苏教版高中数学必修2(测试)章末知识整合(1)含解析
2019—2020年苏教版高中数学必修二章末质量评估1及答案解析.docx
（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二章末质量评估(一)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．直线l与平面α所成角为30°，l∩α＝A，m⊂α，A∉m，则m与l所成角的取值范围是________．解析直线l与平面α所成的30°的角为m与l所成角的最小值，当m在α内适当旋转就可以得到l⊥m，即m与l所成角的最大值为90°.答案[30°，90°]2．以△ABC的三条中位线DE，EF，FD为折痕将△ADF，△BDE，△CEF 折起，使A，B，C三点重合并记为P，构成三棱锥P－DEF，则在下列给出的图形中：①等腰三角形；②等边三角形；③锐角三角形；④直角三角形；⑤钝角三角形．△ABC不可能是________．解析∵等边三角形折叠起来是一个正三棱锥，∴等腰三角形、等边三角形、锐角三角形都可能按照上述方法折成三棱锥，而直角三角形、钝角三角形折叠的时候不能使得短边与长边同时重合，不能实现上述折叠．答案④⑤3．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是__________．解析 若题中所指两直线是相交直线则平面平行，若两直线是平行直线，则两平面相交或平行．答案 平行或相交4．如图，正方体的棱长为1，C 、D 是两棱中点，A 、B 、M 是顶点，则点M 到截面ABCD 的距离是________．解析 作MN ⊥AB 于点N ，取DC 的中点P ，则AB ⊥平面MNP .作MH ⊥NP 于点H ，则MH ⊥平面ABCD ，即MH 为所求．由V M －ABC ＝V A －BCM ，得d ＝23.答案 235．在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形)．解析 ∵AC ⊥BD ，∴A 1C 1⊥B 1D 1.又∵CC 1⊥B 1D 1，A 1C 1∩CC 1＝C 1，∴B 1D 1⊥平面A 1C 1C ，∴B 1D 1⊥A 1C .答案 AC ⊥BD (答案不唯一)6．轴截面是正方形的圆柱的侧面积为S ，那么圆柱的体积为________． 解析 设圆柱底面直径为x ，则高为x ，因此有πx ·x ＝S .而V 圆柱＝π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 22·x＝π4x 3＝S 4Sπ.答案S 4S π7．如图，P 点是四边形ABCD 所在平面外一点，O 是AC 与BD 的交点，且PO ⊥平面ABCD ，当四边形ABCD 具有条件________时，点P 到四边形ABCD 四条边的距离相等．(填上你认为正确的一种情况即可)解析 只需考虑O 到四边形四边的距离相等即可． 答案 正方形(或圆的外切四边形等)8．圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为________．解析 圆柱的侧面积S 侧＝6π×4π＝24π2.(1)以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面圆周长，所以2πr ＝4π，即r ＝2.所以S 底＝4π，所以S 表＝24π2＋8π.(2)以4π所在边为轴时，6π为圆柱底面圆周长，所以2πr ＝6，即r ＝3.所以S 底＝9π，所以S 表＝24π2＋18π.答案 24π2＋8π或24π2＋18π9．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，P 为△ABC 所在平面外一点，且PA ＝PB ＝PC ，则平面PBC 与平面ABC 的关系是________．解析 如右图所示，取BC 的中点O ，连接AO ，PO . ∵PB ＝PC ，∴PO ⊥BC .又△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形， ∴OA ＝OB ，且PA ＝PB ， ∴Rt △POB ≌Rt △POA ，∴∠POA ＝∠POB ＝90°，即PO ⊥OA ， 而OA ∩BC ＝O ，∴PO ⊥平面ABC ，而PO ⊂平面PBC ， ∴平面PBC ⊥平面ABC . 答案 垂直10．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的的表面积为12π，则这个正四棱柱的体积为________．解析 设正四棱柱的底面边长为a ，则球的直径2R ＝22＋2a 2，所以S 表＝4πR 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22＋2a 24＝12π， 解得a ＝2，所以正四棱柱的体积V ＝2a 2＝8. 答案 811．考察下列三个命题，在“________”处都缺少一个条件，补上这个条件使其成为真命题(其中l 、m 为直线，α、β为平面)，则此条件为________．⎭⎪⎬⎪⎫①m ⊂α l ∥m⇒l ∥α⎭⎪⎬⎪⎫②l ∥m m ∥α⇒l ∥α；⎭⎪⎬⎪⎫③l ⊥β α⊥β⇒l ∥α. 解析 ①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l ⊄α”，它同样适合②和③.答案 l ⊄α12．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为________．解析 作等体积变换：13×34×(d 1＋d 2＋d 3＋d 4)＝13×34×h ，而h ＝63.答案 6313．设平面α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且AS ＝8，BS ＝9，CD ＝34，则CS ＝________.解析 根据题意易得AS SB ＝SC SD .当点S 在α，β之间时，有89＝CS34－CS，即CS＝16；当点S 在α，β之外时，有817＝SCSC ＋34，即SC ＝2729.答案 16或272914．设正三角形ABC 的边长为a ，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ，E 为BC 中点，在平面PAE 内过点A 作AF ⊥PE ，垂足为F ，则AF 的长为________．解析 如右图所示，知AE ⊥BC ，又∵BC ⊥PA ，∴BC ⊥平面PAE . ∴平面PAE ⊥平面PBC .∵AF ⊥PE ，垂足为F ，∴AF ⊥平面PBC .则AF ＝PA ·AE PE ＝217a .答案 217a二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 中，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，C 1D 1的中点．求证：平面D 1EF ∥平面BDG . 解 ∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点，∴EF∥BD.又∵EF⊄平面BDG，BD⊂平面BDG，∴EF∥平面BDG.∵D1G綉EB，∴四边形D1GBE为平行四边形，∴D1E∥GB.又∵D1E⊄平面BDG，GB⊂平面BDG，∴D1E∥平面BDG.又∵EF∩D1E＝E，∴平面D1EF∥平面BDG.16．(本小题满分14分)如图(1)，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．(1)证明：AD⊥D1F；(2)求AE与D1F所成的角；(3)证明平面AED⊥平面A1FD1.(1)证明由正方体ABCD－A1B1C1D1，可得AD⊥面D1DCC1.∵D1F⊂面D1DCC1，∴AD⊥D1F.(2)解如图(2)，取AB的中点G，则易证得A1G∥D1F.又正方形A1ABB1中，E、G分别是对应边的中点，∴A1G⊥AE.∴D1F⊥AE.∴AE与D1F所成的角为90°.(3)证明由正方体可知A1D1⊥面A1ABB1，∴A1D1⊥AE.又由(2)已证D1F⊥AE.∵A1D1∩D1F＝D1，∴AE⊥平面A1FD1.又AE⊂平面AED，∴平面AED⊥平面A1FD1.17．(本小题满分14分)已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，PA＝AD＝4，E为BC的中点．(1)求证：DE⊥平面PAE；(2)求直线DP与平面PAE所成的角的大小．(1)证明取AD中点F，连结EF，则ABEF与EFDC都是正方形，∴∠EAD＝∠ADE＝45°，∴AE⊥DE.∵PA⊥平面ABCD，DE⊂平面ABCD，∴PA⊥DE.又∵PA∩AE＝A，∴DE⊥平面PAE.(2)解由(1)知∠DPE即为DP与平面PAE所成的角．在Rt△PAD中，PD＝4 2.在Rt△DCE中，DE＝2 2.则在Rt△DEP中，PD＝2DE，∴∠DPE＝30°.即直线DP与平面PAE所成的角为30°.18．(本小题满分16分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB ＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，G为AD的中点．(1)求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB；(3)求二面角ABCP的大小．(1)证明连结BD，则△ABD为等边三角形．∵G为AD的中点，∴BG⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)证明：连结PG.∵△PAD是等边三角形且G为AD的中点，∴AD⊥PG.又∵AD⊥BG，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PBG.∵PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.(3)解∵AD⊥PB，AD∥BC，∴BC⊥PB.又∵BG⊥AD，AD∥BC，∴BG⊥BC，∴∠PBG为二面角ABCP的平面角．在Rt△PBG中，PG＝BG，∴∠PBG＝45°.19．(本小题满分16分)如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝23，沿对角线BD将△ABD折起，使点A移至点P，且P在平面BCD内的射影为O，且O 在DC上．(1)求证：PD⊥PC；(2)求二面角P－DB－C的平面角的余弦值．(1)证明∵PO⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴PO⊥BC.∵BC⊥CD，CD∩PO＝O，∴BC⊥平面PCD.∵DP⊂平面PCD，∴BC⊥DP.又∵DP⊥PB，PB∩BC＝B，∴DP⊥平面PBC.而PC⊂平面PBC，∴PD⊥PC.(2)解 △PBD 在平面BCD 内的射影为△OBD ，且S △PBD ＝12×6×23＝63，S △OBD ＝S △CBD －S △BOC ＝63－12×23×OC .在Rt △DPC 中，PC 2＝24.设OC ＝x ，则OD ＝6－x ，∴PC 2－OC 2＝DP 2－DO 2，即24－x 2＝12－(6－x )2.解得x ＝4.∴S △BOD ＝63－43＝2 3.过点P 作PQ ⊥DB ，连结OQ ，则DB ⊥平面OPQ ，∴∠OQP 即为二面角P －DB －C 的平面角，∴cos ∠OQP ＝S △BOD S △PBD ＝2363＝13.20．(本小题满分16分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA .(1)求证：平面EFG ⊥平面PDC ；(2)求三棱锥P －MAB 与四棱锥P －ABCD 的体积之比．解 (1)由已知MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，所以PD ⊥平面ABCD .又BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC .因为四边形ABCD 为正方形，所以BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，因此BC ⊥平面PDC .在△PBC 中，因为G 、F 分别为PB 、PC 的中点，所以GF ∥BC ，因此GF ⊥平面PDC .又GF ⊂平面EFG ，所以平面EFG ⊥平面PDC .(2)因为PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，不妨设MA ＝1，则PD ＝AD ＝2，所以V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PD ＝83. 由于DA ⊥平面MAB ，且PD ∥MA ，所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离，三棱锥V P －MAB ＝13S △MAB ·DA ＝13×12×1×2×2＝23， 所以V P －MAB ∶V P －ABCD ＝1∶4.。
高中数学必修二：各章章末检测(含解析)
章末检测一、选择题1.如图所示的长方体，将其左侧面作为上底面，右侧面作为下底面，水平放置，所得的几何体是( ) A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥组合体D．无法确定1 题图2 题图2.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不．可．能．为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是( ) A．①②B．②③C．①③D．①②3．如图所示的正方体中，M、N分别是AA1、CC1的中点，作四边形D1MBN则四边形D1MBN 在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是( )4.如图所示的是水平放置的三角形直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边上的一点，且D′离C′比D′离B′近，又A′D′∥y′轴，那么原△ABC 的AB、AD、AC 三条线段中( )A.最长的是AB，最短的是ACB.最长的是AC，最短的是ABC.最长的是AB，最短的是ADD.最长的是AD，最短的是AC4 题图5 题图5．具有如图所示直观图的平面图形ABCD 是( ) A．等腰梯形B．直角梯形C．任意四边形D．平行四边形6.如图是一个几何体的三视图，则在此几何体中，直角三角形的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A ．6B ．9C ．12D ．188. 平面α截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面α的距离为 2，则此球的体积为() B ．4 3πC ．4 6πD ．6 3π9. 如图所示，则这个几何体的体积等于()A ．4B ．6C ．8D ．1210. 将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示，A ，B ，C 分别是△GHI 三边的中点)得到几何体如图 2，则该几何体按图 2 所示方向的侧视图为选项图中的()11. 圆锥的表面积是底面积的 3 倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )A ．120°B ．150°C ．180°D ．240°12. 已知三棱锥 S －ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，△ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC ＝2，则此棱锥的体积为()A. 6πA.26二、填空题B.36 C.23 D.2213.一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱14.已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于cm3.15.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是．16.一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的1，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是．4三、解答题17.某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，(1)求该几何体的表面积(结果保留π)；(2)求该几何体的体积(结果保留π)．18.如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是边长为2 的正三角形，俯视图如图．(1)在给定的直角坐标系中作出这个几何体的直观图(不写作法)；(2)求这个几何体的体积．19.如图所示，在四边形ABCD 中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2 2，AD＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．20.如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．试求：(1)AD 的长；(2)容器的容积．＝ 答案1．A 2.B 3.D 4．C 5．B 6．D 7.B 8.B 9．A 10．A 11．C 12．A 13．①②③⑤ 14．1 15.24π 16.1－ 1 4 2π17.解 由三视图可知：该几何体的下半部分是棱长为 2 m 的正方体，上半部分是半径为 1 m 的半球．(1) 几何体的表面积为 S 1× 24π×12＋6×22－π×12＝24＋π(m 2)．(2)几何体的体积为 V ＝23＋1×4×π×13＝8＋2π(m 3)．2 3 318.解 (1)直观图如图．(2) 这个几何体是一个四棱锥． 它的底面边长为 2，高为 3，所以体积 V ＝1×22× 3＝4 3.3 319.解 S 表面＝S 圆台底面＋S 圆台侧面＋S 圆锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2 2＝(4 2＋60)π.V ＝V 圆台－V 圆锥 ＝1π(r 2＋r r ＋r 2)h －12 ′1 12 2 3πr 1h3 ＝1π(25＋10＋4)×4－1π×4×2 3 3 148 π. 320．解 (1)设圆台上、下底面半径分别为 r 、R ，AD ＝x ，则 OD ＝72－x ，由题意得2πR ＝60·π×72 180 72－x ＝3R即 AD 应取 36 cm.R ＝12，∴ .x ＝36 (2)∵2πr ＝π·OD ＝π·36，3 3 ∴r ＝6 cm ，圆台的高 h ＝ x 2－(R －r )2＝ 362－(12－6)2＝6 35. ∴V ＝1 2＋Rr ＋r 2)＝1π·6 35·(122＋12×6＋62)＝504 35π(cm 3)．πh (R 3 3＝章末检测一、选择题1．下列推理错误的是( ) A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈l，l⊂α⇒A∈α2．长方体ABCD－A1B1C1D1 中，异面直线AB，A1D1 所成的角等于( ) A．30°B．45°C．60°D．90°3．下列命题正确的是( )A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行4.在空间四边形ABCD 的边AB，BC，CD，DA 上分别取E、F、G、H 四点，如果EF，GH 交于一点P，则( )A．P 一定在直线BD 上B．P 一定在直线AC 上C．P 一定在直线AC 或BD 上D．P 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上5.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( )A．①和②B．②和③C．③和④D．② 和④ 6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥βD．AC⊥β7.如图(1)所示，在正方形SG1G2G3 中，E，F 分别是G1G2 及G2G3 的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3 三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体S－EFG 中必有( )A．SG⊥△EFG 所在平面B．SD⊥△EFG 所在平面C．GF⊥△SEF 所在平面D．GD⊥△SEF 所在平面8.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1 中，若E 是A1C1 的中点，则直线CE 垂直于( )A．AC B．BD C．A1D D．A1D18 题图9 题图9.如图所示，将等腰直角△ABC 沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是( ) A．90°B．60°C．45°D．30°10.如图，ABCD－A1B1C1D1 为正方体，下面结论错误的是( )A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD 与CB1 所成的角为60°10 题图11 题图11.如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1 中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1 与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )A. 63B.2 65C. 155D. 10512.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝2，CC1＝2 2，E 为CC1 的中点，则直线AC1与平面BED 的距离为( )A．2二、填空题D．113.设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB 与CD 交于点S，且点S 位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝.14.下列四个命题：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥α，则B. 3C. 2a 平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α.其中正确命题的序号是．15.如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1 中，当底面四边形A1B1C1D1 满足条件时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．15 题图16 题图16.如图所示，已知矩形ABCD 中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC 边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是．三、解答题17.如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分别为AB、A1D1 的中点，判断MN 与平面A1BC1 的位置关系，为什么？18.ABCD 与ABEF 是两个全等正方形，AM＝FN，其中M∈AC，N∈BF.求证：MN∥平面BCE.19.如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA⊥底面ABCD，E 是PC 的中点．已知AB＝2，AD＝2 2，PA＝2.求：(1)三角形PCD 的面积；(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小．20.如图所示，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E 是PC 的中点．(1)求证：PA∥面BDE；(2)求证：平面PAC⊥平面BDE；(3)若二面角E－BD－C 为30°，求四棱锥P－ABCD 的体积．21.如图，四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA⊥底面ABCDAC＝2 2，PA＝2，E 是PC 上的一点，PE＝2EC.(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小．答案1．C 2.D 3．C 4．B 5．D 6．D 7．A 8．B 9.A 10．D 11．D 12．D 13．914．④15．B1D1⊥A1C1(答案不唯一)16．a>617.解直线MN∥平面A1BC1，M 为AB 的中点，证明如下：∵MD/∈平面A1BC1，ND/∈平面A1BC1.∴MN⊄平面A1BC1.如图，取A1C1 的中点O1，连接NO1、BO1.∵NO1 綊1D1C1，MB 綊1D1C1，2 2∴NO1 綊MB.∴四边形NO1BM 为平行四边形．∴MN∥BO1.又∵BO1⊂平面A1BC1，∴MN∥平面A1BC1.18.证明如图所示，连接AN，延长交BE 的延长线于P，连接CP.∵BE∥AF，∴FN＝AN，NB NP由AC＝BF，AM＝FN 得MC＝NB.∴FN＝AM. NB MC∴AM＝AN，MC NP∴MN∥PC，又PC⊂平面BCE.AC ∴MN ∥平面 BCE .19. 解 (1)因为 PA ⊥底面 ABCD ，所以 PA ⊥CD .又 AD ⊥CD ，所以 CD ⊥平面 PAD ，从而 CD ⊥PD . 因 为 PD ＝ 22＋(2 2)2＝2 3，CD ＝2，所以三角形 PCD 的面积为1×2×2 3＝2 3.2(2)如图，取 PB 中点 F ，连接 EF 、AF ，则 EF ∥BC ，从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与 AE 所成的角．在△AEF 中，由 EF ＝ 2，AF ＝ 2，AE ＝2 知△AEF 是等腰直角三角形， 所以∠AEF ＝45°.因此，异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 45°. 20．(1)证明 连接 OE ，如图所示．∵O 、E 分别为 AC 、PC 的中点，∴OE ∥P A. ∵OE ⊂面 BDE ，PA ⊄面 BDE ， ∴PA ∥面 BDE .(2) 证明 ∵PO ⊥面 ABCD ，∴PO ⊥BD .在正方形 ABCD 中，BD ⊥AC ， 又∵PO ∩AC ＝O ， ∴BD ⊥面 PAC . 又∵BD ⊂面 BDE ， ∴面 PAC ⊥面 BDE .(3) 解 取 OC 中点 F ，连接 EF .∵E 为 PC 中点，∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO . 又∵PO ⊥面 ABCD ，∴EF ⊥面 ABCD . ∵OF ⊥BD ，∴OE ⊥BD .∴∠EOF 为二面角 E －BD －C 的平面角，∴∠EOF ＝30°.在 Rt △OEF 中，OF ＝1OC ＝1 ＝ 2a ，∴EF ＝OF ·tan 30°＝ 6a ，2 4 4 12 ∴OP ＝2EF ＝ 6a .62 3 ∴V P1 6 6－ABCD＝ ×a × ＝ . 361821．(1)证明 因为底面 ABCD 为菱形， 所以 BD ⊥AC .又 PA ⊥底面 ABCD ，所以 PC ⊥BD . 如图，设 AC ∩BD ＝F ，连接 EF .因为 AC ＝2 2，PA ＝2，PE ＝2EC ，故 PC ＝2 3，EC ＝2 3，FC ＝ 2，3从而PC＝ 6，FC AC＝ 6. EC因为PC ＝AC，∠FCE ＝∠PCA ，FC EC所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC ＝∠PAC ＝90°.由此知 PC ⊥EF . 因为 PC 与平面 BED 内两条相交直线 BD ，EF 都垂直， 所以 PC ⊥平面 BED .(2)解 在平面 PAB 内过点 A 作 AG ⊥PB ，G 为垂足． 因为二面角 A －PB －C 为 90°， 所以平面 PAB ⊥平面 PBC . 又平面 PAB ∩平面 PBC ＝PB ， 故 AG ⊥平面 PBC ，AG ⊥BC .因为 BC 与平面 PAB 内两条相交直线 PA ，AG 都垂直， 故 BC ⊥平面 PAB ，于是 BC ⊥AB ， 所以底面 ABCD 为正方形，AD ＝2， PD ＝ PA 2＋AD 2＝2 2. 设 D 到平面 PBC 的距离为 d .因为 AD ∥BC ，且 AD ⊄平面 PBC ，BC ⊂平面 PBC ，故 AD ∥平面 PBC ，A 、D 两点到平面 PBC 的距离相等，即 d ＝AG ＝ 2. 设 PD 与平面 PBC 所成的角为α，则 sin α＝ d ＝1.PD 2 所以 PD 与平面 PBC 所成的角为 30°.章末检测一、选择题1．若直线过点(1,2)，(4,2＋ 3)，则此直线的倾斜角是()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．如果直线 ax ＋2y ＋2＝0 与直线 3x －y －2＝0 平行，则系数 a 为 ( )A ．－3B ．－6C ．－3 2 3．若经过点(3，a )、(－2,0)的直线与经过点(3，－4) 1D.2 3 a 的值为( )且斜率为 的直线垂直，则 2A.5 2B.2 5 C ．10 D ．－104．过点(1,0)且与直线 x －2y －2＝0 平行的直线方程是 ( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝05．实数 x ，y 满足方程 x ＋y －4＝0，则 x 2＋y 2 的最小值为 A ．4 B ．6 C ．8 ()D ．126．点 M (1,2)与直线 l ：2x －4y ＋3＝0 的位置关系是 () A ．M ∈l B ．M ∉l C ．重合 D ．不确定7．直线 mx ＋ny －1＝0 同时过第一、三、四象限的条件是()A ．mn >0B ．mn <0C ．m >0，n <0D ．m <0，n <08. 若点 A (－2，－3)，B (－3，－2)，直线 l 过点 P (1,1)且与线段 AB 相交，则 l 的斜率 k 的取值范围是() A ．k ≤3或 k ≥4B ．k ≤－4或 k ≥－34 3 C.3≤k ≤4 3 4 D ．－4≤k ≤－34 33 49.已知直线 l 1：ax ＋4y －2＝0 与直线 l 2：2x －5y ＋b ＝0 互相垂直，垂足为(1，c )，则 a ＋b ＋c 的值为 ()A ．－4B ．20C ．0D ．2410．过点 P (0,1)且和 A (3,3)，B (5，－1)距离相等的直线的方程是() A ．y ＝1B ．2x ＋y －1＝0C ．y ＝1 或 2x ＋y －1＝0D ．2x ＋y －1＝0 或 2x ＋y ＋1＝011. 直线 mx ＋ny ＋3＝0 在 y 轴上的截距为－3，而且它的倾斜角是直线 3x －y ＝3 3倾斜角的 2 倍，则 ()A ．m ＝－ 3，n ＝1B ．m ＝－ 3，n ＝－3C ．m ＝ 3，n ＝－3D ．m ＝ 3，n ＝10，7 12. 过点A 3 与B (7,0)的直线 l 1 与过点(2,1)，(3，k ＋1)的直线 l 2 和两坐标轴围成的四边 形内接于一个圆，则实数 k 等于 ()A ．－3B ．3C ．－6D ．6二、填空题13．若 O (0,0)，A (4，－1)两点到直线 ax ＋a 2y ＋6＝0 的距离相等，则实数 a ＝.14. 甲船在某港口的东 50 km ，北 30 km 处，乙船在同一港口的东 14 km ，南 18 km 处，那么甲、乙两船的距离是 ．15. 已知直线 l 与直线 y ＝1，x －y －7＝0 分别相交于 P 、Q 两点，线段 PQ 的中点坐标为(1， －1)，那么直线 l 的斜率为．16. 已知实数 x ，y 满足 y ＝－2x ＋8，当 2≤x ≤3 时，则y的最大值为．x三、解答题17. 已知点 M 是直线 l ： 3x －y ＋3＝0 与 x 轴的交点，将直线 l 绕点 M 旋转 30°，求所得到的直线 l ′的方程．18. 求直线 l 1：2x ＋y －4＝0 关于直线 l ：3x ＋4y －1＝0 对称的直线 l 2 的方程．19. 在△ABC 中，已知 A (5，－2)、B (7,3)，且 AC 边的中点 M 在 y 轴上，BC 边的中点 N 在x 轴上，求：(1) 顶点 C 的坐标； (2) 直线 MN 的方程．20. 如图，已知△ABC 中 A (－8,2)，AB 边上的中线 CE 所在直线的方程为x ＋2y －5＝0，AC 边上的中线 BD 所在直线的方程为 2x －5y ＋8＝0， 求直线 BC 的方程．21. 光线沿直线 l 1：x －2y ＋5＝0 射入，遇直线 l ：3x －2y ＋7＝0 后反射，求反射光线所在的直线方程．22. 某房地产公司要在荒地 ABCDE (如图)上划出一块长方形地面(不改变方位)建一幢公寓，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积(精确到 1 m 2)．－5＝0 答案1．A 2.B 3.D 4.A 5.C 6.B 7．C 8．C 9．A 10．C 11．D 12.B 13．－2 或 4 或 6 14．60 km15．－23 16．217．解 在 3x －y ＋3＝0 中，令 y ＝0，得 x ＝－ 3，即 M (－ 3，0)．∵直线 l 的斜率 k ＝ 3，∴其倾斜角θ＝60°.若直线 l 绕点 M 逆时针方向旋转 30°，则直线 l ′的倾斜角为 60°＋30° ＝90°，此时斜率不存在，故其方程为 x ＝－ 3.若直线 l 绕点 M 顺时针方向旋转 30°，则直线 l ′的倾斜角为 60°－30°＝30°，此时斜率为 tan 30°＝ 3，故其方程为 y ＝ 3(x ＋ 3)，3 3 即 x － 3y ＋ 3＝0.综上所述，所求直线方程为 x ＋ 3＝0 或 x － 3y ＋ 3＝0.18．解 设直线 l 2 上的动点 P (x ，y )，直线 l 1 上的点 Q (x 0,4－2x 0)，且 P 、Q 两点关于直线 l ：3x ＋4y －1＝0 对称，则有|3x ＋4y －1| |3x 0＋4(4－2x 0)－1|＝ ， 5 5 y －(4－2x 0)＝4.x －x 03 消去 x 0，得 2x ＋11y ＋16＝0 或 2x ＋y －4＝0(舍)． ∴直线 l 2 的方程为 2x ＋11y ＋16＝0.5＋x 0，y 0－219．解 (1)设 C (x 0，y 0)，则 AC 中点 M 2 2 ，7＋x 0 y 0＋3，BC 中点 N 2 2 .∵M 在 y 轴上，∴5＋x 0＝0，x 0＝－5.2 ∵N 在 x 轴上，∴y 0＋3＝0，y 0＝－3，即 C (－5，－3)．2 (2)∵M 0，－52 ，N (1,0)．∴直线 MN x y 的方程为 ＋ 15＝1. － 2 即 5x －2y －5＝0.x 0－8y 0＋2 ，20. 解 设 B (x 0，y 0)，则 AB 中点 E 的坐标为 2 2 ，由条件可得：2x 0－5y 0＋8＝0x 0－8＋2·y 0＋2 ， 2 2205y 0＋8＝0 得 ， x 0＋2y 0－14＝0x 2 x 0＝6 y 0＝4，即 B (6,4)，同理可求得 C 点的坐标为(5,0)．故所求直线 BC 的方程为y －0＝x －5，即 4x －y －20＝0.4－0 6－521. 解 设直线 x －2y ＋5＝0 上任意一点 P (x ，y )关于直线 l 的对称点为 P ′(x ，y )，则y 0－y＝－2，30 0x ＋x 0，y ＋y 0x 0－x又 PP ′的中点 Q 2 2 在l 上， ∴3 x ＋x 0 y ＋y 0× －2× 2 2 ＋7＝0，y 0－y ＝－2，x 0－x3 由 3×x ＋x 0－(y ＋y )＋7＝0.2 可得 P 点的坐标为x 0＝－5x ＋12y －42，y 0＝12x ＋5y ＋28，13 13代入方程 x －2y ＋5＝0 中，化简得 29x －2y ＋33＝0， ∴所求反射光线所在的直线方程为 29x －2y ＋33＝0.22. 解 在线段 AB 上任取一点 P ，分别向 CD 、DE 作垂线划出一块长方形土地，以 BC ，EA的交点为原点，以 BC ，EA 所在的直线为 x 轴，y 轴，建立直角坐标系，则 AB 的方程为 x ＋ y＝1，30 20 x ，20－2x设 P 3 ，则长方形的面积20－2xS ＝(100－x ) 80－ 3 (0≤x ≤30)．化简得 S ＝－2x 2＋20＋6 000(0≤x ≤30)．3 3 当 x ＝5，y 50＝ 时，S 最大，其最大值为 6 017 m .3章末检测一、选择题1.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0 表示的图形是( )A．以(a，b)为圆心的圆B．以(－a，－b)为圆心的圆C．点(a，b)D．点(－a，－b)2．点P(m,3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2 的位置关系为( ) A．点在圆外B．点在圆内C．点在圆上D．与m 的值有关3.空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和B(x，－1,6)的距离为86，则x 的值为( )A．2 B．－8C．2 或－8 D．8 或－24.若直线x－y＋1＝0 与圆(x－a)2＋y2＝2 有公共点，则实数a 的取值范围是( )A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)5.设A、B 是直线3x＋4y＋2＝0 与圆x2＋y2＋4y＝0 的两个交点，则线段AB 的垂直平分线的方程是( ) A．4x－3y－2＝0 B．4x－3y－6＝0C．3x＋4y＋6＝0 D．3x＋4y＋8＝06．圆x2＋y2－4x＝0 过点P(1，3)的切线方程为( ) A．x＋3y－2＝0 B．x＋3y－4＝0C．x－3y＋4＝0 D．x－3y＋2＝07.对任意的实数k，直线y＝kx＋1 与圆x2＋y2＝2 的位置关系一定是( )A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心8.已知圆O：x2＋y2＝5 和点A(1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A．5 B．10 C.252D.2549．将直线2x－y＋λ＝0 沿x 轴向左平移1 个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0 相切，则实数λ的值为( )A．－3 或7 B．－2 或8 C．0 或10 D．1 或1110．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l 是过点P(3,0)的直线，则( ) A．l 与C 相交B．l 与C 相切C．l 与C 相离D．以上三个选项均有可能11．若直线mx＋2ny－4＝0(m、n∈R，n≠m)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－4＝0 的周长，则mn 的取值范围是( )A．(0,1) B．(0，－1)C．(－∞，1) D．(－∞，－1)12．过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25 的切线l，直线m：ax－3y＝0 与直线l 平行，则直线l 与m 的距离为( )A．4 B．2 C.85D.125二、填空题13.与直线2x＋3y－6＝0 关于点(1，－1)对称的直线方程为．14.过点P(－2,0)作直线l 交圆x2＋y2＝1 于A、B 两点，则|PA|·|PB|＝.15.若垂直于直线2x＋y＝0，且与圆x2＋y2＝5 相切的切线方程为ax＋2y＋c＝0，则ac 的值为．16.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．三、解答题17.自点A(－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0 相切，求光线l 所在直线的方程．18.已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0 与直线x＋2y－3＝0 相交于P，Q 两点，O 为原点，若OP⊥OQ，求实数m 的值．19．已知圆x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋10m2－2m－24＝0(m∈R)．(1)求证：不论m 为何值，圆心在同一直线l 上；(2)与l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；(3)求证：任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等．20.如图，已知圆O：x2＋y2＝1 和定点A(2,1)，由圆O 外一点P(a，b向圆O 引切线PQ，切点为Q，且有|PQ|＝|PA|.(1)求a、b 间关系；(2)求|PQ|的最小值；(3)以P 为圆心作圆，使它与圆O 有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．1＋k 2答案章末检测1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6．D 7．C 8．D 9．A 10．A 11．C 12．A 13．2x ＋3y ＋8＝0 14．3 15．±5 16.4 317. 解 如图所示，已知圆 C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0 关于 x 轴对称的圆为 C 1：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，其圆心 C 1 的坐标为(2，－2)，半径为 1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆 C 1 相切．设l 的方程为 y －3＝k (x ＋3)，即 kx －y ＋3＋3k ＝0. 则|5k ＋5|＝1，即 12k 2＋25k ＋12＝0.∴k 1＝－4，k 2＝－3.3 4则 l 的方程为 4x ＋3y ＋3＝0 或 3x ＋4y －3＝0.18. 解 设P ，Q 两点坐标为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，由 OP ⊥OQ 可得 x 1x 2＋y 1y 2＝0， x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0， 由x ＋2y －3＝0， 可得 5y 2－20y ＋12＋m ＝0.①所以 y 1y 2＝12＋m，y 1＋y 2＝4.5 又 x 1x 2＝(3－2y 1)(3－2y 2)＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝9－24＋4(12＋m )，5所以 x 1x 2＋y 1y 2＝9－24＋4(12＋m )＋12＋m ＝0，5 5 解得 m ＝3.将 m ＝3 代入方程①，可得Δ＝202－4×5×15＝100>0，可知 m ＝3 满足题意，即 3 为所求 m 的值．19．(1)证明 配方得：(x －3m )2＋[y －(m －1)]2＝25，设圆心为(x ，y )，x ＝3m 则 ， y ＝m －1消去 m 得 x －3y －3＝0，则圆心恒在直线 l ：x －3y －3＝0 上．10 22＋12( (2) 解 设与 l 平行的直线是 l 1：x －3y ＋b ＝0，则圆心到直线 l 1 的距离为 d ＝|3m －3(m －1)＋b | |3＋b |∵圆的半径为 r ＝5，∴当 d <r ，即－5 10－3<b <5 10－3 时，直线与圆相交； 当 d ＝r ，即 b ＝±5 10－3 时，直线与圆相切；当 d >r ，即 b <－5 10－3 或 b >5 10－3 时，直线与圆相离．(3) 证明 对于任一条平行于 l 且与圆相交的直线 l 1：x －3y ＋b ＝0，由于圆心到直线 l 1 的距离 d |3＋b |弦长＝2 r 2－d 2且 r 和 d 均为常量．∴任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等． 20．解 (1)连接 OQ 、OP ，则△OQP 为直角三角形，又|PQ |＝|PA |，所以|OP |2＝|OQ |2＋|PQ |2＝1＋|PA |2，所以 a 2＋b 2＝1＋(a －2)2＋(b －1)2，故 2a ＋b －3＝0.(2)由|PQ |2＝|OP |2－1＝a 2＋b 2－1＝a 2＋9－12a ＋4a 2－1＝5a 2－ 12a ＋8＝5(a －1.2)2＋0.8，得|PQ |min ＝2 5.5 (3)以 P 为圆心的圆与圆 O 有公共点，半径最小时为与圆 O 相切的情形，而这些半径的最小值为圆 O 到直线 l 的距离减去圆 O 的半径，圆心 P 为过原点且与 l 垂直的直线 l ′与 l 的交点 P 0，所以 r ＝ 3 －1＝3 5－1，5 又 l ′：x －2y ＝0，联立 l ：2x ＋y －3＝0 得 P 0(6，3)．5 5 所以所求圆的方程为(x －6)2＋(y －3)2＝ 3 5－1)2.5 5 510 10＝ .＝ ，。
苏教版高中必修二数学知识点总结
苏教版高中必修二数学知识点总结苏教版高中必修二数学知识点篇11、柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形.(2)棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.(3)棱台：几何特征：上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成几何特征：底面是全等的圆;母线与轴平行;轴与底面圆的半径垂直;侧面展开图是一个矩形.(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特征：底面是一个圆;母线交于圆锥的顶点;侧面展开图是一个扇形.(6)圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特征：上下底面是两个圆;侧面母线交于原圆锥的顶点;侧面展开图是一个弓形.(7)球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：球的截面是圆;球面上任意一点到球心的距离等于半径.2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下)注：正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和宽度.3、空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点：原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半.4、柱体、锥体、台体的表面积与体积(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和.(2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,为斜高,l为母线)(3)柱体、锥体、台体的体积公式苏教版高中必修二数学知识点篇2直线与方程(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°(2)直线的斜率定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.当时,;当时,;当时,不存在.过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.(3)直线方程点斜式：直线斜率k,且过点注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b两点式：()直线两点,截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.一般式：(A,B不全为0)注意：各式的适用范围特殊的方程如：(4)平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(二)垂直直线系垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(三)过定点的直线系()斜率为k的直线系：,直线过定点;()过两条直线,的交点的直线系方程为(为参数),其中直线不在直线系中.(6)两直线平行与垂直注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否.(7)两条直线的交点相交交点坐标即方程组的一组解.方程组无解;方程组有无数解与重合(8)两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点(9)点到直线距离公式：一点到直线的距离(10)两平行直线距离公式在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解.苏教版高中必修二数学知识点篇3圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径.2、圆的方程(1)标准方程,圆心,半径为r;(2)一般方程当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为当时,表示一个点;当时,方程不表示任何图形.(3)求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置.苏教版高中必修二数学知识点篇4直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况：(1)设直线,圆,圆心到l的距离为,则有;;(2)过圆外一点的切线：k不存在,验证是否成立k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r24、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定.设圆,两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定.当时两圆外离,此时有公切线四条;当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;当时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;当时,两圆内含;当时,为同心圆.注意：已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线5、空间点、直线、平面的位置关系公理1：如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内.应用：判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面α和β相交,交线是a,记作α∩β=a.符号语言：公理2的作用：它是判定两个平面相交的方法.它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点.它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据.公理3：经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.推论：一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面.公理3及其推论作用：它是空间内确定平面的依据它是证明平面重合的依据公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行苏教版高中必修二数学知识点篇5空间直线与直线之间的位置关系异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线异面直线性质：既不平行,又不相交.异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线异面直线所成角：作平行,令两线相交,所得锐角或直角,即所成角.两条异面直线所成角的范围是(0°,90°],若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直.求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上.B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角(7)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补.(8)空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内——有无数个公共点.三种位置关系的符号表示：aαa∩α=Aaα(9)平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点;αβ相交——有一条公共直线.α∩β=b2、空间中的平行问题(1)直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.线线平行线面平行线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.线面平行线线平行(2)平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理(1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行(线面平行→面面平行),(2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行.(线线平行→面面平行),(3)垂直于同一条直线的两个平面平行,两个平面平行的性质定理(1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行.(面面平行→线面平行)(2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行.(面面平行→线线平行)3、空间中的垂直问题(1)线线、面面、线面垂直的定义两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直.线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直.平面和平面垂直：如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角),就说这两个平面垂直.(2)垂直关系的判定和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面.性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.性质定理：如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.4、空间角问题(1)直线与直线所成的角两平行直线所成的角：规定为.两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角.两条异面直线所成的角：过空间任意一点O,分别作与两条异面直线a,b平行的直线,形成两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角.(2)直线和平面所成的角平面的平行线与平面所成的角：规定为.平面的垂线与平面所成的角：规定为.平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作,二证,三计算”.在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线,在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息：(1)斜线上一点到面的垂线;(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线.(3)二面角和二面角的平面角二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角.直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角必修二知识点总结：解三角形(1)正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.(2)应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.苏教版高中必修二数学知识点篇61、直线方程形式一般式：Ax+By+C=0(AB≠0)斜截式：y=kx+b(k是斜率b是x轴截距)点斜式：y-y1=k(x-x1)(直线过定点(x1,y1))两点式：(y-y1)/(x-x1)=(y-y2)/(x-x2)(直线过定点(x1,y1)，(x2,y2))截距式：x/a+y/b=1(a是x轴截距,b是y轴截距)做题过程中，点斜式和斜截式用的最多(两种合占90%以上)，一般式属于中间过渡形态。
【金版学案】高一数学苏教版必修2习题：章末知识整合 Word版含答案[ 高考]
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章末知识整合一、数形结合思想的应用若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ ＝120°(其中O为原点)，则k的值为________．解析：本小题考查直线与圆的位置关系和数形结合的方法．y＝kx＋1恒过点(0，1)，结合图知，直线倾斜角为120°或60°.∴k＝3或－ 3.答案：3或－ 3规律总结：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将抽象的数学语言和直观的图形相结合，使抽象思维和形象思维相结合．1．以形助数，借助图形的性质，使有关“数”的问题直接形象化，从而探索“数”的规律．比如，研究两曲线的位置关系，借助图形使方程间关系具体化；过定点的直线系与某确定的直线或圆相交时，求直线系斜率的范围，图形可帮助找到斜率的边界取值，从而简化运算；对于一些求最值的问题，可构造出适合题意的图形，解题中把代数问题几何化．2．以数助形，借助数式的推理，使有关“形”的问题数量化，从而准确揭示“形”的性质．►变式训练1．若过定点M(－1，0)且斜率为k的直线与圆x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是________．解析：∵x2＋4x＋y2－5＝0，∴(x＋2)2＋y2＝9是以(－2，0)为圆心，以3为半径的圆．如图所示：令x＝0得y＝±5.∴点C的坐标为(0，5)．又点M的坐标为(－1，0)，∴kMC＝5－00－（－1）＝ 5.结合图形得0<k< 5.答案：(0，5)2．当P (m ，n )为圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点时，若不等式m ＋n ＋c ≥0恒成立，则c 的取值范围是________．解析：方法一 ∵P (m ，n )在已知圆x 2＋(y －1)2＝1上，且使m ＋n ＋c ≥0恒成立，即说明圆在不等式x ＋y ＋c ≥0表示的区域中，如图，－c 为直线x ＋y ＋c ＝0在y 轴上的截距，可求出切线l 的截距为－(2－1)，∴－c ≤－(2－1)．∴c ≥2－1.方法二 P (m ，n )为圆x 2＋(y －1)2＝1上的点，∴⎩⎨⎧m ＝cos α，n ＝1＋sin α.∴m ＋n ＝1＋cos α＋sin α. ∴－2＋1≤m ＋n ≤2＋1.∴－(2＋1)≤－(m ＋n )≤2－1.若不等式m ＋n ＋c ≥0恒成立，∴c ≥－(m ＋n )．∴c ≥2－1.答案：[2－1，＋∞)二、函数与方程思想的应用已知F(0，1)，直线l：y＝－2，圆C：x2＋(y－3)2＝1.(1)若动点M到点F的距离比它到直线l的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；(2)过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求S的最小值．分析：考虑四边形PACB的面积最小，首先应建立目标函数，通过函数解决问题．解析：(1)设动点M(x，y)，据题意有（x－0）2＋（y－1）2＋1＝y－(－2)，化简得x2＝4y.(2)设动点P(x0，y0)，考虑到切线长相等，所以四边形PACB的面积S＝2S△PAC＝PA·AC，又由于圆C的半径为1，所以S＝PA＝PC2－1＝（x0－0）2＋（y0－3）2－1.因为x02＝4y0，所以S ＝y02－2y0＋8＝（y0－1）2＋7≥7，当且仅当y0＝1，x0＝±2时成立．即S的最小值为7.规律总结：1.函数思想的实质是用联系和变化的观点提出问题的数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用有关函数的性质(定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、图象等)，使问题得到解决．2．方程的思想多用于曲线方程的求解(如求直线的方程、圆的方程，通常构造含确定曲线方程形态的特征常数的方程或方程组)；两直线位置关系的判定；圆的切线方程的求解等．3．方程和函数这两种思想在本章有机地结合，帮助我们更好地解决了两曲线的位置关系及求函数的值域问题．►变式训练3．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0.(1)当t 为何值时，方程表示圆？(2)当t 为何值时，方程表示的圆的半径最大？并求出半径最大时圆的方程．解析：(1)方程表示圆的条件是[－2(t ＋3)]2＋[2(1－4t 2)]2－4(16t 4＋9)>0，即(t －1)(7t ＋1)<0，解得－17<t <1，故当－17<t <1，方程表示圆．(2)由(1)知，当－17<t <1时，方程表示圆，且其半径 r ＝12[－2（t ＋3）]2＋[2（1－4t 2）]2－4（16t 4＋9）＝12－4（7t 2－6t －1）＝－7t 2＋6t ＋1 ＝－7⎝ ⎛⎭⎪⎫t －372＋167. 所以当t ＝37时，半径r 有最大值，且r max ＝167＝477，此时圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫247，－1349，故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2472＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋13492＝167.三、转化与化归思想的应用圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是________． 解析：设圆心与直线的距离为d ，d ＝|2＋2－14|2＝52，R ＝32，∴圆上点到直线的距离最大值为d ＋R ＝82，最小值d －R ＝2 2.∴(d ＋R )－(d －R )＝82－22＝6 2.答案：6 2规律总结：通过各种变换，把复杂或未知转化为简单或已知，达到化归的目的．1．运用恒等变换与同解变换，可以把角的关系变换为斜率的关系，把两直线的位置关系变换成斜率与截距间的关系，把点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系变换为两点间距离与半径的关系等．2．运用“实际问题—数学问题”的变换，构建数学模型，通过数学知识寻求实际问题的答案，体现数学的作用，同时发展学生解决问题的能力．3．通过化抽象为具体，化数为形，化形为数，化一般为特殊的数学思想综合处理直线和圆方程中的各类问题．►变式训练4．若线段OQ在xOy平面及yOz平面上的投影长分别为22和17，试问线段OQ最长可为多少？最短可为多少？解析：设Q(u，v，w)，据题意则有u2＋v2＝22，v2＋w2＝17，所以u2＝8－v2，w2＝17－v2.而OQ＝u2＋v2＋w2，从而有u2＋v2＋w2＝25－v2.因为0≤v2≤8，故17≤OQ≤5.∴线段OQ最长可为5，最短可为17.5．若直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若MN≥23，则k的取值范围为________．解析：圆心(2，3)到直线y ＝kx ＋2的距离为：|2k －1|k 2＋1，∵MN ≥23，∴4－（2k －1）2k 2＋1≥3.即（2k －1）2k 2＋1≤1.解得0≤k ≤43. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43四、分类讨论思想的应用设A (1，－2，x )、B (x ，3，0)、C (7，x ，6)，且A 、B 、C 三点构成直角三角形，求x 的值．解析：由已知条件知AB 2＝(x －1)2＋(3＋2)2＋(0－x )2＝2x 2－2x ＋26，BC 2＝(7－x )2＋(x －3)2＋(6－0)2＝2x 2－20x ＋94，CA 2＝(1－7)2＋(2＋x )2＋(x －6)2＝2x 2－8x ＋76，若AB 2＋BC 2＝CA 2，则4x2－22x＋120＝2x2－8x＋76，即x2－7x＋22＝0，无实数解．若AB2＋CA2＝BC2，则4x2－10x＋102＝2x2－20x＋94，即x2＋5x＋4＝0，解之得x1＝－4，x2＝－1.若BC2＋CA2＝AB2，则4x2－28x＋170＝2x2－2x＋26，即x2－13x＋72＝0，无实数解．综上可知，实数x的值为－4或－1.规律总结：根据对象的属性，选择适当的标准，把研究对象不重复、不遗漏地划分为若干类，对于培养学生综合运用基础知识能力，严谨、周密的分析能力，良好的思维素质都有重要作用．1．涉及的数学概念是分类定义的，应用的定理、公式，运算性质是分类给出的，解题中必然引起讨论．如求直线的斜率问题，用斜率表示的直线方程，用二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆等都要分类讨论．2．数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同结果，解题中需讨论，如判定两曲线的位置关系等．►变式训练6．设A (－c ，0)，B (c ，0)(c >0)为两定点，动点P 到点A 的距离与到点B 的距离的比为定值a (a >0)，求点P 的轨迹．解析：设动点P 的坐标为(x ，y )，由PA PB ＝a (a >0)，得（x ＋c ）2＋y 2（x －c ）2＋y 2＝a ，化简得 (1－a 2)x 2＋2c (1＋a 2)x ＋c 2(1－a 2)＋(1－a 2)y 2＝0.当a ≠1时，得x 2＋2c （a 2＋1）1－a 2x ＋c 2＋y 2＝0， 整理得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －c （a 2＋1）a 2－12＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2ac a 2－12. 当a ＝1时，化简得x ＝0. 所以当a ≠1时，点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2－1c ，0为圆心， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2ac a 2－1为半径的圆． 当a ＝1时，点P 的轨迹为y 轴．7．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0无公共点，求实数m 的取值范围．解析：把圆C 1和圆C 2的方程化为标准方程，得：C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，专业文档C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.(1)若圆C1与圆C2内含，则有：（m＋1）2＋（m＋2）2<3－2.即m2＋3m＋2<0.解得－2<m<－1.(2)若圆C1与圆C2外离，则有：（m＋1）2＋（m＋2）2>3＋2.即m2＋3m－10>0.解得m<－5或m>2.综合(1)、(2)可知m的取值范围是(－∞，－5)∪(－2，－1)∪(2，＋∞)．珍贵文档。
苏教版高中数学必修2配套练习参考答案解析几何全部
解析几何部分（共：1—17课时及每章评价）参考答案：第1课时 直线的斜率（1）1．D 2．C 3．D 4．4- 5．1k ≤ 6．可以是(2,4)，不惟一． 7．由题意，()132212a -=++，∴2a =-．8．当1m =时，直线l 与x 轴垂直，此时直线斜率不存在； 当1m ≠时，直线斜率34111k m m-==--． 9．在直线斜率为0，OC 边所在直线斜率不存在，BC 边所在直线斜率为43-．10．由AB AC k k ≠，可得1112383k --≠---， ∴1k ≠．第2课时 直线的斜率（2）1．C 2．B 3．D 4．60o． 5．6 6． (0,2)7． 045α≤<o o 或135180α<<o o．8．倾斜角为45o时斜率为1，倾斜角为135o时斜率为1-．9．直线l 上任一点(,)M m n 经平移后得(3,1)N m n -+在l 上，由两点的斜率公式得(1)1(3)3l n n k m m +-==---．10．直线2l 的倾斜角为180(6015)135α=--=oooo， ∴2tan135tan 451k ==-=-oo．第3课时 直线的方程（1）1．C 2．D 3．A 4．D 5．（1）4y =-；（2）23y x =-- 6．1y +6y x =-+7．由直线1l 的方程2y =+可得1l 的倾斜角为60o ，∴直线l 的倾斜角为30o，斜率为tan 303=o，所以，直线l 的方程为12)y x -=-，即1y x =-+．8． 1:1:(2)-9．由直线1l的方程20x y -+=可求得1l 的斜率为1， ∴倾斜角为145α=o，由图可得2l 的倾斜角2115αα=+o∴直线2l 的斜率为tan 60=o， ∴直线2l 的方程为2)y x -=-0y -=．10．设直线方程为34y x b =+， 令0x =，得y b =；令0y =，得43x b =-， 由题意，14||||623b b ⨯-⨯=，29b =，∴3b =±， 所以，直线l 的方程为334y x =±．第4课时 直线的方程（2）1．D 2．D 3．B 4． 2y x =或1y x =+ 5．3 6． 10x y +-=或32120x y -+=7．设矩形的第四个顶点为C ，由图可得(8,5)C ， ∴对角线OC 所在直线方程为005080y x --=--，即580x y -=，AB 所在直线方程为185x y+=，即58400x y +-=． 8．当截距都为0时，直线经过原点，直线斜率为43-，方程为43y x =-；当截距都不为0时，设直线方程为1x ya a +=， 将点(3,4)-代入直线方程得341a a-+=，解得1a =-， 所以，直线方程为430x y +=或10x y ++=．9．当0t =时，20Q =；当50t =时，0Q =，故直线方程是15020t Q +=．图略． 10．直线AB 的方程为3x =，直线AC 的方程为123x y+=，直线x a =与,AB AC 的交点分别为(,3)a 、63(,)2a a -，又∵92ABC S ∆=，∴1639(3)224a a -⋅⋅-=，∴a =（舍负）．第5课时 直线的方程（3）1．B 2．D 3．B 4．D 5． 350x y -+= 6．24- 7．当2a =时，直线方程为2x =不过第二象限，满足题意；当20a -≠即2a ≠时，直线方程可化为1(4)2y x a a =+--， 由题意得2010240a a a -≠⎧⎪⎪>⎨-⎪-≤⎪⎩，解得24a <≤，综上可得，实数a 的取值范围是24a ≤≤． 8．（1）由题意得：22(23)(21)m m m m ---=+-， 即2340m m --=，解得43m =或1-（舍） （2）由题意得：22(23)(21)260m m m m m ----+--+=，即23100m m +-=，解得2m =-或53． 9．方法1：取1m =，得直线方程为4y =-， 取12m =，得直线方程为9x =， 显然，两直线交点坐标为(9,4)P -，将P 点坐标分别代入原方程得(1)9(21)(4)5m m m -⨯+-⨯-=-恒成立，所以，不论m 取什么实数，直线(1)m x -+(21)5m y m -=-总经过点(9,4)P -．方法2：原方程可整理得(21)(5)0x y m x y +--+-=，当21050x y x y +-=⎧⎨+-=⎩成立，即94x y =⎧⎨=-⎩时，原方程对任意实数m 都成立，∴不论m 取什么实数，直线过定点(9,4)-．10．方程0x y k +-=可变形为23)9k =-， 当90k -=即9k =时，方程表示一条直线90x y +-=； 当90k -<即9k >时，方程不能表示直线；当90k ->即9k <3= ∵方程仅表示一条直线，∴30+>且30-<，即0k <．综上可得，实数k 的取值范围为9k =或0k <．第6课 两直线的交点1．D 2．D 3．B 4．B 5．－3 6．6或-6 7．10，-12，-2 8．32190x y -+=9．4m =，或1m =-，或1m =．（提示：如果三条直线不能围成三角形，则有两种情形，一是其中有平行的直线，二是三条直线交于一点．） 10．(1)表示的图形是经过两直线210x y -+=和2390x y ++=的交点(3,1)--的直线（不包括直线2390x y ++=）．(2)30x y -=或40x y ++=．（提示：可设所求直线方程为21(239)0x y x y λ-++++=，即(21)(32)910x y λλλ++-++=．若截距为０，则910λ+=，即19λ=-，此时直线方程为30x y -=；若截距不为０，则21132λλ+-=--，即3λ=，此时直线方程为40x y ++=．） 11．直线l 的方程为60x y += 12．22b -≤≤（数形结合）第7课 两直线的平行与垂直（1） 1．D 2．B 3．C 4．平行, 不平行5．平行或重合 6．-2 ， 0或10 7．四边形ABCD 是平行四边形． 8．32A C =≠-且9．2,2m n == 10．20x y += 11. 3440x y +-=12.860860x y x y -+=--=或(提示：Q 所求直线与已知直线l ：8610x y -+=平行，∴设所求直线的方程为860x y λ-+=，与两坐标轴的交点为λ（-，0）8，λ（0，）6．又该直线与两坐标轴围成的三角形面积为８，∴1||||8286λλ⋅-⋅=，λ∴=±，故所求直线方程为860x y -+=或860x y --= 第8课 两直线的平行与垂直（2）1. B2. C3. C4. C5. B6. 垂直，不垂直7. 32y x =+8. 2，-2，09. 20x y -= 10. 310x y ++=和330x y -+= 11. 1a =-或92a =-12.270x y +-=,10x y -+=,250x y +-=(提示:由于点A 的坐标不满足所给的两条高所在的直线方程,所以所给的两条高线方程是过顶点B ,C 的,于是2AB k =-,1AC k =,即可求出边AB ,AC 所在的直线方程分别为270x y +-=,10x y -+=.再由直线AB 及过点B 的高,即可求出点B 的坐标(3,1),由直线AC 及过点C 的高,即可求出点C 的坐标(1,2).于是边BC 所在的直线方程为250x y +-=.)第9课 平面上两点间的距离１．C 2．C 3．C 4．A5．B 6．22y y =-=-或 7．47240x y +-= 8．23120x y +-=912|x x - 10．13410x x y =++=或 11．5150x y --=12．(1) (2,0)P -；(2) (13,0)P ，此时||PM PN -． 13．54x =（提示：y =数形结合，设(1,1),(2,3),(,0)A B P x ，则y PA PB =+）第10课时 点到直线的距离（1）１．()A ２．()C ３．()D ４．()A ５．()C ６．()A ７．5８．2a =或463９．设所求直线方程为340x y m -+=，=解得：14m =或12m =-（舍），所以，所求的直线方程为：34140x y -+=．１０．由题意第一、三象限角平分线的方程为y x =，设00(,)P x y ，则00x y =，即00(,)P x x ．= 解得：01x =或09x =-，所以点P 的坐标为：(1,1)或(9,9)--．11．由题意：当直线l 在两坐标轴上的截距为0时， 设l 的方程为y kx =（截距为0且斜率不存在时不符合题意）=k = 122-±，所以直线l 的方程为：122y x -±=． 当直线l 在两坐标轴上的截距不为0时，设l 的方程为1x ya a+=，即0x y a +-=，=a =13或1a =， 所以直线l 的方程为：130x y +-=或10x y +-=．综上所述：直线l 的方程为：122y x -±=或130x y +-=或10x y +-=． １２．设(,1)M t t -，则M 到两平行线段的距离相等，∴43t =，即41(,)33M ∵直线l 过(1,1)P -，41(,)33M 两点，所以，l 的方程为2750x y +-=．第11课时 点到直线的距离（2）１．()B ２．()C ３．()A ４．18 ５．(1,2)或(2,1)- ６．34210x y +-=７．320８．4310x y +-=９．设l ：320x y C -+=则1d =2d =1221d d =，所以|1|2|13|1C C +=+，解得：25C =-或9-， 所以l 的方程为：32250x y --=或3290x y --=．１０．证明：设(,)P a b ，则221a b -=P 到直线1l ，2l的距离分别为1d =，2d = ∴2212||122a b d d -==g． １１．设(,)M x y 为A ∠的平分线AD 上任意一点，由已知可求得,AC AB 边所在直线方程分别为5120x y -+=，5120x y --=，由角平分线的性质得：=∴512512x y x y -+=--或512(512)x y x y -+=---， 即6y x =-+或y x =，由图知：AC AD AB k k k <<，∴155AD k <<，∴6y x =-+不合题意，舍去，所以，A ∠的平分线AD 所在直线方程y x =． １２．设CD 所在直线方程为30x y m ++=，=，解得7m =或5m =-（舍）．所以CD 所在直线方程为370x y ++=．因为AB BC ⊥所以设BC 所在直线方程为30x y n -+=，=，解得9n =或3n =-．经检验BC 所在直线方程为390x y -+=，AD 所在直线方程为330x y --=．综上所述，其它三边所在直线方程为370x y ++=，390x y -+=，330x y --=．第12课时 圆的方程（1）１．()B ２．()C ３．()B ４．()C ５．()C ６．()B ７．（1）0a =；（2）||b r =；（3）310a b +-=． ８．22(6)36x y -+=９．C e 的圆心为(3,2)C -，C 'e 的圆心与(3,2)C -关于10x y -+=对称， ∴设C 'e 的圆心为(,)C a b '则3210222113a b b a +-⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=-⎪-⎩g ，解得：34a b =-⎧⎨=⎩，C 'e 的标准方程为：22(3)(4)36x y ++-=．１０．由题意可设C e 的圆心为(,)C a b 半径为r ，则||2a =当2a =时，C e ：222(2)()x y b r -+-= 因为C e 与直线20x y +-=相切于点(1,1)P ， ∴222(12)(1)b r -+-= ①且1(1)112b--=--g ② 联立方程组，解得：2b =，r =所以C e 的方程为：22(2)(2)2x y -+-=同理，当2a =-时，C e 的方程为：22(2)(2)18x y +++=综上所述：C e 的方程为：22(2)(2)2x y -+-=或22(2)(2)18x y +++=１１．由题意设C e 的方程为222()()x a y b r -+-=，由C e 经过点(2,1)-，得：222(2)(1)a b r -+--=①由C e 与直线10x y --=r =② 由圆心在直线2y x =-上，得：2b a =-③联立方程组，解得：918a b r ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩，或12a b r ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩所以，C e 的方程为：22(9)(18)338x y -++=或22(1)(2)2x y -++=．１２．设⊙C 的方程为：222()()x a y b r -+-=，∵⊙C 与x 轴相切，所以22r b =①，又∵圆心(,)C a b 到直线0x y -=的距离为：d =∴222r +=，即 22()142a b r -+=②，又圆心在直线30x y -=上，所以30a b -=③联立方程组，解得133a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩或133a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以C e 的方程为：22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++=．第13课时 圆的方程（2）１．()C ２．()D ３．()B ４．12k <-５．2 ６．2π７．5，5 ８．2或23-９．圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，将(0,0)，(1,1)两点坐标代入方程分别得0F = ①20D E F +++= ②又∵圆心(,)22D E--在直线30x y --=上，∴60E D --= ③解由①②③组成的方程组得4,2,0D E F =-==，∴所求圆方程为22420x y x y +-+=，圆心(2,1)-１０．证明：将034222=+--+y x y x 化为22(1)(2)2x y -+-= 则点与圆心之间的距离的平方为222(41)(2)17125m m m m -+-=-+ 又∵圆的半径的平方为2，∴2171252m m -+-217123m m =-+ 令2()17123f x m m =-+0∆<，即2()17123f x m m =-+恒大于0，即点与圆心之间的距离恒大于圆的半径，所以无论实数m 如何变化，点(4,)m m 都在圆034222=+--+y x y x 之外．11．设所求圆的方程为： 022=++++F Ey Dx y x令0y =，得20x Dx F ++=．由韦达定理，得12x x D +=-，12x x F =由12||x x -=6=，∴2436D F -=． 将(1,2)A ，(3,4)B 分别代入022=++++F Ey Dx y x ，得25D E F ++=-，3425D E F ++=-．联立方程组，解得12D =，22E =-，27F =或8D =-，2E =-，7F =所以所求的圆的方程为221222270x y x y ++-+=或228270x y x y +--+=12．证明：由题意22210250x y ax ay a ++---=，∴2225()()102524a a x a y a ++-=++ 令25()10254a f a a =++，则0∆<， ∴()0f a >即22(25)(210)0x y a x y +-+--=，表示圆心为(,)2a a -若22(25)(210)0x y a x y +-+--=对任意a 成立，则222502100x y x y ⎧+-=⎨--=⎩，解得34x y =⎧⎨=-⎩或5x y =⎧⎨=⎩，即圆恒过定点(3,4)-，(5,0)．第14课时 直线与圆的位置关系1．C 2．C 3．D 4．B 5．34250x y +-= 6．40x y +±=7 8． 247200x y --=和2x =；7 9．22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++=． 10．16m =-．11． 4330x y ++=或3430x y +-=．第15课时 圆与圆的位置关系 ⒈B ⒉B 3．D 4．A5．20x y -+= 6．260x y -+= ，6 7．(1,1) 8．22(3)(1)5x y -+-= 9．224(1)(2)5x y ++-=10．（1）240x y -+=； （2）22(2)(1)5x y ++-=； （3）22(3)(3)10x y ++-=． 11． 3r =±．第16课时 空间直角坐标系1．B ⒉C 3．C 4．D5．(2,0,0)、(0,3,0)- 6．(0,4,2)7．442110x y z ++-=8．略 9．略10．提示（1）只要写出的三点的纵坐标和竖坐标分别相等即可；（2）只要写出的三点的竖坐标相等即可．11．111212121x x y y z z x x y y z z ---==---21(x x ≠且21y y ≠且21)z z ≠．第17课时 空间两点间的距离1．D 2．D 3．A 4．A 5．(0,2,0) 6．222(1)(2)(4)9x y z -+++-=7．7 8．(1,0,0)P ± 9．[提示]建立空间直角坐标系，由中点坐标公式求出,P Q 两点坐标，用两点间距离公式即可求得线段PQ2．10．（1）(1,2,1)[提示]设重心G 的坐标为(,,)x y z ，则222GA GB GC ++2233x y =+22236126643(1)3(2)z x y z x y +---+=-+-23(1)46z +-+．当1,2,1x y z ===时，点G 到,,A B C 三点的距离的平方和最小，所以重心的坐标为(1,2,1)．（2）1,8,9x y z ===．第二章《解析几何初步》评价与检测参考答案：1．C 2．D 3．B 4．B 526．0d ≤≤ 7．4个 8．60 9．67250x y +-= 10．2750x y +-= 11．22(2)(2)25x y -++= 12．(1,0)A -，C (5,6)- 13．B14．C 15．A 16．D 17．11(,)102- 18．4a =±19．20,x y y x ++==，y x = 20．10 21．解：设与51270x y ++=平行的边所在直线方程为5120x y m ++=(7)m ≠，则=解得19m =-， ∴直线方程为512190x y +-=，又可设与51270x y ++=垂直的边所在直线方程为1250x y n -+=()n R ∈，则=解得100n=或74，∴另两边所在直线方程为1251000x y-+=，125740x y-+=22．解：设()2,1B-，()4,2C，()2,3D第四个顶点的坐标为(),A m n.则有BC所在直线的斜率为32BCk=；CD所在直线的斜率为12CDk=-；BD所在直线的斜率不存在.①若BD∥AC，BC∥AD，则AC所在直线的斜率不存在.4m∴=.又BC ADk k=，即33242n-=-，6n∴=.∴平行四边形第四个顶点的坐标为()4,6.②若BD∥AC，CD∥BA，则AC所在直线的斜率不存在.4m∴=.又CD BAk k=，即()11242n---=-，2n∴=-.∴平行四边形第四个顶点的坐标为()4,2-.③若CD∥BA，BC∥AD，则,CD BABC ADk kk k=⎧⎨=⎩()11223322nmmnnm--⎧-=⎪=⎧⎪-⇒⇒⎨⎨=-⎩⎪=⎪-⎩∴平行四边形第四个顶点的坐标为()0,0.综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标可为()4,6或()4,2-或()0,0.23．解：设1122(,),(,)P x y Q x y，由2223060x yx y x y c+-=⎧⎨++-+=⎩消去x得2520120y y c-++=，∴由韦达定理知：12124125y y c y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩Q OP OQ ⊥，12121y y x x ∴⋅=-， 即12120x x y y +=，又12121212(32)(32)96()4x x y y y y y y =--=-++∴121296()50y y y y -++=， 也就是12964505c +-⨯+⨯=解之，得3c =． 从而所求圆的方程为22630x y x y ++-+=24．解：设1122(,),(,)P x y Q x y ，则1|OP x ==，2|OQ x ==．,P Q Q 为直线与圆的交点，∴ 12,x x 是方程22(1)(86)210x m m x ++-+=的两根， ∴12221,1x x m=+ ∴ 2221(1)211OP OQ m m ⋅=+=+。
【金版学案】苏教版高中数学必修2练习：章末知识整合2(含答案解析)
章末知识整合
一、数形结合思想“数形结合”是把代数中的“数”与几何中的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法，是人们的一种普遍思维
习惯在数学上的具体表现．数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”
和以“数”解“形”．解析几何研究问题的主要方法——坐标法，就是数形结合的典范．在本章的学习中主要体现在以下两个方面： (1)直线的方程中有很
多概念，如距离、倾斜角、斜率等都很容易转化成“形”，因此题目中涉及这
些问题时可以尝试用数形结合来解决． (2)与圆有关的最值问题、直线与圆的
交点个数、圆与圆的位置关系等都可能用到数形结合思想． [例1] 已知圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：x2＋(y－8)2＝4，直线y＝与圆相交或相切)，求实数b的
取值范围．解：画出示意图如图所示， 5x＋b在两圆之间(不2 直线y＝5x＋b，即5x－2y＋2b＝0. 2|2b|＝2， 5＋4当直线与圆C1相切时，解得b＝±3；|－16＋2b|当直线与圆C2相切时，＝2，解得b＝5或b＝11. 5＋4结合图形可知3<b。
苏教版高中数学必修二第1章章末总结.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第一章章末总结一、空间几何体的画法及表面积、体积计算立体图形和平面图形的转化是立体几何主要的考点．一方面，由几何体能够画出其平面图，如三视图、直观图等；另一方面，由三视图能够想象出几何体的形状，并能研究其表面积、体积等．例1一几何体的三视图如图所示，尺寸如图中所示．(1)说出该几何体的结构特征并画出直观图；(2)计算该几何体的体积与表面积．变式训练1若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为____________．例2梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图(斜二测)，若A1D1∥O1y1，A1B1∥C1D1，A1B1＝2，C1D1＝3，A1D1＝1，则ABCD的面积是________．变式训练2等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为______．二、平面基本性质的应用1．关于多点共线问题往往需证明这些点在某两个平面的交线上．2．多线共点问题的证明往往让其他线都过某两条线的交点．3．多点共面问题的证明往往让其他点在某三点或四点确定的平面上．4．多线共面问题的证明往往让其他线在某两条直线确定的平面内．例3如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2．(2)GE与HF的交点在直线AC上．变式训练3如图，四边形ABB′A′，BCC′B′，CAA′C′都是梯形．求证：三直线AA′，BB′，CC′相交于一点．三、直线、平面的位置关系1．空间平行关系的判定方法：(1)判定线线平行的方法．①利用线线平行的定义证共面而且无公共点(结合反证法)；②利用平行公理4；③利用线面平行性质定理；④利用线面垂直的性质定理(若a⊥α，b⊥α，则a∥b)；⑤利用面面平行性质定理(若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b)．(2)判断线面平行的方法：①线面平行的定义(无公共点)；②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；③面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；④面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．(3)面面平行的判定方法有：①平面平行的定义(无公共点)；②判定定理(若a∥β，b∥β，a、b⊂α，且a∩b＝A，则α∥β)；③判定定理的推论(若a∥a′，b∥b′，a⊂α，b⊂α且a∩b＝A，a′⊂β，b′⊂β，且a′∩b′＝A′，则α∥β)；④线面垂直性质定理(若a⊥α，a⊥β，则α∥β)；⑤平面平行的性质(传递性：α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．平行关系的转化是：2．空间垂直关系的判定方法：(1)判定线线垂直的方法有：①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；②线面垂直的性质(若a⊥α，b⊂α，则a⊥b)；③面面垂直的定义：若两平面垂直，则两平面相交形成的二面角的平面角为90°．(2)判定线面垂直的方法有：①线面垂直定义(一般不易验证任意性)；②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α)；③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)；④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α)；⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ)．(3)面面垂直的判定方法有：①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．垂直关系的转化是：例4如图所示，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N的平面交PC于M，E为AD的中点．求证：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN．变式训练4 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，过E 点作EF ⊥PB 交PB 于点F ．求证：(1)PA ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD ．第一章 章末总结 答案例1解 (1)由三视图知该几何体是由一个圆柱与一个等底圆锥拼接而成的组合体，其直观图如图所示．(2)由三视图中尺寸知，组合体下部是底面直径为8 cm ，高为20 cm 的圆柱，上部为底面直径为8 cm ，母线长为5 cm 的圆锥．易求得圆锥高h ＝52－42＝3(cm )，∴体积V ＝π·42·20＋13π·42·3＝336π(cm 3)，表面积S ＝π·42＋2π·4·20＋π·4·5＝196π(cm 2)．∴该几何体的体积为336π cm 3，表面积为196π cm 2．点评 三视图画法：它包括主视图、左视图、俯视图三种．画图时要遵循“高平齐、长对正、宽相等”的原则，同时还要注意被挡住的轮廓线画成虚线．变式训练1 36 3解析 观察三视图得棱柱底面正三角形的高和侧棱长．注意图中数据33是底面正三角形的高，不是边长．棱柱的侧棱长为4，底面正三角形的高为33，设边长为a ，则32a ＝33，所以a ＝6．所以底面积为34a 2＝93．所以棱柱的体积为93×4＝363．例2 5解析 把图还原，ABCD 为直角梯形，AB ＝A 1B 1＝2，CD ＝C 1D 1＝3，AD ＝2A 1D 1＝2．∴S 梯ABCD ＝(2＋3)×22＝5．点评 斜二测画法：主要用于水平放置的平面图画法或立体图形的画法．它的主要步骤：①画轴；②画平行于x ，y ，z 轴的线段分别为平行于x ′，y ′，z ′轴的线段；③截线段，平行于x ，z 轴的线段的长度不变，平行于y 轴的线段的长度变为原来的一半．变式训练2 22解析∵OE ＝(2)2－1＝1，∴O ′E ′＝12，E ′F ＝24，∴直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝22．例3 证明 (1)∵BG ∶GC ＝DH ∶HC ， ∴GH ∥BD ，又EF ∥BD ，∴EF ∥GH ， ∴E 、F 、G 、H 四点共面．(2)∵G ，H 不是BC 、CD 的中点，∴EF ≠GH ． 又EF ∥GH ，∴EG 与FH 不平行，则必相交，设交点为M ．⎭⎪⎬⎪⎫EG ⊂面ABC HF ⊂面ACD ⇒M ∈面ABC 且M ∈面ACD ⇒M 在面ABC 与面ACD 的交线上 ⇒M ∈AC ．∴GE 与HF 的交点在直线AC 上．点评 证明线共点、点共线、线共面问题，重要是应用平面的基本性质，先证部分元素共点、共线、共面，再利用公理1,2,3证明其他元素也具有这个性质，要熟练地掌握这三个公理．变式训练3 证明 梯形ABB ′A ′中，A ′B ′∥AB ．∴AA ′，BB ′在同一平面A ′B 内． 设直线AA ′，BB ′相交于点P ，同理BB ′、CC ′同在平面BC ′内，CC ′、AA ′同在平面A ′C 内． ∵P ∈AA ′，AA ′⊂平面A ′C ， ∴P ∈平面A ′C ．同理点P ∈平面BC ′． 根据公理2，点P 在平面A ′C 与平面BC ′的交线上，而平面A ′C ∩平面BC ′＝CC ′，故点P ∈直线CC ′，即三直线AA ′、BB ′、CC ′相交于一点．例4 证明 (1)因为AD ∥BC ，BC ⊂平面PBC ， AD ⊄平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ， 又平面ADMN ∩平面PBC ＝MN ， 所以AD ∥MN ，所以MN ∥BC ．因为N 为PB 的中点，所以M 为PC 的中点，所以MN ∥BC ，且MN ＝12BC ．又E 为AD 的中点，所以四边形DENM 为平行四边形． 所以EN ∥DM ．又EN ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ， 所以EN ∥平面PDC ．(2)因为ABCD 为边长为2的菱形，且∠BAD ＝60°， 所以BE ⊥AD ．又因为PE ⊥AD ，PE ∩BE ＝E ， 所以AD ⊥平面PEB ．因为AD ∥BC ，所以BC ⊥平面PEB ． (3)由(2)知AD ⊥PB ．又因为PA ＝AB 且N 为PB 的中点， 所以AN ⊥PB ，又AD ∩AN ＝A ， 所以PB ⊥平面ADMN ．又PB ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ADMN ．点评 立体几何的证明，我们要牢牢抓住“转化”这一思想，线与线，线与面，面与面之间的垂直与平行都可互相转化，转化的理论依据是这三种平行与垂直的判定定理、性质定理等．变式训练4 证明 (1)如图所示，连结AC 交BD 于O ，连结EO ．∵底面ABCD 是正方形， ∴点O 是AC 的中点．在△PAC 中，EO 是中位线， ∴PA ∥EO ．而EO ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ， ∴PA ∥平面EDB ．(2)∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DC．∵PD＝DC，∴△PDC是等腰直角三角形．又DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC．①由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC．∴BC⊥平面PDC．又DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．②由①和②推得DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB．又EF⊥PB，且DE∩EF＝E，∴PB⊥平面EFD．。
苏教版高中数学(必修2)测试试卷及答案[1]
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苏教版高中数学（必修2）测试试卷及答案一、选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个正确答案） 1、正方体1AC 中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有（B ）A ．4条 B.6条 C.8条 D.10条 2、有下列四个命题：1）过三点确定一个平面 2）矩形是平面图形 3）三条直线两两相交则确定一个平面4）两个相交平面把空间分成四个区域，其中错误命题的序号是（B ）． （A ）1）和2） （B ）1）和3） （C ）2）和4） （D ）2）和3） 3、如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB,CD在原正方体中的位置关系是（ D ）A ．平行B ．相交且垂直C ． 异面D ．相交成60°4．给出下列关于互不相同的直线l n m ,,和平面βα,的四个命题： ①,,,m A A l m ∉=⊂点αα 则l 与m 不共面；②l 、m 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ③若m l m l //,//,//,//则βαβα；④若ββαα//,//,,,m l A m l m l 点=⊂⊂ ，则βα// 其中真命题个数是（C ）A ．1B ．2C ．3D ．45、在直角坐标系中，已知两点(4,2),(1,3)M N -，沿x 轴把直角坐标平面折成直二面角后，,M N 两点的距离为 （ C ）A 、B 、CD 6、直线053=+-y x 的倾斜角是(A )（A ）30° （B ）120° （C ）60° （D ）150°7.已知直线3430x y +-=与直线6140x my ++=平行，则它们之间的距离是（D ）A ．1710B ．175C ．8D ．28．点24P(,)在直线0ax y b ++=上的射影是43Q(,)，则a ,b 的值依次为（ A ）DCABA ．25,-B ．211,-C ．152,- D ．112,--9．过点P(2，1)且被圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 截得弦长最长的直线l 的方程是（A ） A ．3x －y －5＝0 B ．3x ＋y －7＝0 C ．x ＋3y －5＝0 D ．x －3y ＋5＝010．若直线ax+by=1与圆122=+y x 相交，则点P(a,b)与圆的位置关系是（ B ） A ．在圆上 B ．在圆外 C ．在圆内 D ．不能确定 二、填空题（每小题5分，共6小题30分）11．设点M 是点(2,3,5)N -关于坐标平面xo y 的对称点，则线段MN 的长度等于 ▲ 。
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（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．下列叙述中不正确的序号是________．①若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；②每一条直线都有唯一对应的倾斜角；③与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°；④若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α.【解析】当α＝90°时，tan α不存在，所以④错误，由直线斜率和倾斜角的知识知①②③正确．【答案】④2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________．【解析】如图所示，由V＝Sh得，S＝4，即正四棱柱底面边长为2.∴A1O1＝2，A1O＝R＝ 6.∴S 球＝4πR 2＝24π. 【答案】 24π3．已知直线l 1：ax ＋4y －2＝0与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为________．【解析】 垂足(1，c )是两直线的交点，且l 1⊥l 2，故－a 4·25＝－1，∴a ＝10.l 1：10x ＋4y －2＝0.将(1，c )代入l 1，得c ＝－2；将(1，－2)代入l 2，得b ＝－12.则a ＋b ＋c ＝10＋(－12)＋(－2)＝－4. 【答案】 －44．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数为________．【解析】 S 底＋S 侧＝3S 底，2S 底＝S 侧，即2πr 2＝πrl ，得2r ＝1. 设侧面展开图的圆心角为θ，则θπl180°＝2πr ，∴θ＝180°.【答案】 180°5．过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________. 【导学号：60420098】【解析】 当截距均为0时，设方程为y ＝kx ，将点(3，－4)，代入得k ＝－43，即直线方程为4x ＋3y ＝0；当截距不为0时，设方程为x a ＋ya ＝1，将点(3，－4)代入得a ＝－1，即直线方程为x ＋y ＋1＝0.【答案】 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝06．若x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值为________．【解析】配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r＝5，所以x2＋y2的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即5－5，故可求x2＋y2的最小值为30－10 5.【答案】30－10 57．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是________．(填序号)①若l⊥α，α⊥β，则l⊂β；②若l∥α，α∥β，则l⊂β；③若l⊥α，α∥β，则l⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β.【解析】当l⊥α，α⊥β时不一定有l⊂β，还有可能l∥β，故①不对；当l∥α，α∥β时，l⊂β或l∥β，故②不对；若α∥β，α内必有两条相交直线m，n与平面β内的两条相交直线m′，n′平行，又l⊥α，则l⊥m，l⊥n，即l⊥m′，l⊥n′，故l⊥β，因此③正确；若l∥α，α⊥β，则l与β相交或l∥β或l⊂β，故④不对．【答案】③8．在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值是________．【解析】连结B1C交BC1于O，则B1C⊥BC1，又A1B1⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD，取D1B的中点O1，连结O1O，则∠BO1O就是直线BD1与平面A1B1CD所成的角．不妨设正方体棱长为1，则BD1＝3，BO＝22，O1O＝12，在Rt△BOO1中，tan∠BO1O＝BOO1O＝ 2.【答案】 29．已知直线l：y＝x＋m(m∈R)，若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，则该圆的方程为__________．【解析】由题意知P(0，m)，又直线l与圆相切于点P，则MP⊥l，且直线l的倾斜角为45°，所以点P的坐标为(0,2)，|MP|＝22，于是所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.【答案】(x－2)2＋y2＝810．从直线3x＋4y＋8＝0上一点P向圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0引切线PA，PB，A，B为切点，则四边形PACB的周长的最小值为__________．【解析】圆心到直线的距离为d＝|3＋4＋8|5＝3，圆的半径为1，所以四边形PACB的周长的最小值为232－12＋2＝42＋2.【答案】42＋211.图1如图1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．【解析】如图，取A1B1的中点M，连结GM，HM.由题意易知EF∥GM，且△GMH为正三角形．∴异面直线EF与GH所成的角即为GM与GH的夹角∠HGM.而在正三角形GMH中，∠HGM＝60°.【答案】60°12．侧棱长为a的正三棱锥PABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________．【解析】侧棱长为a的正三棱锥PABC其实就是棱长为a的正方体的一角，所以球的直径就是正方体的对角线，所以球的半径为3a2，该球的表面积为3πa2.【答案】3πa213．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为23，则a＝________.【解析】两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4⇒y＝1a，又a>0，结合图象(略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝22－(3)2＝1⇒a＝1.【答案】 114．(2014·全国卷Ⅱ改编)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．【解析】如图，过点M 作⊙O 的切线，切点为N ，连接ON .M 点的纵坐标为1，MN 与⊙O 相切于点N .设∠OMN ＝θ，则θ≥45°，即sin θ≥22，即ONOM ≥22.而ON ＝1，∴OM ≤2.∵M 为(x 0,1)，∴x 20＋1≤2，∴x 20≤1，∴－1≤x 0≤1，∴x 0的取值范围为[－1,1]． 【答案】 [－1,1]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m ，n 的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.【解】 (1)∵l 1∥l 2，∴A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ·m －2×8＝0，8×(－1)－m ×n ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.(2)由l 1在y 轴上的截距为－1，得m ·0＋8×(－1)＋n ＝0，∴n ＝8. 又l 1⊥l 2，∴A 1A 2＋B 1B 2＝0， 即m ×2＋8m ＝0，∴m ＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝8.16．(本小题满分14分)在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，且B 1D ⊥BC 1.(1)求证：A 1C ∥平面B 1AD ； (2)求证：BC 1⊥平面B 1AD .图2【证明】 (1)如图，连结BA 1交AB 1于点O ，连结OD .由棱柱知侧面AA 1B 1B 为平行四边形，所以O 为BA 1的中点．又D 是BC 的中点，所以OD ∥A 1C .因为A 1C ⊄平面B 1AD ，OD ⊂平面B 1AD ，所以A 1C ∥平面B 1AD . (2)因为D 是BC 的中点，AB ＝AC ，所以AD ⊥BC .因为平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，平面BB 1C 1C ∩平面ABC ＝BC ，AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面BB 1C 1C .因为BC 1⊂平面BB 1C 1C ，所以AD ⊥BC 1.又BC 1⊥B 1D ，且AD ∩B 1D ＝D ，所以BC 1⊥平面B 1AD .图317．(本小题满分14分)如图3所示，圆x 2＋y 2＝8内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求|AB |；(2)当弦AB 被点P 平分时，求直线AB 的方程．【解】 (1)过点O 作OG ⊥AB 于G ，连接OA ，当α＝135°时，直线AB 的斜率为－1，故直线AB 的方程为x ＋y －1＝0，∴|OG |＝|0＋0－1|2＝22，∴|GA |＝8－12＝152＝302， ∴|AB |＝2|GA |＝30.(2)连结OP .当弦AB 被P 平分时，OP ⊥AB ，此时k OP ＝－2，∴k AB ＝12，∴直线AB 的方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.图418．(本小题满分16分)(2015·安徽高考)如图4，三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PM MC的值．【解】 (1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P ABC 的高．又PA ＝1， 所以三棱锥P ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·PA ＝36.(2)证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM .由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥AC . 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM .在直角△BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC＝AC－AN＝32.由MN∥PA，得PMMC＝ANNC＝13.19．(本小题满分16分)(2014·全国卷Ⅰ)已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．【解】(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则CM→＝(x，y－4)，MP→＝(2－x,2－y)．由题设知CM→·MP→＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－1 3，故l的方程为y＝－13x＋83.又|OM|＝|OP|＝22，O到l的距离为4105，|PM|＝4105，所以△POM的面积为165. 20．(本小题满分16分)如图5(1)，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G .将△ABF 沿AF 折起，得到如图5(2)所示的三棱锥A BCF ，其中BC ＝22.(1) (2)图5(1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F DEG 的体积V F DEG . 【解】 (1)证法一：在折叠后的图形中，因为AB ＝AC ，AD ＝AE ，所以ADAB ＝AEAC ，所以DE ∥BC .因为DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，所以DE ∥平面BCF .证法二：在折叠前的图形中，因为AB ＝AC ，AD ＝AE ， 所以AD AB ＝AE AC ，所以DE ∥BC ，即DG ∥BF ，EG ∥CF .在折叠后的图形中，仍有DG ∥BF ，EG ∥CF .又因为DG ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以DG ∥平面BCF ，同理可证EG ∥平面BCF .又DG ∩EG ＝G ，DG ⊂平面DEG ，EG ⊂平面DEG ，故平面DEG ∥平面BCF .又DE ⊂平面DEG ，所以DE ∥平面BCF .(2)证明：在折叠前的图形中，因为△ABC 为等边三角形，BF ＝CF ， 所以AF ⊥BC ，则在折叠后的图形中，AF ⊥BF ，AF ⊥CF .又BF ＝CF ＝12，BC ＝22， 所以BC 2＝BF 2＋CF 2，所以BF ⊥CF .又BF ∩AF ＝F ，BF ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，所以CF ⊥平面ABF .(3)由(1)知，平面DEG ∥平面BCF ，由(2)知AF ⊥BF ，AF ⊥CF ，又BF ∩CF ＝F ，所以AF ⊥平面BCF ，所以AF ⊥平面DEG ，即GF ⊥平面DEG .在折叠前的图形中，AB ＝1，BF ＝CF ＝12，AF ＝32. 由AD ＝23知AD AB ＝23，又DG ∥BF ， 所以DG BF ＝AG AF ＝AD AB ＝23，所以DG＝EG＝23×12＝13，AG＝23×32＝33，所以FG＝AF－AG＝3 6.故三棱锥FDEG的体积为V三棱锥F－DEG＝13S△DEG·FG＝13×12×⎝⎛⎭⎪⎪⎫132×36＝3 324.。
最新苏教版高中数学必修二《立体几何》单元综合复习及解析.docx
（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二课题：立体几何综合复习【教学目标】1.理解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式。
2.能运用已获得的公理、定理、常用结论解答一些空间位置关系的简单命题。
【重点与难点】1.有关几何体的表面积与体积的计算。
2.有关线、面的位置关系的证明和角、距离的计算。
【教学过程】一、热身训练1.(2008年高考四川卷改编)直线l⊂平面α，经过α外一点A与l、α都成30°角的直线有且只有__2____条2. (2010年苏南四市调研)已知m、n是平面α外的两条直线，且m∥n，则“m∥α”是“n∥α”的__充要___条件．3. 对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是___③__．①如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥α；②如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交；③如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n；④如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n.4. 设α、β、γ为平面，给出下列条件：①a、b为异面直线，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α内不共线的三点到β的距离相等；③α⊥γ，β⊥γ.则其中能使α∥β成立的条件的个数是__1______．①成立5. (2010年南通调研)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2 ，则四面体A－B1CD1的外接球的体积为___43_____．二、知识要点1．平行直线(1)定义：不相交的两条直线叫做平行线．(2)平行公理4：平行于的两条直线互相平行．其符号语言为：⇒a∥c.2．直线与平面平行(1)定义：直线a和平面α，叫做直线与平面平行．(2)线面平行的判定定理：如果的一条直线和的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．其符号语言为：.(3)线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，的平面和这个平面相交，那么这条直线就和平行．其符号语言为：.(4)线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一平面，那么这两条直线平行，其符号语言为：.3．平面与平面平行(1)定义：如果两个平面，那么这两个平面叫做平行平面．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有平行于另一个平面，那么这两个平面平行．其符号语言为：.(3)判定定理的推论：如果一个平面内的分别平行于另一个平面内的，则这两个平面平行．其符号语言为：.(4)线面垂直的性质：如果两平面垂直于同一直线，则这两个平面平行．其符号语言为：.(5)面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．其符号语言为：。
2019-2020学年高中数学(苏教版必修2)同步文档：章末综合测评(一) 立体几何初步 Word版含解析
章末综合测评(一) 立体几何初步(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上) 1．给出下列命题：(1)若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面； (2)若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； (3)若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面； (4)若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面． 其中真命题的序号为__________．【解析】 (1)因为两个平面平行，所以两个平面没有公共点，即其中一个平面内的直线与另一个平面也没有公共点，由直线与平面平行的判定定理可得直线与该平面平行，所以(1)正确．(2)因为该直线与其中一个平面垂直，那么该直线必与其中两条相交直线垂直，又两个平面平行，故另一个平面也必定存在两条相交直线与该直线垂直，所以该直线与另一个平面也垂直，故(2)正确．(3)错，反例：该直线可以在另一个平面内．(4)错，反例：其中一个平面内也存在直线与另一个平面平行． 综上：(1)(2)为真命题． 【答案】 (1)(2)2．在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形)．【解析】 若有AC ⊥BD ，则A 1C 1⊥B 1D 1. 又∵CC 1⊥B 1D 1，A 1C 1∩CC 1＝C 1，∴B 1D 1⊥平面A 1C 1C ，∴B 1D 1⊥A 1C ，故条件可填AC ⊥BD . 【答案】 AC ⊥BD (答案不唯一)3．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各个面引垂线，垂线段分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为________．【解析】 设四面体的高为h ，则h ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23×32×12＝63，13Sh ＝13S (d 1＋d 2＋d 3＋d 4)， ∴d 1＋d 2＋d 3＋d 4＝h ＝63.【答案】 634．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为__________．【解析】 设圆锥的体积为x ，则x －52x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133，解得x ＝54.【答案】 545．已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________.【导学号：41292058】【解析】 V 四棱锥O －ABCD ＝13×3×3h ＝322，得h ＝322，∴OA 2＝h 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC 22＝184＋64＝6.∴S 球＝4πOA 2＝24π. 【答案】 24π6．若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的________条件． 【解析】 ∵m ⊥α，若l ∥α，则必有l ⊥m ，即l ∥α⇒l ⊥m . 但l ⊥mD ⇒/l ∥α，∵l ⊥m 时，l 可能在α内． 故“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要而不充分条件． 【答案】 必要不充分7．如图1所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN 等于________．图1【解析】 ∵B 1C 1⊥平面A 1ABB 1， MN ⊂平面A 1ABB 1，∴B 1C 1⊥MN ，又∠B 1MN 为直角． ∴B 1M ⊥MN ，而B 1M ∩B 1C 1＝B 1.∴MN ⊥平面MB 1C 1.又MC 1⊂平面MB 1C 1， ∴MN ⊥MC 1，∴∠C 1MN ＝90°. 【答案】 90°8．设l 为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是________．①若l ∥α，l ∥β，则α∥β；②若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β；③若l ⊥α，l ∥β，则α∥β；④若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β.【解析】 对于①，若l ∥α，l ∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误； 对于②，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β，故正确； 对于③，若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β，故错误；对于④，若α⊥β，l ∥α，则l 与β的位置关系有三种可能：l ⊥β，l ∥β，l ⊂β，故错误．故选②.【答案】 ②9．如图2，在空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是AB ，AD 的中点，F ，G 分别是CB ，CD 上的点，且CF CB＝CG CD＝23，若BD ＝6cm ，梯形EFGH 的面积为28cm 2，则平行线EH ，FG 间的距离为__________cm.图2【解析】 由题知，EH ＝12BD ＝3 cm ，FG ＝23BD ＝4 cm.设平行线EH ，FG 之间距离为d ，则12×(3＋4)×d ＝28，解得d ＝8 cm. 【答案】 810．在四棱锥P －ABCD 中，P A⊥平面ABCD ，且P A ＝AD ，四边形ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，则AE 与PC 的位置关系为________．【解析】 易知CD ⊥AE ，AE ⊥PD ，则AE ⊥平面PCD ，所以AE ⊥PC . 【答案】 垂直11．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H .以下结论中，错误的是________．①点H 是△A 1BD 的垂心； ②AH ⊥平面CB 1D 1； ③AH 的延长线经过点C 1； ④直线AH 和BB 1所成的角为45°.【解析】 因为AH ⊥平面A 1BD ，BD ⊂平面A 1BD ， 所以BD ⊥AH .又BD ⊥AA 1，且AH ∩AA 1＝A . 所以BD ⊥平面AA 1H . 又A 1H ⊂平面AA 1H .所以A 1H ⊥BD ，同理可证BH ⊥A 1D ， 所以点H 是△A 1BD 的垂心，①正确． 因为平面A 1BD ∥平面CB 1D 1， 所以AH ⊥平面CB 1D 1，②正确．易证AC 1⊥平面A 1BD .因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC 1和AH 重合．故③正确．因为AA 1∥BB 1，所以∠A 1AH 为直线AH 和BB 1所成的角． 因为∠A 1AH ≠45°，故④错误． 【答案】 ④12．如图3所示，直线P A 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有结论：图3①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长．其中正确的序号是________．【解析】对于①，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面P AC.又PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC，故①正确；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥P A.∵P A⊂平面P AC，∴OM∥平面P AC，故②正确；对于③，由①知BC⊥平面P AC，∴线段BC的长即是点B到平面P AC的距离，故③正确．【答案】①②③13．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③二面角A－BC－D的度数为60°；④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是________．【解析】如图(1)(2)所示，取BD的中点O，连结AO，OC，易知AO⊥BD且CO⊥BD，AO∩OC＝O，故BD⊥平面AOC，∴BD⊥AC，故①正确．设正方形ABCD 的边长为1，易知AO ＝OC ＝22.又由题意可知∠AOC ＝90°，故AC ＝1.所以AC ＝AD ＝DC ，所以△ACD 是等边三角形，故②正确．取BC 的中点E ，连结OE ，AE ，则∠AEO 即为二面角A －BC －D 的平面角， ∴tan ∠AEO ＝AOOE＝2，(3)故③不正确．对于④，如图(3)所示，取AC 的中点F ，连结OF ，EF ，OE ，则OE∥CD ，EF∥AB ，则∠FEO 即为异面直线AB 与CD 所成的角．又在△AOC 中，OF ＝12，故EF ＝OE ＝OF ，∴AB 与CD 所成的角为60°，故④正确．综上可知①②④正确． 【答案】 ①②④14．如图4所示，三棱锥A －BCD 的底面是等腰直角三角形，AB ⊥平面BCD ，AB ＝BC ＝BD ＝2，E 是棱CD 上的任意一点，F ，G 分别是AC ，BC 的中点，则在下面命题中：①平面ABE ⊥平面BCD ； ②平面EFG ∥平面ABD ；③四面体FECG体积的最大值是1 3 .其中为真命题的是__________．(填序号)【导学号：41292059】图4【解析】①正确，因为AB⊥平面BCD，且AB⊂平面ABE，由面面垂直的判定定理可知平面ABE⊥平面BCD；②错，若两平面平行，则必有AD∥EF，而点E是棱CD上任意一点，故该命题为假命题；③正确，由已知易得GF⊥平面GCE，且GF＝12AB＝1，而S△GCE＝12GC·CE·sin45°＝24CE≤1，故V F－GCE＝13S△GCE·FG≤13.故正确的命题为①③.【答案】①③二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)图515．(本小题满分14分)如图5，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，连结A′C′，A ′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥A′－BC′D的体积．【解】(1)∵ABCD－A′B′C′D′是正方体，∴六个面是互相全等的正方形，∴A′C′＝A′B＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝2a，∴S 三棱锥＝4×34×(2a )2＝23a 2，S 正方体＝6a 2，∴S 三棱锥S 正方体＝33. (2)显然，三棱锥A ′－ABD ，C ′－BCD ，D －A ′D ′C ′，B －A ′B ′C ′是完全一样的， ∴V 三棱锥A ′－BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′－ABD ＝a 3－4×13×12a 2×a ＝13a 3.16．(本小题满分14分)如图6所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，A 1D 1的中点，判断MN 与平面A 1BC 1的位置关系，并说明理由．图6【解】 直线MN ∥平面A 1BC 1. 证明如下：∵M ∉平面A 1BC 1，N ∉平面A 1BC 1. ∴MN ⊄平面A 1BC 1. 如图，取A 1C 1的中点O 1， 连结NO 1，BO 1.∵NO 1綊12D 1C 1，MB 綊12D 1C 1，∴NO 1綊MB ， ∴四边形NO 1BM 为平行四边形， ∴MN ∥BO 1.又∵BO 1⊂平面A 1BC 1， ∴MN ∥平面A 1BC 1.17．(本小题满分14分)如图7，圆锥的轴截面SAB 为等腰直角三角形，Q 为底面圆周上一点．图7(1)若QB 的中点为C ，求证：平面SOC ⊥平面SBQ ； (2)若∠AOQ ＝120°，QB ＝3，求圆锥的表面积．【解】 (1)∵SQ ＝SB ，OQ ＝OB ，C 为QB 的中点， ∴QB ⊥SC ，QB ⊥OC . ∵SC ∩OC ＝C ， ∴QB ⊥平面SOC . 又∵QB ⊂平面SBQ ， ∴平面SOC ⊥平面SBQ . (2)∵∠AOQ ＝120°，QB ＝3，∴∠BOQ ＝60°，即△OBQ 为等边三角形， ∴OB ＝3.∵△SAB 为等腰直角三角形，∴SB ＝6，∴S 侧＝3·6π＝32π， ∴S 表＝S 侧＋S 底＝32π＋3π＝(3＋32)π.图818．(本小题满分16分)如图8所示，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，底面边长为a ，E 是PC 的中点．(1)求证：P A ∥平面BDE ； (2)求证：平面P AC ⊥平面BDE ；(3)若二面角E －BD －C 为30°，求四棱锥P －ABCD 的体积． 【解】 (1)证明：连结OE ，如图所示．∵O ，E 分别为AC ，PC 的中点， ∴OE ∥P A .∵OE ⊂平面BDE ，P A ⊄平面BDE ，∴P A ∥平面BDE . (2)证明：∵PO ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥BD . 在正方形ABCD 中，BD ⊥AC . 又∵PO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥平面P AC .又∵BD ⊂平面BDE ，∴平面P AC ⊥平面BDE . (3)取OC 中点F ，连结EF .∵E 为PC 中点， ∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO . 又∵PO ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥BD ，∵OF ⊥BD ，OF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥平面EFO ， ∴OE ⊥BD ，∴∠EOF 为二面角E －BD －C 的平面角， ∴∠EOF ＝30°.在Rt △OEF 中，OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ，∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ，∴OP ＝2EF ＝66a .∴V P －ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3.19．(本小题满分16分)如图9，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，P A ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点，F 为线段AC 上一点.【导学号：41292060】(1)求证：BD ⊥EF ； (2)若EF ∥平面PBD ，求AFFC 的值．图9【解】(1)因为P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以P A⊥BD.又四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又P A∩AC＝A，所以BD⊥平面P AC.又EF⊂平面P AC，所以BD⊥EF.(2)设AC与BD交于点O，连结PO.因为EF∥平面PBD，平面P AC∩平面PBD＝PO，且EF⊂平面P AC，所以EF∥PO.又E 是PC的中点，所以OF＝FC，所以AF＝3FC，即AFFC＝3.20．(本小题满分16分)如图10(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图10(2)．(1) (2)图10(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.说明理由．【解】(1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC.又∵DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，∴DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD＝D，∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F.又∵A1F⊥CD，DE∩CD＝D，∴A1F⊥平面BCDE，BE⊂平面BCDE，∴A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC. 又∵DE∥BC，∴DE∥PQ，∴平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，A1C⊂平面A1DC，∴DE⊥A1C.又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP.又DE∩DP＝D，∴A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q(中点)，使得A1C⊥平面DEQ.。
高中数学(苏教版必修2)同步文档第1章 章末分层突破 Word版含解析
章末分层突破
[自我校对]
①球
②斜二测画法
③公理
④平行
⑤相交
⑥[°，°]
⑦[°，°]
空间几何体的体积及表面积
几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算
中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台体，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的应用，注意分
割与组合的合理应用；关注展开与折叠问题．
如图－，四棱锥－中，⊥底面，
∥，＝＝＝，＝＝，为线段上一点，＝，为的中点．
图－
()证明∥平面；
()求四面体－的体积．
【精彩点拨】()利用线面平行的判定定理进行证明，即通过线线平行证明
线面平行；()先求出点到平面的距离及△的面积，然后代入锥体的体积公式求解．
【规范解答】
()证明：由已知得＝＝.
如图，取的中点，连接，，由为中点知∥，
＝＝.。
苏教版高中数学必修2章末综合测评1 Word版含解析
章末综合测评(一) 立体几何初步(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．(2016·常州期末)给出下列命题：(1)若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；(2)若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；(3)若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；(4)若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．其中真命题的序号为__________．【解析】(1)因为两个平面平行，所以两个平面没有公共点，即其中一个平面内的直线与另一个平面也没有公共点，由直线与平面平行的判定定理可得直线与该平面平行，所以(1)正确．(2)因为该直线与其中一个平面垂直，那么该直线必与其中两条相交直线垂直，又两个平面平行，故另一个平面也必定存在两条相交直线与该直线垂直，所以该直线与另一个平面也垂直，故(2)正确．(3)错，反例：该直线可以在另一个平面内．(4)错，反例：其中一个平面内也存在直线与另一个平面平行．综上：(1)(2)为真命题．【答案】(1)(2)2．(2016·南京高一检测)在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形)．【解析】 若有AC ⊥BD ，则A 1C 1⊥B 1D 1. 又∵CC 1⊥B 1D 1，A 1C 1∩CC 1＝C 1，∴B 1D 1⊥平面A 1C 1C ，∴B 1D 1⊥A 1C ，故条件可填AC ⊥BD . 【答案】 AC ⊥BD (答案不唯一)3．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各个面引垂线，垂线段分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为________．【解析】 设四面体的高为h ，则h ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×12＝63，13Sh ＝13S (d 1＋d 2＋d 3＋d 4)， ∴d 1＋d 2＋d 3＋d 4＝h ＝63. 【答案】 634．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为__________．【解析】 设圆锥的体积为x ，则x －52x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133，解得x ＝54. 【答案】 545．已知正四棱锥O ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA为半径的球的表面积为________. 【导学号：60420045】【解析】 V 四棱锥O ABCD ＝13×3×3h ＝322，得h ＝322，∴OA 2＝h 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＝184＋64＝6.∴S 球＝4πOA 2＝24π. 【答案】 24π6．(2015·福建高考改编)若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的________条件．【解析】 ∵m ⊥α，若l ∥α，则必有l ⊥m ，即l ∥α⇒l ⊥m . 但l ⊥mD ⇒/l ∥α，∵l ⊥m 时，l 可能在α内． 故“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要而不充分条件． 【答案】 必要不充分7．如图1所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN 等于________．图1【解析】 ∵B 1C 1⊥平面A 1ABB 1，MN ⊂平面A 1ABB 1，∴B 1C 1⊥MN ，又∠B 1MN 为直角． ∴B 1M ⊥MN ，而B 1M ∩B 1C 1＝B 1. ∴MN ⊥平面MB 1C 1.又MC 1⊂平面MB 1C 1，∴MN⊥MC1，∴∠C1MN＝90°.【答案】90°8．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是________．①若l∥α，l∥β，则α∥β；②若l⊥α，l⊥β，则α∥β；③若l⊥α，l∥β，则α∥β；④若α⊥β，l∥α，则l⊥β.【解析】对于①，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误；对于②，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故正确；对于③，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故错误；对于④，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β，l ∥β，l⊂β，故错误．故选②.【答案】②9．如图2，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23，若BD＝6 cm，梯形EFGH的面积为28 cm2，则平行线EH，FG间的距离为__________cm.图2【解析】由题知，EH＝12BD＝3 cm，FG＝23BD＝4 cm.设平行线EH，FG之间距离为d，则12×(3＋4)×d＝28，解得d＝8 cm.【答案】810．在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD，四边形ABCD是正方形，E是PD的中点，则AE与PC的位置关系为________．【解析】易知CD⊥AE，AE⊥PD，则AE⊥平面PCD，所以AE⊥PC.【答案】垂直11．正方体ABCDA1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是________．①点H是△A1BD的垂心；②AH⊥平面CB1D1；③AH的延长线经过点C1；④直线AH和BB1所成的角为45°.【解析】因为AH⊥平面A1BD，BD⊂平面A1BD，所以BD⊥AH.又BD⊥AA1，且AH∩AA1＝A.所以BD⊥平面AA1H.又A1H⊂平面AA1H.所以A1H⊥BD，同理可证BH⊥A1D，所以点H是△A1BD的垂心，①正确．因为平面A1BD∥平面CB1D1，所以AH⊥平面CB1D1，②正确．易证AC1⊥平面A1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC和AH重合．故③正确．1因为AA1∥BB1，所以∠A1AH为直线AH和BB1所成的角．因为∠A1AH≠45°，故④错误．【答案】④12．如图3所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB 为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：图3①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的序号是________．【解析】对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，故①正确；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA.∵PA⊂平面PAC，∴OM∥平面PAC，故②正确；对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故③正确．【答案】①②③13．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③二面角ABCD的度数为60°；④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是________．【解析】如图(1)(2)所示，取BD的中点O，连结AO，OC，易知AO⊥BD 且CO⊥BD，AO∩OC＝O，故BD⊥平面AOC，∴BD⊥AC，故①正确．设正方形ABCD的边长为1，易知AO＝OC＝22.又由题意可知∠AOC＝90°，故AC＝1.所以AC＝AD＝DC，所以△ACD是等边三角形，故②正确．取BC的中点E，连结OE，AE，则∠AEO即为二面角ABCD的平面角，∴tan∠AEO＝AOOE＝2，(3)故③不正确．对于④，如图(3)所示，取AC的中点F，连结OF，EF，OE，则OE∥CD，EF∥AB，则∠FEO即为异面直线AB与CD所成的角．又在△AOC中，OF＝12，故EF＝OE＝OF，∴AB与CD所成的角为60°，故④正确．综上可知①②④正确．【答案】①②④14．如图4所示，三棱锥ABCD的底面是等腰直角三角形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝BD＝2，E是棱CD上的任意一点，F，G分别是AC，BC的中点，则在下面命题中：①平面ABE⊥平面BCD；②平面EFG∥平面ABD；③四面体FECG体积的最大值是1 3 .其中为真命题的是__________(填序号). 【导学号：60420046】图4【解析】①正确，因为AB⊥平面BCD，且AB⊂平面ABE，由面面垂直的判定定理可知平面ABE⊥平面BCD；②错，若两平面平行，则必有AD∥EF，而点E 是棱CD上任意一点，故该命题为假命题；③正确，由已知易得GF⊥平面GCE，且GF＝12AB＝1，而S△GCE＝12GC·CE·sin 45°＝24CE≤1，故VFGCE＝13S△GCE·FG≤13.故正确的命题为①③.【答案】①③二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)如图5，正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为a，连结A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：图5(1)三棱锥A′BC′D的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥A′BC′D的体积．【解】(1)∵ABCDA′B′C′D′是正方体，∴六个面是互相全等的正方形，∴A′C′＝A′B＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝2a，∴S三棱锥＝4×34×(2a)2＝23a2，S正方体＝6a2，∴S三棱锥S正方体＝33.(2)显然，三棱锥A′ABD，C′BCD，DA′D′C′，BA′B′C′是完全一样的，∴V三棱锥A′BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′ABD＝a3－4×13×12a2×a＝13a3.16．(本小题满分14分)如图6所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AB，A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，并说明理由．图6【解】直线MN∥平面A1BC1.证明如下：∵M∉平面A1BC1，N∉平面A1BC1. ∴MN⊄平面A1BC1.如图，取A1C1的中点O1，连结NO1，BO1.∵NO1═∥12D1C1，MB═∥12D1C1，∴NO1═∥MB，∴四边形NO1BM为平行四边形，∴MN∥BO1.又∵BO1⊂平面A1BC1，∴MN∥平面A1BC1.17．(本小题满分14分)如图7，圆锥的轴截面SAB为等腰直角三角形，Q为底面圆周上一点．图7(1)若QB的中点为C，求证：平面SOC⊥平面SBQ；(2)若∠AOQ＝120°，QB＝3，求圆锥的表面积．【解】(1)∵SQ＝SB，OQ＝OB，C为QB的中点，∴QB⊥SC，QB⊥OC.∵SC∩OC＝C，∴QB⊥平面SOC.又∵QB⊂平面SBQ，∴平面SOC⊥平面SBQ.(2)∵∠AOQ＝120°，QB＝3，∴∠BOQ＝60°，即△OBQ为等边三角形，∴OB＝ 3.∵△SAB为等腰直角三角形，∴SB＝6，∴S侧＝3·6π＝32π，∴S表＝S侧＋S底＝32π＋3π＝(3＋32)π.18．(本小题满分16分)如图8所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．图8(1)求证：PA∥平面BDE；(2)求证：平面PAC⊥平面BDE；(3)若二面角EBDC为30°，求四棱锥PABCD的体积．【解】(1)证明：连结OE，如图所示．∵O，E分别为AC，PC的中点，∴OE∥PA.∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE.(2)证明：∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD.在正方形ABCD中，BD⊥AC.又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面PAC.又∵BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE.(3)取OC中点F，连结EF.∵E为PC中点，∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO.又∵PO⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，∴EF⊥BD，∵OF⊥BD，OF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFO，∴OE⊥BD，∴∠EOF为二面角EBDC的平面角，∴∠EOF＝30°.在Rt△OEF中，OF＝12OC＝14AC＝24a，∴EF＝OF·tan 30°＝612a，∴OP＝2EF＝66a.∴V PABCD＝13×a2×66a＝618a3.19．(本小题满分16分)(2016·扬州期末)如图9，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F为线段AC上一点．(1)求证：BD⊥EF；(2)若EF∥平面PBD，求AFFC的值．图9【解】(1)因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.又四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.又EF⊂平面PAC，所以BD⊥EF.(2)设AC与BD交于点O，连结PO.因为EF∥平面PBD，平面PAC∩平面PBD＝PO，且EF⊂平面PAC，所以EF∥PO.又E是PC的中点，所以OF＝FC，所以AF＝3FC，即AFFC＝3.20．(本小题满分16分)如图10(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图10(2)．(1) (2)图10(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.说明理由．【解】(1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC.又∵DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，∴DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD＝D，∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F.又∵A1F⊥CD，DE∩CD＝D，∴A1F⊥平面BCDE，BE⊂平面BCDE，∴A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又∵DE∥BC，∴DE∥PQ，∴平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，A1C⊂平面A1DC，∴DE⊥A1C.又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP.又DE∩DP＝D，∴A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q(中点)，使得A1C⊥平面DEQ.。
2020-2021学年新教材苏教版数学必修第二册章末综合测评1 平面向量 Word版含解析
姓名，年级：时间：章末综合测评（一) 平面向量(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．下列命题中，正确命题的个数是（)①单位向量都共线；②长度相等的向量都相等；③共线的单位向量必相等；④与非零向量a共线的单位向量是错误!。
A．3 B．2 C．1 D．0D[根据单位向量的定义,可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a共线的单位向量是错误!或－错误!，故④也是错误的．] 2．已知向量a＝（2，1），b＝(－1，k)，a·（2a－b)＝0，则k ＝( ）A．－12 B．－6C．6 D．12D[2a－b＝(4，2）－（－1，k)＝(5，2－k)，由a·（2a－b)＝0，得（2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0,解得k＝12.］3．如图，在△ABC中，AD⊥AB，错误!＝错误!错误!，｜错误!|＝1，则错误!·错误!＝（）A．2 3 B．错误! C．错误! D．错误!D［设|错误!｜＝x，则｜错误!|＝错误!x ，错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·错误!＝错误!·错误!＝|错误!|·｜错误!|cos∠ADB ＝错误!x ·1·错误!＝错误!.]4 .已知O 是△ABC 所在平面内一点,D 为BC 边中点，且2错误!＋错误!＋错误!＝0，则( )A ．错误!＝2错误!B ．错误!＝错误!C ．错误!＝3错误!D ．2错误!＝错误!B ［因为D 为BC 的中点，所以OB ，→＋错误!＝2错误!。
所以2错误!＋2错误!＝0,所以错误!＝－错误!，所以错误!＝错误!.] 5．已知向量a ＝(1，2）,b ＝（2，－3)．若向量c 满足(c ＋a ）∥b ,c ⊥（a ＋b ），则c ＝( )A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!D ［设c ＝（x ，y ),则c ＋a ＝(1＋x ，2＋y ),a ＋b ＝(3，－1）， 由已知可得错误! 解得错误!即c ＝错误!。
苏科版必修二数学知识点总结
苏科版必修二数学知识点总结
苏科版必修二数学知识点总结：
1. 线性方程组：
- 解线性方程组的方法：高斯消元法、矩阵法、克莱姆法则等；
- 解韦达定理：二元一次方程组的解；
- 解二元一次方程组时，可以用消元法计算。
2. 二次函数与一元二次方程：
- 二次函数的基本性质：顶点、对称轴、开口方向、最值等；
- 一元二次方程求解方法：配方法、因式分解法、求根公式法等；
- 判别式：判断一元二次方程的根的情况。
3. 平面向量：
- 平面向量的基本概念：模长、方向角、平行向量、共线、垂直等；
- 平面向量的运算：向量的加法、减法、数量积、夹角等；
- 平面向量的线性运算：加法、数乘、线性组合；
- 平面向量的坐标表示：平面向量的坐标、向量的数量积的坐标表示等。
4. 概率与统计：
- 随机事件与样本空间：随机事件的概念、样本空间的概念、随机事件之间的关系等； - 概率的基本概念：频率与概率、概率的性质；
- 概率计算：基本概率计算公式、加法原理、乘法原理等；
- 统计分析：频数分布表、频率分布图、均值、中位数、众数等。
5. 三角函数：
- 三角函数的概念与基本性质：正弦函数、余弦函数、正切函数等； - 三角函数的单位圆解释法；
- 三角函数的图像与性质：周期性、奇偶性、单调性等；
- 三角函数的基本关系式与恒等式。
这些是苏科版必修二数学中的一些重要知识点总结，希望对你有帮助！。
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章末知识整合
一、数形结合思想
“数形结合”是把代数中的“数”与几何中的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法，是人们的一种普遍思维习惯在数学上的具体表现．数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”和以“数”解“形”．解析几何研究问题的主要方法——坐标法，就是数形结合的典范．在本章的学习中主要体现在以下两个方面：
(1)直线的方程中有很多概念，如距离、倾斜角、斜率等都很容易转化成“形”，因此题目中涉及这些问题时可以尝试用数形结合来解决．
(2)与圆有关的最值问题、直线与圆的交点个数、圆与圆的位置关系等都可能用到数形结合思想．
例1] 已知圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：x2＋(y－8)2＝4，直线y＝
5
2
x＋b在
两圆之间(不与圆相交或相切)，求实数b的取值范围．解：画出示意图如图所示，
直线y＝
5
2
x＋b，即5x－2y＋2b＝0.
当直线与圆C1相切时，|2b|
5＋4
＝2，
解得b＝±3；
当直线与圆C2相切时，|－16＋2b|
5＋4
＝2，解得b＝5或b＝11.
结合图形可知3<b<5.
规律总结
圆是一种几何特征非常明显的图形．在解圆的有关问题时，一般要根据题意在平面直角坐标系中画出图形，然后充分利用图形解决问题．
变式训练]
1．设点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，则（x－1）2＋（y－1）2的最大值为________．
解析：因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，
所以（x－1）2＋（y－1）2表示点(1，1)与该圆上任意一点的距离．
易知点(1，1)在圆x2＋(y＋4)2＝4外，如图所示，所以（x－1）2＋（y－1）2的最大值为
（1－0）2＋（1＋4）2＋2＝26＋2.
答案：26＋2
2．已知点A(3，1)，在直线y＝x和y＝0上各找一点M和N，使△AMN的周长最短，并求出最短周长．
解：由点A(3，1)及直线y＝x，可求得点A关于y＝x的对称点B(1，3)，同理可得点A关于y＝0的对称点C(3，－1)，如图所示．。