2019版高考数学一轮总复习第七章不等式及推理与证明题组训练42简单的线性规划理2018051549
2019届高考数学一轮复习 第七章 不等式 推理与证明 7-3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划
[知识梳理] 1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
[温馨提示] 一个口诀：直线定界，特殊点定域；同侧同号， 异侧异号．
(1)已知点(－3，－1)和(4，－6)分别在直线 3x－2y－a＝0 的 两侧，则 a 的取值范围为 (－7,24) ．
提示：因为(－3，－1)和(4，－6)分别在直线 3x－2y－a＝0 两侧，所以[3×(－3)－2×(－1)－a]×[3×4－2×(－6)－a]<0，即 (a＋7)(a－24)<0，解得－7<a<24.
(2)如图所示的平面区域(阴影部分)，用不等式表示为 2x－y－3>0 .
提示：由 2×0－0－3<0，平面区域为原点所在的另一侧区域， 所以不等式为 2x－y－3>0.
2．线性规划中的基本概念
[小题速练] 1．下列结论错误的是( ) A．不等式 Ax＋By＋C>0 表示的平面区域一定在直线 Ax＋By ＋C＝0 的上方 B．第二、四象限表示的平面区域可以用不等式 xy<0 表示 C．线性目标函数的最优解可能是不唯一的 D．线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界 上
[解析] Ax＋By＋C>0 表示的区域在直线 Ax＋By＋C＝0 的 上方还是下方，可用特殊点代入来确定．
[答案] A
2．不等式组xx＋ ＋3y－y－2>6≤0 0， 表示的平面区域是(
)
[解析] 不等式 x＋3y－6≤0 表示直线 x＋3y－6＝0 以及该直 线左下方的区域，不等式 x＋y－2>0 表示直线 x＋y－2＝0 的右上 方区域，故选 B.
4．(2017·北京卷)若 x，y 满足xx＋≤y3≥，2， y≤x，
则 x＋2y 的最大
2019-2020年高考高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第三节简单的线性规划课件理
【例 3】 (1)(2016·河南郑州二模)若实数 x，y 满足2y≥x－x，y≥0， 且 y≥－x＋b，
z＝2x＋y 的最小值为 4，则实数 b 的值为( )
5
A.1
B.2
C.2
D.3
(2)(2016·山东日照模拟)已知不等式组xx－＋yy≥≤－1，1，所表示的平 y≥0，
的约束条件
目标函数 关于x、y的解析式
线性目标函数 关于x、y的一次解析式 可行解 满足 线性约束条件 的解(x，y) 可行域 所有 可行解 组成的集合 最优解 使目标函数达到 最大值 或 最小值 的可行解 线性规 求线性目标函数在线性约束条件下的 最大值 或 Z最小值 划问题 的问题
2.线性规划的实际应用 (1)在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型 一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源 能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任 务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务耗费的人力、物力 资源最小. (2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤 ①分析并将已知数据列出表格； ②确定线性约束条件； ③确定线性目标函数； ④画出 可行域 ； ⑤利用线性目标函数(直线)求出 最优解 ； ⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解.
各个不等式所表示平面区域的___公__共__部__分___
2.二元一次不等式表示的平面区域的确定 二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直 线上的点(x0，y0)作为测试点来进行判定，满足不等式的，则 平面区域在测试点位于直线的一侧，反之在直线的另一侧.
►一个口诀：直线定界，特殊点定域；同侧同号，异侧异号. (1)已知点(－3，－1)和(4，－6)分别在直线3x－2y－a＝0的两 侧，则a的取值范围为________. 解析 因为(－3，－1)和(4，－6)分别在直线3x－2y－a＝0两 侧，所以[3×(－3)－2×(－1)－a]×[3×4－2×(－6)－a]＜0， 即(a＋7)(a－24)＜0，解得－7＜a＜24. 答案 (－7，24)
(福建专用)2019高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.2 基本不等式及其应用 理 新人教A版
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
关闭
a>0,且
b>0⇒������
+������ 2
≥
������������,但������
+������ 2
≥
������������
a>0,且 b>0,只能推出 a≥0,
且 b≥0.
关闭
A
解析 答案
知识梳理 考点自测
12345
3.函数 f(x)=x+1������(x<0)的值域为( )
x=2,y=0
时等号成立.
则8
(������ +2)(������ +4)
≥
8 16
=
12,其最小值为12.故选
B.
(2)(方法一)由已知得 x=91-+3������������.
∵x>0,y>0,∴0<y<3,
∴x+3y=91-+3������������ +3y=11+2������ +(3y+3)-6≥2
∴ 1+1
������
1+1
������
=
2 + ������
������
2 + ������
������
=5+2
������ + ������
������ ������
≥5+4=9,
当且仅当������
������
=
������ ������
,
即 a=b=12时,等号成立.
∴ 1+1
������
高三理科数学一轮总复习第七章 不等式
第七章不等式高考导航知识网络7.1 不等式的性质典例精析题型一 比较大小【例1】已知a ＞0，a ≠1，P ＝log a (a 3－a ＋1)，Q ＝log a (a 2－a ＋1)，试比较P 与Q 的大小. 【解析】因为a 3－a ＋1－(a 2－a ＋1)＝a 2(a －1)， 当a ＞1时，a 3－a ＋1＞a 2－a ＋1，P ＞Q ； 当0＜a ＜1时，a 3－a ＋1＜a 2－a ＋1，P ＞Q ； 综上所述，a ＞0，a ≠1时，P ＞Q .【点拨】作差比较法是比较两个实数大小的重要方法之一，其解题步骤为：①作差； ②变形；③判断符号；④得出结论.【变式训练1】已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝x －2(x ≥12)，则m ，n 之间的大小关系为( )A.m ＜nB.m ＞nC.m ≥nD.m ≤n【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递. m ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2≥2＋2＝4，而n ＝x －2≤(12)－2＝4.题型二 确定取值范围【例2】已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围.【解析】因为－π2≤α＜β≤π2，所以－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4，两式相加得－π2＜α＋β2＜π2.又－π4≤－β2＜π4，所以－π2≤α－β2＜π2，又因为α＜β，所以α－β2＜0，所以－π2≤α－β2＜0，综上－π2＜α＋β2＜π2，－π2≤α－β2＜0为所求范围.【点拨】求含字母的数(式)的取值范围，一定要注意题设的条件，否则易出错，同时在变换过程中，要注意准确利用不等式的性质.【变式训练2】已知函数f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围. 【解析】由已知－4≤f (1)＝a －c ≤－1，－1≤f (2)＝4a －c ≤5. 令f (3)＝9a －c ＝γ(a －c )＋μ(4a －c )，所以⎩⎨⎧-=--=+1,94μγμγ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=38,35μγ 故f (3)＝－53(a －c )＋83(4a －c )∈[－1,20].题型三 开放性问题【例3】已知三个不等式：①ab ＞0；② c a ＞db ；③bc ＞ad .以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组成多少个正确命题？【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:c a ＞d b ⇔bc －adab ＞0.(1)由ab ＞0，bc ＞ad ⇒bc －adab＞0，即①③⇒②；(2)由ab ＞0，bc －adab ＞0⇒bc －ad ＞0⇒bc ＞ad ，即①②⇒③；(3)由bc －ad ＞0，bc －adab ＞0⇒ab ＞0，即②③⇒①.故可组成3个正确命题.【点拨】这是一类开放性问题，要求熟练掌握不等式的相关性质，并能对题目条件进行恰当的等价变形.【变式训练3】a 、b 、c 、d 均为实数，使不等式a b ＞cd ＞0和ad ＜bc 都成立的一组值(a ，b ，c ，d )是_______________(只要写出符合条件的一组即可).【解析】写出一个等比式子，如21＝42＞0.此时内项的积和外项的积相等，减小42的分子，把上式变成不等式21＞32＞0，此时不符合ad ＜bc 的条件，进行变换可得21＞－3－2＞0，此时2×(－2)＜1×(－3).故(2,1，－3，－2)是符合要求的一组值.总结提高1.不等式中有关判断性命题，主要依据是不等式的概念和性质.一般地，要判断一个命题是真命题，必须严格证明.要判断一个命题是假命题，只要举出反例，或者由题设条件推出与结论相反的结果.在不等式证明和推理过程中，关键是要弄清每个性质的条件与结论及其逻辑关系，要注意条件的弱化与加强，不可想当然.如在应用ab ＞0，a ＞b ⇒1a ＜1b 这一性质时，不可弱化为a ＞b ⇒1a ＜1b ，也不可强化为a ＞b ＞0⇒1a ＜1b.2.题设条件含有字母，而结论唯一确定的选择题，采用赋值法解答可事半功倍.3.比较大小的常用方法是作差比较法和作商比较法，变形是关键.7.2 简单不等式的解法典例精析题型一 一元二次不等式的解法 【例1】解下列不等式： (1)x 2－2x －3＞0；(2)已知A ＝{x |3x 2－7x ＋2＜0}，B ＝{x |－2x 2＋x ＋1≤0}，求A ∪B ，(∁R A )∩B . 【解析】(1)方程两根为x 1＝－1，x 2＝3， 所以原不等式解集为{x |x ＜－1或x ＞3}.(2)因为A ＝{x |13＜x ＜2}，∁R A ＝{x |x ≤13或x ≥2}，B ＝{x |x ≤－12或x ≥1}，所以A ∪B ＝{x |x ≤－12或x ＞13}，(∁R A )∩B ＝{x |x ≤－12或x ≥2}.【点拨】一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函数联系非常紧密，要注意转化，同时要熟练掌握一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系.对于Δ＞0的不等式解集简称“大于取两端，小于取中间”.【变式训练1】设函数f (x )＝⎩⎨⎧≤++>-),0()0(22x c bx x x 若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为( )A.(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B.[－3，－1]C.[－3，－1]∪(0，＋∞)D.[－3，＋∞)【解析】选C.由已知对x ≤0时f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (－4)＝f (0)，知其对称轴为x ＝－2，故－b2＝－2⇒b ＝4.又f (－2)＝0，代入得c ＝4，故f (x )＝⎩⎨⎧≤++>-),0(44)0(22x x x x分别解之取并集即得不等式解集为[－3，－1]∪(0，＋∞). 题型二 解含参数的一元二次不等式问题【例2】解关于x 的不等式mx 2＋(m －2)x －2＞0 (m ∈R ).【解析】当m ＝0时，原不等式可化为－2x －2＞0，即x ＜－1； 当m ≠0时，可分为两种情况：(1)m ＞0 时，方程mx 2＋(m －2)x －2＝0有两个根，x 1＝－1，x 2＝2m .所以不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞2m}；(2)m ＜0时，原不等式可化为－mx 2＋(2－m )x ＋2＜0， 其对应方程两根为x 1＝－1，x 2＝2m ，x 2－x 1＝2m －(－1)＝m ＋2m .①m ＜－2时，m ＋2＜0，m ＜0，所以x 2－x 1＞0，x 2＞x 1， 不等式的解集为{x |－1＜x ＜2m }；②m ＝－2时，x 2＝x 1＝－1，原不等式可化为(x ＋1)2＜0，解集为∅； ③－2＜m ＜0时，x 2－x 1＜0，即x 2＜x 1， 不等式解集为{x |2m ＜x ＜－1}.综上所述：当m ＜－2时，解集为{x |－1＜x ＜2m }；当m ＝－2时，解集为∅；当－2＜m ＜0时，解集为{x |2m ＜x ＜－1}；当m ＝0时，解集为{x |x ＜－1}； 当m ＞0时，解集为{x |x ＜－1或x ＞2m}.【点拨】解含参数的一元二次不等式，首先要判断二次项系数的符号，其次讨论根的情况，然后讨论根的大小，最后依据二次项系数的符号和根的大小写出解集.【变式训练2】解关于x 的不等式ax －1x ＋1＞0.【解析】原不等式等价于(ax －1)(x ＋1)＞0. 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＜－1}； 当a ＞0时，不等式的解集为{x |x ＞1a 或x ＜－1}；当－1＜a ＜0时，不等式的解集为{x |1a ＜x ＜－1}；当a ＝－1时，不等式的解集为∅；当a ＜－1时，不等式的解集为{x |－1＜x ＜1a }.题型三 一元二次不等式与一元二次方程之间的联系【例3】已知ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |1＜x ＜3}，求不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集. 【解析】由于ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |1＜x ＜3}，因此a ＜0，且ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为1、3，则－b a ＝1＋3，c a ＝1×3，即b a ＝－4，ca ＝3.又a ＜0，不等式cx 2＋bx ＋a ＜0可以化为c a x 2＋ba x ＋1＞0，即3x 2－4x ＋1＞0，解得x ＜13或x ＞1.【点拨】解一元二次不等式时，要注意联系相应的一元二次方程与一元二次函数，明确一元二次不等式的解区间的端点就是相应一元二次方程的根.【变式训练3】(2009江西)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝ . 【解析】 2.作出函数y ＝9－x 2和y ＝k (x ＋2)－2的图象，函数y ＝9－x 2的图象是一个半圆，函数y ＝k (x ＋2)－2的图象是过定点(－2，－2)的一条动直线.依题意，半圆在直线下方的区间长度为2，则必有a ＝1，即 1是方程9－x 2＝k (x ＋2)－2的根，代入得k ＝2.总结提高1.解一元二次不等式的一般步骤:(1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零； (2)计算相应的判别式；(3)当Δ＞0时，求出相应的一元二次方程的两根； (4)根据一元二次不等式的结构，写出其解集.2.当含有参数时，需分类讨论.分类标准往往根据需要而设定.如：是一元一次不等式还是一元二次不等式；开口方向如何；根的判别式的正负；根的大小等.3.要注意三个“二次”之间的联系，重视数形结合思想的应用.7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题典例精析题型一 平面区域【例1】已知函数f (x )的定义域为[－2，＋∞)，且f (4)＝f (－2)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则平面区域⎪⎩⎪⎨⎧<+≥≥1)2(,0,0b a f b a 所围成的面积是( )A.2B.4C.5D.8【解析】选B.由f ′(x )的图象可知，f (x )在[－2,0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数.因为f (－2)＝f (4)＝1，所以当且仅当x ∈(－2,4)时，有f (x )＜f (－2)＝f (4)＝1.作出可行域如图所示，其围成的图形面积为4.【点拨】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.【变式训练1】若a ≥0，b ≥0，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有ax ＋by ≤1，则以a ，b 为坐标的点P (a ，b )所形成的平面区域的面积是() A.12B.π4C.1D.π2【解析】选C.当a ＝b ＝1时，满足x ＋y ≤1，且可知0≤a ≤1，0≤b ≤1，所以点P (a ，b )所形成的平面区域为边长为1的正方形，所以面积为1.本题关键是确定点所形成的区域形状.题型二 利用线性规划求最值(1)z ＝x ＋2y －4的最大值； (2)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (3)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围.【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A (1,3)，B (3,1)，C (7,9). (1)易知直线x ＋2y －4＝z 过点C 时，z 最大. 所以x ＝7，y ＝9时，z 取最大值21.(2)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0,5)的距离的平方， 过点M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上， 故z 的最小值是(|0－5＋2|2)2＝92.(3)z ＝2·y －(－12)x －(－1)表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q (－1，－12)连线斜率的2倍.因为k QA ＝74，k QB ＝38，所以z的取值范围为[34，72].【点拨】线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得，充分理解目标函数赋予的几何意义是本例的关键.【变式训练2】已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2－bx ＋1(a ，b ∈R )在区间[－1,3]上是减函数，求a ＋b 的最小值.【解析】因为f ′(x )＝x 2＋2ax －b ，f (x )在区间[－1,3]上是减函数.所以f ′(x )≤0在[－1,3]上恒成立.则作出点(a ，b )表示的平面区域.令z ＝a ＋b ，求出直线－2a －b ＋1＝0与6a －b ＋9＝0的交点A 的坐标为(－1,3). 当直线z ＝a ＋b 过点A (－1,3)时，z ＝a ＋b 取最小值2. 题型三 线性规划的实际应用【例3】某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72 m 3，第二种有56 m 3.假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需要用第一种木料0.18 m 3，第二种木料0.08m 3，可获利润6元，生产一个衣柜需要用第一种木料0.09 m 3，第二种木料0.28 m 3，可获利润10元.木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少时才能使所获利润最大？最大利润是多少？【解析】设圆桌生产的张数为x ，衣柜生产的个数为y ，所获利润为z ，则z ＝6x ＋10y ，当直线l ：6x ＋10y ＝0平移到经过点M (350,100)时，z ＝6x ＋10y 最大. z max ＝6×350＋10×100＝3 100，所以生产圆桌350张，衣柜100个可获得最大利润3 100元.【点拨】解实际线性规划问题，首先设出变量，建立不等式模型表示出约束条件，一定要注意问题的实际意义(如本题中x ≥0，y ≥0)，然后画出可行域，利用图形求解.【变式训练3】某实验室需购某种化工原料至少106千克，现在市场上该原料有两种包装：一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件下，最少要花费 元.【解析】500.设需35千克的x 袋，24千克的y 袋，则目标函数z ＝140x ＋120y ，约束条件为⎩⎨⎧∈≥+N y x y x ,106,2435当x ＝1时，y ≥7124，即y ＝3，这时z min ＝140＋120×3＝500. 总结提高1.用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知，找出约束条件和目标函数是关键.2.可行域是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，亦可是一侧开放的无限大的平面区域.3.若可行域是一个多边形，那么一般在顶点处，使目标函数值取得最值，最优解一般是多边形的某个顶点.4.实际问题的最优解要求是整数解时，这时要对最优解(非整数解)进行适当调整，其方法是在边界直线的附近寻求与目标函数直线距离最近的整点，而不要在最优解的附近寻找.7.4 基本不等式及应用典例精析题型一 利用基本不等式比较大小【例1】(1)设x ，y ∈R ＋，且xy －(x ＋y )＝1，则( ) A.x ＋y ≥2(2＋1) B.x ＋y ≤2(2＋1) C.x ＋y ≤2(2＋1)2D.x ＋y ≥(2＋1)2(2)已知a ，b ∈R ＋，则ab ，a ＋b2，a 2＋b 22，2aba ＋b的大小顺序是 . 【解析】(1)选A.由已知得xy ＝1＋(x ＋y )，又xy ≤(x ＋y 2)2，所以(x ＋y 2)2≥1＋(x ＋y ).解得x ＋y ≥2(2＋1)或x ＋y ≤2(1－2). 因为x ＋y ＞0，所以x ＋y ≥2(2＋1).(2)由a ＋b 2≥ab 有a ＋b ≥2ab ，即a ＋b ≥2ab ab ，所以ab ≥2aba ＋b .又a ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 24≤2(a 2＋b 2)4，所以a 2＋b 22≥a ＋b2， 所以a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b. 【点拨】本题(2)中的结论由基本不等式简单推导而来，可作为结论使用.【变式训练1】设a ＞b ＞c ，不等式1a －b ＋1b －c ＞λa －c 恒成立，则λ的取值范围是 .【解析】(－∞，4).因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0. 而(a －c )(1a －b ＋1b －c )＝[(a －b )＋(b －c )](1a －b ＋1b －c)≥4，所以λ＜4.题型二 利用基本不等式求最值【例2】(1)已知x ＜54，则函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值为 ；(2)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数f ′(x )，f ′(0)＞0，对任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为( )A.3B.52C.2D.32【解析】(1)因为x ＜54，所以5－4x ＞0.所以y ＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立.所以x ＝1时，y max ＝1.(2)选C.因为f (x )≥0，所以⎩⎨⎧≤-=>.0402ac b Δa 所以c ≥b 24a .又f ′(x )＝2ax ＋b ，所以f ′(0)＝b ＞0，f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝1＋a ＋c b ≥1＋4a 2＋b 24ab ≥1＋24a 2b 24ab ＝2， 当且仅当c ＝b 24a且4a 2＝b 2时等号成立.【点拨】应用基本不等式求最值时，常见的技巧是“拆或凑”，同时注意“一正、二定、三相等”这三个条件，避免出现错误.【变式训练2】已知x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，求(a ＋b )2cd 的取值范围.【解析】由等差数列、等比数列的性质得a ＋b ＝x ＋y ， cd ＝xy ，所以(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝2＋x y ＋yx ，当y x ＞0时，(a ＋b )2cd ≥4；当yx ＜0时，(a ＋b )2cd ≤0， 故(a ＋b )2cd 的取值范围是(－∞，0]∪[4，＋∞).题型三 应用基本不等式解实际应用问题【例3】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(所购面粉第二天才能使用)； (2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否可以利用此优惠条件？请说明理由.【解析】(1)设该厂x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x (x ＋1).设平均每天所支付的总费用为y 1，则y 1＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800＝900x ＋9x ＋10 809≥2x x9900 ＋10 809＝10 989， 当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时，取等号. 即该厂应10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.(2)若厂家利用此优惠条件，则至少应35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件后，每x (x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2，则y 2＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800×0.9＝900x＋9x ＋9 729(x ≥35). 因为y 2′＝9－900x 2，当x ≥35时，y 2′＞0. 所以y 2＝900x＋9x ＋9 729在[35，＋∞)上是增函数. 所以x ＝35时，y 2取最小值70 4887. 由70 4887＜10 989知，该厂可以利用此优惠条件. 【点拨】解决这类应用题，首先要依题意构造出相应的数学模型，并通过适当的变形使所得到的模型符合基本不等式的结构，再求最值.当等号不能成立时，常利用函数的单调性来处理.【变式训练3】已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝1，求S ＝2ab －4a 2－b 2的最大值.【解析】因为a ＞0，b ＞0,2a ＋b ＝1，所以4a 2＋b 2＝(2a ＋b )2－4ab ＝1－4ab ，且1＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤24，ab ≤18. 所以S ＝2ab －4a 2－b 2＝2ab －(1－4ab )＝2ab ＋4ab －1≤2－12， 当且仅当a ＝14，b ＝12时，等号成立. 总结提高1.基本不等式的几种常见变形公式：ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； 2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0). 注意不等式成立的条件及等号成立的条件.2.合理拆分或配凑因子是常用的技巧，配、凑的目的在于使几个数的积为定值或和为定值，且等号能够成立.3.多次使用基本不等式求最值时，要特别注意等号能否同时成立.7.5 不等式的综合应用典例精析题型一 含参数的不等式问题【例1】若不等式组⎩⎨⎧<+++>--05)25(2,0222k x k x x x 的解集中所含整数解只有－2，求k 的取值范围. 【解析】由x 2－x －2＞0有x ＜－1或x ＞2，由2x 2＋(5＋2k )x ＋5k ＜0有(2x ＋5)(x ＋k )＜0.因为－2是原不等式组的解，所以k ＜2.由(2x ＋5)(x ＋k )＜0有－52＜x ＜－k . 因为原不等式组的整数解只有－2，所以－2＜－k ≤3，即－3≤k ＜2，故k 的取值范围是[－3,2).【点拨】涉及到含参数的不等式解集的有关问题时，借助数轴分析，往往直观、简洁.【变式训练1】不等式(－1)na ＜2＋(－1)n ＋1n 对任意n ∈N *恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】当n 为奇数时，－a ＜2＋1n ，即a ＞－(2＋1n). 而－(2＋1n)＜－2，则a ≥－2； 当n 为偶数时，a ＜2－1n ，而2－1n ≥2－12＝32，所以a ＜32. 综上可得－2≤a ＜32. 【点拨】不等式中出现了(－1)n 的时候，常常分n 为奇数和偶数进行分类讨论.题型二 不等式在函数中的应用【例2】已知函数f (x )＝2x －a x 2＋2在区间[－1,1]上是增函数. (1)求实数a 的值组成的集合A ；(2)设x 1，x 2是关于x 的方程f (x )＝1x的两个相异实根，若对任意a ∈A 及t ∈[－1,1]，不等式m 2＋tm ＋1≥|x 1－x 2|恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】(1)f ′(x )＝4＋2ax －2x 2(x 2＋2)2， 因为f (x )在[－1,1]上是增函数，所以当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≥0恒成立，令φ(x )＝x 2－ax －2，即x 2－ax －2≤0恒成立.所以A ＝{a |－1≤a ≤1}.(2)由f (x )＝1x得x 2－ax －2＝0. 设x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝－2.从而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8，因为a ∈[－1,1]，所以a 2＋8≤3，即|x 1－x 2|max ＝3.不等式对任意a ∈A 及t ∈[－1,1]不等式恒成立，即m 2＋tm －2≥0恒成立.设g (t )＝m 2＋tm －2＝mt ＋m 2－2，则解得m ≥2或m ≤－2.故m 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞).【点拨】对于在给定区间上恒成立的不等式问题，通常可以转化为给定区间上的函数最大值(最小值)大于零(或小于零)，亦可分离变量或者利用数形结合的方法，分离变量和数形结合更加简单明了.【变式训练2】设a ，b ＞0，且ab ＝1，不等式a a 2＋1＋b b 2＋1≤λ恒成立，则λ的取值范围是 . 【解析】[1，＋∞).因为ab ＝1，所以a a 2＋1＋b b 2＋1＝2a ＋b ≤22ab＝1，所以λ≥1. 题型三 不等式在实际问题中的应用【例3】某森林出现火灾，火势正以100 m 2/分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人灭火50 m 2/分钟，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用为人均125元/分钟，另附加每次救火所耗损的车辆，器械和装备等费用人均100元，而烧毁森林的损失费60元/m 2，问应该派多少消防队员前去救火才能使总损失最少？【解析】设派x 名消防队员前去救火，用t 分钟将火扑灭，总损失为y ，则t ＝5×10050x －100＝10x －2， y ＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费＝125xt ＋100x ＋60(500＋100t )＝125x ×10x －2＋100x ＋30 000＋60 000x －2＝100(x －2)＋62 500x －2＋31 450 ≥2100(x －2)·62 500x －2＋31 450＝36 450，当且仅当100(x －2)＝62 500x －2，即x ＝27时，y 有最小值36 450，故应派27人前去救火才能使总损失最少，最少损失36 450元.【点拨】本题需要把实际问题抽象为数学问题，建立不等式模型，利用基本不等式求最值，基本不等式是历年高考考查的重要内容.【变式训练3】某学校拟建一块周长为400 m 的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？【解析】设中间矩形区域的长，宽分别为x m ，y m ，中间的矩形区域面积为S ，则半圆的周长为πy 2， 因为操场周长为400，所以2x ＋2×πy 2＝400， 即2x ＋πy ＝400(0＜x ＜200,0＜y ＜400π)， 所以S ＝xy ＝12π·(2x )·(πy )≤12π·⎝⎛⎭⎫2x ＋πy 22＝20 000π， 由⎩⎨⎧=+=,400π2,π2y x y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧==π200,100y x 所以当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧==π200,100y x 时等号成立， 即把矩形的长和宽分别设计为100 m 和200πm 时，矩形区域面积最大. 总结提高1.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围，或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用基本不等式求最值问题.不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角函数等知识的综合.解决这些问题的关键是找出综合题的各部分知识及联系，充分利用数学思想和数学方法解题.2.建立不等式的主要途径有：利用基本不等式；利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性等.3.解答不等式的实际应用问题一般分四步，即审题、建模、求解、检验.。
2019届高考数学一轮复习第七章不等式及推理与证明第3课时简单的线性规划课件文
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)× 解析 (1)错误，举例 x－y>0 在下方． (2)正确，x2－y2<0，即(x－y)(x＋y)<0 画图即可． (3)正确，当线性目标函数与边界平行时，有无数个最值． (4)错误，最优整数解有时在可行域内部． (5)错误，由于 ax＋by－z＝0 可变形为 y＝－bax＋bz还需要 b 的符号来确定．
课前自助餐
二元一次不等式表示平面区域 (1)一般地，二元一次不等式 Ax＋By＋C>0 在平面直角坐标 系中表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧所有点组成的平面区域． (2)由于对在直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点(x，y)，把 它的坐标(x，y)代入 Ax＋By＋C，所得到实数的符号都相同，所 以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从 Ax0＋By0＋C 的符号即可判断 Ax＋By＋C>0 表示直线哪一侧的平面区域．
授人以渔
题型一 用二元一次不等式(组)表示平面区域
x－y＋5≥0， 画出不等式组x＋y≥0， 表示的平面区域，并回答
x≤3， 下列问题：
(1)指出 x，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？ (3)求所围平面区域的面积．
【思路】 (1)数形结合． (2)整点是指横、纵坐标均为整数的点． 【解析】 (1)不等式 x－y＋5≥0 表示直线 x－y＋5＝0 上及 右下方的平面区域．x＋y≥0 表示直线 x＋y＝0 上及右上方的平 面区域，x≤3 表示直线 x＝3 上及左方的平面区域． 所以不等式组xx－＋yy＋≥50≥，0，
y＋3≥0，
则 z＝2x＋y 的最小值是( )
A．－15
B．－9
C．1
D．9
高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第3节简单的线性规划高考AB卷理
【2019最新】精选高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第3节简单的线性规划高考AB卷理简单的线性规划问题1.(2013·全国Ⅱ，9)已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a等于( )A. B.C.1D.2解析作出约束条件表示的可行域如图所示，是△ABC的内部及边界.由目标函数，得y＝－2x＋z，当直线l：y＝－2x＋z过点B(1，－2a)时，目标函数z＝2x＋y的最小值为1.∴2－2a＝1，则a＝.答案B2.(2016·全国Ⅲ，13)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________.解析满足约束条件的可行域为以A(－2，－1)，B(0，1)，C为顶点的三角形内部及边界，过C时取得最大值为.答案323.(2016·全国Ⅰ，16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.解析设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为目标函数z＝2 100x ＋900y.作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).答案216 0004.(2015·全国Ⅰ，15)若x，y满足约束条件则的最大值为________.解析约束条件下的可行域如下图，由＝，则最大值为3.答案35.(2014·大纲全国，14)设x、y满足约束条件则z＝x＋4y的最大值为________.解析作出约束条件下的平面区域，如图所示.由图可知当目标函数z＝x＋4y经过点B(1，1)时取得最大值，且最大值为1＋4×1＝5.答案5与线性规划有关的综合性问题6.(2014·全国Ⅰ，9)不等式组的解集记为D.有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中的真命题是( )A.p2，p3B.p1，p4C.p1，p2D.p1，p3解析画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝x＋2y经过可行域内的点A(2，－1)时，取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命题，选C.答案C简单的线性规划问题1.(2015·广东，6)若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最小值为( )A. B.6C. D.4解析不等式组所表示的可行域如下图所示，由z＝3x＋2y得y＝－x＋，依题当目标函数直线l：y＝－x＋经过A时，z取得最小值即zmin＝3×1＋2×＝，故选C.答案C2.(2015·北京，2)若x，y满足则z＝x＋2y的最大值为( )A.0B.1C.D.2解析可行域如图所示.目标函数化为y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z，过点A(0，1)时，z取得最大值2.答案D3.(2015·福建，5)若变量x，y满足约束条件则z＝2x－y的最小值等于( )A.－B.－2C.－D.2解析如图，可行域为阴影部分，线性目标函数z＝2x－y可化为y ＝2x－z，由图形可知当y＝2x－z过点时z最小，zmin＝2×(－1)－＝－，故选A.答案A4.(2015·山东，6)已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝( )A.3B.2C.－2D.－3解析不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A(2，0)，由得B(1，1).由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.∴当a＝－2或a＝－3时，z＝ax＋y在O(0，0)处取得最大值，最大值为zmax＝0，不满足题意，排除C，D选项；当a＝2或3时，z ＝ax＋y在A(2，0)处取得最大值，∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故选B.答案B5.(2015·陕西，10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元C.17万元D.18万元解析设甲、乙的产量分别为x吨，y吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y≤12，x ＋2y≤8，x≥0，y≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值. 由得A(2，3).则zmax ＝3×2＋4×3＝18(万元). 答案 D6.(2014·广东，3)若变量x ，y 满足约束条件且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( ) A.5 B.6 C.7D.8解析 作出可行域(如图中阴影部分所示)后，结合目标函数可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z 的值最大，由⇒则m ＝zmax ＝2×2－1＝3.当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z 的值最小，由⇒则n ＝zmin ＝2×(－1)－1＝－3，故m －n ＝6. 答案 B7.(2014·安徽，5)x ，y 满足约束条件若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( ) A.或－1 B.2或 C.2或1D.2或－1解析 法一 由题中条件画出可行域，可知A(0，2)，B(2，0)，C(－2，－2)，则zA ＝2，zB ＝－2a ，zC ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要zA ＝zB>zC 或zA ＝zC>zB 或zB ＝zC>zA ，解得a ＝－1或a ＝2.法二目标函数z＝y－ax可化为y＝ax＋z，令l0：y＝ax，平移l0，则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意，故a＝－1或a＝2.答案D8.(2016·山东，4)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是( )A.4B.9C.10D.12解析满足条件的可行域如图阴影部分(包括边界)，x2＋y2是可行域上动点(x，y)到原点(0，0)距离的平方，显然，当x＝3，y＝－1时，x2＋y2取最大值，最大值为10.故选C.答案C9.(2016·北京，2)若x，y满足则2x＋y的最大值为( )A.0B.3C.4D.5解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，作直线2x＋y＝0并平移，当直线过点A时，截距最大，即z取得最大值，由得所以A点坐标为(1，2)，可得2x＋y 的最大值为2×1＋2＝4.答案C10.(2014·湖南，14)若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝________.解析画出可行域(图略)，由题意可知不等式组表示的区域为一三角形，平移参照直线2x＋y＝0，可知在点(k，k)处z＝2x＋y取得最小值，故zmin＝2k＋k＝－6.解得k＝－2.答案－2与线性规划有关的综合性问题11.(2016·四川，7)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析如图，(x－1)2＋(y－1)2≤2①表示圆心为(1，1)，半径为的圆内区域所有点(包括边界)；②表示△ABC内部区域所有点(包括边界).实数x，y满足②则必然满足①，反之不成立.则p是q的必要不充分条件.故选A.答案A12.(2014·山东，9)已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为( )A.5B.4C. D.2解析法一不等式组表示的平面区域如图所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2，1)处取得最小值，故2a＋b＝2，两端平方得4a2＋b2＋4ab＝20，又4ab＝2×a×2b≤a2＋4b2，所以20≤4a2＋b2＋a2＋4b2＝5(a2＋b2)，所以a2＋b2≥4，即a2＋b2的最小值为4，当且仅当a＝2b，即b＝，a＝时等号成立.法二把2a＋b＝2看作平面直角坐标系aOb中的直线，则a2＋b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方，显然a2＋b2的最小值是坐标原点到直线2a＋b＝2距离的平方，即＝4.答案B13.(2013·北京，8)设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求得m的取值范围是( )A. B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13 C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－53 解析 图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含y ＝x －1上的点，只需要可行域的边界点(－m ，m)在y ＝x －1下方，也就是m<－m －1，即m<－.故选C. 答案 C14.(2013·浙江，13)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足若z 的最大值为12，则实数k ＝________.解析 约束条件所表示的可行域为如图所示的△ABC，其中点A(4，4)，B(0，2)，C(2，0).目标函数z ＝kx ＋y ，化为y ＝－kx ＋z.当－k≤即k≥－时，目标函数z ＝kx ＋y ，在点A(4，4)取得最大值12，故4k ＋4＝12，k ＝2，满足题意；当－k>即k<－时，目标函数z ＝kx ＋y 在点B(0，2)取得最大值12，故k·0＋2＝12，无解，综上可知，k ＝2. 答案 2。
2019版高考数学一轮总复习第七章不等式及推理与证明专题研究2数学归纳法课件理
★状元笔记★ 证明整除问题的关键——“凑项”
证明整除问题的关键是“凑项”，即采用增项、减项、拆 项和因式分解等手段，将n＝k＋1时的式子凑出n＝k时的情形， 从而利用归纳假设使问题获证．
思考题3 (2017·西安模拟)试证：当n∈N*时，f(n)＝32n＋ 2－8n－9能被64整除．
【证明】 (1)当n＝1时，f(1)＝64，命题显然成立． (2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整 除．
(2)假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立．
即2×1 4＋4×1 6＋…＋2k（21k＋2）＝4（kk＋1）成立，那么当
n＝k＋1
时
，
1 2×4
＋
1 4×6
＋
1 6×8
＋
…
＋
1 2k（2k＋2）
＋
1 2（k＋1）[2（k＋1）＋2]
＝
k 4（k＋1）
＋
1 4（k＋1）（k＋2）
＝
4（kk（＋k1＋）2（）k＋＋12）＝4（k＋（1k）＋（1）k＋2 2）＝4[（kk＋＋11）＋1]，
当n＝k＋1时，由于32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9 ＝9(32k＋2－8k－9)＋9·8k＋9·9－8(k＋1)－9 ＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)， 即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)， ∴n＝k＋1时命题也成立． 根据(1)、(2)可知， 对于任意n∈N*，命题都成立． 【答案】 略
＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋2k1＋1＋2k1＋2. 即当 n＝k＋1 时，等式也成立． 综合(1)，(2)可知，对一切 n∈N*，等式成立． 【答案】 略
★状元笔记★ 用数学归纳法证明恒等式的方法
2019年高考数学 第七章 不等式、推理与证明 专题25 简单的线性规划考场高招大全.doc
2019年高考数学第七章不等式、推理与证明专题25 简单的线性规划考场高招大全考点55 二元一次不等式(组)表示的区域考场高招1 探求与平面区域相关问题的解题规律1.解读高招2.典例指引1(1)设平面点集A=,B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤1},则A∩B所表示的平面图形的面积为.(2)若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则(2)不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分).解得A;解得B(1,0).若原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则直线x+y=a中的a的取值范围是0<a≤1或a≥.【答案】 (1)(2)(0,1]∪3.亲临考场1.(2013安徽,理9)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足||=||==2,则点集{P|=λ+μ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是 ()A.2B.2C.4D.42.(2013北京,理8)设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2,求得m的取值范围是()A. B.C. D.考点56利用线性规划求目标函数的最值考场高招2 2巧用几何意义解决目标函数最值问题1.解读高招·=b对形如x-a域内的点(x,y)到直型的目标函数(x,y)(=2.典例指引2(1)若x,y满足则z=x+2y的最小值为()A.8B.7C.2D.1(2)(2017河北唐山模拟)设实数x,y满足约束条件则z=x2+y2的最小值为()A. B.10 C.8 D.5(3)若实数x,y满足不等式组则z=|x+2y-4|的最大值为.(4)设x,y满足约束条件若z=的最小值为,则a的值为.(2)作出不等式组表示的平面区域,如图所示,因为z=x2+y2表示区域内的点到原点距离的平方.由图知,当区域内的点与原点的连线与直线3x+y-10垂直时,z=x2+y2取得最小值,所以z min==10,故选B.(3)作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.z=|x+2y-4|=,即其几何含义为阴影区域内的点到直线x+2y-4=0的距离的倍.由得点B坐标为(7,9),显然点B到直线x+2y-4=0的距离最大,此时z max=21.(4)∵=1+,而表示过点(x,y)与(-1,-1)连线的斜率,易知a>0,∴可作出可行域,如图阴影部分所示.由题意知,的最小值是,即.解得a=1.【答案】 (1)D(2)B(3)21(4)13.亲临考场1(2017课标Ⅱ,理5)设x,y满足约束条件则z=2x+y的最小值是()A.-15B.-9C.1D.92.(2014课标Ⅱ,理9)设x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为()A.10B.8C.3D.23.(2013课标Ⅱ,理9)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=()A. B. C.1 D.2考点57以可行域为载体与其他知识交汇问题考场高招3 确定最优整数解的方法对数函数的性质及其应用规律1.解读高招方法解读典例指引与可行域的交线相交得到一个小范围的区域2.典例指引3(1)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元(2)某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载质量为10吨的甲型卡车和7辆载质量为6吨的乙型卡车.某天需运往A地至少72吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次.派用的每辆甲型卡车需配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车需配1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润z=()A.4 650元B. 4 700元C.4 900元D.5 000元【解析】 (1)假设每天生产甲、乙两种产品分别为x,y吨,由已知得利润z=3x+4y.由线性约束条件画出如图可行域,利用调整优值法(或者检验优值法),可知z在点A(2,3)处取得最大值,此时z max=3×2+4×3=18(万元).【答案】 (1)D(2)C3.亲临考场1.(2016山东,理4)若变量x,y 满足则x2+y2的最大值是()A.4B.9C.10D.122.(2016课标Ⅰ,理16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.考场高招4 探求含参线性规划的两个类型的处理规律1.解读高招2.典例指引4(1)(2016河南六市一模)若实数x,y满足使z=ax+y取得最大值的最优解有两个,则m=ax+y+1的最小值为()A.0B.-2C.1D.-1(2)若x,y满足不等式组且y+x的最大值为2,则实数m的值为.【解析】 (1)如图所示,画出不等式组所表示的区域.∵z=ax+y取得最大值的最优解有两个,∴-a=1,即a=-1,∴当x=1,y=0或x=0,y=-1时,z=ax+y=-x+y有最小值-1,∴ax+y+1的最小值是0.故选A.【答案】 (1)A(2)3.亲临考场1.(2017河北石家庄质检)若x,y满足且z=3x-y的最大值为2,则实数m的值为()A. B. C.1 D.22.(2017山西临汾五校联考)已知实数x,y满足若x-2y≥m恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-∞,-3]B.(-∞,-4]C.(-∞,6]D.[0,6]。
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7
高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考试要求 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．知识梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域不包括边界Ax＋By＋C≥0包括边界不等式组各个不等式表示的平面区域的公共部分2.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．( √ ) (2)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (3)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，在异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.( √ )(4)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × )教材改编题1．某校对高三美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y ≥380，z >45 B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y >380，z ≥45 C.⎩⎪⎨⎪⎧x >95，y >380，z >45 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z >45答案 D解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”， ∴x ≥95，y >380，z >45.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1<0，x ＋y －3≥0表示的区域(阴影部分)是( )答案 D解析 将点(0,0)代入x －y ＋1<0不成立，则点(0,0)不在不等式x －y ＋1<0所表示的平面区域内， 将点(0,0)代入x ＋y －3≥0不成立，则点(0,0)不在不等式x ＋y －3≥0所表示的平面区域内， 所以表示的平面区域不包括原点，排除A ，C ；x －y ＋1<0不包括边界，用虚线表示，x ＋y －3≥0包括边界，用实线表示，故选D. 3．设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ≥0，y ≥0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为________．答案 92解析 根据不等式组作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当目标函数z ＝x ＋2y 经过点⎝⎛⎭⎫32，32时，z 取最大值为92.题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 例1 (1)(2022·新乡模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －y ≥1，y ＋1≥0表示的平面区域的面积为______．答案 3解析 画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，2x －y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即A (1,1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1，即B (0，－1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即C (3，－1)， S △ABC ＝12×|3－0|×|1－(－1)|＝3.(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，x >m 表示的平面区域为三角形，则实数m 的取值范围为____________． 答案 (－∞，3)解析 根据题意，先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝x ＋1，可得A (3,4)， 要使不等式组表示的平面区域为三角形，只需m <3， 所以m 的取值范围为(－∞，3)．教师备选已知点A (3,0)，B (－3,2)，若直线ax －y －1＝0与线段AB 总有公共点，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，13 B ．(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫13，＋∞ C.⎣⎡⎦⎤－13，1 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－13∪[1，＋∞) 答案 B解析 因为直线ax －y －1＝0与线段AB 总有公共点， 所以点A 和点B 不同在直线的一侧， 所以(3a －0－1)(－3a －2－1)≤0， 解得a ≤－1或a ≥13.即a 的取值范围是(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫13，＋∞. 思维升华 平面区域的形状问题主要有两种题型(1)确定平面区域的形状，求解时先作出满足条件的平面区域，然后判断其形状．(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先作出满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．跟踪训练1 (2022·西安模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≥2，3x ＋y ≤5所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋2分成面积相等的两个部分，则实数k 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，B (0,5)，因为直线y ＝kx ＋2过定点C (0,2)， 所以C 点在可行域内，要使直线y ＝kx ＋2将可行域分成面积相等的两部分， 则直线y ＝kx ＋2必过线段AB 的中点D .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，3x ＋y ＝5，解得⎝⎛⎭⎫32，12，即A ⎝⎛⎭⎫32，12， 所以AB 的中点D ⎝⎛⎭⎫34，114，将D 的坐标代入直线y ＝kx ＋2，得114＝34k ＋2，解得k ＝1.题型二 求目标函数的最值问题 命题点1 求线性目标函数的最值例2 (2021·浙江)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －y ≤0，2x ＋3y －1≤0，则z ＝x －12y 的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－12 D.110答案 B解析 作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线y ＝2x 并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A 时z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －1＝0，x ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1， 所以A (－1,1)，z min ＝－1－12＝－32.命题点2 求非线性目标函数的最值例3 (1)如果点P (x ，y )在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0上，则y ＋1x －2的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－2，－13 B.⎣⎡⎦⎤－2，－32 C.⎣⎡⎦⎤－2，13 D.⎣⎡⎦⎤－13，2 答案 A解析 作出点P (x ，y )所在的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，y ＋1x －2表示动点P 与定点Q (2，－1)连线的斜率． 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.于是k QE ＝1＋11－2＝－2，k QF ＝0＋1－1－2＝－13.因此－2≤y ＋1x －2≤－13.(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y －3≤0，x ≥0，则(x －1)2＋y 2的最小值为( )A ．1 B.45 C.255 D ．2答案 B解析 结合题意作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，而(x －1)2＋y 2的几何意义是可行域内的点与(1,0)的距离的平方， 又(1,0)到直线2x －y ＝0的距离为25， 故(x －1)2＋y 2的最小值为45.命题点3 求参数值或取值范围例4 已知k >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋y －3≤0，y ≥k x －3，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则k 等于( )A ．3B ．5 C.12 D.14答案 A解析 由不等式组知可行域只能是图中△ABC 内部阴影部分(含边界)所示，作直线l ：2x ＋y ＝0，平移直线l ，只有当l 过点B 时，z ＝2x ＋y 取得最小值， 易知B (2，－k )， ∴4－k ＝1，解得k ＝3. 教师备选1．(2022·六安模拟)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，y －2≥0，x ＋y －5≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案 C解析 不等式组表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ， 作出直线y ＝－2x ，向上平移过点C 时，z ＝2x ＋y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －2＝0，x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即C (3,2)， 所以z ＝2x ＋y 的最大值为2×3＋2＝8. 2．已知实数x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0，y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最大值为________．答案 10解析 根据约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0，y ≥1，画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z ＝x 2＋y 2是指可行域内的动点(x ，y )与定点(0,0)之间的距离的平方， 由图可知，点P 到原点O 的距离的平方最大，又因为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y －5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以P (1,3)， 故z max ＝12＋32＝10.3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝________.答案 3解析 作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝a ，解得⎩⎨⎧x ＝a －12，y ＝a ＋12，∴A ⎝⎛⎭⎫a －12，a ＋12.①当a ＝0时，A ⎝⎛⎭⎫－12，12，x ＝z 无最小值，不满足题意； ②当a <0时，由z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋za，要使z 最小，则直线y ＝－1a x ＋za 在y 轴上的截距最大，满足条件的最优解不存在；③当a >0时，由z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋za，由图可知，当直线过点A 时直线在y 轴上的截距最小，z 最小，此时，－1a ≥－1，即a ≥1，此时z ＝a －12＋a ·a ＋12＝a 2＋2a －12＝7.即a 2＋2a －15＝0， 解得a ＝3或a ＝－5(舍)． 思维升华 常见的三类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by . (2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a.跟踪训练2 (1)已知A (1,2)，点B (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，2x －y －2≤0，x ≥1，则OA →·OB →的取值范围是________． 答案 [1,5]解析 作不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，2x －y －2≤0，x ≥1的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．设z ＝OA →·OB →，则z ＝x ＋2y ， 将z ＝x ＋2y 化为y ＝－12x ＋z 2，由图象可得，当直线y ＝－12x ＋z2过点A (1,2)时，z 取最大值，最大值为5.当直线y ＝－12x ＋z2过点C (1,0)时，z 取最小值，最小值为1.∴OA →·OB →的取值范围是[1,5]．(2)(2022·平顶山模拟)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，y －2≥0，x －1≥0，则z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值是______． 答案 52解析 作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2y ＋1x ＋1，其中k ＝y ＋1x ＋1表示可行域内点P (x ，y )与定点Q (－1，－1)连线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －5＝0，y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即C (3,2)， 由图可得k min ＝k CQ ＝2＋13＋1＝34， 所以z min ＝1＋2×34＝52.(3)(2022·金华模拟)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a 的值为________． 答案 －1或2解析 作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，作直线l ：y －ax ＝0，在z ＝y －ax 中，y ＝ax ＋z ，a 是斜率，z 是纵截距，直线向上平移，z 增大，因此要使最大值的最优解不唯一，则直线l 与AB 或AC 平行， 所以a ＝－1或a ＝2.题型三 实际生活中的线性规划问题例5 (2022·新乡模拟)快递行业的高速发展极大地满足了人们的购物需求，也提供了大量的就业岗位，出现了大批快递员．某快递公司接到甲、乙两批快件，基本数据如下表：体积(立方分米/件)重量(千克/件)快递员工资(元/件)甲批快件 20108乙批快件102010快递员小马接受派送任务，小马的送货车载货的最大容积为350立方分米，最大载重量为250千克，小马一次送货可获得的最大工资额为( ) A ．150元 B ．170元 C ．180元 D ．200元答案 B解析 设一次派送甲批快件x 件、乙批快件y 件，则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≤350，10x ＋20y ≤250，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤35，x ＋2y ≤25，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，小马派送完毕获得的工资z ＝8x ＋10y (元)， 画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝35，x ＋2y ＝25，解得x ＝15，y ＝5， 所以目标函数在点M (15,5)处取得最大值， 故z max ＝8×15＋10×5＝170(元)．所以小马一次送货可获得的最大工资额为170元． 教师备选某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为( ) A ．180 000元 B ．216 000元 C ．189 000元 D ．256 000元答案 B解析 设生产产品A 为x 件，产品B 为y 件，获利z 元． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，目标函数z ＝2 100x ＋900y ，作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．将z ＝2 100x ＋900y 化为y ＝－73x ＋z900，由图象可得，当直线y ＝－73x ＋z900过点M 时，在y 轴上的截距最大，即z 最大．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.3y ＝90，5x ＋3y ＝600，得M (60,100)，∴z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)， ∴利润最大为216 000元．思维升华 解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解—— 解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将线性规划问题的答案还原为实际问题的答案．跟踪训练3 某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售．现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次，甲型车每天费用320元，乙型车每天费用504元．若需要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆，运送这批水果的费用最少为( ) A ．2 400元 B ．2 560元 C ．2 816元 D ．4 576元答案 B解析 设甲型车x 辆，乙型车y 辆，运送这批水果的费用为z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤y ≤4，24x ＋30y ≥180，x ∈N ，y ∈N目标函数z ＝320x ＋504y ， 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ∈N ，y ∈N ，0≤x ≤8，0≤y ≤4，24x ＋30y ≥180所表示的平面区域，如图所示的阴影部分(含边界)．作直线320x ＋504y ＝0，并平移，结合实际情况分析可得当直线过整点(8,0)时，z 取得最小值， 即z min ＝8×320＋0×504＝2 560(元)．课时精练1．将不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ＋y <0表示的平面区域记为F ，则属于F 的点是( )A ．(1,1)B ．(－1,1)C ．(－1，－1)D ．(1，－1)答案 C解析 将点(1,1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧1≥0，2>0，故不在区域F 内，将点(－1,1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧－1<0，0＝0，故不在区域F 内，将点(－1，－1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧3≥0，－2<0，故在区域F 内，将点(1，－1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧5≥0，0＝0，故不在区域F 内．2．(2022·合肥质检)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3≤0，x ＋y ≥0，x －y ≥0围成的封闭图形的面积是( )A ．12B ．6C ．9D ．15 答案 C解析 作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝0，x －y ＝0得A (3,3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝0，x ＋y ＝0得B (3，－3)， 所以可行域的面积为12×3×6＝9.3．(2021·全国乙卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥4，x －y ≤2，y ≤3，则z ＝3x ＋y 的最小值为( )A ．18B ．10C ．6D ．4 答案 C解析 方法一 (数形结合法)作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线y ＝－3x ，并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A 时，直线y ＝－3x ＋z 在y 轴上的截距最小，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，即点A 的坐标为(1,3)．从而z ＝3x ＋y 的最小值为3×1＋3＝6.方法二 (代点比较法)画图易知，题设不等式组对应的可行域是封闭的三角形区域，所以只需要比较三角形区域三个顶点处的z 的大小即可．易知直线x ＋y ＝4与y ＝3的交点坐标为(1,3)，直线x ＋y ＝4与x －y ＝2的交点坐标为(3,1)，直线x －y ＝2与y ＝3的交点坐标为(5,3)，将这三个顶点的坐标分别代入z ＝3x ＋y 可得z 的值分别为6,10,18，所以比较可知z min ＝6.方法三 (巧用不等式的性质)因为x ＋y ≥4，所以3x ＋3y ≥12. ① 因为y ≤3，所以－2y ≥－6.②于是，由①＋②可得3x ＋3y ＋(－2y )≥12＋(－6)，即3x ＋y ≥6，当且仅当x ＋y ＝4且y ＝3，即x ＝1，y ＝3时不等式取等号，易知此时不等式x －y ≤2成立． 4．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )答案 C解析 (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，即不等式表示的区域是同时在两直线的上方部分或同时在两直线的下方部分，只有选项C 符合题意．5．(2022·长沙模拟)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，x ≤1，则z ＝2x －y 的取值范围是( )A ．[0,3]B ．[1,3]C ．[－3,0]D ．[－3，－1]答案 A解析 作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，x ≤1表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，即B (1，－1)，化目标函数z ＝2x －y 为y ＝2x －z ，由图可知，当直线y ＝2x －z 过原点时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值，为2×0－0＝0；当直线y ＝2x －z 过点B 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值，为2×1－(－1)＝3， ∴z ＝2x －y 的取值范围是[0,3]．6．一小商贩准备用50元钱在某批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元．该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为( ) A ．甲7件，乙3件 B ．甲9件，乙2件 C ．甲4件，乙5件 D ．甲2件，乙6件答案 D解析 设购买甲、乙两种商品的件数应分别x ，y 件，利润为z 元，由题意⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋7y ≤50，x ，y ∈N ，z ＝x ＋1.8y ，画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，结合实际情况，显然当y ＝－59x ＋59z 经过整点A (2，6)时，z 最大．7．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －6≤0，x ＋y －1≥0，2x －y ＋1≥0，则z ＝y －1x ＋1的最大值是( )A.127 B.12 C ．1 D ．2答案 A解析 作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z ＝y －1x ＋1表示可行域中的点(x ，y )与点P (－1,1)的连线的斜率， 由图可知z ＝y －1x ＋1的最大值在A 点取得，由⎩⎪⎨⎪⎧x －6＝0，2x －y ＋1＝0， 得A (6,13)， 所以z max ＝13－16＋1＝127.8．在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于13，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是( )A ．最多可以购买4份一等奖奖品B ．最多可以购买16份二等奖奖品C ．购买奖品至少要花费100元D ．共有20种不同的购买奖品方案 答案 D解析 设获得一等奖和二等奖的人数分别为x ，y (x ，y ∈N *)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≤200，3x ≤y ，x ≥2，作出该不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，由图可知，2≤x ≤4,6≤y ≤16，故x 可取2,3,4，故最多可以购买4份一等奖奖品，最多可以购买16份二等奖奖品， 购买奖品至少要花费2×20＋6×10＝100(元)，故A ，B ，C 正确； 当x ＝2时，y 可取6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16，共有11种， 当x ＝3时，y 可取9,10,11,12,13,14，共6种， 当x ＝4时，y 可取12，共1种， 故共有11＋6＋1＝18(种)，故D 不正确．9．已知点(1,1)在直线x ＋2y ＋b ＝0的下方，则实数b 的取值范围是________． 答案 (－∞，－3)解析 因为点(1,1)在直线x ＋2y ＋b ＝0的下方，所以1＋2＋b <0，解得b <－3. 10．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y －2≥0，x －3y ＋6≥0，则2y4x 的最小值为________． 答案 18解析 画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，2y 4x ＝2y －2x，若使2y －2x 最小，需y －2x 最小． 令z ＝y －2x ，则y ＝2x ＋z ， z 表示直线在y 轴上的截距，根据平移知，当x ＝3，y ＝3时，z ＝y －2x 有最小值为－3， 则2y 4x 的最小值为2－3＝18. 11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋4≥0，x ＋y －1≥0，x ≤1，若直线y ＝k (x －1)将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为________． 答案 －4解析 画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，其中A (1,6)，B (1,0)，C (－1,2)．由于直线y ＝k (x －1)过定点B (1,0)且将可行域分成面积相等的两部分，所以当直线y ＝k (x －1)过线段AC 的中点D (0,4)时，△ABD 和△BCD 的面积相等， 此时k ＝k BD ＝4－00－1＝－4.12．现某小型服装厂锁边车间有锁边工10名，杂工15名，有7台电脑机，每台电脑机每天可给12件衣服锁边；有5台普通机，每台普通机每天可给10件衣服锁边．如果一天至少有100件衣服需要锁边，用电脑机每台需配锁边工1名，杂工2名，用普通机每台需要配锁边工1名，杂工1名，用电脑机给一件衣服锁边可获利8元，用普通机给一件衣服锁边可获利6元，则该服装厂锁边车间一天最多可获利________元． 答案 780解析 设每天安排电脑机和普通机各x ，y 台， 则一天可获利z ＝12×8x ＋10×6y ＝96x ＋60y ， 线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤15，12x ＋10y ≥100，0<x ≤7，0<y ≤5，画出可行域(图略)，可知当目标函数经过(5,5)时，z max ＝780.13．(2022·郑州模拟)已知M (x ，y )是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋y ＋2≥0，y ≤1所表示的平面区域内的任意一点，且M (x ，y )满足x 2＋y 2≤a ，则a 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．9 D ．10 答案 D解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋y ＋2≥0，y ≤1所表示的可行域，如图中的阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，y ＝1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，即点A (－3,1)，同理可得B (3,1)，C (0，－2)， 且OA ＝OB ＝10，OC ＝2，x 2＋y 2的几何意义为原点O 与可行域内的点M (x ，y )的距离的平方，由图可知，当点M 与点A 或点B 重合时，OM 取最大值，故x 2＋y 2的最大值为10， ∴a ≥10，即a 的最小值为10.14．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ≥a ，x ≤y ，且z ＝2x －y 的最大值是最小值的2倍，则a 等于( ) A.34 B.56 C.65 D.43 答案 B解析 根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线l ：y ＝2x ，平移直线l ，由图可知，当直线经过点D 时，直线在y 轴上的截距最小， 此时z ＝2x －y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x ＝y ，可得D (1,1)， 所以z ＝2x －y 的最大值是1；当直线经过点B 时，直线在y 轴上的截距最大， 此时z ＝2x －y 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x ＝a ，可得B (a ,2－a )， 所以z ＝2x －y 的最小值是3a －2， 因为z ＝2x －y 的最大值是最小值的2倍， 所以6a －4＝1，解得a ＝56.15．实数对(x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，且目标函数z ＝kx －y 当且仅当x ＝3，y ＝1时取最大值，则k 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－12，1 D ．(－∞，1]答案 C解析 作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，其中A (1,2)，B (4,2)，C (3,1)，由z ＝kx －y ，将直线l ：y ＝kx －z 进行平移可得直线在y 轴上的截距为－z ， 因此直线在y 轴上截距最小时，目标函数z 达到最大值． 因为当且仅当l 经过点C (3,1)时，目标函数z 达到最大值， 所以直线l 的斜率应介于直线AC 的斜率与直线BC 的斜率之间， k AC ＝1－23－1＝－12，k BC ＝2－14－3＝1，所以k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1. 16．(2022·宜春模拟)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0，则2y 2－xy x 2的最小值是________． 答案 －18解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，k ＝yx 的几何意义为可行域内的点到原点的斜率， 由图象可知，OA 的斜率最大，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，x ＋2y －6＝0得A (2,2)， ∴0≤k ≤1，∴2y 2－xy x 2＝2⎝⎛⎭⎫y x 2－y x＝2k 2－k ＝2⎝⎛⎭⎫k －142－18≥－18⎝⎛⎭⎫当且仅当k ＝14时，取到最小值.。
2019版高考数学一轮总复习第七章不等式及推理与证明题组训练42简单的线性规划理
题组训练42 简单的线性规划1．若一元二次方程kx 2＋3kx ＋k －3＝0的两根都是负数，则k 的取值范围为________．答案 (－∞，－125]∪(3，＋∞) 解析 依题意可知⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，k －3k >0，解得k≤－125或k>3. 2．一元二次方程kx 2＋3kx ＋k －3＝0有一个正根和一个负根，则k 的取值范围为________． 答案 (0，3)解析 依题意有k －3k<0⇒0<k<3. 3．若一元二次方程kx 2＋(2k －1)x ＋k －3＝0有一根为零，则另一根的符号为________． 答案 负解析 由已知k －3＝0，∴k ＝3，代入原方程得3x 2＋5x ＝0，另一根为负根．4．已知方程x 2－11x ＋m －2＝0的两实根都大于1，则m 的取值范围为________．答案 12<m≤1294解析 由题意得应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，112>1，f （1）>0即⎩⎪⎨⎪⎧112－4（m －2）≥0，m －12>0解得12<m≤1294. 5．若一元二次方程mx 2－(m ＋1)x ＋3＝0的两个实根都大于－1，则m 的取值范围为________． 答案 m<－2或m≥5＋2 6 解析 由题意得应满足⎩⎪⎨⎪⎧m≠0，m＋12m >－1，Δ≥0，mf （－1）>0解得：m<－2或m≥5＋26. 6．若一元二次方程mx 2－(m ＋1)x ＋3＝0的两实根都小于2，则m 的取值范围为________．答案 m<－12或m≥5＋2 6 解析 由题意得，应满足⎩⎪⎨⎪⎧m≠0，Δ≥0m ＋12m <2，mf （2）>0，解得：m<－12或m≥5＋2 6.7．已知方程x 2＋2mx ＋2m 2－3＝0有一根大于2，另一根比2小，则m 的取值范围为________． 答案 －1－22<m<－1＋22解析 由题意得，应满足f(2)<0，即2m 2＋4m ＋1<0，解得：－1－22<m<－1＋22. 8．已知方程x 2＋(m －2)x ＋2m －1＝0只有一实根在0和1之间，则m 的取值范围为________． 答案 12<m<23 解析 由题意得，应满足f(0)f(1)<0，解得12<m<23. 9．已知方程x 2＋(m －2)x ＋2m －1＝0的较大实根在0和1之间，则m 的取值范围为________．答案 23<m<6－27 解析 由题意得：①⎩⎪⎨⎪⎧f （0）<0，f （1）>0，－m －22<1；或②⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （1）>0，0<－m －22<1，f （－m －22）<0，解得①②得23<m<6－27. 10．若方程x 2＋(k ＋2)x －k ＝0的两实根均在区间(－1，1)内，则k 的取值范围为________．答案 －4＋23≤k<－12 解析 由题意得，应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－1<－k ＋22<1，f （－1）>0，f （1）>0.解得：－4＋23≤k<－12. 11．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则k 的取值范围为________． 答案 12<k<23解析 由题意得，应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0f （1）<0，f （2）>0解得12<k<23. 12．已知关于x 的方程(m －1)x 2－2mx ＋m 2＋m －6＝0的两根为α，β且0<α<1<β，则m 的取值范围为________．答案 －3<m<－7或2<m<7解析 由题意得，应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （0）f （1）<0（m －1）f （1）<0解得－3<m<－7或2<m<7.。
2019高考数学一轮复习第7章不等式及推理与证明专题研究2数学归纳法练习理
哈哈哈哈哈哈哈哈你好专题研究 2 数学概括法1．在应用数学概括法证明凸n 边形的对角线为 1 n 等于 ( )2n(n － 3) 条时，第一步查验第一个值A． 1 B． 2C． 3 D． 0答案 C分析边数最少的凸n 边形是三角形．2．(2017 ·山东德州一模 ) 用数学概括法证明1＋ 2＋22＋＋ 2n＋2＝ 2n＋3－ 1，在考证n＝1 时，左侧的式子为()A． 1 B．1＋2C． 1＋2＋ 22 D． 1＋ 2＋ 22＋ 23答案 D分析2 3应选 D.当 n＝ 1 时，左侧＝ 1＋ 2＋2 ＋ 2 .1 1 1 127 *3．用数学概括法证明不等式1＋2＋4＋＋2n－1 > 64 (n ∈ N ) 建立，其初始值起码应取( ) A． 7 B． 8C． 9 D． 10答案 B11 1 1 1－2n 127 n分析1＋2＋4＋＋2n－1＝1 > 64，整理得 2 >128，解得 n>7.1－2∴初始值起码应取8.4．设 f(n) ＝ 1＋1＋1＋＋ 1 (n ∈ N* ) ，那么 f(n ＋ 1) － f(n) 等于() 2 3 3n－ 11 1 1A.3n＋ 2 B.3n＋3n＋ 11＋1 1＋1＋1C.3n＋2 D.3n＋ 1 3n 3n＋ 1 3n＋ 2答案 D5．用数学概括法证明34n＋1＋52n＋1(n ∈ N) 能被 8 整除时，当 n＝k＋ 1 时，关于34(k ＋ 1) ＋ 1＋52(k ＋ 1) ＋ 1 可变形为() 4k＋ 1 4k＋1 2k＋ 1 4 4k＋ 1 2 2kA． 56· 3 ＋25(3 ＋5 ) B．3 ·3 ＋ 5 · 5C．34k＋1＋52k＋1 D． 25(3 4k＋1＋ 52k＋1)答案 A分析由于要使用概括假定，一定将34(k ＋1) ＋ 1＋52(k ＋ 1) ＋1 分解为概括假定和能被8 整除的两部分．因此应变形为4k＋ 1 4k＋ 15 2k＋ 156·3＋ 25(3 ＋) ．6．若数列 {a } 的通项公式 a ＝ 1 ，记 c ＝2(1 － a )(1 － a ) (1 － a ) ，试经过计算 c ， c ， c 的值，推n n （ n＋ 1）2 n 1 2 n 1 23测 c n＝__________ ．哈哈哈哈哈哈哈哈你好n ＋ 2 答案n ＋ 113分析 c 1＝ 2(1 －a 1) ＝2×(1 － 4) ＝ 2，11 4c 2＝ 2(1 － a 1)(1 － a 2) ＝2×(1 － 4) ×(1 － 9) ＝ 3，c ＝ 2(1 － a )(1 － a )(1 － a ) ＝2×(1 － 11154) ×(1 －9) ×(1 －16) ＝4， 3123n ＋ 2 故由概括推理得c n ＝.n ＋ 17．设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，且对随意的自然数n 都有： (S n －1) 2＝ a n S n .(1) 求 S 1， S 2， S 3；(2) 猜想 S n 的表达式并证明．答案 (1)S123 (2)Sn1＝2， S ＝3，S ＝4n ＝n ＋ 1，证明略23分析221(1) 由(S － 1) ＝S，得 S ＝2；11 12－S )S ，得 S ＝2由(S －1) ＝(S3；22 12223由(S 3－1) ＝(S 3－ S 2)S 3，得 S 3＝ .4n(2) 猜想： S n ＝ n ＋ 1.证明：①当 n ＝1 时，明显建立；②假定当 n ＝k(k ≥1 且 k ∈N * ) 时， S k ＝ k 建立．k ＋ 1211k ＋ 1则当 n ＝ k ＋ 1 时，由 (S k ＋1－ 1) ＝a k ＋ 1S k ＋1，得 S k ＋ 1＝＝＝.2－ Skk ＋ 2k2－k ＋ 1从而 n ＝ k ＋ 1 时，猜想也建立． 综合①②得结论建立．8．已知函数 f(x) ＝ x － sinx ，数列 {a n } 知足： 0<a 1<1， a n ＋ 1＝ f(a n )， n ＝ 1， 2， 3， ，证明： 0<a n ＋ 1<a n <1.答案 略分析 先用数学概括法证明0<a n <1，n ＝ 1， 2， 3， .①当 n ＝ 1 时，由已知，结论建立．②假定当 n ＝ k 时结论建立，即 0<a k <1.由于 0<x<1 时， f ′ (x) ＝1－ cosx>0 ，因此 f(x) 在 (0 ， 1) 上是增函数．又 f(x) 在 [0 ， 1] 上连续，从而 f(0)<f(a k )<f(1) ，即 0<a k ＋ 1<1－ sin1<1.故当 n＝ k＋ 1 时，结论建立．由①②可知，0<a n<1 对全部正整数都建立．又由于 0<a n<1 时，a n＋1－ a n＝ a n－ sina n－ a n＝－ sina n<0，因此 a n＋1<a n.综上所述 0<a n＋1<a n<1.9． (2018 ·保定模拟 ) 已知 f(x) 3 2 1 ＝ f(a 1＝x－2x ，设 0＜ a ＜2， a ) ， n∈ N ，证明： a ＜n＋1.1 n ＋1 n ＋n答案略1证明(1) 当 n＝ 1 时， 0＜ a1＜2，1不等式 a n＜n＋1建立；312111因 a2＝f(a 1) ＝－2(a 1－3) ＋6≤6<3，故 n＝2 时不等式也建立．(2) 假定 n＝k(k ≥2) 时，不等式1建立，由于 f(x)3 2的对称轴为1 1a k＜＝ x－ x x＝，知 f(x) 在(－∞， ]上k＋ 1 2 3 31 1 1为增函数，因此由a k＜k＋1≤3，得 f(a k)＜f( k＋ 1)．1 3 1 1 1＝1 k＋ 4 1于是有 a k＋1＜－·（ k＋ 1）2＋－－ 2 ＜.k＋ 1 2 k＋ 2 k＋ 2 k＋2 2（ k＋1）（ k＋2）k＋2 因此当 n＝ k＋ 1 时，不等式也建立．依据 (1) 、 (2) 1可知，对任何 n∈ N ，不等式 a ＜n＋1建立．＋n10．已知数列 {a n} 的各项都是正数，且知足：1a0＝ 1， a n＋1＝ a n·(4 － a n) ，(n ∈ N) ．2证明： a <a <2，(n ∈ N) ．nn＋ 1答案略证明方法一：用数学概括法证明：1 3 (1)当 n＝ 0 时， a0＝ 1， a1＝2a0(4 － a0) ＝2，因此 a0<a1<2，命题正确．(2)假定 n＝ k 时命题建立，即 a k－1<a k<2.则当 n＝ k＋ 1 时， a k－ a k＋1＝ a (4 － a ) － a (4 － a )1 k－ 1 k－ 1 1 kk2 21＝ 2(a k－1－ a k) －2(a k－1－ a k)(a k－1＋ a k) 1＝ (a k－1－ a k)(4 － a k－1－ a k) ．2而 a k－1－ a k<0，4－ a k－1－ a k >0，因此 a k－ a k＋1<0.又 a k＋1＝1a k (4 － a k ) ＝1[4 －(a k－ 2) 2]<2.22因此 n＝ k＋ 1 时命题建立．由 (1)(2) 可知，对全部 n∈N 时有 a n <a n＋1<2.方法二：用数学概括法证明：0 1 1 0 0 3(1) 当 n＝ 0 时， a ＝ 1， a ＝2a (4 － a ) ＝2，0 1因此 0<a <a <2.(2)假定 n＝ k 时有 a k－1<a k<2 建立，1令 f(x) ＝2x(4 －x) ， f(x) 在 [0 ， 2] 上单一递加，因此由假定有f(a k－1)<f(a k)<f(2)．11 1即2a k－1(4 － a k－1)< 2a k (4 － a k)< 2× 2×(4 － 2) ．也即当 n＝ k＋ 1 时， a k<a k＋1<2 建立．因此对全部n∈N，有 a k <a k＋1<2.nn 1 1 n n n＋ 1成等差数列，nn＋ 1 n＋ 1 *11．在数列 {a } ， {b } 中， a ＝ 2， b ＝ 4，且 a ， b ，a b ， a ，b 成等比数列 (n ∈ N) ．(1)求 a2， a3， a4及 b2，b3， b4，由此猜想 {a n} ， {b n} 的通项公式，并证明你的结论；(2) 证明：1＋1＋＋1 5a ＋b a ＋ b a ＋ b < .1 2 n121 2 n答案(1)a 2 ＝ 6， a3＝ 12，a4＝ 20， b2＝9， b3＝ 16，b4＝ 25， a n＝n(n ＋ 1) ， b n＝ (n ＋1) 2，证明略 (2) 略分析(1) 由条件得22b n＝a n＋ a n＋1， a n＋1＝ b n b n＋1.由此可得a2＝ 6， b2＝ 9， a3＝12， b3＝ 16， a4＝ 20， b4＝ 25.2猜想 a n＝ n(n ＋ 1) ， b n＝ (n ＋1) .①当 n＝ 1 时，由上可得结论建立．②假定当n＝ k 时，结论建立，即a k＝ k(k ＋ 1) ，b k＝(k ＋ 1) 2. 那么当 n＝ k＋ 1 时，a k＋1＝ 2b k－ a k＝ 2(k ＋ 1) 2－k(k ＋ 1) ＝ (k ＋ 1)(k ＋ 2) ，2ak ＋1 2b k＋1＝＝(k＋2) .因此当n＝k＋1时，结论也建立．由①②，可知a n＝ n(n ＋ 1) ， b n＝ (n ＋1) 2对全部正整数都建立．1 1 5(2)＝ < .a1＋b1 6 12当 n≥2时，由 (1) 知a n＋b n＝ (n ＋ 1)(2n ＋ 1)>2(n ＋1) ·n.故1＋1＋＋1 ＋ b ＋ b a ＋ ba a2 n 1 12 n1 1 1＋1＋＋1)< ＋ (n（ n＋ 1）6 2 2×33×41 1 1 1 1 1 1 1 ＝6＋2( 2－3＋3－4＋＋n－n＋1)1 111 1 1 5＝6＋2(2－n＋ 1)<6＋4＝12.1．用数学概括法证明不等式1 1 1 13的过程中，由 n＝ k 推导 n＝ k＋1 时，不等式的左侧增n＋ 1＋n＋ 2＋＋n＋ n＞24加的式子是 ________．1答案（ 2k＋ 1）（ 2k ＋ 2）分析不等式的左侧增添的式子是2．用数学概括法证明：对随意的答案略1111 12k＋ 1＋2k＋ 2－k＋1＝（ 2k＋ 1）（ 2k＋2），故填（ 2k ＋ 1）（ 2k＋2）. n∈ N*，1＋1＋＋1＝n.1×33×5（2n－1）（2n＋1）2n＋ 1分析(1) 当 n＝ 1 时，左侧＝ 1 ＝1，右侧＝ 1 ＝1，左侧＝右侧，因此等式建立．1×33 2×1＋ 1 3(2)假定当 n＝k(k ∈ N*且 k≥1) 时等式建立，即有1 1 1＝k，＋＋＋（ 2k－1）（ 2k＋ 1）2k＋1×33×5 1 则当 n＝ k＋ 1 时，1 1 1＋1＋＋＋（ 2k－1）（ 2k＋ 1）（ 2k＋ 1）（ 2k＋ 3）1×33×5k 1 k（ 2k＋3）＋ 1＝2k＋ 1＋（ 2k＋ 1）（ 2k＋ 3）＝（ 2k＋ 1）（ 2k＋ 3）2k2＋ 3k＋1k＋ 1k＋ 1＝＝＝，（ 2k＋1）（ 2k＋ 3）2k ＋ 32（ k＋ 1）＋ 1由 (1)(2)可知，对全部n∈N*等式都建立．3．(2017 ·湖北宜昌一中模拟) 已知函数 f(x) ＝1x3－x，数列 {a n} 知足条件： a1≥ 1，a n＋1≥ f ′ (a n＋ 1) ．试比较31 ＋ 1 ＋ 1 ＋＋1与 1 的大小，并说明原因．1＋ a1 1＋ a2 1＋a3 1＋a n答案1＋1 1＋＋1<1 1＋ a ＋1＋ a1＋ a 1＋ a3 n1 2分析∵f ′ (x) ＝ x2－ 1，a n＋1≥ f ′ (a n＋ 1) ，∴a n＋1≥ (a n＋ 1) 2－ 1.∵函数 g(x) ＝ (x ＋ 1) 2－ 1＝ x2＋ 2x 在区间 [1 ，＋∞ ) 上单一递加，于是由 a1≥ 1，得 a 2≥(a 1＋ 1) 2－1≥22－ 1，从而得 a 3≥ (a 2＋ 1) 2－1≥24－1＞ 23－ 1.由此猜想： a n ≥2n －1.下边用数学概括法证明这个猜想：①当 n ＝ 1 时， a 1≥ 21－ 1＝1，结论建立；②假定 n ＝ k(k ≥1且 k ∈ N * ) 时结论建立，k即 a k ≥2－ 1，则当 n ＝ k ＋ 1 时，由 g(x) ＝ (x ＋ 1) 2－ 1 在区间 [1 ，＋∞ ) 上单一递加知，a k ＋1≥ (a k ＋ 1) 22kk ＋1－1≥2 －1≥2 － 1，即 n ＝k ＋ 1 时，结论也建立．由①、②知，对随意 n ∈ N * ，都有 a n ≥ 2n － 1.即 1＋a n ≥ 2n ，11∴1＋ an≤2n.11 ＋ 1 ＋ ＋ 1 1 1111 n∴＋1＋ a 1＋ a 1＋ a≤ ＋ 2＋ 3＋ ＋ 2n＝ 1－ ( ) ＜1.1＋ a23n 22 22 1。
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题组训练42 简单的线性规划
1．若一元二次方程kx 2
＋3kx ＋k －3＝0的两根都是负数，则k 的取值范围为________．
答案 (－∞，－125
]∪(3，＋∞) 解析 依题意可知⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，k －3k
>0，解得k≤－125或k>3. 2．一元二次方程kx 2＋3kx ＋k －3＝0有一个正根和一个负根，则k 的取值范围为________． 答案 (0，3)
解析 依题意有k －3k
<0⇒0<k<3. 3．若一元二次方程kx 2＋(2k －1)x ＋k －3＝0有一根为零，则另一根的符号为________． 答案 负
解析 由已知k －3＝0，∴k ＝3，代入原方程得3x 2＋5x ＝0，另一根为负根．
4．已知方程x 2－11x ＋m －2＝0的两实根都大于1，则m 的取值范围为________．
答案 12<m≤1294
解析 由题意得应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，112>1，f （1）>0即⎩⎪⎨⎪⎧112－4（m －2）≥0，m －12>0解得12<m≤1294. 5．若一元二次方程mx 2
－(m ＋1)x ＋3＝0的两个实根都大于－1，则m 的取值范围为________． 答案 m<－2或m≥5＋2 6 解析 由题意得应满足⎩⎪⎨⎪⎧m≠0，m
＋12m >－1，Δ≥0，mf （－1）>0
解得：m<－2或m≥5＋2
6. 6．若一元二次方程mx 2－(m ＋1)x ＋3＝0的两实根都小于2，则m 的取值范围为________．
答案 m<－12
或m≥5＋2 6 解析 由题意得，应满足⎩⎪⎨⎪⎧m≠0，Δ≥0m ＋12m <2，mf （2）>0，
解得：m<－12或m≥5＋2 6.
7．已知方程x 2＋2mx ＋2m 2－3＝0有一根大于2，另一根比2小，则m 的取值范围为________． 答案 －1－22<m<－1＋22
解析 由题意得，应满足f(2)<0，即2m 2＋4m ＋1<0，
解得：－1－22<m<－1＋22
. 8．已知方程x 2＋(m －2)x ＋2m －1＝0只有一实根在0和1之间，则m 的取值范围为________．
答案 12<m<23
解析 由题意得，应满足f(0)f(1)<0，解得12<m<23
. 9．已知方程x 2
＋(m －2)x ＋2m －1＝0的较大实根在0和1之间，则m 的取值范围为________．
答案 23<m<6－27 解析 由题意得：①⎩⎪⎨⎪⎧f （0）<0，
f （1）>0，－m －22<1；或②⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，
f （1）>0，0<－m －22<1，f （－m －22）<0， 解得①②得23
<m<6－27. 10．若方程x 2＋(k ＋2)x －k ＝0的两实根均在区间(－1，1)内，则k 的取值范围为________．
答案 －4＋23≤k<－12 解析 由题意得，应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－1<－k ＋22<1，f （－1）>0，f （1）>0.
解得：－4＋2
3≤k<－12. 11．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则
k 的取值范围为________．
答案 12<k<23
解析 由题意得，应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0f （1）<0，f （2）>0解得12<k<23. 12．已知关于x 的方程(m －1)x 2－2mx ＋m 2
＋m －6＝0的两根为α，β且0<α<1<β，则m 的取
值范围为________．
答案 －3<m<－7或2<m<7
解析 由题意得，应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （0）f （1）<0（m －1）f （1）<0
解得－3<m<－7或2<m<7.。