最新人教版八年级数学上册第十三章《课题学习 最短路径问题》课堂探究

课堂探究
能力点运用轴对称解决距离最短问题
题型导引直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小．
【例题】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
(1)若要使水厂到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？
(2)若要使水厂到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？
解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于点P，则点P
到A，B的距离相等．也可分别以A，B为圆心，以大于1
2
AB为半径画弧，两弧交于两点，
过这两点作直线，与EF的交点P即为所求．
(2)如图2，画出点A关于河岸EF的对称点A′，连接A′B交EF于点P，则点P到A，B 的距离和最短．
规律总结运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，这是解决距离之和最小问题的基本思路．
变式训练
如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A，B的距离之差最大．
分析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．
解：如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B并延长交l于点C，则点C即为所求．
理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.
因为点A，A′关于直线l对称，
所以l为线段AA′的垂直平分线，
则有CA＝CA′，
所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.
又因为点C′在l上，
所以C′A＝C′A′.
在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以AC′－C′B＜CA－CB.
综合应用
综合点生活中的距离最短问题
应用概述最短路线问题通常是以“平面内连接两点的线中线段最短”为原则引申出来的．人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题．【例题】茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图①所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
图①
图②
解：如图②.
(1)作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1；(2)连接C1D1，分别交OA，OB于点P，Q，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．规律总结由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小
问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化到一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段．迁移训练
如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？
解：(1)如图，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽．
(2)连接BC与河岸的一边交于点N.
(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.
则MN为所建的桥的位置．。