2020届辽宁省沈阳市高三三模数学(文)试题(解析版)
2020年东北三省三校高考数学三模试卷(文科)(内)(含答案解析)
2020年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（文科）（内）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数为虚数单位的共轭复数为A. B. C. D.2.已知集合，，则A. 2，B. 2，4，6，C. 4，D. 2，4，3.若变量x，y满足约束条件，则的最大值为A. 3B. 4C. 5D. 64.如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为A.B.C.D.5.如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是A. 该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省B. 与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长C. 该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D. 去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元6.已知为锐角，且，则等于A. B. C. D.7.已知中内角A、B、C所对应的边依次为a、b、c，若，则的面积为A. B. C. D.8.设为定义在R上的奇函数，当时，为常数，则不等式的解集为A. B. C. D.9.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，则的取值范围为A. B. C. D.10.已知曲线的一条对称轴方程为，曲线C向左平移个单位长度，得到曲线E的一个对称中心的坐标别，则的最小值是A. B. C. D.11.已知焦点为F的抛物线C：的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当取得最大值时，直线MA的方程为A. 或B. 或C. 或D.12.已知函数满足当时，，且当时，；当时，且若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，则______．14.春节即将来临之际，3位同学各写一张贺卡，混合后每个同学从中抽取一张，且抽取其中任意一张都是等可能的，则每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率为______．15.半径为2的球O内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为______．16.已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在直棱柱中，底面ABCD为菱形，，，BD与AC相交于点E，与相交于点O．求证：平面；求点A到平面OBD的距离．18.2019年9月26日，携程网发布国庆假期旅游出行趋势预测报告，2018年国庆假日期间，西安共接待游客万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市．旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收入不低于单位：万元，则称该导游为优秀导游．经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高．已知甲、乙两家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：分组频数2b20103求a，b的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？求甲公司一年内导游旅游总收入的中位数，乙公司一年内导游旅游总收入的平均数．同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，精确到19.已知数列，满足，，，．求数列，的通项公式；分别求数列，的前n项和，．20.已知椭圆的右焦点为F，直线l：被称作为椭圆C的一条准线点P在椭圆C上异于椭圆左、右顶点，过点P作直线m：与椭圆C相切，且与直线l相交于点Q．求证：．若点P在x轴的上方，，求面积的最小值．21.已知函数．求曲线在点处的切线方程；若函数在区间有两个零点，分别为，，求证：．22.已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C与直线l其中的一个交点为A，且点A极径，极角．求曲线C的极坐标方程与点A的极坐标；已知直线m的直角坐标方程为，直线m与曲线C相交于点异于原点，求的面积．23.已知函数．解关于x的不等式；若函数的图象恒在直线的上方，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：，．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：D解析：解：集合，．2，4，．故选：D．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：B解析：解：作出变量x，y满足约束条件表示的平面区域，得到如图的及其内部，其中，，设，将直线l：进行平移，当l经过点A时，目标函数的截距取得最小值，此时z达到最大值．故选：B．作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的及其内部，再将目标函数对应的直线进行平移，可得当，时，z取得最大值1．本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．4.答案：A解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为由一个半径为2的半球的和一个底面半径为2，高为4的圆柱组合而成．故：．故选：A．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5.答案：D解析：解：由折线图可得，很明显AB均正确；又因为由图可知该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一为的省份有：江苏均第一，河南均第四，共2个，故C正确；经计算，故D不正确，故选：D．根据折线图和柱状图分析即可本题考查学生合情推理的能力，考查统计的相关知识，属于基础题．6.答案：C解析：解：，为锐角，，．故选：C．由已知利用二倍角的正弦函数公式可求，进而利用二倍角的余弦函数公式可求的值．本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．7.答案：A解析：解：由余弦定理知，，即，又，，，．故选：A．由余弦定理可得a，b的一个方程，与联立，于是解得a，b，然后利用即可得解．本题考查正弦面积公式和余弦定理的应用，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．8.答案：D解析：解：为定义在R上的奇函数，因为当时，，所以，故，在上单调递增，根据奇函数的性质可知在R上单调递增，因为，所以，由不等式可得，，解可得，，故解集为故选：D．根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．9.答案：C解析：解：不妨设点P在右支上，有，则，则的取值范围为故选：C．设出P的位置，利用双曲线的定义，结合不等式推出范围即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．10.答案：C解析：解：曲线的一条对称轴方程为，，，，曲线C：把曲线C向左平移个单位长度，得到曲线E：的图象，曲线E的一个对称中心的坐标别，，．则的最小值为，此时，，故选：C．由题意利用函数的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求出的最小值．本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．11.答案：A解析：解：过M作MP与准线垂直，垂足为P，则，则当取到最大值时，必须取到最大值，此时AM与抛物线相切；易知此时直线AM的斜率不为0，设切线方程为：，则，整理可得，则，解得，所以切线方程为：，即或，故选：A．由抛物线的性质可得到焦点的距离转化为到准线的距离，由距离之比可得角的余弦值，由题意可得当直线MA由抛物线相切时取得最大值，设切线的方程，与抛物线联立由判别式等于0可得参数的值，进而求出切线方程．本题考查抛物线的性质，及切线的应用，属于中档题．12.答案：C解析：解：函数满足当时，，此时函数的周期为2，当时，；函数图象上关于原点对称的点恰好有3对，先作出函数在的图象，画出关于原点对称的图象，则函数的图象与所作函数的图象有3个交点，所以，解得．故选：C．利用函数的周期性，作出函数的图象，利用零点的个数转化列出不等式组求解即可．本题考查函数的零点的判断与应用，考查数形结合以及计算能力，是中档题．13.答案：，或．解析：解：设，，，则．又，，即．解得，，或，，则，或，故答案为：，或．设，由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出x，y的值，可得．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．14.答案：解析：解：三人领卡的情况有种，各自领自己卡的情况只有一种，则每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率为．故答案为：．三人随意抽卡有种，各领自己的只有一种，相比即可．本题考查排列数公式的应用，古典概型的概率计算，属于基础题．15.答案：解析：解：如图所示，设正三棱柱上下底面的中心分别为、，底面边长与高分别为x、h，则；在中，，即，由，所以，当且仅当时取等号；此时正三棱柱的侧面积取得最大值，且为．故答案为：．根据题意画出图形，结合图形求出正三棱柱的侧面积以及它的最大值．本题考查了正三棱柱的结构特征与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．16.答案：解析：解：，，，令，则，故在单调递增，单调递减，，故a的范围故答案为：由已知进行分离a，然后结合不等式的特点进行构造函数，结合导数可求．本题主要考查了由不等式求解参数范围问题，分离法的应用是求解问题的关键．17.答案：证明：四边形ABCD是菱形，，直棱柱，平面ABCD，平面ABCD，，又，平面，平面，平面D.解：是正方形的中心，且，到平面ABD的距离为1，，，，，，是的中点，，设A到平面OBD的距离为h，则，，解得．故点A到平面OBD的距离为．解析：由菱形性质得，根据直棱柱的性质可得，故而平面；根据列方程计算点A到平面OBD的距离．本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．18.答案：解：由直方图知，解得，由频数分布表知，可得，所以甲公司的导游优秀率为，乙公司的导游优秀率为，由于，所以乙公司的影响度高．甲一年内导游旅游总收入的中位数为：，乙一年内导游旅游总收入的平均数为：．解析：根据频率之和为1，解得a，由频数之和为40，可得b，进而算出甲公司的导游优秀率，乙公司的导游优秀率，再得出结论．根据频率分布直方图计算中位数，平均数的方法可得出答案．本题考查频率分布直方图，中位数，平均数的求法，属于中档题19.答案：解：由题意有，又，，可得：数列是首项为4，公比为2的等比数列；数列为首项是2，公差为1的等差数列，故，，，；，，，．解析：先由题设条件得到：数列是首项为4，公比为2的等比数列；数列为首项是2，公差为1的等差数列，再求出它们的通项公式，然后求，；根据中求出的，，分别利用分组求和的办法求出前n项和即可．本题主要考查等差、等比数列的定义、通项公式及分组求和在数列求和中的应用，属于基础题．20.答案：解：证明：点，联立方程，消去y，可得，有，可得，，，可得P的坐标为，当时，可得Q的坐标为；，，有，故有，若点P在x轴上方，必有，由可得，，，因为时，由可得，，由函数单调递增，可得此时，故当时，的面积的最小值为1．解析：求得F的坐标，联立直线方程和椭圆方程，运用相切的条件：判别式为0，求得P的坐标，Q的坐标，求得，，由数量积为0，即可得证；若点P在x轴的上方，必有，求得，，运用三角形的面积公式，以及函数的单调性，可得三角形的面积的最小值．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意运用相切的条件：判别式为0，考查函数的单调性的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.答案：解：，，，曲线在点处的切线方程即，证明：不妨设，则，由题意可得，，则，两边取对数，由，若证只要证明，即证，令，，，故在上单调递增，，故时，，即函数在区间有两个零点，分别为，，．解析：先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；由题意可得，，进行变形可得，两边取对数，及，结合要证的不等式进行构造函数，结合导数及函数单调性关系可证明．本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用导数证明不等式，合理的转化是求解问题的关键．22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，，转换为直角坐标方程为，根据转换为极坐标方程为．将代入得：．所以点A的极坐标为直线m的直角坐标方程为，则直线m的倾斜角为．得到点所以．解析：直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．利用三角形的面积的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型23.答案：解：．，或或，或或，，不等式的解集为．，函数的图象恒在直线的上方，，，实数m的取值范围为．解析：先将写为分段函数的形式，然后利用零点分段法解即可；由绝对值三角不等式可知，然后根据函数的图象恒在直线的上方，得到，再求出m的取值范围．本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
辽宁省沈阳市2020届高三年级教学质量监测(三)数学(理科)试题 含答案
参考公式：线性回归方程 y = b x + a 中，其中 b = i=1 n
，a = y− b x ．相
−
(xi − x)2
i =1
关系数 r =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
−
−
(xi − x)( yi − y)
i =1
．
n
−n
−
(xi − x)2 ( yi − y)2
i =1
i =1
12．已知函数 f (x) = x3 − 4x ，过点 A(−2, 0) 的直线l 与 f (x) 的图象有三个不同的交点，
A． 4
B． 2
C． 5 +1
D． 5 −1
6．已知某不规则几何体三视图如图，其中俯视图中的圆弧
为 1 圆周，则该几何体的侧面积为 4
A． 4 + 3 4
B． 7 + 22
C． 7 + 5 24
D． 7 + 5 28
7．设函数 f (x) = cos2 x + bsin x ，则“ b = 0 ”是“ f (x) 的最小正周期为 ”的
A． 2
B． −2
C． 4
D． 4
4．《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用
算法流程图表示如下，若输入 a = 15 ， b = 12 ， i = 0 ，则输出的结果为 A． a = 4 ， i = 4
开始 输入a, b, i
B． a = 4 ， i = 5 C． a = 3 ， i = 4 D． a = 3 ， i = 5
C． 4 9
D． 5 9
9．已知 O 为 ABC 的外接圆的圆心，且 3OA + 4OB = −5OC ，则 C 的值为
2020年沈阳市高中三年级教学质量监测(三)文科数学试卷答案
D1
B1
所以 B1C1 ⊥ BE ，
……2 分
A1
F
又 BE ⊥ EC1 ， B1C1 EC1 = C1 ，
E
C
且 EC1 平面 EB1C1 ， B1C1 平面 EB1C1 ，
D
B
所以 BE ⊥ 平面 EB1C1 ； 又因为 BE 平面 BCE ， 所以平面 CBE ⊥ 平面 EB1C1 ．
A ……4 分
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17-21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22-23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（本小题满分 12 分）
解：（1）当 n 2 时， an = Sn − Sn−1 = 2n −1+ p ，
……2 分
当 n = 1时， a1 = S1 = 1+ p ，也满足 an = 2n −1+ p ，
故 an = 2n −1+ p ．
……4 分
（2）∵ a4 ， a7 ， a12 成等比数列， a4a12 = a72 ，
∴ (7 + p)(23 + p) = (13 + p)2 ，∴ p = 2 ，
……6 分
（2）设长方体侧棱长为 2a ，则 AE = A1E = a ，
由（1）可得 EB1 ⊥ BE ；所以 EB12 + BE2 = BB12 ，即 2BE2 = BB12 ，
又 AB = 2 ，所以 2AE2 + 2AB2 = BB12 ，解得 a = 2 ．
……8 分
取 BB1 中点 F ，连结 EF ，因为 AE = A1E ，则 EF AB ，
辽宁省沈阳市2020届高三年级教学质量监测(三)数学(文科)试题 含答案
A． 2
B． −2
C． 4
D． −4
1
6．《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用
算法流程图表示如下，若输入 a = 15 ，
开始
b = 12 ， i = 0 则输出的结果为
输入a, b, i
A． a = 4 ， i = 4 B． a = 4 ， i = 5 C． a = 3 ， i = 4 D． a = 3， i = 5
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答， 在本试题卷上作答无效。 3.考试结束后，考生将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知集合 M = {x | (x −1)2 0}， N = {x | x 0}，则
=1+
an
2 an+1
，求数列{bn}的前
n
项和 Tn
．
18．（本小题满分 12 分）
某快餐连锁店，每天以每份 5 元的价格从总店购进早餐，然后以每份 10 元的价格出售，
当天不能出售的早餐立即以 1 元的价格被总店回收进行环保处理．该快餐连锁店记录了
100 天早餐的销售量（单位：份），整理得下表：
日销售量 25
30
35
40
45
50
频数
10
16
28
24
14
8
如果这个早餐店每天购入 40 份早餐，完成下列问题：
B． 内有两条相交直线与 平行
C． 内有无数个点到 的距离相等
2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟数学(文)试题(解析版)
2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}|21A x x =-<≤，{}|21xB x =≤，则A B I 等于（ ）A ．{}|21x x -<≤-B ．{}|21x x -<≤C ．{}|20x x -<≤D ．{}|10x x -<≤【答案】C【解析】解指数不等式可得集合B,跟交集运算即可求得A B I . 【详解】集合{}|21A x x =-<≤,{}|21xB x =≤可得{}|0B x x =≤ 则由集合交集运算可得{}{}{}|21|0|20A B x x x x x x =-<≤≤=-<≤I I故选:C 【点睛】本题考查了集合交集的简单运算,属于基础题.2．如图，在复平面中，复数1z 、2z 分别对应点A 、B ，则12z z ⋅=（ ）A ．55iB ．25+5iC ．3i -D ．43i +【答案】A【解析】根据复平面内的点坐标,可得复数1z 、2z .结合复数的模及共轭复数的定义,即可求得12z z ⋅. 【详解】由图可知, ()1,2A -、()2,1B因为复数1z 、2z 分别对应点A 、B 则112z i =-+,22z i =+由复数模的求法及共轭复数定义可知1z ==,22z i =-则)122z z i ⋅-= 故选:A 【点睛】本题考查了复数的几何意义与坐标表示,复数模的求法及共轭复数的定义,属于基础题.3．已知1e u r ，2e u u r为单位向量，且满足()12220e e e +⋅=u r u u r u u r ，则12,e e =u r u u r （ ）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】C【解析】根据平面向量的数量积定义及乘法运算,即可求得12,e e u r u u r【详解】因为()12220e e e +⋅=u r u u r u u r则212220e e e ⋅+=u r u u r u u r由向量数量积的定义可得2121222cos ,0e e e e e ⋅+=u r u u r u r u u r u u r1e u r ,2e u u r为单位向量 则122cos ,10e e +=u r u u r即121cos ,2e e =-u r u u r由向量夹角的取值范围为[]0π，可得12,120e e =ou r u u r故选:C 【点睛】本题考查了向量数量积的定义,向量的夹角求法,属于基础题.4．已知圆C 的方程为226290x y x y +-++=，点M 在直线10x y +-=上，则圆心C 到点M 的最小距离为（ ）A ．2B ．2C D ．12【答案】C【解析】先由圆的方程，得到圆心坐标，根据点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，即可得出结果. 【详解】因为圆C 的方程为226290x y x y +-++=，所以其圆心坐标为(3,1)C -， 又M 在直线10x y +-=上，所以求圆心C 到点M 的最小距离，即是求圆心C 到直线10x y +-=的距离d ，由点到直线距离公式可得：2d ==故选C 【点睛】本题主要考查圆心到直线上一点距离的最值问题，熟记点到直线距离公式即可，属于常考题型.5．等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“34a a <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】根据等比数列的通项公式,结合充分必要条件的判断即可得解. 【详解】因为{}n a 为等比数列,10a >若13a a <,即211a a q <,可得21q <解得1q <或1q <-.则233141,a a q a a q ==当1q <时, 34a a <;当1q <-时, 34a a >,所以“13a a <”是“34a a <”非充分条件若34a a <,则233141,a a q a a q ==,即2311a q a q <,解得1q < 故2131a a a q <=,所以“13a a <”是“34a a <”的必要条件综上可知, “13a a <”是“34a a <”的必要不充分条件 故选:B 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的简单应用,充分必要条件的判断,属于基础题.6．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+>⎪⎝⎭的两个相邻的对称轴之间的距离为2π，为了得到函数()sin g x x ω=的图象，只需将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度【答案】D【解析】先由函数()f x 的两个相邻的对称轴之间的距离为2π，得到周期，求出ω，再由平移原则，即可得出结果. 【详解】因为函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的两个相邻的对称轴之间的距离为2π， 所以()f x 的最小正周期为T π=，因此22Tπω==， 所以()sin 2sin 2612f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，为了得到函数()sin 2g x x =的图象，只需将()sin 212f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位长度. 故选D 【点睛】本题主要考查三角函数的性质，以及三角函数的平移问题，熟记三角函数的平移原则即可，属于常考题型.7．已知2a =112b⎛⎫> ⎪⎝⎭，12log 1c >，则（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】C【解析】根据指数与对数的转化,结合指数与对数的图像与性质,即可比较大小.因为2a =由指数与对数的转化可知,2log a =根据对数函数的图像与性质可得221log log 2a =>=因为112b⎛⎫> ⎪⎝⎭,由指数函数的图像可知0b < 因为12log 1c >,由对数函数的图像与性质可知102c <<综上可知, a c b >> 故选:C 【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,指数函数与对数函数的图像与性质,属于基础题.8．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）A ．若m αP ，m βP ，n α∥，n β∥，则αβPB ．若m n ∥，m α⊥，n β⊥，则αβPC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m αP ，n β⊥，则αβ⊥ 【答案】B【解析】根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果. 【详解】A 选项，若m αP ，m βP ，n α∥，n β∥，则αβP 或α与β相交；故A 错；B 选项，若m n ∥，m α⊥，则n α⊥，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβP ，故B 正确；C 选项，若m n ⊥，m α⊂，则n α⊂或n α∥或n 与α相交，又n β⊂，,αβ是两个不重合的平面，则αβP 或α与β相交；故C 错；D 选项，若m n ⊥，m αP ，则n α⊂或n α∥或n 与α相交，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβP 或α与β相交；故D 错； 故选B 【点睛】本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常9．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x 与数学成绩y 进行数据收集如下：由样本中样本数据求得回归直线方程为y bx a =+，则点(),a b 与直线18100x y +=的位置关系是（ ） A ．18100a b +< B ．18100a b +>C ．18100a b +=D ．18a b +与100的大小无法确定【答案】B【解析】分析：由样本数据可得,x y ，利用公式，求出b ，a ，点（a ，b ）代入x+18y ，求出值与100比较即可得到选项． 详解：由题意，15x =（15+16+18+19+22）=18，15y =（102+98+115+115+120）=110，519993,i ii x y==∑，5x y ⋅=9900，521i i x =∑=1650，n 2()x =5•324=1620，∴b=9993990016501620--=3.1，∴a=110﹣3.1×18=54.2， ∵点（a ，b ）代入x+18y ， ∴54.2+18×3.1=110＞100． 即a+18b ＞100.故答案为：B点睛：本题主要考查回归直线方程的求法，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和运算能力. 10．设3sin ,0()1,0x x x f x x x -<⎧=⎨+≥⎩，则函数()f x A ．有极值 B ．有零点C ．是奇函数D ．是增函数【答案】D【解析】分析：由x ＜0，求得导数判断符号，可得单调性；再由三次函数的单调性，可得x≥0的单调性，即可判断正确结论．详解：由x ＜0，f （x ）=x ﹣sinx ，导数为f′（x ）=1﹣cosx ，且f′（x ）≥0，f （x ）递增，f （x ）＞0； 又x≥0，f （x ）=x 3+1递增，且f （0）=1＞0﹣sin0， 故f （x ）在R 上递增；f （x ）无极值和无零点，且不为奇函数. 故答案为：D点睛：本题考查函数的单调性的判断和运用，考查函数的零点判断和奇偶性的判断.11．已知1F ，2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，直线y =与双曲线C 的一个交点P 在以线段12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．4+B ．5+C 1D 2【答案】C【解析】先由题意得到12PF PF ⊥，不妨令P 在第一象限内，再得到2POF ∆为等边三角形，求出2PF c =，1PF =，结合双曲线的定义，即可求出结果. 【详解】因为直线y =与双曲线C 的一个交点P 在以线段12F F 为直径的圆上， 所以12PF PF ⊥，不妨令P 在第一象限内， 又O 为12F F 中点，12(c,0),(,0)F F c -，所以1212OP F F c ==，因为直线y =的倾斜角为260POF ∠=o，所以2POF ∆为等边三角形，所以2PF c =，因此，在12Rt PF F ∆中，1PF ==，由双曲线的定义可得：212PF PF c a -=-=，所以双曲线C 的离心率为1c e a ===. 故选C 【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质以及双曲线的定义即可，属于常考题型.12．已知函数1()2x a f x e ax x x⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，若对任意(0,)x ∈+∞，都有()()f x xf x '≥-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3,2e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦ B ．(,-?C ．3,2e 轹÷-+?ê÷ê滕 D ．)é-+?êë【答案】D【解析】先令2()()(21)xg x xf x x e ax a ==-+-，根据题中条件得到()()()0g x f x xf x ''=+≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，转化为(21)122x x x e a e x x +⎛⎫-≤=+ ⎪⎝⎭在(0,)x ∈+∞上恒成立；令1()2x h x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(0,)x ∈+∞，用导数的方法求出1()2x h x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭最小值，即可得出结果.【详解】令2()()(21)xg x xf x x e ax a ==-+-， 则()()()g x f x xf x ''=+，因为对任意(0,)x ∈+∞，都有()()f x xf x '≥-成立， 所以()()()0g x f x xf x ''=+≥在(0,)x ∈+∞上恒成立； 即()(21)20xg x x e ax '=++≥在(0,)x ∈+∞上恒成立；即(21)122x x x e a e x x +⎛⎫-≤=+ ⎪⎝⎭在(0,)x ∈+∞上恒成立； 令1()2xh x e x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，(0,)x ∈+∞， 则22211(21)()2x x xx x h x e e e x x x +-⎛⎫'=-++= ⎪⎝⎭， 由()0h x '=得2210x x +-=，解得1x =-（舍）或12x =， 所以，当102x <<时，22(21)()0xx x h x e x +-'=<，1()2x h x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减； 当12x >时，22(21)()0xx x h x e x+-'=<，1()2x h x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增；所以min 1()2h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭因为(21)122x x x e a e x x +⎛⎫-≤=+ ⎪⎝⎭在(0,)x ∈+∞上恒成立，所以只需2a -≤a ≥-故选D 【点睛】本题主要考查导数的应用，根据导数的单调性求参数的问题，通常需要用导数的方法研究函数的单调性、最值等，属于常考题型.二、填空题13．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，若当[]0,1x ∈时，()()1f x x x =-，则()2.5f -=______．【答案】0.25-【解析】根据函数的奇偶性和周期性，求出()()2.50.5f f -=-，求出函数值即可． 【详解】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，∴()()()()2.5 2.520.50.5f f f f -=-+=-=-.当[]0,1x ∈时，()()1f x x x =-，∴()()0.50.510.50.25f =⨯-= ，∴()2.50.25f -=-.故答案为：0.25- 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和周期性的应用，考查函数求值，属于基础题． 14．曲线sin y x x =在点(),0π处的切线方程为___________.【答案】2y x ππ=-+【解析】根据导数的几何意义,先求得在点(),0π处的切线的斜率.进而结合点斜式即可求得切线方程. 【详解】曲线sin y x x =则()()''sin sin 'sin cos y x x x x x x x =+=+ 所以在点(),0π处的切线的斜率为sin cos k ππππ=+=-由点斜式可得()2y x x ππππ=--=-+故答案为: 2y x ππ=-+【点睛】本题考查了导数的几何意义,直线方程的点斜式应用,属于基础题.15．已知a 、b 、c 分别是ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，1cos 2a Bbc +=，则角A 的大小为___________. 【答案】3π 【解析】根据正弦定理,将表达式转化为角的表达式,由三角形内角的定理,化简即可求得角A . 【详解】因为a 、b 、c 分别是ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边,1cos 2a Bbc += 由正弦定理可得1sin cos sin sin 2A B B C += 因为sin sin()C A B =+ 展开化简可得1sin cos sin sin cos sin cos 2A B B A B B A +=+ 即1sin sin cos 2B B A = 因为三角形中sin 0B ≠ 则1cos 2A = 解得3A π=故答案为:3π 【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的简单应用,属于基础题.16．已知边长为ABCD 的顶点都在同一个球面上，若3BAD π∠=，平面ABD ⊥平面CBD ，则该球的球面面积为___________. 【答案】20π【解析】根据题意,画出空间几何图形.由几何关系,找出球心.由勾股定理解方程即可求得球的半径,进而得球的面积. 【详解】根据题意, G 为底面等边三角形CBD 的重心,作OG ⊥底面CBD .作AE BD ⊥交BD 于E ,过O 作OF AE ⊥交AE 于F .连接,AO OC 画出空间几何图形如下图所示:因为等边三角形CBD 与等边三角形ABD 的边长为3且3BAD π∠=所以23sin33AE CE π===G 为底面等边三角形CBD 的重心,则113133EG CE ==⨯=,2GC = 面ABD ⊥平面CBD因而四边形OGEF 为矩形,设OG h =,则EF h =,球的半径为r 在Rt AFO ∆和Rt OGC ∆中()222222312h r h r⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩解得15h r =⎧⎪⎨=⎪⎩所以球的表面积为2244520S r πππ==⨯=故答案为: 20π 【点睛】本题考查了空间几何体的结构特征,三棱锥外接球的半径与表面积求法,属于中档题.三、解答题17．等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，D 为AC 的中点，正方形11BCC B 与三角形ABC 所在的平面互相垂直．（Ⅰ）求证：1AB //平面1DBC ；（Ⅱ）若2AB =，求点D 到平面1ABC 的距离． 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）63. 【解析】（Ⅰ）连1B C , 1B C 交1BC 于O ,连OD ,由中位线定理即可证明1AB ∥平面1DBC .（Ⅱ）根据11D ABC C ABD V V --=,由等体积法即可求得点D 到平面1ABC 的距离. 【详解】（Ⅰ）连1B C ,设1B C 交1BC 于O ,连OD ,如下图所示:因为O 为1B C 的中点,D 为AC 的中点, 则1//OD ABOD ⊂面1BDC ,1AB ⊂/面1BDC 所以1AB ∥平面1DBC（Ⅱ）因为等腰直角三角形ABC 中,90BAC ∠=︒ 则BA AC ⊥,又因为1BA CC ⊥ 所以BA ⊥平面1ACC 则1BA AC ⊥设点D 到平面1ABC 的距离为h . 由11D ABC C ABD V V --=,代入可得11121332h ⨯=⨯⨯⨯⨯解得h =. 【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定,等体积法求点到平面距离的方法,属于基础题. 18．国家学生体质健康测试专家组到某学校进行测试抽查，在高三年级随机抽取100名男生参加实心球投掷测试，测得实心球投掷距离（均在5至15米之内）的频数分布表如下（单位：米）：规定：实心球投掷距离在[)9,13之内时，测试成绩为“良好”，以各组数据的中间值代表这组数据的平均值ξ，将频率视为概率.（1）求ξ，并估算该校高三年级男生实心球投掷测试成绩为“良好”的百分比. （2）现在从实心球投掷距离在[)5,7，[)13,15之内的男生中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人参加提高体能的训练，求：在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在[)5,7内的概率.【答案】（1）平均值9.77ξ=，百分比62％；（2）0.6【解析】（1）根据平均值的定义和古典概型的概率分别求解即可；（2）先按分层抽样的方法抽取5人，再利用组合知识计算从这5名学生中选出2人的方法种数，代入古典概型概率公式计算即可. 【详解】（1）根据平均值的定义得92340226681012149.77100100100100100ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 因为实心球投掷距离在[)9,13之内时，测试成绩为“良好”，所以40220.6262100+==％.（2）实心球投掷距离在[)5,7，[)13,15之内的男生分别有9，6人，用分层抽样的方法抽取5人，则分别抽取3，2人.从这5人中随机抽取3人参加提高体能的训练的总数为3510C =，在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在[)5,7的总数为21326C C =，所以在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在[)5,7内的概率为60.610p ==. 【点睛】本题考查了平均值的计算，古典概型概率的求法，组合数计算公式，分层抽样方法的利用，属于基础题.19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足312S =，且124,,a a a 成等比数列. （1）求n a 及n S ；（2）设2na n n Sb n⋅=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】(1) 2n a n =；2n S n n =+；（2）1(32)489n n n T ++⋅-=【解析】（1）先设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题中条件列出方程组，求出首项和公差，结合公式即可求出结果；（2）先由（1）得到(1)4n nb n =+⋅，再由错位相减法，即可求出结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为312S =，且124,,a a a 成等比数列，所以有322214312S a a a a ==⎧⎨=⎩，即121114()(3)a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩，解得12a d ==， 所以1(1)2n a a n d n =+-=；21()2n n n a a S n n +==+； （2）由（1）可得22(1)2(1)4n a nn n n S n n b n n n⋅+⋅===+⋅，因为数列{}n b 的前n 项和为n T ，所以23123...243444...(1)4n n n T b b b b n =++++=⋅+⋅+⋅+++⋅， 因此，23414243444...(1)4n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅，两式作差得2341324444...4(1)4n n n T n +-=⋅+++++-+⋅，整理得1(32)489n n n T ++⋅-=. 【点睛】本题主要考查等差数列，以及数列的求和，熟记等差数列的通项公式、求和公式，以及错位相减法求数列的和即可，属于常考题型. 20．已知函数()()211e xa x x f x ---=（e 为自然对数的底数）. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求证：当3e a ≥-时，对[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥-. 【答案】（1）见详解；（2）见详解.【解析】(1)求出函数()f x 的导数，根据其正负讨论单调性，需按a 与1的大小分类讨论.(2)要证()1f x ≥-，即证()min 1f x ≥-，结合(1)中的单调性对()f x 的最小值进行分析即可. 【详解】（1）()()21exx a x a f x -++'=()()1e x x x a --=，由()0f x '=得1x =或x a =. 当1a =时，()0f x '≥，函数()f x 在(),-∞+∞内单调递增.当1a <时，函数()f x 在(),a -∞，()1,+∞内单调递增，在(),1a 内单调递减. 当1a >时，函数()f x 在(),1-∞，(),a +∞内单调递增，在()1,a 内单调递减. （2）证明：要证[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥-，即证[)0,x ∈+∞，()min 1f x ≥-. ①由（1）可知，当1a >，[)0,x ∈+∞时，()()(){}min min 0,f x f f a =.(0)1f =-，()1e aa f a --=. 设()1e a a g a --=，1a >，则()0eaag a '=>， ()g a ∴在()1,+∞单调递增，故()()211e g a g >=->-，即()1f a >-.∴()min =1f x -.②当1a =时，函数()f x 在[)0,+∞单调递增，()()min 01f x f ==-.③当3e 1a -≤<时，由（1）可知，[)0x ∈+∞，时，()()(){}min min 0,1f x f f =. 又()01f =-Q ，()()3e 3311e ea f ---=≥=-， ()min 1f x ∴=-.综上，当3e a ≥-时，对[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥-. 【点睛】本题考查函数与导数的综合问题，考查分类讨论的数学思想方法.根据含参函数的导数符号求单调性时，往往需要按根的存在性、根的大小进行分类讨论.不等式的恒成立问题，往往通过转化为最值问题来求解.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，与x 轴负半轴交于()2,0A -，离心率12e =（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，连接AM ，AN 并延长交直线4x =于()33,E x y ，()44,F x y 两点，若12341111y y y y +=+，求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标。
2020年辽宁省沈阳市高考数学三模试卷(文科) (解析版)
2020年辽宁省沈阳市高考数学三模试卷(文科)一、选择题（本大题共13小题，共60.0分）1.若集合M={x|−1≤x≤1}，N={y|y=x2(−1≤x≤1)}，则()A. M=NB. M⊆NC. N⊆MD. M∩N=⌀2.已知复数z=(a−1)+i，若z是纯虚数，则实数a等于()A. 2B. −1C. 0D. 13.已知p:|x+1|≤4，q:x2<5x−6，则p是q成立的()A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件4.函数f(x)=2cos2ωx−sin2ωx+2(ω>0)的最小正周期为π，则ω=()A. 32B. 2 C. 1 D. 125.A(√2,1)为抛物线x2=2py(p>0)上一点，则A到其焦点F的距离为()A. 32B. √2+12C. 2D. √2+16.如图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，8，0 时，则输出的i=()A. 6B. 5C. 4D. 37.函数f(x)=e−x−e xx2的图象大致为()A. B. C. D.8. 被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比m =√5−12的近似值，黄金分割比还可以表示成，则 A. 4 B. √5+1 C. 2 D. √5−19. 设α，β为两个平面，则α//β的等价条件是( )A. α内有无数条直线与β平行B. α内有两条相交直线与β平行C. α，β平行于同一条直线D. α，β垂直于同一平面10. 已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是两个单位向量，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.若点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30∘，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R)，则m n =( ) A. 13 B. 3 C. √33 D. √311. 如图e 1，e 2为互相垂直的两个单位向量，则|a +b|=( )．A. 4√2B. 2√10C. 2√13D. 2√15 12. 已知双曲线C ：x 212−y 24=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为P ，Q ，若△POQ 为直角三角形，则|PQ|=( )A. 2B. 4C. 6D. 813. 函数f(x)满足f(x)=f(−x)，f(x)=f(2−x)，当x ∈[0,1]时，f(x)=x 2，过点P(0,−94)且斜率为k 的直线与f(x)在区间[0,4]上的图象恰好有3个交点，则k 的取值范围为( )A. (1,1312)B. [1,1312]C. [2,3]D. (2,3)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）14. 从8名女生和4名男生中抽取3名学生参加某娱乐节目，若按性别进行分层抽样，则不同的抽取方法数为______．15. 一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积为______．16. 过原点作曲线y =lnx 的切线，则切点为______．17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A ，sin B ，sin C 依次成等比数列，c =2a 且BA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =24，则△ABC 的面积是________． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）18. 已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 1=2，且a 2，a 3，a 4+1成等比数列．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n =2n⋅(an +2)，求数列{b n }的前n 项和S n ．19. 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n ∈N)的函数解析式．(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．(i)若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差．(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由．20.如图，三棱锥P−ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA．(Ⅰ)求证：平面PAC⊥平面BEF；(Ⅱ)三棱锥A−BFC的体积．21. 若椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(1,32)，离心率为12.过椭圆C 的左焦点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点．(1)求实数a 、b 的值；(2)若AB =72，求直线AB 的方程．22. 求函数f(x)=6−12x +x 3的极值．23. 在极坐标系中，射线l ：θ=π6与圆C ：ρ=2交于点A ，椭圆Г的方程为ρ2=31+2sin 2θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ．(Ⅰ)求点A 的直角坐标和椭圆Г的参数方程；(Ⅱ)若E 为椭圆Г的下顶点，F 为椭圆Г上任意一点，求AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．24.已知函数f(x)=x2+2|x−1|．(1)求不等式f(x)>|2x|的解集；x(2)若f(x)的最小值为N，且a+b+c=N，(a,b，c∈R).求证：√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥√2．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵集合M={x|−1≤x≤1}，N={y|y=x2(−1≤x≤1)}={y|0≤y≤1}，∴N⊆M．故选：C．先求出集合M={x|−1≤x≤1}，N={y|y=x2(−1≤x≤1)}={y|0≤y≤1}，由此能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查集合与集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：D解析：解：∵复数z=(a−1)+i是纯虚数，∴a−1=0，解得a=1．故选：D．利用纯虚数的定义即可得出．本题考查了纯虚数的定义，属于基础题．3.答案：A解析：p:|x+1|≤4，∴−5≤x≤3，q:x2<5x−6，∴2<x<3，则p是q成立的必要不充分条件4.答案：C解析：本题主要考查三角恒函数的图像和性质，属于基础题．利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用其最小正周期即可得．解：∵f(x)=2cos2ωx−sin2ωx+2=32cos2ωx+52(ω>0)，。
2020年沈阳市三模文数试题
绝密★启用前2020年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）数学(文科)学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|(1)0}M x x =-≤，{|0}N x x =>，则 A ．N M ⊆B ．M N ⊆C ．M N =∅ID ．M N =R U2．已知a 为实数，若复数2(1)(1)i z a a =-++为纯虚数，则复数z 的虚部为 A ．1B ．2iC ．1±D ．23．已知条件p ：0a b >>，条件q ：11a b a>-，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()|cos |f x x x ωω=-（0ω>）的最小正周期为π，则ω= A ．1B ．2C ．12D ．45．已知抛物线22x py =上一点(,1)A m 到其焦点的距离为p ，则p = A ．2B ．2-C ．4D ．4-6．《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用算法流程图表示如下，若输入15a =，12b =，0i =则输出的结果为A ．4a =，4i =B ．4a =，5i =C ．3a =，4i =D ．3a =，5i =7．函数2e 1()(1ln )e 1x x f x x -=-⋅+的图象大致为ABCD8．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比m =的近似值，黄金分割比还可以表示为2sin18︒= A ．4B1C ．2D19．设,αβ为两个不重合的平面，能使αβP 成立的是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α内有无数个点到β的距离相等D ．,αβ垂直于同一平面10．已知O 为ABC ∆的外接圆的圆心，且345OA OB OC +=-u u u r u u u r u u u r，则C ∠的值为A ．4π B ．2π C ．6π D ．12π11．已知双曲线C ：22221x y a b-=（,0a b >）的离心率为233，O 为坐标原点，过右焦点F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ，且△OMN 为直角三角形，若33ONM S =，则C 的方程为 A ．221124x y -= B ．22162x y -= C ．2213x y -= D ．22126x y --= 12．已知函数3()4f x x x =-，过点(2,0)A -的直线l 与()f x 的图象有三个不同的交点，则直线l 斜率的取值范围为 A ．(1,8)-B ．(1,8)(8,)-+∞UC ．(2,8)(8,)-+∞UD ．(1,)-+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某高校有10000名学生，其中女生3000名，男生7000名．为调查爱好体育运动是否与性别有关，用分层抽样的方法抽取120名学生，制成独立性检验的22⨯列表如下，则a b -=＿＿＿＿＿＿＿＿．（用数字作答）男女 合计 爱好体育运动 a9#### 不爱好体育运动 28 b#### 合计########120为14圆周，则该几何体的侧面积为＿＿＿＿＿＿＿＿． 15．过点(0,1)-作曲线()ln f x x =（0x >）的切线，则切点坐标为＿＿＿＿＿＿＿＿．16．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设△ABC的面积为S ，若2224sin sin s 3n +2i A B C =，且2b c =，则SAB AC=⋅u u u r u u u r ＿＿＿＿＿＿＿＿．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n pn =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知4712,,a a a 成等比数列，求p 值； （3）若121n n n b a a +=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）某快餐连锁店，每天以每份5元的价格从总店购进早餐，然后以每份10元的价格出售，当天不能出售的早餐立即以1元的价格被总店回收进行环保处理．该快餐连锁店记录了100天早餐的销售量（单位：份），整理得下表：（1）写出每天获得利润y 与销售早餐份数x （x ∈N ）的函数关系式； （2）估计每天利润不低于150元的概率； （3）估计该快餐店每天的平均利润．。
2020年辽宁省沈阳市第七十三高级中学高三数学文联考试卷含解析
2020年辽宁省沈阳市第七十三高级中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若向量的夹角为，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.参考答案：A2. f（x）=则f[f（）]=（）A．﹣2 B．﹣3 C．9 D．参考答案：C【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数的意义求出，即可得出．【解答】解：∵f（x）=，∴==﹣2．∴f[f（）]=f（﹣2）==9．故选：C．【点评】本题考查了分段函数的性质，属于基础题．3. 对实数，定义运算“”：设函数若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．参考答案：A4. 已知i是虚数单位，（1+2i）z1=﹣1+3i，，z1、z2在复平面上对应的点分别为A、B，则|AB|=（）A．31 B．33 C．D．参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简z1，z2，求出z1、z2在复平面上对应的点的坐标A、B，则答案可求．【解答】解：∵（1+2i）z1=﹣1+3i，∴z1===1+i，∵，∴z2=1+（2i）5=1+32i，∴z1、z2在复平面上对应的点的坐标分别为A（1，1）、B（1，32），则|AB|=．故选：A．5. 如图，地在地的正东方向处，地在地的北偏东30°方向处，河流的没岸（曲线）上任意一点到的距离比到的距离远现要在曲线上选一处建一座码头，向、C两地转运货物.经测算，从到、到修建公路的费用分别是万元/km、万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（）A．(2－2)a万 B．5a万元C．(2+1) a万元 D .(2+3) a万元参考答案：【知识点】双曲线的几何性质 H6Ｂ依题意知曲线是以、为焦点、实轴长为2的双曲线的一支（以为焦点），此双曲线的离心率为2，以直线为轴、的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为，点的坐标为，则修建这条公路的总费用设点、在右准线上射影分别为点，根据双曲线的定义有，所以，当且仅当点在线段上时取等号，故的最小值是.故选择Ｂ.【思路点拨】依题意知曲线是双曲线的方程为的一支，点的坐标为，则修建这条公路的总费用根据双曲线的定义有，所以.6. 若的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等，则直线与曲线围成的封闭区域面积为A . B. 12 C. D．36参考答案：C 略7. 设方程和方程的根分别为，若函数，则A. B.C. D.参考答案：B8. 若原点到直线的距离等于的半焦距的最小值为（）A．2 B．3 C．5 D．6参考答案：D略9. 某零件的正视图与侧视图均是如图所示的图形（实线组成半径为2cm的半圆，虚线是底边上高为1cm的等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为2cm的圆（包括圆心），则该零件的体积是（）A．B．C．4πcm3 D．参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由三视图可知该零件为半球挖去一个同底的圆锥，由此能求出该零件的体积．【解答】解：由三视图可知该零件为半球挖去一个同底的圆锥，所以该零件的体积为：（cm3）．故选：C．10. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A．2+B．4+C．2+2D．5参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据三视图可判断直观图为：A⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．S△BCO=2×=．故该三棱锥的表面积是2，故选：C．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设向量，满足||=2，||=|+|=3，则|+2|= ．参考答案：4【考点】向量的模．【分析】分别求出，的模，求出2?的值，从而求出|+2|的值即可．【解答】解：∵||=2，||=|+|=3，∴=4， =9，∴+2?+=9，故2?=﹣4，故+4?+4=4+36﹣8=32，故|+2|=4，故答案为：4．12.设是的展开式中含项的系数,则_______.答案：1713. 已知幂函数f (x )的图像经过点(2,)，则f (4)的值为.参考答案：2设幂函数，∵幂函数f （x ）的图象经过点 ，∴，∴，故．即答案为2．14. 已知曲线C 的参数方程为(为参数),则曲线C 上的点到直线的距离的最大值为_________.参考答案：15. 已知 。
辽宁省沈阳市2020届高三数学教学质量监测试题三文含解析
A.a＝4，i＝4B.a＝4，i＝5C.a＝3，i＝4D.a＝3，i＝5
【答案】D
【解析】
【分析】
由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前a，b，i的值，即可得到结论．
【详解】解：模拟执行程序框图，输入a＝15，b＝12，i＝0，
i＝0+1＝1，a＞b，a＝15﹣12＝3，
i＝1+1＝2，a＜b，b＝12﹣3＝9，
（一）必考题：共60分．
17.已知数列 的前 项和 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）已知 成等比数列，求 值；
（3）若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】
【分析】
（1）利用 求数列 的通项公式；
（2）由 成等比数列，得 ，然后把（1）得到的通项代入可求出 的值；
【解析】
【分析】
（1）由 平面 得 ，从而结合已知证得线面垂直后可得面面垂直；
（2）由 是 的中点，得 ，从而可求得 的长，取 中点 ，连结 ，可证 平面 ，这样由 可得体积．
【详解】
解：（1）在长方体 中，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ， ，
且 面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
又因为 平面 ，
（3）将（1）得到的 代入 可得数列 的通项，然后利用裂项相消法可求出 .
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【答案】D
【解析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前a，b，i的值，即可得到结论．
【详解】
解：模拟执行程序框图，输入a＝15，b＝12，i＝0，
i＝0+1＝1，a＞b，a＝15﹣12＝3，
i＝1+1＝2，a＜b，b＝12﹣3＝9，
但 与 可相交于 ，故C不一定能使 成立；
对D，如图 ，但 与 可相交于 ，故D不一定能使 成立；
故选：B.
【点睛】
本题考查了对面面平行的理解与Fra bibliotek定，属于基础题.
10．已知 为 的外接圆的圆心，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意首先结合平面向量数量积的运算法则确定 的大小，然后建立平面直角坐标系，结合向量的运算法则求得 的值即可确定 的值.
【详解】
由题意可得： ，且 ，
，
，∴∠AOB=90°.
如图所示，建立平面直角坐标系，设 ， ，
由 可知： ，则：
， ， ，
则 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查平面向量的运算法则，向量垂直的充分必要条件，由平面向量求解角度值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11．已知双曲线 的离心率为 ， 为坐标原点，过右焦点 的直线与 的两条渐近线的交点分别为 、 ，且 为直角三角形，若 ，则 的方程为（）
【解析】先求函数的定义域，再判断其奇偶性，然后取特殊值即可得答案.
【详解】
解：函数 的定义域为 ，
因为
所以 为奇函数，因此排除A,C
因为 ，所以排除B
故选：D
【点睛】
此题考查函数图像的识别，主要利用了函数的奇偶性和取特殊值进行判断，属于基础题.
8．数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比 的近似值,黄金分割比还可以表示成 ,则 ( ).
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据不等式的性质和充分必要条件的定义判断．
【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，充分性成立，
若 ， ，则 ， ，但不满足 ，必要性不成立
因此 是 的充分不必要条件．
故选：A．
【点睛】
本题考查充分必要条件的判断，掌握不等式的性质是解题关键．
4．已知函数 （ ）的最小正周期为 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据复数 为纯虚数，列方程求出 的值，进而可得复数 的虚部.
【详解】
由已知 ，解得 ，故 ，其虚部为 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的概念，注意纯虚数为实部为0，虚部不为0，是基础题.
3．已知条件 ： ，条件 ： ，则 是 的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
2020届辽宁省沈阳市高三三模数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先求出集合M，再比较两个集合之间的关系即可得答案.
【详解】
解：由 ，得 ，所以集合 ，
因为 ，所以 ，
故选：B
【点睛】
此题考查两个集间的关系，属于基础题.
2．已知 为实数，若复数 为纯虚数，则复数 的虚部为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】可以把绝对值符号里面式子化为一个角的一个三角函数形式，然后计算周期可求得 ．
【详解】
由已知 ，
∴ ， ，
故选：A．
【点睛】
本题考查求函数的周期，对于 或 ， 的周期是 周期的一半，但若 ， 的周期与 的周期相同．
5．已知抛物线 上一点 到其焦点的距离为 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用双曲线的离心率得出 ，可得 ， ，由 为直角三角形可得出直线 的方程，求出点 的坐标，可得出 、 ，再由 可求得 、 的值，进而可得出双曲线 的方程.
【详解】
由于双曲线 的离心率为 ， ，可得 ， ，
设点 、 分别为直线 、 上的点，且 ，
则直线 的方程为 ，联立 ，解得 ，
C． 内有无数个点到 的距离相等D． 垂直于同一平面
【答案】B
【解析】
当 时，可使ACD的条件也满足，只有B能使 成立.
【详解】
如图所示：
对A， 内有无数条直线可平行于 ，即有无数条直线与 平行，但 与 可相交于 ，
故A不一定能使 成立；
对C，在 内有一条直线平 ，则在 内有无数个点到 的距离相等，
【解析】设直线 的斜率为 ，方程为 ，由题意可得 有三个不等的实根，显然 是其中的一个根，则 有两个不等的实根，且 ，由判别式大于 ，可得所求范围．
【详解】
函数 ，可得 ，
设直线l的斜率为 ，方程为 ，
由题意可得 有三个不等的实根，
i＝2+1＝3，a＜b，b＝9﹣3＝6，
i＝3+1＝4，a＜b，b＝6﹣3＝3，
i＝4+1＝5，a＝b＝3，输出a＝3，i＝5，
故选：D．
【点睛】
本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每一步，考查计算能力，属于中等题.
7．函数 的图象大致为（）
A． B．
C． D．
【答案】D
所以点 ，则 ，
易知 ， ，
所以， ，解得 ， ，
因此，双曲线 的方程为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查双曲线方程的求解，要结合题意得出关于 、 、 的方程组，考查计算能力，属于中等题.
12．已知函数 ，过点 的直线 与 的图象有三个不同的交点，则直线 斜率的取值范围为（）
A． B．
C． D．
【答案】B
A．4B． C．2D．
【答案】C
【解析】把 代入 中，然后结合同角三角函数基本关系式与倍角公式化简求值.
【详解】
解：由题可知 ，
所以 .
则
.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查同角三角函数基本关系式与倍角公式的应用，是基础题．
9．设 为两个不重合的平面，能使 成立的是（）
A． 内有无数条直线与 平行B． 内有两条相交直线与 平行
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据抛物线定义， 到焦点的距离等于其到准线的距离，代入数据即可求解.
【详解】
由抛物线的方程可得其准线方程为 ，
根据抛物线的定义可得 到焦点的距离等于其到准线的距离，
故 ，解得 ，
故选：A.
【点睛】
本题考查抛物线的定义及应用，属基础题.
6．《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用算法流程图表示如图，若输入a＝15，b＝12，i＝0，则输出的结果为（）