江苏省2019届高三数学一轮复习典型题专题训练：平面向量
(江苏专用)高考数学一轮复习 加练半小时 专题5 平面向量、复数 第38练 平面向量的数量积 理(含
第38练 平面向量的数量积[基础保分练]1．(2019·某某模拟)已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →⊥a ，则实数k的值为________．2．已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且(4a －b )·(a ＋3b )＝2，则向量a ，b 的夹角θ为_______．3．已知正三角形ABC 的边长为23，重心为G ，P 是线段AC 上一点，则GP →·AP →的最小值为________．4．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且向量a ，b 的夹角为π4，若a －λb 与b 垂直，则实数λ的值为________．5．(2019·某某模拟)平行四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，AB →·AD →＝－6，DM →＝13DC →，则MA →·MB →的值为________．6.如图，在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝23，∠BAC ＝θ，点D 为BC 的三等分点(靠近点C )，则AD →·BC →的取值X 围为________．7．如图，A ，B 是函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π2的图象上两点，则(OA →＋OB →)·AB →＝________.8．(2019·某某调研)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值与最小值的和为________．9．(2019·某某模拟)已知平面向量a ，b (a ≠0，b ≠a )满足|b |＝1，且a 与b －a 的夹角为150°，则|a |的取值X 围是________．10．已知a ＝(－1,1)，b ＝(2m ，m ＋3)，当a 与b 的夹角为锐角时，则实数m 的取值X 围是________． [能力提升练]1．设向量e 1，e 2满足：|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角是90°，若2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，则t 的取值X 围是________．2．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上，则AP →·AB →的最大值为________．3．已知在△OAB 中，OA ＝OB ＝2，AB ＝23，动点P 位于线段AB 上，则PA →·PO →的最小值是________．4．已知a ，b 是不共线的两个向量，a ·b 的最小值为43，若对任意m ，n ∈R ，|a ＋m b |的最小值为1，|b ＋n a |的最小值为2，则|b |的最小值为________．5．已知△ABC ，AB ＝43，AC ＝23，AD 是BC 边上的中线，且∠BAD ＝30°，则AD 的长为________．6．已知正方形ABCD 的边长为1，P 为平面ABCD 内一点，则(PA →＋PB →)·(PC →＋PD →)的最小值为__________．答案精析基础保分练1．－1 2.2π3 3.－34 4.245.16 6．(5,9) 7.6 8.4 9.(0,2]10．(－∞，－1)∪(－1,3)解析 ∵向量a 与b 的夹角为锐角，∴a ·b ＝－2m ＋m ＋3＝－m ＋3>0，解得m <3.设a ＝λb (λ>0)，即(－1,1)＝λ(2m ，m ＋3)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2mλ＝－1，λm ＋3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝12，m ＝－1，即当m ＝－1时，向量a 与b 同向共线，不合题意．∴实数m 的取值X 围是(－∞，－1)∪(－1,3)．能力提升练1.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，0 2．1＋255 3.－344.45.3 6．－1解析 如图，以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A (0,1)，B (0,0)，C (1,0)，D (1,1)．设P (x ，y )，则PA →＝(－x,1－y )，PB →＝(－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )， PD →＝(1－x,1－y )，∴(PA →＋PB →)·(PC →＋PD →)＝(－2x,1－2y )·(2(1－x )，1－2y )＝(1－2y )2－4(1－x )x＝(1－2y )2＋(2x －1)2－1，∴当x ＝12，y ＝12时， (PA →＋PB →)·(PC →＋PD →)有最小值，且最小值为－1.。
2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第五章 平面向量5.1
§5.1平面向量的概念及线性运算考情考向分析主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题；题型以填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现．1．向量的有关概念3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.知识拓展1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋1n n A A －＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连结而成的向量和为零向量．2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．3.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × ) 题组二 教材改编2．[P72习题T13]在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为 ． 答案 矩形解析 如图，因为AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →，所以|AC →|＝|DB →|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形．3．[P72习题T9]已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝ ，BC →＝ .(用a ，b 表示) 答案 b －a －a －b解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .题组三 易错自纠4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的 条件． 答案 充分不必要解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件． 5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝ . 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.6．(2013·江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB→＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为 ． 答案 12解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.题型一 平面向量的概念1．给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是 ． 答案 ②③解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同； ②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形， 反之，若四边形ABCD 为平行四边形， 则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，∴AB →＝DC →；③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c ；④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③.2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是 ． 答案 3解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 思维升华 向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．题型二 平面向量的线性运算命题点1 向量的线性运算典例 (1)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝ . 答案 23b ＋13c解析 ∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋AB →， ∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .(2)如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2DB ，点E 在AD 边上，且AD ＝3AE ，则用向量AB →，AC →表示CE →为 ．答案 CE →＝29AB →－89AC →解析 由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得CE →＝CA →＋AE →，AE →＝13AD →，AD →＝AB →＋BD →，BD →＝13BC →，BC →＝BA →＋AC →，BD →＝13(BA →＋AC →)，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BA →＋13AC →，AE →＝13⎝⎛⎭⎫AB →＋13BA →＋13AC →， CE →＝CA →＋13AB →＋19BA →＋19AC →＝13AB →＋19BA →＋CA →＋19AC →＝29AB →＋89CA →， ∵89CA →＝－89AC →，∴CE →＝29AB →－89AC →. 命题点2 根据向量线性运算求参数典例 (1)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝ ，y ＝ . 答案 12 －16解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB → ＝13AC →＋12(AB →－AC →) ＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →， ∴x ＝12，y ＝－16.(2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫－13，0 解析 设CO →＝yBC →， ∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →) ＝－yAB →＋(1＋y )AC →.∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， ∴y ∈⎝⎛⎭⎫0，13， ∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →， ∴x ＝－y ，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－13，0.思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练 (1)如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 上的一个靠近点B 的三等分点，那么EF →用AB →和AD →可表示为 ．答案 EF →＝12AB →－23AD →解析 在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →. 因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 上的一个靠近点B 的三等分点， 所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →. (2)如图，直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且与对角线AC 交于点K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为 ．答案 29解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，∴AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知， AC →＝AB →＋AD →，∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)＝λ⎝⎛⎭⎫52AE →＋2AF → ＝52λAE →＋2λAF →， ∵E ，F ，K 三点共线，∴52λ＋2λ＝1，∴λ＝29.题型三 共线向量定理的应用典例 设两个非零向量a 与b 不共线． (1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →， ∴AB →，BD →共线．又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)解 假设k a ＋b 与a ＋k b 共线， 则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1. 引申探究若将本例(1)中“BC →＝2a ＋8b ”改为“BC →＝a ＋m b ”，则m 为何值时，A ，B ，D 三点共线？ 解 BC →＋CD →＝(a ＋m b )＋3(a －b )＝4a ＋(m －3)b ， 即BD →＝4a ＋(m －3)b .若A ，B ，D 三点共线，则存在实数λ，使BD →＝λAB →. 即4a ＋(m －3)b ＝λ(a ＋b )．∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝λ，m －3＝λ，解得m ＝7. 故当m ＝7时，A ，B ，D 三点共线．思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．跟踪训练 (1)(2017·镇江一中月考)已知e 1，e 2是一对不共线的非零向量，若a ＝e 1＋λe 2，b ＝－2λe 1－e 2，且a ，b 共线，则λ＝ .答案 ±22解析 ∵a ，b 共线，∴b ＝γa ＝γe 1＋γλe 2＝－2λe 1－e 2，故⎩⎪⎨⎪⎧γ＝－2λ，γλ＝－1，解得λ＝±22.(2)已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为 ． 答案 {－1}解析 ∵BC →＝OC →－OB →，∴x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0， 即OC →＝－x 2OA →－(x －1)OB →，∵A ，B ，C 三点共线， ∴－x 2－(x －1)＝1，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.当x ＝0时，x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去，故x ＝－1.容易忽视的零向量典例 下列叙述错误的是 ．(填序号)①若非零向量a 与b 方向相同或相反，则a ＋b 与a ，b 之一的方向相同； ②|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同；③向量b 与向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ； ④AB →＋BA →＝0； ⑤若λa ＝λb ，则a ＝b .现场纠错解析 对于①，当a ＋b ＝0时，其方向任意，它与a ，b 的方向都不相同． 对于②，当a ，b 之一为零向量时结论不成立．对于③，当a ＝0且b ＝0时，λ有无数个值；当a ＝0但b ≠0或a ≠0但b ＝0时，λ不存在． 对于④，由于两个向量之和仍是一个向量， 所以AB →＋BA →＝0.对于⑤，当λ＝0时，不管a 与b 的大小与方向如何，都有λa ＝λb ，此时不一定有a ＝b . 故①②③④⑤均错． 答案 ①②③④⑤纠错心得 在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量．1．给出以下命题：①|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关； ②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ④单位向量都是共线向量． 其中，正确命题的个数是 ． 答案 2解析 ②④错误．2．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是 ．(填序号) ①a 与λa 的方向相反； ②a 与λ2a 的方向相同； ③|－λa |≥|a |； ④|－λa |≥|λ|·a . 答案 ②解析 对于①，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反；②正确；对于③，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于④，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．3．(2017·南京十三中月考)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝ . 答案 2解析 由平行四边形法则，得AB →＋AD →＝AC →＝2AO →， 故λ＝2.4．(2017·镇江实验中学调研)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA→＋λCB →，则λ＝ . 答案 23解析 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点， ∵AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.5.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为 ．答案 2解析 ∵O 为BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2.6．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为 ． 答案 －1解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线． 设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )， ∵a ，b 不共线，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.7．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下列结论正确的是 ．(填序号) ①a ∥b ；②a ⊥b ；③|a |＝|b |；④a ＋b ＝a －b . 答案 ②解析 根据向量加法、减法的几何意义可知，|a ＋b |与|a －b |分别为以向量a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a ＋b |＝|a －b |，所以该平行四边形为矩形，所以a ⊥b . 8．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确命题的序号为 ． 答案 ②③④解析 BC →＝a ，CA →＝b ， AD →＝12CB →＋AC →＝－12a －b ，BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，所以AD →＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0.所以正确命题的序号为②③④.9.如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m －n ＝ .答案 －2解析 由BD ＝2DC ，得BC →＝－3CD →， 其中BC →＝AC →－AB →，CD →＝AD →－AC →， 那么BC →＝－3CD →可转化为 AC →－AB →＝－3(AD →－AC →)， 可以得到－2AC →＝－3AD →＋AB →，即AC →＝－12AB →＋32AD →，则m ＝－12，n ＝32，那么m －n ＝－12－32＝－2.10．在直角梯形ABCD 中，A ＝90°，B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是 ． 答案 ⎣⎡⎦⎤0，12 解析 由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，∴AB →＝2DC →， ∵点E 在线段CD 上，∴DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． ∵AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，∴2μλ＝1，即μ＝λ2，∵0≤λ≤1， ∴0≤μ≤12.即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 11.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示向量AO →.解 方法一 由D ，O ，C 三点共线，可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝⎛⎭⎫b －12a ＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数)，同理，可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →) ＝k 2⎝⎛⎭⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数)，① 又BO →＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫－12k 1a ＋k 1b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，②所以由①②，得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝⎛⎭⎫12k 2－k 1b ＝0. 又a ，b 不共线，所以⎩⎨⎧12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0，解得⎩⎨⎧k 1＝13，k 2＝23.所以BO →＝－23a ＋13b .所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )．方法二 延长AO 交BC 于点E ，则E 为BC 的中点，所以AO →＝23AE →＝23⎝⎛⎭⎫12AB →＋12AC → ＝13()AB →＋AC →＝13(a ＋b )． 12．设a ，b 是不共线的两个非零向量．(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A ，B ，C 三点共线； (2)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －k b ，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值． (1)证明 由已知得，AB →＝OB →－OA →＝3a ＋b －2a ＋b ＝a ＋2b ， BC →＝OC →－OB →＝a －3b －3a －b ＝－2a －4b ， 故BC →＝－2AB →， 又BC →与AB →有公共点B ， 所以A ，B ，C 三点共线．(2)解 AC →＝AB →＋BC →＝3a －2b ，CD →＝2a －k b . 因为A ，C ，D 三点共线，所以AC →＝λCD →， 即3a －2b ＝2λa －kλb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，2＝kλ，所以⎩⎨⎧λ＝32，k ＝43.综上，k 的值为43.13．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝ . 答案 3解析 由MA →＋MB →＋MC →＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为边BC 的中点， 则AM →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以AB →＋AC →＝3AM →，故m ＝3.14．已知点D 为△ABC 所在平面上一点，且满足AD →＝15AB →－45CA →，若△ACD 的面积为1，则△ABD 的面积为 ． 答案 4解析 由AD →＝15AB →－45CA →，得5AD →＝AB →＋4AC →，所以AD →－AB →＝4(AC →－AD →)，即BD →＝4DC →. 所以点D 在边BC 上，且|BD →|＝4|DC →|， 所以S △ABD ＝4S △ACD ＝4.15．设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，则角B 的大小为 ． 答案 60°解析 ∵G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，GA →＝－(GB →＋GC →)，将其代入sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，得(sin B －sin A )GB →＋(sin C －sin A )GC →＝0.又GB →，GC →不共线， ∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0，则sin B ＝sin A ＝sin C ．根据正弦定理知，b ＝a ＝c ，∴△ABC 是等边三角形，则B ＝60°.16．已知在△ABC 中，点D 满足2BD →＋CD →＝0，过点D 的直线l 与直线AB ，AC 分别交于点M ，N ，AM →＝λAB →，AN →＝μAC →.若λ>0，μ>0，则λ＋μ的最小值为 ．答案 3＋223 解析 因为2BD →＋CD →＝0，所以BD →＝13BC →，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →) ＝23AB →＋13AC →. 因为D ，M ，N 三点共线，所以存在x ∈R ，使AD →＝xAM →＋(1－x )AN →，则AD →＝xλAB →＋(1－x )μAC →，所以xλAB →＋(1－x )μAC →＝23AB →＋13AC →，所以xλ＝23，(1－x )μ＝13，所以x ＝23λ，1－x ＝13μ， 所以23λ＋13μ＝1， 所以λ＋μ＝13(λ＋μ)⎝⎛⎭⎫2λ＋1μ＝13⎝⎛⎭⎫3＋2μλ＋λμ≥3＋223，当且仅当λ＝2μ时等号成立， 所以λ＋μ的最小值为3＋223.。
2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第五章 平面向量5.2
§5.2 平面向量基本定理及坐标表示考情考向分析 主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、数乘向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性．一般以填空题形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题．1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 知识拓展1．若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，如果x 2≠0，y 2≠0，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示．( √ )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( × )(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √ ) (6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( √ ) 题组二 教材改编2．[P79练习T6]已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为 ． 答案 (1,5)解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5. 3．[P81习题T17]已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝ .答案 －12解析 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)． 由m a ＋n b 与a －2b 共线， 得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12. 题组三 易错自纠4．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝ . 答案 05．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝ . 答案 (－7，－4)解析 根据题意得AB →＝(3,1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．6．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝ . 答案 －6解析 因为a ∥b ，所以(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6.题型一 平面向量基本定理的应用1.如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG →＝2GO →，设CD →∥AG →，若AD →＝15AB →＋λAC →(λ∈R )，则λ的值为 ．答案 65解析 因为BG →＝2GO →，BO 为AC 边上的中点， 所以G 为△ABC 的重心，所以AG →＝23×12(AB →＋AC →)＝13AB →＋13AC →.因为CD →∥AG →，所以设CD →＝mAG →， 从而AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋m 3AB →＋m 3AC →＝⎝⎛⎭⎫1＋m 3AC →＋m 3AB →. 因为AD →＝15AB →＋λAC →，所以m 3＝15，λ＝1＋m 3＝65.2.如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为 ．答案311解析 ∵AN →＝13NC →，∴AC →＝4AN →，∵AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋811AN →，又P ，B ，N 三点共线，∴m ＋811＝1，即m ＝311.思维升华 平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 题型二 平面向量的坐标运算典例 (1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c ＝ . 答案 ⎝⎛⎭⎫－133，－43 解析 由已知3c ＝－a ＋2b＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)． 所以c ＝⎝⎛⎭⎫－133，－43. (2)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝ .答案 4解析 以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，∴a ＝AO →＝(－1,1)，b ＝OB →＝(6,2)，c ＝BC →＝(－1，－3)． ∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3， 解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝4.引申探究在本例(2)中，试用a ，c 表示b .解 建立本例(2)解答中的平面直角坐标系，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，设b ＝x a ＋y c ，则(6,2)＝x (－1,1)＋y (－1，－3)．即⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＝6，x －3y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，故b ＝－4a －2c .思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则． 跟踪训练 (1)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫2，72 解析 设D (x ，y )，AD →＝(x ，y －2)，BC →＝(4,3)， 又BC →＝2AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2(y －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72.(2)已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝ .答案 (－1,2)解析 12a ＝⎝⎛⎭⎫12，12，32b ＝⎝⎛⎭⎫32，－32， 故12a －32b ＝(－1,2)．题型三 向量共线的坐标表示命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标典例 已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为 ． 答案 (3,3)解析 方法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)． 又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线， 所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3， 所以点P 的坐标为(3,3)． 命题点2 利用向量共线求参数典例 已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝ . 答案 45°解析 由a ∥b ，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝12，∴cos 2θ＝12，∴cos θ＝22或cos θ＝－22，又θ为锐角，∴θ＝45°.思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．跟踪训练 (1)已知向量a ＝(1,1)，点A (3，0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB →∥a ，则点B 的坐标为 ． 答案 (－3，－6)解析 设B (x,2x )，则AB →＝(x －3,2x )． ∵AB →∥a ，∴x －3－2x ＝0，解得x ＝－3， ∴B (－3，－6)．(2)若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为 ． 答案 －54解析 AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)， 根据题意AB →∥AC →， ∴4(a －1)－3×(－3)＝0， 即4a ＝－5，∴a ＝－54.解析法(坐标法)在向量中的应用典例 (14分) 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．思想方法指导 建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数特征． 规范解答解 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32.[4分]设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，则C (cos α，sin α)， 由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，[10分] 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，[12分] 又α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.[14分]1．如果e 1，e 2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ．(填序号) ①e 1与e 1＋e 2； ②e 1－2e 2与e 1＋2e 2； ③e 1＋e 2与e 1－e 2； ④e 1－2e 2与－e 1＋2e 2. 答案 ④2．(2017·东海中学质检)已知e 1，e 2是平面上两个不共线的向量，向量a ＝2e 1－e 2，b ＝m e 1＋3e 2，若a ∥b ，则实数m ＝ . 答案 －6解析 ∵a ∥b ，∴b ＝λa . 又∵a ＝2e 1－e 2，b ＝m e 1＋3e 2， ∴m e 1＋3e 2＝2λe 1－λe 2， 即(m －2λ)e 1＋(3＋λ)e 2＝0.又e 1，e 2是平面上两个不共线的向量， ∴m －2λ＝0，且3＋λ＝0，解得m ＝－6.3．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝ .答案 58解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →， 所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58.4．(2017·扬州中学质检)已知正三角形ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是 ． 答案494解析 以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，C (23，0)，B (3，3)． 设P (x ，y )，∵|AP →|＝1，∴x 2＋y 2＝1， ∵PM →＝MC →，∴M 为PC 的中点，∴M ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋232，y 2，∴|BM →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232－32＋⎝⎛⎭⎫y 2－32＝x 24＋y 24－3y ＋9＝14－3y ＋9＝374－3y ， 又∵－1≤y ≤1，∴当y ＝－1时，|BM →|2取得最大值，且最大值为494.5．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是 ． 答案 (－∞，2)∪(2，＋∞)解析 由题意知向量a ，b 不共线，故2m ≠3m －2，即m ≠2.6．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 的值为 ．答案 3解析 ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA →所在直线为x 轴，OB →所在直线为y 轴建立平面直角坐标系(图略)， OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即m n＝3. 7．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为 ． 答案 (－3，－5)解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．8．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝ . 答案 1解析 ∵a －2b ＝(3，3)，且a －2b ∥c ，∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1.9．已知A (1,0)，B (4,0)，C (3,4)，O 为坐标原点，且OD →＝12(OA →＋OB →－CB →)，则|BD →|＝ .答案 2 2解析 由OD →＝12(OA →＋OB →－CB →)＝12(OA →＋OC →)知，点D 是线段AC 的中点，故D (2,2)，所以BD→＝(－2,2)，故|BD →|＝(－2)2＋22＝2 2.10．在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝ .(用e 1，e 2表示) 答案 －23e 1＋512e 2解析 如图，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2.11．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )． (1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解 (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)． 12．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解 (1)由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． ∴3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， ∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN →＝(9，－18)．13．(2017·江苏) 如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1,1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝ .答案 3解析 方法一 因为tan α＝7，所以cos α＝210，sin α＝7210. 过点C 作CD ∥OB 交OA 的延长线于点D ，则OC →＝OD →＋DC →，∠OCD ＝45°. 又因为OC →＝mOA →＋nOB →， 所以OD →＝mOA →，DC →＝nOB →， 所以|OD →|＝m ，|DC →|＝n . 在△COD 中，由正弦定理得|DC →|sin α＝|OD →|sin ∠OCD ＝|OC →|sin ∠ODC ，因为sin ∠ODC ＝sin(180°－α－∠OCD ) ＝sin(α＋∠OCD )＝45，即n 7210＝m 22＝245，所以n ＝74，m ＝54，所以m ＋n ＝3.方法二 由tan α＝7可得cos α＝152，sin α＝752，则152＝OA →·OC →|OA →||OC →|＝m ＋nOA →·OB →2，由cos ∠BOC ＝22可得 22＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝mOA →·OB →＋n 2， cos ∠AOB ＝cos(α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45°＝152×22－752×22＝－35， 则OA →·OB →＝－35，则m －35n ＝15，－35m ＋n ＝1，则25m ＋25n ＝65，则m ＋n ＝3.14．在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则5λ＋3μ的最大值为 ．答案102解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，B (5，0)，C (5，3)，D (0，3)．∵AP ＝52，∴x 2＋y 2＝54. 点P 满足的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，0≤y ≤3，x 2＋y 2＝54，∵AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )， ∴(x ，y )＝λ(5，0)＋μ(0，3)，∴⎩⎨⎧x ＝5λ，y ＝3μ，∴x ＋y ＝5λ＋3μ. ∵x ＋y ≤2(x 2＋y 2)＝2×54＝102， 当且仅当x ＝y 时取等号，∴5λ＋3μ的最大值为102.15.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是 ．答案 (－1,0)解析 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)， 又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0.又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴mOA →＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)OB →， ∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．16.如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n的最小值为 ．答案7＋434解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，D (0,4)，C (1,4)．又k BC ＝－43，故BC 所在的直线方程为 y ＝－43(x －4)．又AP →＝mAB →＋nAD →，AB →＝(4,0)，AD →＝(0,4)，所以AP →＝(4m,4n )，故P (4m,4n )， 又点P 在直线BC 上，即3n ＋4m ＝4， 即4⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝(3n ＋4m )·⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝7＋3n m ＋4mn≥7＋212＝7＋43，所以⎝⎛⎭⎫1m ＋1n min ＝7＋434，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3n 2＝4m 2，3n ＋4m ＝4， 即m ＝4－23，n ＝83－123时取等号(因为m ，n 均为正实数)．。
2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第五章 平面向量5.3
§5.3 平面向量的数量积考情考向分析 主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系．一般以填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题．1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 2．平面向量的数量积定义：设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ·b . 3．平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. 特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (4)cos θ＝a ·b |a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离AB ＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (4)若a ，b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22 . 知识拓展1．两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b >0且a ，b 不共线； 两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b <0且a ，b 不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ ) (2)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( × ) (3)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( × )(4)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (5)若a·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) 题组二 教材改编2．[P90习题T18]已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a·(2a －b )＝0，则k ＝________. 答案 12解析 ∵2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )， 由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0， ∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.3．[P90练习T19]设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值为________． 答案 －32解析 由已知得c ＝(1,2)＋k (1,1)＝(k ＋1，k ＋2)， 因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0， 因此k ＋1＋k ＋2＝0，解得k ＝－32.题组三 易错自纠4．设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积是________． 答案 52解析 a ＋2b ＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝(－2－m,3)， 由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以a·b ＝－1×⎝⎛⎭⎫－12＋2×1＝52. 5．已知|a |＝3，|b |＝2，若a ·b ＝－3，则a 与b 的夹角的大小为________．答案2π3解析 设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－33×2＝－12.又0≤θ≤π，所以θ＝2π3.6．已知△ABC 的三边长均为1，且AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，则a·b ＋b·c ＋a·c ＝________. 答案 －32解析 ∵〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈a ，c 〉＝120°，|a |＝|b |＝|c |＝1， ∴a·b ＝b·c ＝a·c ＝1×1×cos 120°＝－12，∴a·b ＋b·c ＋a·c ＝－32.题型一 平面向量数量积的运算1．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝________. 答案 9解析 AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9.2. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连结DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为________．答案 18解析 如图，由条件可知 BC →＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·⎝⎛⎭⎫12AB →＋34AC → ＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2. 因为△ABC 是边长为1的等边三角形， 所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°， 所以BC →·AF →＝34－18－12＝18.思维升华 平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)利用数量积的几何意义求解．题型二 平面向量数量积的应用命题点1 求向量的模典例 (1)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |＝________. 答案34解析 依题意得|a |＝2，a·b ＝2×2×cos 45°＝2， ∴|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a·b ＋b 2 ＝18＋12＋4＝34.(2)(2017·江苏沛县中学质检)已知AD 是△ABC 的中线，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AD →|的最小值是________． 答案 1解析 ∵AB →·AC →＝－2＝|AB →||AC →|cos A ，∠A ＝120°，∴|AB →||AC →|＝4， ∵|AD →|＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－4)≥14(2|AB →||AC →|－4)＝1， 当且仅当AB ＝AC ＝2时取等号，∴|AD →|min ＝1. 命题点2 求向量的夹角典例 (1)已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为______．答案2π3解析 ∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a·b －b 2＝6， 又|a |＝2，|b |＝1，∴a·b ＝－1， ∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为2π3.(2)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________. 答案 2解析 因为a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m,2m )＋(4,2)＝(m ＋4,2m ＋2)．根据题意可得c ·a |c ||a |＝c ·b|c ||b |，所以5m ＋85＝8m ＋2020，解得m ＝2.思维升华 (1)求解平面向量模的方法①把几何图形放到适当的坐标系中，写出有关向量的坐标，求向量的长度．如若向量a ＝(x ，y )，求向量a 的模只需利用公式|a |＝x 2＋y 2即可．②当向量坐标无法表示时，利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，关键是会把向量a 的模进行如下转化：|a |＝a 2. (2)求平面向量的夹角的方法①定义法：利用向量数量积的定义知，cos θ＝a·b |a||b |，其中两个向量的夹角θ的取值范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a·b ，|a |，|b |或者找出这三个量之间的关系．②坐标法：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.③解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中，利用正、余弦定理和三角形的面积公式等进行求解．跟踪训练 (1)(2017·全国Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 3解析 方法一 |a ＋2b |＝(a ＋2b )2 ＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12 ＝12＝2 3. 方法二 (数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|. 又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.(2)(2017·山东)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．答案33解析 由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0， |3e 1－e 2| ＝(3e 1－e 2)2 ＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22 ＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12， 解得λ＝33. 题型三 平面向量与三角函数典例 (2017·江苏三市调研)如图，A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点B ，P 在单位圆上，且B ⎝⎛⎭⎫－35，45，∠AOB ＝α，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，OQ →＝OA →＋OP →，四边形OAQP 的面积为S .(1)求cos α＋sin α；(2)求OA →·OQ →＋S 的最大值及此时θ的值θ0. 解 (1)∵B ⎝⎛⎭⎫－35，45，∠AOB ＝α， ∴cos α＝－35，sin α＝45，∴cos α＋sin α＝15.(2)由已知得，A (1,0)，P (cos θ，sin θ)， ∴OQ →＝(1＋cos θ，sin θ)， OA →·OQ →＝1＋cos θ， 又S ＝sin θ，∴OA →·OQ →＋S ＝sin θ＋cos θ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＋1， 又0<θ<π，∴π4<θ＋π4<5π4，∴－22<sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤1， 则OA →·OQ →＋S 的最大值为2＋1， 此时θ0＝π2－π4＝π4.思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．跟踪训练 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n . 所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1. (2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12， 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.利用数量积求向量夹角典例 已知直线y ＝2x 上一点P 的横坐标为a ，直线外有两个点A (－1,1)，B (3,3)．求使向量P A →与PB →夹角为钝角的充要条件． 错解展示：现场纠错解 错解中，cos θ<0包含了θ＝π，即P A →，PB →反向的情况，此时a ＝1， 故P A →，PB →夹角为钝角的充要条件是0<a <2且a ≠1.纠错心得 利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要忽视两向量共线的情况．1．(2017·江苏天星湖中学月考)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝________. 答案 1解析 由|a ＋b |＝10得a 2＋b 2＋2a ·b ＝10，① 由|a －b |＝6得a 2＋b 2－2a ·b ＝6，② ①－②得4a ·b ＝4，∴a ·b ＝1.2．已知向量a ，b 满足a·(a －b )＝2，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________． 答案2π3解析 由a·(a －b )＝2，得a 2－a·b ＝2， 即|a |2－|a||b |cos 〈a ，b 〉＝1－2cos 〈a ，b 〉＝2. 所以cos 〈a ，b 〉＝－12，所以〈a ，b 〉＝2π3.3．已知向量a ＝(m,2)，b ＝(2，－1)，且a ⊥b ，则|2a －b |a·(a ＋b )＝________.答案 1解析 ∵a ⊥b ，∴2m －2＝0，∴m ＝1，则2a －b ＝(0,5)， a ＋b ＝(3,1)，∴a ·(a ＋b )＝1×3＋2×1＝5， |2a －b |＝5，∴|2a －b |a·(a ＋b )＝55＝1.4．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 答案 32解析 在△ABC 中，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝9＋4－102×3×2＝14， ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝3×2×14＝32.5．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝________. 答案109解析 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB 与AC 垂直，所以△ABC 为直角三角形．以A 为原点，以AC 所在直线为x 轴，以AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)．不妨令E 为BC 的靠近C 的三等分点，则E ⎝⎛⎭⎫23，23，F ⎝⎛⎭⎫13，43， 所以AE →＝⎝⎛⎭⎫23，23，AF →＝⎝⎛⎭⎫13，43， 所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109.6．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为________三角形． 答案 等腰解析 因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0， 即CB →·(AB →＋AC →)＝0，因为AB →－AC →＝CB →，所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|， 所以△ABC 是等腰三角形．7．(2017·全国Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 答案 7解析 ∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)， ∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3)． 又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0， 即(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.8．(2017·江苏泰州中学期中)向量a ＝(cos 10°，sin 10°)，b ＝(cos 70°，sin 70°)，则|a －2b |＝________. 答案3解析 a ·b ＝cos 70°cos 10°＋sin 70°sin 10°＝cos 60°＝12，|a |＝|b |＝1，所以|a －2b |＝a 2＋4b 2－4a ·b ＝1＋4－2＝ 3.9．已知非零向量a ，b 满足：2a·(2a －b )＝b·(b －2a )，|a －2b |＝3|a |，则a 与b 的夹角为________． 答案 90°解析 由2a ·(2a －b )＝b·(b －2a )，得4a 2＝b 2， 由|a －2b |＝3|a |，得a 2－22a·b ＋2b 2＝9a 2， 则a·b ＝0，即a ⊥b ， ∴a 与b 的夹角为90°.10．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 解析 a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0，解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞.11．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解 (1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 所以4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，所以64－4a·b －27＝61， 所以a·b ＝－6，所以cos θ＝a·b |a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，所以θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13， 所以|a ＋b |＝13.(3)因为AB →与BC →的夹角θ＝2π3，所以∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3， 所以S △ABC ＝12|AB →||BC →|·sin ∠ABC＝12×4×3×32＝3 3. 12．(2017·江苏)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0.于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3) ＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32， 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.13．(2017·江苏四校联考)已知平面向量a ，b (a ≠0，a ≠b )满足|a |＝3，且b 与b －a 的夹角为30°，则|b |的最大值为________． 答案 6解析 令OA →＝a ，OB →＝b ，则b －a ＝OB →－OA →＝AB →，如图，∵b 与b －a 的夹角为30°， ∴∠OBA ＝30°， ∵|a |＝|OA →|＝3，∴由正弦定理|OA →|sin ∠OBA ＝|OB →|sin ∠OAB 得，|b |＝|OB →|＝6·sin ∠OAB ≤6.14．(2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．答案 78解析 设AB →＝a ，AC →＝b ， 则BA →·CA →＝(－a )·(－b )＝a ·b ＝4.又∵D 为BC 的中点，E ，F 为AD 的两个三等分点，则AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ，AF →＝23AD →＝13a ＋13b ，AE →＝13AD →＝16a ＋16b ，BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋13a ＋13b ＝－23a ＋13b ，CF →＝CA →＋AF →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ，则BF →·CF →＝⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ⎝⎛⎭⎫13a －23b ＝－29a 2－29b 2＋59a ·b ＝－29(a 2＋b 2)＋59×4＝－1. 可得a 2＋b 2＝292.又BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋16a ＋16b ＝－56a ＋16b ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋16a ＋16b ＝16a －56b ，则BE →·CE →＝⎝⎛⎭⎫－56a ＋16b ⎝⎛⎭⎫16a －56b ＝－536(a 2＋b 2)＋2636a ·b ＝－536×292＋2636×4＝78.15．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ⊥(a －2b )，(c －2a )·(c －b )＝0，则|c |的最大值与最小值的和为________． 答案7解析 ∵a ⊥(a －2b )，∴a·(a －2b )＝0， 即a 2＝2a·b ， 又|a |＝|b |＝1，∴a·b ＝12，a 与b 的夹角为60°.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a ＝⎝⎛⎭⎫12，32，b ＝(1,0)．设c ＝(x ，y )，则c －2a ＝(x －1，y －3)， c －b ＝(x －1，y )． 又∵(c －2a )·(c －b )＝0， ∴(x －1)2＋y (y －3)＝0. 即(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝34， ∴点C 的轨迹是以点M ⎝⎛⎭⎫1，32为圆心，32为半径的圆．又|c |＝x 2＋y 2表示圆M 上的点与原点O (0,0)之间的距离，所以|c |max ＝|OM |＋32，|c |min ＝|OM |－32， ∴|c |max ＋|c |min ＝2|OM |＝2×12＋⎝⎛⎭⎫322＝7. 16．已知在△ABC 所在平面内有两点P ，Q ，满足P A →＋PC →＝0，QA →＋QB →＋QC →＝BC →，若|AB →|＝4，|AC →|＝2，S △APQ ＝23，则AB →·AC →的值为________．答案 ±4 3解析 由P A →＋PC →＝0知，P 是AC 的中点， 由QA →＋QB →＋QC →＝BC →，可得QA →＋QB →＝BC →－QC →，即QA →＋QB →＝BQ →，即QA →＝2BQ →， ∴Q 是AB 边靠近B 的三等分点， ∴S △APQ ＝23×12×S △ABC ＝13S △ABC ，∴S △ABC ＝3S △APQ ＝3×23＝2.∵S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin A ＝12×4×2×sin A ＝2，∴sin A ＝12，∴cos A ＝±32，∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|·cos A ＝±4 3.。
高考数学《平面向量的线性运算》一轮复习练习题(含答案)
高考数学《平面向量的线性运算》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知向量(2,1),(5,2)a m b ==，若//a b ，则m 的值为（ ）A ．15-B ．15C ．52-D ．542．在平行四边形ABCD 中，,M N 分别是,AD CD 的中点，BM a =，BN b =，则BD =（ ）A ．3243a b +B ．2233ab C ．2334a b +D ．3344a b +3．已知四边形ABCD 的对角线交于点O ，E 为AO 的中点，若AE AB AD λμ=+，则λμ+=（ ） A ．12B ．13C ．14D ．14．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论正确的是（ ）A ．AB CD = B ．AB DA BD +=C ．AB AD DB -=D ．0AD BC +=5．如图，已知ABC 中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接AD ，E 为线段AD 的中点，若CE mAB nAC =+，则2m n +=( )A ．16-B ．12-C ．14-D ．126．如图，ABC 中，AD 为BC 边上的中线，M 为AD 的中点，若BM BA BC λμ=+，则实数对(),λμ=（ ）A ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭7．在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点M 满足2AM MD =，则CM =（ ）A ．1233AB AC -+B ．2133AB AC -+ C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -8．已知a b ，是平面内两个不共线向量，2AB ma b =+，3BC a b =-，A ，B ，C 三点共线，则m ＝（ ） A ．－23B ．23C ．－6D ．69．已知a ，b 是不共线的向量，且2AB a b =+，2AC a b =+，33CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，C ，D 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，B ，D 三点共线10．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且点D 满足2,2CD DA BD ==，若1cos 4ABC ∠=，则2c a +的最大值为（ ） A 125B 65C 5D ．3511．设D 是ABC 所在平面内一点，3BC CD =，则AD =（ ）A ．4133+AB ACB ．4133AB AC -C ．1433AB AC -D ．1433AB AC -+12．已知△ABC 中，22AB AC ==()min 2AB BC R λλ+=∈，2AM MB =，22sin cos AP AB AC αα=⋅+⋅，,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则MP 的最小值为（ ） A 3B ．23C 5D 6二、填空题13．在△ABC 中，点D 是线段BC 的中点，点E 在线段AD 上，且满足AE ＝2ED ，若CE AB AC λμ=+，则λ＋μ＝_________．14．已知ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，其中90A ∠=，点O 是ABC 所在平面上的任意一点，则向量()()OA OC OB OC -+-的模为________15．已知向量AB ，CD 在正方形网格中的位置如图所示.若网格上小正方形的边长为1，则AB CD ⋅=________.16．正ABC 的边长为1，中心为O ，过O 的动直线l 与边AB ，AC 分别相交于点M 、N ，AM AB λ=，AN AC μ=，BD DC =．给出下列四个结论：①1133AO AB AC =+； ②若2AN NC =，则14AD NC ⋅=； ③11λμ+不是定值，与直线l 的位置有关；④AMN 与ABC 的面积之比的最小值为49． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题17．设a 、b 是不共线的两个非零向量．(1)若2OA a b =-，3OB a b =+，3OC a b =-，求证：A 、B 、C 三点共线； (2)若8a kb +与2ka b +共线，求实数k 的值．18．如图，在ABC 中，AB AC =，M ，N 分别是AB ，AC 的中点.（1）设AB a =，AC b =，试用a ，b 表示BN ，CM ； （2）若BN CM ⊥，求cos BAC ∠.19．如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 在边CD 上.（1）若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设EF AB AD λμ=+，求λμ+的值； （2）若3,2AB BC ==，求AF EF ⋅的取值范围.20．已知13,22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1b =，且a ，b 的夹角为3π. （1）求2a b +；（2）若()()//a kb ka b ++，求实数k 的值.21．如图所示，在ABC 中，点D 是边BC 的中点，点E 是线段AD 的中点.过点E 的直线与边AB ，AC 分别交于点P ，Q .设PB AP λ=，QC AQ μ=，其中0λμ≥，(1)试用AD 与BC 表示AB 、AC ； (2)求证：λμ+为定值，并求此定值；(3)设APQ △的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，求12S S 的取值范围.22．如图所示，在ABC 中，1,,3AQ QC AR AB BQ ==与CR 相交于点I .(1)用AB 和AC 分别表示BQ 和CR ； (2)若AI mAB nAC =+，求实数m 和n 的值.23．如图，在ABC 中，设AC a =，AB b =，||2a =，||3b =，已知2DB AD =，2CE EB =，60BAC ∠=︒，CD 与AE 交于点O ．(1)求AE DC ⋅的值； (2)若0OC OD μλ+=，求λμ的值．24．如图所示，ABC 中，AB a =，AC b =，D 为AB 的中点，E 为CD 上的一点，且4DC EC =，AE 的延长线与BC 的交点为F .(1)用向量a ，b 表示AE ；(2)用向量a ，b 表示AF ，并求出:AE EF 和:BF FC 的值。
【苏教版】2019版高考数学文科一轮复习优化探究练习 第五章 平面向量的数量积及平面向量应用举例 含解析
一、填空题1．已知点A (－1,0)、B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →⊥a ，则实数k 的值为________．解析：AB →＝(2,3)，a ＝(2k －1,2)，由AB →⊥a 得2×(2k －1)＋6＝0，解得k ＝－1. 答案：－12．已知A (2,1)，B (3,2)，C (－1,4)，则△ABC 的形状是________．解析：AB →＝(1,1)，AC →＝(－3,3)，知AB →·AC →＝0，故△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形3．设O 为△ABC 的外心，OD ⊥BC 于D ，且|AB →|＝3，|AC →|＝1，则AD →·(AB →－AC →)的值是________．解析：由已知，D 为BC 的中点，AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AD →·(AB →－AC →)＝12(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝12(|AB →|2－|AC →|2)＝1.答案：14．设向量a ＝(cos 55°，sin 55°)，b ＝(cos 25°，sin 25°)，若t 是实数，则|a －t b |的最小值为________．解析：因为|a －t b |＝(a －t b )2＝|a |2＋|t b |2－2t a ·b ＝1＋t 2－2ta ·b ， 而a ·b ＝(cos 55°，sin 55°)·(cos 25°，sin 25°)＝cos 55°×cos 25°＋sin 55°×sin 25°＝cos (55°－25°)＝32，所以|a －t b |＝1＋t 2－2t a ·b ＝t 2－3t ＋1＝ (t －32)2＋14，故|a －t b |的最小值为12.答案：125．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是________． 解析：a ·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积，而cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－23，∴|a |·cos 〈a ，b 〉＝6×(－23)＝－4.答案：－46．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj 且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．解析：a ·b ＝(i －2j )·(i ＋λj )＝1－2λ>0，λ<12，又a 、b 同向共线时，a ·b >0，∴a ＝kb (k >0)，i －2j ＝k (i ＋λj )，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，－2＝kλ，∴λ＝－2，∴a 、b 夹角为锐角的λ的取值范围是 (－∞，－2)∪(－2，12)．答案：(－∞，－2)∪(－2，12)7．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝1，那么c ＝________.解析：由题知AB →·AC →＋BA →·BC →＝2，即AB →·AC →－AB →·BC →＝AB →·(AC →＋CB →)＝(AB →)2＝2⇒c ＝|AB →|＝ 2.答案： 28．已知单位向量a ，b 满足|ka ＋b |＝3|a －kb |(k >0)，则a ·b 的最小值为________．解析：把|ka ＋b |＝3|a －kb |两边平方并化简得a ·b ＝k 2＋14k ＝14(k ＋1k )≥12(∵k >0)．故a ·b 的最小值为12.答案：129．已知△ABO 三顶点坐标为A (1,0)，B (0,2)，O (0,0)，P (x ，y )是坐标平面内一点，且满足AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB →的最小值为________．解析：由已知得(x －1，y )·(1,0)＝x －1≤0，且(x ，y －2)·(0,2)＝2(y －2)≥0，即x ≤1且y ≥2，所以OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,2)＝－x ＋2y ≥－1＋4＝3.答案：3二、解答题10．已知向量a ＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b ＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ，θ∈R.(1)求|a |2＋|b |2的值；(2)若a ⊥b ，求θ；(3)若θ＝π20，求证：a ∥b .解析：(1)因为|a |＝cos 2(λθ)＋cos 2[(10－λ)θ]， |b |＝sin 2[(10－λ)θ]＋sin 2(λθ)，所以|a |2＋|b |2＝2.(2)因为a ⊥b ，所以cos λθ·sin (10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sin λθ＝0.所以sin[(10－λ)θ＋λθ]＝0，所以sin 10θ＝0，所以10θ＝k π，k ∈Z ，所以θ＝k π10，k ∈Z.(3)证明：因为θ＝π20，所以cos λθ·sin λθ－cos(10－λ)θ·sin (10－λ)θ＝cos λπ20·sin λπ20－cos(π2－λπ20)·sin(π2－λπ20)＝cos λπ20·sin λπ20－sin λπ20·cos λπ20＝0，所以a ∥b .11．设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3，若向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角，求实数t 的范围．解析：由向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角，得(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)|2te 1＋7e 2|·|e 1＋te 2|<0， 即(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0，化简即得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12，当夹角为π时，也有(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0，但此时夹角不是钝角，2te 1＋7e 2与e 1＋te 2反向．设2te 1＋7e 2＝λ(e 1＋te 2)，λ<0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2t ＝λ7＝λt λ<0，∴⎩⎨⎧ λ＝－14t ＝－142 .因此所求实数t 的范围是(－7，－142)∪(－142，－12)．12．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin 2x ，1－cos 2x )，c ＝(0,1)，x ∈(0，π)．(1)向量a ，b 是否共线？并说明理由；(2)求函数f (x )＝|b |－(a ＋b )·c 的最大值．解析：(1)b ＝(sin 2x,1－cos 2x )＝(2sin x cos x,2sin 2x )＝2sin x(cos x，sin x)＝2sin x·a，且|a|＝1，即a≠0. ∴a与b共线．(2)f(x)＝|b|－(a＋b)·c＝2sin x－(cos x＋sin 2x,1－cos 2x＋sin x)·(0,1)＝2sin x－1＋cos 2x－sin x＝sin x－1＋1－2sin2x＝－2sin2x＋sin x＝－2(sin x－14)2＋18，∴当sin x＝14时，f(x)有最大值18.。
2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第五章 平面向量5.4
§5.4 平面向量的综合应用考情考向分析 主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题．1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题． 2．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．3．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ(θ为F 与s 的夹角)．4．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题． 知识拓展1．若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0.2．若直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与直线l 平行．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线．( √ )(2)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．( × )(3)若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是菱形．( √ )(4)作用于同一点的两个力F 1和F 2的夹角为2π3，且|F 1|＝3，|F 2|＝5，则F 1＋F 2的大小为19.( √ )(5)设定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是x ＋2y －4＝0.( √ ) (6)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ ) 题组二 教材改编2．[P89习题T10]已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则该三角形为________三角形． 答案 直角解析 AB →＝(2，－2)，AC →＝(－4，－8)，BC →＝(－6，－6)， ∴|AB →|＝22＋(－2)2＝22，|AC →|＝16＋64＝45， |BC →|＝36＋36＝62， ∴|AB →|2＋|BC →|2＝|AC →|2， ∴△ABC 为直角三角形．3．[P93习题T7]若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 为________三角形． 答案 等腰解析 ∵OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，OB →＋OC →－2OA →＝(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)＝AB →＋AC →， 由已知(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0， 得(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0， 即(AB →－AC →)⊥(AB →＋AC →)． ∴△ABC 为等腰三角形．题组三 易错自纠4．在△ABC 中，已知AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，则实数k 的值为________________． 答案 －23或113或3±132解析 ①若A ＝90°，则有AB →·AC →＝0，即2＋3k ＝0， 解得k ＝－23；②若B ＝90°，则有AB →·BC →＝0， 因为BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)， 所以－2＋3(k －3)＝0，解得k ＝113；③若C ＝90°，则有AC →·BC →＝0，即－1＋k (k －3)＝0， 解得k ＝3±132.综上所述，k ＝－23或113或3±132.5．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为________． 答案 5解析 依题意得AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0， 所以AC →⊥BD →，所以四边形ABCD 的面积为 12|AC →|·|BD →|＝12×5×20＝5. 6．(2017·江苏南通中学月考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )⊥a ，则a 与b 的夹角为________．解析 设a 与b 的夹角为θ，则0°≤θ≤180°，由题意，得(a ＋b )·a ＝0，∴a 2＋a ·b ＝1＋1×2cos θ＝0，∴cos θ＝－12，∴θ＝120°.题型一 向量在平面几何中的应用典例 (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB ＝________. 答案 12解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ， 则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝⎛⎭⎫AD →－12AB → ＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12. (2)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________．解析 由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心． 引申探究本例(2)中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________． 答案 内心解析 由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC 的内心．思维升华 向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．跟踪训练 (1)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为________三角形．解析 AB →|AB →|，AC →|AC →|分别为平行于AB →，AC →的单位向量，由平行四边形法则可知AB →|AB →|＋AC →|AC →|为∠BAC的平分线．因为⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC . 又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos ∠BAC ＝12，所以cos ∠BAC ＝12，又0<∠BAC <π，故∠BAC ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．(2)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 边上的中点，则EF →·FG →＋GH →·HE →＝________.答案 32解析 取HF 中点O ， 则EF →·FG →＝EF →·EH →＝EO →2－OH →2 ＝1－⎝⎛⎭⎫122＝34，GH →·HE →＝GH →·GF →＝GO →2－OH →2 ＝1－⎝⎛⎭⎫122＝34，因此EF →·FG →＋GH →·HE →＝32.题型二 向量在解析几何中的应用典例 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A ，B ，C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________．答案 2x ＋y －3＝0解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →， ∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0， 解得k ＝－2或k ＝11.由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.(2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为________． 答案 6解析 由题意，得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204， 因为FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝⎛⎭⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x 0＝－2，因为－2≤x 0≤2，故当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值224＋2＋3＝6.思维升华 向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)，a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．跟踪训练 (1)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线l ：x －ky ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，若点M 在圆C 上，则实数k ＝________. 答案 0解析 设AB 的中点为D ，则有OM →＝OA →＋OB →＝2OD →， ∴|OM →|＝2|OD →|＝R ＝2(R 为圆C 的半径)， ∴|OD →|＝1.由点到直线的距离公式，得1＝|0－0＋1|k 2＋1，解得k ＝0.(2)(2017·江苏灌云中学质检)设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF 1→·PF 2→的值为________． 答案 －2解析 由题意得c ＝a 2－b 2＝3， 又12四边形PF QF S ＝212PF F S＝2×12×F 1F 2·h (h 为P 点纵坐标的绝对值)， 所以当h ＝b ＝1时，12四边形PF QF S 取得最大值， 此时|PF 1→|＝|PF 2→|＝2，且∠F 1PF 2＝120°. 所以PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|·cos 120° ＝2×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－2.题型三 向量的其他应用命题点1 向量在不等式中的应用典例 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB →·AC →＝9，S △ABC ＝6，P 为线段AB 上的点，且CP →＝x ·CA →|CA →|＋y ·CB→|CB →|，则xy 的最大值为________． 答案 3解析 在Rt △ABC 中，由AB →·AC →＝9， 得AB ·AC ·cos A ＝9，由面积为6，得AB ·AC ·sin A ＝12， 由以上两式解得tan A ＝43，所以sin A ＝45，cos A ＝35，所以AB ·AC ＝15，所以AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4.又P 为线段AB 上的点，且CP →＝x 3·CA →＋y 4·CB →，故x 3＋y4＝1≥2x 3·y 4， 即xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时取等号．命题点2 向量在解三角形中的应用典例 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则△ABC 最小角的正弦值等于________． 答案 35解析 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0，∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴△ABC 最小角为角A ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝169a 2＋259a 2－a 22×43a ×53a ＝45，∴sin A ＝35.命题点3 向量在物理中的应用典例 如图，一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为________．答案 27解析 如题图所示，由已知得F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3＝－(F 1＋F 2)，即F 23＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2＝F 21＋F 22＋2|F 1|·|F 2|·cos 60°＝28.故|F 3|＝27. 思维升华 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．跟踪训练 (1)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是______．答案 3解析 由图象可知，M ⎝⎛⎭⎫12，1，N ()x N ，－1， 所以OM →·ON →＝⎝⎛⎭⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝⎛⎭⎫2－12＝3. (2)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的动点，且满足EF ＝1，则AE →·AF →的最大值为________．答案 4解析 取EF 的中点M ，则M 点的轨迹是以C 点为圆心，12为半径的圆的四分之一(在矩形内的四分之一)，而AE →·AF →＝(AE →＋AF →)2－(AE →－AF →)24＝4AM →2－FE →24＝AM → 2－14≤⎣⎡⎦⎤22＋⎝⎛⎭⎫122－14＝4， 当且仅当M 是BC 的中点时，(AE →·AF →)max ＝4.1．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是________三角形． 答案 直角解析 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0,2AC →·BA →＝0， ∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 一定是直角三角形．2．已知向量m ＝(1，cos θ)，n ＝(sin θ，－2)，且m ⊥n ，则sin 2θ＋6cos 2θ的值为________． 答案 2解析 由题意可得m·n ＝sin θ－2cos θ＝0，则tan θ＝2，所以sin 2θ＋6cos 2θ＝2sin θcos θ＋6cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ＋6tan 2θ＋1＝2. 3．在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD →＝13AB →＋12AC →，则S △BCD S △ABD ＝________.答案 13解析 如图，由已知得点D 在△ABC 中与AB 平行的中位线上，且在靠近BC 边的三等分点处，从而有S △ABD ＝12S △ABC ，S △ACD ＝13S △ABC ，S △BCD ＝⎝⎛⎭⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC ，所以S △BCD S △ABD ＝13. 4．(2017·江苏如皋中学月考)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(3，－1)，OB →＝(0,2)，若OC →⊥AB →，AC →＝λOB →，则实数λ的值为________． 答案 2解析 ∵在平面直角坐标系xOy 中，OA →＝(3，－1)， OB →＝(0,2)，∴AB →＝(－3,3)， 设C (x ，y )，则AC →＝(x －3，y ＋1)， ∵OC →⊥AB →，AC →＝λOB →，∴－3x ＋3y ＝0，(x －3，y ＋1)＝(0,2λ)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝0，y ＋1＝2λ，x ＝y ，解得x ＝y ＝3，λ＝2. 5．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 29＋y 28＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，则EF 1→·EF 2→的最大值、最小值分别为________． 答案 8,7解析 由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设E (x ，y )(－3≤x ≤3)，则EF 1→＝(－1－x ，－y )，EF 2→＝(1－x ，－y )，所以EF 1→·EF 2→＝x 2－1＋y 2＝x 2－1＋8－89x 2＝x 29＋7，所以当x ＝0时，EF 1→·EF 2→有最小值7，当x ＝±3时，EF 1→·EF 2→有最大值8.6．若直线ax －y ＝0(a ≠0)与函数f (x )＝2cos 2x ＋1ln 2＋x 2－x的图象交于不同的两点A ，B ，且点C (6,0)，若点D (m ，n )满足DA →＋DB →＝CD →，则m ＋n ＝________. 答案 2解析 因为f (－x )＝2cos 2(－x )＋1ln 2－x 2＋x ＝2cos 2x ＋1－ln 2＋x 2－x ＝－f (x )，且直线ax －y ＝0过坐标原点，所以直线与函数f (x )＝2cos 2x ＋1ln 2＋x 2－x 的图象的两个交点A ，B 关于原点对称，即x A ＋x B ＝0，y A ＋y B ＝0，又DA →＝(x A －m ，y A －n )，DB →＝(x B －m ，y B －n )，CD →＝(m －6，n )，由DA →＋DB →＝CD →，得x A －m ＋x B －m ＝m －6，y A －n ＋y B －n ＝n ，解得m ＝2，n ＝0，所以m ＋n ＝2. 7．在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →·AB →＝________. 答案 －8解析 设∠CAB ＝θ，AB ＝BC ＝a ，由余弦定理得a 2＝16＋a 2－8a cos θ，∴a cos θ＝2， ∴CA →·AB →＝4×a ×cos(π－θ)＝－4a cos θ＝－8.8．已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x －a·b ＝0有两个相等的实根，则向量a 与b 的夹角是________． 答案2π3解析 由已知可得Δ＝|a |2＋4a·b ＝0， 即4|b |2＋4×2|b |2cos θ＝0，∴cos θ＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.9．已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OC →＋2OB →＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是________． 答案 1∶2解析 如图所示，取AC 的中点D ，∴OA →＋OC →＝2OD →， ∴OD →＝BO →， ∴O 为BD 的中点， ∴面积比为高之比． 即S △AOC S △ABC ＝DO BD ＝12. 10．如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为________．答案 －92解析 ∵圆心O 是直径AB 的中点， ∴P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →. ∵|PO →|＋|PC →|＝3≥2|PO →|·|PC →|，∴|PO →|·|PC →|≤94，即(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC → ＝－2|PO →|·|PC →|≥－92，当且仅当|PO →|＝|PC →|＝32时，等号成立．故最小值为－92.11．已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．解 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点， 设A (a,0)，Q (0，b )(b ＞0)，则P A →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )， 由P A →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.① 由AM →＝－32MQ →，得(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝⎝⎛⎭⎫32x ，32(y －b )， ∴⎩⎨⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎨⎧a ＝－x 2，b ＝y3.∵b ＞0，∴y ＞0，把a ＝－x 2代入到①中，得－x2⎝⎛⎭⎫x ＋x 2＋3y ＝0， 整理得y ＝14x 2(x ≠0)．∴动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0)．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →. (1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值． 解 (1)由题意，得(2a －c )cos B ＝b cos C .根据正弦定理，得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )， 即2sin A cos B ＝sin A ， 因为A ∈(0，π)，所以sin A >0.所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝ 6. 即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式，得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋2)， 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3(2＋1)2，即△ABC 的面积的最大值为32＋32.13．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， λ∈(0，＋∞)，则________．(填序号) ①动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心； ②动点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心； ③动点P 的轨迹一定通过△ABC 的外心； ④动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心． 答案 ④解析 由条件，得AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， 从而AP →·BC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →·BC →|AB →|cos B ＋AC →·BC →|AC →|cos C ＝λ·|AB →||BC →|cos (180°－B )|AB →|cos B ＋λ·|AC →||BC →|cos C |AC →|cos C＝0，所以AP →⊥BC →，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心．14．已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，圆M ：(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →的最小值是________． 答案 6解析 圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心C (2,0)，半径为2，圆M (x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1，圆心M (2＋5cos θ，5sin θ)，半径为1，∵CM ＝5＞2＋1，故两圆外离．如图所示，设直线CM 和圆M 交于H ，G 两点，因为PE →·PF →＝|PE →|·|PF →|·cos ∠EPF ，要使PE →·PF →最小，需|PE →|和|PF →|最小，且∠EPF 最大． 则PE →·PF →的最小值是HE →·HF →，HC ＝CM －1＝5－1＝4，HF ＝HE ＝HC 2－CE 2 ＝16－4＝23， sin ∠CHE ＝CE CH ＝12，∴cos ∠EHF ＝cos 2∠CHE ＝1－2sin 2∠CHE ＝12，∴HE →·HF →＝|HE →|·|HF →|·cos ∠EHF ＝23×23×12＝6.∴PE →·PF →的最小值是6.15．(2017·江苏南京一中质检)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________． 答案 12解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝⎛⎭⎫AD →－12AB → ＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12. 16．(2017·江苏泰州中学质检)已知△ABC 中，AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，边AB ，AC 的中点分别为D ，E . (1)判断△ABC 的形状；(2)若CD →·BE →＝0，求sin 2∠ABC 的值．解 (1)AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →＝AB →·(AC →－BC →)＋CA →·CB →＝AB →·AB →＋CA →·CB →，∴CA →·CB →＝0，∴CA →⊥CB →，∴△ABC 为直角三角形．(2)以C 为原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图，设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)．∴D ⎝⎛⎭⎫a 2，b 2，E ⎝⎛⎭⎫a 2，0， BE →＝⎝⎛⎭⎫a 2，－b ，CD →＝⎝⎛⎭⎫a 2，b 2. ∵BE →·CD →＝0，∴a 24－b 22＝0. ∴a 2＝2b 2，∴a ＝2b ，∴AC ＝2BC ，AB ＝3BC ，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝63，cos ∠ABC ＝BC AB ＝33， ∴sin 2∠ABC ＝2sin ∠ABC cos ∠ABC ＝223.。
江苏专用高考数学一轮复习考点25平面向量的数量积与平面向量应用举例必刷题含解析
江苏专用高考数学一轮复习考点 25 平面向量的数量积与平面向量应用举例必刷题含解析1．（江苏省徐州市2019届高三考前模拟检测）已知 e1，e2是夹角为 3的两个单位向量，向量ae12e 2，b ke1 e2 ，若 a b 0 ，则实数 k 的值为________.【答案】 5 4【解析】已知e1，e2是夹角为 3的两个单位向量，所以e1e2 1，得 e1e2 e1e2cos 3 1， 2 若 a b e1 2e2ke1 e22k e1 2k1 e1e22 2e2k1 2k21 20解得 k 5 4故答案为： 5 ． 42．（江苏省徐州市 2018-2019 学年高三考前模拟检测）已知 A ， B 为圆 O : x2 y2 5 上的两个动点，AB 4 ， M 为线段 AB 的中点，点 P 为直线 l : x y 6 0 上一动点，则 PM PB 的最小值为____．【答案】7 【解析】因为 AB 4 ， BM 2，取的中点 N ，连接 OM , PN ， 则 PM PB PN NB PN NB PN 2 1，又，故 OM 1，所以 ON 2 12 12 2 ， ON 2 ，006又 PN OP ON ，而 OP 3 2 ，所以 PN 2 2 ，当且仅当 OP 垂直于直线 l 且 O, N, P 三2点共线时等号成立，所以PM PB 的最小值为 8 1 7 ，填 7 .13．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）已知e1, e2是夹角为 3的两个单位向量，向量a e1 2e2 ， b ke1 e2 ，若 a b 0 ，则实数 k 的值为____． 【答案】 54【解析】 a b 0 e1 2e2 ke1 e2 ，因为2e1e221，e1 e21 2，所以 a b k 2 k 1 2k 5 0 ，22所以 k 5 ，填 5 . 444．（江苏省南通市 2019 届高三模拟练习卷四模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A x1, y1 ， B x2, y2 为圆x2y2 1 上两点，且x1x2y1 y21 2．若 C为圆上的任意一点，则 CACB的最大值为______．【答案】 3 2【解析】因为 C 为圆 x2+y2＝1 上一点，设 C （sinθ，cosθ），则CA x1 sin, y1 cos ,CB x2 sin, y2 cos ，∵ A x1, y1 ， B x2, y2 为圆 x2 y2 1 上两点，∴ x12 y12 1,x22y22 1，又x1x2y1 y21， 2∴ CACB x1x2 y1y2 x1 x2 sin y1 y2 cos sin2 cos2 1 2 x1 x2 2 y1 y2 2 sin( )11 2x12 y12 x22 y22 2x1x2 2 y1 y2 sin( )1 2 sin( ) ，其中 tany1 x1 y2 x2，∵ sin( ) ∈[﹣1，1]，∴当 sin()＝1时，CA CB的最大值为3 2．故答案为： 3 ． 25．（江苏省南通市 2019 届高三适应性考试）如图，在边长为 2 的正三角形 ABC 中， D 、 E 分别为边 BC 、CA上的动点，且满足CEmBD（m为定常数，且m(0,1]），若ADDE的最大值为3 4，则m ________.【答案】 1 2【解析】以 BC 中点为坐标原点 O ，OC 方向为 x 轴正方向，OA 方向为 y 轴正方向，建立如图所示平面直角坐标系，因为正三角形 ABC 边长为 2，所以 B(1, 0) ， C(1, 0) ， A(0, 3) ，则 BC (2, 0) ， CA (1, 3) ，因为 D 为边 BC 上的动点，所以设 BD t BC ，其中 0 t 1，则 BD (2t, 0) ，所以 D(2t 1, 0) ；又 CE mBD tmBC ，所以 CE tmCA (tm, 3tm) ，因此 E(1 tm, 3tm) ，所以 AD (2t 1, 3) ， DE (2 tm 2t, 3tm) ，故 AD DE (2t 1)(2 tm 2t) 3tm 2(m 2)t 2 2(3 m)t 22(m2) t23m m2t 22(m2) t3m 2m 42 3m 2m 42 21(m2) t3m 2m 42 m2 10m 1 2m 4，因为m (0,1]，所以3m 2m 41 25 2m 41 3,3 4 ，又 0t1，所以当且仅当t3m 2m 4时，ADDE取得最大值，即 m2 10m 1 3 ，整理得 2m2 17m 8 0 ，解得 m 1 或 m 8 （舍）2m 442故答案为 1 26．（江苏省扬州中学2019届高三4月考试）已知ABC外接圆O的半径为2，且ABAC2AO，|AB||AO|，则CACB______.【答案】12【解析】因为ABAC2AO，所以点O是线段BC的中点，O是ABC外接圆的圆心，因此ABC是以BC为斜边的直角三角形，又因为 |AB|| AO |，所以AB2,BC4,因此 ACB 300 , AC 2 3 ，所以 CACB CA CB cos ACB 2 3 43 12.27．（江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校 2019 届高三第四次模拟考试）已知菱形 ABCD中，对角线 AC＝ 3 ，BD＝1，P 是 AD 边上的动点（包括端点），则 PB PC 的取值范围为_______． 【答案】[1 , 3]22【解析】1由 AC⊥BD 得，以对角线 BD，AC 分别为 x 轴、y 轴建立如图所示的直角坐标系，∵AC＝ 3 ，BD＝1， ∴ A 0, 3 2 ,B 1 2,0 ,C 0,3 2 ，D 1 2,0 ,AD 1 2,3 2 ∵P是AD边上的动点，设P（x，y），0x1 2，AP x,y3 2 ，∵ APAD, 1 y 23 43 2x0，∵PC x,3 2y ,PB 1 2x,y ∴PBPC 1 2x,y x,3 2y 1 2xx23 y y2 4x2 4x 322根据二次函数的性质可知，当 x＝ 1 时，最小值为 1 .当 x＝ 0 时，最大值为 3 .222所以，PBPC的取值范围为 [1 2,3 2]故答案为：[1 , 3] 228．（江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019 届高三第三次调研考试）在平面四边形 ABCD 中， ____．，，．若，则的最小值为【答案】 【解析】 如图，以 的中点 为坐标原点，以 方向为 轴正向，1建立如下平面直角坐标系.则，，设，则，，因为 所以 整理得： 在 轴上取，即： ，所以点 在以原点为圆心，半径为 的圆上。
江苏省各地2019届高考模拟考试数学试题分类汇编：平面向量(含答案)
江苏省各地2019届高考模拟考试数学试题分类汇编：平面向量一、填空题1、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）已知AD 时直角三角形ABC 的斜边BC 上的高，点P 在DA 的延长线上，且满足()42PB PC AD +⋅=.若2AD =，则PB PC ⋅的值为 .2、（南京市2019届高三第三次模拟）已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ，b 是夹角为60°的两个单位向量．若向量c 满足c ·(a ＋2b )＝－5，则|c |的最小值为 ．3、（南通、如皋市2019届高三下学期语数英学科模拟（二））在平面四边形OABC 中，已知||3OA =，OA ⊥OC ，AB ⊥BC ，∠ACB ＝60°，若OB AC ＝6，则||OC =＿＿4、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月）） 在平面四边形ABCD 中，1AB DA DB ==，，32AB AC AC AD ⋅=⋅=，，则2AC AD +的最小值为 ．5、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟） 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 在圆224x y +=上，且22AB =，点P （3， 1），()16PO PA PB ⋅+=，设AB 的中点M 的横坐标为x 0，则x 0的所有值为 ．6、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月）） 如图，正六边形ABCDEF 中，若AD AC AE λμ=+（λμ∈，R ），则λμ+的值为 ．7、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上，若AB AQ ⋅＝83，则AQ CP ⋅的最小值为8、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝90°，D ，E 分别为BC ，AD 的中点，过点E 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q ，则BQ CP ⋅的最大值为 9、（盐城市2019届高三第三次模拟）已知⊙O 的半径为2，点A.B.C 为该圆上的三点，且AB=2，0>⋅→→BC BA ，则)(→→→+⋅BA BO OC 的取值范围是_____. 10、（江苏省2019年百校大联考）在平面凸四边形ABCD 中，22AB =，3CD =，点E 满足2DE EC =，且2AE BE ==．若85AE EC =，则AD BC 的值为 ． 11、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月）） 在平面四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒， 2AB =，1AD =．若43AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅， 则12CB CD +的最小值为 ．参考答案1、22、5773、34、255、115， 6、43 7、8、94- 9、(6,43]- 10、21126 二、解答题1、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）设向量(cos ,sin )αλα=a ，(cos ,sin )ββ=b ，其中0λ>，02παβ<<<，且+a b 与-a b 相互垂直.（1）求实数λ的值；。
(江苏版)2019年高考数学一轮复习 专题5.3 平面向量的数量积(练).doc
（江苏版）2019年高考数学一轮复习 专题5.3 平面向量的数量积（练）一、填空题1．设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1,2)，且a ⊥b ，则x ＝________. 【答案】－23【解析】由题意，得a ·b ＝0⇒x ＋2(x ＋1)＝0⇒x ＝－23.2．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________． 【答案】π63．(2017·镇江期末)已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|a －b |＝________. 【答案】 5 【解析】|a －b |＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4＝ 5.4．对任意平面向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是________(填序号)． ①|a ·b |≤|a ||b |；②|a －b |≤||a |－|b ||； ③(a ＋b )2＝|a ＋b |2；④(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. 【答案】②【解析】对于①，由|a ·b |＝||a ||b |cos a ，b|≤|a ||b |恒成立；对于②，当a ，b 均为非零向量且方向相反时不成立；对于③④容易判断恒成立． 5．已知a ＝(1，－2)，b ＝(x,2)，且a ∥b ，则|b |＝________. 【答案】 5【解析】∵a ∥b ，∴1x ＝－22，解得x ＝－1，∴b ＝(－1,2)，∴|b |＝－12＋22＝ 5.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC →＝________. 【答案】5【解析】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)．∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5.7．已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为________． 【答案】2π3【解析】因为a ⊥(2a ＋b )，所以a ·(2a ＋b )＝0，得到a ·b ＝－2|a |2，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－2|a |24|a |2＝－12，又0≤θ≤π，所以θ＝2π3. 8．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞二、解答题9．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，10．(2017·德州一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影． 解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得asin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1，c ＝－7舍去，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.【能力提升】11．(2017·南通、扬州、泰州调研)如图，已知△ABC 的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若|AB →|＝3，|AC →|＝5，则(AP →＋AQ →)·(AB →－AC →)的值为________．【答案】－16【解析】(AP →＋AQ →)·(AB →－AC →)＝(2AQ →＋QP →)·CB →＝2AQ →·CB →＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝32－52＝－16.12．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为________． 【答案】－4【解析】∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t ·m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.13．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________． 【答案】514．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )． (1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ， y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 解 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，。
2019年人教版江苏省高三数学一轮复习备考试题：平面向量(含答案)Word版
高考一轮复习备考试题(附参考答案)平面向量一、填空题1、（2014年江苏高考）如图，在平行四边形中，已知，，则的值是▲．2、（2013年江苏高考）设分别是的边上的点，，，若（为实数），则的值为。
3、（2012年江苏高考）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是▲．4、（2015届江苏南京高三9月调研）已知向量a＝(2，1)，b＝(0，－1)．若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝▲．5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）已知△ABC中，∠C=90°，，分别为边上的点，且，，则▲．6、（2015届江苏苏州高三9月调研）如图是半径为3的圆的直径是圆上异于的一点是线段上靠近的三等分点且则的值为▲7、（南京市2014届高三第三次模拟）在R t △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为▲．8、（南通市2014届高三第三次调研）在直角三角形中，=90°，，．若点满足，则▲．9、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））已知平面内的四点O ，A ，B ，C 满足，，则=▲．10、（徐州市2014届高三第三次模拟）如图，在△中，已知，，，，，则▲．11、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为▲ 12、（2014江苏百校联考一）如图，是半径为1的圆的直径，△ABC 是边长为1的正三角形，则的最大值为13、（2014南通二模）在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD ＝8，BC ＝20，则的值为▲．14、（苏锡常镇四市2014届高三3月调研（一））如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，，设∥，若，则的值为▲。
平面向量 高三 一轮复习(完整版)
题记：向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为高中数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．一、平面向量的概念及其线性运算 【例1】判断下列命题的真假：1、有向线段就是向量，向量就是有向线段；2、非零向量a 与非零向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；3、向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； 4、若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；5、若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；6、对于任意向量|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，则a ＝b ；7、由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行；8、起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；9、向量与的长度相等；10、两个相等向量若起点相同，则终点必相同； 11、只有零向量的模等于0； 12、共线的单位向量都相等； 13、向量与是两平行向量；14、与任一向量都平行的向量为向量； 15、若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形；16、设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍；17、在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆； 18、凡模相等且平行的两向量均相等；19、与共线的等价条件可以是存在一个实数λ，使=λ或=λ；20、设,,是任意的非零平面向量且互不共线，则a b a b +>+21、下列命题中：其中正确的是_____________① →→→→→→→⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(；② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；③ 2()a b →→-2||a →=22||||||a b b →→→-⋅+； ④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→b ；⑤若,a b c b ⋅=⋅ 则a c =⑥22a a = ；⑦2a b ba a⋅=； ⑧222()a b a b ⋅=⋅ ； ⑨222()2a b a a b b -=-⋅+二、平面向量平行定理（共线定理）（1）若//(0)a b b ≠⇒（2）若a b λ=共线定理作用（1） （2）【例2】设两个非零向量a 与b不共线,（1）若,28,3().AB a b BC a b CD a b =+=+=-求证：A..B.D 三点共线;（2） 试确定实数k,使ka b + 和a kb +共线。
专题5.4平面向量应用(测) 2019年高考数学(江苏版)一轮复习专题Word版含解析
一、填空题：1.如图，已知ABC ∆的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若3,5AB AC ==，则()()AP AQ AB AC +⋅-的值为 .【答案】-16【解析】试题分析：2.已知,,a b c r r r 是同一平面内的三个向量，其中,a b r r 是互相垂直的单位向量，且())1a c c -∙-=r r r ，则||c r 的最大值为 .【解析】试题分析：由,a b r r 是互相垂直的单位向量得||2a ==r ，因此由()(3)1a c b c -∙-=得222||(1||2||cos 1||2||10||1c a c c c c c c θ-⋅=⇒-⋅=⇒-⋅≤⇒≤≤r r r r r r r r.3. 如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33C B 上有10个不同的点1021,,,P P P ，记ii AP AB M ⋅=2 （10,,2,1 =i ），则=+++1021M M M .【答案】180 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则)3,3(2B)3sin 112,3cos 1126(ππi i P i -，即)113,116(i i P i -， 其中10,,2,1 =i ，故1133)116(3i i M i ⨯+-=18=，从而1801021=+++M M M4. 在平面直角坐标系xOy 中，设M 是函数24()x f x x+= (x>0)的图象上任意一点，过M 点向直线y=x 和y 轴作垂线，垂足分别是A ，B ，则MA MB ⋅= ▲ ．【答案】2-【解析】5. 设二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象经过点)2,(t C ，且与x 轴交于B A ,两点，若ACB ∠是钝角，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】1(,)2-∞-．【解析】由题意22=++c bt at ，设02=++c bx ax 的两根为21,x x ，则)0,(),0,(21x B x A ，向量)2,(),2,(21x t BC x t AC -=-=，注意到ACB ∠是钝角，则0<⋅，即04))((21<+--x t x t ，也即04)(21212<+++-x x t x x t ， 又因a c x x a b x x =-=+2121,，故042<+++ac t a b t ，即042<+++a c bt at ， 而22=++c bt at ，所以024<+a ，解得21-<a ，即实数a 的取值范围是1(,)2-∞-． 6.如图，在梯形A B C D 中，AB //DC ，AD AB ⊥，122AD DC AB ===，点N 是CD 边上一动点，则AN AB ⋅的最大值为【答案】8【解析】由平面向量数量积知识得，||||cos |||||'|||248AN AB AN AB NAB AM AB AM AB ⋅=⋅⋅∠=⋅≤⋅=⨯=7.已知向量)0,2(=，向量)2,2(=，向量)sin 2,cos 2(αα=，则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是 .【答案】]125,12[ππ【解析】如图，以O 为原点建立平面直角坐标系，则由题意可知)0,0(O ，)0,2(B ，)2,2(C ，又由(2)CA αα=可知A 在以C 为圆心，2为半径的圆上，若直线OA 与圆相切，由图可知1264621222sin ππππ=-=∠⇒=∠⇒===∠AOB COA OC AC COA ，即OA 与OB 夹角的最小值为12π，同理可得OA 与OB 夹角的最大值为125π，即OA 与OB 夹角的取值范围为]125,12[ππ.。
专题5.4平面向量应用(练) 2019年高考数学(江苏版)一轮复习专题Word版含解析
【基础巩固】一、填空题1．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________.【答案】102．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是________三角形(填“等边”、“等腰”、“直角”、“等腰直角”)．【解析】由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0,2AC →·BA →＝0， ∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 一定是直角三角形． 【答案】直角3．在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，则AB →·AC →＝________. 【解析】由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝22＋22－ 23 22×2×2＝－12，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2.【答案】－24．设O 是△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)．若AO →＝13AB →＋13AC →，则∠BAC 等于________(用角度表示)．【解析】取BC 的中点D ，连接AD ，则AB →＋AC →＝2AD →.由题意得3AO →＝2AD →，∴AD 为BC 的中线且O 为重心．又O 为外心，∴△ABC 为正三角形，∴∠BAC ＝60°.【答案】60°5．在平面内，若A (1,7)，B (5,1)，M (2,1)，点P 是直线OM 上的一个动点，且PA →·PB →＝－8，则cos ∠APB ＝________.【解析】由题意可得直线OM 的方程为y ＝12x ，设P (2y ，y )，则PA →＝(1－2y,7－y )，PB →＝(5－2y,1－y )，所以PA →·PB →＝(1－2y,7－y )·(5－2y,1－y )＝5y 2－20y ＋12＝－8，解得y ＝2，所以P (4,2)，PA →＝(－3,5)，PB →＝(1，－1)，所以cos ∠APB ＝PA →·PB →|PA →|·|PB →|＝－834×2＝－41717.【答案】－417176．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值与最小值的和为________．【答案】47．已知m ＝(cos α，sin α)，n ＝(2,1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，若m ·n ＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋3π2＝________. 【解析】因为m ·n ＝2cos α＋sin α＝1，所以sin α＝1－2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1中，整理得5cos 2α－4cos α＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，解得cos α＝45或cos α＝0(舍去)，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋3π2＝－cos2α＝1－2cos 2α＝－725.【答案】－7258．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝4.若点D 在边BC 上，用BD →＝2DC →，AD ＝273，则AC 的长为________．【解析】由题意可得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，则|AD →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →2＝19|AB →|2＋49·|AB →|·|AC →|cos A ＋49|AC →|2，即289＝169＋49×4|AC →|×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋49|AC →|2，化简得|AC →|2－2|AC →|－3＝0，解得|AC →|＝3，即AC 的长为3. 【答案】3 二、解答题9．在△ABC 中，角A ，B 的对边分别为a ，b ，向量m ＝(cos A ，sin B )，n ＝(cos B ，sin A )． (1)若a cos A ＝b cos B ，求证：m ∥n ； (2)若m ⊥n ，a >b ，求tanA －B2的值．10．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4.(1)若m ·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (A )的取值范围．解 m ·n ＝3sin x 4cos x4＋cos 2x4 ＝32sin x 2＋12×cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12. (1)∵m ·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12， cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得 (2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C ，。
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江苏省2019届高三数学一轮复习典型题专题训练平面向量一、填空题 1、（2018江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ．2、（2017江苏高考）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC =m OA +n OB （m ，n ∈R ），则m +n = 3 ．3、（2016江苏高考）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .4、（南京市2018高三9月学情调研）在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120︒，→BM ＝λ→BC ．若→AM ·→BC ＝－173，则实数λ的值为 ▲ ．5、（南京市2018高三第三次（5月）模拟）在△ABC 中，AB =3，AC =2，D 为边BC 上一点． 若AB →·AD →＝5， AC →·AD →＝－23，则AB →·AC →的值为▲________．6、（前黄高级中学、姜堰中学等五校2018高三上第一次学情监测）设向量(2,6)a =-，(1,)b m =-，若//a b ，则实数m 的值为 ▲ ．7、（苏锡常镇2018高三3月教学情况调研（一））在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已知3CP =，4CA =，23ACB π∠=，则CP CA ⋅= ． 8、（苏锡常镇2018高三5月调研（二模））如图，扇形AOB 的圆心角为90o，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP OQ ⋅的取值范围是 ．9、（苏州市2018高三上期初调研）已知平面向量(),2,110a a b =⋅=，若52a b +=，则b 的值是 ．10、（无锡市2018高三上期中考试）如图所示，在平行四边形ABCD 中，,AP BD P ⊥为垂足，且1AP =，则AP AC ⋅= .11、（徐州市2018高三上期中考试）如图，在半径为2的扇形AOB 中，90AOB ∠=，P 为AB 上的一点，若2OP OA ⋅=，则OP AB ⋅的值为 ▲12、（扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港市2018高三第三次调研）如图，已知2AC =，B 为AC 的中点，分别以 AB,AC 为直径在AC 的同侧作半圆， M,N 分别为两半圆上的动点（不含端点A B C ，，），且BM BN ⊥，则AM CN ⋅的最大值为 ▲ ．13、（镇江市2018届高三第一次模拟（期末）考试）已知点 P (1,0) ，直线 l : y = x + t 与函数 2x y =的图像相交于 A 、B 两点，当 PB PA ⋅P 最小时，直线 l 的方程为14、（前黄高级中学、姜堰中学等五校2018高三上第一次学情监测）已知,B D 是以AC 为直径的圆上的两点，且2AB =，5AD =，则AC BD ⋅的值为 ▲15、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）已知非零向量,a b 满足a b a b ==+，则a 与2a b -夹角的余弦值为 ．16、（无锡市2017届高三上学期期末）已知向量()()2,1,1,1a b ==-，若a b -与ma b +垂直，则m 的值为 .17、（盐城市2017届高三上学期期中）设向量(2,6)a =-，(1,)b m =-，若//a b ，则实数m = ▲ ．二、解答题1、（2017江苏高考）已知向量a =（cos x ，sin x ），b =（3，3-），x ∈[0，π]． （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记f （x ）=b a ⋅，求f （x ）的最大值和最小值以及对应的x 的值．2、（苏锡常镇2018高三3月教学情况调研（一））已知向量(2sin ,1)a α=，(1,sin())4b πα=+.（1）若角α的终边过点(3,4)，求a b ⋅的值； （2）若//a b ，求锐角α的大小.3、（苏州市2018高三上期初调研）在平面直角坐标系中，设向量()()3,,cos ,3m cosA sinA n B sinB ==-，其中,A B 为ABC ∆的两个内角.（1）若m n ⊥，求证：C 为直角； （2）若//m n ，求证：B 为锐角.4、（无锡市2018高三上期中考试） 已知()()()3,1,1,2,1,1.a b c =-=-= （1）求a 与b 的夹角的大小; （2）若()//c a kb +，求k 的值.5、（无锡市2017届高三上学期期末）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且2sin cos 12B C A ++=，D 为BC 上一点，且13.44AD AB AC =+ （1）求sin A 的值；（2）若42,5a b ==，求AD 的长.6、（盐城市2017届高三上学期期中）如图，在四边形ABCD 中，4AC =，12BA BC ⋅=，E 为AC 的中点.（1）若12cos 13ABC ∠=，求ABC ∆的面积ABC S ∆； （2）若2BE ED =，求DA DC ⋅的值.7、（扬州市2017届高三上学期期中）在ABC ∆中，6AB =，32AC =，18AB AC ⋅=-． （1）求BC 的长； （2）求tan 2B 的值．8、（镇江市2017届高三上学期期末）已知向量)sin ,(),,(cos αα21=-=n m ，其中),(20πα∈，且n m ⊥．（1）求α2cos 的值； （2）若1010=-)sin(βα，且),(20πβ∈，求角β的值．参考答案一、填空题1、32、33、784、135、－36、37、68、［2－1,1］9、5 10、2 11、223-+ 12、1413、 y ＝x ＋12 14、2115、5714 16、1417、3二、解答题1、【解答】解：（1）∵a =（cos x ，sin x ），b =（3，3-），a ∥b ， ∴3-cos x =3sin x ，∴tan x =33-， ∵x ∈[0，π]， ∴x =π65； （2）f （x ）=b a ⋅=3cos x ﹣3sin x =23（23cos x 21-sin x ）=32cos （6π+x ），∵x ∈[0，π]， ∴6π+x ∈[6π，67π]， ∴1-≤cos （6π+x ）≤23，当0=x 时，f （x ）有最大值，最大值3，当π65=x 时，f （x ）有最小值，最大值32-． 2、.解：（1）由题意4sin 5α=，3cos 5α=，所以2sin sin()4a b a πα⋅=++2sin sin cos 4παα=+cos sin 4πα+ 4242552=+⨯3232522+⨯=. （2）因为//a b ，所以2sin sin()14a πα+=，即2sin α(sin coscos sin )144ππαα+=，所以2sin sin cos 1ααα+=，则2sin cos 1sin ααα=-2cos α=，对锐角α有cos 0α≠，所以tan 1α=，所以锐角4πα=.3、（1）易得()()cos cos sin sin 3cos m n A B A B A B ⋅=-=+， 因为m n ⊥，所以0m n ⋅=，即()cos cos2A B π+=.因为0A B π<+<，且函数cos y x =在()0,π内是单调减函数， 所以2A B π+=，即C 为直角.（2）因为//m n ，所以()3cos 3sin sin cos 0A B A B ⋅--=， 即sin cos 3cos sin 0A B A B +=.因为,A B 是三角形内角，所以cos cos 0A B ≠， 于是tan 3tan A B =-，因而,A B 中恰有一个是钝角，∴2A B ππ<+<，从而()22tan tan 3tan tan 2tan tan 01tan tan 13tan 13tan A B B B BA B A B B B+-+-+===<-++， 所以tan 0B >，即证B 为锐角注：（2）解得tan 3tan A B =-后，得tan A 与tan B 异号， 若tan 0B <，则()22tan tan 3tan tan 2tan tanC tan 01tan tan 13tan 13tan A B B B BA B A B B B+-+=-+=-=-=<-++ 于是，在ABC ∆中，有两个钝角B 和C ，这与三角形内角和定理矛盾，不可能 于是必有tan 0B >，即证B 为锐角4、5、6、解：（1）12cos 13ABC ∠=，()0,ABC π∠∈， 2125sin 11313ABC ⎛⎫∴∠=-= ⎪⎝⎭， ……………2分1212cos ,13BA BC BA BC ABC BA BC ⋅==⋅∠=⋅13,BA BC ∴⋅= ……………4分1155sin 1322132ABC S BA BC ABC ∆∴=⋅∠=⨯⨯=. ……………7分（2）以E 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，。