《正弦函数》导学案
必修四 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 导学案
1．4.2正弦函数、余弦函数的性质【课标要求】1.了解三角函数的周期性，会求一些三角函数的周期．2.借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质，会讨论一些简单三角函数的奇偶性、单调性、最值等问题．【考纲要求】【学习目标叙写】1.通过自主学习，会求一些三角函数的周期2.通过合作交流，会讨论一些简单三角函数的奇偶性、单调性、最值等问题．【使用说明及方法指导】1.限时10—15分钟，独立完成预习案内容，书写规范。
2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。
【预习案】1．sin(α＋2kπ)＝______，cos(α＋2kπ)＝_______.(k∈Z)2．正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的五个关键点为___________________________________．3．余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的五个关键点为【探究案】探究一：正、余弦函数的周期性研究正、余弦函数的周期性，可根据定义f(x＋T)＝f(x)，T一般为最小正周期例一求下列函数的周期：(1)y＝sin 2x＋3； (2)y＝2cos(13x－π4)； (3)y＝|sin x|.探究二：正、余弦函数的奇偶性正、余弦函数的奇偶性，要根据奇偶函数的定义、性质和三角诱导公式来判定．例二判断下列函数的奇偶性：(1)y＝sin x＋tan x；(2)f(x)＝sin(3x4＋3π2)；(3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x； (4)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1.【拓展1】 若本例(4)改为f (x )＝1－cos x ，其奇偶性如何？探究三：正、余弦函数的单调性要结合正、余弦函数的图象和周期性，求解单调区间．例三 求函数y ＝2sin(π4－x )的单调区间．【拓展1】 求函数y ＝2sin(x ＋π4)的单调区间．探究四：正、余弦函数的定义域、值域及最值此类问题主要利用它们的有界性：|sin x |≤1，|cos x |≤1(x ∈R)．例四 (1)求函数y ＝2sin(x ＋π3)，x ∈[π6，π2]的值域；(2)求函数y ＝11＋sin x的定义域、值域和最值．【拓展1】 求函数y ＝cos2x ＋2sin x －2，x ∈R 的值域．【二次备课】。
(公开课导学案)正弦函数余弦函数的图象学教案
（公开课导学案）正弦函数余弦函数的图象学教案第一章：正弦函数与余弦函数的定义1.1 导入：通过日常生活实例（如音乐、航海、建筑等）引入正弦函数和余弦函数的概念。
引导学生思考：正弦函数和余弦函数是如何描述周期性变化的？1.2 正弦函数的定义：解释正弦函数的数学表达式：sin(θ) = 对边/斜边通过几何图形（如直角三角形）来直观展示正弦函数的定义。
1.3 余弦函数的定义：解释余弦函数的数学表达式：cos(θ) = 邻边/斜边通过几何图形（如直角三角形）来直观展示余弦函数的定义。
1.4 互动环节：让学生通过实际测量和绘制，体验正弦函数和余弦函数的定义。
引导学生思考：正弦函数和余弦函数之间的关系是什么？第二章：正弦函数和余弦函数的图象2.1 正弦函数的图象：利用计算器或绘图软件，绘制正弦函数的图象。
解释正弦函数的图象特点（如周期性、振幅等）。
2.2 余弦函数的图象：利用计算器或绘图软件，绘制余弦函数的图象。
解释余弦函数的图象特点（如周期性、振幅等）。
2.3 互动环节：让学生通过观察和分析，描述正弦函数和余弦函数的图象特点。
引导学生思考：正弦函数和余弦函数的图象有哪些相同点和不同点？第三章：正弦函数和余弦函数的性质3.1 正弦函数的性质：解释正弦函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。
通过图象来直观展示正弦函数的性质。
3.2 余弦函数的性质：解释余弦函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。
通过图象来直观展示余弦函数的性质。
3.3 互动环节：让学生通过实际操作和观察，验证正弦函数和余弦函数的性质。
引导学生思考：正弦函数和余弦函数的性质如何应用于实际问题？第四章：正弦函数和余弦函数的图象的应用4.1 物理应用：举例说明正弦函数和余弦函数在物理学中的应用，如振动、波动等。
通过实际例子来展示正弦函数和余弦函数在物理学的应用。
4.2 工程应用：举例说明正弦函数和余弦函数在工程学中的应用，如信号处理、电路设计等。
通过实际例子来展示正弦函数和余弦函数在工程学的应用。
正弦函数、余弦函数的图象 导学案 高一数学人教A版第一册(全国)
第五章 三角函数5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象【学习要求】1.了解正弦函数图象的正弦线画法,掌握正弦函数图象的几何特征;2.掌握五点法,并能熟练画一些简单函数的图象. 【教学过程】 一、情境引入1.终边相同角的诱导公式：sin(2)k απ+= ()k Z ∈.2.周期函数：当函数对于自变量的一切值每增加或减少一个定值(定值可以有很多个)，函数值就重复出现时，这个函数就叫做周期函数．一般地，对于函数f (x )，如果存在非零常数T ，使得定义域内的“每一个x 值”，都有f (x+T )=f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做f (x )的周期．3.正弦函数的周期是： ；最小正周期是： ．二、知识整理用描点法作出正弦函数在最小正周期上的图象sin ,[0,2]y x x π=∈，(2)描点连线(3)因为终边相同的角的三角函数值相同,所以sin y x =在……,[4,2]ππ--, [2,0]π-,[0,2]π,[2,4]ππ,……的图象与sin y x =，[0,2]x π∈的图象相同.方法小结：（1）用“五点法”作正弦函数的图象； （2）“五点法”作图的关键点.x 0 2π π32π 2πy1-1三、典例选讲例1.作下列函数的简图(1)1sin ,[0,2]y x x π=+∈; （2）sin 2,[0,]y x x π=∈;（3）5sin(),[,]333y x x πππ=+∈-； （4）53sin(2),[,]366y x x πππ=+∈- .思考：几何法（利用三角函数线画正弦函数图象）四、小结提升通过这节课的学习①你经历了什么样的过程？②你获得了什么样的知识、技能、方法？③你感受最深的是什么？五、练习巩固1.1sin y x =+，x ∈[0，2π]的图象与直线y =1.5的交点个数为 .2.在[0，2π]内4sin y x =的单调增区间为 ;单调减区间为 .3.用五点法分别作下列函数在[2,2]ππ-上的图象：(1) sin y x =-; (2) sin 2y x =-.4.把第3题所作的图象和sin y x =,[2,2]x ππ∈-的图象进行比较，说明这些图象与sin y x =,[2,2]x ππ∈-的图象的位置关系.5.画出下列函数的图象(1) sin()y x =-,[0,2];x π∈ (2) sin()4y x π=-,9[,]44x ππ∈(3)12sin()26y x π=-, 13[,]33x ππ∈ (4)sin(2)14y x π=+-, 7[,]88x ππ∈-。
正弦函数图象导学案
正弦函数图象导学案刘平一．学习目标：知识目标：（1）会用正弦线画正弦函数图象.（2）掌握 “五点法”画正弦函数的简图；能力目标：培养学生的观察分析、合作交流等能力；培养数形结合的数学思想方法.情感目标：（1）了解数学源于生活，服务于生活的特点.（2）感受波形曲线的对称美，激发学习兴趣，提高审美情趣.、二． 学习重点与难点：重点：正弦函数图象及“五点画图法”.难点：利用“五点画图法”画出正弦函数及其他函数图象的简图。
二． 学习过程：（一）自主学习1. 复习旧知：（1）(2) 在单位圆中的正弦函数线怎么画的？2．思考回答：【问题1】实际生活中你见过这样的图像吗？【问题2】我们如何画出正弦函数比较精确的图象？【问题3】我们以前怎样画函数图象？步骤是什么？=+)2sin(απk )(z k ∈（二）合作探究【问题4】如果我们用描点法作正弦函数y=sinx 在[0，2π]内的图象，描哪些点？？【问题5 】你怎样描点 )23,3(？ 精确吗？怎样才能比较精确地作出这个点呢？【问题6】在直角坐标系中，如何用正弦线比较精确画出 y=sinx x∈[0，2π]内的图象？（三）拓展延伸“五点法作图法”画 y=sinx x ∈[0，2π]的图象关键的五个点？例题： 画 y=sinx+1 x ∈[0，2π]的图象（四）课堂练习（1）用“五点法”画函数y=-sinx ， x ∈[0，2π]的图象；（2）用“五点法”画函数y=2sinx ， x ∈[0，2π]的图象；三． 总结反思：（小结）四． 课后作业教材39页练习A ，B。
1.5.2正弦函数的性质导学案
正弦函数的性质使用说明：1.用15分钟左右的时间，阅读课本第26~28页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成教材助读设问及自测练习。
3.通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的学习目标【学习目标】：（1）结合图像，深入理解正弦函数的各个性质；（2）通过对正弦函数的各个性质及图像的学习，利用类比的思想学习余弦函数的性质。
【重点和难点】重点：正弦函数的主要性质（包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域）；深入研究函数性质的思想方法。
难点：正弦函数性质的理解及灵活应用，特别是单调性的理解。
预习案一、知识链接:1.从单位圆能看出正弦函数y=sinx有那些性质？2.利用五点法画正弦函数图像时，起关键作用的点是那五个？3.什么是正弦曲线？并画出它的图像。
二．教材助读画出正弦函数y=sinx 的图像：依据图像回答问题：（1）定义域：（2）值域：（3）最值以及取得最值时对应x的值（4）周期性：（5）单调性：（6）奇偶性：三．预习自测：1.正弦函数在整个定义域内是增函数吗？为什么?2.利用五点法画出函数y=sinx-1的简图，并根据图像讨论它的性质。
3.函数y=2+sinx 在区间-----------------------------上是增加的，在区间-----------------------------上是减少的；当x=-----------------时，y取最大值为--------，；当x=-----------------时，y取最小值为--------。
4..函数y=4sinx 当x∈[ -π，π] 时，在区间----------------------上是增加的，在区间-----------------------------上是减少的；当x=-----------------时，y取最大值为--------，；当x=-----------------时，y取最小值为--------。
(公开课导学案)正弦函数余弦函数的图象学教案
公开课导学案——正弦函数余弦函数的图像学教案第一章：正弦函数图像的基本特征1.1 学习目标：了解正弦函数图像的基准形状——波浪线，理解正弦函数图像的四个基本组成部分：振幅、周期、相位、初相位。
第二章：余弦函数图像的基本特征2.1 学习目标：了解余弦函数图像的基准形状——平滑的波动曲线，理解余弦函数图像的四个基本组成部分：振幅、周期、相位、初相位。
第三章：正弦函数与余弦函数图像的对比3.1 学习目标：通过对比分析，理解正弦函数与余弦函数图像的异同，掌握两者之间的关系。
第四章：利用图像研究正弦函数、余弦函数的性质4.1 学习目标：学会利用函数图像研究正弦函数、余弦函数的性质，提高数形结合的能力。
4.2 教学内容：引导学生利用函数图像研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。
第五章：正弦函数、余弦函数图像在实际中的应用5.1 学习目标：了解正弦函数、余弦函数图像在实际中的应用，提高解决实际问题的能力。
5.2 教学内容：通过实例分析，引导学生了解正弦函数、余弦函数图像在物理学、工程学等领域的应用。
第六章：利用图像解决正弦函数、余弦函数问题6.1 学习目标：通过函数图像，解决正弦函数、余弦函数的解析问题，提高数形结合的应用能力。
6.2 教学内容：引导学生利用函数图像解决正弦函数、余弦函数的交点、零点、最大值、最小值等问题。
第七章：正弦函数、余弦函数图像的变换7.1 学习目标：了解正弦函数、余弦函数图像的变换规律，提高函数图像的理解和应用能力。
7.2 教学内容：引导学生学习平移、伸缩、翻折等变换规律，并通过实例演示和操作，让学生掌握正弦函数、余弦函数图像的变换方法。
第八章：正弦函数、余弦函数图像的综合应用8.1 学习目标：培养学生运用正弦函数、余弦函数图像解决实际问题的能力，提高学生的综合素质。
8.2 教学内容：通过综合案例，引导学生将正弦函数、余弦函数图像应用于物理、工程、经济学等领域，培养学生解决实际问题的能力。
正弦函数、余弦函数图像导学案
1.4.1.正弦函数、余弦函数的图像导学案四川省泸县第二中学 吴超学习目标1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系. 复习如图，在单位圆中，定义角α的正弦、正弦线 sin α =y （代数） sin α =MP （几何表示）研究一个新的函数，很自然的想到要去画它的图像，然后观察图像的特点，得出函数的性质。
下面我们来研究函数sin ,[0,2]y x x π=∈的图像。
新课思考1：回忆作函数图像最原始的方法是什么？有哪些步骤？（如：画指数、对数函数的方法、步骤）描点法:列表、描点、连线思考2：利用描点法画sin ,[0,2]y x x π=∈图像时，可以取以下特殊点五个特殊点：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)几何问题三角问题描点法作正弦函数y=sin x在[0，2π]上的图像步骤：ππ课外思考：如增加点点(,sin)33下面就利用三角函数线来描点，作出sin,[0,2]=∈的图像。
y x xπ知识点一利用正弦线画正弦函数的图象（PPT展示利用正弦线作出正弦函数图像、几何画板演示）知识点一 利用五点法画正弦函数的图象问题1：作正弦函数y =sin x ，x ∈[0, 2π]的图像时，应抓住哪些关键点？最高点、最低点及图象与x 轴的三个交点. 既五个关键点是(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)； 步骤：(1)列表(2)描点，画正弦函数(3)连线问题2：根据y =sin x ，x ∈[0, 2π]的图像，如何得到y =sin x ，x ∈R 的图像？根据终边相同的角三角函数相同，因此当x ∈[2π, 4π]时，三角函数的图像形状不变，只是位置不同。
y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象.小组讨论：以正弦函数图像为基础，如何才能得到余弦函数的图象 ? 讨论方向一：可以像正弦函数那样利用余弦函数的余弦线来作出图像； 讨论方向二：根据诱导公式cos sin()sin(22x x x ππ=-=--，然后由正弦函数图像先平移再翻折得到余弦函数的图像；讨论方向三：根据诱导公式cos sin()2x x π=+然后由正弦函数图像平移得到，既把y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度，即可得到y ＝cos x ，x ∈R 的图象.知识点二 余弦曲线“五点法”作图问题3：类似正弦函数图像的五个关键点，如何找出余弦函数y =cos x ，x ∈[0, 2π]图像上的五个关键点？将它们的坐标填入下表。
人教版九年级数学下册导学案：28.1 第1课时 正弦函数
第二十八章锐角三角函数28．1 锐角三角函数第1课时正弦函数学习目标：1．理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定(即正弦值不变)．2．能根据正弦概念正确进行计算．重点：理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定(即正弦值不变)．难点：能根据正弦概念正确进行计算．【自主学习】一、知识链接1．在Rt△ABC中，a=1，∠C=90°，∠A=30°，求c．2．在Rt△ABC中，a=1，∠C=90°，∠A=45°，求c．【合作探究】一、要点探究探究点1：已知直角三角形的边长求正弦值合作探究为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌．先测得斜坡的坡角(∠A )为30°，为使出水口的高度为35 m，需要准备多长的水管？这个问题可以归结为：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC = 35 m，求AB．【方法归纳】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于1 2．思考1：Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠A = 45°，那么BC与AB的比是一个定值吗？【方法归纳】在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于2 2．思考2：任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么BC AB 与B'C'A'B'有什么关系？你能解释一下吗？【方法归纳】这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A ，即【典例精析】例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sin A和sin B的值．练一练1．如图，判断对错：2．在Rt △ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=3，则sin A的值为（）A．337B．47C．37D．733例2如图，在平面直角坐标系内有一点P (3，4)，连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值．【方法总结】结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解．练一练如图，已知点P的坐标是(a，b)，则sinα等于( )A．abs in A =BCAC（）s in A = 0．6（）s in B= 0．8（）s in A =BCAB（）s in B =BCAB（）B．b aC．22aa b+D．22ba b+探究点2：已知锐角的正弦值求直角三角形的边长例3如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，1sin3A=，BC = 3，求sin B及Rt△ABC的面积．提示：已知sin A及∠A的对边BC的长度，可以求出斜边AB的长，然后再利用勾股定理，求出AC的长度，进而求出sin B及Rt△ABC的面积．练一练1．在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=35，BC=6，则AB的长为( )A.4 B．6 C．8 D．102．在△ABC中，∠C=90°，如果sin A =13，AB=6，那么BC= ．例4在△ABC中，∠C=90°，AC=24 cm，sin A=725，求这个三角形的周长．【方法总结】已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般需结合方程思想和勾股定理解决问题．二、课堂小结【当堂检测】1．在直角三角形ABC中，若三边长都扩大为原来的2倍，则锐角A的正弦值将( )A．扩大为原来的2倍B．不变C．缩小为原来的12D．无法确定2．如图，在△ABC中，∠B=90°，则sin A的值为( ) A．37B．210C．47D．523．如图，在正方形网格中有△ABC，则sin∠ABC的值为．4．如图，点D (0，3)，O (0，0)，C (4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD =______．5．如图，在△ABC中，AB = BC = 5，sin A =45，求△ABC的面积．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB．(1) sin B可以由哪两条线段之比表示?(2) 若AC = 5，CD = 3，求sin B的值．参考答案自主学习一、知识链接1．解：c =2． 2．解：c =2． 课堂探究 一、要点探究探究点1：已知直角三角形的边长求正弦值 合作探究解：根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即12BC AB =，可得 AB = 2BC =2×35=70 (m)．也就是说，需要准备 70 m 长的水管．思考1 解：因为∠A =45°，∠C =90°， 所以AC =BC ．由勾股定理得AB 2=AC 2+BC 2=2BC 2，所以2AB BC =．因此222BC AB BC== 思考2 解：因为∠C ＝∠C'＝90°，∠A ＝∠A'＝α，所以Rt △ABC ∽Rt △A'B'C '．所以AB BCC'=，即BC B'C'AB A'B'=． 典例精析例1 解：如图①，在 Rt △ABC 中，由勾股定理得2222=43 5.AB AC BC +=+=因此3sin 5BC A AB ==，4sin .5AC B AB ==如图②，在Rt △ABC 中，由勾股定理得2222=13512.AC AB BC -=-=因此5sin 13BC A AB ==，12sin .13AC B AB == 练一练 1． √ × × √ √ 2． C例2 解：如图，设点 A (3，0)，连接 P A ，则P A ⊥OA ．在Rt △APO 中，由勾股定理得222234 5.OP OA AP =+=+=因此4sin .5AP OP α==练一练 D例 3 解：∵∠C =90°，∴1sin 3A =．∴ 13BC AB =，∴ AB = 3BC =3×3=9．∴2222936 2.AC AB BC -=-=∴6222sin 93AC B AB ===∴11=623=9 2.22ABC S AC BC ⋅=⨯△练一练 1． D 2． 2 例 4 解：由sin A =725，设BC =7x ，则AB =25x ．在 Rt △ABC 中，由勾股定理得24AC x ===，即 24x = 24，解得 x = 1 cm ．故 BC = 7x =7 cm ，AB = 25x = 25 cm ．所以 △ABC 的周长为BC +AC +AB = 7+24+25 = 56 (cm)．当堂检测1. B 2．A 3．10 4．355．解：作BD ⊥AC 于点D ，∵ sin A =45，∴4sin 545BD AB A =⨯=⨯=．∴3.AD ===又∵ AB =AC ，BD ⊥AC ，∴ AC =2AD =6．∴S △ABC =AC×BD ÷2=12．6．解：（1）∵CD ⊥AB ，∴∠ADC =∠ACB = 90°．∴∠ACD = ∠B=90°-∠A ．∴sin sin .AC CD ADB ACD AB BC AC ====∠（2）在Rt △ACD中， 4.AD ===由 (1)知，4sin sin .5AD B ACD AC ===∠。
正弦函数的性质(二)导学案
正弦函数的性质（二）导学案高一数学组赵飞(一)导学目标1．知识与技能（1）通过正弦函数的图像进一步研究和理解正弦函数的性质。
（2）能够灵活应用正弦函数的性质解决相关问题。
2．过程与方法通过数形结合研究正弦函数的性质，增强学生自主学习、解决问题的能力，并归纳出解决问题的通解通法。
3．情感态度与价值观通过自主探究与合作交流激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位。
通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，2810πππ-<-<-<[,]2ππ(1)定义域:R (2) 值域为[-1,1]max 2k 12x k Z y =+∈=π当π（）时，；(3)期周性: T 2π＝ (4)正弦函数的单调性：增区间为(5)∈R)是奇函数 (6)对称性：正弦函数图像关于点 中心对称：关于直线 对称二、问题探究正弦函数性质的简单应用例1、 比较下列各组正弦值的大小：分析： 利用正弦函数的不同区间上的单调性进行比较。
解： （1）因为并且f(x)=sinx 在 上是增函数，所以(2)因为并且f(x)=sinx 在 上是减函数，所以 (),0k π,2x k k Z ππ=+∈(1)sin()sin()810ππ--与57(2)sin sin 88ππ与,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦sin()sin()810ππ-<-57288ππππ<<<min 212x k k Z y =-+∈=-π当π（）时，.26x π+例2、求函数 在x 取何值时取到最大值？在x 取何值时取到最小值？ 分析：关键点：把看作一个整体。
解： 在处到达最大值1。
即，当时， 达到最大值1。
在 处达到最小值-1。
即当 时达到最小值-1。
例３、求下列函数的定义域和值域：解（1）(2)：定义域为函数的值域为 例4、 求函数)321sin(2π+=x y的单调递增区间；思考：你能求函数sin()32xyπ=- 的单调递增区间吗？答案：三、课堂小结57sin sin 88ππ>()sin(2)6f x x π=+()sin(2)6f x x π=+2262x k πππ+=+()6x k k z ππ=+∈()sin(2)6f x x π=+2262x k πππ+=-+()3x k k z ππ=-+∈1(1)1sin y x=+(2)y =2,2x x k k z ππ⎧⎫≠-+∈⎨⎬⎩⎭定义域为12y y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭函数的值域为[]0,1.1.正弦函数的性质及其应用2.题型归纳:求复合函数的定义域、值域、单调区间及正弦函数单调性的应用（比较大小）. 3、数形结合与整体代换的思想。
(公开课导学案)正弦函数余弦函数的图象学教案
公开课导学案——正弦函数余弦函数的图像学教案第一章：正弦函数图像的基本特征1.1 学习目标：了解正弦函数图像的形状和基本特点。
1.2 教学内容：(1) 引导学生观察正弦函数图像的波形，理解其周期性和振幅的概念。
(2) 分析正弦函数图像在各个象限的符号和变化规律。
1.3 课堂活动：(1) 让学生自主绘制正弦函数图像，观察其特点。
(2) 分组讨论正弦函数图像在各个象限的变化规律。
1.4 练习题目：(1) 描述正弦函数图像的一个周期内的变化情况。
(2) 判断给定的点在正弦函数图像的哪个象限。
第二章：余弦函数图像的基本特征2.1 学习目标：了解余弦函数图像的形状和基本特点。
2.2 教学内容：(1) 引导学生观察余弦函数图像的波形，理解其周期性和相位的概念。
(2) 分析余弦函数图像在各个象限的符号和变化规律。
2.3 课堂活动：(1) 让学生自主绘制余弦函数图像，观察其特点。
(2) 分组讨论余弦函数图像在各个象限的变化规律。
2.4 练习题目：(1) 描述余弦函数图像的一个周期内的变化情况。
(2) 判断给定的点在余弦函数图像的哪个象限。
第三章：正弦函数和余弦函数图像的比较3.1 学习目标：掌握正弦函数和余弦函数图像的异同点。
3.2 教学内容：(1) 分析正弦函数和余弦函数图像的形状和周期的关系。
(2) 比较正弦函数和余弦函数图像在各个象限的变化规律。
3.3 课堂活动：(1) 让学生对比绘制正弦函数和余弦函数图像，观察其异同点。
(2) 分组讨论正弦函数和余弦函数图像的比较。
3.4 练习题目：(1) 说明正弦函数和余弦函数图像的异同点。
(2) 绘制一个给定角度的正弦函数和余弦函数图像，并比较它们的特点。
第四章：正弦函数余弦函数图像的应用4.1 学习目标：学会利用正弦函数和余弦函数图像解决实际问题。
4.2 教学内容：(1) 引导学生利用正弦函数和余弦函数图像解决物理、工程等领域的问题。
(2) 分析正弦函数和余弦函数图像在实际问题中的应用。
正弦函数导学案(全章)
正弦函数导学案(全章)
1. 引言
本导学案将介绍正弦函数的基本概念、性质和应用。
正弦函数
是数学中重要的三角函数之一，广泛应用于物理、工程等领域。
通
过研究本章内容，我们将能够深入了解和掌握正弦函数的定义、图像、周期性和幅度等特点。
2. 正弦函数的定义和图像
- 正弦函数是以角度为自变量的周期函数。
它的定义域是所有
实数，值域是[-1, 1]。
- 正弦函数的图像具有周期性，每个周期内有一个完整的波形。
- 正弦函数的图像呈现出波浪形态，通过观察图像可以推断函
数的特点和变化规律。
3. 正弦函数的周期性和幅度
- 正弦函数的周期性是指函数在一定角度范围内重复的特性。
对于正弦函数来说，它的周期是360度或2π弧度。
- 正弦函数的幅度是指函数图像在垂直方向上的最大偏移量。
对于正弦函数来说，它的幅度是1。
4. 正弦函数的性质和应用
- 正弦函数具有奇偶性，即sin(x) = -sin(-x)。
- 正弦函数可以表示物理振动的变化规律，例如弹簧振动、声波等。
- 正弦函数在信号处理、电路分析等领域有广泛应用。
5. 总结
正弦函数是数学中重要的三角函数，具有周期性、波浪形态和幅度等特点。
通过研究正弦函数的定义、图像、周期性和幅度等内容，我们能够更好地理解和应用正弦函数在物理和工程问题中的作用。
掌握正弦函数的性质和应用可以帮助我们解决实际问题，并提高数学和科学的应用能力。
人教九年级数学下册正弦函数导学案
正弦函数（1）导学案教学目标：1、掌握正弦函数的概念2、已知直角三角形的边长求锐角的正弦值3、已知锐角的正弦值求直角三角形的边长预习导学：阅读教材P61-63，自学思考“探究”及“例1”自学反馈：学生独立完成后集体订证①在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A,∠B,∠C,所对的边是a,b,c,∠A的对边与斜边的比叫做∠A的____，则sinA=______②在Rt△ABC中，∠C＝90°∠A,∠B,∠C,所对的边是a,b,c,若a=3,b=4,则sinB=____在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A=30°，则sinA=—=_____④在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A =60°，则sinA=—=_____⑤在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A =45°，则sinA=—=_____综合探究一：如图, ∠C=90°CD⊥AB.sinB可以由哪两条线段之比?若ＡC=5,CD=3,求sinB的值。
活动1：跟踪训练（学习展示成果）1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC=2BC，则sinA的值是_______2、在Rt△ABC中，各边的长度都扩大为原来的两倍，那么sinA的值_____2，那么求AC的长3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，sinA=3综合探究二：（小组内讨论并展示学习成果）例2：在△ABC中，∠A,∠B,∠C,所对的边是a,b,c,且a：b：c=3：4：5，求证：7sinA+ sinB=5活动2：跟踪训练（学习展示成果）1、点（2,4）与x轴的夹角∠A,则 sinA=____2、在△ABC中，∠A,∠B,∠C,所对的边是a,b,c, ∠C＝90°，求证：sinA2+ sinB2=1课堂小结：1,（你学到了什么？和同学分享）2,你能计算比萨斜塔的倾角吗？作业：P名校27-28页，16、17.18题选做。
《第1课时 正弦函数》导学案 2022年最新word版
28．1锐角三角函数第1课时正弦函数目标导航：【学习目标】⑴经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定〔即正弦值不变〕这一事实。
⑵能根据正弦概念正确进行计算【学习重点】理解正弦〔sinA〕概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．【学习难点】当直角三角形的锐角固定时，，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
【导学过程】一、自学提纲：1、如图在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m，•求AB2、如图在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m，•求BC二、合作交流：问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，•在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？思考1：如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？；如果使出水口的高度为a m，那么需要准备多长的水管？；结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值思考2：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∠A对边与斜边的比值是一个定值吗？•如果是，是多少？结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值三、教师点拨：从上面这两个问题的结论中可知，•在一个Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；•当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A取其他一定度数的锐角时，•它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？探究：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=a，那么有什么关系．你能解释一下吗？结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，•∠A 的对边与斜边的比 正弦函数概念：规定：在Rt △BC 中，∠C=90，∠A 的对边记作a ，∠B 的对边记作b ，∠C 的对边记作c ．在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦， 记作sinA ，即sinA= =． sinA ＝ 例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=；当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ． 四、学生展示：例1 如图，在Rt △ABC 中， ∠C=90°，求sinA 和sinB 的值．随堂练习 〔1〕： 做课本练习．随堂练习 〔2〕：1．三角形在正方形网格纸中的位置如以下列图，那么sin α的值是﹙ ﹚ A ． B ． C ． D ．2．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o ，假设AB ＝5，AC ＝4，那么sinA ＝〔 〕A ．35B ．45C ．34D ．433． 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=23，那么边AC 的长是( )A ．13B ．3C ．43D ． 54．如图，点P 的坐标是〔a ，b 〕，那么sin α等于〔 〕 A ． B ． C ．五、课堂小结：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A•的对边与斜边的比都是 ．在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A•的 ，•记作 ，六、作业设置：课本第68页习题28．1复习稳固第1题、第2题〔只做与正弦函数有关的局部〕.七、自我反思：本节课我的收获: 。
正弦函数导学案
注：余弦曲线的图象可以通过将正弦曲线向左平移 个单位长度而得到。余弦函数的图象叫做余弦曲线。
正、余弦函数图象
思考：
1、函数y=1+sinx的图象与函数y=sinx的图象有什么关系？
2、函数y=-cosx的图象与函数y=cosx的图象有什么关系？
例1.作函数y=1+sinx,x∈[0,2 ]的简图
预习过程中遇到的疑难杂症呈现：
•探究一：思考4，思考7和8
•探究二：思考2、思考5
•变式训练中：2、3
•自主练习中：2、3
复习回顾:三角函数线
正弦线:MP
余弦线:OM
正切线:AT
(1)做正弦函数 的图象
正弦函数、余弦函数图象导学案
（2）用几何方法画 的图象
（3）用五点法做 图象
二、作余弦函数y=cosx(x∈R)的图象
例2.作函数y=-cosx, x∈[0, 2π]的简图.
小结
1.正弦曲线、余弦曲线作法
2.正弦曲线和余弦曲线之间的区别与联系；
3.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系；
4.巩固图象变换的规律：对自变量x“左加右减”，对函数值f(x) “上加下减”.
学习时间
201、余弦函数图象
主笔人
王永军
审核人
郭磊
教学目的：
利用动态演示功能帮助学生发现图象特点
教学重点：正弦、余弦函数图象及性质
教学难点：正弦、余弦函数图象间的关系及图象变换
知识结构
学习方法
正弦函数、余弦函数图象
阅读展示、实验观察、合作探究、归纳总结
学习过程自主学习
正弦函数、余弦函数性质 学案 导学案 课件
正弦函数、余弦函数的性质学习目标1、掌握正弦函数余弦函数的奇偶性；2、掌握正弦函数余弦函数的单调性与值域；3、会求正弦函数，余弦函数的单调区间与最值. 学习重点正、余弦函数的周期性和奇偶性． 学习难点正、余弦函数周期性和奇偶性的理解与应用。
学习方法自主学习，合作探究自主学习（一）阅读教材 （二）预习自测1、观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于 对称，故正弦函数x y sin =是 函数；余弦曲线关于 对称，故余弦函数x y cos =是 函数。
2、作出函数x y sin =，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈23,2ππx 的图象，观察曲线的变化情况并讨论单调性。
由图表知：此函数在闭区间 上是增函数，其值从 增大到 ；函数在闭区间 上是减函数，其值从 减小到 。
3、类似地，作出余弦函数cos y x =，[],x ππ∈-的图象，观察其曲线的变化情况并讨论单调性。
由图表知：此函数在闭区间 上是增函数，其值从 增大到 ；函数在闭区间 上是减函数，其值从 减小到 。
4、思考：x y sin =，∈x R 的单调性如何？x y cos =，R x ∈的单调性又如何？求出它们的最大值和最小值。
归纳：①正弦函数在每一个闭区间 上都是增函数，其值从 增大到 ；在每一个闭区间 上都是减函数，其值从 减小到 。
②余弦函数在每一个闭区间 上都是增函数，其值从 增大到 ；在每一个闭区间 上都是减函数，其值从 减小到 。
③正弦函数当且仅当 时取得最大值 ，当且仅当 时取得最小值 ；④余弦函数当且仅当 时取得最大值 ，当且仅当 时取得最小值 。
合作学习例1、下列函数有最大值和最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么。
（1） y=cosx ＋1，x ∈R ； （2）y=－3sin2x ，x ∈R.例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小:（3）o250sin 与o 260sin （4）o 760cos 与)770cos(o -分析：利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，可以先用诱导公式将已知角化为同(1)sin()sin();1810ππ--与2317(2)cos()cos().5ππ--4与一单调区间内的角，然后再比较大小。
《28.1 正弦函数》教学设计、教案,导学案
《28.1 正弦函数》教学设计【教学目标】：知识与技能：1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
2、能根据正弦概念正确进行计算3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。
过程与方法：通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．情感态度与价值观：引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．【教学重点】：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．【教学难点】：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实．【教学过程】：一、复习旧知、引入新课【引入】操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。
（演示学校操场上的国旗图片）小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。
你想知道小明怎样算出的吗？下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦 二、探索新知、分类应用 【活动一】问题的引入【问题一】为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。
现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？分析：问题转化为，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m,求AB 根据“再直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即可得AB=2BC=70m.即需要准备70m 长的水管结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于21【问题二】如图，任意画一个Rt △ABC ，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A 的对边与斜边的比ABBC，能得到什么结论？（学生思考）结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于22。
新人教版九年级下册数学《正弦函数》精品导学案
28．1锐角三角函数第1课时 正弦函数1．能根据正弦概念正确进行计算；(重点)2．能运用正弦函数解决实际问题．(难点)一、情境导入牛庄打算新建一个水站，在选择水泵时，必须知道水站(点A )与水面(BC )的高度(AB )．斜坡与水面所成的角(∠C )可以用量角器测出来，水管的长度(AC )也能直接量得．二、合作探究探究点一：正弦函数如图，sin A 等于( )A ．2 B.55 C.12 D.5解析：根据正弦函数的定义可得sin A ＝12，故选C.方法总结：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sin A .即sin A ＝∠A 的对边斜边＝a c . 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题探究点二：正弦函数的相关应用【类型一】 在网格中求三角函数值如图，在正方形网格中有△ABC ，则sin ∠ABC 的值等于( )A.31010B.1010C.13 D ．10解析：∵AB ＝20，BC ＝18，AC ＝2，∴AB 2＝BC 2＋AC 2，∴∠ACB ＝90°，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝220＝1010.故选B. 方法总结：解决有关网格的问题往往和勾股定理及其逆定理相联系，根据勾股定理求出三边长度，再运用勾股定理的逆定理判断三角形形状．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题【类型二】 已知三角函数值，求直角三角形的边长在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝23，则AB 的长为( )A.83 B ．6 C ．12 D ．8解析：∵sin A ＝BC AB ＝4AB ＝23，∴AB ＝6.故选B.方法总结：根据正弦定义表示出边的关系，然后将数值代入求解，记住定义是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第6题【类型三】 三角函数与等腰三角形的综合已知等腰三角形的一条腰长为25cm ，底边长为30cm ，求底角的正弦值．解析：先作底边上的高AD ，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD ＝12BC ＝15cm ，再由勾股定理求出AD ，然后根据三角函数的定义求解．解：如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D .∵AB ＝AC ＝25cm ，BC ＝30cm ，AD 为底边上的高，∴BD ＝12BC ＝15cm.由勾股定理得AD ＝AB 2－BD 2＝20cm ，∴sin ∠ABC ＝AD AB ＝2025＝45.方法总结：求三角函数值一定要在直角三角形中求值，当图形中没有直角三角形时，要通过作高，构造直角三角形解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型四】 在复杂图形中求三角函数值如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，如果AD ＝9，DC ＝5，E 为AC 的中点，求sin ∠EDC 的值．解析：首先利用勾股定理计算出AC 的长，再根据直角三角形的性质可得DE ＝EC ，根据等腰三角形性质可得∠EDC ＝∠C ，进而得到sin ∠EDC ＝sin ∠C ＝AD AC .解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∵AD ＝9，DC ＝5，∴AC ＝92＋52＝106.∵E 为AC 的中点，∴DE ＝AE ＝EC ＝12AC ，∴∠EDC ＝∠C ，∴sin ∠EDC ＝sin ∠C ＝AD AC ＝9106＝9106106.方法总结：求三角函数值的关键是找准直角三角形或利用等量代换将角或线段转化进行解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 【类型五】 在圆中求三角函数值如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，BC ＝6，AC ＝8，求sin ∠ABD 的值．解析：首先根据垂径定理得出∠ABD ＝∠ABC ，然后由直径所对的圆周角是直角，得出∠ACB ＝90°，根据勾股定理算出斜边AB 的长，再根据正弦的定义求出sin ∠ABC 的值，从而得出sin ∠ABD 的值．解：由条件可知AC ︵＝AD ︵，∴∠ABD ＝∠ABC ，∴sin ∠ABD ＝sin ∠ABC .∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，∵BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝BC 2＋AC 2＝10，∴sin ∠ABD ＝sin ∠ABC ＝AC AB ＝45. 方法总结：求三角函数值时必须在直角三角形中．在圆中，由直径所对的圆周角是直角可构造出直角三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计1．正弦的定义；2．利用正弦解决问题．在教学过程中，重视过程，深化理解，通过学生的主动探究来体现他们的主体地位，教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用，对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用.学生励志寄语：人生，想要闯出一片广阔的天地，就要你们努力去为自己的目标奋斗、勤奋刻苦、充满自信的过好每一天，雏鹰总会凌空翱翔。
142正弦函数、余弦函数的性质导学案1.doc
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质v第一课时【学习目标】1、通过创设情境，如单摆运动、四季变化等，让学生感知周期现象;2、理解周期函数的概念；3、能熟练地求出简单三角函数的周期。
4、能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用.【学习重点】正弦、余弦函数的主要性质（包括周期性、定义域和值域）；【学习难点】正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换，以及周期函数概念的理解，最小正周期的意义及简单的应用.【学习过程】一、复习巩固1、画出正弦函数和余弦函数图象。
2、观察正弦函数和余弦函数图象，填写下表:定义域值域y=sinxy=cosx3、下列各等式是否成立？为什么？(1)2cosx=3, (2) sin2x=0.54、求下列函数的定义域：⑴y=—-—1 + sm x(2)y二Jcosx .二、预习提案(阅读教材第34-35页内容，完成以下问题：)1、什么是周期函数？什么是函数周期？注意：①定义域内的每一个x都有(x+T) = f (x)o②定义中的T为非零常数，即周期不能为0。
〈小试身手〉等式sin(30o+120°)=sin30°是否成立？如果这个等式成立,能否说120。
是正弦函数y=sinx, xGR,的一个周期？为什么？2、什么是最小正周期？3、正弦函数和余弦函数的周期和最小正周期:周期最小正周期y=sinxy=cosx＜注＞在我们学习的三角函数中，如果不加特别说明，教科书提到的周期，一般都是指最小正周期.三、探究新课例1求下列函数的周期:(l)y=3cosx,xER；(2)y=sin2x,x 右R;例2.求函数y=2sin( — -—),xR.的周期 2 6(2) y = cos4x,xGR(3) (4) y = sin(j x + 5),x G R手0,xGR ）的周期为T=c 可以按照如下的方法求它的周期:a ）\(1)四、课堂练习：求下列函数的周期:. 3 fy = sin — x , xGR4 五、课堂小结一般地，函数 y=Asin （rox+（p ）及函数 y=Acos （（ox+（p ）,（其中 A 、①、（p 为常数,A#0,®y=Asin(cox+cp+27i:)=Asin [co(x+——)+(p] =Asin(cox+(p).co于是有f(x+—) =f (x),所以其周期为色.CD CD(4 ) f(.r) = sin(-2.r + —)六、课后作业1.判断对错并说明理由.(1 )对于函数y = sinx有sin(— + —) = sin—,则—是函数y = sinx的周期.6 3 6 3( )(2)函数y = cosx,xe[0,12》]是周期函数( )(3)定义在R上的函数y(x)满足f(x + 7v) =/■(》)，则勿是函数/lx)的周期，-2〃也是函数/Xx)的周期.()(4)函数f(x) = 2,xeR是周期函数，但没有最小正周期.()2.求下列函数的周期.77(1) /W = -sin3x (2) f(x) = cos(2x + i)1 71(3)f(x) = cos(-—x + —)3 6(5) f(.r) = sin(^-.r + —) (6)71 /(x) = -7i cos(ex + —)6。
九年级数学锐角三角函数正弦函数导学案新人教版
28.1锐角三角函数第1课正弦函数一、学习目标：1、理解锐角正弦的意义，并能运用sinA表示直角三角形中两边的比.2、能根据正弦概念正确进行计算并解决数学问题。
二、学习重难点：重点：能准确地用直角三角形两边的比来表示正弦的三角函数。
难点：对概念的理解，并能进行简单的计算探究案三、教学过程课堂导入你知道比萨斜塔吗？根据已知条件AB=54.5m，BC=5.2m，你能用塔身中心线与垂直中心线所成的角度来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？课堂探究知识点一：正弦函数的定义为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角 (∠A)为30°，为使出水口的高度为35 m，需要准备多长的水管？这个问题可以归结为：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC = 35 m，求 AB(如图).根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即思考1、在上面的问题中,如果出水口的高度为50 m ，那么需要准备多长的水管？2、如图，任意画一个Rt △ABC ，使∠C=90°，∠A =45°，计算∠A 的对边与斜边的比BC AB.由此你能得出什么结论？ 归纳总结 画一画任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′（如图），使得∠C =∠C ′=90°，∠C =∠A ′那么CC CC 与C ′C ′C ′C ′有什么关系？你能解释一下吗？归纳总结如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦（sine ），记作sin A ，即sinA=_________________________________________ 例如，当∠A =30°时，我们有sin A =sin 30°=______________ 当∠A =45°时，我们有sin A=sin 45°=_____________ 例题解析：例1．运用正弦的定义解决相关问题如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=6，BC=3，求sinA，sinB.归纳总结求sin A就是要确定________________________________；求sin B就是要确定________________________________.注意：正弦的三种表示：sinA（省去角的符号）、sin39°、sin∠DEF.试一试如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sin A和sin B的值.课堂探究知识点二：正弦函数的定义，求这个三角形的周长. 例2：在△ABC中，∠C=90°，BC=24 cm，sinB=513归纳总结试一试在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，求sin A的值.随堂检测1.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦值（）A. 扩大两倍B. 缩小两倍C. 没有变化D. 不能确定2.如图X28-79-7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，AB=15, 则sinB等于（）A. 35B. 45C. 34D. 433.【中考·怀化】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，4)，那么sin α的值是( )A.35B .34C. 45D. 434.【中考·鄂州】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝( )A.34B. 43C. 35D.455.【中考·安顺】如图，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为( )A. 65 B. 85C. √75D. 2√356.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则sinA=__________.7.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA= ，求BC和△ABC的面积. 课堂小结锐角三角函数定义：sin C=∠C的对边斜边sin30°=sin45°=我的收获___________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________参考答案探究案课堂探究∠A的对边斜边=BCAB=12，可得AB = 2BC = 70(m).也就是说，需要准备70 m长的水管.思考1.在上面求AB (所需水管的长度）的过程中，我们用到了结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于12.2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，因为∠A= 45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形.由勾股定理得AB2=AC2+BC2 = 2BC2 ,AB =√2 BC.因此CCCC =√2CC=√2=√22，即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于√22.画一画在图中，由于∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，因此BC B′C′=ABA′B′,即BC AB =B′C′A′B′.这就是说，在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.归纳总结sinA=∠C的对边斜边=C12√22例题解析：例1解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=√AC2+BC2=√62+32=3√5.因此 sinA= BCAB =√55，sinB= ACAB =2√55归纳总结∠A的对边与斜边的比∠B的对边与斜边的比试一试（1）解：由勾股定理得CC=√CC2+CC2=√52+32=√34，所以CCC C＝CCCC ＝√34＝334√34，CCCC＝CC5√345√34.（2）解：由勾股定理得CC=√CC2−CC2=√(√5)2−12=2，∴CCCC＝CCCC2√52√55，CCCC＝CCCC＝1√5＝√55.课堂探究知识点二：正弦函数的定义例2 解：设AC=5C cm，AB=13C cm，则BC=12C cm.由12C=24,得C=2，∴AB=26（cm），AC=10（cm）.∴△ABC的周长为10+24+26=60（cm）.试一试解：∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.∴sin B＝sin30°＝CCCC ＝12.设AC＝a，则AB＝2a，CC=√C C2−CC2=√3C.∴CCCC＝CCCC ＝√3C2C＝√32.随堂检测1．A 2．A 3．C 4．D 5．B 6．√557．解：∵sinA=BCAB =13,∴BC=13AB=5.根据勾股定理，得AC=10√2,∴S△ABC=12·BC·AC=25√2.。
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C B C
B
A
C B
A 28．1锐角三角函数
第1课时 正弦函数
目标导航： 【学习目标】
⑴经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
⑵能根据正弦概念正确进行计算 【学习重点】
理解正弦（sinA ）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实． 【学习难点】
当直角三角形的锐角固定时，，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
【导学过程】 一、自学提纲：
1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m ，•求AB
2、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m ，•求BC
二、合作交流：
问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，•在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？
思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？ ； 结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值 思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边 的比值是一个定值吗？•如果是，是多少？
结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值 三、教师点拨：
从上面这两个问题的结论中可知，•在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠
A 的对边与斜边的比都等于1
2
，是一个固定值；•当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比
都等于
2
，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的
(2)13
5
3C
B A
(1)
34
C
B A
斜边c
对边a
b
C
B
锐角时，•它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°， ∠A=∠A ′=a ，那么
''
''
BC B C AB A B 与
有什么关系．你能解释一下吗？
结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A
的度数一定时，不管三角形的大小如何，•∠A 的对边与斜边
的比 正弦函数概念：
规定：在Rt △BC 中，∠C=90，
∠A 的对边记作a ，∠B 的对边记作b ，∠C 的对边记作c ．
在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦， 记作sinA ，即sinA= =
a
c
． sinA ＝
A a A c ∠=∠的对边的斜边 例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=
；
当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ．
四、学生展示：
例1 如图，在Rt △ABC 中， ∠C=90°，求sinA 和sinB 的值．
随堂练习 （1）： 做课本练习．
随堂练习 （2）：
1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是﹙ ﹚
A ．43
B ．34
C ．53
D ．54
2．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o ，若AB ＝5，AC ＝4，则sinA ＝（ ）
A ．35
B ．45
C ．34
D ．43
3． 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=2
3
，则边AC 的长是( )
A ．13
B ．3
C ．4
3 D ． 5
C
B A
4．如图，已知点P 的坐标是（a ，b ），则sin α等于（ ）
A ．a
b B ．b a C
D
五、课堂小结：
在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A •的对边与斜边的比都是 ．
在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A •的 ，•记作 ，
六、作业设置：
课本 第68页 习题28．1复习巩固第1题、第2题（只做与正弦函数有关的部分）.
七、自我反思：
本节课我的收获: 。