北京市顺义区牛栏山一中2018-2019学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析

北京市顺义区牛栏山一中2018-2019学年上学期期中考试高一数学试卷一、选择题：（每题5分，共40分）在每小题的4个选项中，只有1项是符合题目要求的.1．设集合I=R，集合M={x|x＜1}，N={x|﹣1＜x＜2}，则集合{x|﹣1＜x＜1}等于( )A．M∪N B．M∩N C．（∁I M）∪N D．（∁I M）∩N2．若f（x）=x2+a（a为常数），，则a的值为( )A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．13．函数的定义域为( )A．上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间上是( )A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5C．减函数且最大值是﹣5 D．减函数且最小值是﹣55．已知a=40.4，b=80.2，，则( )A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．a＞c＞b D．a＞b＞c6．已知幂函数f（x）=xα（α∈Z），具有如下性质：f2（1）+f2（﹣1）=2，则f（x）是( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数7．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（3）的值为( ) A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．28．已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是( )A．（1，10）B．（5，6） C．（10，12）D．二、填空题：（每题5分，共30分）9．写出满足条件{1，3}∪A={1，3，5}的集合A的所有可能情况是__________．10．函数y=1﹣2x（x∈）的值域为__________．11．如果奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣1，则使f（x﹣1）＜0的x的取值范围是__________．12．若函数y=2﹣x+m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是__________．13．函数y=log2（x2﹣3x﹣4）的单调增区间是__________．14．定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则f（﹣3）=__________．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求∁R（A∪B），∁R（A∩B），（∁R A）∩B，A∪（∁R B）16．（14分）计算下列各题：（2）2lg lg49．17．（13分）已知函数f（x）=是奇函数，且f（2）=．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并用定义加以证明．18．（14分）某企业打算购买工作服和手套，市场价为每套工作服53元，每副手套3元，该企业联系了两家商店A和B，由于用货量大，这两家商店都给出了优惠条件：商店A：买一赠一，买一套工作服，赠一副手套；商店B：打折，按总价的95%收款．该企业需要工作服75套，手套x副（x≥75），如果工作服与手套只能在一家购买，请你帮助老板选择在哪一家商店购买更省钱？19．（13分）设函数f（x）=log2（a x﹣b x），且f（1）=1，f（2）=log212．（1）求a，b的值；（2）当x∈时，求f（x）最大值．20．（14分）已知定义域为R的函数是奇函数（1）求a值；（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围；（4）设关于x的函数F（x）=f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）有零点，求实数b的取值范围．北京市顺义区牛栏山一中2018-2019学年上学期期中考试高一数学试卷一、选择题：（每题5分，共40分）在每小题的4个选项中，只有1项是符合题目要求的.1．设集合I=R，集合M={x|x＜1}，N={x|﹣1＜x＜2}，则集合{x|﹣1＜x＜1}等于( )A．M∪N B．M∩N C．（∁I M）∪N D．（∁I M）∩N【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】由M与N，求出两集合的交集、并集，M补集与N的并集，M补集与N的交集即可．【解答】解：∵I=R，M={x|x＜1}，N={x|﹣1＜x＜2}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜1}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若f（x）=x2+a（a为常数），，则a的值为( )A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【考点】函数的零点．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用f（x）=x2+a（a为常数），，代入计算，即可得出结论．【解答】解：∵f（x）=x2+a（a为常数），，∴2+a=3，∴a=1．故选：D．【点评】本题考查函数值的计算，考查学生的计算能力，比较基础．3．函数的定义域为( )A．上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间上是( )A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5C．减函数且最大值是﹣5 D．减函数且最小值是﹣5【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据奇函数的图象关于原点对称，故它在对称区间上的单调性不变，结合题意从而得出结论．【解答】解：由于奇函数的图象关于原点对称，故它在对称区间上的单调性不变．如果奇函数f（x）在区间上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间上必是增函数且最小值为﹣5，故选A．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，奇函数的图象和性质，属于中档题．5．已知a=40.4，b=80.2，，则( )A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．a＞c＞b D．a＞b＞c【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】把3个数化为底数相同，利用指数函数的单调性判断大小即可．【解答】解：a=40.4=20.8，b=80.2=20.6=20.5，因为y=2x是增函数，所以a＞b＞c．故选：D．【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，考查计算能力．6．已知幂函数f（x）=xα（α∈Z），具有如下性质：f2（1）+f2（﹣1）=2，则f（x）是( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数【考点】函数的零点．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】欲正确作答，取常量n=2，验证可得结论．【解答】解：幂函数f（x）=xα（α∈Z）中，若有f2（1）+f2（﹣1）=2，则可取常量n=2，所以，函数为f（x）=x2，此函数的图象是开口向上，并以y轴为对称轴的二次函数，即定义域为R，关于原点对称，且f（﹣x）=（﹣x）2=x2=f（x），所以为偶函数．故选：B．【点评】本题考查幂函数，函数的奇偶性，考查学生的计算能力，比较基础．7．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（3）的值为( )A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数的性质和对数的运算法则求解．【解答】解：∵f（x）=，∴f（3）=f（2）﹣f（1）=f（1）﹣f（0）﹣f（1）=﹣f（0）=﹣log24=﹣2．故选：B．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质的灵活运用．8．已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是( )A．（1，10）B．（5， 6）C．（10，12）D．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；对数的运算性质；对数函数的图像与性质．【专题】作图题；压轴题；数形结合．【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选C．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．二、填空题：（每题5分，共30分）9．写出满足条件{1，3}∪A={1，3，5}的集合A的所有可能情况是{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}．【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】利用已知条件，直接写出结果即可．【解答】解：{1，3}∪A={1，3，5}，可得A中必须含有5这个元素，也可以含有1，3中的数值，满足条件{1，3}∪A={1，3，5}的集合A的所有可能情况是{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}．故答案为：{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}．【点评】本题考查集合的并集的元素，基本知识的考查．10．函数y=1﹣2x（x∈）的值域为．【考点】函数的值域．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】利用函数的单调性，直接求解函数值域即可．【解答】解：因为函数y=1﹣2x是减函数．所以x∈时，可得函数的最大值为：﹣3，最小值为：﹣7，函数的值域．故答案为：．【点评】本题考查函数的单调性的应用，函数的值域的求法，是基础题．11．如果奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣1，则使f（x﹣1）＜0的x的取值范围是（﹣∞，0）∪（1，2）．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；数形结合．【分析】由题意，可先研究出奇函数y=f（x）（x≠0）的图象的情况，解出其函数值为负的自变量的取值范围来，再解f（x﹣1）＜0得到答案【解答】解：由题意x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣1，可得x＞1时，函数值为正，0＜x＜1时，函数值为负又奇函数y=f（x）（x≠0），由奇函数的性质知，当x＜﹣1时，函数值为负，当﹣1＜x＜0时函数值为正综上，当x＜﹣1时0＜x＜1时，函数值为负∵f（x﹣1）＜0∴x﹣1＜﹣1或0＜x﹣1＜1，即x＜0，或1＜x＜2故答案为（﹣∞，0）∪（1，2）【点评】本题考查利用奇函数图象的对称性解不等式，解题的关键是先研究奇函数y=f（x）函数值为负的自变量的取值范围，再解f（x﹣1）＜0的x的取值范围，函数的奇函数的对称性是高考的热点，属于必考内容，如本题这样的题型也是高考试卷上常客12．若函数y=2﹣x+m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【考点】指数函数的图像变换．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数y=2﹣x+m的图象经过定点（0，1+m），且函数y在R上单调递减，可得1+m≤0，求得m的范围．【解答】解：∵函数y=2﹣x+m的图象不经过第一象限，而函数y=2﹣x+m的图象经过定点（0，1+m），且函数y在R上单调递减，则1+m≤0，求得m≤﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1]．【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．13．函数y=log2（x2﹣3x﹣4）的单调增区间是（4，+∞）．【考点】复合函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】令t=x2﹣3x﹣4＞0，求得函数的定义域，根据y=log2t，本题即求二次函数t的增区间，再利用二次函数的性质可得函数t的增区间．【解答】解：令t=x2﹣3x﹣4＞0，求得x＜﹣1，或x＞4，故函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），且y=log2t，故本题即求二次函数t的增区间．再利用二次函数的性质可得函数t的增区间为（4，+∞），故答案为：（4，+∞）．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．14．定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则f（﹣3）=6．【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题．【分析】本题是抽象函数及其应用类问题．在解答时，首先要分析条件当中的特殊函数值，然后结合条件所给的抽象表达式充分利用特值得思想进行分析转化，例如结合表达式的特点1=0+1等，进而问题即可获得解答．【解答】解：由题意可知：f（1）=f（0+1）=f（0）+f（1）+2×0×1=f（0）+f（1），∴f（0）=0．f（0）=f（﹣1+1）=f（﹣1）+f（1）+2×（﹣1）×1=f（﹣1）+f（1）﹣2，∴f（﹣1）=0．f（﹣1）=f（﹣2+1）=f（﹣2）+f（1）+2×（﹣2）×1=f（﹣2）+f（1）﹣4，∴f（﹣2）=2．f（﹣2）=f（﹣3+1）=f（﹣3）+f（1）+2×（﹣3）×1=f（﹣3）+f（1）﹣6，∴f（﹣3）=6．故答案为：6．【点评】本题是抽象函数及其应用类问题．在解答的过程当中充分体现了抽象性、特值的思想以及问题转化的能力．值得同学们体会和反思．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求∁R（A∪B），∁R（A∩B），（∁R A）∩B，A∪（∁R B）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合．【分析】利用集合的交、并、补集的混合运算和不等式的性质求解．【解答】解：∵集合A={x丨3≤x＜7}，B={x丨2＜x＜10}，∴A∪B={x|2＜x＜10}，A∩B={x|3≤x＜7}，∁R A={x|x＜3或x≥7}，∴∁R（A∪B）={x|x≤2或x≥10}，∁R（A∩B）={x|x＜3或x≥7}，（∁R A）∩B={x|2＜x≤3或7≤x＜10}．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．16．（14分）计算下列各题：（2）2lg lg49．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用有理指数幂的运算法则化简求解即可．（2）利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：（1）=0.4﹣1﹣1+﹣4+2﹣3+0.1=﹣1++=…（2）2lg lg49=2lg5﹣2lg3﹣lg7+2lg2+2lg3+lg7=2lg5+2lg2=2 …（14分）【点评】本题考查对数与已经在什么的运算法则的应用，考查计算能力．17．（13分）已知函数f（x）=是奇函数，且f（2）=．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并用定义加以证明．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质和条件建立方程关系即可求实数a，b的值；（2）根据函数单调性的定义即可证明函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．∴=﹣，因此b=﹣b，即b=0．又f（2）=，∴=，∴a=2；（2）由（1）知f（x）==+，f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数，证明：设x1＜x2≤﹣1，则f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）（1﹣）=（x1﹣x2）•．∵x1＜x2≤﹣1，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞1．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的证明，根据相应的定义是解决本题的关键．18．（14分）某企业打算购买工作服和手套，市场价为每套工作服53元，每副手套3元，该企业联系了两家商店A和B，由于用货量大，这两家商店都给出了优惠条件：商店A：买一赠一，买一套工作服，赠一副手套；商店B：打折，按总价的95%收款．该企业需要工作服75套，手套x副（x≥75），如果工作服与手套只能在一家购买，请你帮助老板选择在哪一家商店购买更省钱？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】分别计算按商店A和B优惠付款数，作差比较，即可得出结论．【解答】解：设按商店A和B优惠付款数分别为f（x）和g（x）商店A：f（x）=75×53+（x﹣75）×3=3x+3750（x≥75）…商店B：g（x）=（75×53+3x）×95%=2.85x+3776.25（x≥75）…令f（x）=g（x），解得x=175选择A与B是一样的…令y=f（x）﹣g（x）=0.15x﹣26.25，当75≤x＜175时，y＜0，选择商店A；…当x＞175时，y＞0，选择商店B；…（14分）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，正确求出按商店A和B优惠付款数是关键．19．（13分）设函数f（x）=log2（a x﹣b x），且f（1）=1，f（2）=log212．（1）求a，b的值；（2）当x∈时，求f（x）最大值．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】综合题．【分析】（1）由已知f（1）=1，f（2）=log212代入到f（x）中，求得a、b的值即可；（2）利用换元法，由（1）得，令g（x）=4x﹣2x=（2x）2﹣2x，再令t=2x，则y=t2﹣t，可知函数y=（t﹣）2﹣在上是单调递增函数，从而当t=4时，取得最大值12，故x=2时，f（x）取得最大值．【解答】解：∵函数f（x）=log2（a x﹣b x），且f（1）=1，f（2）=log212∴∴∴（2）由（1）得令g（x）=4x﹣2x=（2x）2﹣2x令t=2x，则y=t2﹣t∵x∈，∴t∈，显然函数y=（t﹣）2﹣在上是单调递增函数，所以当t=4时，取得最大值12，∴x=2时，f（x）最大值为log212=2+log23【点评】本题以对数函数为载体，考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，考查函数的单调性与最值，属于基础题．20．（14分）已知定义域为R的函数是奇函数（1）求a值；（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围；（4）设关于x的函数F（x）=f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）有零点，求实数b的取值范围．【考点】指数函数的单调性与特殊点；奇偶性与单调性的综合．【专题】综合题．【分析】（1）根据奇函数当x=0时的函数值为0，列出方程求出a的值；（2）先判断出单调性，再利用函数单调性的定义法进行证明，即取值﹣作差﹣变形﹣判断符号﹣下结论；（3）利用函数的奇偶性将不等式转化为函数值比较大小，再由函数的单调性比较自变量的大小，列出不等式由二次函数恒成立进行求解；（4）根据函数解析式和函数零点的定义列出方程，再利用整体思想求出b的范围．【解答】解：（1）由题设，需，∴a=1，∴，经验证，f（x）为奇函数，∴a=1．（2）减函数证明：任取x1，x2∈R，x1＜x2，△x=x2﹣x1＞0，f（x2）﹣f（x1）=﹣=，∵x1＜x2 ∴0＜＜；∴﹣＜0，（1+）（1+）＞0∴f（x2）﹣f（x1）＜0∴该函数在定义域R 上是减函数．（3）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0 得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），∵f（x）是奇函数，∴f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），由（2）知，f（x）是减函数∴原问题转化为t2﹣2t＞k﹣2t2，即3t2﹣2t﹣k＞0 对任意t∈R 恒成立，∴△=4+12k＜0，得即为所求．（4）原函数零点的问题等价于方程f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）=0由（3）知，4x﹣b=2x+1，即方程b=4x﹣2x+1有解∴4x﹣2x+1=（2x）2﹣2×2x=（2x﹣1）2﹣1≥﹣1，∴当b∈[﹣1，+∞）时函数存在零点．【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性的应用，利用奇函数的定义域内有0时有f（0）=0进行求值，函数单调性的证明必须按照定义法进行证明，即取值﹣作差﹣变形﹣判断符号﹣下结论，利用二次函数的性质，以及整体思想求出恒成立问题．。