人教版-高中数学选修2-3 2.3.2 离散型随机变量的方差
2.3.2离散型随机变量的方差
0.99
0.01
练习：
1、若保险公司的赔偿金为a（a＞1000）元，为使保险 公司收益的期望值不低于a的百分之七，则保险公司应 将最大赔偿金定为多少元？
1000 0.97
1000－a 0.03
P
E = 1000－0.03a≥0.07a
得a≤10000 故最大定为10000元。
2、射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射 击，他射中目标的概率是0.7,若枪内只有5颗子弹,求射击 次数的期望。(保留三个有效数字)
⑵
i1
n
pi 1
1、设随机变量X的分布列为P(x=k)=1/4,k=1,2,3,4,则 EX= 。 2、若X是离散型随机变量，则E(X-EX)的值是 A.EX B.2EX C.0 D.(EX)
2
。
3、已知X的概率分布为
X P -1 1/2 0 1/3 1 1/6
且Y= aX+3,EY=7/3, 则a= 5、随机变量 的分布列为
析:审清题意是解决该题的关键.
1.抓住蝇子一个个有顺序地飞出,易联想到把8只蝇子看作8个元素有序排 列.
●●☆●●●☆●，由于ξ=0“表示☆ ●●●●●☆●”，最后一只必 为
1 7 1 6 果蝇，所以有ξ=1“表示 ● ☆ ●●●☆●●” P21（ξ=0 ） 6 A A6 A6 A A 7 2 7
s
2
1 n
[( x 1 x ) ( x i x ) ( x n x ) ]
2 2 2
s
2
1 10
[( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 2 2 )
2 2 2 2 2 2
人教A版高中数学选修2-3课件2.3.2离散型随机变量的方差
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离散型随机变量的方差
复习
前面，我们认识了数学期望. 数学期望: 一般地，若离散型随机变量 X 的概率分布 列为
X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn
则称 E(X)= x1 p1 x2 p2 … xk pk … xn pn 为 X 的数 学期望或均值．均值是离散型随机变量的一个特征数，它反 映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随 机实验中取值的平均值，但有时两个随机变量只用这一个特 征量是无法区别它们的.还需要对随机变量取值的稳定与波 动、集中与离散的程度进行刻画．
那么,根据方差的定义你能推出类似的什么结论:
可以证明,对于方差有下面两个重要性质：
⑴ D(aX b) a2D( X )
⑵ 若X ~ B(n, p)，则D( X ) npq (其中q 1 p)
练习一下
练习
1.已知随机变量x的分布列如下，则E(X)
与D(X)的值为 （ D ）
(A) 0.6和0.7 (B)1.7和0.3
DX=(0－1.3)2×0.3+(1－1.3)2×0.3＋ （2－1.3）2×0.2＋（3-1.3)2×0.2=1.21
期望值高，平均值大，水平高
方差值小，稳定性高，水平高
结论：甲乙两人次品个数的平均值 相等，但甲的稳定性不如乙，乙的生产 水平高.
例2 有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息：
下面的分析对吗？ ∵E(X1)= 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9
E(X2)= 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9 ∴甲、乙两射手的射击水平相同. （你赞成吗？为什么？）
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 2.3.2 离散型随机变量的方差》73
离散型随机变量的方差
本节课是高中数学选修2-3的内容。
从以下几个方面进行教材分析。
教学背景
离散型随机变量的方差是学生学习了离散型随机变量的分布列期望之后的进一步学习探究，是继期望之后反映随机变量取值分布的又一特征数。
学生之前在初中已经学习过样本的方差和标准差的概念和意义，对概念已有初步的了解，具备了类比推理的横向思维基础在必修三也学习了概率与统计的基础知识具备了进一步学习的能力。
学习方差将为今后学习概率统计知识做好铺垫，对今后学习概率统计学及其相关学科产生深远的影响。
教学目标
知识与技能
1理解随机变量方差和标准差的含义，
2会根据分布列求出随机变量的方差和标准差。
情感态度与价值观
1.体会解决问题的愉悦情绪，感受与他人合作交流的重要性。
2.使学生养成善于分析总结的习惯。
教学重点：
离散型随机变量的方差与标准差的含义。
教学难点：
通过比较两个随机变量的均值与方差的大小，解决实际问题。
教学方法
根据对教材的理解，结合学生的现状，为贯彻启发性教学原则，体现教师为主导，学生为主体的教学思想确定本节课的教法与学法为
从学生的认知规律出发，进行启发诱导，探索发现,提出问题，分组讨论法，合作探究。
充分调动学生的积极性，大胆放手敢于放手发挥学生的主体作用。
引导学生在自主学习与分组讨论过程中体会知识的价值，感受知识的无穷魅力。
重视学生学习过程中的参与度，自信心，团队精神与合作意识。
放手让学生通过计算、质疑、讨论等，培养学生善思考会思考，通过观察问题、发现问题、分析和解决问题，提高自学能力。
高二数学(人教B版)选修2-3课件：2.3.2离散型随机变量的方差
中 课 求E(X)，D(X)
程 标
解：依题意知离散型随机变量X服从参数为n=4，
准 p=0.1的二项分布，所以
Liangxiangzhongxue
E(X)=np=4×0.1=0.4，
D(X)=npq=4×0.1×0.9=0.36，
四、应用举例
普 例3.有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有1把能
通 把大门上的锁打开，用它们去试开大门上的锁。设
1000 0.4
根据工资待遇的差异情况， 你愿意选择哪家单位？
1400 0.3
1400 0.3
1600 0.2
1800 0.2
1800 0.1
2200 0.1
甲单位不同职位月工资X1/元 获得相应职位的概率P1
乙单位不同职位月工资X2/元 获得相应职位的概率P2
1200 0.4 1000 0.4
1400 0.3 1400 0.3
P
Cn0 p0qn Cn1 p1qn1 … Cnk pk qnk … Cnn pnq0
标
准 则，D(X)=npq，(q=1-p)。
Liangxiangzhongxue
证明：略(见本章附录)
四、应用举例
普 例1.已知两名射手在同一条件下进行射击，供选拔
通 参加大型比赛，其分布列如下：
高
中 所得环数
10
Liangxiangzhongxue
D(X)=q2·p+(0-p)2·q=q2p+p2q=pq。
这表明在二点分布试验中，离散型随机变量X围绕 期望的平均波动大小为pq。
三、概念形成
普 概念2. 离散型随机变量的方差的性质
通 性质2：若随机变量X服从二项分布(q=1-p)，
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第二章 2.3.2 离散型随机变量的方差
1 1 1 解析：因为 ＋ ＋p＝1，所以 p＝ . 2 3 6 1 1 1 2 又 E(ξ)＝0× ＋1× ＋x× ＝ .所以 x＝2. 2 3 6 3
2 2 1 2 2 1 2 2 1 15 故 (1)D(ξ)＝ 0－3 × ＋ 1－3 × ＋ 2－3 × ＝ 2 3 6 27
解得 p＝0.2，n＝10，故选 C. 答案：( B ) A．E(X)＝3.5，D(X)＝3.52 35 B．E(X)＝3.5，D(X)＝ 12 C．E(X)＝3.5，D(X)＝3.5 35 D．E(X)＝3.5，D(X)＝ 16
栏 目 链 接
栏 目 链 接
题型一 方差与标准差的计算 例1 已知离散型随机变量X的概率分布列为：
X P
1 1 7
2 1 7
3 1 7
4 1 7
5 1 7
6 1 7
7 1 7
栏 目 链 接
求其方差与标准差．
1 1 1 解析：∵E(X)＝1× ＋2× ＋„＋7× ＝4； 7 7 7 1 1 1 2 2 2 ∴D(X)＝(1－4) × ＋(2－4) × ＋„＋(7－4) × ＝4. 7 7 7 ∴ DX＝2.
第二章
随机变量及其分布
2．3 离散型随机变量的均值与方差
2.3.2 离散型随机变量的方差
栏 目 链 接
1．通过实例理解取有限值的离散型随机变量方
差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解 决一些实际问题．
栏 目 链 接
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基 础 梳 理 1．一般地，若离散型随机变量X的概率分布列为：
栏 目 链 接
例如：设ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝2.4，D(ξ) ＝1.44，求n，p. 答案：n＝6，p＝0.4
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 2.3.2 离散型随机变量的方差》1
离散型随机变量的方差（教学设计）一、教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，能够根据离散型随机变量的分布列求出方差与标准差。
过程与方法：了解方差公式Da ξb =a 2D ξ，以及若ξ～Βn ，，则D ξ=n 1—，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
情感、态度与价值观：通过实际例子，感悟数学在生活中无处不在 ,体现数学的文化功能与人文价值。
二、教学重难重点：离散型随机变量的方差、标准差。
难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题。
三、教学过程： （一）复习回顾：1数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 ++++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望，简称期望。
数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 。
2期望的一个性质：()b aE b a E +=+ξξ 3两种特殊分布的均值（1）若X 服从两点分布，则p EX = （2）若X ～B （n,），则np EX = （二）新知探究：问题：已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X 1、X 2的分布列如下：甲同学击中目标靶的环数X 1的分布列为乙同学击中目标靶的环数X 2的分布列为试比较两名射手的射击水平。
如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？分析：∵EX 1 =8×9×10×=9 EX 2 =8×9×10×=9∴甲、乙两射手的设击水平相同思考：这样的分析对吗？（显然两名选手的水平是不同的，这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性）（三）新课讲解 回顾：样本方差对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方差或标准差来刻画的，样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的偏离程度。
在一组数据n x x x ,,,21 中，各数据的平均数为x ，则这组数据的方差为：()()()[]2222121x x x x x x nS n -++-+-=思考：类似于这个概念,我们如何定义随机变量的方差？ 1离散性随机变量的方差与标准差：设离散型随机变量X 的概率分布为则2(())i x E X -描述职i i=1,2,3，……相对于均值EX 的偏离程度，而 ()i ni i p EX x DX 21∑=-=为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程度，我们称()X D 为随机变量X 的方差，用()X σ）为随机变量X 的标准差。
人教版高中数学选修2-3《2.3.2离散型随机变量的方差》
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
1400 , E（X 2） 1400 解： E（X1）
D（X1） 40000 , D（X 2） 160000
因为 E( X1 ) E( X 2 ), D( X1 ) D( X 2 )， 所以两家单位的工资均值相 等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相 对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲 单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．
布、二项分布的方差的求法． 难点：离散型随机变量的均值意义与方差意义的区别与联系．
回 顾
1、离散型随机变量 X 的均值（数学期望）
E （X） xi pi 反映了离散型随机变量取值的平均水平.
i 1
n
2、均值的性质
E (aX b) aE （X） b
3、特殊分布的均值
（X） p （1）若随机变量X服从两点分布，则 E （X） np （2）若 X ~ B(n, p) ，则 E
2.3.2离散型 随机变量的方差
【学习目标 】 1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的
概念和计算．
2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实
际问题． 3．掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的 求法，会利用公式求它们的方差．
【重点难点 】 难点：离散型随机变量的方差与标准差的概念和计算及两点分
课堂练习
1、在篮球比赛中，罚球命中一次得1分，不 中得0分。如果某运动员罚球命中的概率为0.7， 那么他罚球一次得分的方差是多少？
X P
X P
0 0.3
1 0.7
探究：若X服从两点分布：
0 1 1-p p
人教版高中数学选修2-3第二章2.3.2离散型随机变量的方差
导入新课复习回顾1 .离散型随机变量 X 的均值 均值反映了离散型随机变量取值的平均水平.2 . 两种特殊分布的均值（1）若随机变量X 服从两点分布，则EX=p.（2）若X~B(n ，p) ，则EX=np.ni ii=1EX =x p数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值.今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究.2.3.2离散型随机变量的方差教学目标知识与技能（1）了解离散型随机变量的方差、标准差的意义；（2）会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差.过程与方法了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ~Β(n，p)，则Dξ=np(1-p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 .情感、态度与价值观承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值.教学重难点重点离散型随机变量的方差、标准差.难点比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 .思考要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为X1 5 6 7 8 9 10P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为X2 5 6 7 8 9P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33根据已学知识，可以从平均中靶环数来比较两名同学射击水平的高低，即通过比较X1和X2的均值来比较两名同学射击水平的高低. 通过计算E(X1)=8，E(X2)=8，发现两个均值相等，因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.思考除平均中靶环数外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？图(1)(2)分别表示X 1和X 2的分布列图. 比较两个图形，可以发现，第二名同学的射击成绩更集中于8环，即第二名同学的射击成绩更稳定. O 5 6 7 10 9 8 P 1X 0.10.20.30.40.5O 5 6 7 9 8 P 2X 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 (1) (2) 怎样定量刻画随机变量的稳定性?1.方差设离散型随机变量X 的分布列为知识要点X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则(x i -E(X))2描述了x i (i=1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度.为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度.我们称 DX 为随机变量 X 的方差(variance). 其算术平方根 为随机变量X 的标准差(standard deviation). 记为 n2i ii=1DX =(x -EX)p DX σX 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小.说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标.思考随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别?随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量.对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.现在，可以用两名同学射击成绩的方差来刻画他们各自的特点，为选派选手提供依据.由前面的计算结果及方差的定义，得∑102DX=(i-8)P(X=i)=1.50,11i=5∑92DX=(i-8)P(X=i)=0.8222i=5因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.知识要点2.几点重要性质（1）若X服从两点分布，则D(X)=p(1-p); （2）若X~B(n，p)，则D(X)=np(1-p); （3）D(aX+b)=a2D(X).例题1A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：0 1 2 3次品数ξ1概率P 0.7 0.2 0.06 0.040 1 2 3次品数ξ1概率P 0.8 0.06 0.04 0.10问哪一台机床加工质量较好？解：Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44, Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44. 它们的期望相同，再比较它们的方差Dξ1=(0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2 ×0.06+(3-0.44)2×0.04=0.6064,Dξ2=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2 ×0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264.∴Dξ1< Dξ2 故A 机床加工较稳定、质量较好.例题2有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：/元1200 1400 1600 1800 甲单位不同职位月工资X10.4 0.3 0.2 0.1获得相应职位的概率P1乙单位不同职位月工资X/元1000 1400 1800 220020.4 0.3 0.2 0.1获得相应职位的概率P2根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得1EX =12000.4 + 1 4000.3 + 16000.2 + 18000.1 =1400⨯⨯⨯⨯2221DX = (1200-1400) 0. 4 + (1400-1400 )0.3 + (1600 -1400 )0.2⨯⨯⨯2+(1800-1400) 0. 1= 40 000⨯2EX =1 0000.4 +1 4000.3 + 1 8000.2 + 22000.1 = 1400⨯⨯⨯⨯2222DX = (1000-1400)0. 4+(1 400-1400)0.3 + (1800-1400)0.2⨯⨯⨯2+ (2200-1400 )0.l = 160000 .⨯分析：因为 ，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散.这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位.1212EX =EX ,DX <DX例题3有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X.（1）求随机变量的概率分布；（2）求X的数学期望和方差.4411689P(X =4)==,P(X =3)=0,P(X =2)=,P(X =1)=,P(X =0)=A 242424249861E(X)=0+1+2+30+4=124242424⨯⨯⨯⨯⨯222229861V(X)=(0-1)+(1-1)+(2-1)+(3-1)0+(4-1)=124242424⨯⨯⨯⨯⨯解：（1）因此X 的分布列为（2） X 0 1 23 4 P 9/24 8/24 6/24 0 1/24例题3有一庄家为吸引顾客玩掷骰子游戏，以便自己轻松获利，以海报形式贴出游戏规则：顾客免费掷两枚骰子，把掷出的点数相加，如果得2或12，顾客中将30元；如果得3或11，顾客中将20元；如果得4或10，顾客中将10元；如果得5或9，顾客应付庄家10元；如果得6或8，顾客应付庄家20元；如果得7，顾客应付庄家30元．试用数学知识解释其中的道理.解 :设庄家获利的数额为随机变量，根据两枚骰子的点数之和可能的结果以及游戏规则可得随机变量的概率分布为：X -30 -20 -10 10 20 30 P 2/36 4/36 6/36 8/36 10/36 6/36 246810665 E(X)=(-30)+(-20)+(-10)+10+20+30=⨯⨯⨯⨯⨯⨯3636363636369因此，顾客每玩36人次，庄家可获利约260元，但不确定顾客每玩36人次一定会有些利润；长期而言，庄家获利的均值是这一常数，也就是说庄家一定是赢家.1.熟记方差计算公式课堂小结n 2i i i=1DX =(x -EX)p 2=E(X-EX)22=EX -(EX)2. 三个重要的方差公式（1）若 X 服从两点分布，则 （2）若 ，则 X ~B(n,p)DX =np(1-p)DX =p(1-p)2(3)D(aX +b)=a DX3.求离散型随机变量X的方差、标准差的一般步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出EX；④根据方差、标准差的定义求出、σXDX高考链接1. （2005年天津）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是_____（元）.[答案]4760提示：分布列为ξ0.6 -2.5P 192/200 8/192故1928Eξ=0.6-2.5=4760()200200元⨯⨯2.（2002年天津）甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：5t/hm2）表所示：品种第一年第二年第三年第四年第五年甲9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙9.4 10.3 10.8 9.7 9.8则其中产量比较稳定的小麦品种是_______．[答案]甲种3.（2004年湖北）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用，联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用=采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的期望值）[解析]①不采用预防措施时，总费用即损失期望值为400×0.3=120（万元）；②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.l=40（万元），所以总费用为45＋40=85（万元）；③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30＋60=90（万元）；继续④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45＋30=75（万元），发生突发事件的概率为(1－0.9)(1－0.85)=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75＋6=81（万元）．综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少．1.填空课堂练习（1）已知x~B(100,0.5),则Ex=___,Dx=____,sx=___. E(2x-1)=____, D(2x-1)=____, s(2x-1)=_____. 50 25 59910010（1）已知随机变量x 的分布列如上表,则E x 与D x 的值为( )A. 0.6和0.7B. 1.7和0.3C. 0.3和0.7D. 1.7和0.21（2）已知x~B(n ，p)，E x =8，D x =1.6，则n ， p 的值分别是（ ）A ．100和0.08；B ．20和0.4；C ．10和0.2；D ．10和0.8 2.选择 √ x1 2 P 0.3 0.7√3.解答题（1）一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望.分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件.解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3①当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则P （ξ=0）= ②当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则P （ξ=1）= 43129=449119123=⨯③当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则P （ξ=2）= ④当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则 P （ξ=3）= 所以，Eξ= 3299=121110220⨯⨯32191=1211109220⨯⨯⨯399130+1+2+3=44422022010⨯⨯⨯⨯继续（2）有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξ~B（200，1%），从而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算.解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ~ B（200，1%）因为Eξ=np，Dξ=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以,Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98.习题解答1. E(X)=0×0.1+1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1=2. D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.2+(2-2)2×0.4+(3- 2)2×0.2+(4-2)2×0.1=1.2.D(X) 1.095.2. E(X)=c×1=c，D(X)=(c-c)2×1=0.3. 略.。
人教版A版高中数学选修2-3：2.3离散型随机变量的均值与方差
反),(反正),(反反),所以试验一次成功的概率为 1-
1 2
2
= 3.
4
所以在 2 次试验中成功次数 X 的取值为 0,1,2,
其中 P(X=0)=
1 4
2 = 116,
P(X=1)=C21
×
3 4
×
1 4
=
38,
P(X=2)=34
×
3 4
=
196,
所以在 2 次试验中成功次数 X 的均值是 E(X)=0× 116+1×
他们考核所得的等次相互独立.
(1)求在这次考核中,志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率;
(2)记这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ,求随机变 量ξ的分布列和均值E(ξ).
思考怎样求离散型随机变量X的均值与方差?
解 (1)记“甲考核为优秀”为事件A,“乙考核为优秀”为事件B,“丙考核为优秀”为 事件C,“志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀”为事件E,
请同学们阅读课本，通过自学完成以下问题：
• 1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
• (1)均值是算术平均数概念的推广,与概率无关.( ) • (2)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回 事.( ) • (3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度, 方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.( ) • (4)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的均值,σ 是正态分布的标准差.( )
(2)从招聘职工(人数很多)中任意选取3人,记X为这3名职工中参加这种技能培 训时间不少于90小时的人数.试求X的分布列、均值E(X)和方差D(X).
高中数学选修2-3课时作业7：2.3.2离散型随机变量的方差
2．3.2 离散型随机变量的方差一、基础达标1．下列说法中，正确的是( )A ．离散型随机变量的均值E (X )反映了X 取值的概率平均值B ．离散型随机变量的方差D (X )反映了X 取值的平均水平C ．离散型随机变量的均值E (X )反映了X 取值的平均水平D ．离散型随机变量的方差D (X )反映了X 取值的概率平均值 [答案] C2．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( ) A ．m B ．2m (1－m ) C ．m (m －1) D ．m (1－m )[答案] D[解析] 随机变量ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×(1－m )＋1×m ＝m .∴D (ξ)＝(0－m )2×(1－m )＋(1－m )2×m ＝m (1－m )．∴故选D.3．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝1,2,3，则D (3X ＋5)等于( )A ．6B ．9C ．3D ．4 [答案] A[解析] E (X )＝1×13＋2×13＋3×13＝2，∴D (X )＝13×[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝23，∴D (3X ＋5)＝9D (X )＝9×23＝6.4．已知X ～B (n ，p )，E (X )＝8，D (X )＝1.6，则n 与p 的值分别是( ) A ．100和0.08 B ．20和0.4 C ．10和0.2 D ．10和0.8[答案] D[解析] 因随机变量X ～B (n ，p )， 则E (X )＝np ＝8， D (X )＝np ·(1－p )＝1.6， 所以n ＝10，p ＝0.8.5．若D (ξ)＝1，则D (ξ－D (ξ))＝________. [答案] 1[解析] D (ξ－D (ξ))＝D (ξ－1)＝D (ξ)＝1. 6．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________.[答案] 59[解析] 由题意得2b ＝a ＋c ①，a ＋b ＋c ＝1②，c －a ＝13③，以上三式联立解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，故D (ξ)＝59. 7．有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：其中ξA ，ξB 120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度．(哪一种的稳定性较好)解 E (ξA )＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125， E (ξB )＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，D (ξA )＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，D (ξB )＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165，由此可见，E (ξA )＝E (ξB )，D (ξA )<D (ξB )，故两种材料的抗拉强度的平均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，故甲的稳定性好． 二、能力提升8．已知随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的标准差为( )A.3.56B. 3.2C ．3.2D. 3.56 [答案] D[解析] 依题意：0.4＋0.1＋x ＝1， ∴x ＝0.5，∴E (ξ)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，∴D (ξ)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56， ∴D (ξ)＝ 3.56.9．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n (23)k (13)n －k，k ＝0,1,2，…，n ，且E (ξ)＝24，则D (ξ)的值为( ) A ．8B ．12C.29D ．16[答案] A[解析] 由题意可知ξ～B (n ，23)，∴E (ξ)＝23n ＝24.∴n ＝36.∴D (ξ)＝36×23×(1－23)＝8.10．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.[答案] 25[解析] 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.11．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E (ξ)和D (ξ)．解 这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2， 则P (ξ＝6)＝C 38C 310＝715.ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P (ξ＝9)＝C 28C 12C 310＝715.ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则P (ξ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.D (ξ)＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.12．为了迎战下届奥运会，对甲、乙两名射手进行一次选拔赛．已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a ，a ，0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(其中ξ为甲击中的环数，η为乙击中的环数)(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．解(1)依据题意，知0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.∴ξ，η的分布列分别为(2)结合(1)中ξ，η的分布列可得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.∵E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高．又∵D(ξ)<D(η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定．∴甲的射击技术好．三、探究与创新13．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，均值E(X)及方差D(X)．解(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X＝0)＝C03(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216，则X的分布列为因为X～B(3,0.6)，所以均值E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.。
人教版A版高中数学选修2-3：2.3.2 离散型随机变量的方差
版本：人教A版
一、评价反馈
1、优秀小组：第2组、第7组 2、存在的问题：学生对离散型随机变量 的方差、标准差计算还不熟练，学生的计 算能力还需加强。另外，预习评价部分大 都数同学都有问题。
一、评价反馈
4、解决存在的问题： 1.一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3 个次品，从中任取一个，如果每次取出次品 就不再放回去，再取一个零件，直到取得正 品为止．求在取得正品之前已取出次品数的 期望．
四、当堂检测：
1.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相 互独立的随机变量ζ和η，已知ζ和η的分布列如下：（ 注得分越大，水平越高），试分析甲、乙技术状况。
ζ1
2
3
p a 0.1 0.6
η 123 p 0.3 b 0.3
五、小结：今天你学习那 些知识？
ξB 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中ξA、ξB分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度．在使 用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种 钢筋哪一种质量较好。
三、探究总结、形成新知
例2.在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有 200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100 元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是 多少元？
二、复习探究、思考引入
问题：有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连
续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求E（ξ），D（ξ）。
三、探究总结、形成新知 新疆
王新敞 奎屯
例1．A、B两台机床同时加工零件，每生产一
批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所
示： A机床
高中数学选修2-3学案：2.3.2离散型随机变量的方差
2．3．2离散型随机变量的方差【学习目标】 1了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差；2.了解方差公式“2()()D aX b a D X +=”， “若X ~(,)B n p ，则()(1)DX n p p =-”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差.【自主学习】1.什么是离散型随机变量的方差、标准差？2.求离散型随机变量X 的方差、标准差的步骤是什么？3.如何比较两个随机变量的期望与方差的大小？4.离散型随机变量方差的性质是什么？5. 怎样定量刻画随机变量的稳定性呢?6.能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量的稳定性呢?【自主检测】 1.若随机变量X 满足随机变量()1,=P X c ==其中c 为常数，则D(X) 2.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数X 的均值、方差和标准差抛掷骰子所得点数X 的分布列为()E X = ()D X = ()X σ=3．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.4用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平____________.【典型例题】例1.有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息: 甲单位不同职位月工资X 1/元 1200 1400 1600 1800获得相应职位的概率P 10.4 0.3 0.2 0.1乙单位不同职位月工资X 2/元 1000 1400 1800 2000获得相应职位的概率P 2 0.4 0.3 0.2 0.1根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?例2.设事件A 发生的概率为p ，证明事件A 在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4【课堂检测】1 .已知()~,,()8,()1.6B n p E D ξξξ==，则,n p 的值分别是 （ ）A ．100；0. 08B ．20；0.4C ．100；0. 2D ．10；0. 82. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．则在取得正品之前已取出次品数的期望为3．若随机变量X 满足随机变量()1,P X c ==其中c 为常数，则D(X)=______.【总结提升】1、了解离散型随机变量的方差、标准差的意义；2、离散型随机变量方差的性质3．利用随机变量的期望与方差的意义大小解决实际问题ξ 1 2 3 p a 0.1 0.6。
高中数学选修2-3精品课件2：2.3.2 离散型随机变量的方差
D(X1)＝0.6×(0-0.7)2＋0.2×(1-0.7)2＋0.1×(2-0.7)2＋0.1×(3-0.7)2＝
1.01
D(X2)＝0.5×(0-0.7)2＋0.3×(1-0.7)2＋0.2×(2-0.7)2＋0×(3-0.7)2＝
0.61
乙的技术稳定性较好
考察0－1分布
X
0
1
P 1－ p p
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2…pn Nhomakorabea设μ＝E(X)，则(xi－μ)2描述了xi(i=1,2,...,n)相对于均值μ的偏离
程度，故(x1－μ)2 p1＋ (x2－μ)2 p2＋...＋ (xn－μ)2pn
(其中pi≥0，i＝1,2,…,n；p1＋p2＋…＋pn＝1) 称为离散型随机变量X的方差，记为D(X)或σ2
∴ D(X)＝ 4＝2.
例2.已知随机变量X的分布列是
X0
1
2
3
4
P 0.2 0.2 0.3 0.2 0.1
试求D(X)和D(2X－1).
解:E(X)＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8. ∴D(X)＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－ 1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56. 对于D(2X－1)，可用两种方法求解． 方法1：2X－1的分布列如下表：
0
3、随机抛掷一个骰子，求所得骰子点数X的数学期望E(X). 3.5
4、已知100件产品中有10件次品，求任取5件产品中次品的数学期望.
0.5
5、射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他 射中目标的概率是0.7,若枪内只有5颗子弹,求射击次数的期望. (保留三个有效数字)
人教版数学高二A版选修2-3课前引导2.3.2离散型随机变量的方差
高中数学打印版
精心校对版本 2.3.2 离散型随机变量的方差
课前导引
问题导入
随机变量的期望显示了随机变量取值的平均水平，但这还不足以描述随机变量的其它特征.在许多实际问题中，除了考虑随机变量的期望，还要研究它的各个值与平均值之间的离散程度.而方差就反映出了随机变量与平均值之间的差别程度.
知识预览
1.方差、标准差.
则(x i -EX)2描述了x i (i=1,2, …,n)相对于均值EX 的偏离程度.而DX=∑=-n N i i P EX X
12)(为这
些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程度，我们称DX 为随机变量X 的方差，其算术平方根DX 为随机变量X 的标准差，记作σX.
2.随机变量函数的方差
对随机变量函数y=ax+b(a 、b 的常数)而言，EY=E(ax+b)=aEX+b,则DY=a 2DX
3.两点分布与二项分布的方差
(1)若X 服从两点分布，则DX=p(p-p)
(2)若X —B(n,p),则DX=npq(q=1-p).。
高中数学人教A版选修2-3第二章-2离散型随机变量的方差课件
xn
…
pn
则 (xi E(X))2描述了 xi (i1,2,...,n) 相对于均值 E ( X )
的偏离程度.而
n
D(X)
(xi E(X))2pi
i1
为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量
X 与其均值 E(X) 的平均偏离程度. 称 D(X)为随
机变量 X 的方差. 称 D X 为随机变量X的标准差.
2.3.2 离散型随机变量的方差
复习回顾
一、离散型随机变量的均值 数学期望
X x 1 x 2 ··· x i ··· x n
P p1 p2 ··· p i ··· pn
E ( X ) x 1 p 1 x 2 p 2 x ip i x n p n
二、离散型随机变量均值的线性性质
E (a X b ) a E (X ) b
高中数学人教A版选修2-3第二章-2离 散型随 机变量 的方差 课件（ 公开课 课件）
请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.
X 1 5 6 7 8 9 10 P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
X2
5
6
7
8
9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
EX1 8
高中数学人教A版选修2-3第二章-2离 散型随 机变量 的方差 课件（ 公开课 课件）
高中数学人教A版选修2-3第二章-2离 散型随 机变量 的方差 课件（ 公开课 课件）
例5:有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元 1200 1400 1600 获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2
0.4
0.3
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2
X DX 1.71
（2）决策问题
2n2 p2
n p
第二步得
2
2
k Cn p k (1 p)n k n 2 p 2 k 0
DX np(1 p)
3、方差的性质 （1）线性变化
平移变化不改变方差，但是伸缩变化改变方差
D(aX b) a2 DX
（2）方差的几个恒等变形
n
DX ( xi EX )2 pi
王新敞
奎屯 新疆
④根据方差、标准差的定义求出 DX 、 X
3、能熟练地直接运用两个特殊分布的方差公式
（1）若 X 服从两点分布，则
DX p(1 p)
（2）若 X ~ B(n, p) ，则 DX np(1 p) 4、掌握方差的线性变化性质
D(aX b) a2 DX
5、对于两个随机变量 X 1 和 X 2在 EX1 与 EX 2相等或 很接近时，比较 DX1 DX 2，可以确定哪个随机变量 和 的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要.
例5．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元 1200 1400 1600 1800
获得相应职位的概率P1
乙单位不同职位月工资X2/元 获得相应职位的概率P2
0.4
1000 0.4
0.3
1400 0.3
0.2
1800 0.2
0.1
2200 0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得
因为 EX1 EX 2 , DX1 DX 2 ，所以两家单位的工资均值相等， 但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资 相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些， 就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些， 就选择乙单位．
（三）、练习
1 .已知 ~ B n, p , E 8, D 1.6 ，则 n, p 的值分别是（ D ）
2
3、对方差的几点说明（源自）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值 偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小. 说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标 准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标.
（2）随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？
随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同 而变化的，因此样本的方差是随机变量.
对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来 越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.
（二）、公式运用 1、请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.
X1
P
X2
5 0.03 5 0.01
6 7 0.09 0.20 6 0.05
8 0.31
9 0.27 8 0.41
9 i 5
10 0.10 9 0.33
P
P
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O 5 6 7 8 9 10 X 1 O 5 6 7 8 9 X2 （2）比较两个分布列图形，哪一名同学的成绩更稳定？ 第二名同学的成绩更稳定.
2、定量分析 怎样定量刻画随机变量的稳定性？ （1）样本的稳定性是用哪个量刻画的？ 方差 （2）能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量 的稳定性呢？ （3）随机变量 X 的方差 设离散型随机变量 X 的分布列为 … … x1 x2 xi xn X … pn p2 … pi P p1
EX1 1200 0.4 + 1 400 0.3 + 1600 0.2 + 1800 0.1 =1400
DX1 (1200-1400) 2 0. 4 (1400-1400 ) 2 0.3 (1600 -1400 )2 0.2
(1800-1400) 0. 1 40 000
P
10 i 5
7 0.20
2 DX 1 (i 8)2 P( X 1 i ) 1.50, DX 2 (i 8) P( X 2 i ) 0.82
因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击 成绩稳定性较好，稳定于8环左右. 如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班 应该派哪一名选手参赛？如果其他班级参赛选手的成绩 在7环左右，又应该派哪一名选手参赛？
2、两个特殊分布的方差 （1）若 X 服从两点分布，则
DX p(1 p)
（2）若 X ~ B(n, p) ，则 DX np(1 p) （2）证明提示：
第一步求
k C
2 k 0
n k 0 n
n
k n
p (1 p)
k
nk
n(n 1) p2 np
k 2np kCn p k (1 p)n k
2
EX 2 1 000 0.4 1 400 0.3 1 800 0.2 2200 0.1 1400
DX 2 (1000-1400)2 0. 4 (1 400-1400)2 0.3 (1800-1400)2 0.2
+ (2200-1400 )2 0.l = 160000 .
则 ( xi EX ) 描述了 xi (i 1, 2,..., n) 相对于均值 EX 的偏离程度. n DX ( xi EX )2 pi 为这些偏离程度的加权平均，刻画 而 i 1 了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度.我们称 DX为 随机变量 X 的方差.其算术平方根 DX 为随机变量X的标 准差，记为 X
一、温故而知新
1、离散型随机变量 X 的均值（数学期望）
n
EX xi pi 均值反映了离散型随机变量取值的平均水平.
i 1
2、性质—线性性质
(1) E (aX b) aEX b
(2)
3、两种特殊分布的均值
E (aX bY ) aEX bEY
（1）若随机变量X服从两点分布，则 EX （2）若 X ~ B(n, p) ，则 EX
p
np
二、探究
要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数 X1 的分布列为
X1
P
X2
5 0.03
5 0.01
6 7 0.09 0.20
6 0.05 7 0.20
8 0.31
9 0.27
10 0.10
9 0.33
第二名同学击中目标靶的环数
X 2的分布列为
100 A． 和0.08
B． 20和0.4
C. 10和0.2
D. 10和0.8
王新敞
奎屯
新疆
2. 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出 200件商品，设其中次品数为X，求EX，DX EX=2 ; DX=1.98 3. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中 任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个 零件直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品 数的期望与方差． EX=0.3 ；DX=351/1100
王新敞
奎屯 新疆
（四）、小结
1、熟记方差计算公式
2 2 DX ( xi EX )2 pi E( X EX )2 EX (EX )
n
i 1
2、求离散型随机变量X的方差、标准差的一般步骤： ①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； ②求X取各个值的概率，写出分布列；
③根据分布列，由期望的定义求出 EX；
8 0.41
P
请问应该派哪名同学参赛？
EX1 8 , EX 2 8
发现两个均值相等
因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.
三、新课分析
（一）、随机变量的方差 1、定性分析 除平均中靶环数以外，还有其他刻画两名同学各自 射击特点的指标吗？ （1）分别画出 X1 , X 2 的分布列图.
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
i 1
E( X EX )2
EX 2 ( EX )2
注：要求方差则先求均值
4、应用举例 （1）计算 例4．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、 方差和标准差.
解：抛掷散子所得点数X 的分布列为 X
.
1
1 6
;
2
1 6
3
1 6
4
1 6
5
1 6
6
1 6
P
从而 EX 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3.5 6 6 6 6 6 6