山东建筑大学大学物理课件3.2 转动定律及转动惯量
合集下载
大学物理第三章 刚体的定轴转动50页PPT
n i1
1 2
Δmi
vi2
n i1
12Δmi(riω)2
1n (
2 i1
miri2)2
2. 转动惯量
比较转动动能
Ek
1( n 2 i1
miri2)2与平动动能
Ek
1 mv2 2
n
m i ri2 相当于描写转动惯性的物理量.
i 1
n
定义转动惯量 J miri2 i1
对质量连续分布的刚体，任取质量元dm，其到轴
的距离为r，则转动惯量
J r2dm 单位：kg ·m2（千克·米2）.
刚体定轴转动动能计算式：Ek
1 2
J2
转动惯量及其计算
定义式：J ri2mi (Ji ri2mi) dJ r2dm
当刚体质量连续分布时： d V
J
5. 刚体定轴转动定律的内容及数学表达式如何? 注意 它的应用方法.
一、刚体及刚体定轴转动
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变 化的物体（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）
. 真正的刚体不存在
刚体的运动形式：平动、转动 . 平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同
. 转动转分动定：轴刚转体动中和所非有定的轴点转都动绕. 同一直线作圆周运动
只有F 使刚体绕Z轴转动 M ZrF
z
MZ
F
F//
o
r d
F
p
M ZF rsin F d
M Z 可取正负
注意：1.力矩方向，沿Z轴为正，满足右手关系.
2.总力矩 MZ MZ(i代数和)
三、刚体定轴转动的力矩和力矩的
大学物理3_2 刚体定轴转动的动力学描述
显然
Fij Fji
两力对转轴的力矩:
M ij Fij ri sin i
M ji Fji rj sin j
由于 ri sin i rj sin j d 所以
Mij M ji
整个刚体
M M ij 0
第三章 刚体的转动 3 – 2 刚体定轴转动的动力学描述 例1 如图所示,有一半径为 R 、质量为 m的均匀圆盘， 可绕通过圆盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动.转轴与圆 盘之间的摩擦略去不计.圆盘上绕有轻而细的绳索,绳的一 端固定在圆盘上,另一端系一质量为m 的物体.试求作用在 圆盘上的力矩.
J A mi ri 2 0 2m l2 m(l 2 l 2 ) 4m l2 （1）
i 1
4
4
l2 l2 2 （2） J 0 mi ri 2 4m( ) 2ml2 2 i 1
（3）
J AD
l2 l2 2 mi ri 2 2m( ) ml2 2 i 1
第三章 刚体的转动
例3-4 质量分别为 m1和 m2 的两个物体A、B分别悬挂 在图所示的组合轮两端。设两轮的半径分别为 R和 r，两 轮的转动惯量分别为 J1和 J 2，轮与轴承间、绳索与轮间的 摩擦力均略去不计，绳的质量也略去不计。试求两物体的 加速度和绳的张力。 解 作受力图，如图所示
3 – 2 刚体定轴转动的动力学描述
dJ r dm 2π r dr R 3 4 J 2π r dr π R 0
2
而
m π R
2
所以
1 2 J mR 2
3 – 2 刚体定轴转动的动力学描述 注意
第三章 刚体的转动
Fij Fji
两力对转轴的力矩:
M ij Fij ri sin i
M ji Fji rj sin j
由于 ri sin i rj sin j d 所以
Mij M ji
整个刚体
M M ij 0
第三章 刚体的转动 3 – 2 刚体定轴转动的动力学描述 例1 如图所示,有一半径为 R 、质量为 m的均匀圆盘， 可绕通过圆盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动.转轴与圆 盘之间的摩擦略去不计.圆盘上绕有轻而细的绳索,绳的一 端固定在圆盘上,另一端系一质量为m 的物体.试求作用在 圆盘上的力矩.
J A mi ri 2 0 2m l2 m(l 2 l 2 ) 4m l2 （1）
i 1
4
4
l2 l2 2 （2） J 0 mi ri 2 4m( ) 2ml2 2 i 1
（3）
J AD
l2 l2 2 mi ri 2 2m( ) ml2 2 i 1
第三章 刚体的转动
例3-4 质量分别为 m1和 m2 的两个物体A、B分别悬挂 在图所示的组合轮两端。设两轮的半径分别为 R和 r，两 轮的转动惯量分别为 J1和 J 2，轮与轴承间、绳索与轮间的 摩擦力均略去不计，绳的质量也略去不计。试求两物体的 加速度和绳的张力。 解 作受力图，如图所示
3 – 2 刚体定轴转动的动力学描述
dJ r dm 2π r dr R 3 4 J 2π r dr π R 0
2
而
m π R
2
所以
1 2 J mR 2
3 – 2 刚体定轴转动的动力学描述 注意
第三章 刚体的转动
大学物理角动量转动惯量及角动量的守恒定律PPT课件
dt M 外i riFi外
f2 1
2
m2
质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受
外力矩的矢量和 (合外力矩 )
dL
dt M 外i riFi外
注意： 合外力矩 M是外质点系所受各外力矩的矢
量和，而非合力的力矩。
注意：质点系内力矩的作用
不能改变质点系总角动量，但是影响总角动量 在系内各质点间的分配。
L r c m i v ir i m i v c r i m i v i
第三项：
i
i
i
与 i 有关
rimivi 各质点相对于质心角动量的矢量和
i
反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点O的选择无关，
描述系统的内禀性质： L自 旋
L自 旋
L轨 道
于是：
∑
L=rc×Mvc+
本讲内容：三个基本概念
1.角动量
质点
L r p r m v
质点系 L r c M v c r i m iv i L 轨 L 自 道
i
定轴刚体 Lz ri2mi J
i
2. 转动惯量
J ri2mi J r2dm i
3.力矩
M rF M zrF
Mi内0
i
上讲 §5.1 角动量 转动惯量
动量对参考点（或轴）求矩
1.质点的角动量
定义 ： L = r× p = r× m v r
m θ
p p
r
大小： L=rmvs inθ
o
=r p⊥= pr⊥
z
方向：
垂直r于 和p组
成
L
的平面o，
服从右手定则。
x
r
r m
大学物理课件：刚体定轴转动
M f k 2
(1)
由刚体定轴转动定律得：
k2 J J d
(2)
dt
对上式分离变量并积分得：
0
k
J
t
dt
0
2 0
d 2
(3)
得到所需时间为： t J
(4)
k0
（2）由刚体定轴转动定律得：
k2 J J d d J d
(5)
dt d d
0
对上式分离变量并积分得： k
d
2
设 为两飞轮啮合后共同角速度：
J AA 33.3rad s1
JA JB
例题4.3.2 质量 M 、半径 R 的圆盘，绕过圆心 O
且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动，已知其角速
惯量，故该量有关于刚体，还有关于转轴！ 2.由上述结果看出：
JO
1 3
ml 2
1 12
ml2 +m（ l ）2 2
JO
+m（ l ）2 2
4.2.3 平行轴定理
平行轴定理：质量为 m的刚体，如果
对其质心轴的转动惯量为 JC ，则对任
一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转
动惯量为：
J O J C md 2
2.合力矩等于各分力矩的矢量和 ：
M M1 M2 M3
(2)
3.刚体内力矩互相抵消：
M ij M ji
注意：内力矩对刚体 动力学效应无贡献；
M ij
o
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M ji
例题4.2.1 研磨专用动力卡盘是专门为精密研磨 机所设计，如图所示用于固定被加工工件，卡盘在 绕垂直通过盘心的轴转动时会与接触工件产生滑动 摩擦。试求卡盘转动时受到的摩擦力矩。设其质
物理学教学课件-3-2 转动定律,转动惯量
由角加速度的定义
ω dω dθ
3g sinθ 2l
ωdω3gsinθdθ 2l
m,l FN θ mg
O
0ωdω 3gsiθ ndθ
0
0 2l
积分得 ω 3g(1cosθ) l
量。求：电风扇电机的电磁力矩。
解. 设电磁力矩、摩擦力矩分别为 M 、M f 由转动定律有
MMf I1
(1)
1 为启动角加速度，当电风扇达到额定转速时
0 1t1
(2)
电风扇关闭过程中，只受到摩擦力矩的作用，
设电风扇关闭后的角加速度为 2 ，于是
Mf I2
(3)
当电风扇达到停止时
0 2t2 0 (4)
T2
(2m 2r 2 I )m 2g (m1 m 2 )r 2 I
解法2 将m1 和m2与滑轮作一个整体 转动惯量
Im 1r2m 2r2I
合外力矩
M(m1m2)gr
所以
(m1 m2)rg
(m1 m2)r2 I
例5 一长为 l 、质量
为 m 匀质细杆竖直放置，
其下端与一固定铰链O相 接，并可绕其转动．由于 此竖直放置的细杆处于非
0
2
2
2.平行轴定理
质量为m的刚体，
如果对其质心轴的转动 惯量为 I C ，则对任一与
该轴平行，相距为 d的
转轴的转动惯量
IO ICmd2
d
C mO
I Ic md2
圆盘对P 轴的转动惯量 P R O m
IP
1mR2 2
mR2
质量为m，长为L的细棒绕其一端的I
Ic
1 12
m L2
O1
O1’
I
Ic
力矩 转动定律 转动惯量.ppt
对所有质元求和: 刚体的内力力矩之合
Firi sini firi sini miri2
刚体所受的合外力矩
信息学院 物理教研室
所以: Firi sini miri2
令 J Mmiri2J----刚体的转动惯量，则:
----刚体的转动定律数学表达式 刚体的转动定律---刚体绕固定轴转动时，刚 体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚 体的转动惯量成反比，角加速度的方向与合外力 矩方向相同。
J JC md 2
信息学院 物理教研室
例题: 固定在一起的两个同轴均匀圆柱刚体可绕
其光滑的水平对称轴 OO转动。设大小圆柱体的
半径分别为R1和R2，质量分别为M1和M2。绕在两
圆柱体上的细绳分别与物体m1和m2相联， m1和m2
挂在圆柱体的两侧，如图所示。求:
M1
(1) 转动时刚体的角加速度； M 2
i
mi
Fi
i
切向: Fi sini fi sini miait miri 法向: (Fi cos i fi cos i ) miain miri 2
在切向表达式中的每一项都乘以ri得:
ri Fi sin i ri fi sini mi riait mi ri2
一、力矩 力矩的定义:
M
r
F
y O
r
F
力矩的计算: ① 外力在垂直于轴的转动平面内:
M
r
F
解平②行外与力轴不的在力垂F//直， 于和轴垂的直 转于动轴平的面力内F，，将则力: 分
M r F
③ 刚体受几个力的作用时，物体的合外力矩 为各个分力力矩 的矢 量合 ，即:
大学物理转动惯量ppt
例题6 计算正方形框架ABCD对通过O的转轴的转动 惯量，每一个边的质量为m
每一边对通过一边中心转轴的转动惯量
J1
1 12
ml 2
—— 每一边对ABCD质心转轴 的转动惯量
J1
'
1 12
ml 2
m( 1 2
l)2
1 3
ml 2
四条边对通过ABCD质心转轴的转动惯量 JC 4J1 '
05_03_转动惯量的计算 —— 力学
J mR2
05_03_转动惯量的计算 —— 力学
04/09
例题5 计算半径为R 、质量为M匀质薄圆盘对通过 其中心O并垂直于盘面的Z轴的转动惯量
距离中心r、宽度为dr的同心环对转轴的转动惯量
dJO r2dm r2
dr
圆盘对垂直圆心转轴的转动惯量
JO
R 0
r 3 2
1 3
ML2
05_03_转动惯量的计算 —— 力学
03/09
例题4 计算质量为m，半径为R的均匀薄圆环对通过 圆心垂直于环面轴的转动惯量
圆环上质量元dm对转 轴的转动惯量
dJ R2dm dm m dl
2 R
dJ mR dl
2
薄圆环对通过圆心 垂直环面轴的转动 惯量
J 2 R mR dl
0 2
R12 )
05_03_转动惯量的计算 —— 力学
06/09
平行轴定理
已知刚体对通过质心转轴的转动惯量 J C
另 有 一 个 与 质 心 转 轴 CZ 平行的转轴OZ’，该转轴 与质心转轴的距离为h， 刚体对OZ’转轴的转动惯 量为
JO JC Mh2
05_03_转动惯量的计算 —— 力学
大学物理-力矩-转动定律-转动惯量
F
p
18
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
解 (1) Fr J
Fr 98 0.2 39.2 rad/s2
J 0.5
mg T ma
(2) Tr J
a r
两者区别?
rO
F T
T
J
mgr mr 2
98 0.2 0.5 10 0.22
i
J r2dm
9
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
四. J 的计算
质量连续分布刚体的转动惯量
J mjrj2 r2dm dm ：质量元 j
对质量线分布的刚体： dm dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体：
：质量面密度
对质量体分布的刚体：
在圆规迹切线方向
mk ak mk rk Fk fk
两边乘以rk，并对整个刚体求和
第二章 动力学基础
z
o
vk
mk
( mk rk2 ) Fk rk fk rk
k
k
k
5
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
( mk rk2 ) Fk rk fk rk
17
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
四、转动定律的应用举例
例1 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘， 在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2,飞轮与转轴间的摩擦不计 。
rO
求: (1) 飞轮的角加速度。
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在 绳端,试计算飞轮的角加速度。
《大学物理》3.2转动定理
3.2 转动定理
一、力矩
F
力的作用线通过转轴或是 平行于转轴，无法使物体 转动。 力的大小、方向和力的作 用点相对于转轴位置，是 决定转动效果的几个重要 因素。
F
F
1.定义：
力的大小与力臂乘积为力对转轴的力矩。用M表示
z
M
M F d Fr sin
F r P
M
z
F
1 2
1 其中滑轮转动惯量 J MR 2
2
a R
m m g a
2 1 1 2
m2 m1 g
M m1 m2 R 2
2 1
M m m 2
1 2
M m 2m g 2 T M m m 2
1 1 2
M m 2m g 2 T M m m 2
四、转动定理应用举例
例3-4如图所示，一不能伸长的轻绳跨过一轴承光滑的定 滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2 的物体，且m1<m2,设滑轮的质量为M，半径为R，绳与 轮之间无相对滑动，求物体的加速度和绳中张力。
解：将三个物体隔离出来受力分析
其中 T 和 T 大小不能假定相等，但
m r 刚体内各质点相对于转轴的分布决定
M J
—— 绕定轴转动的刚体，其角加速度与它所 受合外力矩成正比，与刚体转动惯量成反比。 这一结论就是刚体定轴转动定理。
三、转动惯量
刚体的转动惯量等于刚体内各质点的质量与 其到转轴距离平方的乘积之和。
J m r J r dm
2
2
ij
j
F r f r m r
2 it i it i i i
一、力矩
F
力的作用线通过转轴或是 平行于转轴，无法使物体 转动。 力的大小、方向和力的作 用点相对于转轴位置，是 决定转动效果的几个重要 因素。
F
F
1.定义：
力的大小与力臂乘积为力对转轴的力矩。用M表示
z
M
M F d Fr sin
F r P
M
z
F
1 2
1 其中滑轮转动惯量 J MR 2
2
a R
m m g a
2 1 1 2
m2 m1 g
M m1 m2 R 2
2 1
M m m 2
1 2
M m 2m g 2 T M m m 2
1 1 2
M m 2m g 2 T M m m 2
四、转动定理应用举例
例3-4如图所示，一不能伸长的轻绳跨过一轴承光滑的定 滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2 的物体，且m1<m2,设滑轮的质量为M，半径为R，绳与 轮之间无相对滑动，求物体的加速度和绳中张力。
解：将三个物体隔离出来受力分析
其中 T 和 T 大小不能假定相等，但
m r 刚体内各质点相对于转轴的分布决定
M J
—— 绕定轴转动的刚体，其角加速度与它所 受合外力矩成正比，与刚体转动惯量成反比。 这一结论就是刚体定轴转动定理。
三、转动惯量
刚体的转动惯量等于刚体内各质点的质量与 其到转轴距离平方的乘积之和。
J m r J r dm
2
2
ij
j
F r f r m r
2 it i it i i i
《物理学教学课件》3-2转动定律,转动惯量
3
在分析具体的转动问题时，需要综合考虑转动定 律和转动惯量的作用，以便更准确地描述物体的 运动状态。
转动定律与转动惯量在物理学中的地位和作用
转动定律和转动惯量是物理学中描述物体转动的两个重要概念，是经典力 学的重要组成部分。
转动定律和转动惯量的应用非常广泛，不仅在机械工程、航空航天等领域 有广泛应用，而且在日常生活、体育运动等方面也有广泛的应用。
旋转运动
在旋转运动中，转动惯量决定了 刚体抵抗外力矩作用的能力。例 如，在研究飞轮的运动时，需要 考虑飞轮的转动惯量。
03
转动定律与转动惯量的关 系
转动定律与转动惯量的联系
转动定律描述了力矩与角加速度之间的关系，而转动惯量则是描述物体转动惯性的 物理量。
转动定律中的力矩和转动惯量是相互关联的，力矩作用在物体上会引起角加速度， 而转动惯量则决定了物体转动时的惯性大小。
思考题1
转动定律与牛顿第一定律有 何联系？
思考题2
转动惯量与平动惯量有何异 同？
思考题3
如何利用转动定律解决实际 问题？
THANKS
感谢观看
深入理解和掌握转动定律和转动惯量的概念、原理和方法，有助于更好地 解决实际问题，提高解决复杂问题的能力。
04
实验演示
实验目的
探究转动定律
01
通过实验观察和测量，理解物体绕固定点转动的规律，即转动
定律。
理解转动惯量
02
通过实验操作和数据分析，了解转动惯量的概念及其物理意义。
培养实验技能
03
通过实验操作，培养学生的实验设计、操作、数据分析和处理
自行车轮转动
通过脚踏施加力矩，使自 行车轮转动，进而驱动自 行车前进。
02
大学物理转动惯量ppt课件
dp F , dL ?
dt
dt
r F r dp d (r p) dr p
dt dt
dt
dr mv 0 r F d (r p) dL
dt
dt
dt
dL M dt
质点对参考点O 的角动量随时间的 变化率，等于作用于质点的合力对 该点 O 的力矩 。
质点角动量定理的微分形式： dL Mdt
➢转动：刚体中所有点同时都绕同一直线做圆周运动。 转动又分定轴转动、非定轴转动（绕定点转动或绕瞬心 转动）。
➢刚体的平面运动：
特权福利
特权说明
VIP用户有效期内可使用VIP专享文档下载特权下载或阅读完成VIP专享文档（部分VIP专享文档由于上传者设置不可下载只能 阅读全文），每下载/读完一篇VIP专享文档消耗一个VIP专享文档下载特权。
+A3B1e3 e1 A1B3e1 e3
B1 B2 B3
(A1B2 A2B1)e3+(A2B3 A3B2 )e1+(A3B1 A1B3)e2
一、力矩
定1、义对：参M考点的r力矩F
为 作用在质点上的力
F 对参考点O的力矩。
M
F
r
O•
θ p
d
大r小是：作用M点P相r对于F固 定点rOs的i n位θ矢F。 Fd
基本要求
一．理解角动量概念，掌握角动量定理、角动量守 恒及其应用；
二．理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量 与线量的关系；
三．理解力矩和转动惯量概念，计算转动惯量，掌 握刚体绕定轴转动的转动定律；
四．理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚 体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒 定律。
能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单 系统的力学问题。
转动定律、转动惯量讲解
Fit*ri+Fit'*ri= Δmi*(ri^2)*α
这是一个质点的规律，如果把所有的质点加起来，即∑Fit*ri+∑Fit'*ri= ∑Δmi*(ri^2)*α，因为刚体内部质点间的合力对转轴的力矩为零，即∑Fit'*ri= 0， 于是就有∑Fit*ri = ∑Δmi*(ri^2)*α，等式左边表示刚体所有质点所受外力对转轴 的力矩，也就是合力矩M；
《地球能平稳转动而不受外界干扰，全 靠转动定律与转动惯量》
上一章讲了刚体的定轴转动与角速度和角加速度的概念，如果有外力作用在刚体 上，那么刚体会发生什么变化呢？这就是本章要讲到的力矩、转动定律以及转动 惯量等概念。
首先来说力矩，在如图1所示的坐标系中，有一外力F作用在刚体内的P点，刚体 相对于原点的位置矢量为r，显然力F不经过原点O，于是把从O点到力F延长线的 垂直距离d叫做力F对转轴的力臂，其大小d=rsinθ ，而力F的大小和力臂d的乘积 Frsinθ 就叫做F对转轴的力矩，用大写字母M表示，力矩除了有小外，也有方向，
为了深刻理解转动惯量，以地球的转动惯量公式Je = (2mR^2)/5为例子，将地 球质量和半径带入式子可知，地球在转动时转动惯量非常大，根据转动定律可知， 需要非常大的力矩才能使地球加速或者减速，对于地球表面的所有物体而言，没 有哪个物体可以提供这样的力矩，这也就是地球平稳转动的原因。
讲完了转动定律，下一章《芭蕾舞演员的旋转加速秘诀-角动量守恒》将继续讲 解角动量。
而等式右边表示的量只与刚体的形状、质量、刚体的转轴有关。这个量就叫做转 动惯量，用大写字母J表示。于是等式可以表示为：M=J *α。这就是刚体的转动 定律，它的形式对应牛顿第二定律，其物理意义就是在同一力矩下，转动惯量大 的刚体，获得的角加速度就小，转动惯量小的刚体获得的角加速度就大。
这是一个质点的规律，如果把所有的质点加起来，即∑Fit*ri+∑Fit'*ri= ∑Δmi*(ri^2)*α，因为刚体内部质点间的合力对转轴的力矩为零，即∑Fit'*ri= 0， 于是就有∑Fit*ri = ∑Δmi*(ri^2)*α，等式左边表示刚体所有质点所受外力对转轴 的力矩，也就是合力矩M；
《地球能平稳转动而不受外界干扰，全 靠转动定律与转动惯量》
上一章讲了刚体的定轴转动与角速度和角加速度的概念，如果有外力作用在刚体 上，那么刚体会发生什么变化呢？这就是本章要讲到的力矩、转动定律以及转动 惯量等概念。
首先来说力矩，在如图1所示的坐标系中，有一外力F作用在刚体内的P点，刚体 相对于原点的位置矢量为r，显然力F不经过原点O，于是把从O点到力F延长线的 垂直距离d叫做力F对转轴的力臂，其大小d=rsinθ ，而力F的大小和力臂d的乘积 Frsinθ 就叫做F对转轴的力矩，用大写字母M表示，力矩除了有小外，也有方向，
为了深刻理解转动惯量，以地球的转动惯量公式Je = (2mR^2)/5为例子，将地 球质量和半径带入式子可知，地球在转动时转动惯量非常大，根据转动定律可知， 需要非常大的力矩才能使地球加速或者减速，对于地球表面的所有物体而言，没 有哪个物体可以提供这样的力矩，这也就是地球平稳转动的原因。
讲完了转动定律，下一章《芭蕾舞演员的旋转加速秘诀-角动量守恒》将继续讲 解角动量。
而等式右边表示的量只与刚体的形状、质量、刚体的转轴有关。这个量就叫做转 动惯量，用大写字母J表示。于是等式可以表示为：M=J *α。这就是刚体的转动 定律，它的形式对应牛顿第二定律，其物理意义就是在同一力矩下，转动惯量大 的刚体，获得的角加速度就小，转动惯量小的刚体获得的角加速度就大。
大学物理力矩转动惯量定轴转动定律资料
Fi sin i fi sin i mi ai mi ri
上页 下页 返回 退出
用 ri 乘以上式左右两端得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri 2
设刚体由N个质元构成，对每个质元可写出上述 类似方程，将这N个方程左右相加得
F r sin f r sin (m r
N i 1
刚体定轴 转动定律
2 2 r m 单位： kg· m i i
上页 下页 返回 退出
d M z J J dt
刚体定轴转动定律：刚体在合外力矩的作用下，所获 得的角加速度与合外力矩的大小成正比，与刚体的转 动惯量成反比。
说明： α ，转动惯量是转动惯性 （1）Mz 一定，J 大小的量度；例如地球的转动惯量非常巨大，因此转 动惯性也非常巨大，地球的自转角速度亘古不变！
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律
一、力矩 F对O点的力矩： M r F M rF sin
Z
M
F
M
F
MZ
转 动 平 面
A
O r
r
M 沿Z 轴分量为 F 对Z 轴的力矩 M Z
上页 下页 返回 退出
力不在转动平面内
M r F r (F1 F2 ) r F1 r F2
i i i
x
上页 下页 返回 退出
几种典型形状刚体的转动惯量
O' ω m O 圆环 J=mR2 细棒 R
l
1 J ml 2 12 ω
R2
L
R
R1
1 圆柱 J mR 2 2
1 2 圆筒 J m( R12 R2 ) 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
M k
2
2
k J 2 k0 所以， 0 /3 时，有 9J
①
上页
下页
13
物理学
3-2 转动定律 转动惯量
(2) 由式①
d k J dt
2
在 t 0 时， 0 ，上式分离变量并积分，有
1 3 0 0
d k 2 J
dt
上页
下页
4
物理学
3-2 转动定律 转动惯量
2 F r f r ( m r it i it i i )
2 F r ( m r it i i )
M
转动定律
J
M J
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩 成正比，与刚体的转动惯量成反比.
M、 瞬时对应； d M 角加速度 ；且 M J .
J
dt
上页
下页
5
物理学
3-2 转动定律 转动惯量 三、转动惯量
F ma M J
J (Δmi ri2 )
J 的意义：转动惯性的量度，单位 kg· m2 ； 影响J 的因素：刚体的总质量、质量分布以及 转轴的位置； J Δmi ri2 m1r12 m2r22 mi ri2 J 的计算方法: dl
上页
下页
10
物理学
3-2 转动定律 转动惯量 例题3-5 一质量为0.50 kg，长为0.40 m 的均匀 细棒，可绕垂直于棒的一端的水平光滑轴转动.若 将此棒放在水平位置，然后任其落下，求: 棒转过 600 时的角加速度和角速度. m，l 解: 下落中棒受轴力FN 和重力mg. o
根据转动定律 M = J ，可得
3 g sin l
则600 时棒转动的角速度为 7.98 rad/s
上页
下页
12
物理学
3-2 转动定律 转动惯量
例题3-6 转动着的飞轮的转动惯量为J，在t 0 时，角速度为0 . 此后飞轮经历制动过程，阻力矩 M 的大小与角速度 的平方成正比，比例系数为k (k 为大于零的常数). 求 (1) 当 0 /3 时飞轮的角 加速度为多少？ (2) 上述过程经历的时间是多少？ 解: (1) 由题意可知 根据转动定律，有
解：设盘的质量面密度为， R r 其质量为 在圆盘上任取一圆环， dr o m 2m r dm ds 2 rdr 2 dr 2 R R 2m 3 2 圆环对于转轴的转动惯量为 dJ r dm 2 r dr R 则圆盘相对于中心转轴的转动惯量为 2m R 3 l 2 J r dm 2 r dr mR 2 R 0 2
物理学
3-2 转动定律 转动惯量
一、对定轴的力矩 方向任意的外力F 作用在 刚体上的P点，力F 对O点的 力矩为
z
O
r
d
M
F
F
F
Mo r F
P
F 对转轴力矩，即
M o在转轴上的投影称为力
M r F
大 方 M F r sin 与 r F 一致. 小 向
z
r O i
fi
Fi f i mai
方程沿切向上投影 上式两边同乘 ri ，有 遍及所有质元并求和
2
P
m
Fi
Fit f it mait m ri
Fit ri f it ri m ri
22 F r f r m r itit ii it i ( m iri)
z
O
r
F
上页
下页
1
物理学
3-2 转动定律 转动惯量
讨论
M r F
只有转动平面内的分力影响刚体的转动状态； 定轴转动中可用力矩的正负反映其矢量性;
z
O
F
z
O
r
r
F
上页
下页
2
物理学
3-2 转动定律 转动惯量
合力矩等于各分力矩的矢量和
M M1 M 2 M 3
m1g
m2 g
上页
下页
9
物理学
3-2 转动定律 转动惯量 又因为
1 2 J mr 2
④ ⑤
m2 m1 g 1 m1 m2 2 m r 1 2m1m2 mm2 2 FT 2 g 1 m1 m2 m 2
a r
联立式① ⑤ 解得
m2 m1 a g 1 m1 m2 m 2 1 2m1m2 mm1 2 FT 1 g 1 m1 m2 m 2
定轴转动中 M M i 代数和
z
r1
1
O
F3 r3 3
r2
刚体内作用力和反作用力的
力矩互相抵消． M内 M ji 0
F1
2
F2
z
内力矩不改变转动的状态
rj i O d ri
j
f ji
fi j
上页
下页
3
物理学
3-2 转动定律 转动惯量
二、转动定律 设定轴转动刚体上的任 一质元P，受到转动平面内 的外力和内力的共同作用.
上页
下页
8
物理学
3-2 转动定律 转动惯量
例题3-4 如图, 一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮， 绳两端分别悬有质量为m1和m2的物体，其中m1< m2， 设绳不可伸长且与滑轮之间无相对滑动，滑轮视为 半径为 r、质量为m 的均质圆盘. 求: (1) 物体运动的 加速度；(2)滑轮两边绳子所受的张力. m 解: 由题意，两端绳中的张力 r O Or 大小不再相等， 受力分析并建立 FT1 FT2 坐标系. m1： FT 1 m1 g m1a ① m2 F m T 2 1 FT1 a m2： m2 g FT 2 m2a ② a 滑轮： rFT 2 rFT 1 J ③
代入 J m l 3 及 60，得到角加速度为
2
l mg cos J 2
mg
3g 2 cos 18.4 rad/s 2l
上页 下页 11
物理学
3-2 转动定律 转动惯量 d 3g d d d d 因为 cos d t d d t d d t 2l 3g 所以有 d cos d 2l 对上式积分，并利用初始条件，得 3g 0 d 2l 0 cos d
0
t
当 0 /3 时，制动经历的时间为
2J t k0
上页
下页
14
J Δmi ri r dm dS dV
Hale Waihona Puke 2 2上页下页6
物理学
3-2 转动定律 转动惯量 四、平行轴定理 质量为m 的刚体，如果对其质心轴的转动惯量 为JC ，则对任一与该轴平行，相距为d 的转轴的转 动惯量为
JO JC md
2
d
C
m
O
上页
下页
7
物理学
3-2 转动定律 转动惯量 例题3-3 试求圆盘对通过圆心且垂直于圆平面 的z 轴的转动惯量。设圆盘的质量分布均匀，其半 径为R、质量为m .