湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高一(下)期末数学试卷(理科)
湖北省重点中学2014-2015学年下学期期末考试高一数学试题Word版含答案
湖北省重点中学2014-2015学年度期末质量检测高 一 数 学注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若集合{}2xM y y -==，{N y y ==，则M N =IA ．{}1y y >B ．{}1y y ≥C ．{}0y y >D ．{}0y y ≥2.如果b a >，则下列各式正确的是A . x b x a lg lg ⋅>⋅B . 22bx ax >C . 22b a >D . x x b a 22⋅>⋅3.方程lg 82x x =-的根(,1)x k k ∈+，k Z ∈，则k = A ．2 B ．3C ．4D ．54.若角α的终边过点(1,2)-，则cos 2α的值为 A ．35-B ．35C．D5.设()xf x a =，13()g x x =，()log a h x x =，且a 满足2log (1)0a a ->，那么当1x >时必有 A ．()()()h x g x f x << B ．()()()h x f x g x << C ．()()()f x g x h x <<D ．()()()f x h x g x <<6.一个等比数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为 A ．108B ．83C ．75D ．637.已知,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同的平面，且n β⊂，则下列叙述正确的是 A ．若m ∥n ,m α⊂,则α∥β B ．若α∥β,m α⊂,则m ∥n C ．若m ∥n ,m α⊥，则αβ⊥D ．若α∥β,m n ⊥,则m α⊥8.已知实数,x y 满足约束条件2,2,6x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥≥≤，则24z x y =+的最大值为A ．24B ．20C ．16D ．129.已知正三棱柱（底面是正三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱）111ABC A B C -体积为94，底若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 A ．π6B ．π4C ．π3D ．π210.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为A．21B．18 C ．21 D ．1811.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量Pmg /L 与时间t h 间的关系为0ktP P e-= ．若在前5个小时消除了10%的污染物，则污染物减少50%所需要的时间约为( )小时．(已知lg2=0.3010，lg3=0.4771) A ．26B ．33C ．36D ．4212.已知数列{}n a 的通项公式为n c a n n=+，若对任意n N +∈，都有3n a a ≥，则实数c 的取值范围是 A ．[]6,12B ．()6,12C ．[]5,12D ．()5,12二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置，书写不清，模棱两可均不得分) 13.不等式220x x -<的解集为 ▲ .14．若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n = ▲ 时，数列{}n a 的前n 项和最大.15.已知甲、乙两个圆柱的底面积分别为12,S S ，且1294S S =,体积分别为12,V V ，若它们的侧面积相等，则12V V = ▲ ． 16. 在△ABC 中，π6A =，D 是BC 边上一点（D 与B 、C 不重合），且22AB AD BD DC =+⋅uu u r uuu r uu u r uuu r ，则B ∠等于 ▲ ．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)第10题图 111111111111侧视图俯视图正视图第9题图 D C 1B 1A 1PC B A17.(本小题满分10分)已知向量a =r，(1b =r ，(1cos ,sin )c αα=--r ，α为锐角.（Ⅰ）求向量a r，b r 的夹角； （Ⅱ）若b c ⊥r r，求α.18.（本小题满分12分）某体育赛事组委会为确保观众顺利进场，决定在体育场外临时围建一个矩形观众候场区,总面积为272m （如图所示）.要求矩形场地的一面利用体育场的外墙，其余三面用铁栏杆围，并且要在体育馆外墙对面留一个长度为2m 的入口.现已知铁栏杆的租用费用为100元m /.设该矩形区域的长为x （单位：m ），租用铁栏杆的总费用为y （单位：元） （Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ，使得租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，并求出最小费用.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 和为n S ,且n S 满足:2,n S n n n N +=+∈.等比数列{}n b 满足：021log 2=+n n a b .(Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；(Ⅱ)设n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项的和n T .20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA 丄平面ABC ， AC 丄AB ，2PA AB ==，1AC =. (Ⅰ) 证明：PC 丄AB ；（Ⅱ）求二面角A PC B --的正弦值； (Ⅲ) 求三棱锥P ABC -外接球的体积.体育场外墙入口第18题图第20题图CAP21.（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，90ABC ∠=o,1AB BC =,P 为△ABC 内一点，90BPC ∠=o .(Ⅰ)若12PB =,求PA ； （Ⅱ）若150APB ∠=o ,求tan PBA ∠.22.（本小题满分12分）已知函数x x x f 2)(2+=． (Ⅰ)若],2[a x -∈，求)(x f 的值域；（Ⅱ）若存在实数t ，当],1[m x ∈，()3f x t x +≤恒成立，求实数m 的取值范围．湖北省重点中学2014-2015学年度期末质量检测高一数学参考答案及评分说明一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)CDBAB DCBCA BA二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)第21题图PC13.102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭14.8 15.32 16.5π12三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.（本小题满分10分）（Ⅰ）cos ,a b a b a b⋅===r r r r r r …………………………………………………………3分 [],0,πa b ∈r r Q π,6a b ∴=r r ……………………………………………………………5分（Ⅱ）由b c ⊥r r 知0b c ⋅=r r，即1cos 0αα--= …………………………………7分π2s i n ()16α∴-=， π1sin()62α∴-= ……………………………………………9分又α为锐角，π=3α∴. …………………………………………………………………10分18.（本小题满分12分）（Ⅰ）依题意有：72100(22)y x x=⨯+-，其中2x >.……………………………………5分 （Ⅱ）由均值不等式可得：72144100(22)100(2)y x x x x=⨯+-=+-2)2200=≥ ……………………………………8分当且仅当144x x=即12x =时取“=” ………………………………10分 综上：当12x =时，租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，最小费用为2200元 …12分 19.（本小题满分12分）（Ⅰ）当1n =时，12S =即12a =，当2n ≥时，12n n n a S S n -=-=，………………2分 又1221a ==⨯，2n a n ∴=…………………………………………………………………4分 由21log 02n n b a +=得1()2n n b = …………………………………………………………6分 （Ⅱ）11()2n n n n c a b n -==0121111()2()3()222n T =⨯+⨯+⨯+…2111(1)()()22n n n n --+-⨯+⨯ (1)121111()2()222n T =⨯+⨯+ (111)(1)()()22n n n n -+-⨯+⨯ ……（2）…8分(1)(2)-得121111()()222n T =+++…111()1112()()()22212nn n n n n --+-⨯=-⨯- …10分 114()(2)2n n T n -∴=-+……………………………………………………………………12分20.（本小题满分12分） （Ⅰ）AB AC AB PAC AB PC AB PA ⊥⎫⇒⊥⇒⊥⎬⊥⎭平面 …………………………………………4分（Ⅱ）过A 作AM PC ⊥交PC 于点M ，连接BM ，则AMB ∠为所求角 …6分在三角形AMB 中，sin AB AMB BM ∠==8分 (Ⅲ)求三棱锥P ABC -外接球即为以,,AP AB AC 为棱的长方体的外接球，长方体的对角线为球的直径…………10分23)2(912222222=⇒==++=R R l334439ππ()π3322V R ==⨯= ……………………………………12分21. （本小题满分12分）（Ⅰ）由已知得，60PBC ∠=o ，所以30PBA ∠=o ；………………………………………2分 在△PBA 中,由余弦定理得21173cos30424PA =+-=o ，……………………5分 故PA =………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）设PBA α∠=，由已知得sin PB α=， ………………………………………………8分 在△PBA 中, sin sin(30)αα=-o，………………………………10分 4sin αα=； 所以tan α=tan PBA ∠= …………………………………………………12分 22. （本小题满分12分）（Ⅰ）由题意得， 当21a -<-≤时，0)2()(max =-=f x f ，a a a f x f 2)()(2min +==，MCAP∴此时)(x f 的值域为]0,2[2a a + …………………………………………………2分 当10a -<≤时，0)2()(max =-=f x f ，1)1()(min -=-=f x f ， ∴此时)(x f 的值域为]0,1[-当0>a 时，a a x f 2)(2max +=，1)1()(min -=-=f x f ，∴此时)(x f 的值域为]2,1[2a a +- ……………………………………………………4分 （Ⅱ）由()3f x t x +≤恒成立得22(21)20x t x t t +-++≤恒成立 令t t x t x x u 2)12()(22++-+=，],1[m x ∈，因为抛物线的开口向上，所以)}(),1(max{)(max m u u x u = …………………………………………………6分由()0u x ≤恒成立知(1)0()0u u m ⎧⎨⎩≤≤，化简得22402(1)0t t m t m m -⎧⎨+++-⎩≤≤≤ 令m m t m t t g -+++=22)1(2)(，则原题可转化为：存在]0,4[-∈t ，使得()0g t ≤即当]0,4[-∈t 时，min ()0g t ≤. …………………………………………………8分 1,()m g t >∴Q 的对称轴为12t m =--<-，① 当14m --<-，即3m >时，min ()(4)g t g =-，解得38m <≤② 当412m ---<-≤，即13m <≤时，min ()(1)13g t g m m =--=--解得13m <≤ …………………………………………………11分综上，m 的取值范围为(1,8]. ………………………………………………12分23,168(1)0m m m m >⎧∴⎨-++-⎩≤13130m m <⎧∴⎨--⎩≤≤。
2014-2015年湖北省武汉一中等部分重点中学联考高一(下)期中数学试卷(理科)和答案
2014-2015学年湖北省武汉一中等部分重点中学联考高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）+1与﹣1的等差中项是（）A．1B．﹣1C．D．±12．（5分）计算sin77°cos47°﹣sin13°cos43°的值等于（）A．B．C．D．3．（5分）符合下列条件的三角形△ABC有且只有一个的是（）A．a=1，b=，A=30°B．a=1，b=2，c=3C．b=c=1，B=45°D．a=1，b=2，A=100°4．（5分）已知，则sin4θ﹣cos4θ的值为（）A．B．C．D．5．（5分）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当{a n}的前n项和最大时n的值为（）A．7B．8C．9D．106．（5分）已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，那么tan（α+）等于（）A．B．C．D．7．（5分）已知等比数列{a n}前n项和为S n，且a2015=3S2014+2015，a2014=3S2013+2015，则公比q等于（）A．3B．C．4D．8．（5分）如图D，C，B三点在地面同一直线上，DC=a，从C，D两点测得A点的仰角分别为β，α（α＜β），则A点离地面的高度AB=（）A．B．C．D．9．（5分）已知等比数列{a n}中a2=2，a5=，则a1•a2+a2•a3+a3•a4+…+a n•a n+1等于（）A．16（1﹣4﹣n）B．16（1﹣2n）C．D．10．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．若sinC+sin （B﹣A）=sin2A，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形11．（5分）将正奇数1，3，5，7，…按如表的方式进行排列，记a ij表示第i行第j列的数，若a ij=2015，则i+j的值为（）A．505B．506C．254D．25312．（5分）给出以下命题：①存在两个不等实数α，β，使得等式sin（α+β）=sinα+sinβ成立；②若数列{a n}是等差数列，且a m+a n=a s+a t（m、n、s、t∈N*），则m+n=s+t；③若S n是等比数列{a n}的前n项和，则S6，S12﹣S6，S18﹣S12成等比数列；④若S n是等比数列{a n}的前n项和，且S n=Aq n+B；（其中A、B是非零常数，n∈N*），则A+B为零；⑤已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2＞c2，则△ABC一定是锐角三角形．其中正确的命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题纸相应位置上．）13．（5分）已知＜θ＜π，且sinθ=，则tan=．14．（5分）已知△ABC中，设三个内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，且a=1，，A=30°，则c=．15．（5分）已知数列{a n}，{b n}都是等差数列，S n，T n分别是它们的前n项和，并且，则=．（用最简分数作答）16．（5分）数列{a n}的首项a1=1，数列{b n}为等比数列且b n=，若b10b11=2015，则a21=．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）已知数列{a n}的前n项和为S n，若，求a n（2）等差数列{a n}的前n项和记为S n，已知a10=30，a20=50，S n=242，求n．18．（12分）已知cos（+α）•cos（﹣α）=﹣，α∈（，），求：（Ⅰ）sin2α；（Ⅱ）tanα﹣．19．（12分）在△ABC中，三个内角的对边分别为a，b，c，cosA=，asinA+bsinB ﹣csinC=asinB．（1）求B的值；（2）设b=10，求△ABC的面积S．20．（12分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1•a2=2，a3•a4=32．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；﹣1（n∈N*），求数列{b n}的前n （Ⅱ）设数列{b n}满足+++…+=a n+1项和．21．（12分）如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N （异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）．22．（12分）数列{a n}的首项为a（a≠0），前n项和为S n，且S n+1=t•S n+a（t≠0）．设b n=S n+1，c n=k+b1+b2+…+b n（k∈R+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当t=1时，若对任意n∈N*，|b n|≥|b3|恒成立，求a的取值范围；（3）当t≠1时，试求三个正数a，t，k的一组值，使得{c n}为等比数列，且a，t，k成等差数列．2014-2015学年湖北省武汉一中等部分重点中学联考高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）+1与﹣1的等差中项是（）A．1B．﹣1C．D．±1【解答】解：设x为+1与﹣1的等差中项，则﹣1﹣x=x﹣+1，即x==故选：C．2．（5分）计算sin77°cos47°﹣sin13°cos43°的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：sin77°cos47°﹣sin13°cos43°=sin77°cos47°﹣cos77°sin47°=sin（77°﹣47°）=sin30°=．故选：A．3．（5分）符合下列条件的三角形△ABC有且只有一个的是（）A．a=1，b=，A=30°B．a=1，b=2，c=3C．b=c=1，B=45°D．a=1，b=2，A=100°【解答】解：对于A、a=1，b=，A=30°三角形中B可以是45°，135°，组成两个三角形．对于B、a=1，b=2，c=3组不成三角形．对于D、a=1，b=2，A=100°组不成三角形．对于C、b=c=1，B=45°显然只有一个三角形．故选：C．4．（5分）已知，则sin4θ﹣cos4θ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos2θ=cos2θ﹣sin2θ=，∴sin4θ﹣cos4θ=（sin2θ+cos2θ）（sin2θ﹣cos2θ）=﹣（cos2θ﹣sin2θ）=﹣．故选：B．5．（5分）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当{a n}的前n项和最大时n的值为（）A．7B．8C．9D．10【解答】解：∵等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，∴3a8=a7+a8+a9＞0，a8+a9=a7+a10＜0，∴a8＞0，a9＜0，∴等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴当{a n}的前n项和最大时n的值为8，故选：B．6．（5分）已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，那么tan（α+）等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵已知，∴=tan[（α+β）﹣（β﹣）]===，故选：C．7．（5分）已知等比数列{a n}前n项和为S n，且a2015=3S2014+2015，a2014=3S2013+2015，则公比q等于（）A．3B．C．4D．【解答】解：∵a2015=3S2014+2015，a2014=3S2013+2015，∴a2015﹣a2014=3a2014，∴=4．故选：C．8．（5分）如图D，C，B三点在地面同一直线上，DC=a，从C，D两点测得A点的仰角分别为β，α（α＜β），则A点离地面的高度AB=（）A．B．C．D．【解答】解：依题意知，DB=，BC=，∴DC=DB﹣BC=AB（﹣）=a，∴AB=，故选：A．9．（5分）已知等比数列{a n}中a2=2，a5=，则a1•a2+a2•a3+a3•a4+…+a n•a n+1等于（）A．16（1﹣4﹣n）B．16（1﹣2n）C．D．【解答】解：设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，因为等比数列{a n}中，a2=2，a5=，所以=，则q=，由a2=2得，a1=4，所以a n•a n+1=4•（4）==8•，所以数列{a n•a n+1}是以8为首项、为公比的等比数列，则a1•a2+a2•a3+a3•a4+…+a n•a n+1==，故选：C．10．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．若sinC+sin （B﹣A）=sin2A，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【解答】解：∵sinC+sin（B﹣A）=sin2A，∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=sin2A，∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=sin2A，∴2cosAsinB=sin2A=2sinAcosA，∴2cosA（sinA﹣sinB）=0，∴cosA=0，或sinA=sinB，∴A=，或a=b，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形故选：D．11．（5分）将正奇数1，3，5，7，…按如表的方式进行排列，记a ij表示第i行第j列的数，若a ij=2015，则i+j的值为（）A．505B．506C．254D．253【解答】解：由题意得，该数列是等差数列，则a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∴由公式得n=（2015+1）÷2=1008，∴由四个数为一行得1008÷4=252，∴由题意2015这个数为第252行第一列，故i+j=253，故选：D．12．（5分）给出以下命题：①存在两个不等实数α，β，使得等式sin（α+β）=sinα+sinβ成立；②若数列{a n}是等差数列，且a m+a n=a s+a t（m、n、s、t∈N*），则m+n=s+t；③若S n是等比数列{a n}的前n项和，则S6，S12﹣S6，S18﹣S12成等比数列；④若S n是等比数列{a n}的前n项和，且S n=Aq n+B；（其中A、B是非零常数，n∈N*），则A+B为零；⑤已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2＞c2，则△ABC一定是锐角三角形．其中正确的命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：对于①实数α=0，β≠0，则sin（α+β）=sinβ，sinα+sinβ=sinβ，所以等式成立；故①正确；对于②取数列{a n}为常数列，对任意m、n、s、t∈N*，都有a m+a n=a s+a t，故②不正确；对于③设a n=（﹣1）n，则S2=0，S4﹣S2=0，S6﹣S4=0，∴此数列不是等比数列，故③不正确；④S n是等比数列{a n}的前n项和，且S n=Aq n+B；（其中A、B是非零常数，n∈N*），所以此数列为首项是a1，公比为q≠1的等比数列，则S n=，所以A=，B=﹣，∴A+B=0，故④正确；对于⑤，如果三角形是直角三角形，a=5，b=3．c=4，满足a2+b2＞c2，故⑤不正确；故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题纸相应位置上．）13．（5分）已知＜θ＜π，且sinθ=，则tan=．【解答】解：∵sinθ=，∴2sin cos=，∴=，∴=，又∵＜θ＜π，∴＜＜，∴tan＞1，解方程可得tan=故答案为：14．（5分）已知△ABC中，设三个内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，且a=1，，A=30°，则c=1或2．【解答】解：∵a=1，，A=30°，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：1=3+c2﹣3c，即c2﹣3c+2=0，因式分解得：（c﹣1）（c﹣2）=0，解得：c=1或c=2，经检验都符合题意，则c=1或2．故答案为：1或215．（5分）已知数列{a n}，{b n}都是等差数列，S n，T n分别是它们的前n项和，并且，则=．（用最简分数作答）【解答】解：====．故答案为：．16．（5分）数列{a n}的首项a1=1，数列{b n}为等比数列且b n=，若b10b11=2015，则a21=2015．【解答】解：由b n=，且a1=1，得b1=．b2=，a3=a2b2=b1b2．b3=，a4=a3b3=b1b2b3．…a n=b1b2…b n﹣1．∴a21=b1b2 (20)∵数列{b n}为等比数列，∴=2015．故答案为：2015．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）已知数列{a n}的前n项和为S n，若，求a n（2）等差数列{a n}的前n项和记为S n，已知a10=30，a20=50，S n=242，求n．【解答】解：（1）当n=1时，a1=s1=6；当n≥2时，由于a1不适合此式，∴．（2）解由a n=a1+（n﹣1）d，a10=30，a20=50，得程组，解得．∴a n=2n+10．，得，解得n=11或n=﹣22（舍去）．∴n=11．18．（12分）已知cos（+α）•cos（﹣α）=﹣，α∈（，），求：（Ⅰ）sin2α；（Ⅱ）tanα﹣．【解答】解：（Ⅰ）∵cos（+α）•cos（﹣α）=cos（+α）•sin（+α）=﹣，…（2分）即sin（2α+）=﹣，α∈（，），故2α+∈（π，），∴cos（2α+）=﹣，…（5分）∴sin2α=sin[（2α+）﹣]=sin（2α+）cos﹣cos（2α+）sin=…（7分）（Ⅱ）∵2α∈（，π），sin2α=，∴cos2α=﹣，…（9分）∴tanα﹣=﹣===﹣2•=2．…（12分）19．（12分）在△ABC中，三个内角的对边分别为a，b，c，cosA=，asinA+bsinB ﹣csinC=asinB．（1）求B的值；（2）设b=10，求△ABC的面积S．【解答】解：（1）∵，∴．∴．又∵A、B、C是△ABC的内角，∴．∵，又∵A、B、C是△ABC的内角，∴0＜A+C＜π，∴．∴．（2）∵，∴．∴△ABC的面积．20．（12分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1•a2=2，a3•a4=32．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足+++…+=a n﹣1（n∈N*），求数列{b n}的前n+1项和．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由已知得…（2分）又∵a1＞0，q＞0，解得…（3分）∴；…（5分）（Ⅱ）由题意可得，（n≥2）两式相减得，∴，（n≥2）…（7分）当n=1时，b1=1，符合上式，∴，（n∈N*）…（8分）设，，…（10分）两式相减得，∴．…（12分）21．（12分）如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N （异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）．【解答】解：设∠AMN=θ，在△AMN中，=．因为MN=2，所以AM=sin（120°﹣θ）．…2分在△APM中，cos∠AMP=cos（60°+θ）．…6分AP2=AM2+MP2﹣2AM•MP•cos∠AMP=sin2（120°﹣θ）+4﹣2×2×sin（120°﹣θ）cos（60°+θ） (8)分=sin2（θ+60°）﹣sin（θ+60°）cos（θ+60°）+4=[1﹣cos （2θ+120°）]﹣sin（2θ+120°）+4=﹣[sin（2θ+120°）+cos （2θ+120°）]+=﹣sin（2θ+150°），θ∈（0，120°）．…12分当且仅当2θ+150°=270°，即θ=60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．答：设计∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…14分22．（12分）数列{a n}的首项为a（a≠0），前n项和为S n，且S n+1=t•S n+a（t≠0）．设b n=S n+1，c n=k+b1+b2+…+b n（k∈R+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当t=1时，若对任意n∈N*，|b n|≥|b3|恒成立，求a的取值范围；（3）当t≠1时，试求三个正数a，t，k的一组值，使得{c n}为等比数列，且a，t，k成等差数列．=t•S n+a①【解答】解：（1）∵S n+1当n≥2时，S n=t•S n﹣1+a②，=t•a n（n≥2），①﹣②得，a n+1又由S2=t•S1+a，得a2=t•a1，∴{a n}是首项为a，公比为t的等比数列，∴（n∈N*）；（2）当t=1时，a n=a，S n=na，b n=na+1，由|b n|≥|b3|，得|na+1|≥|3a+1|，（n﹣3）a[（n+3）a+2]≥0（*）当a＞0时，n＜3时，（*）不成立；当a＜0时，（*）等价于（n﹣3）[（n+3）a+2]≤0（**）n=3时，（**）成立．n≥4时，有（n+3）a+2≤0，即恒成立，∴．n=1时，有4a+2≥0，．n=2时，有5a+2≥0，．综上，a的取值范围是；（3）当t≠1时，，，=，∴当时，数列{c n}是等比数列，∴，又∵a，t，k成等差数列，∴2t=a+k，即，解得．从而，，．∴当，，时，数列{c n}为等比数列．。
2014-2015学年湖北省武汉外国语学校高一(下)期末数学试卷(解析版)
2014-2015学年湖北省武汉外国语学校高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）数列3，5，9，17，33，…的通项公式a n等于（）A．2n B．2n+1 C．2n﹣1 D．2n+12．（5分）已知直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0，若l1∥l2，则a=（）A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．﹣23．（5分）给出下列命题：①平行于同一条直线的两直线互相平行；②平行于同一平面的两条直线互相平行；③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④垂直于同一平面的两条直线互相平行．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）已知a，b，c，d均为实数，有下列命题①若ab＞0，bc﹣ad＞0，则﹣＞0；②若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd；③若bc﹣ad＞0，bd＞0则．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．（5分）变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+y﹣3的取值范围是（）A．[，9]B．[﹣，6]C．[﹣2，3]D．[1，6]6．（5分）点A（1，3）关于直线y=kx+b对称的点是B（﹣2，1），则直线y=kx+b 在x轴上的截距是（）A．﹣ B．C．﹣ D．7．（5分）已知S n是等差数列{a n}（n∈N*）的前n项和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．S6和S7均为S n的最大值．B．a7=0C．公差d＜0 D．S9＞S58．（5分）过点P（2，1）的直线l与坐标轴分别交A，B两点，如果三角形OAB 的面积为4，则满足条件的直线l最多有（）条．A．1 B．2 C．3 D．49．（5分）已知数列{a n}的前n项和，其中a、b是非零常数，则存在数列{x n}、{y n}使得（）A．a n=x n+y n，其中{x n}为等差数列，{y n}为等比数列B．a n=x n+y n，其中{x n}和{y n}都为等差数列C．a n=x n•y n，其中{x n}为等差数列，{y n}都为等比数列D．a n=x n•y n，其中{x n}和{y n}都为等比数列10．（5分）已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线m过P（1，1），且与线段AB相交，求直线m的斜率k的取值范围为（）A．B．C．﹣4≤k≤D．≤k≤411．（5分）下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（）A．①、②B．①、③C．②、③D．②、④12．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2，则+的最大值为．14．（5分）所有棱长均为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC=60°，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积为．15．（5分）已知x，y满足，若不等式a≤x+y恒成立，则a的最大值为．16．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（11分）已知函数f（x）=，（a、b为常数），且函数g（x）=f（x）﹣x+12有两个零点x1=3，x2=4．（I）求函数f（x）的解析式；（II）若k≥2，解关于x 的不等式f（x）＜．18．（11分）某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级籽棉2吨、二级籽棉1吨；生产乙种棉纱1吨需耗一级籽棉1吨，二级籽棉2吨．每1吨甲种棉纱的利润为900元，每1吨乙种棉纱的利润为600元．工厂在生产这两种棉纱的计划中，要求消耗一级籽棉不超过250吨，二级籽棉不超过300吨．问甲、乙两种棉纱应各生产多少吨，能使利润总额最大？并求出利润总额的最大值．19．（11分）如图，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=2，BC=，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面EDB；（Ⅱ）求异面直线AD 与BE所成角的余弦．20．（11分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．﹣a n=λ（Ⅰ）证明：a n+2（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．21．（12分）已知△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的角平分线所在的直线方程为y=0，点C的坐标为（1，2）．（Ⅰ）求点A和点B的坐标；（Ⅱ）又过点C作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点M，N，求△MON的面积最小值及此时直线l的方程．22．（14分）已知数列{a n}中，a1=2，对于任意的p，q∈N*，有a p+q=a p+a q（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：求数列{b n}的通项公式；（3）设C n=3n+λb n（n∈N*），是否存在实数λ，当n∈N*时，C n+1＞C n恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．2014-2015学年湖北省武汉外国语学校高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）数列3，5，9，17，33，…的通项公式a n等于（）A．2n B．2n+1 C．2n﹣1 D．2n+1【解答】解：根据题意，数列{a n}的前几项为3，5，9，17，33，…分析可得：a1=21+1=3，a2=22+1=5，a3=23+1=9，a4=24+1=17，a5=25+1=33，故a n=2n+1；故选：B．2．（5分）已知直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0，若l1∥l2，则a=（）A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．﹣2【解答】解：已知两条直线l1：ax+2y+6=0ax+3y﹣3=0，l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0，4x+6y﹣1=0．l1∥l2，﹣=，解得a=2 或a=﹣1当a=2时，两直线重合∴a=﹣1故选：B．3．（5分）给出下列命题：①平行于同一条直线的两直线互相平行；②平行于同一平面的两条直线互相平行；③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④垂直于同一平面的两条直线互相平行．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①根据平行公理可知平行于同一条直线的两直线互相平行，所以①正确．②平行于同一平面的两条直线还可以异面或相交，所以②错误．③垂直于同一直线的两条直线也有可能是异面或相交，所以③错误．④根据线面垂直的性质可知，垂直于同一平面的两条直线互相平行，所以④正确．所以正确的为①④．故选：B．4．（5分）已知a，b，c，d均为实数，有下列命题①若ab＞0，bc﹣ad＞0，则﹣＞0；②若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd；③若bc﹣ad＞0，bd＞0则．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：下列命题①若ab＞0，bc﹣ad＞0，则﹣＞0，正确；②若a＜b＜0，c＜d＜0，则﹣a＞﹣b＞0，﹣c＞﹣d＞0，∴ac＞bd，正确；③若bc﹣ad＞0，bd＞0，则0，化为＞，可得，正确．其中真命题的个数是3．故选：D．5．（5分）变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+y﹣3的取值范围是（）A．[，9]B．[﹣，6]C．[﹣2，3]D．[1，6]【解答】解：画出不等式表示的平面区域将目标函数为z=3x+y﹣3，作出目标函数对应的直线，直线过B（0，1）时，直线的纵截距最小，z最小，最大值为﹣2；当直线过A（2，0）时，直线的纵截距最大，z最大，最大值为3；则目标函数z=3x+y﹣3的取值范围是[﹣2，3]．故选：C．6．（5分）点A（1，3）关于直线y=kx+b对称的点是B（﹣2，1），则直线y=kx+b 在x轴上的截距是（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：由题意知，解得k=﹣，b=，∴直线方程为y=﹣x+，其在x轴上的截距为﹣×（﹣）=．故选：D．7．（5分）已知S n是等差数列{a n}（n∈N*）的前n项和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．S6和S7均为S n的最大值．B．a7=0C．公差d＜0 D．S9＞S5【解答】解：∵S5＜S6，S6=S7＞S8，则A正确；∵S6=S7，∴a7=0，∴B正确；∵S5＜S6，S6=S7＞S8，则a6＞0，a7=0，a8＜0，∴d＜0，C正确；∵a6+a7+a8+a9=2（a7+a8）＜0，∴S9＜S5，D错误．故选：D．8．（5分）过点P（2，1）的直线l与坐标轴分别交A，B两点，如果三角形OAB 的面积为4，则满足条件的直线l最多有（）条．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：设直线l与坐标轴的交点A（a，0），B（0，b），则直线l的方程为：，∵直线l过点P（2，1），∴=1，①∴△OAB的面积为4，∴|a||b|=4，②联立①②，得，解得，或，或，∴满足条件的直线l最多有3条，故选：C．9．（5分）已知数列{a n}的前n项和，其中a、b是非零常数，则存在数列{x n}、{y n}使得（）A．a n=x n+y n，其中{x n}为等差数列，{y n}为等比数列B．a n=x n+y n，其中{x n}和{y n}都为等差数列C．a n=x n•y n，其中{x n}为等差数列，{y n}都为等比数列D．a n=x n•y n，其中{x n}和{y n}都为等比数列【解答】解：当n=1时，a1=S1=a，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=a[2﹣（）n﹣1]﹣b[2﹣（n+1）（）n﹣1]﹣a[2﹣（）n﹣2]+b[2﹣n（）n﹣2] =a（）n﹣1+b[（）n﹣1﹣n（）n﹣1]=[a﹣（n﹣1）b]（）n﹣1，∴a n=[a﹣（n﹣1）b]（）n﹣1（n∈N*）故选：C．10．（5分）已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线m过P（1，1），且与线段AB相交，求直线m的斜率k的取值范围为（）A．B．C．﹣4≤k≤D．≤k≤4【解答】解：根据题意，直线m过P（1，1），设直线m的方程为y﹣1=k（x﹣1），即y﹣kx+k﹣1=0，若直线m与线段AB相交，即A、B在直线的两侧或直线上，则有[（﹣3）﹣2k+k﹣1][（﹣2）﹣（﹣3）k+k﹣1]≤0，解可得：k≥或k≤﹣4；故选：A．11．（5分）下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（）A．①、②B．①、③C．②、③D．②、④【解答】解：在①中NP平行所在正方体的那个侧面的对角线，从而平行AB，所以AB∥平面MNP；在③中设过点B且垂直于上底面的棱与上底面交点为C，则由NP∥CB，MN∥AC可知平面MNP∥平行平面ABC，即AB∥平面MNP．故选：B．12．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5【解答】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，三个点在圆上，一个点是圆心，圆上的点到圆心的距离都相等，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径不等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合，但显然球的半径不等于棱长，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2，则+的最大值为1．【解答】解：∵a＞1，b＞1，a x=b y=3，∴xlga=ylgb=lg3，∴====1，当且仅当a=b=3时取等号．∴+的最大值为1．故答案为：1．14．（5分）所有棱长均为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC=60°，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积为4+6．【解答】解：斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC=60°，∴A1A在平面ABC内的射影是∠BAC的角平分线作A1H⊥平面ABC，延长AH交BC于D∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AD⊥BC∵A1H⊥BC，AD∩A1H=H，∴BC⊥平面AA1H∵A1A⊂平面AA1H，∴A1A⊥BC，结合A1A∥B1B，得B1B⊥BC因此，四边形BB1C1C是矩形∵平行四边形AA1B1B中，∠A1AB=60°，AA1=AB=2∴S平行四边形AA1B1B=AA1×ABsin60°=2，同理可得S平行四边形AA1C1C=2，∵△ABC和△A1B1C1都是边长为2的等边三角形，∴S△ABC=S△A1B1C1=2又∵S矩形BB1C1C=BB1×BC=4∴该斜三棱柱的全面积是S平行四边形AA1B1B+S平行四边形AA1C1C+S矩形BB1C1C+S△ABC+S△A1B1C1=4+6故答案为：4+615．（5分）已知x，y满足，若不等式a≤x+y恒成立，则a的最大值为．【解答】解：由题意知：可行域如图，又∵不等式a≤x+y在可行域内恒成立．且a≤，=1+=1+，故只求z=的最大值即可．设k=，则有图象知A（2，3），则OA的斜率k=，BC的斜率k=1，由图象可知即1≤k≤，∵z=k+在1≤k≤，上为增函数，∴当k=时，z取得最大值z=+=，此时1+=1+=1+=，故a≤，故a的最大值为，故答案为：16．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为6．【解答】解：根据题意，得；该几何体是如图所示的三棱锥A﹣BCD，且该三棱锥是放在棱长为4的正方体中，所以，在三棱锥A﹣BCD中，最长的棱长为AD，且AD===6．故答案为：6．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（11分）已知函数f（x）=，（a、b为常数），且函数g（x）=f（x）﹣x+12有两个零点x1=3，x2=4．（I）求函数f（x）的解析式；（II）若k≥2，解关于x 的不等式f（x）＜．【解答】解：（I）把x1=3，x2=4，别代入方程﹣x+12=0，得解得，所以f（x）=（x≠2）；（II）不等式即为＜．可化为＜0，即（x﹣2）（x﹣1）（x﹣k）＞0，当k=2时，不等式为（x﹣2）2（x﹣1）＞0解集为（1，2 ）∪（2，+∞），当k＞2 时，由穿根法解得解集为（1，2 ）∪（k，+∞）．18．（11分）某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级籽棉2吨、二级籽棉1吨；生产乙种棉纱1吨需耗一级籽棉1吨，二级籽棉2吨．每1吨甲种棉纱的利润为900元，每1吨乙种棉纱的利润为600元．工厂在生产这两种棉纱的计划中，要求消耗一级籽棉不超过250吨，二级籽棉不超过300吨．问甲、乙两种棉纱应各生产多少吨，能使利润总额最大？并求出利润总额的最大值．【解答】解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x、y吨，利润总额为z，则z=900x+600y (2)且 (4)作出以上不等式组所表示的平面区域（如图），即可行域． (6)作直线l：900x+600y=0，即3x+2y=0，把直线l向右上方平移至过直线2x+y=250与直线x+2y=300的交点位置M（，）， (10)此时所求利润总额z=900x+600y取最大值130000元．…12．19．（11分）如图，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=2，BC=，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面EDB；（Ⅱ）求异面直线AD 与BE所成角的余弦．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC、BD，交于点O，连结OE，∵四边形ABCD为矩形，∴O是AC中点，∵E是PC中点，∴OE∥PA，∵PA⊄平面EDB，OE⊂平面EDB，∴PA∥平面EDB．解：（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），B（，2，0），D（0，0，0），P（0，0，2），C（0，2，0），E（0，1，1），=（﹣，0，0），=（﹣，﹣1，1），设异面直线AD 与BE所成角为θ．则cosθ===，∴异面直线AD 与BE所成角的余弦值为．20．（11分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，∴a n+1（a n+2﹣a n）=λa n+1∵a n+1≠0，∴a n+2﹣a n=λ．（Ⅱ）解：①当λ=0时，a n a n+1=﹣1，假设{a n}为等差数列，设公差为d．则a n﹣a n=0，∴2d=0，解得d=0，+2∴a n=a n+1=1，∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{a n}不为等差数列．②当λ≠0时，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．则λ=a n﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，+2∴．∴，，∴λS n=1+=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，a n=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{a n}为等差数列．21．（12分）已知△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的角平分线所在的直线方程为y=0，点C的坐标为（1，2）．（Ⅰ）求点A和点B的坐标；（Ⅱ）又过点C作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点M，N，求△MON的面积最小值及此时直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为点A在BC边上的高x﹣2y+1=0上，又在∠A的角平分线y=0上，所以解方程组得A（﹣1，0）．∵BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∴k BC=﹣2，∵点C的坐标为（1，2），所以直线BC的方程为2x+y﹣4=0，∵k AC=﹣1，∴k AB=﹣k AC=1，所以直线AB的方程为x+y+1=0，解方程组得B（5，﹣6），故点A和点B的坐标分别为（﹣1，0），（5，﹣6）．（Ⅱ）依题意直线的斜率存在，设直线l的方程为：y﹣2=k（x﹣1）（k＜0），则，所以，）min=4，此时直线l的方程是2x+y﹣4=0．当且仅当k=﹣2时取等号，所以（S△MON22．（14分）已知数列{a n}中，a1=2，对于任意的p，q∈N*，有a p+q=a p+a q（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：求数列{b n}的通项公式；（3）设C n=3n+λb n（n∈N*），是否存在实数λ，当n∈N*时，C n+1＞C n恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．=a n+a1=a n+2【解答】解：（1）取p=n，q=1，则a n+1∴a n﹣a n=2（n∈N*）+1∴{a n}是公差为2，首项为2的等差数列∴a n=2n（4分）（2）∵①∴②①﹣②得：b n=（﹣1）n﹣1（2n+1+2）（n≥2）当n=1时，∴b1=6满足上式∴b n=（﹣1）n﹣1（2n+1+2）（n∈N*）（9分）（3）C n=3n+（﹣1）n﹣1（2n+1+2）•λ＞C n（n∈N*）3n+1+（﹣1）n（2n+2+2）•λ＞3n+（﹣1）n﹣1（2n+1+2）假设存在λ，使C n+1•λ[（﹣1）n（2n+2+2）﹣（﹣1）n﹣1（2n+1+2）]•λ＞3n﹣3n+1=﹣2•3n（﹣1）n（3•2n+1+4）•λ＞﹣2•3n当n为正偶函数时，（3•2n+1+4）λ＞﹣2•3n恒成立当n=2时∴当n为正奇数时，﹣（3•2n+1+4）•λ＞﹣2•3n恒成立∴当n=1时∴综上，存在实数λ，且（16分）。
2014-2015年湖北省武汉市部分重点中学高一(下)期中数学试卷和答案
19． （12 分）在△ABC 中，角 A 为锐角，记角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 设向量 =（cosA，sinA） ， =（cosA，﹣sinA） ，且 与 的夹角为 （1）求 • 的值及角 A 的大小； （2）若 a= ，c= ，求△ABC 的面积 S． = ， ．
20． （12 分） 已知 ， 分别是与 x 轴， y 轴方向相同的两个单位向量， =5 ， （Ⅰ）求| （Ⅱ）求 ， =2 |； 的坐标． ， = ，又 =2 ， （n≥2，n∈N+） ， =3 +3 ，
2014-2015 学年湖北省武汉市部分重点中学高一（下）期中数学 试卷
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡上相应位置） ． 1． （5 分）在四边形 ABCD 中，若 A．正方形 B．菱形 = + ，则四边形 ABCD 一定是（ C．矩形 ）
=2 +2 （n∈N+） ．
21． （12 分）如图，在△ABC 中，设 向量 ， 的夹角为 ．
，
第 3 页（共 17 页）
（Ⅰ）用
表示
； ．
（Ⅱ）若点 E 是 AC 边的中点，直线 BE 交 AD 于 F 点，求
22． （12 分）已知数列{an}中，a1=1，an+1= （Ⅰ）求 a2，a3； （Ⅱ）求证：{
ห้องสมุดไป่ตู้
9． （5 分）已知平行四边形 ABCD 的周长为 18，又 AC= 四边形的面积是（ A．32 ） B．17.5 C．18 ）
，则该平行
D．16
10． （5 分）下面 4 个结论中，正确结论的个数是（
2014-2015学年度第二学期期末武汉市部分学校高中一年级调研测试数学(Word版含解析)
2014～2015学年度第二学期末武汉市部分学校高一年级调研测试数学试卷武汉市教育科学研究院命制 2015．6．30说明：本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题。
第Ⅰ卷为1至2页，第Ⅱ卷为3至4页。
本试卷满分150分，考试用时120分钟。
注意：请考生用钢笔或黑色水性笔将自己的姓名、班级等信息及所有答案填写在答题卷相应的位置上。
第Ⅰ卷 （选择题，共50分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.sin 72cos 42cos 72sin 42︒︒-︒︒=A ． 12B C D ．1 2.不等式223x x -+<-的解集是A ． 31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．()3,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C ．RD ．φ 3.关于x 的二次不等式20ax bx c ++<恒成立的充要条件是A ． 2040a b ac >⎧⎨->⎩ B. 2040a b ac >⎧⎨-<⎩ C ．2040a b ac <⎧⎨->⎩ D ．2040a b ac <⎧⎨-<⎩4.若实数,x y 满足1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则42z x y =-的取值范围是 A ． []0.12 B ．[]2.12 C ．[]2.10 D ．[]0.105. 已知数列{}n a 中，1111,1(1)4n n a a n a -=-=->，则2015a = A ． 14- B ．5 C ．45D ．2015 6.在下列命题中，错误的是A ．如果一个直线上的两点在平面内，那么这条直线在此平面内B ．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线D ．平行于同一个平面的两条直线平行7.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最A ． 8B ．7C ．6D ．59.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111,3(1)n n a a S n +==≥，则6a =A ． 434⨯B ． 4341⨯+C ．54D ． 541+ 10. “祖暅原理”是我国古代数学学家祖暅在研究球的体积的过程中发现的一个原理。
湖北省部分重点中学2014-2015学年高一下学期期末考试化学试卷
湖北省部分重点中学2014-2015学年度下学期高一期末考试化学试卷命题人：武汉市第49中学肖建锋审题人：武汉4中刘飞可能用到的相对原子量 H 1第I卷（选择题共48分）一．选择题（每题只有一个正确答案，本题共16小题，每小题3分，共48分）1.某种“自热米饭”，在食用时，将某液体加入到某白色固体中，放上装有冷米饭和蔬菜的盒子，过几分钟米饭就热气腾腾，非常方便。
试推测该液体和固体最有可能的组合是（）A．硝酸铵和水B．浓硫酸和水C．生石灰和水D．苛性钠和水2.对反应3A（g）＋B（g）＝2C（g）＋2D（g），下列表示的速率最快的是（）A. v A= 0.5 mol·L－1·s－1B. v B = 0.5 mol·L－1·s－1C. v C=0.4 mol·L－1·s－1D. v D =1.2 mol·L－1·min－13.下列反应既是氧化还原反应，又是吸热反应的是（）A．铝片与稀H2SO4反应B．灼热的炭与H2O反应C．Ba(OH)2·8H2O与NH4Cl反应D．甲烷在O2中的燃烧反应4.下列说法不正确的是（）A．反应热可分为多种，如燃烧热、中和热、溶解热等B．氢气是一种燃烧热高，来源丰富，环保的一级能源C．达化学平衡时，同一物质的正反应速率一定等于其逆反应速率D．由自由能判据推出反应2CO(g) ==2C(s)＋O2(g)在任何温度下都不能自发进行5.下列说法正确的是（）A．增大反应物浓度，可增大单位体积内活化分子百分数，使有效碰撞次数增大B．有气体参加的化学反应，若缩小反应容器的体积，可增加活化分子的百分数，从而使反应速率增大C．升高温度能使化学反应速率增大，主要原因是增加了活化分子的百分数D．催化剂不影响反应活化能但能增大单位体积内活化分子百分数，从而增大反应速率6.可逆反应aA（g）+bB（g）cC（g）+dD（g），反应过程中，当其它条件不变时，C的百分含量（C%）与温度（T）和压强（P）的关系如图,下列叙述正确的是（）A.化学方程式中a+b＞c+dB.达平衡后，加入催化剂则C%增大C.达平衡后，若升温，平衡逆向移动D.其他条件不变，在不同温度达平衡后，C在T1时的反应速率大于T27.已知2SO 2（g）+ O2（g）2SO3（g）；△H=－196.64kJ•mol-1，下列说法正确的是（）A．该反应是吸热反应 B. SO2燃烧热为196.64kJ•mol-1C．在容器中充入1mol SO2和0.5mol O2充分反应，热变化为98.32kJD．当有N A个电子发生转移时，热变化为49.16kJ8.在一恒容的密闭容器中充入0.1 mol/L CO2、0.1 mol/L CH4，在一定条件下发生反应：(g)＋CO2(g) 2CO(g)＋2H2(g)，测得CH4平衡转化率与温度、压强关系如图，CH下列有关说法不正确的是（）A．此条件下，1molCH4(g)和1molCO2(g)的总能量大于2mol CO(g)和2molH2(g)的总能量B．压强：P2>P1C．1100 ℃达平衡时，c（CO）=0.16 mol/LD．压强为P2时，在y点：v正> v逆9.下列说法正确的是（）A．甲烷的燃烧热为△H=－890.3kJ·mol-1，则甲烷燃烧的热化学方程式可表示为CH4(g)+2O2(g)=CO2(g)+2H2O(g) △H=－890.3kJ·mol-1B．已知H2O(l)= H2O(g) △H=+44 kJ·mol-1，则2gH2(g)完全燃烧生成液态水比生成气态水多释放22kJ的能量C．吸热反应一定是非自发的化学反应D．同温同压下，H2(g)+ Cl2(g)=2HCl(g)在光照和点燃条件下的△H相同。
湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 理
湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年度下学期高二期末考试数 学 试 卷(理科）全卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数211ii i-+- 等于（ ） A. i B. 0 C.-i D.1+i2．设x x x x f ln 42)(2--=，则函数()f x 单调递增区间为（A ） ),0(+∞ （B ）)0,1(-和),2(+∞ （C ）),2(+∞ (D))0,1(- 3．函数()y f x =的图象如图所示，若()f x dx m π=⎰，则20()f x dx π⎰等于（ ） A．mB ．2mC ．m -D ．04．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. y x =B. y =C.y x =D.32y x =±5．曲线12x y e=在点2(4,)e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ ）A ．2e B ．22e C ．24e D ．292e 6．下列命题错误的是 （ ）A 、命题“若0m >，则方程02=-+m x x 有实数根”的逆否命题为“若方程02=-+m x x 无实数根，则0m ≤”B 、“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件C 、对于命题:p x R ∃∈,使得012<++x x ，则R x p ∈∀⌝:，均有012≥++x xD 、若q p ∧为假命题，则,p q 均为假命题7.棱长均为3三棱锥ABC S -，若空间一点P 满足SC z SB y SA x SP ++=)1(=++z y x 为( )A 、6B 、36 C 、63 D 、1 8．已知函数)()1(x f x y '-=的图象如图所示，其中)(x f '为函数)(x f 的导函数，则)(x f y =的大致图象是( )9．如图，过双曲线上左支一点A 作两条相互垂直的直线分别过两焦点，其中一条与双曲线交于点B ，若三角形ABF 2是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 （ ）ABCD10．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E F ，分别是1AB ，1BC 的中点，则以下结论中不成立．．．的是（ ） A ．EF 与1BB 垂直 B ．EF 与BD 垂直 C ．EF 与CD 异面D ．EF 与11AC 异面11．已知函数()y f x =对任意的x ∈R 满足2'()2()x x f x f x ->（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A ．2(2)(1)f f -<- B ．2(1)(2)f f > C ．4(2)(0)f f -> D ．2(0)(1)f f >ABC1A 1C 1D 1B DEF12．定义方程()'()f x f x =的实数根0x叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()1),()1g x x x ϕ==-3,()ln(1),()1x h x x x x ϕ=+=-的“新驻点”分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系为（ ）A ．αβγ>>B ．βαγ>>C ．γαβ>>D ．βγα>>第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．复数4312ii++的虚部为 . 14．用数学归纳法证明某命题时，左式为nn 111.4131211--++-+-（n 为正偶数），从“n=2k ”到“n=2k+2”左边需增加的代数式为________.15．设21 , F F 为双曲线12222=-by a x 的左右焦点，点P 在双曲线的左支上，且||||122PF PF 的最小值为a 8，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 16．已知()0,x ∈+∞，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x +≥，…，可推广为1n ax n x+≥+，则a 等于 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知命题p ：[]0,2,12≥-∈∀a x x ，命题q ：022,0200=-++∈∃a ax x R x ，若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分） 已知函数2()ln f x x a x =+． （1）当2a e =-时,求函数()f x 的单调区间和极值； （2）若函数2()()g x f x x=+在[1,4]上是减函数,求实数a 的取值范围．19.（本题满分12分） 如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点． （Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角A SC B --的余弦值．OSBC20. (本小题满分12分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为离心率为2,其右焦点为F ,过点(0,)B b 作直线交椭圆于另一点A ．（1）若6AB BF ⋅=-,求ABF ∆外接圆的方程;（2）若过点(2,0)M 的直线与椭圆:N 222213x y a b +=相交于两点G 、H ，设P 为N 上一点，且满足OG OH tOP += （O 为坐标原点），当PG PH -< 时，求实数t 的取值范围．21.(本小题满分12分) 已知函数2()ln ()1f x a x a R x =+∈+． （1）当1a =时，求()f x 在[1,)x ∈+∞最小值； （2）若()f x 存在单调递减区间，求a 的取值范围； （3）求证：1111ln(1)35721n n +>+++++ （n ∈*N ）．请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。
【精品】2014-2015年湖北省武汉市武昌区高二(下)数学期末试卷(理科)与答案
2014-2015学年湖北省武汉市武昌区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，N={x||x|＜2，x∈R}，则M ∩N等于（）A．∅B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|﹣2≤x＜﹣1}D．{x|2≤x＜3} 2．（5分）已知复数z=a+4i，且=4i，其中a，b∈R，则b=（）A．﹣16B．1C．16D．173．（5分）对某次联考数学成绩（百分制）进行分析，如图为分析结果的频率分布直方图．根据标准，成绩分数在区间[50，60）上为不及格，在[60，70）上为一般，在[70，80）上为较好，在[80，90）上为良好，在[90，100]上为优秀．用频率估计概率，若从参考学生中随机抽取1人，则其成绩为优良（优秀或良好）的概率为（）A．0.09B．0.20C．0.25D．0.404．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（）A．3B．6C．9D．125．（5分）已知对任意的m∈[，3），不等式x2+mx+4＞2m+4x恒成立，则x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（2，+∞）6．（5分）已知A，B，C，D是以O为球心的球面上的四点，AB，AC，AD两两互相垂直，且AB=3，AC=4，AD=，则球的半径为（）A．3B．4C．5D．67．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．1B．2C．2D．8．（5分）已知实数x∈[1，9]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于55的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知向量，均为单位向量，其夹角为θ，给出命题：p：|﹣|＞1；q：θ∈[，），则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣cos t﹣sin t，t∈[0，24）．若要求实验室温度不高于11℃，则实验室需要降温的时间为（）A．（9，17）B．（10，18）C．（11，19）D．（12，20）11．（5分）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A．B．C．D．12．（5分）已知a，b，c，d均为实数，函数（a＜0）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），满足f（x2）=x1．则关于实数x的方程a[f（x）]2+bf （x）+c=0的实根个数为（）A．0B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．（5分）（3x+）6的展开式中常数项为（用数字作答）．14．（5分）5人成一排，其中甲与乙不相邻的排法种数为（用数字作答）．15．（5分）已知双曲线有方程为﹣=1（a＞0，b＞0），其上一个焦点为F（c，0），如果顶点B（0，b）使得BF垂直于该双曲线的一条渐近线，则此双曲线的离心率为．16．（5分）在密码学中，直接可以看到内容的为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．有一种密码将英文的26个字母a，b，c，…，z（不分大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数，见表：给出明码对应的序号x和密码对应的序号y的变换公式：y=利用它可以将明码转换成密码，如5→=3，即e变成c，8→+13=17，即h 变成q．按上述公式，若将某明码译成的密码是shxc，那么原来的明码是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n﹣n+2，n∈N*．（Ⅰ）证明数列{a n﹣（n﹣1）}是等比数列并求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项的和S n．18．（12分）已知△ABC的角A，B，C的对边依次为a，b，c，若满足，（Ⅰ）求∠C大小；（Ⅱ）若c=2，且△ABC为锐角三角形，求a2+b2取值范围．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，SA=AB，点E在棱SC上．（Ⅰ）若SA∥平面BDE，求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求AD与平面SCD所成角的正弦值．20．（12分）对一批产品进行质量检验，方案如下：先从这批产品中任取4件作检验．（1）如果这4件产品中有三件优质产品，则从这批产品中再任取4件进行检验若都为优质品，则这批产品通过检验；（2）如果这4件产品全为优质品，则再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；（3）其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为80元，且抽出的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0），ab=2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A为椭圆的左顶点，过椭圆的右焦点F的直线交椭圆于M，N两点，直线AM，AN与直线x=4交于P，Q两点．证明：以PQ为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x（其中a＜0）．（Ⅰ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对满足条件的a的任意值，f（x）＜b在区间（0，1]上恒成立，求实数b的取值范围．2014-2015学年湖北省武汉市武昌区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，N={x||x|＜2，x∈R}，则M ∩N等于（）A．∅B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|﹣2≤x＜﹣1}D．{x|2≤x＜3}【解答】解：∵M={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}=[﹣1，3]，N={x||x|＜2，x∈R}=（﹣2，2），∴M∩N=[﹣1，2）．故选：B．2．（5分）已知复数z=a+4i，且=4i，其中a，b∈R，则b=（）A．﹣16B．1C．16D．17【解答】解：∵z=a+4i，且=4i，∴z=4i（z+b），即a+4i=4i（a+4i+b）=﹣16+4（a+b）i，则，解得，故选：D．3．（5分）对某次联考数学成绩（百分制）进行分析，如图为分析结果的频率分布直方图．根据标准，成绩分数在区间[50，60）上为不及格，在[60，70）上为一般，在[70，80）上为较好，在[80，90）上为良好，在[90，100]上为优秀．用频率估计概率，若从参考学生中随机抽取1人，则其成绩为优良（优秀或良好）的概率为（）A．0.09B．0.20C．0.25D．0.40【解答】解：根据题意，成绩在[80，100]内的频率为（0.025+0.015）×10=0.40；所以，成绩为优良的概率为0.40．故选：D．4．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（）A．3B．6C．9D．12【解答】解：由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2x﹣z，由平移可知当直线y=2x﹣z，经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z取得最小值，由，解得，即A（2，1）．代入z=2x﹣y，得z=4﹣1=3，即目标函数z=2x﹣y的最小值为3．故选：A．5．（5分）已知对任意的m∈[，3），不等式x2+mx+4＞2m+4x恒成立，则x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（2，+∞）【解答】解：对任意的m∈[，3），不等式x2+mx+4＞2m+4x恒成立，⇔对任意的m∈[，3），不等式（x﹣2）m+（x﹣2）2＞0恒成立，令f（m）=（﹣2）m+（x﹣2）2，则f（m）是关于m的一次函数，一次项系数k=（x﹣1），①x﹣2=0，即x=2时，不成立，②x﹣2＞0，即x＞2时，对任意的m∈[，3），f（m）=（x﹣2）m+（x﹣2）2＞0恒成立，③x﹣2＜0，即x＜2时，若对任意的m∈[，3），f（m）=（x﹣2）m+（x﹣2）2＞0恒成立，只需3（x﹣2）+（x﹣2）2≥0，解得：x≤﹣1，综上：x＞2或x≤﹣1，故选：A．6．（5分）已知A，B，C，D是以O为球心的球面上的四点，AB，AC，AD两两互相垂直，且AB=3，AC=4，AD=，则球的半径为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：由已知，球心在以AB，AC，AD为长宽高的长方体的对角线上，球的直径为==6，所以球的半径为3；故选：A．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．1B．2C．2D．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以侧视图为底面的四棱柱，其底面面积S=1×1=1，高h=2，故几何体的体积V=Sh=2，故选：B．8．（5分）已知实数x∈[1，9]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于55的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设实数x∈[1，9]，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3经过第三次循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=3此时输出x输出的值为8x+7令8x+7≥55，得x≥6由几何概型得到输出的x不小于55的概率为==．故选：C．9．（5分）已知向量，均为单位向量，其夹角为θ，给出命题：p：|﹣|＞1；q：θ∈[，），则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若|﹣|＞1，则平方得：2﹣2•+2=2﹣2•＞1，即•＜，则cosθ==•＜，∴θ∈（，π]，即p：θ∈（，π]，∵命题q：θ∈[，），∴p是q的必要不充分条件，故选：B．10．（5分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣cos t﹣sin t，t∈[0，24）．若要求实验室温度不高于11℃，则实验室需要降温的时间为（）A．（9，17）B．（10，18）C．（11，19）D．（12，20）【解答】解：∵f（t）=10﹣cos t﹣sin t=10﹣2sin（t+），t∈[0，24），∴由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由f（t）=10﹣2sin（t+），由10﹣2sin（t+）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即：＜t+＜，解得10＜t＜18，即则实验室需要降温的时间为：（10，18）．故选：B．11．（5分）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A．B．C．D．【解答】解：如图过B作准线l：x=﹣的垂线，垂足分别为A1，B1，∵=，又∵△B 1BC∽△A1AC、∴=，由拋物线定义==．由|BF|=|BB1|=2知x B=，y B=﹣，∴AB：y﹣0=（x﹣）．把x=代入上式，求得y A=2，x A=2，∴|AF|=|AA1|=．故===．故选：A．12．（5分）已知a，b，c，d均为实数，函数（a＜0）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），满足f（x2）=x1．则关于实数x的方程a[f（x）]2+bf （x）+c=0的实根个数为（）A．0B．2C．3D．4【解答】解：∵f′（x）=ax2+bx+c，由题意知x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根，即x1，x2是函数的两个极值点，x2＞x1，从而关于f（x）的方程a[f（x）]2+b[f（x）]+c=0有两个根，所以f（x）=x1，或f（x）=x2根据题意画图，所以f（x）=x1有两个不等实根，f（x）=x2只有一个不等实根，综上方程a[f（x）]2+bf（x）+c=0的不同实根个数为3个．故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．（5分）（3x+）6的展开式中常数项为135（用数字作答）．【解答】解：此二项式的展开式的通项为，令，解得r=4，∴常数项为，故答案为：135．14．（5分）5人成一排，其中甲与乙不相邻的排法种数为72（用数字作答）．【解答】解：先排列除甲乙之外的3个人，方法有A33=6种，再把甲、乙插入到3个人形成的4个空中，方法有A 42=12种，再根据分步计数原理求得甲乙两人不相邻的排法种数是6×12=72种，故答案为：72．15．（5分）已知双曲线有方程为﹣=1（a＞0，b＞0），其上一个焦点为F （c，0），如果顶点B（0，b）使得BF垂直于该双曲线的一条渐近线，则此双曲线的离心率为．【解答】解：由题意可得=﹣1，∴ac=b2，∴c2﹣a2﹣ac=0，∴e2﹣e﹣1=0，∵e＞1，∴e=．故答案为：．16．（5分）在密码学中，直接可以看到内容的为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．有一种密码将英文的26个字母a，b，c，…，z（不分大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数，见表：给出明码对应的序号x和密码对应的序号y的变换公式：y=利用它可以将明码转换成密码，如5→=3，即e变成c，8→+13=17，即h 变成q．按上述公式，若将某明码译成的密码是shxc，那么原来的明码是love．【解答】解：由图表结合分段函数可知：s→y=19，则，解得：x=12→l；h→y=8，则，解得：x=15→o；x→y=24，则，解得：x=22→v；c→y=3，则，解得：x=5→e．∴原来的明码是love．故答案为：love．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n﹣n+2，n∈N*．（Ⅰ）证明数列{a n﹣（n﹣1）}是等比数列并求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项的和S n．=2a n﹣n+2，【解答】（Ⅰ）证明：∵a n+1﹣n=2[a n﹣（n﹣1）]，∴a n+1∴数列{a n﹣（n﹣1）}是以a1﹣1+1=1为首项，以2为公比的等比数列．∴a n﹣（n﹣1）=1×2n﹣1，∴a n=2n﹣1+（n﹣1）．（Ⅱ）解：∵S n=20+（21+1）+（22+2）+（23+3）+…+（2n﹣1+n﹣1）=（20+21+22+…+2n﹣1）+（1+2+3+…+n﹣1）==2n﹣1+．18．（12分）已知△ABC的角A，B，C的对边依次为a，b，c，若满足，（Ⅰ）求∠C大小；（Ⅱ）若c=2，且△ABC为锐角三角形，求a2+b2取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵tanA•tanB﹣tanA﹣tanB=，∴=﹣，即tan（A+B）=﹣tanC=﹣，∴tanC=，∵∠C为三角形的内角，则∠C=；（II）∵∠A与∠B为锐角，且∠A+∠B=π﹣∠C=，即∠B=﹣∠A，∴＜∠A＜，∴＜2∠A﹣＜，∵c=2，sinC=，∴由正弦定理===得：a=sinA，b=sinB，∴a2+b2=（sin2A+sin2B）=[sin2A+sin2（﹣A）]=+sin（2A﹣），∵＜2∠A﹣＜，∴＜sin（2A﹣）≤1，即＜+sin（2A﹣）≤8，则a2+b2的范围为（，8]．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，SA=AB，点E在棱SC上．（Ⅰ）若SA∥平面BDE，求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求AD与平面SCD所成角的正弦值．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，设底面正方形的边长为2，得到如下点的坐标：A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2）．（Ⅰ）连接AC交BD于O，连接OE，∵底面ABCD是正方形，∴O为AC中点，∵SA∥平面BDE，平面SAC∩平面BDE=OE，∴SA∥EO，且E为SC的中点，∴E（1，1，）．∵=（2，2，0），=（﹣1，1，），=（1，﹣1，），∴•=（2，2，0）•（﹣1，1，）=0，•=（2，2，0）•（1，﹣1，）=0，∴AC⊥BE，AC⊥DE，∴AC⊥平面BDE．…（4分）（Ⅱ）设平面SCD的一个法向量为=（x，y，z），∵=（0，2，﹣2），=（﹣2，0，0），且•=0，•=0，∴，∴，取z=1，得=（0，，1），又=（0，2，0），设AD与平面SCD所成角为θ，则cos＜，＞=cos（π﹣θ）==，∴AD与平面SCD所成角的正弦值为．…（12分）20．（12分）对一批产品进行质量检验，方案如下：先从这批产品中任取4件作检验．（1）如果这4件产品中有三件优质产品，则从这批产品中再任取4件进行检验若都为优质品，则这批产品通过检验；（2）如果这4件产品全为优质品，则再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；（3）其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为80元，且抽出的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B，第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，第二次取出的1件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验记为事件E．根据题意，有E=（AB）∪（CD），且AB与CD互斥，∴P（E）=P（AB）+P（CD）=P（A）P（B|A）+P（C）P（D|C）=（）3××（）4+（）4×=；（Ⅱ）X的可能取值为640，400，320，分别对应检验方案中的（1），（2），（3）．∵P（X=640）=C）（）4=4×=，P（X=400）=（）4=，P（X=320）=1﹣，∴X的分布列为所以，EX=640×=405．21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0），ab=2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A为椭圆的左顶点，过椭圆的右焦点F的直线交椭圆于M，N两点，直线AM，AN与直线x=4交于P，Q两点．证明：以PQ为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴a2=4，b2=3．所以，椭圆方程为+=1．（Ⅱ）证明：由对称性，若定点存在，则定点在x轴上，设直线MN的方程为：x=ty+1，代入椭圆方程得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，①再设T（m，0）在以PQ为直径的圆上，则TP⊥TQ，即•=0．∵=（4﹣m，），=（4﹣m，），∴（4﹣m）2+=（4﹣m）2+=（4﹣m）2+代入①化简可得（4﹣m）2﹣9=0，解得m=1或m=7，所以，以PQ为直径的圆恒过定点（1，0）或（7，0）．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x（其中a＜0）．（Ⅰ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对满足条件的a的任意值，f（x）＜b在区间（0，1]上恒成立，求实数b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，x＞0．因为f（x）存在单调递减区间，所以f′（x）≤0在区间（0，+∞）上有解，即ax2+2x﹣1≥0在区间（0，+∞）上有解，由于a＜0，且函数g（x）=ax2+2x﹣1的图象过定点（0，﹣1），且对称轴x=，故只需△=4+4a≥0，即a≥﹣1，所以，a的取值范围为[﹣1，0）．（Ⅱ）f（x）＜b即lnx﹣ax2﹣2x＜b，因为对任意的a∈[﹣1，0），不等式lnx﹣ax2﹣2x＜b恒成立，所以﹣x2a+（lnx﹣2x﹣b）＜0在a∈[﹣1，0）恒成立，因为函数g（a）=﹣x2a+（lnx﹣2x﹣b）在a∈[﹣1，0）上单调递减，所以g（﹣1）=﹣x2（﹣1）+（lnx﹣2x﹣b）＜0恒成立，即b＞x2+lnx﹣2x恒成立，也就是：b＞（x2+lnx﹣2x）max，令φ（x）=x2+lnx﹣2x，则φ′（x）=x﹣2+=≥0，∴φ（x）在（0，1]上单调递增，∴φ（x）max=φ（1）=，所以，实数b的取值范围为（﹣，+∞）．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0第21页（共22页）④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =xxx第22页（共22页）①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
2014-2015学年度湖北省武汉市武钢三中等武汉市部分重点中学高二下学期期中联考数学试卷(理科)
2014-2015学年度湖北省武汉市武钢三中等武汉市部分重点中学高二下学期期中联考数学试卷(理科)考试时间:2015年4月28日上午7:30－9:30 试卷满分:150分本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.第I 卷 选择题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 52i -的共轭复数是 A. i-2 B. i+2 C.-i-2 D. 2-i2.A 、B 、C 、D 分别是复数12,z z ，312412,z z z z z z =+=-在复平面内对应的点,O 是原点,若12z z =,则ΔCOD 一定是A.等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D.等腰直角三角形3.直线y=2x 与曲线3y x =围成的封闭图形的面积是A. 1B. 2C. 4.设,,(0,)x y z ∈+∞,则111,,x y z y z x+++ A.都不大于2 B.都不小于2 C.至少有一个不大于2 D. 至少有一个不小于25.演绎推理“因为0'()0f x =时, 0x 是f(x)的极值点.而对于函数3(),'(0)0f x x f ==.所以0是函数3()f x x =的极值点. ”所得结论错误的原因是A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.大前提和小前提都错误6. 设a,b 是非零实数，且满足sincos 855tan 15cos sin 55a b a b πππππ+=-，若类比两角和的正切公式，则b a =7.函数321()(2)33f x x bx b x =++++在R 上不是增函数,则实数b 的取值范围是 A. 12b -≤≤ B. 12b b ≤-≥或 C. 12b -<< D. 12b b <->或8.下列定积分计算正确的有（1）2201cos 242x x d ππ=+⎰ （2）12x π=⎰（3）22442x x e d e e --=+-⎰ （4）1x =⎰A.1个 B.2个 C.3个 D.4个9.已知函数'()y xf x =-的图象如图（其中'()f x 是函数f(x)的导函数），下面四个图象中()y f x =的图象可能是10.设函数()()y f x x R =∈的导函数为'()f x ，且()(),'()()f x f x f x f x =-<，则下列不等式成立的是A. 12(0)(1)(2)f e f e f -<<B.12(1)(0)(2)e f f e f -<<C.21(2)(1)(0)e f e f f -<<D.21(2)(0)(1)e f f e f -<<11.设...S =则不大于S 的最大整数等于 A.2016 B. 2015 C. 2014 D. 201312.设函数()ln(1),()(0)1ax f x x g x x x=+=≥+, 若()()f x g x ≥恒成立，则a 的取值范围是 A. 2a ≤ B. 2a ≥ C. 1a ≤ D. 1a ≥第II 卷 非选择题二、填空题(本小题共4小题,每小题5分,共20分)13.一物体A 以速度232v t =+（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）在一直线上运动，在此直线上物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方8m 处以v=8t （t 的单位：s ， v 的单位：m/s ）的速度与A 同向运动，设n s 后两物体相遇，则n 的值为________.。
湖北省部分重点中学2014-2015学年高一下学期期末考试物理试卷
湖北省部分重点中学2014－2015学年度下学期高一期末考试物理试卷命题人：洪山高中丁永义审题人：武汉四中袁江弘一．选择题（共12小题，每小题４分，共48分。
每小题有一个或多个选项正确，全对得4分，少选得２分，有错选或不选得0分。
其中第5、9、12小题为多选。
）1. 在研究问题时，可以根据一个物理量是与一个时刻相对应还是与一段时间相对应而将其区分为状态量（瞬时量）或过程量。
例如瞬时速度是状态量，位移是过程量。
按照这种分类方式，动能、动能变化量、功三个物理量分别是（）A．状态量状态量过程量 B. 状态量过程量过程量C．过程量状态量状态量 D. 过程量过程量状态量2．起重机以0.5 m/s2的加速度将质量为1 000 kg的货物由静止开始匀加速向上提升，g取10 m/s2，则在1 s内起重机对货物做的功是( )A．125 J B．2625 J C．2500 J D．2375 J3．提高汽车运动速率的有效途径是增大发动机的功率和减小阻力因数(设阻力与汽车运动速率的平方成正比，即f＝k v2，k是阻力因数)。
当发动机的额定功率为P0时，汽车运动的最大速率为v m，如果要使汽车运动的最大速率增大到2v m，则下列办法可行的是( )A．阻力因数不变，使发动机额定功率增大到2P0B．阻力因数不变，使发动机额定功率增大到4P0C．发动机额定功率不变，使阻力因数减小到k 4D．发动机额定功率不变，使阻力因数减小到k 84．下列关于电场线的说法中，正确的是（）A．电场线是电场中实际存在的线B．在复杂电场中的电场线是可以相交的C．沿电场线方向，场强必定越来越小D．同一电场中电场线越密的地方，同一试探电荷所受的静电力越大5．如图1所示，带电小球Ａ附近有用绝缘支架支撑着的金属导体B，当开关S1、S2断开时，导体B左端带有负电荷，右端带有正电荷。
下列说法正确的是（）A．闭合开关S1，则导体Ｂ右端不再带有电荷B．闭合开关S1，则导体Ｂ左端不再带有电荷C．闭合开关S2，则导体Ｂ右端不再带有电荷D．闭合开关S2，则导体Ｂ左端不再带有电荷6．如图2所示，实线是电场线，虚线为两带电粒子只在电场力的作用下运动的轨迹，AB是甲粒子的运动轨迹，AC是乙粒子的运动轨迹，两粒子的带电量大小相等，则下则说法错．误．的是（）A ．两种粒子一定带同种电荷B ．两种粒子在A 点的加速度大小一定相等C ．两种粒子在A 点的电势能一定相等D ．甲粒子从A 到B 电场力做功一定小于乙粒子从A 到C 电场力做功7．科学猜想是科学研究中经常用到的方法。
湖北省武汉市第十二中学等部分重点中学2014-2015学年度下学期高一期末测试数学试卷
武汉市部分重点中学2014-2015学年度下学期高一期末测试数学试卷命题学校：武汉第十二中学 余智敏 审题人：陈贤才一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 不等式23210x x --<的解集是（ ）A ． 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．()1,+∞ C ．()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭2.如右下图是一几何体的直观图、主视图和俯视图，则该几何体的侧视图是3.已知0,0a b >>A ． 10B ．C ．12D ．204.长方体1111ABCD A BC D -中，12,1AB AA AD ===，则异面直线1BC 与AC 所成角的余弦值为（ ）A B ．15 C D ．125.如果0a b >>且0a b +>，那么以下不等式正确的个数是（ ） ①23a b b < ②110a b>> ③32a ab < ④22a b > A ．1 B ．2 C ．3 D ．46. ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,则cos C 的最小值为（ ）ABCO l αA．2 B．2C ．12D ．12-7. 在正项等比数列{}n a 中13213,,22a a a 成等差数列，则2016201720142015a aa a --等于 A ．3或-1 B ．9或1 C ．1 D ．9 8. 在ABC ∆中，1,6AB AC B π===，则ABC ∆的面积等于（ ）ABCD9. 已知数列{}n a 满足：117a =，对于任意的*n N ∈，17(1)2n n n a a a +=-，则999888a a -=（ ） A ．27-B ．27C ．37- D ．3710.在函数()y f x =的图象上有点列(,)n n x y ，若数列{}n x 是等差数列，数列{}n y 是等比数列，则函数()y f x =的解析式可能为（ ）A ．()21f x x =+B ．2()4f x x = C ．3()log f x x = D ．3()()4xf x =11.如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，已知边长为ABC 在空间做符合以下条件的自由运动：①A l ∈，②C α∈，则B ，O 两点间的最大距离为（ ）B.了D.12. 一艘轮船从海面上从A 点出发，以40nmile/h 的速度沿着北偏东30°的方向航行，在A 点正西方有一点B ，AB=10nmile ，该船1小时后到达C 点并立刻转为南偏东60°D 点，整个航行过程中存在不同的三点到B 点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该数列的公比的数是（ ） A ．34BCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
湖北省武汉市部分重点中学_学年高一数学下学期期末试卷(含解析)【含答案】
2015-2016学年湖北省武汉市部分重点中学高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡上相应位置1．不等式x（1﹣2x）＞0的解集（）A．{x|0} B．{x|x} C．{x|x或x＜0} D．{x|x＜0或0＜x}2．已知x＞3，则的最小值为（）A．2 B．4 C．5 D．73．设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α4．长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A．20πB．25πC．50π D．200π5．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．6．在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为（）A．B．2 C．2 D．47．数列{a n}满足a n=，若a1=，则a2016=（）A．B．C．D．8．△ABC是边长为1的正三角形，那么△ABC的斜二测平面直观图△A′B′C′的面积为（）A．B．C．D．9．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°11．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点A在平面α内，点E是底面ABCD的中心．若C1E⊥平面α，则△C1AB在平面α内的射影的面积为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡相应的位置上）13．在等差数列{a n}中，a4=﹣2，且a l+a2+…+a10=65，则公差d的值是．14．某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为．15．如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①P在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③P在直线BC1上运动时，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线，其中真命题的编号是．（写出所有真命题的编号）三、解答题本大题共6小题，共70分。
湖北省部分重点中学2014-2015学年度下学期高一期末考试数学试卷(word含答案)
湖北省部分重点中学2014-2015学年度下学期高一期末考试数 学 试 卷命题人： 49中 唐和海 审题人：武汉四中 晏海燕一、选择题：本大题共12小题，每小题5分 1、若0<<b a ，则下列不等式中不．成立的是 A.b a 11> B.ab a 11>- C.||||b a > D.1<ab2、与直线4x －3y+5＝0关于x 轴对称的直线方程为（ ）A ．4x+3y+5＝0 B. 4x －3y+5＝0 C. 4x+3y －5＝0 D. 4x －3y －5＝0 3、下列命题正确的是 （ ）A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。
B ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。
C ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。
D ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。
4、已知圆锥的母线长为8，底面圆周长为6π，则它的体积是( )A C D 5、直线(cos6π)x+（sin 6π）y+2＝0的倾斜角为（ ） A ．6π B ．56π C ．3π D ．23π6、设a,b,c 分别是△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线sinA ·x+ay+c ＝0与直线bx －sinB ·y+sinC ＝0的位置关系是( )A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直7、如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的俯视图可以是（ ）8、已知直线方程为(2)(12)430m x m y m ++-+-=.这条直线恒过一定点，这个定点坐标为（ ）A ．（－2m ，－m －4）B ．（5，1）C ．（－1，－2）D ．（2m ，m+4）9、设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（ ）A ．锐角三角形B ． 直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定10、已知,1,=>ab b a 则ba b a -+22的最小值是（ ）A ．22B ．2C ．2D ．111、已知x 、y 满足以下约束条件5503+≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩x y x y x ，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．112、平面上的整点（横、纵坐标都是整数）到直线5435y x =+的距离中的最小值是A.170B. 85C.170D.130二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13、已知直线（3a+2）x+（1－4a ）y+8＝0与（5a －2）x+（a+4）y －7＝0垂直，则a ＝14、在ABC ∆中，已知03,30b c B ===，则ABC ∆的面积ABC S ∆=___________.15、下列命题正确的有①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应; ②倾斜角的范围是:0°≤α<180°,且当倾斜角增大时,斜率也增大; ③过两点A(1,2),B(m,-5)的直线可以用两点式表示; ④过点(1,1),且斜率为1的直线的方程为111y x -=-; ⑤直线Ax+By+C=0(A,B 不同时为零),当A,B,C 中有一个为零时,这个方程不能化为截距式. ⑥若两直线垂直,则它们的斜率相乘必等于-1. 16、设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b = 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
人教A版高中必修二试题武汉市部分重点中学-下学期期末联考.docx
武汉市部分重点中学2014-2015学年度下学期期末联考高一数学试卷（文科）命题学校：省实验中学 命题教师：饶艳 审题教师：李红英 考试时间：2015年7月1日下午2：3 0-4：30 试卷满分：150分★祝考试顺利★一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的。
1.下列说法中，正确的是（ ）A.若,a b c d >>，则ac bd >B. 若ac bc >，则a b >C.若22a b c c <，则a b <D. 若,a b c d >>，则a c b d ->- 2.若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（ ）A ． 120°B ． 150°C ． 180°D ． 240°3.某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度是（ ）A. 29B. 5C. 13D. 224.正方体1111ABCD A B C D -中异面直线AC 和1A D 所成角的余弦为( )．A ．12B ．22C ．32D ．0 5.设直线m 、n 和平面,下列四个命题中，正确的是 （ ） A. 若 B. 若C. 若D. 若6.在四面体ABCD 中，AB AD ⊥，AB=AD=BC=CD=1，且ABD BCD ⊥平面平面，M 为AB 中点，则CM 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ）A ．22B ．3C ．3D ．6 7.某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为( )A ．16＋6＋4π cm 2 B ．16＋6＋3π cm 2 C ．10＋6＋4π cm 2 D ．10＋6＋3π cm 28，关于x 的不等式0ax b ->的解集是(),1-∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ）A ．(),1(3,)-∞-+∞UB ．(1,3)-C ．(1,3)D ．(),1(3,)-∞+∞U9.若正数a, b 满足3a+4b=ab ，则a+b 的最小值为（ ）A ．6+2B ．7+2C ．7+4D ．7－410.某几何体的三视图如图所示，当xy 最大时，该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．11.如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF= 12．则下列结论中正确的个数．．．．．为（ ） ①AC ⊥BE ；②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值；④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等，A.1B.2C. 3D. 4 12..设)11)(11)(11(---=c b a M 满足1=++c b a （其中0,0,0>>>c b a ），则M 的取值范围是（ ）A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡81,0B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,81 C. [)8,1 D. [)+∞,8二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分。
湖北省武汉二中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷(理科)
湖北省武汉二中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．sin15°+cos15°的值为（）A．B．C．D．2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．3．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β4．{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a7=5，S7=21，则S10=（）A．40 B．35 C．30 D．285．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M、N分别是A1B1，AB的中点，给出如下三个结论：①C1M⊥平面ABB1A1；②A1B⊥AM；③平面AMC1∥平面CNB1；其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．36．在△ABC中，若a=2，∠B=60°，b=，则BC边上的高等于（）A．B．C．3D．7．已知圆C：x2+y2﹣2x=1，直线l：y=k（x﹣1）+1，则l与C的位置关系是（）A．一定相离B．一定相切C．相交且一定不过圆心D．相交且可能过圆心8．已知a，b是正数，且满足2＜a+2b＜4．那么a2+b2的取值范围是（）A．（，）B．（，16）C．（1，16）D．（，4）9．已知数列{a n}满足a n=（n∈N*），若{a n}是递减数列，则实数a的取值范围是（）A．（，1）B．（，）C．（，1）D．（，）10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1﹣EDF的体积为（）A．B．C．D．11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中点，若E是AB的中点，P是△ABC（包括边界）内任一点．则•的取值范围是（）A．[﹣6，6]B．[﹣9，9]C．[0，8]D．[﹣2，6]12．数列{a n}满足：a1=1，且对每个n∈N*，a n，a n+1是方程x2+3nx+b n=0的两根，则b n的前6项的和的4倍为（）A．183 B．132 C．528 D．732二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分13．已知x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．14．已知圆C：x2+y2﹣6x+8=0，若直线y=kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k=．15．x＞0，y＞0，且，若x+2y≥m2﹣2m﹣6恒成立，则m范围是．16．等差数列{a n}中，＜﹣1，且其前n项和S n有最小值，以下命题正确的是．①公差d＞0；②{a n}为递减数列；③S1，S2…S19都小于零，S20，S21…都大于零；④n=19时，S n最小；⑤n=10时，S n最小．三、解答题：本大题共6小题，共70分.17、18题10分，19、20、21题12各12分，22题14分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．公差不为零的等差数列{a n}中，a3=7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．18．已知f（x）=，其中向量=，=（cosx，1）（x∈R）（Ⅰ）求f （x）的周期和单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=﹣1，a=，，求边长b和c的值（b＞c）．19．已知直线l的方程为t（x﹣1）+2x+y+1=0 （t∈R）（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若直线l不经过第二象限，求实数t的取值范围．20．已知圆C：x2+y2+x﹣6y+m=0与直线l：x+2y﹣3=0．（1）若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；（2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．21．四棱锥P﹣ABCD底面是平行四边形，面PAB⊥面ABCD，PA=PB=AB=AD，∠BAD=60°，E，F分别为AD，PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAB；（2）求二面角D﹣PA﹣B的余弦值．22．设S n是非负等差数列{a n}的前n项和，m，n，p∈N+，若m+n=2p，求证：（1）S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等差数列；（2）．湖北省武汉二中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．sin15°+cos15°的值为（）A．B．C．D．考点：二倍角的正弦．专题：计算题．分析：把原式通过两角和的正弦函数公式化简为一个角的一个三角函数的形式，然后利用特殊角的三角函数值求解即可．解答：解：sin15°+cos15°=（sin15°+cos15°）=（sin15°cos45°+cos15°sin45°）=sin（15°+45°）=sin60°=×=．故选C．点评：考查学生灵活运用两角和的正弦函数公式的逆运算化简求值，牢记特殊角的三角函数值．2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．分析：根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角都右上角的线，得到结果．解答：解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合．故选D．点评：本题考查空间图形的三视图，考查侧视图的做法，本题是一个基础题，考查的内容比较简单，可能出现的错误是对角线的方向可能出错．3．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：可通过线面垂直的性质定理，判断A；通过面面平行的性质和线面垂直的性质，判断B；通过面面平行的性质和线面垂直的定义，即可判断C；由线面平行的性质和面面垂直的性质，即可判断D．解答：解：A．若α⊥β，a⊥α，a⊄β，b⊄β，b⊥α，则a∥b，故A错；B．若a⊥α，α∥β，则a⊥β，又b⊥β，则a∥b，故B错；C．若b⊥β，α∥β，则b⊥α，又a⊂α，则a⊥b，故C正确；D．若α⊥β，b∥β，设α∩β=c，由线面平行的性质得，b∥c，若a∥c，则a∥b，故D错．故选C．点评：本题主要考查空间直线与平面的位置关系：平行和垂直，考查线面、面面平行、垂直的判定和性质，熟记这些是迅速解题的关键．4．{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a7=5，S7=21，则S10=（）A．40 B．35 C．30 D．28考点：等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：分别利用等差数列的通项公式及求和公式表示已知条件，然后求出得a1，d，在代入求和公式即可求解解答：解：由题意可得，解可得a1=1，d=∴=40故选A点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题5．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M、N分别是A1B1，AB的中点，给出如下三个结论：①C1M⊥平面ABB1A1；②A1B⊥AM；③平面AMC1∥平面CNB1；其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：平面与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定．专题：计算题．分析：由直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，C1M⊂平面A1B1C1，知C1M⊥AA1，由B1C1=A1C1，M是A1B1的中点，知C1M⊥A1B1，故C1M⊥平面ABB1A1；由C1M⊥平面ABB1A1，AM⊂平面ABB1A1，知A1B⊥C1M，由AC1⊥A1B，AC1∩C1M=C1，知A1B⊥AM；由AM∥B1N，C1M∥CN，知平面AMC1∥平面CNB1．解答：解：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，C1M⊂平面A1B1C1，∴C1M⊥AA1，∵B1C1=A1C1，M是A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1，∵AA1∩A1B1=A1，∴C1M⊥平面ABB1A1，故①正确．∵C1M⊥平面ABB1A1，AM⊂平面ABB1A1，∴A1B⊥C1M，∵AC1⊥A1B，AC1∩C1M=c1，∴A1B⊥平面AC1M，∵AM⊂平面AC1M，∴A1B⊥AM，即②正确；∵由题设得到AM∥B1N，C1M∥CN，∴平面AMC1∥平面CNB1，故③正确．故选D．点评：本题考查直线与平面垂直、直线与直线垂直、平面与平面平等的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间思维能力的培养．6．在△ABC中，若a=2，∠B=60°，b=，则BC边上的高等于（）A．B．C．3D．考点：解三角形．专题：解三角形．分析：首先利用余弦定理求出c，然后求高．解答：解：因为在△ABC中，若a=2，∠B=60°，b=，所以cos60°=，解得c=3或c=﹣1（舍去）则BC边上的高为csin60°=；故选A．点评：本题考查了利用余弦定理求三角形的一边；熟练运用定理是关键．7．已知圆C：x2+y2﹣2x=1，直线l：y=k（x﹣1）+1，则l与C的位置关系是（）A．一定相离B．一定相切C．相交且一定不过圆心D．相交且可能过圆心考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：将圆C方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，与r比较大小即可得到结果．解答：解：圆C方程化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=2，∴圆心C（1，0），半径r=，∵≥＞1，∴圆心到直线l的距离d=＜=r，且圆心（1，0）不在直线l上，∴直线l与圆相交且一定不过圆心．故选C点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，熟练掌握直线与圆位置关系的判断方法是解本题的关键．8．已知a，b是正数，且满足2＜a+2b＜4．那么a2+b2的取值范围是（）A．（，）B．（，16）C．（1，16）D．（，4）考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：在aob坐标系中，作出不等式表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD．由坐标系内两点的距离公式可得z=a2+b2表示区域内某点到原点距离的平方，由此对图形加以观察可得a2+b2的上限与下限，即可得到本题答案．解答：解：以a为横坐标、b为纵坐标，在aob坐标系中作出不等式2＜a+2b＜4表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD内部，（不包括边界）其中A（2，0），B（0，1），C（0，2），D（4，0）设P（a，b）为区域内一个动点，则|OP|=表示点P到原点O的距离∴z=a2+b2=|OP|2，可得当P与D重合时，P到原点距离最远，∴z=a2+b2=16可得当P点在直线BA上，且满足OP⊥AB时，P到原点距离最近，等于=∴z=a2+b2=综上所述，可得a2+b2的取值范围是（，16）故选：B点评：本题给出二元一次不等式组，求z=a2+b2的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和平面内两点间的距离公式等知识，属于基础题．9．已知数列{a n}满足a n=（n∈N*），若{a n}是递减数列，则实数a的取值范围是（）A．（，1）B．（，）C．（，1）D．（，）考点：数列的函数特性．专题：综合题．分析：依题意，a n=（n∈N*），{a n}是递减数列，可知，解之即可得答案．解答：解：∵a n=（n∈N*），且{a n}是递减数列，∴，即，解得＜a＜．故选D．点评：本题考查数列的函数特性，求得是关键，也是难点，考查理解与转化能力，属于中档题．10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1﹣EDF的体积为（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：因为B1C∥平面EDD1，所以三棱锥D1﹣EDF的体积等于三棱锥F﹣EDD1，的体积，棱锥的高为长方体的棱长CD，底面EDD1，是以1为底1为高的三角形，利用棱锥的体积公式可求．解答：解：∵B1C∥平面EDD1，∴三棱锥D1﹣EDF的体积等于三棱锥F﹣EDD1，的体积，而三棱锥F﹣EDD1，高为长方体1，底面EDD1，是以1为底1为高的三角形，∴==；故选B．点评：本题考查了棱锥的体积，关键是明确三棱锥D1﹣EDF的体积等于三棱锥F﹣EDD1，的体积，进一步明确其店面面积和高，利用体积公式解答．11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中点，若E是AB的中点，P是△ABC（包括边界）内任一点．则•的取值范围是（）A．[﹣6，6]B．[﹣9，9]C．[0，8]D．[﹣2，6]考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：首先，分别以CA，CB二直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，从而可求出图形上各点的坐标，可设P（x，y），根据条件知P点在△ABC内部及其边界上．这样即可求出，设z=﹣4x+y+7，从而y=4x+z﹣7，通过求该直线在y轴上的截距z﹣7的最大、最小值，便可求出z的最大、最小值，从而得出的取值范围．解答：解：如图，以边CA，CB所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则：A（4，0），B（0，2），D（0，1），E（2，1）；设P（x，y），P点在△ABC内部包括边界，则：；∴；设z=﹣4x+y+7，则y=4x+z﹣7，该式表示斜率为4，在y轴上的截距为z﹣7的直线；由图形看出当直线y=4x+z﹣7过点B时，z﹣7取最大值2，∴z取最大值9；当该直线过点A时，z﹣7取最小值﹣16，∴z取最小值﹣9；∴z的范围，即的范围为[﹣9，9]．故选：B．点评：考查建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决数量积问题的方法，数量积的坐标运算，以及线性规划的方法求变量的范围．12．数列{a n}满足：a1=1，且对每个n∈N*，a n，a n+1是方程x2+3nx+b n=0的两根，则b n的前6项的和的4倍为（）A．183 B．132 C．528 D．732考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：通过韦达定理可知a n+a n+1=﹣3n、a n•a n+1=b n，进而可知a n+2﹣a n=﹣3，通过n=1可知a2=﹣4，进而计算可得结论．解答：解：∵a n、a n+1是方程x2+3nx+b n=0的两根，∴a n+a n+1=﹣3n、a n•a n+1=b n，∴a n+2﹣a n=﹣3，∴a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为﹣3的等差数列，∴奇数项构成的数列为：{1，﹣2，﹣5，…}，偶数项构成的数列为：{﹣4，﹣7，﹣10，…}，∴b1+b2+b3+b4+b5+b6=1×（﹣4）+（﹣4）×（﹣2）+（﹣2）×（﹣7）+（﹣7）×（﹣5）+（﹣5）×（﹣10）+（﹣10）×（﹣8）=﹣4+8+14+35+50+80=183，∴4（b1+b2+b3+b4+b5+b6）=4×183=732，故选：D．点评：本题考查数列的通项，考查运算求解能力，分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分13．已知x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：首先根据约束条件画出可行域，再转化目标函数，把求目标函数的最值问题转化成求截距的最值问题．解答：解：由约束条件画出可行域如图：目标函数可化为y=﹣x+z，得到一簇斜率为﹣1，截距为z的平行线要求z的最大值，须保证截距最大由图象知，当目标函数的图象过点A是截距最大又∵点A的坐标为（）∴z的最大值为=；故答案为：．点评：本题考查线性规划，须准确画出可行域．还要注意目标函数的图象与可行域边界直线的倾斜程度（斜率的大小）．14．已知圆C：x2+y2﹣6x+8=0，若直线y=kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k=．考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心C的坐标和圆的半径，根据直线与圆相切，利用点到直线的距离公式列式=1，解得k=，再根据切点在第四象限加以检验，可得答案．解答：解：∵圆C：x2+y2﹣6x+8=0的圆心为（3，0），半径r=1∴当直线y=kx与圆C相切时，点C（3，0）到直线的距离等于1，即=1，解之得k=∵切点在第四象限，∴当直线的斜率k=时，切点在第一象限，不符合题意直线的斜率k=﹣时，切点在第四象限．因此，k=﹣故答案为：﹣点评：本题给出直线与圆相切，在切点在第四象限的情况下求直线的斜率k，着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．15．x＞0，y＞0，且，若x+2y≥m2﹣2m﹣6恒成立，则m范围是﹣2≤m≤4．考点：基本不等式；函数恒成立问题；一元二次不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：先把x+2y转会为（x+2y）（）×展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2y≥m2﹣2m﹣6求得m2﹣2m﹣6≤2，进而求得m的范围．解答：解：∵∴x+2y=（x+2y）（）×=（4+4×+）≥（4+2×2）=2，当且仅当4×=时取等号，∵x+2y≥m2﹣2m﹣6恒成立，∴m2﹣2m﹣6≤2，求得﹣2≤m≤4，故答案为：﹣2≤m≤4．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、函数恒成立问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力．16．等差数列{a n}中，＜﹣1，且其前n项和S n有最小值，以下命题正确的是①③⑤．①公差d＞0；②{a n}为递减数列；③S1，S2…S19都小于零，S20，S21…都大于零；④n=19时，S n最小；⑤n=10时，S n最小．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得数列的前10项为负数，从第11项开始为正数，且a10+a11＞0，由等差数列的求和公式和性质逐个选项验证可得．解答：解：∵等差数列{a n}前n项和S n有最小值，∴公差d＞0，①正确，②错误；又∵＜﹣1，∴a10＜0，a11＞0，且a10+a11＞0，∴等差数列{a n}的前10项为负数，从第11项开始为正数，∴当n=10时，S n最小，④错误，⑤正确；∴S19===19a10＜0，S20==10（a10+a11）＞0，∴S1，S2…S19都小于零，S20，S21…都大于零，③正确．故答案为：①③⑤点评：本题考查等差数列的求和公式和性质，判定出数列项的正负变化是解决问题的关键，属中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.17、18题10分，19、20、21题12各12分，22题14分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．公差不为零的等差数列{a n}中，a3=7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式；等比数列的前n项和．专题：综合题．分析：（1）设数列的公差为d，根据a3=7，又a2，a4，a9成等比数列，可得（7+d）2=（7﹣d）（7+6d），从而可得d=3，进而可求数列{a n}的通项公式；（2）先确定数列{b n}是等比数列，进而可求数列{b n}的前n项和S n．解答：解：（1）设数列的公差为d，则∵a3=7，又a2，a4，a9成等比数列．∴（7+d）2=（7﹣d）（7+6d）∴d2=3d∵d≠0∴d=3∴a n=7+（n﹣3）×3=3n﹣2即a n=3n﹣2；（2）∵，∴∴∴数列{b n}是等比数列，∵∴数列{b n}的前n项和S n=．点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查等差数列的通项，等比数列的求和公式，属于中档题．18．已知f（x）=，其中向量=，=（cosx，1）（x∈R）（Ⅰ）求f （x）的周期和单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=﹣1，a=，，求边长b和c的值（b＞c）．考点：余弦定理；三角函数的化简求值；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式，利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为，由此求出最小正周期和单调减区间．（2）由f （A）=1求得，再根据2A+的范围求出2A+的值，从而求出A的值，再由和余弦定理求得b和c的值．解答：解：（Ⅰ）由题意知：f（x）==，∴f（x）的最小正周期T=π．…由2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈z，求得，k∈z．∴f（x）的单调递减区间[，k∈z．…（2）∵f （A）==﹣1，∴，…又＜2A+＜，∴2A+=π，A=．…∵即bc=6，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc，7=（b+c）2﹣18，b+c=5，…又b＞c，∴b=3，c=2．…点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性和周期性，余弦定理的应用，属于中档题．19．已知直线l的方程为t（x﹣1）+2x+y+1=0 （t∈R）（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若直线l不经过第二象限，求实数t的取值范围．考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：（1）对直线的截距分类讨论即可得出；（2）将直线l的方程化为y=﹣（t+2）x+t﹣1，由于l不经过第二象限，可得或，解出即可．解答：解：（1）当直线l过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，此时相等，∴t=1，直线l的方程为3x+y=0．当直线l不过原点时，由截距存在且均不为0，得=t﹣1，即t+2=1，∴t=﹣1，直线l的方程为x+y+2=0．故所求直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0．（2）将直线l的方程化为y=﹣（t+2）x+t﹣1，∵l不经过第二象限，∴或解得t≤﹣2，∴t的取值范围是（﹣∞，﹣2]．点评：本题考查了直线的方程及其应用、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知圆C：x2+y2+x﹣6y+m=0与直线l：x+2y﹣3=0．（1）若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；（2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，根据直线l与圆没有公共点得到直线l与圆外离，即d大于r列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围；（2）根据题意得出直线OP与直线OQ垂直，即斜率乘积为﹣1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线l方程与圆方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，根据斜率乘积为﹣1列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．解答：解：（1）将圆的方程化为标准方程得：（x+）2+（y﹣3）2=9﹣m，∴圆心C（﹣，3），半径r2=9﹣m＞0，即m＜，∵圆心C到直线l的距离d2=，直线l与圆C没有公共点∴9﹣m＜，即m＞8，则m的范围为（8，）；（2）根据题意得：△OQP为直角三角形，即OP⊥OQ，将直线l与圆方程联立消去y得到：5x2+10x+4m﹣27=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），∴x1+x2=﹣2，x1x2=，y1y2=•==，∵x1x2+y1y2=0，∴+=﹣1，解得：m=3．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：根与系数的关系，两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，圆的标准方程，以及点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系有d与r的大小关系来判断：当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．21．四棱锥P﹣ABCD底面是平行四边形，面PAB⊥面ABCD，PA=PB=AB=AD，∠BAD=60°，E，F分别为AD，PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAB；（2）求二面角D﹣PA﹣B的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取PB中点G，连结FG，AG，证明FG和AE平行且相等，AEFG为平行四边形，可得EF∥AG．再利用直线和平面平行的判定定理证得EF∥平面PAB．（2）取PA的中点N，连接BN，DN，∠ANB=θ是二面角D﹣PA﹣B的平面角，即可得出结论．解答：（1）证明：取PB中点G，连结FG，AG，∴FG平行且等于BC，AE平行且等于BC，∴FG和AE平行且相等，∴AEFG为平行四边形，∴EF∥AG．∵AG⊂平面PAB，而EF不在平面PAB内，∴EF∥平面PAB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）解：取PA的中点N，连接BN，DN﹣﹣﹣∵△PAB是等边三角形，∴BN⊥PA，∵Rt△PBD≌Rt△ABD，∴PD=AD，∴AN⊥PB，设∠ANB=θ是二面角D﹣PA﹣B的平面角﹣﹣∴BD⊥面PAB，BD⊥BN，在Rt△DBN中，BD=AB=2BN，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣tanθ==2，cosθ=，∴二面角D﹣PA﹣B的余弦值为：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，直线和平面垂直的判定定理的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．22．设S n是非负等差数列{a n}的前n项和，m，n，p∈N+，若m+n=2p，求证：（1）S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等差数列；（2）．考点：数列与不等式的综合；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等差数列的性质以及定义即可证明S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等差数列；（2）利用等差数列的前n项和公式，进行证明即可．解答：（1）证明：设等差数列a n的首项为a1，公差为d，则S n=a1+a2+…+a n，S2n﹣S n=a n+1+a n+2+…+a2n=a1+nd+a2+nd+…+a n+nd=S n+n2d，同理：S3n﹣S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=a n+1+a n+2+…+a2n+n2d=S2n﹣S n+n2d，∴2（S2n﹣S n）=S n+（S3n﹣S2n），∴S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n，…是等差数列．（2）证明：在等差数列{a n}中，由m+n=2p易得a m+a n=2a p，等式两边同时加2a1，得得（a1+a m）+（a1+a n）=2（a p+a1）．由等差数列前n项和公式化简得，有（+）（+）=+++≥++2=（）2因此，（+）•≥（）2，故+≥•（）2=•（）2，又（以上等号可同时成立）故+≥成立．点评：本题主要考查等差数列的性质的以及数列与不等式的证明，综合性较强，有一定的难度，考查学生的运算和推理能力．。
湖北省武汉市武昌区2014-2015学年高一下学期期末数学试卷含答案+Word版
湖北省武汉市武昌区2014-2015学年高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，则f{f}=（）A．0 B． 1 C．π+1 D．π考点：函数的值．专题：计算题．分析：根据分段函数式，由内层向外层逐个求解即可．解答：解：由f（x）解析式可得，f（﹣1）=0，f（0）=π，f（π）=π+1，所以f{f}=f{f}=f{π}=π+1．故C．点评：本题考查分段函数求值问题，属基础题，按自变量的范围把自变量值代入相应“段”内求出即可．2．设a=0.82.1，b=21.1，c=log23，则（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D． a ＜c＜b考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：分别讨论a，b，c的取值范围，即可比较大小．解答：解：1＜log23＜2，21.1＞2，0.82.1＜1，则a＜c＜b，故选：D．点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．3．已知向量=（1，2），=（x，1）若（+2）∥（2﹣2），则x的值为（）A． 1 B． 2 C．D．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：首先分别求出（+2）和（2﹣2）的坐标，利用平行的性质得到关于x的等式解之．解答：解：因为向量=（1，2），=（x，1），所以+2=（1+2x，4），2﹣2=（2﹣2x，2），又（+2）∥（2﹣2），所以2（1+2x）=4（2﹣2x），即12x=6，解得x=；故选：C．点评：本题考查了平面向量的坐标运算以及向量平行的性质；关键是明确向量平行时的坐标关系．4．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．B．C． 2 D． 3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其底面面积S=×2×2=2，高h=1，故几何体的体积V=Sh=，故选：B．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．5．若把函数y=cosx﹣sinx的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值为（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，可得﹣m+=kπ，k∈z，由此求得m的最小值．解答：解：把函数y=cosx﹣sinx=2cos（x+）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象对应函数的解析式为y=2cos（x﹣m+），再根据所得图象关于y轴对称，可得y=2cos（x﹣m+）为偶函数，故有﹣m+=kπ，k∈z，即m=﹣kπ+，则m的最小值为，故选：A．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．6．设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．8 B．7 C． 2 D． 1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（3，2），此时z的最大值为z=3+2×2=7，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．7．已知等差数列{a n}满足，a1＞0，5a8=8a13，则前n项和S n取最大值时，n的值为（）A．20 B．21 C．22 D． 23考点：等差数列的前n项和；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：由条件可得，代入通项公式令其≥0可得，可得数列{a n}前21项都是正数，以后各项都是负数，可得答案．解答：解：设数列的公差为d，由5a8=8a13得5（a1+7d）=8（a1+12d），解得，由a n=a1+（n﹣1）d=，可得，所以数列{a n}前21项都是正数，以后各项都是负数，故S n取最大值时，n的值为21，故选B．点评：本题考查等差数列的前n项和公式，从数列的项的正负入手是解决问题的关键，属基础题．8．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）A．B．C．D．﹣1考点：有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：根据增长率之间的关系，建立方程关系即可得到结论．解答：解：设原来的生产总值为a，平均增长率为x，则a（1+p）（1+q）=a（1+x）2，解得1+x=，即x=﹣1，故选：D．点评：本题主要考查指数幂的计算，根据条件建立条件关系是解决本题的关键，比较基础．9．在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于点G，记=，=，则=（）A．﹣B．+C．﹣+D．﹣﹣考点：平面向量的基本定理及其意义；向量的线性运算性质及几何意义．专题：平面向量及应用．分析：由题意画出图象，根据向量共线、向量的线性运算表示出，列出方程组即可求出答案．解答：解：由题意画出图象：∵A、G、F三点共线，∴===，同理可得，===，∵=+，∴=，则，解得λ=，μ=，∴，故选：B．点评：本题考查向量的线性运算，以及向量共线的条件，属于中档题．10．已知m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，给出以下命题：①若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α，或n⊥β；②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n；③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β=m，n∥m，n⊄α，n⊄β，则n∥α，且n∥β．其中，正确的命题的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用面面垂直、面面平行、线面平行的性质定理和判定定理对四个命题分别分析选择即可．解答：解：对于①，若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，如果n⊄α和β，则n⊥α，或n⊥β不成立；故①错误；对于②，若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，根据面面平行的性质定理得到m∥n；故②正确；对于③，若m不垂直于α，则m可能垂直于α内的无数条直线；故③错误；对于④，若α∩β=m，n∥m，n⊄α，n⊄β，根据线面平行的判定定理得到n∥α，且n∥β．故④正确；所以正确命题的个数为2；故选：B．点评：本题考查了面面垂直、面面平行、线面平行的性质定理和判定定理的阴影；熟练掌握定理的条件是关键．11．关于x的不等式+≥4在区间上恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，]B．（1，]C．D．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由+≥4，分离变量a得≥，由x∈求得，则∈．∴，由此求得实数a的取值范围．解答：解：由+≥4，得≥4=，即=，∵x∈，∴，则∈．∴，则0＜a．∴实数a的取值范围为（0，]．故选：A．点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用配方法求二次函数的最值，是中档题．12．函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈（﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间内零点的个数为（）A．8 B．12 C．13 D． 14考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈（﹣1，1]时f（x）=1﹣x2，故其为周期性函数，函数g（x）是一个偶函数，作出它们的图象，由图象上看交点个数．对边界处的关键点要作准．解答：解：作出区间上的两个函数的图象，y轴右边最后一个公共点是（10，1）y轴左边有四个交点，y轴右边是9个交点，y轴上有一个交点，总共是14个交点．故选：D．点评：考查答题者使用图象辅助作题的意识与能力，本题是一道中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
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湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．）1．设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（）A．b﹣a＞0 B．a3+b3＜0 C．a2﹣b2＜0 D．b+a＞02．若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b，则＞D．若a＞b＞0，则＞3．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b=+a+b（a，b为正实数），若1⊙k2＜3，则k 的取值范围为（）A．﹣1＜k＜1 B．0＜k＜1 C．﹣1＜k＜0 D．0＜k＜2 4．不等式ax2﹣（a+2）x+2≥0（a＜0）的解集为（）A．B．C．D．5．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是（）A．B．C．D．26．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60°角④DM与BN是异面直线以上四个命题中，正确的命题序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④7．如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（）A．S圆＞S圆环B．S圆=S圆环C．S圆＜S圆环D．不确定8．已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个棱锥的侧面积是（）A．4cm2B．12cm2C．8+4cm2D．4+4+2cm29．已知x＞，则函数y=4x+取最小值为（）A．﹣3 B．2 C．5 D．710．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（）①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．A．①③B．②③C．②④D．①④11．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为（）A．①④B．②C．③D．③④12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的增函数，实数a使得f（1﹣ax﹣x2）＜f（2﹣a）对于任意x∈[0，1]都成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．[﹣2，0]C．（﹣2﹣2，﹣2+2）D．[0，1]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）13．已知四面体OABC各棱长为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值是．14．若正实数a使得不等式|2x﹣1|+|3x﹣2|≥a2对于任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是．15．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB=AD=2，AA1=3，棱AD在平面α内，则长方体在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围是．16．若x＞0，y＞0，且+=2，则6x+5y的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知A={x|﹣x2+3x﹣2＞0}，B={x|x2﹣（a+1）x+a≤0}（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若A⊊B时，求实数a的取值范围．18．如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球（球A和球B），圆柱的底面直径为2+，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球B（Ⅰ）求球A的体积；（Ⅱ）求圆柱的侧面积与球B的表面积之比．19．如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q 分别为PC，AD的中点，（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）求证：PA∥平面MBD；（3）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．20．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．21．如图所示，在多面体A1B1D1﹣ABCD，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B1的正切值；（Ⅲ）求直线A1C与平面B1CD1所成角的余弦值．22．设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0（a＞0）有两个实根x1，x2．（1）求（1+x1）（1+x2）的值；（2）求证：x1＜﹣1，且x2＜﹣1；（3）如果，试求a的最大值．湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．）1．设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（）A．b﹣a＞0 B．a3+b3＜0 C．a2﹣b2＜0 D．b+a＞0考点：不等关系与不等式．专题：压轴题．分析：由题意可以令a=1，b=0分别代入A，B，C，D四个选项进行一一排除．解答：解：利用赋值法：令a=1，b=0b﹣a=﹣1＜0，故A错误；a3+b3=1＞0，故B错误；a2﹣b2=1＞0，故C错误；排除A，B，C，选D．点评：此题利用特殊值进行代入逐一排除错误选项，方法简洁、直观，此题为基础题．2．若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b，则＞D．若a＞b＞0，则＞考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：A．c=0时不成立；B．利用不等式的基本性质由a＜b＜0，可得a2＞ab＞b2；C．取a=﹣1，b=﹣2时，即可判断出；D．由a＞b＞0，可得＜．解答：解：A．c=0时不成立；B．∵a＜b＜0，∴a2＞ab＞b2，正确；C．取a=﹣1，b=﹣2时，=﹣1，=﹣，则＞不成立；D．若a＞b＞0，则＜，因此不正确．故选：B．点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．3．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b=+a+b（a，b为正实数），若1⊙k2＜3，则k 的取值范围为（）A．﹣1＜k＜1 B．0＜k＜1 C．﹣1＜k＜0 D．0＜k＜2考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．（|k|+2）分析：由于定义a⊙b=+a+b（a，b为正实数），因此1⊙k2＜3化为＜3，（|k|﹣1）＜0，解出即可．解答：解：∵定义a⊙b=+a+b（a，b为正实数），1⊙k2＜3，∴＜3，化为（|k|+2）（|k|﹣1）＜0，∴|k|＜1，∴﹣1＜k＜1．故选：A．点评：本题考查了“新定义”、一元二次不等式的解法，属于基础题．4．不等式ax2﹣（a+2）x+2≥0（a＜0）的解集为（）A．B．C．D．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：根据a＜0，把不等式化为（x﹣）（x﹣1）≤0，求出解集即可．解答：解：不等式ax2﹣（a+2）x+2≥0可化为（ax﹣2）（x﹣1）≥0，∵a＜0，∴原不等式可化为（x﹣）（x﹣1）≤0，解得≤x≤1，∴原不等式的解集为[，1]．故选：A．点评：吧考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．5．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是（）A．B．C．D．2考点：斜二测法画直观图．专题：计算题；作图题．分析：可根据直观图和原图面积之间的关系求解，也可作出原图，直接求面积．解答：解：由题意，直观图的面积为，因为直观图和原图面积之间的关系为，故原△ABO的面积是故选C点评：本题考查斜二测画法及斜二测画法中原图和直观图面积之间的联系，考查作图能力和运算能力．6．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60°角④DM与BN是异面直线以上四个命题中，正确的命题序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据恢复的正方体可以判断出答案．解答：解：根据展开图，画出立体图形，BM与ED垂直，不平行，CN与BE是平行直线，CN与BM成60°，DM与BN是异面直线，故③④正确．故选：C点评：本题考查了空间直线的位置关系，属于中档题．7．如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（）A．S圆＞S圆环B．S圆=S圆环C．S圆＜S圆环D．不确定考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据图形得出，S截面圆=π（R2﹣d2），r=d，S圆环=π（R2﹣d2），即可判断．解答：解：根据题意：∵①半球的截面圆：r=，S截面圆=π（R2﹣d2），②∵取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，∴r=d，S圆环=π（R2﹣d2），根据①②得出：S截面圆=S圆环，故选：B点评：本题考查了球有关的截面问题，判断图形结构，求出半径即可，属于中档题．8．已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个棱锥的侧面积是（）A．4cm2B．12cm2C．8+4cm2D．4+4+2cm2考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，计算出各个侧面的面积，相加可得答案．解答：解：由已知的三视图可得：该几何体直观图如下：其中PA⊥底面ABCD，PA=AB=AD=2cm，BC=4cm，底面ABCD是以AB为直角角的直角梯形，故S△PAB=S△PAD=×2×2=2cm2，PB=PD=CD=2cm，AC=2cm，PC=cm，故PB⊥BC，S△PBC=××4=4cm2，等腰△PCD底边PC上的高为：=cm，故S△PCD=××=2cm2，故棱锥的侧面积S=2×2+4+2=4+4+2cm2，故选：D．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．9．已知x＞，则函数y=4x+取最小值为（）A．﹣3 B．2 C．5 D．7考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵x＞，∴4x﹣5＞0．则函数y=4x+=4x﹣5++5+5=7，当且仅当x=时取等号．∴函数y=4x+取最小值为7．故选：D．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．10．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（）①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．A．①③B．②③C．②④D．①④考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题；推理和证明．分析：利用线面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答．解答：解：对于①，若直线m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内，存在与直线m 平行的直线．故①错误；对于②，若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的所有直线，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．故②正确；对于③，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故③错误；对于④，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故④正确；故选：C．点评：本题考查了线面垂直的性质定理的运用判断直线的位置关系；关键是熟练运用定理，全面考虑．11．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为（）A．①④B．②C．③D．③④考点：命题的真假判断与应用．专题：压轴题；空间位置关系与距离．分析：①利用面面垂直的判定定理去证明EF⊥平面BDD'B'．②四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可．③判断周长的变化情况．④求出四棱锥的体积，进行判断．解答：解：①连结BD，B'D'，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD'B'，所以平面MENF ⊥平面BDD'B'，所以①正确．②连结MN，因为EF⊥平面BDD'B'，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．④连结C'E，C'M，C'N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C'EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C'EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确．所以四个命题中③假命题．所以选C．点评：本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的增函数，实数a使得f（1﹣ax﹣x2）＜f（2﹣a）对于任意x∈[0，1]都成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．[﹣2，0]C．（﹣2﹣2，﹣2+2）D．[0，1]考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：解法一：由条件得1﹣ax﹣x2＜2﹣a对于x∈[0，1]恒成立，令g（x）=x2+ax﹣a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可，分类讨论，求最值即可求出实数a的取值范围；解法二：由1﹣ax﹣x2＜2﹣a，得（1﹣x）a＜x2+1，对x讨论，再分离参数，求最值，即可求出实数a的取值范围．解答：解：法一：由条件得1﹣ax﹣x2＜2﹣a对于x∈[0，1]恒成立令g（x）=x2+ax﹣a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可．g（x）=x2+ax﹣a+1=（x+）2﹣﹣a+1．①当﹣＜0，即a＞0时，g（x）min=g（0）=1﹣a＞0，∴a＜1，故0＜a＜1；②当0≤﹣≤1，即﹣2≤a≤0时，g（x）min=g（﹣）=﹣﹣a+1＞0，∴﹣2﹣2＜a＜﹣2+2，故﹣2≤a≤0；③当﹣＞1，即a＜﹣2时，g（x）min=g（1）=2＞0，满足，故a＜﹣2．综上a＜1．法二：由1﹣ax﹣x2＜2﹣a得（1﹣x）a＜x2+1，∵x∈[0，1]，∴1﹣x≥0，∴①当x=1时，0＜2恒成立，此时a∈R；②当x∈[0，1）时，a＜恒成立．求当x∈[0，1）时，函数y=的最小值．令t=1﹣x（t∈（0，1]），则y===t+﹣2，而函数y=t+﹣2是（0，1]上的减函数，所以当且仅当t=1，即x=0时，y min=1．故要使不等式在[0，1）上恒成立，只需a＜1，由①②得a＜1．故选：A点评：本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，利用函数的单调性求出函数的最值是解决本题的关键．注意要利用分类讨论的数学思想．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）13．已知四面体OABC各棱长为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值是．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：先画出四面体OABC，取棱OC中点E，连接DE，BE，可判断∠BDE便是异面直线BD与AC所成角，并容易求出，这样便可得到cos∠BDE=．解答：解：如图，取OC中点E，连接DE，BE；∵D是棱OA的中点；∴DE∥AC；∴∠BDE或其补角为直线BD，AC所成角；则在△BDE中，BD=BE=，DE=；∴；∴∠BDE为异面直线BD，AC所成角，其余弦值为．故答案为：．点评：三角形中位线的性质，异面直线所成角的概念及求法，以及直角三角形边角的关系．14．若正实数a使得不等式|2x﹣1|+|3x﹣2|≥a2对于任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是0＜a≤．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析：首先分析题目已知不等式|3x﹣2|+|2x﹣1|≥a2恒成立，求a的取值范围，故可以考虑设y=|2x﹣1|+|3x﹣2|，然后分类讨论去绝对值号，求解出函数y=|2x﹣1|+|3x﹣2|的最小值，从而求出答案．解答：解：设y=|2x﹣1|+|3x﹣2|，当≤x≤时，y=2x﹣1﹣（3x﹣2）=﹣x+1≥当x＞时，y=2x﹣1+3x﹣2=5x﹣3＞当x＜时，y=﹣（2x﹣1）﹣（3x﹣2）=﹣5x+3＞，故y=|2x﹣1|+|3x﹣2|有最小值．不等式|2x﹣1|+|3x﹣2|≥a2恒成立，即a2必小于等于y=|2x﹣1|+|3x﹣2|的最小值，由a2≤，解得：﹣≤a≤，∵a是正实数，故答案为：点评：此题主要考查绝对值不等式的解法问题，其中涉及到分类讨论去绝对值的思想，题目计算量小，涵盖知识点少，属于基础性题目．15．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB=AD=2，AA1=3，棱AD在平面α内，则长方体在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围是4≤S≤2．考点：平行投影及平行投影作图法．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，四边形ABCD和ADD1A1的面积分别为4和6，长方体在平面α内的射影可由这两个四边形在平面α内的射影组合而成．分别求出最小与最大，即可求出长方体在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围．解答：解：由题意，四边形ABCD和ADD1A1的面积分别为4和6，长方体在平面α内的射影可由这两个四边形在平面α内的射影组合而成．显然，S min=4．若记平面ABCD与平面α所成角为θ，则平面ADD1A1与平面α所成角为﹣θ．它们在平面α内的射影分别为4cosθ和6cos（﹣θ）=6sinθ，所以，S=4cosθ+6sinθ=2sin（θ+φ）（其中，tanφ=），因此，S max=2，当且仅当θ=﹣φ时取到．因此，4≤S≤2．故答案为：4≤S≤2．点评：本题考查长方体在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围，考查三角函数知识，属于基础题．16．若x＞0，y＞0，且+=2，则6x+5y的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：6x+5y===，当且仅当，a=时取等号．故答案为：．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知A={x|﹣x2+3x﹣2＞0}，B={x|x2﹣（a+1）x+a≤0}（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若A⊊B时，求实数a的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（Ⅰ）B是不等式的解集，解一元二次不等式可得B，由不等式的解法，容易解得B；（Ⅱ）通过解不等式求得集合A，结合限制性条件A⊊B来求a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由x2﹣（a+1）x+a≤0得（x﹣a）（x﹣1）≤0当a＜1时，B={a，1}当a=1时，B={1}当a＞1时，B={1，a}；（Ⅱ）∵由﹣x2+3x﹣2＞0得x2﹣3x+2＜0，即1＜x＜2，∴A={x|1＜x＜2}若A⊊B时，由（Ⅰ）知a＞1，且a≥2，故实数a的取值范围是a≥2．点评：本题考查集合间的交、并、补的混合运算，这类题目一般与不等式、方程联系，难度不大，注意正确求解与分析集合间的关系即可．18．如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球（球A和球B），圆柱的底面直径为2+，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球B（Ⅰ）求球A的体积；（Ⅱ）求圆柱的侧面积与球B的表面积之比．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）设圆柱的半径为R，小球的半径为r，且r＜R，利用勾股定理可求出r的值，进而得到球A的体积；（Ⅱ）分别求出球的表面积和圆柱的侧面积，可得答案．解答：解：（Ⅰ）设圆柱的半径为R，小球的半径为r，且r＜R由圆柱与球的性质知AB2=（2r）2=（2R﹣2r）2+（2R﹣2r）2，即r2﹣4Rr+2R2=0，∵r＜R，∴∴球A的体积…（6分）（Ⅱ）球B的表面积圆柱的侧面积∴圆柱的侧面积与球B的表面积之比为．…（6分）点评：本题考查的知识点是旋转体，球的体积与表面积公式，圆柱的侧面积公式，其中求出球的半径r是解答的关键．19．如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q 分别为PC，AD的中点，（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）求证：PA∥平面MBD；（3）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）先证明PQ⊥底面ABCD，即为底面ABCD上的高，进而即可求出其体积；（2）连接底面的对角线交于点O，再连接OM，利用三角形的中位线即可证明；（3）由（1）可知：PQ⊥底面ABCD，因此只要在底面上找到一条直线与BQ垂直即可，由平面几何的知识可知，只要取AB的中点N即可．解答：解：（1）连接PQ，∵PA=PD=AD=4，AQ=QD，∴PQ⊥AD，PQ=．又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥底面ABCD．∴=．（2）证明：连接AC、BD交于点O，连接OM．则AO=OC，又PM=MC，∴PA∥OM．∵PA⊄平面BMD，OM⊂平面BMD，∴PA∥平面BMD．3）存在，N为AB中点．证明：取AB的中点N，连接CN交BQ于点E．由正方形ABCD可知：△ABQ≌△BCN，∴∠ABQ=∠BCN，∵∠CNB+∠BCN=90°，∴∠ABQ+∠CNB=90°，∴BQ⊥CN．由（1）可知：PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥CN．又PQ∩QB=Q，∴CN⊥平面PQB，∵CN⊂平面PCN，∴平面PCN⊥平面PQB．点评：熟练掌握线面、线面的平行与垂直的判定定理与性质定理即锥体的体积是解题的关键．20．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求炮的最大射程即求y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（1）在y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．∴，当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k＞0，使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立，即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由韦达定理满足两根之和大于0，两根之积大于0，故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时，k=＞0．∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．如图所示，在多面体A1B1D1﹣ABCD，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B1的正切值；（Ⅲ）求直线A1C与平面B1CD1所成角的余弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由线面平行的判定定理证明：B1C∥A1DEF，即可证明EF∥B1C；（Ⅱ）将多面体A1B1D1﹣ABCD补成正方体A1B1C1D1﹣ABCD，取B1C的中点G，A1D 的中点H，连接C1G，GH，C1H，则∠C1HG是二面角C1﹣A1D﹣B1的平面角，即可求二面角E﹣A1D﹣B1的正切值；（Ⅲ）连接EC，A1C，证明∠A1CE是直线A1C与平面B1CD1所成的角，利用余弦定理即可求直线A1C与平面B1CD1所成角的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：∵B1C∥A1D，B1C⊄平面A1DEF，A1D⊂平面A1DEF由线面平行的判定定理有B1C∥A1DEF又过B1C的平面B1CD1与平面A1DEF相交于EF，由线面平行的性质定理有B1C∥EF（Ⅱ）解：将多面体A1B1D1﹣ABCD补成正方体A1B1C1D1﹣ABCD如图，并设棱长为a，∴二面角E﹣A1D﹣B1即为C1﹣A1D﹣B1取B1C的中点G，A1D的中点H，连接C1G，GH，C1H可知C1G⊥平面A1B1CD，∵GH⊥A1D，∴C1H⊥A1D，故∠C1HG是二面角C1﹣A1D﹣B1的平面角，在RT△C1HG中，，∴则二面角E﹣A1D﹣B1的正切值为．（Ⅲ）解：连接EC，A1C∵B1D1⊥平面AA1C1C，∴平面B1CD1⊥平面AA1C1C．∴EC是A1C在平面B1CD1上的射影，故∠A1CE是直线A1C与平面B1CD1所成的角，在△C1AE中，，∴则直线A1C与平面B1CD1所成角的余弦值为．点评：本题考查线面平行的判定与性质，考查线面角、二面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．22．设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0（a＞0）有两个实根x1，x2．（1）求（1+x1）（1+x2）的值；（2）求证：x1＜﹣1，且x2＜﹣1；（3）如果，试求a的最大值．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：（1）把（1+x1）（1+x2）展开，再利用根与系数的关系即可得出；（2）令f（x）=ax2+x+1，由，可得抛物线f（x）的对称轴．又f（﹣1）=a＞0，可知f（x）图象与x轴的交点都在点（﹣1，0）的左侧，即可得出．（3）由（1）可得，．于是．进而得到，利用二次函数的性质即可得出．解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程ax2+x+1=0（a＞0）有两个实根x1，x2．∴，．∴．（2）令f（x）=ax2+x+1，由，∴抛物线f（x）的对称轴．又f（﹣1）=a＞0，所以f（x）的图象与x轴的交点都在点（﹣1，0）的左侧，故x1＜﹣1，且x2＜﹣1．（3）由（1），．．∴，故当时，a取得最大值为．点评：熟练掌握二次函数的性质、一元二次方程根与系数的关系等是解题的关键．。