陕西省咸阳市2017届高三二模 数学(理)

2017年咸阳市高考模拟考试试题（二）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为实数集R ，集合{1,1,2,4}M =-，2{|23}N x x x =->，则()R M C N = （） A ．{1,1,2}- B ．{1,2} C ．{4} D ．{|12}x x -≤≤2.复数11iz i-=+（i 为虚数单位）的虚部是（） A ．1 B ．-1 C ．i D ．i -3.已知命题p ：“1m =-”，命题q ：“直线0x y -=与直线20x m y +=互相垂直”，则命题p 是命题q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ． 既不充分也不必要4.《张丘建算经》卷上一题为“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，现在一月（按30天计）共织布390尺，最后一天织布21尺”，则该女第一天共织多少布？（ ） A ．3 B ． 4 C. 5 D ．65.双曲线221(0)mx ny mn +=<的一条渐近线方程为y =，则它的离心率为（）A ． 2B ．2 6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是（ ）A ．3πB ．4π C. 5π D ．73π 7.在等比数列{}n a 中，已知37,a a 是方程2610x x -+=的两根，则5a =（）A ．1B ．1- C. 1± D ．3 8.设0sin a xdx π=⎰，则61()x展开式的常数项为（）A ． -20B ． 20 C. -160 D ．1609.设[0,3]x ∈，执行如图所示的程序框图，从输出的结果中随机取一个数a ，则“5a ≤”的概率为（）A ．23 B ．56 C. 27 D ．5710.已知实数,x y 满足00134x y x y⎧⎪≥⎪≥⎨⎪⎪+≤⎩，则231x y x +++的取值范围是（）A ．2[,11]3B ．[3,11] C. 3[,11]2D ．[1,11]11.已知圆O 的半径为1，,,,A B C D 为该圆上四个点，且AB AC AD +=，则ABC ∆的面积最大值为（）A ． 2B ．12.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意x R ∈满足'()()0f x f x +<，则下列结论正确的是（）A ．2(ln 2)3(ln 3)f f >B ．2(ln 2)3(ln 3)f f < C.2(ln 2)3(ln 3)f f ≥ D ．2(ln 2)3(ln 3)f f ≤第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数22log (1),2()2,2x x f x x x x -≥⎧=⎨-<⎩，则((3))f f =．14.2<，928<，252<， …，根据以上规律，第n 个不等式是．15.函数sin y x x =的图象可由函数sin y x x =的图象至少向左平移个单位长度得到．16.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设函数2()sin cos sin ()()4f x x x x x R π=--∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()02Cf =，2c =，求ABC ∆面积的最大值．18. 某中学数学老师分别用两种不同教学方式对入学数学平均分和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班（人数均为20人）进行教学（两班的学生学习数学勤奋程度和自觉性一致），数学期终考试成绩茎叶图如下：（1）学校规定：成绩不低于75分的优秀，请填写下面的22⨯联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．附：参考公式及数据（2）从两个班数学成绩不低于90分的同学中随机抽取3名，设ξ为抽取成绩不低于95分同学人数，求ξ的分布列和期望．19. 如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，D 为棱1BB 上一点，E 是AB 的中点．（1）若D 是1BB 的中点，证明：平面1ADC ⊥平面1A EC ； （2）若平面1ADC 与平面ABC 的夹角为45，求BD 的长． 20. 已知动点M 到定点(1,0)F 和定直线4x =的距离之比为12，设动点M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点F 作斜率不为0的任意一条直线与曲线C 交于两点,A B ，试问在x 轴上是否存在一点P （与点F 不重合），使得APF BPF ∠=∠，若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．21. 已知三次函数()f x 的导函数'2()33f x x =-+且(0)1f =-，()ln (1)ag x x x a x=+≥． （1）求()f x 的极值；（2）求证：对任意12,(0,)x x ∈+∞，都有12()()f x g x ≤．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：24cos 1cos θρθ=-，直线l 的参数方程是2cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于两点,A B ，且线段AB 的中点为(2,2)M ，求α． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|4|(0)f x m x m =-+>，且(2)0f x -≥的解集为[3,1]--．（1）求m 的值；（2）若,,a b c 都是正实数，且11123m a b c++=，求证：239a b c ++≥．2017年咸阳市高考模拟考试试题（二）理科数学参考答案一、选择题：. A B ACD BADCC BA二、填空题：13. 1-2(1)2n +⋅⋅⋅+15. 23π 16. 54三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)（本小题满分12分） 解： 11()sin 2[1cos(2)]222f x x x π=---1sin 22x =- (I )令222()22k x k k z ππππ-≤≤+∈，则()44k x k k z ππππ-≤≤+∈即()f x 的递增区间为[,]()44k k k z ππππ-+∈类似可得()f x 的递减区间为3[,]()44k k k z ππππ++∈ (Ⅱ)由()02C f =得，1sin 2c =，注意到ABC ∆是锐角三角形，∴6C π= 由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，将2c =,6c π=代入得224a b =+由基本不等式得2242a b ab +=≥，即4(2ab ≤∴111sin 4(22222ABC S ab C ∆=≤⋅⋅=+ 即ABC ∆面积的最大值为2(18)（本小题满分12分） （I ）如图所示由2240(141268) 3.63 2.70622182020K ⨯-⨯=>⨯⨯⨯ 知,可以判断：有0090把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.(Ⅱ)两个班数学成绩不低于90分的同学中,成绩不低于95分同学人数有3名,从中随机抽取3名,0,1,2,3ξ=34374(0)35C P C ξ===,21433718(1)35C C P C ξ===，12433712(2)35C C P C ξ===，33371(3)35C P C ξ===0411*******357E ξ⨯+⨯+⨯+⨯==.（19）（本小题满分12分）证明:（I ）由,AC BC AE BE ==，知CE AB ⊥，又平面ABC ⊥平面11ABB A ，所以CE ⊥平面11ABB A 而AD ⊂≠平面11ABB A ，∴AD CE ⊥ 在正方形11ABB A 中，由D E ，分别是1BB 和AB 的中点知1AD A E ⊥ 而1A E CE E = ，∴AD ⊥平面1A EC∵AD ⊂≠平面1ADC ∴平面1ADC ⊥平面1A EC.解:(Ⅱ)取AC 的中点O 为原点,直线,OA OB 分别为,x y 轴,建立如图所示坐标系O xyz -,显然平面ABC 的一个法向量为1(0,0,1)n =,而1(1,0,0),(1,0,2)A C -,设)(02)D m m <<,则1(2,0,2),(1)AC AD m =-=-设2(,,)n x y z =是平面1ADC 的法向量,则(2,0,2)(,,)00()(,,)00x y z x z m x y z x mz -⋅=-=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨-⋅=-++=⎪⎪⎩⎩取2n m =- ,则12cos ,n n <>=2==解得1m =,即1BD = （20）（本小题满分12分）解析: （I ）法1：设(,)M x y ,12= 整理得22143x y +=,即为曲线C 的方程. 法2：由椭圆第二定义知，曲线C 是以(1,0)F 为焦点，以直线4x =为相应准线，离心率为12的椭圆，易得曲线C 的方程为22143x y +=. （Ⅱ）存在.设直线1122:1(0),(1,),(1,),(,0)l x ty t A ty y B ty y P m '=+≠++, 则222213(1)4123412x ty ty y x y =+⎧⇒++=⎨+=⎩，即22(34)690t y ty ++-= 12122269,3434t y y y y t t --+==++ 由APF BPF ∠=∠得0AP BP k k +=,即1212011y y ty m ty m+=+-+-整理得12122(1)()0ty y m y y +-+= ∴22962(1)03434ttm t t --+-=++ 解得4m = 综上知,在x 轴上是存在点(4,0)P 满足题意. (21)（本小题满分12分）解：（I ）依题意得3()31f x x x =-+-，2()333(1)(1)f x x x x '=-+=-+- 知)(x f 在(,1)-∞-和(1,)+∞上是减函数，在(1,1)-上是增函数 ∴()(1)3f x f =-=-极小值，()(1)1f x f ==极大值（II ）法1：易得0x >时，()1f x =最大值， 依题意知，只要1()(0)1ln (1)(0)ag x x x x a x x≤>⇔≤+≥> 由1a ≥知，只要22ln 1(0)ln 10(0)x x x x x x x x ≤+>⇔+-≥> 令2()ln 1(0)h x x x x x =+->，则()2ln 1h x x x x '=+-注意到(1)0h '=，当1x >时，()0h x '>；当01x <<时，()0h x '<， 即()h x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞是增函数，()(1)0h x h ==最小值 即()0h x ≥，综上知对任意12,(0,)x x ∈+∞，都有12()()f x g x ≤ 法2：易得0x >时，()1f x =最大值， 由1a ≥知,1()ln (0)g x x x x x ≥+>,令1()ln (0)h x x x x x=+> 则22211()ln 1ln x h x x x x x -'=+-=+注意到(1)0h '=，当1x >时，()0h x '>；当01x <<时，()0h x '<，即()h x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞是增函数，()(1)1h x h ==最小值，所以()1h x =最小值, 即()1g x =最小值.综上知对任意12,(0,)x x ∈+∞，都有12()()f x g x ≤. 法3:易得0x >时，()1f x =最大值，由1a ≥知,1()ln (0)g x x x x x ≥+>,令1()ln (0)h x x x x x =+>,则21()ln 1(0)h x x x x '=+-> 令21()ln 1(0)x x x x ϕ=+->,则311()0x x xϕ'=+>,知()x ϕ在(0,)+∞递增,注意到(1)0ϕ=,所以,()h x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞是增函数,有()1h x =最小值,即()1g x =最小值 综上知对任意12,(0,)x x ∈+∞，都有12()()f x g x ≤.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.解析:（I ）曲线24cos :1cos C θρθ=-,即2sin 4cos ρθθ=, 于是有22sin 4cos ρθρθ=, 化为直角坐标方程为:24y x =（II ）方法1:2242cos (2sin )4(2cos )2sin y x x t t t y t αααα⎧=⎪=+⇒+=+⎨⎪=+⎩即22sin (4sin 4cos )40t t ααα+--=由AB 的中点为(2,2)M 得120t t +=,有4sin 4cos 0αα-=,所以tan 1k α== 由0απ≤< 得4πα=方法2:设1122(,),(,)A x y B x y ,则2111212122224()()4()4y x y y y y x x y x ⎧=⇒+-=-⎨=⎩, ∵124,y y +=,∴1212tan 1l y y k x x α-===-,由0απ≤< 得4πα=.方法3:设22121212(,),(,),()44y y A y B y y y <,则由(2,2)M 是AB 的中点得2212121212444404y y y y y y y y ⎧+=⎧+=⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎩, ∵12y y <,∴120,4y y ==,知(0,0),(4,4)A B ∴tan 1l k α==,由0απ≤< 得4πα=.方法4:依题意设直线:2(2)l y k x -=-,与24y x =联立得22(2)4y y k -=-, 即24880ky y k --+= 由1244y y k +==得 tan 1k α==,因为0απ≤< ,所以4πα=.（23）解:（I ）依题意(2)20f x m x -=-+≥,即222x m m x m +≤⇔--≤≤-+, ∴1m =（II ）方法1:∵1111(,,0)23a b c a b c++=> ∴11123(23)()23a b c a b c a b c++=++++ 23233()()()92332a b a c b cb ac a c b=++++++≥当且仅当23a b c ==,即33,,12a b c ===时取等号方法2:∵1111(,,0)23a b c a b c++=>∴由柯西不等式得3=+≤整理得239a b c ++≥当且仅当23a b c ==,即33,,12a b c ===时取等号.2017年咸阳市高考模拟考试试题（二）理科数学参考答案一、选择题：. A B ACD BADCC BA二、填空题：13. 1-2(1)2n +⋅⋅⋅+15. 23π三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)（本小题满分12分） 解： 111()sin 2[1cos(2)]sin 22222f x x x x π=---=- (I )令222()22k x k k z ππππ-≤≤+∈，则()44k x k k z ππππ-≤≤+∈即()f x 的递增区间为[,]()44k k k z ππππ-+∈类似可得()f x 的递减区间为3[,]()44k k k z ππππ++∈……………………6分 (Ⅱ)由()02C f =得，1sin 2c =，注意到ABC ∆是锐角三角形，∴6C π=由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，将2c =,6c π=代入得224a b =+由基本不等式得2242a b ab +=≥，即4(2ab ≤∴111sin 4(22222ABC S ab C ∆=≤⋅⋅=+即ABC ∆面积的最大值为2……………………12分 (18)（本小题满分12分） （I ）如图所示由2240(141268) 3.63 2.70622182020K ⨯-⨯=>⨯⨯⨯ 知,可以判断：有0090把握认为“成绩优秀与教学方式有关”. ……………………6分 (Ⅱ)两个班数学成绩不低于90分的同学中,成绩不低于95分同学人数有3名,从中随机抽取3名,0,1,2,3ξ=21123343433433337777418121(0),(1),(2),(3)35353535C C C C C C P P P P C C C C ξξξξ============ (12)分（19）（本小题满分12分）证明:（I ）由,AC BC AE BE ==知CE AB ⊥又平面ABC ⊥平面11ABB A ，所以CE ⊥平面11ABB A 而AD 平面11ABB A ，∴AD CE ⊥ 在正方形11ABB A 中，由D E ，分别是1BB 和AB 的中点知1AD A E ⊥ 而1A E CE E = ，∴AD ⊥平面1A EC∵AD 平面1A D C ∴平面1A D C ⊥平面1A E C.…………………6分 解:(Ⅱ)取AC 的中点O 为原点,直线,OA OB 分别为,x y 轴,建立如图所示坐标系O xyz -,显然平面ABC 的一个法向量为1(0,0,1)n =,而1(1,0,0),(1,0,2)A C -,设)(02)D m m <<,则1(2,0,2),(1)AC AD m =-=-设2(,,)n x y z =是平面1ADC 的法向量,则(2,0,2)(,,)00()(,,)00x y z x z m x y z x mz -⋅=-=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨-⋅=-++=⎪⎪⎩⎩取2n m =- ,则12cos ,2n n <>===解得1m =,即1BD = ……………………12分（20）（本小题满分12分）解析: （I ）法1：设(,)M x y ,12= 整理得22143x y +=,即为曲线C 的方程 ……………………5分 法2：由椭圆第二定义知，曲线C 是以(1,0)F 为焦点，以直线4x =为相应准线，离心率为12的椭圆，易得曲线C 的方程为22143x y +=. ……………………5分 （Ⅱ）存在.设直线1122:1(0),(1,),(1,),(,0)l x ty t A ty y B ty y P m '=+≠++, 则222213(1)4123412x ty ty y x y =+⎧⇒++=⎨+=⎩，即22(34)690t y ty ++-= 12122269,3434t y y y y t t --+==++ 由APF BPF ∠=∠得0AP BP k k +=,即1212011y y ty m ty m+=+-+-整理得12122(1)()0ty y m y y +-+= ∴22962(1)03434ttm t t --+-=++ 解得4m =综上知,在x 轴上是存在点(4,0)P 满足题意.……………………12分(21)（本小题满分12分）解：（I ）依题意得3()31f x x x =-+-，2()333(1)(1)f x x x x '=-+=-+- 知)(x f 在(,1)-∞-和(1,)+∞上是减函数，在(1,1)-上是增函数∴()(1)3f x f =-=-极小值，()(1)1f x f ==极大值……………………5分（II ）法1：易得0x >时，()1f x =最大值， 依题意知，只要1()(0)1ln (1)(0)ag x x x x a x x≤>⇔≤+≥> 由1a ≥知，只要22ln 1(0)ln 10(0)x x x x x x x x ≤+>⇔+-≥> 令2()ln 1(0)h x x x x x =+->，则()2ln 1h x x x x '=+-注意到(1)0h '=，当1x >时，()0h x '>；当01x <<时，()0h x '<， 即()h x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞是增函数，()(1)0h x h ==最小值即()0h x ≥，综上知对任意12,(0,)x x ∈+∞，都有12()()f x g x ≤.………………12分 法2：易得0x >时，()1f x =最大值， 由1a ≥知,1()ln (0)g x x x x x ≥+>,令1()ln (0)h x x x x x=+> 则22211()ln 1ln x h x x x x x -'=+-=+注意到(1)0h '=，当1x >时，()0h x '>；当01x <<时，()0h x '<，即()h x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞是增函数，()(1)1h x h ==最小值，所以()1h x =最小值, 即()1g x =最小值.综上知对任意12,(0,)x x ∈+∞，都有12()()f x g x ≤. ……………………12分 法3:易得0x >时，()1f x =最大值，由1a ≥知,1()ln (0)g x x x x x ≥+>,令1()ln (0)h x x x x x =+>,则21()ln 1(0)h x x x x '=+-> 令21()ln 1(0)x x x x ϕ=+->,则311()0x x xϕ'=+>,知()x ϕ在(0,)+∞递增,注意到(1)0ϕ=,所以,()h x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞是增函数,有()1h x =最小值,即()1g x =最小值综上知对任意12,(0,)x x ∈+∞，都有12()()f x g x ≤. ……………………12分 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22.解析:（I ）曲线24cos :1cos C θρθ=-,即2sin 4cos ρθθ=, 于是有22sin 4cos ρθρθ=,化为直角坐标方程为:24y x = ……………………5分（II ）方法1:2242cos (2sin )4(2cos )2sin y x x t t t y t αααα⎧=⎪=+⇒+=+⎨⎪=+⎩即22sin (4sin 4cos )40t t ααα+--=由AB 的中点为(2,2)M 得120t t +=,有4sin 4cos 0αα-=,所以tan 1k α==由0απ≤< 得4πα=……………………10分方法2:设1122(,),(,)A x y B x y ,则2111212122224()()4()4y x y y y y x x y x ⎧=⇒+-=-⎨=⎩, ∵124,y y +=,∴1212tan 1l y y k x x α-===-,由0απ≤< 得4πα=.…………………10分方法3:设22121212(,),(,),()44y y A y B y y y <,则由(2,2)M 是AB 的中点得2212121212444404y y y y y y y y ⎧+=⎧+=⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎩, ∵12y y <,∴120,4y y ==,知(0,0),(4,4)A B ∴tan 1l k α==,由0απ≤< 得4πα=. …………………10分方法4:依题意设直线:2(2)l y k x -=-,与24y x =联立得22(2)4y y k -=-, 即24880ky y k --+= 由1244y y k +==得 tan 1k α==,因为0απ≤< ,所以4πα=.…………………10分 （23）（本小题满分10分）解:（I ）依题意(2)20f x m x -=-+≥,即222x m m x m +≤⇔--≤≤-+,∴1m =……………………5分（II ）方法1:∵1111(,,0)23a b c a b c++=> ∴11123(23)()23a b c a b c a b c++=++++ 23233()()()92332a b a c b cb ac a c b=++++++≥当且仅当23a b c ==,即33,,12a b c ===时取等号……………………10分方法2:∵1111(,,0)23a b c a b c++=>∴由柯西不等式得3=≤整理得239a b c ++≥当且仅当23a b c ==,即33,,12a b c ===时取等号……………………10分。