2007年高考数学第二轮复习专题专题03三角函数复习
高考数学二轮复习 专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质 理-
专题二 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲 三角函数的图象与性质1．角的概念．(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”)． (2)确定角α所在的象限，只要把角α表示为α＝2k π＋α0[k ∈Z，α0∈[0，2π)]，判断出α0所在的象限，即为α所在象限．2．诱导公式．诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.2．同角三角函数的基本关系． (1)sin 2α＋cos 2α＝1. (2)tan α＝sin αcos α．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√)(4)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．(√) (5)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．(×) (6)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×)1．(2015·某某卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于(D )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512解析：解法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－（－513）2＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512. 解法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．已知α的终边经过点A (5a ，－12a )，其中a ＜0，则sin α的值为(B ) A ．－1213 B.1213 C.513 D ．－5133．(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为(A ) A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③解析：①中函数是一个偶函数，其周期与y ＝cos 2x 相同，T ＝2π2＝π；②中函数y ＝|cos x |的周期是函数y ＝cos x 周期的一半，即T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.故选A.4．(2015·某某卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(π6x ＋φ)＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(C )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.一、选择题1．若sin(α－π)＝35，α为第四象限角，则tan α＝(A )A ．－34B ．－43C.34D.43 解析：∵sin(α－π)＝35，∴－sin α＝35，sin α＝－35.又∵α为第四象限角， ∴cos α＝ 1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－3545＝－34.2. 定义在R 上的周期函数f (x )，周期T ＝2，直线x ＝2是它的图象的一条对称轴，且f (x )在[－3，－2]上是减函数，如果A ，B 是锐角三角形的两个内角，则(A )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (cos B )>f (sin A )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos B )>f (cos A )解析：由题意知：周期函数f (x )在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数．又因为A ，B 是锐角三角形的两个内角，A ＋B >π2，得：sin A >cos B ，故f (sin A )>f (cos B )．综上知选A.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为(A )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：用五点作图法画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的图象，注意0≤x ≤9知，函数的最大值为2，最小值为－ 3.故选A.4. 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是(A )解析：y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的解析式为y ＝cos (x ＋1)．故选A.5．(2015·新课标Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为(D )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象(部分)如图所示，则f (x )的解析式是(A )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π6(x ∈R)C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由图象可知其周期为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13＝2，∵2πω＝2，得ω＝π，故只可能在A ，C 中选一个，又因为x ＝13时达到最大值，用待定系数法知φ＝π6.二、填空题7．若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝－35．8．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝－45．解析：由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.三、解答题9. (2014·某某卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．分析：思路一 直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.思路二 先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.解析：解法一 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.解法二 因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.10．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3, 其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；word(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值． 解析：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期为 T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3. ∴α－π6＝π6，故α＝π3. 11．(2015·卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解析：(1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.。
高考数学(理)二轮配套训练【专题3】(1)三角函数的图象与性质(含答案)
第1讲 三角函数的图象与性质考情解读 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．1．三角函数定义、同角关系与诱导公式(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ， tan α＝yx .各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(2)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(3)诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．2．三角函数的图象及常用性质ππ3.三角函数的两种常见变换 (1)y ＝sin x ―————————―→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)y ＝sin(ωx ＋φ)―———————―→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．(2)y ＝sin xy ＝sin ωx ―———————―→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φω|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)―———————―→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系例1 (1)点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( ) A ．(－12，32)B ．(－32，－12) C ．(－12，－32)D ．(－32，12) (2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值为________．思维启迪 (1)准确把握三角函数的定义．(2)利用三角函数定义和诱导公式． 答案 (1)A (2)－34解析 (1)设Q 点的坐标为(x ，y )，则x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.∴Q 点的坐标为(－12，32)．(2)原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义， 得tan α＝y x ＝－34，∴原式＝－34.思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．(1)如图，以Ox 为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－35，45，则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α＝________. (2)已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π4 答案 (1)1825(2)D解析 (1)由三角函数定义， 得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α(sin α＋cos α)sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－352＝1825. (2)tan θ＝cos 34πsin 34π＝－cosπ4sinπ4＝－1，又sin3π4>0，cos 3π4<0， 所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.热点二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及解析式例2 (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到的图象解析式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin(2x ＋2π3)D ．y ＝sin(2x －π6)(2)若函数y ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋a 在[0，π2]上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为________．思维启迪 (1)先根据图象确定函数f (x )的解析式，再将得到的f (x )中的“x ”换成“x －π6”即可．(2)将零点个数转换成函数图象的交点个数． 答案 (1)D (2)(－2，－1]解析 (1)由图知，A ＝1，3T 4＝11π12－π6，故T ＝π＝2πω，所以ω＝2，又函数图象过点(π6，1)，代入解析式中，得sin(π3＋φ)＝1，又|φ|<π2，故φ＝π6.则f (x )＝sin(2x ＋π6)向右平移π6后，得到y ＝sin[2(x －π6)＋π6)＝sin(2x －π6)，选D.(2)由题意可知y ＝2sin(2x ＋π6)＋a ，该函数在[0，π2]上有两个不同的零点，即y ＝－a ，y ＝2sin(2x ＋π6)在[0，π2]上有两个不同的交点．结合函数的图象可知1≤－a <2，所以－2<a ≤－1.思维升华 (1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．(1)如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π4，M 为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为( )A.83 3 B.163 3 C ．8D ．16(2)若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小正值为( ) A.16 B.14 C.13D.12答案 (1)B (2)D解析 (1)由题意设Q (a,0)，R (0，－a )(a >0)． 则M (a 2，－a2)，由两点间距离公式得，PM ＝(2－a 2)2＋(a 2)2＝25，解得a ＝8，由此得，T 2＝8－2＝6，即T ＝12，故ω＝π6，由P (2,0)得φ＝－π3，代入f (x )＝A sin(ωx ＋φ)得，f (x )＝A sin(π6x －π3)，从而f (0)＝A sin(－π3)＝－8，得A ＝1633.(2)y ＝tan(ωx ＋π4)的图象向右平移π6，得到y ＝tan(ωx ＋π4－ωπ6)的图象，与y ＝tan(ωx ＋π6)重合，得π4－ωπ6＝k π＋π6，故ω＝－6k ＋12，k ∈Z ， ∴ω的最小正值为12.热点三 三角函数的性质例3 设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a (a ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈[0，π6]时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R )的对称轴方程．思维启迪 先化简函数解析式，然后研究函数性质(可结合函数简图)． 解 (1)f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin(2x ＋π4)＋1＋a ，则f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时f (x )单调递增，即k π－38π≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．所以[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )为f (x )的单调递增区间．(2)当x ∈[0，π6]时⇒π4≤2x ＋π4≤7π12，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时sin(2x ＋π4)＝1.所以f (x )max ＝2＋1＋a ＝2⇒a ＝1－ 2. 由2x ＋π4＝k π＋π2得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，故y ＝f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π8，k ∈Z .思维升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式； 第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象；若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值． 解 (1)由题意得：f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx － 3 ＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin(2ωx －π3)，由周期为π，得ω＝1，得f (x )＝2sin(2x －π3)，函数的单调增区间为2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间是[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象，所以g (x )＝2sin 2x ＋1，令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，即b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ)，或y ＝A tan(ωx ＋φ))的单调区间 (1)将ω化为正．(2)将ωx ＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解． 2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的图象求解析式 (1)A ＝y max －y min2，B ＝y max ＋y min 2.(2)由函数的周期T 求ω，ω＝2πT.(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点． 4．求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，进而结合三角函数的性质求解． (2)将三角函数式化为关于sin x ，cos x 的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解． 5．特别提醒进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身．真题感悟1．(2014·辽宁)将函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间[π12，7π12]上单调递减B ．在区间[π12，7π12]上单调递增C ．在区间[－π6，π3]上单调递减D ．在区间[－π6，π3]上单调递增答案 B解析 y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin[2(x －π2)＋π3]＝3sin(2x －23π)．令2k π－π2≤2x －23π≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π＋π12≤x ≤k π＋712π，k ∈Z ，则y ＝3sin(2x －23π)的增区间为[k π＋π12，k π＋712π]，k ∈Z .令k ＝0得其中一个增区间为[π12，712π]，故B 正确．画出y ＝3sin(2x －23π)在[－π6，π3]上的简图，如图，可知y ＝3sin(2x －23π)在[－π6，π3]上不具有单调性，故C ，D 错误．2．(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 答案 π解析 ∵f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性， ∴T 2≥π2－π6， ∴T ≥2π3.∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6， ∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 押题精练1．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图，其中M (m,0)，N (n,2)，P (π，0)，且mn <0，则f (x )在下列哪个区间中是单调的( )A ．(0，π4)B ．(π4，2π3)C ．(π2，3π4)D ．(2π3，π)答案 B解析 ∵mn <0，所以当左右移动图象，当图象过原点时，即M 点在原点时，此时T ＝π，则ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x )，在(π4，3π4)上为减函数，(0，π4)上为增函数；当图象的最高点在y 轴上时，即N 点在y 轴上，34T ＝π，ω＝32，∴f (x )＝2sin(32x )，在(0，2π3)上是减函数，(2π3，π)上为增函数．所以f (x )在(π4，2π3)上是单调的．2．已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围． 解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋3×1＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin(2ωx ＋π3)，由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π6)的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 得到y ＝sin(2x －π6)的图象．所以g (x )＝sin(2x －π6)．令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π6.g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数g (t )＝sin t 与y ＝－k 在区间[－π6，5π6]上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1.∴－12<k ≤12或k ＝－1.(推荐时间：50分钟)一、选择题1．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎫32，12，当秒针从P 0(此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π30t ＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π60t －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎫－π30t ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t －π3 答案 C解析 由三角函数的定义可知，初始位置点P 0的弧度为π6，由于秒针每秒转过的弧度为－π30，针尖位置P 到坐标原点的距离为1，故点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系可能为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6. 2．将函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π2个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的函数解析式为( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－2cos xC ．y ＝－2sin 4xD ．y ＝－2cos 4x答案 D解析 函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝2cos 2(x －π2)＝2cos(2x －π)＝2cos(π－2x )＝－2cos 2x ，再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝－2cos[2·(2x )]，即y ＝－2cos 4x .3．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0且|φ|<π2)在区间[π6，2π3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( ) A.12 B.22 C.32D.6＋24 答案 A解析 依题意知T 2＝2π3－π6，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2，将点(π6，1)代入y ＝sin(2x ＋φ)得sin(π3＋φ)＝1，又|φ|<π2，φ＝π6，故y ＝sin(2x ＋π6)，与y 轴交点纵坐标为12.4．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω等于( ) A.π6 B.7π12 C.7π6 D.7π3 答案 C解析 由题中图象知T 4＝π3－π12，所以T ＝π，所以ω＝2. 则M ⎝⎛⎭⎫π12，A ，N ⎝⎛⎭⎫7π12，－A由OM →·ON →＝0，得7π2122＝A 2，所以A ＝7π12，所以A ·ω＝7π6. 5．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中|φ|<π，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)<f (π)，则下列结论正确的是( ) A ．f (1112π)＝－1B ．f (7π10)>f (π5)C ．f (x )是奇函数D ．f (x )的单调递增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )答案 D解析 由f (x )≤|f (π6)|恒成立知x ＝π6是函数的对称轴，即2×π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π6＋k π，k ∈Z ，又f (π2)<f (π)，所以sin(π＋φ)<sin(2π＋φ)，即－sin φ<sin φ.所以sin φ>0，得φ＝π6，即f (x )＝sin(2x ＋π6)，由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，即函数的单调递增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．6．已知A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π2)一个周期内的图象上的五个点，如图所示，A (－π6，0)，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π6答案 A解析 因为A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π2)一个周期内的图象上的五个点，A (－π6，0)，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，所以T ＝4×(π12＋π6)＝π，所以ω＝2，因为A (－π6，0)，所以f (－π6)＝sin(－π3＋φ)＝0,0<φ<π2，φ＝π3.二、填空题7．(2014·安徽)若将函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________． 答案3π8解析 ∵函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位得到g (x )＝sin[2(x －φ)＋π4]＝sin(2x ＋π4－2φ)，又∵g (x )是偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝－k π2－π8(k ∈Z )．当k ＝－1时，φ取得最小正值3π8.8．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈(－π6，π3)，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.答案32解析 观察图象可知，A ＝1，T ＝π，∴ω＝2， f (x )＝sin(2x ＋φ)．将(－π6，0)代入上式得sin(－π3＋φ)＝0，由已知得φ＝π3，故f (x )＝sin(2x ＋π3)．函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈(－π6，π3)，且f (x 1)＝f (x 2)，∴f (x 1＋x 2)＝f (2×π12)＝f (π6)＝sin(2×π6＋π3)＝32.9．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________． 答案 [－32，3]解析 由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x －π6)，那么当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin(2x －π6)≤1，故f (x )∈[－32，3]．10．给出命题：①函数y ＝2sin(π3－x )－cos(π6＋x )(x ∈R )的最小值等于－1；②函数y ＝sin πx cos πx 是最小正周期为2的奇函数；③函数y ＝sin(x ＋π4)在区间[0，π2]上单调递增的；④若sin 2α<0，cos α－sin α<0，则α一定为第二象限角．则真命题的序号是________． 答案 ①④解析 对于①，函数y ＝2sin(π3－x )－cos(π6＋x )＝sin(π3－x )，所以其最小值为－1；对于②，函数y ＝sin πx cos πx ＝12sin 2πx 是奇函数，但其最小正周期为1；对于③，函数y ＝sin(x ＋π4)在区间[0，π4]上单调递增，在区间[π4，π2]上单调递减；对于④，由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α<0cos α－sin α<0⇒cos α<0，sin α>0，所以α一定为第二象限角．三、解答题11．已知函数f (x )＝A sin(3x ＋φ)(A >0，x ∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x ＝π12时取得最大值4.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的解析式；(3)若f (23α＋π12)＝125，求sin α.解 (1)f (x )的最小正周期T ＝2π3. (2)由函数的最大值为4，可得A ＝4. 所以f (x )＝4sin(3x ＋φ)．当x ＝π12时，4sin(3×π12＋φ)＝4，所以sin(π4＋φ)＝1，所以φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，因为0<φ<π，所以φ＝π4.所以f (x )的解析式是f (x )＝4sin(3x ＋π4)．(3)因为f (23α＋π12)＝125，故sin(2α＋π4＋π4)＝35.所以cos 2α＝35，即1－2sin 2α＝35，故sin 2α＝15.所以sin α＝±55.12．已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x ＋3cos 2x ，x ∈R .求： (1)函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)函数f (x )在区间[－π6，π3]上的值域．解 (1)由二倍角的正、余弦公式及其变形，得 f (x )＝1－cos 2x 2＋3sin 2x ＋3(1＋cos 2x )2＝2＋3sin 2x ＋cos 2x ＝2＋2(32sin 2x ＋12cos 2x ) ＝2sin(2x ＋π6)＋2.∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π， ∵－π2＋2k π≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z 时f (x )为单调递增函数，∴f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z .(2)由题意得－π6≤x ≤π3，∴2x ＋π6∈[－π6，5π6]，∴sin(2x ＋π6)∈[－12，1]，即1≤2sin(2x ＋π6)＋2≤4，∴f (x )区间[－π6，π3]上的值域为[1,4]．。
高考数学复习专题：三角函数、解三角形、向量 OK
高考专题：三角函数、解三角形及平面向量一、知识点1、三角函数的定义:设角α终边与单位圆相交于点),(y x P ，则____sin =α，_____cos =α，_____tan =α．2、特殊角的三角函数值3、三角函数在各象限的符号：αs i n αc o s αt a n4、同角三角函数的基本关系：(1) (2) 5、三角函数的诱导公式：（1）=+)2sin(παk ___________，=+)2cos(παk ___________，=+)2tan(παk ___________． （2）=-)sin(απ___________，=-)cos(απ___________，=-)tan(απ___________． （3）=+)sin(απ___________，=+)cos(απ___________，=+)tan(απ___________． （4）=-)sin(α___________，=-)cos(α___________，=-)tan(α___________．（5）=-)2sin(απ___________，=-)2cos(απ___________，=-)2tan(απ___________．（6）=-)2sin(απ_______，=-)2cos(απ_______．=+)2sin(απ_______，=+)2cos(απ_______．8、函数sin 0,0y x ωϕω=A +A >>：1）概念：①振幅：_______；②周期：________；③频率：________；④相位：________；⑤初相：________． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，最小值m in y =_________；最大值为max y =_________， 2）图像的平移伸缩 （1）先平移后伸缩sin sin ()sin (2)2sin (2)2sin (2)13333y x y x x x x ππππ=⇒=+⇒+⇒+⇒++（2）先伸缩后平移sin sin 2sin (2)2sin (2)2sin (2)1333y x y x x x x πππ=⇒=⇒+⇒+⇒++9、和角公式与差角公式sin()___________________A B += ___________________)sin(=-B A _________________)c o s (=+B A _________________)c o s (=-B A _________________)t a n (=+B A _________________)t a n (=-B A 倍角公式sin 2_______A =，cos 2_____________________A ===，____________2tan =A降幂公式：2sin α=______________．2cos α=______________． 10、归一公式： ；__________________cos sin =+A b A a 其中ab ＝ϕtan ，)2,2(ππϕ-∈如：（1）sin ___________x x += （2）sin ___________x x -= （3）sin ___________x x -+= （4）sin ___________x x --=11、解三角形（1）正弦定理：Aa sin =___________________________（R 为△ABC 外接圆半径）正弦定理的三种变形：①边化为角：_____________________________________②角化为边：_____________________________________ ③比例关系：_____________________________________（2）余弦定理： 2__________________a =⇔cos ____________________A =2__________________b =⇔cos ____________________B = 2__________________c =⇔cos ____________________C =（3）解三角形常用结论：1、三角形面积公式：______________________________ABC S ∆===2、在△ABC 中：︒=++180C B A ， 即C B A -︒=+180，则sin()__________A B +=；cos()__________A B +=；tan()__________A B +=12、平面向量(1)设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x ，),(22y x ，则=AB __________________．. (2)向量运算公式定义运算：（1） =∙b a __________，],0[πθ∈；（2）⇔⊥b a __________，（3）⇔b a //__________坐标运算：),(11y x a =，),(22y x b =，则（1） =∙b a __________________ （2）⇔⊥b a ______________ （3）⇔b a //________________ （4）=||a ______________二、巩固练习1、)629tan(π-的值得为（ ）A 、33- B 、33 C 、3 D 、3-2、7sin6π的值等于（ ）A 、21 B 、23 C 、－21 D 、－233、53sin -=α，α是第二象限角，则=αtan ( )A 、34-B 、34 C 、43-D 、434、已知3sin()5πα+=-，且α是第二象限角，则)cos(απ-的值是( ) A 、54 B 、54-C 、53 D 、53-5、2sin x y =是（ ）A 、周期为π4的奇函数B 、周期为π2的奇函数C 、周期为π4的偶函数D 、周期为π2的偶函数6、函数2sin(2)6y x π=-的一条对称轴为（ ）A 、12x π=B 、6x π=C 、3x π=D 、2x π=7、在A B C ∆中，若向量2cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭ , n = cos ,2sin 22A A ⎛⎫- ⎪⎝⎭,且1m n ⋅=- ，则A =（ ）A 、6π B 、56π C 、3πD 、23π8、已知A B C ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若A =3π，a =3，b =1，则c =（ ）A 、1B 、2C 、3—1D 、39、已知tan 2,α=-且2παπ<<，则cos α=______________；10、已知312sin(),sin()5413παββ+=--=，3,(,),4παβπ∈则=+)4cos(πα______________；11、已知向量cos sin m x x = （，），],0[π∈x ，(1,n =，且||m n -=，则x =__________；12、将函数()sin 2f x x =的图像向左平移3π个单位，再将所得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标伸长为原来的2倍，那么最后所得图像的函数表达式为__________.13、已知向量)sin ,(cos αα=a, )sin ,(cos ββ=b , 552||=-b a .（1）求cos()αβ-的值； （2）若02πα<<, 02πβ-<<, 且5sin 13β=-, 求sin α．14、已知函数2()sin(2)sin(2)2sin 66f x x x x ππ=++-+，（1）若R x ∈，求)(x f 的单调递减区间；（2）若x ∈ [,]36ππ-，求函数)(x f 的值域。
高考数学(理)二轮配套训练【专题3】(2)三角变换与解三角形(含答案)
第2讲 三角变换与解三角形考情解读 1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系、诱导公式结合.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合进行综合考查．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简． (2)等式的两边同时变形为同一个式子． (3)将式子变形后再证明． 4．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 5．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . 6．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .7．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解．热点一 三角变换例1 (1)已知sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos(α＋2π3)等于( )A ．－45B ．－35C.45D.35(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2思维启迪 (1)利用和角公式化简已知式子，和cos(α＋23π)进行比较．(2)先对已知式子进行变形，得三角函数值的式子，再利用范围探求角的关系． 答案 (1)C (2)B解析 (1)∵sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，∴32sin α＋32cos α＝－435， ∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴cos(α＋2π3)＝cos αcos 2π3－sin αsin 2π3＝－12cos α－32sin α＝45.(2)由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，∴由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．设函数f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期和最大值；(2)若θ是第二象限角，且f (θ2)＝0，求cos 2θ1＋cos 2θ－sin 2θ的值．解 (1)f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x ＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x 2＝12－32sin 2x .所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，最大值为1＋32. (2)因为f (θ2)＝0，所以12－32sin θ＝0，即sin θ＝33，又θ是第二象限角， 所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－63. 所以cos 2θ1＋cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ2cos 2θ－2sin θcos θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)2cos θ(cos θ－sin θ)＝cos θ＋sin θ2cos θ ＝－63＋332×(－63)＝6－326＝2－24.热点二 解三角形例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a ＝2sin A ，cos B cos C ＋2a c ＋bc ＝0.(1)求边c 的大小；(2)求△ABC 面积的最大值．思维启迪 (1)将cos B cos C ＋2a c ＋bc ＝0中的边化成角，然后利用和差公式求cos C ，进而求c .(2)只需求ab 的最大值，可利用cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 和基本不等式求解．解 (1)∵cos B cos C ＋2a c ＋bc＝0， ∴c cos B ＋2a cos C ＋b cos C ＝0，∴sin C cos B ＋sin B cos C ＋2sin A cos C ＝0， ∴sin A ＋2sin A cos C ＝0， ∵sin A ≠0，∴cos C ＝－12，∵C ∈(0，π)∴C ＝2π3，∴c ＝a sin A·sin C ＝ 3.(2)∵cos C ＝－12＝a 2＋b 2－32ab，∴a 2＋b 2＋ab ＝3，∴3ab ≤3，即ab ≤1. ∴S △ABC ＝12ab sin C ≤34.∴△ABC 的面积最大值为34. 思维升华 三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破． 几种常见变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 外接圆的半径； (3)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C .(1)(2014·广东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C＋c cos B ＝2b ，则ab＝________.(2)(2014·江西)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B.932C.332 D ．3 3答案 (1)2 (2)C解析 (1)方法一 (1)因为b cos C ＋c cos B ＝2b ， 所以b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2b ，化简可得ab＝2.方法二 因为b cos C ＋c cos B ＝2b ， 所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ， 故sin(B ＋C )＝2sin B ，故sin A ＝2sin B ，则a ＝2b ，即ab＝2.(2)∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得ab ＝6.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.热点三 正、余弦定理的实际应用例3 (2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 思维启迪 (1)直接求sin B ，利用正弦定理求AB .(2)利用余弦定理和函数思想，将甲乙距离表示为乙出发后时间t 的函数．解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝ACsin B ，得 AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537 min 时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．思维升华 求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答．如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A 地侦察发现，在南偏东60°方向的B 地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C 地行驶，企图抓捕正在C 地捕鱼的中国渔民．此时，C 地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C 地救援我国渔民，能不能及时赶到？(2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)解 过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D .因为∠CAD ＝45°，AC ＝10海里， 所以△ACD 是等腰直角三角形． 所以AD ＝CD ＝22AC ＝22×10＝52(海里)． 在Rt △ABD 中，因为∠DAB ＝60°，所以BD ＝AD ×tan 60°＝52×3＝56(海里)． 所以BC ＝BD －CD ＝(56－52)(海里)．因为中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行， 所以中国海监船到达C 点所用的时间t 1＝AC 30＝1030＝13(小时)，某国军舰到达C 点所用的时间t 2＝BC 13＝5×(6－2)13≈5×(2.45－1.41)13＝0.4(小时)． 因为13<0.4，所以中国海监船能及时赶到．1．求解恒等变换问题的基本思路一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心．(2)其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”． (3)再次观察代数式的结构特点． 2．解三角形的两个关键点(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R(其中2R 为三角形外接圆的直径)，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等，灵活根据条件求解三角形中的边与角．(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B )＝sin C ，sin A ＋B 2＝cos C2等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等．3．利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题，抽象出三角形模型．真题感悟1．(2013·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－43 答案 C解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.用降幂公式化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.2．(2014·江苏)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________． 答案6－24解析 由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，结合正弦定理得a ＋2b ＝2c . 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－(a ＋2b )242ab ＝34a 2＋12b 2－2ab22ab≥2⎝⎛⎭⎫34a 2⎝⎛⎭⎫12b 2－2ab 22ab＝6－24， 故6－24≤cos C <1，且3a 2＝2b 2时取“＝”． 故cos C 的最小值为6－24. 押题精练1．如果cos α＝15，且α是第一象限的角，那么cos(α＋3π2)＝________.答案265解析 ∵cos α＝15，α为第一象限角，∴sin α＝1－cos 2α＝1－(15)2＝265，∴cos(α＋3π2)＝sin α＝265.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C )，且q ∥p . (1)求sin A 的值；(2)求三角函数式－2cos 2C1＋tan C＋1的取值范围．解 (1)∵q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C )且q ∥p ，∴2b －c ＝2a cos C ， 由正弦定理得2sin A cos C ＝2sin B －sin C ， 又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴12sin C ＝cos A sin C . ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，又∵0<A <π，∴A ＝π3，∴sin A ＝32. (2)原式＝－2cos 2C 1＋tan C＋1＝1－2(cos 2C －sin 2C )1＋sin C cos C ＝1－2cos 2C ＋2sin C cos C ＝sin 2C －cos 2C＝2sin(2C －π4)，∵0<C <23π，∴－π4<2C －π4<1312π，∴－22<sin(2C －π4)≤1， ∴－1<2sin(2C －π4)≤2，即三角函数式－2cos 2C1＋tan C＋1的取值范围为(－1，2]．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．(2014·浙江)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( ) A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位答案 C解析 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin(3x ＋π4)＝2sin[3(x ＋π12)]，又y ＝2cos 3x ＝2sin(3x ＋π2)＝2sin[3(x ＋π6)]，所以应由y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位得到．2．已知α∈(π2，π)，sin(α＋π4)＝35，则cos α等于( )A ．－210B.7210 C ．－210或7210D ．－7210答案 A解析 ∵α∈(π2，α)．∴α＋π4∈(34π，54π)．∵sin(α＋π4)＝35，∴cos(α＋π4)＝－45，∴cos α＝cos(α＋π4)cos π4＋sin(α＋π4)sin(π4)＝－45×22＋35×22＝－210.3．在△ABC 中，若sin C sin A ＝3，b 2－a 2＝52ac ，则cos B 的值为( )A.13 B.12 C.15 D.14答案 D解析 由正弦定理：c a ＝sin Csin A＝3，由余弦定理：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝c 2－52ac2ac ＝12×c a －54＝32－54＝14.4．(2013·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝ a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定答案 B解析 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形． 5．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为( ) A.6365B.3365C.1365D.6365或3365 答案 A解析 依题意得sin β＝45，cos β＝35.注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365. 6．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c2，BC →·BA →＝12，则tan B 等于( )A.32B.3－1C ．2D ．2－ 3 答案 D解析 由题意得，BC →·BA →＝|BC →|·|BA →|cos B＝ac cos B ＝12，即cos B ＝12ac， 由余弦定理， 得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12ac⇒a 2＋c 2－b 2＝1， 所以tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2＝2－3，故选D. 二、填空题7．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 答案 －255解析 由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12， 得tan α＝－13. 又－π2<α<0，可得sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α) ＝22sin α＝－255. 8．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＝5，b ＝523，A ＝π4，则cos B ＝________. 答案 223解析 sin B ＝b sin A a ＝13. 又在△ABC 中，a >b ，所以cos B ＝232. 9．已知0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45，则cos(α＋π4)＝________. 答案 82－315解析 因为0<α<π2<β<π， 所以π4<β－π4<3π4，π2<α＋β<3π2. 所以sin(β－π4)>0，cos(α＋β)<0. 因为cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45， 所以sin(β－π4)＝223，cos(α＋β)＝－35. 所以cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)] ＝cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4) ＝－35×13＋45×223＝82－315.10．如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚B 处看索道AC ，发现张角∠ABC ＝120°；从B 处攀登400米到达D 处，回头看索道AC ，发现张角∠ADC ＝150°；从D 处再攀登800米方到达C 处，则索道AC 的长为________米．答案 40013解析 如题图，在△ABD 中，BD ＝400米，∠ABD ＝120°.因为∠ADC ＝150°，所以∠ADB ＝30°.所以∠DAB ＝180°－120°－30°＝30°.由正弦定理，可得BD sin ∠DAB ＝AD sin ∠ABD. 所以400sin 30°＝AD sin 120°，得AD ＝4003(米)． 在△ADC 中，DC ＝800米，∠ADC ＝150°，由余弦定理，可得AC 2＝AD 2＋CD 2－2×AD ×CD ×cos ∠ADC＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos 150°＝4002×13，解得AC ＝40013(米)．故索道AC 的长为40013米．三、解答题11．(2014·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值． 解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac. 因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13. 由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223. 故sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝⎛⎭⎫－13×22＝4－26. 12．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1(ω>0)的最小正周期是π. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1 ＝23sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin(2ωx －π6)． 最小正周期是2π2ω＝π，所以，ω＝1， 从而f (x )＝2sin(2x －π6)．令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z . 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z . 所以函数f (x )的单调递增区间为[－π6＋k π，π3＋k π](k ∈Z )． (2)当x ∈[π8，3π8]时，2x －π6∈[π12，7π12]， f (x )＝2sin(2x －π6)∈[6－22，2]， 所以f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值分别为2，6－22. 13．已知角A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，若向量m ＝(1－cos(A ＋B )，cos A －B 2)，n ＝(58，cos A －B 2)，且m ·n ＝98. (1)求tan A tan B 的值；(2)求ab sin C a 2＋b 2－c 2的最大值． 解 (1)m ·n ＝58－58cos(A ＋B )＋cos 2A －B 2＝98－18cos A cos B ＋98sin A sin B ＝98， ∴cos A cos B ＝9sin A sin B 得tan A tan B ＝19. (2)tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝98(tan A ＋tan B )≥98·2tan A tan B ＝34. (∵tan A tan B ＝19>0， ∴A ，B 均是锐角，即其正切值均为正)ab sin C a 2＋b 2－c 2＝sin C 2cos C ＝12tan C ＝－12tan(A ＋B )≤－38， 所求最大值为－38.。
2007年高考数学试题分类汇编(三角函数向量)
实用文档2007全国普通高等学校招生考试数学分类解析（三角向量）一、选择题1、（2007年北京卷理1）．已知cos tan 0θθ<，那么角θ是（ C ）Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角2、（2007年北京卷理4）．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ A ）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD =3、（2007年重庆卷理5）在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 则BC =（ A ）A.33-B.2C.2D.33+ 4、（2007年重庆卷文6）下列各式中，值为23的是B A ︒-︒15cos 15sin 2 B ︒-︒15sin 15cos 22 C 115sin 22-︒ D ︒+︒15cos 15sin 22 5、（2007年浙江卷理2）若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f =，则（ D ）A ．126ωϕπ==，B ．123ωϕπ==，C ．26ωϕπ==，D ．23ωϕπ==，实用文档6、（2007年浙江卷理7）若非零向量，a b 满足+=a b b ，则（C ） Ａ．2>2+a a b Ｂ．22<+a a b Ｃ．2>+2b a b Ｄ． 22<+b a b7、（2007年浙江卷文2）已知cos()2πϕ+=，且||2πϕ<，则tan ϕ＝C(A)－3(B) 3(C)8、（2007年浙江卷文9）若非零向量a 、b 满足｜a 一b ｜＝｜b ｜，则A(A) ｜2b ｜＞｜a 一2b ｜ (B) ｜2b ｜＜｜a 一2b ｜ (C) ｜2a ｜＞｜2a 一b ｜ (D) ｜2a ｜＜｜2a 一b ｜ 9、（2007年陕西卷理4）已知sin α=55，则sin 4α-cos 4α的值为A （A ）-51(B)-53 (C)51 (D) 5310、（2007年辽宁卷4）．若向量a 与b 不共线，0≠a b ，且⎛⎫- ⎪⎝⎭a a c =ab a b ，则向量a与c 的夹角为（D ） A ．0B ．π6C ．π3D ．π211、（2007年辽宁卷7）．若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =--的图象，则向量a =（C ）A ．(12)-，B ．(12)，C ．(12)-，D ．(12)-，实用文档12、（2007年江西卷理3）．若πtan 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cot α等于（A ）Ａ．2-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．213、（2007年江西卷理5）．若π02x <<，则下列命题中正确的是（ D ） Ａ．3sin πx x < Ｂ．3sin πx x >Ｃ．224sin πx x <Ｄ．224sin πx x >14、（2007年江西卷文2）．函数5tan(21)y x =+的最小正周期为（B ） Ａ．π4Ｂ．π2Ｃ．π Ｄ．2π15、（2007年江西卷文4）．若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（ D ） Ａ．3-Ｂ．13-Ｃ．3Ｄ．1316、（2007年江西卷文8）．若π02x <<，则下列命题正确的是（ B ） Ａ．2sin πx x <Ｂ．2sin πx x >Ｃ．3sin πx x <Ｄ．3sin πx x >17、（2007年湖南卷理4）．设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a bB ．∥a bC ．||||=a bD ．||||≠a b18、（2007年湖南卷文2）．若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的实用文档是（ B ） A ．EF OF OE =+ B ．EF OF OE =- C ．EF OF OE =-+D ．EF OF OE =--19、（2007年湖北卷理2）．将π2cos 36xy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（A ）Ａ．π2cos 234xy ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ Ｂ．π2cos 234xy ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭20、（2007年湖北卷文1）．tan690°的值为（ A ）Ａ．Ｄ．21、（2007年湖北卷文9）．设(43)=，a ，a 在b，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ B ） A ．(214)，B ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．(28)，22、（2007年海南宁夏卷理2）．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （D ）Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)-，实用文档23、（2007年海南宁夏卷理9）．若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ C ）Ａ．2-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．224、（2007年福建卷理4）．对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若22=a b ，则=a b 或-a =bD ．若a b =a c ，则b =c25、（2007年海南宁夏卷理3）．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（A ）26、（2007年广东卷理3）．若函数21()sin ()2f x x x R =-∈，则f(x)是DxＣＤ实用文档（A ）最小正周期为2π的奇函数； （B ）最小正周期为π的奇函数； （C ）最小正周期为2π的偶函数； （D ）最小正周期为π的偶函数；27、（2007年福建卷理5）．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（A ）A ．关于点0π⎛⎫⎪3⎝⎭，对称 B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫⎪4⎝⎭，对称 D ．关于直线x π=3对称 28、（2007年福建卷文3）．sin15cos75cos15sin105+等于（D ） Ａ．0Ｂ．12Ｄ．129、（2007年福建卷文5）．函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ A ）Ａ．关于点π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称 Ｂ．关于直线π4x =对称 Ｃ．关于点π04⎛⎫⎪⎝⎭，对称 Ｄ．关于直线π3x =对称 30、（2007年福建卷文8）．对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） Ａ．若0=a b ，则0=a 或0=b Ｂ．若0λ=a ，则0λ=或0=a实用文档Ｃ．若22=a b ，则=a b 或=-a bＤ．若=a b a c ，则=b c31、（2007年江苏卷1）．下列函数中，周期为2π的是（D ） A ．sin 2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4xy = D ．cos 4y x =32、（2007年江苏卷5）．函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是（D ）A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ--C ．[,0]3π-D ．[,0]6π- 33、（2007年天津卷理3）．“2π3θ=”是“πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭”的（ A ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件34、（2007年天津卷文9）设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （ A ）A ．在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数B ．在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦，上是减函数 C ．在区间84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数D ．在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数35、（2007年四川卷文8）设A （a,1）,B(2,b),C(4,5)为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为AA.4a-5b=3B.5a-4b=3C.4a+5b=14实用文档D.5a+4b=1236、（2007年上海卷理14）、在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2AB i j =+，3AC i k j =+，则k 的可能值有B A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个37、（2007年山东卷理5）函数sin 2cos 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期和最大值分别为（ A ） A ．π，1B ．πC ．2π，1D ．2π38、（2007年山东卷理11）在直角ABC △中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（ C ）A ．2AC AC AB = B ．2BC BA BC = C ．2AB AC CD = D ．22()()AC AB BA BC CD AB⨯=39、（2007年山东卷文4）．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（A ） A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位实用文档C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位 40、（2007年山东卷文）5．已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ C ） A ．1BC ．2D ．441、（2007年全国卷二理1）．sin 210=（ D ） AB． C ．12D ．12-42、（2007年全国卷二理2）．函数sin y x =的一个单调增区间是（ C ）A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π ⎪2⎝⎭， 43、（2007年全国卷二理5）．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ A ）A ．23B ．13C ．13-D ．23-44、（2007年全国卷二理9）．把函数e x y =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ C ） A ．3e 2x -+B ．3e 2x +-C ．2e 3x -+D ．2e 3x +-45、（2007年全国卷一理1）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（D ）实用文档A ．15B ．15-C ．513D ．513-46、（2007年全国卷一理3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （A ） A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向47、（2007年全国卷一理12）函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（ A ） A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，48、（2007年安徽卷理6）函数π()3sin(2)3f x x =-的图象为C①图象C 关于直线π1211=x 对称; ②函灶)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数; ③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . 其中正确的个数有（ C ）个 （A ）0（B ）1 （C ）2 （D ）349、（2007年北京卷文3）．函数()sin 2cos 2f x x x =-的最小正周期是（B ） Ａ．π2Ｂ．π Ｃ．2π Ｄ．4π二、填空题1、（2007年安徽卷理13）在四面体O-ABC 中，D c b a ,,,===为BC 的中实用文档点，E 为AD 的中点，则OE = 111244++a b c （用a ，b ，c 表示）.2、（2007年北京卷理11）．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB =10 3、（2007年北京卷文11）．已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是3-4、（2007年重庆卷文13）在△ABC 中，AB =1,B C =2,B =60°，则AC ＝ 3 。
【高三数学】二轮复习：专题二 第1讲 三角函数的图象与性质
)
A.sin x + 3
B.sin 3 -2x
C.cos 2x + 6
D.cos
5
-2x
6
答案 BC
解析 由题中函数图象可知2 =
2π π
+
3 6
x=
2
5π
5π
π
2π
= 2,则 T=π,所以 ω= =
3π
2π
=2,当
π
2π
= 12时,y=-1,所以 2× 12+φ= 2 +2kπ(k∈Z),解得 φ=2kπ+ 3 (k∈Z),所
看图比较容易得出,困难的是求ω和φ,常用如下两种方法
(1)由ω= 2 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或
T
下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.
(2)代入图象中已知点的坐标,将一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐
标代入解析式,再结合图象解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,
高考数学
专题二
第1讲 三角函数的图象与性质
1.“1”的变换
1=sin 2α+cos 2α=cos 2α(1+tan2α).
这是针对函数中的单个变量x
2.三角函数图象变换
而言的
三角函数y=sin ωx的图象向左或向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象
对应函数解析式是y=sin[ω(x+φ)]或y=sin[ω(x-φ)],而不是y=sin(ωx+φ)或
以函数的解析式为 y=sin 2 +
高三数学二轮复习重点
高三数学二轮复习重点高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。
这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。
一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。
不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。
当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。
专题二：数列。
以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。
专题三：三角函数，平面向量，解三角形。
三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。
向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。
专题四：立体几何。
立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。
大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。
另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。
空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。
专题五：解析几何。
高考三角函数复习专题知识点涵盖齐全答案详细
6
6
2
3 sin 2x 1
....5
分
2
2
由 f ( ) 1，可得 sin 2
3
......7
分
3
所以 sin cos
1 sin 2 2
......8 分
3
.......9 分
6
（ 2）当
2k
2
2x
2k , k Z ， 换元法 ..11
2
即x [
k , k ], k Z 时， f (x) 单调递增 .
k 1．
时， y min
1．
周期性
2
2
奇偶性
奇函数
偶函数
既无最大值也无最小值 奇函数
在 2k
, 2k
2
2
单调性
k
上是增函数；在
3
2k
, 2k
2
2
k
上是减函数．
对称中心 k ,0 k
对称轴 对称性
xk
k
2
在 2k ,2 k k
上 是增 函数 ；在 在k
2k ,2 k k
k
上是减函数．
,k
2
2
上是增函数．
和差角公式逆用
……………… 3 分
（Ⅰ）函数 f ( x) 的最小正周期 T 2π π. 2
…………………………………… 5 分
令 2kπ
π ≤ 2xπFra bibliotekπ≤ 2kπ (k
Z) ，
……………………………………
6分
2
4
2
所以 2kπ
3π
≤
2x
≤
2kπ
π
.
2007年高考数学第二轮复习专题专题03三角函数
x
(
2 cos24 4 3 ( 1 sin12 2
sin 12 3) csc12 3 cos 12
3 sin12 3cos12 2 sin12 cos12 cos24
3 csc12 2
sin 48
4 3 sin 48 sin 48
例2 2弧度的圆心角所对弦长为2，则这个 扇形的面积为______。
A O B
1 r sin1 1 2 1 S 2 sin1 sin1
1 sin 2 1
例3 则sin2θ=______。 2 2 2 2 2 （A） 3 （B）- 3 （C）3 （D）- 2 3 ∵sin2θ+cos2θ=1 sin4θ+2sin2θcos2θ+cos4θ=1 2θcos2θ= 4 2sin 9 2 2 8 2θ= sin2 选A 9 sin2θ= 3
三角函数
高一期末 复习(一)
任意角 的概念
知识结构
应用
弧度制 与角度制
任意角的 三角函数 同角三角函 数基本关系式 诱导 公式
三角函数的 图像和性质
和角 公式
应用
（一）知识点归纳：
1、任意角三角函数。（1）角的 概念推广；（2）弧度制；（3）任意 角三角函数；（4）单位同中三角函数 线；（5）同角三角函数基本关系式； （6）正、余弦诱导公式。 2、两角和差三角函数：（1）两 角和与差的正弦、余弦、正切；（2） 二倍角的正弦、余弦、正切。
1<sinx≤1 ∴当sinx=1 即x=2kπ+2 k∈Z时 y大=1
18）已知a>0函数y=-acos2x- 3asin2x+2a+b x∈[0, 2 ]，若函数的值域为[-5,1]，求常数 a,b的值。 解：a>0 73 1
07年高考数学试题汇编—三角函数
2007年高考数学试题汇编—三角函数2007年高考数学试题汇编三角函数函数f(x)?3sin?2x???π??的图象为C，如下结论中正确的是__________3?．．．①图象C 关于直线x?②图象C关于点?11π对称；12?2π?，0?对称；?3??π5π?，?内是增函数；?1212?π个单位长度可以得到图象C．3①②③③函数f(x)在区间??④y?3sin2x的图角向右平移函数f(x)?3sin?2x?①图象C关于直线x?②函数f(x)在区间???????的图象为C，??11?对称；12??5??，?内是增函数；???????个单位长度可以得到图象C．?C．2 D．3 C ③y?3sin2x的图象向右平移以上三个论断中，正确论断的个数是A．0 B．1 已知cos??tan??0，那么角?是Ａ．第一或第二象限角Ｃ．第三或第四象限角Ｂ．第二或第三象限角Ｄ．第一或第四象限角 C 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为?，那么cos2?的值等于．7 25 函数f(x)?sin2x?cos2x的最小正周期是Ａ．π 2 Ｂ．π Ｃ．2π Ｄ．4π B 已知函数f(x)?sin??x?象A．关于点?，0?对称C．关于点?，0?对称?????(??0)的最小正周期为?，则该函数的图???对称??对称?A ??????B．关于直线x???????D．关于直线x?函数y?sin?2x???π??的图象3?Ａ．关于点?，0?对称Ｃ．关于点?，0?对称?π?3?π?4????Ｂ．关于直线x?π对称4π对称3AＤ．关于直线x? 若函数f(x)?sinx?A．最小正周期为21(x?R)，则f(x)是 2 B．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数D π的奇函数2C．最小正周期为2π的偶函数已知简谐运动f(x)?2sin?π??π??1)，则该x???????的图象经过点(0，32????简谐运动的最小正周期T和初相?分别为Ａ．T?6，??π 6π 6 Ｂ．T?6，??π 3π 3 Ｃ．T?6π，?? Ｄ．T?6π，??A 函数y?sin?2x???π??π?在区间的简图是?，π???3??2? A 若cos2?2，则cos??sin?的值为??π?2?sin????4??7 2 Ｂ．?Ａ．?1 2 Ｃ． 1 2 Ｄ．7 2C ?xπ??π??2?平移，将y?2cos???的图象按向量a???，则平移后所得图象的364????解析式为?xπ?Ａ．y?2cos????2 ?34??xπ?Ｃ．y?2cos????2 ?312??xπ?Ｂ．y?2cos????2 ?34??xπ?Ｄ．y?2cos????2 ?312?Atan690°的值为Ａ．?3 3 Ｂ．3 3Ｃ．3 Ｄ．?3 A 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a?1，b=7，c?3，C?π，则B?．312．5π 6下列函数中，周期为Ａ．y?sin π的是2Ｂ．y?sin2x Ｃ．y?cosx 2 x 4Ｄ．y?cos4x D 函数f(x)?sinx?3cosx(x???π，0?)的单调递增区间是Ａ．??π，? ??5π? ?6?Ｂ．???5ππ?，?? 6??6Ｃ．??，0? ?π??3?Ｄ．??，0?D ?π??6?若cos(???)?13tan??_____．，cos(???)?，则tan??5511． 1 2在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(?4，0)和C(4，0)，顶点sinA?sinCx2y2B在椭圆??_____．?1上，则259sinB 若tan??π?4??????3，则cot?等于Ａ．?2 Ｂ．?12Ｃ．12 若0?x?π2，则下列命题中正确的是Ａ．sinx?33πx Ｂ．sinx?πx Ｃ．sinx?4π2x2 Ｄ．sinx?4π2x2 函数y?5tan(2x?1)的最小正周期为Ａ．π4 Ｂ．π2 Ｃ．π 若tan??3，tan??43，则tan(???)等于15．54 A D B Ａ．?3 Ｂ．?113 Ｃ． 3 Ｄ． 3 ?是第四象限角，tan???512，则sin?? A．15 B．?15 C．513 D．?513 全国卷1理函数f(x)?cos2x?2cos2x2的一个单调增区间是A．???，2??? ????C．??0???33?B．??6，2?? ?，3??D．????6，?6???? 函数y?2cos2x的一个单调增区间是Ａ．???π，π?? ?π??44? Ｂ．??0，2?? Ｃ．??π?4，3π4??? Ｄ．??π?2，π??? sin210?? A．32 B．?32 C．12 D．?12 函数y?sinx的一个单调增区间是 DD A D D A．??，? ????????B．?，? ? ?3??????C．??，? ???????D．??3??，2?? ???C cos330?? A． 1 2 B．?1 2 C．3 2 D．?3 2C 函数y?sin?2x? A．?，1 B．?，2 C．2?，1 D．2?，2 A 要得到函数y?sinx 的图象，只需将函数y?cos?x?A．向右平移????????cosx2????的最小正周期和最大值分别为6?3?????? ?的图象???个单位??个单位? B．向右平移?个单位??个单位?A C．向左平移D．向左平移已知sin??A．?544，则sin??cos?的值为5B．?1 53 5C． 1 5D． 3 5A 函数π??π??y?s?ix?n?s?ix?n?3??2??的最小正周期T?．6．π 下面有五个命题：①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是?. ②终边在y轴上的角的集合是{a|a=k?,k?Z|.2函数③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点. ④把y?3s??2x?)的图象向右平移i得到y?3sn2x的图象. 36?)在〔0，?〕上是减函数. 2i(⑤函数y?sin(x?其中真命题的序号是①④“??2π?π?”是“tan??2cos????”的3?2? Ｂ．必要而不充分条件Ｄ．既不充分也不必要条件 A Ａ．充分而不必要条件Ｃ．充分必要条件设函数f(x)?sin?x??????(x?R)，则f(x) 3? B．在区间???，?A．在区间?减函数?2?7??，?上是增函数?36?????上是?2?C．在区间?，?上是增函数84函数?????? D．在区间?，?上是减36??5????A 若函数f(x)?2sin(?x??)，x?R A．???）的最小正21?，?? 26? 6 B．??1?，?? 23? 3D C．??2，??D．??2，?? 已知sin??cos??1?3?，且≤?≤，则cos2?的值是．524? 7 25 若sin??cos??1，则sin2?的值是．512．? 24 25 下列各式中，值为??3的是 2 B．cos15?sin15 D．sin15?cos15 B 2?2?2?2?A．2sin15cos15 C．2sin15?1 2?已知0???????，?为f(x)?cos?2x??的最小正周期，??????1??2)，且a?b?m．求a??tan?????，?1?，b?(cos?，4????2c2o??sco?s?s??in?2(的值．?sin)本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．本小题满分12分．解：因为?为f(x)?cos?2x???π??的最小正周期，故??π．8???1????2．4?·b?m，又a因a·b?cos?·tan???故cos?·tan???于0?????1????m?2．4?π，所以42cos2??sin2(???)2cos2??sin(2??2π)? cos??sin?cos??sin?2cos2??sin2?2cos?(cos??sin?)?? cos??sin?cos??sin??2cos? 1?tan?π???2cos?·tan?????2(2?m)1?tan?4?? 设函数f(x)??cosx?4tsin2xxcos?4t3?t2?3t?4，x?R，22其中t≤1，将f(x)的最小值记为g(t)．求g(t)的表达式；讨论g(t)在区间(?11)，内的单调性并求极值．本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．本小题满分14分．解：我们有xxf(x)??cos2x?4tsincos?4t3?t2?3t?422 ?sinx?1?2tsin?4t?t?3t?4 ?sinx ?2tsinx?t?4t?3t?3 ?(sinx?t)?4t?3t?3．23223222于(sinx?t)2≥0，t≤1，故当sinx?t时，f(x)达到其最小值g(t)，即g(t)?4t3?3t?3．我们有g?(t)?12t?3?3(2t?1)(2t?1)，???t?1．列表如下：2t g?(t) ????1，??? 2???1 2?1????，? ?22?1 20 极小值?1?1? ?，?2??0 极大值? ? g(t) ? ?1?g??? ?2???? ?1?g?? ?2?? 此可见，g(t)在区间??1，?调减小，极小值为g? 1??1??11?和单调增加，在区间，1?????，?单2??2??22??1????，极大值为?2g?????4．?2??2? 在△ABC 中，tanA?求角C的大小；13，tanB?．45若△ABC最大边的边长为17，求最小边的边长．本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分．解：?C?π?(A?B)，13?45??1．?tanC??tan(A?B)??131??45又?0?C?π，?C??C?3π．43?，4?AB边最大，即AB?17．又?tanA?tanB，A，B??0，?，???????角A最小，BC边为最小边．sinA1?tanA??，??π??cosA4且A??0，?，?2??sin2A?cos2A?1，?得sinA?ABBCsinA17??2．．得：BC?AB?sinCsinAsinC17所以，最小边BC?2．4)，B(0，0)，C(c，0)．已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3，若c?5，求sin∠A的值；若∠A是钝角，求c的取值范围．解析：AB?(?3,?4)，AC?(c?3,?4)，若c=5，则AC?(2,?4)，∴????????25?6?161，∴sin ∠A＝；cos?A?cos?AC,AB???55?255??????????? ?2）若∠A为钝角，则?(25,??)；3??3c?9?16?025解得c?，∴c的取值范围是c?03? 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得?BCD??，?BDC??，CD?s，并在点C 测得塔顶A的仰角为?，求塔高AB．解：在△BCD 中，?CBD?π????．正弦定理得所以BC?BCCD?．sin?BDCsin?CBDCD sin?BDCs·sin??．sin?CBDsin(???)s ·tan?sin?．sin(???)在Rt△ABC中，AB?BCtan?ACB? ???????????? ????已知△ABC的面积为3，且满足0≤AB?AC≤6，设AB和AC的夹角为?．求?的取值范围；求函数f(?)?2sin2?最大值与最小值．本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力．?π?????3cos2?的?4?，B，C的对边分别为a，b，c，解：设△ABC中角A则1bcsi?n?230≤bccos?≤6，可得0≤cot?≤1，，?ππ?∴???，?．?42???π??π??f(?)?2 sin2?????3cos2???1?cos??2????3cos2??4??2???π???(1?sin2?)?3cos2??sin2??3 cos2??1?2sin?2????1．3??π?π2π?π? ??ππ?∵???，?，2????，?，∴2≤2sin?2????1≤3．3?63?3???42?即当?? 已知函数f(x)?2sin?25ππ时，f(?)max?3；当??时，f(?)min?2．124?π??ππ??x??3cos2x，x??，?．?4??42?求f(x)的最大值和最小值；若不等式f(x)?m?2在x??，?上恒成立，求实数m的取值42范围．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角?ππ???函数的图象和性质解题的能力．解：∵f(x)????1?cos??π?2?2x???????3cos2x?1?s in2x?3cos2x ?1?2sin??π??2x?3??．又∵x?π??π?ππ2π??4，2??，∴6≤2x?3≤3，即2≤12n?is2??x?3π?3??≤∴f(x)max?3，f(x)min?2．∵f(x)?m?2?f(x)?2?m?f(x)?2，x???ππ??4，2??，∴m?f(x)max?2且m?f(x)min?2，∴1?m?4，即m的取值范围是(1，4)．已知函数f(x)?cos2??x?π?12??，g(x)?1?1?2sin2x．设x?x0是函数y?f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值．求函数h(x)?f(x)?g(x)的单调递增区间．解：题设知f(x)?12[1?cos(2x?π6)]．因为x?x?π0是函数y?f(x)图象的一条对称轴，所以2x06?kπ，即2x0?kπ? π6．所以g(x10)?1?2sin2x1π0?1?2sin(kπ?6)．，当k为偶数时，g(x0)?1?当k为奇数时，g(x0)?1?h(x)?f(x)?g(x)?1?π?13sin????1??，2?6?441π15sin?1??．26441?π??1?1?cos 2x??1?sin2x ???2?62?????31??π??31?31? ?cos?2x???sin2x????cos2x?sin2x?? ? ?2??6?2222???21?π?3?sin?2x???．2?3?2当2kπ?时，函数h(x)?πππ5ππ≤2x?≤2kπ?，即kπ?≤x≤kπ?23212121?π?3sin?2x???是增函数，2?3?2??5ππ?．，kπ??1212?故函数h(x)的单调递增区间是?kπ? 已知函数f(x)?1?2sin?x?2??π?π?π????2sinx?cosx??? ???．求：8?8?8???函数f(x)的最小正周期；函数f(x)的单调增区间．解：f(x)?cos(2x?)?sin(2x?)π4π4?2sin(2x?πππ?)?2sin(2x?)?2cos2x．4422π?π；2函数f(x)的最小正周期是T?当2kπ?π≤2x≤2kπ，即kπ?π≤x≤kπ时，函数2f(x)?2cos2x是增函数，故函数f(x)的单调递增区间是π[kπ?，kπ]． 2 0?≤)的图象与y如图，函数y?2cos(?x??)(x?R，≤轴交于点(0，3)，且在该点处切线的斜率为?2．求?和?的值；已知点A?，0?，点P是该函数图象上一点，点π2y 3 O A P ?π?2??x Q(x0，y0)是PA的中点，当y0?3?π?，x0??，π?时，求2?2?x0的值．解：将x?0，y?3代入函数y?2cos(?x??)得cos??因为0≤?≤3，2??，所以??．26又因为y???2?sin(?x??)，y?因此y?2cos?2x???x?0??2，?，所以??2，6?????．6???3，2因为点A?，0?，Q(x0，y0)是PA的中点，y0?所以点P的坐标为?2x0????2????，3?．2?又因为点P在y?2cos?2x?因为????5??3?的图象上，所以．cos4x????0?6?62???7?5?19?≤x0≤?，所以≤4x0?≤，26665?11?5?13???或4x0?．6666从而得4x0?即x0? 2?3?或x0?．34 ，C的对边分别为a，b，c，设锐角三角形ABC的内角A，Ba?2bsinA．求B的大小；求cosA?sinC的取值范围．解：a?2bsinA，根据正弦定理得sinA?2sinBsinA，所以sinB?1，2π．6△ABC为锐角三角形得B?cosA?sinC?cosA?sin????????A? ?????? cosA?sin??A? ?6?13?cosA?cosA?sin A 22????3sin?A??．3??△ABC 为锐角三角形知，???????A??B，?B???．2222 632????A??，336所以1???3．sin?A???2?3?23??3??3sin?A???? 3，23?2?此有?33?cosA?sinC所以，的取值范围为???2，?．2?? 在△ABC中，已知内角A??，边BC?23．设内角B?x，周长为y．?求函数y?f(x)的解析式和定义域；求y的最大值．解：△ABC的内角和A?B?C??，A??，B?0，C?0得?0?B? 2?．?应用正弦定理，知AC?BC23sinB?sinx?4sinx，?sinAsin? AB?BC?2??sinC?4sin??x?．sinA???因为y?AB?BC?AC，所以y?4sinx?4sin?2???2????x??23?0?x??，3?????因为y?4?sinx??????1cosx?sinx??23 ??2??43si?nx??????????5????2?3?x???，????? 所以，当x?????，即x?时，y取得最大值63．??? 如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时北航行多少海里？120?解法一：如图，连结A1B1，已知A2B2?102，乙??A2 1B2 105?A 甲B1 20A1A2?302??102，60北120? A2 ?A1A2?A2B1，又∠A1A2B2?180?120?60，???B2105? B1 乙A1 ?△A1A2B2是等边三角形，甲?A1B2?A1A2?102，已知，A1B1?20，∠B1A1B2?105??60??45?，在△A1B2B1中，余弦定理，22B1B2?A1B12?A1B2?2A1B2?A1B2?co s45? ?202?(102)2?2?20?102??200．2 2?B1B2?102．因此，乙船的速度的大小为102．?60?302 20答：乙船每小时航行302海里．A1A2?302?解法二：如图，连结A2B1，已知A1B2?20，20?102，60∠B1A1A2?105?，cos105??cos(45??60?) ?cos45?cos60 ??sin45?sin60? ?2(1?3)，4北120? A2 1sin105??sin(45??60?) ?sin45?cos60 ??cos45?sin60? B2 105? A 甲B1 乙?2(1?3)．4在△A2A1B1中，余弦定理，22A2B12?A2B2?A1A2?2A1B1?A1A2?cos105? ?(102)2?202?2?102?20?2(1?3) 4?100(4?23)．?A1B1?10(1?3)．正弦定理sin∠A1A2B1?A1B1202(1?3)2，?sin∠B1A1A2???A2B24210(1?3)?∠A1A2B1?45?，即∠B1A2B1?60??45??15?，cos15??sin105??2(1?3)．4在△B1A1B2中，已知AB12?102，余弦定理，22B1B2?A1B12?A2B2?2A2B1?A2B2?co s15? ?102(1?3)2?(102)2?2?10(1?3)? 102??200．2(1?3) 4?B1B2?102，乙船的速度的大小为102?60?302海里/小时．20答：乙船每小时航行302海里．在△ABC 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC?37．求cosC；????????5CA?，且a?b?9，求c．若CB?2?解：?tanC?37，22sinC?37 cosC又?sinC?cosC?1 解得cosC??1．8 ?tanC?0，?C是锐角．1?cosC?．8????????5CA?，?CB?2?abcosC??ab?20．5，2又?a?b?9 ?a2?2ab?b2?81．?a2?b2? 41．?c2?a2?b2?2abcosC?36．?c? 6．cos2x)，b?(1?sin2x，·b，其中向量a?(m，1)，x?R，设函数f(x)?a 且y?f(x)的图象经过点?，2?．求实数m 的值；求函数f(x)的最小值及此时x值的集合．?π?4?? b?m(1?sin2x)?cos2x，解：f(x)?a?已知f?π?π?π???m1?sin?cos?2，得m?1．???2?2?4????π??，4?得f(x)?1?sin2x?cos2x?1?2sin?2x?π???当sin?2x????1时，f(x)的最小值为1?2，4??sin?2x????3π?π?，得值的集合为??1xx?kπ?，k?Zx??．?4?8?? ，c 分别是三个内角A，B，C的对边．若在△ABC中，a，ba?2,C?πB25，cos?，求△ABC的面积S．42543解：题意，得cosB?，B为锐角，sinB?，55 sinA?sin(π?B?C)?sin?正弦定理得c??3π?72，?B??410??10111048，?================精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载============== S?ac?sinB??2???．227577 已知cos???113,cos(???)?,且02714(Ⅰ)求tan2?的值. 求?. 本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。
2007年高考数学试题分类汇编(三角函数)
2007年高考数学试题分类汇编（三角函数） 一、填空题1．（安徽文）15．函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，如下结论中正确的是 ①②③（写出所有正确结论的编号．．）． ①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④由3sin 2y x =的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． 2．（江苏卷）11．若13cos(),cos()55αβαβ+=-=，.则tan tan αβ= 12 .3．（江苏卷）16．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将,A B 两点的距离()d cm 表示成()t s 的函数，则d =π10sin60t，其中[0,60]t ∈。
4．（北京）13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于 725 ．5．（四川）(16)下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π,2|. ③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+= ⑤函数.0)2sin(〕上是减函数，在〔ππ-=x y 其中真命题的序号是 ① ④ （（写出所有真命题的编号））解析：①4422sin cos sin cos 2y x x x x cos x =-=-=-，正确；②错误；③sin y x =，tan y x =和y x =在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．6．（浙江）（12）已知1sin cos5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos2θ的值是725-．7．（浙江文）(12)若sinθ＋cosθ＝15，则sin 2θ的值是__一2425_____．8．（上海）6．函数⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=2πsin3πsin xxy的最小正周期=Tπ．9．（上海文）4．函数πsec cos2y x x⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期=Tπ．10．（上海春）4．函数2)cossin(xxy+=的最小正周期为π.一、选择题11．（安徽）6．函数()3sin2f x xπ⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象为C，①图象C关于直线1112x=π对称；②函数()f x在区间5ππ⎛⎫-⎪1212⎝⎭，内是增函数；③由3sin2y x=的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C．以上三个论断中，正确论断的个数是（Ｃ）A．0 B．1 C．2 D．312．（江苏）1．下列函数中，周期为2π的是 DA．sin2xy=B．sin2y x=C．cos4xy=D．cos4y x=13．（江苏）5．函数()sin([,0])f x x x xπ=∈-的单调递增区间是 DA．5[,]6ππ--B．5[,]66ππ--C．[,0]3π-D．[,0]6π-14．（宁夏，海南）2．已知命题:p x∀∈R，sin1x≤，则（Ｃ）Ａ．:p x⌝∃∈R，sin1x≥Ｂ．:p x⌝∀∈R，sin1x≥Ｃ．:p x⌝∃∈R，sin1x>Ｄ．:p x⌝∀∈R，sin1x>15．（宁夏，海南）3．函数πsin23y x⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的简图是（Ａ）16．（宁夏，海南）9．若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ Ｃ ）Ａ．Ｂ．12-Ｃ．1217．（北京）1．已知cos tan 0θθ< ，那么角θ是（ Ｃ ） Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角18．（北京）3．函数()sin 2cos 2f x x x =-的最小正周期是（ Ｂ ） Ａ．π2Ｂ．πＣ．2πＤ．4π19．（福建）5．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（ A ）A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭，对称D ．关于直线x π=3对称 20．（福建文）3．sin15cos75cos15sin105+等于（ Ｄ ） Ａ．0Ｂ．12Ｄ．121．（福建文）5．函数πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（ Ａ ） Ａ．关于点π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称Ｂ．关于直线π4x =对称Ｃ．关于点π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称Ｄ．关于直线π3x =对称 22．（广东）3.若函数是则)(R),(21sin )(2x f x x x f ∈-=（ A ） A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为π2的偶函数D.最小正周期为π的偶函数23．（广东文）9．已知简谐运动()2sin()()32f x x ππϕϕ=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为（ D ） A ．6,6T πϕ==B ．6,3T πϕ==C ．6,6T ππϕ==D ．6,3T ππϕ==24．（湖北文）1．tan 690°的值为（ Ａ ）Ａ． Ｄ．25．（江西）3．若πtan 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cot α等于（ A ） Ａ．2-Ｂ．12-Ｃ．12 Ｄ．2 26．（江西）5．若π02x <<，则下列命题中正确的是（ D ）Ａ．3sin πx x < Ｂ．3sin πx x >Ｃ．224sin πx x < Ｄ．224sin πx x >27．（江西文）2．函数5tan(21)y x =+的最小正周期为（ Ａ ） Ａ．π4Ｂ．π2Ｃ．πＤ．2π28．（江西文）8．若π02x <<，则下列命题正确的是（ Ｂ ） Ａ．2sin πx x <Ｂ．2sin πx x > Ｃ．3sin πx x <Ｄ．3sin πx x >29．（陕西）4.已知sin α=55，则sin 4α-cos 4α的值为（ Ａ ） （A ）-51 (B)-53 (C)51 (D) 5330．（天津）3．“2π3θ=”是“πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭”的（ Ａ ） Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件31．（天津文）（9）设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （ Ａ ） A ．在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数B ．在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦，上是减函数 C ．在区间84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数D ．在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数32．（浙江）（2）若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f = Ｄ ）A ．126ωϕπ==， B ．123ωϕπ==， C ．26ωϕπ==，D ．23ωϕπ==，33．（浙江文）(2)已知cos()22πϕ+=，且||2πϕ<，则tan ϕ＝(Ｃ)(A)－3 (B) 3(C) (D)34．（山东）5 函数sin(2)cos(2)63y x x ππ=+++的最小正周期和最大值分别为（ A ）（A ）,1π （B ） π（C ）2,1π （D ） 2π35．（山东文）4．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象（ A ） A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位36．（重庆文）（6）下列各式中，值为23的是（ B ） （A ）︒-︒15cos 15sin 2 （B ）︒-︒15sin 15cos 22 （C ）115sin 22-︒（D ）︒+︒15cos 15sin 2237．（全国Ⅰ）（1）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ D ）A ．15 B ．15-C ．513D ．513-38．（全国Ⅰ）（12）函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（ A ）A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，39．（全国Ⅰ文）（2）α是第四象限角，12cos 13α=，sin α=（ Ｂ ） Ａ．513Ｂ．513-Ｃ．512Ｄ．512-40．（全国Ⅱ）1．sin 210=（ D ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-41．（全国Ⅱ文）1．cos330=（ C ）A ．12B ．12-C ．2D ．2-42．（全国Ⅱ）2．函数sin y x =的一个单调增区间是（ C ） A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， 三、解答题43．（安徽文）16．（本小题满分10分） 解不等式(311)(sin 2)0x x --->．16．本小题主要考查三角函数的基本性质，含绝对值不等式的解法，考查基本运算能力．本小题满分10分．解：因为对任意x ∈R ，sin 20x -<，所以原不等式等价于3110x --<． 即311x -<，1311x -<-<，032x <<，故解为203x <<． 所以原不等式的解集为203x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． 44．（安徽文）20．（本小题满分14分） 设函数232()cos 4sincos 43422x xf x x t t t t =--++-+，x ∈R ， 其中1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t ．（I ）求()g t 的表达式；（II ）讨论()g t 在区间(11)-，内的单调性并求极值．20．本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．本小题满分14分． 解：（I ）我们有232()cos 4sin cos 43422x xf x x t t t t =--++-+222sin 12sin 434x t t t t =--++-+ 223sin 2sin 433x t x t t t =-++-+23(sin )433x t t t =-+-+．由于2(sin )0x t -≥，1t ≤，故当sin x t =时，()f x 达到其最小值()g t ，即3()433g t t t =-+．（II ）我们有2()1233(21)(21)1g t t t t t '=-=+--1<<，． 列表如下：t121⎛⎫-- ⎪⎝⎭，12- 1221⎛⎫- ⎪⎝⎭，12 112⎛⎫⎪⎝⎭， ()g t ' +-+()g t极大值12g ⎛⎫-⎪⎝⎭极小值12g ⎛⎫⎪⎝⎭由此可见，()g t 在区间112⎛⎫--⎪⎝⎭，和112⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增加，在区间1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减小，极小值为122g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，极大值为42g 1⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 45．（安徽理）16．（本小题满分12分） 已知0αβπ<<4，为()cos 2f x x π⎛⎫=+ ⎪8⎝⎭的最小正周期，1tan 1(cos 2)4αβα⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，a b ，且 a b m =．求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值．16．本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．本小题满分12分． 解：因为β为π()cos 28f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期，故πβ=． 因m =·a b ，又1cos tan 24ααβ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭a b ··．故1cos tan 24m ααβ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭·． 由于π04α<<，所以 222cos sin 2()2cos sin(22π)cos sin cos sin ααβαααααα++++=-- 22cos sin 22cos (cos sin )cos sin cos sin ααααααααα++==-- 1tan π2cos 2cos tan 2(2)1tan 4m ααααα+⎛⎫==+=+ ⎪-⎝⎭·．46．（辽宁）17．（本小题满分12分） 已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，（其中0ω>） （I ）求函数()f x 的值域；（II ）若对任意的a ∈R ，函数()y f x =，(π]x a a ∈+，的图象与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数()y f x x =∈R ，的单调增区间．47。
2007年高考数学专题考案(3)三角函数板块-3
专题考案(3)三角板块 第4课 三角函数的最值(时间：90分钟 满分：100分)题型示例已知f (x )=4m sin x -cos2x (x ∈R ).若f (x )的最大值为3，求实数m 的值. 分析 将sin x 整体代换成变量t ，通过学习过的正弦函数的值域赋予变量t 的取值范围，再运用二次函数的理论求得满足题意的结果.解f (x )=4m sin x -cos2x =2sin 2x +4m sin x -1=2(sin x +m )2-(2m 2+1),令t =sin x ,则f (x )可化为g (t )=2(t +m )2-(2m 2+1)(-1≤t ≤1).①当-m ≤0时，则在t =1处,f (x )max =1+4m , 由⎩⎨⎧≤-=+0341m m 得m =21;②当-m >0时，则在t =-1处，f (x )max =1-4m ,由⎩⎨⎧>-=-0341m m ;综上，m =±21.点评 本题主要考查三角函数的值域问题和二次函数的值域问题.一、选择题(9×3′＝27′)1．函数y =2sin x sin2x 的最大值是 ( )A .398 B.2764C.932D.2 2．若函数y =1-2cos x -2sin 2x 的值域为［a ,b ］，则b 2+4a 的值为 ( )A.1B.2C.3D.43．函数y =(sin 2x +csc 2x )+(cos 2x +sec 2x )的最小值是 ( ) A.4 B.3 C.5 D.不存在4．函数y =cos2x +3sin x 的最小值与最大值分别是 ( ) A.-4,4 B.817,4 C.-4, 817 D-817,817 5．函数y =log 2(1+sin x )+log 2(1-sin x )，当x ∈［-6π,4π］时的值域为 ( ) A.［-1,0］ B.(-1,]0 C.［0,1］ D.［0,1］ 6．函数f (x )=sin(2π-x )·sin(2π+2x )·cos(25π+x )的最大值和最小值分别为 ( ) A.41,-41 B 21,-21C.1,-1D.1,0 7．函数y =x 21x -,x ∈［-1,1］的最大值、最小值分别是 ( ) A .1，0 B.1,-1 C.21，-21 D 21，0 8．函数y =x2sin 3+sin 2x (x ≠k π,k ∈Z )的值域是 ( ) A.［23,+)∞ B.(1,2]3 C.(0,]4 D.［4,+∞］9．当0<x <4π时，函数f (x )=xx x x22sin sin cos cos -的最小值是 ( )A.41 B.21C.2D.4二、填空题(4×3′＝12′) 10．y =sin(x -6π)cos x 的最大值是 ，最小值是 . 11．函数y =2sin(kx -12π)的周期为T ,且T ∈(1,3)，则正整数k 的最大值是 . 12．函数f (x )=2sin 1sin 3+-x x 的最大值和最小值分别为 和 .13．已知函数y =a cos x +b 的最大值为1，最小值为-7,则a cos x +b sin x 的最大值是 . 三、解答题(7′＋3×8′＋10′＝41′)14．求函数f (x )=xxx x x 2sin 2cos sin cos sin 2244-++的最小正周期，最大值和最小值.15．求下列函数的最值：(1)y =2sec 2x +cot 4x .(2)y =(1+cos x )·sin2x(0<x <π). 16．求函数y =sin x ·cos x +a (sin x +cos x )的最值.17．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且cos A =31.(1)求sin 22C B ++cos2A 的值;(2)若a =3,求bc 的最大值.18．欲修建一横断面为等腰梯形(如图1)的水渠，为降低成本必须尽量减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面面积设计为定值S ，渠深h ， 则水渠壁的倾角α(0<α<90)应为多大时，方能使修建成本最低? 四、思考与讨论 (2×10′＝20′) 19．求函数y =x 2sin 41-+|sin x |的值域. 20．记x 的函数y =1-2a -2a cos x -2sin 2x 的最小值为f (a ),试用a 表示f (a ).参考答案图11．A y =4sin 2x cos x =2.3983cos 2sin sin 22cos 2sin sin 23222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤∙∙∙x x x x x x 2．C y =cos2x -2cos x =2cos 2x -2cos x -1=2(cos x -21)2-23. 当cos x =21时,y min =-23=a ;当cos x =-1时,y max =3=b .∴b 2+4a =9+4×(-23)=3. 3．C y =1+csc 2x +sec 2x =3+cot 2x +tan 2x ≥3+2=5. 4．C y =1-2sin 2x +3sin x =-2(sin x -43)2+817.sin x =43时，y max =817;sin x =-1时，y min =-4. 5．A y =log 2(1-sin 2x )=log 2cos 2x .x ∈［-6π,4π］时，cos x ∈［22,1］，cos 2x ∈［21,1］∴y ∈［-1,0］.6．A ∵f (x )=cos2x ·cos x ·(-sin x )=-41sin4x ,∴最大值和最小值分别为41.-41. 7．C 设x =sin α,α∈［-2π,2π］,则y =sin αcos α=21sin2α，2α∈［-π,π］，∴-21≤y ≤21. 8．D 设t =sin 2x ,t ∈(0,1)，y =t +t3在(0,1］上为减函数，∴y ≥1+13=4.9．D ∵0<x <4π,∴cos 2x ≠0,∴f (x )=41)21(tan 1tan tan 122+--=-x x x ,∴f (x )min=4,此时，tan x =21. 10．41;-43 y =21［sin(2x -6π)-sin 6π］=21sin(2x-6π)-41.y max =21-41=41,y min =-21-41=-43. 11．6 由题意1<32,1231,3||2π<π<∴<πk k <k <2π,∴k 的最大值为6. 12．32;-4 由y =2sin 732sin 1sin 3+-=⇒+-x y x x ,sin x =1时，y max =32;sin x =-1时，y min =-4. 13．5 .34||7||1||⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+-=+b a b a b a a cos x +b sin x =22b a +sin(x +φ)≤22b a +=5. 14．分析 将f (x )化简成y =A sin(ωx +φ)+k 形式，再由周期公式T =||2ωπ，及三角函数性质求最值.解 f (x ) =)cos sin 1(2cos sin 1cos sin 22cos sin )cos (sin 2222222x x x x x x x x x x --=--+=21(1+sin x cos x )=41sin2x +21.所以函数f (x )的最小正周期是π,最大值是43,最小值是41. 点评 本题是一道基础题，难度系数不大，主要考查三角公式的简单变形，化简以及三角函数的周期性和最值性.15．解 (1)y =2(1+tan 2x )+cot 4x =2+tan 2x +tan 2x +cot 4x ≥2+3422cot tan tan x x x ∙∙=2+3=5，当且仅当x =n π±4π时等号成立(n ∈Z ),∴y min =5,无最大值.(2)∵0<x <π,∴sin2x >0,y 2=4cos 42x ·sin 22x =2cos 22x ·cos 22x ·2sin 22x ≤2271632sin 22cos 2cos 3222=++xx x ， 当且仅当tan2x =22时等号成立，∴y ≤394，即y max =394,无最小值. 16．解 设sin x +cos x =t ,则sin x ·cos x =21(t 2-1),t =sin x +cos x =2sin(x +4π)∈［-2,2］, y =21(t 2-1)+at =21t 2+at -21=21(t +a )2-21a 2-21(t ∈［-2,2］) (1)若-a <-2,即a >2时 当t =-2时,y min =-2a +21;当t =2时,y max =2a +21; (2)若-2≤-a ≤0即0≤a ≤2时 当t =-a 时,y min =-21a 2-21;当t =2时,y max =2a +21; (3)若0<-a ≤2,即-2≤a <0时 当t =-a 时,y min =-21a 2-21;当t =-2时y max =-2a +21; (4)若-a >2,即a <-2时 当t =2时,y min =2a +21;当t =-2时,y max =-2a +21. 点评 一个看似简单的题目，讨论却很繁琐，本题将三角函数与二次函数结合，是三角函数中经常命题的一种方式，值得注意.17．分析 （1）分别用降幂公式、二倍角公式，化简所求式子再求值.(2)三角形中出现bc 联想用余弦定理解题.解 （1）sin 22C B ++cos2A =21［1-cos(B +C )］+(2cos 2A -1) =21(1+cos A )+(2cos 2A -1)=21(1+31)+ (92-1)=-91. (2)∵bca cb 2222-+=cos A =31,∴32bc =b 2+c 2-a 2≥2bc -a 2.∴bc ≤43a 2,又∵a =3,∴(bc )max =49. 当且仅当b =c =23时，bc =49,故bc 的最大值是49. 点评 本题通过以三角函数为载体，考查了三角函数的诱导公式、倍角公式、余弦定理等知识，更以三角函数为载体考查了均值不等式，以及考查了学生的运算能力.18．解 作BE ⊥DC 于E (图略)，在Rt △BEC 中，BC =αsin h,CE =h cot α，又AB -CD =2CE =2h cot α,AB +CD =h S 2,故CD =hS-h cot α. 设y =AD +DC +BC ,则y =αα-+=α+α-sin )cos 2(sin 2cot h h S h h h S (0°<α<90°)，由于S 与h 是常量，欲使y 最小，只需u=αα-sin cos 2取最小值，u 可看作(0，2)与(-sin α,cos α)两点连线的斜率，由于α∈(0°,90°),点(-sin α,cos α)在曲线x 2+y 2=1(-1<x <0,0<y <1)上运动，当过(0，2)的直线与曲线相切时，直线斜率最小，此时切点为(-23，21)，则有sin α=23,且cos α=21，那么α=60°，故当α=60°时，修建成本最低. 19．解 设t =|sin x |，则有t ∈［0,21］，故y =241t -+t . 由于t ∈［0, 21］,令t =21sin θ,θ∈［0, 2π］,∴y =θ-2sin 4141+21sin θ=22sin(θ+4π). ∵θ∈［0, 2π］，θ+4π∈［4π,43π］，∴sin(θ+4π)∈［22,1］． ∴22sin(θ+4π)∈[21,22].∴原函数的值域为［21，22］．20．解 y =1-2a -2a cos x -2sin 2x =1-2a -2a cos x -2(1-cos 2x )=2(cos x -2a )2-22a -2a -1∴f (a )=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧----1411222a a a（-2≤a ≤2） （a >2）（a <-2）。
2007届高三数学复习 三角函数
2007届高三数学复习 三角函数【教学内容】三角函数中的给角求值、给值求值、三角函数式的化简、三角恒等式和条件等式的证明以及在三角形中的三角恒等变换及求值等内容。
【教学目标】1、给角求值问题关键是正确地选用公式化一般角为特殊角求值，而把非特殊角的三角函数相约或相消；给值求值是附有条件的求值问题，关键是寻找已知条件与所求三角式之间的角、运算及函数名称之间的区别和联系，可将已知式进行适当变换，向所求式转化，或将所求的三角式进行变换，再把已知式代入进行计算。
2、三角函数式的化简关键是能正确运用三角公式，采用切、割化弦、通分、平方降次、1的代换等思想方法来进行化简；三角条件等式的证明关键是要比较等式两端的特征，用分析法或综合法寻找正确的证明途径，通过三角恒等变换、变角变次变名称，达到使等式两端“异”转化为“同”，或“繁”转化为“简”的目的。
3、在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础，同时注意到三角变换公式，特别是几组常见的三角形中的恒等关系式，利用它们可以灵活地进行边角转换、研究三角形的边（角）关系、判断三角形的形状。
【知识讲解】例1：求)35cos()65sin()613cos()37sin()425(325cos 625sinπππππππ-----+-++tg 的值 解：213cos6sin6cos3sin43cos6sin-=⋅+--+=πππππππtg例2：已知tan(α-β)=1/2,tan β=-1/7且α、β∈（0，π）求2α-β的值。
分析：要求2α-β的值，只需要先求出角2α-β的某一个三角函数值，再结合2α-β的范围来确定该角的大小，但是由于条件中所给角α、β的范围较大，但α、β实际上仅仅是一个确定的角，所以解这类习题常常需要先根据已知条件把角的范围进一步缩小，最好能使2α-β恰好在所求的三角函数的某一单调区间内，否则若2α-β的范围过大往往会出现多解，从而把不满足条件的角也包含进去了。
2007年高中总复习第二轮数学第一部分-专题三-3.1-三角函数的图象与性质
2007年高中总复习第二轮数学第一部分-专题三-3.1-三角函数的图象与性质专题三三角函数考情动态分析本专题主要内容包括三角函数的概念、图象、性质以及三角函数的恒等变形和应用，三角形中的三角函数关系等.三角函数不仅是学习立体几何、解析几何等知识的基础，也是研究相关学科的重要工具，还常与函数、方程、不等式、数列、向量、复数、参数方程等知识综合，具有一定的综合性和灵活性，研究近几年的高考试题，特别是2006全国及部分省市高考试题，可以发现，本章的内容一般以选择题、填空题的形式出现，如2005年全国卷(Ⅰ)第7题，全国卷(Ⅱ)第1题、第4题，这些题讲究通性通法，难度属中档题，也有时以解答题的形式考查，如2005年全国卷(Ⅰ)(19)题，全国卷(Ⅱ)(17)题，这些题常常是三角函数与其它知识(如不等式、数列、平面向量等)的综合，这也是近年来高考命题的趋向，解答题难度不大.本专题的内容一般占整个试卷的15%左右.展望2007年高考，对三角函数的考查仍以选择题、填空题的形式进行，且难度不大，解答题仍为中档题.因此复习时应立足课本,抓好基础,重视数学思想方法的运用,强化应用意识的训练,提高分析问题、解决问题的能力.§3.1 三角函数的图象与性质考点核心整合本课时重点内容是三角函数的图象与性质，它包含了三角函数的定义域、值域、周期性、奇偶性及单调性，其中单调性为本节的一个难点，图象的变换及其应用是本课时的重点. 1.关于y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象(1)“五点法”作图:设t=ωx+φ=0、2π、π、23π、2π,求相应的x 值及对应的y 值,描点作图. (2)变换作图:y=sinx →y=Asinx 是将y=sinx 的图象上各点的纵坐标变为原来的A 倍;y=Asinx →y=Asin(x+φ)是将y=Asinx 的图象上的所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位;y=Asin(x+φ)→y=Asin(ωx+φ)是将y=Asin(x+φ)的图象上的所有点的横坐标变为原来的ω1.要明确上面后两步的先后顺序.(3)由图象求解析式y=Asin(ωx+φ):首先确定“五点法”中的第一个零点(x 0,0),需根据图象的f(x)=sin(2x+φ),(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=8π. (Ⅰ)求φ；(Ⅱ)求函数y=f(x)的单增区间； (Ⅲ)证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图像不相切.分析：由对称轴是x=8π，可知2×8π+φ使f(x)取最值，即4π+φ=k π+2π.(k ∈Z)，从而可求φ；由sinx 的单增区间可求f(x)=sin(2x+φ)的单增区间.由｜f ′(x)｜=｜2cos(2x+φ)｜≤2，直线5x-2y+c=0的斜率为25>2说明直线和f(x)的图象不能相切.解：(Ⅰ)解法1：因为x=8π是函数y=f(x)的图像的对称轴，所以sin(2·8π+φ)=±1, 则有4π+φ=k π+2π,k ∈Z. 因为-π<φ<0,所以φ=-43π.解法2：函数y=sin 2x 图像的对称轴为x=2πk +4π,k ∈Z.y=sin(2x+φ)的图像由y=sin 2x 的图像向左平移2ϕ得到，所以有2πk +4π-2ϕ=8πk ∈Z. ∵-π<φ<0, ∴φ=-43π. 解法3：因为x=8π是函数y=f(x)的图像的对称轴. 所以f(8π-x)=f(8π+x). 即sin ［2(8π-x)+φ］=sin ［2(8π+x)+φ］， 于是有2(8π-x)+φ=2k π+2(8π+x)+φ(舍去), 或［2(8π-x)+φ］+［2(8π+x)+φ］=2k π+π. 因为-π<φ<0，∴φ=-43π. (Ⅱ)解法1：由(Ⅰ)知φ=-43π,因此y=sin(2x-43π)，由题意得2k π-2π≤2x-43π≤2k π+2π,(k ∈Z),所以函数y=sin(2x-43π)的单调增区间为［k π+8π k π+85π］,k ∈Z, 解法2：由y ′=2cos(2x-43π)≥0可得， 2k π-2π≤2x-43π≤2k π+2π k ∈Z, 所以函数y=sin(2x-43π)的单调增区间为［k π+8π,k π+85π］ k ∈Z, (Ⅲ)解法1：因为｜y ′｜=｜［sin(2x-43π)］′｜=｜2cos(2x-43π)｜≤2, 所以曲线y=f(x)的切线斜率取值范围为［-2,2］，而直线5x-2y+c=0的斜率25>2，所以直线5x-2y+c=0与函数y=sin(2x-43π)的图象不相切.解法2：令F(x)=sin(2x-43π)-25c x +, 则F ′(x)=2cos(2x-43π)-25, ∵-1≤cos(2x-43π)≤1，∴F ′(x)≠0.则直线5x-2y+c=0与函数y=sin(2x-43π)的图像不相切.评述：本题第(Ⅰ)(Ⅱ)问是三角函数中最基本的问题，第(Ⅲ)问是考查一般函数在某点导数的几何意义，涉及的都是一些基本的概念，也是每个同学应该掌握的. 链接·提示1.依给定的对称轴x=8π，求φ：(a)不清楚对称轴一定经过f(x)的极大值点或极小值点；(b)由sin(2·8π+φ)=±1，确定4π+φ=2π或4π+φ=-2π时，没有考虑-π<φ<0这一条件.2.确定f(x)=sin(2x-43π)的单调增区间时，不清楚2x-43π所属的区间就是sinx 的单调增区间.3.f(x)=sin(2x-43π)是复合函数，有的同学求导出错.4.｜f ′(x)｜=｜2cos(2x-43π)｜≤2,不清楚任意直线如斜率大于2则直线与f(x)不可能相切.【例2】(2006山东临沂模拟，17)已知集合A=｛x ｜｜x-a ｜<ax,a>0｝若f(x)=sin πx-cos πx 在A 上是增函数，求a 的最大值.分析：由f(x)在A 上是增函数，知A 应包含于f(x)的增区间，故需化简A ，求f(x)的单调增区间.解：由｜x-a ｜<ax 得⎩⎨⎧->-<-,,ax a x ax a x∴⎩⎨⎧>+<-.)1(,)1(a x a a x a (a>0) 当1-a>0，即0<a<1时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>-<.1,1a a x a a x∴A={x ｜a a +1<x<aa-1}. f(x)=2sin(πx-4π),由2k π-2π≤πx-4π≤2k π+2π得 2k-41≤x ≤2k+43. ∵f(x)在A 上为增函数， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤--≥+.4321,4121k aa k a a(k ∈Z).∵0<a a +1<1，aa -1>1,∴k=0.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≥+431411a a a a∴0<a ≤73,即a 的最大值为73,当1-a<0即a>1时，A=｛x ｜x>aa +1｝,与f(x)在A 上单调增不符；当1-a=0,即a=1时，A=｛x ｜x>aa +1｝,与f(x)在A 上单调增不符.综上得a 的最大值为73.评述：①f(x)的单调递增区间有无数多个，A 包含于哪个单增区间是解本题的难点和关键，解决这个难点的方法是看A 的端点的范围. ②解本题分类讨论时，应先讨论a>1的情况，因为a>1时若有最大值，则不再需讨论a ≤1的情况. 链接·拓展已知集合A=｛x ｜｜x-a ｜<ax,a>0｝，是否存在实数a ，使得f(x)=sin πx-cos πx 在A 上为减函数；若存在，求a 的范围；若不存在，请说明理由.(不存在)(2006湖北黄冈四模，17文)已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB ·=6，AB 与BC 的夹角为θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f(θ)=sin 2θ+2sin θ·cos θ+3cos 2θ的最小值.分析：(1)要建立θ与S 之间的函数关系式，再利用余弦函数的单调性；(2)要把f(θ)化成Asin(ωx+φ)的形式.解：(1) AB ·BC =｜AB ｜·｜BC ｜cos θ=6, ①S=21｜AB ｜·｜BC ｜·sin(π-θ)=21｜AB ｜·｜BC ｜sin θ， ②由②÷①得6S =21tan θ,即tan θ=3S . 由3≤S ≤3，得33≤tan θ≤1,又θ为AB 与的夹角，∴θ∈［0，π］，∴θ∈［6π，4π］.(2)f(θ)=sin 2θ+2sin θ·cos θ+3cos 2θ=1+sin2θ+2cos 2θ=2+sin2θ+cos2θ=2+2sin(2θ+4π),∵θ∈［6π,4π］,∴2θ+4π∈［127π,43π］. ∴2θ+4π=43π,即θ=4π时，f(θ)的最小值为3. 评述：研究复杂三角函数的性质，一般是将这个复杂的三角函数化成y=Asin(ωx+φ)的形式再求解，这是解决所有三角函数问题的基本思路. 【例3】 已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx). (1)求函数f(x)的最小正周期和最大值； (2)在给出的直角坐标系中，画出函数y=f(x)在区间［-2π,2π］上的图象.解：(1)f(x)=2sin 2x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=1+2(sin2xcos 4π-cos2xsin 4π)=1+2sin(2x-4π), 所以函数f(x)的最小正周期为π，最大值为1+2. (2)由(1)知x -83π-8π8π 83π85πy11-211+2 1故函数y=f(x)在区间［-2π,2π］上的图象是评述：本题主要考查三角函数的基本性质和恒等变换的基本技能，考查画图的技能.研究y=asinx+bcosx 型函数的性质，一般要化成y=Asin(ωx+φ)型的函数再研究. 链接·拓展求函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)在［-4π,4π］上的最值.提示:求2x-4π的范围,最大值为2,最小值为1-2.【例4】 把函数f(x)=sin 2x-2sinxcosx+3cos 2x 的图象沿x 轴向左平移m(m>0)个单位，所得函数的图象关于直线x=817π对称. (1)求m 的最小值；(2)证明当x ∈(-817π,-815π)时，经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为负数；(3)设x 1,x 2∈(0,π),x 1≠x 2,且f(x 1)=f(x 2)=1,求x 1+x 2的值.分析：(1)f(x)的图象平移后关于直线x=817π对称，则x=817π使平移后的函数式取最值；(2)只需计算图象上任两点斜率的范围；(3)可求出x 1,x 2的值即可. 解：(1)f(x)=sin 2x-2sinxcosx+3cos 2x=22cos 1x --sin2x+3·22cos 1x+=cos2x-sin2x+2=2cos(2x+4π)+2. 将f(x)的图象沿x 轴向左平移m 个单位得到函数g(x)=2cos ［2(x+m)+4π］+2的图象. ∵g(x)的图象关于直线x=817π对称，∴2(817π+m)+4π=k π(k ∈Z)即m=4)92(π-k (k ∈Z),又m>0，∴m 的最小值为4π(k=5时取得). (2)∵-817π<x<-815π,∴-4π<2x+4π<-27π,∴f(x)在(-817π,-815π)上是减函数.于是x 1,x 2∈(-817π，-815π)，且x 1<x 2,便有f(x 1)>f(x 2)从而经过两点(x 1,f(x 1),(x 2,f(x 2))的斜率k=2121)()(x x x f x f --<0.(3)f(x)=1⇔cos(2x+4π)=-22,在(0，π)内满足cos(2x+4π)=-22的值为4π和2π.∵f(x 1)=f(x 2)=1.且x 1,x 2∈(0,π).x 1≠x 2,∴x 1+x 2=4π+2π=43π 另法：由2x+4π=k π(k ∈Z)得x=2πk -8π ∴在(0，π)内的对称轴为x=83π和x=87π 又f(x 1)=f(x 2)=1,且x 1,x 2∈(0,π).x 1≠x 2,x ∈(87π,π)时f(x)≠1.∴x 1+x 2＝2×83π=43π. 评述：本题主要在于灵活运用正、余弦函数的图象及性质，以及数形结合的解题思想.解题关键在于对三角函数及其图象特征全面、深刻的理解及运用.。
2007年高考数学试题分类详解--三角函数
2007年高考数学试题分类详解三角函数一、选择题1．（全国1理）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α= A ．15 B ．15- C ．513 D ．513-解．α是第四象限角，5tan12α=-，则sin α=513=- 2、（全国1理12）函数22()cos 2cos2xf x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππB ．(,)62ππC ．(0,)3π D ．(,)66ππ- 解．函数22()cos 2cos 2x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22t ∈-，∴ 原函数此时是单调增，选A 。
3、（山东文4）要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象（ ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位【答案】A 【分析】： 本题看似简单，必须注意到余弦函数是偶函数。
注意题中给出的函数不同名，而cos cos y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪33⎝⎭⎝⎭sin[()]sin()2x x πππ=--=+36，故应选A 。
4、（天津理3） 2""3πθ=是"tan 2cos "2πθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】22tan tan 2cos 2sin()2sin 323πθπθθπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当0θ=︒时tan 0,2cos 02πθθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭可知不必要.故选A5、（天津文9）设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （ ） A ．在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数B ．在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦，上是减函数 C ．在区间84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数D ．在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数解.A 【解析】由函数图象的变换可知:()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象是将()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象x 轴下方的对折上去,此时函数的最小正周期变为π,则函数在区间32k x k πππ≤+≤π+即36k x k πππ-≤≤π+上为增函数,当1k =时有: 2736x ππ≤≤,故在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上()f x 是增函数. 6、（全国1文2）α是第四象限角，12cos 13α=，则sin α= A ．513 B ．513- C ． 512 D ．512-解．α是第四象限角，12cos 13α=，则sin α=513=-，选B 。
2007年高考数学试题汇编——三角函数(三)
2007年高考数学试题汇编——三角函数（三）43、（广东理16）已知顶点的直角坐标分别为，，．（1）若，求的值；（2）若是钝角，求的取值范围．解析：（1），，若c=5，则，∴，∴sin∠A＝；2）若∠A为钝角，则解得，∴c的取值范围是；44、（海南宁夏理17）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．解：在中，．由正弦定理得．所以．在中，．45、（湖北理16）已知的面积为，且满足，设和的夹角为．（I）求的取值范围；（II）求函数的最大值与最小值．本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力．解：（Ⅰ）设中角的对边分别为，则由，，可得，．（Ⅱ）．，，．即当时，；当时，．46、（湖北文16）已知函数，．（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．解：（Ⅰ）．又，，即，．（Ⅱ），，且，，即的取值范围是．47、（湖南理16）已知函数，．（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值．（II）求函数的单调递增区间．解：（I）由题设知．因为是函数图象的一条对称轴，所以，即（）．所以．当为偶数时，，当为奇数时，．（II）．当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）．48、（湖南文16）已知函数．求：（I）函数的最小正周期；（II）函数的单调增区间．解：．（I）函数的最小正周期是；（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）．。
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y y=sinx
1
对称点：(k,0)
k∈Z 对称轴：x=k+ 2
． / ． / ． ． -1 T/2
o y y=cosx
1
．
x
．
o -1
．
/
． ． /
对称轴：x=k k∈Z 对称点：(k+ ,0) 2
x
T/2
1.设cos2x+4sinx-a=0(a,x∈R),则a 的取值范围是___________. －４，４
∴ T=
讨论函数y=lg|sinx|的性质，
并画出它的图象。
（5） 令 t=|sinx| , y=lg t是增函数
∴ y=lg|sinx| 与 t= |sinx| 的单调性相同。 又 t=|sinx| 的递增区间为：(k,k+/2] k∈Z
递减区间为：[ k+/2，k+) k∈Z [k,k+/2] k∈Z ∴ y=lg|sinx| 的递增区间为： 递减区间为：[ k+/2，k+ k∈Z （6）画出图象
3．y=sinx 可以得到y=2sin(2x+/4)的图象。
提示：可以先变到y=2sin2x.
分析： y=2sin(2x-/6)
向左平移/12个单位
y=2sin2x
向左平移/8个单位
y=2sin(2x+/4)
如右图，曲线是函数y=Asin(wx+j)，0<j<
的图象的一部分，求这个函数的解析式。 由图象的最低点和最高点得 A=2 解：
y 1
y=|sinx|
2
-1
0
x
二、正切函数的图象与性质
三角
函数 性 质
因为 tan( x ) tan x, x R且
y tan x
{x | x R且x k
T
y
x k
2 , k Z}
2
,k Z
定义域
周期性
因为诱导公式
图象
0
x
tan( x) tan x
３．方程ln|x|=sinx的解的个数是（Ｃ ） （Ａ）０个（Ｂ）１个（Ｃ）２个（Ｄ）无穷多个 分析：
令y= ln|x| ,则y= sinx，在同一坐标系中作图如下：
y １ y= ln|x|
Ｏ
x
y= sinx
两函数图像交点个数为２个，此方程的解是２个
问题一： 函数y=|sinx|的图象和性质
定义域：R 偶函数 周期为: 值域：[0，1]
２．y=3sin(2x+／６)的图像的一条对称轴方程是（B ）
（A）x=0 (B)x= ／６ (C)x=- ／６ （D）x= ／3
解：令X= 2x+／６, 则y=3sinX,由此可知y=3sinX的图像的 对称轴方程为Ｘ＝k + /2 ，k Z 2x+／６＝k + /2 ，k Z，解得x=k /2+ ／６, k Z y=3sin(2x+／６)的图像的对称轴方程为： x=k /2+ ／６, k Z 令k=0得x= ／６
y=Asinx
相位变换
y=Asin(x+j) 横坐标变到原来的1/w倍 y=Asin(wx+j) 周期变换
纵坐标变到原来的A倍
6、y=sinx
y=Asinwx
振幅变换 平移| j |/w个单位 相位变换
横坐标变到原来的1/w倍 y=Asinx 周期变换
y=Asin(wx+j)
y=2sin(2x-/6)的图象经过怎样变化
单调增区间：k, k+/2] k ∈ Z 单调减区间：k+/2 , k] k ∈Z y
1 -3/2 / -1 0
y=|sinx|
/
x / 2
问题二： 函数y=|cosx|图象和性质 定义域：R 偶函数 周期为: 值域：[0，1] 单调递减区间：k, k+/2] k Z 单调增区间：k+/2 , k] kZ y
纵坐标变到原来的A倍
4．y=sinx 横坐标变到原来的1/w倍 y=sinwx 周期变换
平移| j |/w个单位
振幅变换
y=Asinwx
相位变换
y=Asin(wx+j)
归纳从 y=sinx 到 y=Asin(wx+j) 的变化过程
5、y=sinx
纵坐标变到原来的A倍 振幅变换 平移| j |/w个单位
2 解: 原式变为1-sin x+4sinx-a=0(a,x∈R) 即 sin2x-4sinx+a-1=0
配方可得 (sinx-2)2+a-5=0 ∴ a=-(sinx-2)2+5 ∵ -1≤sinx≤1 ∴当sinx=1,amax=4. 当sinx=-1,amin=-4.
∴ a的取值范围是－４，４
定义域
周期性
图象
0
x
因为由诱导公式 cot( x) cot x
且定义域关于原点对称
值域 奇偶性 单调性
R
奇
(k , k ), (k Z ) 都是减函数
三、函数 Y=Asin(wx+j) 的图象
⒈ Y=Asinx（A>0, A≠1) 的简图 y=sinx
横坐标不变 纵坐标变到原来的A倍 横坐标变到原来的1/w倍，
-2 -3/2 / O /
/ 2
X
讨论函数y=lg|sinx|的性质，
并画出它的图象。 分析： 1）函数y=lg|sinx|为对数函数 （ 则 要求真数|sinx|>0, 即 sinx≠0. xR且x≠k,k∈z 所以原函数定义域为： {x|x∈R且x≠k,k∈z} (2) 令 t= |sinx| ∵函数y=lgt在 （０， ＋∞）上为增函数 且0<|sinx| 1 ∴lg|sinx|lg1=0 ∴原函数的值域为：（－∞，0]
讨论函数y=lg|sinx|的性质，
并画出它的图象。
(3) 设 f(x)= lg|sinx| f(－x)= lg|sin(－x)|=lg|sinx|=f(x) ∴函数y=lg|sinx|为偶函数。
（4） 设函数的周期为：T f(x+T)=lg|sin(x+T)| =lg|sinx| =f(x)
∴ |sin(x+T)| = |sinx|
y=Asinx
振幅变换
⒉ Y=sinwx (w>0 , w≠1) 的简图 y=sinx
纵坐标不变 平移 | j | 个单位
y=sinwx
周期变换
⒊ Y=sin(x+j) 的简图 y=sinx
y=sin(x+j) 相位变换
4. Y=Asin(wx+j)的简图
归纳从 y=sinx 到 y=Asin(wx+j) 的变化过程
2 .求函数y=sin(3x+/4)的图象经过向右平移/3个单位，
再向上平移1个单位后所得图象的函数解析式是什么？
2 3试求函数y . 的定义域。 tan x tan x
值域 奇偶性 单调性
R
奇 ( k , k ), (k Z )
2 2 都是增函数
余切函数的图象与性质
三角
函数 性 质
y cot x
{x | x R且x k , k Z}
T
y
因为cot( x ) cot x, x R 且x k , k Z
平移| j | 个单位 y=sin(x+j) 1．y=sinx 相位变换 横坐标变到原来的1/w倍, 周期变换
y=sin(wx+j)
纵坐标变到原来的A倍 振幅变换
y=Asin(wx+j)
平移| j | 个单位
２．y=sinx
y=Asin(x+j)
相位变换
纵坐标变到原来的A倍 y=sin(x+j) 振幅变换
T=(5/6/3) 2 = w=2/T=2/=2 由 + j = 得j= 6 3 w y=2sin(2x+ 3 ),xR.
y
2
1 0 5/6
/3
x
-1 -2
已知函数y 10
lg
3 tan 2 x
)
,回答下列问题并作出图象。
1)：函数的定义域是什么?
( 2) x为什么时函数值为 ? 1
值域为什么?
k k 定义域 , , k Z 4 2 2
值域为 0, )
(3)该函数是否为周期函数 若是，求最小正周期； ?
1.已知函数y=a+bcos(2x-/4)的最大值是5，最小值是1，
求函数y=3bcosax + 5 的最大值。
横坐标变到原来的1/w倍, 周期变换
y=Asin(wx+j)
归纳从 y=sinx 到 y=Asin(wx+j) 的变化过程
3．y=sinx
横坐标变到原来的1/w倍 平移| j |/w个单位 y=sinwx 周期变换 相位变换
纵坐标变到原来的A倍
y=sin(wx+j)
振幅变换
y=Asin(wx+j)
y = sinx y = cosx y = Asin(wx+j) y = tgx y = ctgx
一、正、余弦函数的图象与性质
三角 函数 性 质
1 1
y sin x
y cos x
图
象
Fra bibliotek
1
1
定义域 值 域