2013届高三数学章末综合测试题(5)三角函数、解三角形(2)

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2013年全国各省市高考真题——三角函数(带答案)

2013年全国各省市文科数学—三角函数1、2013大纲文T2.已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13a a ==则（A ）1213-（B ）513- （C ）513 （D ）12132、2013大纲文T9.若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）23、2013新课标文T9.函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（）4、2013新课标文T10.已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（）（A ）10（B ）9（C ）8（D ）55、2013新课标Ⅱ文T4.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（）（A ）2 （B 1 （C ）2 （D 16、2013新课标Ⅱ文T6.已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（）（A ）16 （B ）13 （C ）12 （D ）237、2013辽宁文T6.在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π8、2013山东文T7.ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，b =，则c =(A)(D)19、2013山东文T9.函数x x x y sin cos +=的图象大致为10、2013北京文T5．在ABC ∆中，3a =，5b =，1sin 3A =，则sin B =（） A ．15 B ．59CD ．111、2013四川文T6.函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（）（A ）2,3π-（B ）2,6π-（C ）4,6π-（D ）4,3π12、2013天津文T6. 函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是(A) 1- (B) (D) 0 13、2013浙江文T6.函数f(x)=sin xcos x+32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是 A 、π，1 B 、π，2 C 、2π，1 D 、2π，2 14、2013福建文T9．将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ，则ϕ的值可以是（） A ．35π B ．65π C ．2π D ．6π 15、2013广东文T4．已知51sin()25πα+=，那么cos α= A ．25-B ．15-C ．15D ．2516、2013安徽文T9. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =(A)3π (B) 23π (C) 34π (D) 56π 17、2013陕西文T9. 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 直角三角形(B) 锐角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定18、2013湖南文T5.在锐角∆ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b. 若2sinB=3b ，则角A 等于A.3π B.4π C.6πD.12π19、2013湖北文T6．将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 A ．π12 B ．π6C ．π3D ．5π620、2013江西文T3. sincos 2αα==若（） A. 23-B. 13-C. 13D.2321、2013新课标文T16.设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.22、2013新课标Ⅱ文T16.函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_________。

2013年高考试题分项版解析数学(文) 专题04 三角函数与解三角形(Word精析版)(2)

第四章三角函数与解三角形一．基础题组1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科】若sin 2a =，则cos a =（） A ．23-B ．13-C ．13D ．23[答案]C[解析]221cos 12sin 12..23C αα=-=-⨯=∴选 [考点定位]此题主要考查三角恒等变换里面的二倍角余弦公式、三角函数求值问题. 2.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】已知a 是第二象限角，5sin ,13a =则cos a =（）（A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）1213【答案】A【解析】∵a 是第二象限角，∴12cos 13α===-.故选A. 【考点定位】三角求值3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】已知51sin()25πα+=，那么cos α=（）A ．25-B ．15-C ．15D ．25【答案】C 【解析】51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭，选C. 【考点定位】三角函数诱导公式.4.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】若函数()()sin 0y x ωϕω=+>的部分图像如图，则=ω（）（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 【答案】B【解析】∵由题中图像可知0042T x x π+-=.∴2T π=.∴22ππω=.∴4ω=.故选B. 【考点定位】三角函数的图像与解析式.5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】函数()2s i n ()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（）（A ）2,3π- （B ）2,6π-（C ）4,6π-（D ）4,3π【答案】A【解析】由图知，周期T 满足111521212T ππ=-，∴T π=，又0ω>，∴2ω=，故()2sin(2)f x x ϕ=+，图象的最高点为5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，于是由“五点法”作图，知52122ππϕ⨯+=，解得3πϕ=-，选A.【易错点】注意求初相ϕ的值时，图象的最高点坐标与五个关键点坐标的对应关系最容易代错！【考点定位】本题考查正弦型函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质，难点是确定初相ϕ的值，关键是理解“五点法”作图.6.【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】已知sin2α=错误！未找到引用源。

解三角形(2013高考题)

解三角形（理科）（13四川高考）在ABC ∆中，C B C B A sin sin sin sin sin 222-+≤，则A 的取值范围是( ) A 、]6,0(πB 、),6[ππC 、]6,0(πD 、 ),3[ππ（13辽宁高考）ABC ∆的三个内角C B A 、、所对的边分别为c b a ,,，a A b B A a 2cos sin sin 2=+则ba=( )A 、B 、C D（13天津高考）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2,2AB AD AB BC BD ===，则sin C的值为（）A ．3 B ．6 C ．3D ．6（13重庆高考）若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边c b a ,,满足4)(22=-+c b a ，且C=60°，则ab 的值为（）A ．43B ．8-C ． 1D ．23（13全国课标）在ABC 中,60,B AC ==2AB BC +的最大值为 .（13上海高考）在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若75,60CAB CBA ∠=∠=，则A 、C 两点之间的距离为千米．(13安徽高考）已知ABC ∆ 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为___（13北京高考）在ABC ∆中，若5=b ，4B π∠=，2tan =A ，则=A s i n ____________；=a _______________。

（13福建高考）如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC 边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等于______。

（13湖北高考）设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，41cos =C . （Ⅰ）求ABC ∆的周长；（Ⅱ）求()C A -cos 的值.（13江西高考）在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知2sin1cos sin C C C -=+. （1）求C sin 的值；（2）若8)(422-+=+b a b a ，求边c 的值.（13浙江高考）在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为c b a ,,.已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214ac b =. （1）当5,14p b ==时，求,a c 的值； (2) 若角B 为锐角，求p 的取值范围；（13山东高考）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=. （1）求sin sin CA的值；（2）若1cos 4B =，2b =,求ABC ∆的面积.（13全国大纲）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知90A C ︒-=, b c a 2=+,求C .（13江苏高考）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,．（1）若sin()2cos 6A A π+=，求A 的值；（2）若1cos 3A =，3b c =，求C sin 的值． (13广州调研)已知ABC V 的内角A B C ,,的对边分别是a b c ,,,且123a b B ,,π===.(1) 求A sin 的值； (2) 求2C cos 的值.(13佛山质检)如图，在△ABC 中，45C ∠=，D 为BC 中点，2BC =. 记锐角ADB α∠=．且满足7cos 225α=-．（1）求cos α；（2）求BC 边上高的值．12.已知角(0,)απ∈,向量(2,cos )m α=，2(cos ,1)n α= ，且1m n ⋅=，()cos f x x x =+。

2013年数学高考题分类三角函数-推荐下载

首先判断函数的奇偶性进行排除，然后再根据函数的图象特征取最佳值进行验证排除.，即x x x f sin )cos 1()(--=-)(f x f -=-关于原点对称，所以函数为奇函数，排除B.又当)(x f ，排除A. 当时012sin >=π43π=x 123+π等问题，合理利用管线敷设技术。

线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。

调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。

对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。

对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。

A. B.54【解题指南】观察图象可知，【解析】选B.由图像可知，2.（2013·山东高考理科π移个单位后，得到一个偶函数的图象，则C.D.4,6π-4,对函数,ωϕ()2sin(f x ω=.，根据图象可知359()412312T πππ=--==B.2,-D.4,3π式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。

对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。

【VIP专享】2013年全国高考理科数学试题(带答案)：三角函数

【答案】B 6．（2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC 中, ABC , AB 2, BC 3, 则 sinBAC =
4
(A) 10 10
【答案】C
(B) 10 5
(C) 3 10 (D) 5
10
5
7 ．（2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函数 y sin(2x ) 的图象沿 x 轴向
, 的值分别是( )
(A) 2, 3
【答案】A
(B) 2, 6
(C) 4, 6
4．（2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版））已知 R, sin 2 cos
则 tan 2
6.培养学生观察、思考、对比及分析综合的能力。过程与方法1.通过观察蚯蚓教的学实难验点，线培形养动观物察和能环力节和动实物验的能主力要；特2征.通。过教对学观方察法到与的教现学象手分段析观与察讨法论、，实对验线法形、动分物组和讨环论节法动教特学征准的备概多括媒，体继课续件培、养活分蚯析蚓、、归硬纳纸、板综、合平的面思玻维璃能、力镊。子情、感烧态杯度、价水值教观1和.通过学理解的蛔1虫.过观适1、察于程3观阅六蛔寄.内列察读、虫生出蚯材让标容生3根常蚓料学本教活.了据见身：生，师的2、解问的体巩鸟总看活形作用蛔题线的固类结雌动态业手虫自形练与本雄学、三：摸对学动状习人节蛔生结4、、收一人后物和同类课虫活构请一蚯集摸体回并颜步关重的动、学、蚓鸟蚯的答归色学系点形教生生让在类蚓危问纳。习从并状学理列学平的害题线蚯四线人归、意特出四生面体以形蚓、形类纳大图点常、五观玻存表及动的鸟请动文本小引以见引、察璃现，预物身类 3学物明节有言及的、导巩蚯上状是防的体之生和历课什根蚯环怎学固蚓和，干感主是所列环史学么据蚓节二样生练引牛鸟燥染要否以举节揭到不上适动、区回习导皮类还的特分分蚯动晓的同节于物让分答。学纸减是方征节布蚓物起一，课穴并学蚯课生上少湿法。?广的教，些体所居归在生蚓前回运的润；4泛益学鸟色生纳.靠物完的问答动原的4蛔，处目类习和活环.近在成前题蚯的因？了虫以。标就生体的节身其实端并蚓快及触解寄上知同物表内特动体结验和总利的慢我摸蚯生适识人学有容点物前构并后结用生一国蚯蚓在于与类的什，的端中思端线问活样的蚓人飞技有基么引进主的的考?形题环吗十体生行能着本特出要几变以动，境？大节活的1密方征本“特节化下物.让并为珍近习会形理切法。课生征有以问的小学引什稀腹性态解的。2课物。什游题主.结生出么鸟面和起结蛔关观题体么戏：要利明蚯？类处适哪构虫系察：的特的特用确蚓等，于些特适。蛔章形殊形征板，这资是穴疾点于可虫我态结式。书生种料光居病是寄的们结构，五小物典，滑生？重生鸟内学构，学、结的型以还活5要生类部习与.其习巩鸟结的爱是如原活生结了功颜消固类构线鸟粗形何因的存构腔能色化练适特形护糙态预之结的，肠相是系习于点动鸟？、防一构现你动适否统。飞都物为结蛔。和状认物应与的行是。主构虫课生却为和”其结的与题、病本理不蛔扁的他构特环以生？8特乐虫形观部特8征境小理三页点观的动位点梳相组等、这；，哪物教相，理适为方引些2鸟，育同师.知应单面导鸟掌类结了；？生识的位学你握日构解2互.。办特生认线益特了通动手征观识形减点它过，抄；察吗动少是们理生报5蛔？物，与的解.参一了虫它和有寄主蛔与份解结们环些生要虫其。蚯构都节已生特对中爱蚓。会动经活征人培鸟与飞物灭相。类养护人吗的绝适这造兴鸟类？主或应节成趣的为要濒的课情关什特临？就危感系么征灭来害教；？；绝学，育，习使。我比学们它生可们理以更解做高养些等成什的良么两好。类卫动生物习。惯根的据重学要生意回义答；的3.情通况过，了给解出蚯课蚓课与题人。类回的答关：系线，形进动行物生和命环科节学动价环值节观动的物教一育、。根教据学蛔重虫点病1.引蛔出虫蛔适虫于这寄种生典生型活的线结形构动和物生。理二特、点设；置2.问蚯题蚓让的学生生活思习考性预和习适。于穴居生活的形态、结构、生理等方面的特征；3.线形动物和环节动物的主要特征。

2013届高三数学章末综合测试题(4)三角函数、解三角形(1)

2013届高三数学章末综合测试题（4）三角函数、解三角形一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知α是第一象限角，tan α＝34，则sin α等于( )A.45B.35 C ．－45 D ．－35解析 B 由⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜α＜π2＋2k πk ∈Z ，sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝35.2．在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形解析 A sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ＝sin[(A －B )＋B ]＝sin A ≥1，又sin A ≤1，∴sin A ＝1，A ＝90°，故△ABC 为直角三角形． 3．在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝16，面积为2203，那么BC 的长度为( ) A ．25 B ．51 C ．49 3 D ．49解析 D 由S △ABC ＝12·AB ·AC sin 60°＝43AB ＝2203，得AB ＝55，再由余弦定理，有BC 2＝162＋552－2×16×55×cos 60°＝2 401，得BC ＝49. 4．设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是( )A ．sin(α＋β)>sin α＋sin βB ．cos(α＋β)>cos αcos βC ．sin(α＋β)>sin(α－β)D ．cos(α＋β)>cos(α－β) 解析 C ∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcosβ－cos αsin β，又∵α、β都是锐角，∴cos αsin β>0，故sin(α＋β)>sin(α－β)． 5．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东 75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A ．2 2 kmB ．3 2 kmC ．3 3 kmD ．2 3 km解析 B 如图，由条件知AB ＝24×1560＝6.在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.由正弦定理知BS sin 30°＝ABsin 45°，所以BS ＝AB sin 30°sin 45°＝3 2.故选B.(2011·威海一模)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 解析 D ∵⎩⎪⎨⎪⎧A ＋m ＝4，－A ＋m ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，m ＝2.∵T ＝π2，∴ω＝2πT ＝4.∴y ＝2sin(4x ＋φ)＋2.∵x ＝π3是其对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π3＋φ＝±1.∴4π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z)．∴φ＝k π－5π6(k ∈Z)．当k ＝1时，φ＝π6，故选D.7．函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是( ) A ．0 B.π4 C.π2D ．π解析 C 当φ＝π2时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，而y ＝cos 2x 是偶函数．8．在△ABC 中“cos A ＋sin A ＝cos B ＋sin B ”是“C ＝90°”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 B C ＝90°时，A 与B 互余，sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B ，有cos A ＋sin A ＝cos B ＋sin B 成立；但当A ＝B 时，也有cos A ＋sin A ＝cos B ＋sin B 成立，故“cos A ＋sin A ＝cos B ＋sin B ”是“C ＝90°”的必要不充分条件．9．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析 D ∵2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2，又∵b 2＝ac ，∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ，∴2b ＝a ＋c ＝2a ， ∴b ＝a ，即a ＝b ＝c .10．f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在x ＝1处取最大值，则( ) A ．f (x －1)一定是奇函数 B ．f (x －1)一定是偶函数 C ．f (x ＋1)一定是奇函数D ．f (x ＋1)一定是偶函数解析 D ∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在x ＝1处取最大值，∴f (x ＋1)在x ＝0处取最大值，即y 轴是函数f (x ＋1)的对称轴，∴函数f (x ＋1)是偶函数． 11．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除解析 A 令x ＝0B ，D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C.12．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为( )A ．1 B.110 C ．1或110D ．1或10解析 C tan(α＋β)＝1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝lg10a ＋lg1a1－lg 10a ·l g1a＝1⇒lg 2a ＋lg a ＝0，所以lg a ＝0或lg a ＝－1，即a ＝1或110.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2011·黄冈模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f (0)＝________. 解析由图象可得最小正周期为2π3. 所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，注意到2π3与π2关于7π12对称，故f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝23.【答案】 2314．设a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 所对的边，sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则△ABC 的面积为________．解析由sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，得a 2＋b 2－ab ＝c 2，∴2cos C ＝1.∴C ＝60°. 又∵ab ＝4，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin 60°＝ 3.【答案】315．在直径为30 m 的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度为________m.解析轴截面如图，则光源高度h ＝15tan 60°＝53(m)．【答案】 5 316. 如图所示，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上)且半径相等．设第i 段弧所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3)，则cos α13cosα2＋α33－sinα13sinα2＋α33＝________.解析记相应的三个圆的圆心分别是O 1，O 2，O 3，半径为r ，依题意知，可考虑特殊情形，从而求得相应的值．当相应的每两个圆的公共弦都恰好等于圆半径时，易知有α1＝α2＝α3＝2π－2π3＝4π3，此时cos α13cos α2＋α33－sin α13sin α2＋α33＝cos α1＋α2＋α33＝cos 4π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－cos π3＝－12. 【答案】－12三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lg sin B ＝lg 22，且B 为锐角，试判断此三角形的形状．解析 ∵lg sin B ＝lg 22，∴sin B ＝22， ∵B 为锐角，∴B ＝45°. 又∵lg a －lg c ＝lg22，∴a c ＝22. 由正弦定理，得sin A sin C ＝22，∴2sin C ＝2sin A ＝2sin(135°－C )，即sin C ＝sin C ＋cos C ，∴cos C ＝0，∴C ＝90°，故△ABC 为等腰直角三角形．18．(12分)已知函数f (x )＝2cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1(x ∈R ，ω＞0)的最小正周期是π2. (1)求ω的值；(2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合．解析 (1)f (x )＝1＋cos 2ωx ＋sin 2ωx ＋1 ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋2. 由题设，函数f (x )的最小正周期是π2，可得2π2ω＝π2，所以ω＝2.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋2. 当4x ＋π4＝π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝π16＋k π2(k ∈Z)时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4取得最大值1，所以函数f (x )的最大值是2＋2，此时x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝π16＋k π2，k ∈Z .19．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A a ＝3cos Cc.(1)求角C 的大小；(2)如果a ＋b ＝6，CA →·CB →＝4，求c 的值．解析 (1)因为a sin A ＝c sin C ，sin A a ＝3cos Cc，所以sin C ＝3cos C ．所以tan C ＝ 3. 因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3. (2)因为CA →·CB →＝|CA →|·|CB →|cos C ＝12ab ＝4，所以ab ＝8.因为a ＋b ＝6，根据余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝12.所以c 的值为2 3.20．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，m ＝(2b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，且m∥n . (1)求角A 的大小；(2)求y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B 的值域．解析 (1)由m∥n 得(2b －c )·cos A －a cos C ＝0. 由正弦定理得2sin B cos A －sin C cos A －sin A cos C ＝0. 所以2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0，即2sin B cos A －sin B ＝0.因为A ，B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，cos A ＝12，所以A ＝π3.(2)y ＝2sin 2B ＋cos π3cos 2B ＋sin π3sin 2B＝1－12cos 2B ＋32sin 2B＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＋1.由(1)得0<B <2π3，所以－π6<2B －π6<7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1，所以y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2. 21．(12分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，－1.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的周期和单调增区间； (3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．解析 (1)∵f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，－1， ∴－1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋φ，∴φ＋π4＝2k π－π2(k ∈Z)，又φ∈(－π，0)，∴φ＝－3π4.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4.(2)由题意，T ＝2π2＝π，由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4，由2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z)得增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)．(3)f (x )在[0，π]上的图象如图：22．(12分)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，π4<α<3π4.(1)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值；(2)求sin α的值．解析 (1)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，且π4<α<3π4，∴0<α－π4<π2，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝45. (2)sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin π4＝7210.。

三角函数与解三角形高考题

2013年高考理科数学试题分类汇编：3三角函数一、选择题 1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.34 B. 43 C.43- D.34-2 ．（2013年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ =4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为(A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π-5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠=A.6πB.3πC.23πD.56π 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是(A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2x π=对称(C)()f x ()f x 既奇函数,又是周期函数7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））函数cos sin y x x x =+的图象大致为8 ．（2013年高考四川卷（理））函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )(A)2,3π- (B)2,6π-(C)4,6π-(D)4,3π9 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是( )(A)sin y x = (B)cos y x = (C)sin 2y x = (D)cos 2y x =10．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））004cos50tan 40-= ( )D.1-11．（2013年高考湖南卷（理））在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于A.12πB.6πC.4πD.3π12．（2013年高考湖北卷（理））将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( )A.12πB.6π C. 3π D. 56π二、填空题 13．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））ABC ∆中,090=∠C ,M 是BC 的中点,若31sin =∠BAM ,则=∠BAC sin ________.14．（2013年高考新课标1（理））设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______15．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））如图ABC ∆中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,sin 3BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________【16．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数2sin y x =的最小正周期是_____________17．（2013年高考四川卷（理））设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是_________.18．（2013年高考上海卷（理））若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=,则sin()________x y +=19．（2013年高考上海卷（理））已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c,若22232330a ab b c ++-=,则角C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)20．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知α是第三象限角,1sin 3a =-,则cot a =____________.21．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为___________.22．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在ABC ∆中,角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、,若5 8 60a b B === ，，,则b=_______23．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,则3sin 5sin ,A B =则角C =_____. 24．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则sin cos θθ+=________.25．（2013年高考江西卷（理））函数2sin 2y x x =+的最小正周期为T 为_________.26．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数4sin 3cos y x x =+的最大值是_______________三、解答题27．（2013年高考北京卷（理））在△ABC 中,a =3,b ,∠B =2∠A . (I)求cos A 的值; (II)求c 的值.28．（2013年高考陕西卷（理））已知向量1(cos ,),,cos 2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.29．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且222a b c ++=.(1)求C ; (2)设()()2cos cos cos cos cos A B A B ααα++==求tan α的值.30．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期; (Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.31．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值； (II)设函数()(),.f x a b f x =求的最大值32．（2013年高考上海卷（理））(6分+8分)已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>; (1)若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增,求ω的取值范围;(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像,区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)满足:()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.. 33．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=. (I)求B(II)若sin sin A C =,求C .34．（2013年高考四川卷（理））在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-. (Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)若a =5b =,求向量BA 在BC方向上的投影.35．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9B =. (Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值.36．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））已知函数()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.(Ⅰ)求ϖ的值; (Ⅱ)讨论()f x 在区间[]0,2上的单调性.37．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π,图像的一个对称中心为(,0)4π,将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像. (1)求函数()f x 与()g x 的解析式; (2)是否存在0(,)64x ππ∈,使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定0x 的个数;若不存在,说明理由.(3)求实数a 与正整数n ,使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点. 38．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分14分.已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ= ＝，,παβ<<<0.(1)若||a b -= ,求证:a b ⊥ ;(2)设(0,1)c =,若a b c += ,求βα,的值.【 39．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值; (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.40．（2013年高考湖南卷（理））已知函数2()sin()cos().()2sin 632xf x x xg x ππ=-+-=.(I)若α是第一象限角,且()f α=.求()g α的值; (II)求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.41．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲.乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为min /50m .在甲出发min 2后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留min 1后,再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ,山路AC 长为m 1260,经测量,1312cos =A ,53cos =C . (1)求索道AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?42．（2013年高考湖北卷（理））在ABC ∆中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .已知()cos23cos 1A B C -+=.(I)求角A 的大小;(II)若ABC ∆的面积S =,5b =,求sin sin B C 的值.43．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+. (Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.44．（2013年高考新课标1（理））如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90°CBA(1) 若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA. 45．（2013年高考江西卷（理））在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0.(1) 求角B 的大小;若a+c=1,求b 的取值范围。

(压轴题)高中数学必修五第二章《解三角形》测试卷(包含答案解析)(2)

一、选择题1．在ABC 中，2sin 22C a b a-=，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则ABC 的形状为（） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．直角三角形2．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()sin sin sin c C a A b a B =+-，角C 的角平分线交AB 于点D ，且CD =，3a b =，则c 的值为（）A ．72B C ．3 D ．3．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()()sin sin 3sin 2B A B A A -++=，且c =3C π=，则a =（）A ．1B C ．1 D4．若ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，c △ABC 的面积Scos A ，则a ＝（）A ．1B ．C ．D ．5．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4Cπ，则ABC ∆的面积为（）A ．2+B 1C ．2D 16．在△ABC 中,已知点D 在BC 边上,且0AD AC ⋅=,sin 3BAC ∠=,AB =BD =, 则cos C ( )A ．63B ．3C ．3D ．137．ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知a =cos sin b A B =，则A =（）A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π 8．在钝角ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若3013C c a =︒==，，，则ABC ∆的面积为A ．3 B ．3 C ．34D ．329．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若22b c ac =+，则角C 的取值范围是（） A ．π(0,)4B ．ππ(,)42C ．ππ(,)43D ．π,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭10．如图，在离地面高400m 的热气球上，观测到山顶C 处的仰角为15，山脚A 处的俯角为45，已知60BAC ∠=，则山的高度BC 为（）A ．700mB ．640mC ．600mD ．560m11．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知45A =︒，2a =，2b =B 为（） A ．60︒B ．60︒或120︒C ．30D ．30或150︒12．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若tan 7C =52cos 8A =，32b =ABC 的面积为（） A ．37B 37C 37D 37二、填空题13．在△ABC 中，∠ABC 为直角，点M 在线段BA 上，满足BM ＝2MA ＝2，记∠ACM ＝θ，若对于给定的θ，这样的△ABC 是唯一确定的，则BC ＝_____．14．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若223a b bc -=，sin 23C B =，则A =____.15．甲船正离开岛A 沿北偏西10︒的方向以每小时1海里的速度航行，乙船在岛A 处南偏西50︒的B 处，且AB 的距离为2海里，若乙船要用2小时追上甲船，则乙船速度大小为每小时________海里.16．在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a x =，3b =，60B =，若ABC ∆有两解，则x 的取值范围是__________．17．如图，三个全等的三角形ABF ，BCD ，CAE 拼成一个等边三角形ABC ，且DEF 为等边三角形，若2EF AE =，则tan ACE ∠的值为__________.18．在ABC 中，60,12,183ABCA b S=︒==，则sin sin sin a b cA B C____________.19．如图，要计算某湖泊岸边两景点B 与C 的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两点，现测得5km AB =，7km AD =，60ABD ∠=︒，15CBD ∠=︒，120BCD ∠=︒，则两景点B 与C 的距离为________km.20．某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地A 、B 两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点D 、C 、E ，从D 点测得67.5ADC ∠=，从点C 测得45ACD ∠=，75BCE ∠=，从点E 测得60BEC ∠=，并测得23DC =，2CE =（单位：千米），测得A 、B 两点的距离为___________千米.三、解答题21．在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，5b c =，sin 1c A =.点D 是AC的中点，BD AB ⊥，求c 和ABC ∠. 22．在△ABC 中，A ＝60°，sin B ＝12，a ＝3，求三角形中其他边与角的大小. 23．在①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，②sin sin 2B Cb a B +=，③sin cos()6a Bb A π=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．问题：ΔABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 2b c +=，______，求A 和C ．注：若选择多个条件作答，按第一个解答计分．24．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边．若2,cos b c C -==，再从条件①与②中选择一个作为已知条件，完成以下问题：（1）求,b c 的值；（2）求角A 的值及ABC 的面积．条件①：cos cos a B b A +=；条件②：2cos 2b C a =-． 25．在ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若()()2sin 2sin sin 2sin sin a A B C b C B c =+++.（1）求A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值.26．已知,,A B C 为ABC 的三内角，且其对边分别为,,a b c ，若()cos 2cos 0a C c b A ++=.（1）求A ；（2）若a =4b c +=，求ABC 的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用二倍角公式、正弦定理可得出sin sin cos B A C =，利用两角和的正弦公式可得出cos sin 0A C =，求出A 的值，即可得出结论.【详解】21cos sin 222C C a b a--==，cos b a C ∴=，由正弦定理可得sin sin cos B A C =，所以，()sin cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C =+=+，则cos sin 0A C =，0C π<<，则sin 0C >，cos 0A ∴=，0A π<<，2A π∴=，因此，ABC 为直角三角形.故选：D. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.2．B解析：B 【分析】利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角C 的值，由ABC ACD BCD S S S =+△△△可得出ab a b =+，结合3a b =可求得a 、b 的值，再利用余弦定理可求得c 的值. 【详解】()sin sin sin c C a A b a B =+-，由正弦定理可得()22c a b a b =+-，可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得：2221cos 22a b c C ab +-==，0C π<<，所以3C π=，由ABC ACD BCD S S S =+△△△，有111sin sin sin 232626ab a CD b CD πππ=⋅+⋅，得ab a b =+，所以234b b =，0b >，43b ∴=，34a b ==，由余弦定理可得221616471692cos 33c a b ab C =+--==+.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.3．C解析：C 【分析】由题意得3sinBcosA sinAcosA =，分0cosA =和0cosA ≠两种情况求解，可得结果．【详解】∵()()32sin B A sin B A sin A -++=， ∴3sinBcosA sinAcosA =．①当0cosA =时，ABC 为直角三角形，且2A π=．∵c =3C π=，∴3sin3a π==．②当0cosA ≠时，则有3sinB sinA =，由正弦定理得3b a =．由余弦定理得2222c a b abcosC =+-，即()()22173232a a a a =+-⋅⋅，解得1a =．综上可得，a =1故选：C ．【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角恒等变换，考查学生分类讨论思想，属于中档题．4．A解析：A由三角形的面积公式和已知条件得出sin A ＝12cos A ，再由同角三角函数间的关系求得cos A ＝25，运用余弦定理可求得边a . 【详解】因为b ＝2，c ＝5，S ＝5cos A ＝12bc sin A ＝5sin A ，所以sin A ＝12cos A .所以sin 2A ＋cos 2A ＝14cos 2A ＋cos 2A ＝54cos 2A ＝1.又0A π<<，所以sin >0,A 所以cos >0A ，故解得cos A ＝25. 所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋5－2×2×5×25＝9－8＝1，所以a ＝1. 故选：A. 【点睛】本题综合考查运用三角形面积公式和余弦定理求解三角形，属于中档题.5．B解析：B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．6．A解析：A 【分析】求出90BAC BAD ∠=∠+︒，代入利用诱导公式化简sin BAC ∠，求出cos BAD ∠的值，根据余弦定理求出AD 的长度，再由正弦定理求出BC 的长度，求得sin C ，再利用同角三角函数基本关系式即可计算求得结果【详解】0AD AC ⋅=，可得AD AC ⊥90DAC ∴∠=︒，90BAC BAD DAC BAD ∠=∠+∠=∠+︒()22sin sin 90cos 3BAC BAD BAD ∴∠=∠+︒=∠=在ABC 中，32AB =3BD =根据余弦定理可得22222cos 1883BD AB AD AB AD BAD AD AD =+-∠=+-=解得3AD =或5AD =当5AD =时，AD AB >，不成立，故设去当3AD =时，在ABD 中，由正弦定理可得:sin sin BD ABBAD ADB=∠∠又cos 3BAD ∠=，可得1sin 3BAD ∠=，则sin ABsin BAD ADB BD ∠∠==ADB DAC C ∠=∠+∠，90DAC ∠=︒cosC =故选A 【点睛】本题是一道关于三角函数的题目，熟练运用余弦定理，正弦定理以及诱导公式是解题的关键，注意解题过程中的计算，不要计算出错，本题有一定综合性7．D解析：D 【分析】由cos sin b A B =有1sin cos b B A =,再由正弦定理有sin sin a b A B =,1cos A=,可解出答案. 【详解】由cos sin b A B =有1sin cos b B A=,由正弦定理有sin sin a b A B=, 又a =即1sin cos A A=.所以tan A =因为A 为ABC 的内角，则3A π=.故选：D 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于中档题.8．A解析：A 【分析】根据已知求出b 的值，再求三角形的面积. 【详解】在ABC ∆中，301C c a =︒==，，由余弦定理得：2222cos c a b a b C =+-⋅⋅，即2320b b -+=，解得：1b =或2b =.∵ABC ∆是钝角三角形，∴2b =（此时为直角三角形舍去）. ∴ABC ∆的面积为111sin 1222ab C =⨯=. 故选A . 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9．D解析：D 【分析】由22b c ac =+，并结合余弦定理，可求得2cos c a c B =-，进而结合正弦定理可得sin sin 2sin cos C A C B =-，由()sin sin A B C =+，代入并整理得sin C ()sin B C =-，结合△ABC 为锐角三角形，可得出2B C =，从而可得π02ππ2B BC ⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，即可求出答案. 【详解】由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-，所以2222cos a c ac B c ac +-=+，即2cos c a c B =-，由正弦定理可得，sin sin 2sin cos C A C B =-，又()sin sin sin cos sin cos A B C B C C B =+=+，所以sin sin cos sin cos 2sin cos C B C C B C B =+-()sin cos sin cos sin B C C B B C =-=-，因为π,0,2B C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ,22B C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以C B C =-，即2B C =.在锐角△ABC 中，π02ππ2B B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，即π022π3π2C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得ππ64C <<.故选：D. 【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的运用，考查两角和的正弦公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.10．C解析：C 【分析】可知ADM ∆为等腰直角三角形，可计算出AM 的长度，在ACM ∆中，利用正弦定理求出AC 的长度，然后在ABC ∆中，利用锐角三角函数求出BC ，即可得出答案. 【详解】根据题意，可得在Rt ADM ∆中，45MAD ∠=，400DM =，所以，sin 45DMAM ==因为在ACM ∆中，451560AMC ∠=+=，180456075,AMC ∠=--=180756045ACM ∠=--=，由正弦定理，得sin sin 2AM AMCAC ACM∠===∠在Rt ABC∆中，()sin 600BC AC BAC m =∠==，故选C. 【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，着重考查三角函数的定义、利用正弦定理解三角形等知识，在解题时，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦定理和余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.11．C解析：C 【分析】根据正弦定理得到1sin 2B =，再根据a b >知A B >，得到答案. 【详解】根据正弦定理：sin sin a bA B =，即1sin 2B =，根据a b >知A B >，故30B =︒. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据正弦定理求角度，多解是容易发生的错误.12．B解析：B 【分析】结合同角三角函数的基本关系可求出14sin 4C =，2cos 4C =，14sin 8A =，由两角和的正弦公式可求出sin B ，结合正弦定理即可求出a ，进而可求出三角形的面积.【详解】因为sin tan 7cos C C C ==，且22sin cos 1C C +=，解得14sin C =，2cos C =，又52cos A =，所以214sin 1cos A A =-=，故37sin sin[()]sin()sin cos cos sin B A C A C A C A C π=-+=+=+=．因为sin sin a bA B =，32b =，故sin 2sin b A a B==，故111437sin 2322242ABC S ab C =⨯=⨯⨯⨯=△．故选:B ．【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦定理，考查了三角形的面积公式，属于中档题.二、填空题13．【分析】由题意利用直角三角形中的边角关系求出的值再利用两角差的正切公式求得从而求出的值【详解】解：设则为锐角∴∴依题意若对于给定的是唯一的确定的可得解得即的值为故答案为：【点睛】本题主要考查直角三角解析：6【分析】由题意利用直角三角形中的边角关系求出tan ACB ∠、tan NCB ∠的值，再利用两角差的正切公式求得tan tan()ACB MCB θ=∠-∠，从而求出BC 的值．【详解】解：设BC x =，ACM θ∠=，则θ为锐角，∴3tan ACB x ∠=，2tan MCB x∠=，∴tan tan()ACB MCB θ=∠-∠232132661x x x x x x x x -===+++，依题意，若对于给定的ACM ∠，ABC ∆是唯一的确定的，可得6x x=，解得x =BC，．【点睛】本题主要考查直角三角形中的边角关系，两角差的正切公式，属于中档题．14．【分析】由根据正弦定理边化角可得根据余弦定理结合已知联立方程组即可求得角【详解】根据正弦定理：可得根据余弦定理：由已知可得：故可联立方程：解得：由故答案为：【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角解解析：6π【分析】由sinC B =，根据正弦定理“边化角”，可得c =，根据余弦定理2222cos a b c bc A=+-，结合已知联立方程组，即可求得角A .【详解】sin C B =根据正弦定理：sin sin b cB C= ∴可得c =根据余弦定理：2222cos ab c bc A =+- 由已知可得：22a b-=故可联立方程：222222cos c a b c bc A a b ⎧=⎪=+-⎨⎪-=⎩解得：cos 2A =. 由0A π<<∴6A π=故答案为：6π. 【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15．【分析】由题意画出示意图三角形（假设在处追上）然后设乙船速度为由此表示出的长度求出的长度在借助于余弦定理求出的长则速度可求【详解】解：由题意设乙船的速度为且在处乙船与甲船相遇做出图形如右：所以由题意解析：3【分析】由题意画出示意图三角形ABC （假设在C 处追上），然后设乙船速度为x ，由此表示出BC 的长度，求出AC 的长度，在借助于余弦定理求出BC 的长，则速度可求．【详解】解：由题意，设乙船的速度为x ，且在C 处乙船与甲船相遇，做出图形如右：所以1801050120BAC ∠=︒-︒-︒=︒．由题意知2AB =，122AC =⨯=，2BC x =，120BAC ∠=︒．在ABC 中由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC CAB =+-∠．即2444222cos12012x =+-⨯⨯︒=，所以23x =，3x =/小时）． 3 【点睛】本题考查解三角形的应用举例问题，根据题意建立合适的解三角形模型，运用正余弦定理构造方程求解，属于中档题．16．【分析】利用正弦定理得到再根据有两解得到计算得到答案【详解】由正弦定理得：若有两解：故答案为【点睛】本题考查了正弦定理有两解意在考查学生的计算能力解析：(3,23)【分析】利用正弦定理得到sin 23A =，再根据ABC ∆有两解得到sin sin 123B A <=<，计算得到答案.【详解】由正弦定理得：sinsin sin sin a b x A A B A =⇒== 若ABC ∆有两解：sin sin 13B A x <=<⇒<<故答案为(3, 【点睛】本题考查了正弦定理，ABC ∆有两解，意在考查学生的计算能力.17．【分析】首先设中利用正弦定理表示的值【详解】设因为三角形互为全等三角形且是等边三角形所以且在中根据正弦定理有所以所以即故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理三角函数恒等变换属于中档题型【分析】首先设AE x =，CBD ACE θ∠=∠=，CBD 中，CD AE x ==,3BD x =,6060BCE ACE θ∠=-∠=-,利用正弦定理表示tan ACE ∠的值. 【详解】设AE x =，22EF AE x ==，因为三角形ABF ，BCD ，CAE 互为全等三角形，且ABC 是等边三角形，所以CBD ACE θ∠=∠=，CD AE x ==，3BD AF AE EF x ==+=，且6060BCE ACE θ∠=-∠=-,在CDB △中，根据正弦定理有sin sin CD BDCBD BCD=∠∠，所以()3sin sin 60x x θθ=-，所以()13sin sin 60cos sin 22θθθθ=-=-，即7sin 2θθ=，sin tan cos θθθ==.【点睛】本题主要考查正弦定理，三角函数恒等变换，属于中档题型.18．【分析】根据三角形面积公式以及余弦定理求解即可【详解】由余弦定理可知故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用属于中档题解析：12【分析】根据三角形面积公式以及余弦定理求解即可. 【详解】11sin 1222ABC S bc A c ==⨯=△6c ∴=由余弦定理可知a =12sin sin sin sin a b c a A B C A ++∴===++故答案为：12 【点睛】本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用，属于中档题.19．【分析】在中根据由余弦定理解得然后在中利用正弦定理求解【详解】在中因为由余弦定理得整理得解得或（舍去）在中因为所以由正弦定理得：所以故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用还考查了运算【分析】在ABD △中，根据5km AB =，7km AD =，60ABD ∠=︒，由余弦定理解得8BD =，然后在BCD △中，利用正弦定理sin sin BD BCBCD BDC=∠∠求解.【详解】在ABD △中，因为5km AB =，7km AD =，60ABD ∠=︒，由余弦定理得2222cos AD AB BD AB BD ABD =+-⋅⋅∠，整理得249255BD BD =+-，解得8BD =或3BD =-（舍去），在BCD △中，因为15CBD ∠=︒，120BCD ∠=︒，所以45BDC ∠=︒，由正弦定理得： sin sin BD BCBCD BDC=∠∠，所以sin 45sin120BD BC ⋅︒==︒.故答案为：3【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．【分析】在中分析边角关系可得在中由正弦定理可求得的值然后在中利用余弦定理可求得的长【详解】在中则在中则由正弦定理得可得在中由余弦定理得因此（千米）故答案为：【点睛】本题考查距离的测量问题考查了利用正解析：3【分析】在ACD △中，分析边角关系可得AC CD ==BCE 中，由正弦定理可求得BC 的值，然后在ABC 中，利用余弦定理可求得AB 的长. 【详解】在ACD △中，45ACD ∠=，67.5ADC ∠=，CD =67.5CAD ∴∠=，则AC CD ==在BCE 中，60BEC ∠=，75BCE ∠=，CE 45CBE ∠=，由正弦定理得sin 45sin 60CE BC=，可得2sin 60sin 452CE BC ===在ABC 中，AC =BC =，18060ACB ACD BCE ∠=-∠-∠=，由余弦定理得2222cos609AB AC BC AC BC =+-⋅=，因此，3AB =（千米）. 故答案为：3. 【点睛】本题考查距离的测量问题，考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．c =34ABC π∠=. 【分析】由勾股定理求出BD ，再由sin BDA AD=，sin 1cA =，b =求出c =5b =，再由余弦定理求出a ，最后由正弦定理求出ABC ∠. 【详解】解：在直角三角形ABD 中，22222224b c BD AD AB c ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，所以2c BD =.所以5sin BD A AD ==. 又因为sin 1c A =，所以5c =由5b c =得，5b =.因为5sin A =，0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以225cos 1sin A A =-=. 在ABC 中，由余弦定理，得22255(5)255105a =+-⨯⨯⨯= 由正弦定理，得sin sin a b A ABC =∠，即510sin 5ABC =∠2sin ABC ∠=. 又因为,2ABC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以34ABC π∠=. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于正余弦定理的综合应用，综合利用两个定理求出c 和ABC ∠.22．B =30°，90C =，3b =23c =.【分析】由三角函数值、三角形内角和性质确定B 、C 的大小，应用正弦定理求,b c 即可. 【详解】由1sin 2B =且60A =︒，即0120B <<︒，可知：30B =︒. ∴90C =︒，由正弦定理sin sin sin b c aB C A==， ∴sin 3sin 303sin sin 60a B b A ︒===︒sin 3sin 9023sin sin 60a C c A ︒===︒23．选择见解析；3A π=，512C π=．【分析】若选择条件①，先由正弦定理和余弦定理求出角A ，再利用正弦定理化简22a b c +=，把23B C π=-代入，化简求值即可；若选择条件②，利用正弦定理和二倍角公式解出sin2A的值，进而得出角A ；若选择条件③，由正弦定理结合两角和与差的正弦公式可求出tan A ，进而得出角A 和C ．【详解】（1）选择条件①，由()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-及正弦定理知，()22b c a bc -=-，整理得，222b c a bc +-=；由余弦定理可得，2221cos 222b c a bc A bc bc +-===；又因为()0,A π∈，所以，3A π=．2b c +=sin 2sin A B C +=；由23B C π=-2sin 2sin 33C C ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；整理得，sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，,662C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而64C ππ-=，解得512C π=（2）选择条件②，因为A B C π++=，所以222B C Aπ+=-；由sinsin 2B C b a B +=得，cos sin 2Ab a B =由正弦定理知，sin cos sin sin 2sin cos sin 222A A AB A B B ==；又sin 0B >，sin02A >，可得1sin 22A =；又因为()0,A π∈，所以，26A π=，故3A π=．2b c +=sin 2sin A B C +=；由23B C π=-2sin 2sin 33C C ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；整理得，sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，,662C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而64C ππ-=，解得512C π=．（3）选择条件③，由sin cos 6a B b A π⎛⎫=-⎪⎝⎭及正弦定理知， sin sin sin cos 6A B B A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭又sin 0B >，从而1sin cos sin 62A A A A π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，解得tan A =又因为()0,A π∈，所以，3A π=．2b c +=sin 2sin A B C +=；由23B C π=-2sin 2sin 33C C ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；整理得，sin 6C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，,662C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而64C ππ-=，解得512C π=．【点睛】方法点睛：本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角恒等变换，解三角形问题中可以应用正余弦定理的题型有： 1.已知一边和两角；2.已知两边和其中一边的对角；3.已知两边和它们所夹的角；4.已知三边．24．（1）6,4b c ==；（2）3A π=，S =【分析】（1）选用条件①：由正弦定理求得a =2b c -=，即可求解；选用条件②：由正弦定理求得cos 14B =，得出sin 14B =，再由cos 7C =，求得得sin C =（2）由余弦定理求得A 的值，结合面积公式，即可求解．【详解】（1）选用条件①：因为cos cos 14a Bb A ac +=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C +=，可得sin sin C C =，又因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，可得a =又由cos C =，由余弦定理得2222a b c ab +-=，将2b c -=代入上式，解得6,4b c ==．选用条件②：因为2cos 27b C a =-，由正弦定理得2sin cos 2sin 7B C A C =-2sin()7B C C =+-2(sin cos cos sin )B C B C C =+即2cos sin sin 07B C C -=，又因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，可得cos B =，则sin B =，又由cos C =，可得221sin 1cos C C由正弦定理sin sin b cB C =，得sin 3sin 2b Bc C ==，又由2b c -=，可得6,4b c ==．（2）由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，因为0A π<<，所以3A π=．所以ABC 的面积为11sin 64222S bc A ==⨯⨯⨯= 【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用. 25．（1）23π；（2）1. 【分析】(1)由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得∠A 的大小；(2)由题意结合(1)的结论和三角函数的性质可得sin sin B C +的最大值.【详解】（1）由己知，根据正弦定理得()()2222a b c b c b c =+++ 即222a b c bc =++由余弦定理得2222cos a b c bc A =+- 故1cos 2A =-，所以23A π=. （2）由（1）得：1sin sin sin sin sin sin 3223B C B B B B B ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故当6B π=时，sin sin B C +取得最大值1.【点睛】方法点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．26．（1）23π；（2 【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin 2sin cos 0B B A +=，由于sin 0B ≠，可求cos A 的值，结合()0,A π∈，可求A 的值.（2）由已知利用余弦定理可求bc 的值，进而根据三角形的面积公式即可得解.【详解】解：（1）∵()cos 2cos 0a C c b A ++=，∴由正弦定理可得：()sin cos sin 2sin cos 0A C C B A ++=，整理得sin cos sin cos 2sin cos 0A C C A B A ++=，即：()sin 2sin cos 0A C B A ++=，所以sin 2sin cos 0B B A +=，∵sin 0B ≠，∴1cos 2A =-， ∵()0,A π∈，∴23A π=.（2）由a =4b c +=，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， ∴2212()22cos 3b c bc bc π=+--，即有1216bc =-，∴4bc =，∴ABC 的面积为112sin 4sin 223S bc A π==⨯⨯= 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.解题的过程中注意以下公式的灵活应用：22()22cos a b c bc bc A =+--、()sin sin A C B +=、()cos cos A C B +=-.。

2013年高考数学专题复习 3-2三角函数与解三角形北师大版

2013年高考数学专题复习 3-2三角函数与解三角形北师大版(时间：60分钟，满分：80分)一、选择题(共6小题，每小题5分，满分30分)1．(2012年衡水质检)cos ⎝⎛⎭⎪⎫－20π3＝( )A.12B.32 C ．－12D ．－32解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－20π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝cos 2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12，选C.答案：C2．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( )A ．sin θ<0，cos θ>0B ．sin θ>0，cos θ<0C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<0解析：sin(θ＋π)<0， ∴－sin θ<0，sin θ>0.∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0.∴cos θ<0. 答案：B3．已知 f (α)＝sin π－αcos 2π－αcos －π－αtan α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π的值为( ) A.12 B ．－13C ．－12D.13解析：∵f (α)＝sin αcos α－cos αtan α＝－cos α，∴f (－313π)＝－cos(－313π)＝－cos(10π＋π3)＝－cos π3＝－12.答案：C4．(2012年皖南八校第二次联考)已知 sin(3π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin αcos α等于( )A ．－25B.25C.25或－25D ．－15解析：法一：∵sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α， ∴sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2，当α在第二象限时，⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝255cos α＝－55，∴sin αcos α＝－25；当α在第四象限时，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－255cos α＝55，∴sin αcos α＝－25，综上，sin αcos α＝－25，故选A.法二：∵sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，∴sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2，∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25，故选A. 答案：A5．已知 tan θ＝2，则 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( )A ．－43B.54 C ．－34D.45解析：sin 2θ＋sin θ·cos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1，又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.答案：D6．(2012年武汉市2月调研)在△ABC 中，已知cos A ＝513，sin B ＝35，则 cos C 的值为( )A.1665B.5665C.1665或5665D ．－1665或5665解析：由cos A ＝513>0得A 为锐角，且sin A ＝1213，sin B ＝35，sin A >sin B ，因此B 为锐角，于是cos B ＝45，cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B＝1665，选A. 答案：A二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．(2012年江苏丹阳高级中学一模)若角α的终边落在射线 y ＝－x (x ≥0)上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α＝______.解析：由定义知，sin α＝－22，cos α＝22，则原式＝0. 答案：08．(2012年江苏镇江高三12月调研试卷)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝m ，则cos(π－α)＝______.解析：由sin(π2＋α)＝m ，得cos α＝m ，∴cos(π－α)＝－cos α＝－m . 答案：－m9．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝______. 解析：由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)，故sin θcos θ＝310，∴sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝sin θcos θ＝310.答案：310三、解答题(共3小题，满分35分)10．(2012年池州模拟)已知 cos(75°＋α)＝13，其中α是第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值．解析：∵cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(α－105°)＝－sin(105°－α)＝－sin[180°－(105°－α)]＝－sin(75°＋α)．又∵cos(75°＋α)＝13，α是第三象限角，∴75°＋α为第四象限角．则sin(75°＋α)＝－1－cos 275°＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－23 2.∴cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝－13＋223＝22－13. 11．已知 sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，求cos 2π－αcos π＋αtan 22π－αtan 2π－αsin π＋αsin 2π－α的值．解析：原式＝cos α－cos αtan 2αtan 2α－sin αsin α＝sin 2αtan 2αsin 2α＝tan 2α. 解方程5x 2－7x －6＝0得sin α＝－35或sin α＝2(舍去)，又tan 2α＝sin 2αcos 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3521－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝916，∴原式＝916.12．已知 sin(θ＋k π)＝－2cos(θ＋k π)(k ∈Z)，求：(1)4sin θ－2cos θ5cos θ＋3sin θ；(2)14sin 2θ＋25cos 2θ. 解析：由已知得 cos(θ＋k π)≠0，∴tan(θ＋k π)＝－2(k ∈Z)，即tan θ＝－2. (1)4sin θ－2cos θ5cos θ＋3sin θ＝4tan θ－25＋3tan θ＝10. (2)14 sin 2θ＋25cos 2θ＝14sin 2θ＋25cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝14tan2θ＋25tan2θ＋1＝725.＝14tan2θ＋25tan2θ＋1＝725.。

2013年高考数学试题集(5)三角函数

2013年高考数学试题集(5)三角函数将2013年的全国及各省市的高考试题按高考考查知识点分类，有利于广大教师备课和学生系统复习，如有不足和遗漏之处请各位同仁批评指证。

1.（安徽理科第9题）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（A ）]6,3[ππππ+-k k (Z k ∈) （B ）]2,[πππ+k k )(Z k ∈（C ）)](32,6[Z k k k ∈++ππππ （D ）],2[πππk k -)(Z k ∈ 解：根据条件，函数在6π=x 取到最值，代入6π=x 得到262ππϕπ+=+⨯k所以，6ππϕ+=k ，又)()2(ππf f >有0sin <ϕ，可以取πϕ65-=此时函数为)652sin()(π-=x x f ，解不等式2265222πππππ+≤-≤-k x k得：]32,6[ππππ++k k 为函数的单调的递增区间。

2.(安徽理科第14题）已知ABC ∆ 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________解：设三边长为)0(8,4,>++m m m m ，则︒120的对边为8+m ，由余弦定理可得：︒+⨯-++=+120cos )4(2)4()8(222m m m m m ，化简得：02422=--m m又0>m ，解得6=m 315120sin 10621=︒⨯⨯⨯=∴S 3.(安徽文科第15题）设()f x =sin 2cos 2a x b x +，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若()()6f x f π≤对一切则x ∈R 恒成立，则①11()012f π= ②7()10f π＜()5f π ③()f x 既不是奇函数也不是偶函数 ④()f x 的单调递增区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦⑤存在经过点（a ，b ）的直线与函数的图()f x 像不相交以上结论正确的是（写出所有正确结论的编号）.(15)①③【命题意图】本题考查辅助角公式的应用，考查基本不等式，考查三角函数求值，考查三角函数的单调性以及三角函数的图像.【解析】2222()sin 2cos2sin(2)f x a x b x a b x a b ϕ=+=+++…，又31()|sincos |||63322f a b a b πππ=+=+，由题意()()6f x f π≤对一切则x ∈R 恒成立，即|2123|22b a b a +=+，平方化简得： 22323a b ab +==，此时b a 3=.所以()3sin 2cos 22sin 26f x b x b x b x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.①11()2sin 2012f b ππ==，故①正确； ②7747()2sin()2sin 105630f b b ππππ=+=， 217()2sin()2sin 55630f b b ππππ=+=，所以7()10f π=()5f π，②错误；③()()f x f x -≠±，所以③正确；④由①知()3sin 2cos 22sin 26f x b x b x b x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当0>b 时，由222262k x k πππππ-++剟2知63ππππ+≤≤-k x k 所以④不正确；⑤由①知b a 3=，要经过点（a ，b ）的直线与函数的图()f x 像不相交，则此直线与横轴平行，又()f x 的振幅为|2|b ，所以直线必与()f x 图像有交点.⑤不正确.4.（安徽文科第16题）在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a=3，b=2，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高. 解：∵A ＋B ＋C ＝180°，所以A C B -︒=+180，又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=，即12cos 0A -=，1cos 2A =，又0°<A<180°，所以A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=得sin 2sin 602sin 23b A B a ===，又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°， ∴BC 边上的高AD ＝AC ·sinC ＝2sin 752sin(4530)=+2321312()22222+=⨯+⨯=. （16）解：∵A ＋B ＋C ＝180°，所以A C B -︒=+180，又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=，即12cos 0A -=，1cos 2A =，又0°<A<180°，所以A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=得sin 2sin 602sin 23b A B a ===，又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°， ∴BC 边上的高AD ＝AC ·sinC ＝2sin 752sin(4530)=+2321312()22222+=⨯+⨯=. 5.（北京理科第9题）在ABC ∆中，若5=b ，4B π∠=，2tan =A ，则=A s i n ____________；=a _______________。

2013届高三数学_章末综合测试题(5)三角函数、解三角形(2)

2013届数学章末综合测试题三角函数、解三角形一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1.已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为A ．－12 B.12 C ．－32 D.322．已知扇形的周长为6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是A ．1B ．4C ．1或4D ．2或43．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图像( )A ．关于直线x ＝π4对称 B ．关于点(π3，0)对称 C ．关于点(π4，0)对称 D ．关于直线x ＝π3对称 4．要得到函数y ＝cos2x 的图像，只需将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位 5．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则三角型的面积为A.1B.2C. 2D. 36．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x －π6(x ∈[0，π])的单调递增区间是A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，11π12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，11π12 7．已知tan α＝12，tan(α－β)＝－25，那么tan(2α－β)的值是( )A ．－112 B.112 C.322 D.3188．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3的值为( ) A ．－12 B.12 C ．－32 D.329．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值等于( )A.34B.56C.58D.32 10．已知α、β为锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β＝ A ．－3π4 B.π4或3π4 C.3π4 D.π411．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c (a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC的形状为( )三角形A ．等边B ．直角C ．等腰或直角D ．等腰直角12．在沿海某次台风自然灾害中，台风中心最大风力达到10级以上，大风降雨给沿海地区带为严重的灾害，不少大树被大风折断，某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是( )A.2063米 B ．106米 C.1063米 D ．202米二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．若π4是函数f (x )＝sin2x ＋a cos 2x (a ∈R，且为常数)的零点，则f (x )的最小正周期是__________．14．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B . sin A cos B ＝34，则△ABC 的形状为__________．15．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π2，则f (x )的最大值为________．16．给出下列命题：①半径为2，圆心角的弧度数为12的扇形面积为12；②若α、β为锐角，tan(α＋β)＝12，tan β＝13，则α＋2β＝π4；③若A 、B 是△ABC 的两个内角，且sin A ＜sin B ，则BC ＜AC ； ④若a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，且a 2＋b 2－c 2＜0，则△ABC 是钝角三角形．其中真命题的序号是__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．17.如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B 点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α. (1)求1＋sin2α1＋cos2α的值； (2)求|BC |2的18．(12分)已知α、β为锐角，向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12.(1)若a²b ＝22，a ²c ＝3－14，求角2β－α的值； (2)若a ＝b ＋c ，求tan α的值．19．已知函数f (x )=A sin(ωx φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2一个周期的图像如图所示．(1)求函数f (x )的表达式；(2)若f (α)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝2425，且α为△ABC 的一个内角，求sin α＋cos α的值．20．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且b cos C ＝3a cos B －c cos B .(1)求cos B 的值．(2)若BA →²BC →＝2，b ＝22，求a 和c .21.已知△ABC 是半径为R 的圆的内接三角形，且2R (sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B .(1)求角C ；(2)试求△ABC 面积S 的最大值．22.如图，某市拟在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道．赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)x ∈[0,4]的图像，且图像的最高点为S (3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.(1)求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离； (2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？答案1.解析：∵|OP |＝64m 2＋9，且cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，∴m ＞0，且64m 264m 2＋9＝－1625＝－45，∴m ＝12. 答案：B2.解析：设扇形的圆心角为α rad ，半径为R ，则⎩⎨⎧2R ＋α²R ＝6，12α²R 2＝2，解得α＝1，或α＝4. 答案：C3.解析：∵T ＝π，∴ω＝2. ∵当x ＝π4时，f (x )＝12；当x ＝π3时，f (x )＝0，∴图像关于(π3，0)中心对称.答案：B4.解析：由cos2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3 知，只需将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像向左平移π6个单位. 答案：D6.解析：∵y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z. 又x ∈[0，π]，∴k ＝0.此时x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3. 答案：B7.解析：tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋tan(α－β)1－tan αtan(α－β)＝12－251－12³⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＝112.答案：B8.解析：f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32. 答案：D9.解析：由已知，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝14，即12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θ＝14，∴cos2θ＝12∴sin 22θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34。

2013年高考试题分项版解析数学(文)专题04三角函数与解三角形(Word精析版)

第四章三角函数与解三角形一．基础题组1. 【 2013 年一般高等学校招生全国一致考试（江西卷）文科】若 sina3 ，则 cosa （）23A ． 2B． 1C．1D．23 333[答案]C[分析]cos1 2sin 21 2 ( 3 )2 1 . 选C.23 3[ 考点定位 ] 本题主要观察三角恒等变换里面的二倍角余弦公式、三角函数求值问题.2.【 2013 年一般高等学校一致考试一试题纲领全国文科】已知 a 是第二象限角， sin a5 , 则 cosa （）125（C ）5（D ）1213（ A ）（ B ）13131313【答案】 A【分析】∵ a 是第二象限角，∴cos1 sin 21(5)212 .应选 A.1313【考点定位】三角求值3. 【 2013 年一般高等学校招生全国一致考试（广东卷）文科】已知 sin(5)1，那么 cos（）211 2 25A ．B ．C ．555D ．5【答案】 C【分析】 sin(5) sin(2 +) sincos1，选 C.2225【考点定位】三角函数引诱公式.4. 【 2013 年一般高等学校一致考试一试题纲领全国文科】若函数y sinx0 的部分图像如图，则= （）（A ） 5（B ） 4 （C ） 3（D ） 2【答案】 Bx 0x 0 T2.∴4 .应选 B.【分析】∵由题中图像可知4. ∴ T. ∴222【考点定位】三角函数的图像与分析式.5. 【2013年一般高等学校招生全国一致考试（四川卷）文科】函数2f ( x )2 s i n (x)(0, 的部)分图象如下图，则 ,的值分22别是（）O（A ） 2,3（B ） 2,-26（C ） 4,6（D ） 4,3【答案】 A11π 125π 12【分析】由图知，周期T 知足1T11 5 ，∴ T ，又0 ，∴2 ，故 f (x)2sin(2 x ) ，212 12图象的最高点为5 , 2 ，于是由“五点法”作图，知25，解得，选 A.121223【易错点】注意求初相的值时，图象的最高点坐标与五个重点点坐标的对应关系最简单代错！【考点定位】本题观察正弦型函数 f (x) Asin( x) 的图象与性质，难点是确立初相的值，重点是理解“五点法”作图 .6. 【 2013 年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】已知 sin2α=错误！未找到引用源。

2013年江苏高考数学模拟试卷及参考答案【最后一卷】

2013年江苏高考数学最后一卷2013.06.01数学（必试部分）注意事项：1.本试卷总分160分，考试用时120分钟。

2.答题前，考生务必将班级、姓名、学号写在答卷纸的密封线内。

选择题答案填涂在答．．．．．．．．．题卡对应的题号下，主观题答案写在答卷纸上对应的题号下空格内的横线上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

考试结束后，上交答题卡和答卷纸。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．. 1.设复数z 满足()(1)1i i i z ++=-（i 是虚数单位），则复数z 的模z =___▲____.2.已知tan 2α=，则sin()cos()sin()cos()παπααα++-=-+-___▲_____.3.抛物线y 2 = 8x的焦点到双曲线x 212 – y 24 = 1的渐近线的距离为___▲___.4.阅读下列算法语句: Read S ←1For I from 1 to 5 step 2 S ←S+I End for Print S End输出的结果是 ▲ ．5.设集合11{33},{0}3x x A x B x x-=<<=<，则A B =____▲_______.6.设等比数列{a n }的公比q = 12，前n 项和为S n ，则 S 4a 4= ____▲_______.7.在区间[5,5]-内随机地取出一个数a ，则恰好使1是关于x 的不等式2220x ax a +-<的一个解的概率大小为__▲_____.8.已知向量()3,1-b =，2=a ，则2-a b 的最大值为 ▲ ．9.已知A (2,4)，B (–1,2)，C (1,0)，点P (x ,y )在△ABC 内部及边界上运动，则z = x – y 的最大值与最小值的和为___▲___10.设,b c 表示两条直线，,αβ表示两个平面，现给出下列命题： ① 若,//b c αα⊂，则//b c ； ② 若,//b b c α⊂，则//c α； ③ 若//,c ααβ⊥，则c β⊥； ④ 若//,c c αβ⊥，则αβ⊥．其中正确的命题是___▲______．（写出所有正确命题的序号）11.设函数22,0,()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若关于x 的方程2()()0f x af x -=恰有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围为___▲_____.12.函数()()g x y f x =在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得()()ln ln y g x f x =，两边求导数()()()()()ln f x y g x f x g x y f x '''=+，于是()()g x y f x '= ()()()()()ln f x g x f x g x f x '⎡⎤'+⎢⎥⎢⎥⎣⎦．运用此方法可以探求得知()10x y x x =>的一个单调增区间为____▲_____．13.已知椭圆22134x y +=的上焦点为F ，直线10x y ++=和10x y +-=与椭圆相交于点A ，B ，C ，D ，则AF BF CF DF +++= ▲ ．14.已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，()1f x '<，则不等式()221f x x <+的解集为_▲__．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15.（本小题满分14分）如图，点B 在以PA 为直径的圆周上，点C 在线段AB 上，已知1525,3,PA PB PC ===设,APB APC αβ∠=∠=，,αβ均为锐角. （1）求β；（2）求两条向量,AC PC 的数量积AC PC ⋅的值.PCB16. （本小题满分14分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE //AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB ，且F 是CD 的中点. ⑴求证：AF //平面BCE ；⑵求证：平面BCE ⊥平面CDE .17．（本大题满分14分）2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数（以百人．．为计数单位）作了一个模拟预测．为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计数人数的时间，即1n =；9点20分作为第二个计数人数的时间，即2n =；依此类推，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计数单位.第n 个时刻进入园区的人数()f n 和时间n （n *∈N ）满足以下关系： ()()()()()24123612436325363216377207390n n n f n n n n -≤≤⎧⎪⎪⎪⋅≤≤=⎨⎪-+≤≤⎪≤≤⎪⎩，n *∈N第n 个时刻离开园区的人数()g n 和时间()n n *∈N 满足以下关系：()()()()012451202572,507390n g n n n n n *≤≤⎧⎪=-≤≤∈⎨⎪≤≤⎩N . （1）试计算在当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客多少百人？（提示：123 1.1取，结果仅保留整数）（2）问：当天什么时刻世博园区内游客总人数最多？A BC D EF18.（本小题满分16分）设圆221:106320C x y x y +--+=，动圆222:22(8)4120 C x y ax a y a +---++=，（1）求证：圆1C 、圆2C 相交于两个定点；（2）设点P 是椭圆2214x y +=上的点，过点P 作圆1C 的一条切线，切点为1T ，过点P 作圆2C 的一条切线，切点为2T ，问：是否存在点P ，使无穷多个圆2C ，满足12PT PT =？如果存在，求出所有这样的点P ；如果不存在，说明理由.19. （本小题满分16分）已知数列{a n }的通项公式为a n = 2⨯3n + 23n – 1(n ∈N *). ⑴求数列{a n }的最大项；⑵设b n = a n + pa n– 2，试确定实常数p ，使得{b n }为等比数列；⑶设*,,,N m n p m n p ∈<<，问：数列{a n }中是否存在三项m a ，n a ，p a ，使数列m a ，n a ，p a 是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由.20．（本大题满分16分）已知函数()()||20,1x x f x a a a a=+>≠，（1）若1a >，且关于x 的方程()f x m =有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围；（2）设函数()()[),2,g x f x x =-∈-+∞，()g x 满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a 无关.试求a 的取值范围．2013年江苏高考数学最后一卷2013.06.01数学（加试部分）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．，每小题l0分，共计20分．请在答题．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.选修4 – 1几何证明选讲如图，△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线相交于点E , ∠BAC 的平分线与BC 交于点D . 求证：ED 2= EB ·EC .B ．矩阵与变换已知矩阵2143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，4131-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，求满足=AX B 的二阶矩阵X ．C.选修4 – 4 参数方程与极坐标若两条曲线的极坐标方程分别为ρ = 1与ρ = 2cos(θ + π3),它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.D.选修4 – 5 不等式证明选讲设a ,b ,c 为正实数,求证:a 3 + b 3 + c 3 + 1abc ≥2 3.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. （本小题满分10分）如图，在四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是棱PCB C ED A的中点，AM ⊥平面PBD . ⑴求PA 的长；⑵求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值.23．（本小题满分10分）用,,,a b c d 四个不同字母组成一个含1+n *)(N n ∈个字母的字符串，要求由a 开始，相邻两个字母不同. 例如1=n 时，排出的字符串是,,ab ac ad ；2=n 时排出的字符串是,,,,,,,,aba abc abd aca acb acd ada adb adc ，……，如图所示.记这含1+n 个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是a 的字符串的种数为n a .（1）试用数学归纳法证明：*33(1)(,1)4N n nn a n n +-=∈≥；（2）现从,,,a b c d 四个字母组成的含*1(,2)N n n n +∈≥个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是a 的概率为P ，求证：2193P ≤≤.P B CDA M ab c d n=1abcd n=2ad a b d a b c2010届江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学高三调研测试数学参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5答案 2 3 1 10 {}11x x -<<题号 6 7 8 9 10 答案 15 0.7 6 –2 ④题号 111213 14答案{}01a a <≤()0,e 8()(),11,-∞-+∞15.解（1）：因为点B 在以PA 为直径的圆周上，所以90ABP ∠=，所以34cos ,sin 55PB PA αα===.所以4tan 3α=，………………………………………2分 72cos cos()101527PB CPB PC αβ∠=-===，2sin()10αβ-=，所以1tan()7αβ-=，………………………………………………………………4分 tan tan()tan tan[()]11tan tan()ααββααβααβ--=--==+-，…………………………6分又(0,)2πβ∈，所以4πβ=.………………………………………………………8分（2）2()AC PC PC PA PC PC PA PC ⋅=-⋅=-⋅…………………………11分2152152275()577249=-⨯⨯=-……………………………………………14分16. ⑴解:取CE 中点P ，连结FP ,BP ,因为F 为CD 的中点,所以FP //DE ,且FP = 12DE , …2分又AB //DE ,且AB =12DE ,所以AB //FP ,且AB = FP ,所以四边形ABPF 为平行四边形,所以AF //BP . ……………4分又因为AF ⊂/平面BCE ,BP ⊂平面BCE , 所以AF //平面BCE . …7分（该逻辑段缺1个条件扣1分）⑵因为△ACD 为正三角形,所以AF ⊥CD .因为AB ⊥平面ACD ,DE //AB ,所以DE ⊥平面ACD ,ABEP又AF ⊂平面ACD ,所以DE ⊥AF . …………………9分又AF ⊥CD ，CD ∩DE = D ，所以AF ⊥平面CDE .又BP //AF ，所以BP ⊥平面CDE . ……………………………12分又因为BP ⊂平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面CDE . ………………………………………14分17．解：（1）当024n ≤≤且n *∈N 时，()36f n =，当3625≤≤n 且n *∈N 时，2412()363n f n -=⋅所以[]36(1)(2)(3)(24)S f f f f =+++++…[])36()26()25(f f f ++++=36×24+36×(1212121233131⎡⎤-⎢⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=864+792=1656；…………………………2分另一方面，已经离开的游客总人数是：12(25)(26)(36)T g g g =+++12=×5121152⨯+⨯390=；………………………4分所以361216563901266S S T =-=-=（百人）故当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客1266百人. ……………6分（2）当0)()(≥-n g n f 时园内游客人数递增；当0)()(<-n g n f 时园内游客人数递减. (i)当241≤≤n 时，园区人数越来越多，人数不是最多的时间；………………………8分 (ii)当3625≤≤n 时，令512036n -≤，得出31≤n ，即当3125≤≤n 时，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；……………10分 (iii)当3632≤≤n 时，24123635120n n -⋅>-，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；……………………………………………………………………………12分 (Ⅳ)当7237≤≤n 时，令32165120n n -+=-时，42n =，即在下午4点整时，园区人数达到最多.此后离开人数越来越多，故园区内人数最多的时间是下午4点整. ……………………14分答：（1）当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客1266百人；（2）在下午4点整时，园区人数达到最多.18.解（1）将方程2222(8)4120 x y ax a y a +---++=化为221612(224)0x y y x y a +-++-++=，令22161202240x y y x y ⎧+-+=⎨-++=⎩得42x y =⎧⎨=⎩或64x y =⎧⎨=⎩，所以圆2C 过定点(4,2)和(6,4)，……………4分将42x y =⎧⎨=⎩代入22106320x y x y +--+=，左边=1644012320+--+==右边，故点(4,2)在圆1C 上，同理可得点(6,4)也在圆1C 上，所以圆1C 、圆2C 相交于两个定点(4,2)和(6,4)；……………6分（2）设00(,)P x y ，则221000010632PT x y x y =+--+，…………………………8分222000022(8)412 PT x y ax a y a =+---++， …………………………………10分12PT PT =即00001063222(8)412x y ax a y a --+=---++，整理得00(2)(5)0x y a ---=（*）………………………………………………12分存在无穷多个圆2C ，满足12PT PT =的充要条件为0022002014x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩有解，解此方程组得0020x y =⎧⎨=⎩或006545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，………………………………………………………………………………14分故存在点P ，使无穷多个圆2C ，满足12PT PT =，点P 的坐标为64(2,0)(,)55或-.………………16分19. 解 ⑴由题意a n = 2 + 43n – 1,随着n 的增大而减小,所以{a n }中的最大项为a 1 = 4.…4分 ⑵b n = 2 + 43n – 1 + p 43n – 1= (2 + p )(3n – 1) + 44 = (2 + p )3n + (2 – p )4，若{b n }为等比数列，则b 2n +1 – b n b n +2= 0(n ∈N * )所以 [(2 + p )3n +1 + ( 2 – p )]2 – [{2 + p )3n + (2 – p )][(2 + p )3n +2 + (2 – p )] = 0(n ∈N *)，化简得(4 – p 2)(2·3n +1 – 3n +2 – 3n ) = 0即– (4 – p 2)·3n ·4 = 0,解得p = ±2. ………………………7分反之,当p = 2时,b n = 3n ,{b n }是等比数列;当p = – 2时,b n = 1,{b n }也是等比数列.所以,当且仅当p = ±2时{b n }为等比数列. ………………………………………………………………10分 ⑶因为4231m m a =+-，4231n n a =+-，4231p pa =+-，若存在三项m a ，n a ，p a ，使数列ma ，n a ，p a 是等差数列，则2n m p a a a =+，所以42(2)31n +-=4231m +-4231p++-，……………12分化简得3(2331)1323n p n p m p m n m ----⨯--=+-⨯（*），因为*,,,N m n p m n p ∈<<，所以1p m p n -≥-+，1p m n m -≥-+，所以13333p mp n p n --+-≥=⨯，13333p m n m n m --+-≥=⨯，（*）的左边3(23331)3(31)0np np n n p n ---≤⨯-⨯-=--<，右边13323130n mn m n m ---≥+⨯-⨯=+>，所以（*）式不可能成立，故数列{a n }中不存在三项m a ，n a ，p a ，使数列m a ，n a ，p a 是等差数列. ……………16分20．解：(1)令xa t =，0x >，因为1a >，所以1t >，所以关于x 的方程()f x m =有两个不同的正数解等价于关于t 的方程2t m t+=有相异的且均大于1的两根，即关于t 的方程220t mt -+=有相异的且均大于1的两根， (2)分所以2280,1,2120m m m ⎧∆=->⎪⎪>⎨⎪⎪-+>⎩，…………………………………………………………………4分解得223m <<，故实数m 的取值范围为区间(22,3).……………………………6分 (2)||()2,[2,)x x g x a a x =+∈-+∞ ①当1a >时，a )0x ≥时，1x a ≥，()3x g x a =，所以 ()[3,)g x ∈+∞，b )20x -≤<时，211x a a≤<()2x x g x a a -=+，所以 ()221'()ln 2ln ln x x x xa g x a a a a a a --=-+=……8分ⅰ当2112a >即412a <<时，对(2,0)x ∀∈-，'()0g x >，所以 ()g x 在[2,0)-上递增，所以 222()[,3)g x a a ∈+，综合a ) b )()g x 有最小值为222a a +与a 有关，不符合……10分 ⅱ当2112a ≤即42a ≥时，由'()0g x =得1log 22a x =-，且当12log 22a x -<<-时，'()0g x <，当1log 202a x -<<时，'()0g x >，所以 ()g x 在1[2,log 2]2a --上递减，在1[log 2,0]2a -上递增，所以min 1()log 22a g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭22a ) b ) ()g x 有最小值为22a 无关，符合要求．………12分②当01a <<时，a ) 0x ≥时，01x a <≤，()3x g x a =，所以 ()(0,3]g x ∈b ) 20x -≤<时，211x a a<≤，()2x x g x a a -=+，所以 ()221'()ln 2ln ln x x x xa g x a a a a a a --=-+= 0<，()g x 在[2,0)-上递减，所以 222()(3,]g x a a ∈+，综合a ) b ) ()g x 有最大值为222a a+与a 有关，不符合………14分综上所述，实数a 的取值范围是42a ≥．………………………………………………16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．，每小题l0分，共计20分．请在答题．．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.选修4 – 1几何证明选讲证明: 因为EA 是圆的切线,AC 为过切点A 的弦,所以 ∠CAE = ∠CBA . 又因为AD 是∠BAC 的平分线,所以∠BAD = ∠CAD 所以∠DAE = ∠DAC + ∠EAC = ∠BAD + ∠CBA = ∠ADE所以,△EAD 是等腰三角形,所以EA = ED . ……………………………………………………6分又EA 2 = EC ·EB ,所以ED 2 = EB ·EC . ……………………………………………………………………………4分B ．矩阵与变换：解：由题意得1312221-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A，…………………………………………………5分 =AX B ，1319411222312151-⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦-⎣⎦⎣⎦X A B ………………………………………10分 C.选修4 – 4 参数方程与极坐标若两条曲线的极坐标方程分别为ρ = 1与ρ = 2cos(θ + π3),它们相交于A ,B 两点,求线段AB 的长. 解首先将两曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,得 x 2 + y 2 = 1与x 2 + y 2 – x +3y = 0……………………………………………………6分解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2 + y 2 = 1x 2 + y 2 – x + 3y = 0 得两交点坐标(1,0),(–12, – 32)所以,线段AB 的长为(1 + 12)2 + (0 + 32)2=3即AB = 3.………………………………………………………………………………10分 D.选修4 – 5 不等式证明选讲设a ,b ,c 为正实数,求证:a 3 + b 3 + c 3 + 1abc ≥2 3.证明因为a ,b ,c 为正实数,所以a 3 + b 3 + c 3≥33a 3b 3c 3 = 3abc >0…………………………5分B C ED A又3abc + 1abc ≥23abc ·1abc = 2 3.所以a 3 + b 3 + c 3 + 1abc ≥2 3.…………………………………………………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题．．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.解如图,以A 为坐标原点,AB ,AD ,AP 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,1,0),P (0,0,a ).因为M 是PC 中点,所以M 点的坐标为(12,12,a 2)，所以AM →= (12,12,a 2)，BD → = (–1,1,0)，BP →= ( – 1,0,a ).⑴因为AM →⊥平面PBD ,所以AM →·BD → = AM →·BP →= 0.即– 12 + a 22 = 0,所以a = 1,即PA = 1. ………………………………………4分 ⑵由AD → = (0,1,0),M →= (12,12,12),可求得平面AMD 的一个法向量n = ( – 1,0,1).又CP → = ( – 1,–1,1).所以cos<n , CP →> =n ·CP→|n |·|CP →|= 22·3= 63. 所以,PC 与平面AMD 所成角的正弦值为63.……………………………10分 23．解（1）：证明：（ⅰ）当1n =时，因为10a =，33(1)04+-=，所以等式正确. （ⅱ）假设n k =时，等式正确，即*33(1)(,1)4N k kk a k k +-=∈≥，那么，1n k =+时，因为11133(1)4333(1)33(1)33444k k k k k k k kkk k a a ++++-⋅---+-=-=-==，这说明1n k =+时等式仍正确.据（ⅰ），（ⅱ）可知，*33(1)(,1)4N n nn a n n +-=∈≥正确. ……………………………5分（2）易知133(1)13(1)[1]4343n n nn nP +--=⋅=+， PB CDAMxyz①当n 为奇数（3n ≥）时，13(1)43n P =-，因为327n ≥，所以132(1)4279P ≥-=，又131(1)434n P =-<，所以2194P ≤<；②当n 为偶数（2n ≥）时，13(1)43n P =+，因为39n≥，所以131(1)493P ≤+=，又131(1)434n P =+>，所以1143P <≤.综上所述，2193P ≤≤.……………………………10分。

【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编 (第1期)专题04 三角函数与解三角形

【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第1期）专题04 三角函数与解三角形一．基础题1.【河北省唐山市2012-2013学年度高三年级摸底考试】若tan θ=2，则cos2θ＝（A ）45（B ）－45（C ）35（D ）－35[2.【河北省唐山市2012-2013学年度高三年级摸底考试】要得到函数sin()3y x π=-的图象，只需将函数sin()6y x π=-的图象(A)向左平移6π个单位 (B)向右平移6π单位 (C)向左平移2π个单位 (D 向右平移2π个单位3.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学】已知()sin cos 0,αααπ-=∈，则tan α等于A.1-B.2-C.2D.14.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学】函数()()sin 0,2fx x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图像向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图像A.关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称B.关于直线12x π=对称C.关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D.关于直线512x π=对称5.【湖北省黄冈中学2013届高三11月月考】sin(1920)- 的值为（）A ．2- B ．12- C 2D ．126.【2013届河北省重点中学联合考试】已知3sin 25α=(2)2παπ<<，1tan()2αβ-=，则tan()αβ+=（） A ．-2 B ．-1 C ．211-D ．2117.【四川省资阳市2013届高三第一次诊断性考试】为了得到函数sin(2)6y x π=+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象 A ．向左平移6π个长度单位 B ．向右平移6π个长度单位 C ．向右平移12π个长度单位D ．向左平移12π个长度单位8.【湖北省武汉市2013届高三11月调研测试】将函数sin y x =的图像向右平移2π个单位长度，再向上平移1个单位长度，素的的图像对应的函数解析式为（）A ． 1sin y x =- B. 1sin y x =+ C. 1cos y x =- D. 1cos y x =+9.【重庆市部分重点中学2012—2013年高三上学期第一次联考】sin(1920)-的值为（）A ．2- B ．12- C 2D ．1210.【江西省2013届百所重点高中阶段性诊断考试】已知3sin()25πθ+=，则cos(2)πθ-等于 A.1225B. 1225-C. 725-D.72511.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学】sin 585︒的值为A.2B.2-2D.2-12.【2012-2013学年度河北省普通高中11月高三教学质量监测】已知α为锐角，且tan()30πα-+=，则sin α的值是（）A ．5B 710D ．13【答案】C【解析】可得tan 3α=，则2211tan cos αα+=，则21cos 10α=，则29sin 10α=，那么sin 10α=.13.【2012河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】已知角α的终边经过点P （m,-3），且4cos 5α=-，则m 等于A ．114-B ．114C ．4-D ．4【答案】C【解析】由题意知4cos 5α==-，又0m <，解得4m =-14.【四川省资阳市2013届高三第一次诊断性考试】若3sin 5α=，α是第二象限的角，则cos()4πα-=_______．15.【广东省珠海市2012年9月高三摸底考试】在△ABC 中，7,6,5===c b a ，则=C cos .16.【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试】5cos3π= .17.【湖北省黄冈中学2013届高三十月月考】sin 163sin 223sin 253sin 313︒︒+︒︒= ．二．能力题1.【2012-2013学年度河北省普通高中高三11月教学质量监测】函数()sin()f x A x ωϕ=+，(0,0)A ω>>的图像如图所示，为了得到()cos g x A x ω=-的图像，可以将()f x 的图像（） A ．向右平移12π个单位长度B ．向右平移512π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向左平移512π个单位长度2.【2013届河北省重点中学联合考试】已知函数()sin()f x A x ωϕ=+ (0,0,0)A ωϕπ>><<，其导函数'()f x 的部分图像如图所示，则函数f （x ）的解析式可能为A ．1()2sin()24f x x π=+B. 13()4sin()24f x x π=+C. ()2sin()4f x x π=+D. 1()4sin()24f x x π=+3.【江西省2013届百所重点高中阶段性诊断考试】已知函数74sin(2),([0,])66y x x ππ=+∈的图像与直线y m =有三个交点，且交点的横坐标分别为123123,,()x x x x x x <<，那么1232x x x ++等于A.53π B.43π C.34π D.32π4.【湖北省黄冈中学2013届高三十月月考】ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（）A ．33sin 34+⎪⎭⎫⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB5.【山东省潍坊市四县一校2013届高三11月期中联考】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a,b,c ，且4524==B c ，，面积2=S ，则b 等于A.2113 B.5 C.41 D.256.【山东省潍坊市四县一校2013届高三11月期中联考】将函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为A.1)42sin(+-=πx y B.x y 2cos2=C.x y 2sin2= D.x y 2cos -=7.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学】如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，045,105AC B C AB ∠=∠= ，则A 、B 两点的距离为A.B.C.D.2m【答案】B【解析】因为045,105AC B C AB ∠=∠= ，所以30ABC ∠= ，所以根据正弦定理可知，sin sin A C A B A B CA C B=，即50sin 30sin 45A B =，解得AB =，选B.8.【江西省2013届百所重点高中阶段性诊断考试】如图是函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,||)2A πωϕ>><在一个周期内的图像，M 、N 分别是最大、最小值点，且OM ON ⊥，则A ω∙的值为A.6πB.6C.6D.129.【2012-2013山西省示范性高中联考数学】已知,2tan =θ则)sin()2sin()cos()2sin(θπθπθπθπ-----+等于（）A.2B.-2C.0D.3210.【重庆市部分重点中学2012—2013年高三上学期第一次联考】当0＜x ＜2π时,函数xxx x f 2sin sin82cos 1)(2++=的最小值为A ．2B ．32C ．4D ．34【答案】C 【解析】xx xx xx xx x f cos sin cossin4cos sin 2sin8cos2)(2222+=+=xx xx tan 1tan 4tan 1tan42+=+=．∵0＜x ＜2π,∴t anx ＞0． ∴4tan 1tan 42tan 1tan 4=∙≥+xx xx ．当21tan =x 时,f(x)min =4．故选C ．11.【湖北省黄冈中学2013届高三11月月考】给出下列的四个式子：①1a b-，②1a b+，③1b a+，④1b a-；已知其中至少有两个式子的值与tan θ的值相等，则（）A ．cos 2,sin 2a b θθ==B ．sin 2,cos 2a b θθ==C ．sin,cos22a b θθ==D ．cos,sin22a b θθ==12.【浙江省温州八校2013届高三9月期初联考】．已知函数|2sin 31|)(x x f -=，若)2()2(a x f a x f +=-恒成立，则实数a 的最小正值为13.【河北省唐山市2012-2013学年度高三年级摸底考试】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a －b)sinB ＝asinA －csin C.，且a 2＋b 2－6(a+b)＋18＝0，则AB BC BC CA CA AB ++＝＿＿＿【答案】－272【解析】由(a －b)sinB ＝asinA －csin C.，利用正弦定理可得：222222221(),,cos ,60.22a b ca b b a c ab a b c C C ab+--=-∴=+-∴==∴=由a 2＋b 2－6(a+b)＋18＝0，则222222(3)(3)0,3,9.a b a b c a b ab c -+-=∴===+-∴= ，22()1927cos()93222AB BC BC C A C A AB AB BC C A BC C A AB BA BC C A c ab c ab ππ⋅+⋅+⋅=⋅++⋅=⋅+⋅=-+-=--=--=-14.【2013届浙江省重点中学协作体高三摸底测试】在A B C ∆中，sin cos 2A A +=，4,5A CA B ==，则A B C ∆的面积是．15.【2012河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 的最小正周期为【答案】2π【解析】222111cos 411()2cos sin sin 2cos 422244xf x x x x x -===⨯=-∴242T ππ==三．拔高题1.【2012河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】将函数s in (0)y x ωω=>的图像向左平移6π个单位，平移后的图像如图所示，则平移后的图像所对应的函数解析式为 A ．sin()6y x π=+B ．sin()6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=-2.【四川省资阳市2013届高三第一次诊断性考试】函数2()sin 2f x x x =+-，函数()cos(2)23(0)6g x m x m m π=--+>，若存在12,[0,]4x x π∈，使得12()()f xg x =成立，则实数m 的取值范围是 A ．(0,1] B ．[1,2] C ．2[,2]3D ．24[,]333.【2012-2013学年度河北省普通高中高三11月教学质量监测】已知α为锐角，且2t a n ()3c o s ()502ππαβ--++=，tan()6sin()1παπβ+++=，则s i n α的值是（）A．5B710D ．134.【2012-2013北京四中高三期中考试】已知函数x x x f sin cos )(=，给出下列四个说法： ①若)()(21x f x f -=，则21x x -=； ②)(x f 的最小正周期是2π； ③)(x f 在区间]4,4[ππ-上是增函数； ④)(x f 的图象关于直线43π=x 对称．其中正确说法的序号是 .5.【湖北省黄冈中学2013届高三十月月考】函数()s i n ()(0,f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，则()()()()1232012f f f f ++++= ．【答案】2【解析】由图象知()4sin2,42,0xx f Tπππωφ=∴===，其图象关于()6,2,0,4==x x 对称知，()()()()12380,f f f f ++++=8,2012251T ==⨯+()()()()()()()()12320121234f f f f f f f f ∴++++=+++=()()()()23412342sin sin sin sin 2.4444f f f f ππππ⎛⎫=+++=+++= ⎪⎝⎭ 6.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学】已知函数()11s i n c o s 244f x x x x =-的图像在点()00,A x y 处的切线斜率为1，则0t a n x =___.___.7.【2013届浙江省重点中学协作体高三摸底测试】已知()tan cos()f x x x m =++为奇函数，且m 满足不等式23100m m --<，则m 的值为____________8.【重庆市部分重点中学2012—2013年高三上学期第一次联考】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =5，b =4，cos(A －B )=3231．(Ⅰ) 求sin B 的值； (Ⅱ) 求cos C 的值．9.【2013届浙江省重点中学协作体高三摸底测试】已知函数()4c o s ()(0)4f x x πωω=+>图像与函数()2s i n (2)1g x x ϕ=++的图像的对称轴完全相同．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）当函数()f x 的定义域为[,]63ππ-时，求函数()f x 的值域．[本题主要考查三角函数等基础知识，同时考查运算求解能力。

2013届高三上期末考数学三角函数试题分类汇编

2 A、p 为真 B、 q 为假 C、 p q 为假 D、 p q 为真
答案：C
9、（湛江市 2013 届高三上学期期末）在△ABC 中，∠A＝，AB＝2，且△ABC 的面积为 3 ，
3
2
则边 AC 的长为
A、1 B、 3 C、2 D、1
答案：A
10 、（中山市 2013 届高三上学期期末）若 △ ABC 的三个内角满足
C．周期为的偶函数
D．周期为 2 的偶函数
答案：C 6、（茂名市 2013 届高三上学期期末）已知函数 y sin x cos x ，则下列结论正确的是（）
A.
此函数的图象关于直线 x
对称
4
B. 此函数的最大值为 1
C.
此函数在区间 (
,
) 上是增函数
44
D. 此函数的最小正周期为
答案：C
2
2 11
sin( ) sin( )
2 (sin cos ) ，…9
3
4
3 12
42
分
sin cos 1 1 sin 2 1 sin 2 3 ………12分
2
4
4
6、（江门市 2013 届高三上学期期末）在 ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边长分别为 a 、b 、
∴ cos x 3sin x ，故 tan x 1 ， 3
……… 10 分
1
∴ tan( x )
tan x tan 4
1 3 2．
4
1
1 tan x tan 1
4
3
……… 12 分
2、（东莞市 2013 届高三上学期期末）
设函数

江西省各地市2013年高考数学最新联考试题分类汇编(5)三角函数

江西省各地市2013年高考数学最新联考试题分类汇编（5）三角函数一、选择题: 3. (江西省吉安县二中2013年4月高三月考)设,,a b c 分别ABC △是的三个内角,,A B C 所对的边，若1,3060A a b ==则是B =的（） A.充分不必要条件； B.必要不充分条件；C.充要条件；D.既不充分也不必要条件；【解析】若1,30A a b ==，由正弦定理得sin sin ,60b B A a b B a=<=或120B =反之，1,60B a b ==则1sin sin ,,302a A B ab A b ==<=，故选B5．(江西省赣州市十二县市2013届高三第二学期期中联考文)设函数()ϕω+=x A x f sin )(（)22,0,0πϕπω<<->≠A 的图像关于直线32π=x 对称，它的周期是π，则（）A ．)(x f 的图象过点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0B ．)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,12ππ上是减函数C ．)(x f 的一个对称中心是⎪⎭⎫⎝⎛0,125π D ．)(x f 的最大值是4【答案】C7．（江西省九校2013届高三第二次联考文）已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=时取最小值，则函数3()4y f x π=-是（） A ．偶函数且图像关于点(,0)π对称 B ．偶函数且图像关于点3(,0)2π对称 C ．奇函数且图像关于点3(,0)2π对称 D ．奇函数且图像关于点(,0)π对称【答案】D3．(江西师大附中、鹰潭一中2013年4月高三联考文)已知角α终边上一点P ，则2sin 23tan αα-=（）A ．1--B ．1-C ．-D ．0【答案】D二、填空题:11. (江西省赣州市十二县市2013届高三第二学期期中联考理)已知1212(cos,sin ),(2sin ,4cos ),4643e e e e ππππ==⋅= .【答案】215. （江西省八所老牌重点中学2013届高三下学期第一次联考文）已知函数()cos sin f x x x =，给出下列四个结论：①若12()()f x f x =-，则12x x =-； ②()f x 的最小正周期是2π； ③()f x 在区间[,]44ππ-上是增函数； ④()f x 的图象关于直线34x π=对称．其中正确的结论是 .【答案】③④ 三、解答题:16. (江西省赣州市十二县市2013届高三第二学期期中联考理) (本小题满分12分）己知，将)(x f 的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数)(x g 的图象(I) 求+的值；(II) c b a 、、分别是ABC ∆内角A B C 、、的对边，4=+c a ，且当B x =时，)(x g 取得最大值，求b 的取值范围.16．(江西省赣州市十二县市2013届高三第二学期期中联考文)（本小题满分12分）．已知函数()3sin()sin()()2f x x x ππωωω=---＞0的图像上两相邻最高点的坐标分别为,2)34(),2,3(ππ.（1）求ω的值；（2）在△ABC 中，a b c 、、分别是角A,B,C 的对边，且()2f A =求2b ca -的取值范围．16．（江西省九校2013届高三第二次联考理）（本小题满分12分）设函数)0π( )2sin()(<<-+=ϕϕx x f ,y=f （x ）图像的一条对称轴是直线8π=x ．（1）求ϕ；（2）求函数)(x f y =的单调增区间；（3）证明直线025=+-c y x 于函数)(x f y =的图像不相切．17．(江西师大附中、鹰潭一中2013年4月高三联考文)（本小题满分12分）已知点1122(,),(,)A x y B x y 是函数()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ图象上的任意两点，若12||2y y 时，12||x x 的最小值为2π，且函数()f x 的图像经过点1(0,)2．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin sin cos 21A C B ，求()f B 的取值范围．17.(I)由题意知22T π=,T π∴=，又2,2T πωω=∴=1(0)sin 2f ϕ==且(0,)2πϕ∈，6πϕ∴=从而()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ……………………………………6分（II ）2sin sin cos 21A C B +=22sin sin 1cos 22sin A C B B ∴=-=即2sin sin sin A C B = 2ac b ∴=由222221cos 222a c b a c ac B ac ac +-+-==≥，得(0,]3B π∈ 52(,]666B πππ∴+∈,从而()sin(2)6f B B π=+取值范围为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦…………………12分16. (江西省新余市2013届高三第二次模拟文)（本小题满分12分）已知函数f(x)=(sinx+cosx)2-2sin 2x ．（1）求f(x)的单调递减区间；（2）A 、B 、C 是△ABC 的三内角，其对应的三边分别为a 、b 、c ．若()8A f =，AB AC ⋅=12，a =b<c ，求b 、c 的长．16．解：（1）f sin(2x+4π)， ∴ 当22k ππ+≤2x+4π≤322k ππ+时，f (x)单调递减，解得8k ππ+≤x ≤58k ππ+，即f (x)的单调递减区间为[8k ππ+，58k ππ+](k ∈Z)． ………………6分（2）f (8A sin(4A +4πsin(4A +4π，)2,4(44πππ∈+A∴ 4A +4π=3π，即A=3π．由AB AC ⋅=c ·b ·cosA=12，cosA=12，得bc=24．①又cosA=222122b c a a bc +-==，b 2+c 2=52．∵ b 2+c 2+2bc=(b+c)2=100，b>0，c>0，∴ b+c=10，②联立①②，且b<c ，解得b=4，c=6．……………………………………12分 16．(江西省宜春市2013届高三4月模拟文) (本小题满分12分)已知向量(1,cos 2),(sin 2,3)m x n x ==，函数()f x m n =⋅，将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移3π个单位，所得函数图象对应的解析式记为()g x . （1）求()g x 的解析式；（2）在锐角ABC ∆中，a b c 、、是角A 、B 、C 所对的边，且满足222a cb ac +-=，求()f A 的取值范围.16．解：（1）()sin 222sin(2)3f x m n x x x π=⋅=+=+ ……… 4分)32sin(2)(π+=x x f 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得)3sin(2π+=x y ，再向右平移3π个单位后得()2sin g x x =……… 6分（2）222a cb ac +-=，2221cos 22a cb B ac +-∴== 又0B π<<，3B π∴=.……… 8分()2sin(2)3f A A π∴=+在锐角△ABC 中,362B A πππ=∴<<.于是242333A πππ<+<，……… 10分sin(2)()322A π∴+∈-所以()(f A ∈……… 12分16．(江西省吉安县二中2013年4月高三月考)（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量P =（sinA,b+c ），q =（a －c,sinC －sinB ）,满足p q +=p q -（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设m =（sin （C+3π）,12）, n =（2k,cos2A ）（k>1）, ⋅m n 有最大值为3，求k 的值.16．解：（Ⅰ）由条件p q +=p q -|，两边平方得0a b =，……2分得（a －c ）sinA ＋（b+c ）（sinC －sinB ）＝0，根据正弦定理，可化为a （a －c ）+（b+c ）（c －b ）=0,即222a cb ac +-=，……4分又由余弦定理222a cb +-＝2 a cosB,所以cosB ＝12，B ＝3π.……6分（Ⅱ）m =（sin （C+3π）,12）, n =（2k,cos2A ）（k>1）, ⋅m n =2ksin （C+3π）+12cos2A=2ksin （C+B ）+12cos2A=2ksinA+2cos A -12=-2sin A +2ksinA+12=-22(sin )A k k -++12（k>1）. ……8分而0<A<23π,sinA∈（0,1],故当sinA＝1时，⋅m n取最大值为2k-12=3,得k＝74 (12)分。

2013年全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数

2013年全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.34 B. 43 C.43- D.34-【答案】C2 ．（2013年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定【答案】B [来源:]3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC 中,,2,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =10 103105【答案】C4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为 (A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π-【答案】B5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠= A.6π B.3π C.23π D.56π【答案】A6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是(A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2x π=对称(C)()f x 的最大值为32(D)()f x 既奇函数,又是周期函数【答案】C7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））函数cos sin y x x x =+的图象大致为【答案】D8 ．（2013年高考四川卷（理））函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )(A)2,3π-(B)2,6π-(C)4,6π-(D)4,3π【答案】A9 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是( ) (A)sin y x = (B)cos y x = (C)sin 2y x = (D)cos 2y x =【答案】B10．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））04cos50tan 40-= ( )223+3221 【答案】C11．（2013年高考湖南卷（理））在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin 3,a B b A 则角等于A.12π B.6π C.4π D.3π 【答案】D12．（2013年高考湖北卷（理））将函数()3sin yx x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) A.12π B.6π C.3π D.56π【答案】B 二、填空题13．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））ABC ∆中,090=∠C ,M 是BC的中点,若31sin =∠BAM ,则=∠BAC sin ________. 614．（2013年高考新课标1（理））设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______【答案】25. 15．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））如图ABC ∆中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,22sin 32,3BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________316．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数2sin y x =的最小正周期是_____________【答案】2π17．（2013年高考四川卷（理））设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是_________.318．（2013年高考上海卷（理））若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=,则sin()________x y +=【答案】2sin()3x y +=. 19．（2013年高考上海卷（理））已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c,若22232330a ab b c ++-=,则角C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)【答案】1arccos3C π=- 20．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知α是第三象限角,1sin 3a =-,则cot a =____________.【答案】2221．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为___________.【答案】π22．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在ABC ∆中,角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、,若5 8 60a b B ===，，,则b=_______【答案】7 [来源:Z 。

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2013届高三数学章末综合测试题（5）三角函数、解三角形一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32解析：∵|OP |＝64m 2＋9，且cos α＝－8m64m 2＋9＝－45， ∴m ＞0，且64m 264m 2＋9＝－1625＝－45，∴m ＝12.答案：B2．已知扇形的周长为6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4 解析：设扇形的圆心角为α rad ，半径为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋α²R ＝6，12α²R 2＝2，解得α＝1，或α＝4.答案：C3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图像( )A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于点(π3，0)对称C ．关于点(π4，0)对称D ．关于直线x ＝π3对称解析：∵T ＝π，∴ω＝2.∵当x ＝π4时，f (x )＝12；当x ＝π3时，f (x )＝0，∴图像关于(π3，0)中心对称.答案：B4．要得到函数y ＝cos2x 的图像，只需将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像( )A ．向右平移π6个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位解析：由cos2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3知，只需将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像向左平移π6个单位. 答案：D5．若2a＝3sin2＋cos2，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 解析：∵3sin2＋cos2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π6，又34π＜2＋π6＜56π，∴1＜2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π6＜2，即1＜2a＜2，∴0＜a ＜12.答案：A6．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x －π6(x ∈[0，π])的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，11π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，11π12 解析：∵y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z . 又x ∈[0，π]，∴k ＝0.此时x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.答案：B7．已知tan α＝12，tan(α－β)＝－25，那么tan(2α－β)的值是( )A ．－112 B.112 C.322 D.318解析：tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋tan(α－β)1－tan αtan(α－β)＝12－251－12³⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＝112.答案：B8．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32解析：f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.答案：D9．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值等于( )A.34B.56C.58D.32解析：由已知，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝14，即12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θ＝14，∴cos2θ＝12.∴sin 22θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34。

则sin 4θ＋cos 4θ＝1－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝1－38＝58. 答案：C10．已知α、β为锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β＝( ) A ．－3π4 B.π4或3π4 C.3π4 D.π4解析：∵α、β为锐角，且sin α＝55，sin β＝1010， ∴cos α＝255，cos β＝31010，且α＋β∈(0，π)，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝65050－5050＝55050＝22， ∴α＋β＝π4. 答案：D11．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形解析：∵cos 2B 2＝a ＋c 2c ，∴2cos 2B 2－1＝a ＋c c－1， ∴cos B ＝a c ，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝a c，∴c 2＝a 2＋b 2，故△ABC 为直角三角形．答案：B12．在沿海某次台风自然灾害中，台风中心最大风力达到10级以上，大风降雨给沿海地区带为严重的灾害，不少大树被大风折断，某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是( )A.2063米 B ．106米 C.1063米 D ．202米解析：设折断点与树干底部的距离为x 米．则xsin45°＝20sin(180°－75°－45°)＝20sin60°，∴x ＝20³sin45°sin60°＝2023＝2063(米).答案：A二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．若π4是函数f (x )＝sin2x ＋a cos 2x (a ∈R ，且为常数)的零点，则f (x )的最小正周期是__________．解析：由题意，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin π2＋a cos 2π4＝0，∴1＋12a ＝0，∴a ＝－2.2∴f (x )＝sin2x －2cos 2x ＝sin2x －cos2x －1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－1，∴f (x )的最小正周期为π. 答案：π14．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B .sin A cos B ＝34，则△ABC 的形状为__________．解析：∵tan A ＋tan B ＝3(tan A tan B －1)，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3， ∴tan C ＝3，又C ∈(0，π)，∴C ＝π3.∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32， ∴cos A sin B ＝34，∴sin A cos B ＝cos A sin B ，∴sin(A －B )＝0，∴A ＝B . ∴△ABC 为正三角形．答案：正三角形15．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的图像向右平移π6个单位后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图像重合，则ω的最小值为__________．解析：由已知，得tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ω6π＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，得π4－ω6π＝k π＋ π6(k ∈Z )，∴ω＝－6k ＋12(k ∈Z )．∵ω＞0，∴当k ＝0时，ω的最小值为12.答案：1216．给出下列命题：①半径为2，圆心角的弧度数为12的扇形面积为12；②若α、β为锐角，tan(α＋β)＝12，tan β＝13，则α＋2β＝π4；③若A 、B 是△ABC 的两个内角，且sin A ＜sin B ，则BC ＜AC ；④若a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，且a 2＋b 2－c 2＜0，则△ABC 是钝角三角形．其中真命题的序号是__________．解析：①中，S 扇形＝12α²R 2＝12³12³22＝1，∴①不正确．②中，由已知可得tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan(α＋β)＋tan β1－tan(α＋β)tan β＝13＋121－13³12＝1，又α、β为锐角，tan(α＋β)＝12＞0，∴0＜α＋β＜π2.又由tan β＝13＜1，得0＜β＜π4， ∴0＜α＋2β＜34π，∴α＋2β＝π4.∴②正确．③中，由sin A ＜sin B ⇒BC 2R ＜AC2R(2R 为△ABC 的外接圆半径)⇒BC ＜AC .∴③正确． ④中，由a 2＋b 2－c 2＜0知，cos C ＜0，∴C 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形．∴④正确．答案：②③④三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(10分)已知sin α＝－55，tan β＝－13，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0. (1)求α＋β的值； (2)求2sin ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋β的值．解析：(1)∵sin α＝－55，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， ∴cos α＝255.∴tan α＝－12， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1. 又∵－π＜α＋β＜0，∴α＋β＝－π4.(2)由(1)知，α＋β＝－π4，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π4－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋cos α＝2cos α－sin α＝2³255＋55＝ 5.18．(12分)已知α、β为锐角，向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12.(1)若a²b ＝22，a ²c ＝3－14，求角2β－α的值； (2)若a ＝b ＋c ，求tan α的值．解析：(1)a²b ＝(cos α，sin α)²(cos β，sin β) ＝cos αcos β＋sin αsin β ＝cos(α－β)＝22.① a²c ＝(cos α，sin α)²⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12＝12cos α－12sin α＝3－14.② 又∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜π2.由①得α－β＝±π4，由②得α＝π6.∵α、β为锐角，∴β＝5π12.从而2β－α＝23π.(2)由a ＝b ＋c ，可得⎩⎪⎨⎪⎧cos β＝cos a －12， ③sin β＝sin α＋12. ④③2＋④2，得cos α－sin α＝12.∴2sin αcos α＝34.又∵2sin αcos α＝2sin αcos αsin α＋cos α＝2tan αtan α＋1＝34， ∴3t an 2α－8tan α＋3＝0. 又∵α为锐角，∴tan α＞0，∴tan α＝8±82－4³3³36＝8±286＝4±73.19．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2一个周期的图像如图所示．(1)求函数f (x )的表达式；(2)若f (α)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝2425，且α为△ABC 的一个内角，求sin α＋cos α的值．解析：(1)由图知，函数的最大值为1，则A ＝1，函数f (x )的周期为T ＝4³⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π.而T ＝2πω，则ω＝2.又x ＝－π6时，y ＝0，∴sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2³⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0. 而－π2＜φ＜π2，则φ＝π3.∴函数f (x )的表达式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)由f (α)＋f⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝2425，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝2425，化简，得sin2α＝2425. ∴(sin α＋cos α)2＝1＋sin2α＝4925.由于0＜α＜π，则0＜2α＜2π，但sin2α＝2425＞0，则0＜2α＜π，即α为锐角，从而sin α＋cos α＞0，因此sin α＋cos α＝75.20．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且b cos C ＝3a cos B －c cos B . (1)求cos B 的值．(2)若BA →²BC →＝2，b ＝22，求a 和c .解析：(1)△ABC 中，∵b cos C ＝3a cos B －c cos B ，由正弦定理，得sin B ²cos C ＝3sin A cos B －sin C cos B ， ∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝3sin A cos B ， ∴sin(B ＋C )＝sin A ＝3sin A cos B . ∵sin A ≠0，∴cos B ＝13.(2)∵BA →²BC →＝ac ²cos B ＝13ac ＝2，∴ac ＝6.∵b 2＝8＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－4， ∴a 2＋c 2＝12，∴a 2－2ac ＋c 2＝0，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ＝ 6.21．(12分)已知△ABC 是半径为R 的圆的内接三角形，且2R (sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B .(1)求角C ；(2)试求△ABC 面积S 的最大值．解析：(1)由2R (sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B ，两边同乘以2R ，得(2R sin A )2－(2R sin C )2＝(2a －b )2R sin B ，根据正弦定理，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， ∴a 2－c 2＝(2a －b )b ，即a 2＋b 2－c 2＝2ab .再由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，又0＜C ＜π，∴C ＝π4.(2)∵C ＝π4，∴A ＋B ＝3π4.S ＝12ab sin C ＝24(2R sin A )(2R sin B )＝2R 2sin A sin B＝2R 2sin A sin⎝ ⎛⎭⎪⎫34π－A ＝22R 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4＋12R 2， ∴当2A －π4＝π2，即A ＝38π时，S 有最大值⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22R 2. 22．(12分)如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道．赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)，x ∈[0,4]的图像，且图像的最高点为S (3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.(1)求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离； (2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？解析：方法一： (1)依题意，故NP+MN ＝1033sin θ＋1033sin(60°－θ)＝1033⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ＋32cos θ＝1033sin(θ＋60°)． ∵0°＜θ＜60°，∴当θ＝30°时，折线段赛道MNP 最长．即将∠PMN 设计为30°时，折线段赛道MNP 最长．方法二：(1)同方法一；(2)在△MNP 中，∠MNP ＝120°，MP ＝5，由余弦定理，得MN 2＋NP 2－2MN ²NP ²cos∠MNP ＝MP 2，即MN 2＋NP 2＋MN ²NP ＝25. 故(MN ＋NP )2－25＝MN ²NP ≤⎝⎛⎭⎪⎫MN ＋NP 22，从而34(MN ＋NP )2≤25，即MN ＋NP ≤1033，当且仅当MN ＝NP 时等号成立．即设计为MN ＝NP 时，折线段赛道MNP 最长．。