5-5 驻波
土建驻波管相关
按照驻波比法： 根据国标《声学-阻抗管中吸声系数和声阻抗的测量-第一部分》 阻抗管的工作频率范围是由其长度和横截面尺寸决定。 除平面波外，扬声器常常在管中激发高次波，那些频率低于第 1 个高次波的截止频率的非平面波模式，将在大约 3 倍直径（圆形管） 或 3 倍长边长度（矩形管）的路程内衰减掉。 阻抗管测试段要避免高次波产生， 又要能在有不利的反射波情况 下作测量，为此，从试件前表面到扬声器之间的管长l，与工作频率 的低限频率f1 ， 和圆形管直径 d 或矩形管长边边长d′ 应满足如下关系： l ≥ 0.75 c0 f1 + 3d l ≥ 0.75 c0 f1 + 3d′ 式 中 ： l—管长，单位为米（m); f1 —工作频率下限，单位为赫兹（Hz); d—圆形管直径，单位为米（m); d'—矩形管长边长度，单位为米（m) 预计待建驻波管的横截面尺寸为 600*600mm（能测试消声室尖 劈） ，尖劈截止频率为 50Hz，则工作段管长应为 6.94m，试件管预计 为 1.5m，扬声器为 0.3m，探管（小车）移动段应大于工作段预计为 7.7m，则待建驻波管试验台总长为 16.5m。
依照传递函数法： 根据国标《声学-阻抗管中吸声系数和声阻抗的测量-第二部分》 5.3中对阻抗管长度的要求，阻抗管应足够长，以便在声源和试件之 间产生平面波。传声器测点应在平面波场中。 除平面波外，扬声器一般还产生非平面波模式。那些频率低于第 一个高次波模式的截止频率的非平面波模式，将在大约三倍管径（圆 管）或三倍长边边长（矩形管）的距离内衰减掉。因此，建议传声器 离声源不要比上述的距离更近，任何情况下，不要小于一倍管径或一 倍长边边长为好。 测试样品也引起声场畸变。根据样品种类，传声器和样品之间的 最小间距建议为： 非特殊结构的：管径的1/2或长边边长的1/2 半圆——半圆结构的：1倍管径或1倍长边边长 非常不对称的：2倍管径或2倍长边边长 若将阻抗管横截面尺寸定为600*600，现有：
10-4~5~6驻波、多普勒效应
2 cos
2
cos
2
2π 2π y y1 y2 (2 A cos x ) cos t —— 驻波方程 T
驻波的振幅 从上式可看出: 合成以后各点都在作同周期的简谐 振动( 即驻波的周期还是原来波的周期 ) ；各点的振幅随 位置x 的不同而不同, 与时间 t 无关。
第十章 波动
由图得
A = 0.1m
y/cm 10
O -5
u
30 x/cm
坐标原点处质点的振动表达式为
0.6m 由图可知：
则
u
T
0.2m/s
该波波动表达式
2π x y x , t 0.1cos t 0.2 3
π m 2
第十章 波动
4
物理学
T 3
A yo 0.05 m 2 0 。 且有v o
1 t s 4
1 t s 4
o
2π 2π 1 π 2π t t 则 3 3 4 2 3
第十章 波动
2π ? 3
y(m)
3
物理学
第五版
π 2
2π rad / s 3
x y = 0.03cos 4 t - - u 2
第十章 波动
5
物理学
第五版
x 即： y 0.03cos 4 t - 0.20 2
将xo= - 0.05m 代入波动方程,得坐标原点O的振动方程:
0.05 yO 0.03cos 4 t 0.2 2 0.03cos 4 t 2
19
普通物理学-力学-波的叠加、干涉、驻波
AP AB2 BP 2 (15)2 (20)2 25(m)
已知 v P 20m
= 100 Hz ,u = 10 m· s-1
u
10 则波长为 0.10(m) 100
A
15m
B
由题知,两波反相位,设 A 的相位较 B 超前, 则二者的初相差为
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4 13
Δ ( x ) x - 14
由干涉静止条件,有
Δ ( x ) x - 14 (2k 1) , (k 0, 1, 2, ) xk - 14 (2k 1) xk 2k 15 , k 0, 1, 2, . 0 x L
求:AB 连线上因相干涉而静止的各点的位臵
u 4 （m）
解:取 A 点为坐标原点, A、B 连线为 X轴, 如图
B P X o L x (1)两相干波在B 点外侧任意P点处(即 x>L)的相位差为 A 波长为
=u/υ=4(m)
L=30m
L Δ B - A ( x - L) - x 2 16 4
则 AB 连线段上因干涉而静止的各点的位臵为
x 1, 3, 5, 7, 9,
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4
, 25, 27, 29 (m)
14
例 2: 如图,A、B 两点为某均匀介质中振福相等的相干波源,频率
为100 Hz,波速为10 m.s-1,已知点 A 为波峰时 B 为波谷,
求:A, B 发出的两列波传到 P 点时干涉的结果
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4 26
(3)驻波中各点处质元的相位关系
驻波比的计算公式
驻波比的计算公式驻波是在传播介质中发生的波动现象，其计算公式主要涉及到波长、波速和传播介质的特性。
驻波的计算公式主要有两个方面：波长和节点位置的计算。
1.波长的计算：波长是指同相位波之间的空间距离。
在一个驻波系统中，波长通常由以下公式给出：λ=2L/n其中，λ表示波长，L表示传播介质的长度，n表示节点数。
驻波系统中的节点是指波波动幅度为零的位置。
例如，当一条绳子两端固定且在上面产生驻波时，绳子上的节点数量为n=1,2,3,...，依此类推。
2.节点位置的计算：节点是指波动幅度为零的位置。
在一个简单的驻波系统中，可以使用以下公式计算节点位置：x=(2m+1)L/4n其中，x表示节点位置，L表示传播介质的长度，m表示节点序号（从0开始计算），n表示节点数。
例如，在一个固定两端的弦上产生的驻波系统中，第一个节点的位置为x=L/4，第二个节点的位置为x=3L/4，依此类推。
需要注意的是，以上的计算公式适用于基本的驻波系统。
但在实际情况中，还有其他一些因素需要考虑，比如边界条件、波速等。
3.边界条件：在实践中，边界条件对驻波的形成和位置起着重要作用。
例如，在固定两端的弦上形成驻波时，两端固定的条件限制了节点的位置。
当一个驻波系统在两端固定条件下形成时，节点位置的计算公式如下：x=(2m)L/2(n+1)其中，x表示节点位置，L表示传播介质的长度，m表示节点序号（从0开始计算），n表示节点数。
例如，在一个固定两端的弦上产生的驻波系统中，第一个节点的位置为x=L/(n+1)，第二个节点的位置为x=2L/(n+1)，依此类推。
4.波速的计算：波速是指波的传播速度。
在一个波动系统中，波速通常由以下公式给出：v=λf其中，v表示波速，λ表示波长，f表示波的频率。
在一个驻波系统中，波速也可以通过节点位置的计算进行估算。
根据节点位置的计算公式，在一个固定两端的弦上形成驻波时，节点之间的距离为λ/2、因此，波速可以通过以下公式计算：v=2f(x2-x1)其中，v表示波速，f表示波的频率，x2和x1表示两个相邻节点的位置。
10-5 驻波
振子
细绳
固定端
从图上可以看出，由上述两列叠加而成的波， 在绳上被分成几段，
每一段两端的点固定不动， 而每一段中的各点则作振幅不同的、位相相同的 独立振动； 中间的点，振幅最大， 越靠近两端的点，振幅越小， 而且发现，相邻两段的的点的振动方向是相反的。
振子
细绳
固定端
波腹
波节
此时，绳上各点，只有段与段之间的位相的突变， 而没有振动状态或位相的逐点的传播， 也即没有什么“跑动”的的波形， 所以这种波称为驻波。
3 x 2 2
2
3 2 5 x 2 2
讨论 位相
y 2 A cos
2
x
●
x2
●
x cos t
●
x
x3
●
x1
2
●
3 x 2 2
x1 x x2 x 2 x x3
2
3 2 5 x 2 2 cos 2
2 A cos
2
振幅 ——驻波的振幅与位置有关，与时间无关 波腹的位置——振幅最大的位置 发生在
x
cos
2
x 1
振幅
2 A cos
2Hale Waihona Puke x cos 2波腹的位置——振幅最大的位置
2
2
x k
xk
2
x 1
k 0， 1， 2， 3，
波节的位置——振幅最小的位置
相邻波腹（或波节）的距离
x k 1 x k
2
2
2
讨论 位相
y 2 A cos
驻波比取值范围
驻波比取值范围
驻波是一种在介质中传播的波，其振动方向与传播方向垂直。
在某些情况下，驻波会在介质中形成定态，此时波的振幅为定值，这种现象被称为驻波。
驻波的形成需要两个波源，它们之间的距离必须是波长的整数倍。
当两个波源发射的波完全相位相反时，它们会产生波的叠加，形成一个节点。
当两个波源发射的波相位相同时，它们会产生波的加强，形成一个波峰。
在驻波中，波的振幅是不同的，它们的取值范围可以通过以下公式计算：A = Amax * sin(n * π * x / L)，其中A表示振幅，Amax 表示波的最大振幅，n表示节点的数量，x表示距离节点的距离，L
表示波长。
从公式中可以看出，节点处振幅为0，而波峰处振幅为Amax。
在节点和波峰之间，振幅的取值范围是[-Amax, Amax]。
这个范围是不
断重复的，因为驻波是在介质中周期性地重复出现的。
- 1 -。
组别
介电 光谱仪
光电
霍耳
共振
PN结
偏振 干涉仪 双棱镜 粘滞
驻波 RC 电路
光电
介电
光谱仪
PN结
霍耳
共振 双棱镜 偏振 干涉仪 驻波
光谱仪 光电
介电
共振
PN结
霍耳 干涉仪 双棱镜 偏振
粘滞
驻波 RC 电路 粘滞
介电 光谱仪
光电
霍耳
共振
PN结
偏振 干涉仪 双棱镜 粘滞
驻波 RC 电路
光电
介电
光谱仪
PN结
霍耳
共振 双棱镜 偏振 干涉仪 驻波
物理实验（上）
绪
论
物理教学实验中心 2017年9月
课
你们关心的问题
和一年级有什么差别？ 难不难，如何得到好成绩？ 有什么用？
3. 理解实验所用的仪器
光栅光谱仪的内部光路结构
-----实验后 （报告上打报告的分数）
报告标题 摘 要：100-150字左右（5%） 用什么实验方法，做了什么工作，得到什么结论。 •引言： （5%）实验背景、意义，研究现状，你的实验动机。 •实验原理（10%）
精炼的语言简述实验背景 电路图、光路图、公式
1 做好实验记录，会用实验记录本
时间地点 现象规律描述 遇到的问题，想法
示意图
简单表格（明确测量的物理量及单位）
实验记录本打课堂操作和记录分数
2. 理解我们干涉法测量光的波长 光源的选择 产生干涉的装置 观察干涉条纹的装置
用菲涅耳双棱镜测量光的波长实验装置
双棱镜 偏振
假
干涉仪
驻波
光电 RC 电路 粘滞
介电 光谱仪 PN结
霍耳
驻波表的原理及设计
驻波比表和功率计的原理和实践对于一位 HAM 来讲，「驻波表」和「功率计」两种测量仪表，是每天都离不开的装备。
在 QSO 时，选定频率之后最关心的是现在的 SWR 正常否？有多少功率发射出去？因此可见，深入理解这两种仪表的原理与使用方法，是无线电业余家最基本的知识。
基本概念天线系统的 SWR 的大小，对发射效率有很大影响；SWR 大，意味着有大的功率被反射回发射机，使电台效率变低，甚至使发射机末级损坏。
可以说天线系统是一个发射台的瓶颈，不可忽视。
衡量功率反射大小的量称为「反射系数」，常用Γ (音 gamma)或ρ (音 rho) 表示。
为了讨论简单起见，我们假设负载阻抗为纯阻性的。
反射系数定义为：ρ= (反射电压波) / (入射电压波) (1)ρ=(RL-Ro)/(RL+Ro) (2)可见，当 Ro=RL ，则ρ =0，称为匹配状态。
当 RL>Ro ，ρ为正值；RL<Ro 时，ρ为负值。
如果 RL 为开路或短路，则ρ分别等于 +1 或 -1，称为「全反射」。
用反射系数可以完善地描述传输系统的匹配状态，但用驻波比 (SWR) 更为简单和直观。
我们知道，在匹配状态下，高频电磁能量全部流入负载，不存在反射。
这时，沿传输线各个位置上的电压振幅相等，不存在驻波，称为「行波状态」。
而在失配时，由于存在反射波，反射波与正向波的叠加结果，就会在线上的各个点的振幅，存在有规律的起伏，称为驻波状态，如图 2 所示。
驻波比定义为：SWR=Umax/Umin (3)SWR = (U 入+U 反)/(U 入-U 反) (4)图 1图 2：沿传输线各点电压分布。
SWR = (√P入+√P反)/(√P入-√P反) (5)显然地，当无反射时，SWR= 1，当全反射时SWR= ∞。
SW R = (1+|ρ|)/(1-|ρ|) (6)SWR = RL/Ro RL>Ro 时 (7)SWR = Ro/RL Ro>RL 时 (8)由公式可见，当Ro=50 Ω时，RL= 100 Ω或为25 Ω，都会使 SWR=2。
驻波检测理论分析
驻波检测理论分析驻波检测理论分析电压驻波⽐介绍电压驻波⽐（VSWR）为英⽂Voltage Standing Wave Ratio 的简写。
电压驻波⽐产⽣的原因主要是由于在系统或者电路中存在阻抗不匹配，在⽆线电通信中，由于天线与馈线的阻抗不匹配或天线与发信机的阻抗不匹配，⾼频能量就会产⽣反射折回，并与前进的部分⼲扰汇合发⽣驻波。
为了表⽰和测量天线系统中的驻波特性，也就是天线中正向波与反射波的情况，⼈们建⽴了“驻波⽐”(Standing Wave Ratio)这⼀概念，驻波⽐的全称是电压驻波⽐。
当两个阻抗数值⼀样时，即达到完全匹配，反射系数Γ等于0，驻波⽐为1。
这是⼀种理想的状况，实际上总存在反射，所以驻波⽐总是⼤于1 的。
理想的⽐例为1:1 ，即输⼊阻抗相等于传输线的特性阻抗,但⼏乎不可能达到，如果当VSWR 1.25:1 时，反射功率⼤概为1.14 %，当VSWR 1.5:1 反射功率为4.06 %，当VSWR 1.75:1时，反射功率为7.53 %，由这个数字我们可以知道, 驻波⽐越⼤, 反射功率越⾼。
在射频系统阻抗匹配中,特别要注意要使电压驻波⽐达到⼀定要求，在移动通信系统中，⼀般要求驻波⽐⼩于1.5，⼀样⼀般可以保证通信系统的良好⼯作。
同时，因为在宽带运⽤时频率范围很⼴，驻波⽐会随着频率⽽变，所以应使阻抗在宽范围内尽量匹配。
电压驻波⽐对系统性能的影响随着驻波⽐的恶化，有效传输的功率将会减少，这是由于理想的阻抗匹配(VSWR=1:1)可以使功率⽆损传输，⽽严重的阻抗失配(⾼VSWR)将导致传输到负载的功率减少。
⾼的VSWR可能引起多种系统问题，其中对VSWR最为敏感的器件是功率放⼤器，因为其输出功率较⼤可能达到200 ⽡左右，导致很⼤的功率反射，从⽽造成⽆线电装置的⼯作范围缩⼩、发射信号使接收部分饱和。
更为严重的影响是损坏发射机并且击穿传输电介质。
同时由于天线上反射回的信号在功率放⼤器处再次反射，然后重新发射出去，导致了类似多径现象，因此⾼VSWR可能引起基站系统的遮蔽衰落VSWR 值很⾼也有可能会损坏天馈系统，反射波在天线和发射机之间来回反复时会丧失⼀部分能量⽽转化为热能损耗了，这⼀部分热量增加了馈线对热损耗的承受能⼒，会产⽣破坏作⽤。
驻波实验报告
驻波实验报告篇一：驻波实验报告实验目的：1、观察弦振动及驻波的形成；3、在振动源频率不变时，用实验确定驻波波长与张力的关系；4、在弦线张力不变时，用实验确定驻波波长与振动频率的关系；4、定量测定某一恒定波源的振动频率；5、学习对数作图法。
实验仪器：弦线上驻波实验仪（FD-FEW-II型）包括：可调频率的数显机械振动源、平台、固定滑轮、可动刀口、可动卡口、米尺、弦线、砝码等；分析天平，米尺。
实验原理：如果有两列波满足：振幅相等、振动方向相同、频率相同、有固定相位差的条件，当它们相向传播时，两列波便产生干涉。
一些相隔半波长的点，振动减弱最大，振幅为零，称为波节。
两相邻波节的中间一点振幅最大，称为波腹。
其它各点的振幅各不相同，但振动步调却完全一致，所以波动就显得没有传播，这种波叫做驻波。
驻波相邻波节间的距离等于波长λ的一半。
如果把弦线一端固定在振动簧片上，并将弦线张紧，簧片振动时带动弦线由左向右振动，形成沿弦线传播的横波。
若此波前进过程中遇到阻碍，便会反射回来，当弦线两固定端间距为半波长整数倍时，反射波与前进波便形成稳定的驻波。
波长λ、频率 f和波速V满足关系：V = f λ(1)又因在张紧的弦线上，波的传播速度V 与弦线张力T及弦的线密度μ有如下关系：(2)比较(1)、(2)式得：(3) 为了用实验证明公式(3)成立，将该式两边取自然对数，得：(4)若固定频率f 及线密度μ，而改变张力T，并测出各相应波长λ，作lnT -lnλ图，若直线的斜率值近似为，则证明了的关系成立。
同理，固定线密度μ及张力T，改变振动频率f，测出各相应波长λ，作ln f - lnλ图，如得一斜率为的直线就验证了。
将公式(3)变形，可得：(5) 实验中测出λ、T、μ的值，利用公式（5）可以定量计算出 f 的值。
实验时，测得多个(n个)半波长的距离l，可求得波长λ为：(6)为砝码盘和盘上所挂砝码的总重量；用米尺测出弦线的长度L，用分析天平测其质量，求出弦的线密度（单位长度的质量）：(7)实验内容：1、验证横波的波长λ与弦线中的张力T 的关系（f 不变）固定波源振动的频率，在砝码盘上添加不同质量的砝码，以改变同一弦上的张力。
驻波中各点相位
6
矣;不为,则易者亦难
（2）相邻波节之间的距离
dλ1.250.625m 22
（3）振动速度
p p p v y 0 . 0 3 5 5 0 c o s ( 1 . 6 x ) s i n ( 5 5 0 t ) t
v(0 .0 2 ,0 .0 0 3 )
1 6 .5 p c o s(1 .6 0 .0 2 p)sin (5 5 0 p 0 .0 0 3 )
解： （1） y0.03cos(1.6πx)cos(550πt)
20.015cos(2πx)cos( 2π t) 1.25 0.00364
振幅 A=0.015m, 波长 λ=1.25m, 周期 T=0.00364s
波速 uλ 1.25 343.4m /s
T 0.00364 天下事有难易乎,为之,则难者亦易
νn
n u 2L
n1,2,...
这些频率叫弦振动的本征频率。
n=1时，ν 1 称为基频。
n=2,3,…对应的频率ν2 , ν3 ,
称为二次、三次…谐频。
注：由于驻波的波形和能量都“不传播”，因此驻 波并不是一个波动，而是一种特殊形式的振动。
天下事有难易乎,为之,则难者亦易
3
矣;不为,则易者亦难
例1、两波在同一绳索上传播，它们的方程分别为：
9
·
a·
·
·
说明：
衍射现象显著与否，和障碍物的大小与波长之
比有关，当障碍物的宽度远大于波长时，衍射现象
不明显；
当障碍物的宽度与波长差不多时衍射现象比较
明显；当障碍物的宽度远小于波长时，衍射现象更
加明显。
天下事有难易乎,为之,则难者亦易
10
大学物理习题--5.机械波
习题五5-1 振动和波动有什么区别和联系?平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同?又有什么联系?振动曲线和波形曲线有什么不同?解: (1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为)(t f y =；波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x ，又是时间t 的函数，即),(t x f y =． (2)在谐振动方程)(t f y =中只有一个独立的变量时间t ，它描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程),(t x f y =中有两个独立变量，即坐标位置x 和时间t ，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律．当谐波方程)(cos ux t A y -=ω中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持续不断地振动又是产生波动的必要条件之一．(3)振动曲线)(t f y =描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为y ，横轴为t ；波动曲线),(t x f y =描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律，其纵轴为y ，横轴为x ．每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置x 变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图．5-2 波动方程y =A cos ［ω(u x t -)+0ϕ］中的ux表示什么?如果改写为y =A cos (0ϕωω+-u x t )，u x ω又是什么意思?如果t 和x 均增加，但相应的［ω(ux t -)+0ϕ］的值不变，由此能从波动方程说明什么?解: 波动方程中的u x /表示了介质中坐标位置为x 的质元的振动落后于原点的时间；uxω则表示x 处质元比原点落后的振动位相；设t 时刻的波动方程为 )cos(0φωω+-=uxt A y t则t t ∆+时刻的波动方程为])()(cos[0φωω+∆+-∆+=∆+ux x t t A y t t其表示在时刻t ，位置x 处的振动状态，经过t ∆后传播到t u x ∆+处．所以在)(uxt ωω-中，当t ，x 均增加时，)(uxt ωω-的值不会变化，而这正好说明了经过时间t ∆，波形即向前传播了t u x ∆=∆的距离，说明)cos(0φωω+-=uxt A y 描述的是一列行进中的波，故谓之行波方程．5-3 波在介质中传播时，为什么介质元的动能和势能具有相同的位相，而弹簧振子的动能和势能却没有这样的特点?解: 我们在讨论波动能量时，实际上讨论的是介质中某个小体积元dV 内所有质元的能量．波动动能当然是指质元振动动能，其与振动速度平方成正比，波动势能则是指介质的形变势能．形变势能由介质的相对形变量(即应变量)决定．如果取波动方程为),(t x f y =，则相对形变量(即应变量)为x y ∂∂/.波动势能则是与x y ∂∂/的平方成正比．由波动曲线图(题5-3图)可知，在波峰，波谷处，波动动能有极小(此处振动速度为零)，而在该处的应变也为极小(该处0/=∂∂x y )，所以在波峰，波谷处波动势能也为极小；在平衡位置处波动动能为极大(该处振动速度的极大)，而在该处的应变也是最大(该处是曲线的拐点)，当然波动势能也为最大．这就说明了在介质中波动动能与波动势能是同步变化的，即具有相同的量值．题5-3图对于一个孤立的谐振动系统，是一个孤立的保守系统，机械能守恒，即振子的动能与势能之和保持为一个常数，而动能与势能在不断地转换，所以动能和势能不可能同步变化． 5-4 波动方程中，坐标轴原点是否一定要选在波源处? t =0时刻是否一定是波源开始振动的时刻? 波动方程写成y =A cos ω(uxt -)时，波源一定在坐标原点处吗?在什么前提下波动方程才能写成这种形式?解: 由于坐标原点和开始计时时刻的选全完取是一种主观行为，所以在波动方程中，坐标原点不一定要选在波源处，同样，0=t 的时刻也不一定是波源开始振动的时刻；当波动方程写成)(cos ux t A y -=ω时，坐标原点也不一定是选在波源所在处的．因为在此处对于波源的含义已做了拓展，即在写波动方程时，我们可以把介质中某一已知点的振动视为波源，只要把振动方程为已知的点选为坐标原点，即可得题示的波动方程．5-5 在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，描述各质点振动的什么物理量不同，什么物理量相同?解: 取驻波方程为vt x A y απλπcos 2cos2=，则可知，在相邻两波节中的同一半波长上，描述各质点的振幅是不相同的，各质点的振幅是随位置按余弦规律变化的，即振幅变化规律可表示为x A λπ2cos2．而在这同一半波长上，各质点的振动位相则是相同的，即以相邻两波节的介质为一段，同一段介质内各质点都有相同的振动位相，而相邻两段介质内的质点振动位相则相反．5-6 波源向着观察者运动和观察者向波源运动都会产生频率增高的多普勒效应，这两种情况有何区别?解: 波源向着观察者运动时，波面将被挤压，波在介质中的波长，将被压缩变短，(如题5-6图所示)，因而观察者在单位时间内接收到的完整数目(λ'/u )会增多，所以接收频率增高；而观察者向着波源运动时，波面形状不变，但观察者测到的波速增大，即B v u u +='，因而单位时间内通过观察者完整波的数目λu '也会增多，即接收频率也将增高．简单地说，前者是通过压缩波面(缩短波长)使频率增高，后者则是观察者的运动使得单位时间内通过的波面数增加而升高频率．题5-6 图多普勒效应5-7 一平面简谐波沿x 轴负向传播，波长λ=1.0 m ，原点处质点的振动频率为ν=2. 0 Hz ，振幅A ＝0.1m ，且在t =0时恰好通过平衡位置向y 轴负向运动，求此平面波的波动方程． 解: 由题知0=t 时原点处质点的振动状态为0,000<=v y ，故知原点的振动初相为2π,取波动方程为])(2cos[0φλπ++=xT t A y 则有 ]2)12(2cos[1.0ππ++=x t y)224cos(1.0πππ++=x t m5-8 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为y =A cos(Cx Bt -)，其中A ，B ，C 为正值恒量．求：(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；(2)写出传播方向上距离波源为l 处一点的振动方程；(3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d 的两点的位相差． 解: (1)已知平面简谐波的波动方程)cos(Cx Bt A y -= (0≥x )将上式与波动方程的标准形式)22cos(λππυxt A y -=比较，可知： 波振幅为A ，频率πυ2B =， 波长C πλ2=，波速CB u ==λυ， 波动周期BT πυ21==．(2)将l x =代入波动方程即可得到该点的振动方程)cos(Cl Bt A y -=(3)因任一时刻t 同一波线上两点之间的位相差为 )(212x x -=∆λπφ将d x x =-12，及Cπλ2=代入上式，即得 Cd =∆φ．5-9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y =0.05cos(10x t ππ4-)，式中x ,y 以米计，t 以秒计．求：(1)波的波速、频率和波长；(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度； (3)求x =0.2m t =1s 时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的运动状态在t =1.25s 时刻到达哪一点? 解: (1)将题给方程与标准式)22cos(x t A y λππυ-=相比，得振幅05.0=A m ，频率5=υ1-s ，波长5.0=λm ，波速5.2==λυu 1s m -⋅．(2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为ππω5.005.010max =⨯==A v 1s m -⋅222max 505.0)10(ππω=⨯==A a 2s m -⋅(3)2.0=x m 处的振动比原点落后的时间为08.05.22.0==u x s 故2.0=x m ,1=t s 时的位相就是原点(0=x )，在92.008.010=-=t s 时的位相， 即 2.9=φπ． 设这一位相所代表的运动状态在25.1=t s 时刻到达x 点，则825.0)0.125.1(5.22.0)(11=-+=-+=t t u x x m5-10 如题5-10图是沿x 轴传播的平面余弦波在t 时刻的波形曲线．(1)若波沿x 轴正向传播，该时刻O ，A ，B ，C 各点的振动位相是多少?(2)若波沿x 轴负向传播，上述各点的振动 位相又是多少?解: (1)波沿x 轴正向传播，则在t 时刻，有题5-10图对于O 点：∵0,0<=O O v y ，∴2πφ=O对于A 点：∵0,=+=A A v A y ，∴0=A φ 对于B 点：∵0,0>=B B v y ，∴2πφ-=B对于C 点：∵0,0<=C C v y ，∴23πφ-=C(取负值：表示C B A 、、点位相，应落后于O 点的位相)(2)波沿x 轴负向传播，则在t 时刻，有对于O 点：∵0,0>'='O Ov y ，∴2πφ-='O对于A 点：∵0,='+='A A v A y ，∴0='A φ对于B 点：∵0,0<'='B B v y ，∴2πφ=B 对于C 点：∵0,0>'='C C v y ，∴23πφ='C(此处取正值表示C B A 、、点位相超前于O 点的位相)5-11 一列平面余弦波沿x 轴正向传播，波速为5m ·s -1，波长为2m ，原点处质点的振动曲线如题5-11图所示． (1)写出波动方程；(2)作出t =0时的波形图及距离波源0.5m 处质点的振动曲线．解: (1)由题5-11(a)图知，1.0=A m ，且0=t 时，0,000>=v y ，∴230πφ=，又5.225===λυuHz ，则ππυω52==题5-11图(a)取 ])(cos[0φω+-=ux t A y ， 则波动方程为]23)5(5cos[1.0ππ+-=x t y m(2) 0=t 时的波形如题5-11(b)图题5-11图(b) 题5-11图(c)将5.0=x m 代入波动方程，得该点处的振动方程为)5cos(1.0)235.05.055cos(1.0πππππ+=+⨯-=t t y m 如题5-11(c)图所示．5-12 如题5-12图所示，已知t =0时和t =0.5s 时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b) ，波沿x 轴正向传播，试根据图中绘出的条件求： (1)波动方程；(2)P 点的振动方程．解: (1)由题5-12图可知，1.0=A m ，4=λm ，又，0=t 时，0,000<=v y ，∴20πφ=，而25.01==∆∆=t x u 1s m -⋅，5.042===λυu Hz ，∴ππυω==2 故波动方程为]2)2(cos[1.0ππ+-=x t y m(2)将1=P x m 代入上式，即得P 点振动方程为t t y ππππcos 1.0)]22cos[(1.0=+-= m题5-12图5-13 一列机械波沿x 轴正向传播，t =0时的波形如题5-13图所示，已知波速为10 m ·s -1，波长为2m ，求： (1)波动方程；(2) P 点的振动方程及振动曲线； (3) P 点的坐标；(4) P 点回到平衡位置所需的最短时间．解: 由题5-13图可知1.0=A m ，0=t 时，0,200<=v A y ，∴30πφ=，由题知2=λm ， 10=u 1s m -⋅，则5210===λυuHz∴ ππυω102==(1)波动方程为]3)10(10cos[.01ππ+-=x t y m题5-13图(2)由图知，0=t 时，0,2<-=P P v A y ，∴34πφ-=P (P 点的位相应落后于0点，故取负值)∴P 点振动方程为)3410cos(1.0ππ-=t y p (3)∵ πππ34|3)10(100-=+-=t x t ∴解得 67.135==x m(4)根据(2)的结果可作出旋转矢量图如题5-13图(a)，则由P 点回到平衡位置应经历的位相角题5-13图(a)πππφ6523=+=∆ ∴所属最短时间为121106/5==∆=∆ππωφt s5-14 如题5-14图所示，有一平面简谐波在空间传播，已知P 点的振动方程为P y =A cos(0ϕω+t )．(1)分别就图中给出的两种坐标写出其波动方程； (2)写出距P 点距离为b 的Q 点的振动方程． 解: (1)如题5-14图(a)，则波动方程为])(cos[0φω+-+=uxu l t A y 如图(b)，则波动方程为题5-14图])(cos[0φω++=uxt A y (2) 如题5-14图(a)，则Q 点的振动方程为 ])(cos[0φω+-=ubt A A Q 如题5-14图(b)，则Q 点的振动方程为])(cos[0φω++=ubt A A Q5-15 已知平面简谐波的波动方程为)24(cos x t A y +=π(SI)．(1)写出t =4.2 s 时各波峰位置的坐标式，并求此时离原点最近一个波峰的位置，该波峰何时通过原点?(2)画出t =4.2 s 时的波形曲线． 解:(1)波峰位置坐标应满足ππk x t 2)24(=+ 解得 )4.8(-=k x m (,2,1,0±±=k …) 所以离原点最近的波峰位置为4.0-m ． ∵uxt t t ωωππ+=+24 故知2=u 1s m -⋅,∴ 2.024.0=-='∆t s ，这就是说该波峰在2.0s 前通过原点，那么从计时时刻算起，则应是42.02.4=-s ，即该波峰是在4s 时通过原点的．题5-15图(2)∵2,4==u πω1s m -⋅，∴12===ωπλuuT m ，又0=x 处，2.4=t s 时，ππφ8.1642.40=⨯=A A y 8.02.44cos 0-=⨯=π又，当A y -=时，πφ17=x ，则应有πππ1728.16=+x 解得 1.0=x m ，故2.4=t s 时的波形图如题5-15图所示5-16 题5-16图中(a)表示t =0时刻的波形图，(b)表示原点(x =0)处质元的振动曲线，试求此波的波动方程，并画出x =2m 处质元的振动曲线．解: 由题5-16(b)图所示振动曲线可知2=T s ,2.0=A m ，且0=t 时，0,000>=v y ， 故知20πφ-=,再结合题5-16(a)图所示波动曲线可知，该列波沿x 轴负向传播，且4=λm ，若取])(2cos[0φλπ++=xT t A y题5-16图则波动方程为]2)42(2cos[2.0ππ-+=x t y 5-17 一平面余弦波，沿直径为14cm 的圆柱形管传播，波的强度为18.0×10-3J ·m -2·s -1，频率为300 Hz ，波速为300m ·s -1，求 ： (1)波的平均能量密度和最大能量密度? (2)两个相邻同相面之间有多少波的能量?解: (1)∵ u w I =∴ 53106300100.18--⨯=⨯==u I w 3m J -⋅ 4max 102.12-⨯==w w 3m J -⋅(2) νπλπωu d w d wV W 224141=== 7251024.9300300)14.0(41106--⨯=⨯⨯⨯⨯=πJ5-18 如题5-18图所示，1S 和2S 为两相干波源，振幅均为1A ，相距4λ，1S 较2S 位相超前2π，求： (1) 1S 外侧各点的合振幅和强度； (2) 2S 外侧各点的合振幅和强度解：（1）在1S 外侧，距离1S 为1r 的点，1S 2S 传到该P 点引起的位相差为πλλππφ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=∆)4(2211r r 0,0211===-=A I A A A（2）在2S 外侧.距离2S 为1r 的点，1S 2S 传到该点引起的位相差.0)4(2222=-+-=∆r r λλππφ2121114,2A A I A A A A ===+=5-19 如题5-19图所示，设B 点发出的平面横波沿BP 方向传播，它在B 点的振动方程为t y π2cos 10231-⨯=;C 点发出的平面横波沿CP 方向传播，它在C 点的振动方程为)2cos(10232ππ+⨯=-t y ，本题中y 以m 计，t 以s 计．设BP ＝0.4m ，CP ＝0.5m ，波速u =0.2m ·s -1，求：(1)两波传到P 点时的位相差；(2)当这两列波的振动方向相同时，P 处合振动的振幅；*(3)当这两列波的振动方向互相垂直时，P 处合振动的振幅． 解: (1) )(2)(12BP CP ---=∆λπϕφφ)(BP CP u --=ωπ0)4.05.0(2.02=--=ππ题5-19图(2)P 点是相长干涉，且振动方向相同，所以321104-⨯=+=A A A P m(3)若两振动方向垂直，又两分振动位相差为0，这时合振动轨迹是通过Ⅱ，Ⅳ象限的直线，所以合振幅为33122211083.210222--⨯=⨯==+=A A A A m5-20 一平面简谐波沿x 轴正向传播，如题5-20图所示．已知振幅为A ，频率为ν 波速为u ．(1)若t =0时，原点O 处质元正好由平衡位置向位移正方向运动，写出此波的波动方程；(2)若从分界面反射的波的振幅与入射波振幅相等，试写出反射波的波动方程，并求x 轴上 因入射波与反射波干涉而静止的各点的位置．解: (1)∵0=t 时，0,000>=v y ，∴20πφ-=故波动方程为]2)(2cos[ππ--=u x t v A y m题5-20图(2)入射波传到反射面时的振动位相为(即将λ43=x 代入)2432πλλπ-⨯-，再考虑到波由波疏入射而在波密界面上反射，存在半波损失，所以反射波在界面处的位相为πππλλπ-=+-⨯-2432 若仍以O 点为原点，则反射波在O 点处的位相为ππλλπ25432-=-⨯-，因只考虑π2以内的位相角，∴反射波在O 点的位相为2π-，故反射波的波动方程为 ]2)(2cos[ππυ-+=u x t A y 反 此时驻波方程为 ]2)(2cos[ππυ--=u x t A y ]2)(2cos[ππυ-++u x t A )22cos(2cos2ππυπυ-=t u x A 故波节位置为2)12(22πλππυ+==k x u x 故 4)12(λ+=k x (,2,1,0±±=k …)根据题意，k 只能取1,0，即λλ43,41=x 5-20 一驻波方程为y =0.02cos20x cos750t (SI)，求：(1)形成此驻波的两列行波的振幅和波速；(2)相邻两波节间距离．解: (1)取驻波方程为 t u x A y πυπυ2cos 2cos2= 故知 01.0202.0==A m 7502=πυ，则πυ2750=， 202=uπυ ∴ 5.37202/7502202=⨯==πππυu 1s m -⋅ (2)∵314.01.020/2====πυπυυλu m 所以相邻两波节间距离 157.02==∆λx m5-22 在弦上传播的横波，它的波动方程为1y =0.1cos(13t +0.0079x ) (SI)试写出一个波动方程，使它表示的波能与这列已知的横波叠加形成驻波，并在x =0处为波 节．解: 为使合成驻波在0=x 处形成波节，则要反射波在0=x 处与入射波有π的位相差，故反射波的波动方程为)0079.013cos(1.02π--=x t y5-23 两列波在一根很长的细绳上传播，它们的波动方程分别为1y =0.06cos(t x ππ4-)(SI), 2y =0.06cos(t x ππ4+)(SI)．(1)试证明绳子将作驻波式振动，并求波节、波腹的位置；(2)波腹处的振幅多大?x =1.2m 处振幅多大?解: (1)它们的合成波为)4cos(06.0)4cos(06.0t x x y ππππ++-=t x ππ4cos cos 12.0=出现了变量的分离，符合驻波方程特征，故绳子在作驻波振动．令ππk x =，则k x =，k=0,±1，±2…此即波腹的位置； 令2)12(ππ+=k x ,则21)12(+=k x ，,2,1,0±±=k …，此即波节的位置． (2)波腹处振幅最大，即为12.0m ；2.1=x m 处的振幅由下式决定，即 097.0)2.1cos(12.0=⨯=π驻A m5-24 汽车驶过车站时，车站上的观测者测得汽笛声频率由1200Hz 变到了1000 Hz ，设空气中声速为330m ·s -1，求汽车的速率．解: 设汽车的速度为s v ，汽车在驶近车站时，车站收到的频率为 01υυsv u u -= 汽车驶离车站时，车站收到的频率为02υυs v u u +=联立以上两式，得3010012001000120030021211=+-⨯=+-=υυυυυu 1s m -⋅ 5-25 两列火车分别以72km ·h -1和54 km ·h -1的速度相向而行，第一 列火车发出一个600 Hz的汽笛声，若声速为340 m ·s -1，求第二列火车上的观测者听见该声音的频率在相遇前和相遇后分别是多少?解: 设鸣笛火车的车速为201=v 1s m -⋅，接收鸣笛的火车车速为152=v 1s m -⋅，则两者相遇前收到的频率为 66560020340153400121=⨯-+=-+=υυv u v u Hz 两车相遇之后收到的频率为54160020340153400121=⨯+-=+-=υυv u v u Hz。
微波技术基础第五章课后答案
5-2若一两端口微波网络互易，则网络参量[]Z 、[]S 的特征分别是什么？ 解： 1221Z Z = 1221S S =5-4 某微波网络如右图。
写出此网络的[ABCD]矩阵，并用[ABCD]矩阵推导出对应的[S]及[T]参数矩阵。
根据[S]或[T]阵的特性对此网络的对称性做出判断。
75Z j =Ω解： 因为，312150275,2125025j j A A A jj --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以，12313754212004j A B A A A jC D ⎡⎤--⎢⎥⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦因为，归一化电压和电流为：()()()i i i V z a z b z ==+()(()()i i i i I z I z a z b z ==-(1)归一化ABCD 矩阵为： 00/AB Z a b CZ D c d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(2)所以： 1122220()()/a b A a b B a b Z +=++-1102222()()a b CZ a b D a b -=++-(3)从而解得：1001100221(/)1(/)1()1()A B Z A B Z b a CZ D CZ D b a ----+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(4)所以进而推得[S]矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+----++++=D CZ Z B A BC AD D CZ Z B A D CZ Z B A S 000000/2)(2//1][ (5) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-=j jj S 2722274211][ (6)由(3)式解得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++++----+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡220000000011////21b a D CZ Z B A D CZ Z B A D CZ Z B A D CZ Z B A a b (7)所以， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++++----+=D CZ Z B A DCZ Z B A D CZ Z B A DCZ Z B A T 00000000////21][(8)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--=j j j j T 274214212721][ （9）因为[S]阵的转置矩阵][][S S t=，所以，该网络是互易的。
(整理)利用驻波电桥测试驻波
利用驻波比电桥测驻波电桥是测量反射系数的传感器，用于射频网络测量，输出的反射信号即有幅度大小还有相位信息，具有频率宽、高定向性的特性。
本电桥简单应用可结合带跟踪源的射频频谱分析仪或者扫频仪，能测量器件的回波损耗和整个频带的反射情况；如结合矢量电压表或矢量电压测量装置加信号源可以精确测量电路矢量阻抗，完成射频匹配电路的测试及调试。
广泛应用在天线测量调试、射频电路以及广播、电视和通信设备等的测量与调试。
型号：AYT-1频率范围：1MHz～1GHz特性阻抗：50Ω方向性：≥35dB最大输入功率：≤0.2W插入损耗：6.5dB±0.5dB (从“输入”端到“测量”端)连接头形式：“输入”端、输出”端、"测量”端均为N Female 尺寸：95×65×32（L×W×H）mm对电桥定向性,我们一般以35dB为合格标准、以30dB为故障标准。
《实用射频技术》 P135此电桥的方向性是全段都≥35dB，中低段频率时≥40dB下面对反射电桥的一般使用做介绍：1.反射电桥定向性自校1.1将反射电桥接频谱仪的跟踪信号源输出,频谱仪频率范围设为1~1000MHz,水平每格100MHz,跟踪信号源输出幅度0dBm（其它也可以，以下均按0dBm输出测量）1.2反射电桥DUT端（被测器件端）开路。
（什么都不接，频率低、要求不高可以这样；频率高、要求高、要接开路器，因为有测试端面（位置基准），内芯开路时对外导体电容...等等，不能N座简单开路），1GHz信号不高，我们就简单N座开路就可以了。
记下频谱仪幅度。
如图约-14dBm1.3 反射电桥自校DUT端接50欧精密负载，看频谱仪测的幅度下降多少。
越大越好。
在1GHz以下，下降35dB为合格，40dB为优秀。
30dB为故障。
频率几GHz时，30dB左右也可以使用，频率几GHz时，到30dB也不容易了。
幅度下降可以这样理解，如果50欧精密负载和反射电桥内相应50欧（等）完全理想状况，那么反射电桥完全平衡，没有输出，即幅度下降无限，当然这是不可能的。
5-(5)驻波
x x y驻 = y入 + y反 = Acosω(t + ) + Acosω(t − ) u u 2x ωx π = 2Acos cosω = 2Acos t cosω t u λ
15 – 6
第十五章 机械波 x x y驻 = y入 + y反 = Acosω(t + ) + Acosω(t − ) u u
v u
yC入 = Acos(ω +ϕ) t
入射波在C点的振动方程： 入射波在 点的振动方程： 点的振动方程 反射波在C点的振动方程 反射波在 点的振动方程
yC反 = Acos(ω +ϕ ±π) t
实质：入射波在C引起的振动与反射波在 引起的振动与反射波在C引起的 实质 ： 入射波在 引起的振动与反射波在 引起的 振动反相（相位差π 振动反相（相位差π）
15 – 6
驻 波
λn
2
第十五章 机械波
两端固定的弦 两端固定的弦 固定 振动的简正模式
一端固定一端自由 一端固定一端自由 固定一端 的弦振动的简正模式
l=n
n = 1, 2,L
l=
1 λn l = (n − ) n = 1,2,L 2 2
λ1
2
l=
λ1
4
2λ 2 l= 2
3λ3 l= 2
3λ2 l= 4 5λ 3 l= 4
15 – 6
驻 波
位移最大时 波 节 波 腹 A B C
第十五章 机械波
四 驻波的能量
∂y 2 dE p ∝ ( ) ∂x
x x
平衡位置时
∂y 2 dE k ∝ ( ) ∂t
平衡位置=>形变为零 势能为零 平衡位置 形变为零=>势能为零，动能最大 形变为零 势能为零，
劳埃德镜和菲涅尔双面镜10-2分振幅干涉
§10-2 薄膜干涉
一. 等厚条纹
如果薄膜上下表面不平行, 由于膜很薄, AC间的
距离较小, 可以认为在这一范围内膜的厚度不变,
折射光2与反射光1近似平行, 则如例题9-3-1计算
光程差.
L 2nd cos
2
反射光1
P
n n
D 反射光2
Aγ C d
1、2两束反射光 来自同一束入射光， 它们可以产生干涉。
· S
1
L
ii
2
n n > n
n
Ar··B·D·C
d
膜厚均匀（d不变）
§10-2 薄膜干涉
Δ. 可以证明: 当一条光线通过平行平面玻璃板时, 反射光线1,2平行, 出射光线方向不变, 但产生侧 向平移. 当入射角很小时, 位移与其厚度成正比:
暗纹： (k+1/2)
（半整数级）
(4) 白光入射时，0级亮纹中心为白色 (可用来定0 级位置)，其余级亮纹构成彩带，1级红色在内侧? 第2级开始出现重叠（为什么？）
§10-1 分波前干涉
单色光入射的杨氏双孔干涉照片(黑白) 为提高干涉条纹的亮度, 常用三条平行的狭缝 代替小孔 S0 , S1, S2
2. 牛顿环
将一个曲率半径很大的平凸透镜与一块平面平行
厚玻璃板密接在一起如下图, 玻璃和透镜之间的空
气隙起到空气层薄膜的作用. 当平行光垂直入射时, 从空气薄膜的上下表面反射. 出相干光波, 其光程差
近似为:
L
2n2d
cos
2
2d
2
.
R
r
同厚度d对应同级条纹,
与等厚线(以O为心的圆
环族)平行——等厚条纹
2d
行波与驻波的区别
七、驻波教案教学目的1．知道驻波现象及什么是波节、波腹，驻波是一种特殊的干涉现象．2．理解驻波的形成过程，理解驻波与行波的区别，理解空气柱共鸣的条件．教具驻波演示仪、投影仪、水槽、音叉、玻璃管．教学过程●引入新课一列波在向前传播的途中遇到障碍物或者两种介质的分界面时，会发生反射，如果反射波和原来向前传播的波相互叠加，会发生什么现象呢？●进行新课【板书】 *第七节驻波一、驻波【演示】如课本图10－31所示，把弦线的一端A固定在电磁打点计时器的振针上，另一端跨过定滑轮拴一个砝码盘，盘上放砝码，将弦线拉平．在靠近定滑轮的B处，用一个尖劈把弦线支起来．接通电磁打点计时器的电源，振针振动时，有一列波向定滑轮的一侧传播，并在B处发生反射．改变尖劈的位置，来调节AB的长度，当尖劈调到某适当位置时，可以看到，弦线会分段振动起来．仔细观察这时弦线振动情况(课本10－32)，可以看到：【板书】 1．波节——弦线上有些点始终是静止不动的，这些点叫做波节．波腹——在波节和波节之间的那段弦线上，各质点以相同的频率、相同的步调振动，但振幅不同，振幅最大的那些点叫做波腹．在相邻的两段弦线上，质点的振动方向是相反的．相邻的两个波节(或波腹)之间的距离等于半个波长，即等于λ/2．【板书】 2．驻波——波形虽然随时间而改变，但是不向任何方向移动，这种现象叫做驻波．行波——驻波跟前面讲过的波形向前传播的那种波显然是不同的，相对于驻波来说波形向前传播的那种波叫行波．【板书】 3．两列沿相反方向传播的振幅相同、频率相同的波叠加，形成驻波．【板书】 4．振幅相同、频率相同波的叠加．课本10－33中用虚线表示两列沿相反方向传播的振幅相同、频率相同波的叠加，用实线表示这两列波叠加后形成的合成波．图中画出了每隔T/8周期波形的变化情况．由图可以看出，合成波在波节的位置(图中的“·”表示)，位移始终为零．在两波节之间，各质点以相同的步调在振动，两波节之间的中点振幅最大，就是波腹(图中用“＋”表示)．由此可知，驻波有如下特点：【板书】 5．驻波——特殊的干涉现象驻波也是一种波的干涉现象，但是一种特殊的干涉现象．其特殊性表现在两个方面：【板书】 6．波源特殊驻波是由频率相同，振幅相同，振动方向相同，而传播方向相反的两列波叠加而成的．【板书】 7．波形特殊波形虽然随时间而改变，但是不向任何方向移动，相邻两波节间质点运动方向一致，但振幅不同，波节两侧的质点振动方向总是相反．从上述弦线上驻波的形成来看，可以认为驻波是一种特殊的干涉现象．从驻波的振动情况来看，可以认为驻波是组成弦线的无数有相互联系的质点的一种振动模式．实际上，只要设法激起弦线的振动(弹、拉、打击等)，就能在弦线上产生驻波，并在周围空气中发出声波，这就是弦乐器发声的原理．管乐器是否是这样呢？【演示】在盛有水的容器中插入一根粗玻璃管，管口上方放一个正在发声的音叉，慢慢向上提起玻璃管，当管内空气柱达到一定长度时，可以听到空气柱发出较强的声音这时，从音叉发出并进入玻璃管的声波和经水面反射回来的反射波相互叠加，在空气柱内产生驻波，玻璃管开口处为波腹，水面处为波节，空气柱的长度l＝λ/4、l＝3λ/4、l＝5λ/4时．课本图10－34(乙、丙、丁)，都会产生驻波．【板书】 8．空气柱产生驻波条件l＝(2n＋1)/4(n＝0，1，2，3……)空气柱内的驻波可看作空气柱的一种振动模式，所以上述现象可看作音叉和空气柱发生了共鸣．实际上，只要设法激起空气柱的振动(如吹奏)，就能使空气柱产生驻波，并在周围空气中发出声波，这就是管乐器发声的原理．在上述实验中，如果测出空气柱的长度l，就可以测出声波的波长λ．如果已知音叉的频率f，还可测出声波的速度 v＝λf．【例】一玻璃管坚直插入一水槽中，在玻璃管上端有一发声音叉，频率为200Hz，上下移动玻璃管，测到相邻两次共鸣时管中空气柱的长度差为34 cm，如课本图 10－34所示，试求声速．分析与解：由于玻璃管中的空气要产生共鸣，空气柱长L等于λ/4的奇数倍，因此相邻两次共鸣的空气柱长度差：△L＝λ/2 根据：△L＝λ/2＝34cm 所以：λ＝68cm＝0.68m 又：v＝λ/T＝λf＝×500＝340 m/s●巩固练习(1)对着一只空罐子唱歌，当唱到某一单调(即某一频率)时，声音会特别响亮，同时罐子会发生振动，这是什么缘故？(2)课本图 10－34甲所示的情景中，如果音叉的频率是 400Hz，管在水面上的部分至少为多长时，管内空气柱会产生共鸣？(设这时空气中的声速为 340 m/s)●作业1．复习本节课文．2．课本练习五第(1)、(2)题．参考题(1)驻波的说法正确的是：[ ] A．两列向相反方向传播的波叠加就一定会产生驻波B．在驻波中有些质点始终静止不动；相邻的两个这样的质点的距离相距半个波长C．驻波各质点都有相同的振幅D．驻波中各质点的振动频率相同(2)说法正确的是：[ ] A．波节处质点始终静止B．波腹处质点的振幅最大C．波腹处质点的位移有时可能为零D．相邻的两个波节之间的距离为一个波长(3)如图10－23所示，在弦上的A、B两点间形成了如图所示的驻波，且两点间距离7.5m，则波长为：[ ] A．1mB．1.5mC．3mD．4m(4)弦ab之间某时刻形成的驻波如图10－24所示，那么经过半个周期后波形应是下图中的哪一个？[ ](5)驻波与行波的区别是[ ] A．驻波中的质点振动形式不向外传播，而行波的波形则外传播B．行波在传播过程中，质点沿波前进的方向移动，而驻波不同C．行波向外传播能量，而驻波不向外传播能量D．在形成驻波的区域内，存在着所有质点位移都为零的时刻，而行波在传播过程中不存在这样的时刻．(6)如图10－25所示，在玻璃管的上端有振动频率未知的音叉，现使音叉发声，并将玻璃管上提，当玻璃管口离水面距离为17cm，则刚好能听到空气柱共鸣(已知声音在空气中传播速度 v＝340 m/s)，则音叉的频率为：[ ] A．200 HzB．1000 HzC．500 HzD．100 Hz说明驻波与行波的区别1．物理意义不同：驻波是两列波的特殊干涉现象，行波是一列波在介质中的传播．2．质点振动不同：相邻波节间质点运动方向一致．波节两侧质点振动方向总相反．3．波形不同：波形向前传播的是行波，波形不向任何方向传播的是驻波．天津市武清区杨村一中郎荣福。
行波和驻波
x
u sin(t x)
0的情况
说明2
u sin(t x)是一个振幅（幅值）为1的行波，如果乘以 一个常数，则 u 2U 0 sin( t x) 仅在振幅上发生了变化。
u
2U 0 1
u 2U 0 sin( t x)
u sin(t x)
通解：
p1x p2 x UA A2e 1e
p1x p2 x I B1e B2e
边界条件不同，待定出的系数就不同。
振幅随距离增大而衰减的行波的表达式
u 2U 0 e
u
2U 0 e
x
cos(t x )
0
衰减因子
x
u 2U 0 cos(t x )
无衰减正弦波
x
2U 0 e x
紫色的虚线称为包络线，指各个波峰或波谷的值一定在这条虚线上。
正弦信号
u sin( t )
u
+ -
u sin( t )
t
说明：此表达式表示的含义不是一个正弦波，
只是说明u随着时间t是按正弦变化的。
u sin( x)
u
正弦分布
+ +
- -
+ ++ + - - - -
+
-
x
说明：此表达式表示的含义不是一个正弦波， 而是说明u在空间位置上是正弦分布的。
u i R0i L0 x t i u G0u C0 x t
u、i为正弦波 且只求稳态解
U L ( jI ) R0 I 0 x I C ( jU ) G0U 0 x
波动_驻波
第一諧音（n＝1） 第二諧音（n＝2） 第三諧音（n＝3） 第四諧音（n＝4）
基因與泛音 基音
第一泛音 第二泛音 第三泛音
f1＝
v 4L
第一諧音（n＝1）
基音
一
端
f3＝
3v 4L
＝
第三諧音（n＝3）
第一泛音
固 定
fn＝
3 f1
一 端
nv 4L
f5＝
5v 4L
＝
第五諧音（n＝5）
第二泛音
自
5 f1
由
[答案] D
(A)最低音頻即為基頻＝264 Hz；(B)基頻振動的波長λ＝2×1.5＝3.0（m）； (C)頻率愈高，波長會愈短； (D)弦可產生的音頻必為基頻的整數倍，故 528 Hz 是可以產生的聲波頻率； (E)不論弦以何種頻率振動產生聲波，在空氣中傳播的波速必為空氣中的聲
速大約為 340 m／s 左右。
2–5
駐波
1
駐波的產生
1. 駐波的定義： 兩週期性波動在同一介質中相向而行，因干涉作用， 造成合成波幅在節點間作週期性漲落，而波形不前進 的合成波稱為駐波。 2. 形成駐波的條件： 兩波須振幅、波長、頻率相同，且相向干涉。
3. 波節與波腹： (1) 節點或波節（node）：以符
號N表示。形成駐波的介質 中，質點振動位移恆為零之 點，如右圖a、b、c、d、e、f 處為波節。 (2) 腹點或波腹（antinode）： 以符號A表示。兩相鄰波節的 中點，振動幅度最大的點，如 右圖a'、b'、c'、d'、e'、f '處為 波腹。 具有以下性質：
生駐波：
(1) 因固定端必定為節點，自由端必定為腹點，設正弦波
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15
第五章 机械波
8
大学物理 （上）
第五章 机械波
9
大学物理 （上）
四 驻波的能量 位移最大时
波 节
∂y 2 dWp ∝ ( ) ∂x
x
x
∂y 2 dWk ∝ ( ) ∂t
波 腹 A B C
平衡位置时
驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化， 驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化，在相邻 的波节间发生动能和势能间的转换，动能主要集中在波腹， 的波节间发生动能和势能间的转换，动能主要集中在波腹， 势能主要集中在波节，但无能量的定向传播. 势能主要集中在波节，但无能量的定向传播
−3
（3） 令 ）
cos( π x +
4
)=0
1 得波节坐标 x = n + ( n = 0 ,1, 2, ⋯) 4 x ≤ 2 .25 m x = 0.25 m,1.25 m,2.25 m
π 令 cos( π x + ) = 1 4 1 得波腹坐标 x=n− ( n = 1, 2 , ⋯ ) 4 x ≤ 2 . 25 m x = 0.75 m,1.75 m
第五章 机械波
10
大学物理 （上）
五 振动的简正模式
两端固定的弦线形成驻波时， 两端固定的弦线形成驻波时，波长 λn 和弦线长 l 应满足 固定的弦线形2l
n = 1,2,⋯
第五章 机械波
11
大学物理 两端固定 固定的弦振动的简正模式 （上） 两端固定的弦振动的简正模式
= A cos 2π (ν t − x
λ x = 2 A cos 2π cos 2π ν t λ
第五章 机械波
) + A cos 2π (ν t +
x
λ
)
3
大学物理 （上）
讨论
(1)振幅 )
驻波方程
y = 2 A cos 2 π
x
x
λ
cos 2 π ν t
2 A cos 2 π
=
cos 2 π
x
1
2π
λ
4
λ
x = ±1
时
A′ = 2 A
波腹
(4
λ
的偶数倍) 的偶数倍
机械波
4
( k = 0 , ± 1 , ± 2， 第五章 ⋯)
大学物理 （上）
有些点始终不振动,有些点始终振幅最大. 结论 有些点始终不振动,有些点始终振幅最大 相邻波腹（节）间距 相邻波腹（ 波腹 相邻波腹和波节 相邻波腹和波节间距
2π
λ x
而异, 随 x 而异,与时间无关
λ
♦当
1 0 2 π = ± ( k + ) π k = 0 ,1, 2 , ⋯ λ 2 2π cos x = 0 时 A′ = 0 波节
x
λ
= ±k π
k = 0 ,1, 2 , ⋯
x = ( 2 k + 1)
♦当 cos
x = 2k
λ λ
4
(
λ
4
⋯ 的奇数倍) ( k = 0 , ± 1, ± 2， ) 的奇数倍
边界条件 驻波一般由入射、反射波叠加而成， 驻波一般由入射、反射波叠加而成，反射发生在两介质
交界面上，在交界面处出现波节还是波腹， 交界面上，在交界面处出现波节还是波腹，取决于介质的性 质. 介质分类： 波疏介质,波密介质 介质分类： 波疏介质, 波疏介质 波 疏 介 质 波密介质 波 密 介 质
ρu 较
=λ 2 =λ 4
y
−
λ
4
波腹
3λ 4
λ
2
振幅包络图 波节
λ
4
5λ 4
x
第五章 机械波
5
大学物理 ) （上） (2)
相位分布
x ∈ (−
λ λ
y = (2 A cos
2π
2π
, ), cos x>0 4 4 λ
y = (2 A cos
λ
x) cos ωt = A′ cos ωt
2π
λ
x) cos ωt
如图, 一列沿x轴正向传播的简谐波方程为 例 如图 一列沿 轴正向传播的简谐波方程为
y1 = 10 cos[200π(t − x / 200)]
−3
（1） ）
两种介质分界面上点A与坐标原点 相距L=2.25 m. 在1，2两种介质分界面上点 与坐标原点 相距 ， 两种介质分界面上点 与坐标原点O相距 已知介质2的波阻大于介质 的波阻, 的波阻大于介质1的波阻 已知介质 的波阻大于介质 的波阻 反射波与入射波的振 幅相等, 幅相等 求： 1）反射波方程 （2）驻波方程 （ ）反射波方程; ）驻波方程; 之间波节和波腹的位置坐标. （3）在OA之间波节和波腹的位置坐标 ） 之间波节和波腹的位置坐标 x −3 ） 解 （1）设反射波方程为 y2 = 10 cos[200 π(t + ） ) + ϕ 0 ] （2） 由式（1）得A点的反射振动方程 ）
−3
200
L y1 A = 10 cos[200 π(t − ) + π] 200 y
1 2
（3） ）
O
L
第五章 机械波
A
x
13
大学物理 （上）
由式（ ） 由式（2）得A点的反射振动方程 点的反射振动方程
y2 A
L = 10 cos[200 π(t + ) + ϕ0 ] 200
−3
（4） ）
由式（3）和式（4）得： 由式（ ）和式（ ）
大学物理 （上）
一 驻波的产生 1 现象
§5-5 驻波 5
2 条件
两列振幅相同的相干波相向传播
第五章 机械波
1
大学物理 （上）
3 驻波的形成
第五章 机械波
2
大学物理 （上）
二
负向
驻波方程
正向
y 1 = A cos 2π (ν t −
y 2 = A cos 2 π (ν t +
x
λx
λ
)
)
y = y1 + y 2
小
ρu 较
大
第五章 机械波
7
大学物理 （上）
相位跃变（半波损失） 三 相位跃变（半波损失）
波疏介质 波密介质 当波从波疏介质垂直入射到波密介质, 当波从波疏介质垂直入射到波密介质,被反射到波疏
介质时形成波节 入射波与反射波在此处的相位时时相反 波节. 相反, 介质时形成波节 入射波与反射波在此处的相位时时相反, 分界处产生 的相位跃变 跃变， 即反射波在分界处 即反射波在分界处产生π 的相位跃变，相当于出现了半个 波长的波程差， 半波损失. 波长的波程差，称半波损失 波密介质 波疏介质 当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 被反射到波密 介质时形成波腹 入射波与反射波在此处的相位时时相同 波腹. 相同， 介质时形成波腹 入射波与反射波在此处的相位时时相同， 即反射波在分界处不产生相位跃变 跃变. 即反射波在分界处不产生相位跃变
l=n
l =
λn
2
λ1
n = 1, 2,⋯
1 λn 一端固定一端自由 固定一端自由的弦振动的简正模式 一端固定一端自由的弦振动的简正模式l = ( n − ) 2 2
l =
2 2λ2 l = 2 3λ 3 l = 2
n = 1,
λ1
4
第五章
3λ 2 l = 4 5λ3 l = 机械波 4
12
大学物理 （上）
舍去
π ϕ 0 = −2 πL + π = -3.5π = -4π + 2 π ϕ0 = 2
所以反射波方程为： 所以反射波方程为：
x π y2 = 10 cos[200 π(t + ) + ] (m) 200 2
−3
第五章 机械波
14
大学物理 （上）
π π （2） y = y1 + y2 = 2 ×10 cos(πx + ) cos(200πt + ) ） 4 4 π
结论 相邻两波节间各点振动相位相同
x ∈ ( , ), cos x<0 4 4 λ 2π 2π y = − (2 A cos x) cosωt = (2 A cos x) cos(ωt + π)
结论 一波节两侧各点振动相位相反
λ 3λ
2π
λ
λ
y
−
λ
4
λ
4
3λ 4
5λ 4
x
6
第五章 机械波
大学物理 （上）