[配套K12]2017-2018学年高中数学第1章统计 2 第2课时分层抽样与系统抽样教学案

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配套K12河北省石家庄市2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题文

2017—2018学年度第二学期期末教学质量检测高二文科数学第Ⅰ卷选择题一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.31ii+=+ （） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2.年劳动生产率x （千元）和工人工资y （元）之间的回归方程为1070y x =+，这意味着年劳动生产率每年提高1千元时，工人工资平均（）A ．增加80元B ．减少80元C ．增加70元D ．减少70元 3.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0'()0f x =，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值'(0)0f =，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中（）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确 4.已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为（）A ．0.4 2.3y x =+B ．2 2.4y x =-C ．29.5y x =-+D ．0.3 4.4y x =-+ 5.在回归分析中，2R 的值越大，说明残差平方和（）A ．越小B ．越大C ．可能大也可能小D ．以上都不对 6.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是（）A ．-1B ．23 C ．32D ．4 7.用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60︒”时，应假设（） A ．三个内角都不大于60︒ B ．三个内角都大于60︒ C ．三个内角至多有一个大于60︒ D ．三个内角至多有两个大于60︒8.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y bx a =+，其中0.76b =，a y bx =-.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为（）A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元 9.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A ．62n -B ．82n -C ．62n +D ．82n + 10.某高中学生会为了调查学生对2018年俄罗斯世界杯的关注度是否与性别有关，抽样调查100人，得到如下数据：根据表中数据，通过计算统计量()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，并参考以下临界数据：若由此认为“学生对2018年俄罗斯世界杯的关注与性别有关”，则此结论出错的概率不超过（）A ．0.10B ．0.05C ．0.025D ．0.01 11.设复数(1)(,)z x yi x y R =-+∈，若1z ≤，则y x ≥的概率为（） A ．3142π+ B ．112π+ C ．112π- D ．1142π- 12.已知函数()lg f x x =，若0a b >>，有()()f a f b =，则22()a bi a b+-（i 是虚数单位）的取值范围为（）A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞第Ⅱ卷非选择题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知复数242(1)iz i +=+（i 是虚数单位），在复平面内对应的点在直线20x y m -+=上，则m = ．14.已知某程序框图如图所示，若输入的x 的值分别为0，1，2，执行该程序框图后，输出的y 的值分别为a ，b ，c ，则a b c ++= ．15.观察下列各式：1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=……，则1010a b += ．16.已知复数(,)z x yi x y R =+∈，且2z -=yx的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知复数2(1)(23)z m m m m i =-++-，当实数m 取什么值时，（1）复数z 是零；（2）复数z 是纯虚数. 18.已知2()(1)1xx f x a a x -=+>+，用反证法证明方程()0f x =没有负数根. 19.已知复数1z i =-.（1）设(1)13w z i i =+--，求w ；（2）如果21z az bi i++=+，求实数a ，b 的值. 20.“微信运动”已成为当下热门的健身方式，小明的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：（1）若采用样本估计总体的方式，试估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率；（2）已知某人一天的走路步数超过8000步时被系统评定为“积极型”，否则为“懈怠型”.根据小明的统计完成下面的22⨯列联表，并据此判断是否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++21.某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试.测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”（驾驶员从看到意外情况到车子停下所需的距离），无酒状态与酒后状态下的实验数据分别列于表1和表2.表1：表2：请根据表1，表2回答以下问题.（1）根据表1估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；（2）根据最小二乘法，由表2的数据计算y 关于x 的回归方程.y bx a =+（3）该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的“平均停车距离”y 大于（1）中无酒状态下的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”.请根据（2）中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？参考公式：121()()()n iii nii x x y y b x x ==--=-∑∑1221ni ii nii x y nx yxnx==-=-∑∑，a y bx =-.请考生在22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点P 的直角坐标为33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为5ρ=，直线l 过点P 且与曲线C 相交于A ，B 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若8AB =，求直线l 的直角坐标方程. 23. [选修4-5：不等式选讲]已知函数2()f x ax x a =+-的定义域为[1,1]-. （1）若(0)(1)f f =，解不等式3()14f x ax -<+；（2）若1a ≤，求证：5()4f x ≤.2017-2018学年度第二学期期末考试试卷高二数学（文科答案）一、选择题1-5: DCAAA 6-10: DBBCA 11、12：DC 二、填空题三、解答题17.解：（1）∵z 是零，∴()210230m m m m ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得1m =.（2）∵z 是纯虚数，∴()210230m m m m ⎧-=⎪⎨+-≠⎪⎩.（3）解得0m =.综上，当1m =时，z 是零；当0m =时，z 是纯虚数. 18.证明：假设0x 是()0f x =的负数根，则00x <且01x ≠-且00021x x ax -=-+，由000201011x x ax -<<⇒<-<+，解得0122x <<，这与00x <矛盾，所以假设不成立，故方程()0f x =没有负数根.19.解：（1）因为1z i =-，所以(1)(1)1313w i i i i =-+--=-.∴w =（2）由题意得：22(1)(1)z az b i a i b ++=-+-+(2)a b a i =+-+；(1)1i i i +=-+，所以1(2)1a b a +=-⎧⎨-+=⎩，解得32a b =-⎧⎨=⎩.20.（1）由题知，40人中该日走路步数超过5000步的有35人，频率为78，所以估计他的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为78；（2）()224014126840 3.8412218202011K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯，所以没有95%以上的把握认为二者有关.21.解：（1）依题意，驾驶员无酒状态下停车距离的平均数为264024815253545100100100100⨯+⨯+⨯+⨯25527100+⨯=. （2）依题意，可知50x =，60y =，710b =，25a =，所以回归直线方程为0.725y x =+.（3）由（1）知当81y >时认定驾驶员是“醉驾”. 令81y >，得0.72581x +>，解得80x >，当每毫升血液酒精含量大于80毫克时认定为“醉驾”. 22.解：（1）由5ρ=，可得225ρ=，得2225x y +=，即曲线C 的直角坐标方程为2225x y +=.（2）设直线l 的参数方程为3cos 3sin 2x t y t αα=-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数），将参数方程①代入圆的方程2225x y +=，得2412(2cos sin )550t t αα-+-=，∴216[9(2cos sin )55]0αα∆=++>，上述方程有两个相异的实数根，设为1t ，2t ，∴128AB t t =-==，化简有23cos 4sin cos 0ααα+=，解得cos 0α=或3tan 4α=-，从而可得直线l 的直角坐标方程为30x +=或34150x y ++=. 23.解：（1）(0)(1)f f =，即1a a a -=+-，则1a =-， ∴2()1f x x x =-++， ∴不等式化为234x x x -+<-+， ①当10x -≤<时，不等式化为234x x x -<-+，∴02x -<<； ②当01x ≤≤时，不等式化为234x x x -+<-+， ∴102x ≤<.综上，原不等式的解集为122x x ⎧⎫⎪⎪-<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭. （2）证明：由已知[1,1]x ∈-，∴1x ≤. 又1a ≤，则22()(1)(1)f x a x x a x x =-+≤-+2211x x x x ≤-+=-+2155244x ⎛⎫=--+≤⎪⎝⎭.。

2017-2018学年人教版高一数学必修1第2课时分数指数幂

3 2
1 +(2)-2=(32)2 +(2-1)-2=33+22=31.
3
2.计算 16 A.1
3 4
64 -8×(49 ) 2 的结果是(
1
). D.-7
8
B.-2
C.15
【解析】原式=(2 ) -8×( ) =2 -8× =1. 【答案】A
4
3 4
8 7
-1
3
7 8
3.计算:32
-
3 5
10 -(227 ) 3 +0.5-2=
3
1 3
1 4
1 1 + 3 4
=�� .
7 8
7 12
1 2
1 4
1 8
1 1 1 + + 2 4 8 13 6
=�� .
3 2 2 1 + 3 2
=�� .
1 2 2 3 1 2
(2)有理数指数幂的运算性质 ①aras=ar+s(a>0,r,s∈Q); ②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q); ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
1
想一想:你认为应该怎样利用分数指数幂的运算性质化简与求值?(指定小组回答,其他小组补充)
【解析】先将式子中的根式化为分数指数幂的形式,再根据有理数指数幂的运算性质化简与求值.
第 2 课时分数指数幂
序号
知识目标
学法建议
能力素养
能说出分数指数幂的类比初中所学的整数指数通过实际背景认识分数指数意义和表达式,能把根 1 幂的概念,探究分数指数幂,理解分数指数幂的含义式转化为分数指数幂幂的概念的形式合作探究根式与分数指数理解分数指数幂的意义,掌握能进行根式与分数指 2 幂的互化、0 的分数指数根式与分数指数幂的互化数幂的互化运算幂的特点掌握有理数指数幂的运算性自主探究分数指数幂的运能熟练求解分数指数 3 质,会求简单的有理数指数幂算性质幂的化简求值问题的值

【配套K12】2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题文

广西南宁市第八中学2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题文第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合}0{},20{2>-=≤≤=x x x B x x A ，则A B =( )（A ）(,1](2,)-∞+∞ （B ）(,0)(1,2)-∞（C ）)2,1[ （D ）]2,1( 2.（1+i ）(2-i)=( )（A ）-3-i （B ）-3+i （C ）3-i （D ）3+i 3.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（）（A ）0 （B ）1- （C ）21- （D ）23-4.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC那么＝( ) （A ）3121- （B ）AD AB 2141+ （C ）2131+ （D ）3221- 5.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）（A ）0.3 （B ）0.4 （C ）0.6 （D ）0.7 6.已知 1.22a =，8.02=b ，52log 2c =，则,,a b c 的大小关系为( )．（A ）c b a << （B ）c a b << （C ）b a c << （D ）b c a <<7.已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线与直线012=++y x 垂直，则双曲线的离心率为( ) （A ）3 （B ）25（C ）5 （D ）28.等差数列}{n a 的前9项的和等于前4项的和，若0,141=+=a a a k ，则=k （）（A ）3 （B ）7 （C ）10 （D ）49.已知函数)0,0)(sin()(<<->+=ϕπωϕωx x f 的最小正周期是π，将函数()f x 图象向左平移3π个单位长度后所得的函数图象过点(0,1)P ，则函数)sin()(ϕω+=x x f （）（A ）在区间[,]63ππ-上单调递减（B ）在区间[,]63ππ-上单调递增（C ）在区间[,]36ππ-上单调递减（D ）在区间[,]36ππ-上单调递增10.直线x+y+2=0分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则∆ABP 面积的取值范围是（A ）[2,6] （B ）[4,8] （C）（D）11.∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若∆ABC 的面积为2224a b c +-，则C=（）（A ）2π （B ）3π （C ）4π （D ）6π 12.设Ａ、B 、C 、D 是同一个半径为4的球的球面上四点，∆ABC为等边三角形且其面积为则三棱锥D-ABC 体积的最大值为（）（A）（B）（C ）（D）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

【配套K12】2017-2018学年高一数学下学期期末试题(含解析)

四川省棠湖中学2017-2018学年度高一下期末教学质量检测数学试题一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ，集合【答案】B【解析】B．【答案】A【解析】分析：利用诱导公式和特殊角的三角函数化简求值即可.详解：故选A.点睛：本题考查利用诱导公式和特殊角的三角函数化简求值，属基础题.3. 已知函数A. -3B. 0C. 1D. -1【答案】C4.C. D.【答案】A．故选：A．点睛：本题考查了平面向量的模长公式，二倍角公式，属于基础题．5.B. C. D.【答案】B..................6.【答案】D【解析】A：m⊥α，n?β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直，故A不正确C：α⊥β，m⊥α，n∥β时，m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，故C错误D：α∥β，m⊥α，n∥β时，m与n一定垂直，故D正确故选D．7.A. -4B. -2C. 2D. 4【答案】D之后应用向量的投影的定义求得结果.在方向上的投影为 A.点睛：该题考查的是向量在另一向量方向上的投影问题，涉及到的知识点有向量垂直的条件是向量的数量积等于零，再者就是向量在另一向量方向上的投影的公式要正确使用.8.D.【答案】B因为故选B.9.【答案】C当且仅当m=n时取等号。

本题选择C选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误10.A.C.【答案】C【解析】A.A错误B B错误；C C正确D D错误故选C11. 在△ABC P是BN m的值为A. 3B. 1C.D.【答案】C【解析】分析：根据向量的加减运算法则，的值．详解：，．故选C.．点睛：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用．12.B. C.【答案】D进而求得当且仅当恒成立，则使恒成立，，求得故选：D．点睛：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于基础题．二．填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.．【答案】4公式将不同底化为同底数即可通过约分求出值，对对数式求值问题，常先用对数运算进行化简，若底数不同用换底公式化为同底在运算.原式考点：1.对数运算法则；2.对数换底公式.14. __________．【解析】轴上的截距最大，。

【配套K12】[学习]2018高中数学第1章统计案例章末复习提升练习苏教版选修1-2

第1章统计案例1．独立性检验利用χ2＝n (ad －bc )2(a ＋c )(b ＋d )(a ＋b )(c ＋d )(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )来确定在多大程度上认为“两个变量有相关关系”．应记熟χ2的几个临界值的概率． 2．回归分析(1)分析两个变量相关关系常用：散点图或相关系数r 进行判断．在确认具有线性相关关系后，再求线性回归方程，进行预测．(2)对某些特殊的非线性关系，可以通过变量转化，把非线性回归转化为线性回归，再进行研究．题型一独立性检验思想的应用独立性检验的基本思想是统计中的假设检验思想，类似于数学中的反证法，要确认两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下我们构造的随机变量χ2应该很小，如果由观测数据计算得到的χ2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理．例1 为了比较注射A ，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B .下表1和表2分别是注射药物A 和药物B 后的试验结果．(疱疹面积单位：mm 2) 表1：注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布表表2疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．表3：解χ2＝100×100×105×95≈24.56，由于χ2>10.828，所以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．跟踪演练1 某企业为了更好地了解设备改造与生产合格品的关系，随机抽取了180件产品进行分析．其中设备改造前生产的合格品有36件，不合格品有49件；设备改造后生产的合格品有65件，不合格品有30件，根据上面的数据，你能得出什么结论？解根据已知条件列出2×2列联表：提出假设H 0由公式得χ2＝180×(65×49－36×30)295×85×101×79≈12.379.∵χ2>10.828，∴我们有99.9%的把握认为设备改造与生产合格品有关系．题型二线性回归分析进行线性回归分析的前提是两个变量具有线性相关关系，否则求出的线性回归方程就没有实际意义，所以必须先判断两个变量是否线性相关．分析判断两个变量是否线性相关的常用方法是利用散点图进行判断，若各数据点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系．此方法直观、形象，但缺乏精确性．例2 在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x (万元)和需求量y (t)之间的一组数据为已知∑5i ＝1x i y i ＝62，∑5i ＝1x 2i ＝16.6. (1)画出散点图；(2)求出y 对x 的线性回归方程；(3)如果价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01t)．解 (1)散点图如下图所示：(2)因为x ＝15×9＝1.8，y ＝15×37＝7.4，∑5i ＝1x i y i ＝62，∑5i ＝1x 2i ＝16.6，所以b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x y∑5i ＝1x 2i －5x2＝62－5×1.8×7.416.6－5×1.82＝－11.5，a ^＝y －b ^x ＝7.4＋11.5×1.8＝28.1，故y 对x 的线性回归方程为y ^＝28.1－11.5x .(3)y ^＝28.1－11.5×1.9＝6.25(t)．故价格定为1.9万元，预测需求量大约为6.25t.跟踪演练2 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了4次试验，得到数据如下：(1)(2)求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)试预测加工10个零件需要的时间．解 (1)散点图如图所示：(2)x ＝2＋3＋4＋54＝3.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5， ∑i ＝14x i y i ＝2×2.5＋3×3＋4×4＋5×4.5＝52.5，∑i ＝14x 2i ＝4＋9＋16＋25＝54， ∴b ^＝52.5－4×3.5×3.554－4×3.52＝0.7， a ^＝3.5－0.7×3.5＝1.05，∴所求线性回归方程为y ^＝0.7x ＋1.05. (3)当x ＝10时，y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05， ∴预测加工10个零件需要8.05小时．题型三非线性回归分析非线性回归问题有时并不给出经验公式．这时我们可以画出已经数据的散点图，把它与已经学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量置换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．例3 下表是某年美国旧轿车价格的调查资料，今以x 表示轿车的使用年数，y 是表示相应的年均价格，求y 关于x 的回归方程.图1可以发现，各点并不是基本处于一条直线附近，因此，y 与x 之间是非线性回归关系．与已学函数图象比较，用y ^＝e b ^x ＋a ^来刻画题中模型更为合理，令z ^＝ln y ^，则z ^＝b ^x ＋a ^，题中数据变成如下表所示：回归方程拟合．图2由表中数据可得r ≈－0.996.即|r |>r 0.05＝0.632，所以有95%的把握认为x 与z 之间具有线性相关关系，由表中数据得b ^≈－0.298，a ^≈8.165，所以z ^＝－0.298x ＋8.165，最后代回z ^＝ln y ^，即y ^＝e －0.298x ＋8.165为所求．跟踪演练3 下表所示是一组试验数据：(1)作出x 与y(2)若变量y 与1x成线性相关关系，求出y 对x 的回归方程，并观测x ＝10时y 的值．解 (1)散点图如图：由散点图可知y 与x 不具有线性相关关系，且样本点分布在反比例函数y ＝b x＋a 的周围． (2)令x ′＝1x，y ′＝y 由已知数据制成下表x ′＝6，y ′＝210.4，故∑i ＝15x ′2i －5(x ′)2＝40，∑i ＝15y ′2i －5(y ′)2＝54649.2，r ＝7790－5×6×210.440×54649.2≈0.9997，由于|r |>r 0.05＝0.878，说明y ′与x ′具有很强的线性关系，计算知b ^＝36.95，a ^＝210.4－36.95×6＝－11.3，所以y ′＝－11.3＋36.95x ′.所求y 对x 的回归方程y ＝36.95x－11.3.当x ＝10时，y ＝36.9510－11.3＝－7.605.1．独立性检验是对两个分类变量间是否存在相关关系的一种案例分析方法，而利用假设的思想方法，计算出某一个随机变量χ2的值来判断更精确些．2．建立回归模型的基本步骤：(1)确定研究对象．(2)画出散点图，观察它们之间的关系．(3)由经验确定回归方程的类型．(4)按照一定的规则估计回归方程中的参数.。

[配套K12]2017-2018学年高中数学培优课堂同步试题4 新人教A版

培优课堂同步试题4高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★☆☆☆典例在线（2017天津）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD BC ∥，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =．（1）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：PD ⊥平面PBC ；（3）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．【参考答案】（1）5；（2）见试题解析；（3）5.（2）因为AD⊥平面PDC，直线PD 平面PDC，所以AD⊥PD．又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PB C．所以，直线AB与平面PBC【解题必备】（1）在关于垂直问题的证明中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.因此，判定定理与性质定理的合理应用是证明垂直问题的关键.（2）空间问题转化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则.解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰（等边）三角形的“三线合一”、中位线定理，菱形的对角线互相垂直等，还可以通过解三角形，得出一些题目所需要的条件.对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题.学霸推荐1．如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，,E F 分别是1,BC CC 的中点.（1）证明：平面AEF ⊥平面11B BCC ；（2）若直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为45°，求三棱锥F AEC -的体积. 2．如图，直三棱柱中，是棱的中点，(1)证明：；(2)求二面角的大小.（2）如图，设AB 的中点为D ，连接1,A D CD . 因为ABC △是正三角形，所以CD AB ⊥.又三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CD AA ⊥.因此CD ⊥平面11A ABB ,于是1CA D ∠为直线1A C 与平面11A ABB 所成的角.由题设知，145CA D ∠=︒,所以12A D CD AB ===.在1Rt AA D △中，1AA ===所以1122FC AA ==.故三棱锥F AEC -的体积11332AEC V S FC =⨯==△(2)如图，取的中点，连接.由知，从而由等腰三角形三线合一定理，即知，又平面平面，则平面，因此，又，连结，可知，在1Rt △C ED中，, ∴，即二面角的大小为.。

配套K122018年高中数学第1章统计案例章末小结与测评学案苏教版选修1-2

第1章统计案例1．独立性检验所谓的独立性检验，就是根据采集的数据，利用公式求出χ2的值，比较χ2与临界值的大小关系，来判断两个变量是否相关的问题，是一种假设检验．独立性检验问题的基本步骤为：(1)找相关数据，作列联表；(2)求统计量χ2；(3)判断可能性，注意与临界值作比较，得出事件有关的确信度．若χ2>10.828，则有99.9%的把握认为“x与y有关系”；若χ2>7.879，则有99.5%的把握认为“x与y有关系”；若χ2>6.635，则有99%的把握认为“x与y有关系”；若χ2>5.024，则有97.5%的把握认为“x与y有关系”；若χ2>3.841，则有95%的把握认为“x与y有关系”；若χ2≥2.706，则有90%的把握认为“x与y有关系”；如果χ2<2.706，就认为没有充分的证据显示“x与y有关系”．2．回归分析对于两个变量之间是否存在线性关系，可根据得到的数据，作散点图．如果这些点在一条直线附近，则两变量呈线性相关关系，再列表，计算，它们之间的相关程度可由相关系数进行判断，我们可以根据所得的线性回归方程进行有效的预测．若两变量之间存在线性关系，设线性回归方程为y ^＝a ^＋b ^x ，则b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y－－b ^x －，从而求出线性回归方程．其线性相关程度可用计算两个随机变量间的相关系数r 来判断，r ＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x－2·∑i ＝1ny 2i －n y －2，|r |越接近于1，x ，y 的线性相关程度越强；|r |越接近于0，x ，y 的线性相关程度越弱．(考试时间：120分钟试卷总分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．下列现象属于相关关系的序号是________． ①家庭收入越多，消费也越多 ②圆的半径越大，圆的面积越大③气体体积随温度升高而膨胀，随压力加大而减小 ④在价格不变的条件下，商品销售量越多销售额也越多解析：根据相关关系的概念可知①属于相关关系．答案：①2．为研究变量x 和y 的线性相关关系，甲、乙两人分别作了研究，利用线性回归方程得到回归直线l 1和l 2，两人计算知x －相同，y －也相同，则l 1与l 2的位置关系是________．解析：每条回归直线都过样本中心(x －，y －)，故l 1与l 2有公共点(x －，y －)．答案：l 1与l 2有公共点(x －，y －)3．考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x (cm)与肱骨长度y (cm)的线性回归方程为y ^＝1.197x －3.660，由此估计，当股骨长度为50 cm 时，肱骨长度的估计值为________ cm.解析：根据线性回归方程y ^＝1.197x －3.660，将x ＝50代入得y ＝56.19，则肱骨长度的估计值为56.19 cm.答案：56.194．在2014年1月1日，某市场价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是：y ^＝－3.2x ＋a ^(参考公式：回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，a ^＝y －－b ^x －)，则a ^＝________．解析：价格的平均数是x －＝9＋9.5＋10＋10.5＋115＝10，销售量的平均数是y －＝11＋10＋8＋6＋55＝8，由y ^＝－3.2x ＋a ^知b ^＝－3.2，所以a ^＝y －－b ^x －＝8＋3.2×10＝40. 答案：405．设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r ，y 关于x 的回归直线的斜率是b ^，纵截距是a ^，则b ^与r 的符号________．(相同或相反)解析：当变量x 和y 之间是正相关时，r >0且b ^>0；当变量x 和y 之间是负相关时，r <0且b ^<0. 答案：相同6．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两变量的线性相关性作试验并用回归分析方法分别求出相关系数r .如表：试验结果体现变量A ，B 的线性相关性最强的是________．解析：根据线性相关的检验方法知，当|r |越趋近于1，两个变量的线性相关程度越强．故丁正确．答案：丁7．(重庆高考改编)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为________．①y ^＝0.4x ＋2.3 ②y ^＝2x －2.4 ③y ^＝－2x ＋9.5 ④y ^＝－0.3x ＋4.4解析：依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除③，④.且直线必过点(3，3.5)代入①，②得①正确．答案：① 8.以下关于线性回归的判断，正确的序号是________． ①散点图中所有点都在一条直线附近，这条直线为回归直线②散点图中的绝大多数点都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A ，B ，C 点③已知直线方程为y ^＝0.50x －0.81，则x ＝25时，y 的估计值为11.69 ④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势解析：①不正确，②③④均正确．答案：②③④9．如图所示，有5组数据，去掉________后，剩下的4组数据的线性相关性更强了．解析：由散点图可见：点A 、B 、C 、E 近似地在一条直线上，所以去掉点D 以后，线性相关性就更好了．答案：D (3，10)10．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是________(填序号)．①y 与x 具有正的线性相关关系 ②回归直线过样本点的中心(x －，y －)③若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ④若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg解析：①由于回归直线斜率为正值，故y 与x 是有正的线性相关关系；②回归直线过样本中心点(x －，y －)；③根据回归直线斜率意义正确；④由于回归分析得出的是估计值．答案：④11．下表是性别与喜欢足球与否的统计列联表，依据表中的数据，得到χ2＝________.解析：由χ2＝（－）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝85×（40×12－28×5）268×17×45×40≈4.722.答案：4.72212．下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系.小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．解析：平均命中率y －＝15×(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5，x －＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，∑i ＝15x i y i ＝7.6，∑i ＝15x 2i ＝55，所以b ^＝∑i ＝15x i y i －5x － y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝0.01， a ^＝y －－b ^x －＝0.5－0.01×3＝0.47，∴y ^＝0.01x ＋0.47，令x ＝6，得y ^＝0.53. 答案：0.5 0.5313．某化工厂为了预测某产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量 x 之间的线性相关关系，现取了8对观测数据，计算得∑i ＝18x i ＝52，∑i ＝18y i ＝228，∑i ＝18x 2i ＝478，∑i ＝18x i y i ＝1 849，则y 对x 的回归方程为________．解析：据已知b ^＝∑i ＝18x i y i －8x －y－∑i ＝18x 2i －8x －2＝1 849－8×6.5×28.5478－8×6.52≈2.62. a ^＝y －－b ^x －＝11.47.∴y ^＝11.47＋2.62x .答案：y ^＝11.47＋2.62x14．(福建高考改编)已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则b ^与b ′的关系为________，a ^与a ′的关系为________．解析：x －＝216＝72，y －＝136，∑i ＝16x i y i ＝58，∑i ＝16x 2i ＝91，代入公式求得b ^＝∑i ＝16x i y i －6x － y－∑i ＝16x 2i －6x －2＝58－6×72×13691－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫722＝57，a ^＝y －－b ^x －＝136－57×72＝－13，而b ′＝2，a ′＝－2，∴b ^＜b ′，a ^＞a ′. 答案：b ^＜b ′ a ^＞a ′二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)在研究某种新措施对猪白痢的防治效果问题时，得到以下数据：试问：新措施对防治猪白痢是否有效？解：提出假设H 0：防治猪白痢与是否采取新措施无关．由χ2公式，得χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝300×（114×18－36×132）2150×150×246×54≈7.317>6.635.因为H 0成立时，χ2≥6.635的概率为0.01，因此我们有99%的把握认为新措施对防治猪白痢是有效的．16．(本小题满分14分)一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下：如果y 与x 具有线性相关关系，求线性回归方程．解：设所求的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则有b ^＝∑i ＝1nx i y i －10x －·y－∑i ＝1nx 2i －10x －2＝55 950－50 43538 500－30 250≈0.668， a ^＝y －－b ^x －－0.668＝54.96.因此，所求的回归直线方程为y ^＝0.668x ＋54.96.17．(本小题满分14分)为了解某班学生喜欢打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了调查，得到了如下2×2列联表：已知在全班50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为35.(1)请将上面的2×2列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为“喜爱打篮球与性别有关？”说明你的理由；(参考公式：χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )解：(1)补充如下：(2)∵χ2＝50×（20×15－10×5）30×20×25×25≈8.333>7.879.∴有99.5%的把握认为“喜爱打篮球与性别有关”．18．(本小题满分16分)为了对新产品进行合理定价，对该产品进行了试销试验，以观察需求量y (单位：千件)对于价格x (单位：千元)的反应，得数据如下：(1)若y 与x 之间具有线性相关关系，求线性回归方程； (2)若成本x ＝y ＋500，试求：①在盈亏平衡条件下(利润为零)的价格； ②在利润为最大的条件下，定价为多少？解：(1)b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2≈－1.286 6，a ^＝y －－b ^x －≈169.772 4，∴线性回归方程为y ^＝－1.286 6x ＋169.772 4. (2)①在盈亏平衡条件下， y ^x ＝y ^＋500，即－1.286 6x 2＋169.772 4x ＝－1.286 6x ＋169.772 4＋500，1．286 6x 2－171.059x ＋669.772 4＝0，解得x 1＝128.916 2，x 2＝4.038 1(舍去)， ∴此时新产品的价格为128.916 2千元． ②在利润最大的条件下，Q ＝y ^x －x＝－1.286 6x 2＋169.772 4x ＋1.286 6x －169.772 4－500 ＝－1.286 6x 2＋171.059x －669.772 4.要使Q 取得最大值，x ＝66.477 1，即此时新产品应定价为66.477 1千元．19．(本小题满分16分)某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）解：(1)300×4 50015 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的．所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表结合列联表可算得χ2＝300×（－2 250）75×225×210×90＝10021≈4.762>3.841.所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．20．(本小题满分16分)炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响炼钢时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x 与冶炼时间Y (从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据，如下表所示：(1)Y 与x 是否具有线性相关关系？(2)如果Y 与x 具有线性相关关系，求线性回归方程； (3)预测当钢水含碳量为160个0.01%时，应冶炼多少分钟？解：(1)由已知数据列成下表：由上表知：x －＝159.8，y －＝172，∑i ＝110x 2i ＝265 448，∑i ＝110y 2i ＝312 350，∑i ＝110x i y i ＝287 640.于是r ＝∑i ＝110x i y i －10x －y－∑i ＝110x 2i －10x －2∑i ＝110y 2i －10y －2≈0.990 6.由于|r |＝0.990 6>r 0.05，可知x 与Y 具有很强的线性相关关系． (2)设所求的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^.则b ^＝∑i ＝110x i y i －10x －y －∑i ＝110x 2i －10x －2≈1.267，a ^＝y －－b ^x －≈－30.467.所以所求的线性回归方程为y ^＝1.267x －30.467. (3)当x ＝160时，y ^＝1.267×160－30.467≈172(min)．即大约冶炼172 min.。

配套K122017-2018学年高二数学下学期第一次阶段性考试试题文

天津市滨海新区大港油田实验中学2017-2018学年高二数学下学期第一次阶段性考试试题一、选择题: （每小题5分，共50分）1. 设全集为R ，A ＝{x |x <3，或x >5}，B ＝{x |－3<x <3}，则 ( )A ．∁R(A ∪B )＝R B ．A ∪(∁R B )＝RC ．(∁R A )∪(∁R B)＝RD ．A ∪B ＝R2.函数y =的定义域是（）A.(1,3)-B. (,1)[1,3)-∞- C. (,1)(1,3]-∞- D. (,1)(1,3)-∞-3. 执行如图所示的程序框图，如图输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7 4. 下列命题为真命题的是（）A. 命题“若y x >，则||y x >”的逆命题B. 命题“若12≤x ，则1≤x ”的否命题C. 命题“若1=x ，则02=-x x ”的否命题D. 命题“若11a b a b ><，则”的逆否命题5. .若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a ≠1)满足f(1)=91,则f(x)的单调递减区间是( ) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[-2,+∞)D.(-∞,-2] 6．“函数2()2f x x x m =++存在零点”的一个必要不充分条件是（）A ．1m ≤B ．0m ≤C ． 2m ≤D ．12m ≤≤7．已知是定义在R 上的偶函数，且满足对任意的x 1，x 2∈(-∞,0]（x 1≠x 2），有2121()()0f x f x x x -<-，设， , ，则a,b,c 的大小关系是 ( ) A. B. C. D.8．设函数1log 2-=x y 与x y -=22的图象的交点为()00,y x ，则0x 所在的区间是（）A ．()1,0B ．()2,1C ．()3,2D ．()4,39．已知函数f (x )(x ∈R)满足f ′(x )＞f (x )，则 ( )A ．f (2)<e 2f (0)B ．f (2)≤e 2f (0)C ．f (2)＝e 2f (0)D ．f (2)>e 2f (0) 10．设函数2log (),0()2,0x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若关于x 的方程0)()(2=+x af x f 恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．]0,(-∞B ．)0,(-∞C ． ]1,(--∞D ．)1,(--∞二、填空题：（每小题5分，共30分）11．已知a 是实数，ii a +-1是纯虚数，则a =_________. 12. 已知,则____________.13. 已知函数f （x ）的导函数为f /（x ），且满足f （x ）=2xf'（1）+lnx ，则)1(/e f = __________. 14．已知函数y=log (x 2-ax+a)在区间(-∞,]上是增函数,则实数a 的取值范围是___________. 15. 已知f(x-1)是定义在R 上的偶函数，且(4)(2)f x f x +=-,当x ∈[-4,-1] 时，()6x f x -=,则(919)f = ______.16.已知关于x 的方程lg(x 2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，则实数a 的取值范围为_________.三、解答题（共5题，共70分）17. （13分）已知y=f （x ）是定义在R 上的奇函数，且x<0时，f （x ）=1＋2x . （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式.（Ⅱ）画出函数f （x ）的图象.（Ⅲ）写出函数f （x ）单调区间及值域.18、（13分）已知函数0,13)(3≠--=a ax x x f ．（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若)(x f 在1-=x 处取得极值，且函数m x f x g -=)()(有三个零点，求实数m 的取值范围；19. ( 14 分 ) 已知m R ∈，命题p ：m 2-3m ≤-2；命题q ：存在[1,1]x ∈-，使得m ax ≤成立.（Ⅰ）若p 为真命题，求m 的取值范围；（Ⅱ）当1a =，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围;（Ⅲ）若0a >且p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围.20．（15分）已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 处的切线斜率为3-， 326()(1)3(0)2t g x x x t x t -=+-++>（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。

【配套K12】2017_2018学年高二数学下学期第一次学段考试试题文

甘肃省武威市第六中学2017-2018学年高二数学下学期第一次学段考试试题文一、选择题：（共12题，每小题5分，共60分） 1．设i 为虚数单位,复数22ii+在复平面上对应的点在 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2．命题“01,20300≤+-∈∃x x R x ”的否定是 A.01,20300<+-∈∃x x R x B. 01,20300≥+-∈∃x x R x C. 01,23>+-∈∀x x R x D. 01,23≥+-∈∀x x R x3．方程θρsin 2=表示的图形是 A.圆B.直线C.椭圆D.射线4．若复数满足i z i )1(3+=-，则复数的共轭复数Z 的虚部为 A.B.3iC.D.i5．设x ∈R,则“21>x ”是“0122>-+x x ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表:根据上表可得回归方程a bx y +=中的为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元7．以双曲线191622=-y x 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为A.y 2＝16xB.y 2＝－16xC.y 2＝8xD.y 2＝－8x8．执行如下程序,输出的值为A.20151007B.20171008C.20172016D.403220159椭圆1162522=+y x 的左右焦点为，为椭圆上任一点，的最大值为A. B.C.D.10．函数x x x f sin 21)(-=的图象可能是11．斜率为1，过抛物线241x y =的焦点的直线被抛物线所截得的弦长为 A. 4B.6C.8D.1012．设函数32()3f x x tx x =-+,在区间上单调递减,则实数的取值范围是 A.⎥⎦⎤⎝⎛∞-851,B. (]3,∞-C.[)+∞,3D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,851 第II 卷（非选择题）二、填空题：（共4题，每题5分，共20分）13．照此规律,则()=-+⋅⋅⋅+-+-22221321n n14．在极坐标系中，极点为，点的极坐标分别为⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛65,3,3,4ππ，则AB =________. 15．已知F 1,F 2为椭圆的两个焦点,过F 1且与椭圆的长轴垂直的直线交椭圆于A ,B 两点,若△ABF 2为正三角形,则椭圆的离心率为16．学校艺术节对同一类的D C B A ,,,四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说:“作品获得一等奖”; 乙说:“作品获得一等奖”；丙说:“两项作品未获得一等奖”；丁说:“是或作品获得一等奖”；若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是 __________. 三、解答题：17.(10分)为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名六年级学生进行了问卷调查,得到如下列联表(平均每天喝500 ml 以上为常喝,体重超过50 kg 为肥胖):已知在全部30人中随机抽取1人,抽到肥胖的学生的概率为15. (1)请将上面的列联表补充完整;(2)是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?说明你的理由;附参考数据:K 2=))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-,其中d c b a n +++=18．(12分)已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 4cos 4y x (θ为参数)，直线l 经过定点()3,2P ，倾斜角为3π. (Ⅰ)写出直线l 的参数方程和圆C 的标准方程；(Ⅱ)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求PB PA ⋅的值. 19． (12分)已知函数()()R b a bx axx f ∈+=,2在1=x 处取得极值为2. (1)求函数的解析式；(2)求()x f 的单调区间和极值； (3)求函数在区间[]6,3-上的最小值.20．(12分)在平面直角坐标系xoy 中,圆C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=ty t x sin 23cos 25(t 为参数),在以原点O 为极点,轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线的极坐标方程为14cos 22-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρ. (1)求圆C 的普通方程和直线的直角坐标方程; (2)设直线l 与x 轴, y 轴分别交于两点,点P 是圆C 上任一点,求两点的极坐标和PAB ∆面积的最小值.21．(12分)已知函数()()2ln 2a f x x x x a R =-∈. (1)若函数()x f y =的图象在点()()1,1f 处的切线方程为0=++b y x ,求实数b a ,的值;(2)若函数()0≤x f 恒成立,求实数a 的取值范围;22. (12分).椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的中心在原点,焦点在x 轴上,焦距为2,且与椭圆1222=+y x 有相同离心率. (1)求椭圆C 的方程;(2)若直线m kx y l +=:与椭圆C 交于不同的B A ,两点,且椭圆C 上存在点Q ,满足OQ OB OA λ=+,(O 为坐标原点),求实数取值范围.参考答案1.C2. C3.A4. A5.A6.B7.A8.B9.D 10.A 11.C 12.D13.【解析】本题主要考查归纳推理,考查了逻辑思维能力.由三角阵可知,第n行的等号右边的符号为数为所以14.5【解析】由于，故.故.15.【解析】方法一e=.因为△ABF2为等边三角形,所以|AF1|∶|F1F2|∶|F2A|=1∶∶2,所以e=.方法二不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0),F 1(c,0),F2(-c,0),由得|y|=,即|AF 1|=|BF1|=,|AB|=.因为△ABF2为正三角形,所以·=2c,得(a2-c2)=2ac,即e2+2e-=0.又0<e<1,解得e=.16.C【解析】本题考查合情推理.若获得一等奖,则甲、丙、丁的话是对的,与已知矛盾;若获得一等奖,则四人的话是错误的,与已知矛盾;若获得一等奖,则乙、丙的话是对的,满足题意;所以获得一等奖的作品是.17.(1)设常喝碳酸饮料且肥胖的学生有x人,则,x=6.列联表补全如下:(2)由已知数据可得K2=≈8.523>7.879,因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关.18.圆C的标准方程:即①直线l的方程为(为参数) ②(2)把②带入①得，则123t t=-12123PA PB t t t t⋅===19.(1)，根据题意得，解得a=4，b=1，所以；(2)由(1)得：，∴f′(x)=，令f′(x)＞0，解得：﹣1＜x＜1，令f′(x)＜0，解得：x＜﹣1或x＞1，∴函数f(x)的增区间(﹣1，1)，减区间(﹣∞，﹣1)，(1，+∞)，∴f(x)极小值=f(﹣1)==﹣2，f(x)极大值=f(1)==2；(3)由(2)知，f(x)在(﹣3，﹣1)，(1，6)上递减，在(﹣1，1)上递增，∴f(x)的极小值是f(﹣1)，又f(6)=，f(﹣1)=﹣2，∴f(x)的最小值是﹣220.(1)由消去参数,得,所以圆的普通方程为.由,得,所以直线的直角坐标方程为.(2)直线与轴,轴的交点为,化为极坐标为,设点的坐标为,则点到直线的距离为∴,又,所以面积的最小值是.21. 【答案】(1)由f(x)=x ln x-x2,得f'(x)=ln x-ax+1,∵切线方程为x+y+b=0,∴f'(1)=1-a=-1,即a=2.又f(1)=-=-1,∴切点为(1,-1),代入切线方程得b=0.(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞).f(x)≤0恒成立等价于a≥恒成立,即a≥()max.设g(x)=,则g'(x)=,当x∈(0,e)时,g'(x)>0;当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0.∴当x=e时,g(x)取得极大值,也是最大值,g(x)max=g(e)=,∴a≥.即实数a的取值范围为[,+∞).22..椭圆的中心在原点,焦点在轴上,焦距为2,且与椭圆有相同离心率.(1)求椭圆的方程;(2)若直线与椭圆交于不同的两点,且椭圆上存在点,满足,(为坐标原点),求实数取值范围.【答案】(1)由已知可,解得,∴;所求椭圆的方程.(2)建立方程组,消去,整理得；∴,由于直线与椭圆交于不同的两点,∴,有,①设,于是当时,易知点关于原点对称,则;当时,易知点不关于原点对称,则,此时,由,得,即；∵点在椭圆上,∴,化简得；∵,∴②由①②两式可得,∴且. 综上可得实数的取值范围是.。

[配套K12]2017-2018学年高中数学第一章统计案例单元质量评估新人教A版选修1-2

第一章统计案例(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2016·济宁高二检测)有下列关系：①人的年龄与他拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中同一种树木其横断面直径与高度之间的关系，其中具有相关关系的是( ) A.①②③ B.①② C.②③ D.①③④【解析】选D.曲线上的点与该点的坐标之间是确定关系，故②不是相关关系，其余三种均为相关关系.2.(2016·洛阳高二检测)设有一个回归直线方程=2-1.5x，则变量x每增加一个单位时( )A.y平均增加1.5个单位B.y平均增加2个单位C.y平均减少1.5个单位D.y平均减少2个单位【解析】选C.由回归直线方程可知变量x每增加1个单位，变量y平均减少1.5个单位.3.(2016·青岛高二检测)分类变量X与Y的列联表如下：则以下判断正确的是( )A.ad-bc越小，说明X与Y的关系越弱B.ad-bc越大，说明X与Y的关系越强C.(ad-bc)2越大，说明X与Y的关系越强D.(ad-bc)2越接近于0，说明X与Y的关系越强【解析】选C.根据独立性检验知|ad-bc|越大，X与Y之间的关系越强.知(ad-bc)2越大，X与Y的关系越强.4.在回归分析中，残差图中的纵坐标为( )A.残差B.样本编号C. D.随机误差【解析】选A.残差是真实值与预报值的差，残差分析就是对这些残差画出残差图进行分析，在残差图中，纵坐标代表残差.5.下列结论正确的是( )①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④【解析】选C.根据函数的概念和相关关系的概念知①②④正确.6.在一次调查后，根据所得数据绘制成如图所示的等高条形图，则( )A.两个分类变量关系较弱B.两个分类变量无关系C.两个分类变量关系较强D.无法判断【解析】选C.从等高条形图中可以看出，在x1中y1的比重明显大于x2中y1的比重，所以两个分类变量的关系较强.7.某国发生的9.0级地震引发了海啸及核泄漏.核专家为了检测当地动物受核辐射后对身体健康的影响，随机选取了110只羊进行了检测，并将有关数据整理为2×2列联表.10则A，B，C，D的值依次为( )A.20，80，30，50B.20，50，80，30C.20，50，80，110D.20，80，110，50【解题指南】依据列联表中数据的关系，进行加减运算即可.【解析】选B.A=50-30=20，B=60-10=50，C=30+B=80，D=A+10=30.8.(2016·深圳高二检测)下列说法正确的有( )①最小二乘法指的是求各样本数据点到回归直线的距离的和最小的方法；②最小二乘法指的是求各样本数据点到回归直线的距离的平方和最小的方法；③线性回归就是由样本点去寻找一条直线，贴近这些样本点的数学方法；④因为由任何一组观测值都可以求得一个回归直线方程，所以没有必要进行相关性检验.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选B.由最小二乘法的意义及回归分析的基本思想知，②③正确，①④错误.9.(2016·武汉高二检测)下面是一个2×2列联表：则表中a，b处的值分别为( )A.94，96B.52，50C.52，60D.54，52【解析】选C.因为a+21=73，所以a=52，b=a+8=52+8=60.10.为考察数学成绩与物理成绩的关系，在高二随机抽取了300名学生，得到下面列联表：现判断数学成绩与物理成绩有关系，则判断的出错率为( )A.0.5%B.1%C.2%D.5%【解析】选D.代入公式可得K2的观测值k=≈4.514>3.841. 查表可以判断数学成绩与物理成绩有关的出错率为0.05，即5%.11.(2016·海口高二检测)有下列数据：下列四个函数中，模拟效果最好的为( )A.y=3·2x-1B.y=log2xC.y=3xD.y=x2【解题指南】采用验证法求解本题.【解析】选A.分别将x=1，2，3，代入求值，结果最接近y的函数是y=3·2x-1.12.(2016·锦州高二检测)经统计，某地的财政收入x与支出y满足的线性回归模型是y=bx+a+e(单位：亿元).其中b=0.9，a=2，|e|≤1，e为随机误差，如果今年该地财政收入为10亿元，则今年支出预计不超出( )A.10亿元B.11亿元C.11.5亿元D.12亿元【解析】选D.由已知得y=0.9x+2+e，当x=10时，y=11+e，又|e|≤1，所以-1≤e≤1，故10≤11+e≤12，即今年支出预计不超出12亿元.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2016·宿州高二检测)独立性检验显示：在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为性别与是否喜爱喝酒有关，那么下列说法中正确的是________(填序号).①在100个男性中约有90人喜爱喝酒；②若某人喜爱喝酒，那么此人为男性的可能性为90%；③认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错的可能性为10%；④有90%的把握认为10个男性中有9人爱喝酒.【解析】独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断，而不是因果关系，故只有③正确.答案：③14.在对两个变量进行回归分析时，甲、乙分别给出两个不同的回归方程，并对回归方程进行检验.对这两个回归方程进行检验时，与实际数据(个数)对比结果如下：则从表中数据分析，________回归方程更好(即与实际数据更贴近).【解析】可以根据表中数据分析两个回归方程对数据预测的准确率进行判断，甲回归方程的数据准确率为=，而乙回归方程的数据准确率为=.显然甲的准确率高些，因此甲回归方程好些.答案：甲15.(2016·潍坊高二检测)为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生进行调查，得到2×2列联表如下：已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025，根据表中数据，得到K2的观测值k=≈4.844.则认为“选修文科与性别有关系”出错的可能性不超过________.【解析】因为k=4.844>3.841，故判断出错的可能性不超过0.05.答案：0.0516.(2015·北京高考)高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生.从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是__________；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是__________.【解析】①由题干图知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故应填乙.②由题干图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人较多，而总成绩排名中比丙排名靠后的人数比较少，即丙的数学成绩靠前，故填数学.答案：①乙②数学三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系，调查了一千多名青少年及其家长，数据如下：试用图形方法判断父母吸烟对子女吸烟是否有影响.【解析】等高条形图如图所示：由图形观察可以看出父母吸烟者中子女吸烟的比例要比父母不吸烟者中子女吸烟的比例高，因此可以在某种程度上认为“子女吸烟与父母吸烟有关”.18.(12分)(2016·海淀高二检测)某学校高三共有学生1000名，经调查其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A类同学)，另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B类同学)，现用分层抽样方法(按A，B两类分两层)，从该年级的学生中共抽取100名同学，如果以身高达到165cm作为达标的标准，对抽取的100名学生得到如下列联表：(1)完成上表.(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系？【解析】(1)由分层抽样知，样本中含经常参加体育锻炼的学生有75人，不经常参加体育锻炼的学生有25人，于是2×2列联表如下：(2)由表中数据得K2的观测值为k=≈1.333<3.841，所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系.19.(12分)(2015·重庆高考)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：(1)求y关于t的回归方程=t+.(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t=6)的人民币储蓄存款.附：回归方程=t+中，=，=-.【解析】(1)列表计算如下：这里n=5，=t i==3，=y i==7.2.又-n=55-5×32=10，t i y i-n=120-5×3×7.2=12，从而==1.2，=-=7.2-1.2×3=3.6，故所求回归方程为=1.2t+3.6.(2)将t=6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为=1.2×6+3.6=10.8(千亿元).20.(12分)(2016·扬州高二检测)生物课外活动小组在研究性别与色盲关系时，得到如下2×2列联表：试判断性别与色盲是否有关系？【解析】由列联表中数据可知，K2的观测值为k=≈4.751>3.841，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与色盲有关系”.21.(12分)(2016·全国卷Ⅲ)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.注：年份代码1-7分别对应年份2008-2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明.(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646.参考公式：相关系数r=回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=-.【解析】(1)由折线图中的数据和附注中参考数据得因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t的关系.(2)由==1.331及(1)得==≈0.103，=-≈1.331-0.103×4≈0.92.所以，y关于t的回归方程为=0.92+0.10t.将2016年对应的t=9代入回归方程得：=0.92+0.10×9=1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨.22.(12分)(2016·郑州高二检测)某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量值落在(495，510]的产品为合格品，否则为不合格品.如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图.甲流水线样本频数分布表(1)根据上表数据作出甲流水线样本的频率分布直方图.(2)若以频率作为概率，试估计从两条流水线分别任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率.(3)由以上统计数据完成下面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关？附表：879【解析】(1)甲流水线样本的频率分布直方图如图：(2)由题表知甲样本中合格品数为8+14+8=30，由题图知乙样本中合格品数为(0.06+0.09+0.03)×5×40=36，故甲样本合格品的频率为=0.75，乙样本合格品的频率为=0.9.据此可估计从甲流水线任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.75.从乙流水线任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.9.(3)2×2列联表如下：因为K2==≈3.117>2.706.所以能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关.。

[配套K12]2018版高中数学第一章统计 1.2.2 分层抽样与系统抽样学案北师大版必修3

1.2.2 分层抽样与系统抽样1．通过实例，准确把握分层抽样、系统抽样的概念．(重点)2．会用分层抽样、系统抽样解决实际问题．(难点)3．了解各种抽样方法的适用范围，能根据具体情况选择恰当的抽样方法．(难点)[基础·初探]教材整理1 分层抽样阅读教材P 12～P 13“抽象概括”以上部分，完成下列问题．1．分层抽样的概念将总体按其属性特征分成若干类型(有时称为层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本，这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．2．对分层抽样的公平性的理解在分层抽样的过程中，每个个体被抽到的概率是相同的，与分层的情况无关．如果总体的个体数是N ，共分k 层，n 为样本容量，N i (i ＝1,2,3，…，k )是第i 层中的个体数，则第i 层中所要抽取的个体数n i ＝n ×N i N ，而每一个个体被抽取的可能性是n i N i ＝n N，与层数无关，所以对所有个体而言，其被抽到的概率是相同的，也就是说分层抽样是公平的．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分层抽样中每层抽样的可能性是不相等的．( )(2)分层抽样时，样本是在各层中分别抽取．( )(3)分层抽样时，如果总体个数不能被样本容量整除，则应先剔除部分个体．( )【解析】 (1)×，每个个体被抽到的可能性相同．(2)√，由分层抽样的概念知正确．(3)√，由于考虑到实际意义，需剔除部分个体．【答案】 (1)× (2)√ (3)√教材整理2 系统抽样阅读教材P 13第三、四自然段，完成以下问题．系统抽样的概念将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按分组的间隔(称为抽样距)抽取其他样本．这种抽样方法叫系统抽样，有时也叫等距抽样或机械抽样．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)系统抽样的分段段数与所抽取的样本容量的关系是相等．( )(2)系统抽样时每个个体被抽到的机会不同．( )(3)系统抽样时，如果总体个数不能被样本容量整除，则应先剔除部分个体．( )【解析】 (1)√，系统抽样时，分段的段数由所抽样本容量确定．(2)×，无论是系统抽样还是分层抽样，每个个体被抽到的机会都相等．(3)√，系统抽样时为了保证间隔k 为整数，应先剔除一部分个体．【答案】 (1)√ (2)× (3)√[小组合作型]某企业共有3 200名职工，其中青、中、老年职工的比例为3∶5∶2.若从所有职工中抽取一个容量为400的样本，则采用哪种抽样方法更合理？青、中、老年职工应分别抽取多少人？每人被抽到的可能性相同吗？【精彩点拨】总体明显分三层，应按分层抽样法抽取样本．【自主解答】因为总体由差异明显的三部分(青、中、老年)组成，所以采用分层抽样的方法更合理．因为青、中、老年职工的比例是3∶5∶2，所以应分别抽取：青年职工400×310＝120(人)；中年职工400×510＝200(人)；老年职工400×210＝80(人)．由样本容量为400，总体容量为3 200可知，抽样比是4003 200＝18，所以每人被抽到的可能性相同，均为18.1．分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占的比例抽取．2．用分层抽样抽取样本时，需照顾到各层中的个体，所以每层抽取的比例应等于样本容量在总体中的比例．3．在分层抽样中，确定抽样比k 是抽样的关键．一般地，抽样比k ＝n N(N 为总体容量，n 为样本容量)，按抽样比k 在各层中抽取个体，就能确保抽样的公平性．4．在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行．[再练一题]1．某城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，计划抽取一个容量为21的样本，按照分层抽样方法抽取时，各种百货商店分别要抽取多少家？写出抽样过程.【导学号：63580005】【解】第一步：样本容量与总体容量的比为21210＝110；第二步：确定各种商店要抽取的数目：大型商店：20×110＝2(家)，中型商店：40×110＝4(家)，小型商店：150×110＝15(家)；第三步：采用简单随机抽样在各层中分别抽取大型商店2家，中型商店4家，小型商店15家，综合每层抽样即得样本．位的平均用时，决定抽取10%的工人进行调查，如何采用系统抽样完成这一抽样？【精彩点拨】 624的10%约为62，而624不能被62整除．为保证“等距”抽样，应先从总体中剔除4人，剔除方法可以采用随机数法，再利用系统抽样法抽取样本．【自主解答】第一步：由题意知，应抽取在岗职工62人作为样本，即分成62组，由于62462的商是10，余数是4，所以每组有10人，还剩4人．这时，抽样距是10；第二步：用随机数法从这些职工中抽取4人并剔除，不进行调查；第三步：将余下的在岗职工620人进行编号，编号分别为000,001,002，…，619；第四步：在第一组000,001,002，…，009这10个编号中，随机选定一个起始编号．每间隔10抽取一个编号，共抽62个编号，这样就抽取了容量为62的一个样本．1．解决本题时，对总体、个体先进行编号，然后依据样本容量确定分段数及每段间隔长度，再利用简单随机抽样法在第1段中抽取一个号码作为起始号码，并依次加间隔长度即可获取样本号码．2．系统抽样又称等距抽样，当给出总体数和样本容量后，应先确定组数和组距(注意一般组数等于样本容量/组距)，在第一组抽取起始号码后，只需依次加间隔长度即可得到样本．[再练一题]2．相关部门对某食品厂生产的303盒月饼进行质量检验，需要从中抽取10盒，请用系统抽样法完成对此样本的抽取．【解】第一步：将303盒月饼用随机的方式编号；第二步：从总体中剔除3盒月饼，将剩下的300盒月饼重新编号(分别为000,001，…，299)，并分成10段；第三步：在第一段中用简单随机抽样抽取起始号码l ；第四步：将编号为l ，l ＋30，l ＋2×30，…，l ＋9×30的个体取出，组成样本．[探究共研型]探究1 简单随机抽样是不放回抽样吗？【提示】是不放回抽样．探究2 分层抽样时为什么要将总体分成互不重叠的层？【提示】在总体中由于个体之间存在着明显的差异，为了使抽取的样本更合理、更具代表性，故将总体分成互不重叠的层，而后独立地抽取一定数量的个体．探究 3 系统抽样的第二步中，当N n不是整数时，从总体中剔除一些个体采用的方法是什么？影响系统抽样的公平性吗？【提示】剔除一些个体可以用简单随机抽样的方法抽取，不影响系统抽样的公平性．选择恰当的抽样方法，并写出抽样过程．(1)有30个篮球，其中，甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，现抽取10个作样品；(2)有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，现取出3个作样品；(3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个作样品；(4)有甲厂生产的300个篮球，从中抽取30个作样品．【精彩点拨】根据三种抽样方法的特点作出判断，然后按照各自的步骤写出抽样过程．【自主解答】 (1)因总体是由差异明显的几部分构成，可采用分层抽样的方法抽取．第一步：确定抽取个数．因为1030＝13，所以甲厂生产的应抽取21×13＝7(个)，乙厂生产的应抽取9×13＝3(个)；第二步：用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个．这些篮球便组成了我们要抽取的样本．(2)总体容量较小，用抽签法．第一步：将30个篮球编号，编号为00,01， (29)第二步：将以上30个编号分别写在一张小纸条上，揉成小球，制成号签；第三步：把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅匀；第四步：从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码；第五步：找出与所得号码对应的篮球．(3)总体容量较大，样本容量较小，适宜用随机数法．第一步：将300个篮球用随机方式编号，编号为001,002， (300)第二步：在随机数表中随机的确定一个数作为开始，如第3行第5列的数“3”开始．任选一个方向作为读数方向，比如向右读；第三步：从数“3”开始向右读，每次读三位，凡不在001～300中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去不读，便可依次得到241,242,232,283,039,101,158,272,266,166这10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码．(4)总体容量较大，样本容量也较大，适宜用系统抽样法．第一步：将300个篮球用随机方式编号，编号为000,001,002，…，299，并分成30段；第二步：在第一段000,001,002，…，009这十个编号中用简单随机抽样抽出一个(如002)作为起始号码；第三步：将编号为002,012,022，…，292的个体抽出，组成样本．三种抽样方法的比较：[再练一题]3．某社区有700户家庭，其中高收入家庭有225户，中收入家庭有400户，低收入家庭75户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①；某中学高二年级有12名篮球运动员，要从中选出3人调查投篮命中率情况，记作②；从某厂生产的802辆轿车中抽取40辆测试某项性能，记作③.为完成上述三项抽样，则应采取的抽样方法是( )A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①分层抽样，②简单随机抽样，③系统抽样C．①简单随机抽样，②分层抽样．③系统抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样【解析】对于①.总体由高收入家庭、中收入家庭和低收入家庭差异明显的三部分组成，而所调查的指标与收入情况密切相关，所以应采用分层抽样；对于②，总体中的个体数较少，而且所调查内容对12名调查对象是平等的，应采用简单随机抽样；对于③，总体中的个体数较多，且个体之间差异不明显，样本中个体数也较多，应采用系统抽样．【答案】 B1．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样之间的共同点是( )A．都是从总体中逐个抽取B．将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取C．抽样过程中每个个体被抽取的机会相同D．将总体分成几层，分层进行抽取【解析】三种抽样的共同点是在抽样过程中每个个体被抽到的机会相同．【答案】 C2．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( ) A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样【解析】由于该地区的中小学生人数比较多，不能采用简单随机抽样，排除选项A；由于小学、初中、高中三个学段的学生视力差异性比较大，可采取按照学段进行分层抽样，而男女生视力情况差异性不大，不能按照性别进行分层抽样，排除B和D.故选C.【答案】 C3．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况．用分层抽样的方法从该学生中抽取一个容量为n的样本．已知高中学生抽取70人，则n的值为________.【解析】由题意，得703 500＝n3 500＋1 500，解得n＝100.【答案】1004．从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．【解析】根据系统抽样的定义可得，样本中产品的编号间隔为16，再根据编号为28的产品在样本中，可得样本中产品的编号为12,28,44,60,76，故该样本中产品的最大编号为76.【答案】765．从某汽车制造公司生产的800辆轿车中随机抽取80辆测试某项性能，请用系统抽样法写出抽样过程．【解】第一步：将800辆汽车进行编号，编号如下：001,002,003， (800)第二步：分段，由于样本容量为80，所以可分80段，每段长度为10，分段情况如下：(001,002，…，010)，(011,012，…，020)，(021,022，…，030)，(031,032，…，040)，…，(791,792，…，800)．第三步：在第1段中用简单随机抽样法抽取一个号码(如007)作为起始号．第四步：在后面的各段中依次加间隔10，即可得样本号码如：007,017,027,037， (797)这样将编号为007,017,027，…，797的轿车取出就组成了一个样本．。

【配套K12】2017_2018学年高一数学下学期开学考试第一次测试试题

2017-2018学年第二学期高一年级期初考试数学试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．如果A ＝{x |x >－1}，那么( )A ．0⊆AB ．{0}∈AC ．∅∈AD ．{0}⊆A2．函数f (x )＝x 3＋x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称3．已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A 等于( )A.1213B.513C ．－513D ．－12134．若0<m <n ，则下列结论正确的是( )A ．2m >2nB ．(12)m <(12)nC ．log 2m >log 2nD ．12log m >12log n5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－4)，若a ∥b ，则a ·b 等于( )A ．－10B ．－6C ．0D ．66．若|a |＝2cos 15°，|b |＝4sin 15°，a ，b 的夹角为30°，则a ·b 等于( )A.32B. 3 C ．2 3 D.127．设cos(α＋π)＝32(π<α<3π2)，那么sin(2π－α)的值为( ) A.12 B.32C ．－32 D ．－128．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0，0<|φ|<π，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为( )A ．y ＝)438sin(4ππ-x B ．y ＝)438sin(4ππ+xC ．y ＝)48sin(4ππ-x D ．y ＝)48sin(4ππ+x9．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6 10．若向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )互相垂直，其中x ∈R ，则|a －b |等于( )A ．－2或0B ．2 5C ．2或2 5D ．2或1011．已知0<a <1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．与a 值有关12．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f (13)<f (2)<f (12)B ．f (12)<f (2)<f (13)C ．f (12)<f (13)<f (2)D ．f (2)<f (12)<f (13)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．计算：0.25×(－12)－4＋lg 8＋3lg 5＝________.14．已知α为第二象限的角，sin α＝35，则tan 2α＝________.15．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ≤π2)的图象上相邻的最高点和最低点之间的距离为22，且过点(2，－12)，则函数f (x )＝________.16. 如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：①AC →＋AF →＝2BC →； ②AD →＝2AB →＋2AF →； ③AC →·AD →＝AD →·AB →；④(AD →·AF →)EF →＝AD →(AF →·EF →)．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号) 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2<θ<π2.(1)若a ⊥b ，求θ； (2)求|a ＋b |的最大值．18．(12分)已知函数f (x )＝A sin(3x ＋φ)(A >0，x ∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x ＝π12时取得最大值4.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的解析式；(3)若f (23α＋π12)＝125，求sin α.19．(12分)如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，已知点P 点的坐标为(－35，45)．(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)．20．(12分)已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．21．(12分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π16]上的最小值．22．(12分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝a x－1.其中a >0且a ≠1. (1)求f (2)＋f (－2)的值； (2)求f (x )的解析式；(3)解关于x 的不等式－1<f (x －1)<4，结果用集合或区间表示．2017-2018学年第二学期高一年级期初考试数学试题答案一、选择题1．D 2．C 3．D 4．D 5．A 6．B 7．A 8．A 9．B 10．D 11．A 12．C 二、填空题13．7 14．－247 15． sin(πx 2＋π6) 16. ①②④解答题17．解 (1)若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0.由此得tan θ＝－1(－π2<θ<π2)，∴θ＝－π4.(2)由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得 a ＋b ＝(sin θ＋1,1＋cos θ)，|a ＋b |＝θ＋2＋＋cos θ2＝3＋θ＋cos θ＝3＋22θ＋π4，当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |的最大值为2＋1.18．解 (1)∵f (x )＝A sin(3x ＋φ)，∴T ＝2π3，即f (x )的最小正周期为2π3.(2)∵当x ＝π12时，f (x )有最大值4，∴A ＝4.∴4＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×π12＋φ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1. 即π4＋φ＝2k π＋π2，得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )． ∵0<φ<π，∴φ＝π4.∴f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (3)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＋π4＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝4cos 2α. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＝125，得4cos 2α＝125，∴cos 2α＝35，∴sin 2α＝12(1－cos 2α)＝15，∴sin α＝±55.19．解 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αsin α＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2·(－35)2＝1825. (2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35，cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45.∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝725.20．解 (1)f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋32＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋32＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin(2x －π3)．所以f (x )的最小正周期为π.令sin(2x －π3)＝0，得2x －π3＝k π，∴x ＝k π2＋π6，k ∈Z .故所求对称中心的坐标为(k π2＋π6，0)，(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3.∴－32≤sin(2x －π3)≤1，即f (x )的值域为[－32，1]．21．解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx .所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12. 由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12，所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12.当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1.因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1.22．解 (1)∵f (x )是奇函数，∴f (－2)＝－f (2)，即f (2)＋f (－2)＝0. (2)当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝a －x－1.由f (x )是奇函数，有f (－x )＝－f (x )，∵f (－x )＝a －x－1，∴f (x )＝－a －x＋1(x <0)．∴所求的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －1 x －a －x ＋x .(3)不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0－1<－a －x ＋1＋1<4或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0－1<a x －1－1<4，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0－3<a －x ＋1<2或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥00<a x －1<5.当a >1时，有⎩⎪⎨⎪⎧x <1x >1－log a 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x <1＋log a 5，注意此时log a 2>0，log a 5>0，可得此时不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)．同理可得，当0<a <1时，不等式的解集为R . 综上所述，当a >1时，不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)；当0<a <1时，不等式的解集为R .。

【配套K12】2017_2018学年高一数学下学期期末考试试题5

2017—2018学年第二学期期末考试卷高一数学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中只有一项符合要求）。

1、化简sin690°的值是（） A ．0.5 B ．﹣0.5 C．D．﹣2、已知，=（x ，3），=（3，1），且∥，则x=（）A ．9B ．﹣9C ．1D ．﹣13、已知α为第三象限角，则所在的象限是（. ）A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限4、与—457°角的终边相同的角的集合是（）A 、｛},360475|00Z k k ∈⋅+=ααB 、},36097|00Z k k ∈⋅+=ααC 、},360263|0Z k k ∈⋅+=αα D 、},360263|0Z k k ∈⋅+-=αα 5、若点P （﹣3，4）在角α的终边上，则cos α=（） A．B．C．D．6、已知α=2，则点P （sin α，tan α）所在的象限是（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7、从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（） A．B．C．D．8、从区间()0,1内任取一个实数，则这个数小于56的概率是( )（A ）35(B) 45 (C) 56 (D) 16259、已知sin （α）=，则cos （α+）=（. ）A．B．C．D．10、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ . ） A ．3 B ．11 C ．38D ．12311、函数)(x f y =的图象如图所示，则)(x f y =的解析式为（）A.sin 22y x =-B.13cos 2-=x yC.1)52sin(--=πx y D. )52sin(1π--=x y12、已知函数()2cos 2[0,]2f x x x m π=+-在上有两个零点，则m 的取值范围是( ) A ．（1,2） B ．[1,2）C ．（1,2]D ．[l,2]第Ⅱ卷二．填空题（本大题共4小题，每小题5分共20分）。

【配套K12】2017_2018学年高二数学下学期期中试题理1

海南中学2017—2018学年第二学期期中考试高二理科数学试题（选修2-2、必修3算法统计）（考试时间：2018年4月；总分：150分；总时量：120分钟；考试班级：1-15班）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将所选答案填涂在答题卡相应位置．） 1. 已知i 是虚数单位，若复数z 满足1zi i =-，则2z=( )A.2i -B.2iC.2-D.22. 福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表的第1行的第11列开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为( )A. 06B.26C.02D.233. 对于数133，规定第1次操作为33313355++=，第2次操作为3355250+=，如此反复操作，则第2018次操作后得到的数是( )A ．25B ．250C ．55D ．1334. 从编号为1，2，3……，300的300个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为7和32，则样本中最大的编号应该是( )A. 279B. 280C. 281D. 2825. 定义B A *，C B *，D C *，A D *的运算分别对应图中的(1)，(2)，(3)，(4)，那么下图中的)(A ，)(B所对应的运算结果可能是( )A. D B *，D A *B. D B *，C A *C. C B *，D A *D. D C *，C A *6. 如图是将二进制数 11 111(2)化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是( )A. 5≤iB. 4≤iC. 5>iD. 4>i7. 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t=-++ (t 的单位：s ，v 的单位：s m /)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是( )A. 5ln 251+B. 311ln258+ C. 5ln 254+ D. 2ln 504+8. 已知,x y 的取值如下表，从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为0.95 2.6y x =+，则表中的实数a 的值为（）A. 4.8B. 5.45C. 4.5D. 5.259. 若复数34(sin )(cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，则tan()4πθ-的值为( ) A. 7- B.71 C. 7 D. 7-或7110. 某班有50名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名学生的成绩统计有误，学生甲实际得分是80分却误记为60分，学生乙实际得分是70分却误记为90分，更正后的平均分数和方差分别是（）A. 70和50B. 70和67C. 75和50D. 75和6711. 若22113s x dx =⎰，⎰=21212dx xs ，231x s e dx =⎰，则123,,s s s 的大小关系为( )A. 123s s s <<B. 213s s s <<C. 231s s s <<D. 321s s s <<12. 已知函数()|sin |f x x =的图象与直线(0)y kx k =>有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，令=A cos sin sin 3ααα+，=B 214αα+，则( )A. B A >B. B A <C. B A =D. A 与B 的大小关系不确定第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 某市有大型超市100家、中型超市200家、小型超市700家，为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为90的样本，应抽取小型超市家.14. 在平面几何里，有“若ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，内切圆半径为r ，则三角形面积为1()2ABC S a b c r ∆=++”，拓展到空间几何，类比上述结论，“若四面体ABCD 的四个面的面积分别为1234,,,S S S S ，内切球的半径为R ，则四面体的体积ABCD V 四面体为____________________________”.15. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序，若输入n 的值为6，则输出S 的值为 .16. i 是虚数单位，已知虚数(2)(,)x yi x y R -+∈yx的取值范围为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本题满分10分）(1) 若0a >， 0b >，求证： ()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭； (2) 设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，若ab cd >>18.（本题满分12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1) 若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a ＝＋$$$；(2) 若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（参考公式：x b y ax n xy x n yx x x y yx x bni ini ii ni ini iiˆˆ,)())((ˆ1221121-=--=---=∑∑∑∑====）19.（本题满分12分）设函数)(x f y =对任意实数y x ,，都有xy y f x f y x f 2)()()(++=+. (1) 若1)1(=f ，求)4(),3(),2(f f f 的值.(2) 在(1)的条件下，猜想*))((N n n f 的表达式，并用数学归纳法加以证明.20．（本题满分12分）某电视台为宣传本省,随机对本省内15～65岁的人群抽取了n 人,回答问题“本省内著名旅游景点有哪些” ，统计结果如图表所示.(1) 分别求出y x b a n ,,,,的值.(2) 根据频率分布直方图估计这组数据的众数、中位数（保留小数点后两位）和平均数.21.（本题满分12分）根据下列程序语句，将输出的a 值依次记为1234,,,,,n a a a a a ．(1) 写出1234,,,a a a a ；(2) 证明：{1}n a -是等比数列，并求}{n a 的通项公式； (3) 求数列{}n na 的前n 项和n T ．22.（本题满分12分）已知函数x x x f ln )(=. (1) 求函数)(x f 的极值；(2) 求常数m ，使得⎰-=edx m x m g 1|ln |)(取得最小值.(参考数据：718.2≈e ，62.021ln ≈+e )海南中学2017—2018学年第二学期期中考试高二理科数学试题（评分标准）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将所选答案填涂在答题卡相应位置．）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 63; 14. R S S S S V ABCD )(314321+++=四面体 15. 147； 16. ]3,0()0,3[ - 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本题满分10分）(1) 若0a >， 0b >，求证： ()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭； (2) 设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，若ab cd >> 证明：(1) 0a >， 0b >，012112>≥+>≥+∴abb a ab b a4122)11)((=⋅≥++∴abab b a b a . …………5分 (2)>，只需证22)()(d c b a +>+，只需证cd d c ab b a 22++>++，由题设，有a b c d +=+，故只需证cd ab >，只需证cd ab > ，又由题设，cd ab >显然成立，>得证． …………10分 18.（本题满分12分）解：(1) 由表中2月至5月份的数据，可得249616262925,11448121311==+++===+++=y x ，故有 …………2分14)3(120)(36)8()3(215210))((222241241=-+++=-=-⨯-+⨯+⨯+⨯=--∑∑==i ii iix x y y x x由参考公式可得7181436ˆ==b，7301171824ˆˆ-=⨯-=-=x b y a ，所以y 关于x 的线性回归方程为730718ˆ-=x y. …………7分或者：49881213111092168261229132511222241241=+++==⨯+⨯+⨯+⨯=∑∑==i ii ii xyx7301171824ˆˆ,7181436114498241141092ˆ2-=⨯-=-===⨯-⨯⨯-=∴x by a b所以y 关于x 的线性回归方程为730718ˆ-=x y. …………7分 (2) 由1月份的数据，当10=x 时，274|227150|,715073010718ˆ<=-=-⨯=y；由6月份的数据，当6=x 时，276|12778|,7787306718ˆ<=-=-⨯=y. 所以，该小组所得线性回归方程是理想的． …………12分19.（本题满分12分）解：(1) 已知1)1(=f ，且xy y f x f y x f 2)()()(++=+故有224112)1()1()11()2(==⨯⨯++=+=f f f f239212)2()1()21()3(==⨯⨯++=+=f f f f2416222)2()2()22()4(==⨯⨯++=+=f f f f . …………6分(2) 猜想*)()(2N n n n f ∈=，下面用数学归纳法证明. ①当1=n 时，11)1(2==f ，猜想成立；②假设当*)(N k k n ∈=时猜想成立，即2)(k k f =，则当1+=k n 时，22)1(2112)1()()1(+=++=⨯⨯++=+k k k k f k f k f ，即当1+=k n 时猜想也成立；根据①和②，可知猜想2)(n n f =对*N n ∈∀都成立. …………12分 20．（本题满分12分）解：(1) 由频率表中第4组数据可知，第4组的人数为2536.09=,再结合频率分布直方图可知10010025.025=⨯=n ，55.0)10010.0(100=⨯⨯⨯=a ， 279.0)10030.0(100=⨯⨯⨯=b ，9.02018)10020.0(10018==⨯⨯=x ， 2.0153)10015.0(1003==⨯⨯=y . …………5分(2) 在[35,45)中的数据最多,取这个区间的中点值作为众数的近似值,故估计这组数据的众数为40； …………6分设中位数为x ，由频率分布直方图可知)45,35[∈x ，且有5.0030.0)35(10020.010010.0=⨯-+⨯+⨯x ，解得67.41≈x故估计这组数据的中位数为67.41； …………9分估计这组数据的平均数为)10015.0(60)10025.0(50)10030.0(40)10020.0(30)10010.0(20⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=x5.4195.121262=++++=. …………12分21.（本题满分12分）解：(1) 9,5,3,24321====a a a a ； …………2分证明：(2) 由程序可知，*)(121N n a a n n ∈-=+21)1(21112111=--=---=--∴+n n n n n n a a a a a a ，2为常数故{1}n a -是等比数列，公比为2，首项为111=-a1211-⨯=-∴n n a ，即}{n a 的通项公式121+=-n n a *)(N n ∈. …………7分解：(3) 由(2) 可知，n n n na n n n +⋅=+=--112)12()321(22)1(23222112310n n n T n n n +++++⋅+⨯-++⨯+⨯+⨯=∴-- ，设 1221022)1(232221--⋅+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S ① 则n n n n n S 22)1(23222121321⋅+⨯-++⨯+⨯+⨯=- ②①-②得12)1(221)21(12222211321-⋅-=⋅---⨯=⋅-+++++=--n nn nn n n n n S12)1(+⋅-=∴n n n S2)1(12)1(nn n T n n +++⋅-=∴ ． …………12分22.（本题满分12分）解：(1) )0(1ln )('>+=x x x f ，令0)('=x f ，解得x 1=，列表得 ee e e )(2)⎰-=edx m x m g 1|ln |)(中，1ln 01≤≤⇒≤≤x e x① 当0≤m 时，m x m x -=-ln |ln |，由(1)，1ln )'ln (+=x x x故e eex m x x dx m x dx m x m g 111|])1(ln [)]1()1[(ln |ln |)(+-=+-+=-=⎰⎰ 1)1(1]1)1(1ln 1[])1(ln [+-=++-=⋅+-⋅-⋅+-⋅=m e m me m e m e e 0,01≤<-m e ，∴当0=m 时，1)0()(min ==g m g .② 当1≥m 时，x m m x ln |ln |-=-，由(1)，1ln )'ln (+=x x x故e eex x x m dx x m dx m x m g 111|]ln )1[()]1(ln )1[(|ln |)(-+=+-+=-=⎰⎰ 1)1(1]1ln 11)1[(]ln )1[(--=--=⋅-⋅+-⋅-⋅+=m e m me m e e e m 1,01≥>-m e ，∴当1=m时，2)1()(min -==e g m g . ③ 当10<<m ，即e e m <<1时，由(1)，1ln )'ln (+=x x x故⎰⎰⎰+-+++-+=-=e e e e m m dx m x dx x m dx m x m g )]1()1[(ln )]1(ln )1[(|ln |)(11e e e m m x m x x x x x m |])1(ln [|]ln )1[(1+-+-+=])1(ln [])1(ln []1ln 11)1[(]ln )1[(m m m m m m e m e e e m e e m e e e m ⋅+-⋅-⋅+-⋅+⋅-⋅+-⋅-⋅+= 1)1(212)1()1()1()1(-+-⋅=⋅---⋅=⋅++⋅-⋅+-++-⋅-⋅+=m e e em m e e m m e e m e m m e e m m m mm m m 则10),1(2)('<<+-⋅=m e em g m ，令0)('=m g ，解得)1,0(1ln ∈+=e m ，列表得 ∴当21ln +=e m 时，)(m g 取得最小值，即 21ln )1(121ln )1(2)21(ln )(21ln min ++-=-++-⋅=+=+e e e e e e e g m g e . 易知)718.2(21≈->e e ，又03.023.2221ln )1(]21ln )1([)2(>=-≈-++=++---e e e e e e综上所述，当常数21ln +=e m 时，⎰-=edx m x m g 1|ln |)(取得最小值. …………12分。

【配套K12】[学习]黑龙江省大庆实验中学2017-2018学年高一数学下学期期末考试试题理

大庆实验中学2017--2018学年度下学期期末考试高一年级数学（理）试题说明：本卷满分150分，考试时间为2小时。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1.设a ，b R ∈，若a b >，则（）A.11a b< B. 22a b > C. lg lg a b > D. sin sin a b > 2. 某中学有老教师25人，中年教师35人，青年教师45人，用分层抽样的方法抽取21人进行身体状况问卷调查，则抽到的中年教师人数为（）A. 9B. 8C. 7D. 63．若直线20mx y m +-=与直线(34)10m x y -++=垂直，则m 的值是（）A.1-或13 B.1或13C.13-或1- D.13-或1 4．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列，则公比q 的值为（） A. 12-B. 2-C. 1-或12D. 1或12- 5. 已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -的五个面中面积的最大值是（）A. 3B. 6C. 8D. 106．设m ，n 是两条不重合的直线， α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：①若//m n ， n α⊂，则//m α；②若m α⊂， n β⊂， //αβ，则//m n ； (第5题) ③若m α⊥， n β⊥， m n ⊥，则αβ⊥；④若m α⊥， n β⊥， //m n ，则//αβ. 则正确的命题为（）A. ①②③B. ②③C. ③④D. ①④ 7．若0a >， 0b >， 26a b +=，则2a bab+的最小值为（）A.23 B. 43 C. 53 D. 838．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如下图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 的值为（）A. 34B. 1516C. 78D. 31329.正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与1A B 所成角的余弦值为（）A. 6B. 6-C. 12-D. 12（第8题） 10. 已知ABC ∆的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角为120°，则这个三角形的周长为（）A. 15B. 18C. 21D. 24 11.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，且=SA SB SC SD ==,其中E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①EP AC ⊥；②//EP BD ；③//EP 面SBD ；④EP ⊥面SAC ，其中恒成立的为（）A. ①③B. ③④C. ①④D. ②③12.C 已知圆：22(1)(3)10x y -+-=和点5)Mt （，,A,C B 若圆上存在两点使得M A M B ⊥，则实数t 的取值范围是（）A. [3 5]，B. [2 4]，C. [2 6]，D. [1, 5]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

【配套K12】2017-2018学年高一数学下学期期末考试试题2

2017至2018学年度第二学期高一年级期末考试题数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），试卷满分150分,考试时间120分钟；2.答题前，考生务必将自己的班级、姓名、考号用黑色的钢笔或签字笔填写在答题卷密封线内相应的位置；3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效，考试结束后，只交答题卷，务必用黑色的钢笔或签字笔填写在各题指定答题处。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．不等式022>-+x x 的解集为（）A. {}12>-<x x x 或 B. {}12<<-x x C. {}21>-<x x x 或 D. {}21<<-x x 2．在C ∆AB 中，角,,B C A 所对的边分别为,,a b c ，且1:1:3sin :sin :sin =C B A ，则三角形的最大角为（）A. 090B. 0120C. 0135D. 0150 3．在等差数列{}n a 中，若16a =， 32a =，则5a =（）A. 6B. 4C. 0D. 2-4．已知)2,5()4,1()2,1(C B A 、、-，则C ∆AB 的边AB 上的中线所在的直线方程为（） A. 0155=-+y x B. 3=x C. 01=+-y x D. 03=-y5．圆()2225x y ++=关于y 轴对称的圆的方程为（） A. ()2225x y -+= B. ()2225x y +-= C. ()()22225x y +++= D. ()2225x y ++=6．设m 、n 是两条不同的直线， βα、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A. 若αβ⊥且m α⊂，则m β⊥. B. 若//m n 且n β⊥，则m β⊥.C. 若αβ⊥且//m α，则m β⊥.D. 若m n ⊥且//n β，则m β⊥. 7．已知一个圆锥的底面面积为π3，体积为π，则这个圆锥的侧面面积为（）A B ．π C ． D ．3π 8．若直线2x y +=与圆22x y a +=至多有一个公共点，则（）A ． 2a <B ． 2a ≤C ． 02a <<D ． 02a <≤ 9．如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 210．若+∈R y x ,且12=+y x ，则yx 11+的最小值（）A ．3+B ．3-C ．1D ．21 11．三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，且BC AB ⊥，21===AA BC AB ，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A ．π48B ．π32C ．π12D ．π812．若圆222410x y x y +--+=关于直线l 对称，则l 被圆心在原点半径为3的圆截得的最短的弦长为( )A. 2B. 3C. 4D. 5第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．过点(2,1)且与直线340x y ++=垂直的直线方程为．14．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、B 1B 、B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于．15．在ABC ∆中,1a =,030A =,045C =，则ABC ∆的面积为________． 16．若数列{}n a 的首项12a =，且()*132n n a a n N +=+∈；令()3log 1n n b a =+，则123100b b b b ++++=_____________．三、解答题（本大题共6小题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）记S n 为等差数列{}n a 的前项和，已知15,731-=-=S a ．（1）求{}na 的通项公式；（2）求S n ，并求S n 的最小值．18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥ABCD E -中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，⊥EC 底面ABCD ，F 为BE 的中点.（1）求证：DE ∥平面ACF ；（2）求证：AE BD ⊥.19. (本小题满分12分)在C ∆AB 中，角,,B C A 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos C s i n 0c -A =．（1）求角C 的大小；（2）已知4b =，C ∆AB 的面积为c 的值．20．(本小题满分12分)设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知73=S ，且433321++a a a 、、构成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令nn a nb =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．21．(本小题满分12分)如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．22. (本小题满分12分)已知圆4)4()3(:22=-+-y x C ，直线1l 过定点)0,1(A ．（1）若1l 与圆C 相切，求1l 的方程；（2）若1l 的倾斜角为4π，1l 与圆C 相交于Q P 、两点，求线段PQ 中点M 的坐标；（3）若1l 与圆C 相交于Q P 、两点，求CPQ ∆面积的最大值．2020届高一年级第二学期期末数学试题参考答案一、选择题（每题5分，共60分）1．A 【解析】：()()22210x x x x +-=+->,解得12>-<x x x 或，故选A. 2．B 【解析】：由三视图可知该几何体为四棱柱，底面为梯形，故体积为242162+⋅⋅=. 3．D 【解析】：由题意3126222a a d --===-,()5146422a a d ∴=+=+⨯-=-.4．A 【解析】：由题可知AB 的中点为()3,0，又点)2,5(C ,所以中线的方程：0155=-+y x .5．A 【解析】：圆心()2,0-关于y 轴的对称点为()2,0，所以所求圆的方程为()2225x y -+=，故选择A .6．B 【解析】：由//m n 且n β⊥可得m β⊥，故选B .7．C 【解析】：因为圆锥的底面面积为3π，所以圆锥的底面圆的半径3=r ，又因为圆锥的体积为π，所以圆锥的高为1=h ，所以圆锥的母线长2=l ，所以圆锥的侧面积为ππ32==rl S 侧.8．D 【解析】方程22x y a += 表示圆,所以0a > ,由题意,直线与圆相切或相离,所以圆心)0,0(O 到直线的距离大于或等于 ,即2a ≥≤ ,又0a >,所以02a <≤,选D.9．答案 D 解析直线l 1的斜率角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2，故选D. 10．A 【解析】：()11112x y x y x y ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭22323+≥++x y y x ，当且仅2x y y x =时等号成立，取得最小值3+11．C 【解析】：试题分析：如图，由题可知矩形11AA C C的中心O 为该三棱柱外接球的球心，OC∴该球的表面积为2412ππ=，故选C ．12．C 【解析】：由题意，直线l 过圆222410x y x y +--+=的圆心为M ()1,2，则问题转化为过点M 的直线l 被圆229x y +=所截得的最短弦长，即直线l 垂直于OM 时，被圆229x y +=所截得的弦长最短，OM4=，故选择C . 二、填空题（每题5分，共20分）13、350x y --= 14、 60° 15、413+ 16、5050 13．350x y --= 【解析】：与340x y ++=垂直的直线可设为30x y m -+=，代入(2,1)得5m =-，所以直线方程为350x y --=.14． 60°【解析】连接A 1B ，BC 1，因为E 、F 、G 、H 分别是AA 1、AB 、BB 1、B 1C 1的中点．A 1B∥EF，BC 1∥GH.∴A 1B 和BC 1所成角为异面直线EF 与GH 所成角，连结A 1C 1知，△A 1BC 1为正三角形，故∠A 1BC 1＝60°. 15.413+ 【解析】：由sin sin a c A C = 得12sin 30sin 45c c =∴=()113sin 1sin 304522S ac B ∴==⨯+=. 16.5050 【解析】：由()*132n n a a n N +=+∈可知()111131,31n n n n a a a a ++++=+∴=+，所以数列{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列，所以13,31n n n n a a +=∴=-，所以()3log 1n n b a n =+=，因此()123100100110050502b b b b +++++==.三、解答题（共70分）17．记S n 为等差数列{}n a 的前项和，已知15,731-=-=S a ．（1）求{}na 的通项公式；（2）求S n ，并求S n的最小值．【答案】解：（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d = –15．由a 1= –7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9．（2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16．所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥ABCD E -中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，⊥EC 底面ABCD ，F 为BE 的中点. （1）求证：DE ∥平面ACF ；（2）求证：AE BD ⊥.【解析】：（1）连接OF .由ABCD 是正方形可知,点O 为BD 中点.又F 为BE 的中点，所以OF ∥DE .…………4分又⊂OF 平面⊄DE ACF ,平面,A C F 所以DE ∥平面A C F .…………6分（2）证明：由⊥EC 底面⊂BD ABCD ,底面ABCD ，所以BD EC ⊥，…………8分由ABCD 是正方形可知, BD AC ⊥，所以⊥BD 平面A C E ， …………10分又⊂AE 平面ACE ，所以AE BD ⊥. …………12分19．(本小题满分12分)在C ∆AB 中，角,,B C A 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos C si n 0c -A =．（1）求角C 的大小；（2）已知4b =，C ∆AB 的面积为c 的值．【解析】：（1）在A B C ∆中，因为cosC sin 0c -A =，由正弦定理得：0sin sin cos sin 3=-A C C A ，因为π<<A 0，所以0sin >A ,从而C C sin cos 3=，又0cos ≠C ,所以3tan =C ，所以3π=C ． …………6分（2）在A B C ∆中，363s i n 421=⨯⨯=∆πa S AB C，得6=a ，由余弦定理得：283cos46246222=⨯⨯-+=πc 所以72=c ． …………12分20．(本小题满分12分)设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知73=S ，且433321++a a a 、、构成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令nn a nb =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解析】：（1）由已知得：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++23132132)4()3(7a a a a a a ，解得22a =．设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得1322a a q q==，．又37S =，可知2227q q ++=，即22520q q -+=，解得12122q q ==，．由题意得12q q >∴=，．11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=．……………………6分（2）1=2n n n n nb a -=,01112+++222n n nT -∴=1211121+++,22222nn n n nT --∴=+…8分两式相减得：12111111212(1)2.22222222n n n n n nn n n T -+=++++-=--=-……11分124.2n n n T -+∴=-………………………………12分21．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．【答案】解：（1）因为AP =CP =AC =4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP =．连结OB ．因为AB =BC =，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ==2．由知，OP ⊥OB ．由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ．（2）作CH ⊥OM ，垂足为H ．又由（1）可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM ．故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ==2，CM ==，∠ACB =45°．所以OM =，CH ==．所以点C 到平面POM 的距离为．22.(本小题满分12分)已知圆4)4()3(:22=-+-y x C ，直线1l 过定点)0,1(A ．（1）若1l 与圆C 相切，求1l 的方程；（2）若1l 的倾斜角为4π，1l 与圆C 相交于Q P 、两点，求线段PQ 中点M 的坐标；（3）若1l 与圆C 相交于Q P 、两点，求CPQ ∆面积的最大值．【解析】：（1）①若直线1l 的斜率不存在，则直线1x =，符合题意．…………… 1分 ②若直线1l 的斜率存在，设直线1l 为(1)y k x =-，即0kx y k --=，由题意知，圆心)4,3(到直线1l 的距离等于半径2，即：2=解之得34k =，所求直线1l 方程是3430x y --= ………3分，综上所述：所求直线1l 方程是1x =或3430x y --=……4分(2) 直线1l 的方程为1-=x y ， ∵M 是弦PQ 的中点，∴CM PQ ⊥， ∴CM 方程为)3(4--=-x y ,即07=-+y x x ＋y －7＝0. …………6分 ∵1,70,y x x y =-⎧⎨+-=⎩∴4,3.x y =⎧⎨=⎩ , ∴M 点坐标)3,4(．…………………8分(3)设圆心到直线的距离为d ，CPQ ∆的面积为S ,则2244221d d d d S -=-⨯=4)2(42242+--=-=d d d ，∴当2=d 时，S 取得最大值2. ………………12分。

【配套K12】内蒙古包头市2017-2018学年高一数学下学期期末大联考试题

2017-2018学年度高一年级第二学期期末教学质量检测试卷数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列{}n a 为等差数列，2812a a +=，则5a =（）A ．5B ．6C ．7D ．82.在正方体1111ABCD A B C D -中，1BC 与1D C 所成角的大小为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3.若2x >，则42x x +-的最小值为（） A ．2 B ．4 C ．6 D ． 84.已知数列{}n a 是公比为正数的等比数列，若11a =，515a =，则数列{}n a 的前7项和为（）A ．63B ．64 C.127 D ．1285.已知23600x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则3z x y =-的最大值为（）A ．9B ．0 C.125D ．9- 6.关于利用斜二侧法得到的直观图有下列结论：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形。

以上结论正确的是（）A ．①②B ．① C.③④ D ．①②③④7.把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当B 、D 两点距离为a 时，二面角B AC D --的大小为（）A ．30°B ．45° C.60° D ．90°8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．(3π+B ．(4π+ C.(3π+ D ．(4π+9.直线l 过点(1,0)P ，且与以(2,1)A ，B 为端点的线段总有公共点，则直线l 斜率的取值范围是（）A ．⎡⎤⎣⎦B ．(,[1,)-∞+∞ C.(,-∞ D ．[1,)+∞ 10.直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（）A ．210x y +-=B ．210x y +-= C.230x y +-=D ．230x y +-=11.已知(3,1)A -，(5,2)B -，点P 在直线0x y +=上，若使||||PA PB +取最小值，则点P 的坐标是（）A ．(1,1)-B ．(1,1)- C.1313(,)55- D ．(2,2)- 12.已知正ABC ∆中，点D 为BC 的中点，把ABD ∆沿AD 折起，点B 的对应点为点'B ，当三棱锥'B ADC -体积的最大值为6时，三棱锥'B ADC -的外接球的体积为（）A ．4B ．34π C.56π D ．6 第Ⅱ卷二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知直线1l ：210ax y ++=与直线2l ：(3)0a x y a --+=，若12l l ⊥，则实数a 的值为或．14.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b =，150c =，30B =︒，则边长a = 或．15.已知α为锐角，且5cos()313πα+=，则cos α= ． 16.给出下列命题：①如果a ，b 是两条直线，且a b ，那么a 平行于经过b 的任何平面；②如果直线a 和平面α满足a α，那么直线a 与平面α内的任何直线平行；③如果直线a ，b 和平面α满足a α，b α，那么a b ；④如果直线a ，b 和平面α满足a b ，a α，b α⊄，那么b α；⑤如果平面α，β，γ满足αγ，βγ，那么αβ. 其中正确命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 求满足下列条件的直线的方程：（1）直线l 经过点(2,3)A -，并且它的倾斜角等于直线13y x =的倾斜角的2倍，求直线l 的方程；（2）直线l 过点(2,4)P ，并且在x 轴上的截距是y 轴上截距的12，求直线l 的方程.18. 若函数2()cos 2cos 1f x x x x m =++-在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2. （1）求m 的值及()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的单调递增区间.19. 已知正方形的中心为直线10x y -+=和直线220x y ++=的交点，其一边所在直线方程为320x y +-=，求其它三边所在直线的方程.20. 设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 32a C b c =-.（1）求sin A 的值；（2）若b B =，求a 的值；（3）若a =ABC ∆面积的最大值.21. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ==，平面11AA C C ⊥平面11AA B B ，1160CAA BAA ∠=∠=︒，点D 是1AA 的中点.（1）求证：BD ⊥平面11AAC C ；（2）求直线1BC 与平面11AAC C 所成角的正弦值.22. 在数列{}n a 中，12a =，121n n n a a +=++（1）求证：数列{}2n n a -为等差数列；（2）若数列{}n b 满足2log (1)n n b a n =+-，求证：1324351111134n n b b b b b b b b +++++<.试卷答案一、选择题1-5:BCCCA 6-10:ADABD 11、12：CD二、填空题13.1或2 14.15.526+ 16.④⑤ 三、解答题 17.解：（1）设直线13y x =的倾斜角为α，则1tan 3α= ∴22122tan 33tan 211tan 41()3ααα⨯===-- ∴直线l 的斜率为34 又∵直线l 经过点(2,3)A -∴直线l 的方程为：33(2)4y x +=-即34180x y --= （2）若直线l 在两轴上的截距均不为0，设直线l 在x 轴上的截距为a （0a ≠），则直线l 在y 轴上的截距为2a ，可设l ：12x y a a +=（0a ≠），将点(2,4)P 代入，得4a = ∴直线l ：148x y +=即280x y +-= 若直线l 在两轴上的截距均为0，由直线l 过点(2,4)P ，∴直线l 的方程是:280x y +-=或2y x =.18.解：（1）()2sin 26f x x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72666x πππ≤+≤ ∴当7266x ππ+=即2x π=时，min 1()222f x m ⎛⎫=⨯-+=- ⎪⎝⎭∴1m =-，此时()2sin 216f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ∴()f x 的最小正周期为π（2）由222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈ 可得：36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈∴()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 19.解：由10220x y x y -+=⎧⎨++=⎩，得：10x y =-⎧⎨=⎩即中心坐标为(1,0)- ∵正方形一边所在直线方程为320x y +-=∴可设正方形与其平行的一边所在直线方程为30x y m ++=（2m ≠-） ∵正方形中心到各边距离相等，=∴4m =或2m =-（舍）∴这边所在直线方程为340x y ++=设与320x y +-=垂直的两边所在直线方程为30x y n -+=∵正方形中心到各边距离相等=∴6n =或0n =∴这两边所在直线方程为30x y -=，360x y -+=∴其它三边所在直线的方程为340x y ++=，30x y -=，360x y -+=20.解：（1）ABC ∆中，3cos 32a C b c =-由正弦定理得：3sin cos 3sin 2sin A C B C =-∴3sin cos 3sin()2sin A C A C C =+-∴3cos sin 2sin A C C =∵sin 0C ≠，∴2cos 3A =∵(0,)A π∈，∴sin A =（2）由b B =，得sin b B=∴sin a A=a ==（3）由（1）知sin A =1sin 26ABC S bc A ∆==由余弦定理得：222cos 2b c a A bc+-=，a =∴2246263bc b c bc =+-≥- ∴9bc ≤（当且仅当b c =时取“=”号）966ABC S bc ∆=≤=即ABC ∆21.解：（1）证明：连接1A B ，∵1AB A A =，160BAA ∠=︒， ∴1BAA ∆为正三角形∵D 是1AA 的中点，∴1BD AA ⊥，又∵平面11AA C C ⊥平面11AA B B ，且平面11AAC C 平面111AA B B AA =，BD ⊂平面11AA B B∴BD ⊥平面11AAC C（2）连接1DC ，（1）中已证BD ⊥平面11AAC C ，所以1BC D ∠为直线1BC 与平面11AAC C 所成的角设2AB a =，则正三角形1BAA ∆中，BD =， 11A DC ∆中，1A D a =，112AC a =，11120DA C ∠=︒∴22221(2)22cos1207DC a a a a a =+-⨯⨯⨯︒=∴1DC =∴1RT BDC ∆中，1BC ==∴11sin 10BD BC D BC ∠=== 即直线1BC 与平面11AAC C22.解：（1）∵121n n n a a +=++.∴111(2)(2)21n n n n n n n a a a a +++---=--= 又∵12a =，∴120a -=∴数列{}2n n a -为首项为0，公差为1的等差数列.（2）由（1）知：21n n a n -=-，∴12n n a n +-=∴22log (1)log 2n n n b a n n =+-== ∴132********n n b b b b b b b b +++++⋅ 11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭∵*n N ∈ ∴1110212n n ⎛⎫+> ⎪++⎝⎭ ∴3111342124n n ⎛⎫-+< ⎪++⎝⎭ ∴1324352111134n n b b b b b b b b +++++<⋅。

【配套K12】江苏省启东市2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题

2017-2018学年度第一学期期终考试高二数学试卷注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．参考公式：方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．复数-1iz i=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 ▲ ． 2．命题:p x R ∃∈，使得220x +≤的否定为_____▲____．3．执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1，则输入x 的值为 ▲ ．4．已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是 ▲ ． 5.抛物线2=4x y 的焦点到准线的距离为 ▲ ．6.某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为 ▲ .7．观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为 ▲ ．. 8．离心率为2且与椭圆252x ＋92y =1有共同焦点的双曲线方程是___▲____ ．9．将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷 2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是 ▲ ．10．已知命题P ：2[1,2],0x x a ∀∈-≥，命题q ：2,220x R x ax a ∃∈++-=，若p q ∧是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．（第3题）11．在平面直角坐标系xoy 中，直线320()mx y m m R ---=∈被圆22(2)(1)4x y -++=截得的所有弦中弦长的最小值为 ▲ ．12．已知点A 的坐标是(1,1)，1F 是椭圆0124322=-+y x 的左焦点,点P 在椭圆上移动，则12PF PA +的最小值 ▲ ． 13．已知圆()()22:3354C x y -+-=和两点()3,0A m -，()3,0Bm （0m >），若圆C上存在点P ，使得60APB ∠=︒，则实数m 的取值范围是______▲______．14.如图，已知椭圆12222=+by a x （0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，M 在1PF 上，且满足，M F PO 2⊥，O 为坐标原点.椭圆离心率e 的取值范围▲ ．21PF F MOy x(第14题)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知z 为复数，2z i +和2zi-均为实数，其中i 是虚数单位. (1)求复数z 和z ；(2)若213(6)z z m m i =++-在第四象限，求实数m 的取值范围.16．（本小题满分14分）已知命题p ：x R ∀∈，20tx x t +≤+.（1）若p 为真命题，求实数t 的取值范围；（2）命题q ：[]2,16x ∃∈，2log 10t x +≥，当p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时，求实数t 的取值范围. 17．（本小题满分14分）已知椭圆C 的方程为22191x y k k +=--．（1）求k 的取值范围；（2）若椭圆C 的离心率e =，求k 的值．18．（本小题满分16分）已知圆22:4O x y +=，两个定点(),2A a ，(),1B m ，其中a R ∈，0m >．P 为圆O 上任意一点，且PAPBλ=（λ为常数) ．（1）求常数λ的值；（2）过点(),E a t 作直线l 与圆22:C x y m +=交于,M N 两点，若M 点恰好是线段NE 的中点，求实数t 的取值范围．19．（本小题满分16分）（1）找出一个等比数列{}n a ，使得1，4为其中的三项，并指出分别是 {}n a 的第几项；（2（3）证明：1，4不可能为同一等差数列中的三项．20．（本小题满分16分）已知椭圆C ：2211612x y +=左焦点F ，左顶点A ，椭圆上一点B 满足BF ⊥x 轴，且点B 在x 轴下方，BA 连线与左准线l 交于点P ，过点P 任意引一直线与椭圆交于C 、D ，连结AD 、BC 交于点Q ，若实数λ1，λ2满足：→BC ＝λ1→CQ ，→QD ＝λ2→DA （1）求λ1·λ2的值；（2）求证：点Q 在一定直线上．(第20题)江苏省启东中学2017-2018学年度第一学期期终考试高二数学试卷(附加题) 2018.1.8命题人:黄群力注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．（B）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵M221a⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中Ra∈，若点(1,2)P-在矩阵M的变换下得到点(4,0)P'-，（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．21．（C）选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知直线的极坐标方程为2sin42πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，圆的参数方程为（其中为参数）.（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆上的点到直线的距离的最小值.22．（本小题满分10分）如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，．（1）求二面角的正弦值；（2）设为线段上的点，且，求直线和平面所成角的正弦值．.( 第22题)23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＝－1，点T (3，0)．动点P 满足PS ⊥l ，垂足为S ，且OP →·ST →＝0．设动点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设Q 是曲线C 上异于点P 的另一点，且直线PQ 过点(1，0)，线段PQ 的中点为M ，直线l 与x 轴的交点为N ．求证：向量SM →与NQ →共线．2017-2018第一学期高二数学调研试卷答案 2018.1.8一、填空题：1. 【答案】2．【答案】，3. 【答案】4.【答案】5．【答案】26．【答案】187. 【答案】8.【答案】－=19.【答案】10.【答案】11.【答案】12.【答案】13．【答案】14．【答案】二.解答题15.【解析】（1）设，则 2分4分所以， 8分（2） 14分16.【解析】（1）∵，，∴且，解得∴为真命题时，. 6分（2），，有解.又时，，∴. 8分∵为真命题且为假命题时，∴真假或假真，当假真，有解得；当真假，有解得；∴为真命题且为假命题时，或. 14分17. 【解析】（1）∵方程表示椭圆，则，解得 k∈（1，5）∪（5，9）……6分（未去5扣2分）（2）①当9﹣k＞k﹣1时，依题意可知a=，b=∴c=∵= ∴∴k=2；10分②当9﹣k＜k﹣1时，依题意可知b=，a=∴c= ∵= ∴∴k=8；∴k的值为2或8．（一种情况4分共8分）14分18. 【解析】（1）设点，，，，因为，所以，化简得，因为为圆上任意一点，所以，又，解得，所以常数．8分（2）设，是线段的中点，，又在圆C上，即关于的方程组有解，化简得有解，即直线与圆有交点，则，化简得：，解得．16分19. 【解析】（1）取一个等比数列{a n}：首项为1、公比为，则，…2分则令=4，解得n=5，所以a1=1，，a5=4．…4分（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、k，使得，…5分则h2=2k2，所以h为偶数，…7分设h=2t，t为整数，则k2=2t2，所以k也为偶数，则h、k有公约数2，这与h、k互质相矛盾，…9分所以假设不成立，所以是有理数． …10分（3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项，且分别为第n 、m 、p 项且n 、m 、p 互不相等，…11分设公差为d ，显然d ≠0，则，消去d 得，，…13分由n 、m 、p 都为整数，所以为有理数，由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项． …16分． 20. 【解析】（1）因为F (-2,0)，由BF ⊥x 轴，由对称性不妨设B (-2,-3)，则直线AB ：y ＝-32(x +4) 又左准线l :x ＝-8，所以P (-8,6)又→BC ＝λ1→CQ ，所以→PC ＝→PB +λ1→PQ 1+λ1，同理由→QD ＝λ2→DA ，得→PD ＝→PQ +λ2→PA 1+λ2又→PB ＝32→PA ，所以→PC ＝32→PA +λ1→PQ 1+λ1又→PC //→PD ，比较系数得32λ2＝λ11，所以λ1·λ2＝32 8分（2）证明：设点C (x 1,y 2)，D (x 2,y 2)，Q (x 0,y 0)由→BC ＝λ1→CQ ，得x 1＝-2+λ1x 01+λ1，y 1＝-3+λ1y 01+λ1代入椭圆方程3x 2+4y 2＝48，得：3⎝ ⎛⎭⎪⎫-2+λ1x 01+λ12+4⎝ ⎛⎭⎪⎫-3+λ1y 01+λ12＝48整理得：(3x 20+4y 20-48)λ21-(12x 0+24y 0+96)λ1＝0 显然λ1≠0，所以λ1＝12x 0+24y 0+963x 20+4y 20-48同理由→QD ＝λ2→DA ，得x 2＝x 0-4λ21+λ2，y 2＝y 01+λ2代入椭圆方程3x 2+4y 2＝48，得：3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0-4λ21+λ22+4⎝ ⎛⎭⎪⎫y 01+λ22＝48同理可得：λ2＝3x 20+4y 20-4824x 0+96又由（1）λ1·λ2＝32，所以，12x 0+24y 0+963x 20+4y 20-48·3x 20+4y 20-4824x 0+96＝32 整理得：x 0-y 0+2＝0 即点Q 在定直线x -y +2＝0上 16分21.(B)【解析】（1）由=，∴ --------------3分（2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为令，得矩阵的特征值为与4. …………………………..6分当时，∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为; …………………..8分当时，∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为. ………………………10分 21.(C)【解析】（1）以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.所以，该直线的直角坐标方程为：……………………..5分（2）圆的普通方程为：圆心到直线的距离所以，圆上的点到直线的距离的最小值为…………………….10分 22．【解析】依题意，，如图，以为点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.（1）解：易证，为平面的一个法向量. 依题意， .K12教育资源学习用资料K12教育资源学习用资料设为平面的法向量，则，即.不妨设，可得.因此有，于是，所以，二面角的正弦值为 (5)（2）解：由，得.因为，所以，进而有，从而，因此.分…………………………9分所以，直线和平面所成角的正弦值为 (10)23. 【解析】（1）设P (x ，y )为曲线C 上任意一点．因为PS ⊥l ，垂足为S ，又直线l ：x ＝－1，所以S (－1，y )．因为T (3，0)，所以OP →＝(x ，y )， ST →＝(4，－y )．因为OP →·ST →＝0，所以4x －y 2＝0，即y 2＝4x ．所以曲线C 的方程为y 2＝4x ． …………… 3分（2）因为直线PQ 过点(1，0)，故设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1．P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2―4my ―4＝0．所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝―4． …………… 5分因为M 为线段PQ 的中点，所以M 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，即M (2m 2＋1，2m )．又因为S (－1，y 1)，N (－1，0)，所以SM →＝(2m 2＋2，2m －y 1)，NQ →＝(x 2＋1，y 2)＝(my 2＋2，y 2)． …………… 7分因为(2m 2＋2) y 2－(2m －y 1)(my 2＋2)＝(2m 2＋2) y 2－2m 2y 2＋my 1y 2－4m ＋2y 1＝2(y 1＋y 2)＋my 1y 2－4m ＝8m －4m －4m ＝0．所以向量SM →与NQ →共线． …………… 10分。

【配套K12】2017-2018学年高一数学下学期期末考试试题文(含解析)

宣威五中2018年春季学期期末试卷高一文科数学一、单选题1.1.已知等差数列中，若，则它的前项和为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用等差数列的性质求和.详解：由题得故答案为：D点睛：(1)本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和转化能力.(2) 等差数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等差中项.2.2.在中，，，分别为角，，所对的边，若，则（）A. 一定是锐角三角形B. 一定是钝角三角形C. 一定是斜三角形D. 一定是直角三角形【答案】D【解析】【详解】分析：已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，得到，确定出C为直角，即可得到三角形为直角三角形.解析：已知，利用正弦定理化简得：，整理得：，，，即.则为直角三角形.故选：D.点睛：利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论．3.3.已知向量满足，则A. 4B. 3C. 2D. 0【答案】B【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为所以选B.点睛：向量加减乘：4.4.“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.5.5.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】因为的底边的长是定值，所以三角形面积的取值范围转化为点P到直线的距离，即圆上动点到直线的距离问题.【详解】令得，令得，所以，,圆心到直线的距离，所以P到直线距离满足，即，又三角形面积，所以，故选A.【点睛】圆上的动点到直线的距离问题，一般可以转化为该圆圆心到直线的距离，其范围为圆心到直线的距离加减半径，即.6.6.在中,点在线段上,且则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】三角形所在的平面上，取为基底，利用向量的加减法可以表示出向量,从而求出.【详解】因为,所以，从而，故选B.【点睛】平面向量的线性运算问题，一般只需选定一组基底，其余的向量都利用这组基底表示出来，即可解决相关问题.7.7.在中，，，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为所以，选A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.8.8.已知点，若动点的坐标满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出可行域，根据可行域的形状，确定的最小值.【详解】作出可行域如图：观察图象可知，最小距离为点A到直线的距离，即，故选C.【点睛】有关可行域外一定点与可行域内动点距离的最值，一般是连接可行域的顶点所得线段的长或定点到可行域边界的距离.9.9.若不等式的解集为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据“三个二次”的关系求解，先由解集得到不等式系数的值，然后再求比值．详解：∵不等式的解集为，∴和是方程的解，且，∴，解得，∴．故选C．点睛：解一元二次不等式时要结合“三个二次”的关系进行，借助图象的直观性可容易的得到不等式的解集，同时也要注意不等式解集的端点值是不等式对应的二次函数的零点、也是一元二次方程的根．10.10.在由正数组成的等比数列中，若，的为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在等比数列中，由，得，所以，则，故选A11.11.若正数a，b满足，则的最小值为（）A. 1B. 6C. 9D. 16【答案】B【解析】分析：由得，由此可得，，将代入所求值的式子中，利用基本不等式可求得最小值．详解：∵正数满足，∴，解得．同理．∴，当且仅当，即时等号成立．∴的最小值为6．故选B．点睛：利用基本不等式求最值的类型及方法(1)若已经满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式求解．(2)若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．12.12.如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件，选取为基底，设,即可表示出，利用向量的数量积公式得到关于的函数，求其最值即可.【详解】由题意知,,所以设, 因为，所以所以当时，有最小值,故选C.【点睛】本题考查了向量的线性运算及向量的数量积运算，属于难题，解题关键是根据平面几何的得出线段的长及两边的夹角.二、填空题13.13.直线与直线互相平行，则实数________．【答案】2【解析】，解得。

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第2课时分层抽样与系统抽样[核心必知]1．分层抽样的概念将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．2．系统抽样的概念系统抽样是将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按分组的间隔(称为抽样距)抽取其他样本．系统抽样又叫等距抽样或机械抽样．[问题思考]1．分层抽样时为什么要将总体分成互不重叠的层？提示：在总体中由于个体之间存在着明显的差异，为了使抽取的样本更合理，更具有代表性，所以将总体分成互不重叠的层，而后独立地抽取一定数量的个体．2．系统抽样的第二步中，当Nn不是整数时，从总体中剔除一些个体采用的方法是什么？影响系统抽样的公平性吗？提示：剔除一些个体可以用简单随机抽样抽取，不影响系统抽样的公平性．讲一讲1.某企业共有3 200名职工，其中青、中、老年职工的比例为3∶5∶2.若从所有职工中抽取一个容量为400的样本，则采用哪种抽样方法更合理？青、中、老年职工应分别抽取多少人？每人被抽到的可能性相同吗？[尝试解答] 因为总体由差异明显的三部分(青、中、老年)组成，所以采用分层抽样的方法更合理．因为青、中、老年职工的比例是3∶5∶2，所以应分别抽取：青年职工400×310＝120(人)；中年职工400×510＝200(人)；老年职工400×210＝80(人)．由样本容量为400，总体容量为3 200可知，抽样比是4003 200＝18，所以每人被抽到的可能性相同，均为18.分层抽样的步骤：(1)根据已经掌握的信息，将总体分成互不重叠的层；(2)根据总体中的个体数N 和样本容量n 计算抽样比 k ＝n N ；(3)确定第i 层应该抽取的个体数目n i ＝N i ×k (N i 为第i 层所包含的个体数)，使得各n i 之和为n ；(4)在各层中，按步骤(3)中确定的数目在各层中随机地抽取个体，合在一起得到容量为n 的样本．练一练1．某城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，计划抽取一个容量为21的样本，按照分层抽样方法抽取时，各种百货商店分别要抽取多少家？写出抽样过程．解：第一步：样本容量与总体容量的比为21210＝110；第二步：确定各种商店要抽取的数目：大型商店：20×110＝2(家)，中型商店：40×110＝4(家)，小型商店：150×110＝15(家)；第三步：采用简单随机抽样在各层中分别抽取大型商店2家，中型商店4家，小型商店15家，综合每层抽样即得样本.2.相关部门对某食品厂生产的303盒月饼进行质量检验，需要从中抽取10盒，请用系统抽样法完成对此样本的抽取．[尝试解答] 第一步将303盒月饼用随机的方式编号．第二步从总体中剔除3盒月饼，将剩下的300盒月饼重新编号(分别为000,001，…，299)，并分成10段．第三步在第一段中用简单随机抽样抽取起始号码l .第四步将编号为l ，l ＋30，l ＋2×30，…，l ＋9×30的个体取出，组成样本．1．当总体容量能被样本容量整除时，分段间隔k ＝N n；当用系统抽样抽取样本时，通常是将起始数s 加上间隔k 得到第2个个体编号(s ＋k )，再加k 得到第3个个体编号(s ＋2k )，依次进行下去，直到获得整个样本．2．当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机剔除几个个体，但要注意的是剔除过程必须是随机的，也就是总体中的每个个体被剔除的机会均等，剔除几个个体后使总体中剩余的个体能被样本容量整除，然后再按系统抽样方法抽取样本．练一练2．为了了解某地区今年高一学生期末考试数学学科的成绩，拟从参加考试的15 000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本．请用系统抽样写出抽取过程．解：(1)对全体学生的数学成绩进行编号：1,2,3，…，15 000.(2)分段：由于样本容量与总体容量的比是1∶100，所以我们将总体平均分为150个部分，其中每一部分包含100个个体．(3)在第一部分即1号到100号用简单随机抽样抽取一个号码，比如是56.(4)以56作为起始数，然后依次抽取156,256,356，…，14 956，这样就得到容量为150的一个样本.讲一讲3.选择恰当的抽样方法，并写出抽样过程．(1)有30个篮球，其中，甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，现抽取10个作样品；(2)有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，现取出3个作样品；(3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个作样品；(4)有甲厂生产的300个篮球，从中抽取30个作样品．[尝试解答] (1)因总体是由差异明显的几部分构成，可采用分层抽样的方法抽取．第一步确定抽取个数．因为1030＝13，所以甲厂生产的应抽取21×13＝7(个)，乙厂生产的应抽取9×13＝3(个)；第二步用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个．这些篮球便组成了我们要抽取的样本．(2)总体容量较小，用抽签法．第一步将30个篮球编号，编号为00,01， (29)第二步将以上30个编号分别写在一张小纸条上，揉成小球，制成号签；第三步把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅匀；第四步从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码；第五步找出与所得号码对应的篮球．(3)总体容量较大，样本容量较小，适宜用随机数法．第一步将300个篮球用随机方式编号，编号为001,002， (300)第二步在随机数表中随机的确定一个数作为开始，如第3行第5列的数“3”开始．任选一个方向作为读数方向，比如向右读；第三步从数“3”开始向右读，每次读三位，凡不在001～300中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去不读，便可依次得到241,242,232,283,039,101,158,272,266,166这10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码．(4)总体容量较大，样本容量也较大，适宜用系统抽样法．第一步将300个篮球用随机方式编号，编号为000,001,002，…，299，并分成30段；第二步在第一段000,001,002，…，009这十个编号中用简单随机抽样抽出一个(如002)作为起始号码；第三步将编号为002,012,022，…，292的个体抽出，组成样本．1．三种抽样的适用范围不同，各自的特点也不同，但各种方法间又有密切联系．在应用时要根据实际情况选取合适的方法．2．三种抽样中每个个体被抽到的可能性都是相同的．练一练3．某社区有700户家庭，其中高收入家庭225户，中等收入家庭400户，低收入家庭75户．为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①；某中学高二年级有12名篮球运动员，要从中选出3人调查投篮命中率情况，记作②；从某厂生产的802辆轿车中抽取40辆测试某项性能，记作③.为完成上述三项抽样，则应采取的抽样方法是( )A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①分层抽样，②简单随机抽样，③系统抽样C．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样解析：对于①，总体由高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭差异明显的三部分组成，而所调查的指标与收入情况密切相关，所以应采用分层抽样；对于②，总体中的个体数较少，而且所调查内容对12名调查对象是平等的，应采用简单随机抽样；对于③，总体中的个体数较多，且个体之间差异不明显，样本中个体数也较多，应采用系统抽样．答案：B【解题高手】【多解题】一个单位有职工160人，其中有业务人员112人，管理人员16人，后勤服务人员32人，为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定业务人员、管理人员、后勤服务人员各抽取的人数是多少？[解] 法一：三部分所含个体数之比为112∶16∶32＝7∶1∶2，设三部分各抽个体数为7x，x,2x，则由7x＋x＋2x＝20得x＝2.故业务人员、管理人员、后勤服务人员抽取的个体数分别为14,2和4.法二：由160÷20＝8，所以可在各层人员中按8∶1的比例抽取，又因为112÷8＝14,16÷8＝2,32÷8＝4，所以业务人员14人，管理人员2人，后勤服务人员4人．法三：因为共有职工160人，所抽取的人数为20，所以样本容量与总体容量之比为20160＝1 8，则业务人员应抽取112×18＝14人，管理人员应抽16×18＝2人，后勤服务人员应抽32×18＝4人.1．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样之间的共同点是( )A．都是从总体中逐个抽取B．将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取C．抽样过程中每个个体被抽取的机会相同D．将总体分成几层，分层进行抽取解析：选C 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的．2．(四川高考)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )A．抽签法 B．系统抽样法C．分层抽样法 D．随机数法解析：选D 样本由差异明显的几部分组成，抽取的比例由每层个体占总体的比例确定，即为分层抽样法．3．将一个总体分为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5∶3∶2，若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取的个体数为________．解析：25＋3＋2×100＝20. 答案：204．将参加数学夏令营的100名同学编号为001,002，…，100.现采用系统抽样方法抽取一个容量为25的样本，且第一段中随机抽得的号码为004，则在046至078号中，被抽中的人数为________．解析：抽样距为4，第一个号码为004，故001～100中是4的整数倍的数被抽出，在046至078号中有048,052,056,060,064,068,072,076，共8个．答案：85．某中学有教职工300人，分为教学人员、管理人员、后勤服务人员三部分，其组成比例为8∶1∶1.现用分层抽样从中抽取容量为20的样本，请写出抽样的过程．解：抽样过程如下：(1)确定抽样比20300＝115； (2)确定各层抽样数目为300×81015＝16，300×11015＝2，300×11015＝2； (3)用系统抽样法从教学人员中抽取16人，用简单随机抽样法分别从管理人员和后勤服务人员中各抽取2人；(4)将上述各层所抽的个体合在一起即为所要抽取的样本．一、选择题1．某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，该抽样方法记为①；从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学业负担情况，该抽样方法记为②.那么( )A ．①是系统抽样，②是简单随机抽样B ．①是简单随机抽样，②是简单随机抽样C ．①是简单随机抽样，②是系统抽样D ．①是系统抽样，②是系统抽样解析：选A 对于①，因为每隔30分钟抽取一袋，是等间距抽样，故①为系统抽样；对于②，总体数量少，样本容量也小，故②为简单随机抽样．2．(四川高考)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为( )A．101 B．808 C．1 212 D．2 012解析：选B 依题意得知，甲社区驾驶员的人数占总人数的1212＋21＋25＋43＝12101，因此有96N＝12101，解得N＝808.3．(湖南高考)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝( )A．9 B．10 C．12 D．13解析：选D 由分层抽样可得，360＝n260，解得n＝13.4．下列抽样中不是系统抽样的是( )A．从标有1～15号的15个球中，任选3个作为样本．将15个球按从小号到大号排序，随机选i0号作为起始号码，以后选i0＋5，i0＋10(超过15则从1再数起)号入样B．工厂生产的产品，在用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽取一件产品进行检验C．进行某一市场调查时，规定在商场门口随机抽取一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的调查人数为止D．在报告厅对与会听众进行调查，通知每排(每排人数相等)座位号为14的听众留下来座谈解析：选C 分析各选项中抽样的特点，与系统抽样的概念、特点进行比较．A、D显然是系统抽样．B项中，传送带的速度是恒定的，实际上是将某一段时间内生产的产品分成一组，且可以认为这些产品已经排好，又总在某一位置抽取样品，这正好符合系统抽样的概念．选项C因事先不知道总体的个数，而且抽样时不能保证每个个体等可能入样，因此它不是系统抽样．5．某学校有职工140人，其中教师91人，教辅行政人员28人，总务后勤人员21人．为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本．以下的抽样方法中，依次为简单随机抽样、系统抽样、分层抽样顺序的是( )方法1：将140人从1～140编号，然后制作出编号1～140的形状、大小相同的号签，并将号签放入同一箱子里均匀搅拌，然后从中依次抽取20个号签，编号与号签相同的20个人被选出；方法2：将140人分成20组，每组7人，并将每组7人按1～7编号，在第一组采用抽签法抽出k号(1≤k≤7)，其余各组k号也被抽出，20个人被选出；方法3：按20∶140＝1∶7的比例，从教师中抽出13人，从教辅行政人员中抽出4人，从总务后勤人员中抽出3人．从各类人员中抽取所需人员时，均采用随机数法，可抽到20人．A ．方法2，方法1，方法3B ．方法2，方法3，方法1C ．方法1，方法2，方法3D ．方法3，方法1，方法2解析：选C 结合简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的定义判断．二、填空题6．(浙江高考)某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．解析：由分层抽样得，此样本中男生人数为560×280560＋420＝160. 答案：1607．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为________．解析：若设高三学生数为x ，则高一学生数为x 2，高二学生数为x 2＋300，所以有x ＋x 2＋x 2＋300＝3 500，解得x ＝1 600.故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为800100＝8. 答案：88．一个总体中有100个个体，随机编号为0、1、2、…、99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1、2、3、…、10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同．若m ＝6，则在第7组中抽取的号码是________．解析：第k 组的号码为(k －1)10，(k －1)10＋1，…，(k －1)·10＋9，当m ＝6、k ＝7时，第k 组抽取的号码m ＋k 的个位数字为3，所以(7－1)×10＋3＝63.答案：63三、解答题9．为了调查某路口一个月的车流量情况，交警采用系统抽样的方法，样本距为7，从每周中随机抽取一天，他正好抽取的是星期日，经过调查后做出报告．你认为交警这样的抽样方法有什么问题？应当怎样改进？如果是调查一年的车流量情况呢？解：交警所统计的数据以及由此所推断出来的结论，只能代表星期日的交通流量．由于星期日是休息时间，很多人不上班，不能代表其他几天的情况．改进方法可以将所要调查的时间段的每一天先随机地编号，再用系统抽样方法来抽样，或者使用简单随机抽样来抽样亦可．如果是调查一年的交通流量，使用简单随机抽样法显然已不合适，比较简单可行的方法是把样本距改为8.10．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同的年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．解：(1)设登山组人数为x ，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a ，b ，c ，则有x ·40%＋3xb 4x ＝47.5%，x ·10%＋3xc 4x＝10%. 解得b ＝50%，c ＝10%.故a ＝1－50%－10%＝40%.即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%.(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200×34×40%＝60；抽取的中年人人数为200×34×50%＝75；抽取的老年人人数为200×34×10%＝15.。

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