高中数学必修四人教版1.6三角函数模型的简单应用8ppt课件
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高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用课件新人教版必修4
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
解 (1)T＝2|ωπ|＝126π0π ＝810 min. (2)f＝T1＝80 次. (3)p(t)max＝115＋25＝140 mmHg， p(t)min＝115－25＝90 mmHg. 即收缩压为 140 mmHg，舒张压为 90 mmHg，比正常值高.
[课堂小结] 1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数 模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广 泛的应用. 2.三角函数模型构建的步骤
π 6
t＋1(0≤t≤24).
②因为 y＞1 时，才对冲浪爱好者开放，
所以 y＝12cos
π 6
t＋1＞1，cos
π 6
t＞0，
2kπ －π2 ＜π6 t＜2kπ ＋π2 ，
即 12k－3＜t＜12k＋3(k∈Z). 又 0≤t≤24，所以 0≤t＜3 或 9＜t＜15 或 21＜t≤24， 所以在规定时间内只有 6 个小时冲浪爱好者可以进行活动， 即 9＜t＜15.
解 (1)令 t＝0，得 h＝3sinπ4 ＝322，所以开始振动的位置为
0，3
2
2 .
(2)由题意知，当 h＝3 时，t＝π8 ，即最高点为π8 ，3；
当 h＝－3 时，t＝5π8 ，即最低点为5π8 ，－3.
(3)T＝2π2 ＝π ≈3.14，即每经过约 3.14 秒小球往返振动一次.
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
解 (1)T＝2|ωπ|＝126π0π ＝810 min. (2)f＝T1＝80 次. (3)p(t)max＝115＋25＝140 mmHg， p(t)min＝115－25＝90 mmHg. 即收缩压为 140 mmHg，舒张压为 90 mmHg，比正常值高.
[课堂小结] 1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数 模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广 泛的应用. 2.三角函数模型构建的步骤
π 6
t＋1(0≤t≤24).
②因为 y＞1 时，才对冲浪爱好者开放，
所以 y＝12cos
π 6
t＋1＞1，cos
π 6
t＞0，
2kπ －π2 ＜π6 t＜2kπ ＋π2 ，
即 12k－3＜t＜12k＋3(k∈Z). 又 0≤t≤24，所以 0≤t＜3 或 9＜t＜15 或 21＜t≤24， 所以在规定时间内只有 6 个小时冲浪爱好者可以进行活动， 即 9＜t＜15.
解 (1)令 t＝0，得 h＝3sinπ4 ＝322，所以开始振动的位置为
0，3
2
2 .
(2)由题意知，当 h＝3 时，t＝π8 ，即最高点为π8 ，3；
当 h＝－3 时，t＝5π8 ，即最低点为5π8 ，－3.
(3)T＝2π2 ＝π ≈3.14，即每经过约 3.14 秒小球往返振动一次.
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
三角函数模型的简单应用ppt课件-数学高一必修4第一章1.6人教A版
课堂小结:
1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模 型,可以用来研究很多问题,我们可以通过建立三角函数 模型来解决实际问题,如天气预报,地震预测,等等.
2.建立三角函数模型的一般步聚:
搜集数据
利用计算机 作出相应的 散点图
进行函数 拟合得出 函数模型
利用函数 模型解决 实际问题
课堂检测
过程； • d体会三角函数是描述周期变化现象的重要
函数模型．
观察、发现：
1、由图象求振幅A
y 2sin x
5
向上平移3个单位长度
4 3
y 2sin x 3
2
y Asin x b
1
O
2
A 5 1 2 最大值 最小值 2
2
2
b 5 1 3 最大值 最小值
2
2
y
y Asin x b
通过计算可得在6时的水深约为5米，此时船舶的安全水深约为 4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此时船舶的安全水深约为4.1米； 7时的水深约为3.8米，而船舶的安全水深约为4米，因此为了安 全，船舶最好在6.5时之前停止卸货，将船舶驶向较深的水域。
小结：三角函数应用的基本步骤： 1）根据图像建立解析式 2）根据解析式作出图像 3）将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型
A点的坐标为( , 2)
12
2sin(2 ) 2
sin(
12
)
1
6
2k , k Z
6
2
yA 2
O
x
6 12
2
一般2k取 ,：k | Z|≤π
当k
3
0时
，
3
y 2sin(2x )
人教A版高中数学必修四课件：第一章 1.6 三角函数模型的简单应用
这时此人所转过的角度为
2π
300
t=
π
150
t,
故在 t s 时,此人相对于地面的高度为 h=10sin
(2)由 10sin
π
150
t+12≥17,得 sin
π
150
1
t≥ ,
2
那么25≤t≤125.
故此人有100 s相对于地面的高度不小于17 m.
π
150
t+12(t≥0).
到计算器或计算机.
(2)实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多门学科的
知识才能完成,因此在应用数学知识解决实际问题时,不仅要注意
从复杂的实际背景中抽取根本的数学关系,而且还要调动相关学科
知识来解决问题.
1
2
(3)建立三角函数模型的步骤如下:
1
2
【做一做 2】电流强度 I(单位:安)随时间 t(单位:秒)变化的函数
π
π
π
- 2 =-10,
5
即 cos5 t=0.25,得 t≈2.1,
即你第1次距地面30.5 m时,用了约 min.
(4)你第4次距地面 m时,用了20-2.1=17.9(min).
反思对于实际问题,只需把问题中提供的条件逐条地翻译成数学
语言,就能建立数学模型.
题型一
题型二
题型三
【变式训练3】 如下图,一个摩天轮的半径为10 m,轮子的底部
π
A>0,ω>0,0<φ<2 ,则函数的解析式为
+ = 4,
解析:由题意可得
- + = 0,
= 2,
解得
= 2.
高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用课件新人教A版必修4
数据拟合函数问题
【例3】 某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单 位：h)的函数，下面是每天时间与水深的关系表：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10 经过长期观测，y＝f(t)可近似地看成是函数y＝Asin ωt＋b. (1)根据以上数据，求出y＝f(t)的解析式；
1.6 三角函数模型的简单应用
目标定位
重点难点
1.会用三角函数解决一些简单 重点：会用三角函数解决一些
的实际问题
简单的实际问题
2.体会三角函数是描述周期变 难点：三角函数模型的简单应
化现象的重要函数模型
用
三角函数的应用 (1)根据实际问题的图象求出函数解析式． (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型． (3)利用搜集的数据作出_散__点__图___，并根据_散__点__图__进行函 数拟合，从而得到函数模型．
若 y＝－2cos π3t＋2.5，则当 t＝0 时，y＝－2cos 0＋2.5＝2.5－2 ＝0.5，满足条件．若 y＝－2sin π3t＋2.5，则当 t＝0 时，y＝－ 2sin 0＋2.5＝2.5－0＝2.5，不满足条件，排除 D.故选 C.
【方法规律】解三角函数应用问题的基本步骤
如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为 4.8 m，圆上最低点与地面距离为 0.8 m，图中 OA 与地面垂直， 以 OA 为始边，逆时针转动 θ(θ＞0)角到 OB，设 B 点与地面距 离为 h，则 h 与 θ 的关系式为( )
【正解】(1)设振幅为 A， 则 2A＝20 cm，A＝10 cm. 设周期为 T，则T2＝0.5 s， T＝1 s，f＝1 Hz. (2)振子在 1T 内通过的距离为 4A， 故在 t＝5 s＝5T 内通过的路程 s＝5×4A＝20A＝20×10 cm＝200 cm＝2 m.
2019-2020人教A版数学必修4第1章 1.6 三角函数模型的简单应用课件PPT
(2)将 t＝0 代入 s＝4sin2t＋π3，得 s＝4sin π3＝2 3，所以小球开 始振动时的位移是 2 3 cm.
(3)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是 4 cm 和－ 4 cm.
(4)因为振动的周期是 π，所以小球往复振动一次所用的时间是 π s.
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处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共 同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等 概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
自主预习 探新知
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1．三角函数可以作为描述现实世界中 周期 现象的一种数学模
型．其基本模型可化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋B
的形式．
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2．解三角函数应用题的基本步骤： (1)审清题意； (2)搜集整理数据，建立数学模型； (3)讨论变量关系，求解数学模型； (4)检验，作出结论．
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2．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离 s(单位：cm) 和时间 t(单位：s)的函数关系式为 s＝6sin2πt＋π6.
(1)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？ (2)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？ (3)单摆来回摆动一次需多长时间？
T＝2ωπ＝12，ω＝π6. 当 x＝9 时，ymax＝6.故 π6×9＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z. 取 k＝1 得 φ＝π，即 y＝－6sinπ6x.]
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合作探究 提素养
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三角函数图象的应用 【例 1】 (1)函数 y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图象是( )
A
B
C
人教A版高中数学必修四课件：第一章 1.6 三角函数模型的简单应用(共71张PPT)
一帆风顺，并不等于行驶的是一条平坦的航线。 获致幸福的不二法门是珍视你所拥有的、遗忘你所没有的。 时间告诉我，无理取闹的年龄过了，该懂事了。 今天不为学习买单，未来就为贫穷买单。 不能强迫别人来爱自己，只能努力让自己成为值得爱的人。 让生活的句号圈住的人，是无法前时半步的。 太阳虽有黑点，却在奋力燃烧中树立了光辉的形象。 不要对挫折叹气，姑且把这一切看成是在你成大事之前，必须经受成功的秘密在于始终如一地忠于目标。 要克服生活的焦虑和沮丧，得先学会做自己的主人。 谁不向前看，谁就会面临许多困难。 只有不想做的，没有做不到的。 只有坚持才能获得最后的成功。 有志始知蓬莱近，无为总觉咫尺远。 只要有信心，人永远不会挫败。 不论你在什么时候结束，重要的是结束之后就不要悔恨。 学到很多东西的决窍，就是一下子不要学很多的东西。 学贵精不贵博。……知得十件而都不到地，不如知得一件却到地也。 君子赠人以言，庶人赠人以财。——荀况 没有失败，只有暂时停止的成功。
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.6 三角函数模型的简单应用
Asin(ωt＋φ)的图象．则一个能近似表示表中数据间对应关系的
函数是________．
解析 由表格知最大值为 15，最小值为 9，最小正周期为 12， 故 A＝3，k＝12，ω＝π6.又 t＝0 时，y＝12，所以 φ＝0. 答案 y＝12＋3sinπ6t
4．示波器上显示的曲线是正弦曲线形状，记录到两个坐标 M(2,4)和P(6,0)，已知M，P是曲线上相邻的最高点和平衡位 置，则得曲线的解析式是________．
①Ay＝cosπ6x； ②y－A46＝cosπ6x； ③y－－A46＝cosπ6x； ④y－A26＝sinπ6x.
[思路分析] (1)(2)建立直角坐标系即可；(3)找出气温的最大值和 最小值的月份，作差，可求得T2；(4)找出气温的最大值和最小 值，作差，求出 2A；(5)将表中数据代入检验．
学化，即建立三角函数模型．
【示例】 下表是芝加哥1951～1981年月平均气温(华氏).
月份
1
2
4
5
6
平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7
以月份为x轴，x＝月份－1，以平均气温为y轴． (1)描出散点图． (2)用正弦曲线去拟合这些数据． (3)这个函数的周期是多少？ (4)估计这个正弦曲线的振幅A. (5)选择下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？
同理可得 y2＝2sinπ4x－34π＋8(1≤x≤12)． 方法技巧 转化与化归思想
利用三角函数的周期能够建立三角函数模型解决一些简单问题，
其实施的过程就是转化与化归．根据搜集到的数据，找出变化规
【课件】新课标人教A版数学必修4：1.6三角函数模型的简单应用
化曲线近似满足函数 y Asin(x ) by
(1)求这一天6~14时的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
30Biblioteka 20解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是200C. 10
(2)从图中可以看出,从6~14时的图象是
0 6 10 14 x
函数 y Asin(x ) b的半个周期
的图象，所以，A 1 30 10 10, b 1 30 10 20
y 2.5sin x 5 6
P
y 5.5 0.3 x 2
2 4 6 8 10
x
作业讲评
▪ P46 A2最值问题 使原函数取得最大值的集合是
(3)
y
3 2
cos
1 2
x
6
解：令z 1 x
26
x
|
x
7
3
4k ,k
Z
要使y 3 COSz有最小值， 2
要使y 3 cos z有最大值， 2
必须 z 2k ,k z
必须 z 2k ,k z
1 x 2k
例3 如图,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此 时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间 的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ负 值.
如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高 为h0的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全 年不被前面的楼房遮挡,两 楼的距离不应小于多少?
y
6 4 2
O
23
y 5.5 0.3(x 2)
x
6
9
12
15
(3)设在时刻x货船的安全水深为y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2).在同
(1)求这一天6~14时的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
30Biblioteka 20解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是200C. 10
(2)从图中可以看出,从6~14时的图象是
0 6 10 14 x
函数 y Asin(x ) b的半个周期
的图象，所以，A 1 30 10 10, b 1 30 10 20
y 2.5sin x 5 6
P
y 5.5 0.3 x 2
2 4 6 8 10
x
作业讲评
▪ P46 A2最值问题 使原函数取得最大值的集合是
(3)
y
3 2
cos
1 2
x
6
解：令z 1 x
26
x
|
x
7
3
4k ,k
Z
要使y 3 COSz有最小值， 2
要使y 3 cos z有最大值， 2
必须 z 2k ,k z
必须 z 2k ,k z
1 x 2k
例3 如图,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此 时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间 的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ负 值.
如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高 为h0的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全 年不被前面的楼房遮挡,两 楼的距离不应小于多少?
y
6 4 2
O
23
y 5.5 0.3(x 2)
x
6
9
12
15
(3)设在时刻x货船的安全水深为y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2).在同
1.6三角函数模型的简单应用-人教A版高中数学必修四课件(共18张PPT)
例1 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近
似满足函数: y Asin(x ) b.
T/℃ 30
思考1：这一天6～14时的最大温差是多少？
20
30°-10°=20°
10
思考2：函数式中A、b的值分别是多少？
A=10, b=20.
o
6 10 14
t/h
思考3：如何确定函数式中 和 的值?
思考4：这段曲线对应的函数是什么？
B或D点所对就的时间 问题2：如何求出 A、B、C、D四点
所对应的时间？ 由Y≥5.5 得 2.5sin
x 5 5.5
sin
x 0.2
根令据或周sin期-66性xx可0.02得0.214(：已知xx三Dcx角A6函1122数0.值3xx8求BA4角6),1122用 xB 计50(..算6318器054.2可466014求 )11出672..6553x.68115460464.2014
问题2： 潮汐对轮船进出港口有什么影响？
轮船必须在安全水深内进出港口，否则会搁浅.
问题3：上述变化过程中，是哪些量发生变化？哪个量是自变量？ 哪个是因变量？
上述变化过程中，时间、水深都发生变化，是水深是随时间变化， 因此，时间是自变量，水深是因变量(函数) 问题4： 选择一个适当的函数来近似描述水深与时间的关系？
若所用点为五点法中的“第一点”，则令ωm＋φ＝0； 若所用点为五点法中的“第二点”，则令ωm＋φ＝ ；
2
若所用点为五点法中的“第三点”，则令ωm＋φ＝π； 若所用点为五点法中的“第四点”，则令ωm＋φ＝3 ；
2
若所用点为五点法中的“第五点”，则令ωm＋φ＝2π.
题类Ⅰ：根据正、余弦函数的Fra bibliotek段图象去求其解析式
新课标人教A版高中数学必修四1.6三角函数模型的简单应用课件 (共30张PPT)
（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为 1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以 每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么 时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域?
解：设在时刻x船舶的安全水深为y， 那么y=5.5-0.3(x-2) (x≥2),在同一坐标 系内作出这两个函数的图象，可以看 到在6时到7时之间两个函数图象有一 个交点. 通过计算可得在6时的水深约为5米，此时船舶的安全水深约为 4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此时船舶的安全水深约为4.1米； 7时的水深约为3.8米，而船舶的安全水深约为4米，因此为了安 全，船舶最好在6.5时之前停止卸货，将船舶驶向较深的水域。
3
由图象求解析式
y Asin(x )
(1)A 3
yA 3
(2) T 10 4 2
23 3
又T 2 1
2
T 4
O
4
10
3
x
(3) y 3sin(1 x )
3
2 A点的坐标为(
4
, 3)
3
3sin( 1 4 ) 3
23
sin(2 ) 1
3
2k , k Z
水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
时刻 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00
水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
6
y
6 4 2 O 3 6 912 15182124 x
人教版2017高中数学(必修四)1.6 三角函数模型的简单应用 PPT课件
三角函数在物理中的应用
已知如图表示电流强度 I 与时间 t 的关系 I＝ Asin(ωt＋ φ)(A＞ 0， ω＞ 0)的图象．
(1)试根据图象写出 I＝ Asin(ωt＋ φ)的解析式； 1 (2)为了使 I＝ Asin(ωt＋ φ)(A＞0， ω＞0)中 t 在任意一段 秒 100 的时间内电流强度 I 能同时取得最大值 A 与最小值－ A， 那么 正整数 ω 的最小值是多少．问题导航 (1)三角函数与指数函数、对数函数、幂函数在性质上有哪些 相同点和不同点？ (2)生活中具有哪些现象的实际问题与三角函数模型相联系？ (3)在建模过程中，散点图的作用是什么？
2．例题导读 P60 例 1.通过本例学习，学会利用函数的模型(函数图象 ) 解决实际问题，并根据图象建立解析式． P60 例 2.通过本例学习，学会根据解析式作出函数图象， 并根据图象认识性质． P61 例 3，P62 例 4.通过此两例学习，学会将实际问题抽象 为与三角函数有关的函数模型， 然后根据所得的函数模型 解决问题．
[解 ]
(1)由题图知， A＝ 300. 1 1 1 T＝ － (－ )＝ ， 60 300 50 2π 所以 ω＝ ＝ 100π. T 1 因为(－ ，0)是该函数图象的第一个点 (五点作图法 )， 300 φ 1 ω π 所以－ ＝－ ，所以 φ＝ ＝ ， 300 300 3 ω π 所以 I＝ 300sin(100πt＋ )(t≥0)． 3 1 2π 1 (2)问题等价于 T≤ ，即 ≤ ， 100 ω 100 所以 ω≥ 200π， 所以最小的正整数 ω 为 629.
常见的三角函数应用题的三种类型 (1)给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结 合三角函数的性质，解决一些实际问题． (2)给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型， 再解决其他问题． (3)整理一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通 过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型， 进一步用函数模型来解决问题．
高中数学必修四[人教A版]1.6《三角函数模型的简单应用》ppt课件
![高中数学必修四[人教A版]1.6《三角函数模型的简单应用》ppt课件](https://img.taocdn.com/s3/m/4ca1255904a1b0717fd5ddf0.png)
三角函数模型的简单应用
学习目标： 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题； 2．体会三角函数是描述周期性变化现象的重要 函数模型．
引入:
三角函数能够模拟许多周期现象.因此,在解决实际问题 和物理问题中有着广泛的应用.
新授
例1.画出y=|sinx|的图象并观察其周期.
解：
y
y | sin x |
2
D. y 1 sin(2x ) o 7
x
5
5
10 20
2.已知函数 y Asin(x ) 在同一周期内，当 x 时有最大值 2，当 x=0
3
时有最小值-2，那么函数的解析式为（ C ）
A． y 2sin 3 x
2
C． y 2sin(3x )
2
B． y 2sin(3x )
叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船 在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海 洋。下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻
水深 (米)
时刻 水深(米) 时刻
水深 (米)
0.00 5.00
9.00
2.50
18.0 0
5.00
（13）.0选0 用7一.5个0 函1数2.0来0近似5.描00述这2个10.0港口2的.50水深与时间的 函解数6:.关0以0系时，间5.给为00出横整坐15点标.0时,0水的深7水为.5深0纵的坐近2标40似.,0画数出值5散.0（0点精图确(如0.0图0)1.）根.
解:建立直角坐标
H A
系如图所示
O
T
M
由题意知:所求函数的模型为
h Asin(t ) B.
则A=2, B=2.5, ∵ T=12, ∴ω=
学习目标： 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题； 2．体会三角函数是描述周期性变化现象的重要 函数模型．
引入:
三角函数能够模拟许多周期现象.因此,在解决实际问题 和物理问题中有着广泛的应用.
新授
例1.画出y=|sinx|的图象并观察其周期.
解：
y
y | sin x |
2
D. y 1 sin(2x ) o 7
x
5
5
10 20
2.已知函数 y Asin(x ) 在同一周期内，当 x 时有最大值 2，当 x=0
3
时有最小值-2，那么函数的解析式为（ C ）
A． y 2sin 3 x
2
C． y 2sin(3x )
2
B． y 2sin(3x )
叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船 在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海 洋。下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻
水深 (米)
时刻 水深(米) 时刻
水深 (米)
0.00 5.00
9.00
2.50
18.0 0
5.00
（13）.0选0 用7一.5个0 函1数2.0来0近似5.描00述这2个10.0港口2的.50水深与时间的 函解数6:.关0以0系时，间5.给为00出横整坐15点标.0时,0水的深7水为.5深0纵的坐近2标40似.,0画数出值5散.0（0点精图确(如0.0图0)1.）根.
解:建立直角坐标
H A
系如图所示
O
T
M
由题意知:所求函数的模型为
h Asin(t ) B.
则A=2, B=2.5, ∵ T=12, ∴ω=
高中数学必修四1：1.6 三角函数模型的简单应用
(1) 本题的解题关键是建立三角函数的模型，选择适当的角作为变量．方法比 较灵活，突出了对能力的考查．
(2)第(2)问是探索性问题，考生找不到问题的突破口是造成失分的主要原 因．另外计算错误也是常见失分原因．
课堂练习
如果某地夏天从8~14时用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b,如图 所示. (1)求这一天的最大用电量和最小用电量; (2)写出这段曲线的函数解析式.
新课引入
. 简单应用——学以致用，解决生活中的 实际问题 ②数学模型——具体的数学函数关系 ③三角函数模型——三角函数关系
探究点1
• 正弦型函数
y Asin(x ),( A 0, 0)
• 1、物理情景—— • 2、地理情景—— • 3、心理、生理现象—— • 4、日常生活现象——
探究点2
根据图象建立解析式 根据解析式作出图象 将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型 利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数
拟合，从而得到函数模型
探究点3
解三角函数应用题的一般步骤： (1)阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言； (2)建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系； (3)讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质； (4)作出结论．
第一章 三角函数 §1.6 三角函数模型的简单应用
高中数学必修4·精品课件
学习目标
1、知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步 学会由图象求解析式的方法；b体验实际问题抽象为三角函数模型问题 的过程；c体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
2、能力目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学 “建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括 等能力．
新人教版数学必修4同步课件：三角函数模型的简单应用
课堂篇 探究学习
探究一探究二探Fra bibliotek三思维辨析
解(1)由表中数据描出各点,并把这些点用平滑的曲线连接起来
(如图),由图知,可设 f(t)=Acos ωt+b,并且周期 T=12,
∴ω=2���π���
=
2π 12
=
π6.
由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5;
由 t=3,y=1.0,得 b=1.0.
数据拟合三角函数模型问题 例3已知某海滨浴场海浪的高度y(单位:米)是时间t(0≤t≤24,单 位:时)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据.
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21
24
y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
(1)根据以上数据,求函数y=f(t)的函数解析式; (2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据 (1)的结论,判断一天内上午8:00时至晚上20:00时之间,有多少时间 可供冲浪爱好者进行运动? 分析作出散点图→判断形状构建模型→求参数
答案:(1)√ (2)× (3)√
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
三角函数模型在日常生活中的应用 例1 心脏跳动时,血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别 称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数 120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin 160πt,其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),试回答下列 问题: (1)求函数p(t)的周期; (2)求此人每分钟心跳的次数; (3)画出函数p(t)的草图; (4)求出此人的血压在血压计上的读数. 分析:函数解析式已知,可根据周期公式以及周期与频率的关系 解决(1)(2).用“五点作图法”解决(3).由函数解析式或图象得出函数 的最大值以及最小值即得血压在血压计上的读数从而得(4).
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根据太阳高度角的定义，有∠C=90º -|40º -(-23º 26')|=26º 34' 所以，
H H MC 2.000 H ' tan C tan 26 34
即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高 两倍的间距。
例4.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，
一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货 后，在落潮时返回海洋，下面是某港口 在某季节每天的时间与水深的关系表：
1 2 14 6 2
A
1 1 (30 10) 10, b (30 10) 20, 2 2 8
因为点（6，10）是五点法作图中的第四点，故
8
6
故，所求函数解析式为
3 3 , 解得 2 4 y 10 sin( x 3 ) 20，x [6,14] 8 4
小结：利用函数的模型(函数的 图象)解决问题，根据图象建立函数 解析式.
例2.画出函数y=|sinx|的图象并观察其周期。 解：函数图象如下：
y
y | sin x |
1
-1
x
观察图象可知，函数y=|sinx|的的周期是π。
练习. 教材P.65练习第3题.
课堂小结
1. 三角函数模型应用基本步骤: (1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关 的简单函数模型. 2. 利用收集到的数据作出散点图，并 根据散点图进14时的温度变化曲线近似满足函数
y A sin( x ) b.
（1）求这一天的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式. 解：（1）观察图象可知，这段时间的 最大温差是20º C。 （2）从图中可以看出，从6时到14时的 图象是函数y=Asin(ωx+φ) +b的半个周 期的图象，所以
解：
（3）设在时刻x船舶的安全水深为y， 那么y=5.5-0.3(x-2) (x≥2),在同一坐标 系内作出这两个函数的图象，可以看 到在6时到7时之间两个函数图象有一 个交点. 通过计算可得在6时的水深约为5米，此时船舶的安全水深约为 4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此时船舶的安全水深约为4.1米； 7时的水深约为3.8米，而船舶的安全水深约为4米，因此为了安 全，船舶最好在6.5时之前停止卸货，将船舶驶向较深的水域。
小结：利用函数解析式模型建立 函数图象模型，并根据图象认识性质.
练习. 教材P.65练习第1题.
例3. 如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为 此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个 量之间的关系是 ＝90º －| － |.当地夏半年取正值， 冬半年取负值. 如果在北京地区(纬度数约为北纬40º )的一幢高为 h0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全 年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？
因为
x [0,，所以有函数周期性易得 24] xC 12 0.3848 12.3848,
xD 12 5.6152 17.6152. 因此，货船可以在凌晨零时30分左右进港，早晨5时30分左右出 港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港，每次 可以在港口停留5小时左右。
－
太阳光
B
北回归线 南回归线
－
C
太阳光
解：如图，A、B、C分别太阳 直射北回归线、赤道、南回归 线时，楼顶在地面上的投影点， 要使新楼一层正午的太阳全年 H 不被前面的楼房遮挡，应取太 阳直射南回归线的情况考虑， 此时的太阳直射纬度为-23º 26'，依题意两楼的间距应不小于MC.
时刻 水深（米） 时刻 水深（米） 时刻 水深（米）
0:00 3:00 6:00
5.0 7.5 5.0
9:00 12:00 15:00
2.5 5.0 7.5
18:00 21:00 24:00
5.0 2.5 5.0
（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系， 并给出整点时的水深的近似数值。（精确到0.001） （2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例 规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能 进入港口？在港口能呆多久？ （3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始 卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必 须停止卸货，将船驶向较深的水域？
6 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：
y 2.5 sin
x5
解： （2）货船需要的安全水深 为 4+1.5=5.5 （米），所以 当y≥5.5时就可以进港. 令 2.5 sin x 5 5.5 6 化简得 sin x 0.2 6 x 0.2014, 或 x 0.2014 由计算器计算可得 6 6 xA 0.3848, xB 5.6152 解得
解： （1）以时间为横坐标，水深为纵坐标， 在直角坐标系中画出散点图，根据图象， y A sin( x ) h 可以考虑用函数 来刻画水深与时间之间的对应关系. 从数据和图象可以得出： A=2.5,h=5,T=12, =0; . 12 由 T 2 ，得 6 所以，这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为：
H H MC 2.000 H ' tan C tan 26 34
即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高 两倍的间距。
例4.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，
一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货 后，在落潮时返回海洋，下面是某港口 在某季节每天的时间与水深的关系表：
1 2 14 6 2
A
1 1 (30 10) 10, b (30 10) 20, 2 2 8
因为点（6，10）是五点法作图中的第四点，故
8
6
故，所求函数解析式为
3 3 , 解得 2 4 y 10 sin( x 3 ) 20，x [6,14] 8 4
小结：利用函数的模型(函数的 图象)解决问题，根据图象建立函数 解析式.
例2.画出函数y=|sinx|的图象并观察其周期。 解：函数图象如下：
y
y | sin x |
1
-1
x
观察图象可知，函数y=|sinx|的的周期是π。
练习. 教材P.65练习第3题.
课堂小结
1. 三角函数模型应用基本步骤: (1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关 的简单函数模型. 2. 利用收集到的数据作出散点图，并 根据散点图进14时的温度变化曲线近似满足函数
y A sin( x ) b.
（1）求这一天的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式. 解：（1）观察图象可知，这段时间的 最大温差是20º C。 （2）从图中可以看出，从6时到14时的 图象是函数y=Asin(ωx+φ) +b的半个周 期的图象，所以
解：
（3）设在时刻x船舶的安全水深为y， 那么y=5.5-0.3(x-2) (x≥2),在同一坐标 系内作出这两个函数的图象，可以看 到在6时到7时之间两个函数图象有一 个交点. 通过计算可得在6时的水深约为5米，此时船舶的安全水深约为 4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此时船舶的安全水深约为4.1米； 7时的水深约为3.8米，而船舶的安全水深约为4米，因此为了安 全，船舶最好在6.5时之前停止卸货，将船舶驶向较深的水域。
小结：利用函数解析式模型建立 函数图象模型，并根据图象认识性质.
练习. 教材P.65练习第1题.
例3. 如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为 此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个 量之间的关系是 ＝90º －| － |.当地夏半年取正值， 冬半年取负值. 如果在北京地区(纬度数约为北纬40º )的一幢高为 h0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全 年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？
因为
x [0,，所以有函数周期性易得 24] xC 12 0.3848 12.3848,
xD 12 5.6152 17.6152. 因此，货船可以在凌晨零时30分左右进港，早晨5时30分左右出 港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港，每次 可以在港口停留5小时左右。
－
太阳光
B
北回归线 南回归线
－
C
太阳光
解：如图，A、B、C分别太阳 直射北回归线、赤道、南回归 线时，楼顶在地面上的投影点， 要使新楼一层正午的太阳全年 H 不被前面的楼房遮挡，应取太 阳直射南回归线的情况考虑， 此时的太阳直射纬度为-23º 26'，依题意两楼的间距应不小于MC.
时刻 水深（米） 时刻 水深（米） 时刻 水深（米）
0:00 3:00 6:00
5.0 7.5 5.0
9:00 12:00 15:00
2.5 5.0 7.5
18:00 21:00 24:00
5.0 2.5 5.0
（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系， 并给出整点时的水深的近似数值。（精确到0.001） （2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例 规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能 进入港口？在港口能呆多久？ （3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始 卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必 须停止卸货，将船驶向较深的水域？
6 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：
y 2.5 sin
x5
解： （2）货船需要的安全水深 为 4+1.5=5.5 （米），所以 当y≥5.5时就可以进港. 令 2.5 sin x 5 5.5 6 化简得 sin x 0.2 6 x 0.2014, 或 x 0.2014 由计算器计算可得 6 6 xA 0.3848, xB 5.6152 解得
解： （1）以时间为横坐标，水深为纵坐标， 在直角坐标系中画出散点图，根据图象， y A sin( x ) h 可以考虑用函数 来刻画水深与时间之间的对应关系. 从数据和图象可以得出： A=2.5,h=5,T=12, =0; . 12 由 T 2 ，得 6 所以，这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为：