2019-2020年高一数学《函数的单调性与最大(小)值(1)》教学设计
2019-2020年高中数学 1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时教案精讲 新人教A版必修1
1.3 函数的基本性质2019-2020年高中数学 1．3.1 单调性与最大(小)值 第一课时教案精讲新人教A 版必修1[读教材·填要点]1．定义域为I 的函数f (x )的增减性2．函数的单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，就说函数y ＝f (x )在区间D 上具有(严格)的单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．[小问题·大思维]1．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若存在x 1，x 2∈(a ，b )，使得x 1＜x 2时有f (x 1)＜f (x 2)，那么f (x )在(a ，b )上为增函数，对吗？提示：不对，如函数f (x )＝x 2，(－1＜x ＜1)， 存在x 1＝－13，x 2＝12，显然x 1＜x 2，有f (x 1)＝19＜f (x 2)＝14，但f (x )＝x 2在(－1,1)上不是增函数．2．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若有无穷多对x 1，x 2∈(a ，b )使得x 1<x 2时有f (x 1)<f (x 2)，那么f (x )在(a ，b )上是增函数，对吗？提示：不对，如上述函数f (x )＝x 2(－1＜x ＜1)．3．画出函数y ＝1x的图象，你认为：若f (x )在区间A 上为减函数，在区间B 上也为减函数，则f (x )在A ∪B 上也为减函数，对吗？提示：不对，如函数f (x )＝1x(x ≠0)，在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上也为减函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上既不是增函数，也不是减函数．[例1] 求证：函数f (x )＝1x2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．[自主解答] 对于任意的x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝1x 21－1x 22＝x 22－x 21x 21x 22＝x 2－x 1x 2＋x 1x 21x 22∵x 1<x 2<0，∴x 2－x 1>0，x 1＋x 2<0，x 21x 22>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴函数f (x )＝1x2在(－∞，0)上是增函数．对于任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝x 2－x 1x 2＋x 1x 21x22.∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 2＋x 1>0，x 21x 22>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． ∴函数f (x )＝1x2在(0，＋∞)上是减函数．—————————————————— 利用定义证明函数单调性的步骤如下：取值：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2； 作差变形：作差f x 1－f x 2，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子；定号：确定fx 1－f x 2的符号；结论：根据f x 1－f x 2的符合及定义判断单调性.————————————————————————————————————————1．证明函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数． 证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 31＋x 1)－(x 32＋x 2)＝(x 31－x 32)＋(x 1－x 2) ＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22＋1) ＝(x 1－x 2)[(x 1＋12x 2)2＋34x 22＋1]．∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0. 又∵(x 1＋12x 2)2＋34x 22＋1>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在R 上是增函数．[例2] 画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象，并指出函数的单调区间． [自主解答] y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2＋4 x ，－x ＋2＋4x ＜，函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数， 函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．∴函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)． ——————————————————对于初等函数y ＝kx ＋b ，y ＝ax 2＋bx ＋c ，y ＝\f(k,x单调区间的确定，常借助于函数图象去探求，而且这些函数的单调区间作为常识性的内容，可以直接使用.对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数去处理其图象，借助于图象的变化趋势分析相应函数的单调性区间————————————————————————————————————————2．求函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －4|的单调递减区间． 解：f (x )＝|x ＋1|－|2x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5， x <－1，3x －3， －1≤x <2，5－x ， x ≥2.画出函数f (x )的图象如下图所示，函数f (x )的单调减区间是[2，＋∞)．[例3] 已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上单调，求实数a 的取值范围．[自主解答] 函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上分别单调，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上单调，只需a ≤1或a ≥2(其中当a ≤1时，函数f (x )在区间[1,2]上单调递增；当a ≥2时，函数f (x )在区间[1,2]上单调递减，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．“若函数单调增区间为[2，＋∞)，则a 为何值？” 解：∵f (x )开口向上，且函数单调增区间为[2，＋∞)， ∴对称轴x ＝a ＝2，即a ＝2.——————————————————已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参.(2)常见函数的单调性列表如下：(3)需注意若一函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．————————————————————————————————————————3．若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 是R 上的减函数，则a 的取值范围为________． 解析：∵f (x )＝(2a －1)x ＋b 为一次函数， ∴当2a －1<0即a <12时，f (x )是R 上的减函数．答案：(－∞，12)高手妙解题分！求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值．[巧思] 先求出函数的对称轴x ＝a ，分四种情况a <0,0≤a <1,1≤a <2，a ≥2时，讨论函数f (x )在区间[0,2]上的单调性，再结合图形，可分别求出相应的最小值和最大值．[妙解] ∵f (x )＝(x －a )2－1－a 2， 对称轴为直线x ＝a ， ①当a <0时，由图1可知f (x )min ＝f (0)＝－1， f (x )max ＝f (2)＝3－4a .②当0≤a <1时，由图2可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .③当1≤a <2时，由图3可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (0)＝－1；④当a ≥2时，由图4可知，f (x )min ＝f (2)＝3－4a ，f (x )max ＝f (0)＝－1.1．函数y ＝x 2＋x ＋1(x ∈R )的递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ B ．[－1，＋∞) C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12D ．(－∞，＋∞)解析：y ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34.其对称轴为x ＝－12，在对称轴左侧单调递减，∴x ≤－12时单调递减．答案：C2．函数f (x )＝|x |和g (x )＝x (2－x )的递增区间依次是( ) A ．(－∞，0]，(－∞，1] B ．(－∞，0]，[1，＋∞) C ．[0，＋∞)，(－∞，1]D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)解析：f (x )＝|x |的图象如图甲，g (x )＝x (2－x )＝－x 2＋2x＝－(x 2－2x ＋1)＋1＝－(x －1)2＋1的图象如图乙，易知选C . 答案：C3．已知函数y ＝ax 和y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f (x )＝bx ＋a 在R 上是( )A ．减函数且f (0)<0B ．增函数且f (0)<0C ．减函数且f (0)>0D ．增函数且f (0)>0解析：∵y ＝ax 和y ＝－b x在(0，＋∞)都是减函数， ∴a <0，b <0.f (x )＝bx ＋a 为减函数且f (0)＝a <0.答案：A4．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.解析：由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －a ，x <－a2，2x ＋a ，x ≥－a2.可得函数f (x )的单调递增区间为[－a2，＋∞)，故3＝－a2，解得a ＝－6.答案：－65．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1，则f (x )的递减区间是________．解析：∵分段函数当x ≥1时，f (x )＝2x ＋1为增函数，当x <1时，f (x )＝5－x 为减函数．答案：(－∞，1)6．已知f (x )＝x 2－1，试判断f (x )在[1，＋∞)上的单调性，并证明． 解：f (x )＝x 2－1在 [1，＋∞)上是增函数． 证明：任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝x 22－1－x 21－1 ＝x 22－x 21x 22－1＋x 21－1＝x 2－x 1x 2＋x 1x 22－1＋x 21－1∵1≤x 1＜x 2，∴x 2＋x 1＞0，x 2－x 1＞0，x 22－1＋x 21－1＞0.∴f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)． 故函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数．一、选择题1．下图中是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，则下列关于函数f (x )的说法错误的是( )A ．函数在区间[－5，－3]上单调递增B ．函数在区间[1,4]上单调递增C ．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D ．函数在区间[－5,5]上没有单调性解析：若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用∪连接．比如0＜5，但f (0)＞f (5)．答案：C2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )为增函数，当x ∈(－∞，－2]时，函数f (x )为减函数，则m 等于( )A ．－4B ．－8C ．8D ．无法确定解析：由题意可知x ＝－2是f (x )的对称轴，∴m4＝－2，m ＝－8.答案：B3．下列有关函数单调性的说法，不．正确的是( ) A ．若f (x )为增函数，g (x )为增函数，则f (x )＋g (x )为增函数 B ．若f (x )为减函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为减函数 C ．若f (x )为增函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为增函数 D ．若f (x )为减函数，g (x )为增函数，则f (x )－g (x )为减函数解析：∵若f (x )为增函数，g (x )为减函数， 则f (x )＋g (x )的增减性不确定． 例如f (x )＝x ＋2为R 上的增函数，当g (x )＝－12x 时，则f (x )＋g (x )＝x2＋2为增函数；当g (x )＝－3x ，则f (x )＋g (x )＝－2x ＋2在R 上为减函数．∴不能确定f (x )＋g (x )的单调性． 答案：C4．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x ＋1| B ．y ＝3－x C ．y ＝1x3D ．y ＝－x 2＋4解析：B 、C 、D 在(0,1)上均为减函数，只有A 项在(0,1)上是增函数． 答案：A 二、填空题5．已知函数f (x )为区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f (12)的实数x 的取值范围为________．解析：∵f (x )在[－1,1]上为增函数，且f (x )<f (12)．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1x <12，得－1≤x <12.答案：[－1，12)6．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得a ≤1，由g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数可得a ＞0.∴0＜a ≤1. 答案：(0,1]7．函数f (x )＝|2x －1|的递减区间是________． 解析：函数f (x )＝|2x －1|的图象如下所示：∴递减区间为(－∞，12]．答案：(－∞，12]8．函数f (x )＝－|x |在区间[a ，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝－|x |的图象为：观察图象可知a ≥0. 答案：[0，＋∞) 三、解答题9．证明函数f (x )＝－x 在定义域上是减函数． 证明：f (x )＝－x 的定义域为[0，＋∞)，设0≤x 1<x 2， 则x 1－x 2<0，且f (x 2)－f (x 1)＝(－x 2)－(－x 1)＝x 1－x 2 ＝x 1－x 2x 1＋x 2x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2.∵x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0，∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)．∴f (x )＝－x 在它的定义域[0，＋∞)上是减函数．10．函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x ，y ∈(0，＋∞)，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且f (4)＝5.(1)求f (2)的值； (2)解不等式f (m －2)≤3.解：(1)∵f (4)＝f (2＋2)＝2f (2)－1＝5，∴f (2)＝3. (2)由f (m －2)≤3，得f (m －2)≤f (2)． ∵f (x )是(0，＋∞)上的减函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥2，m －2＞0解得m ≥4.∴不等式的解集为{m |m ≥4}．。
人教课标版高中数学必修一《函数单调性与最大(小)值(第1课时)》教案-新版
1.3.1 第一课时函数的单调性一、教学目标（一）核心素养教材以一次函数、二次函数等初等函数图象为例，来推导一般函数图象的性质——单调性，体现了由特殊到一般，由形到数的思想，让学生在图象变化趋势的精细刻画中，体会数学逻辑推理的严谨性，再现数学知识的生成过程．在实际生活中函数模型的建立及函数性态研究，体现了数学服务于社会生活有着重要的作用，也对学生直观想象、逻辑推理、数学抽象及数学建模等数学核心素养的培育奠定基础．（二）学习目标1．帮助学生通过函数图象理解增函数、减函数及其几何意义．2．数形结合的思想探究函数图象与函数单调性的本质联系．3．函数单调性的判定及证明．（三）学习重点1．理解函数单调性．2．函数单调性的判定及证明．（四）学习难点函数单调性的判定及证明．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务一般地，设函数()f x的定义域为I:,x x，当______时，都有（1）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12______，那么就说函数()f x在区间D上是_____函数（increasing function）（图（1））．【答案】12x x <;12()()f x f x <;增（或 12x x >;12()()f x f x >;增）．（2）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当______时，都有______，那么就说函数()f x 在区间D 上是_____函数（decreasing function ）（图（2））． 【答案】12x x <;12()()f x f x >;减（或 12x x >;12()()f x f x <;减）．（3）如果对于定义域I 内某个区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）______，区间D 叫做函数()y f x =的______. 【答案】单调性;单调区间． 2．预习自测（1）作函数2y x =-的图象，并指出单调增区间_______;单调减区间______ ． 【答案】(,0)-∞;(0,)+∞． (二)课堂设计 1.知识回顾（1）函数的定义，求函数的定义域、解析式、值域． （2）函数的表示法．常见初等函数的图象． （3）平方差、立方差公式． 2.问题探究探究一 通过函数图象理解增函数、减函数及其几何意义●活动① 学生作函数2,y x y x ==图象,指出图象的变化趋势.生:随着x 值的增大,图象（1）呈上升趋势;图象（2）有升有降,先降后升. 师:图象的观察顺序:从左往右,从右往左,中间往两边走,还是两边往中间走？ 生:按照约定俗成:从左往右看.师:从右往左观察,如何描述？生:图象（1）从右往左x值不断变小,图象呈下降趋势;图象（2）从右往左x值不断变小,图象呈先下降后上升趋势;师:至于中间往两边走,两边往中间走,都能描述图象的变化趋势,无论哪一种观察顺序,都有一定道理的,正所谓“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”.我们发现,对图象变化趋势的描述,是“因人而异”的,不同的观察顺序,得到的变化趋势不尽相同.我们能否进一步研究图象达成一定共识呢？【设计意图】学生通过对教材的研读，理解函数图象的变化趋势，拘泥于教材从左到右的“主观意识”的影响，跳跃性地得到函数单调性的结论．从而对“为什么研究点的坐标变化”产生不解，甚至认为“多此一举”．通过对函数图象变化趋势，不同的观察顺序进行描述，产生了“因人而异”的矛盾，为后面对图象变化趋势，进行精细化描述奠定基础．●活动②图象的变化趋势能否用坐标来刻画师:数学研究也要“求同存异”，刚才的图象变化趋势描述有“因人而异”的矛盾，我们从构成图象的点的坐标进行分析，看能否达成共识.由图象（1）:我们取整数点，便于计算：通过观察分析，得到下表:可以发现:无论观察顺序如何变化，x 值与()f x 值是相应共同一致变化的:()f x 值随x 值增大而增大，()f x 值随x 值减小而减小.这与函数解析式()f x x 的对应方式是一致的，不以相对顺序的变化而改变.为了达成统一，我们按照约定俗成的顺序:从左至右看,图象是上升的，图象构成点的坐标变化，()f x 值随x 值增大而增大（或()f x 值随x 值减小而减小，此时是从右往左看）.师:用同样的方法研究图象（2）,取整数点,便于计算,通过观察分析,得到下表:综合从左至右观察图象（1）（2）的变化趋势,点的坐标值有如下特点:图象上升时,()f x 值随x 值增大而增大（或()f x 值随x 值减小而减小,此时是从右往左看）. 图象下降时,()f x 值随x 值增大而减小（或()f x 值随x 值减小而增大,此时是从右往左看）. 【设计意图】图象的变化趋势的刻画:第一,分析了观察顺序从左至右（可变化）的描述是片面的;第二,探求由点的横纵坐标x 、()f x 值变化来描述,这两者的结合,让学生体会从图象的形,到构成图象点的横纵坐标值的数的思维呈现,为后面单调性概念的形成打下基础.探究二:数形结合的思想探究函数图象与函数单调性的本质联系 ●活动①由以上探究能否给出增（减）函数定义生:从左往右看:图象是上升的,称为增函数;图象下降的称减函数; 师:不够具体,函数首先考虑定义域,能否由点的坐标值来定义.生:从左往右看:图象上升,其构成的点的坐标,()f x 值随x 值增大而增大的函数,称为增函数;图象下降,其构成的点的坐标,()f x 值随x 值增大而减小的函数,称为增函数;师:图象变化趋势的刻画,是由某几个点,还是所有点的坐标刻画？ 生:所有点的坐标.师:所有点的坐标如何刻画()f x 值随x 值增大而增大（或减小）呢？在所有点中,我们任取一个点11(,)A x y ,横坐标x 值的不断增大,到任意另一点22(,)B x y ,因此12x x <.由A B 、的任意性,覆盖了整个定义域I ,即:12(,)x x I ⊆.这里我们成功解决了横坐标x 值的不断增大的问题,那纵坐标()f x 的变化趋势如何刻画？生:11(,)A x y 到22(,)B x y ,12x x <横坐标x 值的不断增大,纵坐标变化用12,y y 来表示若,12y y <纵坐标y 值的不断增大;若12y y >,纵坐标y 值的不断减小师:综合以上探究,对函数图象变化趋势的,由图象上所有点的坐标值变化刻画,再转化为任意两个点11(,)A x y 到22(,)B x y 的坐标值变化刻画12,x x I ∈,12x x <,12(,)x x D I =⊆,若12y y <,即y 值随x 的不断增大而增大,图象呈上升,称()f x 为增函数,D 为单增区间; 若12y y >,即y 值随x 的不断增大而减小,图象呈下降,称()f x 为减函数,D 为单减区间;【设计意图】在教师的引导下,让学生根据图象变化趋势,从形到数的探究过程中的体会中,不断完善结论,生成出有自我特色的增（减）函数的概念. ●活动②对比教材概念,加深概念理解 我可以给出如下定义:一般地,设函数()f x 的定义域为I :如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x :当12x x <时,都有12y y <,那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数（increasing function ）． 当12x x <时,都有12y y >,那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数（decreasing function ）． 如果对于定义域I 内某个区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性,区间D 叫做函数()y f x =的单调区间. 师:教材对单调性的定义,还可以怎样定义. 生:交换11(,)A x y 22(,)B x y 位置后有:21x x <．当12x x >时,都有12y y >,那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数（increasing function ）． 当12x x >时,都有12y y <,那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数（decreasing function ）． 师:这也是从图象从右至左看即由22(,)B x y 到11(,)A x y （12x x <）到变化得到,也算殊途同归吧. 师:以()f x x =,2()f x x =为例说明函数一定有单调性吗？有单调区间吗？ 生:()f x x =在定义域(,)-∞+∞单调递增,单增区间为(,)-∞+∞．2()f x x =在定义域(,)-∞+∞有增有减,不具备单调性;单增区间(0,)+∞,单减区间(,0)-∞． 师:如图，函数单调性,是在定义域I 内某个子集区间D 上讨论的,子集区间D 上的单调性不能决定定义域I 的单调性;同时定义域I 的单调性也不能决定子集区间D 上的单调性,若函数在定义域内严格单调另当别论了.【设计意图】让学生理解函数单调性是一种局部性质,其图形表现的实质是从左至右观察图象上升或下降趋势,反映到数的特征上即点的坐标量化1x 与2x ,1y 与2y 的相对变化关系.我们可以通过形与数的途径判断函数单调性,但对未知函数的单调性判断,更多倾向于数的定量分析,即定义法.●活动③两个函数和（差）的单调性师:由1()f x x =,22()f x x =的单调性,判断下列函数的单调性,能得出什么结论. （1）12()()y f x f x =+,(0,)x ∈+∞; （2）12()()y f x f x =-,(,0)x ∈-∞; （3）21()()y f x f x =-,(,0)x ∈-∞;生:化简之后均为二次函数,由图象性质易判断给定区间的单调性. 师:若通过原函数单调性分析:（1）12()()y f x f x =+,(0,)x ∈+∞;1()f x x =,22()f x x =在(0,)x ∈+∞均为增函数,相加之后单调性为增.其结构为:增+增=增,按照此思路总结出（2）、（3）的结构形式,还能想到哪些结构？生:增-减=增、减-增=减、减+减=减,至于乘除要因题而论了，所以（2）(,0)x ∈-∞，f 1(x)为增函数，f 2(x)为减函数，相减为增函数；（3）(,0)x ∈-∞，f 2(x)为减函数，f 1(x)为增函数，相减为减函数；【设计意图】通过初等函数单调性的判断,过渡到简单复合函数单调性判断,让学生对函数的单调性的判断方法有更新的认识. ●活动④单调性定义的等价形式师:由单调性定义知:()y f x =在x D ∈上为增函数⇔12,x x D I ∀∈⊆,12x x <时,都有12y y <⇔12,x x D I ∀∈⊆,12x x >时,都有12y y > ⇔12,x x D I ∀∈⊆，12x x -与12y y -同号即:1212()()0x x y y --> ⇔12,x x D I ∀∈⊆,12120y y x x ->-⇔12,x x D I ∀∈⊆,12120x x y y ->-． 请同学们给出减函数定义的等价形式．生:()y f x =在x D ∈上为减函数⇔12,x x D I ∀∈⊆,12x x <时,都有12y y >⇔12,x x D I ∀∈⊆,12x x >时,都有12y y <⇔12,x x D I ∀∈⊆,1212()()0x x y y --< ⇔12,x x D I ∀∈⊆,12120y y x x -<-⇔12,x x D I ∀∈⊆,12120x x y y -<-． 【设计意图】学生对单调性定义的不同呈现形式有一定了解,众多的形式都来自于坐标值变化的是否一直性,让学生更深刻地认识函数单调性. 探究三:函数单调性的判定及证明 ●活动① 由图象观察单调区间例1 定义在区间[5,5]-上的函数()y f x =,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数？【知识点】单调区间的判定． 【数学思想】【解题过程】函数()y f x =单调区间有[5,2]--,(2,1]-,(1,3],(3,5],其中函数()y f x =在区间[5,2]--,(1,3]上为减函数,在区间(2,1]-,(3,5]上为增函数.【思路点拨】从左至右看图象的变化趋势及对应的区间范围． 【答案】减区间[5,2]--,(1,3]；增区间(2,1]-,(3,5]. 同类训练 函数1()f x x=,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数,在定义域内单调吗？【知识点】单调性的判定 【数学思想】【解题过程】函数1()f x x=单调区间(,0)-∞,(0,)+∞; 函数1()f x x =在区间(,0)-∞,(0,)+∞为减函数; 函数1()f x x=在定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞内不具备单调性.【思路点拨】子集区间单调性与定义域单调性的区别． 【答案】减区间(,0)-∞,(0,)+∞;定义域内不具备单调性.【设计意图】学生能根据图象判断函数的单调区间，弄清单调区间与定义域间的区别与联系． ●活动② 定义法证明函数单调性 例2 物理学中的玻意耳定律kp V=（k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积V 减小时，压强p 将增大．试用函数的单调性证明之． 【知识点】定义法证明函数单调性 【数学思想】【解题过程】根据单调性的定义，设1V ,2V 是定义域(0,)+∞上的任意两个实数，且12V V <，则：21121212()()V V k kp V p V k V V VV --=-=． 由12,(0,)V V ∈+∞,得120VV >．由12V V <,得210V V ->,又0k >,于是12()()0p V p V ->，即:12()()p V p V >． 所以，函数kp V=在(0,)V ∈+∞是减函数，也就是说，当体积V 减小时，压强p 增大. 【思路点拨】明确定义法证明步骤. 【答案】同类训练 证明函数9()f x x x=+在(0,3)递减. 【知识点】定义法证明函数单调性． 【数学思想】【解题过程】由函数单调性的定义,设1x ,2x 是定义域(0,3)上的任意两个实数,且12x x <,则12121212121212121212()(9)99119()()()()()9()()(1)x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x ---=+-+=-+-=--=． 12x x <,∴120x x -<，12,(0,3)x x ∈,∴1209x x <<,1290x x -<，∴12()()0f x f x ->．即 12()()f x f x >,函数9()f x x x=+在(0,3)递减. 【思路点拨】定义法证明的步骤:作差、变形、断号、结论. 【答案】例3证明函数()f x =在定义域内是减函数. 【知识点】定义法证明函数单调性． 【数学思想】【解题过程】由函数单调性的定义,设1x ,2x 是定义域[0,)+∞上的任意两个实数,且12x x <,则12()()((f x f x -=-===． 12x x <, 210x x ∴->，120x x ≤<, 0>，12()()0f x f x ∴->． 即 12()()f x f x >,函数()f x =[0,)+∞递减．【思路点拨】变形时,利用根式有理化变形技巧 【答案】同类训练 证明函数3()f x x =在定义域内是增函数. 【知识点】定义法证明函数单调性 【数学思想】【解题过程】由函数单调性的定义,设1x ,2x 是定义域R 上的任意两个实数,且12x x <, 则11332212212122()()()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++1222222222121212133()[()()[()]4424x x x x x x x x x x x x =-+++=-++．12x x <, 120x x ∴-<,222213()024x x x ++>，12()()0f x f x ∴-<． 即 12()()f x f x <,函数3()f x x =在R 递增.【思路点拨】变形时,注意立方差公式、完全平方式的应用. 【答案】【设计意图】掌握定义法证明单调性步骤:任取—作差—变形—断号—结论,特别是对变形的处理技巧,结合根式分母（子）有理化、平方差、立方差以及完全平方式等,从而准确地判定或证明函数的单调性.●活动③ 常见函数单调性的考查例4函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上是减函数,求a 的取值范围. 【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】函数2()2(1)2f x x a x =+-+函数图象为: 由题意:对称轴14x a =-≥, (,3]a ∴∈-∞-．【思路点拨】抛物线的单调区间由开口方向与对称轴共同决定． 【答案】(,3]a ∈-∞-．同类训练 函数2()(21)3f x x a x =--++在区间[2,)+∞上是减函数,求a 的取值范围.【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】如图: 215222a a +≤⇒≥--． 【思路点拨】结合图象开口方向,对称轴,判断单调区间． 【答案】5[,)2a ∈-+∞． 例5函数2()21x f x x -=+在区间(,)a -∞上是增函数,求a 的取值范围.【知识点】一次分函数图象性质．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】函数2()21x f x x -=+对称中心11(,)22-， 如图:1(,)(,)2a -∞⊆-∞-,1(,]2a ∴∈-∞-． 【思路点拨】由反比例函数图象平移而来,在定义域内不具备单调性,对各自的单调区间分开验证． 【答案】1(,]2a ∈-∞-． 同类训练 函数1()2x f x ax -=+在(2,)-+∞上单调递减,求a 的取值范围． 【知识点】一次函数及一次分函数图象性质．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】函数1()2x f x ax -=+． 当0a =时,1()2x f x -=在(,)-∞+∞上单调递减,成立； 当0a ≠时,1()2x f x ax -=+对称中心21(,)a a--； 0a >时,21(,)a a--对称中心在第三象限， 0(0,1]22a a a>⎧⎪⇒∈⎨-≤-⎪⎩． 0a <时,21(,)a a--对称中心在第一象限，不满足题意,舍去． [0,1]a ∴∈． 【思路点拨】结合对称中心位置与1(0),(1)02f f ==,作大致图象,再分析. 【答案】[0,1]a ∈．【设计意图】含参题目的处理,要根据题意结合函数单调性分类讨论.常见的一次函数,二次函数,反比例函数及一次分函数的图象性质要求掌握.●活动④ 单调性综合应用例6 已知(0)1f =,且对任意实数,x y 都有()()(21)f x y f x y x y -=---．（1）求()f x ;（2）解不等式()(2)f x f x <-．【知识点】抽象函数的单调性．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】由题意 ()()(21)f x y f x y x y -=---．（1）令:x y =,则()()(21)1()(1)1f x x f x x x x f x x x -=---=⇒=-+．（2）()(1)1f x x x =-+，(2)(2)(1)1f x x x -=--+，()(2)(1)1(2)(1)1(,1)f x f x x x x x x <-⇒-+<--+⇒∈-∞．【思路点拨】抽象函数的综合应用,观察题目结构,通过隐含条件结合函数单调性解题．【答案】（1）()(1)1f x x x =-+;（2）(,1)x ∈-∞．同类训练 函数()f x 在(0,)+∞上单调递增,(2)1f =,()()()f xy f x f y =+．（1）解不等式()(3)2f x f x +-≤；（2）求(1)f ,解不等式()(22)0f x f x --<．【知识点】抽象函数求定义域,函数单调性的应用.【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）()f x 定义在(0,)+∞,则0330x x x >⎧⇒>⎨->⎩．……….① ()()()f xy f x f y =+,()(3)((3))f x f x f x x ∴+-=-，211(2)(2)(4)f f f =+=+=,((3))(4)f x x f ∴-≤，()f x 在(0,)+∞上单调递增,(3)4[1,4]x x x ∴-≤⇒∈-．………②由①②:(3,4]x ∈．（2）1(1)0x y f ==⇒=．()f x 定义在(0,)+∞,则01220x x x >⎧⇒>⎨->⎩．……….① ()()()()()()f xy f x f y f x f xy f y =+⇒=-．()(22)()22x f x f x f x ∴--=-,()(1)22x f f x ∴<-． ()f x 在(0,)+∞上单调递增,1222x x x ∴<⇒>-．………② 由①②:(2,)x ∈+∞．【思路点拨】定义域优先的原则,利用函数单调性构建不等式组求解．【答案】（1）(3,4]x ∈;（2）(2,)x ∈+∞．【设计意图】抽象函数定义域方面结合函数单调性的考察也是热点之一,对于抽象函数综合性问题,要定义域优先的原则,结合函数的单调性,建立不等式组求解.3.课堂总结知识梳理（1）从图象变化趋势探究,生成函数单调性的概念.（2）根据函数图象求单调区间.（3）利用定义法证明函数的单调性.（4）函数单调性的应用.重难点归纳（1）从图形变化趋势到单调性概念的生成.（2）单调性概念的深层次理解.（3）单调性的综合应用.（三）课后作业基础型 自主突破1.画出下列函数图象,并根据图象说出()y f x =的单调区间,以及在各单调区间上,函数()y f x =是增函数还是减函数．（1）2()31f x x x =--+；（2）2()32x f x x-=-． 【知识点】二次函数、一次分函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】（1）2()31f x x x =--+对称轴为32x =-,开口向下， 如图: 函数在3(,)2-∞-为增函数,在3[,)2-+∞为减函数.（2）2()32x f x x -=-的对称中心为31(,)22-,且(2)0f = 如图:函数在33(,)(+)22-∞∞，，为减函数. 【思路点拨】（1）二次函数的单调区间,由开口方向与对称轴共同决定;（2）一次分函数作图时,先确定对称中心,再取特殊点定象限.【答案】（1）增3(,)2-∞-;减3[,)2-+∞；（2）减3(,)2-∞,3(,)2+∞． 2.证明:函数1()12f x x=-在(,0)-∞上为增函数． 【知识点】定义法证明单调性．【数学思想】【解题过程】12,(,0)x x ∀∈-∞且12x x <，1212121211()()(1)(1)222x x f x f x x x x x --=---=． 12x x <,120x x ∴-<，12,(,0)x x ∈-∞,120x x ∴>,12()()0f x f x ∴-<,即12()()f x f x <． 函数1()12f x x=-在(,0)-∞上为增函数． 【思路点拨】证明题用定义法较严谨.初步判断函数单调性,可作函数图象观察单调区间,也可分析法12y x =在(,0)-∞为减,12y x =-在(,0)-∞为增,112y x=-在(,0)-∞为增. 【答案】3.讨论函数3()2f x x x =--+的单调性,并证明你的结论．【知识点】定义法证明函数单调性．【数学思想】【解题过程】12,x x R ∀∈且12x x <，33331211222121()()()()()()f x f x x x x x x x x x -=-----=-+-222211212121212()(1)()[()1]24x x x x x x x x x x x =-+++=-+++．12x x <,210x x ∴->，22112()1024x x x +++>,12()()0f x f x ∴->,即12()()f x f x >． 3()2f x x x =--+在R 上是减函数.【思路点拨】定义法证明函数单调性,式子变形为几个因式相乘的形式,要有利于符号判断.【答案】4.函数2()2(3)3f x x a x a =--+在(,2)-∞-上是减函数,则实数a 的取值范围.【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】2()2(3)3f x x a x a =--+函数图象对称轴为3x a =-,开口向上.如图:325a a -≥-⇒≤．【思路点拨】结合图象开口方向,对称轴,判断单调区间．【答案】(,5]a ∈-∞．5.若二次函数2()(1)5f x x a x =--+在1(,1)2上是增函数,那么(2)f 的取值范围． 【知识点】二次函数的单调性．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】2()(1)5f x x a x =--+在1(,1)2上是增函数，11222a a -∴≤⇒≤． (2)112,2(2)7f a a f =-≤⇒≥．【思路点拨】结合图象开口方向,对称轴位置,判断单调区间．【答案】[7,)+∞．6. 函数()y f x =在定义域(1,1)-上是减函数,且(1)(21)f a f a -<-,求a 的范围．【知识点】抽象函数定义域、函数单调性的应用．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】由题意,定义域(1,1)-,则111(0,1)1211a a a -<-<⎧⇒∈⎨-<-<⎩． ()y f x =在定义域(1,1)-上是减函数(1)(21)f a f a -<-．2(1)(21)3a a a ∴->-⇒<． 综上所述2(0,)3a ∈． 【思路点拨】抽象函数关注定义域的原则,结合函数单调性,构建不等式组求解. 【答案】2(0,)3a ∈． 能力型 师生共研7.判断函数()f x x =在其定义域内的单调性．【知识点】定义法证明函数单调性.【数学思想】【解题过程】()f x x =-,定义域为R ．12,x x R ∀∈且12x x <，121212()()))()f x f x x x x x -=---=--1212()(x x x x =--=-．12x x <,120x x ∴-<且0>，21xx +>,0x∴-<，120,0x x ∴-<<，12()()0f x f x ∴->,即12()()f x f x >．()f x x ∴=-在R 上单调递减．【思路点拨】定义法证明单调性步骤:作差、变形、断号、结论．【答案】8.若定义在R 上的二次函数2()4f x ax ax b =-+在区间[0,2]上是增函数,()(0)f m f ≥,求实数m 的取值范围.【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】函数2()4f x axax b =-+对称轴为2x =．()f x 在区间[0,2]上是增函数,如图:()(0)(4)f m f b f ≥==．[0,4]m ∴∈【思路点拨】二次函数图象的对称性．【答案】[0,4]m ∈．探究型 多维突破9.讨论函数2()(11)1ax f x x x =-<<-的单调性． 【知识点】定义法证明函数单调性．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】12,(1,1)x x ∀∈-且12x x <．121221122112222212121122(1)()(1)()()()11(1)(1)(1)(1)(1)(1)ax ax a x x x x a x x x x f x f x x x x x x x x x +-+--=-==----+-+-． 12,(1,1)x x ∈-,1210x x ∴+>,110x +>,210x +>,110x -<,210x -<．12x x <,210x x ∴->．当0a >时,1212()()0()()f x f x f x f x ->⇒>⇒()f x 在(1,1)-单减，当0a <时,1212()()0()()f x f x f x f x -<⇒<⇒()f x 在(1,1)-单增，当0a =时,()f x 为常值函数,在(1,1)-不具备单调性．【思路点拨】在变形成功后,用分类讨论的思想,判断符号的正负确定函数单调性.【答案】10.已知()f x 的定义域为R ,对任意实数m n 、,都有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，且当0x >时,0()1f x <<．（1）证明:(0)1f =,且当0x <时,()1f x >；（2）证明:()f x 在R 单调递减．【知识点】抽象函数的单调性．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）证明:令1m =,0n =代入f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，∴f (1)＝f (1)·f (0)． 10>,0(1)1f <<,(0)1f ∴=．当0x <时,0x ->,0()1f x ∴<-<．令m x =,n x =-代入f (m ＋n )＝f (m )·f (n )．1()()(0)1()()f x f x f f x f x ⋅-==⇒=-． 0()1f x <-<,1()1()f x f x ∴=>-． （2）证明:12,x x R ∀∈且12x x <，212111()()()()f x f x f x x x f x ∴-=-+-2111121()()()()(()1)f x x f x f x f x f x x =--=--．210x x ->,21210()1()10f x x f x x ∴<-<⇒--<,1()0f x >． 21()()0f x f x ∴-<,即12()()f x f x ∴>．()f x ∴在R 单调递减．【思路点拨】抽象函数单调性的证明,利用已知条件,构造利于判断12()()f x f x -正负的结构. 自助餐1.在区间(0,)+∞上不是增函数的是（ ）A. 21y x =+B. 231y x =-C. 2y x=D. 221y x x =++ 【知识点】初等函数图象．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】分别作出各函数图象,观察得结论．【思路点拨】一次函数y kx b =+的单调性由k 的正负确定,0k >时,函数在定义域内单增,0k <函数在定义域内单减；二次函数单调区间由开口方向与对称轴决定；一次分函数的单调区间由对称中心决定.【答案】C ．2.已知函数()f x 在(,)-∞+∞上是减函数,,a b R ∈,且0a b +≤,则有（ ）A.()()()()f a f b f a f b +≤--B.()()()()f a f b f a f b +≥--C.()()()()f a f b f a f b +≤-+-D.()()()()f a f b f a f b +≥-+-【知识点】函数单调性的应用．【数学思想】等价转化思想．【解题过程】解:0a b a b +≤⇒≤-或b a ≤-．()f x 在(,)-∞+∞上是减函数．()()f a f b ∴≥-或()()()()()()f b f a f a f b f a f b ≥-⇒+≥-+-．【思路点拨】0a b a b +≤⇒≤-或b a ≤-,再结合函数单调性．【答案】D ．3.函数()y f x =在[1,1]-上是增函数,且2(1)(1)f x f x -<-,则x 的范围______.【知识点】抽象函数的单调性．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】解:()y f x =在[1,1]-上是增函数．有2211111111x x x x x -≤-≤⎧⎪≤-≤⇒∈⎨⎪-<-⎩．【思路点拨】首先求2(1),(1)f x f x --的定义域,再利用函数单调性求解．【答案】x ∈．4.函数2()2f x x ax =-+与()1a g x x =+在区间[1,2]上都是减函数,则a 的范围______. 【知识点】二次函数、一次分函数图象性质．【数学思想】数形结合思想、分类讨论思想．【解题过程】解:2()2f x x ax =-+在区间[1,2]上是减函数． 则:对称轴1x a =≤,1a ∴≤…………①()1a g x x =+对称中心(1,0)-． 当0a >图象在第一、三象限,在[1,2]上单减,满足题目条件；当0a <图象在第二、四象限,在[1,2]上单增,与题目矛盾 ．0a ∴>．…………②由①②知:(0,1]a ∈．【思路点拨】由函数图象确定单调区间．【答案】(0,1]a ∈．5.函数()f x 对任意m n R ∈、,都有()()()1f m n f m f n +=+-,且当0x >时,()1f x >．（1）求证:()f x 在R 上是增函数；（2）若(3)4f =,解不等式2(5)2f a a +-<．【知识点】抽象函数单调性判断．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）证明:12,x x R ∀∈且12x x <，()()()1f m n f m f n +=+-，212111211121()()()()()()1()()1f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x ∴-=-+-=-+--=--． 210x x ->,21()1f x x ∴->，21()10f x x ∴-->,21()()0f x f x ∴->,即21()()f x f x >． ()f x ∴在R 上是增函数．（2）解:(3)(21)(2)(1)1(11)1(1)13(1)24f f f f f f f =+=+-=+-+-=-=．(1)2f ∴=,即2(5)2(1)f a a f +-<=．()f x 在R 上是增函数,251(3,2)a a a ∴+-<⇒∈-．【思路点拨】（1）抽象函数单调性证明,主要寻求12()()f x f x -的结构特征及符号判定；（2）结合函数单调性,转化为解关于x 的不等式问题．【答案】（1）略；（2）(3,2)a ∈-．6.已知函数1133()5x xf x --=,1133()5x xg x -+=．（1）求()f x 的单调区间；（2）分别计算(4)5(2)(2)f f g -和(9)5(3)(3)f f g -的值,由此概括出涉及函数()f x 和()g x 的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式,并加以证明.【知识点】定义法证明函数单调性．【数学思想】【解题过程】（1）解:函数()f x 的定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，12,(0,)x x ∀∈+∞且12x x <，1111113333112233121211331211()()()(1)555x x x x f x f x x x x x -----=-=-+． 12x x <,1133120x x ∴-<,113312110x x +>，12()()0f x f x ∴-<,即12()()f x f x <．()f x ∴在(0,)+∞上是增函数.同理,()f x 在(,0)-∞上也是增函数.（2）计算得(4)5(2)(2)0f f g -=,(9)5(3)(3)0f f g -=,由此概括出对所有不等于零的实数x 有:2()5()()0f x f x g x -=．22111122223333332333311()5()()5()()055555x x x x x x f x f x g x x x x x -------+-=-⋅=---=． 【思路点拨】（1）由定义法单调性的判断；数学探究模式的体现:计算、归纳、猜想、验证.【答案】（1）单增区间(,0)-∞,(0,)+∞；（2）0.。
函数的单调性与最大(小)值 高中数学获奖教案
、3.2.1单调性与最大（小）值（第一课时）(人教A 版普通高中教科书数学必修第一册第三章)一、教学目标1.借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值，理解它们的作用与实际意义；2.会用定义简单证明函数的单调性；3.通过函数的单调性可以画出函数图像;4.在探究抽象函数单调性的过程中感受数学概念的抽象过程及符号表示的作用.二、教学重难点1.函数的单调性精确定义;2.利用函数定义判断函数单调性.三、教学过程1.研究函数单调性的过程1.1创设情境，引发思考【实际情境】 前面我们学习了函数的定义、表示方法，知道函数是描述客观世界中变量之间的一种对应关系，这样可以通过研究函数性质来把握世界的一般规律.什么是函数性质呢?比如随着自变量的增大函数值是增大还是减小的,或者有没有最大值?总的来说函数的性质就是”变化中的规律,变化中的不变性”.今天我们来研究一下函数的一个很重要的性质—函数的单调性.2019新型冠状病毒爆发（2019-nCoV ，世卫组织2020年1月命名；SARS-CoV-2，国际病毒分类委员会2020年2月11日命名 ）.面对疫情政府采取了积极、高效、公开、透明的举措，不仅全力维护人民群众生命安全和身体健康，也为维护全球和地区公共卫生安全做出重大贡献，给世界带来信心.我们要为我们生在中国而自豪.要为我们是中国人而自豪!下面函数图像是截取4月16日-6月10日的数据,图1是全国现有确诊趋势;图2本土新增确诊趋势,从这两幅函数图像中我们可以直观的感受疫情的变化.全国现有确诊趋势本土新增确诊趋势问题1：（1）请看这两幅函数图像,从中你发现了图像的哪些特征?你觉得他们反映了函数哪方面的性质?【预设的答案】第一幅函数图像是上升的趋势,也就是函数值随自变量的增大而增大,但是第二幅图有上升有下降.总的来说这两幅图体现函数变化趋势比如上升下降,我们把这种性质叫做函数的单调性.【设计意图】让学生从直观的图像上感知函数的单调性.问题2：下面我们进一步用符号语言刻画函数的单调性.我们先来看一个简单的例子：f(x) =x2,在初中的时候我们就学习了这函数图像，你能现在画出这个图像吗？请在草稿纸上画出来.我们一般都用的是五点作图,在(0,+∞]上我们取的两个点满足随自变量的增大而增大，你能能否证明在(0,+∞]上所有点变化趋势也是这样的吗?也就是说明我们还有必要用代数的方法证明一下.请大家思考一下如何证明.【活动预设】我们不可能把所有的点取一遍,因为区间上的点是有无穷多个,那我们怎么把”无限”的问题转化为一种”有限”的问题?(让学是感受数学符号语言的作用)那我们可以用x1, x2来表示,请大家看一下几何画板我们发现只要x1<x2时,都有f(x1)<f(x2).（这里可以让学生用之前学习的不等式的性质证明一下f(x1)<f(x2)）【设计意图】主要是引导学生如何定量的刻画函数的单调性，这个过程要让学知道定量刻画函数单调性的必要性.体会形少数时难入微.同时感受符号语言巨大的作用.1.2探究典例，形成概念活动1：通过以上活动,请同学们用符号语言总结一下上面函数的性质.【活动预设】∀x1,x2∈(0,+∞),当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),这时我们就说函数在区间(0,∞)上是单调递增的.【设计意图】让学生更加熟悉符号语言的表示方法.问题3：通过上述例子给出函数f(x)在区间D上单调性的符号表述.【活动预设】一般的,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I:如果∀x1,x2∈D,当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.如果∀x1,x2∈D,当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 活动2：请同学们判断下列命题知否正确(1) 设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且∀x1,x2∈A,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),我们能说函数f(x)在区间D上单调递增吗？你能说明理由吗？(2) 如果∀x1,x2∈D,当x1<x2时，都有f(x1)≤f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.这种说法正确吗？(3) 如果∀x,x+1∈D, 都有f(x)<f(x+1),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.这种说法正确吗？(4) 函数的单调性是对定义域的某个区间而言，您能举出在整个定义域内单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的例子吗？【活动预设】（1）第一问构造了函数f(x)=xsinx+2x,取整函数就可以说明(2)和(3)不正确.(4)让学进一步感知“增函数”、“单调递增”的概念，以及在不同区间上单调递增时，它们的并集不一定保证单调递增，递减同理.【设计意图】（1）引导学生辨析概念中“任意”两个字；（2）在不同区间上单调递增时，它们的并集不一定保证单调递增，递减同理.2.初步应用，理解概念例1 根据定义证明函数y=1在区间(0，+∞)上是单调递减的.x【预设的答案】略【设计意图】（1）进一步的熟悉定义，通过定义画出图像（2）单调区间不能并.练1 根据定义证明函数y=x+1在区间(1，+∞)上单调递增.x【预设的答案】略【设计意图】（1）让学生自己动手练习；（2）进一步熟悉定义.例2 根据定义,研究f(x)=kx+b(k≠0)的单调性.【预设的答案】略【设计意图】体会如何求解含参函数的单调性.3.归纳小结，文化渗透1. 什么叫函数的单调性？你能举出一些具体例子吗？2. 你认为在理解函数单调性的时候应把握好哪些关键问题？3. 结合本节课学习过程你对函数性质的研究内容和方法有什么体会？【设计意图】（1）进一步让学生强化对单调性定义的准确把握；（2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会函数性质的研究方法,体会数学语言的强大,体会数形结合的重要.四、课外作业。
《单调性与最大(小)值》第一课时参考教案
1.3.1 单调性与最大（小）值（第一课时）一、 教学目标1．知识与技能：(1)理解函数单调性的概念(2)学会判断一些简单函数在给定区间上的单调性(3)掌握利用函数图像和单调性定义判断、证明函数单调性的基本方法、步骤2．过程与方法：通过函数单调性概念的学习，让学生体验概念形成的过程，同时了解从特殊到一般、具体到抽象、感性到理性的数学思考的基本方法，培养学生的数学思维能力3．情感态度与价值观：通过函数单调性的探究过程，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。
同时，让学生体会到数学来自于生活、又服务于生活。
二、教学重点与难点教学重点：函数单调性的概念教学难点：从图像的直观感知到函数增减的数学符号语言的过渡三、教学模式：引导探究四、教学方法：教师启发讲授五、 教学基本流程：六、 教学过程：从实际问题引入函数的单调性 通过函数图像，直观认识函数的单调性通过图表，用自然语言描述用数学符号语言描述单调性由图像判断函数的单调区间 利用定义证明函数单调性 练习、反馈、巩固 归纳小结1．创设情境（1）（提问学生）据说，由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请说明时间调动的原因。
（2）由图象可知，7月25日之后的16天内，北京平均气温、平均降雨量和平均降雨天数均呈现上升的趋势。
而8月8日到8月24日，均呈现下降的趋势，比较适宜大型国际体育赛事。
（过渡性语言）原来啊，8月8日除了好意头之外，还有这么一个关于天气的原因。
从这个事情可以看出，如果我们可以掌握“上升、下降”的变化规律，对我们的生活是十分有帮助的。
同样的，我们之前所学习的函数也有这样的一种变化规律，下面让我们一起来学习一下。
2．探究新知（1）观察图像，感知特征（直观感知）首先，我们看看十分熟悉的两个函数，一次函数x)(和二次函数f=x2f=，现在，我们一起来观察一下两个图像，有没有发现类似于我们前面x(x)天气图像的变化规律？（预测）：学生通过感知，可以看出，从左到右，一次函数x)(的图像是上f=x升的；而二次函数2f=的图像在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的。
《函数的单调性和最大(小)值》教学设计【高中数学人教A版必修1(新课标)】
《函数的单调性与最大（小）值》教学设计第一课时函数的单调性通过观察一些函数图像的特征，形成增（减）函数的直观认识。
再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义。
掌握用定义证明函数单调性的步骤。
函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。
【知识与能力目标】1、结合具体函数，了解函数的单调性及其几何意义；2、学会运用函数图像理解和研究函数的性质；3、能够应用定义判断函数在某区间上的单调性。
【过程与方法目标】借助二次函数体验单调性概念的形成过程，领会数形结合的思想，运用定义进行判断推理，养成细心观察，严谨论证的良好的思维习惯。
【情感态度价值观目标】通过直观的图像体会抽象的概念，通过交流合作培养学生善于思考的习惯。
【教学重点】函数单调性的概念。
【教学难点】判断、证明函数单调性。
从观察具体函数图像引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。
通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。
(一)创设情景，揭示课题德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究。
他经过测试，得到了以下一些数据：以上数据表明，记忆量y 是时间间隔t 的函数。
艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图：思考1:当时间间隔t 逐渐增大你能看出对应的函数值y 有什么变化趋势？通过这个 试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？ （二）研探新知观察下列各个函数的图像，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1随x的增大，y的值有什么变化？○2能否看出函数的最大、最小值？○3函数图像是否具有某种对称性？画出下列函数的图像，观察其变化规律：（1）f(x) = x （2）f(x) = x2思考1：这两个函数的图像分别是什么？二者有何共同特征？思考2：如果一个函数的图像从左至右逐渐上升，那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的变化情况如何？思考3：如图为函数f(x)在定义域I内某个区间D上的图像，对于该区间上任意两个自变量x1和x2，当x1＜x2时， f(x1)与f(x2)的大小关系如何？思考4: 我们把具有上述特点的函数称为增函数，那么怎样定义“函数f(x)在区间D 上是增函数”？1、函数单调性定义（1）增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）。
最新人教版高一数学必修1第一章《单调性与最大(小)值》教案(第1课时)
1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大（小）值整体设计教学分析在研究函数的性质时，单调性和最值是一个重要内容.实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高：给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法、最好根据图象观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性,这样就将以上两种方法统一起来了.由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图象，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性和最值的理解.三维目标1.函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图象理解和研究函数的性质.2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力.3.通过实例，使学生体会、理解到函数的最大（小）值及其几何意义，能够借助函数图象的直观性得出函数的最值，培养以形识数的解题意识.4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性.重点难点教学重点:函数的单调性和最值.教学难点:增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成.课时安排2课时设计方案（一）教学过程第1课时函数的单调性导入新课思路1.德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus，1850~1909)，他以自己为实验对象，共做了163次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再时，你能看出对应的函数值（记忆量y）有什么变化趋势吗？描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画吗？通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?（可以借助信息技术画图象）图1-3-1-1学生：先思考或讨论，回答：记忆量y随时间间隔t的增大而增大；以时间间隔t为x轴，以记忆量y为y轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图1-3-1-1所示.遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律.随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解和记忆.教师提示、点拨，并引出本节课题.思路2.在第23届奥运会上，中国首次参加就获15枚金牌；在第24届奥运会上，中国获5枚金牌；在第25届奥运会上，中国获16枚金牌；在第26届奥运会上，中国获16枚金牌；在第27届奥运会上，中国获28枚金牌；在第28届奥运会上，中国获32枚金牌.按这个变化趋势，2008年，在北京举行的第29届奥运会上，请你预测一下中国能获得多少枚金牌？学生回答(只要大于32就可以算准确),教师：提示、点拨，并引出本节课题.推进新课新知探究提出问题①如图1-3-1-2所示为一次函数y=x，二次函数y=x2和y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?图1-3-1-2②函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义？③如何理解图象是上升的？2⑤在数学上规定：函数y=x2在区间(0,+∞)上是增函数.谁能给出增函数的定义？⑥增函数的定义中，把“当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)”改为“当x1>x2时，都有f(x1)>f(x2)”,这样行吗?⑦增函数的定义中，“当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)”反映了函数值有什么变化趋势?函数的图象有什么特点?⑧增函数的几何意义是什么？⑨类比增函数的定义，请给出减函数的定义及其几何意义？⑩函数y=f（x）在区间D上具有单调性，说明了函数y=f（x）在区间D上的图象有什么变化趋势？讨论结果:①函数y=x的图象,从左向右看是上升的；函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的.②函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义：横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x 时对应的函数值的大小.③按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值随着逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自变量的增大而增大.④在区间(0,+∞)上，任取x1、x2，且x1<x2,那么就有y1<y2,也就是有f(x1)<f(x2).这样可以体会用数学符号来刻画图象上升.⑤一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.⑥可以.增函数的定义：由于当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，即都是相同的不等号“<”，也就是说前面是“<”，后面也是“<”,步调一致；“当x1>x2时，都有f(x1)>f(x2)”都是相同的不等号“>”，也就是说前面是“>”，后面也是“>”,步调一致.因此我们可以简称为：步调一致增函数.⑦函数值随着自变量的增大而增大;从左向右看,图象是上升的.⑧从左向右看,图象是上升的.⑨一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.简称为：步调不一致减函数.减函数的几何意义：从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势：函数值随着自变量的增大而减小.总结：如果函数y=f（x）在区间D上是增函数(或减函数)，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调递增(或减)区间.⑩函数y=f（x）在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大（减小），几何意义：从左向右看,图象是上升（下降）的.应用示例思路1例1如图1-3-1-3是定义在区间［－5，5］上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？图1-3-1-3活动：教师提示利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则在此区间上是减函数.解：函数y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函数y=f(x)在区间［-5,2),［1,3)上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上是增函数.点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象，通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性.图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.变式训练课本P 32练习1、3.例2物理学中的玻意耳定律p=Vk （k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减少时，压强p 将增大.试用函数的单调性证明.活动：学生先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，教师再提示,及时纠正学生解答过程出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤.体积V 减少时，压强p 将增大是指函数p=Vk 是减函数；刻画体积V 减少时，压强p 将增大的方法是用不等式表达.已知函数的解析式判断函数的单调性时，常用单调性的定义来解决.解：利用函数单调性的定义只要证明函数p=Vk 在区间(0,+∞)上是减函数即可. 点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性.定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步：在所给的区间上任取．两个自变量x 1和x 2,通常令x 1<x 2；第二步：比．较f(x 1)和f(x 2)的大小,通常是用作差比较法比较大小,此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；第三步：再．归纳结论.定义法的步骤可以总结为：一“取(去．)”、二“比．”、三“再(赛．)”,因此简称为：“去比赛．．．”. 变式训练课本P 32练习4.思路2例1（1）画出已知函数f(x)=-x 2+2x+3的图象；（2）证明函数f(x)=-x 2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数；（3）当函数f(x)在区间(-∞,m ］上是增函数时，求实数m 的取值范围.图1-3-1-4解：（1）函数f(x)=-x 2+2x+3的图象如图1-3-1-4所示.(2)设x 1、x 2∈(-∞,1］，且x 1<x 2，则有f(x 1)-f(x 2)=(-x 12+2x 1+3)-(-x 22+2x 2+3)=(x 22-x 12)+2(x 1-x 2)=(x 1-x 2)(2-x 1-x 2).∵x 1、x 2∈(-∞,1］，且x 1<x 2，∴x 1-x 2<0,x 1+x 2<2.∴2-x 1-x 2>0.∴f(x 1)-f(x 2)<0.∴f(x 1)<f(x 2).∴函数f(x)=-x 2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数.（3）函数f(x)=-x 2+2x+3的对称轴是直线x=1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(-∞,m ］位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m 的取值范围是(-∞,1］.点评：本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用.讨论有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函数图象的特点来分析；二次函数在对称轴两侧的单调性相反；二次函数在区间D 上是单调函数，那么二次函数的对称轴不在区间D 内. 判断函数单调性时，通常先画出其图象，由图象观察出单调区间，最后用单调性的定义证明. 判断函数单调性的三部曲：第一步，画出函数的图象，观察图象，描述函数值的变化趋势；第二步，结合图象来发现函数的单调区间；第三步，用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的必考内容之一.因此应理解单调函数及其几何意义,会根据定义判断、证明函数的单调性，会求函数的单调区间，能综合运用单调性解决一些问题，会判断复合函数的单调性.函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联系极为密切，是高考命题的热点题型.变式训练已知函数f(x)是R 上的增函数，设F(x)=f(x)-f(a-x).(1)用函数单调性定义证明F(x)是R 上的增函数；(2)证明函数y=F(x)的图象关于点(2a ,0)成中心对称图形. 活动：（1）本题中的函数解析式不明确即为抽象函数，用定义法判断单调性的步骤是要按格式书写；（2）证明函数y=F(x)的图象上的任意点关于点(2a ,0)的对称点还是在函数y=F(x)的图象上即可.解：（1）设x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2.则F(x 1)-F(x 2)=［f(x 1)-f(a-x 1)］-［f(x 2)-f(a-x 2)］=［f(x 1)-f(x 2)］+［f(a-x 2)-f(a-x 1)］.又∵函数f(x)是R 上的增函数，x 1<x 2，∴a-x 2<a-x 2.∴f(x 1)<f(x 2),f(a-x 2)<f(a-x 1).∴［f(x 1)-f(x 2)］+［f(a-x 2)-f(a-x 1)］<0.∴F(x 1)<F(x 2).∴F(x)是R 上的增函数.（2）设点M(x 0,F(x 0))是函数F(x)图象上任意一点，则点M(x 0,F(x 0))关于点(2a ,0)的对称点M′(a -x 0,-F(x 0)).又∵F(a-x 0)=f(a-x 0)-f(a-(a-x 0))＝f(a-x 0)-f(x 0)＝-［f(x 0)-f(a-x 0)］=-F(x 0),∴点M′(a -x 0,-F(x 0))也在函数F(x)图象上，又∵点M(x 0,F(x 0))是函数F(x)图象上任意一点，∴函数y=F(x)的图象关于点(2a ,0)成中心对称图形. 例2(1)写出函数y=x 2-2x 的单调区间及其图象的对称轴,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?(2)写出函数y=|x|的单调区间及其图象的对称轴,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?图1-3-1-5(3)定义在［-4,8］上的函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,y=f(x)的部分图象如图1-3-1-5所示,请补全函数y=f(x)的图象,并写出其单调区间,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?(4)由以上你发现了什么结论?试加以证明.活动：学生先思考，再回答，教师适时点拨和提示:（1）画出二次函数y=x2-2x的图象，借助于图象解决；（2）类似于（1）；（3）根据轴对称的含义补全函数的图象，也是借助于图象写出单调区间；（4）归纳函数对称轴两侧对称区间上的单调性的异同来发现结论，利用轴对称的定义证明.解：(1)函数y=x2-2x的单调递减区间是(-∞,1),单调递增区间是(1,+∞);对称轴是直线x=1;区间(-∞,1)和区间(1,+∞)关于直线x=1对称,而单调性相反.(2)函数y=|x|的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞);对称轴是y轴即直线x=0;区间(-∞,0)和区间(0,+∞)关于直线x=0对称,而单调性相反.(3)函数y=f(x),x∈［-4,8］的图象如图1-3-1-6.图1-3-1-6函数y=f(x)的单调递增区间是［-4,-1］,［2,5］;单调递减区间是［5,8］,［-1,2］;区间［-4,-1］和区间［5,8］关于直线x=2对称,而单调性相反,区间［-1,2］和区间［2,5］关于直线x=2对称,而单调性相反.(4)可以发现结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在直线x=m两侧对称单调区间内具有相反的单调性.证明如下:不妨设函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数,区间［a,b］关于直线x=m的对称区间是［2m-b,2m-a］.由于函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,则f(x)=f(2m-x).设2m-b≤x1<x2≤2m-a,则b≥2m-x1>2m-x2≥a,f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2).又∵函数y=f(x)在［a,b］上是增函数,∴f(2m-x1)-f(2m-x2)>0.∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2).∴函数y=f(x)在区间［2m-b,2m-a］上是减函数.∴当函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数时,其在［a,b］关于直线x=m的对称区间［2m-b,2m-a］上是减函数,即单调性相反.因此有结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m 对称,那么函数y=f(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性.点评：本题通过归纳——猜想——证明得到了正确的结论,这是我们认识世界发现问题的主要方法,这种方法的难点是猜想,突破路径是寻找共同的特征.本题作为结论记住，可以提高解题速度.图象类似于人的照片，看见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点，同样根据函数的图象也能观察出函数的性质特征.这需要有细致的观察能力.变式训练函数y=f(x)满足以下条件:①定义域是R ;②图象关于直线x=1对称;③在区间［2,+∞)上是增函数.试写出函数y=f(x)的一个解析式f(x)=(只需写出一个即可,不必考虑所有情况).活动：根据这三个条件，画出函数y=f(x)的图象简图（只要能体现这三个条件即可），再根据图象简图，联系猜想基本初等函数及其图象和已有的解题经验写出.解：定义域是R 的函数解析式通常不含分式或根式，常是整式；图象关于直线x=1对称的函数解析式满足：f(x)=f(2-x)，基本初等函数中有对称轴的仅有二次函数，则由①②想到了二次函数；结合二次函数的图象，在区间［2,+∞)上是增函数说明开口必定向上，且正好满足二次函数的对称轴直线x=1不在区间［2,+∞)内，故函数的解析式可能是y=a(x-1)2+b(a>0). 结合二次函数的图象和性质，可知这三条都可满足开口向上的抛物线，故有：形如y=a(x-1)2+b(a>0)，或为y=a|x-1|+b(a>0)等都可以，答案不唯一.知能训练课本P 32练习2.【补充练习】1.利用图象法写出基本初等函数的单调性.解：①正比例函数：y=kx(k≠0)当k>0时，函数y=kx 在定义域R 上是增函数；当k<0时，函数y=kx 在定义域R 上是减函数.②反比例函数：y=xk (k≠0) 当k>0时，函数y=xk 的单调递减区间是(-∞,0)，(0,+∞)，不存在单调递增区间；当k<0时，函数y=x k 的单调递增区间是(-∞,0)，(0,+∞),不存在单调递减区间. ③一次函数：y=kx+b(k≠0)当k>0时，函数y=kx+b 在定义域R 上是增函数；当k<0时，函数y=kx+b 在定义域R 上是减函数.④二次函数：y=ax 2+bx+c(a≠0)当a>0时，函数y=ax 2+bx+c 的单调递减区间是(-∞,a b 2-］，单调递增区间是［ab 2-,+∞)； 当a<0时，函数y=ax 2+bx+c 的单调递减区间是［a b 2-,+∞)，单调递增区间是(-∞,a b 2-］. 点评：以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度.2.已知函数y=kx+2在R 上是增函数，求实数k 的取值范围.答案：k ∈(0,+∞).3.二次函数f(x)=x 2-2ax+m 在(-∞,2)上是减函数，在(2,+∞)上是增函数，求实数a 的值. 答案：a=2.4.2005年全国高中数学联赛试卷，8已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若f(2a 2+a+1)<f(3a 2-4a+1)成立，则a 的取值范围是______.分析:∵f(x)的定义域是(0,+∞)，∴⎪⎩⎪⎨⎧>+>++0.14a -3a 0,1a 2a 22解得a<31或a>1. ∵f(x)在(0,+∞)上是减函数，∴2a 2+a+1>3a 2-4a+1.∴a 2-5a<0.∴0<a<5.∴0<a<31或1<a<5,即a 的取值范围是(0,31)∪(1,5). 答案：(0,31)∪(1,5) 点评：本题实质是解不等式，但是这是一个不具体的不等式，是抽象不等式.解与函数有关的抽象不等式时，常用的技巧是利用函数的单调性“剥掉外衣”，转化为整式不等式. 拓展提升问题：1.画出函数y=x1的图象，结合图象探讨下列说法是否正确？ （1）函数y=x 1是减函数；（2）函数y=x1的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). 2.对函数y=x 1,取x 1=-1<x 2=2，则f(x 1)=-1<f(x 2)=21，满足当x 1＜x 2时f(x 1)<f(x 2)，说函数y=x 1在定义域上是增函数对吗？为什么？3.通过上面两道题,你对函数的单调性定义有什么新的理解？解答：1.（1）是错误的，从左向右看,函数y=x 1的图象不是下降的. （2）是错误的，函数y=x1的单调递减区间是(-∞,0),(0,+∞).这表示在区间(-∞,0)∪(0,+∞)即定义域上是减函数，在定义域上函数y=x1的图象，从左向右看不是下降的，因此这是错误的. 2.不对.这个过程看似是定义法，实质上不是.定义中x 1、x 2是在某区间内任意取的两个值，不能用特殊值来代替.3.函数单调性定义中的x 1、x 2必须是任意的，应用单调性定义解决问题时，要注意保持其任意性.点评：函数的单调性反映了函数在其定义域的子集上的性质，是函数的“局部性质”；函数y=f(x)在区间(a,b)和(b,c)上均是增（减）函数，那么在区间(a,b)∪(b,c)上的单调性不能确定. 课堂小结本节学习了:①函数的单调性;②判断函数单调性的方法:定义法和图象法.活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结.作业课本P 39习题1.3A 组2、3、4.设计感想“函数单调性”是一个重要的数学概念，以往的教学方法一般是由教师讲解为主，在单调性的定义教学中，往往缺少从定性的描述到定量表示的思维过程，即缺少“意义建构”.本设计致力于展示概念是如何生成的.在概念的发生、发展中，通过层层设问，调动学生的思维，突出培养了学生的思维能力，体现了教师是用教材教，而不是教教材.本节课是函数单调性的起始课,采用教师启发引导,学生探究学习的教学方法,通过创设情境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识.考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点,对判断方法进行适当的延展,加深对定义的理解,同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔.(设计者：张建国)设计方案（二）教学过程第1课时函数的单调性导入新课思路1.为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况，数学兴趣小组研究了2002年到2006年每年这一天的天气情况，如图1-3-1-7是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.图1-3-1-7问题：观察图1-3-1-7，能得到什么信息？(1)当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻；(2)在某时刻的温度；(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考回答.教师：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的.归纳：用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大或变小.思路2.如图1-3-1-8所示,观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：图1-3-1-8随x 的增大，y 的值有什么变化？引导学生回答，点拨提示，引出课题.设计意图:创设情景，引起学生兴趣.推进新课新知探究提出问题问题①:分别作出函数y=x+2,y=-x+2,y=x 2,y=x1的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律.如图1-3-1-9所示:图1-3-1-9问题②:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?设计意图:从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识：直观感知. 问题③:如图1-3-1-10是函数y=x+x2(x>0)的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？图1-3-1-10设计意图:使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.问题④:如何从解析式的角度说明f(x)=x 2在［0,+∞)上为增函数？设计意图:把对单调性的认识由感性上升到理性的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习作好铺垫.问题⑤:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?设计意图:让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.引导方法与过程：问题①：引导学生进行分类描述图象是上升的、下降的(增函数、减函数)，同时明确函数的图象变化（单调性）是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质. 问题②：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识. 学生的困难是难以确定分界点的确切位置.问题③：通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.问题④：对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x 1、x 2.问题⑤：师生共同探究：利用不等式表示变大或变小,得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义.归纳总结：1.函数单调性的几何意义：如果函数y=f(x)在区间D 上是增（减）函数，那么在区间D 上的图象是上升的（下降的）.2.函数单调性的定义：略.可以简称为步调一致增函数，步调相反减函数.讨论结果：①(1)函数y=x+2，在整个定义域内y 随x 的增大而增大；函数y=-x+2，在整个定义域内y 随x 的增大而减小.(2)函数y=x 2，在［0,+∞)上y 随x 的增大而增大，在(-∞,0)上y 随x 的增大而减小.(3)函数y=x1，在(0,+∞)上y 随x 的增大而减小，在(-∞,0)上y 随x 的增大而减小.②如果函数f(x)在某个区间上随自变量x 的增大，y 也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数f(x)在某个区间上随自变量x 的增大，y 越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数.③不能.④(1)在给定区间内取两个数，例如2和3，因为22<32，所以f(x)=x 2在［0,+∞)上为增函数.(2)仿(1)，取多组数值验证均满足，所以f(x)=x 2在［0,+∞)上为增函数.(3)任取x 1、x 2∈［0,+∞),且x 1<x 2,因为x 12-x 22=(x 1+x 2)(x 1-x 2)<0,即x 12<x 22.所以f(x)=x 2在［0,+∞)上为增函数.⑤略应用示例思路1例1课本P 29页例1.思路分析：利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论，再回答.点评：本题主要考查函数单调性的几何意义.图象法求函数单调区间的步骤:①画函数的图象；②观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.图象法的难点是画函数的图象，常见画法有描点法和变换法.答案：略.变式训练课本P 32练习4.例2课本P 32页例2.思路分析：按题意，只要证明函数p=Vk 在区间（0，+∞）上是减函数即可，用定义证明. 点评：本题主要考查函数的单调性.利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：（定义法）①任取x 1、x 2∈D ，且x 1<x 2；②作差f(x 1)－f(x 2)；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；。
优秀教案新部编本10-函数的单调性与最大(小)值(1)
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大（小）值（１）教材分析函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据．在教材中起着承上启下的作用。
一方面，是初中有关内容的深化，提高，使学生对函数单调性从感性认识提高到理性认识。
另一方面，可以通过对函数单调性的学习，为后面学习指数函数、对数函数、及数列这种特殊的函数打下基础，与不等式、求函数的值域、最值，导数等等都有着紧密的联系。
课时分配 本内容需两课时，本节是1 课时，主要学习函数单调性概念，简单的函数单调性判断方法及应用.教学目标重点:函数单调性的概念，判断、证明函数的单调性.难点:引导学生归纳并抽象出函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性. 知识点:函数单调性概念，简单的函数单调性判断方法及应用.能力点:培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，培养学生数形结合，辩证思维的能力。
教育点：发现形和数的统一和谐美，体会自己发现、解决问题的乐趣。
自主探究点:简单函数的单调性.考试点:函数单调性的判断;含参问题的求解.易错易混点:求单调性忽视定义域，单调区间的的不能合并，作差变形是否充分 拓展点:利用单调性比较大小，求参数取值范围。
教具准备 教学案、三角板一、引入新课1 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：【师生活动】师：引导学生观察图像的升降变化 生：看图说出自己的看法【设计意图】启发学生由图像获取函数性质的直观认识，引出新课二、探究新知分别作出函数22,2,y x y x y x =+=-+=的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？【设计意图】引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．思考： 2y x =的图象在y 轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？【师生活动】师：指导学生完成2y x =的对应值表1.3.并观察表格中，自变量x 的值从0到5变化时，函数值y 如何变化.生:观察表格回答(自变量x 的值增大,函数值y y 增大).师:在(0,+∞)上,任意改变1x ，2x 的值,当12x x <时,都有2212x x <.吗? 生:验证是否都有2212x x <（可以借助计算器）。
函数的单调性及最大(小)值教案
1、物理中的波伊尔定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积 v
V 减小时，压强 v 将增大，试用函数的单调性证明之。
2、已知函数 f (x) x2 2x, g(x) x2 2x(x [2,4]). （1）求 f (x), g(x) 的单调区间； （2）求 f (x), g(x) 的最小值；
【最大（小）值的概念】
一般的，设函数 y f (x) 的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：
（1）对于任意的 x I ，都有 f (x) M ；
（2）存在 x0 I ，使得 f (x0 ) M . 那么，我们称 M 是函数 y f (x) 的最大值.
思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数 y f (x) 的最小值的定义吗？
课题
教材目次
教 学 目 标
教学重点 教学难点 教学方法 教学媒体
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函数新授
课时
1 课时
人教版普通高中课程标准版教科书
数学 1（必修）第一章第 3 节第一课时
【知识和技能】
1、 会根据函数图象描述图象的变化规律，掌握函数单调性的判断；
2、 理解最大（小）值得概念，并能准确求出函数的最大（小）值。
【过程与方法】
高中数学 单调性与最大(小)值教案1 新人教版必修1
课题：单调性与最大（小）值（一）课型：新授课教学目标：理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念，掌握增（减）函数的证明和判别, 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
教学重点：掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。
教学难点：理解概念。
教学过程：一、复习准备：1.引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？2. 观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律：①随x的增大，y的值有什么变化？②能否看出函数的最大、最小值？③函数图象是否具有某种对称性？3. 画出函数f(x)= x＋2、f(x)= x2的图像。
（小结描点法的步骤：列表→描点→连线）二、讲授新课：1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念：①根据f(x)＝3x＋2、 f(x)＝x2 (x>0)的图象进行讨论：随x的增大，函数值怎样变化？当x1>x2时，f(x1)与f(x2)的大小关系怎样？②.一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？③定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）④探讨：仿照增函数的定义说出减函数的定义；→区间局部性、取值任意性⑤定义：如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间。
⑥讨论：图像如何表示单调增、单调减？所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？⑦一次函数、二次函数、反比例函数的单调性2.教学增函数、减函数的证明：例1．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？1、例题讲解例1（P29例1）如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？例2：（P29例2）物理学中的玻意耳定律k p V=（k 为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积V 增大时，压强p 如何变化？试用单调性定义证明. 例3．判断函数21y x =-在区间[2，6] 上的单调性 三、巩固练习：1.求证f(x)＝x ＋x 1的(0,1)上是减函数，在[1,+∞]上是增函数。
2019-2020学年新人教A版必修一 3.2.1 单调性与最大(小)值 教案
教学目的：（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义． 教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值． 教学过程： 一、引入课题画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：○1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； ○2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ （1）32)(+-=x x f（2）32)(+-=x x f ]2,1[-∈x （3）12)(2++=x x x f（4）12)(2++=x x x f ]2,2[-∈x二、新课教学（一）函数最大（小）值定义1．最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ； （2）存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M那么，称M 是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value ）．思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value ）的定义．（学生活动）注意：○1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M ； ○2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M （f(x)≥M ）． 2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法 ○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○2 利用图象求函数的最大（小）值 ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)； （二）典型例题例1．（教材P 36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值． 解：（略）说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．巩固练习：如图，把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料， 如果矩形一边长为x ，面积为y 试将y 表示成x 的函数，并画出 函数的大致图象，并判断怎样锯 才能使得截面面积最大？ 例2．（新题讲解）旅 馆 定 价一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．设y 为旅馆一天的客房总收入，x 为与房价160相比降低的房价，因此当房价为)160(x -元时，住房率为)%102055(⋅+x，于是得 y =150·)160(x -·)%102055(⋅+x． 由于)%102055(⋅+x≤1，可知0≤x ≤90． 因此问题转化为：当0≤x ≤90时，求y 的最大值的问题．25将y 的两边同除以一个常数0.75，得y 1=－x 2＋50x ＋17600．由于二次函数y 1在x =25时取得最大值，可知y 也在x =25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）例3．（教材P 37例4）求函数12-=x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值． 解：（略）注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式． 巩固练习：（教材P 38练习4） 三、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 四、作业布置提高作业：快艇和轮船分别从A 地和C 地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45 km/h 和15 km/h ，已知AC=150km ，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？ABC。
《函数的单调性与最大小值》教学设计第一课时完美版
《函数的单调性与最大(小)值》教学设计(第一课时)完美版《函数的单调性与最大(小)值》教学设计一、教学内容分析本节课是高中数学二年级必修内容，函数单调性的学习是学生在集合、初等函数学习之后，对函数性质学习的延续；也是为后续研究指数函数、对数函数、三角函数的学习打下基础。
函数单调性的学习不仅是学生对函数性质认识的深化，也是学生由“数”到“形”的一次重要转变。
二、学生学习情况分析高二年级的学生已经具备了一定的抽象思维能力和数形结合思想，他们已经掌握了一定的集合、初等函数的知识，并具备了一定的观察、分析和解决问题的能力。
然而，他们对函数单调性的认识可能还不够深入，对这一概念的掌握可能还比较表面。
因此，本节课着重引导学生通过观察图象、表格，由直观到抽象，逐步加深对函数单调性的理解。
三、设计理念本节课的设计注重学生的认知规律，从学生已有的知识出发，通过实例分析和问题引导，逐步引导学生认识函数单调性，并学会利用单调性分析和解决问题。
教学中，通过展示函数的图象和数据表格，引导学生观察、分析、归纳，让学生感受数形结合的数学思想。
同时，通过小组讨论和合作探究，鼓励学生积极参与，互相交流，培养学生的合作意识和数学交流能力。
四、教学目标1.知识与技能：理解函数单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法；会利用函数单调性解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等教学活动，培养学生的观察、分析和抽象思维能力；通过小组讨论和合作探究，培养学生的合作意识和数学交流能力。
3.情感态度价值观：让学生体验到数学概念的产生、发展过程，感受数学思考的严谨性和逻辑性；通过自主探究和合作学习，培养学生的创新意识和探究精神。
五、教学重点难点1.教学重点：函数单调性的概念和判断方法。
2.教学难点：利用函数单调性解决实际问题；正确理解函数单调性的概念。
六、教学过程设计1.导入新课复习前面学习的集合、初等函数的基础知识；让学生回顾自己在学习生活中遇到的一些直观的或感受到的关于函数单调性的例子；引导学生通过举例子的方式引入课题。
单调性与最大(小)值 教学设计高一上数学人教A版(2019)必修一
其中f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数，
在区间[-2,1),[3,5]上是增函数。
解题技巧：〔利用图象确定函数的单调区间〕
1.函数单调性的几何意义:在单调区间上,假设函数的图象“上升〞,那么函数为增区间;假设函数的图象“下
2、它们分别反映了相应函数有什么变化规律？
①随x的增大，y的值有什么变化？
②能否看出函数的最大、最小值？
二、探索新知
探究一 单调性
在初中，我们利用函数图像研究过函数值随自变量的增大而增大〔或〕减小的性质，这一性质叫做函数的单调性.
1、思考：如何利用函数解析式 描述“随着x的增大，相应的f(x)随着增大？〞
5.数学建模：在具体问题情境中运用单调性和最值解决实际问题。
教学重难点
重点：1、函数单调性的定义及单调性判断和证明；
2、利用函数单调性或图像求最值.
难点：根据定义证明函数单调性．
课前准备
多媒体
教学
环节
时间
安排
教师活动
学生活动
设计
意图
批注
2min
35min
3min
一、复习回忆，情景导入
1. 观察这些函数图像，你能说说他们分别反映了相应函数的哪些特征吗？
〔1〕对于任意的x ∈I，都有f (x) ≤M;
〔2〕存在 ，使得 .
那么M是函数y= f (x)的最大值〔maximum value〕
2、思考：能否仿照函数的最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义呢？
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实数M满足：
〔1〕对于任意的的x∈I，都有f(x) ≥M;
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2019-2020年高一数学《函数的单调性与最大（小）值（1）》教学设计一、内容与解析(一）内容：函数单调性的概念（二）解析：函数单调性研究的是函数值随自变量的变化规律；其核心是从定量的角度探讨自变量增大时，函数值的大小变化；理解它关键在于如何从图象的变化趋势转换到式子的变化特征。
在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高。
研究了函数的单调性后可以为继续研究函数的最值奠定坚实的基础，有了用图象探究函数单调性的方法也可以为我们继续探究函数的奇偶性、用导数研究函数的单调性提供方法依据，所以研究函数的单调性在思想上、方法上都为我们继续学习提供了基础，是函数体系中的核心内容。
教学的重点是(函数单调性形式化定义的形成),解决重点的关键是让学生经历从直观到抽象，以图识数的过程，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程。
二、教学目标及解析 (一)教学目标:1. 初步了解从图象语言到符号语言的过程，体验数学概念的形成过程。
2.理解函数单调性的定义及其几何意义 (二)解析:(1)就是指通过对函数单调性的研究，让学生经历从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。
(2)就是指能用三种语言描述特别是数学符号语言描述函数的单调性的意义。
三、问题诊断分析在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是：（1）式子的大小是如何反映函数值随自变量的增大而增大、增大而减小。
（2）单调区间是定义域的子集。
产生这些问题的原因是学生从定性描述转换到定量描述的理解不够，从变到不变的相对性理解不够.要解决这一问题,就是要从不等关系中去理解变的特征. 四、教学过程 问题与题例（一）创设情景，揭示课题1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○2 能否看出函数的最大、最小值？ ○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1 从左至右图象上升还是下降 ______?○2在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．（2）f(x) = -x+2○1从左至右图象上升还是下降 ______?○2在区间 ____________ 上，随着x的增Array大，f(x)的值随着 ________ ．（3）f(x) = x2○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．○2在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．3、从上面的观察分析，能得出什么结论？学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。
（二）研探新知1、y = x2的图象在y轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？学生通过观察、思考、讨论，归纳得出：函数y = x2在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞）上的任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有x12＜x22 . 即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数。
2．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）．3、从函数图象上可以看到，y= x2的图象在y轴左侧是下降的，类比增函数的定义，你能概括出减函数的定义吗？注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；○2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1， x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) ．4．函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：（三）质疑答辩，发展思维。
根据函数图象说明函数的单调性．例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解：略点评：从图像中看出函数的单调区间是立即单调性的基础。
变式训练1函数在上的单调性为（）A.减函数B.增函数.C.先增后减.D.先减后增五、目标检测《优化设计》1.5.1《自我测评》六、课堂小结本节学习了:①函数的单调性;②判断函数单调性的方法:定义法和图象法.活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结.2019-2020年高一数学《函数的概念》教学设计一、内容与解析函数是中学数学中最重要的基本概念之一.在中学,函数的学习大致可分为三个阶段.第一阶段是在义务教育阶段,学习了函数的描述性概念,接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数,了解了它们的图象、性质等.本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段,这是对函数概念的再认识阶段.第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习,这是函数学习的进一步深化和提高.在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前,学生已经把函数看成变量之间的依赖关系;同时,虽然函数概念比较抽象,但函数现象大量存在于学生周围.因此,课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念.二、教学目标及解析1.会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号y=f(x)的含义;通过学习函数的概念,培养学生观察问题、提出问题的探究能力,进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力;启发学生运用函数模型表述、思考和解决现实世界中蕴涵的规律,逐渐形成善于提出问题的习惯,学会数学表达和交流,发展数学应用意识.2.掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念中的作用,使学生感受到学习函数的必要性和重要性,激发学生学习的积极性.三、问题诊断分析教学重点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数.教学难点:符号“y=f(x)”的含义,不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一地理解成对应关系,甚至认为函数就是函数值.四、教学支持条件分析在本节课()的教学中,准备使用(),因为使用(),有利于().五、教学过程第一课时导入新课问题:已知函数,请用初中所学函数的定义来解释y与x的函数关系？先让学生回答后,教师指出:这样解释会显得十分勉强,本节将用新的观点来解释,引出课题.推进新课新知探究提出问题1.给出下列三种对应:(幻灯片)（1）一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度为h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律是h=130t-5t2.请回答：①该问题中的自变量与因变量分别是什么？它们的取值范围用集合如何表示？②请得出炮弹飞行1s，5s，10s，20s时距地面的高度③请用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系④用符号语言描述上述的依赖关系时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}.则有对应f:t→h=130t-5t2,t∈A,h∈B.（2）近几十年来,大气层的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧洞问题.图1-2-1-1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位:106 km2)随时间t(单位:年)从1979~xx年的变化情况.图1-2-1-1请回答：①该问题中的自变量与因变量分别是什么？它们的取值范围用集合如何表示？②从图中可以看出哪一年臭氧空洞面积最大？哪些年的臭氧空洞的面积大约为1500万平方千米？③请用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系④用符号语言描述上述的依赖关系根据图1-2-1-1中的曲线,可知时间t的变化范围是数集A={t|1979≤t≤xx},空臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B={S|0≤S≤26},则有对应:f:t→S,t∈A,S∈B.（3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明,“八五”计划以来,我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.①恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？如何用集合与对应的语言来描述这个关系？②用符号语言描述上述的依赖关系根据上表,可知时间t的变化范围是数集A={t|1991≤t≤xx},恩格尔系数y的变化范围是数集B={S|37.9≤S≤53.8}.则有对应:f:t→y,t∈A,y∈B.（2）以上三个实例有什么共同特点？（3）请用集合的观点给出函数的定义. 函数f:A→B的值域为C,那么集合B=C吗？初中函数定义：在某一变化过程中，有两个变量x，y。
在某一法则的作用下，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与其相对应，这时，就称y是x的函数。
这时，x是自变量，y是因变量。
高中函数定义：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作：其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
活动：让学生认真思考三个对应,也可以分组讨论交流,引导学生找出这三个对应的本质共性. 解：(1)共同特点是:集合A 、B 都是数集,并且对于数集A 中的每一个元素x,在对应关系f:A→B 下,在数集B 中都有唯一确定的元素y 与之对应.(2)一般地,设A 、B 都是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A 中的任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中x 叫自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(3)自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围.(4)函数有意义是指:自变量的取值使分母不为0;被开方数为非负数;如果函数有实际意义时,那么还要满足实际取值等等. (5)CB. 应用示例思路11.已知函数f(x)=+, (1)求函数的定义域; (2)求f(-3),f()的值;(3)当a>0时,求f(a),f(a-1)的值. 活动：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,故转化为求使和有意义的自变量的取值范围;有意义,则x+3≥0, 有意义,则x+2≠0,转化解由x+3≥0和x+2≠0组成的不等式组.(2)让学生回想f(-3),f()表示什么含义？f(-3)表示自变量x=-3时对应的函数值,f()表示自变量x=时对应的函数值.分别将-3,代入函数的对应法则中得f(-3),f()的值.(3)f(a)表示自变量x=a 时对应的函数值,f(a-1)表示自变量x=a-1时对应的函数值. 分别将a,a-1代入函数的对应法则中得f(a),f(a-1)的值.解：(1)要使函数有意义,自变量x 的取值需满足解得-3≤x<-2或x>-2, 即函数的定义域是［-3,-2)∪(-2,+∞). (2)f(-3)=+=-1; f()=2321332+++=.(3)∵a>0,∴a∈［-3,-2)∪(-2,+∞), 即f(a),f(a-1)有意义. 则f(a)=+; f(a-1)==. 点评：本题主要考查函数的定义域以及对符号f(x)的理解.求使函数有意义的自变量的取值范围,通常转化为解不等式组.f(x)是表示关于变量x 的函数,又可以表示自变量x 对应的函数值,是一个整体符号,分开符号f(x)没有什么意义.符号f 可以看作是对“x”施加的某种法则或运算.例如f(x)=x 2-x+5,当x=2时,看作“2”施加了这样的运算法则:先平方,再减去2,再加上5;当x 为某一代数式(或某一个函数记号时),则左右两边的所有x 都用同一个代数式(或某一个函数)来代替.如:f(2x+1)=(2x+1)2-(2x+1)+5,f［g(x)］=［g(x)］2-g(x)+5等等.符号y=f(x)表示变量y是变量x的函数,它仅仅是函数符号,并不表示y等于f与x的乘积;符号f(x)与f(m)既有区别又有联系,当m是变量时,函数f(x)与函数f(m)是同一个函数;当m 是常数时,f(m)表示自变量x=m对应的函数值,是一个常量.已知函数的解析式,求函数的定义域,就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围,即:(1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R.(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.(3)如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集).(5)对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.2.已知函数f(x)的定义域是［-1,1］,则函数f(2x-1)的定义域是________.分析:要使函数f(2x-1)有意义,自变量x的取值需满足-1≤2x-1≤1,∴0≤x≤1.答案：［0,1］思路2若一系列函数的解析式相同,值域相同,但是定义域不同,则称这些函数为“同族函数”.那么解析式为y=x2,值域是{4}的“同族函数”共有个分析:“同族函数”的个数由定义域的个数来确定,此题中每个“同族函数”的定义域中至少含有1个绝对值为1的实数和绝对值为2的实数.令x2=1,得x=±1;令x2=4,得x=±2.所有“同族函数”的定义域分别是{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},{1,-1,2},{1,-1,-2},{1,-2,2},{-1,-2,2},{1,-1,-2,2},则“同族函数”共有9个.答案：A思路3下列图象中不能作为函数的图象的是（）A课堂小结本节课学习了:函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号f(x)的理解.作业课本P24,习题1.2A组1、5.第二课时导入新课思路1.当实数a、b的符号相同,绝对值相等时,实数a=b;当集合A、B中元素完全相同时,集合A=B;那么两个函数满足什么条件才相等呢？引出课题:函数相等.思路2.我们学习了函数的概念,y=x与y=是同一个函数吗？这就是本节课学习的内容,引出课题:函数相等.推进新课新知探究提出问题①指出函数y=x+1的构成要素有几部分？②一个函数的构成要素有几部分？③分别写出函数y=x+1和函数y=t+1的定义域和对应关系,并比较异同.④函数y=x+1和函数y=t+1的值域相同吗？由此可见两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域相同吗？⑤由此你对函数的三要素有什么新的认识？讨论结果：①函数y=x+1的构成要素为:定义域R,对应关系x→x+1,值域是R.②一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,简称为函数的三要素.其中定义域是函数的灵魂,对应关系是函数的核心.当且仅当两个函数的三要素都相同时,这两个函数才相同.③定义域和对应关系分别相同.④值域相同.⑤如果两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么它们的值域一定相等.因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等.应用示例思路11.下列函数中哪个与函数y=x相等？(1)y=()2;(2)y=;(3)y=;(4)y=.活动：让学生思考两个函数相等的条件后,引导学生求出各个函数的定义域,化简函数关系式为最简形式.只要它们定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等.解：函数y=x的定义域是R,对应关系是x→x.(1)∵函数y=()2的定义域是［0,+∞),∴函数y=()2与函数y=x的定义域R不相同.∴函数y=()2与函数y=x不相等.(2)∵函数y=的定义域是R,∴函数y=与函数y=x的定义域R相同.又∵y==x,∴函数y=与函数y=x的对应关系也相同.∴函数y=与函数y=x相等.(3)∵函数y=的定义域是R,∴函数y=与函数y=x的定义域R相同.又∵y==|x|,∴函数y=与函数y=x的对应关系不相同.∴函数y=与函数y=x不相等.(4)∵函数y=的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),∴函数y=与函数y=x的定义域R不相同,∴函数y=()2与函数y=x不相等.点评：本题主要考查函数相等的含义.讨论函数问题时,要保持定义域优先的原则.对于判断两个函数是否是同一个函数,要先求定义域,若定义域不同,则不是同一个函数;若定义域相同,再化简函数的解析式,若解析式相同(即对应关系相同),则是同一个函数,否则不是同一个函数.变式训练判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由.①y=x-1,x∈R与y=x-1,x∈N;②y=与y=·;③y=1+与u=1+;④y=x2与y=x;⑤y=2|x|与y=⑥y=f(x)与y=f(u).是同一个函数的是________(把是同一个函数的序号填上即可).解：只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可.①前者的定义域是R,后者的定义域是N,由于它们的定义域不同,故不是同一个函数;②前者的定义域是{x|x≥2或x≤-2},后者的定义域是{x|x≥2},它们的定义域不同,故不是同一个函数;③定义域相同均为非零实数,对应法则相同都是自变量取倒数后加1,那么值域必相同,故是同一个函数;④定义域是相同的,但对应法则不同,故不是同一个函数;⑤函数y=2|x|=则定义域和对应法则均相同,那么值域必相同,故是同一个函数;⑥定义域相同,对应法则相同,那么值域必相同,故是同一个函数.故填③⑤⑥.思路21.判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数,说明理由.(1)f(x)=(x-1)0,g(x)=1.(2)f(x)=x-1,g(x)=.(3)f(x)=x2,g(x)=(x+1)2.(4)f(x)=x2-1,g(u)=u2-1.活动：学生思考函数的概念及其三要素,教师引导学生先判断定义域是否相同,当定义域相同时,再判断它们的对应关系是否相同.解：(1)∵f(x)=(x-1)0的定义域是{x|x≠1},函数g(x)=1的定义域是R,∴函数f(x)=(x-1)0与函数g(x)=1的定义域不同.∴函数f(x)=(x-1)0与函数g(x)=1不表示同一个函数.(2)∵f(x)=x-1的定义域是R,g(x)==的定义域是R,∴函数f(x)=x-1与函数g(x)=的定义域相同.又∵g(x)===|x-1|,∴函数f(x)=x-1与函数g(x)=的对应关系不同.∴函数f(x)=x-1与函数g(x)=不表示同一个函数.(3)很明显f(x)=x2和g(x)=(x+1)2的定义域都是R,又∵f(x)=x2和g(x)=(x+1)2的对应关系不同,∴函数f(x)=x2和g(x)=(x+1)2不表示同一个函数.(4)很明显f(x)=x2-1与g(u)=u2-1的定义域都是R,又∵f(x)=x2-1与g(u)=u2-1的对应关系也相同,∴函数f(x)=x2-1与g(u)=u2-1表示同一个函数.变式训练1.xx湖北黄冈模拟,理13已知函数f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b)且f(2)=p,f(3)=q,则f(36)=_______.解：由题意得f(36)=f(6×6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(2×3)=2［f(2)+f(3)］=2p+2q.答案：2p+2q2.函数y=f(x)的图象与直线x=2的公共点共有( )A.0个B.1个C.0个或1个D.不确定答案：C2.设y是u的函数y=f(u),而u又是x的函数u=g(x),设M表示u=g(x)的定义域,N是函数y=f(u)的值域,当M∩N≠时,则y成为x的函数,记为y=f[g(x)].这个函数叫做由y=f(u)及u=g(x)复合而成的复合函数,它的定义域为M∩N,u叫做中间变量,f称为外层函数,g称为内层函数.指出下列复合函数外层函数和内层函数,并且使外层函数和内层函数均为基本初等函数.(1)y=;(2)y=(x2-2x+3)2;(3)y=-1.活动：让学生思考有哪些基本初等函数,它们的解析式是什么.解：(1)设y=,u=x+1,即y=的外层函数是反比例函数y=,内层函数是一次函数u=x+1.(2)设y=u2,u=x2-2x+3,即y=(x2-2x+3)2的外层函数是二次函数y=u2,内层函数是二次函数u=x2-2x+3.(3)设y=u2+u-1,u=,即y=-1的外层函数是二次函数y=u2+u-1,内层函数是反比例函数u=.点评：到目前为止,我们所遇到的函数大部分是复合函数,并且是由正、反比例函数和一、二次函数复合而成的,随着学习的深入,我们还会学习其他复合函数.复合函数是高考重点考查的内容之一,应引起我们的重视.变式训练1.xx重庆高考,文2设f(x)=,则=_______.答案：-12.xx安徽高考,理15函数f(x)对任意实数x满足条件f(x+2)=,若f(1)=-5,则f［f(5)］=. 分析:∵函数f(x)对任意实数x满足条件f(x+2)= ,∴f(x+4)=f［(x+2)+1］==f(x).∴f(1)=f(1+4)=f(5).又∵f(1)=-5,∴f(5)=-5.∴f［f(5)］=f(-5) =f(-5+4)=f(-1)=f(-1+4)=f(3)=f(1+2)==.答案：知能训练1.下列给出的四个图形中,是函数图象的是( )A.①B.①③④C.①②③D.③④图1-2-1-2答案：B2.函数y=f(x)的定义域是R,值域是［1,2］,则函数y=f(2x-1)的值域是_______.答案：［1,2］3.下列各组函数是同一个函数的有________.①f(x)=,g(x)=x;②f(x)=x0,g(x)=;③f(x)=,g(u)=;④f(x)=-x2+2x,g(u)=-u2+2u.答案：②③④拓展提升问题:函数y=f(x)的图象与直线x=m有几个交点？探究:设函数y=f(x)定义域是D,当m∈D时,根据函数的定义知f(m)唯一,则函数y=f(x)的图象上横坐标为m的点仅有一个(m,f(m)),即此时函数y=f(x)的图象与直线x=m仅有一个交点;当时,根据函数的定义知f(m)不存在,则函数y=f(x)的图象上横坐标为m的点不存在,即此时函数y=f(x)的图象与直线x=m没有交点.综上所得,函数y=f(x)的图象与直线x=m有交点时仅有一个,或没有交点.课堂小结(1)复习了函数的概念,总结了函数的三要素;(2)学习了复合函数的概念;(3)判断两个函数是否是同一个函数.作业1.设M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列4个图形,其中能表示以集合M为定义域,N为值域的函数关系是( )图1-2-1-3分析:A中,当0<x≤2时,N中没有元素与x对应,不能构成函数关系;C中一个x有两个y与之对应,所以不是函数关系;D中,表示函数关系,但是表示的函数值域不是N.答案：B2.某公司生产某种产品的成本为1000元,以1100元的价格批发出去,随生产产品数量的增加,公司收入_______,它们之间是关系________.分析:由题意,多生产一单位产品则多收入100元.生产产品数量看成是自变量,公司收入看成是因变量,容易得出对于自变量的每一个确定值,因变量都有唯一确定值与之对应,从而判断两者是函数关系.答案：增加函数3.函数y=x2与S=t2是同一函数吗?答:函数的确定只与定义域与对应关系有关,而与所表示的字母无关,因此y=x2与S=t2表示的是同一个函数.因此并非字母不同便是不同的函数,这是由函数的本质决定的.。