求cosβ的值.思路分析：观察得β=（α+β）-α，再利用两角差的余弦公式展开，求出结果.解：∵α、β∈（0，2π），∴0<α+β<π.∵cosα=71，cos（α+β）=1411-，∴sinα=734)71(1cos 122=-=-α，sin（α+β）=1435))1411(1()(cos 122=--=+-βα.∴cosβ=cos［（α+β）-α］=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=1411-×71+1435×734=21.∴cosβ=21.变式训练2已知sinα+sinβ=53，cosα+cosβ=54，求cos（α-β）的值.思路分析：由于cos （α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，欲求cos （α-β）的值，只需要求出cosαcosβ+sinαsinβ的值，而要得到两组同名三角函数乘积，需将条件中的两式平方，再相加即得cosαcosβ+sinαsinβ的结果.解：∵(sinα+sinβ)2=259，(cosα+cosβ)2=2516，∴sin 2α+2sinαsinβ+sin 2β=259,①cos 2α+2cosαcosβ+cos 2β=2516.②①+②得2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=1，∴2+2cos（α-β）=1.∴cos（α-β）=-21.例3已知锐角α、β满足sinα=5，cosβ=103，求α+β.思路分析：要求α+β的值，需先求α+β的一个三角函数值，再根据角的范围确定角的具体值.解：∵α、β是锐角，∴cosα=552511sin 12=-=-α，sinβ=10101091cos 12=-=-β.∴cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ=552·10103-55·221010=.由0＜α＜2π，0＜β＜2π，得到０＜α+β＜π.∴α+β=4π.绿色通道：本题是“知值求角”的题目.其解题策略是先求角的一个三角函数值，再由角的范围确定角的大小，通常情况下，所求的角是特殊角.选择求角的三角函数值方法：已知正切函数值，选择求正切函数；已知正、余弦函数值，选择求正弦或余弦函数.若角的范围是(0,2π)，有时选正弦函数，有时选余弦函数.若角的范围是(-2π,2π)，选正弦函数比余弦函数好；若角的范围是(0,π)，则选余弦函数比正弦函数好.黑色陷阱：本题若是改求sin(α+β)的值，则会得到α+β两个值，这样还要将α+β的范围(0,π)再缩小才行，问题就变得复杂了.变式训练1已知sinα=55,sinβ=1010，且α和β均为钝角，求α＋β的值.思路分析：先求cos（α＋β）的值，再确定α＋β的值.解：∵α和β均为钝角，∴cosα=552sinh 1-=--α，cosβ=β2sin 1--=-10103.∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=52-×（-103）-（-5）×（-10）=2.由α和β均为钝角得π<α+β<2π，∴α＋β=47π.变式训练2已知tan(α-β)=21，tanβ=-71，且α、β∈(0,π)，求2α-β的值.思路分析：转化为2α-β的正切值，其中注意角的变换2α-β=(α-β)+α.解：∵tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-=21，∴211tan(1)71(tan =-+--α.∴tan 4π=1＞tanα=31＞0.又∵α∈(0,π)，∴α∈(0,4π).∴2α∈(0,2π).∵β∈(0,π)，tanβ=-71,∴β∈(2π,π).∴-π<2α-β<0.∵tan(2α-β)=tan［(α-β)+α］=αβααβαtan )tan(1tan )tan(--+-=312113121⨯-+=1＞0，∴2α-β=-43π.例4(2006上海春季高考卷，19)已知函数f(x)=2sin（x+6π）-2cosx,x∈［2π,π］.（1）若sinx=54，求函数f(x)的值；（2）求函数f(x)的值域.解：（1）∵sinx=54,x∈［2π,π］,∴cosx=53-.f(x)=2（23sinx+21cosx）-2cosx=3sinx-cosx.∴当sinx=54时，函数f(x)=3×54-(53-)=354+53.（2）f(x)=2sin（x+6π）-2cosx =3sinx-cosx =2sin（x-6π），∵2π≤x≤π，∴3π≤x-6π≤65π.∴21≤sin（x-6π）≤1.∴函数f(x)的值域为［1,2］.绿色通道：讨论三角函数的性质时，通常先将函数的解析式化简为y=Asin(ωx+φ)+b 的形式，有时利用换元法转化为二次函数，再讨论其性质.变式训练1(2006广东广州二模，11)函数y=sin2x-3cos2x 的最大值是________________.思路分析：化为y=Asin(ωx+φ)+b 的形式求最值.y=sin2x-3cos2x=2sin(2x-3π)，则最大值为2.答案：2变式训练2已知函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2，（1）若x∈R ，求函数的最大值和最小值；（2）若x∈［0，2π］，求函数的最大值和最小值.思路分析：将sinx+cosx 平方，可得1+2sinxcosx，于是sinx+cosx 和2sinxcosx 可用一个未知数代替，这样利用换元法就可以转化为二次函数问题.解：（1）设t=sinx+cosx=2sin（x+4π）.∵x∈R，∴-2≤t≤2.则t 2=1+2sinxcosx，∴2sinxcosx=t 2-1.∴y=t 2+t+1=（t+21）2+43，-2≤t≤2.∴当t=2时，y 取最大值23+；当t=-21时，y 取最小值43.∴y max =3+2，y min =43.（2）若x∈［0，2π］，则t∈［1，2］.∴y∈［3，3+2］，即y max =3+2，y min =3.问题探究问题（1）试分别计算tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC 的值：①在等边三角形ABC 中；②A=210°,B=120°,C=30°；③A=-150°,B=30°,C=-60°.（2）由（1），你发现了什么结论？并加以证明.（3）利用（2）的结论，计算︒︒︒︒+︒+︒3.76tan 5.93tan 2.10tan 33.76tan 5.93tan 2.10tan 的值.导思：从A＋B＋C 上归纳并猜想出结论.探究：（1）①由题意，得A=B=C=60°，tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=tan60°+tan60°+tan60°-tan60°tan60°tan60°=3+3+3-3×3×3=0.②tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=tan210°+tan120°+tan30°-tan210°tan120°tan30°=33+(-3)+33-33×(-3)×33=0.③tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=tan(-150°)+tan30°+tan(-60°)-tan(-150°)tan30°tan(-60°)=33＋33＋（-3）-33×33×（-3）=0.（2）在（1）①中,A+B+C=180°，有tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=0；在（1）②中,A+B+C=360°，有tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=0；在（1）③中,A+B+C=-180°，有tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=0.猜想：当A+B+C=k·180°（k∈Z ），A，B，C≠k·180°+90°时，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.证明：∵A+B+C=k·180°(k∈Z ).∴A+B=k·180°-C.∴tan(A+B)=tan(k·180°-C).∴BA B A tan tan 1tan tan -+=tanC.∴tanA+tanB=tanC(1-tanAtanB).∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.（3）∵10.2°+93.5°+76.3°=180°，∴tan10.2°+tan93.5°+tan76.3°=tan10.2°tan93.5°tan76.3°.∴313.76tan 5.93tan 2.10tan 33.76tan 5.93tan 2.10tan =︒︒︒︒+︒+︒.。
高中数学第三章三角恒等变换3.2两角和与差的三角函数自主训练北师大版必修420170825342
3.2 两角和与差的三角函数自主广场我夯基 我达标31.(福建高考卷，理 3)已知 α∈( ,π),sinα= ,则 tan(α+ )等于（）2541 1A.B.7C.-D.-777 3 思路解析：由条件求出 tanα， 再 计 算 tan(α+ ).∵α∈( ,π),sinα=4254312=-sin.∴ tanα=- .5 4tan tan1 4 ∴tan(α+ )=.471tantan4答案：A , ∴cosα=2.当 x∈［-2 , 2］时，函数 f(x)=sinx+ 3 cosx 的（）A.最大值为 1，最小值为-1B.最大值为 1，最小值为-12C.最大值为 2，最小值为-2D.最大值为 2，最小值为-1思路解析：先化简再求最值.f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+∴-6≤x+ 3 ≤ 23 .∴-1≤f(x)≤2. 3 )，∵x∈［- 2 , 2］,答案：D3.已知在△ABC 中，满足 tanAtanB ＞1，则这个三角形一定是（ ） A.正三角形 B.等腰直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形思路解析：此题限定条件是在三角形中，可以根据三角函数值的符号来判断角的范围.在三角 形中，常用到三角形的内角和定理.可以将 A+B+C=π 等价转化成 A=π-（B+C ），然后用诱导公 式化简整理.由于 tanAtanB ＞1，可知 tanA ＞0，且 tanB ＞0，则在△ABC 中，A 、B 必定为锐角.又∵ sin cos A sin A cos B B＞1，∴sinAsinB ＞cosAcosB,得到 cos （A+B ）＜0.∴cos （π-C ）＜0，即 cosC＞0.则 C 也必定是锐角.因此△ABC 是锐角三角形. 答案：C4m 64m4.要使得sinα-3cosα=有意义，则m的取值范围是（）77A.（-∞，］B.［1，+∞）C.［-1，］D.（-∞，-1）∪［33+∞)73，思路解析：利用三角函数的值域求m的取值范围. sinα-3cosα=2（12sinα-32cosα）14m 6 =2sin （ α- ） ,∴2sin （ α- ） =， 即 sin （ α-334 m2m 3 7 （α- ）≤1，∴-1≤≤1.解不等式，可得-1≤m≤ .34 m3答案：C3） =2m 4 3 m.∵-1≤sin3 55.△ABC 中，cosA= 且 cosB=，则 cosC 的值是______________.51334思 路 解 析 ： 由 于 在 △ABC 中 ， cosA=.由 于， 可 知 A 为 锐 角 ， ∴sinA= 1cos 2A =55512cosB=.∴cosC=cos ［ π-（ A+B ）］ =-cos， 可 知 B 也 为 锐 角 ， ∴sinB= 1cos 2 B = 13134 12 35 33（A+B ）=sinAsinB-cosAcosB= ×=.× 513 5 1365 33答案：656. sin=_______________.- 3 cos12 12思路解析：方法一：对公式 cos （α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ 逆用.sin=2 - 3 cos1212（ 12sin12 - 32 cos 12 ）=2（sin 6 sin 12 -cos 6 cos 12 ）=-2cos （ 6 +12）=-2cos 4 =- 2 .方法二：利用 12 = 4 - 6 来计算 sin 12 ，sin 12 -3cos12=sin( 4 - 6 )-3cos( 4 - 6 )=- 2 . 答案：- 27.(2006湖南常德一模)已知函数 f(x)=-1+2sin2x+mcos2x 的图象经过点 A(0,1)，求此函数在［0,］上的最值.2思路分析：先求 m 的值，再化简函数的解析式为 y=Asin(ωx+φ)+b 的形式求最值.解：∵A(0,1)在函数的图像上， ∴1=-1+2sin0+mcos0. 解得 m=2.∴f(x)=-1+2sin2x+2cos2x =2(sin2x+cos2x)-1.=22sin(2x+ )-1.4∵0≤x≤，25∴≤2x+≤4442∴- 2 2≤sin(2x+4)≤1. ∴-3≤f(x)≤ 2 2 -1.∴函数 f(x)的最大值为 2 2 -1，最小值是-3.我综合 我发展8.已知 cos （α+β）= 1 3，cos （α-β）= 1 5，求 tanαtanβ 的值.思路分析：化切为弦，就会发现要求 tanαtanβ，就是求 sinαsinβ 和 cosαcosβ 的比值， 因此，本题应该设法求出 sinαsinβ 和 cosαcosβ.解：由已知,得 cos （α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ= 1 3，①cos （α-β）=cosαcosβ+ sinαsinβ= 4①+②得 cosαcosβ=，③15 1①-②得 sinαsinβ=.④ 151 5，② ④÷③即得 tanαtanβ= sin cos s in c os1 = ,即 tanαtanβ=4 1.49.化简 sin 7 c os 7c os15sin 8 sin15sin 8.思路分析：本题要观察出 7°+8°=15°，利用这一关系，可以减少角的个数，解题过程中还需要应用两角和与差的正弦、余弦公式. 解：sin7 c os 7c os15sin 8 sin15sin 8 =sin(15 cos(15 8) 8)c os15sin8 sin15sin 8sin15cos8 c os15sin8 c os15sin8cos15cos8 s in15sin 8sin15sin8sin15cossin15tan45tan308=tan15°=tan(45°-30°)=23.cos15cos8cos151 tan 45tan 301 1 1 10.如果 α、β、γ 都是锐角，并且它们的正切分别为 、 、 ，求 α+β+γ 的值. 258思路分析：要求 α+β+γ，先求 tan （α+β+γ）.先根据 α、β 的正切值可以利用两角和的正切求出（α+β）的正切值，而α+β+γ又可以看作是两个角（α+β）与γ的和，再运用两角和的正切公式求解即可.但要注意确定出α+β+γ这个和的范围，才能证得结果.解：∵tanα=12，tanβ=15，3tan tan ∴tan（α+β）=1tantan12=115112579.∴tan（α+β+γ）=tan［（α+β）+γ］71tan(tan)98= 1.1tan()tan7 1 198又∵α、β、γ都是锐角且０＜tanα=12＜1，0＜ta nβ=15＜1，0＜tanγ=18＜1,∴0°＜α＜45°，0°＜β＜45°，0°＜γ＜45°.∴0＜α+β+γ＜135°.∴α+β+γ=45°.311.已知<α<，0<β<，cos(4444思路分析：利用角的变换：( +α)+(43解：∵<α<，44∴< +α<π.243又∵cos(+α)=，4533+α)=+β)=，sin(543+β)=（α+β）+π.4513，求sin(α+β)的值.∴sin(4+α)=12cos()445.∵0<β<，433∴< +β＜π.443又∵sin( +β)<π，4∴cos(34+β)=3123121sin2()413.3∴sin(α+β)=-sin［π+(α+β)］=-sin［( +α)+(4433=-［sin( +α)cos(+β)+cos(+α)sin(+β)］44444123563=-［×(- ) ］= .×51351365+β)］4。
第三章 三角恒等变换(北师大)
第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切 3.1.1两角和与差的正弦、余弦和正切基础必会练练基础（必写）知识点1余弦公式的应用 1． cos15°的值是（ ） A ． B ．C ．D ．1.C 【解析】：∵cos15°=cos （45°﹣30°） =cos45°cos30°+sin45°sin30° =×+×=．故选：C ．2. cos23°cos37°﹣sin23°sin37°的值为（ ） A ．0B ．C ．D ．2.B 【解析】：cos23°cos37°﹣sin23°sin37°=cos （23°+37°）=cos60°=，故选：B ．3. 已知sin α＝－35，α∈(3π2，2π)，则cos(π4－α)的值为( )(A)210 (B)－210 (C)7210 (D)－72103.A 【解析】：∵sin α＝－35，α∈(3π2，2π)， ∴cos α＝45，∴cos π4cosα＋sin π4sinα＝22×45＋22×(－35)＝210.故选A. 4. ．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝________4. cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.5. 已知α、β、γ∈(0，π2)，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，求β－α的值． 5.【解析】：由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β. 平方相加得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1.∴－2cos(β－α)＝－1.∴cos(β－α)＝12.∴β－α＝±π3.∵sin γ＝sin β－sin α＞0，∴β＞α.，∴β－α＝π3. 知识点2：正弦公式的应用1．sin72°cos18°+cos72°sin18°的值为（ ） A ．1B ．C ．﹣D ．1.A 【解析】：由sin72°cos18°+cos72°sin18°=sin （72°+18°）=sin90°=1． 故选：A ．2.已知sinα=，则=（ ） A ．B ．C ．D ．2.B 【解析】：∵sinα=，∴cosα=﹣=﹣， ∴=sinα﹣cosα=﹣（﹣）×=．故选：B ．3.已知角α的终边经过点（﹣3，4），则的值（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣3.C 【解析】：∵角α的终边经过点（﹣3，4），则sinα=，cosα=， ∴=sinαcos+cosαsin=﹣×=，故选：C ． 4.已知cos （α﹣β）=，sinβ=﹣，且α∈（0，），β∈（﹣，0），则sinα=（ ）A．B．C．﹣D．﹣4.A【解析】：∵α∈（0，），β∈（﹣，0），∴α﹣β∈（0，π），又cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，∴sin（α﹣β）==，cosβ==，则sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=×+×（﹣）=．故选A5.计算：=．5.【解析】：原式====sin30°=．故答案为：。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 两角和与差的三角
3.2.2 两角和与差的正弦、余弦函数备课资料一、备用习题1.计算οοοοοο8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin -+的值.2.利用和差角公式计算下列各式的值.(1)sin72°cos42°-cos72°sin42°.(2)cos20°cos70°-sin20°sin70°.(3)sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x).3.化简cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β.4.已知2π＜β＜α＜43π,cos(α-β)=1312,sin(α+β)=-54,求cos2β的值.5.求证:cos α+3sin α=2sin(6π+α).参考答案:1.解:原式=οοοοοοοοοοοοοοοοοοοο8sin 15sin 8sin 15sin 8cos 15cos 8sin 15cos 8sin 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(-++-=--+- =οοοο8cos 15cos 8cos 15sin =tan15°=tan(45°-30°) =3233133130tan 45tan 130tan 45tan -=+-=+-οοοο.2.解:(1)原式=sin(72°-42°)=sin30°=21.(2)原式=cos(20°+70°)=cos90°=0.(3)原式=sin ［(54°-x)+(36°+x)］=sin90°=1.3.解:原式=cos ［(α+β)-β］=cos α.4.解:∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α-β＜4π,π＜α+β＜23π.又∵cos(α-β)=1312,sin(α+β)=-54,∴sin(α-β)=135,cos(α+β)=-53.∴cos2β=cos ［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =-53×1312+(-54)×135=-6556.5.证明:方法一:右边=2(sin 6πcos α+cos 6πsin α)=2(21cos α+23sin α)=cos α+3sin α=左边. 方法二:左边=2(21cosα+23sinα) =2(sin 6πcosα+cos 6πsinα)=2sin(6π+α)=右边. 本题点评:本题题目虽小但意义重大,也可设计为本节例题.对于此题的证明,学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S α+β展开,化简整理即可得到左边,这是很自然的,教师要给予鼓励.同时教师可以有目的地引导学生把等式左边转化为公式S α+β的右边的形式,然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子,这种证明方法不仅仅是方法的变化,更重要是把两个三角函数化为了一个三角函数.本题给出了两种证法,方法一是正用公式的典例,而方法二则是逆用公式证明的,此法也给了我们一种重要的转化方法:将两个三角函数转化为一个三角函数,要求学生熟练掌握其精神实质.本例的方法二将左边的系数1与3分别变为了21与23,即辅助角6π的正、余弦.关于形如asinx+bcosx(a,b 不同时为零)的式子引入辅助变形为Asin(x+φ)的形式,其基本思想是“从右向左”用和角的正弦公式,把它化成Asin(x+φ)的形式.一般情况下,如果a=Acosφ,b=Asinφ,那么asinx+bcosx=A(sinxcosφ+cosxsinφ)=Asin(x+φ).由sin 2φ+cos 2φ=1,可得A 2=a 2+b 2,A=±22b a +,不妨取A=22b a +,于是得到cosφ=2222sin ,b a b b a a+=+ϕ,从而得到tanφ=b a ,因此asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ),通过引入辅助角φ,可以将asinx+bcosx 这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式,化为这种形式可解决asinx+bcosx 的许多问题,比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意,这种引入辅助角的变形思想很重要,即把两个三角函数化为了一个三角函数,实质上是消元思想,这样就可以根据三角函数的图像与性质来研究它的性质,因此在历年高考试题中出现的频率非常高,在解答高考物理试题时也常常被使用,应让学生领悟其实质并熟练地掌握它.二、三角函数知识歌诀三角函数是函数,象限符号坐标注;函数图像单位圆,周期奇偶增减现.同角关系很重要,化简证明都需要;同角仅是正余切,平方商除有技巧.诱导公式就是好,负化正后大化小;变成锐角好查表,化简证明少不了.三角公式就是美,二的一半整数倍;千变万化有规律,奇数化余偶不变.将其后者视锐角,符号原来函数判;两角和的余弦值,化为单角好求值.计算证明角先行,注意结构函数名;保持基本量不变,繁难向着简易变.换角变形众公式,抓住角的相对性;公式虽多有主线,互余角度名称变.单位圆中有玄机,逻辑推理要严密;恒等变形不变质;向量有了用武地.三角公式变形多,联系过程巧记忆;总结规律常思考,数学原来真美丽.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 两角和与差的三角函数的应用思路分析素材 北师大版必修4(20
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3.2 两角和与差的三角函数的应用思路分析例1 （1）如果方程()102≠=++c c bx x 的两根为tan α、tan β,求()()()()βαβαβαβα++++++22cos cos sin sin c b 的值；(2)在非直角△ABC 中，求证：tanA ＋tanB ＋tanC ＝tanA ·tanB ·tanC ．思路分析：观察（1)中待求式特点，须先求出α＋β的一个三角函数值,由韦达定理和和角正切公式特点，可先求tan （α＋β）．根据（2）中恒等式的结构特点，可利用和角正切公式的变形tan α＋tan β＝tan （α＋β）（1－tan αtan β）将左边的正切和转化为右边的正切积．解：（1）由韦达定理，得⎩⎨⎧=⋅-=+.tan tan ,tan tan c b βαβα ().1 tan tan 1tan tan tan cb --=-+=+∴βαβαβα ()()()[]()()()[]()()()()()[]().1111 1111 tan tan tan 11tan tan cos 222222222222222c c c b c b c c c c b c b b c c c b cb =--+⋅+--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--=++++⋅++=++++⋅+=∴βαβαβαβαβαβα原式 （2）∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C,()()().tan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan C B A CB AC C B A B A CB A ⋅⋅=+⋅--=+⋅-+=++∴ 点评：含α、β两角的正切和与正切积的式子,用和、差角正切公式的变形比较容易处理． 例2 化简().8sin 15sin 7sin 8sin 15cos 7sin1︒︒-︒︒︒+︒()().50cos 50sin 2110tan 3180sin 50sin 2 2︒︒+︒+︒+︒思路分析：对于（1），三个角的关系非常明显，结合和、差角三角函数公式的特点,易进行角度变换7°＝15°－8°．对于（2），一方面应由诱导公式将80°角变换成10°的角，另一方面应将切化成弦．()()()().323113 45tan 60tan 145tan 60tan 4560tan 15tan 8cos 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin 815cos 8sin 15cos 815sin 1 :-=+-=︒︒+︒-︒=︒-︒=︒=︒︒︒︒=︒︒-︒-︒︒︒+︒-︒=原式解()()()().323113 45tan 60tan 145tan 60tan 4560tan 15tan 8cos 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin 815cos 8sin 15cos 815sin 1 :-=+-=︒︒+︒-︒=︒-︒=︒=︒︒︒︒=︒︒-︒-︒︒︒+︒-︒=原式解点评：数值角三角式的化简，在变形过程中应注意产生特殊角,并设法将非特殊的三角函数值约掉或消掉．例3 已知△ABC 中的三内角A 、B 、C 成等差数列,且B C A cos 2cos 1cos 1-=+,求2cos C A -的值．思路分析：本题中角间关系较为隐蔽，注意到260C A B +=︒=,而22C A C A A -++=,22C A C A C --+=．取2C A -作为基本量，就找到了解决本题的突破口． 解：由已知,B ＝60°,A ＋C ＝120°则设,2α=-C A ,6022α+︒=-++=C A C A A .6022α-︒=--+=C A C A C()().43cos cos sin 43cos 41cos sin 23cos 211sin 23cos 211 60cos 160cos 1 cos 1cos 1222-=-=++-=-︒++︒=+αααααααααααCA 故 22cos 243cos cos 2-=-=-Bαα依题设有 ,cos cos :023224 2=-α+α整理得()().cos cos 032222=+α-α,cos 0322≠+α.cos 022=-α∴.C A cos 222=-故 点评：本题实际上是把题设等式看成一个方程,上述解法体现了方程思想的应用．例4 已知21cos cos ,31sin sin =--=-βαβα,α、β都是锐角，求tan （α－β）的值． ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-21cos cos 31sin sin :βαβα由错解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=β+βα-α=β+βα-α②①得 412 912 2222cos cos cos cos sin sin sin sin()361322 =β-α-+cos ②得① ()7259cos =-∴βα 22πβαπ<-<-又()()721703cos 1sin 2±=--±=-∴βαβα ()()()591703cos sin tan ±=--=-βαβαβα故 点评:上述错解未挖掘出角的隐含条件．事实上，由于α、β为锐角，且031sin sin <-=-βα，可知α－β＜0，于是有02<-<-βαπ． ()591703 :-=β-αtan 正解. 小试牛刀 1、sin163°sin223°+sin253°sin313°等于( ）A.－21 B 。
高中数学第三章三角恒等变换3.2.1两角和与差的正弦函数素材北师大版
3.2.1 两角和与差的正弦函数例题分析“问题是数学的心脏”，在两角和与差的三角函数的学习中，面对这一节公式较多，题型也多情况下，有必要整理本节的知识结构，减少学习困难和压力，下面是我把这一节书归结为以下主要问题，进行教学，引导学生解决问题。
一 公式的内在联系问题1)2)在此基础上,我让学生从C )(βα+这个公式推导其它所有公式,并写成小论文形式． 两角和与差三角函数公式，倍角公式是学好这一节内容的关键，对于公式教多情况下，不易记忆，这就有必要指导学生发现公式的内在联系，这样能帮助学生理解和记忆公式，并且培养了学生的逻辑思维能力和创新能力．二．典型例题分析()()();22 1 1B A cos Asin B A sin +-+化简例 ()().cos ,tan ,cos ,的值求为锐角、已知β-=β-α=αβα3154 2 思路分析：角度变换是三角恒等变换的首选方法，解答本例要注意对题中角间的关系进行分析，如（1）中有2A ＋B ＝（A ＋B ）＋A ，（2）中有β＝α－（α－β），抓住了这些关系后，再恰当地运用公式，问题便不难解决了．（2）解法一：.sin ,cos ,53 54=α∴=αα是锐角 .,22 π<β-α<π-∴βα为锐角、又 ()可求出,31tan -=-βα ()(),1010sin ,10103cos -=-=-βαβα ()[]()().10509 1010531010354 sin sin cos cos cos cos =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=-+-=--=∴βααβααβααβ,54cos , :=αα是锐角解法二 .tan ,sin 4353=α=α∴ ()[]()().913314313143 tan tan 1tan tan tan tan =⋅-+=-+--=--=∴βααβααβααβ 又∵β是锐角，.10509cos =∴β 点评：对角间的关系进行分析，主要是分析它们之间的和、差、倍、分关系，以便通过角度变换，减少不同角的个数．它实际上是一种基本量方法，即把题中某些角作为基本量，其他角用基本量表示出来，达到变形的目的．()()()()()()sin 2cos sin : 1 sin sin cos cos sin sin sin sin sin .sin A B A A B A A A B A A B A A A B A A BA ++-+=+-+=+-==⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦解原式例2 （1）如果方程()102≠=++c c bx x 的两根为tan α、tan β，求()()()()βαβαβαβα++++++22cos cos sin sin c b 的值；（2）在非直角△ABC 中，求证：tanA ＋tanB ＋tanC ＝tanA ·tanB ·tanC ．思路分析：观察（1）中待求式特点，须先求出α＋β的一个三角函数值，由韦达定理和和角正切公式特点，可先求tan （α＋β）．根据（2）中恒等式的结构特点，可利用和角正切公式的变形tan α＋tan β＝tan （α＋β）（1－tan αtan β）将左边的正切和转化为右边的正切积．解：（1）由韦达定理，得⎩⎨⎧=⋅-=+.tan tan ,tan tan c b βαβα ().1 tan tan 1tan tan tan cb --=-+=+∴βαβαβα ()()()[]()()()[]()()()()()[](). 1111 1111 tan tan tan 11tan tan cos 222222222222222c c c b c b c c c c b c b b c c c b cb =--+⋅+--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--=++++⋅++=++++⋅+=∴βαβαβαβαβαβα原式 （2）∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，()()().tan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan C B A CB AC CB A B A CB A ⋅⋅=+⋅--=+⋅-+=++∴点评：含α、β两角的正切和与正切积的式子，用和、差角正切公式的变形比较容易处理．例3 化简().8sin 15sin 7sin 8sin 15cos 7sin 1︒︒-︒︒︒+︒ ()().50cos 50sin 2110tan 3180sin 50sin 2 2︒︒+︒+︒+︒思路分析：对于（1），三个角的关系非常明显，结合和、差角三角函数公式的特点，易进行角度变换7°＝15°－8°．对于（2），一方面应由诱导公式将80°角变换成10°的角，另一方面应将切化成弦．()()()().323113 45tan 60tan 145tan 60tan 4560tan 15tan 8cos 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin 815cos 8sin 15cos 815sin 1 :-=+-=︒︒+︒-︒=︒-︒=︒=︒︒︒︒=︒︒-︒-︒︒︒+︒-︒=原式解()()()().323113 45tan 60tan 145tan 60tan 4560tan 15tan 8cos 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin 815cos 8sin 15cos 815sin 1 :-=+-=︒︒+︒-︒=︒-︒=︒=︒︒︒︒=︒︒-︒-︒︒︒+︒-︒=原式解点评：数值角三角式的化简，在变形过程中应注意产生特殊角，并设法将非特殊的三角函数值约掉或消掉．例4 已知△ABC 中的三内角A 、B 、C 成等差数列，且B C A cos 2cos 1cos 1-=+，求2c o s C A -的值．思路分析：本题中角间关系较为隐蔽，注意到260C A B +=︒=，而22C A C A A -++=，22C A C A C --+=．取2C A -作为基本量，就找到了解决本题的突破口． 解：由已知，B ＝60°，A ＋C ＝120°则设,2α=-C A ,6022α+︒=-++=C A C A A .6022α-︒=--+=C A C A C ()().43cos cos sin 43cos 41cos sin 23cos 211sin 23cos 211 60cos 160cos 1 cos 1cos 1 222-=-=++-=-︒++︒=+αααααααααααCA 故22cos 243cos cos 2-=-=-Bαα依题设有 ,cos cos :023224 2=-α+α整理得()().cos cos 032222=+α-α ,cos 0322≠+α.cos 022=-α∴.C A cos 222=-故 点评：本题实际上是把题设等式看成一个方程，上述解法体现了方程思想的应用．例5 已知21cos cos ,31sin sin =--=-βαβα，α、β都是锐角，求tan （α－β）的值．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-21cos cos 31sin sin :βαβα由错解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=β+βα-α=β+βα-α②①得 412 912 2222cos cos cos cos sin sin sin sin ()361322 =β-α-+cos ②得①()7259cos =-∴βα 22πβαπ<-<-又()()721703cos 1sin 2±=--±=-∴βαβα ()()()591703cos sin tan ±=--=-βαβαβα故 点评：上述错解未挖掘出角的隐含条件．事实上，由于α、β为锐角，且031sin sin <-=-βα，可知α－β＜0，于是有02<-<-βαπ． ()591703 :-=β-αtan 正解。
高中数学第三章三角恒等变换3.2两角和与差的三角函数课后导练北师大版
3.2 两角和与差的三角函数课后导练基础达标1.sin18°等于（ ）A.cos20°cos2°+sin20°sin2°B.cos20°cos2°-sin20°sin2°C.sin20°cos2°+cos20°sin2°D.sin20°cos2°-cos20°sin2°解析：选项A 为cos(20°-2°)=cos18°; B 为cos(20°+2°)=cos22°; C 为sin(20°+2°)=sin22°; D 为sin （20°-2°）=sin18°. 答案：D 2.化简sin1225πcos 611π-cos 1211πsin 65π的值是（ ）A.22-B.22C.-sin 12πD.sin 12π解析：先用诱导公式将角转化，再逆用公式即得.原式=-sin 12πcos 65π+cos 12πsin 65π=sin(65π-12π)=sin43π=22. 答案：B3.满足cos α·cos β=23+sin α·sin β的一组α、β的值是（ ） A.α=1213π β=43π B.α=2π β=3πC.α=2π β=6πD.α=3π β=6π解析：将原式变形：cos α·cos β-sin α·sin β=23∴cos(α+β)=23, ∴α+β=2k π±6π(k∈Z ), ∴只有A 选项适合.答案：A 4.计算︒-︒︒-︒2cos 35cos 25sin 35sin 的值等于（ ）A.33-B.-3C.33 D.3 解析：将35°拆成30°+5°，25°拆成30°-5°展开化简. 原式=︒-=︒︒-︒︒=︒-︒-︒+︒︒-︒-︒+︒30tan15sin 30sin 25sin 30cos 2)530cos()530cos()530sin()530sin(=-3.答案：B 5.︒-︒80sin 310sin 1的值是（ ）A.1B.2C.4D.41 解析：原式=︒︒︒-︒10cos 10sin 10sin 310cos=︒︒-︒20sin 21)1030sin(2=4.答案：C6.计算cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)的值为___________. 解析：根据原式可逆用两角差的余弦公式来求解. 原式=cos(α-35°-25°-α)=cos(-60°)=21. 答案：21 7.若tan α=21,则tan(α+4π)=__________________. 解析：tan α(α+4π)=2111214tan tan 14tan tan -+=∙-+παπα=3.答案：38.tan α=21，tan β=31,0<α<2π,π<β<23π,求α+β的值. 解析：∵tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+=312113121∙-+=1.又∵0<α<2π,π<β<23π,∴π<α+β<2π, ∴α+β=45π. 9.求下面函数的值：(1)tan20°+tan40°+3tan20°tan40°;(2)︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin(3)︒︒-︒20cos 70cos 80sin 2;(4)(tan10°-3)︒︒50sin 10cos解析：(1)原式=tan(20°+40°)(1-tan20°tan40°)+3tan20°tan40° =3(1-tan20°tan40°)+3tan20°tan40°=3. (2)原式=︒︒-︒︒+︒︒︒︒+︒︒-︒︒=︒︒-︒-︒︒︒+︒-︒8sin 15sin 8sin 15sin 8cos 15cos 8sin 15cos 8sin 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(=tan15°=tan(45°-30°)=3233133130tan 45tan 130tan 45tan -=+-=︒︒+︒-︒. (3)原式=320cos 20sin 20sin 20cos 320cos 20sin )2060sin(2=︒︒-︒+︒=︒︒-︒+︒.(4)原式=（tan10°-tan60°）︒︒∙︒︒︒-=︒︒︒︒-︒︒=︒︒50sin 10cos 60cos 10cos )50sin(50sin 10cos )60cos 60sin 10cos 10sin (50sin 10cos =-2.10.已知sin （α+β）=31,sin(α-β)=51,求βαtan tan 的值.解析：由已知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+)2.(51sin cos cos sin )1(,31sin cos cos sin βαβαβαβα①+②,得2sin αcos β=158③ ①-②，得2cos αsin β=152④③÷④得βαβαsin cos cos sin =4,即βαtan tan =4. 综合运用11.在△ABC 中，若cosA=54,cosB=135,则cosC 的值是（ ） A.6516 B.6556 C. 6516或6556D.6516-解析：在△ABC 中，0<A<π,0<B<π,cosA=54>0,cosB=135>0, 得0<A<2π,0<B<2π,从而sinA=53,sinB=1312,∴cosC=cos［π-(A+B)］=-cos(A+B)=sinA·sinB -cosA·cosB =53×1312-54×135=6516. 答案：A12.已知tan(α+β)=52,tan(β-5π)=41，那么tan(α+5π)的值为（ ） A.183- B.183 C.1213 D.223解析：tan(α+5π)=tan ［(α+β)-(β-5π)］=223415214152=∙+-. 答案：D 13.求值︒︒-︒︒︒+︒7sin 75sin 68cos 7sin 75cos 68sin =________________.解析：原式=︒︒-︒-︒︒︒+︒-︒7sin 75sin )775cos(7sin 75cos )775sin(=︒︒-︒︒+︒︒︒︒+︒︒-︒︒7sin 75sin 7sin 5sin 7cos 75cos 7sin 75cos 75cos 7sin 7cos 75sin=tan75°=2+3. 答案：2+3 14.αααcos )30sin()30sin(︒--︒+的值为____________.解析：原式=ααααααcos cos 212cos 30sin cos 30cos sin 30sin cos 30cos sin ⨯=︒+︒-︒+︒x =1. 答案：115.频率相同的正弦电流相加，得到的仍是一个正弦电流，已知I 1=3sin(100πt+4π),I 2=sin(100πt-4π)，若I 1+I 2=I 3,I 3=Asin(ωt+θ)，其中A>0,ω>0,0<θ<2π，求A 、ω、θ. 解析：∵I 2=sin(100πt-4π) =cos(2π-100πt+4π) =cos(43π-100πt)=-cos(π-43π+100πt) =-cos(100πt+4π),∴I 3=I 1+I 2=3sin(100πt+4π)-cos(100πt+4π) =2［23sin(100πt+4π)21-cos(100πt+4π)］ =2sin(100πt+4π-6π) =2sin(100πt+12π).∴A=2,ω=100π,θ=12π.拓展探究16.如下图所示，工人师傅要把宽是4 cm 和8 cm 的钢板焊接成60°角，下料时x 应满足什么条件？思路分析:可寻找关于x 的三角函数的某种关系，寻求x 满足的条件. 解：由题图可知∠CBD=60°，则∠ABD=60°-x, 在△ABC 中，sinx=AB4,① 在△ABD 中，sin(60°-x)=AB8,② 由①②得xx sin )60sin(-︒=2，即sin(60°-x)=2sinx ，23cosx 21-sinx=2sinx. ∴25sinx=23cosx.∴tanx=53.∴当x 满足tanx=53时，符合要求.。
高中数学第三章三角恒等变换3.2.3两角和与差的正切函数课时素养评价含解析北师大版必修
学习资料课时素养评价二十五两角和与差的正切函数(20分钟35分)1.若tan=2,则= （）A。
B。
2 C.-2 D。
—【解析】选D。
已知tan=2，所以=2,则=2，所以==—=-。
【补偿训练】已知cos=2cos，则tan= ( )A。
B.—3 C。
D.3【解析】选B。
由cos=2cos（π-α），可得—sin α=—2cos α，所以tan α=2，则tan===-3.2.已知tan α，tan β是方程x2+3x+4=0的两个根,且α、β∈，则α+β的值是（)A。
B.—C。
或— D。
—或【解析】选B。
由题意得tan α+tan β=—3，tan αtan β=4,所以tan α<0,tan β〈0，所以α,β∈，因为tan（α+β)===，α+β∈（—π，0）,所以α+β=—.3。
已知tan α+tanβ=2，tan（α+β）=4，则tan α·tan β等于( )A.4 B。
2 C。
1 D。
【解析】选D。
因为tan(α+β）=，又tan α+tan β=2,tan（α+β)=4，所以4=,所以tan αtan β=.4。
已知tan=7，α∈,则cos α=。
【解析】因为tan α=tan==,又α∈,由tan α〉0可得α∈，所以cos α== ===。
答案：5。
若（tan α—1）（tan β-1）=2，则α+β= .【解析】(tan α-1）（tan β-1)=2⇒tan αtan β-tan α—tan β+1=2⇒tan α+tan β=tan αtan β—1⇒=—1,即tan（α+β)=-1，所以α+β=kπ-，k∈Z。
答案：kπ—，k∈Z6。
已知α是第二象限角，其终边上的一点为P,且cos α=.（1）求x的值。
(2)求tan的值。
【解析】(1）由P得cos α=,由cos α=得=,解得x=0或x=12或x=—12。
α是第二象限角,则x〈0，所以x=—12。
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3.2 两角和与差的三角函数典题精讲例1计算.思路分析：10°、20°角直观上看似没有联系，但是两者的和角是30°为特殊角，所以把10°等价代换成30°-20°后就可以用两角差的公式化简.解：==.绿色通道：本题是无条件的三角函数求值问题，这是三角函数中的重要内容，是高考常考查的内容之一，对于这类非特殊角的三角函数式，求解具体数值一般有以下途径：（1）将非特殊角化为特殊角的和或差的形式；（2）化为正负相消的项，消项，求值；（3）化为分子、分母形式，进行约分求值；（4）利用诱导公式化任意角的三角函数为在［0, ］内的三角函数；（5）特别注意诱导公式±α的应用；（6）化切函数为弦函数；（7）善于逆用和变形三角函数的和差公式.在进行求值过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则才进行各局部的变形.变式训练1(2006陕西高考卷，理)13 cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为_____________.思路分析：原式=cos43°cos77°+sin43°cos(90°+77°)=cos43°cos77°-sin43°sin77°=cos(43°+77°)=cos120°=-.答案：-变式训练2求sin cos-sin sin的值.思路分析：观察分析这些角的联系，会发现=-，即与是互余的两角，因此可用诱导公式将sin变为cos，进而用和差角的正余弦公式求解.解：原式=sin cos-sin（-）sin=sin cos-cos sin=sin（-）=sin=.例2(2006重庆高考卷，理13)已知α,β∈（,π），sin(α+β)=,sin（β-）=,则cos（α+）=________________.思路分析：利用α+=(α+β)-(β-)来求值.∵ α,β∈（,π），∴(α+β)∈(,2π).∴cos(α+β)==.又(β-)∈(,)，∴cos(β-)=-.∴cos(α+)=cos［(α+β)-(β-)］=cos(α+β)cos(β-)+sin(α+β)sin(β-)= (-)+( )=-.答案：-绿色通道：本题属于“知值求值”的题目，“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中常用，因为变角后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明.常见的角的变换方式：α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)，α+2β=(α+β)+β等等，变换的方式很多，需要自己慢慢的体会和探索.黑色陷阱：求解时如果将sin(α+β)和sin（β-）展开，通过解方程组求sinβ和cosβ，那么运算量很大，会因解方程组而陷入困境.变式训练1已知cosα=，cos（α+β）=，且α、β∈（0，），求cosβ的值.思路分析：观察得β=（α+β）-α，再利用两角差的余弦公式展开，求出结果.解：∵α、β∈（0，），∴0<α+β<π.∵cosα=，cos（α+β）=，∴sinα=，sin（α+β）=.∴cosβ=cos［（α+β）-α］=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=×+×=.∴cosβ=.变式训练2已知sinα+sinβ=，cosα+cosβ=，求cos（α-β）的值.思路分析：由于cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，欲求cos（α-β）的值，只需要求出cosαcosβ+sinαsinβ的值，而要得到两组同名三角函数乘积，需将条件中的两式平方，再相加即得cosαcosβ+sinαsinβ的结果.解：∵(sinα+sinβ)2=，(cosα+cosβ)2=，∴sin2α+2sinαsinβ+sin2β=,①cos2α+2cosαcosβ+cos2β=.②①+②得2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=1，∴ 2+2cos（α-β）=1.∴cos（α-β）=-.例3已知锐角α、β满足sinα=，cosβ=，求α+β.思路分析：要求α+β的值，需先求α+β的一个三角函数值，再根据角的范围确定角的具体值.解：∵α、β是锐角，∴ cosα=，sinβ=.∴cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ=·-·.由0＜α＜，0＜β＜，得到０＜α+β＜π.∴α+β=.绿色通道：本题是“知值求角”的题目.其解题策略是先求角的一个三角函数值，再由角的范围确定角的大小，通常情况下，所求的角是特殊角.选择求角的三角函数值方法：已知正切函数值，选择求正切函数；已知正、余弦函数值，选择求正弦或余弦函数.若角的范围是(0, )，有时选正弦函数，有时选余弦函数.若角的范围是(-,)，选正弦函数比余弦函数好；若角的范围是(0,π)，则选余弦函数比正弦函数好.黑色陷阱：本题若是改求sin(α+β)的值，则会得到α+β两个值，这样还要将α+β的范围(0,π)再缩小才行，问题就变得复杂了.变式训练1已知sinα=,sinβ=，且α和β均为钝角，求α＋β的值.思路分析：先求cos（α＋β）的值，再确定α＋β的值.解：∵α和β均为钝角，∴cosα=，cosβ==-.∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=×（-）-（-）×（-）=.由α和β均为钝角得π<α+β<2π，∴α＋β=.变式训练2已知tan(α-β)= ，tanβ=-，且α、β∈(0,π)，求2α-β的值.思路分析：转化为2α-β的正切值，其中注意角的变换2α-β=(α-β)+α.解：∵tan(α-β)= =，∴.∴tan=1＞tanα=＞0.又∵ α∈(0,π)，∴α∈(0,).∴2α∈(0,).∵β∈(0,π)，tanβ=-,∴β∈(,π).∴-π<2α-β<0.∵tan(2α-β)=tan［(α-β)+α］===1＞0，∴2α-β=-.例4(2006上海春季高考卷，19)已知函数f(x)=2sin（x+）-2cosx,x∈［,π］. （1）若sinx=，求函数f(x)的值；（2）求函数f(x)的值域.解：（1）∵sinx=,x∈［,π］,∴cosx=.f(x)=2（sinx+cosx）-2cosx=3sinx-cosx.∴当sinx=时，函数f(x)=×-()=+.（2）f(x)=2sin（x+）-2cosx=sinx-cosx=2sin（x-），∵≤x≤π，∴≤x-≤.∴≤sin（x-）≤1.∴ 函数f(x)的值域为［1,2］.绿色通道：讨论三角函数的性质时，通常先将函数的解析式化简为y=Asin(ωx+φ)+b的形式，有时利用换元法转化为二次函数，再讨论其性质.变式训练1(2006广东广州二模，11)函数y=sin2x-cos2x的最大值是________________.思路分析：化为y=Asin(ωx+φ)+b的形式求最值.y=sin2x-cos2x=2sin(2x-)，则最大值为2.答案：2变式训练2已知函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2，（1）若x∈R，求函数的最大值和最小值；（2）若x∈［0，］，求函数的最大值和最小值.思路分析：将sinx+cosx平方，可得1+2sinxcosx，于是sinx+cosx和2sinxcosx可用一个未知数代替，这样利用换元法就可以转化为二次函数问题.解：（1）设t=sinx+cosx=sin（x+）.∵x∈R，∴-≤t≤.则t2=1+2sinxcosx，∴ 2sinxcosx=t2-1.∴y=t2+t+1=（t+）2+，-≤t≤.∴当t=时，y取最大值；当t=-时，y取最小值.∴ y max=3+2，y min=.（2）若x∈［0，］，则t∈［1，2］.∴ y∈［3，3+］，即y max=3+，y min=3.问题探究问题（1）试分别计算tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC的值：①在等边三角形ABC中；②A=210°,B=120°,C=30°；③A=-150°,B=30°,C=-60°.（2）由（1），你发现了什么结论？并加以证明.（3）利用（2）的结论，计算的值.导思：从A＋B＋C上归纳并猜想出结论.探究：（1）①由题意，得A=B=C=60°，tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=tan60°+tan60°+tan60°-tan60°tan60°tan60°=++-××=0.②tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=tan210°+tan120°+tan30°-tan210°tan120°tan30°=+(-)+-×(-)×=0.③tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=tan(-150°)+tan30°+tan(-60°)-tan(-150°)tan30°tan(-60°)=＋＋（-）-××（-）=0.（2）在（1）①中,A+B+C=180°，有tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=0；在（1）②中,A+B+C=360°，有tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=0；在（1）③中,A+B+C=-180°，有tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=0.猜想：当A+B+C=k·180°（k∈Z），A，B，C≠k·180°+90°时，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.证明：∵A+B+C=k·180°(k∈Z).∴ A+B=k·180°-C.∴tan(A+B)=tan(k·180°-C).∴=tanC.∴tanA+tanB=tanC(1-tanAtanB).∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.（3）∵10.2°+93.5°+76.3°=180°，∴tan10.2°+tan93.5°+tan76.3°=tan10.2°tan93.5°tan76.3°.∴.。